সেবার উদ্দেশ্য. এই পরিষেবা ব্যবহার করে, আপনি নির্ধারণ করতে পারেন:
- সাধারণ গড় জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান, পরিবর্তনের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান;
- আদর্শ বিচ্যুতির জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান, সাধারণ ভাগের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান;
উদাহরণ নং 1। একটি সম্মিলিত খামারে, মোট 1000 ভেড়ার পালের মধ্যে 100টি ভেড়া নির্বাচনী নিয়ন্ত্রণ কর্তনের মধ্য দিয়ে যায়। ফলস্বরূপ, প্রতি ভেড়ার গড় 4.2 কেজি উলের ক্লিপিং প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। 0.99 সম্ভাব্যতার সাথে নির্ণয় করুন নমুনার গড় বর্গাকার ত্রুটি প্রতি ভেড়ার গড় উল কাটানোর সময় এবং যে সীমার মধ্যে শিয়ারিং মান থাকে যদি বৈচিত্র্য 2.5 হয়। নমুনা অ-পুনরাবৃত্ত.
উদাহরণ নং 2। মস্কো নর্দার্ন কাস্টমসের পোস্টে আমদানি করা পণ্যের একটি ব্যাচ থেকে, পণ্য "A" এর 20 টি নমুনা এলোমেলোভাবে বারবার নমুনা নেওয়া হয়েছিল। পরীক্ষার ফলস্বরূপ, নমুনায় "A" পণ্যের গড় আর্দ্রতার পরিমাণ প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, যা 1% এর আদর্শ বিচ্যুতির সাথে 6% এর সমান হয়ে উঠেছে।
আমদানিকৃত পণ্যের সমগ্র ব্যাচে পণ্যের গড় আর্দ্রতার সীমা 0.683 সম্ভাব্যতার সাথে নির্ধারণ করুন।
উদাহরণ নং 3। 36 জন শিক্ষার্থীর উপর করা একটি সমীক্ষায় দেখা গেছে যে তারা প্রতি বছর গড়ে কত পাঠ্যবই পড়ে শিক্ষাবর্ষ, 6 এর সমান হয়েছে। ধরে নিচ্ছি যে প্রতি সেমিস্টারে একজন শিক্ষার্থীর পাঠ্যপুস্তকের সংখ্যা 6 এর সমান স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন আইন রয়েছে, খুঁজুন: A) 0.99 এর নির্ভরযোগ্যতা সহ, গাণিতিক জন্য একটি ব্যবধান অনুমান এই প্রত্যাশা আমার স্নাতকের; খ) কতটা সম্ভাবনার সাথে আমরা বলতে পারি যে প্রতি সেমিস্টারে একজন শিক্ষার্থীর পাঠ্যপুস্তকের গড় সংখ্যা, এই নমুনা থেকে গণনা করা হয়েছে, পরম মূল্যে গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে 2-এর বেশি হবে না।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের শ্রেণীবিভাগ
মূল্যায়ন করা পরামিতি প্রকার দ্বারা:
নমুনা টাইপ দ্বারা:
- একটি অসীম নমুনার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান;
- চূড়ান্ত নমুনার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান;
এলোমেলো নমুনার জন্য গড় নমুনা ত্রুটির গণনা
নমুনা থেকে প্রাপ্ত সূচকের মান এবং সাধারণ জনসংখ্যার সংশ্লিষ্ট প্যারামিটারের মধ্যে পার্থক্য বলা হয় প্রতিনিধিত্ব ত্রুটি.সাধারণ এবং নমুনা জনসংখ্যার প্রধান পরামিতিগুলির উপাধি।
| গড় নমুনা ত্রুটি সূত্র | |||
| পুনরায় নির্বাচন | পুনরাবৃত্তি নির্বাচন | ||
| গড় জন্য | শেয়ারের জন্য | গড় জন্য | শেয়ারের জন্য |
 |
|||
বিশুদ্ধভাবে র্যান্ডম নমুনা পদ্ধতি ব্যবহার করে নমুনার আকার গণনা করার জন্য সূত্র
পূর্ববর্তী উপধারায় আমরা একটি অজানা পরামিতি অনুমান করার বিষয়টি বিবেচনা করেছি কএক নাম্বার. একে "পয়েন্ট" অনুমান বলা হয়। অনেকগুলি কাজের মধ্যে, আপনাকে শুধুমাত্র প্যারামিটার খুঁজে বের করতে হবে না কউপযুক্ত সংখ্যাসূচক মান, কিন্তু এর নির্ভুলতা এবং নির্ভরযোগ্যতা মূল্যায়ন করতে। আপনাকে জানতে হবে প্যারামিটার প্রতিস্থাপন করলে কী ত্রুটি হতে পারে কতার পয়েন্ট অনুমান কএবং কতটুকু আত্মবিশ্বাসের সাথে আমরা আশা করতে পারি যে এই ত্রুটিগুলি পরিচিত সীমা অতিক্রম করবে না?
এই ধরনের সমস্যাগুলি বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক হয় অল্প সংখ্যক পর্যবেক্ষণের সাথে, যখন বিন্দু অনুমান এবং ভিতরেমূলত এলোমেলো এবং a দ্বারা a এর আনুমানিক প্রতিস্থাপন গুরুতর ত্রুটির কারণ হতে পারে।
অনুমানের নির্ভুলতা এবং নির্ভরযোগ্যতা সম্পর্কে ধারণা দেওয়া ক,
ভি গাণিতিক পরিসংখ্যানতারা তথাকথিত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান এবং আত্মবিশ্বাসের সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে।
পরামিতি জন্য যাক কঅভিজ্ঞতা থেকে প্রাপ্ত নিরপেক্ষ অনুমান ক.আমরা এই ক্ষেত্রে সম্ভাব্য ত্রুটি অনুমান করতে চাই. আসুন কিছু পর্যাপ্ত বড় সম্ভাব্যতা p নির্ধারণ করি (উদাহরণস্বরূপ, p = 0.9, 0.95 বা 0.99) যাতে p সম্ভাব্যতা সহ একটি ইভেন্টকে কার্যত নির্ভরযোগ্য হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং একটি মান খুঁজে বের করতে পারে যার জন্য
তারপর পরিসীমা কার্যত সম্ভাব্য মানপ্রতিস্থাপন করার সময় যে ত্রুটি ঘটে কচালু ক, হবে ± s; পরম মানের বড় ত্রুটি শুধুমাত্র একটি কম সম্ভাবনা a = 1 - p সহ প্রদর্শিত হবে৷ আসুন পুনরায় লিখি (14.3.1):
সমতা (14.3.2) এর অর্থ হল সম্ভাব্যতা p সহ প্যারামিটারের অজানা মান কব্যবধানের মধ্যে পড়ে
একটি পরিস্থিতি নোট করা প্রয়োজন। পূর্বে, আমরা বারবার একটি প্রদত্ত নন-এলোমেলো ব্যবধানে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল পড়ার সম্ভাবনা বিবেচনা করেছি। এখানে পরিস্থিতি ভিন্ন: মাত্রা কএলোমেলো নয়, কিন্তু ব্যবধান/p এলোমেলো। x-অক্ষে এর অবস্থান এলোমেলো, এর কেন্দ্র দ্বারা নির্ধারিত ক; সাধারণভাবে, ব্যবধান 2s এর দৈর্ঘ্যও এলোমেলো, যেহেতু s-এর মান একটি নিয়ম হিসাবে, পরীক্ষামূলক ডেটা থেকে গণনা করা হয়। অতএব ইন এক্ষেত্রেএকটি বিন্দুকে "মারতে" সম্ভাবনা হিসাবে না করে p মানটিকে ব্যাখ্যা করা ভাল হবে কব্যবধানে / p, এবং সম্ভাব্যতা হিসাবে যে একটি এলোমেলো ব্যবধান / p বিন্দুটিকে কভার করবে ক(চিত্র 14.3.1)।
ভাত। 14.3.1
সম্ভাব্যতা p কে সাধারণত বলা হয় আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা, এবং ব্যবধান / p - আস্থা ব্যবধান.ব্যবধানের সীমানা যদি. a x = a- s এবং a 2 = a +এবং বলা হয় বিশ্বাসের সীমানা।
আসুন একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের ধারণাটির আরেকটি ব্যাখ্যা দিই: এটি পরামিতি মানগুলির একটি ব্যবধান হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে ক,পরীক্ষামূলক তথ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং তাদের বিরোধী নয়। প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা সম্ভাব্যতা a = 1-p কার্যত অসম্ভব একটি ঘটনা বিবেচনা করতে সম্মত হই, তাহলে প্যারামিটারের সেই মানগুলি a যার জন্য a - ক> s অবশ্যই পরীক্ষামূলক ডেটার বিরোধী হিসাবে স্বীকৃত হতে হবে এবং যেগুলির জন্য |a - ক a t na 2।
পরামিতি জন্য যাক কএকটি নিরপেক্ষ অনুমান আছে ক.যদি আমরা পরিমাণ বণ্টনের নিয়ম জানতাম ক, একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খোঁজার কাজটি খুব সহজ হবে: এটি একটি মান খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট হবে যার জন্য
মুশকিল হল প্রাক্কলন বণ্টনের আইন কপরিমাণের বন্টন আইনের উপর নির্ভর করে এক্সএবং, অতএব, এর অজানা পরামিতিগুলির উপর (বিশেষত, পরামিতিটিতেই ক)।
এই অসুবিধাটি পেতে, আপনি নিম্নলিখিত মোটামুটি আনুমানিক কৌশলটি ব্যবহার করতে পারেন: s-এর অভিব্যক্তিতে অজানা পরামিতিগুলিকে তাদের বিন্দু অনুমানের সাথে প্রতিস্থাপন করুন। তুলনামূলকভাবে বড় সংখ্যক পরীক্ষা দিয়ে পৃ(প্রায় 20...30) এই কৌশলটি সাধারণত নির্ভুলতার পরিপ্রেক্ষিতে সন্তোষজনক ফলাফল দেয়।
একটি উদাহরণ হিসাবে, গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সমস্যাটি বিবেচনা করুন।
এটা উত্পাদিত করা যাক পৃ এক্স,যার বৈশিষ্ট্য হল প্রত্যাশিত মান টিএবং বৈচিত্র্য ডি- অজানা এই পরামিতিগুলির জন্য নিম্নলিখিত অনুমানগুলি প্রাপ্ত হয়েছিল:
গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের সম্ভাব্যতা p এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান / p তৈরি করা প্রয়োজন টিপরিমাণ এক্স.
এই সমস্যাটি সমাধান করার সময়, আমরা পরিমাণটি ব্যবহার করব টিযোগফল প্রতিনিধিত্ব করে পৃস্বাধীন অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল Xhএবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অনুযায়ী, যথেষ্ট বড় জন্য পৃএর বন্টন আইন স্বাভাবিকের কাছাকাছি। বাস্তবে, এমনকি তুলনামূলকভাবে অল্প সংখ্যক পদের (প্রায় 10...20) সাথেও, যোগফলের বণ্টন আইনকে প্রায় স্বাভাবিক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। আমরা যে মান ধরে নেব টিস্বাভাবিক আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়। এই আইনের বৈশিষ্ট্যগুলি - গাণিতিক প্রত্যাশা এবং পার্থক্য - যথাক্রমে সমান টিএবং
(অধ্যায় 13 উপধারা 13.3 দেখুন)। আসুন ধরে নিই মান ডিআমরা জানি এবং এর জন্য একটি মান Ep খুঁজে পাব
6 অধ্যায়ের সূত্র (6.3.5) ব্যবহার করে, আমরা স্বাভাবিক বন্টন ফাংশনের মাধ্যমে (14.3.5) এর বাম দিকে সম্ভাব্যতা প্রকাশ করি
অনুমানের মান বিচ্যুতি কোথায় টি.
Eq থেকে।
Sp এর মান খুঁজুন: 
যেখানে arg Ф* (х) হল Ф* এর বিপরীত ফাংশন (এক্স),সেগুলো. যুক্তির মান যা স্বাভাবিক ফাংশনবিতরণ সমান এক্স.
বিচ্ছুরণ ডি,যার মাধ্যমে পরিমাণ প্রকাশ করা হয় ক 1P, আমরা ঠিক জানি না; এর আনুমানিক মান হিসাবে, আপনি অনুমান ব্যবহার করতে পারেন ডি(14.3.4) এবং আনুমানিক রাখুন:
এইভাবে, একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরির সমস্যাটি প্রায় সমাধান করা হয়েছে, যা সমান:
যেখানে gp সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় (14.3.7)।
s p গণনা করার সময় ফাংশন Ф* (l) এর টেবিলে বিপরীত ইন্টারপোলেশন এড়াতে, একটি বিশেষ টেবিল (টেবিল 14.3.1) কম্পাইল করা সুবিধাজনক, যা পরিমাণের মান দেয়
r উপর নির্ভর করে। মান (p স্বাভাবিক নিয়মের জন্য মানক বিচ্যুতির সংখ্যা নির্ধারণ করে যা বিচ্ছুরণের কেন্দ্র থেকে ডানে এবং বামে প্লট করা উচিত যাতে ফলস্বরূপ এলাকায় প্রবেশের সম্ভাবনা p এর সমান হয়।
মান 7 p ব্যবহার করে, আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানকে এভাবে প্রকাশ করা হয়:
সারণি 14.3.1
উদাহরণ 1. পরিমাণের উপর 20 টি পরীক্ষা করা হয়েছিল এক্স;ফলাফল টেবিলে দেখানো হয়. 14.3.2।
সারণি 14.3.2
পরিমাণের গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য এটি থেকে একটি অনুমান খুঁজে বের করতে হবে এক্সএবং আত্মবিশ্বাসের সম্ভাব্যতা p = 0.8 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করুন।
সমাধান।আমাদের আছে:
রেফারেন্স পয়েন্ট হিসাবে l: = 10 বেছে নেওয়া, তৃতীয় সূত্র (14.2.14) ব্যবহার করে আমরা নিরপেক্ষ অনুমান খুঁজে পাই ডি :
টেবিল অনুযায়ী 14.3.1 আমরা খুঁজে পাই 
আত্মবিশ্বাসের সীমা:
আস্থা ব্যবধান:
পরামিতি মান টি,এই ব্যবধানে থাকা সারণীতে দেওয়া পরীক্ষামূলক ডেটার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। 14.3.2।
ভিন্নতার জন্য একটি আস্থার ব্যবধান একইভাবে তৈরি করা যেতে পারে।
এটা উত্পাদিত করা যাক পৃএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল উপর স্বাধীন পরীক্ষা এক্স A এবং বিচ্ছুরণ উভয়ের জন্য অজানা পরামিতি সহ ডিএকটি নিরপেক্ষ অনুমান প্রাপ্ত হয়েছিল:
ভেরিয়েন্সের জন্য আনুমানিকভাবে একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করা প্রয়োজন।
সূত্র থেকে (14.3.11) এটা স্পষ্ট যে পরিমাণ ডিপ্রতিনিধিত্ব করে
পরিমাণ পৃফর্মের র্যান্ডম ভেরিয়েবল। এই মানগুলি নয়
স্বাধীন, যেহেতু তাদের মধ্যে যেকোনও পরিমাণ অন্তর্ভুক্ত টি,অন্য সবার উপর নির্ভরশীল। যাইহোক, এটি বৃদ্ধি সঙ্গে যে দেখানো যেতে পারে পৃতাদের যোগফলের বণ্টন আইনও স্বাভাবিকের কাছাকাছি চলে আসে। প্রায় এ পৃ= 20...30 এটি ইতিমধ্যেই স্বাভাবিক বলে বিবেচিত হতে পারে।
আসুন ধরে নিই যে এটি তাই এবং এই আইনের বৈশিষ্ট্যগুলি সন্ধান করুন: গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণ। মূল্যায়নের পর থেকে ডি- নিরপেক্ষ, তাহলে M[D] = D.
পার্থক্য গণনা ডি ডিতুলনামূলকভাবে জটিল গণনার সাথে যুক্ত, তাই আমরা ডেরিভেশন ছাড়াই এর অভিব্যক্তি উপস্থাপন করি:
যেখানে q 4 হল চতুর্থ কেন্দ্রীয় বিন্দুপরিমাণ এক্স.
এই অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করতে, আপনাকে মানগুলি প্রতিস্থাপন করতে হবে \u003d 4 এবং ডি(অন্তত কাছাকাছি বেশী)। পরিবর্তে ডিআপনি তার মূল্যায়ন ব্যবহার করতে পারেন ডি.নীতিগতভাবে, চতুর্থ কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি একটি অনুমান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, ফর্মের একটি মান:
কিন্তু এই ধরনের প্রতিস্থাপন অত্যন্ত কম নির্ভুলতা দেবে, যেহেতু সাধারণভাবে, সীমিত সংখ্যক পরীক্ষার সাথে, মুহূর্তগুলি উচ্চ আদেশথেকে নির্ধারিত বড় ভুল. যাইহোক, বাস্তবে এটি প্রায়ই ঘটে যে পরিমাণ বন্টন আইনের ধরন এক্সআগাম পরিচিত: শুধুমাত্র এর পরামিতি অজানা। তারপর আপনি μ 4 এর মাধ্যমে প্রকাশ করার চেষ্টা করতে পারেন ডি.
এর সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্রে নেওয়া যাক, যখন মান এক্সস্বাভাবিক আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়। তারপর এর চতুর্থ কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি বিচ্ছুরণের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয় (অধ্যায় 6, উপধারা 6.2 দেখুন);
এবং সূত্র (14.3.12) দেয় 
বা
(14.3.14) এ অজানা প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে ডিতার মূল্যায়ন ডি, আমরা পাই: কোথা থেকে 
মোমেন্ট μ4 এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় ডিএছাড়াও কিছু অন্যান্য ক্ষেত্রে, যখন মান বন্টন এক্সস্বাভাবিক নয়, কিন্তু তার চেহারা জানা। উদাহরণস্বরূপ, আইনের জন্য অভিন্ন ঘনত্ব(অধ্যায় 5 দেখুন) আমাদের আছে: 
যেখানে (a, P) হল সেই ব্যবধান যার উপর আইনটি নির্দিষ্ট করা হয়েছে।
তাই,
সূত্র ব্যবহার করে (14.3.12) আমরা পাই: 
যেখানে আমরা আনুমানিক খুঁজে না
যে ক্ষেত্রে 26 পরিমাণের জন্য বন্টন আইনের ধরন অজানা, a/) মানের আনুমানিক অনুমান করার সময় এটি এখনও সূত্র (14.3.16) ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়, যদি না এই আইনটি বিশ্বাস করার বিশেষ কারণ না থাকে স্বাভাবিকের থেকে খুব আলাদা (একটি লক্ষণীয় ইতিবাচক বা নেতিবাচক কার্টোসিস আছে)।
যদি আনুমানিক মান a/) এক বা অন্য উপায়ে প্রাপ্ত হয়, তাহলে আমরা গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য যেভাবে এটি তৈরি করেছি একইভাবে বৈচিত্র্যের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে পারি:
যেখানে প্রদত্ত সম্ভাব্যতার উপর নির্ভর করে মানটি টেবিল অনুসারে পাওয়া যায়। 14.3.1।
উদাহরণ 2. একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের জন্য আনুমানিক 80% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন এক্সউদাহরণ 1 এর শর্তে, যদি এটি জানা যায় যে মান এক্সস্বাভাবিকের কাছাকাছি একটি আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়।
সমাধান।মানটি টেবিলের মতোই থাকে। 14.3.1:
সূত্র অনুযায়ী (14.3.16)
সূত্র ব্যবহার করে (14.3.18) আমরা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজে পাই:
গড় মানের অনুরূপ ব্যবধান বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতি: (0,21; 0,29).
14.4। সুনির্দিষ্ট নির্মাণ পদ্ধতি আস্থা অন্তরস্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্যারামিটারের জন্য
পূর্ববর্তী উপধারায়, আমরা গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্মাণের জন্য মোটামুটি আনুমানিক পদ্ধতিগুলি পরীক্ষা করেছি। এখানে আমরা একই সমস্যা সমাধানের সঠিক পদ্ধতি সম্পর্কে ধারণা দেব। আমরা জোর দিয়েছি যে সঠিকভাবে আস্থার ব্যবধানগুলি খুঁজে পেতে পরিমাণের বন্টন আইনের ফর্মটি আগে থেকে জানা একেবারে প্রয়োজন। এক্স,যেখানে আনুমানিক পদ্ধতি প্রয়োগের জন্য এটি প্রয়োজনীয় নয়।
ধারণা সুনির্দিষ্ট পদ্ধতিআত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করা নিচের দিকে নেমে আসে। কোনো আস্থার ব্যবধান এমন একটি শর্ত থেকে পাওয়া যায় যা নির্দিষ্ট বৈষম্য পূরণের সম্ভাবনা প্রকাশ করে, যার মধ্যে আমাদের আগ্রহের অনুমান অন্তর্ভুক্ত থাকে ক.মূল্যায়ন বন্টন আইন কভি সাধারণ ক্ষেত্রেঅজানা পরিমাণ পরামিতি উপর নির্ভর করে এক্স.যাইহোক, কখনও কখনও একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল থেকে অসমতা পাস করা সম্ভব কপর্যবেক্ষিত মানগুলির কিছু অন্য ফাংশনে X p X 2, ..., এক্স পি.যার বন্টন আইন অজানা পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে না, তবে শুধুমাত্র পরীক্ষার সংখ্যা এবং পরিমাণের বন্টন আইনের ধরণের উপর নির্ভর করে এক্স.এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবল গাণিতিক পরিসংখ্যানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে; তারা পরিমাণের একটি স্বাভাবিক বন্টন ক্ষেত্রে সবচেয়ে বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে এক্স.
উদাহরণস্বরূপ, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে মান একটি স্বাভাবিক বন্টন সঙ্গে এক্সএলোমেলো মান
তথাকথিত মেনে চলে ছাত্র বিতরণ আইনসঙ্গে পৃ- স্বাধীনতার 1 ডিগ্রী; এই আইনের ঘনত্ব ফর্ম আছে
যেখানে G(x) হল পরিচিত গামা ফাংশন:
এটাও প্রমাণিত হয়েছে যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল
এর সাথে একটি "%2 বিতরণ" আছে পৃ- স্বাধীনতার 1 ডিগ্রি (অধ্যায় 7 দেখুন), যার ঘনত্ব সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়
ডিস্ট্রিবিউশন (14.4.2) এবং (14.4.4) এর ডেরিভেশনের উপর চিন্তা না করে, আমরা দেখাব কিভাবে পরামিতিগুলির জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করার সময় এগুলি প্রয়োগ করা যেতে পারে ty ডি.
এটা উত্পাদিত করা যাক পৃএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল উপর স্বাধীন পরীক্ষা এক্স,সাধারণত অজানা পরামিতিগুলির সাথে বিতরণ করা হয় প্রতি.এই পরামিতিগুলির জন্য, অনুমান প্রাপ্ত হয়েছিল
আত্মবিশ্বাসের সম্ভাব্যতা p এর সাথে সম্পর্কিত উভয় প্যারামিটারের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করা প্রয়োজন।
আসুন প্রথমে গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করি। সাপেক্ষে এই ব্যবধানকে প্রতিসম নেওয়া স্বাভাবিক টি; ব্যবধানের অর্ধেক দৈর্ঘ্য নির্দেশ করা যাক। মান s p নির্বাচন করতে হবে যাতে শর্তটি সন্তুষ্ট হয়
চলুন র্যান্ডম ভেরিয়েবল থেকে সমতার (14.4.5) বাম দিকে যাওয়ার চেষ্টা করি টিএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল টি,ছাত্র আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়। এটি করার জন্য, অসমতার উভয় পক্ষকে গুণ করুন |m-w?|
একটি ইতিবাচক মান দ্বারা: 
অথবা, স্বরলিপি ব্যবহার করে (14.4.1),
চলুন এমন একটি সংখ্যা/p বের করি যাতে শর্ত থেকে মান/p পাওয়া যায়
সূত্র (14.4.2) থেকে এটা স্পষ্ট যে (1) - এমনকি ফাংশন, তাই (14.4.8) দেয় 
সমতা (14.4.9) p এর উপর নির্ভর করে মান / p নির্ধারণ করে। যদি আপনার হাতে থাকে অবিচ্ছেদ্য মানগুলির একটি টেবিল
তারপর টেবিলে বিপরীত ইন্টারপোলেশন দ্বারা /p এর মান পাওয়া যাবে। যাইহোক, আগে থেকে /p মানগুলির একটি টেবিল তৈরি করা আরও সুবিধাজনক। এই ধরনের একটি টেবিল পরিশিষ্টে দেওয়া হয়েছে (সারণী 5)। এই টেবিলটি আস্থার স্তর p এবং স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যার উপর নির্ভর করে মানগুলি দেখায় পৃ- 1. টেবিল থেকে নির্ধারণ করা / পি. 5 এবং অনুমান 
আমরা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান/p এর অর্ধেক প্রস্থ এবং ব্যবধান নিজেই খুঁজে পাব
উদাহরণ 1. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের উপর 5টি স্বাধীন পরীক্ষা করা হয়েছিল এক্স,সাধারণত অজানা পরামিতিগুলির সাথে বিতরণ করা হয় টিএবং সম্পর্কে. পরীক্ষার ফলাফল টেবিলে দেওয়া হয়। 14.4.1।
সারণি 14.4.1
রেটিং খুঁজুন টিগাণিতিক প্রত্যাশার জন্য এবং এটির জন্য একটি 90% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান / পি তৈরি করুন (অর্থাৎ, আত্মবিশ্বাসের সম্ভাব্যতার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ ব্যবধান p = 0.9)।
সমাধান।আমাদের আছে:
আবেদনের সারণী 5 অনুযায়ী পি - 1 = 4 এবং p = 0.9 আমরা খুঁজে পাই 
কোথায় 
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হবে
উদাহরণ 2. উপধারা 14.3 এর উদাহরণ 1 এর শর্তের জন্য, মান ধরে নিয়ে এক্সসাধারণত বিতরণ করা হয়, সঠিক আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন।
সমাধান।পরিশিষ্টের সারণী 5 অনুযায়ী আমরা কখন খুঁজে পাই পি - 1 = 19ir =
0.8 / পি = 1.328; এখান থেকে 
উপধারা 14.3 (e p = 0.072) এর উদাহরণ 1 এর সমাধানের সাথে তুলনা করে, আমরা নিশ্চিত যে অমিলটি খুবই নগণ্য। যদি আমরা দ্বিতীয় দশমিক স্থানে নির্ভুলতা বজায় রাখি, তাহলে সঠিক এবং আনুমানিক পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি মিলে যায়:
চলুন ভ্যারিয়েন্সের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরিতে এগিয়ে যাই। নিরপেক্ষ প্রকরণ অনুমানকারী বিবেচনা করুন
এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল প্রকাশ করুন ডিমাত্রার মাধ্যমে ভি(14.4.3), ডিস্ট্রিবিউশন x 2 (14.4.4):
পরিমাণের বণ্টনের আইন জানা ভি,আপনি ব্যবধানটি খুঁজে পেতে পারেন /(1) যেখানে এটি একটি প্রদত্ত সম্ভাব্যতা p সহ পড়ে।
বন্টন আইন kn_x(v) I 7 এর মাত্রা চিত্রে দেখানো ফর্ম আছে। 14.4.1।
ভাত। 14.4.1
প্রশ্ন উঠছে: কীভাবে ব্যবধান / পি নির্বাচন করবেন? যদি বিস্তৃতির বন্টন আইন ভিপ্রতিসম ছিল (স্বাভাবিক আইন বা ছাত্র বন্টনের মত), গাণিতিক প্রত্যাশার সাপেক্ষে ব্যবধান /p সিমেট্রিক নেওয়া স্বাভাবিক। এ ক্ষেত্রে আইন k p_x (v)অপ্রতিসম আসুন আমরা ব্যবধান /p বেছে নিতে সম্মত হই যাতে মানের হওয়ার সম্ভাবনা থাকে ভিব্যবধান অতিক্রম করে ডান এবং বাম (চিত্র 14.4.1-এ ছায়াযুক্ত এলাকা) একই এবং সমান ছিল
এই বৈশিষ্ট্যের সাথে একটি ব্যবধান /p তৈরি করতে, আমরা টেবিলটি ব্যবহার করি। 4টি অ্যাপ্লিকেশন: এতে সংখ্যা রয়েছে y)যেমন যে
মান জন্য ভি,স্বাধীনতার r ডিগ্রী সহ x 2 -বন্টন থাকা। আমাদের ক্ষেত্রে r = n- 1. এর ঠিক করা যাক r = n- 1 এবং টেবিলের সংশ্লিষ্ট সারিতে খুঁজুন। 4 দুটি অর্থ x 2 -একটি সম্ভাব্যতার সাথে অন্যটি সম্ভাবনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ - সম্ভাব্যতা আসুন আমরা এইগুলি বোঝাই
মান 2 এএবং এক্সএল?ব্যবধান আছে y 2,আপনার বাম সঙ্গে, এবং y~ডান প্রান্ত
এখন আমরা ব্যবধান / p থেকে কাঙ্খিত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান /|, সীমানা D সহ বিচ্ছুরণের জন্য খুঁজে বের করি, এবং D2,যা বিন্দু কভার করে ডিসম্ভাব্যতা p সহ: 
আসুন একটি ব্যবধান তৈরি করি /(, = (?> ь А) যা বিন্দুটিকে কভার করে ডিযদি এবং শুধুমাত্র যদি মান ভিব্যবধানে পড়ে সেই ব্যবধানটা দেখাই
এই শর্ত সন্তুষ্ট। প্রকৃতপক্ষে, বৈষম্য 
অসমতার সমতুল্য
এবং এই অসমতাগুলি সম্ভাব্যতার সাথে সন্তুষ্ট হয় p. এইভাবে, পার্থক্যের জন্য আস্থার ব্যবধান পাওয়া গেছে এবং সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে (14.4.13)।
উদাহরণ 3. উপধারা 14.3 এর উদাহরণ 2 এর শর্তে বৈচিত্রের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন, যদি এটি জানা যায় যে মান এক্সসাধারণভাবে বন্টনকৃত.
সমাধান।আমাদের আছে 
. পরিশিষ্টের টেবিল 4 অনুযায়ী
আমরা খুঁজে r = n - 1 = 19
সূত্র ব্যবহার করে (14.4.13) আমরা ভেরিয়েন্সের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজে পাই 
মানক বিচ্যুতির জন্য সংশ্লিষ্ট ব্যবধান হল (0.21; 0.32)। এই ব্যবধানটি আনুমানিক পদ্ধতি ব্যবহার করে উপধারা 14.3-এর উদাহরণ 2-তে প্রাপ্ত ব্যবধান (0.21; 0.29) থেকে কিছুটা বেশি।
- চিত্র 14.3.1 ক সম্পর্কে একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান প্রতিসম বিবেচনা করে। সাধারণভাবে, আমরা পরে দেখব, এটি প্রয়োজনীয় নয়।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের অনুমান
শিক্ষার উদ্দেশ্য
পরিসংখ্যান নিম্নলিখিত বিবেচনা করুন দুটি প্রধান কাজ:
নমুনা ডেটার উপর ভিত্তি করে আমাদের কিছু অনুমান আছে এবং আমরা আনুমানিক প্যারামিটারের প্রকৃত মান কোথায় রয়েছে সে সম্পর্কে কিছু সম্ভাব্য বিবৃতি দিতে চাই।
আমাদের একটি নির্দিষ্ট অনুমান আছে যা নমুনা ডেটা ব্যবহার করে পরীক্ষা করা দরকার।
এই বিষয়ে আমরা প্রথম কাজ বিবেচনা. আসুন আমরা একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সংজ্ঞাও প্রবর্তন করি।
একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হল একটি ব্যবধান যা একটি প্যারামিটারের আনুমানিক মানকে ঘিরে তৈরি করা হয় এবং দেখায় যে আনুমানিক পরামিতির প্রকৃত মান একটি অগ্রাধিকার নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে কোথায় অবস্থিত।
এই বিষয়ে উপাদান অধ্যয়ন করার পরে, আপনি:
একটি অনুমানের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান কি তা শিখুন;
পরিসংখ্যানগত সমস্যা শ্রেণীবদ্ধ করতে শিখুন;
পরিসংখ্যানগত সূত্র এবং সফ্টওয়্যার সরঞ্জাম ব্যবহার করে উভয়ই আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরির কৌশল আয়ত্ত করুন;
পরিসংখ্যানগত অনুমানের নির্ভুলতার নির্দিষ্ট পরামিতি অর্জনের জন্য প্রয়োজনীয় নমুনার আকার নির্ধারণ করতে শিখুন।
নমুনা বৈশিষ্ট্য বিতরণ
টি-বন্টন
উপরে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন স্ট্যান্ডার্ডাইজডের কাছাকাছি স্বাভাবিক বন্টনপরামিতি 0 এবং 1 সহ। যেহেতু আমরা σ এর মান জানি না, তাই আমরা এটিকে s এর কিছু অনুমান দিয়ে প্রতিস্থাপন করি। পরিমাণ ইতিমধ্যে একটি ভিন্ন বন্টন আছে, যথা বা ছাত্র বিতরণ, যা পরামিতি n -1 (স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা) দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই ডিস্ট্রিবিউশনটি স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশনের কাছাকাছি (বড় n, ডিস্ট্রিবিউশনের কাছাকাছি)।
চিত্রে। 95 
স্বাধীনতার 30 ডিগ্রি সহ ছাত্র বিতরণ উপস্থাপন করা হয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এটি স্বাভাবিক বিতরণের খুব কাছাকাছি।
সাধারণ বন্টন NORMIDIST এবং NORMINV-এর সাথে কাজ করার জন্য ফাংশনগুলির মতো, টি-ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে কাজ করার জন্য ফাংশন রয়েছে - STUDIST (TDIST) এবং স্টুড্রাসোব্র (টিআইএনভি). এই ফাংশনগুলি ব্যবহার করার একটি উদাহরণ STUDRASP.XLS ফাইলে (টেমপ্লেট এবং সমাধান) এবং চিত্রে দেখা যেতে পারে। 96 
.
অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের বিতরণ
আমরা ইতিমধ্যে জানি, গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করার যথার্থতা নির্ধারণ করতে, আমাদের একটি টি-বন্টন প্রয়োজন। অন্যান্য পরামিতি অনুমান করতে, যেমন ভিন্নতা, বিভিন্ন বন্টন প্রয়োজন। তাদের মধ্যে দুটি হল F-বন্টন এবং x 2 -বন্টন.
গড় জন্য আত্মবিশ্বাস ব্যবধান
আস্থা ব্যবধান- এটি একটি ব্যবধান যা প্যারামিটারের আনুমানিক মানের চারপাশে নির্মিত এবং দেখায় যে আনুমানিক পরামিতির প্রকৃত মান একটি অগ্রাধিকার নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে কোথায় অবস্থিত।
গড় মানের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের নির্মাণ ঘটে নিম্নলিখিত উপায়ে:
উদাহরণ
ফাস্ট ফুড রেস্তোরাঁটি একটি নতুন ধরনের স্যান্ডউইচের সাথে তার ভাণ্ডার প্রসারিত করার পরিকল্পনা করেছে। এটির চাহিদা অনুমান করার জন্য, ম্যানেজার এলোমেলোভাবে 40 জন দর্শককে বেছে নেওয়ার পরিকল্পনা করেছেন যারা ইতিমধ্যে এটি চেষ্টা করেছেন এবং তাদের নতুন পণ্যের প্রতি তাদের মনোভাবকে 1 থেকে 10 এর স্কেলে রেট দিতে বলবেন। ম্যানেজার প্রত্যাশিত অনুমান করতে চান পয়েন্টের সংখ্যা যা নতুন পণ্যটি পাবে এবং এই অনুমানের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করবে। এই কিভাবে করবেন? (SANDWICH1.XLS ফাইল দেখুন (টেমপ্লেট এবং সমাধান)।
সমাধান
এই সমস্যা সমাধানের জন্য আপনি ব্যবহার করতে পারেন. ফলাফল চিত্রে উপস্থাপন করা হয়। 97 
.
মোট মূল্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
কখনও কখনও, নমুনা তথ্য ব্যবহার করে, এটা গাণিতিক প্রত্যাশা না অনুমান করা প্রয়োজন, কিন্তু সর্বমোট পরিমাণমান উদাহরণস্বরূপ, একজন নিরীক্ষকের সাথে একটি পরিস্থিতিতে, আগ্রহ হতে পারে গড় অ্যাকাউন্টের আকারের অনুমানে নয়, কিন্তু সমস্ত অ্যাকাউন্টের যোগফল।
যাক N - মোটউপাদান, n হল নমুনার আকার, T 3 হল নমুনার মানগুলির সমষ্টি, T" হল সমগ্র জনসংখ্যার যোগফলের অনুমান, তারপর 
, এবং আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়, যেখানে s হল নমুনার জন্য আদর্শ বিচ্যুতির অনুমান, এবং নমুনার গড়ের অনুমান।
উদাহরণ
ধরা যাক একটি ট্যাক্স এজেন্সি 10,000 করদাতার জন্য মোট ট্যাক্স রিফান্ড অনুমান করতে চায়। করদাতা হয় ফেরত পান বা অতিরিক্ত কর প্রদান করেন। 500 জনের নমুনা আকার অনুমান করে, ফেরতের পরিমাণের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন (অ্যামাউন্ট অফ REFUND.XLS ফাইলটি দেখুন (টেমপ্লেট এবং সমাধান)।
সমাধান
StatPro এই ক্ষেত্রে একটি বিশেষ পদ্ধতি নেই, তবে, এটি লক্ষ করা যেতে পারে যে উপরের সূত্রগুলির উপর ভিত্তি করে গড়ের জন্য সীমানাগুলি থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে (চিত্র 98 
).
অনুপাতের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
p কে ক্লায়েন্টদের ভাগের গাণিতিক প্রত্যাশা করা যাক এবং p b কে আকার n এর নমুনা থেকে প্রাপ্ত এই ভাগের অনুমান হতে দিন। এটা যথেষ্ট বড় জন্য দেখানো হতে পারে 
গাণিতিক প্রত্যাশা p এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ মূল্যায়ন বন্টন স্বাভাবিকের কাছাকাছি হবে 
. এই ক্ষেত্রে অনুমানের মান ত্রুটি হিসাবে প্রকাশ করা হয় 
, এবং আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হল 
.
উদাহরণ
ফাস্ট ফুড রেস্তোরাঁটি একটি নতুন ধরনের স্যান্ডউইচের সাথে তার ভাণ্ডার প্রসারিত করার পরিকল্পনা করেছে। এটির চাহিদা মূল্যায়ন করার জন্য, ম্যানেজার এলোমেলোভাবে 40 জন দর্শককে নির্বাচন করেছেন যারা ইতিমধ্যে এটি চেষ্টা করেছেন এবং তাদের নতুন পণ্যের প্রতি তাদের মনোভাব 1 থেকে 10 এর স্কেলে রেট দিতে বলেছেন। ম্যানেজার প্রত্যাশিত অনুপাত অনুমান করতে চান গ্রাহকরা যারা নতুন পণ্যকে কমপক্ষে 6 পয়েন্টের বেশি রেট দেয় (তিনি আশা করেন যে এই গ্রাহকরা নতুন পণ্যের গ্রাহক হবেন)।
সমাধান
প্রাথমিকভাবে, ক্লায়েন্টের রেটিং 6 পয়েন্টের বেশি হলে এবং অন্যথায় 0 হলে অ্যাট্রিবিউট 1-এর উপর ভিত্তি করে আমরা একটি নতুন কলাম তৈরি করি (SANDWICH2.XLS ফাইল দেখুন (টেমপ্লেট এবং সমাধান)।
পদ্ধতি 1
1 এর সংখ্যা গণনা করে, আমরা ভাগ অনুমান করি এবং তারপর সূত্রগুলি ব্যবহার করি।
zcr মান বিশেষ সাধারণ বন্টন টেবিল থেকে নেওয়া হয় (উদাহরণস্বরূপ, 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য 1.96)।
একটি 95% ব্যবধান তৈরি করতে এই পদ্ধতি এবং নির্দিষ্ট ডেটা ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি পাই (চিত্র 99 
). সমালোচনামূলক মানপ্যারামিটার z cr 1.96 এর সমান। অনুমানের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি হল 0.077। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের নিম্ন সীমা হল 0.475। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের উপরের সীমা হল 0.775। এইভাবে, পরিচালকের 95% আত্মবিশ্বাসের সাথে বিশ্বাস করার অধিকার রয়েছে যে গ্রাহকদের শতাংশ যারা নতুন পণ্যকে 6 পয়েন্ট বা তার বেশি রেট দেয় তাদের শতাংশ 47.5 থেকে 77.5 এর মধ্যে হবে।
পদ্ধতি 2
স্ট্যান্ডার্ড স্ট্যাটপ্রো টুল ব্যবহার করে এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, এটি লক্ষ করা যথেষ্ট যে এই ক্ষেত্রে ভাগটি টাইপ কলামের গড় মানের সাথে মিলে যায়। পরবর্তী আমরা আবেদন StatPro/পরিসংখ্যানগত অনুমান/এক-নমুনা বিশ্লেষণটাইপ কলামের জন্য গড় (গাণিতিক প্রত্যাশার অনুমান) একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে। এই ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি 1ম পদ্ধতির (চিত্র 99) ফলাফলের খুব কাছাকাছি হবে।
আদর্শ বিচ্যুতির জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
s মানক বিচ্যুতির অনুমান হিসাবে ব্যবহৃত হয় (সূত্রটি বিভাগ 1 এ দেওয়া হয়েছে)। অনুমান s-এর ঘনত্ব ফাংশন হল চি-স্কয়ার ফাংশন, যা টি-বণ্টনের মতো, স্বাধীনতার n-1 ডিগ্রি রয়েছে। এই বিতরণ CHIDIST এবং CHIINV এর সাথে কাজ করার জন্য বিশেষ ফাংশন রয়েছে।
এই ক্ষেত্রে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান আর প্রতিসম হবে না। একটি প্রচলিত সীমানা চিত্র চিত্রে দেখানো হয়েছে। 100
উদাহরণ
মেশিনটি অবশ্যই 10 সেন্টিমিটার ব্যাস সহ যন্ত্রাংশ তৈরি করতে হবে। যাইহোক, বিভিন্ন পরিস্থিতিতে, ত্রুটি দেখা দেয়। মান নিয়ন্ত্রক দুটি পরিস্থিতিতে উদ্বিগ্ন: প্রথমত, গড় মান 10 সেমি হওয়া উচিত; দ্বিতীয়ত, এমনকি এই ক্ষেত্রেও, যদি বিচ্যুতিগুলি বড় হয়, তবে অনেক অংশ প্রত্যাখ্যান করা হবে। প্রতিদিন তিনি 50টি অংশের একটি নমুনা তৈরি করেন (ফাইল দেখুন কোয়ালিটি কন্ট্রোল.এক্সএলএস (টেমপ্লেট এবং সমাধান)। এই ধরনের নমুনা কী উপসংহার দিতে পারে?
সমাধান
গড় এবং মানক বিচ্যুতি ব্যবহার করে 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করা যাক StatPro/পরিসংখ্যানগত অনুমান/এক-নমুনা বিশ্লেষণ(চিত্র 101 
).
এর পরে, ব্যাসের একটি স্বাভাবিক বন্টনের অনুমান ব্যবহার করে, আমরা ত্রুটিযুক্ত পণ্যগুলির অনুপাত গণনা করি, সর্বাধিক বিচ্যুতি 0.065 সেট করি। প্রতিস্থাপন টেবিলের ক্ষমতা (দুটি পরামিতির ক্ষেত্রে) ব্যবহার করে, আমরা গড় মান এবং মানক বিচ্যুতির (চিত্র 102) উপর ত্রুটিগুলির অনুপাতের নির্ভরতা প্লট করি। 
).
দুটি উপায়ের মধ্যে পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
এটি সবচেয়ে এক গুরুত্বপূর্ণ অ্যাপ্লিকেশনপরিসংখ্যানগত পদ্ধতি. পরিস্থিতির উদাহরণ।
একজন পোশাকের দোকানের ব্যবস্থাপক জানতে চান যে গড় পুরুষ গ্রাহকের তুলনায় গড় মহিলা গ্রাহক দোকানে কত বেশি বা কম খরচ করেন।
দুটি এয়ারলাইন্স একই রুটে উড়ে। একটি ভোক্তা সংস্থা উভয় এয়ারলাইন্সের জন্য গড় প্রত্যাশিত ফ্লাইট বিলম্বের সময়ের মধ্যে পার্থক্য তুলনা করতে চায়।
কোম্পানির জন্য কুপন পাঠায় স্বতন্ত্র প্রজাতিএক শহরে পণ্য এবং অন্য শহরে পাঠায় না। পরিচালকরা আগামী দুই মাসে এই পণ্যগুলির গড় ক্রয়ের পরিমাণের তুলনা করতে চান।
একজন গাড়ি বিক্রেতা প্রায়ই উপস্থাপনায় বিবাহিত দম্পতিদের সাথে ডিল করে। উপস্থাপনায় তাদের ব্যক্তিগত প্রতিক্রিয়া বোঝার জন্য, দম্পতিদের প্রায়ই আলাদাভাবে সাক্ষাৎকার নেওয়া হয়। ম্যানেজার পুরুষ এবং মহিলাদের দ্বারা প্রদত্ত রেটিং মধ্যে পার্থক্য মূল্যায়ন করতে চান.
স্বাধীন নমুনার কেস
উপায়গুলির মধ্যে পার্থক্য n 1 + n 2 - 2 ডিগ্রী স্বাধীনতা সহ একটি টি-বন্টন থাকবে। μ 1 - μ 2 এর আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি সম্পর্ক দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
এই সমস্যাটি শুধুমাত্র উপরের সূত্রগুলি ব্যবহার করেই নয়, স্ট্যান্ডার্ড স্ট্যাটপ্রো টুল ব্যবহার করেও সমাধান করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, এটি ব্যবহার করা যথেষ্ট
অনুপাতের মধ্যে পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
শেয়ারের গাণিতিক প্রত্যাশা হোক। তাদের নমুনা অনুমান করা যাক, যথাক্রমে n 1 এবং n 2 আকারের নমুনা থেকে নির্মিত। তারপর পার্থক্য জন্য একটি অনুমান. অতএব, এই পার্থক্যের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান এভাবে প্রকাশ করা হয়:
এখানে z cr হল বিশেষ টেবিল ব্যবহার করে একটি সাধারণ বন্টন থেকে প্রাপ্ত একটি মান (উদাহরণস্বরূপ, 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য 1.96)।
অনুমানের মানক ত্রুটি এই ক্ষেত্রে সম্পর্ক দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
.
উদাহরণ
দোকান, একটি বড় বিক্রয়ের জন্য প্রস্তুত, নিম্নলিখিত পদক্ষেপ গ্রহণ করেছে: বিপণন গবেষণা. 300 জনকে নির্বাচিত করা হয়েছে সেরা ক্রেতা, যা ঘুরেফিরে এলোমেলোভাবে 150 জন সদস্যের দুটি গ্রুপে বিভক্ত ছিল। সমস্ত নির্বাচিত ক্রেতাদের বিক্রয়ে অংশগ্রহণের জন্য আমন্ত্রণ পাঠানো হয়েছিল, কিন্তু শুধুমাত্র প্রথম গোষ্ঠীর সদস্যরা 5% ডিসকাউন্ট পাওয়ার জন্য একটি কুপন পেয়েছে। বিক্রয়ের সময়, সমস্ত 300 জন নির্বাচিত ক্রেতার ক্রয় রেকর্ড করা হয়েছিল। কিভাবে একজন ম্যানেজার ফলাফল ব্যাখ্যা করতে পারেন এবং কুপনের কার্যকারিতা সম্পর্কে একটি রায় দিতে পারেন? (COUPONS.XLS ফাইল দেখুন (টেমপ্লেট এবং সমাধান))।
সমাধান
আমাদের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, 150 জন গ্রাহকের মধ্যে যারা ডিসকাউন্ট কুপন পেয়েছেন, 55 জন বিক্রয়ের উপর একটি ক্রয় করেছেন এবং 150 জনের মধ্যে যারা একটি কুপন পাননি, শুধুমাত্র 35 জন ক্রয় করেছেন (চিত্র 103) 
) তারপর নমুনা অনুপাতের মান যথাক্রমে 0.3667 এবং 0.2333। এবং তাদের মধ্যে নমুনা পার্থক্য যথাক্রমে 0.1333 এর সমান। একটি 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ধরে নিলাম, আমরা সাধারণ বন্টন টেবিল z cr = 1.96 থেকে খুঁজে পাই। নমুনা পার্থক্যের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির গণনা হল 0.0524। আমরা অবশেষে দেখতে পাই যে 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের নিম্ন সীমা হল 0.0307, এবং সর্বোচ্চ সীমাযথাক্রমে 0.2359। প্রাপ্ত ফলাফলগুলিকে এমনভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে প্রতি 100 জন গ্রাহকের জন্য যারা ডিসকাউন্ট কুপন পেয়েছেন, আমরা 3 থেকে 23 জন নতুন গ্রাহকের কাছ থেকে আশা করতে পারি। যাইহোক, আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে এই উপসংহারটি নিজেই কুপন ব্যবহারের কার্যকারিতা বোঝায় না (যেহেতু ডিসকাউন্ট প্রদান করে, আমরা লাভ হারাবো!) আসুন নির্দিষ্ট ডেটা দিয়ে এটি প্রদর্শন করি। এর ভান করা যাক গড় আকারক্রয় 400 রুবেলের সমান, যার মধ্যে 50 রুবেল। দোকানের জন্য একটি লাভ আছে. তারপর 100 জন গ্রাহক যারা কুপন পাননি তাদের প্রত্যাশিত লাভ হল:
50 0.2333 100 = 1166.50 ঘষা।
100 জন গ্রাহকের জন্য অনুরূপ গণনা যারা একটি কুপন পেয়েছেন:
30 0.3667 100 = 1100.10 ঘষা।
গড় মুনাফা 30-এ হ্রাস এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে, ডিসকাউন্ট ব্যবহার করে, যে গ্রাহকরা কুপন পেয়েছেন তারা গড়ে 380 রুবেলের জন্য একটি ক্রয় করবেন।
সুতরাং, চূড়ান্ত উপসংহার এই বিশেষ পরিস্থিতিতে এই জাতীয় কুপন ব্যবহার করার অকার্যকরতা নির্দেশ করে।
মন্তব্য করুন। স্ট্যান্ডার্ড স্ট্যাটপ্রো টুল ব্যবহার করে এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, এটি কমাতে যথেষ্ট এই কাজটিপদ্ধতিটি ব্যবহার করে দুটি গড় মধ্যে পার্থক্য অনুমান করার সমস্যা, এবং তারপর প্রয়োগ করুন StatPro/পরিসংখ্যানগত অনুমান/দুই-নমুনা বিশ্লেষণদুটি গড় মানের মধ্যে পার্থক্যের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের দৈর্ঘ্য নিয়ন্ত্রণ করা
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের দৈর্ঘ্য নির্ভর করে নিম্নলিখিত শর্তাবলী :
তথ্য সরাসরি (মান বিচ্যুতি);
তাত্পর্য স্তর;
সাধারন মাপ.
গড় অনুমান করার জন্য নমুনার আকার
প্রথমত, সাধারণ ক্ষেত্রে সমস্যাটি বিবেচনা করা যাক। আমাদের দেওয়া আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের অর্ধেক দৈর্ঘ্যের মানকে বি হিসাবে চিহ্নিত করা যাক (চিত্র 104) 
) আমরা জানি যে কিছু র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর গড় মানের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হিসাবে প্রকাশ করা হয় 
, কোথায় 
. বিশ্বাসী:
এবং n প্রকাশ করলে আমরা পাই।
দুর্ভাগ্যবশত, প্রকৃত মূল্যআমরা এলোমেলো চলক X এর প্রকরণ জানি না। উপরন্তু, আমরা tcr-এর মান জানি না, যেহেতু এটি স্বাধীনতার ডিগ্রি সংখ্যার মাধ্যমে n-এর উপর নির্ভর করে। এই পরিস্থিতিতে, আমরা নিম্নলিখিতগুলি করতে পারি। ভ্যারিয়েন্সের পরিবর্তে, আমরা অধ্যয়নের অধীনে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যে কোনো উপলব্ধ বাস্তবায়নের উপর ভিত্তি করে প্রকরণের কিছু অনুমান ব্যবহার করি। t cr মানের পরিবর্তে, আমরা স্বাভাবিক বন্টনের জন্য z cr মান ব্যবহার করি। এটি বেশ গ্রহণযোগ্য, যেহেতু স্বাভাবিক এবং টি-বন্টনের জন্য বন্টন ঘনত্ব ফাংশনগুলি খুব কাছাকাছি (ছোট n এর ক্ষেত্রে বাদে)। সুতরাং, প্রয়োজনীয় সূত্রটি ফর্ম নেয়:
.
যেহেতু সূত্রটি সাধারণভাবে বলতে গেলে, অ-পূর্ণসংখ্যার ফলাফল দেয়, তাই ফলাফলের অতিরিক্ত সহ বৃত্তাকারকে পছন্দসই নমুনার আকার হিসাবে নেওয়া হয়।
উদাহরণ
ফাস্ট ফুড রেস্তোরাঁটি একটি নতুন ধরনের স্যান্ডউইচের সাথে তার ভাণ্ডার প্রসারিত করার পরিকল্পনা করেছে। এটির চাহিদা মূল্যায়ন করার জন্য, ম্যানেজার এলোমেলোভাবে যারা ইতিমধ্যে এটি চেষ্টা করেছেন তাদের মধ্য থেকে বেশ কয়েকটি দর্শক নির্বাচন করার পরিকল্পনা করেছেন এবং তাদের নতুন পণ্যের প্রতি তাদের মনোভাব 1 থেকে 10 এর স্কেলে রেট দিতে বলবেন। ম্যানেজার অনুমান করতে চান প্রত্যাশিত সংখ্যক পয়েন্ট যা নতুন পণ্যটি পণ্য গ্রহণ করবে এবং এই অনুমানের জন্য একটি 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করবে। একই সময়ে, তিনি চান আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের অর্ধ-প্রস্থ যেন 0.3-এর বেশি না হয়। কত দর্শক তার সাক্ষাৎকার প্রয়োজন?
নিম্নরূপ:
এখানে r otsঅনুপাত p এর একটি অনুমান, এবং B হল আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের অর্ধেক দৈর্ঘ্য। মান ব্যবহার করে n-এর জন্য একটি অতিমূল্যায়ন করা যেতে পারে r ots= 0.5। এই ক্ষেত্রে, আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের দৈর্ঘ্য p-এর কোনো সত্য মানের জন্য নির্দিষ্ট মান B-এর বেশি হবে না।
উদাহরণ
পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে পরিচালককে একটি নতুন ধরনের পণ্য পছন্দকারী গ্রাহকদের ভাগ অনুমান করার পরিকল্পনা করতে দিন। তিনি একটি 90% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে চান যার অর্ধেক দৈর্ঘ্য 0.05 এর বেশি হবে না। এলোমেলো নমুনায় কতজন ক্লায়েন্ট অন্তর্ভুক্ত করা উচিত?
সমাধান
আমাদের ক্ষেত্রে, z cr = 1.645 এর মান। অতএব, প্রয়োজনীয় পরিমাণ হিসাবে গণনা করা হয় 
.
যদি ম্যানেজারের বিশ্বাস করার কারণ থাকে যে পছন্দসই p-মানটি ছিল, উদাহরণস্বরূপ, আনুমানিক 0.3, তাহলে এই মানটিকে উপরের সূত্রে প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি ছোট এলোমেলো নমুনা মান পেতে পারি, যথা 228৷
নির্ণয়ের জন্য সূত্র দুটি উপায়ের মধ্যে পার্থক্যের ক্ষেত্রে এলোমেলো নমুনার আকারহিসাবে লিখিত:
.
উদাহরণ
কিছু কম্পিউটার কোম্পানির একটি গ্রাহক সেবা কেন্দ্র আছে। ভিতরে সম্প্রতিসেবার নিম্নমানের বিষয়ে গ্রাহকের অভিযোগের সংখ্যা বেড়েছে। ভিতরে সেবা কেন্দ্রপ্রধানত দুই ধরনের কর্মচারী রয়েছে: যাদের খুব বেশি অভিজ্ঞতা নেই, কিন্তু বিশেষ প্রস্তুতিমূলক কোর্স সম্পন্ন করেছেন, এবং যাদের ব্যাপক বাস্তব অভিজ্ঞতা রয়েছে, কিন্তু বিশেষ কোর্স সম্পন্ন করেননি। কোম্পানিটি গত ছয় মাসে গ্রাহকের অভিযোগ বিশ্লেষণ করতে চায় এবং কর্মচারীদের দুটি গ্রুপের প্রত্যেকের অভিযোগের গড় সংখ্যার তুলনা করতে চায়। ধারণা করা হচ্ছে উভয় গ্রুপের নমুনার সংখ্যা একই হবে। 95% ব্যবধান পেতে নমুনায় কতজন কর্মচারীকে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে যার অর্ধেক দৈর্ঘ্য 2 এর বেশি নয়?
সমাধান
এখানে σ ots হল উভয় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আদর্শ বিচ্যুতির একটি অনুমান এই ধারণার অধীনে যে তারা কাছাকাছি। সুতরাং, আমাদের সমস্যায় আমাদের এই অনুমানটি একরকম প্রাপ্ত করতে হবে। এটি করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নরূপ। গত ছয় মাসে গ্রাহকের অভিযোগের ডেটা দেখে একজন ম্যানেজার লক্ষ্য করতে পারেন যে প্রতিটি কর্মচারী সাধারণত 6 থেকে 36টি অভিযোগ পান। এটা জেনে যে একটি স্বাভাবিক বন্টনের জন্য প্রায় সব মানই গড় থেকে তিন গুণের বেশি সরানো হয় না প্রমিত বিচ্যুতি, তিনি যুক্তিসঙ্গতভাবে বিশ্বাস করতে পারেন যে:
, যেখান থেকে σ ots = 5।
সূত্রে এই মান প্রতিস্থাপন, আমরা পেতে 
.
নির্ণয়ের জন্য সূত্র অনুপাতের মধ্যে পার্থক্য অনুমান করার ক্ষেত্রে এলোমেলো নমুনার আকারফর্ম আছে:
উদাহরণ
কিছু কোম্পানির অনুরূপ পণ্য উত্পাদন দুটি কারখানা আছে. একজন কোম্পানির ব্যবস্থাপক উভয় কারখানায় ত্রুটিপূর্ণ পণ্যের শতাংশের তুলনা করতে চান। প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, উভয় কারখানায় ত্রুটির হার 3 থেকে 5% পর্যন্ত। এটি 0.005 (বা 0.5%) এর অর্ধ দৈর্ঘ্যের সাথে একটি 99% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করার উদ্দেশ্যে। প্রতিটি কারখানা থেকে কয়টি পণ্য নির্বাচন করতে হবে?
সমাধান
এখানে p 1ots এবং p 2ots হল 1ম এবং 2য় কারখানার ত্রুটির দুটি অজানা শেয়ারের অনুমান। যদি আমরা p 1ots = p 2ots = 0.5 রাখি, তাহলে আমরা n-এর জন্য একটি অতিমূল্যায়িত মান পাব। কিন্তু যেহেতু আমাদের ক্ষেত্রে এই শেয়ারগুলি সম্পর্কে আমাদের কাছে কিছু অগ্রাধিকার তথ্য রয়েছে, তাই আমরা এই শেয়ারগুলির ঊর্ধ্ব অনুমান গ্রহণ করি, যথা 0.05৷ আমরা পেতে
নমুনা তথ্য থেকে কিছু জনসংখ্যার পরামিতি অনুমান করার সময়, এটি শুধুমাত্র দেওয়া দরকারী পয়েন্ট অনুমানপ্যারামিটার, তবে একটি আস্থার ব্যবধানও নির্দেশ করে যা দেখায় যে আনুমানিক পরামিতির সঠিক মান কোথায় থাকতে পারে।
এই অধ্যায়ে, আমরা পরিমাণগত সম্পর্কের সাথেও পরিচিত হয়েছি যা আমাদের বিভিন্ন পরামিতির জন্য এই ধরনের ব্যবধান তৈরি করতে দেয়; আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের দৈর্ঘ্য নিয়ন্ত্রণ করার উপায় শিখেছি।
এছাড়াও নোট করুন যে নমুনার আকার অনুমান করার সমস্যা (একটি পরীক্ষার পরিকল্পনা করার সমস্যা) স্ট্যান্ডার্ড স্ট্যাটপ্রো টুল ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে, যথা StatPro/পরিসংখ্যানগত অনুমান/নমুনা আকার নির্বাচন.
"ক্যাট্রেন-স্টাইল" কনস্ট্যান্টিন ক্রাভচিকের চক্রের প্রকাশনা চালিয়ে যাচ্ছে চিকিৎসা পরিসংখ্যান. পূর্ববর্তী দুটি নিবন্ধে, লেখক ধারণার ব্যাখ্যা নিয়ে কাজ করেছেন যেমন এবং।
কনস্ট্যান্টিন ক্রাভচিক
গণিতবিদ-বিশ্লেষক। ক্ষেত্রে বিশেষজ্ঞ পরিসংখ্যান গবেষণাচিকিৎসা এবং মানবিক ক্ষেত্রে
মস্কো শহর
খুব প্রায়ই নিবন্ধে ক্লিনিকাল গবেষণাআপনি একটি রহস্যময় বাক্যাংশ জুড়ে আসতে পারেন: "আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান" (95% CI বা 95% CI - আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান)। উদাহরণস্বরূপ, নিবন্ধটি লিখতে পারে: “পার্থক্যের তাৎপর্য মূল্যায়ন করতে, আমরা ব্যবহার করেছি ছাত্রদের টি-পরীক্ষা 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের গণনার সাথে।"
"95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান" এর মান কী এবং কেন এটি গণনা করবেন?
একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান কি? - এটি সেই পরিসর যার মধ্যে সত্যিকারের জনসংখ্যা মানে মিথ্যা। "অসত্য" গড় আছে? এক অর্থে, হ্যাঁ, তারা করে। আমরা ব্যাখ্যা করেছি যে সমগ্র জনসংখ্যার আগ্রহের প্যারামিটার পরিমাপ করা অসম্ভব, তাই গবেষকরা সীমিত নমুনা নিয়ে সন্তুষ্ট। এই নমুনায় (উদাহরণস্বরূপ, শরীরের ওজনের উপর ভিত্তি করে) একটি গড় মান (একটি নির্দিষ্ট ওজন), যার দ্বারা আমরা সমগ্র জনসংখ্যার গড় মান বিচার করি। যাইহোক, এটি অসম্ভাব্য যে একটি নমুনার গড় ওজন (বিশেষ করে একটি ছোট) সাধারণ জনসংখ্যার গড় ওজনের সাথে মিলে যাবে। অতএব, জনসংখ্যার গড় মানগুলির পরিসর গণনা করা এবং ব্যবহার করা আরও সঠিক।
উদাহরণস্বরূপ, কল্পনা করুন যে হিমোগ্লোবিনের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান (95% CI) হল 110 থেকে 122 g/L। এর মানে হল যে জনসংখ্যার প্রকৃত গড় হিমোগ্লোবিনের মান 110 এবং 122 g/L এর মধ্যে হবে এমন একটি 95% সম্ভাবনা রয়েছে। অন্য কথায়, আমরা জানি না গড়সাধারণ জনসংখ্যার হিমোগ্লোবিন, কিন্তু আমরা 95% সম্ভাবনা সহ এই বৈশিষ্ট্যের জন্য মানগুলির একটি পরিসীমা নির্দেশ করতে পারি।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক হয় গোষ্ঠীর মধ্যে অর্থের পার্থক্যের জন্য, বা প্রভাবের আকারগুলিকে বলা হয়।
ধরা যাক আমরা দুটি লোহার প্রস্তুতির কার্যকারিতা তুলনা করি: একটি যা দীর্ঘদিন ধরে বাজারে রয়েছে এবং একটি যা সবেমাত্র নিবন্ধিত হয়েছে। থেরাপির কোর্সের পরে, আমরা রোগীদের অধ্যয়ন করা গোষ্ঠীতে হিমোগ্লোবিনের ঘনত্ব মূল্যায়ন করেছি, এবং পরিসংখ্যান প্রোগ্রামটি গণনা করেছে যে দুটি গ্রুপের গড় মানগুলির মধ্যে পার্থক্য ছিল, 95% সম্ভাবনা সহ, 1.72 থেকে 14.36 g/l (সারণী 1)।
টেবিল 1. স্বাধীন নমুনার জন্য পরীক্ষা
(গোষ্ঠীগুলি হিমোগ্লোবিনের স্তরের সাথে তুলনা করা হয়)
এটি নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা উচিত: সাধারণ জনসংখ্যার কিছু রোগী যারা গ্রহণ করেন নতুন ওষুধ, হিমোগ্লোবিন গড়ে 1.72-14.36 g/l বেশি হবে যারা আগে থেকেই পরিচিত ওষুধ খেয়েছেন তাদের তুলনায়।
অন্য কথায়, সাধারণ জনসংখ্যার মধ্যে, গ্রুপগুলির মধ্যে গড় হিমোগ্লোবিনের মানগুলির পার্থক্য 95% সম্ভাবনা সহ এই সীমার মধ্যে রয়েছে। এটি অনেক বা সামান্য কিনা তা গবেষকের উপর নির্ভর করবে। এই সবের বিন্দু হল যে আমরা একটি গড় মান নিয়ে কাজ করছি না, কিন্তু বিভিন্ন মানের সাথে কাজ করছি, তাই, আমরা আরও নির্ভরযোগ্যভাবে গ্রুপগুলির মধ্যে একটি প্যারামিটারের পার্থক্য অনুমান করি।
পরিসংখ্যানগত প্যাকেজগুলিতে, গবেষকের বিবেচনার ভিত্তিতে, আপনি স্বাধীনভাবে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সীমানা সংকীর্ণ বা প্রসারিত করতে পারেন। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সম্ভাবনা কমিয়ে, আমরা উপায়ের পরিসর সংকুচিত করি। উদাহরণস্বরূপ, 90% CI-এ উপায়ের পরিসর (অথবা উপায়ে পার্থক্য) 95% এর চেয়ে সংকীর্ণ হবে।
বিপরীতভাবে, সম্ভাব্যতা 99%-এ বৃদ্ধি করা মানগুলির পরিসরকে প্রসারিত করে। গ্রুপ তুলনা করার সময়, CI এর নিম্ন সীমা শূন্য চিহ্ন অতিক্রম করতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, যদি আমরা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সীমানা 99-%-এ প্রসারিত করি, তাহলে ব্যবধানের সীমা -1 থেকে 16 g/l পর্যন্ত হয়৷ এর মানে হল যে সাধারণ জনসংখ্যার মধ্যে গোষ্ঠী রয়েছে, যার মধ্যে পার্থক্য অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের জন্য 0 (M = 0) এর সমান।
একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ব্যবহার করে, আপনি পরীক্ষা করতে পারেন পরিসংখ্যানগত অনুমান. যদি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান শূন্য মান অতিক্রম করে, তাহলে শূন্য অনুমান, যা অনুমান করে যে গোষ্ঠীগুলি অধ্যয়ন করা প্যারামিটারে ভিন্ন নয়, তা সত্য। উদাহরণটি উপরে বর্ণিত হয়েছে যেখানে আমরা সীমানা 99% এ প্রসারিত করেছি। সাধারণ জনসংখ্যার কোথাও আমরা এমন গোষ্ঠী খুঁজে পেয়েছি যেগুলি কোনওভাবেই আলাদা ছিল না।
হিমোগ্লোবিনের পার্থক্যের 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান, (g/l)
চিত্রটি দুটি গ্রুপের মধ্যে গড় হিমোগ্লোবিনের মানের পার্থক্যের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান দেখায়। লাইনটি শূন্য চিহ্নের মধ্য দিয়ে যায়, তাই শূন্যের উপায়গুলির মধ্যে একটি পার্থক্য রয়েছে, যা শূন্য অনুমানকে নিশ্চিত করে যে গ্রুপগুলি আলাদা নয়। গ্রুপের মধ্যে পার্থক্যের পরিসর হল –2 থেকে 5 g/L। এর মানে হল যে হিমোগ্লোবিন হয় 2 g/L কমতে পারে অথবা 5 g/L বাড়াতে পারে।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুব গুরুত্বপূর্ণ সূচক. এটির জন্য ধন্যবাদ, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে দলগুলির মধ্যে পার্থক্যগুলি আসলেই উপায়ের পার্থক্যের কারণে বা একটি বড় নমুনার কারণে ছিল, যেহেতু একটি বড় নমুনার সাথে পার্থক্য খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা একটি ছোটটির চেয়ে বেশি।
অনুশীলনে এটি এইরকম দেখতে পারে। আমরা 1000 জনের একটি নমুনা নিয়েছি, হিমোগ্লোবিনের মাত্রা পরিমাপ করেছি এবং দেখেছি যে অর্থের মধ্যে পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 1.2 থেকে 1.5 গ্রাম/লির পর্যন্ত। এই ক্ষেত্রে পরিসংখ্যানগত গুরুত্বের স্তর পি
আমরা দেখতে পাই যে হিমোগ্লোবিনের ঘনত্ব বেড়েছে, কিন্তু প্রায় অজ্ঞাতভাবে, তাই, পরিসংখ্যানিক গুরুত্বনমুনা আকারের কারণে অবিকল হাজির।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান শুধুমাত্র উপায়ের জন্য নয়, অনুপাতের (এবং ঝুঁকির অনুপাত) জন্যও গণনা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা রোগীদের অনুপাতের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে আগ্রহী যারা একটি উন্নত ওষুধ গ্রহণ করার সময় ক্ষমা অর্জন করেছে। আসুন আমরা ধরে নিই যে অনুপাতের জন্য 95% CI, অর্থাৎ, এই ধরনের রোগীদের অনুপাতের জন্য, 0.60-0.80 এর মধ্যে রয়েছে। সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে আমাদের ওষুধ রয়েছে থেরাপিউটিক প্রভাব 60 থেকে 80% ক্ষেত্রে।
ধরুন আমাদের কাছে কিছু বৈশিষ্ট্যের স্বাভাবিক বিতরণ সহ প্রচুর সংখ্যক আইটেম রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, একই ধরণের সবজির একটি সম্পূর্ণ গুদাম, যার আকার এবং ওজন পরিবর্তিত হয়)। আপনি পণ্যের সমগ্র ব্যাচের গড় বৈশিষ্ট্য জানতে চান, কিন্তু প্রতিটি সবজি পরিমাপ এবং ওজন করার সময় বা ইচ্ছা আপনার নেই। আপনি বুঝতে পারেন যে এটি প্রয়োজনীয় নয়। কিন্তু স্পট চেকের জন্য কত টুকরা নিতে হবে?
এই পরিস্থিতির জন্য দরকারী বেশ কয়েকটি সূত্র দেওয়ার আগে, আসুন কিছু স্বরলিপি স্মরণ করি।
প্রথমত, আমরা যদি সবজির সম্পূর্ণ গুদাম পরিমাপ করি (উপাদানের এই সেটটিকে সাধারণ জনসংখ্যা বলা হয়), তাহলে আমরা পুরো ব্যাচের গড় ওজন আমাদের কাছে উপলব্ধ সমস্ত নির্ভুলতার সাথে জানতে পারব। আসুন এই গড় কল X গড় .g en . - সাধারণ গড়. আমরা ইতিমধ্যে জানি যে এর গড় মান এবং বিচ্যুতিগুলি জানা থাকলে কী সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয় . সত্য, যদিও আমরা X গড় জেনারে নই s আমরা সাধারণ মানুষ জানি না। আমরা শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট নমুনা নিতে পারি, আমাদের প্রয়োজনীয় মানগুলি পরিমাপ করতে পারি এবং এই নমুনার গড় মান X গড় এবং আদর্শ বিচ্যুতি S নির্বাচন উভয়ের জন্যই গণনা করতে পারি।
এটা জানা যায় যে যদি আমাদের নমুনা পরীক্ষায় প্রচুর পরিমাণে উপাদান থাকে (সাধারণত n 30-এর বেশি) এবং সেগুলি নেওয়া হয় সত্যিই এলোমেলো, তারপর s সাধারণ জনসংখ্যা S নির্বাচন থেকে খুব কমই আলাদা হবে ..
উপরন্তু, স্বাভাবিক বিতরণের ক্ষেত্রে আমরা নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারি:
95% এর সম্ভাবনা সহ
99% এর সম্ভাবনা সহ
ভিতরে সাধারণ দৃষ্টিকোণসম্ভাব্যতা সহ P(t)
t মান এবং সম্ভাব্যতা মানের মধ্যে সম্পর্ক P (t), যার সাথে আমরা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান জানতে চাই, নিম্নলিখিত টেবিল থেকে নেওয়া যেতে পারে:
এইভাবে, আমরা নির্ধারণ করেছি কোন পরিসরে জনসংখ্যার গড় মান রয়েছে (প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে)।
আমাদের কাছে যথেষ্ট বড় নমুনা না থাকলে আমরা তা বলতে পারি না জনসংখ্যাআছে s = এস সিলেক্ট করুন উপরন্তু, এই ক্ষেত্রে নমুনার স্বাভাবিক বিতরণের ঘনিষ্ঠতা সমস্যাযুক্ত। এই ক্ষেত্রে, আমরা পরিবর্তে S নির্বাচন ব্যবহার করিসূত্রে s:
কিন্তু একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার জন্য t-এর মান P(t) নমুনা n-এর উপাদানগুলির সংখ্যার উপর নির্ভর করবে। n যত বড় হবে, ফলে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তত বেশি হবে সূত্র (1) দ্বারা প্রদত্ত মানের। এই ক্ষেত্রে টি মানগুলি অন্য টেবিল থেকে নেওয়া হয়েছে (ছাত্রের টি-পরীক্ষা), যা আমরা নীচে উপস্থাপন করছি:
সম্ভাব্যতা 0.95 এবং 0.99 এর জন্য শিক্ষার্থীর টি-পরীক্ষার মান
উদাহরণ 3.কোম্পানির কর্মচারীদের মধ্য থেকে 30 জনকে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত করা হয়েছিল। নমুনা অনুসারে, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে গড় বেতন (প্রতি মাসে) 30 হাজার রুবেল 5 হাজার রুবেলের একটি আদর্শ বিচ্যুতি সহ। 0.99 এর সম্ভাব্যতা সহ কোম্পানিতে গড় বেতন নির্ধারণ করুন।
সমাধান:শর্ত অনুসারে আমাদের আছে n = 30, X গড়। =30000, S=5000, P = 0.99। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজে পেতে, আমরা শিক্ষার্থীর টি পরীক্ষার সাথে সম্পর্কিত সূত্রটি ব্যবহার করব। n = 30 এবং P = 0.99 এর টেবিল থেকে আমরা t = 2.756 খুঁজে পাই, তাই,
সেগুলো. চাওয়া-পরে ট্রাস্টিব্যবধান 27484< Х ср.ген
< 32516.
সুতরাং, 0.99 এর সম্ভাব্যতার সাথে আমরা বলতে পারি যে ব্যবধান (27484; 32516) কোম্পানির গড় বেতনের মধ্যেই রয়েছে।
আমরা আশা করি আপনি এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করবেন এবং প্রতিবার আপনার সাথে একটি টেবিল থাকা আবশ্যক নয়। এক্সেল এ স্বয়ংক্রিয়ভাবে গণনা করা যেতে পারে। Excel ফাইলে থাকাকালীন, উপরের মেনুতে fx বোতামে ক্লিক করুন। তারপরে, ফাংশনগুলির মধ্যে "পরিসংখ্যান" টাইপ নির্বাচন করুন এবং উইন্ডোতে প্রস্তাবিত তালিকা থেকে - স্টুডার ডিসকভার। তারপর, প্রম্পটে, কার্সারটিকে "সম্ভাব্যতা" ক্ষেত্রে রেখে, বিপরীত সম্ভাব্যতার মান লিখুন (অর্থাৎ আমাদের ক্ষেত্রে, 0.95 এর সম্ভাব্যতার পরিবর্তে, আপনাকে 0.05 এর সম্ভাব্যতা টাইপ করতে হবে)। দৃশ্যত স্প্রেডশীটএমনভাবে কম্পাইল করা হয়েছে যে ফলাফলটি প্রশ্নটির উত্তর দেয় যে আমরা কোন ভুল করতে পারি। একইভাবে, ডিগ্রি অফ ফ্রিডম ক্ষেত্রে, আপনার নমুনার জন্য একটি মান (n-1) লিখুন।
