ক্রমবর্ধমানব্যবধানে \(X\) যদি কোনো \(x_1, x_2\in X\) যেমন \(x_1) ফাংশন বলা হয় অ-হ্রাস \(\blacktriangleright\) ফাংশন \(f(x)\) বলা হয় হ্রাসব্যবধানে \(X\) যদি কোনো \(x_1, x_2\in X\) যেমন \(x_1) ফাংশন বলা হয় অ বৃদ্ধিব্যবধানে \(X\) যদি কোনো \(x_1, x_2\in X\) যেমন \(x_1) \(\blacktriangleright\) বৃদ্ধি এবং হ্রাস ফাংশন বলা হয় কঠোরভাবে একঘেয়ে, এবং অ-বর্ধিত এবং অ-হ্রাস সহজ একঘেয়ে. \(\blacktriangleright\) মৌলিক বৈশিষ্ট্য: আমিযদি ফাংশন \(f(x)\) কঠোরভাবে \(X\) এ একঘেয়ে হয়, তাহলে সমতা থেকে \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) অনুসরণ করে \(f( x_1)= f(x_2)\), এবং তদ্বিপরীত। উদাহরণ: ফাংশন \(f(x)=\sqrt x\) সকল \(x\in \) এর জন্য কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে, তাই এই ব্যবধানে সমীকরণ \(x^2=9\) সর্বাধিক একটি সমাধান আছে, অথবা বরং একটি: \(x=-3\)। ফাংশন \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) সকল \(x\in (-1;+\infty)\) এর জন্য কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে, তাই সমীকরণ \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) এই ব্যবধানে একটির বেশি সমাধান নেই, বা কোনোটিই নেই, কারণ বাম পাশের লব কখনই শূন্যের সমান হতে পারে না। III.যদি ফাংশন \(f(x)\) সেগমেন্টে অ-হ্রাস (অ-বর্ধিত) এবং ক্রমাগত হয় \(\), এবং সেগমেন্টের শেষে এটি মান নেয় \(f(a)= A, f(b)=B\) , তারপর \(C\in \) (\(C\in \) ) সমীকরণ \(f(x)=C\) এর জন্য সর্বদা অন্তত একটি সমাধান থাকে। উদাহরণ: ফাংশন \(f(x)=x^3\) কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে (অর্থাৎ কঠোরভাবে একঘেয়ে) এবং সকল \(x\in\mathbb(R)\) এর জন্য অবিচ্ছিন্ন, তাই যেকোনো \(C\) এর জন্য in ( -\infty;+\infty)\) সমীকরণ \(x^3=C\) এর ঠিক একটি সমাধান আছে: \(x=\sqrt(C)\)। টাস্ক 1 #3153 টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার চেয়ে সহজ ঠিক দুটি শিকড় আছে। আসুন সমীকরণটি এভাবে আবার লিখি: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]ফাংশনটি বিবেচনা করুন \(f(t)=t^3+t\)। তারপরে সমীকরণটি আকারে পুনরায় লেখা হবে: \ আসুন ফাংশনটি অধ্যয়ন করি \(f(t)\)। \ ফলস্বরূপ, ফাংশন \(f(t)\) সকল \(t\) এর জন্য বৃদ্ধি পায়। এর মানে হল যে ফাংশনের প্রতিটি মান \(f(t)\) আর্গুমেন্টের ঠিক একটি মানের সাথে মিলে যায় \(t\)। অতএব, সমীকরণের শিকড় থাকার জন্য, এটি প্রয়োজনীয়: \
ফলস্বরূপ সমীকরণের দুটি মূল থাকার জন্য, এর বৈষম্য অবশ্যই ইতিবাচক হতে হবে: \
উত্তর: \(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\) টাস্ক 2 #2653 টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন \(a\) যার জন্য সমীকরণ \
দুটি শিকড় আছে। (সাবস্ক্রাইবারদের থেকে কাজ।) আসুন একটি প্রতিস্থাপন করা যাক: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\)। তারপর সমীকরণটি ফর্মটি গ্রহণ করবে: \
ফাংশনটি বিবেচনা করুন \(f(w)=7^w+\sqrtw\)। তাহলে আমাদের সমীকরণটি রূপ নেবে: \ এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক \
মনে রাখবেন যে সকল \(w\ne 0\) এর জন্য ডেরিভেটিভ হল \(f"(w)>0\), যেহেতু \(7^w>0\), \(w^6>0\)। এছাড়াও নোট করুন যে ফাংশন \(f(w)\) নিজেই সকল \(w\) এর জন্য সংজ্ঞায়িত। যেহেতু, উপরন্তু, \(f(w)\) একটানা, তাই আমরা এই সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে \(f (w)\) মোটে বৃদ্ধি পায় \(\mathbb(R)\)। \
এই সমীকরণের দুটি মূল থাকার জন্য, এটি অবশ্যই বর্গক্ষেত্র হতে হবে এবং এর বৈষম্য অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে: \[\শুরু(কেস) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(কেস) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
উত্তর: \(-\infty;1)\কাপ(1;2)\) টাস্ক 3 #3921 টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান প্যারামিটারের সমস্ত ইতিবাচক মান খুঁজুন \(a\) যার জন্য সমীকরণ অন্তত \(2\) সমাধান আছে। আসুন \(ax^) সম্বলিত সকল পদকে বাম দিকে নিয়ে যাই এবং যে সকল পদে \(x^2\) আছে সেগুলোকে ডানে নিয়ে যাই এবং ফাংশনটি বিবেচনা করি তারপর মূল সমীকরণটি ফর্মটি গ্রহণ করবে: আসুন ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক: কারণ \(t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), তারপর \(f"(t)\geqslant 0\) যেকোনো \(t\in \mathbb(R)\) এর জন্য। তাছাড়া, \(f"(t)=0\) যদি \(t-2)^2=0\) এবং \(1+\cos(2t)=0\) একই সময়ে, যা সত্য নয় যেকোনো \(t\) এর জন্য। অতএব, \(f"(t)> 0\) যেকোনো \(t\in \mathbb(R)\) এর জন্য। এইভাবে, ফাংশন \(f(t)\) সকলের জন্য কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে \(t\in \mathbb(R)\)। এর মানে হল যে সমীকরণ \(f(ax)=f(x^2)\) সমীকরণ \(ax=x^2\) এর সমতুল্য। \(a=0\) সমীকরণ \(x^2-ax=0\) এর একটি মূল আছে \(x=0\), এবং \(a\ne 0\) এর জন্য দুটি বিভিন্ন শিকড়\(x_1=0\) এবং \(x_2=a\)। উত্তর: \(0;+\infty)\)। টাস্ক 4 #1232 টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন \(a\) , যার প্রতিটির জন্য সমীকরণ \
একটি অনন্য সমাধান আছে। আসুন সমীকরণের ডান এবং বাম দিকগুলিকে \(2^(\sqrt(x+1))\) (যেহেতু \(2^(\sqrt(x+1))>0\) দ্বারা গুণ করি এবং সমীকরণটি পুনরায় লিখি ওইরূপে থাকা : \
ফাংশন বিবেচনা করুন \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)\(t\geqslant 0\) (এর পর থেকে \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\))। অমৌলিক \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\). কারণ \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\)সকলের জন্য \(t\geqslant 0\), তারপর \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. ফলস্বরূপ, \(t\geqslant 0\) ফাংশন \(y\) একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়। সমীকরণটি \(y(t)=y(z)\) আকারে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\)। ফাংশনের একঘেয়েতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে সমতা কেবল তখনই সম্ভব যদি \(t=z\)। এর মানে হল যে সমীকরণটি সমীকরণের সমতুল্য: \(ax=\sqrt(x+1)\), যা পরিবর্তে সিস্টেমের সমতুল্য: \[\begin(কেস) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(কেস)\] যখন \(a=0\) সিস্টেমের একটি সমাধান থাকে \(x=-1\) যা শর্তকে সন্তুষ্ট করে \(ax\geqslant 0\)। কেসটি বিবেচনা করুন \(a\ne 0\)। সিস্টেমের প্রথম সমীকরণের বৈষম্যকারী \(D=1+4a^2>0\) সবার জন্য \(a\)। ফলস্বরূপ, সমীকরণের সর্বদা দুটি মূল আছে \(x_1\) এবং \(x_2\), এবং সেগুলি বিভিন্ন চিহ্নের (যেহেতু ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). এর মানে হল যে \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) শর্তটি একটি ধনাত্মক মূল দ্বারা সন্তুষ্ট। অতএব, সিস্টেম সবসময় একটি অনন্য সমাধান আছে. সুতরাং, \(a\in \mathbb(R)\)। উত্তর: \(a\in \mathbb(R)\)। টাস্ক 5 #1234 টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন \(a\) , যার প্রতিটির জন্য সমীকরণ \
সেগমেন্ট থেকে অন্তত একটি রুট আছে \([-1;0]\)। ফাংশন বিবেচনা করুন \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)কিছু নির্দিষ্ট \(a\) এর জন্য। আসুন এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). মনে রাখবেন \(f"(x)\geqslant 0\) \(x\) এবং \(a\) এর সমস্ত মানের জন্য, এবং শুধুমাত্র \(x=a=1 এর জন্য \(0\) এর সমান \) কিন্তু \(a=1\) এর জন্য : এর মানে হল যে সকল \(a\ne 1\) ফাংশন \(f(x)\) কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে, তাই, সমীকরণ \(f(x)=0\) একটির বেশি রুট থাকতে পারে না। কিউবিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনায় নিয়ে, কিছু নির্দিষ্ট \(a\) এর জন্য \(f(x)\) এর গ্রাফটি এইরকম দেখাবে: এর মানে হল যে সমীকরণটি সেগমেন্ট থেকে একটি রুট করার জন্য \([-1;0]\), এটি প্রয়োজনীয়: \[\begin(কেস) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\] এইভাবে, \(a\in [-2;0]\)। উত্তর: \(a\in [-2;0]\)। টাস্ক 6 #2949 টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন \(a\) , যার প্রতিটির জন্য সমীকরণ \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] শিকড় আছে (সাবস্ক্রাইবারদের থেকে কাজ) ODZ সমীকরণ: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). অতএব, একটি সমীকরণের শিকড় থাকার জন্য, কমপক্ষে একটি সমীকরণ থাকা আবশ্যক \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] ODZ বিষয়ে সিদ্ধান্ত ছিল। 1) প্রথম সমীকরণ বিবেচনা করুন \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(acthered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(সংযুক্ত) \end(সংগৃহীত)\right। \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]এই সমীকরণের অবশ্যই \(\) এর মধ্যে মূল থাকতে হবে। একটি বৃত্ত বিবেচনা করুন: এইভাবে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে যেকোন \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) সমীকরণটির একটি সমাধান থাকবে, এবং অন্য সকলের জন্য এর কোনো সমাধান থাকবে না। অতএব, যখন \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)সমীকরণের সমাধান আছে। 2) দ্বিতীয় সমীকরণ বিবেচনা করুন \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] ফাংশনটি বিবেচনা করুন \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\)। আসুন এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক: \
ODZ-এ, ডেরিভেটিভের একটি শূন্য রয়েছে: \(x=\frac34\), যা ফাংশনের সর্বাধিক বিন্দুও \(f(x)\)। অতএব, সমীকরণের সমাধানের জন্য, গ্রাফটি \(f(x)\) সরলরেখা \(y=-a\) দিয়ে ছেদ করা আবশ্যক (চিত্রটি উপযুক্ত বিকল্পগুলির মধ্যে একটি দেখায়)। অর্থাৎ, এটি প্রয়োজনীয় \
. এইগুলির জন্য \(x\): ফাংশন \(y_1=\sqrt(x-1)\) কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে। ফাংশনের গ্রাফটি \(y_2=5x^2-9x\) একটি প্যারাবোলা, যার শীর্ষবিন্দুটি বিন্দুতে রয়েছে \(x=\dfrac(9)(10)\)। ফলস্বরূপ, সকলের জন্য \(x\geqslant 1\), ফাংশন \(y_2\) কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে (প্যারাবোলার ডান শাখা)। কারণ কঠোরভাবে বর্ধিত ফাংশনের যোগফল কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে, তারপর \(f_a(x)\) কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে (ধ্রুবক \(3a+8\) ফাংশনের একঘেয়েতাকে প্রভাবিত করে না)। ফাংশন \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) সকলের জন্য \(x\geqslant 1\) হাইপারবোলার ডান শাখার অংশ উপস্থাপন করে এবং কঠোরভাবে হ্রাস পাচ্ছে। সমীকরণটি সমাধান করা \(f_a(x)=g_a(x)\) মানে ফাংশন \(f\) এবং \(g\) এর ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করা। তাদের বিপরীত একঘেয়েমি থেকে এটি অনুসরণ করে যে সমীকরণের সর্বাধিক একটি মূল থাকতে পারে। যখন \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 \\ কাপ উত্তর: \(a\in (-\infty;-1]\কাপ ,
এই বিভাগে সীমাবদ্ধ; ক্রমবর্ধমান (হ্রাস) ফাংশনের যোগফল হল একটি ক্রমবর্ধমান (হ্রাস) ফাংশন; · যদি ফাংশন চবৃদ্ধি (হ্রাস) এবং n- একটি বিজোড় সংখ্যা, এটিও বৃদ্ধি পায় (হ্রাস); · যদি f"(x)>0সবার জন্য xO(a,b),তারপর ফাংশন y=f(x)ব্যবধানে বাড়ছে (a, b); · যদি f"(x)<0
সবার জন্য xO(a,b),তারপর ফাংশন y=f(x)ব্যবধানে কমছে (a, b); · যদি f(x)-সেটে একটানা এবং একঘেয়ে ফাংশন এক্স, তারপর সমীকরণ f(x)=C, কোথায় সঙ্গে- এই ধ্রুবক থাকতে পারে এক্সএকাধিক সমাধান নয়; · যদি সমীকরণের সংজ্ঞার ডোমেনে থাকে f(x)=g(x)ফাংশন f(x)বৃদ্ধি পায়, এবং ফাংশন g(x)হ্রাস পায়, তাহলে সমীকরণের একাধিক সমাধান থাকতে পারে না। উপপাদ্য। (একটি ফাংশনের একঘেয়েতার জন্য একটি পর্যাপ্ত শর্ত)। সেগমেন্টে একটানা থাকলে [ ক, খ] ফাংশন y = f(এক্স) ব্যবধানের প্রতিটি বিন্দুতে ( ক, খ) এর একটি ইতিবাচক (নেতিবাচক) ডেরিভেটিভ আছে, তারপর এই ফাংশনটি সেগমেন্টে বৃদ্ধি পায় (হ্রাস) [ ক, খ]. প্রমাণ। সবার জন্য >0 দিন xO(ক, খ).
দুটি নির্বিচারে মান x 2 বিবেচনা করুন > x 1,একাত্মতা প্রকাশ করছি [ ক, খ]। Lagrange এর সূত্র অনুযায়ী x 1<с < х 2
.
(সঙ্গে) > 0
এবং x 2 – x 1 > 0,
অতএব > 0,
যেখান থেকে >, অর্থাৎ, ফাংশন f(x) ব্যবধানে বৃদ্ধি পায় [ ক, খ]। উপপাদ্যের দ্বিতীয় অংশটিও একইভাবে প্রমাণিত। উপপাদ্য 3. (একটি ফাংশনের সীমার অস্তিত্বের একটি প্রয়োজনীয় চিহ্ন)। বিন্দুতে ফাংশন ডিফারেন্সেবল হলে গ এ=চ(এক্স) এই সময়ে একটি extremum আছে, তারপর। প্রমাণ। যাক, উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন এ= চ(এক্স) বিন্দুতে সর্বোচ্চ আছে গ। এর মানে হল যে বিন্দু c এর একটি ছিদ্রযুক্ত আশেপাশের এলাকা রয়েছে যা সমস্ত পয়েন্টের জন্য এক্সএই প্রতিবেশী সন্তুষ্ট চ(এক্স) < f
(গ),
এটাই চ(গ) হল এই আশেপাশে ফাংশনের সবচেয়ে বড় মান। তারপর Fermat এর উপপাদ্য দ্বারা. সি বিন্দুতে ন্যূনতম ক্ষেত্রে একইভাবে প্রমাণিত হয়। মন্তব্য করুন। একটি ফাংশনের একটি বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম থাকতে পারে যেখানে এর ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই। উদাহরণস্বরূপ, x বিন্দুতে একটি ফাংশন ন্যূনতম থাকে =
0, যদিও এটি বিদ্যমান নেই। যে সকল বিন্দুতে কোন ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্য বা বিদ্যমান নেই তাদেরকে ফাংশনের ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট বলে। যাইহোক, ফাংশনটির সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে একটি এক্সট্রিমাম নেই। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন y = x 3এর ডেরিভেটিভ যদিও এর কোন চরমতা নেই
=0. উপপাদ্য 4. (একটি চরম অস্তিত্বের একটি পর্যাপ্ত চিহ্ন)। যদি ক্রমাগত ফাংশন y = f(এক্স) একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের সমস্ত বিন্দুতে একটি ডেরিভেটিভ থাকে যার মধ্যে সমালোচনামূলক বিন্দু C থাকে (সম্ভবত এই বিন্দুর জন্য ছাড়া), এবং ডেরিভেটিভ হলে, যখন আর্গুমেন্টটি সমালোচনামূলক বিন্দু C এর মধ্য দিয়ে বাম থেকে ডানে যায়, প্লাস থেকে চিহ্ন পরিবর্তন করে বিয়োগ করতে, তারপর C বিন্দুতে ফাংশনের সর্বোচ্চ থাকে এবং যখন চিহ্নটি বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তিত হয়, সর্বনিম্ন। প্রমাণ। ধরা যাক c একটি সমালোচনামূলক বিন্দু এবং ধরুন, উদাহরণস্বরূপ, যখন আর্গুমেন্টটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় তখন c চিহ্নকে প্লাস থেকে বিয়োগে পরিবর্তন করে। এর মানে কিছু ব্যবধানে (c-e; c)ফাংশন বৃদ্ধি পায়, এবং ব্যবধানে (c; c+e)- হ্রাস পায় (এ e>0)। অতএব, বিন্দু c-এ ফাংশনের সর্বোচ্চ আছে। ন্যূনতম ক্ষেত্রেও একইভাবে প্রমাণিত হয়। মন্তব্য করুন। আর্গুমেন্ট যখন ক্রিটিক্যাল পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায় তখন ডেরিভেটিভ যদি চিহ্ন পরিবর্তন না করে, তাহলে এই বিন্দুতে ফাংশনের এক্সট্রিমম থাকে না। যেহেতু বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য সীমা এবং ধারাবাহিকতার সংজ্ঞাগুলি কার্যত একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞাগুলির সাথে মিলে যায়, তাই বিভিন্ন ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য সীমা এবং ক্রমাগত ফাংশনের সমস্ত বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণ করা হয় ©2015-2019 সাইট একটি মনোটোন ফাংশনের সীমার উপর উপপাদ্য। উপপাদ্যের একটি প্রমাণ দুটি পদ্ধতি ব্যবহার করে দেওয়া হয়। কঠোরভাবে বৃদ্ধি, অ-হ্রাস, কঠোরভাবে হ্রাস এবং অ-বর্ধিত ফাংশনগুলির সংজ্ঞাও দেওয়া হয়। একঘেয়ে ফাংশনের সংজ্ঞা। ফাংশন বৃদ্ধি এবং হ্রাসের সংজ্ঞা এটি অনুসরণ করে যে একটি কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশনও কমছে না। একটি কঠোরভাবে হ্রাস ফাংশন এছাড়াও অ বৃদ্ধি. একঘেয়ে ফাংশনের সংজ্ঞা একটি নির্দিষ্ট সেট X-এ একটি ফাংশনের একঘেয়েতা অধ্যয়ন করতে, আপনাকে এই সেটের অন্তর্গত দুটি নির্বিচারে বিন্দুতে এর মানের পার্থক্য খুঁজে বের করতে হবে। যদি , তারপর ফাংশন কঠোরভাবে বাড়ছে; যদি , তাহলে ফাংশন কমে না; যদি , তারপর কঠোরভাবে হ্রাস পায়; যদি, তাহলে তা বাড়ে না। যদি একটি নির্দিষ্ট সেটে ফাংশনটি ইতিবাচক হয়: , তাহলে একঘেয়েতা নির্ধারণ করতে, আপনি এই সেটের দুটি নির্বিচারে বিন্দুতে এর মানগুলিকে ভাগ করার ভাগফল অধ্যয়ন করতে পারেন। যদি , তারপর ফাংশন কঠোরভাবে বাড়ছে; যদি , তাহলে ফাংশন কমে না; যদি , তারপর কঠোরভাবে হ্রাস পায়; যদি, তাহলে তা বাড়ে না। উপপাদ্য যদি বিন্দু a এবং b অসীমতায় থাকে, তবে অভিব্যক্তিতে সীমা চিহ্নের অর্থ হল। চলুন ফাংশন চ (এক্স)ব্যবধানে কমে না (ক, খ), কোথায় . তারপর a এবং b বিন্দুতে একতরফা সীমা রয়েছে: একটি অ-বর্ধিত ফাংশনের জন্য একটি অনুরূপ উপপাদ্য। যেখানে ব্যবধানে ফাংশন বাড়বে না। তারপর একতরফা সীমা আছে: পরিণতি যেহেতু ফাংশন কমে না, তারপর যখন . তারপর 1. ব্যবধানে ফাংশনটি কমতে না দিন। আসুন বোঝাই। তারপর যে কারো জন্য আছে, তাই 1. ব্যবধানে ফাংশনটি কমতে না দিন। যেহেতু ফাংশনটি উপরে আবদ্ধ, তাই একটি সীমাবদ্ধ সর্বোচ্চ আছে যেহেতু ফাংশন কমে না, তারপর যখন . তারপর এ. বা সুতরাং, আমরা যে কেউ জন্য একটি সংখ্যা আছে যে পাওয়া গেছে, তাই 1. ব্যবধানে ফাংশনটি কমতে না দিন। যেহেতু ফাংশনটি উপরে সীমাবদ্ধ নয়, তাহলে যেকোন সংখ্যা M এর জন্য একটি যুক্তি আছে যার জন্য যেহেতু ফাংশন কমে না, তারপর যখন . তারপর এ. তাই যে কোনো জন্য একটি সংখ্যা আছে, তাই এখন কেস বিবেচনা করুন যখন ফাংশন বাড়ে না। আপনি, উপরের হিসাবে, প্রতিটি বিকল্প আলাদাভাবে বিবেচনা করতে পারেন। কিন্তু আমরা এখনই তাদের কভার করব। এর জন্য আমরা ব্যবহার করি। আসুন প্রমাণ করি যে এই ক্ষেত্রে একটি সীমা আছে। ফাংশন মানের সেটের সসীম ইনফিমাম বিবেচনা করুন: যেহেতু ফাংশন বাড়ে না, তখন কখন। তখন থেকে সুতরাং, আমরা দেখতে পেলাম যে বিন্দুর যেকোন পাড়ার জন্য, বি বিন্দুর বাম দিকের একটি ছিদ্রযুক্ত এলাকা আছে যেমন এখন আমরা দেখাব যে a বিন্দুতে একটি সীমা আছে এবং এর মান বের করব। এর ফাংশন বিবেচনা করা যাক. উপপাদ্যের শর্ত অনুসারে, ফাংশনটি একঘেয়ে। চলুন x-এর সাথে x-এর প্রতিস্থাপন করি (অথবা একটি প্রতিস্থাপন করুন এবং তারপর পরিবর্তনশীল t-কে x দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন)। তারপর ফাংশন জন্য একঘেয়ে হয়. দ্বারা অসমতা গুন -1
এবং তাদের ক্রম পরিবর্তন করে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে ফাংশনটি একঘেয়ে। একইভাবে এটা দেখানো সহজ যে যদি এটি কমে না, তবে এটি বাড়ে না। তারপর, উপরে যা প্রমাণিত হয়েছিল, তার একটি সীমা আছে এখন দেখা যাচ্ছে যে তে যদি একটি ফাংশনের একটি সীমা থাকে, তাহলে তে ফাংশনের একটি সীমা রয়েছে এবং এই সীমাগুলি সমান: আসুন স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক: একটি সসীম সংখ্যা হতে দিন. আসুন আমরা অসমতা ব্যবহার করে বিন্দু -a-এর বাম ছিদ্রযুক্ত আশেপাশকে প্রকাশ করি: একটি অসীম সংখ্যা হতে দিন, . আমরা যুক্তি পুনরাবৃত্তি. সুতরাং, আমরা যে কেউ জন্য যে যেমন আছে পাওয়া গেছে উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে। অতিরিক্ত উপকরণ 1C থেকে গ্রেড 10 এর জন্য ইন্টিগ্রাল অনলাইন স্টোরে ম্যানুয়াল এবং সিমুলেটর
আমরা যা অধ্যয়ন করব: বন্ধুরা, আগে আমরা অনেক দেখেছি বিভিন্ন ফাংশনএবং তাদের গ্রাফ তৈরি করেছে। এখন নতুন নিয়ম চালু করা যাক যা আমরা বিবেচনা করেছি এবং বিবেচনা চালিয়ে যাব এমন সমস্ত ফাংশনের জন্য কাজ করে। একটি ফাংশন হল একটি চিঠিপত্র y = f(x), যেখানে x এর প্রতিটি মান y এর একক মানের সাথে যুক্ত। চলুন কিছু ফাংশনের গ্রাফ দেখি: আমাদের গ্রাফ দেখায়: বড় x, ছোট y। সুতরাং আসুন একটি হ্রাস ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যাক. একটি ফাংশনকে হ্রাস বলা হয় যদি আর্গুমেন্টের একটি বড় মান ফাংশনের একটি ছোট মানের সাথে মিলে যায়। যদি x2 > x1 হয়, তাহলে f(x2) এখন এই ফাংশনের গ্রাফটি দেখি: যদি একটি ফাংশন একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, তবে তাকে বলা হয় এটা এই ব্যবধানে একঘেয়ে. আপনি যদি আমাদের স্পর্শকগুলি দেখেন বা দৃশ্যত অন্য কোনো স্পর্শক আঁকেন, আপনি লক্ষ্য করবেন যে স্পর্শক এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যবর্তী কোণটি তীব্র হবে। এর অর্থ হল স্পর্শকটির একটি ধনাত্মক ঢাল রয়েছে। স্পর্শক ঢাল মানের সমানস্পর্শক বিন্দুর অবসিসায় ডেরিভেটিভ। এইভাবে, ডেরিভেটিভের মান আমাদের গ্রাফের সমস্ত পয়েন্টে ইতিবাচক। একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশনের জন্য, নিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে: f"(x) ≥ 0, যেকোনো বিন্দু x এর জন্য। বন্ধুরা, এখন কিছু ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের গ্রাফ দেখি এবং ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক গঠন করি। আসুন স্পর্শকগুলি দেখি এবং দৃশ্যত অন্য কোন স্পর্শক আঁক। আমরা লক্ষ্য করব যে স্পর্শক এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যে কোণটি স্থূল, যার অর্থ স্পর্শকের একটি ঋণাত্মক ঢাল রয়েছে। সুতরাং, আমাদের গ্রাফের সমস্ত পয়েন্টে ডেরিভেটিভের মান ঋণাত্মক। একটি ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের জন্য, নিম্নোক্ত অসমতা ধারণ করে: f"(x) ≤ 0, যেকোনো বিন্দু x এর জন্য। সুতরাং, একটি ফাংশনের একঘেয়েতা ডেরিভেটিভের চিহ্নের উপর নির্ভর করে: যদি একটি ফাংশন একটি ব্যবধানে বৃদ্ধি পায় এবং এই ব্যবধানে একটি ডেরিভেটিভ থাকে, তাহলে এই ডেরিভেটিভ নেতিবাচক হবে না। যদি একটি ফাংশন একটি ব্যবধানে হ্রাস পায় এবং এই ব্যবধানে একটি ডেরিভেটিভ থাকে, তাহলে এই ডেরিভেটিভটি ধনাত্মক হবে না। গুরুত্বপূর্ণ, যাতে আমরা যে ব্যবধানে ফাংশন বিবেচনা করি সেগুলি খোলা থাকে! উপপাদ্য 1. যদি অসমতা f'(x) ≥ 0 একটি উন্মুক্ত ব্যবধান X এর সমস্ত বিন্দুতে ধরে থাকে (এবং শূন্য থেকে ডেরিভেটিভের সমতা হয় ধারণ করে না বা ধরে রাখে, তবে শুধুমাত্র বিন্দুগুলির একটি সীমিত সেটে) ব্যবধান X-এ ফাংশন y= f(x) বৃদ্ধি পায়। উপপাদ্য 2. যদি অসমতা f'(x) ≤ 0 একটি উন্মুক্ত ব্যবধান X-এর সমস্ত বিন্দুতে ধরে থাকে (এবং শূন্য থেকে ডেরিভেটিভের সমতা হয় ধারণ করে না বা ধরে থাকে, তবে শুধুমাত্র বিন্দুগুলির একটি সীমিত সেটে) ব্যবধান X-এ ফাংশন y= f(x) হ্রাস পায়। উপপাদ্য 3. উন্মুক্ত ব্যবধানের সকল পয়েন্টে X হলে সমতা 1) প্রমাণ করুন যে ফাংশন y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 পুরো সংখ্যারেখায় বাড়ছে। সমাধান: আসুন আমাদের ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি: y"= 7 6 + 15x 4 + 2। যেহেতু x-এ ডিগ্রী জোড়, তাহলে পাওয়ার ফাংশনশুধুমাত্র ইতিবাচক মান নেয়। তারপর যেকোন x এর জন্য y" > 0, যার মানে থিওরেম 1 দ্বারা, আমাদের ফাংশন পুরো সংখ্যা লাইনে বৃদ্ধি পায়। 2) প্রমাণ করুন যে ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে: y = sin(2x) - 3x। আসুন আমাদের ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি: y"= 2cos(2x) - 3। 3) ফাংশনের একঘেয়েমি পরীক্ষা করুন: y= x 2 + 3x - 1। সমাধান: আসুন আমাদের ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি: y"= 2x + 3। 4) ফাংশনের একঘেয়েতা পরীক্ষা করুন: y= $\sqrt(3x - 1)$। সমাধান: আসুন আমাদের ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$। আমাদের অসমতা শূন্যের চেয়ে বেশি বা সমান: $\sqrt(3x-1)$ ≤ 0, একটি ফাংশনের বৃদ্ধি, হ্রাস এবং চরমের ব্যবধান খুঁজে বের করা একটি স্বাধীন কাজ এবং অন্যান্য কাজের একটি অপরিহার্য অংশ, বিশেষ করে, সম্পূর্ণ ফাংশন অধ্যয়ন. ফাংশন বৃদ্ধি, হ্রাস এবং চরম সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য দেওয়া আছে ডেরিভেটিভের উপর তাত্ত্বিক অধ্যায়, যা আমি প্রাথমিক অধ্যয়নের জন্য অত্যন্ত সুপারিশ করছি (বা পুনরাবৃত্তি)– এছাড়াও যে কারণে নিম্নলিখিত উপাদান খুব উপর ভিত্তি করে মূলত ডেরিভেটিভ,এই নিবন্ধের একটি সুরেলা ধারাবাহিকতা হচ্ছে. যদিও, যদি সময় কম হয়, তবে আজকের পাঠ থেকে উদাহরণগুলির একটি সম্পূর্ণ আনুষ্ঠানিক অনুশীলনও সম্ভব। এবং আজ বাতাসে বিরল ঐক্যের চেতনা, এবং আমি সরাসরি অনুভব করতে পারি যে উপস্থিত সবাই কামনায় জ্বলছে একটি ফাংশন এর ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে অন্বেষণ করতে শিখুন. অতএব, যুক্তিসঙ্গত, ভাল, চিরন্তন পরিভাষা অবিলম্বে আপনার মনিটরের পর্দায় উপস্থিত হয়। কি জন্য? কারণগুলির মধ্যে একটি হল সবচেয়ে ব্যবহারিক: যাতে এটি পরিষ্কার হয় যে একটি নির্দিষ্ট কাজে সাধারণত আপনার কী প্রয়োজন! এর কিছু ফাংশন বিবেচনা করা যাক. সহজভাবে বলতে গেলে, আমরা ধরে নিই যে সে একটানাপুরো নম্বর লাইনে: ঠিক সেই ক্ষেত্রে, আসুন অবিলম্বে সম্ভাব্য বিভ্রম থেকে মুক্তি পান, বিশেষত সেই পাঠকদের জন্য যারা সম্প্রতি পরিচিত হয়েছেন ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান. এখন আমরা আগ্রহী নই, কিভাবে ফাংশনের গ্রাফটি অক্ষের সাপেক্ষে অবস্থিত (উপরে, নীচে, যেখানে অক্ষ ছেদ করে)। বিশ্বাসযোগ্য হতে, মানসিকভাবে অক্ষগুলি মুছে ফেলুন এবং একটি গ্রাফ ছেড়ে দিন। কারণ সেখানেই স্বার্থ নিহিত। ফাংশন বৃদ্ধি পায়একটি ব্যবধানে যদি সম্পর্ক দ্বারা সংযুক্ত এই ব্যবধানের যেকোনো দুটি বিন্দুর জন্য, অসমতা সত্য। অর্থাৎ, আর্গুমেন্টের একটি বৃহত্তর মান ফাংশনের একটি বৃহত্তর মানের সাথে মিলে যায় এবং এর গ্রাফটি "নীচ থেকে উপরে" যায়। প্রদর্শন ফাংশন ব্যবধানে বৃদ্ধি পায়। একইভাবে, ফাংশন হ্রাস পায়একটি ব্যবধানে যদি একটি প্রদত্ত ব্যবধানের দুটি বিন্দুর জন্য যেমন, অসমতা সত্য। অর্থাৎ, আর্গুমেন্টের একটি বড় মান ফাংশনের একটি ছোট মানের সাথে মিলে যায় এবং এর গ্রাফটি "উপর থেকে নীচে" যায়। বিরতিতে আমাদের ফাংশন হ্রাস পায় যদি একটি ফাংশন একটি ব্যবধানে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, তাহলে তাকে বলা হয় কঠোরভাবে একঘেয়েএই ব্যবধানে একঘেয়েমি কি? এটাকে আক্ষরিক অর্থে নিন – একঘেয়েমি। আপনিও সংজ্ঞায়িত করতে পারেন অ-হ্রাসফাংশন (প্রথম সংজ্ঞায় শিথিল অবস্থা) এবং অ বৃদ্ধিফাংশন (২য় সংজ্ঞায় নরম অবস্থা)। একটি ব্যবধানে একটি অ-হ্রাস বা বৃদ্ধি না হওয়া ফাংশনকে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একঘেয়ে ফাংশন বলা হয় (কঠোর একঘেয়েমি - বিশেষ মামলা"শুধু" একঘেয়েমি). তত্ত্বটি অর্ধ-ব্যবধান, সেগমেন্ট সহ একটি ফাংশনের বৃদ্ধি/হ্রাস নির্ধারণের জন্য অন্যান্য পদ্ধতিগুলিও বিবেচনা করে, তবে আপনার মাথায় তেল-তেল-তেল না ঢেলে, আমরা শ্রেণীবদ্ধ সংজ্ঞা সহ খোলা ব্যবধানে কাজ করতে সম্মত হব। - এটি আরও পরিষ্কার, এবং অনেকগুলি ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য যথেষ্ট। এইভাবে, আমার নিবন্ধগুলিতে "একটি ফাংশনের একঘেয়েতা" শব্দটি প্রায় সর্বদা লুকানো থাকবে বিরতি কঠোর একঘেয়েমি
(কঠোরভাবে বৃদ্ধি বা কঠোরভাবে ফাংশন হ্রাস)। একটি বিন্দুর প্রতিবেশী। শব্দের পরে ছাত্ররা যেদিকে পারে পালিয়ে যায় এবং কোণায় আতঙ্কে লুকিয়ে থাকে। ...যদিও পোস্টের পর কচি সীমাতারা সম্ভবত আর লুকিয়ে নেই, কিন্তু শুধু সামান্য কাঁপছে =) চিন্তা করবেন না, এখন উপপাদ্যের কোনো প্রমাণ থাকবে না গাণিতিক বিশ্লেষণ- আমি আরো কঠোরভাবে সংজ্ঞা প্রণয়ন করতে পারিপার্শ্বিক প্রয়োজন চরম পয়েন্ট. চলুন মনে করি: একটি বিন্দুর প্রতিবেশীযে ব্যবধান রয়েছে তাকে বলা হয় এই কেন্দ্রে, যখন সুবিধার জন্য ব্যবধান প্রায়ই প্রতিসম বলে ধরে নেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিন্দু এবং এর আদর্শ প্রতিবেশী: বিন্দু বলা হয় কঠোর সর্বোচ্চ পয়েন্ট, যদি বিদ্যমানতার পাড়া, সবার জন্যযার মান, বিন্দু নিজেই ব্যতীত, অসমতা। আমাদের নির্দিষ্ট উদাহরণে, এটি একটি বিন্দু। বিন্দু বলা হয় কঠোর সর্বনিম্ন পয়েন্ট, যদি বিদ্যমানতার পাড়া, সবার জন্যযার মান, বিন্দু নিজেই ব্যতীত, অসমতা। অঙ্কনে বিন্দু "a" আছে। বিঃদ্রঃ
: আশেপাশের প্রতিসাম্যের প্রয়োজনীয়তা মোটেও প্রয়োজনীয় নয়। উপরন্তু, এটা গুরুত্বপূর্ণ অস্তিত্বের খুব বাস্তবতাআশপাশ (ছোট বা আণুবীক্ষণিক) যা নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করে পয়েন্ট বলা হয় কঠোরভাবে চরম পয়েন্টবা সহজভাবে চরম পয়েন্টফাংশন অর্থাৎ, এটি সর্বাধিক পয়েন্ট এবং সর্বনিম্ন পয়েন্টের জন্য একটি সাধারণ শব্দ। আমরা কিভাবে "চরম" শব্দ বুঝতে পারি? হ্যাঁ, যেমন সরাসরি একঘেয়েমি। রোলার কোস্টারের চরম পয়েন্ট। একঘেয়েমির ক্ষেত্রে যেমন, আলগা পোস্টুলেটগুলি বিদ্যমান এবং তাত্ত্বিকভাবে আরও বেশি সাধারণ (যা, অবশ্যই, বিবেচিত কঠোর মামলা অধীনে পড়ে!): বিন্দু বলা হয় সর্বোচ্চ পয়েন্ট, যদি বিদ্যমানএর চারপাশ এমনই সবার জন্য মনে রাখবেন যে শেষ দুটি সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ধ্রুবক ফাংশনের যেকোনো বিন্দু (বা একটি ফাংশনের "ফ্ল্যাট বিভাগ") সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন বিন্দু উভয়ই বিবেচিত হয়! ফাংশন, উপায় দ্বারা, উভয় অ-বর্ধমান এবং অ-হ্রাস, যে, একঘেয়ে. যাইহোক, আমরা এই বিবেচনাগুলি তাত্ত্বিকদের উপর ছেড়ে দেব, যেহেতু অনুশীলনে আমরা প্রায় সবসময় ঐতিহ্যগত "পাহাড়" এবং "হোলো" (অঙ্কন দেখুন) একটি অনন্য "পাহাড়ের রাজা" বা "জলজলের রাজকুমারী" নিয়ে চিন্তা করি। বিভিন্ন হিসাবে, এটি ঘটে টিপ, উপরে বা নিচে নির্দেশিত, উদাহরণস্বরূপ, বিন্দুতে ফাংশনের ন্যূনতম। ওহ, এবং রাজকীয়তার কথা বলছি: সাধারণ নাম – চরমফাংশন আপনার কথার সাথে সতর্ক থাকুন! চরম পয়েন্ট- এই "X" মান. ! বিঃদ্রঃ
: কখনও কখনও তালিকাভুক্ত পদগুলি "X-Y" পয়েন্টগুলিকে নির্দেশ করে যা সরাসরি ফাংশনের গ্রাফের উপর থাকে৷ একটি ফাংশন কয়টি এক্সট্রিমা থাকতে পারে? কোনটিই নয়, 1, 2, 3, ... ইত্যাদি। অসীমে. উদাহরণস্বরূপ, সাইনের অসীমভাবে অনেকগুলি মিনিমা এবং ম্যাক্সিমা রয়েছে। গুরুত্বপূর্ণ!শব্দটি "সর্বাধিক কার্যকারিতা" অভিন্ন নয়শব্দটি "একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ মান"। এটি লক্ষ্য করা সহজ যে মানটি শুধুমাত্র একটি স্থানীয় আশেপাশে সর্বাধিক, এবং উপরের বাম দিকে "কুলার কমরেড" রয়েছে। একইভাবে, "একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন" "একটি ফাংশনের ন্যূনতম মান" এর মতো নয় এবং অঙ্কনে আমরা দেখতে পাই যে মানটি কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট এলাকায় সর্বনিম্ন। এই বিষয়ে, চরম পয়েন্টও বলা হয় স্থানীয় চরম পয়েন্ট, এবং চরম - স্থানীয় চরম
. তারা হাঁটা এবং কাছাকাছি ঘোরাঘুরি এবং বিশ্বব্যাপীভাই সুতরাং, যে কোনো প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুতে থাকে বিশ্বব্যাপী সর্বনিম্নবা বিশ্বব্যাপী সর্বোচ্চ. আরও, আমি চরমের প্রকারের মধ্যে পার্থক্য করব না, এবং ব্যাখ্যাটি সাধারণ শিক্ষাগত উদ্দেশ্যে আরও উচ্চারিত হয় - অতিরিক্ত বিশেষণ "স্থানীয়"/"বিশ্ব" আপনাকে অবাক করে দেবে না। আসুন একটি পরীক্ষার শট দিয়ে তত্ত্বের মধ্যে আমাদের সংক্ষিপ্ত ভ্রমণের সংক্ষিপ্তসার করা যাক: টাস্ক "ফাংশনের একঘেয়েতা ব্যবধান এবং চরম বিন্দুগুলি খুঁজুন" এর অর্থ কী? শব্দগুচ্ছ আপনাকে খুঁজে পেতে উত্সাহিত করে: - ক্রমবর্ধমান/হ্রাস ফাংশনের ব্যবধান (অ-হ্রাস, অ-বৃদ্ধি অনেক কম দেখা যায়); - সর্বোচ্চ এবং/অথবা সর্বনিম্ন পয়েন্ট (যদি থাকে)। ঠিক আছে, ব্যর্থতা এড়াতে, সর্বনিম্ন/সর্বোচ্চ নিজেদের খুঁজে বের করা ভাল ;-) কিভাবে এই সব নির্ধারণ?ডেরিভেটিভ ফাংশন ব্যবহার করে! অনেক নিয়ম, আসলে, ইতিমধ্যে পরিচিত এবং থেকে বোঝা যায় একটি ডেরিভেটিভের অর্থ সম্পর্কে পাঠ. স্পর্শক ডেরিভেটিভ কোট্যাঞ্জেন্ট এবং এর ডেরিভেটিভ সহ আর্কসিন ব্যবধানে বৃদ্ধি পায় - এখানে ডেরিভেটিভ ইতিবাচক: আমি মনে করি আপনার পক্ষে আর্ক কোসাইন এবং এর ডেরিভেটিভের জন্য অনুরূপ যুক্তি বহন করা খুব কঠিন হবে না। উপরের সবগুলো কেস, যার অনেকগুলোই ট্যাবুলার ডেরিভেটিভস, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি, সরাসরি থেকে অনুসরণ করুন ডেরিভেটিভ সংজ্ঞা. এই ফাংশনের গ্রাফটি কেমন তা আরও ভালভাবে বোঝার জন্য: যেখানে এটি "নিচে উপরে" যায়, যেখানে "টপ ডাউন", যেখানে এটি সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চে পৌঁছায় (যদি এটি একেবারে পৌঁছায়)। সমস্ত ফাংশন এত সহজ নয় - বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই একটি নির্দিষ্ট ফাংশনের গ্রাফ সম্পর্কে আমাদের কোনও ধারণা নেই। এটি আরও অর্থপূর্ণ উদাহরণের দিকে এগিয়ে যাওয়ার এবং বিবেচনা করার সময় একটি ফাংশনের একঘেয়েতা এবং চরমতার ব্যবধান খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম: উদাহরণ 1 ফাংশনের বৃদ্ধি/হ্রাস এবং চরমের ব্যবধান খুঁজুন সমাধান: 1) প্রথম ধাপ হল খুঁজে বের করা একটি ফাংশনের ডোমেইন, এবং বিরতি পয়েন্টগুলিও নোট করুন (যদি তারা বিদ্যমান থাকে)। ভিতরে এক্ষেত্রেফাংশনটি সম্পূর্ণ সংখ্যারেখায় অবিচ্ছিন্ন, এবং এই ক্রিয়াটি একটি নির্দিষ্ট পরিমাণে আনুষ্ঠানিক। তবে বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে, এখানে গুরুতর আবেগ ছড়িয়ে পড়ে, তাই আসুন অনুচ্ছেদটিকে অবজ্ঞা না করেই আচরণ করি। 2) অ্যালগরিদমের দ্বিতীয় বিন্দুর কারণে যদি একটি বিন্দুতে একটি extremum থাকে, তাহলে হয় মানটি বিদ্যমান থাকে না. সমাপ্তি দ্বারা বিভ্রান্ত? "মডুলাস এক্স" ফাংশনের এক্সট্রিম .
শর্ত আবশ্যক, কিন্তু যথেষ্ট না, এবং কথোপকথন সবসময় সত্য হয় না. সুতরাং, এটি এখনও সমতা থেকে অনুসরণ করে না যে ফাংশন বিন্দুতে সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন পৌঁছায়। একটি ক্লাসিক উদাহরণ ইতিমধ্যে উপরে হাইলাইট করা হয়েছে - এটি একটি কিউবিক প্যারাবোলা এবং এর সমালোচনামূলক বিন্দু। কিন্তু তা যেমনই হোক, প্রয়োজনীয় শর্তচরম সন্দেহজনক পয়েন্ট খুঁজে বের করার প্রয়োজন নির্দেশ করে। এটি করার জন্য, ডেরিভেটিভটি সন্ধান করুন এবং সমীকরণটি সমাধান করুন: প্রথম নিবন্ধের শুরুতে ফাংশন গ্রাফ সম্পর্কেআমি আপনাকে বলেছিলাম কিভাবে একটি উদাহরণ ব্যবহার করে দ্রুত একটি প্যারাবোলা তৈরি করতে হয় উদাহরণ 2 ফাংশনের একঘেয়েতা এবং চরমতার ব্যবধান খুঁজুন এই জন্য একটি উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত. সম্পূর্ণ সমাধানএবং পাঠের শেষে টাস্কের একটি আনুমানিক চূড়ান্ত নমুনা। ভগ্নাংশ-যুক্তিযুক্ত ফাংশনগুলির সাথে সাক্ষাতের দীর্ঘ-প্রতীক্ষিত মুহূর্তটি এসেছে: উদাহরণ 3 প্রথম ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে একটি ফাংশন অন্বেষণ করুন কিভাবে পরিবর্তনশীলভাবে এক এবং একই কাজ সংস্কার করা যেতে পারে মনোযোগ দিন। সমাধান: 1) ফাংশন বিন্দুতে অসীম discontinuities ভোগ করে. 2) আমরা সমালোচনামূলক পয়েন্ট সনাক্ত. আসুন প্রথম ডেরিভেটিভটি খুঁজে বের করি এবং এটিকে শূন্যের সাথে সমান করি: সমীকরণটি সমাধান করা যাক। একটি ভগ্নাংশ শূন্য হয় যখন এর লব শূন্য হয়: সুতরাং, আমরা তিনটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট পাই: 3) আমরা নম্বর লাইনে সমস্ত সনাক্ত করা বিন্দু প্লট করি এবং ব্যবধান পদ্ধতিআমরা ডেরিভেটিভের লক্ষণগুলি সংজ্ঞায়িত করি: ক্রিয়াটি, যেমন আপনি বোঝেন, ছয়টি ব্যবধানের প্রতিটির জন্য করা দরকার। যাইহোক, মনে রাখবেন যে লব ফ্যাক্টর এবং হর যে কোনও ব্যবধানে যে কোনও বিন্দুর জন্য কঠোরভাবে ইতিবাচক, যা কাজটিকে ব্যাপকভাবে সরল করে। সুতরাং, ডেরিভেটিভ আমাদের বলেছে যে ফাংশন নিজেই বৃদ্ধি পায় বিন্দুতে ফাংশনটি সর্বোচ্চ পৌঁছে যায়: চিন্তা করুন কেন আপনাকে দ্বিতীয় মানটি পুনরায় গণনা করতে হবে না ;-) একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভটি চিহ্ন পরিবর্তন করে না, তাই সেখানে ফাংশনটির কোন EXTREMUM নেই - এটি উভয়ই হ্রাস পেয়েছে এবং হ্রাস পাচ্ছে। ! এর পুনরাবৃত্তি করা যাক গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট
: পয়েন্টগুলিকে সমালোচনামূলক বিবেচনা করা হয় না - তারা একটি ফাংশন ধারণ করে নির্ধারিত না. সেই অনুযায়ী, এখানে নীতিগতভাবে কোন চরম হতে পারে না(এমনকি যদি ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন) উত্তর: ফাংশন বৃদ্ধি পায় একঘেয়েমি ব্যবধান এবং চরম জ্ঞান, প্রতিষ্ঠিত সঙ্গে মিলিত উপসর্গইতিমধ্যে একটি খুব ভাল ধারণা দেয় চেহারাফাংশন গ্রাফিক্স। গড় প্রশিক্ষণের একজন ব্যক্তি মৌখিকভাবে নির্ধারণ করতে সক্ষম যে একটি ফাংশনের গ্রাফটিতে দুটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট এবং একটি তির্যক অ্যাসিম্পটোট রয়েছে। এখানে আমাদের নায়ক: উদাহরণ 4 ফাংশনের চরমপন্থা খুঁজুন উদাহরণ 5 ফাংশনের একঘেয়েমি ব্যবধান, ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা খুঁজুন …এটি আজ প্রায় একধরনের "এক্স ইন এ কিউব" ছুটির মতো... প্রতিটি কাজের নিজস্ব সূক্ষ্ম সূক্ষ্মতা এবং প্রযুক্তিগত সূক্ষ্মতা রয়েছে, যা পাঠের শেষে মন্তব্য করা হয়েছে।
এর মানে হল যে সমতা \(f(t)=f(u)\) সম্ভব যদি এবং শুধুমাত্র যদি \(t=u\)। চলুন আসল ভেরিয়েবলে ফিরে আসি এবং ফলস্বরূপ সমীকরণটি সমাধান করি:
\
\
\
আমাদেরকে \(a\) এর মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে যেখানে সমীকরণটির কমপক্ষে দুটি মূল থাকবে, এছাড়াও এই সত্যটিকে বিবেচনা করে যে \(a>0\)।
অতএব, উত্তর হল: \(a\in (0;+\infty)\)।
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)সমীকরণ \(2(x-1)^3=0\) একটি একক মূল আছে \(x=1\) যা শর্ত পূরণ করে না। অতএব, \(a\) \(1\) এর সমান হতে পারে না।
মনে রাখবেন \(f(0)=f(1)=0\)। সুতরাং, পরিকল্পিতভাবে গ্রাফ \(f(x)\) এর মতো দেখায়: 
সমস্ত অধিকার তাদের লেখকদের অন্তর্গত। এই সাইট লেখকত্ব দাবি করে না, কিন্তু প্রদান করে বিনামূল্যে ব্যবহার.
পৃষ্ঠা তৈরির তারিখ: 2016-02-12সংজ্ঞা
চলুন ফাংশন চ (এক্স)বাস্তব সংখ্যা X এর কিছু সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
ফাংশন বলা হয় কঠোরভাবে বৃদ্ধি (কঠোরভাবে হ্রাস), যদি সকলের জন্য x′, x′′ ∈ এক্সযেমন x′< x′′
выполняется неравенство:
চ (এক্স')< f(x′′)
(চ (x′) > f(x′′) )
.
ফাংশন বলা হয় অ-হ্রাস (অ-বর্ধমান), যদি সকলের জন্য x′, x′′ ∈ এক্সযেমন x′< x′′
выполняется неравенство:
চ (x′) ≤ f(x′′)(চ (x′) ≥ f(x′′) )
.
ফাংশন বলা হয় একঘেয়ে, যদি এটি অ-হ্রাস বা অ-বর্ধিত হয়।
চলুন ফাংশন চ (এক্স)ব্যবধানে কমে না (ক, খ), কোথায় .
যদি এটি উপরে M: সংখ্যা দ্বারা আবদ্ধ হয়, তাহলে b: বিন্দুতে একটি সসীম বাম সীমা আছে। যদি চ (এক্স)উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়, তারপর।
যদি চ (এক্স)নিচে m : সংখ্যা দ্বারা সীমাবদ্ধ, তারপর একটি বিন্দুতে একটি সসীম ডান সীমা আছে : যদি চ (এক্স)নিচে আবদ্ধ নয়, তারপর।
এই উপপাদ্য আরো কম্প্যাক্টভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে।
;
.
;
.
ব্যবধানে ফাংশনটি একঘেয়ে হতে দিন। তারপর এই ব্যবধান থেকে যে কোনো সময়ে, ফাংশনের একতরফা সীমাবদ্ধ সীমা আছে:
এবং .উপপাদ্যের প্রমাণ
ফাংশন কমছে না
b - চূড়ান্ত সংখ্যা
ফাংশন উপরে থেকে সীমিত
1.1.1। ফাংশনটিকে উপরে থেকে M সংখ্যা দ্বারা আবদ্ধ করা যাক: for .
.
;
.
এ
শেষ অসমতা রূপান্তর করা যাক:
;
;
.
কারণ, তারপর. তারপর
এ
এ
"শেষ বিন্দুতে একটি ফাংশনের একতরফা সীমার সংজ্ঞা")।ফাংশন উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়
1.1। সংখ্যা b সসীম হতে দিন: .
1.1.2। ফাংশন উপরে আবদ্ধ করা যাক না.
আসুন প্রমাণ করি যে এই ক্ষেত্রে একটি সীমা আছে।
.
এ
এ
এর মানে হল বি বিন্দুতে বাম দিকের সীমাটি হল ("শেষ বিন্দুতে একটি ফাংশনের একতরফা অসীম সীমার সংজ্ঞা" দেখুন)।b প্রারম্ভিক প্লাস ইনফিনিটি
ফাংশন উপরে থেকে সীমিত
1.2.1। ফাংশনটিকে উপরে থেকে M সংখ্যা দ্বারা আবদ্ধ করা যাক: for .
আসুন প্রমাণ করি যে এই ক্ষেত্রে একটি সীমা আছে।
.
সঠিক উপরের সীমার সংজ্ঞা অনুসারে, নিম্নলিখিত শর্তাবলী:
;
কোন ইতিবাচক জন্য একটি যুক্তি আছে যার জন্য
.
এ
এ
"অনন্তে একতরফা সীমার সংজ্ঞা")।ফাংশন উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়
1.2। সংখ্যা b যোগ অসীম সমান হতে দিন: .
1.2.2। ফাংশন উপরে আবদ্ধ করা যাক না.
আসুন প্রমাণ করি যে এই ক্ষেত্রে একটি সীমা আছে।
.
এ
এর মানে হল এর সীমা সমান ("অসীম এ একতরফা অসীম সীমার সংজ্ঞা" দেখুন)।ফাংশন বাড়ছে না
.
এখানে B একটি সসীম সংখ্যা বা অসীমের একটি বিন্দু হতে পারে। একটি সঠিক নিম্ন সীমার সংজ্ঞা অনুসারে, নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট:
;
বি পয়েন্টের যেকোন আশেপাশের জন্য একটি যুক্তি আছে যার জন্য
.
উপপাদ্য শর্ত অনুযায়ী, . এই জন্য .
এ
বা
এ
এর পরে, আমরা লক্ষ্য করি যে অসমতা বি বিন্দুর বাম ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশকে সংজ্ঞায়িত করে।
এ
এর মানে হল বি বিন্দুতে বাম দিকের সীমা হল:
(কাউচি অনুসারে একটি ফাংশনের সীমার সর্বজনীন সংজ্ঞা দেখুন)।বিন্দুতে সীমা a
.
না বাড়লেও কমে না। এই ক্ষেত্রে একটি সীমা আছে
.
.
(1)
.
চলুন g এর পরিপ্রেক্ষিতে f প্রকাশ করি:
.
একটি নির্বিচারে ধনাত্মক সংখ্যা নেওয়া যাক। বিন্দু A এর একটি এপিসিলন আশেপাশের হতে দিন। এপসিলন আশেপাশের A এর সীমিত এবং অসীম উভয় মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ("একটি বিন্দুর প্রতিবেশী" দেখুন)। যেহেতু একটি সীমা আছে (1), তাই, একটি সীমার সংজ্ঞা অনুসারে, যে কোনোটির জন্য এমনটি বিদ্যমান
এ
এ
আসুন x-এর সাথে x-এ প্রতিস্থাপন করি এবং বিবেচনায় রাখি যে:
এ
শেষ দুটি অসমতা একটি বিন্দুর ছিদ্রযুক্ত ডান পার্শ্ববর্তী স্থানটিকে সংজ্ঞায়িত করে। তারপর
এ
এ ;
এ ;
এ ;
এ
এ
এটা মানে
.
এই বিষয়ে 10 তম গ্রেডে বীজগণিতের পাঠ এবং উপস্থাপনা: "একঘেয়েতার জন্য একটি ফাংশনের তদন্ত। গবেষণা অ্যালগরিদম"
প্রিয় ব্যবহারকারী, আপনার মন্তব্য, পর্যালোচনা, শুভেচ্ছা ছেড়ে ভুলবেন না! সমস্ত উপকরণ একটি অ্যান্টিভাইরাস প্রোগ্রাম দ্বারা চেক করা হয়েছে.
পরামিতি সহ বীজগণিত সমস্যা, গ্রেড 9-11
সফ্টওয়্যার পরিবেশ "1C: গাণিতিক কনস্ট্রাক্টর 6.1"
1. ফাংশন হ্রাস এবং বৃদ্ধি.
2. একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং একঘেয়েতার মধ্যে সম্পর্ক।
3. একঘেয়েতার উপর দুটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য।
4. উদাহরণ।ফাংশন হ্রাস এবং বৃদ্ধি
আসুন ফাংশন বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ধারণাটি দেখি। বন্ধুরা, একটি ফাংশন কি? 
এই গ্রাফটি দেখায় যে x যত বড়, y তত বড়। সুতরাং এর একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যাক. একটি ফাংশন বৃদ্ধি বলা হয় যদি আর্গুমেন্টের একটি বড় মান ফাংশনের একটি বৃহত্তর মানের সাথে মিলে যায়।
যদি x2 > x1, তাহলে f(x2 > f(x1) বা: যত বড় x, তত বড় y।একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং একঘেয়েতার মধ্যে সম্পর্ক
বন্ধুরা, এখন চিন্তা করা যাক কিভাবে আপনি ফাংশন গ্রাফ অধ্যয়ন করার সময় ডেরিভেটিভের ধারণাটি প্রয়োগ করতে পারেন। চলুন একটি ক্রমবর্ধমান পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের একটি গ্রাফ আঁকুন এবং আমাদের গ্রাফে কয়েকটি স্পর্শক আঁকুন। 
একঘেয়েতার উপর দুটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য
f’(x)= 0, তারপর এই ব্যবধানে ফাংশন y= f(x) ধ্রুবক।একঘেয়েমির জন্য একটি ফাংশন অধ্যয়নের উদাহরণ
আসুন বৈষম্য সমাধান করি:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2।
কারণ -1 ≤ cos(x) ≤ 1, যার অর্থ আমাদের অসমতা যেকোনো x এর জন্য সন্তুষ্ট, তারপর উপপাদ্য 2 দ্বারা ফাংশন y= sin(2x) - 3x হ্রাস পায়।
আসুন বৈষম্য সমাধান করি:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2।
তারপর x ≥ -3/2 এর জন্য আমাদের ফাংশন বৃদ্ধি পায় এবং x ≤ -3/2 এর জন্য হ্রাস পায়।
উত্তর: x ≥ -3/2 এর জন্য, ফাংশন বৃদ্ধি পায়, x ≤ -3/2 এর জন্য, ফাংশন হ্রাস পায়।
অসমতা সমাধান করা যাক: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0।
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3।
আসুন বৈষম্য সমাধান করি:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0।
কিন্তু এটা অসম্ভব, কারণ বর্গমূলশুধুমাত্র ইতিবাচক অভিব্যক্তির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার মানে আমাদের ফাংশনের কোন কমার ব্যবধান নেই।
উত্তর: x ≥ 1/3 এর জন্য ফাংশন বৃদ্ধি পায়।স্বাধীনভাবে সমাধান করতে সমস্যা
ক) প্রমাণ করুন যে ফাংশন y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 পুরো সংখ্যারেখা বরাবর বাড়ছে।
খ) প্রমাণ করুন যে ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে: y= cos(5x) - 7x।
গ) ফাংশনের একঘেয়েমি পরীক্ষা করুন: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5।
d) ফাংশনের একঘেয়েতা পরীক্ষা করুন: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$। একটি ফাংশনের বৃদ্ধি, হ্রাস এবং চরম
ফাংশনের একঘেয়েমি। একটি ফাংশনের এক্সট্রিমাম পয়েন্ট এবং এক্সট্রিমা
.
আসলে, সংজ্ঞা:
বিন্দু বলা হয় সর্বনিম্ন পয়েন্ট, যদি বিদ্যমানএর চারপাশ এমনই সবার জন্যএই পাড়ার মূল্যবোধ, বৈষম্য ধরে রেখেছে।
– অর্থ বলা হয় সর্বোচ্চফাংশন
– অর্থ বলা হয় সর্বনিম্নফাংশন
চরম- "খেলা" অর্থ।কিভাবে বৃদ্ধি, হ্রাসের ব্যবধান খুঁজে বের করতে হয়,
extremum পয়েন্ট এবং ফাংশন extrema?
আনন্দদায়ক খবর নিয়ে আসে যে ফাংশন জুড়ে বাড়ছে সংজ্ঞার ডোমেইন.
পরিস্থিতি ঠিক বিপরীত।
.
যখন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়, কিন্তু পার্থক্যযোগ্য নয়। যাইহোক, সমালোচনামূলক বিন্দুতে একটি ডান-হ্যান্ডেড ডেরিভেটিভ এবং একটি ডান-হ্যান্ডেড ট্যানজেন্ট রয়েছে এবং অন্য প্রান্তে তাদের বাম-হাতি প্রতিরূপ রয়েছে।কেন তার ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে একটি ফাংশন অন্বেষণ?
একটি চরম জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত:
: "...আমরা প্রথম ডেরিভেটিভটি নিই এবং এটিকে শূন্যে সমান করি: ...সুতরাং, আমাদের সমীকরণের সমাধান: - এই বিন্দুতে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু অবস্থিত..."। এখন, আমি মনে করি, সবাই বুঝতে পারছে কেন প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুটি ঠিক এই বিন্দুতে অবস্থিত =) সাধারণভাবে, আমাদের এখানে অনুরূপ উদাহরণ দিয়ে শুরু করা উচিত, তবে এটি খুব সহজ (এমনকি একটি চাপাতার জন্যও)। উপরন্তু, সম্পর্কে পাঠের একেবারে শেষে একটি অ্যানালগ আছে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ. অতএব, আসুন ডিগ্রী বাড়াই:
আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে আপনাকে ব্যবধানে কিছু পয়েন্ট নিতে হবে এবং এটিতে ডেরিভেটিভের মান গণনা করতে হবে 
এবং তার চিহ্ন নির্ধারণ করুন। এমনকি গণনা না করা, কিন্তু মৌখিকভাবে "অনুমান" করা আরও লাভজনক। আসুন, উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত একটি বিন্দু নিই এবং প্রতিস্থাপনটি সম্পাদন করি: 
. 
দুটি "প্লাস" এবং একটি "বিয়োগ" একটি "বিয়োগ" দেয়, তাই, যার অর্থ হল পুরো ব্যবধানে ডেরিভেটিভ নেতিবাচক।
এবং দ্বারা হ্রাস পায়। যোগদান আইকনের সাথে একই ধরণের ব্যবধান সংযোগ করা সুবিধাজনক।
বিন্দুতে ফাংশনটি সর্বনিম্ন পৌঁছায়: 
এবং যে পয়েন্টে ফাংশনের সর্বোচ্চ সীমায় পৌঁছে যায় তার দ্বারা হ্রাস পায়: 
, এবং বিন্দুতে - সর্বনিম্ন: .
এই ফাংশনের গ্রাফের সাথে অধ্যয়নের ফলাফলগুলিকে সংযুক্ত করার জন্য আবার চেষ্টা করুন।
সমালোচনামূলক পয়েন্টে কোন চরমপন্থা নেই, কিন্তু আছে গ্রাফ ইনফ্লেকশন(যা, একটি নিয়ম হিসাবে, অনুরূপ ক্ষেত্রে ঘটে)।
Soooo, গ্যালারিতে কে এই জন্য পান করার প্রস্তাব? =)
>
