একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ফাংশনের পরিবর্তনকে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি থেকে ফাংশনের বৃদ্ধির সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা শূন্যের দিকে থাকে। এটি খুঁজে পেতে, ডেরিভেটিভের টেবিল ব্যবহার করুন। উদাহরণস্বরূপ, y = x3 ফাংশনের ডেরিভেটিভ y’ = x2 এর সমান হবে।
এই ডেরিভেটিভকে শূন্যের সাথে সমান করুন (in এক্ষেত্রে x2=0)।
প্রদত্ত চলকের মান খুঁজুন। এগুলি সেই মানগুলি হবে যেখানে প্রদত্ত ডেরিভেটিভটি 0 এর সমান হবে৷ এটি করার জন্য, x এর পরিবর্তে অভিব্যক্তিতে নির্বিচারে সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করুন, যেখানে সম্পূর্ণ রাশিটি শূন্য হয়ে যাবে৷ উদাহরণ স্বরূপ:
2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1
স্থানাঙ্ক লাইনে প্রাপ্ত মানগুলি প্লট করুন এবং প্রাপ্ত প্রতিটি মানের জন্য ডেরিভেটিভের চিহ্নটি গণনা করুন। পয়েন্টগুলি স্থানাঙ্ক রেখায় চিহ্নিত করা হয়, যেগুলি মূল হিসাবে নেওয়া হয়। ব্যবধানে মান গণনা করতে, মানদণ্ডের সাথে মেলে এমন নির্বিচারী মানগুলিকে প্রতিস্থাপন করুন। উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধান -1 এর আগে আগের ফাংশনের জন্য, আপনি মান -2 নির্বাচন করতে পারেন। -1 থেকে 1 পর্যন্ত মানগুলির জন্য, আপনি 0 নির্বাচন করতে পারেন এবং 1-এর থেকে বড় মানগুলির জন্য, 2 নির্বাচন করুন। এই সংখ্যাগুলিকে ডেরিভেটিভের মধ্যে প্রতিস্থাপন করুন এবং ডেরিভেটিভের চিহ্নটি খুঁজে বের করুন। এই ক্ষেত্রে, x = -2 এর সাথে ডেরিভেটিভ -0.24 এর সমান হবে, অর্থাৎ নেতিবাচক এবং এই ব্যবধানে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকবে। যদি x=0, তাহলে মান 2 এর সমান হবে এবং এই ব্যবধানে একটি চিহ্ন বসানো হবে। যদি x=1 হয়, তাহলে ডেরিভেটিভও -0.24 এর সমান হবে এবং একটি বিয়োগ করা হবে।
যদি, স্থানাঙ্ক রেখার একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভটি তার চিহ্নকে বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তন করে, তবে এটি একটি সর্বনিম্ন বিন্দু এবং যদি প্লাস থেকে বিয়োগ হয়, তবে এটি সর্বাধিক বিন্দু।
বিষয়ের উপর ভিডিও
ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে, গণনা করে এমন অনলাইন পরিষেবা রয়েছে প্রয়োজনীয় মানএবং ফলাফল প্রদর্শন করুন। এই ধরনের সাইটে আপনি 5 তম অর্ডার পর্যন্ত ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে পারেন।
সূত্র:
- ডেরিভেটিভ গণনা করার জন্য পরিষেবাগুলির মধ্যে একটি
- ফাংশনের সর্বোচ্চ পয়েন্ট
ন্যূনতম বিন্দু সহ একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দুকে বলা হয় চরম বিন্দু। এই পয়েন্টগুলিতে ফাংশনটি তার আচরণ পরিবর্তন করে। এক্সট্রিমা সীমিত সাংখ্যিক ব্যবধানে নির্ধারিত হয় এবং সর্বদা স্থানীয় হয়।
নির্দেশনা
স্থানীয় এক্সট্রিমা খোঁজার প্রক্রিয়াটিকে একটি ফাংশন বলা হয় এবং ফাংশনের প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলি বিশ্লেষণ করে সঞ্চালিত হয়। অধ্যয়ন শুরু করার আগে, নিশ্চিত করুন যে আর্গুমেন্ট মানগুলির নির্দিষ্ট পরিসরটি বৈধ মানগুলির অন্তর্গত। উদাহরণস্বরূপ, F=1/x ফাংশনের জন্য আর্গুমেন্ট x=0 বৈধ নয়। অথবা Y=tg(x) ফাংশনের জন্য আর্গুমেন্টের মান x=90° থাকতে পারে না।
নিশ্চিত করুন যে ফাংশন Y সম্পূর্ণ প্রদত্ত ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য। Y-এর প্রথম ডেরিভেটিভটি খুঁজুন।" স্পষ্টতই, স্থানীয় সর্বোচ্চের বিন্দুতে পৌঁছানোর আগে, ফাংশনটি বৃদ্ধি পায় এবং সর্বাধিকের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ফাংশনটি হ্রাস পেতে থাকে। এর প্রথম ডেরিভেটিভ শারীরিক অর্থএকটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার চিহ্নিত করে। যখন ফাংশন বাড়ছে, এই প্রক্রিয়ার হার ইতিবাচক। স্থানীয় সর্বাধিকের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ফাংশনটি হ্রাস পেতে শুরু করে এবং ফাংশনের পরিবর্তনের হার নেতিবাচক হয়ে যায়। শূন্যের মাধ্যমে ফাংশনের পরিবর্তনের হারের স্থানান্তর স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দুতে ঘটে।
অনেকগুলি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন f(x) এর জন্য, বিন্দু x হল একটি ভেক্টর, f'(x) হল f(x) ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভস (গ্রেডিয়েন্ট) এর একটি ভেক্টর, f ′ ′(x) হল সেকেন্ডের একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স আংশিক ডেরিভেটিভস (হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স - হেসিয়ান) ফাংশন f(x)।
অনেক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য, সর্বোত্তমতার শর্তগুলি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়।
স্থানীয় অনুকূলতার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত। x * R n বিন্দুতে f(x) পার্থক্যযোগ্য হতে দিন। যদি x * একটি স্থানীয় চরম বিন্দু হয়, তাহলে f’(x *) = 0।
আগের মতই, যে বিন্দুগুলি সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান হয় তাকে স্থির বলা হয়। স্থির বিন্দু x * এর প্রকৃতি হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স f′ ′(x) এর নির্দিষ্ট চিহ্নের সাথে যুক্ত।
ম্যাট্রিক্স A-এর চিহ্ন Q(α)= দ্বিঘাত আকারের চিহ্নের উপর নির্ভর করে< α A, α >সমস্ত অ-শূন্যের জন্য α∈R n।
এখানে এবং আরও মাধ্যমে
একটি ম্যাট্রিক্স A ধনাত্মক (অ নেতিবাচক) সুনির্দিষ্ট যদি Q(α)>0 (Q(α)≥0) সমস্ত অ-শূন্য α∈R n এর জন্য; ঋণাত্মক (অ-ধনাত্মক) নির্দিষ্ট যদি Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>কিছু অ-শূন্য α∈R n এবং Q(α) এর জন্য 0<0 для остальных ненулевых α∈R n .
স্থানীয় অনুকূলতার জন্য যথেষ্ট শর্ত। যাক x * − স্থির বিন্দু। তারপর, যদি ম্যাট্রিক্স f′′(x *) ধনাত্মক (নেতিবাচক) নির্দিষ্ট হয়, তাহলে x * একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন (সর্বোচ্চ) বিন্দু; যদি ম্যাট্রিক্স f′′(x *) অনির্ধারিত হয়, তাহলে x * একটি স্যাডল বিন্দু।
যদি ম্যাট্রিক্স f′′(x *) অ-নেতিবাচকভাবে (অ-ধনাত্মকভাবে) নির্দিষ্ট হয়, তাহলে স্থির বিন্দু x * এর প্রকৃতি নির্ধারণ করতে উচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভের অধ্যয়ন প্রয়োজন।
একটি ম্যাট্রিক্সের চিহ্ন পরীক্ষা করতে, একটি নিয়ম হিসাবে, সিলভেস্টার মানদণ্ড ব্যবহার করা হয়। এই মানদণ্ড অনুসারে, একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স A ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর সমস্ত কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্ক হয়। এই ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্স A এর কৌণিক মাইনর হল একই (এবং প্রথম) সংখ্যা সহ সারি এবং কলামগুলির সংযোগস্থলে অবস্থিত ম্যাট্রিক্স A এর উপাদানগুলি থেকে নির্মিত একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক। নেতিবাচক নির্দিষ্টতার জন্য প্রতিসম ম্যাট্রিক্স A পরীক্ষা করতে, আপনাকে ইতিবাচক নির্দিষ্টতার জন্য ম্যাট্রিক্স (−A) পরীক্ষা করতে হবে।
সুতরাং, অনেকগুলি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের স্থানীয় এক্সট্রিমা পয়েন্ট নির্ধারণের জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ।
1. f′(x) খুঁজুন।
2. সিস্টেম সমাধান করা হচ্ছে 
ফলস্বরূপ, স্থির বিন্দু x i গণনা করা হয়।
3. f′′(x) খুঁজুন, i=1 সেট করুন।
4. f′′(x i) খুঁজুন
5. ম্যাট্রিক্স f′′(x i) এর কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্ক গণনা করা হয়। যদি সমস্ত কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্ক অশূন্য না হয়, তাহলে স্থির বিন্দু x i এর প্রকৃতি নির্ধারণের জন্য উচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভের অধ্যয়ন প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে, ধাপ 8 এ রূপান্তর করা হয়।
অন্যথায়, ধাপ 6 এ যান।
6. কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্কদের f′(x i) চিহ্ন বিশ্লেষণ করা হয়। যদি f′′(x i) ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট হয়, তাহলে x i একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দু। এই ক্ষেত্রে, ধাপ 8 এ রূপান্তর করা হয়।
অন্যথায়, ধাপ 7 এ যান।
7. ম্যাট্রিক্স -f′′(x i) এর কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্ক গণনা করা হয় এবং তাদের চিহ্নগুলি বিশ্লেষণ করা হয়।
যদি -f′′(x i) − ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট হয়, তাহলে f′′(x i) ঋণাত্মক নির্দিষ্ট এবং x i একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দু।
অন্যথায় f′′(x i) অনির্ধারিত এবং x i একটি স্যাডল বিন্দু।
8. সমস্ত স্থির বিন্দু i=N এর প্রকৃতি নির্ধারণের শর্তটি পরীক্ষা করা হয়েছে।
তা পূরণ হলে হিসাব-নিকাশ শেষ হয়।
শর্ত পূরণ না হলে, i=i+1 ধরে নেওয়া হয় এবং ধাপ 4-এ রূপান্তর করা হয়।
উদাহরণ নং 1। ফাংশন f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 ফাংশনের স্থানীয় প্রান্তের বিন্দুগুলি নির্ধারণ করুন 
যেহেতু সমস্ত কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্ক অ-শূন্য, তাই x 2 এর অক্ষর f′′(x) ব্যবহার করে নির্ধারিত হয়।
যেহেতু ম্যাট্রিক্স f′′(x 2) ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট, x 2 একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দু।
উত্তর: ফাংশন f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 বিন্দুতে x = (5/3; 8/3) একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন রয়েছে।
সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট
পয়েন্ট যা সবচেয়ে বড় লাগে বা ক্ষুদ্রতম মানসংজ্ঞার ডোমেনে; যেমন পয়েন্ট বলা হয় এছাড়াও পরম সর্বোচ্চ বা পরম সর্বনিম্ন পয়েন্ট. যদি একটি টপোলজিক্যাল উপর f সংজ্ঞায়িত করা হয় স্থান X, তারপর বিন্দু x 0ডাকা স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দু (স্থানীয় সর্বনিম্ন), যদি এমন একটি বিন্দু বিদ্যমান থাকে x 0,যে ফাংশন সীমাবদ্ধতার জন্য এই আশেপাশে বিবেচনাধীন বিন্দু x 0পরম সর্বোচ্চ (ন্যূনতম) বিন্দু। কঠোর এবং অ-কঠোর সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) (পরম এবং স্থানীয় উভয়) পয়েন্ট রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু কল একটি ফাংশনের একটি অ-কঠোর (কঠোর) স্থানীয় সর্বাধিকের একটি বিন্দু f, যদি বিন্দুর এমন একটি প্রতিবেশী বিদ্যমান থাকে x 0,যা প্রত্যেকের জন্য ধারণ করে (যথাক্রমে f(x)
সসীম-মাত্রিক ডোমেনে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের জন্য, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের পরিপ্রেক্ষিতে, প্রদত্ত বিন্দুর স্থানীয় সর্বোচ্চ (ন্যূনতম) বিন্দু হওয়ার শর্ত এবং চিহ্ন রয়েছে। ফাংশন f সংখ্যা অক্ষের বিন্দু x 0 এর একটি নির্দিষ্ট আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যাক। যদি x 0 -একটি অ-কঠোর স্থানীয় সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) একটি বিন্দু এবং এই বিন্দুতে f"( x 0),
তাহলে এটি শূন্যের সমান।
যদি একটি প্রদত্ত ফাংশন f একটি বিন্দুর আশেপাশে পার্থক্যযোগ্য হয় x 0,ব্যতীত, সম্ভবত, এই বিন্দুটি নিজেই, যেখানে এটি অবিচ্ছিন্ন, এবং বিন্দুর প্রতিটি পাশে ডেরিভেটিভ f" x 0এই আশেপাশে একটি ধ্রুবক চিহ্ন ধরে রাখে, তারপর যাতে x 0কঠোর স্থানীয় সর্বোচ্চ (স্থানীয় সর্বনিম্ন) একটি বিন্দু ছিল, এটি ডেরিভেটিভের জন্য প্লাস থেকে বিয়োগ চিহ্ন পরিবর্তন করার জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট, অর্থাৎ f" (x)>0-এর জন্য x এ<.x 0এবং f"(x)<0 при x>x 0(যথাক্রমে বিয়োগ থেকে প্লাস পর্যন্ত: চ"(এক্স) <0
x এ<x 0এবং f"(x)>0 এ x>x 0).
যাইহোক, একটি বিন্দুর আশেপাশে পার্থক্যযোগ্য প্রতিটি ফাংশনের জন্য নয় x 0,আমরা এই মুহুর্তে ডেরিভেটিভ পরিবর্তনের চিহ্ন সম্পর্কে কথা বলতে পারি। . "
যদি ফাংশন f একটি বিন্দুতে থাকে x 0 টিডেরিভেটিভস, এবং তারপর করার জন্য x 0কঠোর স্থানীয় সর্বোচ্চ একটি বিন্দু ছিল, এটা প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে te সমান এবং যে f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.
চলুন ফাংশন f( x 1 ..., x n] একটি বিন্দুর একটি n-মাত্রিক আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এই বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য। যদি x (0) একটি অ-কঠোর স্থানীয় সর্বোচ্চ (ন্যূনতম) একটি বিন্দু হয়, তাহলে এই বিন্দুতে ফাংশনটি শূন্যের সমান। এই শর্তটি ফাংশনের 1ম ক্রমটির সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভের এই বিন্দুতে শূন্যের সমতার সমতুল্য। যদি একটি ফাংশনের x(0) এ 2য় ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ থাকে, তাহলে x(0) তে এর সমস্ত 1ম ডেরিভেটিভ অদৃশ্য হয়ে যায় এবং x(0) এ 2য় ক্রম ডিফারেনশিয়াল একটি ঋণাত্মক (ধনাত্মক) দ্বিঘাত আকার হয়, তাহলে x (0) হল কঠোর স্থানীয় সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) একটি বিন্দু। শর্তগুলি M. এবং M.T. ডিফারেনশিয়াবল ফাংশনগুলির জন্য পরিচিত, যখন আর্গুমেন্টের পরিবর্তনের উপর কিছু বিধিনিষেধ আরোপ করা হয়: সংযোগ সমীকরণগুলি সন্তুষ্ট হয়। একটি বাস্তব ফাংশনের সর্বাধিক (ন্যূনতম) জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত, যার আরও জটিল কাঠামো রয়েছে, গণিতের বিশেষ শাখায় অধ্যয়ন করা হয়: উদাহরণস্বরূপ, উত্তল বিশ্লেষণ, গাণিতিক প্রোগ্রামিং(আরো দেখুন সর্বাধিকীকরণ এবং ফাংশন ন্যূনতমকরণ).
ম্যানিফোল্ডে সংজ্ঞায়িত M. এবং m.t ফাংশনগুলি অধ্যয়ন করা হয় সাধারণভাবে বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস,একটি M. এবং m.t. ফাংশন স্পেসে সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলির জন্য, যেমন, ফাংশনালগুলির জন্য বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস।এছাড়াও আছে বিভিন্ন পদ্ধতি m. এবং m.t এর সংখ্যাগত আনুমানিক নির্ণয়
লিট: Il'in V. A., Poznya k E. G., ফান্ডামেন্টালস গাণিতিক বিশ্লেষণ, 3য় সংস্করণ, অংশ 1, এম., 1971; কুদ্র্যাভতসেভএল। এল.ডি. কুদ্র্যাভতসেভ।
গাণিতিক বিশ্বকোষ। - এম.: সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া. আই এম ভিনোগ্রাডভ। 1977-1985।
অন্যান্য অভিধানে "সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট" কী তা দেখুন:
সময়-বিচ্ছিন্ন নিয়ন্ত্রণ প্রক্রিয়ার জন্য পন্ট্রিয়াগিনের বিচ্ছিন্ন সর্বোচ্চ নীতি। এই ধরনের একটি প্রক্রিয়ার জন্য, সসীম পার্থক্য অপারেটর ধরে নাও থাকতে পারে, যদিও তার ক্রমাগত অ্যানালগের জন্য, একটি ডিফারেনশিয়াল দিয়ে সসীম পার্থক্য অপারেটর প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত হয়... ... গাণিতিক বিশ্বকোষ
বিশ্লেষণাত্মক মডিউলের অন্যতম প্রধান বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে এমন একটি উপপাদ্য। ফাংশন ধরুন f(z) একটি নিয়মিত বিশ্লেষণাত্মক, বা হলমোরফিক, D-জটিল সংখ্যা স্থানের একটি ডোমেনে জটিল ভেরিয়েবলের ফাংশন একটি ধ্রুবক, M.m.p. থেকে ভিন্ন... ... গাণিতিক বিশ্বকোষ
সবচেয়ে বড় এবং, তদনুসারে, একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান যা বাস্তব মান নেয়। বিবেচনাধীন ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের বিন্দু, যেখানে এটি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন লাগে, বলা হয়। যথাক্রমে, সর্বোচ্চ পয়েন্ট বা সর্বনিম্ন পয়েন্ট... ... গাণিতিক বিশ্বকোষ
একটি ফাংশনের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন, একটি বিন্দুর সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন দেখুন... গাণিতিক বিশ্বকোষ
একটি ক্রমাগত ফাংশনের মান যা সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন (সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট দেখুন)। lE শব্দটি... গাণিতিক বিশ্বকোষ
নির্দেশক- (সূচক) নির্দেশক হল তথ্য পদ্ধতি, পদার্থ, ডিভাইস, ডিভাইস যা যেকোনো প্যারামিটারে পরিবর্তন দেখায়। ফরেক্স কারেন্সি মার্কেট চার্ট সূচক, সেগুলি কী এবং কোথায় ডাউনলোড করা যায়? MACD সূচকের বর্ণনা,... ... ইনভেস্টর এনসাইক্লোপিডিয়া
এই শব্দটির অন্যান্য অর্থ রয়েছে, দেখুন Extremum (অর্থ)। গণিতে Extremum (lat. extremum Extrem) হল একটি নির্দিষ্ট সেটে একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান। যে বিন্দুতে চরমে পৌঁছেছে... ... উইকিপিডিয়া
ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি শাখা যা ডেরিভেটিভ এবং ডিফারেনশিয়ালের ধারণাগুলি অধ্যয়ন করে এবং কীভাবে তারা ফাংশন অধ্যয়নের জন্য প্রয়োগ করে। বিষয়বস্তু 1 একটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস ... উইকিপিডিয়া
লেমনিসকেট এবং এর ফোকাস বার্নউলির লেমনিসকেট হল একটি সমতল বীজগণিতীয় বক্ররেখা। পয়েন্ট, পণ্যের অবস্থান হিসাবে সংজ্ঞায়িত ... উইকিপিডিয়া
ডাইভারজেন্স- (ডাইভারজেন্স) একটি সূচক হিসাবে ডাইভারজেন্স MACD ডাইভারজেন্সের সাথে ট্রেডিং কৌশল বিষয়বস্তু বিষয়বস্তু বিভাগ 1. অন। অধ্যায় 2. ডাইভারজেন্স কিভাবে. ডাইভারজেন্স একটি শব্দ যা অর্থশাস্ত্রে বিবর্তনের সাথে চলাফেরা বোঝাতে ব্যবহৃত হয়... ... ইনভেস্টর এনসাইক্লোপিডিয়া
$E \সাবসেট \mathbb(R)^(n)$। তারা বলে $f$ আছে স্থানীয় সর্বোচ্চবিন্দু $x_(0) \ E$ এ, যদি বিন্দু $x_(0)$ এর একটি প্রতিবেশী $U$ থাকে যাতে সকল $x \in U$ এর জন্য অসমতা $f\left(x\right) ) \leqslant f সন্তুষ্ট \left(x_(0)\right)$।
স্থানীয় সর্বোচ্চ বলা হয় কঠোর , যদি আশেপাশের $U$ বেছে নেওয়া যায় যাতে সমস্ত $x \in U$ $x_(0)$ থেকে আলাদা থাকে $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
সংজ্ঞা
$f$ খোলা সেট $E \subset \mathbb(R)^(n)$-এ একটি বাস্তব ফাংশন হতে দিন। তারা বলে $f$ আছে স্থানীয় সর্বনিম্নবিন্দু $x_(0) \ E$ এ, যদি বিন্দু $x_(0)$ এর একটি প্রতিবেশী $U$ থাকে যাতে সকল $x \in U$ এর জন্য অসমতা $f\left(x\right) ) \geqslant f সন্তুষ্ট \left(x_(0)\right)$।
স্থানীয় ন্যূনতমকে কঠোর বলা হয় যদি একটি প্রতিবেশী $U$ বেছে নেওয়া যায় যাতে $x_(0)$ থেকে ভিন্ন $x \in U$ এর জন্য $f\left(x\right) > f\left(x_) (0)\ডান)$।
স্থানীয় চরমতম স্থানীয় সর্বনিম্ন এবং স্থানীয় সর্বোচ্চ ধারণাগুলিকে একত্রিত করে।
উপপাদ্য ( প্রয়োজনীয় শর্তপার্থক্যযোগ্য ফাংশনের প্রান্ত)
$f$ খোলা সেট $E \subset \mathbb(R)^(n)$-এ একটি বাস্তব ফাংশন হতে দিন। যদি বিন্দু $x_(0) \ E$ এ $f$ ফাংশন থাকে স্থানীয় চরমএবং এই মুহুর্তে, তারপর $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ শূন্যের ডিফারেনশিয়ালের সমতা এই সত্যের সমতুল্য যে সবাই শূন্যের সমান, অর্থাৎ $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে এটি হল - . আসুন $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ বোঝাই, যেখানে $h$ হল একটি নির্বিচারে ভেক্টর। $\phi$ ফাংশনটি $t$ এর মানগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় যা পরম মানের ক্ষেত্রে যথেষ্ট ছোট। উপরন্তু, এটি , এবং $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$ এর ক্ষেত্রে পার্থক্যযোগ্য।
বিন্দু x $0$ এ $f$-এর একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকতে দিন। এর মানে হল $\phi$ এ $t = 0$ ফাংশনের একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ এবং, ফার্ম্যাটের উপপাদ্য অনুসারে, $(\phi)’ \left(0\right)=0$।
সুতরাং, আমরা পেয়েছি $df \left(x_(0)\right) = 0$, অর্থাৎ $x_(0)$ বিন্দুতে $f$ ফাংশন যেকোনো ভেক্টর $h$ এর শূন্যের সমান।
সংজ্ঞা
যেসব পয়েন্টে ডিফারেনশিয়াল শূন্য, অর্থাৎ যে সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান তাদের স্থির বলা হয়। সমালোচনামূলক পয়েন্টফাংশন $f$ হল সেই বিন্দু যেখানে $f$ পার্থক্যযোগ্য নয় বা শূন্যের সমান। যদি বিন্দুটি স্থির হয়, তাহলে এটি থেকে এটি অনুসরণ করা হয় না যে এই বিন্দুতে ফাংশনের একটি এক্সট্রিম আছে।
উদাহরণ 1.
ধরুন $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$। তারপর $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2) )$, তাই $\left(0,0\right)$ হল একটি স্থির বিন্দু, কিন্তু এই সময়ে ফাংশনটির কোনো এক্সট্রিম নেই। প্রকৃতপক্ষে, $f \left(0,0\right) = 0$, কিন্তু এটা দেখতে সহজ যে $\left(0,0\right)$ বিন্দুর যে কোনো এলাকায় ফাংশনটি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয় মানই নেয়।
উদাহরণ 2।
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ এর উৎপত্তিস্থলে একটি স্থির বিন্দু আছে, কিন্তু এটা স্পষ্ট যে এই বিন্দুতে কোন চরম বিন্দু নেই।
উপপাদ্য (চর্যার জন্য যথেষ্ট শর্ত)।
$f$ ফাংশনটি খোলা সেট $E \subset \mathbb(R)^(n)$ এ দুবার ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্য হতে দিন। আসুন ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ তারপর
- যদি $Q_(x_(0))$ – , তাহলে $f$ বিন্দুতে $x_(0)$ ফাংশনের একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, যথা, ফর্মটি ইতিবাচক হলে সর্বনিম্ন এবং ফর্মটি নির্দিষ্ট হলে সর্বোচ্চ নেতিবাচক নির্দিষ্ট;
- যদি দ্বিঘাত রূপ $Q_(x_(0))$ অনির্ধারিত হয়, তাহলে $x_(0)$ বিন্দুতে $f$ ফাংশনের কোনো এক্সট্রিম নেই।
টেলরের সূত্র অনুযায়ী সম্প্রসারণ ব্যবহার করা যাক (12.7 পৃ. 292)। $x_(0)$ বিন্দুতে প্রথম অর্ডারের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান, বিবেচনা করে আমরা $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ পাই ডান) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ যেখানে $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, এবং $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ এর জন্য $h \rightarrow 0$, তারপর ডান অংশযথেষ্ট ছোট দৈর্ঘ্যের $h$ যেকোনো ভেক্টরের জন্য ইতিবাচক হবে।
সুতরাং, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে $x_(0)$ বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট এলাকায় অসমতা $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ধরে যদি শুধুমাত্র $ থাকে x \neq x_ (0)$ (আমরা $x=x_(0)+h$\right রাখলাম। এর মানে হল যে $x_(0)$ বিন্দুতে ফাংশনের একটি কঠোর স্থানীয় সর্বনিম্ন আছে, এবং এইভাবে আমাদের উপপাদ্যের প্রথম অংশটি প্রমাণিত হয়েছে।
এখন ধরুন যে $Q_(x_(0))$ - অনির্দিষ্ট ফর্ম. তারপর ভেক্টর আছে $h_(1)$, $h_(2)$ যেমন $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0 তারপর আমরা পাব $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right]।$$ যথেষ্ট ছোট $t>0$ এর জন্য, ডান হাত দিক ইতিবাচক। এর মানে হল যে $x_(0)$ বিন্দুর যেকোনো আশেপাশে $f$ ফাংশনটি $f \left(x\right)$ মান $f \left(x_(0)\right)$ থেকে বেশি নেয়।
একইভাবে, আমরা দেখতে পাই যে $x_(0)$ বিন্দুর যেকোনো আশেপাশে $f$ ফাংশনটি $f \left(x_(0)\right)$ এর চেয়ে কম মান নেয়। এটি, আগেরটির সাথে একত্রে, এর অর্থ হল যে $x_(0)$ বিন্দুতে $f$ ফাংশনের একটি এক্সট্রিমাম নেই।
চলো বিবেচনা করি বিশেষ মামলাএই উপপাদ্যটির একটি ফাংশনের জন্য $f \left(x,y\right)$ বিন্দু $\left(x_(0),y_(0)\right)$ এবং ক্রমাগত আংশিক থাকার একটি নির্দিষ্ট আশেপাশে সংজ্ঞায়িত দুটি ভেরিয়েবল এই আশেপাশের প্রথমটির ডেরিভেটিভ এবং দ্বিতীয় অর্ডার। ধরে নিন যে $\left(x_(0),y_(0)\right)$ হল একটি স্থির বিন্দু এবং $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ তারপর পূর্ববর্তী উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত রূপ নেয়।
উপপাদ্য
ধরুন $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$। তারপর:
- যদি $\Delta>0$, তাহলে $f$ ফাংশনের $\left(x_(0),y_(0)\right)$ বিন্দুতে একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, যথা, একটি সর্বনিম্ন যদি $a_(11)> 0$ , এবং সর্বোচ্চ যদি $a_(11)<0$;
- যদি $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
সমস্যা সমাধানের উদাহরণ
অনেক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সীমানা খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:
- স্থির পয়েন্ট খোঁজা;
- সমস্ত স্থির বিন্দুতে 2য় অর্ডার ডিফারেনশিয়াল খুঁজুন
- অনেকগুলি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্তের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত ব্যবহার করে, আমরা প্রতিটি স্থির বিন্দুতে ২য় ক্রম ডিফারেনশিয়াল বিবেচনা করি
- extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ এর জন্য ফাংশনটি তদন্ত করুন।
সমাধানআসুন 1ম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ আসুন সিস্টেমটি রচনা এবং সমাধান করি: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(কেস)$$ ২য় সমীকরণ থেকে আমরা $x=4 \cdot y^(2)$ প্রকাশ করি - এটিকে ১ম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3)-1\right)=0$$ ফলস্বরূপ, 2টি স্থির পয়েন্ট পাওয়া যায়:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
চলুন পরীক্ষা করে দেখি যে একটি এক্সট্রিমামের জন্য পর্যাপ্ত শর্তটি সন্তুষ্ট কিনা:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) বিন্দুর জন্য $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) পয়েন্ট $M_(2)$ এর জন্য:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, যার মানে হল $M_(2)$ বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম আছে, এবং যেহেতু $A_(2)> 0$, তাহলে এটি সর্বনিম্ন।
উত্তর: বিন্দু $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ হল $f$ ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু। - $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ এর জন্য ফাংশনটি তদন্ত করুন।
সমাধানচলুন স্থির বিন্দু খুঁজে বের করি: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
আসুন সিস্টেমটি রচনা এবং সমাধান করি: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\শেষ(কেস) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ একটি স্থির বিন্দু।
এক্সট্রিমামের জন্য যথেষ্ট শর্ত পূরণ হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
উত্তরঃ কোন চরমপন্থা নেই।
সময়সীমা: 0
নেভিগেশন (শুধুমাত্র কাজের নম্বর)
4টির মধ্যে 0টি কাজ সম্পন্ন হয়েছে
তথ্য
আপনি এইমাত্র যে বিষয়টি পড়েছেন সে বিষয়ে আপনার জ্ঞান পরীক্ষা করতে এই কুইজটি নিন: একাধিক ভেরিয়েবলের ফাংশনের স্থানীয় চরম।
আপনি ইতিমধ্যে পরীক্ষা দিয়েছেন। আপনি এটা আবার শুরু করতে পারবেন না.
পরীক্ষা লোড হচ্ছে...
পরীক্ষা শুরু করার জন্য আপনাকে অবশ্যই লগ ইন বা নিবন্ধন করতে হবে।
এটি শুরু করতে আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পরীক্ষাগুলি সম্পূর্ণ করতে হবে:
ফলাফল
সঠিক উত্তর: 4 এর মধ্যে 0
তোমার সময়:
সময় শেষ হয়
আপনি 0 পয়েন্টের মধ্যে 0 (0) স্কোর করেছেন
আপনার ফলাফল লিডারবোর্ডে রেকর্ড করা হয়েছে
- উত্তর সহ
- দেখার চিহ্ন সহ
4 এর মধ্যে 2 টাস্ক
2 .
পয়েন্ট সংখ্যা: 1ফাংশন $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ এর একটি এক্সট্রিম আছে কি
4 এর মধ্যে 1 টাস্ক
1 .
পয়েন্ট সংখ্যা: 1এক্সট্রিমার জন্য $f$ ফাংশনটি তদন্ত করুন: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
ঠিক
ভুল
$E \সাবসেট \mathbb(R)^(n)$। তারা বলে $f$ আছে স্থানীয় সর্বোচ্চবিন্দু $x_(0) \ E$ এ, যদি বিন্দু $x_(0)$ এর একটি প্রতিবেশী $U$ থাকে যাতে সকল $x \in U$ এর জন্য অসমতা $f\left(x\right) ) \leqslant f সন্তুষ্ট \left(x_(0)\right)$।
স্থানীয় সর্বোচ্চ বলা হয় কঠোর , যদি আশেপাশের $U$ বেছে নেওয়া যায় যাতে সমস্ত $x \in U$ $x_(0)$ থেকে আলাদা থাকে $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
সংজ্ঞা
$f$ খোলা সেট $E \subset \mathbb(R)^(n)$-এ একটি বাস্তব ফাংশন হতে দিন। তারা বলে $f$ আছে স্থানীয় সর্বনিম্নবিন্দু $x_(0) \ E$ এ, যদি বিন্দু $x_(0)$ এর একটি প্রতিবেশী $U$ থাকে যাতে সকল $x \in U$ এর জন্য অসমতা $f\left(x\right) ) \geqslant f সন্তুষ্ট \left(x_(0)\right)$।
স্থানীয় ন্যূনতমকে কঠোর বলা হয় যদি একটি প্রতিবেশী $U$ বেছে নেওয়া যায় যাতে $x_(0)$ থেকে ভিন্ন $x \in U$ এর জন্য $f\left(x\right) > f\left(x_) (0)\ডান)$।
স্থানীয় চরমতম স্থানীয় সর্বনিম্ন এবং স্থানীয় সর্বোচ্চ ধারণাগুলিকে একত্রিত করে।
উপপাদ্য (একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের প্রান্তের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)
$f$ খোলা সেট $E \subset \mathbb(R)^(n)$-এ একটি বাস্তব ফাংশন হতে দিন। যদি এই বিন্দুতে $x_(0) \ E$ এ $f$ ফাংশনের একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, তাহলে $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ শূন্যের সমান ডিফারেনশিয়াল এই সত্যের সমান যে সমস্ত শূন্যের সমান, অর্থাৎ $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে এটি হল - . আসুন $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ বোঝাই, যেখানে $h$ হল একটি নির্বিচারে ভেক্টর। $\phi$ ফাংশনটি $t$ এর মানগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় যা পরম মানের ক্ষেত্রে যথেষ্ট ছোট। উপরন্তু, এটি , এবং $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$ এর ক্ষেত্রে পার্থক্যযোগ্য।
বিন্দু x $0$ এ $f$-এর একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকতে দিন। এর মানে হল $\phi$ এ $t = 0$ ফাংশনের একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ এবং, ফার্ম্যাটের উপপাদ্য অনুসারে, $(\phi)’ \left(0\right)=0$।
সুতরাং, আমরা পেয়েছি $df \left(x_(0)\right) = 0$, অর্থাৎ $x_(0)$ বিন্দুতে $f$ ফাংশন যেকোনো ভেক্টর $h$ এর শূন্যের সমান।
সংজ্ঞা
যেসব পয়েন্টে ডিফারেনশিয়াল শূন্য, অর্থাৎ যে সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান তাদের স্থির বলা হয়। সমালোচনামূলক পয়েন্টফাংশন $f$ হল সেই বিন্দু যেখানে $f$ পার্থক্যযোগ্য নয় বা শূন্যের সমান। যদি বিন্দুটি স্থির হয়, তাহলে এটি থেকে এটি অনুসরণ করা হয় না যে এই বিন্দুতে ফাংশনের একটি এক্সট্রিম আছে।
উদাহরণ 1.
ধরুন $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$। তারপর $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2) )$, তাই $\left(0,0\right)$ হল একটি স্থির বিন্দু, কিন্তু এই সময়ে ফাংশনটির কোনো এক্সট্রিম নেই। প্রকৃতপক্ষে, $f \left(0,0\right) = 0$, কিন্তু এটা দেখতে সহজ যে $\left(0,0\right)$ বিন্দুর যে কোনো এলাকায় ফাংশনটি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয় মানই নেয়।
উদাহরণ 2।
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ এর উৎপত্তিস্থলে একটি স্থির বিন্দু আছে, কিন্তু এটা স্পষ্ট যে এই বিন্দুতে কোন চরম বিন্দু নেই।
উপপাদ্য (চর্যার জন্য যথেষ্ট শর্ত)।
$f$ ফাংশনটি খোলা সেট $E \subset \mathbb(R)^(n)$ এ দুবার ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্য হতে দিন। আসুন ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ তারপর
- যদি $Q_(x_(0))$ – , তাহলে $f$ বিন্দুতে $x_(0)$ ফাংশনের একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, যথা, ফর্মটি ইতিবাচক হলে সর্বনিম্ন এবং ফর্মটি নির্দিষ্ট হলে সর্বোচ্চ নেতিবাচক নির্দিষ্ট;
- যদি দ্বিঘাত রূপ $Q_(x_(0))$ অনির্ধারিত হয়, তাহলে $x_(0)$ বিন্দুতে $f$ ফাংশনের কোনো এক্সট্রিম নেই।
টেলরের সূত্র অনুযায়ী সম্প্রসারণ ব্যবহার করা যাক (12.7 পৃ. 292)। $x_(0)$ বিন্দুতে প্রথম অর্ডারের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান, বিবেচনা করে আমরা $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ পাই ডান) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ যেখানে $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, এবং $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ এর জন্য $h \rightarrow 0$, তাহলে ডানদিকের দিকটি যথেষ্ট ছোট দৈর্ঘ্যের $h$ যেকোনো ভেক্টরের জন্য ইতিবাচক হবে।
সুতরাং, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে $x_(0)$ বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট এলাকায় অসমতা $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ধরে যদি শুধুমাত্র $ থাকে x \neq x_ (0)$ (আমরা $x=x_(0)+h$\right রাখলাম। এর মানে হল যে $x_(0)$ বিন্দুতে ফাংশনের একটি কঠোর স্থানীয় সর্বনিম্ন আছে, এবং এইভাবে আমাদের উপপাদ্যের প্রথম অংশটি প্রমাণিত হয়েছে।
আসুন এখন ধরে নিই যে $Q_(x_(0))$ হল একটি অনির্দিষ্ট রূপ। তারপর ভেক্টর আছে $h_(1)$, $h_(2)$ যেমন $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0 তারপর আমরা পাব $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right]।$$ যথেষ্ট ছোট $t>0$ এর জন্য, ডান হাত দিক ইতিবাচক। এর মানে হল যে $x_(0)$ বিন্দুর যেকোনো আশেপাশে $f$ ফাংশনটি $f \left(x\right)$ মান $f \left(x_(0)\right)$ থেকে বেশি নেয়।
একইভাবে, আমরা দেখতে পাই যে $x_(0)$ বিন্দুর যেকোনো আশেপাশে $f$ ফাংশনটি $f \left(x_(0)\right)$ এর চেয়ে কম মান নেয়। এটি, আগেরটির সাথে একত্রে, এর অর্থ হল যে $x_(0)$ বিন্দুতে $f$ ফাংশনের একটি এক্সট্রিমাম নেই।
আসুন এই উপপাদ্যটির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করি )$ এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় অর্ডারগুলির ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভস থাকা। ধরে নিন যে $\left(x_(0),y_(0)\right)$ হল একটি স্থির বিন্দু এবং $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ তারপর পূর্ববর্তী উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত রূপ নেয়।
উপপাদ্য
ধরুন $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$। তারপর:
- যদি $\Delta>0$, তাহলে $f$ ফাংশনের $\left(x_(0),y_(0)\right)$ বিন্দুতে একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, যথা, একটি সর্বনিম্ন যদি $a_(11)> 0$ , এবং সর্বোচ্চ যদি $a_(11)<0$;
- যদি $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
সমস্যা সমাধানের উদাহরণ
অনেক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সীমানা খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:
- স্থির পয়েন্ট খোঁজা;
- সমস্ত স্থির বিন্দুতে 2য় অর্ডার ডিফারেনশিয়াল খুঁজুন
- অনেকগুলি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্তের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত ব্যবহার করে, আমরা প্রতিটি স্থির বিন্দুতে ২য় ক্রম ডিফারেনশিয়াল বিবেচনা করি
- extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ এর জন্য ফাংশনটি তদন্ত করুন।
সমাধানআসুন 1ম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ আসুন সিস্টেমটি রচনা এবং সমাধান করি: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(কেস)$$ ২য় সমীকরণ থেকে আমরা $x=4 \cdot y^(2)$ প্রকাশ করি - এটিকে ১ম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3)-1\right)=0$$ ফলস্বরূপ, 2টি স্থির পয়েন্ট পাওয়া যায়:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
চলুন পরীক্ষা করে দেখি যে একটি এক্সট্রিমামের জন্য পর্যাপ্ত শর্তটি সন্তুষ্ট কিনা:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) বিন্দুর জন্য $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) পয়েন্ট $M_(2)$ এর জন্য:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, যার মানে হল $M_(2)$ বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম আছে, এবং যেহেতু $A_(2)> 0$, তাহলে এটি সর্বনিম্ন।
উত্তর: বিন্দু $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ হল $f$ ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু। - $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ এর জন্য ফাংশনটি তদন্ত করুন।
সমাধানচলুন স্থির বিন্দু খুঁজে বের করি: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
আসুন সিস্টেমটি রচনা এবং সমাধান করি: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\শেষ(কেস) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ একটি স্থির বিন্দু।
এক্সট্রিমামের জন্য যথেষ্ট শর্ত পূরণ হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
উত্তরঃ কোন চরমপন্থা নেই।
সময়সীমা: 0
নেভিগেশন (শুধুমাত্র কাজের নম্বর)
4টির মধ্যে 0টি কাজ সম্পন্ন হয়েছে
তথ্য
আপনি এইমাত্র যে বিষয়টি পড়েছেন সে বিষয়ে আপনার জ্ঞান পরীক্ষা করতে এই কুইজটি নিন: একাধিক ভেরিয়েবলের ফাংশনের স্থানীয় চরম।
আপনি ইতিমধ্যে পরীক্ষা দিয়েছেন। আপনি এটা আবার শুরু করতে পারবেন না.
পরীক্ষা লোড হচ্ছে...
পরীক্ষা শুরু করার জন্য আপনাকে অবশ্যই লগ ইন বা নিবন্ধন করতে হবে।
এটি শুরু করতে আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পরীক্ষাগুলি সম্পূর্ণ করতে হবে:
ফলাফল
সঠিক উত্তর: 4 এর মধ্যে 0
তোমার সময়:
সময় শেষ হয়
আপনি 0 পয়েন্টের মধ্যে 0 (0) স্কোর করেছেন
আপনার ফলাফল লিডারবোর্ডে রেকর্ড করা হয়েছে
- উত্তর সহ
- দেখার চিহ্ন সহ
4 এর মধ্যে 2 টাস্ক
2 .
পয়েন্ট সংখ্যা: 1ফাংশন $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ এর একটি এক্সট্রিম আছে কি
4 এর মধ্যে 1 টাস্ক
1 .
পয়েন্ট সংখ্যা: 1এক্সট্রিমার জন্য $f$ ফাংশনটি তদন্ত করুন: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
ঠিক
ভুল
