একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ফাংশনের পরিবর্তনকে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি থেকে ফাংশনের বৃদ্ধির সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা শূন্যের দিকে থাকে। এটি খুঁজে পেতে, ডেরিভেটিভের টেবিল ব্যবহার করুন। উদাহরণস্বরূপ, y = x3 ফাংশনের ডেরিভেটিভ y’ = x2 এর সমান হবে।

এই ডেরিভেটিভকে শূন্যের সাথে সমান করুন (in এক্ষেত্রে x2=0)।

প্রদত্ত চলকের মান খুঁজুন। এগুলি সেই মানগুলি হবে যেখানে প্রদত্ত ডেরিভেটিভটি 0 এর সমান হবে৷ এটি করার জন্য, x এর পরিবর্তে অভিব্যক্তিতে নির্বিচারে সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করুন, যেখানে সম্পূর্ণ রাশিটি শূন্য হয়ে যাবে৷ উদাহরণ স্বরূপ:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

স্থানাঙ্ক লাইনে প্রাপ্ত মানগুলি প্লট করুন এবং প্রাপ্ত প্রতিটি মানের জন্য ডেরিভেটিভের চিহ্নটি গণনা করুন। পয়েন্টগুলি স্থানাঙ্ক রেখায় চিহ্নিত করা হয়, যেগুলি মূল হিসাবে নেওয়া হয়। ব্যবধানে মান গণনা করতে, মানদণ্ডের সাথে মেলে এমন নির্বিচারী মানগুলিকে প্রতিস্থাপন করুন। উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধান -1 এর আগে আগের ফাংশনের জন্য, আপনি মান -2 নির্বাচন করতে পারেন। -1 থেকে 1 পর্যন্ত মানগুলির জন্য, আপনি 0 নির্বাচন করতে পারেন এবং 1-এর থেকে বড় মানগুলির জন্য, 2 নির্বাচন করুন। এই সংখ্যাগুলিকে ডেরিভেটিভের মধ্যে প্রতিস্থাপন করুন এবং ডেরিভেটিভের চিহ্নটি খুঁজে বের করুন। এই ক্ষেত্রে, x = -2 এর সাথে ডেরিভেটিভ -0.24 এর সমান হবে, অর্থাৎ নেতিবাচক এবং এই ব্যবধানে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকবে। যদি x=0, তাহলে মান 2 এর সমান হবে এবং এই ব্যবধানে একটি চিহ্ন বসানো হবে। যদি x=1 হয়, তাহলে ডেরিভেটিভও -0.24 এর সমান হবে এবং একটি বিয়োগ করা হবে।

যদি, স্থানাঙ্ক রেখার একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভটি তার চিহ্নকে বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তন করে, তবে এটি একটি সর্বনিম্ন বিন্দু এবং যদি প্লাস থেকে বিয়োগ হয়, তবে এটি সর্বাধিক বিন্দু।

বিষয়ের উপর ভিডিও

সহায়ক পরামর্শ

ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে, গণনা করে এমন অনলাইন পরিষেবা রয়েছে প্রয়োজনীয় মানএবং ফলাফল প্রদর্শন করুন। এই ধরনের সাইটে আপনি 5 তম অর্ডার পর্যন্ত ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে পারেন।

সূত্র:

• ডেরিভেটিভ গণনা করার জন্য পরিষেবাগুলির মধ্যে একটি
• ফাংশনের সর্বোচ্চ পয়েন্ট

ন্যূনতম বিন্দু সহ একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দুকে বলা হয় চরম বিন্দু। এই পয়েন্টগুলিতে ফাংশনটি তার আচরণ পরিবর্তন করে। এক্সট্রিমা সীমিত সাংখ্যিক ব্যবধানে নির্ধারিত হয় এবং সর্বদা স্থানীয় হয়।

নির্দেশনা

স্থানীয় এক্সট্রিমা খোঁজার প্রক্রিয়াটিকে একটি ফাংশন বলা হয় এবং ফাংশনের প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলি বিশ্লেষণ করে সঞ্চালিত হয়। অধ্যয়ন শুরু করার আগে, নিশ্চিত করুন যে আর্গুমেন্ট মানগুলির নির্দিষ্ট পরিসরটি বৈধ মানগুলির অন্তর্গত। উদাহরণস্বরূপ, F=1/x ফাংশনের জন্য আর্গুমেন্ট x=0 বৈধ নয়। অথবা Y=tg(x) ফাংশনের জন্য আর্গুমেন্টের মান x=90° থাকতে পারে না।

নিশ্চিত করুন যে ফাংশন Y সম্পূর্ণ প্রদত্ত ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য। Y-এর প্রথম ডেরিভেটিভটি খুঁজুন।" স্পষ্টতই, স্থানীয় সর্বোচ্চের বিন্দুতে পৌঁছানোর আগে, ফাংশনটি বৃদ্ধি পায় এবং সর্বাধিকের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ফাংশনটি হ্রাস পেতে থাকে। এর প্রথম ডেরিভেটিভ শারীরিক অর্থএকটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার চিহ্নিত করে। যখন ফাংশন বাড়ছে, এই প্রক্রিয়ার হার ইতিবাচক। স্থানীয় সর্বাধিকের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ফাংশনটি হ্রাস পেতে শুরু করে এবং ফাংশনের পরিবর্তনের হার নেতিবাচক হয়ে যায়। শূন্যের মাধ্যমে ফাংশনের পরিবর্তনের হারের স্থানান্তর স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দুতে ঘটে।

ফাংশন অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট আছে বলা হয়
অঞ্চল ডি স্থানীয় সর্বোচ্চ(সর্বনিম্ন), যদি বিন্দুর এমন একটি পাড়া থাকে
, প্রতিটি পয়েন্টের জন্য
যা অসমতা ধরে রাখে

যদি একটি ফাংশন একটি বিন্দুতে থাকে
স্থানীয় সর্বোচ্চ বা স্থানীয় সর্বনিম্ন, তারপর আমরা বলি যে এটি এই সময়ে আছে স্থানীয় চরম (বা শুধু একটি চরম).

উপপাদ্য (একটি চরম অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত) যদি পার্থক্যযোগ্য ফাংশন বিন্দুতে একটি চরমে পৌঁছে
, তারপর ফাংশনের প্রতিটি প্রথম-ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভ এই মুহুর্তে এটি শূন্য হয়ে যায়।

যে পয়েন্টগুলিতে সমস্ত প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি অদৃশ্য হয়ে যায় সেগুলিকে বলা হয় ফাংশনের স্থির বিন্দু
. এই পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি এর সিস্টেমটি সমাধান করে পাওয়া যেতে পারে সমীকরণ

.

একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের ক্ষেত্রে একটি এক্সট্রিমামের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তটি সংক্ষেপে নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে:

এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যখন পৃথক পয়েন্টে কিছু আংশিক ডেরিভেটিভের অসীম মান থাকে বা বিদ্যমান থাকে না (যদিও বাকিগুলি শূন্যের সমান)। এই ধরনের পয়েন্ট বলা হয় ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্ট।এই পয়েন্টগুলিকে স্থির বিষয়গুলির মতোই একটি চরমের জন্য "সন্দেহজনক" হিসাবেও বিবেচনা করা উচিত।

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় শর্ত extremum, অর্থাৎ চরম বিন্দুতে আংশিক ডেরিভেটিভের (পার্থক্য) শূন্যের সমতা, এর একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে: পৃষ্ঠের স্পর্শক সমতল
চরম বিন্দুতে সমতলের সমান্তরাল হতে হবে
.

20. একটি extremum অস্তিত্বের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত

কোনো কোনো সময়ে এক্সট্রিমিয়ামের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত পূরণ করা সেখানে কোনো এক্সট্রিমমের উপস্থিতির নিশ্চয়তা দেয় না। একটি উদাহরণ হিসাবে, আমরা সর্বত্র পার্থক্যযোগ্য ফাংশন নিতে পারি
. এর আংশিক ডেরিভেটিভ এবং ফাংশন উভয়ই বিন্দুতে অদৃশ্য হয়ে যায়
. যাইহোক, এই বিন্দুর যে কোন আশেপাশে উভয় ইতিবাচক (বড়
), এবং নেতিবাচক (ছোট
) এই ফাংশনের মান। অতএব, এই মুহুর্তে, সংজ্ঞা দ্বারা, কোন চরমপন্থা পরিলক্ষিত হয় না। অতএব, পর্যাপ্ত শর্তগুলি জানা প্রয়োজন যার অধীনে একটি বিন্দুকে চরম বলে সন্দেহ করা হচ্ছে অধ্যয়নের অধীনে ফাংশনের একটি চরম বিন্দু।

চলুন দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক। এর ফাংশন ধরে নেওয়া যাক
সংজ্ঞায়িত, অবিচ্ছিন্ন এবং কিছু পয়েন্টের আশেপাশে অন্তর্ভুক্ত করে দ্বিতীয় ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে
, যা ফাংশনের স্থির বিন্দু
, অর্থাৎ শর্ত পূরণ করে

,
.

আসুন নিম্নলিখিত স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দিই:

উপপাদ্য (একটি চরম অস্তিত্বের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত) ফাংশন যাক
উপরের শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে, যথা: এটি একটি স্থির বিন্দুর কিছু আশেপাশে পার্থক্যযোগ্য
এবং বিন্দু নিজেই দ্বিগুণ পার্থক্যযোগ্য
. তারপর যদি

যদি
তারপর ফাংশন
বিন্দুতে
পৌঁছায়

স্থানীয় সর্বোচ্চএ
এবং

স্থানীয় সর্বনিম্নএ
.

সাধারণভাবে, ফাংশনের জন্য
বিন্দুতে অস্তিত্বের জন্য যথেষ্ট শর্ত
স্থানীয়সর্বনিম্ন(সর্বোচ্চ) হয় ইতিবাচক(নেতিবাচক) দ্বিতীয় ডিফারেনশিয়ালের নিশ্চিততা।

অন্য কথায়, নিম্নলিখিত বিবৃতিটি সত্য।

উপপাদ্য . যদি বিন্দুতে
ফাংশনের জন্য

একই সময়ে শূন্যের সমান নয়
, তারপর এই সময়ে ফাংশন আছে সর্বনিম্ন(অনুরূপ, একই, সমতুল্য সর্বোচ্চ, যদি
).

উদাহরণ 18।একটি ফাংশনের স্থানীয় এক্সট্রিম পয়েন্ট খুঁজুন

সমাধান. আসুন ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি এবং তাদের শূন্যের সমান করি:

এই সিস্টেমটি সমাধান করে, আমরা দুটি সম্ভাব্য চরম পয়েন্ট খুঁজে পাই:

আসুন এই ফাংশনের জন্য দ্বিতীয় ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি:

প্রথম স্থির বিন্দুতে, অতএব, এবং
অতএব, এই সময়ে অতিরিক্ত গবেষণা প্রয়োজন। ফাংশন মান
এই সময়ে শূন্য:
আরও,

এ

ক

এ

অতএব, বিন্দু যে কোন আশেপাশে
ফাংশন
বড় হিসাবে মান নেয়
, এবং ছোট
, এবং, অতএব, বিন্দুতে
ফাংশন
, সংজ্ঞা অনুসারে, কোন স্থানীয় চরমপন্থা নেই।

দ্বিতীয় স্থির বিন্দুতে



অতএব, অতএব, যেহেতু
তারপর বিন্দুতে
ফাংশন একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ আছে.

>> চরম

ফাংশন এর চরম

চরমের সংজ্ঞা

ফাংশন y = f(x) বলা হয় ক্রমবর্ধমান (হ্রাস) একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে, যদি x 1 এর জন্য< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2))।

যদি ডিফারেনশিয়াবল ফাংশন y = f (x) একটি ব্যবধানে বৃদ্ধি পায় (হ্রাস) তবে এই ব্যবধানে এর ডেরিভেটিভ f " (এক্স)> 0

(চ"(এক্স)< 0).

ডট এক্স ও ডাকা স্থানীয় সর্বোচ্চ পয়েন্ট (সর্বনিম্ন) ফাংশন f (x) যদি বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে x o, সমস্ত বিন্দুর জন্য যার অসমতা f (x) সত্য≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o))।

সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট বলা হয় চরম পয়েন্ট, এবং এই বিন্দুতে ফাংশনের মান হল এর চরম

চরম পয়েন্ট

একটি extremum জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত . যদি বিন্দু এক্স ও ফাংশন f (x) এর চরম বিন্দু, তারপর হয় f " (x o ) = 0, বা f(x o) বিদ্যমান নেই। এই ধরনের পয়েন্ট বলা হয় সমালোচনামূলক,এবং ফাংশন নিজেই জটিল বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ফাংশনের চরমতা তার সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির মধ্যে চাওয়া উচিত।

প্রথম যথেষ্ট শর্ত. দিন এক্স ও - সমালোচনামূলক পয়েন্ট। যদি চ" (x) একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় এক্স ও যোগ চিহ্নটিকে বিয়োগে পরিবর্তন করে, তারপর বিন্দুতে x oফাংশন একটি সর্বোচ্চ আছে, অন্যথায় এটি একটি সর্বনিম্ন আছে. যদি, ক্রিটিক্যাল পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভ চিহ্ন পরিবর্তন না করে, তাহলে বিন্দুতে এক্স ও কোন চরম আছে.

দ্বিতীয় পর্যাপ্ত শর্ত। ফাংশন f(x) থাকতে দিন
চ" (x) বিন্দুর আশেপাশে এক্স ও এবং বিন্দু নিজেই দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ x o. যদি চ"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o f (x) ফাংশনের স্থানীয় সর্বনিম্ন (সর্বোচ্চ) বিন্দু। যদি =0, তাহলে আপনাকে হয় প্রথম পর্যাপ্ত শর্তটি ব্যবহার করতে হবে বা উচ্চতরগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

একটি সেগমেন্টে, ফাংশন y = f (x) তার ন্যূনতম বা সর্বোচ্চ মান হতে পারে গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে বা সেগমেন্টের শেষে।

উদাহরণ 3.22।

সমাধান।কারণ চ " (

একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে পেতে সমস্যা

উদাহরণ 3.23। ক

সমাধান। এক্সএবং y y
0 ≤ এক্স≤
> 0, এবং কখন x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ফাংশন kv. ইউনিট).

উদাহরণ 3.24। p ≈

সমাধান।পি পি
এস"
R = 2, H = 16/4 = 4।

উদাহরণ 3.22।f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ফাংশনের প্রান্ত নির্ণয় কর।

সমাধান।কারণ চ " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), তারপর ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট x 1 = 2 এবং x 2 = 3। এক্সট্রিমা শুধুমাত্র এই বিন্দুতে হতে পারে। যেহেতু x 1 = 2 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় ডেরিভেটিভ পরিবর্তনের চিহ্ন প্লাস থেকে বিয়োগ করে, তাহলে এই সময়ে ফাংশনটির সর্বোচ্চ থাকে। x 2 = 3 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভ তার চিহ্নকে বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তন করে, তাই x 2 = 3 বিন্দুতে ফাংশনের একটি সর্বনিম্ন থাকে। পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মান গণনা করা
x 1 = 2 এবং x 2 = 3, আমরা ফাংশনের প্রান্তটি খুঁজে পাই: সর্বাধিক f (2) = 14 এবং সর্বনিম্ন f (3) = 13।

উদাহরণ 3.23।পাথরের প্রাচীরের কাছে একটি আয়তক্ষেত্রাকার এলাকা তৈরি করা প্রয়োজন যাতে এটি তারের জাল দিয়ে তিন দিকে বেড়া দেওয়া হয় এবং চতুর্থ দিকটি প্রাচীরের সংলগ্ন হয়। এই জন্য আছে কজাল রৈখিক মিটার. কোন দৃষ্টিকোণ অনুপাতে সাইটের আয়তন সবচেয়ে বেশি হবে?

সমাধান।আসুন প্ল্যাটফর্মের দিকগুলিকে দ্বারা চিহ্নিত করি এক্সএবং y. সাইটের ক্ষেত্রফল হল S = xy। দিন y- এটি প্রাচীর সংলগ্ন পাশের দৈর্ঘ্য। তারপর, শর্ত অনুসারে, সমতা 2x + y = a অবশ্যই সন্তুষ্ট হতে হবে। অতএব y = a - 2x এবং S = x (a - 2x), যেখানে
0 ≤ এক্স≤ a /2 (ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না)। S " = a - 4x, a - 4x = 0 এ x = a/4, কোথা থেকে
y = a - 2 × a/4 =a/2। কারন x = a /4 হল একমাত্র গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু; এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় ডেরিভেটিভের চিহ্ন পরিবর্তন হয় কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। x a /4 S" এ> 0, এবং কখন x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ফাংশন S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (kv. ইউনিট). যেহেতু S ক্রমাগত চালু আছে এবং এর শেষে S(0) এবং S(a/2) এর মান শূন্যের সমান, তাহলে পাওয়া মান হবে সর্বোচ্চ মানফাংশন এইভাবে, সমস্যার প্রদত্ত অবস্থার অধীনে সাইটের সবচেয়ে অনুকূল অনুপাত হল y = 2x।

উদাহরণ 3.24।V=16 ধারণক্ষমতা সহ একটি বন্ধ নলাকার ট্যাঙ্ক তৈরি করতে হবে p ≈ 50 মি 3। ট্যাঙ্কের মাত্রা কী হওয়া উচিত (ব্যাসার্ধ R এবং উচ্চতা H) যাতে এটি তৈরিতে সর্বনিম্ন পরিমাণ উপাদান ব্যবহার করা হয়?

সমাধান।সিলিন্ডারের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল S = 2পি R(R+H)। আমরা সিলিন্ডার V = এর আয়তন জানি p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2। সুতরাং S(R) = 2পি (R 2 +16/R)। আমরা এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
এস"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2)। এস" (R) = 0 এ R 3 = 8, অতএব,
R = 2, H = 16/4 = 4।

$E \সাবসেট \mathbb(R)^(n)$। তারা বলে $f$ আছে স্থানীয় সর্বোচ্চবিন্দু $x_(0) \ E$ এ, যদি বিন্দু $x_(0)$ এর একটি প্রতিবেশী $U$ থাকে যাতে সকল $x \in U$ এর জন্য অসমতা $f\left(x\right) ) \leqslant f সন্তুষ্ট \left(x_(0)\right)$।

স্থানীয় সর্বোচ্চ বলা হয় কঠোর , যদি আশেপাশের $U$ বেছে নেওয়া যায় যাতে সমস্ত $x \in U$ $x_(0)$ থেকে আলাদা থাকে $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

সংজ্ঞা
$f$ খোলা সেট $E \subset \mathbb(R)^(n)$-এ একটি বাস্তব ফাংশন হতে দিন। তারা বলে $f$ আছে স্থানীয় সর্বনিম্নবিন্দু $x_(0) \ E$ এ, যদি $x_(0)$ বিন্দুর একটি প্রতিবেশী $U$ থাকে যাতে অসমতা $f\left(x\right) \geqslant f সমস্ত $ এর জন্য ধরে থাকে x \in U$ \left(x_(0)\right)$।

একটি স্থানীয় সর্বনিম্নকে কঠোর বলা হয় যদি একটি প্রতিবেশী $U$ বেছে নেওয়া যায় যাতে $x_(0)$ থেকে ভিন্ন $x \in U$ এর জন্য $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\ডান)$।

স্থানীয় চরমতম স্থানীয় সর্বনিম্ন এবং স্থানীয় সর্বোচ্চ ধারণাগুলিকে একত্রিত করে।

উপপাদ্য (একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের প্রান্তের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)
$f$ খোলা সেট $E \subset \mathbb(R)^(n)$-এ একটি বাস্তব ফাংশন হতে দিন। যদি এই বিন্দুতে $x_(0) \ E$ এ $f$ ফাংশনের একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, তাহলে $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ শূন্যের সমান ডিফারেনশিয়াল এই সত্যের সমান যে সমস্ত শূন্যের সমান, অর্থাৎ $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে এটি হল – . আসুন $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ বোঝাই, যেখানে $h$ হল একটি নির্বিচারে ভেক্টর। $\phi$ ফাংশনটি $t$ এর মানগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় যা পরম মানের ক্ষেত্রে যথেষ্ট ছোট। উপরন্তু, এটি , এবং $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$ এর ক্ষেত্রে পার্থক্যযোগ্য।
বিন্দু x $0$-এ $f$-এর একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকতে দিন। এর মানে হল $\phi$ এ $t = 0$ ফাংশনের একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ এবং, ফার্ম্যাটের উপপাদ্য অনুসারে, $(\phi)’ \left(0\right)=0$।
সুতরাং, আমরা পেয়েছি $df \left(x_(0)\right) = 0$, অর্থাৎ $x_(0)$ বিন্দুতে $f$ ফাংশন যেকোনো ভেক্টর $h$ এর শূন্যের সমান।

সংজ্ঞা
যেসব পয়েন্টে ডিফারেনশিয়াল শূন্য, অর্থাৎ যে সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান তাদের স্থির বলা হয়। সমালোচনামূলক পয়েন্টফাংশন $f$ হল সেই বিন্দু যেখানে $f$ পার্থক্যযোগ্য নয় বা শূন্যের সমান। যদি বিন্দুটি স্থির হয়, তাহলে এটি থেকে এটি অনুসরণ করা হয় না যে এই বিন্দুতে ফাংশনের একটি এক্সট্রিম আছে।

উদাহরণ 1.
ধরুন $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$। তারপর $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2) )$, তাই $\left(0,0\right)$ হল একটি স্থির বিন্দু, কিন্তু এই সময়ে ফাংশনটির কোনো এক্সট্রিম নেই। প্রকৃতপক্ষে, $f \left(0,0\right) = 0$, কিন্তু এটা দেখতে সহজ যে $\left(0,0\right)$ বিন্দুর যে কোনো এলাকায় ফাংশনটি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয় মানই নেয়।

উদাহরণ 2।
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ এর উৎপত্তিস্থলে একটি স্থির বিন্দু আছে, কিন্তু এটা স্পষ্ট যে এই বিন্দুতে কোন চরম বিন্দু নেই।

উপপাদ্য (চর্যার জন্য যথেষ্ট শর্ত)।
$f$ ফাংশনটি খোলা সেট $E \subset \mathbb(R)^(n)$ এ দুবার ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্য হতে দিন। আসুন ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ তারপর

1. যদি $Q_(x_(0))$ – , তাহলে $f$ বিন্দুতে $x_(0)$ ফাংশনের একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, যথা, ফর্মটি ইতিবাচক হলে সর্বনিম্ন এবং ফর্মটি নির্দিষ্ট হলে সর্বোচ্চ নেতিবাচক নির্দিষ্ট;
2. যদি দ্বিঘাত রূপ $Q_(x_(0))$ অনির্ধারিত হয়, তাহলে $x_(0)$ বিন্দুতে $f$ ফাংশনের কোনো এক্সট্রিম নেই।

টেলরের সূত্র অনুযায়ী সম্প্রসারণ ব্যবহার করা যাক (12.7 পৃ. 292)। $x_(0)$ বিন্দুতে প্রথম অর্ডারের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান, বিবেচনা করে আমরা $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ পাই ডান) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ যেখানে $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, এবং $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ এর জন্য $h \rightarrow 0$, তারপর ডান অংশযথেষ্ট ছোট দৈর্ঘ্যের $h$ যেকোনো ভেক্টরের জন্য ইতিবাচক হবে।
সুতরাং, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে $x_(0)$ বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট এলাকায় অসমতা $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ধরে যদি শুধুমাত্র $ থাকে x \neq x_ (0)$ (আমরা $x=x_(0)+h$\right রাখলাম। এর মানে হল যে $x_(0)$ বিন্দুতে ফাংশনের একটি কঠোর স্থানীয় সর্বনিম্ন আছে, এবং এইভাবে আমাদের উপপাদ্যের প্রথম অংশটি প্রমাণিত হয়েছে।
এখন ধরুন যে $Q_(x_(0))$ - অনির্দিষ্ট ফর্ম. তারপর ভেক্টর আছে $h_(1)$, $h_(2)$ যেমন $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0 তারপর আমরা পাব $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right]।$$ যথেষ্ট ছোট $t>0$ এর জন্য, ডান হাত দিক ইতিবাচক। এর মানে হল যে $x_(0)$ বিন্দুর যেকোন আশেপাশে $f$ ফাংশনটি $f \left(x\right)$ মান $f \left(x_(0)\right)$ থেকে বেশি নেয়।
একইভাবে, আমরা দেখতে পাই যে $x_(0)$ বিন্দুর যেকোনো আশেপাশে $f$ ফাংশনটি $f \left(x_(0)\right)$ এর চেয়ে কম মান নেয়। এটি, আগেরটির সাথে একত্রে, এর অর্থ হল $x_(0)$ বিন্দুতে $f$ ফাংশনটির একটি এক্সট্রিমাম নেই।

চলো বিবেচনা করি বিশেষ মামলাএই উপপাদ্যটির একটি ফাংশনের জন্য $f \left(x,y\right)$ বিন্দু $\left(x_(0),y_(0)\right)$ এবং অবিচ্ছিন্ন আংশিক থাকা এই আশেপাশের প্রথমটির ডেরিভেটিভ এবং দ্বিতীয় অর্ডার। ধরে নিন যে $\left(x_(0),y_(0)\right)$ হল একটি স্থির বিন্দু এবং $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ তারপর পূর্ববর্তী উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত রূপ নেয়।

উপপাদ্য
ধরুন $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$। তারপর:

1. যদি $\Delta>0$, তাহলে $f$ ফাংশনের $\left(x_(0),y_(0)\right)$ বিন্দুতে একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, যথা, একটি সর্বনিম্ন যদি $a_(11)> 0$ , এবং সর্বোচ্চ যদি $a_(11)<0$;
2. যদি $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

অনেক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সীমানা খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:

1. স্থির পয়েন্ট খোঁজা;
2. সমস্ত স্থির বিন্দুতে 2য় অর্ডার ডিফারেনশিয়াল খুঁজুন
3. অনেকগুলি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্তের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত ব্যবহার করে, আমরা প্রতিটি স্থির বিন্দুতে ২য় ক্রম ডিফারেনশিয়াল বিবেচনা করি

1. extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ এর জন্য ফাংশনটি তদন্ত করুন।
   সমাধান

   আসুন ১ম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে দেখি: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ আসুন সিস্টেমটি রচনা এবং সমাধান করি: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(কেস)$$ ২য় সমীকরণ থেকে আমরা $x=4 \cdot y^(2)$ প্রকাশ করি - এটিকে ১ম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3)-1\right)=0$$ ফলস্বরূপ, 2টি স্থির পয়েন্ট পাওয়া যায়:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   চলুন পরীক্ষা করে দেখি যে একটি এক্সট্রিমামের জন্য পর্যাপ্ত শর্তটি সন্তুষ্ট কিনা:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) বিন্দুর জন্য $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) পয়েন্ট $M_(2)$ এর জন্য:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, যার মানে হল যে $M_(2)$ বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম আছে, এবং যেহেতু $A_(2)> 0$, তাহলে এটি সর্বনিম্ন।
   উত্তর: বিন্দু $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ হল $f$ ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।
   

2. $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ এর জন্য ফাংশনটি তদন্ত করুন।
   সমাধান

   চলুন স্থির বিন্দু খুঁজে বের করি: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   আসুন সিস্টেমটি রচনা এবং সমাধান করি: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\শেষ(কেস) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ একটি স্থির বিন্দু।
   এক্সট্রিমামের জন্য যথেষ্ট শর্ত পূরণ হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   উত্তরঃ কোন চরমপন্থা নেই।
   

সময়সীমা: 0

নেভিগেশন (শুধুমাত্র কাজের নম্বর)

4টির মধ্যে 0টি কাজ সম্পন্ন হয়েছে

তথ্য

আপনি এইমাত্র যে বিষয়টি পড়েছেন সে বিষয়ে আপনার জ্ঞান পরীক্ষা করতে এই কুইজটি নিন: একাধিক ভেরিয়েবলের ফাংশনের স্থানীয় চরম।

আপনি ইতিমধ্যে পরীক্ষা দিয়েছেন। আপনি এটা আবার শুরু করতে পারবেন না.

পরীক্ষা লোড হচ্ছে...

পরীক্ষা শুরু করার জন্য আপনাকে অবশ্যই লগ ইন বা নিবন্ধন করতে হবে।

এটি শুরু করতে আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পরীক্ষাগুলি সম্পূর্ণ করতে হবে:

ফলাফল

সঠিক উত্তর: 4 এর মধ্যে 0

তোমার সময়:

সময় শেষ হয়

আপনি 0 পয়েন্টের মধ্যে 0 (0) স্কোর করেছেন

আপনার ফলাফল লিডারবোর্ডে রেকর্ড করা হয়েছে

1. উত্তর সহ
2. দেখার চিহ্ন সহ

4 এর মধ্যে 1 টাস্ক

1 .

পয়েন্ট সংখ্যা: 1

এক্সট্রিমার জন্য $f$ ফাংশনটি তদন্ত করুন: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

ঠিক


ভুল


1. 4 এর মধ্যে 2 টাস্ক

   2 .

   পয়েন্ট সংখ্যা: 1

   ফাংশন $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ এর একটি এক্সট্রিম আছে কি

সংজ্ঞা:পয়েন্ট x0 কে কোনো ফাংশনের স্থানীয় সর্বোচ্চ (বা সর্বনিম্ন) বিন্দু বলা হয় যদি x0 বিন্দুর কিছু আশেপাশে ফাংশনটি সবচেয়ে বড় (বা সবচেয়ে ছোট) মান নেয়, যেমন x0 বিন্দুর কিছু আশেপাশের সমস্ত x এর জন্য f(x) f(x0) (বা f(x) f(x0)) শর্তটি সন্তুষ্ট।

স্থানীয় সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন পয়েন্টগুলি একটি সাধারণ নাম দ্বারা একত্রিত হয় - একটি ফাংশনের স্থানীয় প্রান্তের বিন্দু।

লক্ষ্য করুন যে স্থানীয় চরম বিন্দুতে, ফাংশনটি শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট স্থানীয় অঞ্চলে তার সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান পর্যন্ত পৌঁছায়। কিছু ক্ষেত্রে হতে পারে যখন মান уmaxуmin অনুযায়ী।

একটি ফাংশনের স্থানীয় প্রান্তের অস্তিত্বের একটি প্রয়োজনীয় চিহ্ন

উপপাদ্য . যদি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন y = f(x) এর x0 বিন্দুতে একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, তাহলে এই বিন্দুতে প্রথম ডেরিভেটিভটি হয় শূন্য বা বিদ্যমান নেই, যেমন একটি স্থানীয় চরমপন্থা প্রথম ধরনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে ঘটে।

স্থানীয় চরম বিন্দুতে, হয় স্পর্শকটি 0x অক্ষের সমান্তরাল, অথবা দুটি স্পর্শক রয়েছে (চিত্র দেখুন)। মনে রাখবেন যে ক্রিটিক্যাল পয়েন্টগুলি একটি প্রয়োজনীয় কিন্তু স্থানীয় এক্সট্রিমামের জন্য যথেষ্ট নয়। একটি স্থানীয় চরমপন্থা শুধুমাত্র প্রথম ধরণের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলিতে ঘটে, তবে স্থানীয় চরমপন্থা ঘটে না।

উদাহরণস্বরূপ: একটি কিউবিক প্যারাবোলা y = x3 এর একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু x0 = 0 রয়েছে, যেখানে ডেরিভেটিভ y/(0)=0, কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু x0=0 একটি চরম বিন্দু নয়, তবে এটিতে একটি প্রবর্তন বিন্দু (নীচে দেখুন)।

একটি ফাংশনের স্থানীয় প্রান্তের অস্তিত্বের যথেষ্ট চিহ্ন

উপপাদ্য . যদি, যুক্তিটি বাম থেকে ডানে প্রথম ধরণের একটি সমালোচনামূলক বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, প্রথম ডেরিভেটিভ y / (x)

চিহ্ন পরিবর্তন করে “+” থেকে “-”, তারপর ক্রমাগত ফাংশন y(x) এই ক্রিটিক্যাল পয়েন্টে একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকে;

চিহ্ন পরিবর্তন করে “-” থেকে “+”, তারপর ক্রমাগত ফাংশন y(x) এর একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন এই গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে থাকে

চিহ্ন পরিবর্তন করে না, তাহলে এই ক্রিটিক্যাল পয়েন্টে কোনো স্থানীয় এক্সট্রিম নেই, এখানে একটি ইনফ্লেকশন পয়েন্ট আছে।

স্থানীয় সর্বাধিকের জন্য, ক্রমবর্ধমান ফাংশনের অঞ্চল (y/0) হ্রাসকারী ফাংশনের অঞ্চল (y/0) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। স্থানীয় ন্যূনতম জন্য, হ্রাসকৃত ফাংশনের অঞ্চল (y/0) ক্রমবর্ধমান ফাংশনের অঞ্চল (y/0) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

উদাহরণ: একঘেয়েমি, চরমের জন্য y = x3 + 9x2 + 15x - 9 ফাংশনটি পরীক্ষা করুন এবং ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করুন।

আসুন ডেরিভেটিভ (y/) সংজ্ঞায়িত করে এবং এটিকে শূন্যের সাথে সমান করে প্রথম ধরণের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করি: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

আসুন বৈষম্যকারী ব্যবহার করে দ্বিঘাত ত্রিনামিক সমাধান করি:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1।

2) আমরা সংখ্যা অক্ষকে 3টি অঞ্চলে বিভক্ত করি এবং সেগুলির মধ্যে ডেরিভেটিভ (y/) এর চিহ্নগুলি নির্ধারণ করি। এই চিহ্নগুলি ব্যবহার করে আমরা ফাংশনগুলির একঘেয়েতা (বৃদ্ধি এবং হ্রাস) এর ক্ষেত্রগুলি খুঁজে পাব এবং লক্ষণগুলি পরিবর্তন করে আমরা স্থানীয় চরমের বিন্দুগুলি নির্ধারণ করব (সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন)।

আমরা একটি টেবিলের আকারে গবেষণার ফলাফল উপস্থাপন করি, যা থেকে নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তগুলি আঁকতে পারে:

• 1. বিরতিতে y /(-10) 0 ফাংশন একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায় (এই ব্যবধানে নেওয়া নিয়ন্ত্রণ পয়েন্ট x = -10 ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ y-এর চিহ্ন অনুমান করা হয়েছিল);
• 2. ব্যবধানে (-5 ; -1) y /(-2) 0 ফাংশনটি একঘেয়েভাবে হ্রাস পায় (এই ব্যবধানে নেওয়া নিয়ন্ত্রণ পয়েন্ট x = -2 ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ y-এর চিহ্ন অনুমান করা হয়েছিল);
• 3. ব্যবধান y /(0) 0 এ, ফাংশনটি একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায় (এই ব্যবধানে নেওয়া নিয়ন্ত্রণ পয়েন্ট x = 0 ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ y-এর চিহ্ন অনুমান করা হয়েছিল);
• 4. ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট x1k = -5 এর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন “+” থেকে “-” হয়ে যায়, তাই এই বিন্দুটি স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দু।
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট x2k = -1 এর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন “-” থেকে “+” হয়ে যায়, তাই এই বিন্দুটি একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দু।
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16)।

x -5 (-5 ; -1) -1

3) আমরা নিয়ন্ত্রণ পয়েন্টে ফাংশন মানের অতিরিক্ত গণনা ব্যবহার করে অধ্যয়নের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে একটি গ্রাফ তৈরি করব:

একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় সিস্টেম অক্সি নির্মাণ;

আমরা সর্বাধিক (-5; 16) এবং সর্বনিম্ন (-1;-16) বিন্দুগুলি স্থানাঙ্ক দ্বারা দেখাই;

গ্রাফটি স্পষ্ট করার জন্য, আমরা নিয়ন্ত্রণ পয়েন্টে ফাংশনের মান গণনা করি, সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন বিন্দুর বাম এবং ডানে এবং গড় ব্যবধানের ভিতরে নির্বাচন করি, উদাহরণস্বরূপ: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0) = -9 (-6;9); (-3;0) এবং (0;-9) - গণনা করা নিয়ন্ত্রণ পয়েন্ট যা আমরা গ্রাফ তৈরি করার পরিকল্পনা করি;

আমরা গ্রাফটিকে সর্বাধিক বিন্দুতে উপরের দিকে একটি বক্র উত্তল এবং সর্বনিম্ন বিন্দুতে নীচের দিকে উত্তল এবং গণনাকৃত নিয়ন্ত্রণ বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়ার আকারে দেখাই।