বাড়ি দন্ত চিকিৎসা দ্বিতীয় অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশেষ ধরনের। দ্বিতীয় ক্রম এবং উচ্চতর আদেশের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

দন্ত চিকিৎসা

দ্বিতীয় অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশেষ ধরনের। দ্বিতীয় ক্রম এবং উচ্চতর আদেশের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

রৈখিক অসঙ্গতি সমাধানের মূলনীতি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণদ্বিতীয় আদেশ (LNDU-2) সহ ধ্রুবক সহগ(পিসি)

ধ্রুবক সহগ $p$ এবং $q$ সহ একটি 2য় ক্রম LDDE-এর ফর্ম $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, যেখানে $f\left(x) \right)$ একটি ক্রমাগত ফাংশন।

PC এর সাথে LNDU 2 এর ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত দুটি বিবৃতি সত্য।

আসুন আমরা ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $U$ হল একটি অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্বিচারে আংশিক সমাধান। আমরা আরও ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $Y$ হল সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-এর সাধারণ সমাধান (GS)। তারপর এর GR LHDE-2 নির্দেশিত ব্যক্তিগত এবং সাধারণ সমাধানের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ $y=U+Y$।

যদি ডান অংশ২য় ক্রম LPDE হল ফাংশনের সমষ্টি, অর্থাৎ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, তারপর প্রথমে আমরা PD গুলি খুঁজে পেতে পারি $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ যা $f_ প্রতিটি ফাংশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, এবং তার পরে CR LNDU-2 লিখুন ফর্ম $U= U_(1) +U_(2) +...U_(r) $।

পিসি সহ 2য় অর্ডার LPDE এর সমাধান

এটা স্পষ্ট যে প্রদত্ত LNDU-2-এর এক বা অন্য PD $U$-এর ধরন নির্ভর করে তার ডানদিকের $f\left(x\right)$-এর নির্দিষ্ট ফর্মের উপর। PD LNDU-2 অনুসন্ধানের সহজতম ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত চারটি নিয়মের আকারে প্রণয়ন করা হয়েছে।

নিয়ম #1।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, যেখানে $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, অর্থাৎ একে বলা হয় a ডিগ্রী $n$ এর বহুপদ। তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) \left(x\right)$ আরেকটি $P_(n) \left(x\right)$ এর সমান ডিগ্রীর বহুপদ এবং $r$ হল মূল সংখ্যা চরিত্রগত সমীকরণ LOD-2 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, শূন্যের সমান। পদ্ধতিটি ব্যবহার করে বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$ এর সহগ পাওয়া যায় অনিশ্চিত সহগ(NK)।

বিধি নং 2।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, যেখানে $P_(n) \left( x\right)$ হল $n$ ডিগ্রির একটি বহুপদ। তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) ) \ left(x\right)$ হল $P_(n) \left(x\right)$ এর মতো একই ডিগ্রির আরেকটি বহুপদ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা $\alpha $ এর সমান। বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

বিধি নং 3।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ফর্ম আছে \right) $, যেখানে $a$, $b$ এবং $\beta$ আছে পরিচিত সংখ্যা. তারপর এর PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) আকারে চাওয়া হয়। \right )\cdot x^(r) $, যেখানে $A$ এবং $B$ হল অজানা সহগ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর চরিত্রগত সমীকরণের মূল সংখ্যা, $i\cdot এর সমান বিটা $। সহগ $A$ এবং $B$ অ-ধ্বংসাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়।

বিধি নং 4।

LNDU-2-এর ডানদিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, যেখানে $P_(n) \left(x\right)$ হল ডিগ্রীর একটি বহুপদী $n$, এবং $P_(m) \left(x\right)$ হল $m$ ডিগ্রির একটি বহুপদী। তারপর এর PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $ R_(s) \left(x\right)$ হল $s$ ডিগ্রির বহুপদ, $s$ হল সর্বাধিক দুটি সংখ্যা $n$ এবং $m$, এবং $r$ হল মূলের সংখ্যা সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর চরিত্রগত সমীকরণের, $\alpha +i\cdot \beta $ এর সমান। $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $R_(s) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

NK পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। বহুপদীর অজানা সহগগুলি খুঁজে বের করার জন্য যা অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ LNDU-2 এর আংশিক সমাধানের অংশ, এটি প্রয়োজনীয়:

PD $U$ লিখুন প্রতিস্থাপন করুন সাধারণ দৃষ্টিকোণ, ভি বাম পাশে LNDU-2;
LNDU-2 এর বাম দিকে, একই ক্ষমতা $x$ সহ সরলীকরণ এবং গ্রুপ পদগুলি সম্পাদন করুন;
ফলস্বরূপ পরিচিতিতে, বাম এবং ডান দিকের একই ক্ষমতা $x$ সহ পদগুলির সহগকে সমান করুন;
অজানা সহগগুলির জন্য রৈখিক সমীকরণের ফলে সিস্টেমটি সমাধান করুন।

উদাহরণ 1

টাস্ক: খুঁজুন OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $। এছাড়াও PD খুঁজুন , $x=0$ এর জন্য $y=6$ এবং $x=0$ এর জন্য $y"=1$ প্রাথমিক শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে৷

আমরা সংশ্লিষ্ট LOD-2 লিখি: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$।

চরিত্রগত সমীকরণ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$। চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি হল: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$। এই শিকড়গুলি বৈধ এবং স্বতন্ত্র। এইভাবে, সংশ্লিষ্ট LODE-2-এর OR-এর ফর্ম আছে: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $।

এই LNDU-2-এর ডান দিকে $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ফর্ম আছে। $\alpha =3$ সূচকের সহগ বিবেচনা করা প্রয়োজন। এই সহগটি বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের কোনো মূলের সাথে মিলে না। অতএব, এই LNDU-2-এর PD-এর ফর্ম $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আছে।

আমরা NC পদ্ধতি ব্যবহার করে $A$, $B$ সহগ অনুসন্ধান করব।

আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা প্রদত্ত NLDE-2 $y""-3\cdot y"-এ $y""$, $y"$ এবং $y$ এর পরিবর্তে $U""$, $U"$ এবং $U$ ফাংশনগুলি প্রতিস্থাপন করি। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ তাছাড়া, যেহেতু সূচক $e^(3\cdot x)$ একটি গুণনীয়ক হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। সমস্ত উপাদানে, তারপর এটি বাদ দেওয়া যেতে পারে। আমরা পাই:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

আমরা ফলাফল সমতার বাম দিকে ক্রিয়া সম্পাদন করি:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

আমরা NDT পদ্ধতি ব্যবহার করি। আমরা দুটি অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

এই সিস্টেমের সমাধান হল: $A=-2$, $B=-1$।

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আমাদের সমস্যার জন্য এইরকম দেখায়: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $।

আমাদের সমস্যার জন্য OR $y=Y+U$ এইরকম দেখায়: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $।

প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি PD অনুসন্ধান করার জন্য, আমরা OP-এর ডেরিভেটিভ $y"$ খুঁজে পাই:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা $y$ এবং $y"$ এ প্রতিস্থাপন করি $y=6$ এর জন্য $x=0$ এবং $y"=1$ এর জন্য $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

এর সমাধান করা যাক। আমরা ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে $C_(1) $ খুঁজে পাই, এবং $C_(2) $ আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে নির্ধারণ করি:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

এইভাবে, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের PD এর ফর্ম আছে: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $।

এখানে আমরা রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে ল্যাগ্রেঞ্জ ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি প্রয়োগ করব। বিস্তারিত বিবরণনির্বিচারে আদেশের সমীকরণ সমাধানের এই পদ্ধতিটি পৃষ্ঠায় বর্ণিত হয়েছে
Lagrange পদ্ধতি >>> দ্বারা উচ্চ ক্রমগুলির রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান।

উদাহরণ 1

Lagrange ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করে ধ্রুবক সহগ সহ একটি দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন:
(1)

সমাধান

প্রথমে আমরা সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করি:
(2)

এটি একটি দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ.

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান:
.
একাধিক শিকড়: . সমীকরণ (2) এর সমাধানের মৌলিক সিস্টেমের ফর্ম রয়েছে:
(3) .
এখান থেকে আমরা সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পাই (2):
(4) .

ধ্রুবক পরিবর্তনশীল সি 1 এবং সি 2 . অর্থাৎ, আমরা (4) এর মধ্যে ধ্রুবককে ফাংশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করি:
.
একটি সমাধান খোঁজা মূল সমীকরণ(1) যেমন:
(5) .

ডেরিভেটিভ খোঁজা:
.
চলুন ফাংশন এবং সমীকরণ সংযোগ করা যাক:
(6) .
তারপর
.

আমরা দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
.
মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন (1):
(1) ;

.
যেহেতু এবং সমজাতীয় সমীকরণ (2) সন্তুষ্ট করে, শেষ তিনটি সারির প্রতিটি কলামের পদগুলির যোগফল শূন্য দেয় এবং পূর্ববর্তী সমীকরণটি রূপ নেয়:
(7) .
এখানে .

সমীকরণ (6) এর সাথে একসাথে আমরা ফাংশন নির্ধারণের জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই এবং:
(6) :
(7) .

সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা

আমরা সমীকরণের সিস্টেম (6-7) সমাধান করি। চলুন ফাংশনের জন্য এক্সপ্রেশন লিখি এবং:
.
আমরা তাদের ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই:
;
.

আমরা ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেম (6-7) সমাধান করি। আমরা সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করি:

.
ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই:
;
.

সুতরাং, আমরা ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেয়েছি:
;
.
আসুন একীভূত করি (শিকড় সংহত করার পদ্ধতি দেখুন)। একটি প্রতিস্থাপন করা
; ; ; .

.
.

;
.

উত্তর

উদাহরণ 2

Lagrange ধ্রুবকগুলির পরিবর্তনের পদ্ধতি দ্বারা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করুন:
(8)

সমাধান

ধাপ 1. সমজাতীয় সমীকরণ সমাধান করা

আমরা সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করি:

(9)
আমরা ফর্মে একটি সমাধান খুঁজছি। আমরা চরিত্রগত সমীকরণ রচনা করি:

এই সমীকরণের জটিল শিকড় রয়েছে:
.
এই শিকড়গুলির সাথে সম্পর্কিত সমাধানগুলির মৌলিক সিস্টেমের ফর্ম রয়েছে:
(10) .
সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান (9):
(11) .

ধাপ 2. ধ্রুবকের ভিন্নতা - ফাংশন দিয়ে ধ্রুবক প্রতিস্থাপন করা

এখন আমরা ধ্রুবক C পরিবর্তন করি 1 এবং সি 2 . অর্থাৎ, আমরা (11) এর মধ্যে ধ্রুবকগুলিকে ফাংশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করি:
.
আমরা ফর্মটিতে মূল সমীকরণ (8) এর সমাধান খুঁজছি:
(12) .

আরও, সমাধানের অগ্রগতি উদাহরণ 1-এর মতোই। আমরা পৌঁছেছি পরবর্তী সিস্টেমফাংশন নির্ধারণের জন্য সমীকরণ এবং:
(13) :
(14) .
এখানে .

সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা

আসুন এই সিস্টেমটি সমাধান করি। চলুন ফাংশনগুলির জন্য এক্সপ্রেশনগুলি লিখি এবং:
.
ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে আমরা খুঁজে পাই:
;
.

আমরা ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেম (13-14) সমাধান করি। সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক:

.
ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই:
;
.

.
যেহেতু, লগারিদম চিহ্নের অধীনে মডুলাস চিহ্নটি বাদ দেওয়া যেতে পারে। লব এবং হর এর দ্বারা গুণ করুন:
.
তারপর
.

মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান:

.

দ্বিতীয় অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ফর্মের সমীকরণ বলা হয়

y"" + পি(এক্স)y" + q(এক্স)y = চ(এক্স) ,

কোথায় yপাওয়া যাবে ফাংশন, এবং পি(এক্স) , q(এক্স) এবং চ(এক্স) - একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ক্রমাগত ফাংশন ( ক, খ) .

যদি সমীকরণের ডান দিক শূন্য হয় ( চ(এক্স) = 0), তারপর সমীকরণ বলা হয় রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ . এই পাঠের ব্যবহারিক অংশটি প্রধানত এই ধরনের সমীকরণগুলিতে নিবেদিত হবে। যদি সমীকরণের ডান দিক শূন্যের সমান না হয় ( চ(এক্স) ≠ 0), তারপর সমীকরণ বলা হয়।

সমস্যাগুলিতে আমাদের সমীকরণটি সমাধান করতে হবে y"" :

y"" = −পি(এক্স)y" − q(এক্স)y + চ(এক্স) .

দ্বিতীয় ক্রম লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে কচি সমস্যা .

দ্বিতীয় ক্রম এবং এর সমাধানের লিনিয়ার সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

দ্বিতীয় ক্রমটির একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন:

y"" + পি(এক্স)y" + q(এক্স)y = 0 .

যদি y1 (এক্স) এবং y2 (এক্স) এই সমীকরণের বিশেষ সমাধান, তাহলে নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি সত্য:

1) y1 (এক্স) + y 2 (এক্স) - এই সমীকরণেরও একটি সমাধান;

2) সাই1 (এক্স) , কোথায় গ- একটি নির্বিচারে ধ্রুবক (ধ্রুবক), এই সমীকরণেরও একটি সমাধান।

এই দুটি বিবৃতি থেকে এটি ফাংশন অনুসরণ করে

গ1 y 1 (এক্স) + গ 2 y 2 (এক্স)

এছাড়াও এই সমীকরণ একটি সমাধান.

একটি ন্যায্য প্রশ্ন উঠছে: এই সমাধান দ্বিতীয় ক্রমটির একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান , অর্থাৎ, এমন একটি সমাধান যাতে, বিভিন্ন মানের জন্য গ1 এবং গ2 সমীকরণের সম্ভাব্য সব সমাধান কি পাওয়া সম্ভব?

এই প্রশ্নের উত্তর হল: হতে পারে, কিন্তু কিছু শর্তের অধীনে। এই বিশেষ সমাধানের কী বৈশিষ্ট্য থাকা উচিত তার শর্ত y1 (এক্স) এবং y2 (এক্স) .

আর এই অবস্থাকে বলা হয় শর্ত রৈখিক স্বাধীনতাব্যক্তিগত সমাধান।

উপপাদ্য. ফাংশন গ1 y 1 (এক্স) + গ 2 y 2 (এক্স) ফাংশন হলে একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান y1 (এক্স) এবং y2 (এক্স) রৈখিকভাবে স্বাধীন।

সংজ্ঞা. ফাংশন y1 (এক্স) এবং y2 (এক্স) রৈখিকভাবে স্বাধীন বলা হয় যদি তাদের অনুপাত একটি ধ্রুবক অ-শূন্য হয়:

y1 (এক্স)/y 2 (এক্স) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

যাইহোক, এই ফাংশনগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা তা সংজ্ঞা দ্বারা নির্ধারণ করা প্রায়শই খুব শ্রমসাধ্য। Wronski নির্ধারক ব্যবহার করে রৈখিক স্বাধীনতা প্রতিষ্ঠা করার একটি উপায় আছে ডব্লিউ(এক্স) :

যদি Wronski নির্ধারক শূন্যের সমান না হয়, তাহলে সমাধানগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন . যদি Wronski নির্ধারক শূন্য হয়, তাহলে সমাধানগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

উদাহরণ 1.একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান। আমরা দুইবার একত্রিত করি এবং, যেমনটি দেখতে সহজ, একটি ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ এবং ফাংশনের মধ্যে পার্থক্য শূন্যের সমান হওয়ার জন্য, সমাধানগুলিকে অবশ্যই একটি সূচকের সাথে যুক্ত করতে হবে যার ডেরিভেটিভ নিজেই সমান। যে, আংশিক সমাধান হল এবং .

যেহেতু Wronski নির্ধারক

শূন্যের সমান নয়, তাহলে এই সমাধানগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন। অতএব, এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান হিসাবে লেখা যেতে পারে

ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: তত্ত্ব এবং অনুশীলন

স্থির সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমটির রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ফর্মের সমীকরণ বলা হয়

y"" + py" + qy = 0 ,

কোথায় পিএবং q- ধ্রুবক মান।

সত্য যে এটি একটি দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণটি পছন্দসই ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের উপস্থিতি দ্বারা নির্দেশিত হয় এবং এর একজাততা ডানদিকে শূন্য দ্বারা নির্দেশিত হয়। উপরে উল্লিখিত মানগুলিকে ধ্রুবক সহগ বলা হয়।

প্রতি ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন , আপনাকে প্রথমে ফর্মটির তথাকথিত চরিত্রগত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে

k² + pq + q = 0 ,

যা দেখা যায়, একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ।

চরিত্রগত সমীকরণের সমাধানের উপর নির্ভর করে, তিনটি ভিন্ন বিকল্প সম্ভব স্থির সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান , যা আমরা এখন বিশ্লেষণ করব। সম্পূর্ণ সুনির্দিষ্টতার জন্য, আমরা ধরে নেব যে সমস্ত বিশেষ সমাধান রনস্কি নির্ধারক দ্বারা পরীক্ষা করা হয়েছে এবং এটি সব ক্ষেত্রে শূন্যের সমান নয়। সন্দেহকারীরা, তবে, এটি নিজেরাই পরীক্ষা করতে পারে।

চরিত্রগত সমীকরণের শিকড় বাস্তব এবং স্বতন্ত্র

অন্য কথায়, . এই ক্ষেত্রে, ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের ফর্ম রয়েছে

উদাহরণ 2. একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন

উদাহরণ 3. একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন

সমাধান। চরিত্রগত সমীকরণের ফর্ম, এর শিকড় রয়েছে এবং বাস্তব এবং স্বতন্ত্র। সমীকরণের সংশ্লিষ্ট আংশিক সমাধানগুলি হল: এবং . এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে

চরিত্রগত সমীকরণের শিকড় বাস্তব এবং সমান

এটাই, . এই ক্ষেত্রে, ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের ফর্ম রয়েছে

উদাহরণ 4. একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন

সমাধান। বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ সমান শিকড় আছে। সমীকরণের সংশ্লিষ্ট আংশিক সমাধানগুলি হল: এবং . এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে

উদাহরণ 5. একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন

সমাধান। চরিত্রগত সমীকরণ সমান শিকড় আছে. সমীকরণের সংশ্লিষ্ট আংশিক সমাধানগুলি হল: এবং . এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে

শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "বেলারুশিয়ান রাজ্য

কৃষি একাডেমী"

উচ্চতর গণিত বিভাগ

নির্দেশিকা

চিঠিপত্র শিক্ষার অ্যাকাউন্টিং অনুষদের (NISPO) শিক্ষার্থীদের দ্বারা "দ্বিতীয় আদেশের রৈখিক পার্থক্য সমীকরণ" বিষয় অধ্যয়ন করতে

গোর্কি, 2013

লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

ধ্রুবক সহ দ্বিতীয় ক্রমসহগ

রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমটির রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ফর্মের সমীকরণ বলা হয়

সেগুলো. একটি সমীকরণ যাতে পছন্দসই ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভগুলি শুধুমাত্র প্রথম ডিগ্রী পর্যন্ত থাকে এবং তাদের পণ্যগুলি ধারণ করে না। এই সমীকরণে এবং
- কিছু সংখ্যা, এবং একটি ফাংশন
একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে দেওয়া হয়
.

যদি
ব্যবধানে
, তাহলে সমীকরণ (1) রূপ নেবে

, (2)

এবং বলা হয় রৈখিক সমজাতীয় . অন্যথায়, সমীকরণ (1) বলা হয় রৈখিক inhomogeneous .

জটিল ফাংশন বিবেচনা করুন

, (3)

কোথায়
এবং
- বাস্তব ফাংশন। যদি ফাংশন (3) সমীকরণ (2) এর একটি জটিল সমাধান হয়, তাহলে আসল অংশ
, এবং কাল্পনিক অংশ
সমাধান
পৃথকভাবে একই সমজাতীয় সমীকরণের সমাধান। এইভাবে, সবকিছু ব্যাপক সমাধানসমীকরণ (2) এই সমীকরণের দুটি বাস্তব সমাধান তৈরি করে।

সমজাতীয় সমাধান একঘাত সমীকরণবৈশিষ্ট্য আছে:

যদি সমীকরণ (2) এর একটি সমাধান, তারপর ফাংশন
, কোথায় সঙ্গে– একটি নির্বিচারে ধ্রুবকও সমীকরণের সমাধান হবে (2);

যদি এবং সমীকরণ (2) এর সমাধান আছে, তারপর ফাংশন
এছাড়াও সমীকরণের একটি সমাধান হবে (2);

যদি এবং সমীকরণ (2) এর সমাধান আছে, তারপর তাদের রৈখিক সমন্বয়
এছাড়াও সমীকরণ (2), যেখানে একটি সমাধান হবে এবং
- নির্বিচারে ধ্রুবক।

ফাংশন
এবং
ডাকল রৈখিকভাবে নির্ভরশীল ব্যবধানে
, যদি এই ধরনের সংখ্যা বিদ্যমান থাকে এবং
, একই সময়ে শূন্যের সমান নয়, এই ব্যবধানে সমতা

যদি সমতা (4) তখনই ঘটে
এবং
, তারপর ফাংশন
এবং
ডাকল রৈখিকভাবে স্বাধীন ব্যবধানে
.

উদাহরণ 1 . ফাংশন
এবং
রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, যেহেতু
পুরো নম্বর লাইনে। এই উদাহরণে
.

উদাহরণ 2 . ফাংশন
এবং
যে কোনো ব্যবধানে রৈখিকভাবে স্বাধীন, যেহেতু সমতা
শুধুমাত্র ক্ষেত্রে সম্ভব যখন
, এবং
.

নির্মাণ সাধারণ সমাধানরৈখিক সমজাতীয়

সমীকরণ

সমীকরণ (2) এর একটি সাধারণ সমাধান খুঁজতে, আপনাকে এর দুটি রৈখিক স্বাধীন সমাধান খুঁজে বের করতে হবে এবং . এই সমাধানগুলির রৈখিক সমন্বয়
, কোথায় এবং
নির্বিচারে ধ্রুবক, এবং একটি রৈখিক একজাত সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান দেবে।

আমরা ফর্মে সমীকরণ (2) এর রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলি সন্ধান করব

, (5)

কোথায় - একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা। তারপর
,
. আসুন এই অভিব্যক্তিগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি (2):

বা
.

কারণ
, যে
. তাই ফাংশন
সমীকরণের একটি সমাধান হবে (2) যদি সমীকরণ সন্তুষ্ট হবে

. (6)

সমীকরণ (6) বলা হয় চরিত্রগত সমীকরণ সমীকরণের জন্য (2)। এই সমীকরণটি একটি বীজগণিতীয় দ্বিঘাত সমীকরণ।

দিন এবং এই সমীকরণের শিকড় আছে। তারা হয় বাস্তব এবং ভিন্ন, বা জটিল, বা বাস্তব এবং সমান হতে পারে। আসুন এই ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।

শিকড় যাক এবং চরিত্রগত সমীকরণ বাস্তব এবং স্বতন্ত্র। তাহলে সমীকরণ (2) এর সমাধান হবে ফাংশন
এবং
. সমতা থেকে এই সমাধানগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন
শুধুমাত্র বাহিত হতে পারে যখন
, এবং
. অতএব, সমীকরণ (2) এর সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে

কোথায় এবং
- নির্বিচারে ধ্রুবক।

উদাহরণ 3
.

সমাধান . এই ডিফারেনশিয়ালের চরিত্রগত সমীকরণ হবে
. এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করার পরে, আমরা এর শিকড় খুঁজে পাই
এবং
. ফাংশন
এবং
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান। এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল
.

জটিল সংখ্যা ফর্মের একটি অভিব্যক্তি বলা হয়
, কোথায় এবং বাস্তব সংখ্যা, এবং
কাল্পনিক একক বলা হয়। যদি
, তারপর সংখ্যা
বলা হয় সম্পূর্ণ কাল্পনিক। যদি
, তারপর সংখ্যা
একটি বাস্তব সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় .

সংখ্যা একটি জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ বলা হয়, এবং - কাল্পনিক অংশ। যদি দুটি জটিল সংখ্যা শুধুমাত্র কাল্পনিক অংশের চিহ্ন দ্বারা একে অপরের থেকে পৃথক হয়, তবে তাদের বলা হয় সংযোজিত:
,
.

উদাহরণ 4 . দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান কর
.

সমাধান . বৈষম্যমূলক সমীকরণ
. তারপর. একইভাবে,
. সুতরাং, এই দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল মূল রয়েছে।

চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়গুলি জটিল হতে দিন, যেমন
,
, কোথায়
. সমীকরণের সমাধান (2) আকারে লেখা যেতে পারে
,
বা
,
. অয়লারের সূত্র অনুযায়ী

,
.

তারপর,. যেমনটি পরিচিত, যদি একটি জটিল ফাংশন একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের একটি সমাধান হয়, তবে এই সমীকরণের সমাধানগুলি এই ফাংশনের বাস্তব এবং কাল্পনিক উভয় অংশ। সুতরাং, সমীকরণ (2) এর সমাধান হবে ফাংশন
এবং
. যেহেতু সমতা

শুধুমাত্র যদি মৃত্যুদন্ড কার্যকর করা যেতে পারে
এবং
, তাহলে এই সমাধানগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন। অতএব, সমীকরণ (2) এর সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে

কোথায় এবং
- নির্বিচারে ধ্রুবক।

উদাহরণ 5 . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

সমাধান . সমীকরণটি
একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়ালের বৈশিষ্ট্য। এর সমাধান করা যাক এবং জটিল শিকড় পেতে
,
. ফাংশন
এবং
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান। এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল:

চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব এবং সমান হতে দিন, অর্থাৎ
. তারপর সমীকরণ (2) এর সমাধানগুলি ফাংশন
এবং
. এই সমাধানগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন, যেহেতু অভিব্যক্তিটি শুধুমাত্র তখনই শূন্যের সমান হতে পারে
এবং
. অতএব, সমীকরণ (2) এর সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে
.

উদাহরণ 6 . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

সমাধান . বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ
সমান শিকড় আছে
. এই ক্ষেত্রে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলি ফাংশন
এবং
. সাধারণ সমাধান ফর্ম আছে
.

ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমের অসঙ্গতিপূর্ণ রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

এবং বিশেষ ডান দিকে

রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান (1) সাধারণ সমাধানের যোগফলের সমান
সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণ এবং কোনো বিশেষ সমাধান
একজাতীয় সমীকরণ:
.

কিছু ক্ষেত্রে, একটি অসংলগ্ন সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানটি ডানদিকের আকারের মাধ্যমে বেশ সহজভাবে পাওয়া যেতে পারে।
সমীকরণ (1)। আসুন এমন ক্ষেত্রে দেখি যেখানে এটি সম্ভব।

সেগুলো. অসংলগ্ন সমীকরণের ডান দিকটি ডিগ্রির বহুপদী মি. যদি
চরিত্রগত সমীকরণের একটি মূল নয়, তাহলে ডিগ্রীর বহুপদী আকারে অসংলগ্ন সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান চাওয়া উচিত মি, অর্থাৎ

মতভেদ
একটি নির্দিষ্ট সমাধান খোঁজার প্রক্রিয়ায় নির্ধারিত হয়।

যদি
চরিত্রগত সমীকরণের মূল, তাহলে অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্মে চাওয়া উচিত

উদাহরণ 7 . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

সমাধান . এই সমীকরণের জন্য সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণ হল
. এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ
শিকড় আছে
এবং
. সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে
.

কারণ
চরিত্রগত সমীকরণের একটি মূল নয়, তাহলে আমরা একটি ফাংশন আকারে অসংলগ্ন সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজব
. আসুন এই ফাংশনের ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি
,
এবং তাদের এই সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

অথবা এর জন্য সহগ সমতুল্য করা যাক এবং বিনামূল্যে সদস্য:
সিদ্ধান্ত নিয়ে এই সিস্টেম, আমরা পেতে
,
. অতঃপর অসংলগ্ন সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানের রূপ আছে
, এবং একটি প্রদত্ত অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান হবে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান এবং অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের বিশেষ সমাধানের সমষ্টি:
.

inhomogeneous সমীকরণ ফর্ম আছে যাক

যদি
চরিত্রগত সমীকরণের একটি মূল নয়, তাহলে অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্মে চাওয়া উচিত। যদি
চারিত্রিক বহুবিধ সমীকরণের মূল k (k=1 বা k=2), তাহলে এই ক্ষেত্রে অসংলগ্ন সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানের ফর্ম থাকবে।

উদাহরণ 8 . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

সমাধান . সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের চরিত্রগত সমীকরণের ফর্ম আছে
. এর শিকড়
,
. এই ক্ষেত্রে, সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান আকারে লেখা হয়
.

যেহেতু 3 নম্বরটি চরিত্রগত সমীকরণের মূল নয়, তাই অসংলগ্ন সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্মটিতে চাওয়া উচিত।
. আসুন প্রথম এবং দ্বিতীয় অর্ডারগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি:

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা যাক:
+ +,
+,.

এর জন্য সহগ সমতুল্য করা যাক এবং বিনামূল্যে সদস্য:

এখান থেকে
,
. তারপর এই সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্ম আছে
, এবং সাধারণ সমাধান

নির্বিচারে ধ্রুবকের প্রকরণের Lagrange পদ্ধতি

নির্বিচারে ধ্রুবক পরিবর্তিত করার পদ্ধতিটি ধ্রুবক সহগ সহ যেকোনো অসঙ্গতিহীন রৈখিক সমীকরণে প্রয়োগ করা যেতে পারে, ডানদিকের ধরন নির্বিশেষে। এই পদ্ধতিটি আপনাকে সর্বদা একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে পেতে দেয় যদি সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান জানা থাকে।

দিন
এবং
সমীকরণের রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান (2)। তাহলে এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল
, কোথায় এবং
- নির্বিচারে ধ্রুবক। নির্বিচারে ধ্রুবক পরিবর্তিত করার পদ্ধতির সারমর্ম হল যে সমীকরণের সাধারণ সমাধান (1) আকারে চাওয়া হয়েছে

কোথায়
এবং
- নতুন অজানা ফাংশন খুঁজে পাওয়া প্রয়োজন। যেহেতু দুটি অজানা ফাংশন আছে, সেগুলি খুঁজে পেতে, এই ফাংশনগুলি ধারণকারী দুটি সমীকরণ প্রয়োজন। এই দুটি সমীকরণ সিস্টেম তৈরি করে

যা সাপেক্ষে সমীকরণের একটি রৈখিক বীজগণিত পদ্ধতি
এবং
. এই সিস্টেমের সমাধান, আমরা খুঁজে
এবং
. প্রাপ্ত সমতা উভয় পক্ষের একীভূত, আমরা খুঁজে

এবং
.

এই অভিব্যক্তিগুলিকে (9) তে প্রতিস্থাপন করে, আমরা অসংলগ্ন রৈখিক সমীকরণ (1) এর একটি সাধারণ সমাধান পাই।

উদাহরণ 9 . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

সমাধান। একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত সমজাতীয় সমীকরণের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ হল
. এর শিকড় জটিল
,
. কারণ
এবং
, যে
,
, এবং সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে। তারপরে আমরা এই অসঙ্গতিহীন সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজব যেখানে আকারে
এবং
- অজানা ফাংশন।

এই অজানা ফাংশন খোঁজার জন্য সমীকরণ সিস্টেম ফর্ম আছে

এই সিস্টেমটি সমাধান করার পরে, আমরা খুঁজে পাই
,
. তারপর

,
. আসুন সাধারণ সমাধানের সূত্রে ফলাফলের অভিব্যক্তিগুলি প্রতিস্থাপন করি:

এটি এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান, ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রাপ্ত।

জ্ঞানের স্ব-নিয়ন্ত্রণের জন্য প্রশ্ন

কোন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রম রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়?

কোন রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সমজাতীয় বলা হয় এবং কোনটিকে অসঙ্গতিপূর্ণ বলে?

একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের কী কী বৈশিষ্ট্য রয়েছে?

রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য কোন সমীকরণকে চরিত্রগত বলা হয় এবং এটি কীভাবে প্রাপ্ত হয়?

চারিত্রিক সমীকরণের বিভিন্ন মূলের ক্ষেত্রে ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোন আকারে লেখা হয়?

চরিত্রগত সমীকরণের সমান মূলের ক্ষেত্রে ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান কী আকারে লেখা হয়?

চরিত্রগত সমীকরণের জটিল মূলের ক্ষেত্রে ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোন আকারে লেখা হয়?

কিভাবে একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান লেখা হয়?

বৈশিষ্টিক সমীকরণের শিকড় ভিন্ন এবং শূন্যের সমান না হলে একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান কী আকারে চাওয়া হয় এবং সমীকরণের ডান দিকটি ডিগ্রির বহুপদী হয়? মি?

চরিত্রগত সমীকরণের মূলের মধ্যে একটি শূন্য থাকলে এবং সমীকরণের ডান দিকটি ডিগ্রির বহুপদী হলে একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান কী আকারে চাওয়া হয়? মি?

Lagrange এর পদ্ধতি সারাংশ কি?

এই অনুচ্ছেদ আলোচনা করা হবে বিশেষ মামলাদ্বিতীয় ক্রমের রৈখিক সমীকরণ, যখন সমীকরণের সহগ ধ্রুবক থাকে, অর্থাৎ তারা সংখ্যা। এই ধরনের সমীকরণকে ধ্রুবক সহগ সমীকরণ বলে। এই ধরনের সমীকরণ বিশেষভাবে ব্যাপক প্রয়োগ খুঁজে পায়।

1. রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রম

সমীকরণ বিবেচনা করুন

যেখানে সহগ ধ্রুবক। ধরে নিচ্ছি যে সমীকরণের সমস্ত পদকে বিভক্ত করা এবং বোঝানো হচ্ছে

এই সমীকরণটি আকারে লিখি

যেমনটি জানা যায়, একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজতে, এটি জানা যথেষ্ট মৌলিক ব্যবস্থাব্যক্তিগত সমাধান। ধ্রুব সহগ সহ একটি সমজাতীয় রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য আংশিক সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা দেখাই। আমরা ফর্মটিতে এই সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজব

এই ফাংশনটিকে দুবার আলাদা করে এবং সমীকরণ (59) এর জন্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই

তারপর থেকে, হ্রাস করে আমরা সমীকরণ পাই

এই সমীকরণ থেকে, k-এর সেই মানগুলি নির্ধারিত হয় যার জন্য ফাংশনটি সমীকরণের সমাধান হবে (59)।

k সহগ নির্ণয়ের জন্য বীজগণিতীয় সমীকরণ (61) কে এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ (59) বলা হয়।

বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণটি দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি সমীকরণ এবং তাই এর দুটি মূল রয়েছে। এই শিকড় হয় বাস্তব স্বতন্ত্র, বাস্তব এবং সমান, অথবা জটিল সংমিশ্রণ হতে পারে।

আসুন আমরা বিবেচনা করি যে এই প্রতিটি ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট সমাধানের মৌলিক সিস্টেমের রূপ কী।

1. চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব এবং ভিন্ন: . এই ক্ষেত্রে, সূত্র (60) ব্যবহার করে আমরা দুটি আংশিক সমাধান খুঁজে পাই:

এই দুটি নির্দিষ্ট সমাধান সমগ্র সংখ্যাসূচক অক্ষের সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা গঠন করে, যেহেতু রনস্কি নির্ধারক কোথাও বিলুপ্ত হয় না:

ফলস্বরূপ, সূত্র (48) অনুসারে সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে

2. চরিত্রগত সমীকরণের শিকড় সমান: . এই ক্ষেত্রে, উভয় শিকড় বাস্তব হবে। সূত্র ব্যবহার করে (60), আমরা শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট সমাধান প্রাপ্ত

আসুন দেখান যে দ্বিতীয় বিশেষ সমাধান, যা প্রথমটির সাথে একত্রে একটি মৌলিক সিস্টেম গঠন করে, ফর্ম আছে

প্রথমত, আসুন পরীক্ষা করে দেখি যে ফাংশনটি সমীকরণের সমাধান (59)। সত্যিই,

কিন্তু, যেহেতু চরিত্রগত সমীকরণের একটি মূল আছে (61)। উপরন্তু, ভিয়েটার উপপাদ্য অনুযায়ী, অতএব। ফলস্বরূপ, , অর্থাৎ, ফাংশনটি প্রকৃতপক্ষে সমীকরণের একটি সমাধান (59)।

আসুন এখন দেখান যে পাওয়া আংশিক সমাধানগুলি সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা গঠন করে। সত্যিই,

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে

3. চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি জটিল। হিসাবে পরিচিত, জটিল শিকড় দ্বিঘাত সমীকরণবাস্তব সহগ সহ সংযোজিত হয় জটিল সংখ্যা, অর্থাৎ তারা দেখতে এরকম: এই ক্ষেত্রে, সূত্র (60) অনুসারে সমীকরণ (59) এর আংশিক সমাধানগুলির ফর্ম থাকবে: