একজাতীয় রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম

সমজাতীয় সিস্টেম রৈখিক সমীকরণফর্মের একটি সিস্টেম বলা হয়

এটা স্পষ্ট যে এই ক্ষেত্রে , কারণ এই নির্ধারকগুলির একটি কলামের সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান।

যেহেতু সূত্র অনুযায়ী অজানাগুলো পাওয়া যায় , তারপর ক্ষেত্রে যখন Δ ≠ 0, সিস্টেমের একটি অনন্য শূন্য সমাধান আছে এক্স = y = z= 0. যাইহোক, অনেক সমস্যায় আকর্ষণীয় প্রশ্ন হল একটি সমজাতীয় সিস্টেমের শূন্য ছাড়া অন্য সমাধান আছে কিনা।

উপপাদ্য।রৈখিক সিস্টেমের জন্য সমজাতীয় সমীকরণএকটি অ-শূন্য সমাধান ছিল, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে Δ ≠ 0।

সুতরাং, যদি নির্ধারক Δ ≠ 0 হয়, তবে সিস্টেমটির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। যদি Δ ≠ 0 হয়, তাহলে রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সিস্টেমে অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

উদাহরণ।

একটি ম্যাট্রিক্সের আইজেনভেক্টর এবং আইজেন ভ্যালু

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স দেওয়া যাক , এক্স- কিছু ম্যাট্রিক্স-কলাম, যার উচ্চতা ম্যাট্রিক্সের অর্ডারের সাথে মিলে যায় ক. .

অনেক সমস্যায় আমাদের সমীকরণ বিবেচনা করতে হবে এক্স

যেখানে λ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা। এটা স্পষ্ট যে কোন λ জন্য এই সমীকরণের একটি শূন্য সমাধান আছে।

λ যে সংখ্যাটির জন্য এই সমীকরণের অ-শূন্য সমাধান রয়েছে তাকে বলা হয় eigenvalueম্যাট্রিক্স ক, ক এক্সযেমন λ বলা হয় eigenvectorম্যাট্রিক্স ক.

ম্যাট্রিক্সের eigenvector বের করা যাক ক. কারন ই∙X = X, তারপর ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে বা . প্রসারিত আকারে, এই সমীকরণটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে। সত্যিই .

এবং সেইজন্য

সুতরাং, আমরা স্থানাঙ্ক নির্ধারণের জন্য একজাতীয় রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি x 1, x 2, x 3ভেক্টর এক্স. একটি সিস্টেমের অ-শূন্য সমাধানের জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে সিস্টেমের নির্ধারক শূন্যের সমান, যেমন

এটি λ এর জন্য একটি 3য় ডিগ্রী সমীকরণ। একে বলে চরিত্রগত সমীকরণম্যাট্রিক্স কএবং λ এর eigenvalue নির্ধারণ করতে কাজ করে।

প্রতিটি eigenvalue λ একটি eigenvector এর সাথে মিলে যায় এক্স, যার স্থানাঙ্কগুলি সিস্টেম থেকে λ এর সংশ্লিষ্ট মানের সাথে নির্ধারিত হয়।

উদাহরণ।

ভেক্টর বীজগণিত। ভেক্টরের ধারণা

পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখা অধ্যয়ন করার সময়, এমন পরিমাণ রয়েছে যা তাদের সংখ্যাসূচক মানগুলি নির্দিষ্ট করে সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়, উদাহরণস্বরূপ, দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, ভর, তাপমাত্রা ইত্যাদি। এই ধরনের পরিমাণকে স্কেলার বলা হয়। যাইহোক, এগুলি ছাড়াও, পরিমাণগুলিও রয়েছে, যা নির্ধারণ করার জন্য, সংখ্যাসূচক মান ছাড়াও, মহাকাশে তাদের দিকটিও জানা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ, শরীরের উপর কাজ করে শক্তি, গতি এবং ত্বরণ। শরীর যখন মহাকাশে চলে, উত্তেজনা চৌম্বক ক্ষেত্রমহাকাশে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে, ইত্যাদি এই ধরনের পরিমাণকে ভেক্টর রাশি বলা হয়।

আসুন একটি কঠোর সংজ্ঞা প্রবর্তন করা যাক।

নির্দেশিত সেগমেন্টআসুন একটি সেগমেন্টকে কল করি, যার প্রান্তের সাপেক্ষে এটি জানা যায় যে তাদের মধ্যে কোনটি প্রথম এবং কোনটি দ্বিতীয়।

ভেক্টরএকটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি নির্দেশিত অংশ বলা হয়, যেমন এটি একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের একটি সেগমেন্ট, যেখানে এটিকে সীমাবদ্ধ করার বিন্দুগুলির একটিকে শুরু হিসাবে এবং দ্বিতীয়টিকে শেষ হিসাবে নেওয়া হয়। যদি ক- ভেক্টরের শুরু, খএর শেষ, তারপর ভেক্টরটিকে প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; উপরন্তু, ভেক্টরকে প্রায়শই একটি একক অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। চিত্রে, ভেক্টর একটি অংশ দ্বারা নির্দেশিত হয়, এবং একটি তীর দ্বারা তার দিক নির্দেশিত হয়।

মডিউলবা দৈর্ঘ্যএকটি ভেক্টরকে নির্দেশিত অংশের দৈর্ঘ্য বলা হয় যা এটিকে সংজ্ঞায়িত করে। দ্বারা চিহ্নিত || অথবা ||

আমরা তথাকথিত শূন্য ভেক্টরকেও অন্তর্ভুক্ত করব, যার শুরু এবং শেষ ভেক্টর হিসাবে মিলে যায়। এটা মনোনীত করা হয়. শূন্য ভেক্টরের একটি নির্দিষ্ট দিক নেই এবং এর মডুলাস হল শূন্য ||=0।

ভেক্টর বলা হয় সমরেখা, যদি তারা একই লাইনে বা সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত হয়। তাছাড়া, ভেক্টর এবং একই দিকে থাকলে আমরা লিখব, বিপরীত।

একই সমতলের সমান্তরাল সরলরেখায় অবস্থিত ভেক্টরকে বলা হয় কপ্ল্যানার.

দুটি ভেক্টর বলা হয় সমান, যদি তারা সমরেখার হয়, একই দিক এবং দৈর্ঘ্যে সমান। এক্ষেত্রে তারা লেখেন।

ভেক্টরের সমতার সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসৃত হয় যে একটি ভেক্টরকে নিজের সাথে সমান্তরালভাবে পরিবহণ করা যেতে পারে, তার উৎপত্তি স্থানের যেকোনো স্থানে স্থাপন করে।

উদাহরণ স্বরূপ.

ভেক্টরের উপর লিনিয়ার অপারেশন

1. একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা।

   একটি ভেক্টরের গুণফল এবং সংখ্যা λ একটি নতুন ভেক্টর যেমন:

   একটি ভেক্টর এবং একটি সংখ্যার গুণফল λ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

   

   উদাহরণ স্বরূপ,ভেক্টরের মতো একই দিকে নির্দেশিত একটি ভেক্টর রয়েছে এবং ভেক্টরের অর্ধেক দৈর্ঘ্য রয়েছে।

   প্রবর্তিত অপারেশন নিম্নলিখিত আছে বৈশিষ্ট্য:

2. ভেক্টর সংযোজন।

   যাক এবং দুটি নির্বিচারে ভেক্টর হোক। এর একটি নির্বিচারে পয়েন্ট নেওয়া যাক ওএবং একটি ভেক্টর তৈরি করুন। এর পর বিন্দু থেকে কচলুন ভেক্টর একপাশে রাখা যাক. প্রথম ভেক্টরের শুরুতে দ্বিতীয় ভেক্টরের শেষের সাথে সংযোগকারী ভেক্টরকে বলে পরিমাণএই ভেক্টরগুলির মধ্যে এবং চিহ্নিত করা হয় .

   

   ভেক্টর যোগের প্রণয়নকৃত সংজ্ঞা বলা হয় সমান্তরাল বৃত্তের নিয়ম, যেহেতু ভেক্টরের একই সমষ্টি নিম্নরূপ প্রাপ্ত করা যেতে পারে। বিন্দু থেকে স্থগিত করা যাক ওভেক্টর এবং . আসুন এই ভেক্টরগুলির উপর একটি সমান্তরালগ্রাম তৈরি করি ওএবিসি. যেহেতু ভেক্টর, তারপর ভেক্টর, যা শীর্ষবিন্দু থেকে আঁকা একটি সমান্তরালগ্রামের একটি কর্ণ ও, স্পষ্টতই ভেক্টরের সমষ্টি হবে।

   

   নিম্নলিখিত চেক করা সহজ ভেক্টর সংযোজনের বৈশিষ্ট্য.

3. ভেক্টর পার্থক্য।

   একটি প্রদত্ত ভেক্টরের সাথে একটি ভেক্টর সমরেখা, দৈর্ঘ্যে সমান এবং বিপরীতভাবে নির্দেশিত, বলা হয় বিপরীতএকটি ভেক্টরের জন্য ভেক্টর এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। বিপরীত ভেক্টরটিকে ভেক্টরটিকে λ = –1: সংখ্যা দ্বারা গুণ করার ফলাফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

Eigenvalues ​​(সংখ্যা) এবং eigenvectors.
সমাধানের উদাহরণ

নিজের মত হও

উভয় সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে।

চলুন তাহলে এটা রাখা যাক: .

ফলস্বরূপ: - দ্বিতীয় ইজেনভেক্টর।

এর পুনরাবৃত্তি করা যাক গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টসমাধান:

- ফলে সিস্টেম অবশ্যই আছে সাধারণ সিদ্ধান্ত(সমীকরণগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল);

- আমরা "y" এমনভাবে নির্বাচন করি যে এটি পূর্ণসংখ্যা এবং প্রথম "x" স্থানাঙ্কটি পূর্ণসংখ্যা, ধনাত্মক এবং যতটা সম্ভব ছোট।

- আমরা পরীক্ষা করি যে নির্দিষ্ট সমাধানটি সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে।

উত্তর .

মধ্যবর্তী " নিয়ন্ত্রণ পয়েন্ট" যথেষ্ট যথেষ্ট ছিল, তাই সমতা যাচাই করা নীতিগতভাবে অপ্রয়োজনীয়৷

তথ্যের বিভিন্ন উত্সে, আইজেনভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি প্রায়শই কলামে নয়, সারিতে লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ: (এবং, সত্যি কথা বলতে, আমি নিজেই সেগুলি লাইনে লিখতে অভ্যস্ত). এই বিকল্পটি গ্রহণযোগ্য, তবে বিষয়ের আলোকে রৈখিক রূপান্তরপ্রযুক্তিগতভাবে ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক কলাম ভেক্টর.

সম্ভবত সমাধানটি আপনার কাছে খুব দীর্ঘ বলে মনে হয়েছিল, তবে এটি শুধুমাত্র কারণ আমি প্রথম উদাহরণে বিশদভাবে মন্তব্য করেছি।

উদাহরণ 2

ম্যাট্রিক্স

আসুন আমাদের নিজস্ব প্রশিক্ষণ! পাঠের শেষে একটি চূড়ান্ত কাজের একটি আনুমানিক উদাহরণ।

কখনও কখনও আপনি করতে হবে অতিরিক্ত কাজ, যথা:

ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্স পচন লিখুন

এটা কি?

যদি ম্যাট্রিক্সের eigenvectors গঠন করে ভিত্তি, তারপর এটি হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:

আইজেনভেক্টরের স্থানাঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত একটি ম্যাট্রিক্স কোথায়, – তির্যকসংশ্লিষ্ট eigenvalues ​​সহ ম্যাট্রিক্স।

এই ম্যাট্রিক্স পচন বলা হয় ক্যানোনিকালবা তির্যক.

প্রথম উদাহরণের ম্যাট্রিক্সের দিকে তাকাই। এর eigenvectors রৈখিকভাবে স্বাধীন(অ-কোলিনিয়ার) এবং একটি ভিত্তি গঠন করে। আসুন তাদের স্থানাঙ্কগুলির একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করি:

চালু প্রধান তির্যকম্যাট্রিক্স উপযুক্ত ক্রমে eigenvalues ​​অবস্থিত, এবং অবশিষ্ট উপাদানগুলি শূন্যের সমান:
– আমি আবারও আদেশের গুরুত্বের উপর জোর দিচ্ছি: “দুই” প্রথম ভেক্টরের সাথে মিলে যায় এবং তাই এটি 1ম কলামে অবস্থিত, “তিন” – ২য় ভেক্টরের সাথে।

দ্বারা স্বাভাবিক অ্যালগরিদম থেকেখোঁজা বিপরীত ম্যাট্রিক্সবা গাউস-জর্ডান পদ্ধতিআমরা খুঁজি . না, এটা কোন টাইপো নয়! - আপনার আগে একটি বিরল ঘটনা, যেমন একটি সূর্যগ্রহণ, যখন বিপরীতটি মূল ম্যাট্রিক্সের সাথে মিলে যায়।

ম্যাট্রিক্সের ক্যানোনিকাল পচনটি লিখতে বাকি রয়েছে:

সিস্টেমটি প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে এবং নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে আমরা অবলম্বন করব এই পদ্ধতি. কিন্তু এখানে "স্কুল" পদ্ধতি অনেক দ্রুত কাজ করে। 3য় সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি: – দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

যেহেতু প্রথম স্থানাঙ্কটি শূন্য, তাই আমরা একটি সিস্টেম পাই, যার প্রতিটি সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে।

এবং আবার একটি রৈখিক সম্পর্কের বাধ্যতামূলক উপস্থিতিতে মনোযোগ দিন. যদি একটি তুচ্ছ সমাধান পাওয়া যায় , তারপর হয় eigenvalue ভুলভাবে পাওয়া গেছে, অথবা সিস্টেমটি একটি ত্রুটির সাথে কম্পাইল/সমাধান করা হয়েছে।

কমপ্যাক্ট স্থানাঙ্ক মান দেয়

Eigenvector:

এবং আবার, আমরা সমাধান পাওয়া গেছে যে পরীক্ষা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে. পরবর্তী অনুচ্ছেদ এবং পরবর্তী কাজগুলিতে, আমি এই ইচ্ছাটিকে একটি বাধ্যতামূলক নিয়ম হিসাবে গ্রহণ করার পরামর্শ দিই।

2) eigenvalue-এর জন্য, একই নীতি ব্যবহার করে, আমরা প্রাপ্ত করি নিম্নলিখিত সিস্টেম:

সিস্টেমের ২য় সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি: – তৃতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

যেহেতু "জেটা" স্থানাঙ্কটি শূন্যের সমান, তাই আমরা প্রতিটি সমীকরণ থেকে একটি সিস্টেম পাই যা এটি অনুসরণ করে রৈখিক নির্ভরতা.

দিন

পরীক্ষা করে দেখছি সমাধান সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে।

সুতরাং, eigenvector হল: .

3) এবং অবশেষে, সিস্টেমটি eigenvalue-এর সাথে মিলে যায়:

দ্বিতীয় সমীকরণটি সবচেয়ে সহজ দেখায়, তাই আসুন এটি প্রকাশ করি এবং এটিকে 1ম এবং 3য় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

সবকিছু ঠিক আছে - একটি রৈখিক সম্পর্ক আবির্ভূত হয়েছে, যা আমরা অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করি:

ফলস্বরূপ, "x" এবং "y" প্রকাশ করা হয়েছিল "z" এর মাধ্যমে:। অনুশীলনে, সঠিকভাবে এই ধরনের সম্পর্কগুলি অর্জন করা প্রয়োজন হয় না; কিছু ক্ষেত্রে এটি মাধ্যমে বা মাধ্যমে প্রকাশ করা আরও সুবিধাজনক। অথবা এমনকি "ট্রেন" - উদাহরণস্বরূপ, "X" এর মাধ্যমে "I", এবং "I" এর মাধ্যমে "Z"

চলুন তাহলে এটা রাখা যাক:

আমরা সমাধান পাওয়া গেছে যে পরীক্ষা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এবং তৃতীয় eigenvector লেখে

উত্তর: eigenvectors:

জ্যামিতিকভাবে, এই ভেক্টর তিনটি ভিন্ন স্থানিক দিক নির্দেশ করে ("সেখানে এবং আবার ফিরে"), যা অনুযায়ী রৈখিক রূপান্তরনন-জিরো ভেক্টরকে (eigenvectors) collinear vectors এ রূপান্তরিত করে।

যদি শর্তের জন্য ক্যানোনিকাল পচন খোঁজার প্রয়োজন হয়, তাহলে এটি এখানে সম্ভব, কারণ বিভিন্ন eigenvalues ​​বিভিন্ন রৈখিক স্বাধীন eigenvectors এর সাথে মিলে যায়। একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করা তাদের স্থানাঙ্ক থেকে, একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স থেকে প্রাসঙ্গিক eigenvalues ​​এবং খুঁজুন বিপরীত ম্যাট্রিক্স .

যদি, শর্ত দ্বারা, আপনি লিখতে হবে eigenvectors ভিত্তিতে রৈখিক রূপান্তর ম্যাট্রিক্স, তারপর আমরা ফর্মে উত্তর দিই। একটি পার্থক্য আছে, এবং পার্থক্য উল্লেখযোগ্য!কারণ এই ম্যাট্রিক্সটি "ডি" ম্যাট্রিক্স।

আরও সমস্যা সহজ গণনাজন্য স্বাধীন সিদ্ধান্ত:

উদাহরণ 5

একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রদত্ত রৈখিক রূপান্তরের eigenvectors খুঁজুন

আপনার নিজের সংখ্যাগুলি খুঁজে বের করার সময়, 3য় ডিগ্রি বহুপদীতে না যাওয়ার চেষ্টা করুন। উপরন্তু, আপনার সিস্টেম সমাধান আমার সমাধান থেকে ভিন্ন হতে পারে - এখানে কোন নিশ্চিততা নেই; এবং আপনি যে ভেক্টরগুলি খুঁজে পান সেগুলি নমুনা ভেক্টর থেকে তাদের নিজ নিজ স্থানাঙ্কের সমানুপাতিকতা পর্যন্ত আলাদা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এবং। ফর্মে উত্তরটি উপস্থাপন করা আরও নান্দনিকভাবে আনন্দদায়ক, তবে আপনি যদি দ্বিতীয় বিকল্পে থামেন তবে এটি ঠিক আছে। যাইহোক, সবকিছুর যুক্তিসঙ্গত সীমা আছে; সংস্করণটি আর খুব ভাল দেখায় না।

পাঠের শেষে অ্যাসাইনমেন্টের একটি আনুমানিক চূড়ান্ত নমুনা।

একাধিক eigenvalues ​​ক্ষেত্রে সমস্যা সমাধান কিভাবে?

সাধারণ অ্যালগরিদমএকই থাকে, তবে এর নিজস্ব বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং সমাধানের কিছু অংশকে আরও কঠোর একাডেমিক শৈলীতে রাখার পরামর্শ দেওয়া হয়:

উদাহরণ 6

eigenvalues ​​এবং eigenvectors খুঁজুন

সমাধান

অবশ্যই, চমত্কার প্রথম কলামটিকে মূলধন করা যাক:

এবং, পচন পরে দ্বিঘাত ত্রিনামিকগুণক দ্বারা:

ফলস্বরূপ, eigenvalue প্রাপ্ত হয়, যার মধ্যে দুটি গুণিতক।

আসুন eigenvectors খুঁজে বের করা যাক:

1) আসুন একটি "সরলীকৃত" স্কিম অনুসারে একাকী সৈনিকের সাথে মোকাবিলা করি:

শেষ দুটি সমীকরণ থেকে, সমতা স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান, যা স্পষ্টতই, সিস্টেমের 1 ম সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করা উচিত:

আপনি একটি ভাল সমন্বয় খুঁজে পাবেন না:
Eigenvector:

2-3) এখন আমরা কয়েকটি সেন্ট্রি সরিয়ে ফেলি। ভিতরে এক্ষেত্রেএটা কাজ করতে পারে হয় দুই বা এক eigenvector. শিকড়ের বহুবিধতা নির্বিশেষে, আমরা নির্ধারকের মধ্যে মান প্রতিস্থাপন করি যা আমাদের পরবর্তী নিয়ে আসে রৈখিক সমীকরণের সমজাতীয় সিস্টেম:

Eigenvectors হুবহু ভেক্টর
সমাধানের মৌলিক সিস্টেম

প্রকৃতপক্ষে, পুরো পাঠ জুড়ে আমরা মৌলিক সিস্টেমের ভেক্টর খুঁজে বের করা ছাড়া আর কিছুই করিনি। এটা ঠিক যে এই সময়ের জন্য এই শব্দটি বিশেষভাবে প্রয়োজন ছিল না। উপায় দ্বারা, যারা চতুর ছাত্র যারা ছদ্মবেশ মামলা বিষয় মিস সমজাতীয় সমীকরণ, এখন ধূমপান করতে বাধ্য হবে।

একমাত্র পদক্ষেপ ছিল অতিরিক্ত লাইন অপসারণ করা। ফলাফল মাঝখানে একটি আনুষ্ঠানিক "পদক্ষেপ" সহ একটি এক-বাই-তিন ম্যাট্রিক্স।
- বেসিক ভেরিয়েবল, - ফ্রি ভেরিয়েবল। তাই দুটি বিনামূল্যের ভেরিয়েবল আছে এছাড়াও মৌলিক সিস্টেমের দুটি ভেক্টর আছে.

মুক্ত ভেরিয়েবলের পরিপ্রেক্ষিতে মৌলিক চলককে প্রকাশ করা যাক: "X" এর সামনের শূন্য গুণক এটিকে একেবারে যেকোনো মান গ্রহণ করতে দেয় (যা সমীকরণের সিস্টেম থেকে স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান)।

এই সমস্যার প্রেক্ষাপটে, সাধারণ সমাধানটি সারিতে নয়, একটি কলামে লিখতে আরও সুবিধাজনক:

জোড়া একটি eigenvector অনুরূপ:
জোড়া একটি eigenvector অনুরূপ:

বিঃদ্রঃ : পরিশীলিত পাঠকরা মৌখিকভাবে এই ভেক্টরগুলি নির্বাচন করতে পারেন - কেবল সিস্টেম বিশ্লেষণ করে , কিন্তু কিছু জ্ঞান এখানে প্রয়োজন: তিনটি ভেরিয়েবল আছে, সিস্টেম ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক- এক, যার মানে মৌলিক সিদ্ধান্ত ব্যবস্থা 3 - 1 = 2 ভেক্টর নিয়ে গঠিত। যাইহোক, পাওয়া ভেক্টরগুলি এই জ্ঞান ছাড়াই স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান, সম্পূর্ণরূপে একটি স্বজ্ঞাত স্তরে। এই ক্ষেত্রে, তৃতীয় ভেক্টরটি আরও "সুন্দরভাবে" লেখা হবে: . যাইহোক, আমি আপনাকে সতর্ক করছি যে অন্য একটি উদাহরণে, একটি সাধারণ নির্বাচন সম্ভব নাও হতে পারে, এই কারণেই ধারাটি অভিজ্ঞ ব্যক্তিদের উদ্দেশ্যে করা হয়েছে। উপরন্তু, তৃতীয় ভেক্টর হিসাবে কেন, বলুন না? সর্বোপরি, এর স্থানাঙ্কগুলি সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণ এবং ভেক্টরকেও সন্তুষ্ট করে রৈখিকভাবে স্বাধীন। এই বিকল্পটি, নীতিগতভাবে, উপযুক্ত, কিন্তু "বাঁকা", যেহেতু "অন্যান্য" ভেক্টর মৌলিক সিস্টেমের ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।

উত্তর: eigenvalues: , eigenvectors:

একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য অনুরূপ উদাহরণ:

উদাহরণ 7

eigenvalues ​​এবং eigenvectors খুঁজুন

পাঠের শেষে চূড়ান্ত নকশার একটি আনুমানিক নমুনা।

এটি লক্ষ করা উচিত যে 6 তম এবং 7 ম উভয় উদাহরণেই রৈখিকভাবে স্বাধীন ইজেনভেক্টরের একটি ট্রিপল পাওয়া যায় এবং সেইজন্য মূল ম্যাট্রিক্সটি ক্যানোনিকাল পচনের ক্ষেত্রে প্রতিনিধিত্বযোগ্য। তবে এই জাতীয় রাস্পবেরি সমস্ত ক্ষেত্রে ঘটে না:

উদাহরণ 8

সমাধান: আসুন চরিত্রগত সমীকরণ তৈরি এবং সমাধান করি:

প্রথম কলামে নির্ধারকটিকে প্রসারিত করা যাক:

আমরা তৃতীয়-ডিগ্রী বহুপদ এড়িয়ে বিবেচিত পদ্ধতি অনুসারে আরও সরলীকরণ করি:

- eigenvalues.

আসুন eigenvectors খুঁজে বের করা যাক:

1) মূলের সাথে কোন অসুবিধা নেই:

অবাক হবেন না, কিট ছাড়াও, ব্যবহারে ভেরিয়েবলও রয়েছে - এখানে কোন পার্থক্য নেই।

3য় সমীকরণ থেকে আমরা এটি প্রকাশ করি এবং এটিকে 1ম এবং 2য় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

উভয় সমীকরণ থেকে এটি নিম্নরূপ:

তাহলে যাক:

2-3) একাধিক মানের জন্য আমরা সিস্টেমটি পাই .

আসুন সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সটি লিখি এবং প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসা যাক:

www.siteআপনাকে খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়। সাইটটি গণনা করে। কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে সার্ভার সঠিক সমাধান দেবে। ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণহবে বীজগাণিতিক এক্সপ্রেশন, নির্ধারক গণনা করার নিয়ম দ্বারা পাওয়া যায় ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্স, প্রধান তির্যক বরাবর তির্যক উপাদান এবং পরিবর্তনশীল মানগুলির মধ্যে পার্থক্য থাকবে। হিসাব করার সময় অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণ, প্রতিটি উপাদান ম্যাট্রিক্সসংশ্লিষ্ট অন্যান্য উপাদানের সাথে গুণিত হবে ম্যাট্রিক্স. মোডে খুঁজুন অনলাইনশুধুমাত্র বর্গক্ষেত্রের জন্য সম্ভব ম্যাট্রিক্স. ফাইন্ডিং অপারেশন অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণউপাদানের গুণফলের বীজগাণিতিক যোগফল গণনা করতে হ্রাস করে ম্যাট্রিক্সনির্ধারক খোঁজার ফলে ম্যাট্রিক্স, শুধুমাত্র নির্ধারণের উদ্দেশ্যে অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণ. এই অপারেশনতত্ত্বে একটি বিশেষ স্থান দখল করে আছে ম্যাট্রিক্স, আপনি শিকড় ব্যবহার করে eigenvalues ​​এবং ভেক্টর খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়। খোঁজার কাজ অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণগুন উপাদান নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সএকটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুযায়ী এই পণ্য সারাংশ দ্বারা অনুসরণ. www.siteখুঁজে পায় ম্যাট্রিক্সের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণমোডে প্রদত্ত মাত্রা অনলাইন. হিসাব অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণএর মাত্রা দেওয়া হলে, এটি সংখ্যাসূচক বা প্রতীকী সহগ সহ একটি বহুপদ খুঁজে বের করছে, যা নির্ধারক গণনার নিয়ম অনুসারে পাওয়া যায় ম্যাট্রিক্স- সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির পণ্যের যোগফল হিসাবে ম্যাট্রিক্স, শুধুমাত্র নির্ধারণের উদ্দেশ্যে অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণ. একটি দ্বিঘাতের জন্য একটি চলকের সাপেক্ষে একটি বহুপদ সন্ধান করা ম্যাট্রিক্স, একটি সংজ্ঞা হিসাবে ম্যাট্রিক্সের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণ, তত্ত্বে সাধারণ ম্যাট্রিক্স. বহুপদীর মূলের অর্থ অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণ eigenvectors এবং eigenvalues ​​নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয় ম্যাট্রিক্স. তাছাড়া নির্ধারক হলে ম্যাট্রিক্সতাহলে শূন্যের সমান হবে ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণবিপরীত থেকে ভিন্ন, এখনও বিদ্যমান থাকবে ম্যাট্রিক্স. হিসাব করার জন্য ম্যাট্রিক্সের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণঅথবা একবারে বেশ কিছু খুঁজে বের করুন ম্যাট্রিক্স বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ, আপনাকে অনেক সময় এবং প্রচেষ্টা ব্যয় করতে হবে, যখন আমাদের সার্ভার কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে খুঁজে পাবে অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণ. এই ক্ষেত্রে, উত্তর খুঁজে বের করা অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণসঠিক এবং পর্যাপ্ত নির্ভুলতার সাথে হবে, এমনকি যদি খুঁজে বের করার সময় সংখ্যা অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণঅযৌক্তিক হবে। সাইটে www.siteউপাদানগুলিতে অক্ষর এন্ট্রি অনুমোদিত ম্যাট্রিক্স, এটাই অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণগণনা করার সময় সাধারণ প্রতীকী আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে অনলাইন ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ. খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধান করার সময় প্রাপ্ত উত্তর পরীক্ষা করা দরকারী অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণসাইট ব্যবহার করে www.site. একটি বহুপদ গণনার অপারেশন সম্পাদন করার সময় - ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ, এই সমস্যাটি সমাধান করার সময় আপনাকে সতর্ক এবং অত্যন্ত মনোযোগী হতে হবে। পরিবর্তে, আমাদের সাইট আপনাকে বিষয়টিতে আপনার সিদ্ধান্ত পরীক্ষা করতে সহায়তা করবে অনলাইনে একটি ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ. আপনি যদি সমাধান করা সমস্যা দীর্ঘ চেক জন্য সময় না থাকে, তারপর www.siteখুঁজে বের করার এবং গণনা করার সময় পরীক্ষা করার জন্য অবশ্যই একটি সুবিধাজনক হাতিয়ার হবে অনলাইন ম্যাট্রিক্সের জন্য চরিত্রগত সমীকরণ.

একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের একটি ইজেনভেক্টর হল একটি যাকে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করা হলে একটি সমরেখা ভেক্টরে পরিণত হয়। সহজ কথায়, একটি eigenvector দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার সময়, পরবর্তীটি একই থাকে, কিন্তু একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণিত হয়।

সংজ্ঞা

একটি eigenvector হল একটি অ-শূন্য ভেক্টর V, যাকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স M দ্বারা গুণ করা হলে, নিজেই কিছু সংখ্যা λ দ্বারা বৃদ্ধি পায়। বীজগাণিতিক স্বরলিপিতে এটির মতো দেখায়:

M × V = λ × V,

যেখানে λ ম্যাট্রিক্স M এর eigenvalue।

চলো বিবেচনা করি সংখ্যাসূচক উদাহরণ. রেকর্ডিংয়ের সুবিধার জন্য, ম্যাট্রিক্সের সংখ্যাগুলি একটি সেমিকোলন দ্বারা পৃথক করা হবে। আমাদের একটি ম্যাট্রিক্স আছে:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

আসুন এটিকে একটি কলাম ভেক্টর দ্বারা গুণ করি:

• V = -2;

যখন আমরা একটি কলাম ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করি, তখন আমরা একটি কলাম ভেক্টরও পাই। কড়া গাণিতিক ভাষাএকটি কলাম ভেক্টর দ্বারা একটি 2 × 2 ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার জন্য সূত্রটি দেখতে এইরকম হবে:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21।

M11 মানে প্রথম সারি এবং প্রথম কলামে অবস্থিত ম্যাট্রিক্স M এর উপাদান, এবং M22 মানে দ্বিতীয় সারি এবং দ্বিতীয় কলামে অবস্থিত উপাদান। আমাদের ম্যাট্রিক্সের জন্য, এই উপাদানগুলি M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 এর সমান। একটি কলাম ভেক্টরের জন্য, এই মানগুলি V11 = –2, V21 = 1 এর সমান। এই সূত্র অনুসারে, আমরা একটি ভেক্টর দ্বারা একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নিম্নলিখিত ফলাফল পাই:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2।

সুবিধার জন্য, একটি সারিতে কলাম ভেক্টর লিখি। সুতরাং, আমরা ভেক্টর (-2; 1) দ্বারা বর্গ ম্যাট্রিক্সকে গুণ করেছি, ফলে ভেক্টর (4; -2)। স্পষ্টতই, এটি λ = -2 দ্বারা গুণিত একই ভেক্টর। এই ক্ষেত্রে Lambda ম্যাট্রিক্সের eigenvalue বোঝায়।

একটি ম্যাট্রিক্সের একটি আইজেনভেক্টর হল একটি সমরেখা ভেক্টর, অর্থাৎ একটি বস্তু যা একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করলে মহাশূন্যে তার অবস্থান পরিবর্তন করে না। ভেক্টর বীজগণিতের সমরেখার ধারণাটি জ্যামিতিতে সমান্তরালতার শব্দের অনুরূপ। জ্যামিতিক ব্যাখ্যায়, সমরেখা ভেক্টরগুলি বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের সমান্তরাল নির্দেশিত অংশ। ইউক্লিডের সময় থেকে, আমরা জানি যে একটি লাইনের সমান্তরালে অসীম সংখ্যক রেখা রয়েছে, তাই এটি ধরে নেওয়া যুক্তিসঙ্গত যে প্রতিটি ম্যাট্রিক্সে অসীম সংখ্যক ইজেনভেক্টর রয়েছে।

পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে এটা স্পষ্ট যে eigenvectors হতে পারে (-8; 4), এবং (16; -8), এবং (32, -16)। এগুলি ইগেনভ্যালু λ = -2 এর সাথে সম্পর্কিত সমস্ত সমরেখা ভেক্টর। এই ভেক্টরগুলি দ্বারা মূল ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার সময়, আমরা এখনও একটি ভেক্টর দিয়ে শেষ করব যা মূল থেকে 2 গুণ দ্বারা পৃথক। এই কারণেই, একটি eigenvector খোঁজার সমস্যা সমাধান করার সময়, শুধুমাত্র রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টর বস্তুগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন। প্রায়শই, একটি n × n ম্যাট্রিক্সের জন্য, একটি n সংখ্যার ইজেনভেক্টর থাকে। আমাদের ক্যালকুলেটরটি সেকেন্ড-অর্ডার বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের বিশ্লেষণের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, তাই প্রায় সবসময়ই ফলাফল দুটি ইজেনভেক্টর খুঁজে পাবে, যখন তারা মিলে যায়।

উপরের উদাহরণে, আমরা আসল ম্যাট্রিক্সের eigenvector আগে থেকেই জানতাম এবং স্পষ্টভাবে ল্যাম্বডা সংখ্যা নির্ধারণ করেছিলাম। যাইহোক, অনুশীলনে, সবকিছু উল্টোভাবে ঘটে: eigenvalues ​​প্রথমে পাওয়া যায় এবং শুধুমাত্র তারপর eigenvectors।

সমাধান অ্যালগরিদম

আসুন মূল ম্যাট্রিক্স M আবার দেখি এবং এর উভয় ইজেনভেক্টর খুঁজে বের করার চেষ্টা করি। তাই ম্যাট্রিক্স এর মত দেখাচ্ছে:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

প্রথমে আমাদের eigenvalue λ নির্ধারণ করতে হবে, যার জন্য নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করা প্রয়োজন:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ)।

এই ম্যাট্রিক্সটি মূল কর্ণের উপাদানগুলি থেকে অজানা λ বিয়োগ করে প্রাপ্ত হয়। নির্ধারক মান সূত্র ব্যবহার করে নির্ধারিত হয়:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

যেহেতু আমাদের ভেক্টর অবশ্যই অ-শূন্য হতে হবে, তাই আমরা ফলাফলের সমীকরণটিকে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হিসাবে গ্রহণ করি এবং আমাদের নির্ধারক detA কে শূন্যের সাথে সমান করি।

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

আসুন বন্ধনী খুলি এবং ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ পাই:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

এই মান দ্বিঘাত সমীকরণ, যা বৈষম্যকারীর মাধ্যমে সমাধান করা প্রয়োজন।

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 −4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

বৈষম্যকারীর মূল হল sqrt(D) = 14, তাই λ1 = -2, λ2 = 12। এখন প্রতিটি ল্যাম্বডা মানের জন্য আমাদের eigenvector খুঁজে বের করতে হবে। λ = -2 এর জন্য সিস্টেম সহগ প্রকাশ করা যাক।

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

এই সূত্রে, E হল পরিচয় ম্যাট্রিক্স। ফলাফল ম্যাট্রিক্সের উপর ভিত্তি করে, আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম তৈরি করি:

2x + 4y = 6x + 12y,

যেখানে x এবং y হল eigenvector উপাদান।

আসুন বাম দিকে সমস্ত X এবং ডানদিকে সমস্ত Y সংগ্রহ করি। স্পষ্টতই - 4x = 8y। রাশিটিকে - 4 দ্বারা ভাগ করুন এবং x = –2y পান। এখন আমরা ম্যাট্রিক্সের প্রথম আইজেনভেক্টর নির্ধারণ করতে পারি, অজানাদের যেকোনো মান (রৈখিকভাবে নির্ভরশীল আইজেনভেক্টরের অসীমতা মনে রাখবেন) নিয়ে। y = 1 ধরা যাক, তারপর x = –2। অতএব, প্রথম eigenvector দেখতে V1 = (–2; 1) এর মতো। নিবন্ধের শুরুতে ফিরে যান। এই ভেক্টর বস্তুটিই আমরা ম্যাট্রিক্সকে গুণিত করেছি একটি আইজেনভেক্টরের ধারণা প্রদর্শন করার জন্য।

এখন λ = 12 এর জন্য eigenvector বের করা যাক।

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

রৈখিক সমীকরণের একই সিস্টেম তৈরি করা যাক;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y।

এখন আমরা x = 1 নিই, তাই y = 3। সুতরাং, দ্বিতীয় eigenvector দেখতে V2 = (1; 3) এর মতো। একটি প্রদত্ত ভেক্টর দ্বারা মূল ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার সময়, ফলাফলটি সর্বদা একই ভেক্টরকে 12 দ্বারা গুণিত করে। এখানেই সমাধান অ্যালগরিদম শেষ হয়। এখন আপনি জানেন কিভাবে ম্যাট্রিক্সের eigenvector ম্যানুয়ালি নির্ধারণ করতে হয়।

• নির্ধারক;
• ট্রেস, অর্থাৎ, প্রধান তির্যকের উপাদানগুলির সমষ্টি;
• র‌্যাঙ্ক, অর্থাৎ, রৈখিকভাবে স্বাধীন সারি/কলামের সর্বোচ্চ সংখ্যা।

প্রোগ্রামটি উপরের অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ করে, সমাধান প্রক্রিয়াটিকে যতটা সম্ভব ছোট করে। এটা উল্লেখ করা গুরুত্বপূর্ণ যে প্রোগ্রামে ল্যাম্বডা "c" অক্ষর দ্বারা মনোনীত হয়েছে। এর একটি সংখ্যাসূচক উদাহরণ তাকান.

প্রোগ্রাম কিভাবে কাজ করে তার উদাহরণ

আসুন নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সের জন্য eigenvectors নির্ধারণ করার চেষ্টা করি:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

ক্যালকুলেটরের কোষগুলিতে এই মানগুলি প্রবেশ করা যাক এবং নিম্নলিখিত আকারে উত্তরটি পাই:

• ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক: 2;
• ম্যাট্রিক্স নির্ধারক: 18;
• ম্যাট্রিক্স ট্রেস: 19;
• আইজেনভেক্টরের গণনা: c 2 − 19.00c + 18.00 (চরিত্রের সমীকরণ);
• Eigenvector গণনা: 18 (প্রথম ল্যাম্বডা মান);
• Eigenvector গণনা: 1 (সেকেন্ড ল্যাম্বডা মান);
• ভেক্টর 1 এর জন্য সমীকরণের সিস্টেম: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• ভেক্টর 2 এর জন্য সমীকরণের সিস্টেম: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Eigenvector 1: (1; 1);
• Eigenvector 2: (-3.25; 1)।

এইভাবে, আমরা দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন ইজেনভেক্টর পেয়েছি।

উপসংহার

রৈখিক বীজগণিত এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি যে কোনো নবীন প্রকৌশলী ছাত্রের জন্য আদর্শ বিষয়। বিপুল সংখ্যক ভেক্টর এবং ম্যাট্রিক্স ভয়ঙ্কর, এবং এই ধরনের কষ্টকর গণনায় ভুল করা সহজ। আমাদের প্রোগ্রাম ছাত্রদের তাদের গণনা পরীক্ষা করতে বা স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি eigenvector খোঁজার সমস্যা সমাধান করার অনুমতি দেবে। আমাদের ক্যাটালগে অন্যান্য রৈখিক বীজগণিত ক্যালকুলেটর রয়েছে; আপনার পড়াশোনা বা কাজে সেগুলি ব্যবহার করুন।

তির্যক ম্যাট্রিক্সের সবচেয়ে সহজ গঠন রয়েছে। প্রশ্ন উঠছে যে রৈখিক অপারেটরের ম্যাট্রিক্সের একটি তির্যক আকার থাকবে এমন একটি ভিত্তি খুঁজে পাওয়া সম্ভব কিনা। এই ধরনের একটি ভিত্তি বিদ্যমান।
আমাদের একটি রৈখিক স্থান দেওয়া যাক R n এবং একটি রৈখিক অপারেটর A এতে অভিনয় করে; এই ক্ষেত্রে, অপারেটর A R n কে নিজের মধ্যে নেয়, অর্থাৎ A:R n → R n।

সংজ্ঞা। একটি নন-জিরো ভেক্টরকে অপারেটর A-এর একটি eigenvector বলা হয় যদি অপারেটর A একটি সমরেখা ভেক্টরে অনুবাদ করে, অর্থাৎ। λ সংখ্যাটিকে অপারেটর A-এর eigenvalue বা eigenvalue বলা হয়, eigenvector এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।
আসুন আমরা eigenvalues ​​এবং eigenvectors এর কিছু বৈশিষ্ট্য লক্ষ করি।
1. eigenvectors এর যেকোনো রৈখিক সংমিশ্রণ অপারেটর A একই eigenvalue-এর সাথে সম্পর্কিত λ হল একই eigenvalue সহ একটি eigenvector।
2. Eigenvectors λ 1 , λ 2 , …, λ m রৈখিকভাবে স্বাধীন।
3. যদি eigenvalues ​​λ 1 =λ 2 = λ m = λ হয়, তাহলে eigenvalue λ m রৈখিকভাবে স্বাধীন ইজেনভেক্টরের চেয়ে বেশি নয়।

সুতরাং, যদি n রৈখিকভাবে স্বাধীন ইজেনভেক্টর থাকে , বিভিন্ন eigenvalues ​​λ 1, λ 2, ..., λ n এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তারপর তারা রৈখিকভাবে স্বাধীন, তাই, তাদের স্থান R n এর ভিত্তি হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। আসুন আমরা রৈখিক অপারেটর A এর ম্যাট্রিক্সের ফর্মটি খুঁজে বের করি এর eigenvectors এর ভিত্তিতে, যার জন্য আমরা ভিত্তি ভেক্টরের উপর অপারেটর A এর সাথে কাজ করব: তারপর .
এইভাবে, রৈখিক অপারেটর A এর ম্যাট্রিক্স এর আইজেনভেক্টরগুলির ভিত্তিতে একটি তির্যক আকার রয়েছে এবং অপারেটর A এর আইজেনভ্যালুগুলি তির্যক বরাবর রয়েছে।
ম্যাট্রিক্সের একটি তির্যক রূপ আছে এমন কি অন্য কোনো ভিত্তি আছে? এই প্রশ্নের উত্তর নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়.

উপপাদ্য। ভিত্তিতে একটি রৈখিক অপারেটর A-এর ম্যাট্রিক্সের একটি তির্যক রূপ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ভিত্তির সমস্ত ভেক্টর অপারেটর A-এর eigenvector হয়।

eigenvalues ​​এবং eigenvectors খোঁজার নিয়ম

একটি ভেক্টর দেওয়া যাক , যেখানে x 1, x 2, …, x n হল ভিত্তির সাপেক্ষে ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং eigenvalue λ এর সাথে সংশ্লিষ্ট লিনিয়ার অপারেটর A এর eigenvector, অর্থাৎ। এই সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স আকারে লেখা যেতে পারে

. (*)

সমীকরণ (*) খুঁজে বের করার জন্য একটি সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, এবং , আমরা অ-তুচ্ছ সমাধানে আগ্রহী, যেহেতু eigenvector শূন্য হতে পারে না। এটা জানা যায় যে det(A - λE) = 0 হলে এবং শুধুমাত্র যদি লিনিয়ার সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেমের অতুচ্ছ সমাধান বিদ্যমান থাকে। সুতরাং, λ অপারেটর A-এর একটি ইজেনভ্যালু হওয়ার জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে det(A - λE) ) = 0।
যদি সমীকরণ (*) বিশদভাবে স্থানাঙ্ক আকারে লেখা হয়, আমরা রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:

(1)
কোথায় - লিনিয়ার অপারেটর ম্যাট্রিক্স।

সিস্টেম (1) এর একটি অ-শূন্য সমাধান আছে যদি এর নির্ধারক D শূন্যের সমান হয়

আমরা eigenvalues ​​খোঁজার জন্য একটি সমীকরণ পেয়েছি।
এই সমীকরণ বলা হয় চরিত্রগত সমীকরণ, এবং তার বাম পাশে- ম্যাট্রিক্সের চরিত্রগত বহুপদী (অপারেটর) A. চরিত্রগত বহুপদীর যদি কোনো প্রকৃত মূল না থাকে, তাহলে ম্যাট্রিক্স A-তে ইজেনভেক্টর থাকে না এবং এটিকে তির্যক আকারে হ্রাস করা যায় না।
ধরা যাক λ 1, λ 2, …, λ n চরিত্রগত সমীকরণের আসল মূল, এবং তাদের মধ্যে গুণিতক থাকতে পারে। এই মানগুলিকে সিস্টেম (1) তে প্রতিস্থাপন করে, আমরা ইজেনভেক্টরগুলি খুঁজে পাই।

উদাহরণ 12। রৈখিক অপারেটর A আইন অনুসারে R 3 তে কাজ করে, যেখানে x 1, x 2, .., x n হল ভিত্তির ভেক্টরের স্থানাঙ্ক , , . এই অপারেটরের eigenvalues ​​এবং eigenvectors খুঁজুন।
সমাধান। আমরা এই অপারেটরের ম্যাট্রিক্স তৈরি করি:
.
আমরা eigenvectors এর স্থানাঙ্ক নির্ধারণের জন্য একটি সিস্টেম তৈরি করি:

আমরা একটি চরিত্রগত সমীকরণ রচনা করি এবং এটি সমাধান করি:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3।
সিস্টেমে λ = -1 প্রতিস্থাপন করে, আমাদের আছে:
বা
কারণ , তারপর দুটি নির্ভরশীল ভেরিয়েবল এবং একটি মুক্ত ভেরিয়েবল আছে।
তাহলে x 1 একটি মুক্ত অজানা হতে দিন আমরা যেকোনো উপায়ে এই সিস্টেমটি সমাধান করি এবং এই সিস্টেমের সাধারণ সমাধান খুঁজে পাই: মৌলিক ব্যবস্থাসমাধানগুলি একটি সমাধান নিয়ে গঠিত, যেহেতু n - r = 3 - 2 = 1।
eigenvalue λ = -1 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ ইজেনভেক্টরের সেটটির ফর্ম আছে: , যেখানে x 1 হল শূন্য ছাড়া অন্য যেকোন সংখ্যা। এই সেট থেকে একটি ভেক্টর বেছে নেওয়া যাক, উদাহরণস্বরূপ, x 1 = 1 বসানো: .
একইভাবে যুক্তি দিয়ে, আমরা eigenvalue λ = 3 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ eigenvector দেখতে পাই: .
স্পেস R 3-এ, ভিত্তিটি তিনটি রৈখিক স্বাধীন ভেক্টর নিয়ে গঠিত, কিন্তু আমরা শুধুমাত্র দুটি রৈখিক স্বাধীন ইজেনভেক্টর পেয়েছি, যেখান থেকে R 3-এর ভিত্তি তৈরি করা যায় না। ফলস্বরূপ, আমরা একটি রৈখিক অপারেটরের ম্যাট্রিক্স A কে তির্যক আকারে কমাতে পারি না।

উদাহরণ 13। একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া .
1. প্রমাণ করুন যে ভেক্টর ম্যাট্রিক্স A এর একটি eigenvector. এই eigenvector এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ eigenvalue খুঁজুন।
2. একটি ভিত্তি খুঁজুন যেখানে ম্যাট্রিক্স A এর একটি তির্যক রূপ রয়েছে।
সমাধান।
1. যদি, তাহলে একটি eigenvector হয়

.
ভেক্টর (1, 8, -1) একটি eigenvector. Eigenvalue λ = -1.
eigenvectors সমন্বিত একটি ভিত্তিতে ম্যাট্রিক্স একটি তির্যক ফর্ম আছে। তাদের মধ্যে একজন বিখ্যাত। বাকিটা খুঁজে বের করা যাক।
আমরা সিস্টেম থেকে eigenvectors সন্ধান করি:

বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1।
আসুন eigenvalue λ = -3 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ eigenvector খুঁজে বের করা যাক:

এই সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল দুই এবং অজানা সংখ্যার সমান, তাই এই সিস্টেমে শুধুমাত্র একটি শূন্য সমাধান আছে x 1 = x 3 = 0। x 2 এখানে শূন্য ছাড়া অন্য কিছু হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, x 2 = 1. এইভাবে, ভেক্টর (0,1,0) হল একটি eigenvector যা λ = -3 এর সাথে সম্পর্কিত। আসুন পরীক্ষা করা যাক:
.
যদি λ = 1 হয়, তাহলে আমরা সিস্টেমটি পাই
ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক হল দুই। আমরা শেষ সমীকরণ ক্রস আউট.
x 3 একটি বিনামূল্যে অজানা হতে দিন. তারপর x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3।
x 3 = 1 ধরে নিলাম, আমাদের আছে (-3,-9,1)- একটি eigenvector যা eigenvalue λ = 1 এর সাথে সম্পর্কিত। পরীক্ষা করুন:

.
যেহেতু eigenvalues ​​বাস্তব এবং স্বতন্ত্র, তাদের সাথে সম্পর্কিত ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন, তাই তাদের R 3 তে ভিত্তি হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। এইভাবে, ভিত্তিতে , , ম্যাট্রিক্স এ ফর্ম আছে:
.
রৈখিক অপারেটর A:R n → R n-এর প্রতিটি ম্যাট্রিক্সকে তির্যক আকারে হ্রাস করা যায় না, কারণ কিছু ক্ষেত্রে লিনিয়ার অপারেটর n এর চেয়ে কম রৈখিকভাবে স্বাধীন ইজেনভেক্টর থাকতে পারে। যাইহোক, যদি ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হয়, তাহলে m গুণিতকের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূলটি ঠিক m রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের সাথে মিলে যায়।

সংজ্ঞা। একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হল একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স যেখানে প্রধান তির্যক সম্পর্কে প্রতিসম উপাদানগুলি সমান, অর্থাৎ যার মধ্যে।
মন্তব্য. 1. একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের সমস্ত eigenvalue বাস্তব।
2. একটি সমমিত ম্যাট্রিক্সের ইজেনভেক্টরগুলি পেয়ারওয়াইজ বিভিন্ন ইজেনভ্যালুর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।
অধ্যয়নকৃত যন্ত্রের অনেকগুলি প্রয়োগের মধ্যে একটি হিসাবে, আমরা দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখার ধরণ নির্ধারণের সমস্যাটি বিবেচনা করি।