আমরা প্রায়ই অভিব্যক্তি শুনতে পাই: "এটি জড়", "জড়তা দ্বারা সরানো", "জড়তার মুহূর্ত"। একটি রূপক অর্থে, "জড়তা" শব্দটিকে উদ্যোগ এবং কর্মের অভাব হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। আমরা সরাসরি অর্থে আগ্রহী।

জড়তা কাকে বলে

সংজ্ঞা অনুযায়ী জড়তাপদার্থবিজ্ঞানে, এটি বহিরাগত শক্তির অনুপস্থিতিতে বিশ্রাম বা গতির অবস্থা বজায় রাখার ক্ষমতা।

যদি একটি স্বজ্ঞাত স্তরে জড়তার ধারণার সাথে সবকিছু পরিষ্কার হয়, তাহলে নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত- একটি পৃথক প্রশ্ন। একমত, এটা কি আপনার মনে কল্পনা করা কঠিন. এই নিবন্ধে আপনি এই বিষয়ে মৌলিক সমস্যাগুলি কিভাবে সমাধান করবেন তা শিখবেন "নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত".

জড়তার মুহূর্ত নির্ধারণ

স্কুলের কোর্স থেকেই জানা যায় যে ভর - একটি শরীরের জড়তা একটি পরিমাপ. আমরা যদি বিভিন্ন ভরের দুটি গাড়ি ঠেলে দিই, তবে ভারী একটিকে থামানো আরও কঠিন হবে। অর্থাৎ ভর যত বেশি, তত বেশি বাহ্যিক প্রভাবশরীরের নড়াচড়া পরিবর্তন করা প্রয়োজন। যা বিবেচনা করা হয় তা অনুবাদমূলক গতিতে প্রযোজ্য, যখন উদাহরণ থেকে কার্টটি সরলরেখায় চলে।

ভর এবং অনুবাদমূলক গতির সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, জড়তার মুহূর্ত হল একটি শরীরের জড়তার পরিমাপ ঘূর্ণায়মান আন্দোলনঅক্ষের চারপাশে।

নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত- একটি স্কেলার শারীরিক পরিমাণ, একটি অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের সময় একটি শরীরের জড়তার একটি পরিমাপ। চিঠি দ্বারা চিহ্নিত জে এবং সিস্টেমে এসআই কিলোগ্রাম বার একটি বর্গ মিটার পরিমাপ.

কিভাবে জড়তা মুহূর্ত গণনা? খাওয়া সাধারণ সূত্র, যা কোনো শরীরের জড়তার মুহূর্ত গণনা করতে পদার্থবিজ্ঞানে ব্যবহৃত হয়। যদি একটি ভর দিয়ে একটি দেহ অসীম টুকরো টুকরো হয়ে যায় dm , তাহলে জড়তার মুহূর্ত ঘূর্ণনের অক্ষের দূরত্বের বর্গ দ্বারা এই প্রাথমিক ভরগুলির গুণফলের সমষ্টির সমান হবে।

এটি পদার্থবিজ্ঞানে জড়তার মুহুর্তের সাধারণ সূত্র। ভর একটি উপাদান বিন্দু জন্য মি , দূরত্বে একটি অক্ষের চারপাশে ঘুরছে r তার থেকে, এই সূত্রফর্ম নেয়:

স্টেইনারের উপপাদ্য

জড়তার মুহূর্ত কিসের উপর নির্ভর করে? ভর থেকে, ঘূর্ণনের অক্ষের অবস্থান, শরীরের আকার এবং আকার।

Huygens-Steiner উপপাদ্য একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য যা প্রায়ই সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

যাইহোক! আমাদের পাঠকদের জন্য এখন রয়েছে 10% ডিসকাউন্ট

হাইজেনস-স্টেইনার উপপাদ্যটি বলে:

যথেচ্ছ অক্ষের সাপেক্ষে একটি দেহের জড়তার মুহূর্তটি একটি নির্বিচারে অক্ষের সমান্তরাল ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের সাপেক্ষে শরীরের জড়তার মুহূর্তের যোগফল এবং বর্গ দ্বারা শরীরের ভরের গুণফলের সমান। অক্ষের মধ্যে দূরত্বের।

যারা জড়তার মুহূর্ত খুঁজে পাওয়ার সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় ক্রমাগত একত্রিত হতে চান না তাদের জন্য, আমরা একটি অঙ্কন উপস্থাপন করি যা কিছু সমজাতীয় দেহের জড়তার মুহূর্তগুলি নির্দেশ করে যা প্রায়শই সমস্যার সম্মুখীন হয়:

জড়তার মুহূর্ত খুঁজে পেতে সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ

এর দুটি উদাহরণ তাকান. প্রথম কাজ হল জড়তার মুহূর্ত খুঁজে বের করা। দ্বিতীয় কাজ হল Huygens-Steiner উপপাদ্য ব্যবহার করা।

সমস্যা 1. ভর m এবং ব্যাসার্ধ R এর সমজাতীয় ডিস্কের জড়তার মুহূর্তটি খুঁজুন। ঘূর্ণনের অক্ষটি ডিস্কের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়।

সমাধান:

আসুন আমরা ডিস্কটিকে অসীম পাতলা রিংগুলিতে ভাগ করি, যার ব্যাসার্ধ এর থেকে পরিবর্তিত হয় 0 আগে আরএবং এই ধরনের একটি রিং বিবেচনা করুন. এর ব্যাসার্ধ হতে দিন r, এবং ভর - dm. তারপর রিং এর জড়তা মুহূর্ত হল:

রিং এর ভর এইভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

এখানে dz- রিং এর উচ্চতা। আসুন জড়তার মুহুর্তের জন্য ভরকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং একীভূত করি:

ফলাফলটি একটি পরম পাতলা ডিস্ক বা সিলিন্ডারের জড়তার মুহুর্তের জন্য একটি সূত্র ছিল।

সমস্যা 2. আবারও ভর m এবং ব্যাসার্ধ R এর একটি ডিস্ক থাকুক। এখন আমাদের ডিস্কের জড়তার মুহূর্তটি খুঁজে বের করতে হবে এর একটি রেডিআই এর মাঝখান দিয়ে যাওয়া অক্ষের সাপেক্ষে।

সমাধান:

ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষের সাপেক্ষে ডিস্কের জড়তার মুহূর্ত পূর্ববর্তী সমস্যা থেকে জানা যায়। আসুন স্টেইনারের উপপাদ্য প্রয়োগ করি এবং সন্ধান করি:

যাইহোক, আমাদের ব্লগে আপনি পদার্থবিদ্যা এবং অন্যান্য দরকারী উপকরণ খুঁজে পেতে পারেন।

আমরা আশা করি যে আপনি নিবন্ধে নিজের জন্য দরকারী কিছু পাবেন। যদি জড়তা টেনসর গণনা করার প্রক্রিয়াতে অসুবিধা দেখা দেয় তবে ছাত্র পরিষেবা সম্পর্কে ভুলবেন না। আমাদের বিশেষজ্ঞরা যে কোনও বিষয়ে পরামর্শ দেবেন এবং কয়েক মিনিটের মধ্যে সমস্যা সমাধানে সহায়তা করবেন।

একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাথে আপেক্ষিক ("জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত") হল পরিমাণ জে ক, যোগফলের সমানসব মানুষের কাজ nঅক্ষ থেকে তাদের দূরত্বের বর্গ দ্বারা সিস্টেমের উপাদান বিন্দু:

• m i- ওজন iম বিন্দু,
• r i- থেকে দূরত্ব iঅক্ষের দিকে তম বিন্দু।

অক্ষীয় নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্তশরীর জে কএকটি অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণায়মান গতিতে একটি শরীরের জড়তার একটি পরিমাপ, ঠিক যেমন একটি শরীরের ভর অনুবাদমূলক গতিতে তার জড়তার একটি পরিমাপ।

যদি দেহটি সমজাতীয় হয়, অর্থাৎ, এর ঘনত্ব সর্বত্র সমান, তাহলে

হাইজেনস-স্টেইনার উপপাদ্য

নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত কঠিনযেকোন অক্ষের সাপেক্ষে শুধুমাত্র শরীরের ভর, আকৃতি এবং আকারের উপর নয়, এই অক্ষের সাথে সম্পর্কিত শরীরের অবস্থানের উপরও নির্ভর করে। স্টেইনারের উপপাদ্য (Huygens-Steiner theorem) অনুসারে, নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্তশরীর জেএকটি নির্বিচারে অক্ষ আপেক্ষিক সমষ্টির সমান নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্তএই শরীর জে গবিবেচনাধীন অক্ষের সমান্তরাল শরীরের ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের সাথে সম্পর্কিত, এবং শরীরের ভরের গুণফল মিদূরত্ব প্রতি বর্গ dঅক্ষের মধ্যে:

শরীরের মোট ভর কোথায়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি অক্ষের শেষের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রডের জড়তার মুহূর্ত সমান:

কিছু দেহের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত

জড়তার মুহূর্তসমজাতীয় দেহ সরলতম গঠনঘূর্ণনের কিছু অক্ষের সাথে আপেক্ষিক

শরীর	বর্ণনা	অক্ষ অবস্থান ক	নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত জে ক
	উপাদান বিন্দু ভর মি	দূরত্বে rএকটি বিন্দু থেকে, স্থির
	ফাঁপা পাতলা দেয়ালের সিলিন্ডার বা ব্যাসার্ধের রিং rএবং ভর মি	সিলিন্ডারের অক্ষ
	কঠিন সিলিন্ডার বা ব্যাসার্ধ ডিস্ক rএবং ভর মি	সিলিন্ডারের অক্ষ
	ফাঁপা পুরু-প্রাচীরযুক্ত ভর সিলিন্ডার মিবাইরের ব্যাসার্ধ সহ r 2এবং ভিতরের ব্যাসার্ধ r 1	সিলিন্ডারের অক্ষ
	কঠিন সিলিন্ডার দৈর্ঘ্য l, ব্যাসার্ধ rএবং ভর মি
	ফাঁপা পাতলা দেয়ালের সিলিন্ডার (রিং) দৈর্ঘ্য l, ব্যাসার্ধ rএবং ভর মি	অক্ষটি সিলিন্ডারের লম্ব এবং ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়
	সোজা পাতলা দৈর্ঘ্যের রড lএবং ভর মি	অক্ষটি রডের লম্ব এবং ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়
	সোজা পাতলা দৈর্ঘ্যের রড lএবং ভর মি	অক্ষটি রডের সাথে লম্ব এবং এর শেষের মধ্য দিয়ে যায়
	পাতলা দেয়ালযুক্ত ব্যাসার্ধ গোলক rএবং ভর মি	অক্ষটি গোলকের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়
	ব্যাসার্ধ বল rএবং ভর মি	অক্ষটি বলের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়
	ব্যাসার্ধ শঙ্কু rএবং ভর মি	শঙ্কু অক্ষ
	উচ্চতা সহ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ জ, ভিত্তি কএবং ভর মি	অক্ষটি ত্রিভুজের সমতলে লম্ব এবং শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়
	পাশের সাথে নিয়মিত ত্রিভুজ কএবং ভর মি	অক্ষটি ত্রিভুজের সমতলে লম্ব এবং ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়
	পাশে বর্গক্ষেত্র কএবং ভর মি	অক্ষটি বর্গক্ষেত্রের সমতলে লম্ব এবং ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়

সূত্র প্রাপ্ত

পাতলা দেয়ালের সিলিন্ডার (রিং, হুপ)

সূত্রের উৎপত্তি

একটি শরীরের জড়তার মুহূর্ত তার উপাদান অংশের জড়তার মুহূর্তগুলির যোগফলের সমান। একটি পাতলা-দেয়ালের সিলিন্ডারকে ভর সহ উপাদানগুলিতে ভাগ করুন dmএবং জড়তা মুহূর্ত dJ i. তারপর

যেহেতু একটি পাতলা-দেয়ালের সিলিন্ডারের সমস্ত উপাদান ঘূর্ণনের অক্ষ থেকে একই দূরত্বে থাকে, সূত্র (1) রূপান্তরিত হয়

পুরু দেয়ালের সিলিন্ডার (রিং, হুপ)

সূত্রের উৎপত্তি

বাইরের ব্যাসার্ধ সহ একটি সমজাতীয় বলয় থাকতে দিন আর, ভিতরের ব্যাসার্ধ আর 1, পুরু জএবং ঘনত্ব ρ। এর পুরু পাতলা রিং মধ্যে এটি ভাঙ্গা যাক ডাঃ. একটি পাতলা ব্যাসার্ধের বলয়ের জড়তার ভর এবং মুহূর্ত rহবে

পুরু বলয়ের জড়তার মুহূর্তটিকে অবিচ্ছেদ্য হিসাবে খুঁজে বের করা যাক

যেহেতু বলয়ের আয়তন এবং ভর সমান

আমরা রিং এর জড়তা মুহূর্ত জন্য চূড়ান্ত সূত্র প্রাপ্ত

সমজাতীয় ডিস্ক (কঠিন সিলিন্ডার)

সূত্রের উৎপত্তি

শূন্য অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ সহ একটি রিং হিসাবে একটি সিলিন্ডার (ডিস্ক) বিবেচনা করা ( আর 1 = 0), আমরা সিলিন্ডারের (ডিস্ক) জড়তার মুহুর্তের সূত্র পাই:

কঠিন শঙ্কু

সূত্রের উৎপত্তি

এর একটি বেধ সঙ্গে পাতলা ডিস্ক মধ্যে শঙ্কু ভাঙ্গা যাক dh, শঙ্কুর অক্ষের লম্ব। এই জাতীয় ডিস্কের ব্যাসার্ধ সমান

কোথায় আর- শঙ্কু বেসের ব্যাসার্ধ, এইচ- শঙ্কুর উচ্চতা, জ- শঙ্কুর শীর্ষ থেকে ডিস্কের দূরত্ব। এই জাতীয় ডিস্কের জড়তার ভর এবং মুহূর্ত হবে

একত্রীকরণ, আমরা পেতে

কঠিন সমজাতীয় বল

সূত্রের উৎপত্তি

বলটিকে বেধের পাতলা ডিস্কে ভাগ করুন dh, ঘূর্ণনের অক্ষের লম্ব। উচ্চতায় অবস্থিত এই জাতীয় ডিস্কের ব্যাসার্ধ জগোলকের কেন্দ্র থেকে, আমরা সূত্র ব্যবহার করে এটি খুঁজে পাই

এই জাতীয় ডিস্কের জড়তার ভর এবং মুহূর্ত হবে

আমরা একীকরণের মাধ্যমে গোলকের জড়তার মুহূর্তটি খুঁজে পাই:

পাতলা দেয়ালযুক্ত গোলক

সূত্রের উৎপত্তি

এটি বের করার জন্য, আমরা ব্যাসার্ধের একটি সমজাতীয় বলের জড়তার মুহুর্তের সূত্রটি ব্যবহার করি আর:

আসুন আমরা গণনা করি যে বলের জড়তার মুহূর্ত কতটা পরিবর্তিত হবে যদি, একটি ধ্রুবক ঘনত্ব ρ, এর ব্যাসার্ধ একটি অসীম পরিমাণে বৃদ্ধি পায় ডাঃ.

পাতলা রড (অক্ষ কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়)

সূত্রের উৎপত্তি

রডটিকে ছোট দৈর্ঘ্যের টুকরোগুলিতে ভাগ করুন ডাঃ. এই ধরনের একটি খণ্ডের জড়তার ভর এবং মুহূর্ত সমান

একত্রীকরণ, আমরা পেতে

পাতলা রড (অক্ষ শেষের মধ্য দিয়ে যায়)

সূত্রের উৎপত্তি

যখন ঘূর্ণনের অক্ষ রডের মাঝখান থেকে শেষ পর্যন্ত চলে যায়, তখন রডের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রটি অক্ষের সাপেক্ষে দূরত্বে চলে যায় l/2। স্টেইনারের উপপাদ্য অনুসারে নতুন মুহূর্তজড়তা সমান হবে

গ্রহ এবং তাদের উপগ্রহের জড়তার মাত্রাহীন মুহূর্ত

গবেষণা জন্য মহান মান অভ্যন্তরীণ গঠনগ্রহ এবং তাদের উপগ্রহের জড়তার মাত্রাহীন মুহূর্ত রয়েছে। ব্যাসার্ধের একটি শরীরের জড়তার মাত্রাহীন মুহূর্ত rএবং ভর মিদূরত্বে অবস্থিত ঘূর্ণনের একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে একই ভরের একটি বস্তুগত বিন্দুর জড়তার মুহূর্ত এবং ঘূর্ণনের অক্ষের সাথে তার জড়তার মুহুর্তের অনুপাতের সমান r(সমান জনাব 2)। এই মান গভীরতার উপর ভরের বন্টন প্রতিফলিত করে। গ্রহ এবং উপগ্রহের কাছাকাছি এটি পরিমাপ করার পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হল প্রদত্ত গ্রহ বা উপগ্রহের কাছাকাছি উড়ন্ত একটি AMS দ্বারা প্রেরিত রেডিও সংকেতের ডপলার স্থানান্তর নির্ধারণ করা। একটি পাতলা দেয়ালযুক্ত গোলকের জন্য, জড়তার মাত্রাহীন মুহূর্ত হল 2/3 (~0.67), একটি সমজাতীয় বলের জন্য এটি 0.4 এবং সাধারণভাবে, শরীরের ভর যত ছোট হবে তার কেন্দ্রে ঘনীভূত হবে। উদাহরণস্বরূপ, চাঁদে 0.4 (0.391 এর সমান) এর কাছাকাছি জড়তার একটি মাত্রাহীন মুহূর্ত রয়েছে, তাই এটি অনুমান করা হয় যে এটি তুলনামূলকভাবে সমজাতীয়, এর ঘনত্ব গভীরতার সাথে সামান্য পরিবর্তিত হয়। পৃথিবীর জড়তার মাত্রাহীন মুহূর্ত একটি সমজাতীয় গোলকের (0.335 এর সমান), যা একটি ঘন কোরের অস্তিত্বের পক্ষে একটি যুক্তি।

জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত

একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার অক্ষের সাথে সম্পর্কিত একটি দেহের জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তগুলি নিম্নলিখিত পরিমাণগুলি:

কোথায় এক্স, yএবং z- আয়তন সহ একটি ছোট শরীরের উপাদানের স্থানাঙ্ক dV, ঘনত্ব ρ এবং ভর dm.

OX অক্ষ বলা হয় শরীরের জড়তার প্রধান অক্ষ, যদি জড়তা কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত জে xyএবং জে xzএকই সাথে শূন্যের সমান। শরীরের প্রতিটি বিন্দু দিয়ে জড়তার তিনটি প্রধান অক্ষ টানা যায়। এই অক্ষগুলি একে অপরের সাথে পারস্পরিকভাবে লম্ব। শরীরের জড়তা মুহূর্তএকটি নির্বিচারে বিন্দুতে আঁকা জড়তার তিনটি প্রধান অক্ষের সাথে সম্পর্কিত ওমৃতদেহ বলা হয় শরীরের জড়তা প্রধান মুহূর্ত.

দেহের ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া জড়তার প্রধান অক্ষগুলিকে বলা হয় শরীরের জড়তার প্রধান কেন্দ্রীয় অক্ষ, এবং এই অক্ষ সম্পর্কে জড়তা মুহূর্ত হল এটি প্রধান কেন্দ্রীয় পয়েন্টজড়তা. একটি সমজাতীয় দেহের প্রতিসাম্যের অক্ষ সর্বদা তার জড়তার প্রধান কেন্দ্রীয় অক্ষগুলির মধ্যে একটি।

জড়তার জ্যামিতিক মুহূর্ত

জড়তার জ্যামিতিক মুহূর্ত - ফর্মের একটি বিভাগের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য

নিরপেক্ষ অক্ষের সাপেক্ষে কেন্দ্রীয় অক্ষ থেকে যেকোনো প্রাথমিক এলাকার দূরত্ব কোথায়।

জড়তার জ্যামিতিক মুহূর্তটি উপাদানের গতিবিধির সাথে সম্পর্কিত নয়; এটি শুধুমাত্র বিভাগের অনমনীয়তার মাত্রাকে প্রতিফলিত করে। গাইরেশনের ব্যাসার্ধ, রশ্মির বিচ্যুতি, বিমের ক্রস-সেকশন নির্বাচন, কলাম ইত্যাদি গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।

পরিমাপের SI একক হল m4। নির্মাণ গণনা, সাহিত্য এবং ঘূর্ণিত ধাতু ভাণ্ডার, বিশেষ করে, এটি সেমি 4 এ নির্দেশিত হয়।

এটি থেকে বিভাগের প্রতিরোধের মুহূর্তটি প্রকাশ করা হয়:

.

কিছু পরিসংখ্যানের জড়তার জ্যামিতিক মুহূর্ত
আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা এবং প্রস্থ:
আয়তক্ষেত্রাকার বাক্সের বিভাগ যার উচ্চতা এবং প্রস্থ বাহ্যিক কনট্যুর বরাবর এবং এবং অভ্যন্তরীণ কনট্যুর বরাবর এবং যথাক্রমে
বৃত্তের ব্যাস

জড়তার কেন্দ্রীয় মুহূর্ত

জড়তার কেন্দ্রীয় মুহূর্ত(অথবা O বিন্দুর সাপেক্ষে জড়তার মুহূর্ত) হল পরিমাণ

জড়তার কেন্দ্রীয় মুহূর্তকে জড়তার প্রধান অক্ষীয় বা কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে:

জড়তার টেনসর এবং জড়তার উপবৃত্তাকার

ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি নির্বিচারে অক্ষের সাপেক্ষে একটি দেহের জড়তার মুহূর্ত এবং একক ভেক্টর দ্বারা নির্দিষ্ট একটি দিকনির্দেশনা একটি চতুর্মুখী (দ্বিলিনিয়ার) আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

(1),

জড়তা টেনসর কোথায়। জড়তা টেনসর ম্যাট্রিক্স প্রতিসম, মাত্রা আছে এবং কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তের উপাদান নিয়ে গঠিত:

,
.

উপযুক্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা নির্বাচন করে, জড়তা টেনসর ম্যাট্রিক্সকে একটি তির্যক আকারে হ্রাস করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আপনাকে টেনসর ম্যাট্রিক্সের জন্য eigenvalue সমস্যাটি সমাধান করতে হবে:
,
জড়তা টেনসরের ইজেনবেসিসে অর্থোগোনাল ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স কোথায়। সঠিক ভিত্তিতে, স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি জড়তা টেনসরের প্রধান অক্ষ বরাবর নির্দেশিত হয় এবং জড়তা টেনসর উপবৃত্তাকার প্রধান আধা-অক্ষগুলির সাথেও মিলিত হয়। পরিমাণগুলি জড়তার প্রধান মুহূর্ত। অভিব্যক্তি (1) এর নিজস্ব স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ফর্ম রয়েছে:

,

সমীকরণ কোথা থেকে আসে

শক্তির মুহূর্ত এবং জড়তার মুহূর্ত

বস্তুগত বিন্দুর অনুবাদমূলক গতির গতিবিদ্যায়, গতিগত বৈশিষ্ট্য ছাড়াও, বল এবং ভরের ধারণাগুলি প্রবর্তিত হয়েছিল। ঘূর্ণন গতির গতিবিদ্যা অধ্যয়ন করার সময়, ভৌত পরিমাণগুলি প্রবর্তিত হয় - টর্কএবং নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত, শারীরিক অর্থযা আমরা নীচে প্রকাশ করব।

একটি বিন্দুতে প্রয়োগ করা একটি শক্তি প্রভাব অধীনে কিছু শরীর যাক ক, OO অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনে আসে" (চিত্র 5.1)।

চিত্র 5.1 – শক্তির মুহূর্তের ধারণার উপসংহারে

বলটি অক্ষের লম্ব একটি সমতলে কাজ করে। খাড়া আর, বিন্দু থেকে বাদ সম্পর্কিত(অক্ষের উপর শুয়ে) বলের দিককে বলে শক্তির কাঁধ. বাহু দ্বারা বলের গুণফল মডুলাস নির্ধারণ করে শক্তির মুহূর্তবিন্দু আপেক্ষিক সম্পর্কিত:

(5.1)

ক্ষমতার মুহূর্ত বল প্রয়োগের বিন্দু এবং বল ভেক্টরের ব্যাসার্ধ ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল দ্বারা নির্ধারিত একটি ভেক্টর:

(5.2)

শক্তির মুহূর্তের একক - নিউটন মিটার(এন . মি)। বল মোমেন্ট ভেক্টরের দিকটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে সঠিক প্রপেলার নিয়ম.

অনুবাদমূলক গতির সময় দেহের জড়তার পরিমাপ হল ভর। ঘূর্ণন গতির সময় দেহের জড়তা কেবল ভরের উপর নয়, ঘূর্ণনের অক্ষের সাপেক্ষে মহাকাশে এর বিতরণের উপরও নির্ভর করে। ঘূর্ণন গতির সময় জড়তার পরিমাপকে একটি পরিমাণ বলা হয় শরীরের জড়তার মুহূর্ত ঘূর্ণনের অক্ষের সাথে আপেক্ষিক।

বস্তুগত বিন্দুর জড়তার মুহূর্ত ঘূর্ণনের অক্ষের সাথে আপেক্ষিক - অক্ষ থেকে দূরত্বের বর্গ দ্বারা এই বিন্দুর ভরের গুণফল:

শরীরের জড়তার মুহূর্ত ঘূর্ণনের অক্ষের সাথে আপেক্ষিক - বস্তুগত বিন্দুর জড়তার মুহূর্তগুলির যোগফল যা এই দেহটি তৈরি করে:

(5.4)

ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রে, যদি শরীর শক্ত হয় এবং ছোট ভর সহ বিন্দুর একটি সংগ্রহ প্রতিনিধিত্ব করে dm, জড়তার মুহূর্তটি সংহতকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়:

, (5.5)

কোথায় r- ঘূর্ণনের অক্ষ থেকে ভরের একটি উপাদানের দূরত্ব d মি.

যদি দেহ সমজাতীয় হয় এবং এর ঘনত্ব ρ = মি/ভি, তারপর শরীরের জড়তা মুহূর্ত

(5.6)

একটি শরীরের জড়তার মুহূর্ত নির্ভর করে এটি কোন অক্ষের চারপাশে ঘোরে এবং কীভাবে শরীরের ভর পুরো আয়তন জুড়ে বিতরণ করা হয় তার উপর।

একটি নিয়মিত জ্যামিতিক আকৃতি এবং শরীরের জড়তা মুহূর্ত সমবন্টনভলিউম দ্বারা ভর।

একটি সমজাতীয় রডের জড়তার মুহূর্তজড়তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের সাপেক্ষে এবং রডের সাথে লম্ব,

একটি সমজাতীয় সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্তএকটি অক্ষের সাথে তার ভিত্তির লম্ব এবং জড়তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সাপেক্ষে,

(5.8)

একটি পাতলা-দেয়ালের সিলিন্ডার বা হুপের জড়তার মুহূর্ততার ভিত্তির সমতলে লম্ব একটি অক্ষের সাপেক্ষে এবং তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া,

বলের জড়তার মুহূর্তব্যাস আপেক্ষিক

(5.10)

জড়তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষের সাপেক্ষে ডিস্কের জড়তার মুহূর্ত এবং ঘূর্ণনের সমতলে লম্ব নির্ণয় করা যাক। ডিস্কের ভর হতে দিন মি, এবং এর ব্যাসার্ধ আর.

রিং এর ক্ষেত্রফল (চিত্র 5.2) এর মধ্যে আবদ্ধ rএবং , সমান।

চিত্র 5.2 – ডিস্কের জড়তার মুহূর্তের উপসংহারে

ডিস্ক এলাকা। ধ্রুবক রিং বেধ সহ,

কোথা থেকে বা .

তারপর ডিস্কের জড়তার মুহূর্ত,

স্পষ্টতার জন্য, চিত্র 5.3 সমজাতীয় কঠিন পদার্থ দেখায় বিভিন্ন আকারএবং ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের সাপেক্ষে এই দেহগুলির জড়তার মুহূর্তগুলি নির্দেশিত হয়।

চিত্র 5.3 – জড়তার মুহূর্ত আমিকিছু সমজাতীয় কঠিন পদার্থের C.

স্টেইনারের উপপাদ্য

দেহের জড়তার মুহূর্তগুলির জন্য উপরের সূত্রগুলি এই শর্তে দেওয়া হয়েছে যে ঘূর্ণনের অক্ষ জড়তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। নির্বিচারে অক্ষের সাথে সম্পর্কিত একটি শরীরের জড়তার মুহূর্তগুলি নির্ধারণ করতে, আপনার ব্যবহার করা উচিত স্টেইনারের উপপাদ্য : ঘূর্ণনের নির্বিচারে অক্ষের সাপেক্ষে দেহের জড়তার মুহূর্তটি প্রদত্ত অক্ষের সমান্তরাল এবং শরীরের জড়তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া জড়তা J 0 এর মুহুর্তের যোগফলের সমান এবং মান md 2:

(5.12)

কোথায় মি- শরীরের ভর, d- ভরের কেন্দ্র থেকে ঘূর্ণনের নির্বাচিত অক্ষের দূরত্ব। জড়তার মুহূর্তের একক- কিলোগ্রাম মিটার বর্গ (কেজি . মি 2)।

এইভাবে, দৈর্ঘ্যের একটি সমজাতীয় রডের জড়তার মুহূর্ত lস্টিনারের উপপাদ্য অনুসারে এটির শেষের মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষের সাপেক্ষে সমান

আবেদন। জড়তার মুহূর্ত এবং তার গণনা।

অনমনীয় শরীরটিকে Z অক্ষের চারপাশে ঘুরতে দিন (চিত্র 6)। এটিকে বিভিন্ন বস্তুগত বিন্দু m i এর একটি সিস্টেম হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, সময়ের সাথে অপরিবর্তিত, যার প্রতিটি একটি ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তে চলে r i, Z অক্ষের লম্ব একটি সমতলে শুয়ে আছে। কৌণিক বেগসমস্ত উপাদান পয়েন্ট একই. Z অক্ষের সাপেক্ষে একটি শরীরের জড়তার মুহূর্ত হল পরিমাণ:

কোথায় - OZ অক্ষের সাথে সম্পর্কিত একটি পৃথক উপাদান বিন্দুর জড়তার মুহূর্ত। এটি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে জড়তার মুহূর্ত সংযোজন পরিমাণ, অর্থাৎ পৃথক অংশ নিয়ে গঠিত একটি দেহের জড়তার মুহূর্ত অংশগুলির জড়তার মুহূর্তগুলির যোগফলের সমান।

চিত্র 6

স্পষ্টতই, [ আমি] = kg×m 2. জড়তার মুহূর্তের ধারণার গুরুত্ব তিনটি সূত্রে প্রকাশ করা হয়:

; ; .

তাদের মধ্যে প্রথমটি একটি শরীরের কৌণিক ভরবেগ প্রকাশ করে যা একটি স্থির অক্ষ Z এর চারপাশে ঘোরে (এটি একটি শরীরের ভরবেগের অভিব্যক্তির সাথে এই সূত্রটির তুলনা করা কার্যকর। P = mV গ, কোথায় ভিসি- ভর কেন্দ্রের গতি)। দ্বিতীয় সূত্রটিকে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে একটি শরীরের ঘূর্ণন গতির গতিবিদ্যার জন্য মৌলিক সমীকরণ বলা হয়, অর্থাৎ, অন্য কথায়, ঘূর্ণন গতির জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র (ভরের কেন্দ্রের গতির নিয়মের সাথে তুলনা করুন: ) তৃতীয় সূত্রটি একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণায়মান একটি শরীরের গতিশক্তি প্রকাশ করে (একটি কণার গতিশক্তির অভিব্যক্তির সাথে তুলনা করুন) ) সূত্রগুলির একটি তুলনা আমাদের এই উপসংহারে পৌঁছাতে দেয় যে ঘূর্ণন গতিতে জড়তার মুহূর্তটি ভরের অনুরূপ ভূমিকা পালন করে এই অর্থে যে শরীরের জড়তার মুহূর্ত যত বেশি হবে, এটি কম কৌণিক ত্বরণ অর্জন করবে, অন্যান্য সমস্ত জিনিস সমান হবে ( শরীর, রূপকভাবে বলতে গেলে, ঘোরানো আরও কঠিন)। বাস্তবে, জড়তার মুহূর্তগুলির গণনা ট্রিপল ইন্টিগ্রাল গণনা করার জন্য নেমে আসে এবং শুধুমাত্র একটি সীমিত সংখ্যার জন্য করা যেতে পারে প্রতিসাম্য সংস্থাএবং শুধুমাত্র প্রতিসাম্যের অক্ষের জন্য। অক্ষের সংখ্যা যার চারপাশে একটি দেহ ঘুরতে পারে তা অসীমভাবে বড়। সমস্ত অক্ষের মধ্যে, যেটি দাঁড়ায় তা হল সেইটি যেটি শরীরের একটি উল্লেখযোগ্য বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় - ভর কেন্দ্র (একটি বিন্দু, যার গতি বর্ণনা করার জন্য এটি কল্পনা করা যথেষ্ট যে সিস্টেমের সমগ্র ভর ভরের কেন্দ্রে কেন্দ্রীভূত এবং এই বিন্দুতে সমস্ত শক্তির যোগফলের সমান একটি বল প্রয়োগ করা হয়েছে)। তবে ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অসীমভাবে অনেকগুলি অক্ষ রয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে নির্বিচারে আকৃতির যে কোনও কঠিন দেহের জন্য তিনটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষ রয়েছে C x, C y, C z, বলা হয় মুক্ত ঘূর্ণনের অক্ষ , যার একটি উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে: যদি একটি দেহকে এই অক্ষগুলির চারপাশে পেঁচানো হয় এবং উপরে ফেলে দেওয়া হয়, তবে দেহের পরবর্তী আন্দোলনের সময় অক্ষটি নিজের সাথে সমান্তরাল থাকবে, যেমন গড়িয়ে পড়বে না। অন্য কোন অক্ষের চারপাশে মোচড়ানোর এই বৈশিষ্ট্য নেই। নির্দেশিত অক্ষগুলি সম্পর্কে সাধারণ সংস্থাগুলির জড়তার মুহুর্তগুলির মানগুলি নীচে দেওয়া হয়েছে। যদি অক্ষ ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়, কিন্তু অক্ষের সাথে a, b, g কোণ করে C x, C y, C zতদনুসারে, এই জাতীয় অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহূর্ত সমান

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

আসুন সংক্ষিপ্তভাবে সহজতম দেহগুলির জন্য জড়তার মুহুর্তের গণনা বিবেচনা করি।

1.রডের ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষ সম্পর্কে একটি দীর্ঘ পাতলা সমজাতীয় রডের জড়তার মুহূর্ত এবং এটির লম্ব।

দিন টি -রড ভর, l -এর দৈর্ঘ্য।

,

সূচক " সঙ্গে» জড়তার মুহূর্তে আইসিএর মানে হল যে এটি ভরের কেন্দ্রের (শরীরের প্রতিসাম্যের কেন্দ্র) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহূর্ত, C(0,0,0)।

2. একটি পাতলা আয়তক্ষেত্রাকার প্লেটের জড়তার মুহূর্ত।

; ;

3. একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপ এর জড়তার মুহূর্ত।

, t. C(0,0,0)

4. একটি পাতলা বলয়ের জড়তার মুহূর্ত।

;

, t. C(0,0,0)

5. একটি পাতলা ডিস্কের জড়তার মুহূর্ত।

প্রতিসাম্যের কারণে

; ;

6. একটি কঠিন সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্ত।

;

প্রতিসাম্যের কারণে:

7. একটি কঠিন গোলকের জড়তার মুহূর্ত।

, t. C(0,0,0)

8. একটি কঠিন শঙ্কুর জড়তার মুহূর্ত।

, t. C(0,0,0)

কোথায় আর- বেসের ব্যাসার্ধ, জ- শঙ্কুর উচ্চতা।

প্রত্যাহার করুন যে cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. অবশেষে, O অক্ষ যদি ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে না যায়, তাহলে Huygens Steiner উপপাদ্য ব্যবহার করে শরীরের জড়তার মুহূর্ত গণনা করা যেতে পারে।

I o = I s + md 2, (**)

কোথায় আমি ও- নির্বিচারে অক্ষের সাথে সম্পর্কিত শরীরের জড়তার মুহূর্ত, আমি এস- এটির সমান্তরাল একটি অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহূর্ত, ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাচ্ছে,
মি- শরীরের ভর, d- অক্ষের মধ্যে দূরত্ব।

একটি নির্বিচারে অক্ষের সাপেক্ষে স্ট্যান্ডার্ড আকৃতির দেহগুলির জন্য জড়তার মুহূর্তগুলি গণনা করার পদ্ধতিটি নিম্নে হ্রাস করা হয়েছে।

নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত
জড়তার মুহূর্ত গণনা করার জন্য, আমাদের অবশ্যই শরীরকে পর্যাপ্ত ছোট ছোট উপাদানগুলিতে বিভক্ত করতে হবে, যার বিন্দুগুলি ঘূর্ণনের অক্ষ থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত বলে বিবেচনা করা যেতে পারে, তারপর বর্গ দ্বারা প্রতিটি উপাদানের ভরের গুণফল খুঁজে বের করুন। অক্ষ থেকে এর দূরত্ব এবং অবশেষে, সমস্ত ফলিত পণ্যের যোগফল। স্পষ্টতই, এটি একটি খুব সময়সাপেক্ষ কাজ। গণনা করা
শরীরের জড়তা সঠিক মুহূর্ত জ্যামিতিক আকৃতিকিছু ক্ষেত্রে, আপনি অখণ্ড ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন।
আমরা অসীম ছোট উপাদানগুলির জন্য গণনা করা অসীম সংখ্যক জড়তার মুহূর্তগুলিকে যোগ করে শরীরের উপাদানগুলির জড়তার মুহুর্তের সসীম যোগফলের সংকল্পকে প্রতিস্থাপন করব:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (এ Δm → 0).
আসুন আমরা একটি সমজাতীয় ডিস্ক বা উচ্চতা সহ একটি কঠিন সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্ত গণনা করি জএর প্রতিসাম্য অক্ষের সাথে আপেক্ষিক

আসুন আমরা ডিস্কটিকে উপাদানগুলিতে বিভক্ত করি যার প্রতিসাম্যের অক্ষের উপর কেন্দ্রগুলি রয়েছে। ফলস্বরূপ রিংগুলির একটি অভ্যন্তরীণ ব্যাস রয়েছে rএবং বাহ্যিক r+dr, এবং উচ্চতা জ. কারণ ডাঃ<< r , তাহলে আমরা ধরে নিতে পারি যে অক্ষ থেকে বলয়ের সমস্ত বিন্দুর দূরত্ব সমান r.
প্রতিটি পৃথক রিং জন্য, জড়তা মুহূর্ত
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
কোথায় ΣΔm- সমগ্র বলয়ের ভর।
রিং ভলিউম 2πrhdr. যদি ডিস্ক উপাদান ঘনত্ব ρ , তারপর রিং ভর
ρ2πrhdr.
রিং এর জড়তার মুহূর্ত
i = 2πρhr 3 ড.
পুরো ডিস্কের জড়তার মুহূর্ত গণনা করতে, ডিস্কের কেন্দ্র থেকে রিংগুলির জড়তার মুহূর্তগুলিকে যোগ করা প্রয়োজন ( r = 0) এর প্রান্তে ( r = আর), অর্থাৎ অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
বা
I = (1/2)πρhR 4.
কিন্তু ডিস্কের ভর m = ρπhR 2, তাই,
I = (1/2)mR 2.
সমজাতীয় পদার্থ দিয়ে তৈরি নিয়মিত জ্যামিতিক আকৃতির কিছু দেহের জড়তার মুহূর্তগুলি (হিসাব ছাড়াই) উপস্থাপন করা যাক


 1. একটি অক্ষের সাপেক্ষে একটি পাতলা বলয়ের জড়তার মুহূর্ত যা তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে তার সমতলে লম্ব (অথবা তার প্রতিসাম্যের অক্ষের সাথে সম্পর্কিত একটি পাতলা-দেয়ালের ফাঁপা সিলিন্ডার):
I = mR 2.
 2. প্রতিসাম্যের অক্ষের সাথে সম্পর্কিত একটি পুরু-দেয়ালের সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্ত:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
কোথায় আর ঘ- অভ্যন্তরীণ এবং আর 2- বাইরের ব্যাসার্ধ।
 3. একটি অক্ষের সাথে সম্পর্কিত ডিস্কের জড়তার মুহূর্তটি এর একটি ব্যাসের সাথে মিলে যায়:
I = (1/4)mR 2.
 4. একটি কঠিন সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্তটি জেনারাট্রিক্সের লম্ব একটি অক্ষের সাপেক্ষে এবং এর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়:
I = m(R 2/4 + h 2/12)
কোথায় আর- সিলিন্ডার বেসের ব্যাসার্ধ, জ- সিলিন্ডারের উচ্চতা।
 5. মাঝখান দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের সাপেক্ষে একটি পাতলা রডের জড়তার মুহূর্ত:
আমি = (1/12) মিলি 2,
কোথায় l- রডের দৈর্ঘ্য।
 6. একটি অক্ষের একটি প্রান্তের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি পাতলা রডের জড়তার মুহূর্ত:
I = (1/3)ml 2
7. একটি অক্ষের সাথে সাপেক্ষে বলের জড়তার মুহূর্ত তার ব্যাসের একটির সাথে মিলে যায়:
I = (2/5)mR 2.

যদি একটি শরীরের জড়তার মুহূর্তটি তার ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষ সম্পর্কে জানা যায়, তবে প্রথমটির সমান্তরাল অন্য কোনো অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহূর্ত তথাকথিত হাইজেনস-স্টেইনার উপপাদ্যের ভিত্তিতে পাওয়া যেতে পারে।
শরীরের জড়তার মুহূর্ত আমিযেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে শরীরের জড়তার মুহুর্তের সমান আমি এসপ্রদত্ত অক্ষের সমান্তরাল এবং শরীরের ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে শরীরের ভরের সাথে সম্পর্কিত মি, দূরত্বের বর্গ দ্বারা গুণিত lঅক্ষের মধ্যে:
I = I c + ml 2.
একটি উদাহরণ হিসাবে, ব্যাসার্ধের একটি বলের জড়তার মুহূর্তটি গণনা করা যাক আরএবং ভর মি, সাসপেনশন বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের সাপেক্ষে l দৈর্ঘ্যের একটি থ্রেডে ঝুলানো সম্পর্কিত. বলের ভরের তুলনায় সুতার ভর ছোট। ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষের সাপেক্ষে বলের জড়তার মুহূর্ত থেকে Ic = (2/5)mR 2, এবং দূরত্ব
অক্ষের মধ্যে ( l + R), তারপর সাসপেনশন পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহূর্ত:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
জড়তার মুহূর্তের মাত্রা:
[I] = [m] × = ML 2.