একটি ধারাবাহিক উদাহরণ হিসাবে আমার স্নাতকেরব্যবধানে (a; b) সমানভাবে বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X বিবেচনা করুন। এলোমেলো পরিবর্তনশীল X বলা হয় অনুজ্জ্বল শিকারী ব্যবধানে (a; b), যদি এর বন্টন ঘনত্ব এই ব্যবধানে স্থির না হয়:
স্বাভাবিকীকরণ অবস্থা থেকে আমরা ধ্রুবক গ এর মান নির্ধারণ করি। বন্টন ঘনত্ব বক্ররেখার অধীনে ক্ষেত্রটি একতার সমান হওয়া উচিত, তবে আমাদের ক্ষেত্রে এটি বেস (b - α) এবং উচ্চতা c (চিত্র 1) সহ একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। 
ভাত। 1 অভিন্ন বন্টন ঘনত্ব
এখান থেকে আমরা ধ্রুবক c এর মান খুঁজে পাই: 
সুতরাং, একটি অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম চলকের ঘনত্ব সমান 
এখন সূত্র ব্যবহার করে ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন খুঁজে বের করা যাক:
1) জন্য 
2) জন্য
3) 0+1+0=1 এর জন্য।
এইভাবে, 
বন্টন ফাংশন অবিচ্ছিন্ন এবং হ্রাস পায় না (চিত্র 2)। 
ভাত। 2 একটি অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণ ফাংশন
আমরা খুঁজে নেব প্রত্যাশিত মানঅভিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীলসূত্র অনুযায়ী:
অভিন্ন বণ্টনের বিচ্ছুরণসূত্র দ্বারা গণনা করা হয় এবং এর সমান
উদাহরণ নং 1। পরিমাপ যন্ত্রের স্কেল বিভাজন মান হল 0.2। ইন্সট্রুমেন্ট রিডিংগুলি নিকটতম পুরো বিভাগে বৃত্তাকার হয়। গণনার সময় একটি ত্রুটি হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন: ক) 0.04 এর কম; খ) বড় 0.02
সমাধান। রাউন্ডিং ত্রুটি হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা সন্নিহিত পূর্ণসংখ্যা বিভাজনের মধ্যে ব্যবধানে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। আসুন ব্যবধান (0; 0.2) কে এমন একটি বিভাজন হিসাবে বিবেচনা করি (চিত্র ক)। রাউন্ডিং বাম সীমানা - 0, এবং ডান দিকে - 0.2 উভয় দিকেই করা যেতে পারে, যার অর্থ হল 0.04 এর চেয়ে কম বা সমান একটি ত্রুটি দুবার করা যেতে পারে, যা সম্ভাব্যতা গণনা করার সময় অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া উচিত: 
P = 0.2 + 0.2 = 0.4
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, ত্রুটির মান উভয় বিভাগের সীমানায় 0.02 ছাড়িয়ে যেতে পারে, অর্থাৎ, এটি 0.02 এর বেশি বা 0.18 এর কম হতে পারে। 
তারপর এই মত একটি ত্রুটি সম্ভাবনা:
উদাহরণ নং 2। এটা ধরে নেওয়া হয়েছিল যে গত 50 বছরে দেশের অর্থনৈতিক পরিস্থিতির স্থিতিশীলতা (যুদ্ধ, প্রাকৃতিক দুর্যোগ ইত্যাদি) বয়স অনুসারে জনসংখ্যা বন্টনের প্রকৃতির দ্বারা বিচার করা যেতে পারে: একটি শান্ত পরিস্থিতিতে এটি হওয়া উচিত। ইউনিফর্ম. সমীক্ষার ফলস্বরূপ, একটি দেশের জন্য নিম্নলিখিত ডেটা প্রাপ্ত হয়েছিল।
দেশে অস্থিতিশীলতা ছিল বলে বিশ্বাস করার কোনো কারণ আছে কি?আমরা একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে সমাধানটি চালাই। হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা. সূচক গণনার জন্য টেবিল।
| গোষ্ঠী | ব্যবধানের মধ্যবিন্দু, x i | পরিমাণ, f i | x i * f i | সঞ্চিত ফ্রিকোয়েন্সি, এস | |x - x av |*f | (x - x avg) 2 *f | ফ্রিকোয়েন্সি, f i / n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
ওজনযুক্ত গড়
পরিবর্তনের সূচক.
পরম বৈচিত্র.
প্রকরণের পরিসর হল প্রাথমিক সিরিজের বৈশিষ্ট্যের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের মধ্যে পার্থক্য।
R = X সর্বোচ্চ - X মিনিট
R = 70 - 0 = 70
বিচ্ছুরণ- এর গড় মানের চারপাশে ছড়িয়ে পড়ার পরিমাপকে চিহ্নিত করে (বিচ্ছুরণের একটি পরিমাপ, অর্থাৎ গড় থেকে বিচ্যুতি)।
আদর্শ চ্যুতি.
সিরিজের প্রতিটি মান 43 এর গড় মান থেকে 23.92 এর বেশি নয়
বিতরণের ধরন সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করা.
4. সম্পর্কে হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা সমবন্টনসাধারণ জনগন.
X এর অভিন্ন বন্টন সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করার জন্য, অর্থাৎ আইন অনুযায়ী: f(x) = 1/(b-a) ব্যবধানে (a,b)
প্রয়োজনীয়:
1. পরামিতি a এবং b অনুমান করুন - ব্যবধানের শেষ যেখানে সম্ভাব্য মান X, সূত্র অনুসারে (* চিহ্ন প্যারামিটার অনুমানকে বোঝায়):
2. প্রত্যাশিত বন্টন f(x) = 1/(b * - a *) এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব খুঁজুন
3. তাত্ত্বিক ফ্রিকোয়েন্সি খুঁজুন:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. পিয়ারসন মানদণ্ড ব্যবহার করে অভিজ্ঞতামূলক এবং তাত্ত্বিক ফ্রিকোয়েন্সি তুলনা করুন, স্বাধীনতা k = s-3 ডিগ্রির সংখ্যা গ্রহণ করুন, যেখানে s হল প্রাথমিক নমুনা ব্যবধানের সংখ্যা; যদি ছোট ফ্রিকোয়েন্সিগুলির একটি সংমিশ্রণ, এবং সেইজন্য ব্যবধানগুলি নিজেরাই সঞ্চালিত হয়, তাহলে s হল সংমিশ্রণের পরে অবশিষ্ট ব্যবধানের সংখ্যা।
সমাধান:
1. সূত্র ব্যবহার করে অভিন্ন বণ্টনের a * এবং b * পরামিতিগুলির অনুমান খুঁজুন:
2. অনুমানকৃত অভিন্ন বন্টনের ঘনত্ব খুঁজুন:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. আসুন তাত্ত্বিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলি সন্ধান করি:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
অবশিষ্ট n s এর সমান হবে:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n * i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| মোট | 1 | 0.0532 |
অতএব, এই পরিসংখ্যানের জন্য সমালোচনামূলক অঞ্চলটি সর্বদা ডানদিকে থাকে: যদি এর সম্ভাব্যতার ঘনত্ব এই অংশে স্থির থাকে এবং বাইরে এটি 0 এর সমান হয় (অর্থাৎ, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সসেগমেন্টে কেন্দ্রীভূত [ ক, খ], যার উপর এটি একটি ধ্রুবক ঘনত্ব আছে)। দ্বারা এই সংজ্ঞাঘনত্ব সমানভাবে অংশে বিতরণ করা হয় [ ক, খ] আমার স্নাতকের এক্সফর্ম আছে:
কোথায় সঙ্গেএকটি নির্দিষ্ট সংখ্যা আছে। যাইহোক, সেগমেন্টে কেন্দ্রীভূত এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য সম্ভাব্য ঘনত্বের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে খুঁজে পাওয়া সহজ। ক,
খ]:
. এটা যে অনুসরণ করে 
, কোথায় 
. অতএব, ঘনত্ব সমানভাবে অংশে বিতরণ করা হয় [ ক,
খ] আমার স্নাতকের এক্সফর্ম আছে:
.
n.s.v এর বিতরণের অভিন্নতা বিচার করুন। এক্সনিম্নলিখিত বিবেচনা থেকে সম্ভব। একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল আছে সমবন্টনঅংশে [ ক, খ], যদি এটি শুধুমাত্র এই সেগমেন্ট থেকে মান নেয়, এবং এই সেগমেন্টের যেকোন সংখ্যা এই সেগমেন্টের অন্যান্য সংখ্যার তুলনায় এই এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি মান হতে সক্ষম হওয়ার অর্থে সুবিধা না পায়।
র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেগুলির একটি অভিন্ন বন্টন রয়েছে সেগুলির মধ্যে একটি স্টপে পরিবহনের জন্য অপেক্ষার সময় (একটি ধ্রুব ট্র্যাফিক ব্যবধানের সাথে, অপেক্ষার সময়কালটি এই ব্যবধানে অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়), একটি সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যায় পূর্ণ করার ক্ষেত্রে ত্রুটি (সমভাবে বিতরণ করা হয়েছে [−0.5 , 0.5 ]) এবং অন্যদের.
বিতরণ ফাংশনের ধরন চ(এক্স)
ক,
খ] আমার স্নাতকের এক্সপরিচিত সম্ভাবনার ঘনত্ব দ্বারা অনুসন্ধান করা হয়েছে চ(এক্স)
তাদের সংযোগের জন্য সূত্র ব্যবহার করে 
. সংশ্লিষ্ট গণনার ফলস্বরূপ, আমরা বিতরণ ফাংশনের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি পাই চ(এক্স)
সমানভাবে বিতরণ করা অংশ [ ক,
খ] আমার স্নাতকের এক্স
:
.
পরিসংখ্যান সম্ভাবনার ঘনত্ব গ্রাফ দেখায় চ(এক্স) এবং বিতরণ ফাংশন চ(এক্স) সমানভাবে বিতরণ করা অংশ [ ক, খ] আমার স্নাতকের এক্স :
প্রত্যাশা, প্রকরণ, আদর্শ বিচ্যুতি, মোড এবং একটি অভিন্নভাবে বিতরণ করা অংশের মধ্যক [ ক, খ] আমার স্নাতকের এক্সসম্ভাব্য ঘনত্ব দ্বারা গণনা করা হয় চ(এক্স) স্বাভাবিক উপায়ে (এবং বেশ সহজভাবে কারণ সহজ প্রকার চ(এক্স) ) ফলাফল হল নিম্নলিখিত সূত্র:
এবং ফ্যাশন d(এক্স) ব্যবধানের কোন সংখ্যা [ ক, খ].
আসুন আমরা একটি অভিন্নভাবে বিতরণ করা অংশে আঘাত করার সম্ভাবনা খুঁজে পাই [ ক,
খ] আমার স্নাতকের এক্সব্যবধানে 
, সম্পূর্ণরূপে ভিতরে শুয়ে [ ক,
খ]। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের পরিচিত ফর্ম বিবেচনা করে, আমরা পাই:
এইভাবে, একটি অভিন্নভাবে বিতরণ করা অংশে আঘাত করার সম্ভাবনা [ ক,
খ] আমার স্নাতকের এক্সব্যবধানে 
, সম্পূর্ণরূপে ভিতরে শুয়ে [ ক,
খ], এই ব্যবধানের অবস্থানের উপর নির্ভর করে না, তবে শুধুমাত্র এর দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে এবং এই দৈর্ঘ্যের সাথে সরাসরি সমানুপাতিক।
উদাহরণ. বাসের ব্যবধান 10 মিনিট। একটি বাস স্টপে আসা যাত্রীর বাসের জন্য 3 মিনিটের কম অপেক্ষা করার সম্ভাবনা কত? একটি বাসের জন্য অপেক্ষার গড় সময় কত?
স্বাভাবিক বন্টন
এই বন্টনটি প্রায়শই অনুশীলনের সম্মুখীন হয় এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং গাণিতিক পরিসংখ্যান এবং তাদের প্রয়োগগুলিতে একটি ব্যতিক্রমী ভূমিকা পালন করে, যেহেতু প্রাকৃতিক বিজ্ঞান, অর্থনীতি, মনোবিজ্ঞান, সমাজবিজ্ঞান, সামরিক বিজ্ঞান ইত্যাদিতে অনেক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের এই ধরনের বিতরণ রয়েছে। এই বন্টন একটি সীমিত আইন, যেখানে অন্যান্য অনেক বন্টন আইন (কিছু নির্দিষ্ট প্রাকৃতিক অবস্থার অধীনে) ব্যবহার করে। স্বাভাবিক বন্টন আইন ব্যবহার করে, যে কোন প্রকৃতির অনেক স্বাধীন এলোমেলো কারণের ক্রিয়া সাপেক্ষে ঘটনা এবং তাদের বন্টনের যে কোন আইনও বর্ণনা করা হয়। চলুন সংজ্ঞা এগিয়ে যান.
একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে ডিস্ট্রিবিউটেড ওভার বলা হয় স্বাভাবিক আইন (বা গাউসের আইন), যদি এর সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফর্ম থাকে:
,
সংখ্যা কোথায় কএবং σ (σ>0 ) হল এই ডিস্ট্রিবিউশনের প্যারামিটার।
ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের গাউসের আইনের অনেকগুলি প্রয়োগ রয়েছে। এই আইন অনুসারে, যন্ত্র দ্বারা পরিমাপের ত্রুটি, শুটিংয়ের সময় লক্ষ্যের কেন্দ্র থেকে বিচ্যুতি, তৈরি অংশের মাত্রা, মানুষের ওজন এবং উচ্চতা, বার্ষিক বৃষ্টিপাত, নবজাতকের সংখ্যা এবং আরও অনেক কিছু বিতরণ করা হয়।
একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের জন্য প্রদত্ত সূত্রে বলা হয়েছে, দুটি পরামিতি কএবং σ , এবং তাই ফাংশনগুলির একটি পরিবারকে সংজ্ঞায়িত করে যা এই পরামিতিগুলির মানের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়। যদি আমরা ফাংশন অধ্যয়ন করার গাণিতিক বিশ্লেষণের স্বাভাবিক পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করি এবং একটি স্বাভাবিক বন্টনের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের গ্রাফ প্লট করি, আমরা নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তগুলি আঁকতে পারি।
এর ইনফ্লেকশন পয়েন্ট।
প্রাপ্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা একটি সম্ভাবনার ঘনত্ব গ্রাফ তৈরি করি চ(এক্স) স্বাভাবিক বন্টন (এটিকে গাউসিয়ান বক্ররেখা বলা হয় - চিত্র)।
চলুন জেনে নেওয়া যাক কীভাবে পরিবর্তনের পরামিতিগুলিকে প্রভাবিত করে কএবং σ গাউসিয়ান বক্ররেখার আকারে। এটা স্পষ্ট (এটি স্বাভাবিক বন্টন ঘনত্বের সূত্র থেকে দেখা যায়) যে প্যারামিটারে পরিবর্তন কবক্ররেখার আকৃতি পরিবর্তন করে না, তবে শুধুমাত্র অক্ষ বরাবর ডান বা বামে স্থানান্তরের দিকে নিয়ে যায় এক্স. নির্ভরতা σ অধিকতর কঠিন. উপরোক্ত অধ্যয়ন থেকে এটা স্পষ্ট যে কিভাবে সর্বোচ্চ মান এবং ইনফ্লেকশন পয়েন্টের স্থানাঙ্ক পরামিতির উপর নির্ভর করে σ . উপরন্তু, আমরা যে কোনো পরামিতি জন্য অ্যাকাউন্টে নিতে হবে কএবং σ গাউসিয়ান বক্ররেখার অধীনে ক্ষেত্রফল 1 এর সমান থাকে (এটি সম্ভাব্য ঘনত্বের একটি সাধারণ সম্পত্তি)। উপরে থেকে এটি ক্রমবর্ধমান পরামিতি সঙ্গে যে অনুসরণ করে σ বক্ররেখা চ্যাপ্টা হয়ে যায় এবং অক্ষ বরাবর প্রসারিত হয় এক্স. চিত্রটি প্যারামিটারের বিভিন্ন মানের জন্য গাউসিয়ান বক্ররেখা দেখায় σ (σ 1 < σ< σ 2 ) এবং একই প্যারামিটার মান ক.
আসুন প্যারামিটারগুলির সম্ভাব্য অর্থ খুঁজে বের করা যাক কএবং σ
স্বাভাবিক বন্টন. ইতিমধ্যে সংখ্যার মধ্য দিয়ে যাওয়া উল্লম্ব রেখার সাপেক্ষে গাউসিয়ান বক্ররেখার প্রতিসাম্য থেকে কঅক্ষের উপর এক্সএটা স্পষ্ট যে গড় মান (অর্থাৎ গাণিতিক প্রত্যাশা M(X)একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ) সমান ক. একই কারণে, মোড এবং মধ্যমাটিও a সংখ্যার সমান হওয়া উচিত। উপযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে সঠিক গণনা এটি নিশ্চিত করে। যদি আমরা উপরে লেখা এক্সপ্রেশন ব্যবহার করি চ(এক্স)
বৈচিত্র্যের সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন 
, তারপর অখণ্ডের একটি (অথচ জটিল) গণনার পরে আমরা উত্তরে সংখ্যাটি পাই σ
2
. এইভাবে, একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য এক্স, সাধারণ আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়েছে, নিম্নলিখিত প্রধান সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি প্রাপ্ত হয়েছিল:
অতএব, স্বাভাবিক বন্টনের পরামিতিগুলির সম্ভাব্য অর্থ কএবং σ পরবর্তী. যদি r.v. এক্সকএবং σ ক σ.
এখন ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন খুঁজে বের করা যাক চ(এক্স)
একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য এক্স, সম্ভাব্য ঘনত্বের জন্য উপরের অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করে, স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা হয় চ(এক্স)
এবং সূত্র 
. প্রতিস্থাপন করার সময় চ(এক্স)
ফলাফল একটি "আনটাকেন" অবিচ্ছেদ্য. জন্য অভিব্যক্তি সরলীকরণ করা যেতে পারে যে কিছু চ(এক্স),
এটি এই ফাংশনের উপস্থাপনা হল:
,
কোথায় F(x)- তথাকথিত ল্যাপ্লেস ফাংশন, যার ফর্ম আছে
.
Laplace ফাংশন প্রকাশ করা হয় যার মাধ্যমে অখণ্ডনীয় (কিন্তু প্রতিটি জন্য এক্সএই অবিচ্ছেদ্যটি প্রায় কোনও পূর্বনির্ধারিত নির্ভুলতার সাথে গণনা করা যেতে পারে)। যাইহোক, এটি গণনা করার দরকার নেই, কারণ সম্ভাব্যতা তত্ত্বের যে কোনও পাঠ্যপুস্তকের শেষে ফাংশনের মান নির্ধারণের জন্য একটি টেবিল রয়েছে। F(x)একটি প্রদত্ত মান এক্স. নিম্নলিখিতটিতে আমাদের ল্যাপ্লেস ফাংশনের অদ্ভুত বৈশিষ্ট্যের প্রয়োজন হবে: Ф(−х)=−F(x)সব সংখ্যার জন্য এক্স.
আসুন এখন সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করি যে একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা r.v. এক্সনির্দিষ্ট সাংখ্যিক ব্যবধান থেকে একটি মান নেবে (α, β) . ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের সাধারণ বৈশিষ্ট্য থেকে Р(α< এক্স< β)= চ(β) − চ(α) . প্রতিস্থাপন α এবং β জন্য উপরের অভিব্যক্তি মধ্যে চ(এক্স) , আমরা পেতে
.
উপরে উল্লিখিত হিসাবে, যদি r.v. এক্সপরামিতি সহ সাধারণভাবে বিতরণ করা হয় কএবং σ , তাহলে এর গড় মান হয় ক, এবং আদর্শ বিচ্যুতি সমান σ. এই জন্য গড়এই r.v এর মানগুলির বিচ্যুতি যখন নম্বর থেকে পরীক্ষা করা হয় কসমান σ. কিন্তু এটি গড় বিচ্যুতি। অতএব, বড় বিচ্যুতি সম্ভব। গড় মান থেকে নির্দিষ্ট বিচ্যুতি কতটা সম্ভব তা খুঁজে বের করা যাক। আসুন সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করি যে একটি এলোমেলো চলকের মান স্বাভাবিক নিয়ম অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে এক্সতার গড় মান থেকে বিচ্যুত M(X)=aএকটি নির্দিষ্ট সংখ্যার চেয়ে কম δ, অর্থাৎ আর(| এক্স− ক|<δ ): এইভাবে,
.
এই সমতা মধ্যে প্রতিস্থাপন δ=3σ, আমরা সম্ভাব্যতা পাই যে r.v এর মান। এক্স(একটি পরীক্ষায়) গড় মান থেকে মানের তিনগুণ কম করে বিচ্যুত হবে σ (গড় বিচ্যুতির সাথে, যেমনটি আমরা মনে করি, সমান σ ): (অর্থ F(3)ল্যাপ্লেস ফাংশন মানের টেবিল থেকে নেওয়া)। এটা প্রায় এর 1 ! তারপর বিপরীত ইভেন্টের সম্ভাবনা (যে মানটি এর চেয়ে কম নয় 3σ) সমান 1 −0.997=0.003 , যা খুব কাছাকাছি 0 . অতএব, এই ঘটনাটি "প্রায় অসম্ভব" − খুব কমই ঘটে (গড় 3 বার আউট 1000 ) এই যুক্তি হল সুপরিচিত "তিন সিগমা নিয়ম" এর যুক্তি।
তিনটি সিগমা নিয়ম. সাধারণত র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণ করা হয় একটি একক পরীক্ষায়কার্যত তার গড় থেকে আরও বেশি বিচ্যুত হয় না 3σ.
আসুন আমরা আবারও জোর দিই যে আমরা একটি পরীক্ষার কথা বলছি। যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অনেকগুলি পরীক্ষা থাকে, তবে এটি বেশ সম্ভব যে এর কিছু মান গড় থেকে আরও এগিয়ে যাবে 3σ. এটি নিম্নলিখিত দ্বারা নিশ্চিত করা হয়
উদাহরণ. একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের 100টি ট্রায়ালে সম্ভাব্যতা কত এক্সএর অন্তত একটি মান কি আদর্শ বিচ্যুতির তিনগুণ বেশি গড় থেকে বিচ্যুত হবে? 1000 পরীক্ষা সম্পর্কে কি?
সমাধান। অনুষ্ঠান হোক কমানে যখন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল পরীক্ষা করা হয় এক্সএর মান গড় থেকে বেশি করে বিচ্যুত হয়েছে 3σ।যেমনটি স্পষ্ট করা হয়েছে, এই ঘটনার সম্ভাবনা p=P(A)=0.003।এই ধরনের 100 টি পরীক্ষা করা হয়েছিল। ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা খুঁজে বের করতে হবে কঘটেছিলো অন্ততবার, যেমন এসেছিলেন 1 আগে 100 একদা. এটি পরামিতি সহ একটি সাধারণ Bernoulli সার্কিট সমস্যা n=100 (স্বাধীন বিচারের সংখ্যা), p=0.003(ঘটনার সম্ভাবনা কএক পরীক্ষায়) q=1− পি=0.997 . খুঁজে বের করতে হবে আর 100 (1≤ k≤100) . ভিতরে এক্ষেত্রে, অবশ্যই, প্রথমে বিপরীত ইভেন্টের সম্ভাবনা খুঁজে পাওয়া সহজ আর 100 (0) - ঘটনাটি হওয়ার সম্ভাবনা কএমনকি একবারও ঘটেনি (অর্থাৎ 0 বার ঘটেছে)। ইভেন্টের সম্ভাব্যতা এবং এর বিপরীতের মধ্যে সংযোগ বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই:
এত কম নয়। এটা ভালোই ঘটতে পারে (পরীক্ষার প্রতি চতুর্থ সিরিজে গড়ে ঘটে)। এ 1000 একই স্কিম ব্যবহার করে পরীক্ষা করে, এটি পাওয়া যেতে পারে যে কমপক্ষে একটি বিচ্যুতির সম্ভাবনা এর চেয়ে বেশি 3σ, সমান: তাই আমরা খুব আত্মবিশ্বাসের সাথে অন্তত এমন একটি বিচ্যুতি আশা করতে পারি।
উদাহরণ. একটি নির্দিষ্ট বয়সের পুরুষদের উচ্চতা সাধারণত গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে বিতরণ করা হয় ক, এবং আদর্শ বিচ্যুতি σ . স্যুট কি অনুপাতে kপ্রদত্ত বয়সের জন্য মোট উৎপাদনে বৃদ্ধি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত যদি kতম বৃদ্ধি নিম্নলিখিত সীমা দ্বারা নির্ধারিত হয়:
1 উচ্চতা : 158 − 164 সেমি 2উচ্চতা : 164 − 170cm 3উচ্চতা : 170 − 176cm 4উচ্চতা : 176 − 182 সেমি
সমাধান। আসুন নিম্নলিখিত প্যারামিটার মানগুলির সাথে সমস্যাটি সমাধান করি: a=178,σ=6,k=3
. যাক r.v. এক্স
−
এলোমেলোভাবে নির্বাচিত মানুষের উচ্চতা (এটি প্রদত্ত পরামিতিগুলির সাথে সাধারণত বিতরণ করা হয়)। এর সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করা যাক যে একজন এলোমেলোভাবে নির্বাচিত মানুষের প্রয়োজন হবে 3
-ম উচ্চতা। ল্যাপ্লেস ফাংশনের অদ্ভুততা ব্যবহার করে F(x)এবং এর মানগুলির একটি টেবিল: P(170
এই সমস্যাটি দীর্ঘকাল ধরে বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে, এবং সর্বাধিক ব্যবহৃত পদ্ধতি হল পোলার সমন্বয় পদ্ধতি, যা 1958 সালে জর্জ বক্স, মারভিন মুলার এবং জর্জ মার্সাগ্লিয়া প্রস্তাব করেছিলেন। এই পদ্ধতিটি আপনাকে গাণিতিক প্রত্যাশা 0 এবং প্রকরণ 1 সহ স্বাধীনভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি জোড়া পেতে দেয়:
যেখানে Z 0 এবং Z 1 হল পছন্দসই মান, s = u 2 + v 2, এবং u এবং v হল র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সমানভাবে ব্যবধানে (-1, 1) বিতরণ করা হয়, এমনভাবে নির্বাচন করা হয় যাতে শর্ত 0 সন্তুষ্ট হয়< s < 1.
অনেকে চিন্তা না করেই এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে এবং অনেকে তাদের অস্তিত্ব সম্পর্কে সন্দেহও করে না, যেহেতু তারা প্রস্তুত বাস্তবায়ন ব্যবহার করে। কিন্তু এমন লোক আছে যাদের প্রশ্ন আছে: “এই সূত্রটি কোথা থেকে এসেছে? এবং কেন আপনি একবারে কয়েকটি পরিমাণ পান?" পরবর্তী, আমি এই প্রশ্নগুলির একটি পরিষ্কার উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করব।
শুরু করার জন্য, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে সম্ভাবনার ঘনত্ব, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এবং ইনভার্স ফাংশন কী। ধরুন একটি নির্দিষ্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবল আছে, যার বন্টন ঘনত্ব ফাংশন f(x) দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়েছে, যার নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:
এর মানে হল যে সম্ভাব্যতা যে প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান ব্যবধানে থাকবে (A, B) ছায়াযুক্ত এলাকার ক্ষেত্রফলের সমান। এবং ফলস্বরূপ, সমগ্র ছায়াযুক্ত এলাকার ক্ষেত্রফল অবশ্যই একের সমান হতে হবে, যেহেতু যেকোন ক্ষেত্রে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান f ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনে পড়বে।
এলোমেলো ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হল ঘনত্ব ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য অংশ। এবং এই ক্ষেত্রে, এর আনুমানিক চেহারা এইরকম হবে:
এখানে অর্থ হল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান B এর সাথে A এর থেকে কম হবে। এবং ফলস্বরূপ, ফাংশনটি কখনই হ্রাস পায় না এবং এর মানগুলি ব্যবধানে থাকে।
একটি বিপরীত ফাংশন হল একটি ফাংশন যা মূল ফাংশনে একটি আর্গুমেন্ট ফেরত দেয় যদি মূল ফাংশনের মান এটিতে পাস করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, x 2 ফাংশনের জন্য বিপরীত হল মূল বের করার ফাংশন, sin(x) এর জন্য এটি arcsin(x) ইত্যাদি।
যেহেতু বেশিরভাগ সিউডোর্যান্ডম নম্বর জেনারেটর আউটপুট হিসাবে শুধুমাত্র একটি অভিন্ন বন্টন তৈরি করে, তাই প্রায়শই এটিকে অন্য কোনোটিতে রূপান্তর করার প্রয়োজন হয়। এই ক্ষেত্রে, সাধারণ গাউসিয়ানদের কাছে:
একটি অভিন্ন বণ্টনকে অন্য যে কোনোটিতে রূপান্তরিত করার জন্য সমস্ত পদ্ধতির ভিত্তি হল বিপরীত রূপান্তর পদ্ধতি। এটি নিম্নরূপ কাজ করে। একটি ফাংশন পাওয়া যায় যেটি প্রয়োজনীয় বন্টনের ফাংশনের বিপরীত, এবং একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সমানভাবে ব্যবধানে বিতরণ করা হয় (0, 1) একটি যুক্তি হিসাবে এটিতে পাস করা হয়। আউটপুটে আমরা প্রয়োজনীয় বন্টন সহ একটি মান পাই। স্পষ্টতার জন্য, আমি নিম্নলিখিত ছবি প্রদান.
এইভাবে, একটি অভিন্ন সেগমেন্ট, যেমনটি ছিল, নতুন বণ্টনের সাথে মিল রেখে, একটি বিপরীত ফাংশনের মাধ্যমে অন্য অক্ষের উপর প্রক্ষেপিত। কিন্তু সমস্যা হল গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশনের ঘনত্বের অখণ্ডতা গণনা করা সহজ নয়, তাই উপরের বিজ্ঞানীদের প্রতারণা করতে হয়েছিল।
একটি চি-স্কয়ার ডিস্ট্রিবিউশন (পিয়ারসন ডিস্ট্রিবিউশন), যা k স্বাধীন স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির বন্টন। এবং ক্ষেত্রে যখন k = 2, এই বন্টনটি সূচকীয়।
এর মানে হল যে যদি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার একটি বিন্দুতে এলোমেলোভাবে X এবং Y স্থানাঙ্কগুলি সাধারণত বিতরণ করা থাকে, তবে এই স্থানাঙ্কগুলিকে মেরু সিস্টেমে রূপান্তর করার পরে (r, θ), ব্যাসার্ধের বর্গ (উৎপত্তি থেকে বিন্দুর দূরত্ব) সূচকীয় আইন অনুসারে বিতরণ করা হবে, যেহেতু ব্যাসার্ধের বর্গ হল স্থানাঙ্কের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি (পিথাগোরিয়ান আইন অনুসারে)। সমতলে এই ধরনের বিন্দুগুলির বন্টন ঘনত্ব এইরকম দেখাবে:
যেহেতু এটি সব দিকে সমান, কোণ θ এর 0 থেকে 2π পর্যন্ত পরিসরে একটি অভিন্ন বন্টন থাকবে। কথোপকথনটিও সত্য: যদি আপনি দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল ব্যবহার করে একটি বিন্দুকে সংজ্ঞায়িত করেন (একটি কোণ সমানভাবে বিতরণ করা হয় এবং একটি ব্যাসার্ধ দ্রুতগতিতে বিতরণ করা হয়), তাহলে এই বিন্দুর আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলি স্বাধীন স্বাভাবিক র্যান্ডম চলক হবে। এবং একই বিপরীত রূপান্তর পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি অভিন্ন থেকে একটি সূচকীয় বন্টন পাওয়া অনেক সহজ। এটি পোলার বক্স-মুলার পদ্ধতির সারাংশ।
এখন সূত্রগুলো বের করা যাক।
(1)
r এবং θ প্রাপ্ত করার জন্য, ব্যবধানে (0, 1) সমানভাবে বিতরণ করা দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল তৈরি করা প্রয়োজন (এগুলিকে u এবং v বলি), যার মধ্যে একটির বন্টন (আসুন v বলি) সূচকে রূপান্তর করতে হবে ব্যাসার্ধ প্রাপ্ত। সূচকীয় বন্টন ফাংশন এই মত দেখায়:
এর বিপরীত ফাংশন হল:
যেহেতু ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন প্রতিসম, তাই রূপান্তরটি ফাংশনের সাথে একইভাবে কাজ করবে
চি-স্কোয়ার বন্টন সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে λ = 0.5। এই ফাংশনে λ, v প্রতিস্থাপন করুন এবং ব্যাসার্ধের বর্গ এবং তারপর ব্যাসার্ধ নিজেই পান:
আমরা ইউনিট সেগমেন্টকে 2π পর্যন্ত প্রসারিত করে কোণ পাই:
এখন আমরা সূত্র (1) এ r এবং θ প্রতিস্থাপন করি এবং পাই:
(2)
এই সূত্রগুলি ইতিমধ্যে ব্যবহারের জন্য প্রস্তুত। X এবং Y স্বাধীন হবে এবং সাধারণত 1 এর বৈচিত্র্য এবং 0 এর একটি গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে বিতরণ করা হবে। অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের সাথে একটি বন্টন পেতে, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দ্বারা ফাংশনের ফলাফলকে গুণ করা এবং গাণিতিক প্রত্যাশা যোগ করা যথেষ্ট।
কিন্তু বৃত্তের এলোমেলো বিন্দুর আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কের মাধ্যমে সরাসরি নয়, পরোক্ষভাবে কোণ নির্দিষ্ট করে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন থেকে মুক্তি পাওয়া সম্ভব। তারপর, এই স্থানাঙ্কগুলির মাধ্যমে, ব্যাসার্ধ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য গণনা করা সম্ভব হবে, এবং তারপর যথাক্রমে x এবং y দ্বারা ভাগ করে কোসাইন এবং সাইন খুঁজে বের করা সম্ভব হবে। কিভাবে এবং কেন এটি কাজ করে?
আসুন একক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে সমানভাবে বিতরণ করা থেকে একটি এলোমেলো বিন্দু বেছে নেওয়া যাক এবং s অক্ষর দ্বারা এই বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের বর্গকে বোঝাই:
এলোমেলো আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক x এবং y নির্দিষ্ট করে নির্বাচন করা হয়, ব্যবধানে সমানভাবে বিতরণ করা হয় (-1, 1), এবং বৃত্তের অন্তর্গত নয় এমন বিন্দুগুলি বাতিল করে, সেইসাথে কেন্দ্রীয় বিন্দু যেখানে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের কোণ সংজ্ঞায়িত করা হয় নি. অর্থাৎ শর্ত 0 পূরণ করতে হবে< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
আমরা নিবন্ধের শুরুতে সূত্রগুলি পাই। এই পদ্ধতির অসুবিধা হল যে এটি বৃত্তে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন পয়েন্টগুলিকে বাতিল করে দেয়। অর্থাৎ, উৎপন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মাত্র 78.5% ব্যবহার করে। পুরানো কম্পিউটারে, ত্রিকোণমিতি ফাংশনের অভাব এখনও একটি বড় সুবিধা ছিল। এখন, যখন একটি প্রসেসর কমান্ড তাত্ক্ষণিকভাবে সাইন এবং কোসাইন উভয়ই গণনা করে, আমি মনে করি এই পদ্ধতিগুলি এখনও প্রতিযোগিতা করতে পারে।
ব্যক্তিগতভাবে, আমার এখনও দুটি প্রশ্ন আছে:
- কেন s এর মান সমানভাবে বিতরণ করা হয়?
- কেন দুটি স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের যোগফল সূচকীয়ভাবে বিতরণ করা হয়?
যদি একটি সাধারণ এলোমেলো পরিবর্তনশীলের জন্য অনুরূপ রূপান্তর করা হয়, তবে এর বর্গক্ষেত্রের ঘনত্ব ফাংশনটি একটি হাইপারবোলার মতো হবে। এবং স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের দুটি বর্গাকার সংযোজন ডাবল ইন্টিগ্রেশনের সাথে যুক্ত একটি আরও জটিল প্রক্রিয়া। এবং যে ফলাফলটি একটি সূচকীয় বন্টন হবে, আমাকে ব্যক্তিগতভাবে শুধুমাত্র একটি ব্যবহারিক পদ্ধতি ব্যবহার করে পরীক্ষা করতে হবে বা একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে গ্রহণ করতে হবে। এবং যারা আগ্রহী তাদের জন্য, আমি পরামর্শ দিচ্ছি যে আপনি এই বইগুলি থেকে জ্ঞান অর্জন করে বিষয়টি ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন:
- ভেনজেল ই.এস. সম্ভাব্যতা তত্ত্ব
- Knut D.E. দ্য আর্ট অফ প্রোগ্রামিং, ভলিউম 2
উপসংহারে, এখানে জাভাস্ক্রিপ্টে একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম নম্বর জেনারেটর বাস্তবায়নের একটি উদাহরণ রয়েছে:
ফাংশন Gauss() ( var ready = false; var দ্বিতীয় = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( গড় = মানে == undefined ? 0.0: গড়; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; যদি ( this.ready) ( this.ready = মিথ্যা; ফেরত দিন এই. সেকেন্ড * dev + মানে; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math। random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) যখন (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; রিটার্ন r * v * dev + মানে; )); ) g = new Gauss(); // একটি বস্তু তৈরি করুন a = g.next(); // এক জোড়া মান তৈরি করুন এবং প্রথমটি পান b = g.next(); // দ্বিতীয় c = g.next(); // আবার এক জোড়া মান তৈরি করুন এবং প্রথমটি পান
প্যারামিটার মানে (গাণিতিক প্রত্যাশা) এবং dev (স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি) ঐচ্ছিক। আমি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করছি যে লগারিদম প্রাকৃতিক।
