সমবন্টন.এলোমেলো মান এক্সএকটি অংশে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কের অর্থ আছে
[ক, খ. অভিন্ন ঘনত্বএলোমেলো পরিবর্তনশীল বিতরণ এক্স(চিত্র 10.5, ক)হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:
ভাত। 10.5। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অভিন্ন বন্টন: ক- বিতরণ ঘনত্ব; খ- বিতরণ ফাংশন
এলোমেলো পরিবর্তনশীল বন্টন ফাংশন এক্সফর্ম আছে:
ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 10.5, খ.
আমরা (10.3) ব্যবহার করে একটি অভিন্ন বন্টনের ল্যাপ্লেস রূপান্তর গণনা করি:
প্রত্যাশিত মান এবং প্রকরণ সহজেই সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা থেকে সরাসরি গণনা করা হয়: 
গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণের অনুরূপ সূত্রগুলিও (10.8), (10.9) সূত্র ব্যবহার করে ল্যাপ্লেস রূপান্তর ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে।
আসুন একটি পরিষেবা ব্যবস্থার একটি উদাহরণ বিবেচনা করি যা একটি অভিন্ন বিতরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে।
মোড়ে ট্র্যাফিক একটি স্বয়ংক্রিয় ট্রাফিক লাইট দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়, যেখানে সবুজ আলো 1 মিনিটের জন্য এবং 0.5 মিনিটের জন্য লাল থাকে৷ চালকরা একটি চৌরাস্তার কাছে যান এলোমেলো মুহূর্তএকটি অভিন্ন বন্টন সঙ্গে সময় ট্র্যাফিক আলো অপারেশন সম্পর্কিত নয়. আসুন সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করি যে একটি গাড়ি থামা ছাড়াই ছেদ অতিক্রম করবে।
যে মুহুর্তে একটি গাড়ি ছেদটির মধ্য দিয়ে যায় সেটি 1 + 0.5 = 1.5 মিনিটের ব্যবধানে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। মোড় অতিক্রম করার মুহূর্ত সময়ের ব্যবধানের মধ্যে পড়লে গাড়িটি থামা ছাড়াই চৌরাস্তার মধ্য দিয়ে যাবে। একটি ব্যবধানে সমানভাবে বিতরণ করা এলোমেলো চলকের জন্য, ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা হল 1/1.5=2/3। অপেক্ষার সময় Гож একটি মিশ্র এলোমেলো পরিবর্তনশীল। সম্ভাব্যতা 2/3 এর সাথে এটি শূন্যের সমান, এবং সম্ভাব্যতা 0.5/1.5 এর সাথে এটি 0 এবং 0.5 মিনিটের মধ্যে যেকোনো মান নেয়। অতএব, ছেদ এ গড় অপেক্ষার সময় এবং প্রকরণ
সূচকীয় (সূচক) বন্টন।একটি সূচকীয় বন্টনের জন্য, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ঘনত্ব এভাবে লেখা যেতে পারে:
যেখানে A কে ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটার বলা হয়।
সূচকীয় বন্টনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 10.6, ক.
সূচকীয় বন্টন সহ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের ফর্ম আছে
ভাত। 10.6। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সূচকীয় বন্টন: ক- বিতরণ ঘনত্ব; খ -বিতরণ ফাংশন
সূচকীয় বন্টন ফাংশনের গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 10.6, 6.
আমরা (10.3) ব্যবহার করে সূচকীয় বন্টনের ল্যাপ্লেস রূপান্তর গণনা করি:
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য এটি দেখাই এক্স,একটি সূচকীয় বন্টন আছে, প্রত্যাশিত মানআদর্শ বিচ্যুতি a এর সমান এবং পরামিতি A এর বিপরীতভাবে:
এইভাবে, সূচকীয় বণ্টনের জন্য আমাদের রয়েছে: এটিও দেখানো যেতে পারে
সেগুলো. সূচকীয় বন্টন সম্পূর্ণরূপে গড় বা পরামিতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এক্স .
সূচকীয় বন্টনের একটি সংখ্যা আছে উপকারী বৈশিষ্ট্য, যা মডেলিং পরিষেবা সিস্টেমে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, এটির কোন স্মৃতি নেই। কখন 
, যে
অন্য কথায়, যদি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সময়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে অবশিষ্ট সময়কালের বন্টনটি ইতিমধ্যে অতিক্রান্ত সময়ের উপর নির্ভর করে না। এই সম্পত্তি চিত্রে চিত্রিত করা হয়. 10.7।
ভাত। 10.7।
আসুন এমন একটি সিস্টেমের উদাহরণ বিবেচনা করি যার অপারেটিং প্যারামিটারগুলি একটি সূচকীয় বন্টন দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে।
যখন একটি নির্দিষ্ট ডিভাইস কাজ করে, তখন এলোমেলো সময়ে ত্রুটি দেখা দেয়। ডিভাইস অপারেটিং সময় টিএটির স্যুইচ অন করা থেকে পরামিতি সহ একটি সূচকীয় আইন অনুসারে একটি ত্রুটির ঘটনা না হওয়া পর্যন্ত এক্স.যদি একটি ত্রুটি সনাক্ত করা হয়, ডিভাইসটি অবিলম্বে মেরামত করতে চলে যায়, যা সময় / 0 পর্যন্ত স্থায়ী হয়। আসুন আমরা সময় ব্যবধানের ঘনত্ব এবং বণ্টন ফাংশন খুঁজে বের করি - দুটি সন্নিহিত ফল্টের মধ্যে, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণ, সেইসাথে সময়ের সম্ভাব্যতা টি এক্সআরো হবে 2t 0।
তখন থেকে
স্বাভাবিক বন্টন.স্বাভাবিক হল একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন, যা ঘনত্ব দ্বারা বর্ণনা করা হয়
(10.48) থেকে এটি অনুসরণ করে স্বাভাবিক বন্টনদুটি পরামিতি দ্বারা নির্ধারিত - গাণিতিক প্রত্যাশা টিএবং বিচ্ছুরণ a 2. এ স্বাভাবিক বন্টন সহ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব গ্রাফ t= 0, এবং 2 =1 চিত্রে দেখানো হয়েছে। 10.8, ক.
ভাত। 10.8। এ একটি এলোমেলো চলকের সাধারণ বন্টন আইন টি= 0, st 2 = 1: ক- সম্ভাব্য ঘনত্ব; 6 - বিতরণ ফাংশন
বন্টন ফাংশন সূত্র দ্বারা বর্ণনা করা হয়
এ একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশনের গ্রাফ টি= 0, এবং 2 = 1 চিত্রে দেখানো হয়েছে। 10.8, খ.
আসুন সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করি এক্সব্যবধান (a, p) এর সাথে সম্পর্কিত একটি মান নেবে:
কোথায় 
Laplace ফাংশন, এবং সম্ভাব্যতা যে
কি পরম মানইতিবাচক সংখ্যা 6 এর চেয়ে কম বিচ্যুতি:
বিশেষ করে, যখন t = 0 সমতা সত্য:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি স্বাভাবিক বন্টন সহ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মানই নিতে পারে। অতএব, মুহূর্ত গণনা করার জন্য দ্বি-মুখী ল্যাপ্লেস রূপান্তর ব্যবহার করা প্রয়োজন
যাইহোক, এই অবিচ্ছেদ্য অগত্যা বিদ্যমান নয়. যদি এটি বিদ্যমান থাকে তবে (10.50) এর পরিবর্তে অভিব্যক্তিটি সাধারণত ব্যবহৃত হয়
চমগ্মজগচ চরিত্রগত ফাংশনবা মুহুর্তের ফাংশন তৈরি করা।
আসুন সূত্র ব্যবহার করে স্বাভাবিক বণ্টনের মুহুর্তগুলির উৎপন্ন ফাংশন গণনা করি (10.51):
সাব এক্সপোনেনশিয়াল রাশির লবকে রূপান্তর করার পরে আমরা যে ফর্মটি পাই
অখণ্ড
যেহেতু এটি পরামিতিগুলির সাথে স্বাভাবিক সম্ভাবনার ঘনত্বের অবিচ্ছেদ্য অংশ t + তাই 2এবং একটি 2। তাই,
পার্থক্য (10.52), আমরা প্রাপ্ত
এই অভিব্যক্তিগুলি থেকে আপনি নিম্নলিখিত পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে পারেন:
সাধারণ বন্টনটি অনুশীলনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যেহেতু কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অনুসারে, যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি খুব বড় সংখ্যক পারস্পরিক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টি হয়, যার প্রতিটির প্রভাব সমগ্র যোগফলের উপর নগণ্য, তাহলে এটি স্বাভাবিকের কাছাকাছি একটি বিতরণ আছে।
আসুন এমন একটি সিস্টেমের উদাহরণ বিবেচনা করি যার পরামিতিগুলি একটি সাধারণ বিতরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে।
কোম্পানি একটি প্রদত্ত আকারের একটি অংশ উত্পাদন করে। একটি অংশের গুণমান তার আকার পরিমাপ দ্বারা মূল্যায়ন করা হয়। এলোমেলো পরিমাপ ত্রুটিগুলি আদর্শ বিচ্যুতি সহ স্বাভাবিক আইনের সাপেক্ষে ক -ইউমকম। আসুন সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করি যে পরিমাপের ত্রুটি 15 মাইক্রনের বেশি হবে না।
(10.49) থেকে আমরা খুঁজে পাই
বিবেচিত বিতরণগুলির ব্যবহারের সহজতার জন্য, আমরা সারণীতে প্রাপ্ত সূত্রগুলি সংক্ষিপ্ত করি। 10.1 এবং 10.2।
টেবিল 10.1। ক্রমাগত বিতরণের মৌলিক বৈশিষ্ট্য
টেবিল 10.2। ক্রমাগত বিতরণের ফাংশন তৈরি করা
কন্ট্রোল প্রশ্ন
- 1. কোন সম্ভাব্যতা বন্টন ক্রমাগত বিবেচনা করা হয়?
- 2. ল্যাপ্লেস-স্টিল্টজেস রূপান্তর কি? এটা কি কাজে লাগে?
- 3. ল্যাপ্লেস-স্টিল্টজেস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহূর্তগুলি কীভাবে গণনা করা যায়?
- 4. স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের ল্যাপ্লেস রূপান্তর কী?
- 5. সিগন্যাল গ্রাফ ব্যবহার করে একটি সিস্টেমের এক অবস্থা থেকে অন্য অবস্থাতে রূপান্তরিত সময়ের গড় সময় এবং তারতম্য কীভাবে গণনা করা যায়?
- 6. অভিন্ন বন্টন প্রধান বৈশিষ্ট্য দিন. সেবামূলক কাজে এর ব্যবহারের উদাহরণ দাও।
- 7. সূচকীয় বণ্টনের প্রধান বৈশিষ্ট্য দাও। সেবামূলক কাজে এর ব্যবহারের উদাহরণ দাও।
- 8. একটি স্বাভাবিক বন্টন প্রধান বৈশিষ্ট্য দিন. সেবামূলক কাজে এর ব্যবহারের উদাহরণ দাও।
অধ্যায় 6. ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল।
§ 1. একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ঘনত্ব এবং বন্টন ফাংশন।
একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের সেট অগণিত এবং সাধারণত কিছু সসীম বা অসীম ব্যবধানের প্রতিনিধিত্ব করে।
একটি সম্ভাব্য স্থান (W, S, P) এ সংজ্ঞায়িত একটি র্যান্ডম চলক x(w) বলা হয় একটানা(একেবারে অবিচ্ছিন্ন) W, যদি একটি অ-নেতিবাচক ফাংশন থাকে যেমন যে কোনো x এর জন্য ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন Fx(x) একটি অবিচ্ছেদ্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে
ফাংশনকে ফাংশন বলা হয় সম্ভাব্যতা বন্টন ঘনত্ব.
সংজ্ঞাটি বন্টন ঘনত্ব ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলিকে বোঝায়:
1..gif" width="97" height="51">৷
3. ধারাবাহিকতার বিন্দুতে, বিতরণের ঘনত্ব বন্টন ফাংশনের ডেরিভেটিভের সমান: .
4. বন্টন ঘনত্ব একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের নিয়ম নির্ধারণ করে, যেহেতু এটি একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করে:
5. একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করার সম্ভাবনা হল শূন্য: অতএব, নিম্নলিখিত সমতা বৈধ:
বন্টন ঘনত্ব ফাংশনের গ্রাফকে বলা হয় বন্টন বক্ররেখা, এবং বণ্টন বক্ররেখা এবং x-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ এলাকা একতার সমান। তারপর, জ্যামিতিকভাবে, x0 বিন্দুতে ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন Fx(x) এর মান হল ডিস্ট্রিবিউশন বক্ররেখা এবং x-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ এবং x0 বিন্দুর বাম দিকে থাকা এলাকা।
কার্যক্রম 1.একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ঘনত্ব ফাংশনের ফর্ম রয়েছে:
ধ্রুবক C নির্ধারণ করুন, ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন Fx(x) গঠন করুন এবং সম্ভাব্যতা গণনা করুন।
সমাধান।ধ্রুবক C আমাদের অবস্থা থেকে পাওয়া যায়:
যেখান থেকে C=3/8.
ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন Fx(x) তৈরি করতে, মনে রাখবেন যে ব্যবধানটি আর্গুমেন্ট x (সাংখ্যিক অক্ষ) এর মানের পরিসরকে তিনটি ভাগে ভাগ করে: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">৷
যেহেতু সেমি-অক্ষের ঘনত্ব x শূন্য। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে
অবশেষে, শেষ ক্ষেত্রে, যখন x>2,
যেহেতু ঘনত্ব অর্ধ-অক্ষে অদৃশ্য হয়ে যায়। সুতরাং, বিতরণ ফাংশন প্রাপ্ত হয়
সম্ভাবনা সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যাক। এইভাবে,
§ 2. একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য
প্রত্যাশিত মানক্রমাগত বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সূত্র https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> দ্বারা নির্ধারিত হয়,
যদি ডানদিকে অবিচ্ছেদ্য একেবারে একত্রিত হয়।
বিচ্ছুরণ x সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে 
, এবং এছাড়াও, বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে যেমন, সূত্র https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> অনুসারে৷
বিযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য অধ্যায় 5 এ দেওয়া গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণের সমস্ত বৈশিষ্ট্য অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্যও বৈধ।
সমস্যা 2. সমস্যা 1 থেকে র্যান্ডম ভেরিয়েবল x এর জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ গণনা করুন .
সমাধান।
আর এর মানে
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
একটি অভিন্ন বন্টন ঘনত্ব গ্রাফের জন্য, চিত্র দেখুন। .
চিত্র 6.2। বিতরণ ফাংশন এবং বিতরণ ঘনত্ব। অভিন্ন আইন
একটি অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন Fx(x) এর সমান
Fx(x)= 
প্রত্যাশা এবং ভিন্নতা; .
সূচকীয় (সূচক) বণ্টন।একটি ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল x-এর অ-নেতিবাচক মান নেওয়ার প্যারামিটার l>0 সহ একটি সূচকীয় বন্টন থাকে যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য ঘনত্ব বন্টন সমান হয়
рx(x)= 
ভাত। 6.3। সূচকীয় আইনের বন্টন ফাংশন এবং বন্টন ঘনত্ব।
সূচকীয় বণ্টনের বন্টন ফাংশনের ফর্ম আছে
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> এবং যদি এর বন্টন ঘনত্ব সমান হয়
.
দ্বারা নির্দেশিত সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সেটকে প্যারামিটার পরামিতি সহ একটি সাধারণ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয় এবং .
একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন সমান
.
ভাত। 6.4। বন্টন ফাংশন এবং স্বাভাবিক বন্টন ঘনত্ব
স্বাভাবিক বন্টনের পরামিতি হল গাণিতিক প্রত্যাশা https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
বিশেষ ক্ষেত্রে যখন https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> স্বাভাবিক বন্টন বলা হয় মান, এবং এই ধরনের বিতরণের শ্রেণী https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> দ্বারা চিহ্নিত করা হয়,
এবং বিতরণ ফাংশন
এই জাতীয় অখণ্ডকে বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যায় না (এটি "চতুর্ভুজ" এ নেওয়া হয় না), এবং তাই ফাংশনের জন্য টেবিলগুলি সংকলন করা হয়েছে। ফাংশনটি অধ্যায় 4 এ প্রবর্তিত ল্যাপ্লেস ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত
,
নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা 
. নির্বিচারে পরামিতি মান ক্ষেত্রে https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনটি সম্পর্ক ব্যবহার করে ল্যাপ্লেস ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত:
.
সুতরাং, একটি ব্যবধানের মধ্যে পড়ে একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো চলকের সম্ভাবনা সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে
.
একটি অ-ঋণাত্মক র্যান্ডম চলক x কে lognormally distributed বলা হয় যদি এর লগারিদম h=lnx স্বাভাবিক নিয়ম মেনে চলে। সাধারনভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান এবং প্রকরণ হল Mx= এবং Dx=।
টাস্ক 3।একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল দেওয়া যাক https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">৷
সমাধান।এখানে https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
ল্যাপ্লেস বিতরণ fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় এবং kurtosis হল gx=3৷
চিত্র.6.5। ল্যাপ্লেস ডিস্ট্রিবিউশন ডেনসিটি ফাংশন।
র্যান্ডম ভেরিয়েবল x উপর বিতরণ করা হয় ওয়েইবুলের আইন, যদি এটিতে https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> এর সমান একটি বন্টন ঘনত্ব ফাংশন থাকে
Weibull বিতরণ অনেক প্রযুক্তিগত ডিভাইসের ব্যর্থতা-মুক্ত অপারেশন সময় নিয়ন্ত্রণ করে। এই প্রোফাইলের কাজের মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যব্যর্থতার হার (মৃত্যুর হার) l(t) বয়স t এর অধ্যয়ন করা উপাদানগুলির, সম্পর্ক l(t)= দ্বারা নির্ধারিত। যদি a=1, তাহলে Weibull বন্টন একটি সূচকীয় বন্টনে পরিণত হয়, এবং যদি a=2 - তথাকথিত বিতরণে পরিণত হয় রেইলি।
Weibull বিতরণের গাণিতিক প্রত্যাশা: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, যেখানে Г(а) হল অয়লার ফাংশন
ভিতরে বিভিন্ন কাজফলিত পরিসংখ্যানে, তথাকথিত "কাটা" বিতরণ প্রায়ই সম্মুখীন হয়। উদাহরণস্বরূপ, কর কর্তৃপক্ষ সেই ব্যক্তিদের আয়ের বণ্টনে আগ্রহী যাদের বার্ষিক আয় কর আইন দ্বারা প্রতিষ্ঠিত একটি নির্দিষ্ট থ্রেশহোল্ড c0 অতিক্রম করে। এই বিতরণগুলি প্যারেটো বিতরণের সাথে প্রায় মিলে যায়। প্যারেটো বিতরণফাংশন দ্বারা প্রদত্ত
Fx(x)=P(x
এখানে https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">৷
টাস্ক 4।র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি সেগমেন্টে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। একটি এলোমেলো চলকের ঘনত্ব খুঁজুন।
সমাধান।সমস্যা অবস্থা থেকে এটি যে অনুসরণ করে
পরবর্তী, ফাংশন একটি ব্যবধানে একটি মনোটোন এবং পার্থক্যযোগ্য ফাংশন এবং একটি বিপরীত ফাংশন রয়েছে 
, যার ডেরিভেটিভ সমান তাই,
§ 5. অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জোড়া
দুটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলক x এবং h দেওয়া যাক। তারপর জোড়া (x, h) সমতলে একটি "এলোমেলো" বিন্দু সংজ্ঞায়িত করে। জোড়াকে (x,h) বলা হয় এলোমেলো ভেক্টরবা দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল।
যৌথ বিতরণ ফাংশনর্যান্ডম ভেরিয়েবল x এবং h এবং ফাংশনটিকে F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> বলা হয়৷ যৌথ ঘনত্বএলোমেলো ভেরিয়েবল x এবং h এর সম্ভাব্যতা বণ্টনকে এমন একটি ফাংশন বলা হয় 
.
যৌথ বন্টন ঘনত্বের এই সংজ্ঞার অর্থ নিম্নরূপ। একটি "এলোমেলো বিন্দু" (x, h) একটি সমতলের একটি অঞ্চলে পড়ার সম্ভাবনাটিকে একটি ত্রিমাত্রিক চিত্রের আয়তন হিসাবে গণনা করা হয় - একটি "বক্ররেখা" সিলিন্ডার যা পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">
দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যৌথ বণ্টনের সহজ উদাহরণ হল দ্বি-মাত্রিক সেটে অভিন্ন বিতরণক. একটি সীমাবদ্ধ সেট M কে ক্ষেত্রফল দিয়ে দেওয়া যাক এটি জোড়ার (x, h) বন্টন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা নিম্নলিখিত যৌথ ঘনত্ব দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:
টাস্ক 5।একটি দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেক্টর (x, h) ত্রিভুজের ভিতরে সমানভাবে বিতরণ করা যাক। অসমতার সম্ভাব্যতা x>h গণনা করুন।
সমাধান।নির্দেশিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান (চিত্র দেখুন নং?)। দ্বি-মাত্রিক অভিন্ন বণ্টনের সংজ্ঞা অনুসারে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যৌথ ঘনত্ব x, h এর সমান
একটি ঘটনা একটি সেটের সাথে মিলে যায় 
একটি প্লেনে, অর্থাৎ একটি অর্ধেক প্লেনে। তারপর সম্ভাবনা
অর্ধ-বিমান B-এ, জয়েন্টের ঘনত্ব সেটের বাইরে শূন্য https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">। এইভাবে, অর্ধ-বিমান B দুটি সেটে বিভক্ত এবং https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> এবং , এবং দ্বিতীয় অবিচ্ছেদ্য সমান শূন্য, যেহেতু যৌথ ঘনত্ব শূন্যের সমান। এই জন্য
যদি একটি জোড়া (x, h) এর যৌথ বন্টন ঘনত্ব দেওয়া হয়, তাহলে x এবং h উভয় উপাদানের ঘনত্ব বলা হয় ব্যক্তিগত ঘনত্বএবং সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
ঘনত্ব рx(х), рh(у) সহ অবিচ্ছিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, স্বাধীনতা মানে
টাস্ক 6।পূর্ববর্তী সমস্যার শর্তে, নির্ণয় করুন এলোমেলো ভেক্টর x এবং h এর উপাদানগুলি স্বাধীন কিনা?
সমাধান. আসুন আংশিক ঘনত্ব গণনা করি এবং . আমাদের আছে:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
স্পষ্টতই, আমাদের ক্ষেত্রে https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> হল x এবং h, এবং j(এর যৌথ ঘনত্ব x, y) দুটি আর্গুমেন্টের একটি ফাংশন, তারপর
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
টাস্ক 7।পূর্ববর্তী সমস্যার শর্তে, গণনা করুন।
সমাধান।উপরের সূত্র অনুযায়ী আমাদের আছে:
.
হিসাবে ত্রিভুজ প্রতিনিধিত্ব
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. দুটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের ঘনত্ব
x এবং h কে ঘনত্ব সহ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসেবে ধরা যাক https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">। এলোমেলো চলকের ঘনত্ব x + h সূত্র দ্বারা গণনা করা হয় আবর্তন
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">। যোগফলের ঘনত্ব গণনা করুন।
সমাধান।যেহেতু x এবং h পরামিতি সহ সূচকীয় আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়, তাদের ঘনত্ব সমান
তাই,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
যদি x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">নেতিবাচক, এবং তাই। অতএব, যদি https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
সুতরাং আমরা উত্তর পেয়েছি:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> সাধারণত 0 এবং 1 প্যারামিটারের সাথে বিতরণ করা হয়। এলোমেলো ভেরিয়েবল x1 এবং x2 স্বাধীন এবং স্বাভাবিক বিতরণ আছে পরামিতি a1, এবং a2 সহ প্রমাণ করুন যে x1 + x2 এর একটি সাধারণ বন্টন আছে x1, x2, ... xn বিতরণ করা এবং একই বন্টন ঘনত্ব ফাংশন আছে।
.
ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এবং মান বিতরণের ঘনত্ব খুঁজুন:
ক) h1 = মিনিট (x1, x2, ...xn); b) h(2) = সর্বোচ্চ (x1,x2, ... xn)
র্যান্ডম ভেরিয়েবল x1, x2, ... xn স্বাধীন এবং সমানভাবে ব্যবধানে বিতরণ করা হয় [a, b]। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এবং পরিমাণের বন্টনের ঘনত্ব ফাংশন খুঁজুন
x(1) = মিনিট (x1,x2, ... xn) এবং x(2)= সর্বোচ্চ(x1, x2, ...xn)।
প্রমাণ করুন যে Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">।
এলোমেলো পরিবর্তনশীলটি কাউচির আইন অনুসারে বিতরণ করা হয় খুঁজুন: ক) সহগ a; খ) বিতরণ ফাংশন; গ) ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা (-1, 1)। দেখান যে x এর গাণিতিক প্রত্যাশা নেই। র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি ল্যাপ্লেসের আইনের সাপেক্ষে l (l>0) প্যারামিটার সহ: সহগ a খুঁজুন; বন্টন ঘনত্ব গ্রাফ এবং বিতরণ ফাংশন নির্মাণ; Mx এবং Dx খুঁজুন; ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজুন (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
বন্টন ঘনত্বের জন্য একটি সূত্র লিখুন, Mx এবং Dx খুঁজুন।
গণনামূলক কাজ।
একটি এলোমেলো বিন্দু A এর ব্যাসার্ধ R এর একটি বৃত্তে একটি অভিন্ন বন্টন রয়েছে। বৃত্তের কেন্দ্রে বিন্দুর r দূরত্বের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজুন। দেখান যে মান r2 সেগমেন্টে সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে। 
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ঘনত্বের ফর্ম রয়েছে: 
ধ্রুবক C, ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x), এবং সম্ভাব্যতা গণনা করুন 
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ঘনত্বের ফর্ম রয়েছে: 
ধ্রুবক C, ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x), এবং সম্ভাব্যতা গণনা করুন 
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ঘনত্বের ফর্ম রয়েছে: 
ধ্রুবক C গণনা করুন, ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x), , ভ্যারিয়েন্স এবং সম্ভাব্যতা একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি বন্টন ফাংশন আছে 
একটি এলোমেলো চলকের ঘনত্ব গণনা করুন, গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং সম্ভাব্যতা পরীক্ষা করুন যে ফাংশন = 
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হতে পারে। এই পরিমাণের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজুন: Mx এবং Dx। র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি সেগমেন্টে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। বন্টন ঘনত্ব লিখ। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন খুঁজুন। সেগমেন্ট এবং সেগমেন্টের উপর একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল পড়ার সম্ভাবনা খুঁজুন। বন্টন ঘনত্ব x সমান
.
ধ্রুবক c, বন্টন ঘনত্ব h = এবং সম্ভাব্যতা খুঁজুন
পি (0.25 একটি কম্পিউটারের ব্যর্থতা-মুক্ত অপারেশন সময় l = 0.05 প্যারামিটার সহ একটি সূচকীয় আইন অনুসারে বিতরণ করা হয় (প্রতি ঘন্টায় ব্যর্থতা), অর্থাৎ, এটির একটি ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে p(x) = একটি নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানের জন্য 15 মিনিটের জন্য মেশিনের ঝামেলা-মুক্ত অপারেশন প্রয়োজন। কোনো সমস্যা সমাধানের সময় যদি কোনো ব্যর্থতা দেখা দেয়, তাহলে সমাধানটি সম্পূর্ণ হওয়ার পরই ত্রুটিটি ধরা পড়ে এবং আবার সমস্যাটি সমাধান করা হয়। খুঁজুন: ক) সমস্যার সমাধানের সময় একটি ব্যর্থতা ঘটবে না এমন সম্ভাবনা; খ) গড় সময় যেখানে সমস্যাটি সমাধান করা হবে। 24 সেমি লম্বা একটি রড দুটি ভাগে ভাঙ্গা হয়; আমরা ধরে নেব যে ব্রেক পয়েন্টটি রডের পুরো দৈর্ঘ্য বরাবর সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে। অধিকাংশ রডের গড় দৈর্ঘ্য কত? 12 সেমি দৈর্ঘ্যের একটি টুকরা এলোমেলোভাবে দুটি অংশে কাটা হয়। কাটা বিন্দু সমানভাবে সেগমেন্টের সমগ্র দৈর্ঘ্য বরাবর বিতরণ করা হয়। সেগমেন্টের ছোট অংশের গড় দৈর্ঘ্য কত? র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি সেগমেন্টে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। এলোমেলো চলকের বন্টন ঘনত্ব খুঁজুন a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); গ) h3 =। দেখান যে যদি x এর একটি অবিচ্ছিন্ন বন্টন ফাংশন থাকে F(x) = P(x দুটি স্বাধীন রাশি x এবং h এর যোগফলের ঘনত্ব ফাংশন এবং বন্টন ফাংশন নির্ণয় করুন এবং যথাক্রমে অংশে অভিন্ন বন্টন আইন সহ। এলোমেলো ভেরিয়েবল x এবং h যথাক্রমে অংশে স্বাধীন এবং সমানভাবে বিতরণ করা হয়। যোগফল x+h এর ঘনত্ব গণনা করুন। এলোমেলো ভেরিয়েবল x এবং h যথাক্রমে অংশে স্বাধীন এবং সমানভাবে বিতরণ করা হয়। যোগফল x+h এর ঘনত্ব গণনা করুন। এলোমেলো ভেরিয়েবল x এবং h যথাক্রমে অংশে স্বাধীন এবং সমানভাবে বিতরণ করা হয়। যোগফল x+h এর ঘনত্ব গণনা করুন। র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন এবং ঘনত্বের সাথে একটি সূচকীয় বন্টন রয়েছে যার সাহায্যে অনেক বাস্তব প্রক্রিয়া সিমুলেট করা হয়। এবং সবচেয়ে সাধারণ উদাহরণ হল গণপরিবহন সময়সূচী। ধরুন একটি নির্দিষ্ট বাস (ট্রলিবাস/ট্রাম)প্রতি 10 মিনিটে চলে, এবং আপনি সময়ে একটি এলোমেলো মুহূর্তে থামতে আসেন। 1 মিনিটের মধ্যে বাস আসার সম্ভাবনা কত? স্পষ্টতই 1/10 তম। আপনি 4-5 মিনিট অপেক্ষা করতে হবে যে সম্ভাবনা কি? একই. আপনাকে 9 মিনিটের বেশি সময় ধরে বাসের জন্য অপেক্ষা করতে হবে এমন সম্ভাবনা কত? এক দশমাংশ! এর কিছু বিবেচনা করা যাক সসীমব্যবধান, সুনির্দিষ্টতার জন্য এটি একটি সেগমেন্ট হতে দিন। যদি এলোমেলো মানআছে ধ্রুবক সম্ভাব্যতা বন্টন ঘনত্বএকটি প্রদত্ত সেগমেন্টে এবং এর বাইরে শূন্য ঘনত্ব, তারপর তারা বলে যে এটি বিতরণ করা হয়েছে সমানভাবে. এই ক্ষেত্রে, ঘনত্ব ফাংশন কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত করা হবে: প্রকৃতপক্ষে, যদি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য (আঁকাটা দেখো)হয়, তাহলে মান অনিবার্যভাবে সমান হয় - যাতে আয়তক্ষেত্রের একক ক্ষেত্রফল পাওয়া যায় এবং এটি পর্যবেক্ষণ করা হয় পরিচিত সম্পত্তি: অভিন্নতার সারমর্ম হল অভ্যন্তরীণ ব্যবধান যাই হোক না কেন নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যেরআমরা বিবেচনা করিনি ("বাস" মিনিট মনে রাখবেন)- একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এই ব্যবধান থেকে একটি মান গ্রহণ করার সম্ভাবনা একই হবে। অঙ্কনে আমি এই ধরনের তিনটি সম্ভাবনাকে ছায়া দিয়েছি - আবারও আমি সেটার ওপর জোর দিচ্ছি তারা এলাকা দ্বারা নির্ধারিত হয়, ফাংশন মান না! আসুন একটি সাধারণ কাজ বিবেচনা করা যাক: উদাহরণ 1 একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল তার বন্টন ঘনত্ব দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়: ধ্রুবক খুঁজুন, গণনা করুন এবং বিতরণ ফাংশন রচনা করুন। গ্রাফ তৈরি করুন। অনুসন্ধান অন্য কথায়, আপনি যা স্বপ্ন দেখতে পারেন তার সবকিছু :) সমাধান: বিরতির পর থেকে (সসীম ব্যবধান) ...কেন এটা ভালো? যাতে কোন অপ্রয়োজনীয় প্রশ্ন না থাকে;) সুতরাং ঘনত্ব ফাংশন হল: এর অঙ্কন করা যাক. মূল্যবোধ অসম্ভব
, এবং তাই গাঢ় বিন্দু নীচে স্থাপন করা হয়েছে: চল খুঁজি প্রত্যাশিত মান, এবং আপনি সম্ভবত ইতিমধ্যে অনুমান করতে পারেন এটি কি সমান। "10-মিনিট" বাস মনে রাখবেন: যদি এলোমেলোভাবেঅনেক, অনেক দিন, তারপর স্টপেজের কাছে যাওয়া গড়আপনাকে তার জন্য 5 মিনিট অপেক্ষা করতে হবে। হ্যাঁ, এটা ঠিক - প্রত্যাশাটি "ইভেন্ট" ব্যবধানের ঠিক মাঝখানে হওয়া উচিত: চলুন ব্যবহার করে বৈচিত্র গণনা করা যাক সূত্র এইভাবে, বিচ্ছুরণ: এর রচনা করা যাক বিতরণ ফাংশন 1) if, তারপর এবং 2) if, তারপর এবং: 3) এবং অবশেষে, কখন ফলস্বরূপ: চলুন অঙ্কন করা যাক: পাওয়া বন্টন ফাংশন ব্যবহার করে প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা দুটি উপায়ে গণনা করা যেতে পারে: এবং এখানে আপনি লিখতে পারেন উত্তর: , ... "এটি সম্ভব" কারণ এটির অনুপস্থিতির জন্য সাধারণত কোন শাস্তি নেই। সাধারণত;) একটি অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল গণনা করার জন্য বিশেষ সূত্র রয়েছে, যা আমি আপনাকে নিজেকে আহরণ করার পরামর্শ দিচ্ছি: উদাহরণ 2 একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল ঘনত্ব দ্বারা দেওয়া হয় গাণিতিক প্রত্যাশা এবং পার্থক্য গণনা করুন। যতটা সম্ভব ফলাফল সরলীকরণ (সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্রসাহায্য করতে). ফলস্বরূপ সূত্রগুলি পরীক্ষা করার জন্য ব্যবহার করা সুবিধাজনক; বিশেষত, "a" এবং "b" এর নির্দিষ্ট মানগুলি প্রতিস্থাপন করে আপনি যে সমস্যাটি সমাধান করেছেন তা পরীক্ষা করুন। পৃষ্ঠার নীচে সংক্ষিপ্ত সমাধান। এবং পাঠের শেষে, আমরা কয়েকটি "পাঠ্য" সমস্যা দেখব: উদাহরণ 3 পরিমাপ যন্ত্রের স্কেল বিভাজন মান হল 0.2। ইন্সট্রুমেন্ট রিডিংগুলি নিকটতম পুরো বিভাগে বৃত্তাকার হয়। ধরে নিচ্ছি যে রাউন্ডিং ত্রুটিগুলি সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে, সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে পরবর্তী পরিমাপে এটি 0.04 এর বেশি হবে না। ভাল বোঝার জন্য সমাধানআসুন কল্পনা করি যে এটি একটি তীর সহ এক ধরণের যান্ত্রিক যন্ত্র, উদাহরণস্বরূপ, 0.2 কেজি ডিভিশন মান সহ একটি স্কেল এবং আমাদের একটি পোকে একটি শূকরকে ওজন করতে হবে। তবে তার মোটাতা খুঁজে বের করার জন্য নয় - এখন এটি গুরুত্বপূর্ণ হবে যেখানে তীরটি দুটি সংলগ্ন বিভাগের মধ্যে থামবে। আসুন একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করি - দূরত্বথেকে তীর নিকটতমবাম বিভাগ। অথবা নিকটতম থেকে ডানদিকে, এটা কোন ব্যাপার না। আসুন সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন রচনা করি: 1) যেহেতু দূরত্ব ঋণাত্মক হতে পারে না, তাহলে ব্যবধানে। যৌক্তিক। 2) শর্ত থেকে এটি অনুসরণ করে যে দাঁড়িপাল্লা তীর সঙ্গে সমান সম্ভাবনাবিভাজনের মধ্যে যে কোন জায়গায় থামতে পারে *
, বিভাগগুলি সহ, এবং সেইজন্য ব্যবধানে: *
এটি একটি অপরিহার্য শর্ত। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যখন তুলার উলের টুকরো বা লবণের কিলোগ্রাম প্যাক ওজন করা হয়, তখন অনেক সংকীর্ণ ব্যবধানে অভিন্নতা বজায় রাখা হবে। 3) এবং যেহেতু নিকটতম বাম বিভাগ থেকে দূরত্ব 0.2 এর বেশি হতে পারে না, তাহলে atও শূন্যের সমান। এইভাবে: এটি উল্লেখ করা উচিত যে ঘনত্ব ফাংশন সম্পর্কে কেউ আমাদের জিজ্ঞাসা করেনি, এবং আমি এটির সম্পূর্ণ নির্মাণকে একচেটিয়াভাবে জ্ঞানীয় চেইনে উপস্থাপন করেছি। টাস্ক শেষ করার সময়, শুধুমাত্র 2য় পয়েন্ট লিখতে যথেষ্ট। এখন সমস্যার প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যাক। নিকটতম বিভাগে রাউন্ডিংয়ের ত্রুটি কখন 0.04 এর বেশি হবে না? এটি ঘটবে যখন তীরটি বাম বিভাগ থেকে 0.04 এর বেশি থামবে না ডানে বাডান বিভাগ থেকে 0.04 এর বেশি নয় বাম. অঙ্কনটিতে আমি সংশ্লিষ্ট অঞ্চলগুলিকে ছায়া দিয়েছি: দ্বারা বেমানান ইভেন্টের সম্ভাব্যতা যোগ করার উপপাদ্য: এটা দেখা সহজ যে সর্বাধিক সম্ভাব্য রাউন্ডিং ত্রুটি 0.1 (100 গ্রাম) এবং তাই রাউন্ডিং ত্রুটি 0.1 এর বেশি না হওয়ার সম্ভাবনাএকের সমান উত্তর: 0,4 তথ্যের অন্যান্য উত্সগুলিতে এই সমস্যার বিকল্প ব্যাখ্যা/সূত্র রয়েছে, এবং আমি সেই বিকল্পটি বেছে নিয়েছি যা আমার কাছে সবচেয়ে বোধগম্য বলে মনে হয়েছিল। বিশেষ মনোযোগএই বিষয়টির দিকে মনোযোগ দেওয়া প্রয়োজন যে শর্তে আমরা ত্রুটিগুলিকে রাউন্ডিং নয়, তবে সম্পর্কে কথা বলতে পারি এলোমেলোপরিমাপ ত্রুটি, যা সাধারণত (তবে সব সময় নয়), দ্বারা বিতরণ স্বাভাবিক আইন. এইভাবে, শুধু একটি শব্দ আমূল পরিবর্তন করতে পারে আপনার সিদ্ধান্ত!সতর্ক থাকুন এবং অর্থটি বুঝুন। এবং যত তাড়াতাড়ি সবকিছু একটি বৃত্তে যায়, আমাদের পা আমাদের একই বাস স্টপে নিয়ে আসে: উদাহরণ 4 একটি নির্দিষ্ট রুটে বাসগুলি কঠোরভাবে সময়সূচীতে এবং প্রতি 7 মিনিটে চলে। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি ঘনত্ব ফাংশন রচনা করুন - এলোমেলোভাবে স্টপের কাছে আসা যাত্রীর পরবর্তী বাসের জন্য অপেক্ষার সময়। সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে তিনি বাসের জন্য তিন মিনিটের বেশি অপেক্ষা করবেন না। বন্টন ফাংশন খুঁজুন এবং এর অর্থপূর্ণ অর্থ ব্যাখ্যা করুন। পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে, সম্ভাব্যতা বন্টন উদাহরণ ক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল
এক্স হল: আসুন আমরা অভিন্ন এবং সূচকীয় বন্টন আইন, সম্ভাব্যতার সূত্র এবং বিবেচনাধীন ফাংশনগুলির সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যের ধারণা দিই। বাসগুলি সময়সূচী অনুযায়ী কঠোরভাবে চালানো হয়। চলাচলের ব্যবধান 7 মিনিট। খুঁজুন: ক) একটি স্টপে আসা যাত্রীর পরবর্তী বাসের জন্য দুই মিনিটের কম অপেক্ষা করার সম্ভাবনা; b) একটি স্টপে আগত যাত্রীর পরবর্তী বাসের জন্য কমপক্ষে তিন মিনিট অপেক্ষা করার সম্ভাবনা; গ) গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর মান বিচ্যুতি - যাত্রীর অপেক্ষার সময়। সমাধান।
1. সমস্যার শর্ত অনুসারে, একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল X = (যাত্রীর অপেক্ষার সময়) অনুজ্জ্বল শিকারী
দুটি বাসের আগমনের মধ্যে। এলোমেলো চলক X এর বন্টন ব্যবধানের দৈর্ঘ্য b-a=7 এর সমান, যেখানে a=0, b=7। 2. অপেক্ষার সময় দুই মিনিটের কম হবে যদি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X ব্যবধানে পড়ে (5;7)। আমরা সূত্র ব্যবহার করে একটি প্রদত্ত ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা খুঁজে পাই: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 3. অপেক্ষার সময় হবে কমপক্ষে তিন মিনিট (অর্থাৎ তিন থেকে সাত মিনিট পর্যন্ত) যদি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X ব্যবধানে পড়ে (0;4)। আমরা সূত্র ব্যবহার করে একটি প্রদত্ত ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা খুঁজে পাই: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 4. একটি ক্রমাগত, অভিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর গাণিতিক প্রত্যাশা - যাত্রীর অপেক্ষার সময় - সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3.5। 5. একটি ক্রমাগত, অভিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর আদর্শ বিচ্যুতি - যাত্রীর অপেক্ষার সময় - সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02। ঘনত্ব f(x) = 5e – 5x দ্বারা x ≥ 0 এর জন্য সূচকীয় বন্টন দেওয়া হয়। প্রয়োজনীয়: ক) বিতরণ ফাংশনের জন্য একটি অভিব্যক্তি লিখুন; খ) সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে পরীক্ষার ফলে X ব্যবধানে পড়ে (1;4); গ) এক্স ≥ 2 পরীক্ষার ফলস্বরূপ সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন; d) গণনা করুন M(X), D(X), σ(X)। সমাধান।
1. যেহেতু শর্ত দেওয়া হয়েছে সূচকীয় বিতরণ
, তারপর এলোমেলো চলক X এর সম্ভাব্যতা বন্টন ঘনত্বের সূত্র থেকে আমরা λ = 5 পাই। তারপর বিতরণ ফাংশনের ফর্মটি থাকবে: 2. সম্ভাব্যতা যে পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে X ব্যবধানে পড়ে (1;4) সূত্র দ্বারা পাওয়া যাবে: 3. সম্ভাব্যতা যে পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে X ≥ 2 সূত্র দ্বারা পাওয়া যাবে: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞. 4. সূচকীয় বন্টনের জন্য খুঁজুন: এই সমস্যাটি দীর্ঘকাল ধরে বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে, এবং সর্বাধিক ব্যবহৃত পদ্ধতি হল পোলার সমন্বয় পদ্ধতি, যা 1958 সালে জর্জ বক্স, মারভিন মুলার এবং জর্জ মার্সাগ্লিয়া প্রস্তাব করেছিলেন। এই পদ্ধতিটি আপনাকে গাণিতিক প্রত্যাশা 0 এবং প্রকরণ 1 সহ স্বাধীনভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি জোড়া পেতে দেয়: যেখানে Z 0 এবং Z 1 হল পছন্দসই মান, s = u 2 + v 2, এবং u এবং v হল র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সমানভাবে ব্যবধানে (-1, 1) বিতরণ করা হয়, এমনভাবে নির্বাচন করা হয় যাতে শর্ত 0 সন্তুষ্ট হয়< s < 1. এর মানে হল যে সম্ভাব্যতা যে প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান ব্যবধানে থাকবে (A, B) ছায়াযুক্ত এলাকার ক্ষেত্রফলের সমান। এবং ফলস্বরূপ, সমগ্র ছায়াযুক্ত এলাকার ক্ষেত্রফল অবশ্যই একের সমান হতে হবে, যেহেতু যেকোন ক্ষেত্রে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান f ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনে পড়বে। এখানে অর্থ হল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান B এর সাথে A এর থেকে কম হবে। এবং ফলস্বরূপ, ফাংশনটি কখনই হ্রাস পায় না এবং এর মানগুলি ব্যবধানে থাকে। একটি বিপরীত ফাংশন হল একটি ফাংশন যা মূল ফাংশনে একটি আর্গুমেন্ট ফেরত দেয় যদি মূল ফাংশনের মান এটিতে পাস করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, x 2 ফাংশনের জন্য বিপরীত হল রুট নিষ্কাশন ফাংশন, sin(x) এর জন্য এটি arcsin(x), ইত্যাদি। যেহেতু বেশিরভাগ সিউডোর্যান্ডম নম্বর জেনারেটর আউটপুট হিসাবে শুধুমাত্র একটি অভিন্ন বন্টন তৈরি করে, তাই প্রায়শই এটিকে অন্য কোনোটিতে রূপান্তর করার প্রয়োজন হয়। এই ক্ষেত্রে, সাধারণ গাউসিয়ানদের কাছে: একটি অভিন্ন বণ্টনকে অন্য যে কোনোটিতে রূপান্তরিত করার জন্য সমস্ত পদ্ধতির ভিত্তি হল বিপরীত রূপান্তর পদ্ধতি। এটি নিম্নরূপ কাজ করে। একটি ফাংশন পাওয়া যায় যেটি প্রয়োজনীয় বন্টনের ফাংশনের বিপরীত, এবং একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সমানভাবে ব্যবধানে বিতরণ করা হয় (0, 1) একটি যুক্তি হিসাবে এটিতে পাস করা হয়। আউটপুটে আমরা প্রয়োজনীয় ডিস্ট্রিবিউশন সহ একটি মান পাই। স্পষ্টতার জন্য, আমি নিম্নলিখিত ছবি প্রদান করি। এইভাবে, একটি অভিন্ন সেগমেন্ট, যেমনটি ছিল, নতুন বণ্টনের সাথে মিল রেখে, একটি বিপরীত ফাংশনের মাধ্যমে অন্য অক্ষের উপর প্রক্ষেপিত। কিন্তু সমস্যা হল গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশনের ঘনত্বের অখণ্ডতা গণনা করা সহজ নয়, তাই উপরের বিজ্ঞানীদের প্রতারণা করতে হয়েছিল। একটি চি-স্কয়ার ডিস্ট্রিবিউশন (পিয়ারসন ডিস্ট্রিবিউশন), যা k স্বাধীন স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গের সমষ্টির বন্টন। এবং ক্ষেত্রে যখন k = 2, এই বন্টনটি সূচকীয়। এর মানে হল যে যদি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমের একটি বিন্দুতে এলোমেলোভাবে X এবং Y স্থানাঙ্কগুলি সাধারণত বিতরণ করা থাকে, তবে এই স্থানাঙ্কগুলিকে মেরু সিস্টেমে রূপান্তর করার পরে (r, θ), ব্যাসার্ধের বর্গ (উৎপত্তি থেকে বিন্দুর দূরত্ব) সূচকীয় আইন অনুসারে বিতরণ করা হবে, যেহেতু ব্যাসার্ধের বর্গ হল স্থানাঙ্কের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি (পিথাগোরিয়ান আইন অনুসারে)। সমতলে এই ধরনের বিন্দুগুলির বন্টন ঘনত্ব এইরকম দেখাবে: যেহেতু এটি সব দিকে সমান, কোণ θ এর 0 থেকে 2π পর্যন্ত পরিসরে একটি অভিন্ন বন্টন থাকবে। কথোপকথনটিও সত্য: যদি আপনি দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল ব্যবহার করে একটি বিন্দুকে সংজ্ঞায়িত করেন (একটি কোণ সমানভাবে বিতরণ করা হয় এবং একটি ব্যাসার্ধ দ্রুতগতিতে বিতরণ করা হয়), তাহলে এই বিন্দুর আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলি স্বাধীন স্বাভাবিক র্যান্ডম চলক হবে। এবং একই বিপরীত রূপান্তর পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি অভিন্ন থেকে একটি সূচকীয় বন্টন পাওয়া অনেক সহজ। এটি পোলার বক্স-মুলার পদ্ধতির সারাংশ। r এবং θ প্রাপ্ত করার জন্য, ব্যবধানে (0, 1) সমানভাবে বিতরণ করা দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল তৈরি করা প্রয়োজন (এগুলিকে u এবং v বলি), যার মধ্যে একটির বন্টন (আসুন v বলি) সূচকে রূপান্তর করতে হবে ব্যাসার্ধ প্রাপ্ত। সূচকীয় বন্টন ফাংশন এই মত দেখায়: এর বিপরীত ফাংশন হল: যেহেতু ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন প্রতিসম, তাই রূপান্তরটি ফাংশনের সাথে একইভাবে কাজ করবে চি-স্কোয়ার বন্টন সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে λ = 0.5। এই ফাংশনে λ, v প্রতিস্থাপন করুন এবং ব্যাসার্ধের বর্গ এবং তারপর ব্যাসার্ধ নিজেই পান: আমরা ইউনিট সেগমেন্টকে 2π পর্যন্ত প্রসারিত করে কোণ পাই: এখন আমরা সূত্র (1) এ r এবং θ প্রতিস্থাপন করি এবং পাই: এই সূত্রগুলি ইতিমধ্যে ব্যবহারের জন্য প্রস্তুত। X এবং Y স্বাধীন হবে এবং সাধারণত 1 এর বৈচিত্র্য এবং 0 এর একটি গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে বিতরণ করা হবে। অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের সাথে একটি বন্টন পেতে, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দ্বারা ফাংশনের ফলাফলকে গুণ করা এবং গাণিতিক প্রত্যাশা যোগ করা যথেষ্ট। এলোমেলো আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক x এবং y নির্দিষ্ট করে নির্বাচন করা হয়, ব্যবধানে সমানভাবে বিতরণ করা হয় (-1, 1), এবং বৃত্তের অন্তর্গত নয় এমন বিন্দুগুলি বাতিল করে, সেইসাথে কেন্দ্রীয় বিন্দু যেখানে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের কোণ সংজ্ঞায়িত করা হয় নি. অর্থাৎ শর্ত 0 পূরণ করতে হবে< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s: আমরা নিবন্ধের শুরুতে সূত্রগুলি পাই। এই পদ্ধতির অসুবিধা হল যে এটি বৃত্তে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন পয়েন্টগুলিকে বাতিল করে দেয়। অর্থাৎ, উৎপন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মাত্র 78.5% ব্যবহার করে। পুরানো কম্পিউটারগুলিতে, ত্রিকোণমিতি ফাংশনের অভাব এখনও একটি বড় সুবিধা ছিল। এখন, যখন একটি প্রসেসর কমান্ড তাত্ক্ষণিকভাবে সাইন এবং কোসাইন উভয়ই গণনা করে, আমি মনে করি এই পদ্ধতিগুলি এখনও প্রতিযোগিতা করতে পারে। ব্যক্তিগতভাবে, আমার এখনও দুটি প্রশ্ন আছে: যদি একটি সাধারণ এলোমেলো পরিবর্তনশীলের জন্য অনুরূপ রূপান্তর করা হয়, তবে এর বর্গক্ষেত্রের ঘনত্ব ফাংশনটি একটি হাইপারবোলার অনুরূপ হবে। এবং স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের দুটি বর্গক্ষেত্র যোগ করা একটি আরও জটিল প্রক্রিয়া যা ডবল ইন্টিগ্রেশনের সাথে যুক্ত। এবং যে ফলাফলটি একটি সূচকীয় বন্টন হবে, আমাকে ব্যক্তিগতভাবে শুধুমাত্র একটি ব্যবহারিক পদ্ধতি ব্যবহার করে পরীক্ষা করতে হবে বা একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে গ্রহণ করতে হবে। এবং যারা আগ্রহী তাদের জন্য, আমি পরামর্শ দিচ্ছি যে আপনি এই বইগুলি থেকে জ্ঞান অর্জন করে বিষয়টি ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন: উপসংহারে, এখানে জাভাস্ক্রিপ্টে একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম নম্বর জেনারেটর বাস্তবায়নের একটি উদাহরণ রয়েছে: ফাংশন Gauss() ( var ready = false; var দ্বিতীয় = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( গড় = মানে == undefined ? 0.0: গড়; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; যদি ( this.ready) ( this.ready = মিথ্যা; ফেরত দিন এই. সেকেন্ড * dev + মানে; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math। random() - s = u * u + v * v; মানে ) ) g = new Gauss(); // একটি বস্তু তৈরি করুন a = g.next(); // এক জোড়া মান তৈরি করুন এবং প্রথমটি পান b = g.next(); // দ্বিতীয় c = g.next(); // আবার এক জোড়া মান তৈরি করুন এবং প্রথমটি পান 
.
. তাদের যোগফলের বন্টন ঘনত্ব নির্ণয় কর। স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল x এবং h এর যোগফলের বন্টন খুঁজুন, যেখানে x এর ব্যবধানে একটি অভিন্ন বন্টন আছে এবং h প্যারামিটার l সহ একটি সূচকীয় বন্টন আছে। পি খুঁজুন 
, যদি x থাকে: a) a এবং s2 পরামিতি সহ স্বাভাবিক বন্টন; b) প্যারামিটার l সহ সূচকীয় বন্টন; গ) সেগমেন্টে অভিন্ন বন্টন [-1;1]। x, h এর যৌথ বণ্টন বর্গাকার অভিন্ন
K = (x, y): |x| +|y|£2)। সম্ভাবনা খুঁজুন 
. x এবং h কি স্বাধীন? এক জোড়া এলোমেলো ভেরিয়েবল x এবং h সমানভাবে ত্রিভুজ K= এর ভিতরে বিতরণ করা হয়। x এবং h ঘনত্ব গণনা করুন। এই র্যান্ডম ভেরিয়েবল কি স্বাধীন? সম্ভাবনা খুঁজুন। এলোমেলো ভেরিয়েবল x এবং h স্বাধীন এবং সমানভাবে সেগমেন্ট এবং [-1,1] এ বিতরণ করা হয়। সম্ভাবনা খুঁজুন। একটি দ্বি-মাত্রিক এলোমেলো চলক (x, h) শীর্ষবিন্দু (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) সহ একটি বর্গক্ষেত্রে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। বিন্দুতে যৌথ বন্টন ফাংশনের মান খুঁজুন (1, -1)। একটি এলোমেলো ভেক্টর (x, h) উৎপত্তিকে কেন্দ্র করে 3 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের মধ্যে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। যৌথ বন্টন ঘনত্বের জন্য একটি অভিব্যক্তি লিখ। এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি নির্ভরশীল কিনা তা নির্ধারণ করুন। সম্ভাব্যতা গণনা করুন। এলোমেলো ভেরিয়েবলের একজোড়া x এবং h একটি ট্র্যাপিজয়েডের ভিতরে (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ সমানভাবে বিতরণ করা হয়। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের এই জোড়ার জন্য যৌথ বন্টন ঘনত্ব এবং উপাদানগুলির ঘনত্ব খুঁজুন। x এবং h কি নির্ভরশীল? একটি এলোমেলো জোড়া (x, h) একটি অর্ধবৃত্তের ভিতরে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। x এবং h ঘনত্ব খুঁজুন, তাদের নির্ভরতার প্রশ্ন অনুসন্ধান করুন। দুটি এলোমেলো চলকের যৌথ ঘনত্ব x এবং h সমান 
.
x, h ঘনত্ব খুঁজুন। x এবং h এর নির্ভরতার প্রশ্নটি অনুসন্ধান করুন। একটি এলোমেলো জোড়া (x, h) সেটে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। x এবং h ঘনত্ব খুঁজুন, তাদের নির্ভরতার প্রশ্ন অনুসন্ধান করুন। M(xh) খুঁজুন। র্যান্ডম ভেরিয়েবল x এবং h স্বাধীন এবং প্যারামিটার খুঁজুন সহ একটি সূচকীয় আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়
আসুন আনুষ্ঠানিকভাবে এটি পরীক্ষা করা যাক:
, ইত্যাদি একটি সম্ভাব্য দৃষ্টিকোণ থেকে, এর অর্থ হল র্যান্ডম পরিবর্তনশীল নির্ভরযোগ্যভাবেসেগমেন্টের একটি মান নেবে..., ওহ, আমি ধীরে ধীরে বিরক্তিকর বুড়ো হয়ে যাচ্ছি =)
, তাহলে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি অভিন্ন বন্টন আছে এবং সরাসরি সূত্র ব্যবহার করে "ce" এর মান পাওয়া যাবে 
. তবে এটি একটি সাধারণ উপায়ে ভাল - একটি সম্পত্তি ব্যবহার করে: 
একটি দ্রুত চেক হিসাবে, আসুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করা যাক: 
, ইত্যাদি
, প্রত্যাশিত.
. এবং এখানে অবিচ্ছেদ্য গণনা করার সময় আপনার একটি চোখ এবং একটি চোখ প্রয়োজন: 
. এখানে নতুন কিছু নেই:
;
, এই জন্য: 
"লাইভ" ব্যবধানে, বিতরণ ফাংশন ক্রমবর্ধমান রৈখিক, এবং এটি আরেকটি লক্ষণ যে আমাদের একটি অভিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল রয়েছে। ভাল, অবশ্যই, সব পরে অমৌলিক লিনিয়ার ফাংশন- একটি ধ্রুবক আছে.
বা ঘনত্বের একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে: 
যার যার ভালো লাগে।
, গ্রাফগুলি সমাধান পথ বরাবর প্লট করা হয়।
.
এটা এই এলাকা খুঁজে অবশেষ integrals ব্যবহার করে. নীতিগতভাবে, এগুলিকে "স্কুল ফ্যাশনে" গণনা করা যেতে পারে (আয়তক্ষেত্রগুলির মতো), তবে সরলতা সর্বদা বোঝা যায় না;)
- রাউন্ডিং ত্রুটি 0.04 এর বেশি হবে না এমন সম্ভাবনা (আমাদের উদাহরণের জন্য 40 গ্রাম)সূচক অভিন্ন বন্টন আইন সূচকীয় বন্টন আইন
সংজ্ঞা
ইউনিফর্ম বলে
একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর সম্ভাব্যতা বন্টন, যার ঘনত্ব সেগমেন্টে স্থির থাকে এবং এর ফর্ম থাকে
সূচকীয় (সূচক) বলা হয়
একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর সম্ভাব্যতা বন্টন, যা ফর্মের ঘনত্ব দ্বারা বর্ণিত হয়
যেখানে λ একটি ধ্রুবক ইতিবাচক মানবিতরণ ফাংশন
সম্ভাবনা
বিরতির মধ্যে পড়ে
প্রত্যাশিত মান
বিচ্ছুরণ
আদর্শ চ্যুতি
"অভিন্ন এবং সূচকীয় বন্টন আইন" বিষয়ে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ
কার্যক্রম 1.
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.টাস্ক 2।
P(a< X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
অনেক লোক চিন্তা না করেই এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে এবং অনেকে তাদের অস্তিত্ব সম্পর্কে সন্দেহও করে না, যেহেতু তারা প্রস্তুত বাস্তবায়ন ব্যবহার করে। কিন্তু এমন লোক আছে যাদের প্রশ্ন আছে: “এই সূত্রটি কোথা থেকে এসেছে? এবং কেন আপনি একবারে কয়েক পরিমাণ পান?" পরবর্তী, আমি এই প্রশ্নগুলির একটি পরিষ্কার উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করব।
শুরু করার জন্য, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে সম্ভাবনার ঘনত্ব, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এবং ইনভার্স ফাংশন কী। ধরুন একটি নির্দিষ্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবল আছে, যার বন্টন ঘনত্ব ফাংশন f(x) দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়েছে, যার নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:
এলোমেলো ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হল ঘনত্ব ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য অংশ। এবং এই ক্ষেত্রে, এর আনুমানিক চেহারা এই মত হবে:
এখন সূত্রগুলো বের করা যাক।
(1)
(2)
কিন্তু বৃত্তের এলোমেলো বিন্দুর আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কের মাধ্যমে সরাসরি নয়, পরোক্ষভাবে কোণ নির্দিষ্ট করে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন থেকে মুক্তি পাওয়া সম্ভব। তারপর, এই স্থানাঙ্কগুলির মাধ্যমে, ব্যাসার্ধ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য গণনা করা সম্ভব হবে, এবং তারপর যথাক্রমে x এবং y দ্বারা ভাগ করে কোসাইন এবং সাইন খুঁজে বের করা সম্ভব হবে। কিভাবে এবং কেন এটি কাজ করে?
আসুন একক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে সমানভাবে বিতরণ করা থেকে একটি এলোমেলো বিন্দু বেছে নেওয়া যাক এবং s অক্ষর দ্বারা এই বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের বর্গকে বোঝাই:
যেহেতু s হল ব্যাসার্ধের বর্গ (সরলতার জন্য, আমি ব্যাসার্ধকে ব্যাসার্ধের ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বলি যা একটি এলোমেলো বিন্দুর অবস্থান নির্দিষ্ট করে), আমরা প্রথমে খুঁজে বের করি কিভাবে ব্যাসার্ধ বিতরণ করা হয়। যেহেতু বৃত্তটি সমানভাবে পূর্ণ হয়েছে, তাই এটা স্পষ্ট যে r ব্যাসার্ধের বিন্দুর সংখ্যা r ব্যাসার্ধের বৃত্তের দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক। এবং একটি বৃত্তের পরিধি ব্যাসার্ধের সমানুপাতিক। এর অর্থ হল বৃত্তের কেন্দ্র থেকে তার প্রান্ত পর্যন্ত ব্যাসার্ধের বন্টন ঘনত্ব সমানভাবে বৃদ্ধি পায়। এবং ঘনত্ব ফাংশনের ব্যবধানে f(x) = 2x ফর্ম রয়েছে (0, 1)। সহগ 2 যাতে গ্রাফের নীচে চিত্রটির ক্ষেত্রফল একের সমান হয়। যখন এই ঘনত্ব বর্গ করা হয়, তখন এটি অভিন্ন হয়। যেহেতু তাত্ত্বিকভাবে এই ক্ষেত্রে ঘনত্ব ফাংশনটিকে তার রূপান্তর ফাংশনের ডেরিভেটিভ দ্বারা ভাগ করা প্রয়োজন (অর্থাৎ x 2)। এবং স্পষ্টতই এটি এই মত ঘটে: 
প্যারামিটার মানে (গাণিতিক প্রত্যাশা) এবং dev (স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি) ঐচ্ছিক। আমি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করছি যে লগারিদম প্রাকৃতিক।
