সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি কি? পরীক্ষামূলক তথ্য আনুমানিক

পরীক্ষামূলক ডেটার আনুমানিক একটি পদ্ধতি যা পরীক্ষামূলকভাবে প্রাপ্ত ডেটাকে একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের সাথে প্রতিস্থাপনের উপর ভিত্তি করে যা মূল মানগুলির সাথে নোডাল পয়েন্টগুলিতে সবচেয়ে ঘনিষ্ঠভাবে পাস করে বা মিলে যায় (একটি পরীক্ষা বা পরীক্ষার সময় প্রাপ্ত ডেটা)। বর্তমানে, একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার দুটি উপায় আছে:

একটি n-ডিগ্রী ইন্টারপোলেশন বহুপদী গঠন করে যা পাস করে সরাসরি সমস্ত পয়েন্টের মাধ্যমেএকটি প্রদত্ত ডেটা অ্যারে। ভিতরে এক্ষেত্রেআনুমানিক ফাংশনটি এইভাবে উপস্থাপন করা হয়: ল্যাগ্রেঞ্জ আকারে একটি ইন্টারপোলেশন বহুপদী বা নিউটন আকারে একটি ইন্টারপোলেশন বহুপদী।

একটি n-ডিগ্রী আনুমানিক বহুপদী গঠন করে যা পাস হয় পয়েন্ট অবিলম্বে সান্নিধ্যেএকটি প্রদত্ত ডেটা অ্যারে থেকে। এইভাবে, আনুমানিক ফাংশনটি পরীক্ষার সময় উদ্ভূত সমস্ত এলোমেলো শব্দ (বা ত্রুটিগুলি) মসৃণ করে: পরীক্ষার সময় পরিমাপ করা মানগুলি এলোমেলো কারণগুলির উপর নির্ভর করে যা তাদের নিজস্ব অনুযায়ী ওঠানামা করে। এলোমেলো আইন(পরিমাপ বা যন্ত্রের ত্রুটি, ভুল বা পরীক্ষামূলক ত্রুটি)। এই ক্ষেত্রে, আনুমানিক ফাংশন পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্ধারিত হয় সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র.

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি(ইংরেজি সাহিত্যে অর্ডিনারি লিস্ট স্কোয়ার্স, ওএলএস) একটি আনুমানিক ফাংশন নির্ধারণের উপর ভিত্তি করে একটি গাণিতিক পদ্ধতি যা পরীক্ষামূলক ডেটার একটি প্রদত্ত অ্যারে থেকে বিন্দুর নিকটতম স্থানে নির্মিত হয়। মূল এবং আনুমানিক ফাংশন F(x) এর ঘনিষ্ঠতা একটি সংখ্যাসূচক পরিমাপ দ্বারা নির্ধারিত হয়, যথা: আনুমানিক বক্ররেখা F(x) থেকে পরীক্ষামূলক ডেটার বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল সবচেয়ে ছোট হওয়া উচিত।

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি ব্যবহার করে আনুমানিক বক্ররেখা তৈরি করা হয়েছে

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়:

সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যা ছাড়িয়ে গেলে সমীকরণের অতিরিক্ত নির্ধারিত সিস্টেমগুলি সমাধান করতে;

সাধারণ ক্ষেত্রে একটি সমাধান খুঁজে বের করতে (ওভাররাইড করা নয়) অরৈখিক সিস্টেমসমীকরণ;

কিছু আনুমানিক ফাংশন সহ আনুমানিক পয়েন্ট মান।

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করে আনুমানিক ফাংশন পরীক্ষামূলক ডেটার একটি প্রদত্ত অ্যারে থেকে গণনা করা আনুমানিক ফাংশনের ন্যূনতম সমষ্টির বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির শর্ত থেকে নির্ধারিত হয়। সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির এই মানদণ্ডটি নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি হিসাবে লেখা হয়েছে:

নোডাল পয়েন্টে গণনা করা আনুমানিক ফাংশনের মান,

নোডাল পয়েন্টে পরীক্ষামূলক ডেটার একটি প্রদত্ত অ্যারে।

দ্বিঘাত মাপকাঠিতে অনেকগুলি "ভাল" বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যেমন পার্থক্যযোগ্যতা, বহুপদী আনুমানিক ফাংশনগুলির সাথে আনুমানিক সমস্যার একটি অনন্য সমাধান প্রদান করে।

সমস্যার অবস্থার উপর নির্ভর করে, আনুমানিক ফাংশন ডিগ্রী m এর একটি বহুপদী

আনুমানিক ফাংশনের ডিগ্রী নোডাল পয়েন্টের সংখ্যার উপর নির্ভর করে না, তবে এর মাত্রা অবশ্যই একটি প্রদত্ত পরীক্ষামূলক ডেটা অ্যারের মাত্রা (বিন্দুর সংখ্যা) থেকে কম হতে হবে।

∙ যদি আনুমানিক ফাংশনের ডিগ্রী m=1 হয়, তাহলে আমরা একটি সরল রেখা (রৈখিক রিগ্রেশন) সহ ট্যাবুলার ফাংশনটি আনুমানিক করি।

∙ যদি আনুমানিক ফাংশনের ডিগ্রী হয় m=2, তাহলে আমরা টেবিল ফাংশন আনুমানিক চতুর্মুখী প্যারাবোলা(চতুর্মুখী আনুমানিক)।

∙ যদি আনুমানিক ফাংশনের ডিগ্রী হয় m=3, তাহলে আমরা একটি কিউবিক প্যারাবোলা (ঘন আনুমানিক) দিয়ে টেবিল ফাংশনকে আনুমানিক করি।

ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেযখন প্রদত্ত ডিগ্রী m এর একটি আনুমানিক বহুপদী নির্মাণ করা প্রয়োজন টেবিল মান, সমস্ত নোডাল পয়েন্টের উপর বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির ন্যূনতম যোগফলের শর্তটি নিম্নলিখিত আকারে পুনরায় লেখা হয়েছে:

- ডিগ্রি m এর আনুমানিক বহুপদীর অজানা সহগ;

উল্লেখিত সারণী মানের সংখ্যা।

ন্যূনতম একটি ফাংশনের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল অজানা ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে এর আংশিক ডেরিভেটিভের শূন্যের সমতা। . ফলে আমরা পাই নিম্নলিখিত সিস্টেমসমীকরণ:

এর ফলাফল রূপান্তর করা যাক লিনিয়ার সিস্টেমসমীকরণ: বন্ধনী খুলুন এবং মুক্ত পদগুলিকে অভিব্যক্তির ডানদিকে সরান। রৈখিক এর ফলে সিস্টেম বীজগাণিতিক রাশিনিম্নলিখিত আকারে লেখা হবে:

রৈখিক বীজগাণিতিক অভিব্যক্তির এই সিস্টেমটি ম্যাট্রিক্স আকারে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

ফলাফল একটি সিস্টেম ছিল রৈখিক সমীকরণমাত্রা m+1, যা m+1 অজানা নিয়ে গঠিত। এই সিস্টেমটি রৈখিক সমস্যা সমাধানের জন্য যে কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। বীজগণিত সমীকরণ(উদাহরণস্বরূপ, গাউসিয়ান পদ্ধতি দ্বারা)। সমাধানের ফলস্বরূপ, আনুমানিক ফাংশনের অজানা প্যারামিটারগুলি পাওয়া যাবে যা মূল ডেটা থেকে আনুমানিক ফাংশনের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির ন্যূনতম যোগফল প্রদান করে, যেমন সর্বোত্তম সম্ভাব্য দ্বিঘাত আনুমানিক। এটি মনে রাখা উচিত যে যদি উত্স ডেটার একটি মানও পরিবর্তিত হয়, তবে সমস্ত সহগ তাদের মানগুলি পরিবর্তন করবে, কারণ সেগুলি উত্স ডেটা দ্বারা সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়।

রৈখিক নির্ভরতা দ্বারা উৎস তথ্য আনুমানিক

(লিনিয়ার রিগ্রেশন)

উদাহরণ হিসাবে, আনুমানিক ফাংশন নির্ধারণের কৌশলটি বিবেচনা করুন, যা ফর্মটিতে দেওয়া হয়েছে রৈখিক নির্ভরতা. সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি অনুসারে, বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির ন্যূনতম যোগফলের শর্তটি নিম্নলিখিত আকারে লেখা হয়েছে:

টেবিল নোডের স্থানাঙ্ক;

আনুমানিক ফাংশনের অজানা সহগ, যা একটি রৈখিক নির্ভরতা হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়।

ন্যূনতম একটি ফাংশনের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল অজানা ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে এর আংশিক ডেরিভেটিভের শূন্যের সমান। ফলস্বরূপ, আমরা সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমটি পাই:

আসুন আমরা সমীকরণের ফলস্বরূপ রৈখিক সিস্টেমকে রূপান্তর করি।

আমরা রৈখিক সমীকরণের ফলস্বরূপ সিস্টেমটি সমাধান করি। বিশ্লেষণাত্মক আকারে আনুমানিক ফাংশনের সহগগুলি নিম্নরূপ নির্ধারণ করা হয় (ক্রেমার পদ্ধতি):

এই সহগগুলি প্রদত্ত ট্যাবুলার মান (পরীক্ষামূলক ডেটা) থেকে আনুমানিক ফাংশনের বর্গক্ষেত্রের যোগফলকে ন্যূনতম করার মানদণ্ড অনুসারে একটি রৈখিক আনুমানিক ফাংশন নির্মাণ নিশ্চিত করে।

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি বাস্তবায়নের জন্য অ্যালগরিদম

1. প্রাথমিক তথ্য:

পরিমাপ N সংখ্যা সহ পরীক্ষামূলক ডেটার একটি অ্যারে নির্দিষ্ট করা হয়েছে

আনুমানিক বহুপদী (m) এর ডিগ্রি নির্দিষ্ট করা হয়েছে

2. গণনা অ্যালগরিদম:

2.1। মাত্রা সহ সমীকরণের একটি সিস্টেম নির্মাণের জন্য সহগ নির্ধারণ করা হয়

সমীকরণ পদ্ধতির সহগ ( বাম পাশেসমীকরণ)

- সমীকরণ সিস্টেমের বর্গ ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যার সূচক

রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের মুক্ত পদ ( ডান অংশসমীকরণ)

- সমীকরণ সিস্টেমের বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সূচক

2.2। মাত্রা সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের গঠন।

2.3। ডিগ্রী m এর আনুমানিক বহুপদীর অজানা সহগ নির্ধারণের জন্য রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা।

2.4. সমস্ত নোডাল বিন্দুতে মূল মান থেকে আনুমানিক বহুপদীর বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল নির্ণয়

বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টির পাওয়া মান হল সর্বনিম্ন সম্ভাব্য।

অন্যান্য ফাংশন ব্যবহার করে অনুমান

এটি লক্ষ করা উচিত যে সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি অনুসারে উত্স ডেটা আনুমানিক করার সময়, একটি লগারিদমিক ফাংশন কখনও কখনও একটি আনুমানিক ফাংশন হিসাবে ব্যবহৃত হয়, ব্যাখ্যামূলক কাজএবং একটি পাওয়ার ফাংশন।

লগারিদমিক অনুমান

ফর্মের লগারিদমিক ফাংশন দ্বারা আনুমানিক ফাংশন দেওয়া হলে কেসটি বিবেচনা করা যাক:

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির সারমর্ম একটি প্রবণতা মডেলের প্যারামিটারগুলি খুঁজে বের করার ক্ষেত্রে যা সময় বা স্থানের মধ্যে যেকোন এলোমেলো ঘটনার বিকাশের প্রবণতাকে সর্বোত্তমভাবে বর্ণনা করে (একটি প্রবণতা একটি লাইন যা এই বিকাশের প্রবণতাকে চিহ্নিত করে)। ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির (LSM) কাজটি শুধুমাত্র কিছু প্রবণতা মডেল খোঁজার জন্য নয়, বরং সেরা বা সর্বোত্তম মডেল খোঁজার জন্য নেমে আসে। এই মডেলটি সর্বোত্তম হবে যদি পর্যবেক্ষিত প্রকৃত মান এবং সংশ্লিষ্ট গণনাকৃত প্রবণতার মানগুলির মধ্যে বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল ন্যূনতম (সবচেয়ে ছোট):

কোথায় - আদর্শ চ্যুতিপর্যবেক্ষিত প্রকৃত মান মধ্যে

এবং সংশ্লিষ্ট গণনাকৃত প্রবণতা মান,

অধ্যয়ন করা ঘটনার প্রকৃত (পর্যবেক্ষিত) মান,

ট্রেন্ড মডেলের গণনা করা মান,

অধ্যয়ন করা হচ্ছে ঘটনার পর্যবেক্ষণ সংখ্যা.

MNC নিজে থেকে খুব কমই ব্যবহৃত হয়। একটি নিয়ম হিসাবে, প্রায়শই এটি পারস্পরিক সম্পর্ক গবেষণায় শুধুমাত্র একটি প্রয়োজনীয় প্রযুক্তিগত কৌশল হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এটা মনে রাখা উচিত যে একটি MNC এর তথ্যের ভিত্তি শুধুমাত্র নির্ভরযোগ্য হতে পারে পরিসংখ্যান সিরিজ, এবং পর্যবেক্ষণের সংখ্যা 4 এর কম হওয়া উচিত নয়, অন্যথায় OLS মসৃণ করার পদ্ধতিগুলি সাধারণ জ্ঞান হারাতে পারে।

MNC টুলকিট নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে ফুটে ওঠে:

প্রথম পদ্ধতি। এটি দেখা যাচ্ছে যে নির্বাচিত ফ্যাক্টর-আর্গুমেন্ট পরিবর্তিত হলে ফলাফলের বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন করার কোনো প্রবণতা আছে কিনা বা অন্য কথায়, "এর মধ্যে একটি সংযোগ আছে কিনা এ " এবং " এক্স ».

দ্বিতীয় পদ্ধতি। কোন লাইনটি (ট্রাজেক্টোরি) এই প্রবণতাটিকে সর্বোত্তমভাবে বর্ণনা করতে বা চিহ্নিত করতে পারে তা নির্ধারণ করা হয়।

তৃতীয় পদ্ধতি।

উদাহরণ. ধরা যাক আমাদের কাছে গবেষণাধীন খামারের গড় সূর্যমুখী ফলন সম্পর্কে তথ্য রয়েছে (সারণী 9.1)।

টেবিল 9.1

পর্যবেক্ষণ নম্বর
উৎপাদনশীলতা, c/ha

যেহেতু আমাদের দেশে সূর্যমুখী উৎপাদনে প্রযুক্তির মাত্রা গত 10 বছরে কার্যত অপরিবর্তিত রয়েছে, এর অর্থ হল, দৃশ্যত, বিশ্লেষণের সময় ফলনের ওঠানামা আবহাওয়া এবং জলবায়ু পরিস্থিতির ওঠানামার উপর নির্ভরশীল ছিল। এটা কি সত্যিই সত্য?

প্রথম OLS পদ্ধতি। বিশ্লেষিত 10 বছরে আবহাওয়া এবং জলবায়ু পরিস্থিতির পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে সূর্যমুখী ফলনের প্রবণতার অস্তিত্ব সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করা হয়েছে।

এই উদাহরণে, "এর জন্য y "সূর্যমুখী ফলন গ্রহণ করা বাঞ্ছনীয়, এবং এর জন্য" এক্স » – বিশ্লেষিত সময়ের মধ্যে পর্যবেক্ষণ করা বছরের সংখ্যা। "এর মধ্যে কোন সম্পর্কের অস্তিত্ব সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করা এক্স " এবং " y "দুটি উপায়ে করা যেতে পারে: ম্যানুয়ালি এবং কম্পিউটার প্রোগ্রাম ব্যবহার করে। অবশ্যই, যদি পাওয়া যায় কম্পিউটার এর যন্ত্রাদিএই সমস্যা নিজেই সমাধান করে। কিন্তু MNC সরঞ্জামগুলিকে আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, "এর মধ্যে সম্পর্কের অস্তিত্ব সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করার পরামর্শ দেওয়া হয় এক্স " এবং " y » ম্যানুয়ালি, যখন শুধুমাত্র একটি কলম এবং একটি সাধারণ ক্যালকুলেটর হাতে থাকে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি প্রবণতার অস্তিত্ব সম্পর্কে অনুমানটি গতিবিদ্যার বিশ্লেষণকৃত সিরিজের গ্রাফিকাল চিত্রের অবস্থান দ্বারা চাক্ষুষভাবে পরীক্ষা করা হয় - পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্র:

আমাদের উদাহরণে পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্রটি ধীরে ধীরে ক্রমবর্ধমান লাইনের চারপাশে অবস্থিত। এটি নিজেই সূর্যমুখী ফলনের পরিবর্তনের একটি নির্দিষ্ট প্রবণতার অস্তিত্ব নির্দেশ করে। কোনো প্রবণতার উপস্থিতি সম্পর্কে কথা বলা তখনই অসম্ভব যখন পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্রটি একটি বৃত্ত, একটি বৃত্ত, একটি কঠোরভাবে উল্লম্ব বা কঠোরভাবে অনুভূমিক মেঘের মতো দেখায় বা বিশৃঙ্খলভাবে বিক্ষিপ্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত। অন্য সব ক্ষেত্রে, "এর মধ্যে সম্পর্কের অস্তিত্ব সম্পর্কে অনুমান এক্স " এবং " y ", এবং গবেষণা চালিয়ে যান।

দ্বিতীয় OLS পদ্ধতি। বিশ্লেষণের সময়কালে সূর্যমুখী ফলনের পরিবর্তনের প্রবণতা কোন লাইনটি (ট্রাজেক্টোরি) সবচেয়ে ভালোভাবে বর্ণনা করতে পারে বা চিহ্নিত করতে পারে তা নির্ধারণ করা হয়।

আপনার কম্পিউটার প্রযুক্তি থাকলে, সর্বোত্তম প্রবণতা নির্বাচন স্বয়ংক্রিয়ভাবে ঘটে। ম্যানুয়ালি প্রক্রিয়া করার সময়, পছন্দ সর্বোত্তম ফাংশনএকটি নিয়ম হিসাবে, চাক্ষুষরূপে বাহিত হয় - পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্রের অবস্থান দ্বারা। অর্থাৎ, গ্রাফের প্রকারের উপর ভিত্তি করে, অভিজ্ঞতামূলক প্রবণতা (প্রকৃত গতিপথ) এর সাথে সবচেয়ে ভালো মানানসই লাইনের সমীকরণ নির্বাচন করা হয়।

যেমনটি পরিচিত, প্রকৃতিতে কার্যকরী নির্ভরতার একটি বিশাল বৈচিত্র্য রয়েছে, তাই তাদের একটি ছোট অংশকেও দৃশ্যত বিশ্লেষণ করা অত্যন্ত কঠিন। সৌভাগ্যবশত, বাস্তব অর্থনৈতিক অনুশীলনে, বেশিরভাগ সম্পর্ককে প্যারাবোলা, বা হাইপারবোলা, বা একটি সরলরেখা দ্বারা বেশ সঠিকভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। এই বিষয়ে, সেরা ফাংশন নির্বাচন করার "ম্যানুয়াল" বিকল্পের সাথে, আপনি নিজেকে শুধুমাত্র এই তিনটি মডেলের মধ্যে সীমাবদ্ধ করতে পারেন।

		অধিবৃত্ত:

দ্বিতীয় ক্রম প্যারাবোলা: :

এটা দেখা সহজ যে আমাদের উদাহরণে, বিশ্লেষণ করা 10 বছরে সূর্যমুখী ফলনের পরিবর্তনের প্রবণতা একটি সরল রেখা দ্বারা সর্বোত্তম বৈশিষ্ট্যযুক্ত, তাই রিগ্রেশন সমীকরণটি একটি সরল রেখার সমীকরণ হবে।

তৃতীয় পদ্ধতি। পরামিতি গণনা করা হয় রিগ্রেশন সমীকরণএকটি প্রদত্ত লাইনের বৈশিষ্ট্য, বা অন্য কথায়, একটি বিশ্লেষণাত্মক সূত্র নির্ধারণ করা হয় যা বর্ণনা করে সেরা মডেলপ্রবণতা

রিগ্রেশন সমীকরণের পরামিতিগুলির মান খুঁজে বের করা, আমাদের ক্ষেত্রে প্যারামিটার এবং , হল OLS-এর মূল। এই প্রক্রিয়াটি স্বাভাবিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার জন্য নেমে আসে।

(9.2)

সমীকরণের এই পদ্ধতিটি গাউস পদ্ধতি দ্বারা বেশ সহজে সমাধান করা যেতে পারে। আসুন আমরা স্মরণ করি যে সমাধানের ফলস্বরূপ, আমাদের উদাহরণে, পরামিতিগুলির মান এবং পাওয়া যায়। সুতরাং, পাওয়া রিগ্রেশন সমীকরণের নিম্নলিখিত ফর্ম থাকবে:

এটির অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে, কারণ এটি অন্যান্য সহজগুলির দ্বারা একটি প্রদত্ত ফাংশনের আনুমানিক উপস্থাপনা করার অনুমতি দেয়। এলএসএম পর্যবেক্ষণ প্রক্রিয়াকরণে অত্যন্ত কার্যকর হতে পারে এবং এটি এলোমেলো ত্রুটিযুক্ত অন্যদের পরিমাপের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে কিছু পরিমাণ অনুমান করতে সক্রিয়ভাবে ব্যবহৃত হয়। এই নিবন্ধে, আপনি শিখবেন কিভাবে Excel এ সর্বনিম্ন স্কোয়ার গণনা বাস্তবায়ন করতে হয়।

একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে সমস্যার বিবৃতি

ধরুন X এবং Y দুটি সূচক রয়েছে। তাছাড়া, Y X এর উপর নির্ভর করে। যেহেতু OLS আমাদেরকে রিগ্রেশন বিশ্লেষণের দৃষ্টিকোণ থেকে আগ্রহী করে (এক্সেল-এ এর পদ্ধতিগুলি অন্তর্নির্মিত ফাংশনগুলি ব্যবহার করে প্রয়োগ করা হয়), আমাদের অবিলম্বে বিবেচনা করা উচিত নির্দিষ্ট সমস্যা।

সুতরাং, X হল একটি মুদি দোকানের খুচরা স্থান, যা বর্গ মিটারে পরিমাপ করা হয় এবং Y হল বার্ষিক টার্নওভার, লক্ষ লক্ষ রুবেলে পরিমাপ করা হয়৷

দোকানে এই বা সেই খুচরা জায়গা থাকলে কি টার্নওভার (Y) হবে তার একটি পূর্বাভাস দিতে হবে। স্পষ্টতই, ফাংশন Y = f (X) বাড়ছে, যেহেতু হাইপারমার্কেট স্টলের চেয়ে বেশি পণ্য বিক্রি করে।

ভবিষ্যদ্বাণীর জন্য ব্যবহৃত প্রাথমিক তথ্যের সঠিকতা সম্পর্কে কয়েকটি শব্দ

ধরা যাক আমরা n স্টোরের জন্য ডেটা ব্যবহার করে একটি টেবিল তৈরি করেছি।

অনুসারে গাণিতিক পরিসংখ্যান, ফলাফলগুলি কমবেশি সঠিক হবে যদি কমপক্ষে 5-6টি বস্তুর ডেটা পরীক্ষা করা হয়। উপরন্তু, "অসামান্য" ফলাফল ব্যবহার করা যাবে না। বিশেষ করে, একটি অভিজাত ছোট বুটিকের টার্নওভার থাকতে পারে যা "মাসমার্কেট" শ্রেণীর বড় খুচরা আউটলেটগুলির টার্নওভারের চেয়ে কয়েকগুণ বেশি।

পদ্ধতির সারমর্ম

সারণী ডেটা একটি কার্টেসিয়ান সমতলে বিন্দু M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) আকারে চিত্রিত করা যেতে পারে। এখন সমস্যার সমাধানটি একটি আনুমানিক ফাংশন y = f (x) নির্বাচনের মাধ্যমে হ্রাস করা হবে, যার একটি গ্রাফ যতটা সম্ভব M 1, M 2, .. M n বিন্দুর কাছাকাছি যাচ্ছে।

অবশ্যই, আপনি একটি উচ্চ-ডিগ্রী বহুপদী ব্যবহার করতে পারেন, তবে এই বিকল্পটি কেবল বাস্তবায়ন করা কঠিন নয়, তবে কেবল ভুলও, কারণ এটি সনাক্ত করা প্রয়োজন এমন মূল প্রবণতাকে প্রতিফলিত করবে না। সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত সমাধান হল সরল রেখা y = ax + b অনুসন্ধান করা, যা পরীক্ষামূলক ডেটার সর্বোত্তম আনুমানিক অনুমান করে, বা আরও স্পষ্টভাবে, a এবং b সহগ।

নির্ভুলতা মূল্যায়ন

যেকোন আনুমানিকতার সাথে, এর নির্ভুলতা মূল্যায়ন করা বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ। বিন্দু x i, অর্থাৎ e i = y i - f (x i) এর জন্য কার্যকরী এবং পরীক্ষামূলক মানের মধ্যে পার্থক্য (বিচ্যুতি) e i দ্বারা চিহ্নিত করা যাক।

স্পষ্টতই, আনুমানিকতার যথার্থতা মূল্যায়ন করতে, আপনি বিচ্যুতির যোগফল ব্যবহার করতে পারেন, যেমন, Y-এর উপর X-এর নির্ভরতার আনুমানিক উপস্থাপনার জন্য একটি সরল রেখা বেছে নেওয়ার সময়, আপনাকে অগ্রাধিকার দিতে হবে যার সাথে ক্ষুদ্রতম মানযোগফল এবং আমি সব বিবেচনা পয়েন্ট এ. যাইহোক, সবকিছু এত সহজ নয়, যেহেতু ইতিবাচক বিচ্যুতির পাশাপাশি নেতিবাচকগুলিও থাকবে।

সমস্যাটি বিচ্যুতি মডিউল বা তাদের স্কোয়ার ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। শেষ পদ্ধতিটি সর্বাধিক ব্যবহৃত হয়। এটি রিগ্রেশন অ্যানালাইসিস (দুটি বিল্ট-ইন ফাংশন ব্যবহার করে এক্সেলে প্রয়োগ করা) সহ অনেক ক্ষেত্রেই ব্যবহার করা হয় এবং এর কার্যকারিতা দীর্ঘকাল প্রমাণ করেছে।

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি

এক্সেল, যেমন আপনি জানেন, একটি অন্তর্নির্মিত অটোসাম ফাংশন রয়েছে যা আপনাকে নির্বাচিত পরিসরে অবস্থিত সমস্ত মানগুলির মান গণনা করতে দেয়। সুতরাং, রাশিটির মান গণনা করতে কিছুই আমাদের বাধা দেবে না (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2)।

ভিতরে গাণিতিক স্বরলিপিএটা দেখতে অনেকটা:

যেহেতু প্রাথমিকভাবে একটি সরল রেখা ব্যবহার করে আনুমানিক সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল, তাই আমাদের আছে:

এইভাবে, সেরা বর্ণনা যে লাইন খুঁজে বের করার কাজ নির্দিষ্ট নির্ভরতা X এবং Y পরিমাণ, দুটি ভেরিয়েবলের ন্যূনতম ফাংশন গণনা করতে নেমে আসে:

এটি করার জন্য, আপনাকে নতুন ভেরিয়েবল a এবং b থেকে শূন্যের সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভগুলিকে সমান করতে হবে এবং ফর্মের 2টি অজানা সহ দুটি সমীকরণ নিয়ে গঠিত একটি আদিম সিস্টেম সমাধান করতে হবে:

2 দ্বারা ভাগ এবং যোগফলের হেরফের সহ কিছু সাধারণ রূপান্তরের পরে, আমরা পাই:

এটি সমাধান করা, উদাহরণস্বরূপ, ক্র্যামার পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা নির্দিষ্ট সহগ a * এবং b * সহ একটি স্থির বিন্দু পাই। এটি সর্বনিম্ন, যেমন একটি নির্দিষ্ট এলাকার জন্য একটি দোকানের টার্নওভার কী হবে তা অনুমান করতে, সরলরেখা y = a * x + b * উপযুক্ত, যা প্রশ্নে উদাহরণের জন্য একটি রিগ্রেশন মডেল। অবশ্যই, এটি আপনাকে সঠিক ফলাফল খুঁজে পেতে অনুমতি দেবে না, তবে এটি আপনাকে স্টোর ক্রেডিটে একটি নির্দিষ্ট এলাকা কেনার অর্থ পরিশোধ করবে কিনা সে সম্পর্কে ধারণা পেতে সহায়তা করবে।

কিভাবে এক্সেলে সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র প্রয়োগ করবেন

এক্সেলের সর্বনিম্ন বর্গ ব্যবহার করে মান গণনার জন্য একটি ফাংশন রয়েছে। এটির নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে: "ট্রেন্ড" (পরিচিত Y মান; পরিচিত X মান; নতুন X মান; ধ্রুবক)। আসুন আমাদের টেবিলে Excel এ OLS গণনার সূত্রটি প্রয়োগ করি।

এটি করার জন্য, যে ঘরে এক্সেলের সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনার ফলাফল প্রদর্শিত হবে সেই ঘরে “=” চিহ্নটি প্রবেশ করান এবং “TREND” ফাংশনটি নির্বাচন করুন। খোলা উইন্ডোতে, হাইলাইট করে উপযুক্ত ক্ষেত্রগুলি পূরণ করুন:

• Y-এর জন্য পরিচিত মানগুলির পরিসর (এই ক্ষেত্রে, ট্রেড টার্নওভারের ডেটা);
• রেঞ্জ x 1 , …x n , অর্থাৎ খুচরা স্থানের আকার;
• উভয় বিখ্যাত এবং অজানা মান x, যার জন্য আপনাকে টার্নওভারের আকার খুঁজে বের করতে হবে (ওয়ার্কশীটে তাদের অবস্থান সম্পর্কে তথ্যের জন্য, নীচে দেখুন)।

উপরন্তু, সূত্রে লজিক্যাল ভেরিয়েবল "Const" রয়েছে। আপনি যদি সংশ্লিষ্ট ক্ষেত্রে 1 প্রবেশ করেন, তাহলে এর অর্থ হবে যে আপনার গণনা করা উচিত, অনুমান করে যে b = 0।

আপনি যদি একাধিক x মানের জন্য পূর্বাভাস খুঁজে বের করতে চান তবে সূত্রটি প্রবেশ করার পরে আপনার "এন্টার" টিপুন না, তবে আপনাকে কীবোর্ডে "শিফট" + "কন্ট্রোল" + "এন্টার" সমন্বয় টাইপ করতে হবে।

কিছু বৈশিষ্ট্য

রিগ্রেশন বিশ্লেষণ এমনকি ডামি পর্যন্ত অ্যাক্সেসযোগ্য হতে পারে। অজানা ভেরিয়েবলের একটি অ্যারের মান ভবিষ্যদ্বাণী করার জন্য এক্সেল সূত্র—TREND—এমনকি তারাও ব্যবহার করতে পারে যারা কখনও ন্যূনতম বর্গক্ষেত্রের কথা শোনেনি। এটির কাজের কিছু বৈশিষ্ট্য জানাই যথেষ্ট। নির্দিষ্টভাবে:

• আপনি যদি একটি সারি বা কলামে y ভেরিয়েবলের পরিচিত মানের পরিসর সাজান, তাহলে প্রতিটি সারি (কলাম) এর সাথে পরিচিত মান x একটি পৃথক পরিবর্তনশীল হিসাবে প্রোগ্রাম দ্বারা বিবেচনা করা হবে.
• যদি TREND উইন্ডো পরিচিত x সহ একটি পরিসর নির্দেশ না করে, তাহলে যদি ফাংশনটি ব্যবহার করা হয় এক্সেল প্রোগ্রামএটিকে পূর্ণসংখ্যা সমন্বিত একটি অ্যারে হিসাবে বিবেচনা করবে, যার সংখ্যা y ভেরিয়েবলের প্রদত্ত মানের সাথে পরিসরের সাথে মিলে যায়।
• "ভবিষ্যদ্বাণী করা" মানগুলির একটি অ্যারে আউটপুট করতে, প্রবণতা গণনার জন্য অভিব্যক্তিটি অবশ্যই একটি অ্যারের সূত্র হিসাবে প্রবেশ করাতে হবে।
• যদি x-এর নতুন মান নির্দিষ্ট করা না থাকে, তাহলে TREND ফাংশন তাদের পরিচিত মানগুলির সমান হিসাবে বিবেচনা করে। যদি সেগুলি নির্দিষ্ট করা না থাকে, তাহলে অ্যারে 1 একটি আর্গুমেন্ট হিসাবে নেওয়া হয়; 2; 3; 4;…, যা ইতিমধ্যে নির্দিষ্ট পরামিতি y সহ পরিসরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
• নতুন x মান সম্বলিত পরিসরে প্রদত্ত y মান ধারণকারী ব্যাপ্তির মতো একই বা একাধিক সারি বা কলাম থাকতে হবে। অন্য কথায়, এটি অবশ্যই স্বাধীন ভেরিয়েবলের সমানুপাতিক হতে হবে।
• পরিচিত x মান সহ একটি অ্যারেতে একাধিক ভেরিয়েবল থাকতে পারে। যাইহোক, যদি আমরা শুধুমাত্র একটি সম্পর্কে কথা বলি, তাহলে x এবং y এর প্রদত্ত মানের রেঞ্জগুলি সমানুপাতিক হওয়া প্রয়োজন। বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে, প্রদত্ত y মান সহ পরিসরটি একটি কলাম বা একটি সারিতে ফিট করা আবশ্যক।

PREDICTION ফাংশন

বিভিন্ন ফাংশন ব্যবহার করে বাস্তবায়িত। তাদের মধ্যে একটিকে "ভবিষ্যদ্বাণী" বলা হয়। এটি "ট্রেন্ড" এর অনুরূপ, অর্থাৎ এটি সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনার ফলাফল দেয়। যাইহোক, শুধুমাত্র একটি X এর জন্য, যার জন্য Y এর মান অজানা।

এখন আপনি ডামিগুলির জন্য এক্সেলের সূত্রগুলি জানেন যা আপনাকে একটি রৈখিক প্রবণতা অনুসারে একটি নির্দিষ্ট সূচকের ভবিষ্যতের মান ভবিষ্যদ্বাণী করতে দেয়।

উদাহরণ।

ভেরিয়েবলের মানগুলির উপর পরীক্ষামূলক ডেটা এক্সএবং এটেবিলে দেওয়া হয়।

তাদের প্রান্তিককরণের ফলে, ফাংশন প্রাপ্ত হয়

ব্যবহার সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি, একটি রৈখিক নির্ভরতা দ্বারা আনুমানিক এই তথ্য y=ax+b(পরামিটার খুঁজুন কএবং খ) দুটি লাইনের মধ্যে কোনটি ভাল (সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতির অর্থে) পরীক্ষামূলক ডেটা সারিবদ্ধ করে তা খুঁজে বের করুন। একটি অঙ্কন তৈরি করুন।

সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতির সারাংশ (LSM)।

কাজটি হল রৈখিক নির্ভরতা সহগ খুঁজে বের করা যেখানে দুটি ভেরিয়েবলের কাজ কএবং খ সবচেয়ে ছোট মান নেয়। অর্থাৎ দেওয়া হয়েছে কএবং খপাওয়া সরলরেখা থেকে পরীক্ষামূলক ডেটার বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টি হবে সবচেয়ে ছোট। এটি সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির সম্পূর্ণ বিন্দু।

এইভাবে, উদাহরণটি সমাধান করার ফলে দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে পাওয়া যায়।

সহগ খুঁজে বের করার জন্য সূত্র প্রাপ্ত করা।

দুটি অজানা সহ দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সংকলিত এবং সমাধান করা হয়। একটি ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা ভেরিয়েবল দ্বারা কএবং খ, আমরা এই ডেরিভেটিভগুলিকে শূন্যের সাথে সমান করি।

আমরা যেকোন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের ফলাফল সিস্টেম সমাধান করি (উদাহরণস্বরূপ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি দ্বারাবা ক্রেমারের পদ্ধতি) এবং সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি (LSM) ব্যবহার করে সহগ খুঁজে বের করার জন্য সূত্রগুলি পান।

দেওয়া কএবং খফাংশন সবচেয়ে ছোট মান নেয়। এই সত্যের প্রমাণ দেওয়া হয় পৃষ্ঠার শেষে পাঠ্যের নীচে.

এটি সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্রের পুরো পদ্ধতি। পরামিতি খোঁজার জন্য সূত্র কযোগফল ,,, এবং প্যারামিটার রয়েছে n- পরীক্ষামূলক ডেটার পরিমাণ। আমরা আলাদাভাবে এই পরিমাণের মান গণনা করার পরামর্শ দিই। গুণাঙ্ক খগণনার পর পাওয়া যায় ক.

মূল উদাহরণ মনে রাখার সময় এসেছে।

সমাধান।

আমাদের উদাহরণে n=5. প্রয়োজনীয় সহগগুলির সূত্রগুলিতে অন্তর্ভুক্ত পরিমাণগুলি গণনা করার সুবিধার জন্য আমরা টেবিলটি পূরণ করি।

টেবিলের চতুর্থ সারির মানগুলি প্রতিটি সংখ্যার জন্য 3য় সারির মান দ্বারা 2য় সারির মানগুলিকে গুণ করে প্রাপ্ত করা হয়। i.

টেবিলের পঞ্চম সারির মানগুলি প্রতিটি সংখ্যার জন্য 2য় সারির মানগুলিকে বর্গ করে প্রাপ্ত করা হয় i.

টেবিলের শেষ কলামের মানগুলি সারি জুড়ে মানগুলির যোগফল।

আমরা সহগ খুঁজে পেতে সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতির সূত্র ব্যবহার করি কএবং খ. আমরা টেবিলের শেষ কলাম থেকে সংশ্লিষ্ট মানগুলিকে তাদের মধ্যে প্রতিস্থাপন করি:

তাই, y = 0.165x+2.184- পছন্দসই আনুমানিক সরলরেখা।

এটা কোন লাইন খুঁজে বের করতে অবশেষ y = 0.165x+2.184বা মূল ডেটার আনুমানিক ভালো করে, অর্থাৎ, সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি অনুমান তৈরি করে।

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির ত্রুটি অনুমান।

এটি করার জন্য, আপনাকে এই লাইনগুলি থেকে মূল ডেটার বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল গণনা করতে হবে এবং , একটি ছোট মান একটি লাইনের সাথে মিলে যায় যা সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতির অর্থে মূল ডেটার আনুমানিক অনুমান করে।

যেহেতু, তারপর সোজা y = 0.165x+2.184আসল ডেটার আনুমানিক ভাল।

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র (LS) পদ্ধতির গ্রাফিক চিত্র।

গ্রাফগুলিতে সবকিছু পরিষ্কারভাবে দৃশ্যমান। লাল রেখাটি পাওয়া সরল রেখা y = 0.165x+2.184, নীল রেখা হল , গোলাপী বিন্দু মূল তথ্য.

অনুশীলনে, বিভিন্ন প্রক্রিয়ার মডেলিং করার সময় - বিশেষত, অর্থনৈতিক, শারীরিক, প্রযুক্তিগত, সামাজিক - নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলিতে তাদের পরিচিত মানগুলি থেকে ফাংশনের আনুমানিক মান গণনা করার এক বা অন্য পদ্ধতি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

এই ধরনের ফাংশন আনুমানিক সমস্যা প্রায়ই দেখা দেয়:

পরীক্ষার ফলস্বরূপ প্রাপ্ত ট্যাবুলার ডেটা ব্যবহার করে অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির বৈশিষ্ট্যযুক্ত পরিমাণের মান গণনার জন্য আনুমানিক সূত্র তৈরি করার সময়;

সংখ্যাগত একীকরণ, পার্থক্য, সমাধান ডিফারেনশিয়াল সমীকরণইত্যাদি;

যদি প্রয়োজন হয়, বিবেচিত ব্যবধানের মধ্যবর্তী পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মান গণনা করুন;

বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে একটি প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্যগত পরিমাণের মান নির্ধারণ করার সময়, বিশেষ করে পূর্বাভাস দেওয়ার সময়।

যদি, একটি টেবিল দ্বারা নির্দিষ্ট একটি নির্দিষ্ট প্রক্রিয়ার মডেল করার জন্য, আমরা একটি ফাংশন তৈরি করি যা এই প্রক্রিয়াটিকে আনুমানিকভাবে ন্যূনতম বর্গ পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে বর্ণনা করে, এটিকে একটি আনুমানিক ফাংশন (রিগ্রেশন) বলা হবে এবং আনুমানিক ফাংশনগুলি নিজেই তৈরি করার কাজ বলা হবে একটি আনুমানিক সমস্যা।

এই নিবন্ধটি এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য এমএস এক্সেল প্যাকেজের ক্ষমতা নিয়ে আলোচনা করে, উপরন্তু, এটি ট্যাবুলেড ফাংশনগুলির জন্য রিগ্রেশন তৈরি (তৈরি করার) জন্য পদ্ধতি এবং কৌশল সরবরাহ করে (যা রিগ্রেশন বিশ্লেষণের ভিত্তি)।

এক্সেলের রিগ্রেশন তৈরির জন্য দুটি বিকল্প রয়েছে।

নির্বাচিত রিগ্রেশন যোগ করা হচ্ছে ( ট্রেন্ড লাইন- ট্রেন্ডলাইন) অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়া বৈশিষ্ট্যের জন্য একটি ডেটা টেবিলের ভিত্তিতে নির্মিত একটি ডায়াগ্রামে (শুধুমাত্র একটি নির্মিত চিত্র থাকলে উপলব্ধ);

এক্সেল ওয়ার্কশীটের অন্তর্নির্মিত পরিসংখ্যানগত ফাংশনগুলি ব্যবহার করে, আপনাকে উত্স ডেটা টেবিল থেকে সরাসরি রিগ্রেশন (ট্রেন্ড লাইন) পেতে অনুমতি দেয়।

একটি চার্টে ট্রেন্ড লাইন যোগ করা হচ্ছে

ডেটা টেবিলের জন্য যা একটি প্রক্রিয়া বর্ণনা করে এবং একটি ডায়াগ্রাম দ্বারা উপস্থাপিত হয়, এক্সেলের একটি কার্যকর রিগ্রেশন বিশ্লেষণ টুল রয়েছে যা আপনাকে করতে দেয়:

সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতির ভিত্তিতে তৈরি করুন এবং ডায়াগ্রামে পাঁচ ধরনের রিগ্রেশন যোগ করুন, যা বিভিন্ন মাত্রার নির্ভুলতার সাথে অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটিকে মডেল করে;

চিত্রে নির্মিত রিগ্রেশন সমীকরণ যোগ করুন;

চার্টে প্রদর্শিত ডেটাতে নির্বাচিত রিগ্রেশনের চিঠিপত্রের ডিগ্রি নির্ধারণ করুন।

চার্ট ডেটার উপর ভিত্তি করে, এক্সেল আপনাকে রৈখিক, বহুপদী, লগারিদমিক, শক্তি, সূচকীয় ধরণের রিগ্রেশন পেতে দেয়, যা সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়:

y = y(x)

যেখানে x একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল যা প্রায়শই প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি ক্রম (1; 2; 3; ...) এর মান নেয় এবং উৎপন্ন করে, উদাহরণস্বরূপ, অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির সময়ের গণনা (বৈশিষ্ট্য)।

1 . রৈখিক রিগ্রেশন মডেলিং বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য ভাল যার মানগুলি ধ্রুবক হারে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়। অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির জন্য এটি তৈরি করা সহজতম মডেল। এটি সমীকরণ অনুযায়ী নির্মিত হয়:

y = mx + b

যেখানে m হল প্রবণতার কোণের স্পর্শক লিনিয়ার রিগ্রেশনঅবসিসা অক্ষে; b - অর্ডিনেট অক্ষের সাথে রৈখিক রিগ্রেশনের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

2 . একটি বহুপদী প্রবণতা লাইন এমন বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করার জন্য উপযোগী যেগুলির বেশ কয়েকটি স্বতন্ত্র চরম (ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা) রয়েছে। বহুপদী ডিগ্রির পছন্দ অধ্যয়নের অধীনে বৈশিষ্ট্যের চরম সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়। সুতরাং, একটি দ্বিতীয়-ডিগ্রি বহুপদী এমন একটি প্রক্রিয়াকে ভালভাবে বর্ণনা করতে পারে যার শুধুমাত্র একটি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন আছে; তৃতীয় ডিগ্রির বহুপদী - দুইটির বেশি নয়; চতুর্থ ডিগ্রির বহুপদী - তিনটির বেশি নয়, ইত্যাদি।

এই ক্ষেত্রে, ট্রেন্ড লাইনটি সমীকরণ অনুসারে তৈরি করা হয়েছে:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

যেখানে সহগ c0, c1, c2,... c6 হল ধ্রুবক যার মান নির্মাণের সময় নির্ধারিত হয়।

3 . লগারিদমিক ট্রেন্ড লাইনটি সফলভাবে ব্যবহৃত হয় যখন মডেলিং বৈশিষ্ট্যগুলির মান প্রাথমিকভাবে দ্রুত পরিবর্তিত হয় এবং তারপর ধীরে ধীরে স্থিতিশীল হয়।

y = c ln(x) + b

4 . একটি পাওয়ার-আইন ট্রেন্ড লাইন ভাল ফলাফল দেয় যদি অধ্যয়নের অধীনে সম্পর্কের মানগুলি বৃদ্ধির হারে একটি ধ্রুবক পরিবর্তন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই ধরনের নির্ভরতার একটি উদাহরণ হল একটি গাড়ির অভিন্ন ত্বরিত গতির গ্রাফ। ডেটাতে শূন্য বা নেতিবাচক মান থাকলে, আপনি পাওয়ার ট্রেন্ড লাইন ব্যবহার করতে পারবেন না।

সমীকরণ অনুযায়ী নির্মিত:

y = c xb

যেখানে সহগ b, c ধ্রুবক।

5 . ডেটা পরিবর্তনের হার ক্রমাগত বৃদ্ধি পেলে একটি সূচকীয় প্রবণতা লাইন ব্যবহার করা উচিত। শূন্য বা ঋণাত্মক মান ধারণকারী ডেটার জন্য, এই ধরনের আনুমানিকতাও প্রযোজ্য নয়।

সমীকরণ অনুযায়ী নির্মিত:

y = c ebx

যেখানে সহগ b, c ধ্রুবক।

একটি ট্রেন্ড লাইন নির্বাচন করার সময়, এক্সেল স্বয়ংক্রিয়ভাবে R2-এর মান গণনা করে, যা আনুমানিকতার নির্ভরযোগ্যতা চিহ্নিত করে: তুলনায় কাছাকাছি মানএকতা থেকে R2, আরো নির্ভরযোগ্যভাবে প্রবণতা লাইন অধ্যয়ন অধীনে প্রক্রিয়া আনুমানিক. প্রয়োজন হলে, R2 মান সর্বদা চার্টে প্রদর্শিত হতে পারে।

সূত্র দ্বারা নির্ধারিত:

একটি ডেটা সিরিজে একটি ট্রেন্ড লাইন যোগ করতে:

ডেটার একটি সিরিজের উপর ভিত্তি করে একটি চার্ট সক্রিয় করুন, যেমন চার্ট এলাকার মধ্যে ক্লিক করুন। ডায়াগ্রাম আইটেমটি প্রধান মেনুতে উপস্থিত হবে;

এই আইটেমটিতে ক্লিক করার পরে, স্ক্রিনে একটি মেনু প্রদর্শিত হবে যেখানে আপনার অ্যাড ট্রেন্ড লাইন কমান্ড নির্বাচন করা উচিত।

একই ক্রিয়াগুলি ডেটা সিরিজের একটির সাথে সম্পর্কিত গ্রাফের উপর মাউস পয়েন্টার সরিয়ে এবং ডান-ক্লিক করে সহজেই প্রয়োগ করা যেতে পারে; প্রদর্শিত প্রসঙ্গ মেনুতে, অ্যাড ট্রেন্ড লাইন কমান্ড নির্বাচন করুন। টাইপ ট্যাব খোলার সাথে স্ক্রিনে ট্রেন্ডলাইন ডায়ালগ বক্স প্রদর্শিত হবে (চিত্র 1)।

এর পরে আপনার প্রয়োজন:

টাইপ ট্যাবে প্রয়োজনীয় ট্রেন্ড লাইন টাইপ নির্বাচন করুন (লিনিয়ার টাইপ ডিফল্টরূপে নির্বাচিত হয়)। বহুপদী প্রকারের জন্য, ডিগ্রি ক্ষেত্রে, নির্বাচিত বহুপদীর ডিগ্রি নির্দিষ্ট করুন।

1 . বিল্ট অন সিরিজ ফিল্ড প্রশ্নে থাকা চার্টে সমস্ত ডেটা সিরিজ তালিকাভুক্ত করে। একটি নির্দিষ্ট ডেটা সিরিজে একটি ট্রেন্ড লাইন যোগ করতে, বিল্ট অন সিরিজ ক্ষেত্রের নাম নির্বাচন করুন।

প্রয়োজনে, প্যারামিটার ট্যাবে গিয়ে (চিত্র 2), আপনি ট্রেন্ড লাইনের জন্য নিম্নলিখিত পরামিতিগুলি সেট করতে পারেন:

আনুমানিক (মসৃণ) বক্ররেখা ক্ষেত্রের নামে ট্রেন্ড লাইনের নাম পরিবর্তন করুন।

পূর্বাভাসের ক্ষেত্রে পূর্বাভাসের জন্য পিরিয়ডের সংখ্যা (সামনে বা পিছনে) সেট করুন;

ডায়াগ্রাম এলাকায় ট্রেন্ড লাইনের সমীকরণ প্রদর্শন করুন, যার জন্য আপনাকে ডায়াগ্রাম চেকবক্সে প্রদর্শন সমীকরণ সক্ষম করতে হবে;

ডায়াগ্রাম এলাকায় আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতা মান R2 প্রদর্শন করুন, যার জন্য আপনাকে ডায়াগ্রামে আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতার মান রাখুন (R^2) চেকবক্স সক্ষম করতে হবে;

Y অক্ষের সাথে ট্রেন্ড লাইনের ছেদ বিন্দু সেট করুন, যার জন্য আপনার একটি বিন্দুতে Y অক্ষের সাথে বক্ররেখার ছেদ করার জন্য চেকবক্স সক্রিয় করা উচিত;

ডায়ালগ বক্স বন্ধ করতে OK বোতামে ক্লিক করুন।

ইতিমধ্যে আঁকা একটি ট্রেন্ড লাইন সম্পাদনা শুরু করার জন্য, তিনটি উপায় আছে:

ফরম্যাট মেনু থেকে নির্বাচিত প্রবণতা লাইন কমান্ডটি ব্যবহার করুন, পূর্বে প্রবণতা লাইন নির্বাচন করে;

প্রসঙ্গ মেনু থেকে ফরম্যাট ট্রেন্ড লাইন কমান্ড নির্বাচন করুন, যা ট্রেন্ড লাইনে ডান-ক্লিক করে কল করা হয়;

ট্রেন্ড লাইনে ডাবল ক্লিক করুন।

ট্রেন্ড লাইন ফরম্যাট ডায়ালগ বক্সটি স্ক্রিনে প্রদর্শিত হবে (চিত্র 3), যাতে তিনটি ট্যাব রয়েছে: ভিউ, টাইপ, প্যারামিটার এবং শেষ দুটির বিষয়বস্তু সম্পূর্ণভাবে ট্রেন্ড লাইন ডায়ালগ বক্সের অনুরূপ ট্যাবের সাথে মিলে যায় (চিত্র 1) -2)। ভিউ ট্যাবে, আপনি লাইনের ধরন, এর রঙ এবং বেধ সেট করতে পারেন।

ইতিমধ্যে আঁকা হয়েছে এমন একটি ট্রেন্ড লাইন মুছতে, মুছে ফেলার জন্য ট্রেন্ড লাইন নির্বাচন করুন এবং ডিলিট কী টিপুন।

বিবেচিত রিগ্রেশন বিশ্লেষণ টুলের সুবিধা হল:

এটির জন্য একটি ডেটা টেবিল তৈরি না করে চার্টে একটি ট্রেন্ড লাইন তৈরি করার আপেক্ষিক সহজতা;

প্রস্তাবিত প্রবণতা লাইনের প্রকারের একটি মোটামুটি বিস্তৃত তালিকা, এবং এই তালিকায় সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত রিগ্রেশনের ধরন রয়েছে;

একটি নির্বিচারে (সাধারণ জ্ঞানের সীমার মধ্যে) এগিয়ে এবং পিছিয়ে যাওয়ার সংখ্যা দ্বারা অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির আচরণের পূর্বাভাস দেওয়ার ক্ষমতা;

বিশ্লেষণাত্মক আকারে ট্রেন্ড লাইন সমীকরণ প্রাপ্ত করার ক্ষমতা;

সম্ভাবনা, প্রয়োজন হলে, আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতার একটি মূল্যায়ন প্রাপ্তির।

অসুবিধাগুলির মধ্যে নিম্নলিখিতগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:

একটি ট্রেন্ড লাইনের নির্মাণ শুধুমাত্র তখনই সম্পন্ন করা হয় যখন ডেটার একটি সিরিজের উপর নির্মিত একটি ডায়াগ্রাম থাকে;

এটির জন্য প্রাপ্ত প্রবণতা লাইন সমীকরণের উপর ভিত্তি করে অধ্যয়নের অধীনে বৈশিষ্ট্যের জন্য ডেটা সিরিজ তৈরি করার প্রক্রিয়াটি কিছুটা বিশৃঙ্খল: প্রয়োজনীয় রিগ্রেশন সমীকরণগুলি মূল ডেটা সিরিজের মানগুলির প্রতিটি পরিবর্তনের সাথে আপডেট করা হয়, তবে শুধুমাত্র ডায়াগ্রাম এলাকার মধ্যে , যখন ডেটা সিরিজ, পুরানো ট্রেন্ড লাইন সমীকরণের উপর ভিত্তি করে তৈরি, অপরিবর্তিত থাকে;

PivotChart রিপোর্টগুলিতে, একটি চার্ট বা সংশ্লিষ্ট PivotTable রিপোর্টের দৃশ্য পরিবর্তন করা বিদ্যমান ট্রেন্ডলাইনগুলিকে সংরক্ষণ করে না, যার অর্থ হল আপনি ট্রেন্ডলাইন আঁকার আগে বা অন্যথায় একটি PivotChart রিপোর্ট ফর্ম্যাট করার আগে, আপনাকে নিশ্চিত করতে হবে যে রিপোর্ট লেআউট প্রয়োজনীয় প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে৷

গ্রাফ, হিস্টোগ্রাম, ফ্ল্যাট অ-প্রমিত এলাকা চার্ট, বার চার্ট, স্ক্যাটার চার্ট, বাবল চার্ট এবং স্টক চার্টের মতো চার্টে উপস্থাপিত ডেটা সিরিজের পরিপূরক করতে ট্রেন্ড লাইন ব্যবহার করা যেতে পারে।

আপনি 3D, নরমালাইজড, রাডার, পাই এবং ডোনাট চার্টে ডেটা সিরিজে ট্রেন্ড লাইন যোগ করতে পারবেন না।

এক্সেলের অন্তর্নির্মিত ফাংশন ব্যবহার করে

চার্ট এলাকার বাইরে ট্রেন্ড লাইন প্লট করার জন্য এক্সেলের একটি রিগ্রেশন বিশ্লেষণ টুলও রয়েছে। আপনি এই উদ্দেশ্যে ব্যবহার করতে পারেন এমন বেশ কয়েকটি পরিসংখ্যানগত ওয়ার্কশীট ফাংশন রয়েছে, তবে সেগুলি সবগুলিই আপনাকে রৈখিক বা সূচকীয় রিগ্রেশন তৈরি করতে দেয়।

রৈখিক রিগ্রেশন নির্মাণের জন্য এক্সেলের বেশ কয়েকটি ফাংশন রয়েছে, বিশেষ করে:

ট্রেন্ড;

• ঢাল এবং কাটা.

পাশাপাশি একটি সূচকীয় প্রবণতা লাইন নির্মাণের জন্য বেশ কয়েকটি ফাংশন, বিশেষ করে:

এলজিআরএফপিআরবিএল।

এটি লক্ষ করা উচিত যে TREND এবং GROWTH ফাংশন ব্যবহার করে রিগ্রেশন নির্মাণের কৌশলগুলি প্রায় একই। LINEST এবং LGRFPRIBL ফাংশন জোড়া সম্পর্কে একই কথা বলা যেতে পারে। এই চারটি ফাংশনের জন্য, মানগুলির একটি সারণী তৈরি করতে এক্সেল বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে যেমন অ্যারে সূত্রগুলি, যা কিছুটা বিশৃঙ্খলভাবে রিগ্রেশন তৈরির প্রক্রিয়াটিকে বিশৃঙ্খল করে। আরও মনে রাখবেন যে রৈখিক রিগ্রেশনের নির্মাণ, আমাদের মতে, স্লোপ এবং ইন্টারসেপ্ট ফাংশন ব্যবহার করে সবচেয়ে সহজে সম্পন্ন করা হয়, যেখানে তাদের মধ্যে প্রথমটি রৈখিক রিগ্রেশনের ঢাল নির্ধারণ করে এবং দ্বিতীয়টি y-তে রিগ্রেশন দ্বারা বাধাপ্রাপ্ত সেগমেন্ট নির্ধারণ করে। -অক্ষ

রিগ্রেশন বিশ্লেষণের জন্য বিল্ট-ইন ফাংশন টুলের সুবিধা হল:

প্রবণতা লাইন সংজ্ঞায়িত সমস্ত অন্তর্নির্মিত পরিসংখ্যানগত ফাংশনগুলির জন্য অধ্যয়নের অধীনে বৈশিষ্ট্যের ডেটা সিরিজ তৈরি করার একটি মোটামুটি সহজ, অভিন্ন প্রক্রিয়া;

উত্পন্ন ডেটা সিরিজের উপর ভিত্তি করে ট্রেন্ড লাইন নির্মাণের জন্য আদর্শ পদ্ধতি;

প্রয়োজনীয় সংখ্যক ধাপ এগিয়ে বা পিছনের দিকে অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির আচরণের পূর্বাভাস দেওয়ার ক্ষমতা।

অসুবিধাগুলির মধ্যে রয়েছে যে এক্সেলের অন্যান্য (রৈখিক এবং সূচকীয় ব্যতীত) ধরণের ট্রেন্ড লাইন তৈরি করার জন্য বিল্ট-ইন ফাংশন নেই। এই পরিস্থিতিতে প্রায়শই অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির একটি পর্যাপ্ত সঠিক মডেল বেছে নেওয়ার পাশাপাশি বাস্তবতার কাছাকাছি পূর্বাভাস পাওয়ার অনুমতি দেয় না। উপরন্তু, ট্রেন্ড এবং গ্রোথ ফাংশন ব্যবহার করার সময়, ট্রেন্ড লাইনের সমীকরণ জানা যায় না।

এটি লক্ষ করা উচিত যে লেখকরা সম্পূর্ণতার সাথে রিগ্রেশন বিশ্লেষণের কোর্সটি উপস্থাপন করার জন্য সেট করেননি। আনুমানিক সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এক্সেল প্যাকেজের ক্ষমতাগুলি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে দেখানোই এর প্রধান কাজ; এক্সেলের রিগ্রেশন এবং পূর্বাভাস তৈরির জন্য কী কার্যকর সরঞ্জাম রয়েছে তা প্রদর্শন করুন; রিগ্রেশন বিশ্লেষণের ব্যাপক জ্ঞান নেই এমন ব্যবহারকারীর দ্বারাও কীভাবে এই ধরনের সমস্যাগুলি তুলনামূলকভাবে সহজে সমাধান করা যেতে পারে তা ব্যাখ্যা করুন।

নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

আসুন তালিকাভুক্ত এক্সেল সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট সমস্যাগুলি সমাধান করা যাক।

সমস্যা 1

1995-2002 এর জন্য একটি মোটর ট্রান্সপোর্ট এন্টারপ্রাইজের লাভের ডেটা টেবিল সহ। আপনাকে নিম্নলিখিতগুলি করতে হবে:

একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করুন।

চার্টে রৈখিক এবং বহুপদী (চতুর্মুখী এবং ঘন) প্রবণতা লাইন যোগ করুন।

ট্রেন্ড লাইন সমীকরণ ব্যবহার করে, 1995-2004 এর জন্য প্রতিটি ট্রেন্ড লাইনের জন্য এন্টারপ্রাইজ লাভের সারণী ডেটা পান।

2003 এবং 2004 এর জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের জন্য একটি পূর্বাভাস তৈরি করুন।

সমস্যার সমাধান

এক্সেল ওয়ার্কশীটের A4:C11 কক্ষের পরিসরে, চিত্রে দেখানো ওয়ার্কশীটটি প্রবেশ করান। 4.

B4:C11 কোষের পরিসর নির্বাচন করার পরে, আমরা একটি চিত্র তৈরি করি।

আমরা নির্মিত চিত্রটি সক্রিয় করি এবং উপরে বর্ণিত পদ্ধতি অনুসারে, ট্রেন্ড লাইন ডায়ালগ বক্সে ট্রেন্ড লাইনের ধরন নির্বাচন করার পরে (চিত্র 1 দেখুন), আমরা পর্যায়ক্রমে ডায়াগ্রামে রৈখিক, চতুর্মুখী এবং ঘন প্রবণতা লাইন যোগ করি। একই ডায়ালগ বক্সে, প্যারামিটার ট্যাবটি খুলুন (চিত্র 2 দেখুন), আনুমানিক (মসৃণ) বক্ররেখা ক্ষেত্রের নামে, যুক্ত হওয়া প্রবণতার নাম লিখুন এবং পূর্বাভাস ফরোয়ার্ড এর জন্য: পিরিয়ড ক্ষেত্র, সেট করুন মান 2, যেহেতু এটি দুই বছরের জন্য একটি মুনাফা পূর্বাভাস করার পরিকল্পনা করা হয়েছে। ডায়াগ্রাম এলাকায় রিগ্রেশন সমীকরণ এবং আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতা মান R2 প্রদর্শন করতে, স্ক্রীনের চেকবক্সগুলিতে প্রদর্শন সমীকরণ সক্ষম করুন এবং ডায়াগ্রামে আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতা মান (R^2) রাখুন। ভালো চাক্ষুষ উপলব্ধির জন্য, আমরা নির্মিত ট্রেন্ড লাইনের ধরন, রঙ এবং বেধ পরিবর্তন করি, যার জন্য আমরা ট্রেন্ড লাইন ফরম্যাট ডায়ালগ বক্সের ভিউ ট্যাবটি ব্যবহার করি (চিত্র 3 দেখুন)। যুক্ত প্রবণতা লাইন সহ ফলাফল চিত্রটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.

1995-2004 এর জন্য প্রতিটি ট্রেন্ড লাইনের জন্য এন্টারপ্রাইজ লাভের উপর সারণী ডেটা প্রাপ্ত করা। চলুন চিত্রে উপস্থাপিত ট্রেন্ড লাইন সমীকরণ ব্যবহার করা যাক। 5. এটি করার জন্য, D3:F3 পরিসরের ঘরে, নির্বাচিত প্রবণতা লাইনের ধরন সম্পর্কে পাঠ্য তথ্য লিখুন: রৈখিক প্রবণতা, চতুর্মুখী প্রবণতা, ঘন প্রবণতা। এরপর, ঘর D4-এ লিনিয়ার রিগ্রেশন সূত্র লিখুন এবং, ফিল মার্কার ব্যবহার করে, সেল রেঞ্জ D5:D13-এর আপেক্ষিক রেফারেন্স সহ এই সূত্রটি অনুলিপি করুন। এটি লক্ষ করা উচিত যে D4:D13 কোষের পরিসর থেকে একটি রৈখিক রিগ্রেশন সূত্র সহ প্রতিটি কক্ষের একটি যুক্তি হিসাবে রয়েছে A4:A13 পরিসর থেকে একটি সংশ্লিষ্ট ঘর। একইভাবে, চতুর্মুখী রিগ্রেশনের জন্য, কোষের পরিসরটি পূরণ করুন E4:E13, এবং কিউবিক রিগ্রেশনের জন্য, কোষের পরিসরটি পূরণ করুন F4:F13। এইভাবে, 2003 এবং 2004 এর জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের জন্য একটি পূর্বাভাস সংকলিত হয়েছে। তিনটি প্রবণতা ব্যবহার করে। ফলাফলের সারণীটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 6.

সমস্যা 2

একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করুন।

চার্টে লগারিদমিক, শক্তি এবং সূচকীয় প্রবণতা লাইন যোগ করুন।

প্রাপ্ত প্রবণতা রেখাগুলির সমীকরণগুলি, সেইসাথে তাদের প্রত্যেকের জন্য আনুমানিক R2 এর নির্ভরযোগ্যতার মানগুলি বের করুন৷

ট্রেন্ড লাইন সমীকরণ ব্যবহার করে, 1995-2002-এর জন্য প্রতিটি ট্রেন্ড লাইনের জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের সারণী ডেটা পান।

এই ট্রেন্ড লাইনগুলি ব্যবহার করে 2003 এবং 2004 এর জন্য কোম্পানির লাভের একটি পূর্বাভাস তৈরি করুন।

সমস্যার সমাধান

সমস্যা 1 সমাধানে প্রদত্ত পদ্ধতি অনুসরণ করে, আমরা লগারিদমিক, শক্তি এবং সূচকীয় প্রবণতা লাইন যুক্ত একটি চিত্র পাই (চিত্র 7)। এরপরে, প্রাপ্ত ট্রেন্ড লাইন সমীকরণগুলি ব্যবহার করে, আমরা 2003 এবং 2004 এর পূর্বাভাসিত মান সহ এন্টারপ্রাইজের লাভের জন্য মানগুলির একটি সারণী পূরণ করি। (চিত্র 8)।

চিত্রে। 5 এবং ডুমুর। এটি দেখা যায় যে লগারিদমিক প্রবণতা সহ মডেলটি আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতার সর্বনিম্ন মানের সাথে মিলে যায়

R2 = 0.8659

R2-এর সর্বোচ্চ মানগুলি বহুপদী প্রবণতা সহ মডেলগুলির সাথে মিলে যায়: দ্বিঘাত (R2 = 0.9263) এবং ঘনক (R2 = 0.933)।

সমস্যা 3

টাস্ক 1 এ দেওয়া 1995-2002 এর জন্য একটি মোটর ট্রান্সপোর্ট এন্টারপ্রাইজের লাভের ডেটা টেবিলের সাথে, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করতে হবে।

TREND এবং GROW ফাংশন ব্যবহার করে রৈখিক এবং সূচকীয় ট্রেন্ড লাইনের জন্য ডেটা সিরিজ প্রাপ্ত করুন।

TREND এবং GROWTH ফাংশন ব্যবহার করে, 2003 এবং 2004 এর জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের একটি পূর্বাভাস তৈরি করুন।

মূল ডেটা এবং ফলস্বরূপ ডেটা সিরিজের জন্য একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করুন।

সমস্যার সমাধান

আসুন সমস্যা 1 এর জন্য ওয়ার্কশীট ব্যবহার করি (চিত্র 4 দেখুন)। TREND ফাংশন দিয়ে শুরু করা যাক:

D4:D11 ঘরের পরিসর নির্বাচন করুন, যা এন্টারপ্রাইজের লাভের পরিচিত ডেটার সাথে সম্পর্কিত TREND ফাংশনের মান দিয়ে পূর্ণ হওয়া উচিত;

সন্নিবেশ মেনু থেকে ফাংশন কমান্ডটি কল করুন। প্রদর্শিত ফাংশন উইজার্ড ডায়ালগ বক্সে, পরিসংখ্যান বিভাগ থেকে TREND ফাংশন নির্বাচন করুন, এবং তারপর ওকে বোতামে ক্লিক করুন। স্ট্যান্ডার্ড টুলবারে (ইনসার্ট ফাংশন) বোতামে ক্লিক করে একই অপারেশন করা যেতে পারে।

প্রদর্শিত ফাংশন আর্গুমেন্ট ডায়ালগ বক্সে, পরিচিত_মান_ই ক্ষেত্রে C4:C11 কক্ষের পরিসর লিখুন; Known_values_x ক্ষেত্রে - B4:B11 কোষের পরিসর;

প্রবেশ করা সূত্রটিকে একটি অ্যারে সূত্রে পরিণত করতে, কী সমন্বয় + + ব্যবহার করুন।

সূত্র বারে আমরা যে সূত্রটি প্রবেশ করিয়েছি তা দেখতে এরকম হবে: =(TREND(C4:C11,B4:B11))।

ফলস্বরূপ, কোষের পরিসর D4:D11 TREND ফাংশনের সংশ্লিষ্ট মান দিয়ে পূর্ণ হয় (চিত্র 9)।

2003 এবং 2004 এর জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের পূর্বাভাস দিতে। প্রয়োজনীয়:

D12:D13 ঘরের পরিসর নির্বাচন করুন যেখানে TREND ফাংশন দ্বারা পূর্বাভাসিত মানগুলি প্রবেশ করা হবে৷

TREND ফাংশন কল করুন এবং প্রদর্শিত ফাংশন আর্গুমেন্ট ডায়ালগ বক্সে, Known_values_y ক্ষেত্রে লিখুন - C4:C11 কোষের পরিসর; Known_values_x ক্ষেত্রে - B4:B11 কোষের পরিসর; এবং New_values_x ক্ষেত্রে - B12:B13 কোষের পরিসর।

Ctrl + Shift + Enter কী সমন্বয় ব্যবহার করে এই সূত্রটিকে একটি অ্যারে সূত্রে পরিণত করুন।

প্রবেশ করা সূত্রটি এরকম দেখাবে: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), এবং কোষের পরিসর D12:D13 TREND ফাংশনের পূর্বাভাসিত মান দিয়ে পূর্ণ হবে (চিত্র দেখুন। 9)।

ডেটা সিরিজ একইভাবে GROWTH ফাংশন ব্যবহার করে ভরা হয়, যা অরৈখিক নির্ভরতার বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয় এবং এটির লিনিয়ার কাউন্টারপার্ট TREND-এর মতো ঠিক একইভাবে কাজ করে।

চিত্র 10 সূত্র প্রদর্শন মোডে টেবিল দেখায়.

প্রাথমিক তথ্য এবং প্রাপ্ত ডেটা সিরিজের জন্য, চিত্রটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। এগারো

সমস্যা 4

বর্তমান মাসের 1 থেকে 11 তারিখের মধ্যে একটি মোটর ট্রান্সপোর্ট এন্টারপ্রাইজের প্রেরণ পরিষেবা দ্বারা পরিষেবাগুলির জন্য আবেদন প্রাপ্তির ডেটা টেবিলের সাথে, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করতে হবে।

রৈখিক রিগ্রেশনের জন্য ডেটা সিরিজ পান: SLOPE এবং INTERCEPT ফাংশন ব্যবহার করে; LINEST ফাংশন ব্যবহার করে।

LGRFPRIBL ফাংশন ব্যবহার করে সূচকীয় রিগ্রেশনের জন্য ডেটার একটি সিরিজ প্রাপ্ত করুন।

উপরের ফাংশনগুলি ব্যবহার করে, চলতি মাসের 12 তারিখ থেকে 14 তারিখ পর্যন্ত সময়কালের জন্য প্রেরণ পরিষেবাতে আবেদন প্রাপ্তির বিষয়ে একটি পূর্বাভাস তৈরি করুন৷

আসল এবং প্রাপ্ত ডেটা সিরিজের জন্য একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করুন।

সমস্যার সমাধান

মনে রাখবেন, TREND এবং GROWTH ফাংশনগুলির বিপরীতে, উপরে তালিকাভুক্ত কোন ফাংশন (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) রিগ্রেশন নয়৷ এই ফাংশনগুলি শুধুমাত্র একটি সহায়ক ভূমিকা পালন করে, প্রয়োজনীয় রিগ্রেশন প্যারামিটারগুলি নির্ধারণ করে।

SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB ফাংশন ব্যবহার করে নির্মিত রৈখিক এবং সূচকীয় রিগ্রেশনের জন্য, তাদের সমীকরণের উপস্থিতি সর্বদা পরিচিত হয়, TREND এবং GROWTH ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত রৈখিক এবং সূচকীয় রিগ্রেশনের বিপরীতে।

1 . আসুন সমীকরণের সাথে একটি লিনিয়ার রিগ্রেশন তৈরি করি:

y = mx+b

SLOPE এবং INTERCEPT ফাংশন ব্যবহার করে, SLOPE ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত রিগ্রেশন স্লোপ m সহ, এবং INTERCEPT ফাংশন দ্বারা মুক্ত শব্দ b।

এটি করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করি:

সেল রেঞ্জ A4:B14-এ মূল টেবিলটি প্রবেশ করান;

প্যারামিটার m এর মান C19 কক্ষে নির্ধারিত হবে। পরিসংখ্যান বিভাগ থেকে ঢাল ফাংশন নির্বাচন করুন; পরিচিত_মান_ই ক্ষেত্রে B4:B14 কক্ষের পরিসর এবং পরিচিত_মান_x ক্ষেত্রে A4:A14 কক্ষের পরিসর লিখুন। সূত্রটি C19 ঘরে প্রবেশ করা হবে: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);

একটি অনুরূপ কৌশল ব্যবহার করে, সেল D19-এ পরামিতি b-এর মান নির্ধারণ করা হয়। এবং এর বিষয়বস্তু দেখতে এরকম হবে: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14)। এইভাবে, একটি রৈখিক রিগ্রেশন নির্মাণের জন্য প্রয়োজনীয় প্যারামিটারগুলির মানগুলি যথাক্রমে C19, D19 কোষগুলিতে সংরক্ষণ করা হবে;

এরপরে, C4 কক্ষে রৈখিক রিগ্রেশন সূত্রটি ফর্মটিতে লিখুন: =$C*A4+$D। এই সূত্রে, সেল C19 এবং D19 পরম রেফারেন্স সহ লিখিত হয় (সম্ভাব্য অনুলিপি করার সময় ঘরের ঠিকানা পরিবর্তন করা উচিত নয়)। পরম রেফারেন্স চিহ্ন $ কিবোর্ড থেকে বা F4 কী ব্যবহার করে টাইপ করা যেতে পারে, সেল অ্যাড্রেসে কার্সার রাখার পরে। ফিল হ্যান্ডেল ব্যবহার করে, C4:C17 কোষের পরিসরে এই সূত্রটি অনুলিপি করুন। আমরা প্রয়োজনীয় তথ্য সিরিজ (চিত্র 12) প্রাপ্ত. অনুরোধের সংখ্যা একটি পূর্ণসংখ্যা হওয়ার কারণে, সেল ফরম্যাট উইন্ডোর নম্বর ট্যাবে আপনার দশমিক স্থানের সংখ্যা সহ সংখ্যা বিন্যাসটি 0 এ সেট করা উচিত।

2 . এখন সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি লিনিয়ার রিগ্রেশন তৈরি করা যাক:

y = mx+b

LINEST ফাংশন ব্যবহার করে।

এই জন্য:

C20:D20: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)) সেল পরিসরে একটি অ্যারে সূত্র হিসাবে LINEST ফাংশনটি প্রবেশ করান। ফলস্বরূপ, আমরা সেল C20-এ প্যারামিটার m-এর মান এবং D20 ঘরে প্যারামিটার b-এর মান পাই;

D4 কক্ষে সূত্র লিখুন: =$C*A4+$D;

D4:D17 সেল রেঞ্জে ফিল মার্কার ব্যবহার করে এই সূত্রটি অনুলিপি করুন এবং পছন্দসই ডেটা সিরিজ পান।

3 . আমরা সমীকরণের সাথে একটি সূচকীয় রিগ্রেশন তৈরি করি:

LGRFPRIBL ফাংশন ব্যবহার করে এটি একইভাবে সঞ্চালিত হয়:

সেল রেঞ্জ C21:D21-এ আমরা একটি অ্যারে সূত্র হিসাবে LGRFPRIBL ফাংশন প্রবেশ করি: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14))। এই ক্ষেত্রে, প্যারামিটার m-এর মান C21 কক্ষে নির্ধারণ করা হবে, এবং পরামিতি b-এর মানটি D21 কক্ষে নির্ধারণ করা হবে;

সূত্রটি E4 কক্ষে প্রবেশ করানো হয়: =$D*$C^A4;

ফিল মার্কার ব্যবহার করে, এই সূত্রটি E4:E17 কোষের পরিসরে অনুলিপি করা হয়েছে, যেখানে সূচকীয় রিগ্রেশনের জন্য ডেটা সিরিজ অবস্থিত হবে (চিত্র 12 দেখুন)।

চিত্রে। চিত্র 13 একটি সারণী দেখায় যেখানে আপনি প্রয়োজনীয় ঘরের রেঞ্জের পাশাপাশি সূত্রগুলি সহ আমরা যে ফাংশনগুলি ব্যবহার করি তা দেখতে পারেন।

মাত্রা আর 2 ডাকা সংকল্প সহগ.

একটি রিগ্রেশন নির্ভরতা নির্মাণের কাজ হল মডেল (1) এর সহগ m এর ভেক্টর খুঁজে বের করা যেখানে R সহগ সর্বোচ্চ মান নেয়।

R-এর তাত্পর্য মূল্যায়ন করতে, ফিশারের F পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়, সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়

কোথায় n- নমুনার আকার (পরীক্ষার সংখ্যা);

k হল মডেল সহগ সংখ্যা।

যদি F ডেটার জন্য কিছু গুরুত্বপূর্ণ মান অতিক্রম করে nএবং kএবং গৃহীত আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা, তাহলে R-এর মান গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচিত হয়। টেবিল সমালোচনামূলক মান F গাণিতিক পরিসংখ্যানের উপর রেফারেন্স বই দেওয়া হয়.

সুতরাং, R-এর তাত্পর্য শুধুমাত্র এর মান দ্বারা নয়, পরীক্ষার সংখ্যা এবং মডেলের সহগ (প্যারামিটার) সংখ্যার মধ্যে অনুপাত দ্বারাও নির্ধারিত হয়। প্রকৃতপক্ষে, একটি সরল রৈখিক মডেলের জন্য n=2 এর পারস্পরিক সম্পর্ক অনুপাত 1 এর সমান (একটি সরলরেখা সর্বদা একটি সমতলে 2 বিন্দুর মাধ্যমে আঁকা যায়)। যাইহোক, যদি পরীক্ষামূলক ডেটা র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়, তাহলে R-এর এই ধরনের মানকে অত্যন্ত সতর্কতার সাথে বিশ্বাস করা উচিত। সাধারণত, উল্লেখযোগ্য R এবং নির্ভরযোগ্য রিগ্রেশন পেতে, তারা নিশ্চিত করার চেষ্টা করে যে পরীক্ষার সংখ্যা উল্লেখযোগ্যভাবে মডেল সহগ সংখ্যার (n>k) সংখ্যা অতিক্রম করে।

একটি লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেল তৈরি করতে আপনার প্রয়োজন:

1) পরীক্ষামূলক ডেটা সহ n সারি এবং m কলামগুলির একটি তালিকা প্রস্তুত করুন (আউটপুট মান ধারণকারী কলাম Yতালিকায় প্রথম বা শেষ হতে হবে); উদাহরণ স্বরূপ, আগের টাস্ক থেকে ডেটা নেওয়া যাক, "পিরিয়ড নং" নামে একটি কলাম যোগ করে, 1 থেকে 12 পর্যন্ত পিরিয়ড সংখ্যাগুলিকে সংখ্যা করুন। (এগুলি হবে মানগুলি। এক্স)

2) মেনুতে যান ডেটা/ডেটা বিশ্লেষণ/রিগ্রেশন

যদি "সরঞ্জাম" মেনুতে "ডেটা বিশ্লেষণ" আইটেমটি অনুপস্থিত থাকে, তাহলে আপনাকে একই মেনুতে "অ্যাড-ইনস" আইটেমে যেতে হবে এবং "বিশ্লেষণ প্যাকেজ" চেকবক্সটি চেক করতে হবে।

3) "রিগ্রেশন" ডায়ালগ বক্সে, সেট করুন:

· ইনপুট ব্যবধান Y;

· ইনপুট ব্যবধান X;

· আউটপুট ব্যবধান - ব্যবধানের উপরের বাম কক্ষ যেখানে গণনার ফলাফলগুলি স্থাপন করা হবে (এটি একটি নতুন ওয়ার্কশীটে রাখার সুপারিশ করা হয়);

4) "ঠিক আছে" ক্লিক করুন এবং ফলাফল বিশ্লেষণ করুন।

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতিরিগ্রেশন সমীকরণের পরামিতি অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়।

লাইনের সংখ্যা (উৎস তথ্য)

বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে স্টোকাস্টিক সম্পর্ক অধ্যয়ন করার পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হল রিগ্রেশন বিশ্লেষণ।
রিগ্রেশন বিশ্লেষণ হল একটি রিগ্রেশন সমীকরণের ডেরিভেশন, যার সাহায্যে অন্য (বা অন্য) ভেরিয়েবলের (ফ্যাক্টর-অ্যাট্রিবিউট) মান জানা থাকলে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের (ফলাফল বৈশিষ্ট্য) গড় মান পাওয়া যায়। এটি নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অন্তর্ভুক্ত করে:

1. সংযোগের ফর্ম নির্বাচন (বিশ্লেষণমূলক রিগ্রেশন সমীকরণের ধরন);
2. সমীকরণ পরামিতি অনুমান;
3. বিশ্লেষণাত্মক রিগ্রেশন সমীকরণের গুণমানের মূল্যায়ন।

প্রায়শই, বৈশিষ্ট্যগুলির পরিসংখ্যানগত সম্পর্ক বর্ণনা করতে একটি রৈখিক ফর্ম ব্যবহার করা হয়। রৈখিক সম্পর্কের উপর ফোকাস এর পরামিতিগুলির স্পষ্ট অর্থনৈতিক ব্যাখ্যা, ভেরিয়েবলের সীমিত পরিবর্তন এবং এই সত্য যে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে সম্পর্কের অরৈখিক ফর্মগুলি গণনা সম্পাদনের জন্য একটি রৈখিক আকারে রূপান্তরিত হয় (লগারিদম বা ভেরিয়েবলের প্রতিস্থাপন দ্বারা) .
লিনিয়ার পেয়ারওয়াইজ সম্পর্কের ক্ষেত্রে, রিগ্রেশন সমীকরণটি রূপ নেবে: y i =a+b·x i +u i। এই সমীকরণের পরামিতি a এবং b ডেটা থেকে অনুমান করা হয় পরিসংখ্যান পর্যবেক্ষণ x এবং y। এই ধরনের মূল্যায়নের ফলাফল হল সমীকরণ: , যেখানে , পরামিতিগুলির অনুমান a এবং b , হল রিগ্রেশন সমীকরণ (গণনা করা মান) থেকে প্রাপ্ত ফলাফলের বৈশিষ্ট্য (পরিবর্তনশীল) এর মান।

প্রায়শই প্যারামিটার অনুমান করতে ব্যবহৃত হয় সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতি (LSM)।
সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি রিগ্রেশন সমীকরণের পরামিতিগুলির সর্বোত্তম (সামঞ্জস্যপূর্ণ, দক্ষ এবং নিরপেক্ষ) অনুমান প্রদান করে। কিন্তু শুধুমাত্র যদি এলোমেলো শব্দ (u) এবং স্বাধীন পরিবর্তনশীল (x) সম্পর্কিত কিছু অনুমান পূরণ করা হয় (OLS অনুমান দেখুন)।

ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি রৈখিক জোড়া সমীকরণের পরামিতি অনুমান করার সমস্যানিম্নরূপ: পরামিতিগুলির অনুমান প্রাপ্ত করার জন্য, , যার ফলে ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের প্রকৃত মানের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল - y i গণনা করা মান থেকে - ন্যূনতম।
আনুষ্ঠানিকভাবে OLS মানদণ্ডএভাবে লেখা যেতে পারে: .

ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির শ্রেণীবিভাগ

1. সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি।
2. সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি (একটি সাধারণ ক্লাসিক্যাল লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেলের জন্য, রিগ্রেশন অবশিষ্টাংশের স্বাভাবিকতা অনুমান করা হয়)।
3. সাধারণীকৃত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র OLS পদ্ধতিটি ত্রুটির স্বতঃসম্পর্কের ক্ষেত্রে এবং হেটেরোসেডেস্টিসিটির ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।
4. ওজনযুক্ত সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ( বিশেষ মামলা Heteroscedastic অবশিষ্টাংশ সহ OLS)।

এর বিন্দু চিত্রিত করা যাক শাস্ত্রীয় পদ্ধতিগ্রাফিকভাবে সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র. এটি করার জন্য, আমরা একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পর্যবেক্ষণমূলক ডেটার (x i, y i, i=1;n) উপর ভিত্তি করে একটি স্ক্যাটার প্লট তৈরি করব (যেমন একটি স্ক্যাটার প্লটকে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্র বলা হয়)। আসুন একটি সরল রেখা নির্বাচন করার চেষ্টা করি যা পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্রের বিন্দুগুলির নিকটতম। সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি অনুসারে, রেখাটি নির্বাচন করা হয় যাতে পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্রের বিন্দু এবং এই রেখার মধ্যে উল্লম্ব দূরত্বের বর্গক্ষেত্রের যোগফল ন্যূনতম হয়।

এই সমস্যার জন্য গাণিতিক স্বরলিপি: .
y i এবং x i =1...n এর মানগুলি আমাদের কাছে পরিচিত; এইগুলি পর্যবেক্ষণমূলক ডেটা। S ফাংশনে তারা ধ্রুবক প্রতিনিধিত্ব করে। এই ফাংশনের ভেরিয়েবলগুলি হল পরামিতিগুলির প্রয়োজনীয় অনুমান - , . দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ন্যূনতম খুঁজে পেতে, প্রতিটি প্যারামিটারের জন্য এই ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি গণনা করা এবং তাদের শূন্যের সমান করা প্রয়োজন, যেমন .
ফলস্বরূপ, আমরা 2টি সাধারণ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:
সিদ্ধান্ত নিচ্ছে এই সিস্টেম, আমরা প্রয়োজনীয় পরামিতি অনুমান খুঁজে পাই:

রিগ্রেশন সমীকরণের পরামিতিগুলির গণনার সঠিকতা পরিমাণের তুলনা করে পরীক্ষা করা যেতে পারে (গণনার রাউন্ডিংয়ের কারণে কিছু অসঙ্গতি থাকতে পারে)।
প্যারামিটার অনুমান গণনা করতে, আপনি সারণি 1 তৈরি করতে পারেন।
রিগ্রেশন সহগ b এর চিহ্নটি সম্পর্কের দিক নির্দেশ করে (যদি b >0, সম্পর্কটি সরাসরি, যদি b হয়<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
আনুষ্ঠানিকভাবে, প্যারামিটার a-এর মান হল y-এর গড় মান যার x সমান শূন্য। যদি অ্যাট্রিবিউট-ফ্যাক্টরের একটি শূন্য মান না থাকে এবং না থাকে, তাহলে পরামিতি a-এর উপরোক্ত ব্যাখ্যার কোনো মানে হয় না।

বৈশিষ্ট্যের মধ্যে সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতা মূল্যায়ন করা রৈখিক জোড়া পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ ব্যবহার করে বাহিত - r x,y। এটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: . উপরন্তু, রৈখিক জোড়া পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ রিগ্রেশন সহগ b এর মাধ্যমে নির্ধারণ করা যেতে পারে: .
রৈখিক জোড়া পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ-এর গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর হল –1 থেকে +1 পর্যন্ত৷ পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের চিহ্নটি সম্পর্কের দিক নির্দেশ করে। যদি r x, y >0 হয়, তাহলে সংযোগটি সরাসরি; যদি r x, y<0, то связь обратная.
যদি এই সহগ মাত্রায় একতার কাছাকাছি হয়, তবে বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সম্পর্কটিকে মোটামুটি কাছাকাছি রৈখিক হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যদি এর মডিউলটি এক ê r x , y ê =1 এর সমান হয়, তবে বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সম্পর্কটি কার্যকরী রৈখিক। যদি x এবং y বৈশিষ্ট্যগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তাহলে r x,y 0 এর কাছাকাছি।
r x,y গণনা করতে, আপনি টেবিল 1 ব্যবহার করতে পারেন।

1 নং টেবিল

এন পর্যবেক্ষণ	একাদশ	yi	x i ∙y i
1	x 1	y 1	x 1 y 1
2	x 2	y 2	x 2 y 2
...
n	x n	y n	x n y n
কলাম সমষ্টি	∑x	∑y	∑xy
গড় মূল্য

ফলস্বরূপ রিগ্রেশন সমীকরণের গুণমান মূল্যায়ন করতে, সংকল্পের তাত্ত্বিক সহগ গণনা করুন - R 2 yx:

,
যেখানে d 2 হল রিগ্রেশন সমীকরণ দ্বারা ব্যাখ্যা করা y এর প্রকরণ;
e 2 - অবশিষ্ট (রিগ্রেশন সমীকরণ দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়নি) y এর প্রকরণ;
s 2 y - y এর মোট (মোট) প্রকরণ।
সংকল্পের সহগ মোট প্রকরণ (বিচ্ছুরণ) y-এ রিগ্রেশন (এবং, ফলস্বরূপ, ফ্যাক্টর x) দ্বারা ব্যাখ্যা করা ফলাফলের বৈশিষ্ট্য y-এর প্রকরণের (বিচ্ছুরণ) অনুপাতকে চিহ্নিত করে। নির্ণয়ের সহগ R 2 yx 0 থেকে 1 পর্যন্ত মান নেয়। তদনুসারে, মান 1-R 2 yx মডেল এবং স্পেসিফিকেশন ত্রুটিগুলিতে বিবেচনা না করা অন্যান্য কারণের প্রভাবের কারণে সৃষ্ট বৈচিত্র্য y এর অনুপাতকে চিহ্নিত করে।
পেয়ারড লিনিয়ার রিগ্রেশন সহ, R 2 yx = r 2 yx।