রিগ্রেশন সমীকরণ সর্বদা সংযোগের ঘনিষ্ঠতার একটি সূচকের সাথে সম্পূরক হয়। ব্যবহার লিনিয়ার রিগ্রেশনএই ধরনের একটি সূচক হল রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ r yt। সূত্রের বিভিন্ন পরিবর্তন আছে রৈখিক সহগপারস্পরিক সম্পর্ক

এটা মনে রাখা উচিত যে রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের মান তার রৈখিক আকারে বিবেচনাধীন বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সংযোগের ঘনিষ্ঠতা মূল্যায়ন করে। তাই ঘনিষ্ঠতা পরম মানশূন্য থেকে রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ মানে এই নয় যে বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে কোনও সংযোগ নেই৷

নির্বাচনের গুণমান মূল্যায়ন করতে লিনিয়ার ফাংশনরৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ r yt 2 এর বর্গ, যাকে নির্ণয়ের সহগ বলা হয়, গণনা করা হয়। নির্ণয়ের সহগ কার্যকর বৈশিষ্ট্যের মোট প্রকরণে রিগ্রেশন দ্বারা ব্যাখ্যা করা t এ কার্যকরী বৈশিষ্ট্যের প্রকরণের অনুপাতকে চিহ্নিত করে।

ননলাইনার রিগ্রেশন সমীকরণ, যেমন রৈখিক নির্ভরতা, একটি পারস্পরিক সম্পর্ক নির্দেশক দ্বারা সম্পূরক হয়, যথা পারস্পরিক সম্পর্ক সূচক R।

দ্বিতীয় ক্রমে একটি প্যারাবোলা, আরো একটি বহুপদ মত উচ্চ আদেশ, রৈখিক করা হলে, সমীকরণের রূপ নেয় একাধিক সংশ্লেষণ. যদি অরৈখিক আপেক্ষিক ব্যাখ্যা করা হয় পরিবর্তনশীল সমীকরণলিনিয়ারাইজেশনের সময় রিগ্রেশন পেয়ারড রিগ্রেশনের একটি রৈখিক সমীকরণের রূপ নেয়, তারপর সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতা মূল্যায়ন করতে, একটি রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ ব্যবহার করা যেতে পারে, যার মান এই ক্ষেত্রে পারস্পরিক সম্পর্ক সূচকের সাথে মিলে যাবে।

পরিস্থিতি ভিন্ন হয় যখন সমীকরণের রৈখিক আকারে রূপান্তর একটি নির্ভরশীল পরিবর্তনশীলকে জড়িত করে। এই ক্ষেত্রে, রূপান্তরিত বৈশিষ্ট্য মানের উপর ভিত্তি করে রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতার শুধুমাত্র একটি আনুমানিক অনুমান দেয় এবং সংখ্যাগতভাবে পারস্পরিক সম্পর্ক সূচকের সাথে মিলে না। হ্যাঁ, জন্য পাওয়ার ফাংশন

লগারিদমিকভাবে রৈখিক সমীকরণে যাওয়ার পর

lny = lna + blnx

একটি রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ x এবং y ভেরিয়েবলের প্রকৃত মানের জন্য নয়, তাদের লগারিদমের জন্য, অর্থাৎ r lnylnx এর জন্য পাওয়া যেতে পারে। তদনুসারে, এর মানের বর্গটি মোটের সাথে বর্গ বিচ্যুতির গুণনীয়ক যোগফলের অনুপাতকে চিহ্নিত করবে, কিন্তু y এর জন্য নয়, এর লগারিদমের জন্য:

এদিকে, পারস্পরিক সম্পর্ক সূচক গণনা করার সময়, বৈশিষ্ট্যযুক্ত y এর বর্গ বিচ্যুতির যোগফল ব্যবহার করা হয়, তাদের লগারিদম নয়। এই উদ্দেশ্যে, ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের তাত্ত্বিক মানগুলি নির্ধারণ করা হয়, অর্থাৎ, সমীকরণ দ্বারা গণনা করা মানের অ্যান্টিলগারিদম হিসাবে এবং বর্গগুলির অবশিষ্ট যোগফল হিসাবে।

R 2 yx গণনার হর তাদের গড় মান থেকে y প্রকৃত মানের বর্গ বিচ্যুতির মোট যোগফলকে জড়িত করে এবং হর r 2 lnxlny গণনায় অংশগ্রহণ করে। বিবেচনাধীন সূচকগুলির সংখ্যা এবং হর তদনুসারে পৃথক:

• - পারস্পরিক সম্পর্ক সূচকে এবং
• - পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ মধ্যে।

ফলাফলের মিল এবং কম্পিউটার প্রোগ্রাম ব্যবহার করে গণনার সরলতার কারণে, রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ ব্যাপকভাবে অরৈখিক ফাংশনের জন্য সংযোগের ঘনিষ্ঠতা চিহ্নিত করতে ব্যবহৃত হয়।

চরিত্রগত y-এর মানের রূপান্তর সহ অরৈখিক ফাংশনে R এবং r বা R এবং r-এর মানের ঘনিষ্ঠতা সত্ত্বেও, এটি মনে রাখা উচিত যে বৈশিষ্ট্যগুলির একটি রৈখিক নির্ভরতার সাথে, একই পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ বৈশিষ্ট্যগুলিকে চিহ্নিত করে রিগ্রেশন, এটা মনে রাখা উচিত যে, যদি বৈশিষ্ট্যগুলির একটি রৈখিক নির্ভরতার সাথে, এক এবং একই পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ উভয় রিগ্রেশনকে চিহ্নিত করে এবং যেহেতু, তারপরে, y=j(x) ফাংশনের জন্য একটি বক্ররেখা নির্ভরতার সাথে রিগ্রেশন x এর সমান নয় =f(y)।

যেহেতু পারস্পরিক সম্পর্ক সূচকের গণনা ফ্যাক্টর এবং অনুপাত ব্যবহার করে সর্বমোট পরিমাণবর্গক্ষেত্র বিচ্যুতি, তারপর নির্ণয়ের সহগ হিসাবে একই অর্থ রয়েছে। বিশেষ গবেষণায়, অরৈখিক সম্পর্কের মানকে সংকল্প সূচক বলা হয়।

পারস্পরিক সম্পর্ক সূচকের তাত্পর্যের মূল্যায়ন একইভাবে সম্পাদিত হয় যেভাবে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের নির্ভরযোগ্যতার মূল্যায়ন করা হয়।

পারস্পরিক সম্পর্ক সূচকটি ফিশার এফ পরীক্ষা ব্যবহার করে সামগ্রিক ননলাইনার রিগ্রেশন সমীকরণের তাৎপর্য পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়।

মান m বর্গক্ষেত্রের ফ্যাক্টর যোগফলের জন্য স্বাধীনতা ডিগ্রীর সংখ্যা চিহ্নিত করে এবং (n - m - 1) - বর্গক্ষেত্রের অবশিষ্ট যোগফলের জন্য স্বাধীনতা ডিগ্রীর সংখ্যা।

একটি পাওয়ার ফাংশনের জন্য m = 1 এবং F-মাপদণ্ডের সূত্রটি রৈখিক নির্ভরতার মতো একই রূপ নেয়:

দ্বিতীয় ডিগ্রী একটি প্যারাবোলা জন্য

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +em = 2

F-মাপদণ্ডটিও সারণীতে গণনা করা যেতে পারে বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণরিগ্রেশন ফলাফল, লিনিয়ার ফাংশনের জন্য দেখানো হয়েছে।

একটি রৈখিক ফাংশন ব্যবহার করার সম্ভাবনাকে ন্যায্যতা দেওয়ার জন্য সংকল্পের সূচককে সংকল্পের সহগের সাথে তুলনা করা যেতে পারে। রিগ্রেশন রেখার বক্রতা যত বেশি হবে, নির্ণয় সহগ তত কম হবে নির্ণয় সূচক। এই সূচকগুলির মিলের অর্থ হল রিগ্রেশন সমীকরণের ফর্মটিকে জটিল করার কোন প্রয়োজন নেই এবং একটি রৈখিক ফাংশন ব্যবহার করা যেতে পারে।

অনুশীলনে, যদি সংকল্প সূচক এবং সংকল্পের সহগের মধ্যে পার্থক্য 0.1 এর বেশি না হয়, তবে সম্পর্কের একটি রৈখিক রূপের অনুমানটি ন্যায়সঙ্গত বলে বিবেচিত হয়।

যদি t fact >t টেবিল হয়, তাহলে বিবেচিত পারস্পরিক সম্পর্ক সূচকগুলির মধ্যে পার্থক্যগুলি তাৎপর্যপূর্ণ এবং একটি রৈখিক ফাংশন সমীকরণের সাথে ননলিনিয়ার রিগ্রেশন প্রতিস্থাপন করা অসম্ভব। কার্যত, যদি মান টি< 2, то различия между R yx и r yx несущественны, и, следовательно, возможно применение линейной регрессии, даже если есть предположения о некоторой нелинейности рассматриваемых соотношений признаков фактора и результата.

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ.

পেয়ারড রিগ্রেশন সমীকরণ.

গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি ব্যবহার করে.

এই পদ্ধতিটি অধ্যয়ন করা অর্থনৈতিক সূচকগুলির মধ্যে সংযোগের ফর্মটি দৃশ্যমানভাবে চিত্রিত করতে ব্যবহৃত হয়। এটি করার জন্য, একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি গ্রাফ আঁকা হয়, ফলের বৈশিষ্ট্যযুক্ত Y-এর স্বতন্ত্র মানগুলি অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়, এবং ফ্যাক্টর বৈশিষ্ট্য X-এর স্বতন্ত্র মানগুলি অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়।

ফলাফল এবং গুণনীয়ক বৈশিষ্ট্যের বিন্দুর সেট বলা হয় পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্র.

পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্রের উপর ভিত্তি করে, একটি হাইপোথিসিস সামনে রাখা যেতে পারে (এর জন্য জনসংখ্যা) যে X এবং Y এর সমস্ত সম্ভাব্য মানের মধ্যে সম্পর্ক রৈখিক।

রৈখিক রিগ্রেশন সমীকরণ হল y = bx + a + ε

এখানে ε একটি এলোমেলো ত্রুটি (বিচ্যুতি, ঝামেলা)।

এলোমেলো ত্রুটির অস্তিত্বের কারণ:

1. রিগ্রেশন মডেলে উল্লেখযোগ্য ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবল অন্তর্ভুক্ত করতে ব্যর্থতা;

2. ভেরিয়েবলের সমষ্টি। উদাহরণস্বরূপ, মোট খরচ ফাংশন একটি প্রচেষ্টা সাধারণ অভিব্যক্তিব্যক্তিগত খরচের সিদ্ধান্তের সমষ্টি। এটি শুধুমাত্র পৃথক সম্পর্কের একটি অনুমান যা বিভিন্ন পরামিতি রয়েছে।

3. মডেল কাঠামোর ভুল বিবরণ;

4. ভুল কার্যকরী স্পেসিফিকেশন;

5. পরিমাপ ত্রুটি.

যেহেতু প্রতিটি নির্দিষ্ট পর্যবেক্ষণের জন্য বিচ্যুতি ε i এলোমেলো এবং নমুনায় তাদের মান অজানা, তাহলে:

1) পর্যবেক্ষণ x i এবং y i থেকে শুধুমাত্র প্যারামিটারের অনুমান α এবং β পাওয়া যেতে পারে

2) α এবং β পরামিতিগুলির অনুমান রিগ্রেশন মডেলযথাক্রমে a এবং b এর মান, যা প্রকৃতিতে এলোমেলো, কারণ একটি এলোমেলো নমুনার সাথে মিলে যায়;

তারপরে অনুমানকারী রিগ্রেশন সমীকরণ (নমুনা ডেটা থেকে নির্মিত) ফর্মটি y = bx + a + ε হবে, যেখানে e i হল ε i , এবং a এবং b যথাক্রমে, অনুমানগুলির ত্রুটিগুলির পর্যবেক্ষণ করা মান (অনুমান) রিগ্রেশন মডেলের α এবং β পরামিতিগুলি খুঁজে পাওয়া উচিত।

পরামিতি অনুমান করতে α এবং β - সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি (সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি) ব্যবহার করা হয়। পদ্ধতি সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্ররিগ্রেশন সমীকরণের পরামিতিগুলির সর্বোত্তম (সামঞ্জস্যপূর্ণ, দক্ষ এবং নিরপেক্ষ) অনুমান দেয়।

কিন্তু শুধুমাত্র যদি নির্দিষ্ট প্রাঙ্গনে র‍্যান্ডম টার্ম (ε) এবং স্বাধীন পরিবর্তনশীল (x) সম্পর্কিত হয়।

আনুষ্ঠানিকভাবে, OLS মানদণ্ড নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

S = ∑(y i - y * i) 2 → মিনিট

স্বাভাবিক সমীকরণের সিস্টেম।

a n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x 2 = ∑y x

আমাদের ডেটার জন্য, সমীকরণের সিস্টেমের ফর্ম আছে

15a + 186.4 b = 17.01

186.4 a + 2360.9 b = 208.25

প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি কএবং দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

আমরা অভিজ্ঞতামূলক রিগ্রেশন সহগ পাই: b = -0.07024, a = 2.0069

রিগ্রেশন সমীকরণ (অভিজ্ঞতামূলক রিগ্রেশন সমীকরণ):

y = -0.07024 x + 2.0069

অভিজ্ঞতামূলক রিগ্রেশন সহগ কএবং খশুধুমাত্র তাত্ত্বিক সহগ β i এর অনুমান, এবং সমীকরণটি নিজেই বিবেচনাধীন ভেরিয়েবলের আচরণের সাধারণ প্রবণতাকে প্রতিফলিত করে।

রিগ্রেশন প্যারামিটার গণনা করার জন্য, আমরা একটি গণনা টেবিল তৈরি করব (সারণী 1)

1. রিগ্রেশন সমীকরণ পরামিতি।

নমুনা মানে।

নমুনা ভিন্নতা:

আদর্শ চ্যুতি

1.1। পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ

সহবাস.

আমরা সংযোগ ঘনিষ্ঠতার সূচক গণনা করি। এই সূচকটি নমুনা রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ, যা সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ -1 থেকে +1 পর্যন্ত মান নেয়।

বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সংযোগগুলি দুর্বল এবং শক্তিশালী (ঘনিষ্ঠ) হতে পারে। তাদের মানদণ্ড চ্যাডক স্কেলে মূল্যায়ন করা হয়:

0.1 < r xy < 0.3: слабая;

0.3 < r xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r xy < 0.7: заметная;

0.7 < r xy < 0.9: высокая;

0.9 < r xy < 1: весьма высокая;

আমাদের উদাহরণে, বৈশিষ্ট্য Y এবং ফ্যাক্টর X-এর মধ্যে সম্পর্ক উচ্চ এবং বিপরীত।

উপরন্তু, রৈখিক জোড়া পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ রিগ্রেশন সহগ b এর মাধ্যমে নির্ধারণ করা যেতে পারে:

1.2। রিগ্রেশন সমীকরণ(রিগ্রেশন সমীকরণের অনুমান)।

রৈখিক রিগ্রেশন সমীকরণ হল y = -0.0702 x + 2.01

একটি রৈখিক রিগ্রেশন সমীকরণের সহগকে অর্থনৈতিক অর্থ দেওয়া যেতে পারে।

রিগ্রেশন সহগ b = -0.0702 কার্যকর সূচকের গড় পরিবর্তন দেখায় (y পরিমাপের এককে) এর পরিমাপের প্রতি ইউনিট x ফ্যাক্টরের মান বৃদ্ধি বা হ্রাসের সাথে। এই উদাহরণে, 1 ইউনিট বৃদ্ধির সাথে, y গড় -0.0702 দ্বারা হ্রাস পায়।

সহগ a = 2.01 আনুষ্ঠানিকভাবে y এর পূর্বাভাসিত স্তর দেখায়, কিন্তু শুধুমাত্র যদি x = 0 নমুনা মানের কাছাকাছি হয়।

কিন্তু যদি x=0 x এর নমুনা মান থেকে অনেক দূরে থাকে, তাহলে একটি আক্ষরিক ব্যাখ্যা ভুল ফলাফলের দিকে নিয়ে যেতে পারে, এবং এমনকি যদি রিগ্রেশন লাইনটি পর্যবেক্ষণকৃত নমুনা মানগুলিকে মোটামুটি নির্ভুলভাবে বর্ণনা করে, তবে কোন গ্যারান্টি নেই যে এটিও হবে বাম বা ডান extrapolating যখন ক্ষেত্রে হতে.

রিগ্রেশন সমীকরণে উপযুক্ত x মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা প্রতিটি পর্যবেক্ষণের জন্য কর্মক্ষমতা সূচক y(x) এর সারিবদ্ধ (অনুমান করা) মানগুলি নির্ধারণ করতে পারি।

y এবং x এর মধ্যে সম্পর্ক রিগ্রেশন সহগ b এর চিহ্ন নির্ধারণ করে (যদি > 0 - সরাসরি সম্পর্ক, অন্যথায় - বিপরীত)। আমাদের উদাহরণে, সংযোগটি বিপরীত।

1.3। স্থিতিস্থাপকতা সহগ.

ফলাফলের সূচক y এবং ফ্যাক্টর বৈশিষ্ট্য x এর পরিমাপের এককের মধ্যে পার্থক্য থাকলে ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের উপর ফ্যাক্টরের প্রভাব সরাসরি মূল্যায়ন করতে রিগ্রেশন সহগ (উদাহরণস্বরূপ খ) ব্যবহার করা যুক্তিযুক্ত নয়।

এই উদ্দেশ্যে, স্থিতিস্থাপকতা সহগ এবং বিটা সহগ গণনা করা হয়।

গড় স্থিতিস্থাপকতা সহগ E দেখায় গড়ে কত শতাংশ দ্বারা ফলাফল সামগ্রিকভাবে পরিবর্তিত হবে এফ্যাক্টর পরিবর্তিত হলে তার গড় মান থেকে এক্সএর গড় মূল্যের 1% দ্বারা।

স্থিতিস্থাপকতা সহগ সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:

স্থিতিস্থাপকতা সহগ 1 এর কম। অতএব, যদি X 1% দ্বারা পরিবর্তিত হয়, Y 1% এর কম পরিবর্তিত হবে। অন্য কথায়, Y-এর উপর X-এর প্রভাব উল্লেখযোগ্য নয়।

বিটা সহগ

বিটা সহগতার মানক বিচ্যুতির মানের কোন অংশ দ্বারা দেখায় যখন একটি ধ্রুবক স্তরে স্থির অবশিষ্ট স্বাধীন ভেরিয়েবলের মানের সাথে তার আদর্শ বিচ্যুতির মান দ্বারা ফ্যাক্টর বৈশিষ্ট্য পরিবর্তিত হয় তখন ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের গড় মান পরিবর্তিত হবে:

সেগুলো. প্রমিত বিচ্যুতি S x দ্বারা x বৃদ্ধি করলে Y এর গড় মান 0.82 মান বিচ্যুতি S y দ্বারা হ্রাস পাবে।

1.4। আনুমানিক ত্রুটি.

আসুন পরম আনুমানিকতার ত্রুটি ব্যবহার করে রিগ্রেশন সমীকরণের গুণমান মূল্যায়ন করি। গড় আনুমানিক ত্রুটি - প্রকৃতগুলি থেকে গণনা করা মানগুলির গড় বিচ্যুতি:

5%-7% এর মধ্যে একটি আনুমানিক ত্রুটি মূল ডেটাতে রিগ্রেশন সমীকরণের একটি ভাল ফিট নির্দেশ করে।

যেহেতু ত্রুটিটি 7% এর কম, এই সমীকরণটি রিগ্রেশন হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

রৈখিক রিগ্রেশন ফর্মের একটি সমীকরণ খুঁজতে নেমে আসে

প্রথম অভিব্যক্তি প্রদত্ত ফ্যাক্টর মানগুলির জন্য অনুমতি দেয় এক্সফ্যাক্টরের প্রকৃত মান প্রতিস্থাপন করে ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের তাত্ত্বিক মানগুলি গণনা করুন এক্স. গ্রাফে, তাত্ত্বিক মানগুলি একটি সরল রেখায় অবস্থিত, যা রিগ্রেশন লাইনকে প্রতিনিধিত্ব করে।

রৈখিক রিগ্রেশন নির্মাণ এর পরামিতি অনুমান করতে নেমে আসে - কএবং খ. রৈখিক রিগ্রেশন পরামিতি অনুমান করার শাস্ত্রীয় পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতি (LSM)।

সর্বনিম্ন খুঁজে পেতে, প্রতিটি প্যারামিটারের জন্য যোগফল (4) এর আংশিক ডেরিভেটিভগুলি গণনা করা প্রয়োজন - কএবং খ- এবং তাদের শূন্যের সমান করুন।

(5)

এর রূপান্তর করা যাক, আমরা পেতে স্বাভাবিক সমীকরণের সিস্টেম:

(6)

এই ব্যবস্থায় n-নমুনা আকার, পরিমাণ সহজে মূল তথ্য থেকে গণনা করা হয়. আমরা সম্মান সঙ্গে সিস্টেম সমাধান কএবং খ, আমরা পেতে:

(7)

. (8)

অভিব্যক্তি (7) অন্য আকারে লেখা যেতে পারে:

(9)

কোথায় বৈশিষ্ট্য সহভঙ্গি, ফ্যাক্টর বিচ্ছুরণ এক্স.

প্যারামিটার খডাকা রিগ্রেশন সহগ।এর মান একটি একক দ্বারা ফ্যাক্টরের পরিবর্তনের সাথে ফলাফলের গড় পরিবর্তন দেখায়। রিগ্রেশন সহগ এর একটি সুস্পষ্ট অর্থনৈতিক ব্যাখ্যার সম্ভাবনা তৈরি করেছে একঘাত সমীকরণইকোনোমেট্রিক গবেষণায় রিগ্রেশন বেশ সাধারণ।

আনুষ্ঠানিকভাবে ক- অর্থ yএ x=0।যদি এক্সনেই এবং একটি শূন্য মান থাকতে পারে না, তাহলে মুক্ত শব্দের এই ব্যাখ্যা ককোন মানে হয় না প্যারামিটার ককোন অর্থনৈতিক বিষয়বস্তু থাকতে পারে. এটিকে অর্থনৈতিকভাবে ব্যাখ্যা করার প্রচেষ্টা অযৌক্তিকতার দিকে নিয়ে যেতে পারে, বিশেষ করে যখন ক< 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре কযদি ক> 0, তাহলে ফলাফলে আপেক্ষিক পরিবর্তন ফ্যাক্টরের পরিবর্তনের চেয়ে ধীরে ধীরে ঘটে। আসুন এই আপেক্ষিক পরিবর্তনগুলি তুলনা করি:

< при > 0, > 0

কখনও কখনও গড় থেকে বিচ্যুতির জন্য একটি লিনিয়ার পেয়ারওয়াইজ রিগ্রেশন সমীকরণ লেখা হয়:

কোথায় , . এই ক্ষেত্রে, মুক্ত শব্দটি শূন্যের সমান, যা অভিব্যক্তিতে প্রতিফলিত হয় (10)। এই সত্যটি জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে অনুসরণ করে: একই সরলরেখা (3) রিগ্রেশন সমীকরণের সাথে মিলে যায়, কিন্তু বিচ্যুতিতে রিগ্রেশন অনুমান করার সময়, স্থানাঙ্কের উৎপত্তি স্থানাঙ্কের সাথে বিন্দুতে চলে যায়। এই ক্ষেত্রে, অভিব্যক্তিতে (8) উভয় রাশিই শূন্যের সমান হবে, যা মুক্ত পদের সমতাকে শূন্য করে দেবে।

আসুন আমরা উদাহরণ হিসাবে বিবেচনা করি, এক ধরণের পণ্য উত্পাদনকারী সংস্থাগুলির একটি গ্রুপের জন্য, খরচ ফাংশন

টেবিল 1.

পণ্য আউটপুট হাজার ইউনিট()	উৎপাদন খরচ, মিলিয়ন রুবেল()
					31,1
					67,9
					141,6
					104,7
					178,4
					104,7
					141,6
মোট: 22					770,0

স্বাভাবিক সমীকরণের সিস্টেমটি দেখতে এরকম হবে:

এটা সমাধান, আমরা পেতে a= -5.79, b=36.84।

রিগ্রেশন সমীকরণ হল:

সমীকরণে মান প্রতিস্থাপন করা এক্স, আসুন তাত্ত্বিক মান খুঁজে বের করা যাক y(সারণীর শেষ কলাম)।

মাত্রা ককোন অর্থনৈতিক অর্থ নেই. ভেরিয়েবল হলে এক্সএবং yগড় মাত্রা থেকে বিচ্যুতির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়, তাহলে গ্রাফের রিগ্রেশন লাইন স্থানাঙ্কের উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাবে। রিগ্রেশন সহগ অনুমান পরিবর্তন হবে না:

, কোথায় , .

আরেকটি উদাহরণ হিসাবে, ফর্মের খরচ ফাংশন বিবেচনা করুন:

,

যেখানে C ব্যবহার হয়, y-আয়, কে, এল-বিকল্প এই লিনিয়ার রিগ্রেশন সমীকরণটি সাধারণত ব্যালেন্স শীট সমীকরণের সাথে একত্রে ব্যবহৃত হয়:

,

কোথায় আমি- বিনিয়োগের আকার, r- সঞ্চয়।

সরলতার জন্য, ধরে নিন যে আয় খরচ এবং বিনিয়োগের জন্য ব্যয় করা হয়। সুতরাং, সমীকরণ সিস্টেম বিবেচনা করা হয়:

ব্যালেন্স শীট সমতার উপস্থিতি রিগ্রেশন কোফিসিয়েন্টের মানের উপর বিধিনিষেধ আরোপ করে, যা একের বেশি হতে পারে না, যেমন .

ধরা যাক যে খরচ ফাংশন হল:

.

রিগ্রেশন সহগ ব্যবহার করার প্রবণতাকে চিহ্নিত করে। এটি দেখায় যে প্রতি হাজার রুবেল আয়ের মধ্যে, গড়ে 650 রুবেল খরচ হয় এবং 350 রুবেল। বিনিয়োগ যদি আমরা আয়ের উপর বিনিয়োগের আকারের রিগ্রেশন গণনা করি, যেমন , তাহলে রিগ্রেশন সমীকরণ হবে . এই সমীকরণটি সংজ্ঞায়িত করার প্রয়োজন নেই, কারণ এটি ব্যবহার ফাংশন থেকে উদ্ভূত। এই দুটি সমীকরণের রিগ্রেশন সহগ সমতার সাথে সম্পর্কিত:

যদি রিগ্রেশন সহগ একের বেশি হতে দেখা যায়, তাহলে , এবং শুধুমাত্র আয় নয়, সঞ্চয়ও খরচ করা হয়।

খরচ ফাংশনে রিগ্রেশন সহগ গুণক গণনা করতে ব্যবহৃত হয়:

এখানে মি≈2.86, তাই অতিরিক্ত বিনিয়োগ হল 1 হাজার রুবেল। চালু দীর্ঘ মেয়াদী 2.86 হাজার রুবেল অতিরিক্ত আয়ের জন্য, অন্যান্য জিনিসগুলি সমান হবে।

রৈখিক রিগ্রেশনে, রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ সংযোগের ঘনিষ্ঠতার সূচক হিসাবে কাজ করে r:

এর মানগুলি সীমানার মধ্যে রয়েছে: . যদি খ> 0, তারপর কখন খ< 0 . উদাহরণ অনুসারে, এর মানে হল আউটপুটের পরিমাণের উপর উৎপাদন খরচের খুব ঘনিষ্ঠ নির্ভরতা।

একটি রৈখিক ফাংশন ফিট করার গুণমান মূল্যায়ন করতে, গণনা করুন সংকল্প সহগরৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের বর্গ হিসাবে r 2. এটি ফলস্বরূপ বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র্যের ভাগকে চিহ্নিত করে yফলাফলের বৈশিষ্ট্যের মোট প্রকরণে রিগ্রেশন দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে:

মানটি বৈচিত্র্যের ভাগকে চিহ্নিত করে y, অন্যান্য কারণের প্রভাব দ্বারা সৃষ্ট মডেলে বিবেচনা করা হয় না।

উদাহরণে। রিগ্রেশন সমীকরণ 98.2% প্রকরণ ব্যাখ্যা করে, এবং অন্যান্য কারণগুলি 1.8% এর জন্য দায়ী, এটি অবশিষ্ট প্রকরণ।

OLS এর পূর্বশর্ত (গাউস-মার্কভ শর্ত)

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, মধ্যে সংযোগ yএবং এক্সপেয়ারওয়াইজে রিগ্রেশন কার্যকরী নয়, কিন্তু পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত। অতএব, পরামিতি অনুমান কএবং খহয় এলোমেলো ভেরিয়েবল, যার বৈশিষ্ট্যগুলি উল্লেখযোগ্যভাবে এলোমেলো উপাদানের বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে ε৷ ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করে সর্বোত্তম ফলাফল পেতে, এলোমেলো বিচ্যুতি (গাউস-মার্কভ শর্তাবলী) সম্পর্কিত নিম্নলিখিত পূর্বশর্তগুলি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

1 0 . প্রত্যাশিত মানসমস্ত পর্যবেক্ষণের জন্য এলোমেলো বিচ্যুতি শূন্য: .

20 এলোমেলো বিচ্যুতির প্রকরণ ধ্রুবক: .

এই পূর্বশর্তটির সম্ভাব্যতা বলা হয় homoscedasticity(বিচ্যুতি প্রকরণের স্থিরতা)। এই ভিত্তির অসম্ভবতা বলা হয় ভিন্নধর্মীতা(বিচ্যুতি ভিন্নতার অসঙ্গতি)

ত্রিশ এলোমেলো বিচ্যুতি εiএবং ε জেএর জন্য একে অপরের থেকে স্বাধীন:

এই অবস্থার সম্ভাব্যতা বলা হয় স্বতঃসম্পর্কের অনুপস্থিতি.

4 0। র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েন্স অবশ্যই ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবল থেকে স্বাধীন হতে হবে।

সাধারণত, এই শর্তটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয় যদি একটি প্রদত্ত মডেলের ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবলগুলি এলোমেলো না হয়। উপরন্তু, ইকোনোমেট্রিক মডেলের জন্য এই পূর্বশর্তের সম্ভাব্যতা প্রথম তিনটির তুলনায় ততটা গুরুত্বপূর্ণ নয়।

যদি নির্দিষ্ট পূর্বশর্ত পূরণ করা হয়, তাহলে গাউসের উপপাদ্য-মার্কোভা: OLS ব্যবহার করে প্রাপ্ত অনুমান (7) এবং (8) রৈখিক নিরপেক্ষ অনুমানের শ্রেণীতে সবচেয়ে ছোট পার্থক্য রয়েছে .

এইভাবে, যদি গাউস-মার্কভ শর্ত পূরণ করা হয়, অনুমান (7) এবং (8) শুধুমাত্র রিগ্রেশন কোফিসিয়েন্টের নিরপেক্ষ অনুমান নয়, সবচেয়ে কার্যকরীও, যেমন এই প্যারামিটারগুলির অন্য যে কোনও অনুমানের তুলনায় ক্ষুদ্রতম বিচ্ছুরণ আছে যা মানগুলির ক্ষেত্রে রৈখিক। yi.

এটি গাউস-মার্কভ অবস্থার গুরুত্ব বোঝা যা একজন দক্ষ গবেষককে একটি অযোগ্য থেকে রিগ্রেশন বিশ্লেষণ ব্যবহার করে আলাদা করে। যদি এই শর্তগুলি পূরণ না হয় তবে গবেষককে অবশ্যই এটি সম্পর্কে সচেতন হতে হবে। যদি সংশোধনমূলক ব্যবস্থা নেওয়া সম্ভব হয়, তাহলে বিশ্লেষকের তা নেওয়া উচিত। যদি পরিস্থিতি সংশোধন করা না যায়, তবে গবেষক অবশ্যই মূল্যায়ন করতে সক্ষম হবেন যে এটি ফলাফলগুলিকে কতটা গুরুত্ব সহকারে প্রভাবিত করতে পারে।

একটি রিগ্রেশন সমীকরণ ব্যবহার করে ভবিষ্যদ্বাণী করতে, আপনাকে রিগ্রেশন সহগ এবং সমীকরণগুলি গণনা করতে হবে। এবং এখানে আরও একটি সমস্যা রয়েছে যা পূর্বাভাসের সঠিকতাকে প্রভাবিত করে। এটা সত্য যে সাধারণত সবাই না সম্ভাব্য মানভেরিয়েবল X এবং Y, অর্থাৎ পূর্বাভাস সমস্যায় যৌথ বিতরণের সাধারণ জনসংখ্যা জানা যায় না, শুধুমাত্র এই সাধারণ জনসংখ্যা থেকে একটি নমুনা জানা যায়। ফলস্বরূপ, পূর্বাভাস দেওয়ার সময়, এলোমেলো উপাদান ছাড়াও, ত্রুটির আরেকটি উত্স দেখা দেয় - সাধারণ জনসংখ্যার সাথে নমুনার অসম্পূর্ণ চিঠিপত্রের কারণে সৃষ্ট ত্রুটি এবং রিগ্রেশন সমীকরণের সহগ নির্ধারণে ফলস্বরূপ ত্রুটিগুলি।

অন্য কথায়, জনসংখ্যা অজানা থাকার কারণে, সঠিক মানসহগ এবং রিগ্রেশন সমীকরণ নির্ধারণ করা যাবে না। এই অজানা জনসংখ্যা থেকে একটি নমুনা ব্যবহার করে, কেউ শুধুমাত্র প্রকৃত সহগ এবং এর অনুমান পেতে পারে।

এই ধরনের প্রতিস্থাপনের ফলে ভবিষ্যদ্বাণী ত্রুটিগুলি ন্যূনতম হওয়ার জন্য, মূল্যায়নটি এমন একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে করা উচিত যা প্রাপ্ত নিরপেক্ষ এবং দক্ষ মানগুলির গ্যারান্টি দেয়। পদ্ধতিটি নিরপেক্ষ অনুমান প্রদান করে যদি, একই জনসংখ্যার নতুন নমুনাগুলির সাথে কয়েকবার পুনরাবৃত্তি করা হলে, অবস্থা এবং সন্তুষ্ট হয়। পদ্ধতিটি কার্যকর অনুমান প্রদান করে যদি, একই জনসংখ্যা থেকে নতুন নমুনার সাথে একাধিকবার পুনরাবৃত্তি হলে, a এবং b সহগগুলির ন্যূনতম বিচ্ছুরণ নিশ্চিত করা হয়, যেমন শর্ত এবং পূরণ করা হয়.

সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, একটি উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে যে অনুসারে নমুনা ডেটার উপর ভিত্তি করে রৈখিক রিগ্রেশন সমীকরণের সহগগুলির দক্ষতা এবং নিরপেক্ষ অনুমান সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি প্রয়োগ করে নিশ্চিত করা হয়।

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির সারাংশ নিম্নরূপ। প্রতিটি নমুনা পয়েন্টের জন্য, ফর্মের একটি সমীকরণ লেখা হয় . তারপর গণনা করা এবং প্রকৃত মানগুলির মধ্যে ত্রুটি পাওয়া যায়। এই ধরনের মানগুলি খুঁজে পাওয়ার অপ্টিমাইজেশন সমস্যার সমাধান এবং এটি সমস্ত n পয়েন্টের জন্য ন্যূনতম বর্গাকার ত্রুটির যোগফল প্রদান করে, যেমন অনুসন্ধান সমস্যার সমাধান , সহগ এবং নিরপেক্ষ এবং দক্ষ অনুমান দেয়। জোড়া লিনিয়ার রিগ্রেশনের ক্ষেত্রে, এই সমাধানটির ফর্ম রয়েছে:

এটি লক্ষ করা উচিত যে এইভাবে একটি নমুনা থেকে প্রাপ্ত সাধারণ জনসংখ্যার রিগ্রেশন সহগগুলির সত্যিকারের মানগুলির নিরপেক্ষ এবং কার্যকরী অনুমান একবার প্রয়োগ করার সময় ত্রুটিগুলির বিরুদ্ধে মোটেও গ্যারান্টি দেয় না। গ্যারান্টি হল যে, একই জনসংখ্যার অন্যান্য নমুনার সাথে এই অপারেশনের পুনরাবৃত্তির ফলে, অন্য যে কোনও পদ্ধতির তুলনায় অল্প পরিমাণে ত্রুটি নিশ্চিত করা হয় এবং এই ত্রুটিগুলির বিস্তার ন্যূনতম হবে।

রিগ্রেশন সমীকরণের প্রাপ্ত সহগগুলি রিগ্রেশন লাইনের অবস্থান নির্ধারণ করে; এটি মূল নমুনার বিন্দু দ্বারা গঠিত মেঘের প্রধান অক্ষ। উভয় সহগ একটি খুব নির্দিষ্ট অর্থ আছে. গুণাঙ্কটি তে মান দেখায়, কিন্তু অনেক ক্ষেত্রে এটি অর্থবোধ করে না; উপরন্তু, এটি প্রায়শই অর্থবোধ করে না; অতএব, সহগটির প্রদত্ত ব্যাখ্যাটি সাবধানে ব্যবহার করা আবশ্যক। অর্থের আরও সর্বজনীন ব্যাখ্যা নিম্নরূপ। যদি , তাহলে স্বাধীন চলকের আপেক্ষিক পরিবর্তন (শতাংশ পরিবর্তন) নির্ভরশীল চলকের আপেক্ষিক পরিবর্তনের চেয়ে সর্বদা কম।

সহগ দেখায় যে নির্ভরশীল চলকটি কত ইউনিট পরিবর্তিত হবে যখন স্বাধীন চলকটি একটি ইউনিট দ্বারা পরিবর্তিত হয়। সহগকে প্রায়শই রিগ্রেশন সহগ বলা হয়, জোর দিয়ে বলা হয় যে এটি এর চেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ। বিশেষ করে, যদি নির্ভরশীল এবং স্বাধীন চলকের মানের পরিবর্তে আমরা তাদের গড় মান থেকে তাদের বিচ্যুতি গ্রহণ করি, তাহলে রিগ্রেশন সমীকরণটি ফর্মে রূপান্তরিত হয় . অন্য কথায়, রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, যেকোনো রিগ্রেশন লাইন স্থানাঙ্কের উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায় (চিত্র 13) এবং কোনো সহগ নেই।

চিত্র 13. রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক সিস্টেমে রিগ্রেশন নির্ভরতার অবস্থান।

রিগ্রেশন সমীকরণের পরামিতিগুলি আমাদের বলে যে কীভাবে নির্ভরশীল এবং স্বাধীন চলকগুলি একে অপরের সাথে সম্পর্কিত, কিন্তু সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতার মাত্রা সম্পর্কে আমাদের কিছু জানায় না, যেমন ডেটা ক্লাউডের প্রধান অক্ষের অবস্থান দেখান, কিন্তু সংযোগের নিবিড়তা ডিগ্রী সম্পর্কে কিছু বলে না (মেঘটি কতটা সরু বা প্রশস্ত)।

অঞ্চলের অঞ্চলগুলির জন্য, 200X এর জন্য ডেটা সরবরাহ করা হয়।

অঞ্চল নম্বর	একজন কর্মক্ষম ব্যক্তির প্রতিদিনের মাথাপিছু গড় মজুরি, ঘষা।, x	গড় দৈনিক মজুরি, ঘষা., y
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

ব্যায়াম:

1. একটি পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্র তৈরি করুন এবং সংযোগের ফর্ম সম্পর্কে একটি হাইপোথিসিস তৈরি করুন।

2. রৈখিক রিগ্রেশন সমীকরণের পরামিতি গণনা করুন

4. গড় (সাধারণ) স্থিতিস্থাপকতা সহগ ব্যবহার করে, গুণনীয়ক এবং ফলাফলের মধ্যে সম্পর্কের শক্তির একটি তুলনামূলক মূল্যায়ন দিন।

7. ফলাফলের পূর্বাভাসিত মান গণনা করুন যদি ফ্যাক্টরের পূর্বাভাসিত মান গড় স্তর থেকে 10% বৃদ্ধি পায়। তাত্পর্য স্তরের জন্য পূর্বাভাসের আস্থার ব্যবধান নির্ধারণ করুন।

সমাধান:

সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক এই কাজটিএক্সেল ব্যবহার করে।

1. উপলব্ধ ডেটা x এবং y তুলনা করে, উদাহরণস্বরূপ, x ফ্যাক্টরের ক্রমবর্ধমান ক্রম অনুসারে তাদের র‌্যাঙ্কিং করে, কেউ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি সরাসরি সম্পর্কের উপস্থিতি লক্ষ্য করতে পারে, যখন মাথাপিছু গড় নির্বাহের মাত্রা বৃদ্ধির ফলে গড় দৈনিক গড় বৃদ্ধি পায়। বেতন. এর উপর ভিত্তি করে, আমরা অনুমান করতে পারি যে বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সম্পর্কটি সরাসরি এবং একটি সরল রেখা সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। গ্রাফিকাল বিশ্লেষণের ভিত্তিতে একই উপসংহার নিশ্চিত করা হয়েছে।

একটি পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্র তৈরি করতে, আপনি এক্সেল পিপিপি ব্যবহার করতে পারেন। ক্রমানুসারে প্রাথমিক তথ্য লিখুন: প্রথমে x, তারপর y।

কক্ষের এলাকা নির্বাচন করুন যেখানে ডেটা রয়েছে।

তাহলে বেছে নাও: মার্কারের সাথে সন্নিবেশ/স্ক্যাটার প্লট/স্ক্যাটারচিত্র 1 এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র 1 পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষেত্রের নির্মাণ

পারস্পরিক সম্পর্কের ক্ষেত্রের বিশ্লেষণ রেকটিলিয়ার নির্ভরতার কাছাকাছি উপস্থিতি দেখায়, যেহেতু পয়েন্টগুলি প্রায় একটি সরল রেখায় অবস্থিত।

2. রৈখিক রিগ্রেশন সমীকরণের পরামিতি গণনা করতে
চলুন বিল্ট-ইন পরিসংখ্যান ফাংশন ব্যবহার করা যাক LINEST.

এই জন্য:

1) বিশ্লেষণ করা তথ্য ধারণকারী একটি বিদ্যমান ফাইল খুলুন;
2) রিগ্রেশন পরিসংখ্যানের ফলাফল প্রদর্শনের জন্য খালি কক্ষের একটি 5x2 এলাকা নির্বাচন করুন (5 সারি, 2 কলাম)।
3) সক্রিয় করুন ফাংশন উইজার্ড: প্রধান মেনুতে নির্বাচন করুন সূত্র / সন্নিবেশ ফাংশন.
4) জানালায় শ্রেণীআপনি নিচ্ছেন পরিসংখ্যানগত, ফাংশন উইন্ডোতে - LINEST. বোতামে ক্লিক করুন ঠিক আছেচিত্র 2 এ দেখানো হয়েছে;

চিত্র 2 ফাংশন উইজার্ড ডায়ালগ বক্স

5) ফাংশন আর্গুমেন্ট পূরণ করুন:

জন্য পরিচিত মান

x এর পরিচিত মান

ধ্রুবক - বুলিয়ান মান, যা সমীকরণে একটি মুক্ত পদের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি নির্দেশ করে; যদি ধ্রুবক = 1, তাহলে মুক্ত পদটি স্বাভাবিক পদ্ধতিতে গণনা করা হয়, যদি ধ্রুবক = 0, তাহলে মুক্ত পদটি 0 হয়;

পরিসংখ্যান- একটি যৌক্তিক মান যা নির্দেশ করে যে রিগ্রেশন বিশ্লেষণে অতিরিক্ত তথ্য প্রদর্শন করা হবে কিনা। যদি পরিসংখ্যান = 1, তাহলে অতিরিক্ত তথ্যপ্রদর্শিত হয়, যদি পরিসংখ্যান = 0, তাহলে শুধুমাত্র সমীকরণ পরামিতির অনুমান প্রদর্শিত হয়।

বোতামে ক্লিক করুন ঠিক আছে;

চিত্র 3 LINEST ফাংশন আর্গুমেন্ট ডায়ালগ বক্স

6) চূড়ান্ত টেবিলের প্রথম উপাদানটি নির্বাচিত এলাকার উপরের বাম ঘরে উপস্থিত হবে। পুরো টেবিলটি খুলতে, বোতাম টিপুন , এবং তারপর কী সংমিশ্রণে যান ++ .

অতিরিক্ত রিগ্রেশন পরিসংখ্যান নিম্নলিখিত চিত্রে দেখানো ক্রমে আউটপুট হবে:

সহগ মান খ	সহগ একটি মান
স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি খ	স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি a
স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি y
F- পরিসংখ্যান
বর্গক্ষেত্রের রিগ্রেশন যোগফল

চিত্র 4 LINEST ফাংশন গণনার ফলাফল

আমরা রিগ্রেশন স্তর পেয়েছি:

আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি: মাথাপিছু গড় নির্বাহের মাত্রা 1 ঘষে বৃদ্ধির সাথে। গড় দৈনিক মজুরি গড়ে 0.92 রুবেল বৃদ্ধি পায়।

মানে 52% বৈচিত্র মজুরি(y) ফ্যাক্টর x এর পরিবর্তন দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে - মাথাপিছু গড় নির্বাহের স্তর, এবং 48% - মডেলটিতে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন অন্যান্য কারণের ক্রিয়া দ্বারা।

সংকল্পের গণনাকৃত সহগ ব্যবহার করে, পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ গণনা করা যেতে পারে: .

সংযোগ বন্ধ হিসাবে মূল্যায়ন করা হয়.

4. গড় (সাধারণ) স্থিতিস্থাপকতা সহগ ব্যবহার করে, আমরা ফলাফলের উপর ফ্যাক্টরের প্রভাবের শক্তি নির্ধারণ করি।

সরলরেখার সমীকরণের জন্য, আমরা সূত্র ব্যবহার করে গড় (মোট) স্থিতিস্থাপকতা সহগ নির্ধারণ করি:

আমরা x মান সহ ঘরের ক্ষেত্রফল নির্বাচন করে গড় মান খুঁজে বের করব সূত্র / অটোসাম / গড়, এবং আমরা y এর মান দিয়ে একই কাজ করব।

চিত্র 5 গড় ফাংশনের মান এবং আর্গুমেন্টের গণনা

এইভাবে, যদি জীবনযাত্রার গড় মাথাপিছু খরচ তার গড় মূল্য থেকে 1% পরিবর্তিত হয়, তাহলে গড় দৈনিক মজুরি গড়ে 0.51% পরিবর্তিত হবে।

একটি তথ্য বিশ্লেষণ টুল ব্যবহার করে রিগ্রেশনউপলব্ধ:
- রিগ্রেশন পরিসংখ্যানের ফলাফল,
- পার্থক্য বিশ্লেষণের ফলাফল,
- ফলাফল আস্থা অন্তর,
- অবশিষ্টাংশ এবং রিগ্রেশন লাইন ফিটিং গ্রাফ,
- অবশিষ্টাংশ এবং স্বাভাবিক সম্ভাবনা।

নিম্নরূপ পদ্ধতি:

1) অ্যাক্সেস চেক করুন বিশ্লেষণ প্যাকেজ. প্রধান মেনুতে, নির্বাচন করুন: ফাইল/বিকল্প/অ্যাড-অন.

2) ড্রপডাউন তালিকায় নিয়ন্ত্রণবাছাইকৃত জিনিস এক্সেল অ্যাড-ইনএবং বোতাম টিপুন যাওয়া.

3) জানালায় অ্যাড-অনবাক্সটি যাচাই কর বিশ্লেষণ প্যাকেজএবং তারপর বোতামে ক্লিক করুন ঠিক আছে.

যদি বিশ্লেষণ প্যাকেজমাঠের তালিকায় নেই উপলব্ধ অ্যাড-অন, বাটনটি চাপুন পুনঃমূল্যায়নএকটি অনুসন্ধান সঞ্চালন.

যদি আপনি একটি বার্তা পান যে ইঙ্গিত করে যে বিশ্লেষণ প্যাকেজটি আপনার কম্পিউটারে ইনস্টল করা নেই, ক্লিক করুন হ্যাঁএটি ইনস্টল করতে।

4) প্রধান মেনুতে, নির্বাচন করুন: ডেটা / ডেটা অ্যানালাইসিস / অ্যানালাইসিস টুলস / রিগ্রেশনএবং তারপর বোতামে ক্লিক করুন ঠিক আছে.

5) ডেটা ইনপুট এবং আউটপুট প্যারামিটার ডায়ালগ বক্স পূরণ করুন:

ইনপুট ব্যবধান Y- ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের ডেটা ধারণকারী পরিসর;

ইনপুট ব্যবধান X- ফ্যাক্টর বৈশিষ্ট্যের ডেটা ধারণকারী পরিসীমা;

ট্যাগ- একটি পতাকা যা নির্দেশ করে যে প্রথম লাইনে কলামের নাম আছে কি না;

ধ্রুবক - শূন্য- সমীকরণে একটি মুক্ত শব্দের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি নির্দেশ করে এমন একটি পতাকা;

আউটপুট ব্যবধান- ভবিষ্যতের পরিসরের উপরের বাম কক্ষটি নির্দেশ করার জন্য এটি যথেষ্ট;

6) নতুন ওয়ার্কশীট - আপনি নতুন শীটের জন্য একটি নির্বিচারে নাম উল্লেখ করতে পারেন।

তারপর বাটনে ক্লিক করুন ঠিক আছে.

চিত্র 6 রিগ্রেশন টুলের প্যারামিটার প্রবেশের জন্য ডায়ালগ বক্স

সমস্যা তথ্যের জন্য রিগ্রেশন বিশ্লেষণের ফলাফল চিত্র 7 এ উপস্থাপন করা হয়েছে।

চিত্র 7 রিগ্রেশন টুল ব্যবহারের ফলাফল

5. এর ব্যবহার মূল্যায়ন করা যাক গড় ত্রুটিসমীকরণের আনুমানিক গুণমান। চলুন চিত্র 8 এ উপস্থাপিত রিগ্রেশন বিশ্লেষণের ফলাফল ব্যবহার করা যাক।

চিত্র 8 রিগ্রেশন টুল ব্যবহার করার ফলাফল "অবশিষ্ট প্রত্যাহার"

চলুন চিত্র 9-এ দেখানো হিসাবে একটি নতুন টেবিল তৈরি করি। C কলামে আমরা গণনা করি আপেক্ষিক ত্রুটিসূত্র অনুযায়ী অনুমান:

চিত্র 9 গড় অনুমান ত্রুটির গণনা

গড় আনুমানিক ত্রুটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

নির্মিত মডেলের গুণমান ভাল হিসাবে মূল্যায়ন করা হয়, যেহেতু এটি 8 - 10% এর বেশি নয়।

6. টেবিল থেকে গ রিগ্রেশন পরিসংখ্যান(চিত্র 4) আমরা ফিশারের এফ-টেস্টের প্রকৃত মান লিখি:

কারন একটি 5% তাত্পর্য স্তরে, তারপরে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে রিগ্রেশন সমীকরণটি তাৎপর্যপূর্ণ (সম্পর্ক প্রমাণিত হয়েছে)।

8. মূল্যায়ন পরিসংখ্যানিক গুরুত্বআমরা শিক্ষার্থীদের টি-পরিসংখ্যান ব্যবহার করে এবং প্রতিটি সূচকের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করে রিগ্রেশন প্যারামিটারগুলি পরিচালনা করব।

আমরা সূচক এবং শূন্যের মধ্যে পরিসংখ্যানগতভাবে নগণ্য পার্থক্য সম্পর্কে হাইপোথিসিস H 0 সামনে রেখেছি:

.

স্বাধীনতার ডিগ্রি সংখ্যার জন্য

চিত্র 7 এর প্রকৃত টি-পরিসংখ্যান মান রয়েছে:

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের জন্য টি-পরীক্ষা দুটি উপায়ে গণনা করা যেতে পারে:

পদ্ধতি I:

কোথায় - পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ এর এলোমেলো ত্রুটি।

আমরা চিত্র 7 এর টেবিল থেকে গণনার জন্য ডেটা নেব।

পদ্ধতি II:

প্রকৃত টি-পরিসংখ্যানের মানগুলি টেবিলের মানকে ছাড়িয়ে গেছে:

অতএব, হাইপোথিসিস H 0 প্রত্যাখ্যান করা হয়েছে, অর্থাৎ, রিগ্রেশন প্যারামিটার এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ ঘটনাক্রমে শূন্য থেকে আলাদা নয়, তবে পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ।

পরামিতি a এর জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

প্যারামিটার a-এর জন্য, চিত্র 7-এ দেখানো 95% সীমা ছিল:

রিগ্রেশন সহগ জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

রিগ্রেশন সহগ b এর জন্য, চিত্র 7-এ দেখানো 95% সীমা ছিল:

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের ঊর্ধ্ব এবং নিম্ন সীমার বিশ্লেষণ এই উপসংহারে নিয়ে যায় যে সম্ভাব্যতার সাথে পরামিতি a এবং b, নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকায়, শূন্য মান গ্রহণ করে না, যেমন পরিসংখ্যানগতভাবে তুচ্ছ নয় এবং শূন্য থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা।

7. রিগ্রেশন সমীকরণের প্রাপ্ত অনুমান এটিকে পূর্বাভাসের জন্য ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। যদি জীবনযাত্রার পূর্বাভাসিত খরচ হয়:

তারপর জীবনযাত্রার ব্যয়ের পূর্বাভাসিত মূল্য হবে:

আমরা সূত্রটি ব্যবহার করে পূর্বাভাস ত্রুটি গণনা করি:

কোথায়

আমরা এক্সেল পিপিপি ব্যবহার করে ভিন্নতাও গণনা করব। এই জন্য:

1) সক্রিয় করুন ফাংশন উইজার্ড: প্রধান মেনুতে নির্বাচন করুন সূত্র / সন্নিবেশ ফাংশন.

3) গুণনীয়ক বৈশিষ্ট্যের সংখ্যাসূচক ডেটা ধারণকারী পরিসরটি পূরণ করুন। ক্লিক ঠিক আছে.

চিত্র 10 প্রকরণের গণনা

আমরা ভ্যারিয়েন্স মান পেয়েছি

স্বাধীনতার ডিগ্রী প্রতি অবশিষ্ট বৈচিত্র্য গণনা করতে, আমরা চিত্র 7 এ দেখানো বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণের ফলাফলগুলি ব্যবহার করব।

0.95 এর সম্ভাব্যতার সাথে y এর পৃথক মান ভবিষ্যদ্বাণী করার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়:

ব্যবধানটি বেশ প্রশস্ত, প্রাথমিকভাবে পর্যবেক্ষণের ছোট আয়তনের কারণে। সাধারণভাবে, গড় মাসিক বেতনের পূর্বাভাস নির্ভরযোগ্য বলে প্রমাণিত হয়েছে।

সমস্যার অবস্থা থেকে নেওয়া হয়েছে: অর্থনীতি বিষয়ক কর্মশালা: প্রসি. ভাতা / I.I এলিসিভা, এস.ভি. কুরিশেভা, এন.এম. গর্ডেনকো এবং অন্যান্য; এড. আই.আই. এলিসিভা। - এম.: ফিনান্স অ্যান্ড স্ট্যাটিস্টিকস, 2003। - 192 পি।: অসুস্থ।