বাড়ি প্রস্থেটিক্স এবং ইমপ্লান্টেশন পয়েন্ট ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি। সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতি কোথায় ব্যবহৃত হয়?

প্রস্থেটিক্স এবং ইমপ্লান্টেশন

পয়েন্ট ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি। সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতি কোথায় ব্যবহৃত হয়?

উদাহরণ।

ভেরিয়েবলের মানগুলির উপর পরীক্ষামূলক ডেটা এক্সএবং এটেবিলে দেওয়া হয়।

তাদের প্রান্তিককরণের ফলে, ফাংশন প্রাপ্ত হয়

ব্যবহার পদ্ধতি সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র , একটি রৈখিক নির্ভরতা দ্বারা আনুমানিক এই তথ্য y=ax+b(পরামিটার খুঁজুন কএবং খ) দুটি লাইনের মধ্যে কোনটি ভাল (সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতির অর্থে) পরীক্ষামূলক ডেটা সারিবদ্ধ করে তা খুঁজে বের করুন। একটি অঙ্কন তৈরি করুন।

সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতির সারাংশ (LSM)।

কাজটি হল রৈখিক নির্ভরতা সহগ খুঁজে বের করা যেখানে দুটি ভেরিয়েবলের কাজ কএবং খ সবচেয়ে ছোট মান নেয়। অর্থাৎ দেওয়া হয়েছে কএবং খপাওয়া সরলরেখা থেকে পরীক্ষামূলক ডেটার বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টি হবে সবচেয়ে ছোট। এটি সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির সম্পূর্ণ বিন্দু।

এইভাবে, উদাহরণটি সমাধান করার ফলে দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে পাওয়া যায়।

সহগ খুঁজে বের করার জন্য সূত্র প্রাপ্ত করা।

দুটি অজানা সহ দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সংকলিত এবং সমাধান করা হয়। একটি ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা ভেরিয়েবল দ্বারা কএবং খ, আমরা এই ডেরিভেটিভগুলিকে শূন্যের সাথে সমান করি।

আমরা যেকোন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের ফলাফল সিস্টেম সমাধান করি (উদাহরণস্বরূপ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি দ্বারাবা ক্রেমারের পদ্ধতি) এবং সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি (LSM) ব্যবহার করে সহগ খুঁজে বের করার জন্য সূত্রগুলি পান।

দেওয়া কএবং খফাংশন সবচেয়ে ছোট মান নেয়। এই সত্যের প্রমাণ দেওয়া হয় পৃষ্ঠার শেষে পাঠ্যের নীচে.

এটি সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্রের পুরো পদ্ধতি। পরামিতি খোঁজার জন্য সূত্র কযোগফল ,,, এবং প্যারামিটার রয়েছে n- পরীক্ষামূলক ডেটার পরিমাণ। আমরা আলাদাভাবে এই পরিমাণের মান গণনা করার পরামর্শ দিই। গুণাঙ্ক খগণনার পর পাওয়া যায় ক.

মূল উদাহরণ মনে রাখার সময় এসেছে।

সমাধান।

আমাদের উদাহরণে n=5. প্রয়োজনীয় সহগগুলির সূত্রগুলিতে অন্তর্ভুক্ত পরিমাণগুলি গণনা করার সুবিধার জন্য আমরা টেবিলটি পূরণ করি।

টেবিলের চতুর্থ সারির মানগুলি প্রতিটি সংখ্যার জন্য 3য় সারির মান দ্বারা 2য় সারির মানগুলিকে গুণ করে প্রাপ্ত করা হয়। i.

টেবিলের পঞ্চম সারির মানগুলি প্রতিটি সংখ্যার জন্য 2য় সারির মানগুলিকে বর্গ করে প্রাপ্ত করা হয় i.

টেবিলের শেষ কলামের মানগুলি সারি জুড়ে মানগুলির যোগফল।

আমরা সহগ খুঁজে পেতে সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতির সূত্র ব্যবহার করি কএবং খ. আমরা টেবিলের শেষ কলাম থেকে সংশ্লিষ্ট মানগুলিকে তাদের মধ্যে প্রতিস্থাপন করি:

তাই, y = 0.165x+2.184- পছন্দসই আনুমানিক সরলরেখা।

এটা কোন লাইন খুঁজে বের করার অবশেষ y = 0.165x+2.184বা মূল ডেটার আনুমানিক ভালো করে, অর্থাৎ, সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি অনুমান তৈরি করে।

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির ত্রুটি অনুমান।

এটি করার জন্য, আপনাকে এই লাইনগুলি থেকে মূল ডেটার বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল গণনা করতে হবে এবং , একটি ছোট মান একটি লাইনের সাথে মিলে যায় যা সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতির অর্থে মূল ডেটার আনুমানিক অনুমান করে।

যেহেতু, তারপর সোজা y = 0.165x+2.184আসল ডেটার আনুমানিক ভাল।

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র (LS) পদ্ধতির গ্রাফিক চিত্র।

গ্রাফগুলিতে সবকিছু পরিষ্কারভাবে দৃশ্যমান। লাল রেখাটি পাওয়া সরল রেখা y = 0.165x+2.184, নীল রেখা হল , গোলাপী বিন্দু মূল তথ্য.

অনুশীলনে, বিভিন্ন প্রক্রিয়ার মডেলিং করার সময় - বিশেষত, অর্থনৈতিক, শারীরিক, প্রযুক্তিগত, সামাজিক - নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলিতে তাদের পরিচিত মানগুলি থেকে ফাংশনের আনুমানিক মান গণনা করার এক বা অন্য পদ্ধতি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

এই ধরনের ফাংশন আনুমানিক সমস্যা প্রায়ই দেখা দেয়:

পরীক্ষার ফলস্বরূপ প্রাপ্ত ট্যাবুলার ডেটা ব্যবহার করে অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির বৈশিষ্ট্যযুক্ত পরিমাণের মান গণনার জন্য আনুমানিক সূত্র তৈরি করার সময়;

সংখ্যাগত একীকরণ, পার্থক্য, সমাধান ডিফারেনশিয়াল সমীকরণইত্যাদি;

যদি প্রয়োজন হয়, বিবেচিত ব্যবধানের মধ্যবর্তী পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মান গণনা করুন;

বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে একটি প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্যগত পরিমাণের মান নির্ধারণ করার সময়, বিশেষ করে পূর্বাভাস দেওয়ার সময়।

যদি, একটি সারণী দ্বারা নির্দিষ্ট একটি নির্দিষ্ট প্রক্রিয়ার মডেল করার জন্য, আমরা একটি ফাংশন তৈরি করি যা এই প্রক্রিয়াটিকে সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে প্রায় বর্ণনা করে, এটিকে একটি আনুমানিক ফাংশন (রিগ্রেশন) বলা হবে এবং আনুমানিক ফাংশনগুলি নিজেই নির্মাণের সমস্যা বলা হবে। একটি আনুমানিক সমস্যা।

এই নিবন্ধটি এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য এমএস এক্সেল প্যাকেজের ক্ষমতা নিয়ে আলোচনা করে, উপরন্তু, এটি ট্যাবুলেড ফাংশনগুলির জন্য রিগ্রেশন তৈরি (তৈরি করার) জন্য পদ্ধতি এবং কৌশল সরবরাহ করে (যা রিগ্রেশন বিশ্লেষণের ভিত্তি)।

এক্সেলের রিগ্রেশন তৈরির জন্য দুটি বিকল্প রয়েছে।

অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়া বৈশিষ্ট্যের জন্য একটি ডেটা টেবিলের ভিত্তিতে নির্মিত একটি ডায়াগ্রামে নির্বাচিত রিগ্রেশন (ট্রেন্ডলাইন) যোগ করা (একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করা হলেই উপলব্ধ);

এক্সেল ওয়ার্কশীটের অন্তর্নির্মিত পরিসংখ্যানগত ফাংশনগুলি ব্যবহার করে, আপনাকে উত্স ডেটা টেবিল থেকে সরাসরি রিগ্রেশন (ট্রেন্ড লাইন) পেতে অনুমতি দেয়।

একটি চার্টে ট্রেন্ড লাইন যোগ করা হচ্ছে

ডেটা টেবিলের জন্য যা একটি প্রক্রিয়া বর্ণনা করে এবং একটি ডায়াগ্রাম দ্বারা উপস্থাপিত হয়, এক্সেলের একটি কার্যকর রিগ্রেশন বিশ্লেষণ টুল রয়েছে যা আপনাকে করতে দেয়:

সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতির ভিত্তিতে তৈরি করুন এবং ডায়াগ্রামে পাঁচ ধরনের রিগ্রেশন যোগ করুন, যা বিভিন্ন মাত্রার নির্ভুলতার সাথে অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটিকে মডেল করে;

চিত্রে নির্মিত রিগ্রেশন সমীকরণ যোগ করুন;

চার্টে প্রদর্শিত ডেটাতে নির্বাচিত রিগ্রেশনের চিঠিপত্রের ডিগ্রি নির্ধারণ করুন।

চার্ট ডেটার উপর ভিত্তি করে, এক্সেল আপনাকে রৈখিক, বহুপদী, লগারিদমিক, শক্তি, সূচকীয় ধরণের রিগ্রেশন পেতে দেয়, যা সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়:

y = y(x)

যেখানে x একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল যা প্রায়শই প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি ক্রম (1; 2; 3; ...) এর মান নেয় এবং উৎপন্ন করে, উদাহরণস্বরূপ, অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির সময়ের গণনা (বৈশিষ্ট্য)।

1 . রৈখিক রিগ্রেশন মডেলিং বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য ভাল যার মানগুলি ধ্রুবক হারে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়। অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির জন্য এটি তৈরি করা সহজতম মডেল। এটি সমীকরণ অনুযায়ী নির্মিত হয়:

y = mx + b

যেখানে m হল প্রবণতার কোণের স্পর্শক লিনিয়ার রিগ্রেশনঅবসিসা অক্ষে; b - অর্ডিনেট অক্ষের সাথে রৈখিক রিগ্রেশনের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

2 . একটি বহুপদী প্রবণতা লাইন এমন বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করার জন্য উপযোগী যেগুলির বেশ কয়েকটি স্বতন্ত্র চরম (ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা) রয়েছে। বহুপদী ডিগ্রির পছন্দ অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের চরম সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়। সুতরাং, একটি দ্বিতীয়-ডিগ্রি বহুপদী এমন একটি প্রক্রিয়াকে ভালভাবে বর্ণনা করতে পারে যার শুধুমাত্র একটি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন আছে; তৃতীয় ডিগ্রির বহুপদী - দুইটির বেশি নয়; চতুর্থ ডিগ্রির বহুপদী - তিনটির বেশি নয়, ইত্যাদি।

এই ক্ষেত্রে, ট্রেন্ড লাইনটি সমীকরণ অনুসারে তৈরি করা হয়েছে:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

যেখানে সহগ c0, c1, c2,... c6 হল ধ্রুবক যার মান নির্মাণের সময় নির্ধারিত হয়।

3 . লগারিদমিক ট্রেন্ড লাইনটি সফলভাবে ব্যবহৃত হয় যখন মডেলিং বৈশিষ্ট্যগুলির মান প্রাথমিকভাবে দ্রুত পরিবর্তিত হয় এবং তারপর ধীরে ধীরে স্থিতিশীল হয়।

y = c ln(x) + b

4 . একটি পাওয়ার-আইন ট্রেন্ড লাইন ভাল ফলাফল দেয় যদি অধ্যয়নের অধীনে সম্পর্কের মানগুলি বৃদ্ধির হারে একটি ধ্রুবক পরিবর্তন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই ধরনের নির্ভরতার একটি উদাহরণ হল একটি গাড়ির অভিন্ন ত্বরিত গতির গ্রাফ। ডেটাতে শূন্য বা নেতিবাচক মান থাকলে, আপনি পাওয়ার ট্রেন্ড লাইন ব্যবহার করতে পারবেন না।

সমীকরণ অনুযায়ী নির্মিত:

y = c xb

যেখানে সহগ b, c ধ্রুবক।

5 . ডেটা পরিবর্তনের হার ক্রমাগত বৃদ্ধি পেলে একটি সূচকীয় প্রবণতা লাইন ব্যবহার করা উচিত। শূন্য বা ঋণাত্মক মান ধারণকারী ডেটার জন্য, এই ধরনের আনুমানিকতাও প্রযোজ্য নয়।

সমীকরণ অনুযায়ী নির্মিত:

y = c ebx

যেখানে সহগ b, c ধ্রুবক।

একটি লাইন নির্বাচন করার সময় এক্সেল প্রবণতাস্বয়ংক্রিয়ভাবে R2 এর মান গণনা করে, যা আনুমানিকতার নির্ভরযোগ্যতাকে চিহ্নিত করে: তুলনায় কাছাকাছি মানএকতা থেকে R2, আরো নির্ভরযোগ্যভাবে প্রবণতা লাইন অধ্যয়ন অধীনে প্রক্রিয়া আনুমানিক. প্রয়োজন হলে, R2 মান সর্বদা চার্টে প্রদর্শিত হতে পারে।

সূত্র দ্বারা নির্ধারিত:

একটি ডেটা সিরিজে একটি ট্রেন্ড লাইন যোগ করতে:

ডেটার একটি সিরিজের উপর ভিত্তি করে একটি চার্ট সক্রিয় করুন, যেমন চার্ট এলাকার মধ্যে ক্লিক করুন। ডায়াগ্রাম আইটেমটি প্রধান মেনুতে উপস্থিত হবে;

এই আইটেমটিতে ক্লিক করার পরে, স্ক্রিনে একটি মেনু প্রদর্শিত হবে যেখানে আপনার অ্যাড ট্রেন্ড লাইন কমান্ড নির্বাচন করা উচিত।

একই ক্রিয়াগুলি ডেটা সিরিজের একটির সাথে সম্পর্কিত গ্রাফের উপর মাউস পয়েন্টার সরিয়ে এবং ডান-ক্লিক করে সহজেই প্রয়োগ করা যেতে পারে; প্রদর্শিত প্রসঙ্গ মেনুতে, অ্যাড ট্রেন্ড লাইন কমান্ড নির্বাচন করুন। টাইপ ট্যাব খোলার সাথে স্ক্রিনে ট্রেন্ডলাইন ডায়ালগ বক্স প্রদর্শিত হবে (চিত্র 1)।

এর পরে আপনার প্রয়োজন:

টাইপ ট্যাবে প্রয়োজনীয় ট্রেন্ড লাইন টাইপ নির্বাচন করুন (লিনিয়ার টাইপ ডিফল্টরূপে নির্বাচিত হয়)। বহুপদী প্রকারের জন্য, ডিগ্রি ক্ষেত্রে, নির্বাচিত বহুপদীর ডিগ্রি নির্দিষ্ট করুন।

1 . বিল্ট অন সিরিজ ফিল্ড প্রশ্নে থাকা চার্টে সমস্ত ডেটা সিরিজ তালিকাভুক্ত করে। একটি নির্দিষ্ট ডেটা সিরিজে একটি ট্রেন্ড লাইন যোগ করতে, বিল্ট অন সিরিজ ক্ষেত্রের নাম নির্বাচন করুন।

প্রয়োজনে, প্যারামিটার ট্যাবে গিয়ে (চিত্র 2), আপনি ট্রেন্ড লাইনের জন্য নিম্নলিখিত পরামিতিগুলি সেট করতে পারেন:

আনুমানিক (মসৃণ) বক্ররেখা ক্ষেত্রের নামে ট্রেন্ড লাইনের নাম পরিবর্তন করুন।

পূর্বাভাসের ক্ষেত্রে পূর্বাভাসের জন্য পিরিয়ডের সংখ্যা (সামনে বা পিছনে) সেট করুন;

ডায়াগ্রাম এলাকায় ট্রেন্ড লাইনের সমীকরণ প্রদর্শন করুন, যার জন্য আপনাকে ডায়াগ্রাম চেকবক্সে প্রদর্শন সমীকরণ সক্ষম করতে হবে;

ডায়াগ্রাম এলাকায় আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতা মান R2 প্রদর্শন করুন, যার জন্য আপনাকে ডায়াগ্রামে আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতা মান রাখুন (R^2) চেকবক্স সক্ষম করতে হবে;

Y অক্ষের সাথে ট্রেন্ড লাইনের ছেদ বিন্দু সেট করুন, যার জন্য আপনার একটি বিন্দুতে Y অক্ষের সাথে বক্ররেখার ছেদ করার জন্য চেকবক্স সক্রিয় করা উচিত;

ডায়ালগ বক্স বন্ধ করতে ওকে বোতামে ক্লিক করুন।

ইতিমধ্যে আঁকা একটি ট্রেন্ড লাইন সম্পাদনা শুরু করার জন্য, তিনটি উপায় আছে:

ফরম্যাট মেনু থেকে নির্বাচিত প্রবণতা লাইন কমান্ডটি ব্যবহার করুন, পূর্বে প্রবণতা লাইন নির্বাচন করে;

প্রসঙ্গ মেনু থেকে ফরম্যাট ট্রেন্ড লাইন কমান্ড নির্বাচন করুন, যা ট্রেন্ড লাইনে ডান-ক্লিক করে কল করা হয়;

ট্রেন্ড লাইনে ডাবল ক্লিক করুন।

ট্রেন্ড লাইন ফরম্যাট ডায়ালগ বক্সটি স্ক্রিনে প্রদর্শিত হবে (চিত্র 3), যাতে তিনটি ট্যাব রয়েছে: দেখুন, প্রকার, পরামিতি এবং শেষ দুটির বিষয়বস্তু ট্রেন্ড লাইন ডায়ালগ বক্সের অনুরূপ ট্যাবের সাথে সম্পূর্ণভাবে মিলে যায় (চিত্র 1) -2)। ভিউ ট্যাবে, আপনি লাইনের ধরন, এর রঙ এবং বেধ সেট করতে পারেন।

ইতিমধ্যে আঁকা হয়েছে এমন একটি ট্রেন্ড লাইন মুছতে, মুছে ফেলার জন্য ট্রেন্ড লাইন নির্বাচন করুন এবং ডিলিট কী টিপুন।

বিবেচিত রিগ্রেশন বিশ্লেষণ টুলের সুবিধা হল:

এটির জন্য একটি ডেটা টেবিল তৈরি না করে চার্টে একটি ট্রেন্ড লাইন তৈরি করার আপেক্ষিক সহজতা;

প্রস্তাবিত প্রবণতা লাইনের প্রকারের একটি মোটামুটি বিস্তৃত তালিকা, এবং এই তালিকায় সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত রিগ্রেশনের ধরন রয়েছে;

একটি নির্বিচারে (সাধারণ জ্ঞানের সীমার মধ্যে) এগিয়ে এবং পিছিয়ে যাওয়ার সংখ্যা দ্বারা অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির আচরণের পূর্বাভাস দেওয়ার ক্ষমতা;

বিশ্লেষণাত্মক আকারে ট্রেন্ড লাইন সমীকরণ প্রাপ্ত করার ক্ষমতা;

সম্ভাবনা, প্রয়োজন হলে, আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতার একটি মূল্যায়ন প্রাপ্তির।

অসুবিধাগুলির মধ্যে নিম্নলিখিতগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:

একটি ট্রেন্ড লাইনের নির্মাণ শুধুমাত্র তখনই সম্পন্ন করা হয় যখন ডেটার একটি সিরিজের উপর নির্মিত একটি ডায়াগ্রাম থাকে;

এটির জন্য প্রাপ্ত প্রবণতা লাইন সমীকরণের উপর ভিত্তি করে অধ্যয়নের অধীনে বৈশিষ্ট্যের জন্য ডেটা সিরিজ তৈরি করার প্রক্রিয়াটি কিছুটা বিশৃঙ্খল: প্রয়োজনীয় রিগ্রেশন সমীকরণগুলি মূল ডেটা সিরিজের মানগুলির প্রতিটি পরিবর্তনের সাথে আপডেট করা হয়, তবে শুধুমাত্র ডায়াগ্রাম এলাকার মধ্যে , যখন ডেটা সিরিজ, পুরানো ট্রেন্ড লাইন সমীকরণের উপর ভিত্তি করে তৈরি, অপরিবর্তিত থাকে;

PivotChart রিপোর্টগুলিতে, একটি চার্ট বা সংশ্লিষ্ট PivotTable রিপোর্টের দৃশ্য পরিবর্তন করা বিদ্যমান ট্রেন্ডলাইনগুলিকে সংরক্ষণ করে না, যার অর্থ হল আপনি ট্রেন্ডলাইন আঁকার আগে বা অন্যথায় একটি PivotChart রিপোর্ট ফর্ম্যাট করার আগে, আপনাকে নিশ্চিত করতে হবে যে রিপোর্ট লেআউট প্রয়োজনীয় প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে৷

গ্রাফ, হিস্টোগ্রাম, ফ্ল্যাট অ-প্রমিত এলাকা চার্ট, বার চার্ট, স্ক্যাটার চার্ট, বাবল চার্ট এবং স্টক চার্টের মতো চার্টে উপস্থাপিত ডেটা সিরিজের পরিপূরক করতে ট্রেন্ড লাইন ব্যবহার করা যেতে পারে।

আপনি 3D, নরমালাইজড, রাডার, পাই এবং ডোনাট চার্টে ডেটা সিরিজে ট্রেন্ড লাইন যোগ করতে পারবেন না।

এক্সেলের অন্তর্নির্মিত ফাংশন ব্যবহার করে

চার্ট এলাকার বাইরে ট্রেন্ড লাইন প্লট করার জন্য এক্সেলের একটি রিগ্রেশন বিশ্লেষণ টুলও রয়েছে। আপনি এই উদ্দেশ্যে ব্যবহার করতে পারেন এমন অনেকগুলি পরিসংখ্যানগত ওয়ার্কশীট ফাংশন রয়েছে, তবে সেগুলি সবগুলিই আপনাকে রৈখিক বা সূচকীয় রিগ্রেশন তৈরি করতে দেয়।

রৈখিক রিগ্রেশন নির্মাণের জন্য এক্সেলের বেশ কয়েকটি ফাংশন রয়েছে, বিশেষ করে:

ট্রেন্ড;

ঢাল এবং কাটা.

পাশাপাশি একটি সূচকীয় প্রবণতা লাইন নির্মাণের জন্য বেশ কয়েকটি ফাংশন, বিশেষ করে:

এলজিআরএফপিআরবিএল।

এটি লক্ষ করা উচিত যে TREND এবং GROWTH ফাংশন ব্যবহার করে রিগ্রেশন নির্মাণের কৌশলগুলি প্রায় একই। LINEST এবং LGRFPRIBL ফাংশন জোড়া সম্পর্কে একই কথা বলা যেতে পারে। এই চারটি ফাংশনের জন্য, মানগুলির একটি সারণী তৈরি করতে এক্সেল বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে যেমন অ্যারে সূত্রগুলি, যা কিছুটা বিশৃঙ্খলভাবে রিগ্রেশন তৈরির প্রক্রিয়াটিকে বিশৃঙ্খল করে। আরও মনে রাখবেন যে রৈখিক রিগ্রেশন নির্মাণ, আমাদের মতে, স্লোপ এবং ইন্টারসেপ্ট ফাংশন ব্যবহার করে সবচেয়ে সহজে সম্পন্ন করা হয়, যেখানে তাদের মধ্যে প্রথমটি রৈখিক রিগ্রেশনের ঢাল নির্ধারণ করে এবং দ্বিতীয়টি y-তে রিগ্রেশন দ্বারা বাধাপ্রাপ্ত সেগমেন্ট নির্ধারণ করে। -অক্ষ

রিগ্রেশন বিশ্লেষণের জন্য বিল্ট-ইন ফাংশন টুলের সুবিধা হল:

প্রবণতা লাইন সংজ্ঞায়িত সমস্ত অন্তর্নির্মিত পরিসংখ্যানগত ফাংশনগুলির জন্য অধ্যয়নের অধীনে বৈশিষ্ট্যের ডেটা সিরিজ তৈরি করার একটি মোটামুটি সহজ, অভিন্ন প্রক্রিয়া;

উত্পন্ন ডেটা সিরিজের উপর ভিত্তি করে ট্রেন্ড লাইন নির্মাণের জন্য আদর্শ পদ্ধতি;

প্রয়োজনীয় সংখ্যক ধাপ এগিয়ে বা পিছনের দিকে অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির আচরণের পূর্বাভাস দেওয়ার ক্ষমতা।

অসুবিধাগুলির মধ্যে রয়েছে যে এক্সেলের অন্যান্য (রৈখিক এবং সূচকীয় ব্যতীত) ধরণের ট্রেন্ড লাইন তৈরি করার জন্য বিল্ট-ইন ফাংশন নেই। এই পরিস্থিতিতে প্রায়শই অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির একটি পর্যাপ্ত সঠিক মডেল বেছে নেওয়ার পাশাপাশি বাস্তবতার কাছাকাছি পূর্বাভাস পাওয়ার অনুমতি দেয় না। উপরন্তু, ট্রেন্ড এবং গ্রোথ ফাংশন ব্যবহার করার সময়, ট্রেন্ড লাইনের সমীকরণ জানা যায় না।

এটি লক্ষ করা উচিত যে লেখকরা সম্পূর্ণতার সাথে রিগ্রেশন বিশ্লেষণের কোর্সটি উপস্থাপন করার জন্য সেট করেননি। আনুমানিক সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এক্সেল প্যাকেজের ক্ষমতাগুলি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে দেখানোই এর প্রধান কাজ; এক্সেলের রিগ্রেশন এবং পূর্বাভাস তৈরির জন্য কী কার্যকর সরঞ্জাম রয়েছে তা প্রদর্শন করুন; রিগ্রেশন বিশ্লেষণের ব্যাপক জ্ঞান নেই এমন ব্যবহারকারীর দ্বারাও কীভাবে এই ধরনের সমস্যাগুলি তুলনামূলকভাবে সহজে সমাধান করা যেতে পারে তা ব্যাখ্যা করুন।

নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

আসুন তালিকাভুক্ত এক্সেল সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট সমস্যাগুলি সমাধান করা যাক।

সমস্যা 1

1995-2002 এর জন্য একটি মোটর ট্রান্সপোর্ট এন্টারপ্রাইজের লাভের ডেটা টেবিল সহ। আপনাকে নিম্নলিখিতগুলি করতে হবে:

একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করুন।

চার্টে রৈখিক এবং বহুপদী (চতুর্মুখী এবং ঘন) প্রবণতা লাইন যোগ করুন।

ট্রেন্ড লাইন সমীকরণ ব্যবহার করে, 1995-2004 এর জন্য প্রতিটি ট্রেন্ড লাইনের জন্য এন্টারপ্রাইজ লাভের সারণী ডেটা পান।

2003 এবং 2004 এর জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের জন্য একটি পূর্বাভাস তৈরি করুন।

সমস্যার সমাধান

এক্সেল ওয়ার্কশীটের A4:C11 কক্ষের পরিসরে, চিত্রে দেখানো ওয়ার্কশীটটি প্রবেশ করান। 4.

B4:C11 কোষের পরিসর নির্বাচন করার পরে, আমরা একটি চিত্র তৈরি করি।

আমরা নির্মিত চিত্রটি সক্রিয় করি এবং উপরে বর্ণিত পদ্ধতি অনুসারে, ট্রেন্ড লাইন ডায়ালগ বক্সে ট্রেন্ড লাইনের ধরন নির্বাচন করার পরে (চিত্র 1 দেখুন), আমরা পর্যায়ক্রমে ডায়াগ্রামে রৈখিক, চতুর্মুখী এবং ঘন প্রবণতা লাইন যোগ করি। একই ডায়ালগ বক্সে, প্যারামিটার ট্যাবটি খুলুন (চিত্র 2 দেখুন), আনুমানিক (মসৃণ) বক্ররেখা ক্ষেত্রের নামে, যুক্ত হওয়া প্রবণতার নাম লিখুন এবং পূর্বাভাস ফরোয়ার্ড এর জন্য: পিরিয়ড ক্ষেত্র, সেট করুন মান 2, যেহেতু এটি দুই বছরের জন্য একটি মুনাফা পূর্বাভাস করার পরিকল্পনা করা হয়েছে। ডায়াগ্রাম এলাকায় রিগ্রেশন সমীকরণ এবং আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতা মান R2 প্রদর্শন করতে, স্ক্রীনের চেকবক্সগুলিতে প্রদর্শন সমীকরণ সক্ষম করুন এবং ডায়াগ্রামে আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতা মান (R^2) রাখুন। ভালো চাক্ষুষ উপলব্ধির জন্য, আমরা নির্মিত ট্রেন্ড লাইনের ধরন, রঙ এবং বেধ পরিবর্তন করি, যার জন্য আমরা ট্রেন্ড লাইন ফরম্যাট ডায়ালগ বক্সের ভিউ ট্যাবটি ব্যবহার করি (চিত্র 3 দেখুন)। যুক্ত প্রবণতা লাইন সহ ফলাফল চিত্রটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.

1995-2004 এর জন্য প্রতিটি ট্রেন্ড লাইনের জন্য এন্টারপ্রাইজ লাভের উপর সারণী ডেটা প্রাপ্ত করা। চলুন চিত্রে উপস্থাপিত ট্রেন্ড লাইন সমীকরণ ব্যবহার করা যাক। 5. এটি করার জন্য, D3:F3 পরিসরের ঘরে, নির্বাচিত প্রবণতা লাইনের ধরন সম্পর্কে পাঠ্য তথ্য লিখুন: রৈখিক প্রবণতা, চতুর্মুখী প্রবণতা, ঘন প্রবণতা। এরপর, ঘর D4-এ লিনিয়ার রিগ্রেশন সূত্র লিখুন এবং, ফিল মার্কার ব্যবহার করে, সেল রেঞ্জ D5:D13-এর আপেক্ষিক রেফারেন্স সহ এই সূত্রটি অনুলিপি করুন। এটি লক্ষ করা উচিত যে D4:D13 কোষের পরিসর থেকে একটি রৈখিক রিগ্রেশন সূত্র সহ প্রতিটি কক্ষের একটি যুক্তি হিসাবে রয়েছে A4:A13 পরিসর থেকে একটি সংশ্লিষ্ট ঘর। একইভাবে, চতুর্মুখী রিগ্রেশনের জন্য, কোষের পরিসরটি পূরণ করুন E4:E13, এবং কিউবিক রিগ্রেশনের জন্য, কোষের পরিসরটি পূরণ করুন F4:F13। এইভাবে, 2003 এবং 2004 এর জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের জন্য একটি পূর্বাভাস সংকলিত হয়েছে। তিনটি প্রবণতা ব্যবহার করে। ফলাফলের সারণীটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 6.

সমস্যা 2

একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করুন।

চার্টে লগারিদমিক, শক্তি এবং সূচকীয় প্রবণতা লাইন যোগ করুন।

প্রাপ্ত প্রবণতা রেখাগুলির সমীকরণগুলি, সেইসাথে তাদের প্রত্যেকের জন্য আনুমানিক R2 এর নির্ভরযোগ্যতার মানগুলি বের করুন৷

ট্রেন্ড লাইন সমীকরণ ব্যবহার করে, 1995-2002-এর জন্য প্রতিটি ট্রেন্ড লাইনের জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের সারণী ডেটা পান।

এই ট্রেন্ড লাইনগুলি ব্যবহার করে 2003 এবং 2004 এর জন্য কোম্পানির লাভের একটি পূর্বাভাস তৈরি করুন।

সমস্যার সমাধান

সমস্যা 1 সমাধানে প্রদত্ত পদ্ধতি অনুসরণ করে, আমরা লগারিদমিক, শক্তি এবং সূচকীয় প্রবণতা লাইন যুক্ত একটি চিত্র পাই (চিত্র 7)। এরপরে, প্রাপ্ত ট্রেন্ড লাইন সমীকরণগুলি ব্যবহার করে, আমরা 2003 এবং 2004 এর পূর্বাভাসিত মান সহ এন্টারপ্রাইজের লাভের জন্য মানগুলির একটি সারণী পূরণ করি। (চিত্র 8)।

চিত্রে। 5 এবং ডুমুর। এটি দেখা যায় যে লগারিদমিক প্রবণতা সহ মডেলটি আনুমানিক নির্ভরযোগ্যতার সর্বনিম্ন মানের সাথে মিলে যায়

R2 = 0.8659

R2-এর সর্বোচ্চ মানগুলি বহুপদী প্রবণতা সহ মডেলগুলির সাথে মিলে যায়: দ্বিঘাত (R2 = 0.9263) এবং ঘনক (R2 = 0.933)।

সমস্যা 3

টাস্ক 1 এ দেওয়া 1995-2002 এর জন্য একটি মোটর ট্রান্সপোর্ট এন্টারপ্রাইজের লাভের ডেটা টেবিলের সাথে, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করতে হবে।

TREND এবং GROW ফাংশন ব্যবহার করে রৈখিক এবং সূচকীয় ট্রেন্ড লাইনের জন্য ডেটা সিরিজ প্রাপ্ত করুন।

TREND এবং GROWTH ফাংশন ব্যবহার করে, 2003 এবং 2004 এর জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের একটি পূর্বাভাস তৈরি করুন।

মূল ডেটা এবং ফলস্বরূপ ডেটা সিরিজের জন্য একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করুন।

সমস্যার সমাধান

আসুন সমস্যা 1 এর জন্য ওয়ার্কশীট ব্যবহার করি (চিত্র 4 দেখুন)। TREND ফাংশন দিয়ে শুরু করা যাক:

D4:D11 ঘরের পরিসর নির্বাচন করুন, যা এন্টারপ্রাইজের লাভের পরিচিত ডেটার সাথে সম্পর্কিত TREND ফাংশনের মান দিয়ে পূর্ণ হওয়া উচিত;

সন্নিবেশ মেনু থেকে ফাংশন কমান্ডটি কল করুন। প্রদর্শিত ফাংশন উইজার্ড ডায়ালগ বক্সে, পরিসংখ্যান বিভাগ থেকে TREND ফাংশন নির্বাচন করুন, এবং তারপর ওকে বোতামে ক্লিক করুন। স্ট্যান্ডার্ড টুলবারে (ইনসার্ট ফাংশন) বোতামে ক্লিক করে একই অপারেশন করা যেতে পারে।

প্রদর্শিত ফাংশন আর্গুমেন্ট ডায়ালগ বক্সে, পরিচিত_মান_ই ক্ষেত্রে C4:C11 কক্ষের পরিসর লিখুন; Known_values_x ক্ষেত্রে - B4:B11 কোষের পরিসর;

প্রবেশ করা সূত্রটিকে একটি অ্যারে সূত্রে পরিণত করতে, কী সমন্বয় + + ব্যবহার করুন।

সূত্র বারে আমরা যে সূত্রটি প্রবেশ করিয়েছি তা দেখতে এরকম হবে: =(TREND(C4:C11,B4:B11))।

ফলস্বরূপ, কোষের পরিসর D4:D11 TREND ফাংশনের সংশ্লিষ্ট মান দিয়ে পূর্ণ হয় (চিত্র 9)।

2003 এবং 2004 এর জন্য এন্টারপ্রাইজের লাভের পূর্বাভাস দিতে। প্রয়োজনীয়:

D12:D13 ঘরের পরিসর নির্বাচন করুন যেখানে TREND ফাংশন দ্বারা পূর্বাভাসিত মানগুলি প্রবেশ করা হবে৷

TREND ফাংশন কল করুন এবং প্রদর্শিত ফাংশন আর্গুমেন্ট ডায়ালগ বক্সে, Known_values_y ক্ষেত্রে লিখুন - C4:C11 কোষের পরিসর; Known_values_x ক্ষেত্রে - B4:B11 কোষের পরিসর; এবং New_values_x ক্ষেত্রে - B12:B13 কোষের পরিসর।

Ctrl + Shift + Enter কী সমন্বয় ব্যবহার করে এই সূত্রটিকে একটি অ্যারে সূত্রে পরিণত করুন।

প্রবেশ করা সূত্রটি এরকম দেখাবে: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), এবং কোষের পরিসর D12:D13 TREND ফাংশনের পূর্বাভাসিত মান দিয়ে পূর্ণ হবে (চিত্র দেখুন। 9)।

ডেটা সিরিজ একইভাবে GROWTH ফাংশন ব্যবহার করে ভরা হয়, যা অরৈখিক নির্ভরতার বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয় এবং এটির লিনিয়ার কাউন্টারপার্ট TREND-এর মতো ঠিক একইভাবে কাজ করে।

চিত্র 10 সূত্র প্রদর্শন মোডে টেবিল দেখায়.

প্রাথমিক তথ্য এবং প্রাপ্ত ডেটা সিরিজের জন্য, চিত্রটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। এগারো

সমস্যা 4

বর্তমান মাসের 1 থেকে 11 তারিখের মধ্যে একটি মোটর ট্রান্সপোর্ট এন্টারপ্রাইজের প্রেরণ পরিষেবা দ্বারা পরিষেবাগুলির জন্য আবেদন প্রাপ্তির ডেটা টেবিলের সাথে, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করতে হবে।

রৈখিক রিগ্রেশনের জন্য ডেটা সিরিজ পান: SLOPE এবং INTERCEPT ফাংশন ব্যবহার করে; LINEST ফাংশন ব্যবহার করে।

LGRFPRIBL ফাংশন ব্যবহার করে সূচকীয় রিগ্রেশনের জন্য ডেটার একটি সিরিজ প্রাপ্ত করুন।

উপরের ফাংশনগুলি ব্যবহার করে, চলতি মাসের 12 তারিখ থেকে 14 তারিখ পর্যন্ত সময়কালের জন্য প্রেরণ পরিষেবাতে আবেদন প্রাপ্তির বিষয়ে একটি পূর্বাভাস তৈরি করুন৷

আসল এবং প্রাপ্ত ডেটা সিরিজের জন্য একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করুন।

সমস্যার সমাধান

মনে রাখবেন, TREND এবং GROWTH ফাংশনগুলির বিপরীতে, উপরে তালিকাভুক্ত কোন ফাংশন (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) রিগ্রেশন নয়৷ এই ফাংশনগুলি শুধুমাত্র একটি সহায়ক ভূমিকা পালন করে, প্রয়োজনীয় রিগ্রেশন প্যারামিটারগুলি নির্ধারণ করে।

SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB ফাংশন ব্যবহার করে নির্মিত রৈখিক এবং সূচকীয় রিগ্রেশনের জন্য, তাদের সমীকরণের উপস্থিতি সর্বদা পরিচিত হয়, TREND এবং GROWTH ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত রৈখিক এবং সূচকীয় রিগ্রেশনের বিপরীতে।

1 . আসুন সমীকরণের সাথে একটি লিনিয়ার রিগ্রেশন তৈরি করি:

y = mx+b

SLOPE এবং INTERCEPT ফাংশন ব্যবহার করে, SLOPE ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত রিগ্রেশন স্লোপ m সহ, এবং INTERCEPT ফাংশন দ্বারা মুক্ত শব্দ b।

এটি করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করি:

সেল রেঞ্জ A4:B14-এ মূল টেবিলটি প্রবেশ করান;

প্যারামিটার m এর মান C19 কক্ষে নির্ধারিত হবে। পরিসংখ্যান বিভাগ থেকে ঢাল ফাংশন নির্বাচন করুন; পরিচিত_মান_ই ক্ষেত্রে B4:B14 কক্ষের পরিসর এবং পরিচিত_মান_x ক্ষেত্রে A4:A14 কক্ষের পরিসর লিখুন। সূত্রটি C19 ঘরে প্রবেশ করা হবে: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);

একটি অনুরূপ কৌশল ব্যবহার করে, সেল D19-এ পরামিতি b-এর মান নির্ধারণ করা হয়। এবং এর বিষয়বস্তু দেখতে এরকম হবে: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14)। এইভাবে, একটি রৈখিক রিগ্রেশন নির্মাণের জন্য প্রয়োজনীয় প্যারামিটারগুলির মানগুলি যথাক্রমে C19, D19 কোষগুলিতে সংরক্ষণ করা হবে;

এর পরে, ফর্মে C4 কক্ষে রৈখিক রিগ্রেশন সূত্র লিখুন: =$C*A4+$D। এই সূত্রে, সেল C19 এবং D19 পরম রেফারেন্স সহ লিখিত হয় (সম্ভাব্য অনুলিপি করার সময় ঘরের ঠিকানা পরিবর্তন করা উচিত নয়)। পরম রেফারেন্স চিহ্ন $ কিবোর্ড থেকে বা F4 কী ব্যবহার করে টাইপ করা যেতে পারে, সেল অ্যাড্রেসে কার্সার রাখার পরে। ফিল হ্যান্ডেল ব্যবহার করে, C4:C17 কোষের পরিসরে এই সূত্রটি অনুলিপি করুন। আমরা প্রয়োজনীয় তথ্য সিরিজ (চিত্র 12) প্রাপ্ত. অনুরোধের সংখ্যা একটি পূর্ণসংখ্যা হওয়ার কারণে, সেল ফরম্যাট উইন্ডোর নম্বর ট্যাবে আপনার দশমিক স্থানের সংখ্যা সহ সংখ্যা বিন্যাসটি 0 এ সেট করা উচিত।

2 . এখন সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি লিনিয়ার রিগ্রেশন তৈরি করা যাক:

y = mx+b

LINEST ফাংশন ব্যবহার করে।

এই জন্য:

C20:D20: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)) সেল পরিসরে একটি অ্যারে সূত্র হিসাবে LINEST ফাংশনটি প্রবেশ করান। ফলস্বরূপ, আমরা সেল C20-এ প্যারামিটার m-এর মান এবং D20 ঘরে প্যারামিটার b-এর মান পাই;

D4 কক্ষে সূত্র লিখুন: =$C*A4+$D;

D4:D17 সেল রেঞ্জে ফিল মার্কার ব্যবহার করে এই সূত্রটি অনুলিপি করুন এবং পছন্দসই ডেটা সিরিজ পান।

3 . আমরা সমীকরণের সাথে একটি সূচকীয় রিগ্রেশন তৈরি করি:

LGRFPRIBL ফাংশন ব্যবহার করে এটি একইভাবে সঞ্চালিত হয়:

সেল রেঞ্জ C21:D21-এ আমরা একটি অ্যারে সূত্র হিসাবে LGRFPRIBL ফাংশন প্রবেশ করি: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14))। এই ক্ষেত্রে, প্যারামিটার m-এর মান C21 কক্ষে নির্ধারণ করা হবে, এবং পরামিতি b-এর মানটি D21 কক্ষে নির্ধারণ করা হবে;

সূত্রটি E4 কক্ষে প্রবেশ করানো হয়: =$D*$C^A4;

ফিল মার্কার ব্যবহার করে, এই সূত্রটি E4:E17 কোষের পরিসরে অনুলিপি করা হয়েছে, যেখানে সূচকীয় রিগ্রেশনের জন্য ডেটা সিরিজ অবস্থিত হবে (চিত্র 12 দেখুন)।

চিত্রে। চিত্র 13 একটি সারণী দেখায় যেখানে আপনি প্রয়োজনীয় ঘরের রেঞ্জের পাশাপাশি সূত্রগুলি সহ আমরা যে ফাংশনগুলি ব্যবহার করি তা দেখতে পারেন।

মাত্রা আর 2 ডাকা সংকল্প সহগ.

একটি রিগ্রেশন নির্ভরতা নির্মাণের কাজ হল মডেল (1) এর সহগ m এর ভেক্টর খুঁজে বের করা যেখানে R সহগ সর্বোচ্চ মান নেয়।

R-এর তাত্পর্য মূল্যায়ন করতে, ফিশারের F পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়, সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়

কোথায় n- নমুনার আকার (পরীক্ষার সংখ্যা);

k হল মডেল সহগ সংখ্যা।

যদি F ডেটার জন্য কিছু গুরুত্বপূর্ণ মান অতিক্রম করে nএবং kএবং গৃহীত আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা, তাহলে R-এর মান গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচিত হয়। টেবিল সমালোচনামূলক মান F গাণিতিক পরিসংখ্যানের উপর রেফারেন্স বই দেওয়া হয়.

সুতরাং, R-এর তাত্পর্য শুধুমাত্র এর মান দ্বারা নয়, পরীক্ষার সংখ্যা এবং মডেলের সহগ (প্যারামিটার) সংখ্যার মধ্যে অনুপাত দ্বারাও নির্ধারিত হয়। প্রকৃতপক্ষে, একটি সরল রৈখিক মডেলের জন্য n=2 এর পারস্পরিক সম্পর্ক অনুপাত 1 এর সমান (একটি সরলরেখা সর্বদা একটি সমতলে 2 বিন্দুর মাধ্যমে আঁকা যায়)। যাইহোক, যদি পরীক্ষামূলক ডেটা র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়, তাহলে R-এর এই ধরনের মানকে অত্যন্ত সতর্কতার সাথে বিশ্বাস করা উচিত। সাধারণত, উল্লেখযোগ্য R এবং নির্ভরযোগ্য রিগ্রেশন পেতে, তারা নিশ্চিত করার চেষ্টা করে যে পরীক্ষার সংখ্যা উল্লেখযোগ্যভাবে মডেল সহগ সংখ্যার (n>k) সংখ্যা অতিক্রম করে।

একটি লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেল তৈরি করতে আপনার প্রয়োজন:

1) পরীক্ষামূলক ডেটা সহ n সারি এবং m কলামগুলির একটি তালিকা প্রস্তুত করুন (আউটপুট মান ধারণকারী কলাম Yতালিকায় প্রথম বা শেষ হতে হবে); উদাহরণ স্বরূপ, আগের টাস্ক থেকে ডেটা নেওয়া যাক, "পিরিয়ড নং" নামে একটি কলাম যোগ করে, 1 থেকে 12 পর্যন্ত পিরিয়ড সংখ্যাগুলিকে সংখ্যা করুন। (এগুলি হবে মানগুলি। এক্স)

2) মেনুতে যান ডেটা/ডেটা বিশ্লেষণ/রিগ্রেশন

যদি "সরঞ্জাম" মেনুতে "ডেটা বিশ্লেষণ" আইটেমটি অনুপস্থিত থাকে, তাহলে আপনাকে একই মেনুতে "অ্যাড-ইনস" আইটেমে যেতে হবে এবং "বিশ্লেষণ প্যাকেজ" চেকবক্সটি চেক করতে হবে।

3) "রিগ্রেশন" ডায়ালগ বক্সে, সেট করুন:

· ইনপুট ব্যবধান Y;

· ইনপুট ব্যবধান X;

· আউটপুট ব্যবধান - ব্যবধানের উপরের বাম কক্ষ যেখানে গণনার ফলাফলগুলি স্থাপন করা হবে (এটি একটি নতুন ওয়ার্কশীটে রাখার সুপারিশ করা হয়);

4) "ঠিক আছে" ক্লিক করুন এবং ফলাফল বিশ্লেষণ করুন।

যা সবচেয়ে বেশি খুঁজে পায় ব্যাপক আবেদনবিজ্ঞান এবং ব্যবহারিক কার্যকলাপের বিভিন্ন ক্ষেত্রে। এটি পদার্থবিদ্যা, রসায়ন, জীববিজ্ঞান, অর্থনীতি, সমাজবিজ্ঞান, মনোবিজ্ঞান এবং আরও অনেক কিছু হতে পারে। ভাগ্যের ইচ্ছায়, আমাকে প্রায়শই অর্থনীতির সাথে মোকাবিলা করতে হয় এবং তাই আজ আমি আপনার জন্য একটি আশ্চর্যজনক দেশে ভ্রমণের ব্যবস্থা করব। ইকোনোমেট্রিক্স=) ...কিভাবে আপনি এটা চান না?! এটি সেখানে খুব ভাল - আপনাকে কেবল আপনার মন তৈরি করতে হবে! ...কিন্তু আপনি সম্ভবত যা চান তা হল কিভাবে সমস্যা সমাধান করতে হয় তা শিখতে হবে ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি. এবং বিশেষ করে অধ্যবসায়ী পাঠকরা শুধুমাত্র সঠিকভাবে নয়, খুব দ্রুত ;-) কিন্তু প্রথমেই সেগুলি সমাধান করতে শিখবে সমস্যার সাধারণ বিবৃতি+ সহগামী উদাহরণ:

আসুন একটি নির্দিষ্ট বিষয়ের ক্ষেত্রে সূচকগুলি অধ্যয়ন করি যার একটি পরিমাণগত অভিব্যক্তি রয়েছে। একই সময়ে, বিশ্বাস করার প্রতিটি কারণ রয়েছে যে সূচকটি নির্দেশকের উপর নির্ভর করে। এই অনুমানটি একটি বৈজ্ঞানিক অনুমান বা মৌলিক সাধারণ জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে হতে পারে। আসুন বিজ্ঞানকে একপাশে রেখে যাই, এবং আরও ক্ষুধার্ত এলাকাগুলি অন্বেষণ করি - যথা, মুদি দোকান। এর দ্বারা চিহ্নিত করা যাক:

- একটি মুদি দোকানের খুচরা এলাকা, বর্গমিটার,
- একটি মুদি দোকানের বার্ষিক টার্নওভার, মিলিয়ন রুবেল।

এটা একেবারে পরিষ্কার যে স্টোরের এলাকা যত বড় হবে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই এর টার্নওভার তত বেশি হবে।

ধরুন একটি খঞ্জনীর সাথে পর্যবেক্ষণ/পরীক্ষা/গণনা/নাচ করার পর আমাদের হাতে সংখ্যাসূচক তথ্য রয়েছে:

মুদি দোকানের সাথে, আমি মনে করি সবকিছু পরিষ্কার: - এটি 1 ম দোকানের এলাকা, - এর বার্ষিক টার্নওভার, - 2 য় দোকানের এলাকা, - এর বার্ষিক টার্নওভার ইত্যাদি। যাইহোক, শ্রেণীবদ্ধ উপকরণগুলিতে অ্যাক্সেস থাকা মোটেই প্রয়োজনীয় নয় - এর মাধ্যমে বাণিজ্য টার্নওভারের একটি মোটামুটি সঠিক মূল্যায়ন পাওয়া যেতে পারে গাণিতিক পরিসংখ্যান. যাইহোক, আসুন বিভ্রান্ত না হই, বাণিজ্যিক গুপ্তচরবৃত্তি কোর্সটি ইতিমধ্যেই অর্থপ্রদান করা হয়েছে =)

ট্যাবুলার ডেটা পয়েন্ট আকারে লেখা এবং পরিচিত আকারে চিত্রিত করা যেতে পারে কার্টেসিয়ান সিস্টেম .

আমরা উত্তর দেব গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন: একটি গুণগত অধ্যয়নের জন্য কত পয়েন্ট প্রয়োজন?

যত বড়, তত ভাল। সর্বনিম্ন গ্রহণযোগ্য সেট 5-6 পয়েন্ট নিয়ে গঠিত। উপরন্তু, যখন ডেটার পরিমাণ কম হয়, তখন নমুনায় "অসামান্য" ফলাফল অন্তর্ভুক্ত করা যাবে না। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি ছোট অভিজাত দোকান "এর সহকর্মীদের" চেয়ে বেশি পরিমাণের অর্ডার উপার্জন করতে পারে, যার ফলে বিকৃত হয় সাধারণ প্যাটার্ন, যা আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে!

খুব সহজভাবে বলতে গেলে, আমাদের একটি ফাংশন নির্বাচন করতে হবে, সময়সূচীযা পয়েন্টের যতটা সম্ভব কাছাকাছি যায় . এই ফাংশন বলা হয় আনুমানিক (আনুমানিক - আনুমানিক)বা তাত্ত্বিক ফাংশন . সাধারণভাবে বলতে গেলে, একটি সুস্পষ্ট "প্রতিদ্বন্দ্বী" অবিলম্বে এখানে উপস্থিত হয় - একটি উচ্চ-ডিগ্রী বহুপদী, যার গ্রাফ সমস্ত পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়। কিন্তু এই বিকল্পটি জটিল এবং প্রায়ই কেবল ভুল। (যেহেতু গ্রাফটি সব সময় "লুপ" করবে এবং প্রধান প্রবণতাকে খারাপভাবে প্রতিফলিত করবে).

সুতরাং, চাওয়া ফাংশনটি অবশ্যই বেশ সহজ হতে হবে এবং একই সাথে পর্যাপ্তভাবে নির্ভরতা প্রতিফলিত করে। আপনি অনুমান করতে পারেন, এই ধরনের ফাংশন খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি বলা হয় ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি. প্রথম, এর সারাংশ তাকান সাধারণ দৃষ্টিকোণ. কিছু আনুমানিক পরীক্ষামূলক ডেটা কাজ করতে দিন:

এই আনুমানিক সঠিকতা মূল্যায়ন কিভাবে? আসুন পরীক্ষামূলক এবং এর মধ্যে পার্থক্য (বিচ্যুতি) গণনা করি কার্যকরী অর্থ (আমরা অঙ্কন অধ্যয়ন). প্রথম চিন্তা যা মনে আসে তা হল সমষ্টি কত বড় তা অনুমান করা, কিন্তু সমস্যা হল পার্থক্যগুলি নেতিবাচক হতে পারে (উদাহরণ স্বরূপ, ) এবং এই ধরনের সমষ্টির ফলে বিচ্যুতি একে অপরকে বাতিল করবে। অতএব, আনুমানিক নির্ভুলতার অনুমান হিসাবে, এটি যোগফল নেওয়ার জন্য অনুরোধ করে মডিউলবিচ্যুতি:

বা ভেঙে পড়েছে: (যদি কেউ না জানে: - এটি হল সমষ্টি আইকন, এবং - একটি অক্জিলিয়ারী "কাউন্টার" ভেরিয়েবল, যা মান 1 থেকে ).

পরীক্ষামূলক পয়েন্ট কাছাকাছি আনা বিভিন্ন ফাংশন, আমরা গ্রহণ করব বিভিন্ন অর্থ, এবং স্পষ্টতই, যেখানে এই পরিমাণটি ছোট, সেই ফাংশনটি আরও সঠিক।

এই ধরনের একটি পদ্ধতি বিদ্যমান এবং এটি বলা হয় ন্যূনতম মডুলাস পদ্ধতি. যাইহোক, বাস্তবে এটি অনেক বেশি বিস্তৃত হয়েছে সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি, যাতে সম্ভাব্য নেতিবাচক মানগুলি মডিউল দ্বারা নয়, বিচ্যুতিগুলিকে বর্গ করে বাদ দেওয়া হয়:

, যার পরে প্রচেষ্টার লক্ষ্য হল একটি ফাংশন নির্বাচন করা যাতে বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টি যতটা সম্ভব ছোট ছিল। প্রকৃতপক্ষে, এখান থেকে এই পদ্ধতির নাম এসেছে।

এবং এখন আমরা অন্য কিছু ফিরে যাচ্ছি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট: উপরে উল্লিখিত হিসাবে, নির্বাচিত ফাংশনটি বেশ সহজ হওয়া উচিত - তবে এরকম অনেকগুলি ফাংশন রয়েছে: রৈখিক , অধিবৃত্ত, সূচকীয়, লগারিদমিক, চতুর্মুখী ইত্যাদি এবং, অবশ্যই, এখানে আমি অবিলম্বে "ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্র হ্রাস করতে চাই।" গবেষণার জন্য আমার কোন শ্রেণীর ফাংশন বেছে নেওয়া উচিত? আদিম, কিন্তু কার্যকর কৌশল:

- সবচেয়ে সহজ উপায় হল পয়েন্ট চিত্রিত করা অঙ্কন এবং তাদের অবস্থান বিশ্লেষণ. যদি তারা একটি সরল রেখায় চালানোর প্রবণতা থাকে, তাহলে আপনার সন্ধান করা উচিত একটি লাইনের সমীকরণ সঙ্গে সর্বোত্তম মানএবং . অন্য কথায়, কাজটি হল এমন সহগগুলি খুঁজে বের করা যাতে বর্গীয় বিচ্যুতির যোগফল সবচেয়ে ছোট হয়।

যদি পয়েন্টগুলি অবস্থিত হয়, উদাহরণস্বরূপ, বরাবর হাইপারবোল, তাহলে এটা স্পষ্টতই স্পষ্ট যে রৈখিক ফাংশন একটি দুর্বল অনুমান দেবে। এই ক্ষেত্রে, আমরা হাইপারবোলা সমীকরণের জন্য সবচেয়ে "অনুকূল" সহগ খুঁজছি – যারা বর্গের ন্যূনতম যোগফল দেয় .

এখন লক্ষ্য করুন যে উভয় ক্ষেত্রেই আমরা কথা বলছি দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশন, যার যুক্তি অনুসন্ধান নির্ভরতা পরামিতি:

এবং মূলত আমাদের একটি স্ট্যান্ডার্ড সমস্যা সমাধান করতে হবে - খুঁজুন দুটি ভেরিয়েবলের ন্যূনতম ফাংশন.

আসুন আমাদের উদাহরণটি মনে রাখবেন: ধরুন যে "স্টোর" পয়েন্টগুলি একটি সরল রেখায় অবস্থিত এবং উপস্থিতি বিশ্বাস করার সমস্ত কারণ রয়েছে রৈখিক নির্ভরতাখুচরা স্থান থেকে টার্নওভার। আসুন এই ধরনের সহগ "a" এবং "be" খুঁজে বের করি যাতে বর্গ বিচ্যুতির সমষ্টি সবচেয়ে ছোট ছিল। সবকিছু যথারীতি - প্রথম ১ম অর্ডার আংশিক ডেরিভেটিভস. অনুসারে রৈখিকতা নিয়মআপনি সমষ্টি আইকনের নীচে পার্থক্য করতে পারেন:

আপনি যদি ব্যবহার করতে চান এই তথ্যএকটি প্রবন্ধ বা কোর্সওয়ার্কের জন্য - উত্সের তালিকায় লিঙ্কটির জন্য আমি খুব কৃতজ্ঞ থাকব; আপনি কয়েকটি জায়গায় এই ধরনের বিস্তারিত গণনা পাবেন:

আসুন একটি স্ট্যান্ডার্ড সিস্টেম তৈরি করি:

আমরা প্রতিটি সমীকরণকে "দুই" দ্বারা হ্রাস করি এবং উপরন্তু, সমষ্টিগুলিকে "বিচ্ছেদ" করি:

বিঃদ্রঃ : স্বতন্ত্রভাবে বিশ্লেষণ করুন কেন "a" এবং "be" যোগফল আইকনের বাইরে নেওয়া যেতে পারে। যাইহোক, আনুষ্ঠানিকভাবে এটি যোগফল দিয়ে করা যেতে পারে

আসুন সিস্টেমটিকে "প্রয়োগিত" আকারে পুনরায় লিখি:

এর পরে আমাদের সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম আবির্ভূত হতে শুরু করে:

আমরা পয়েন্টের স্থানাঙ্ক জানি? আমরা জানি. পরিমাণ আমরা এটা খুঁজে পেতে পারি? সহজে। এর সবচেয়ে সহজ করা যাক দুটি অজানা দুটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম("a" এবং "হও")। আমরা সিস্টেম সমাধান করি, উদাহরণস্বরূপ, ক্রেমারের পদ্ধতি, যার ফলস্বরূপ আমরা একটি স্থির বিন্দু পেতে পারি। চেক করা হচ্ছে একটি extremum জন্য যথেষ্ট শর্ত, আমরা এই সময়ে ফাংশন যাচাই করতে পারি ঠিক পৌঁছে যায় সর্বনিম্ন. চেকটিতে অতিরিক্ত গণনা জড়িত এবং তাই আমরা এটিকে পর্দার আড়ালে রেখে দেব (যদি প্রয়োজন হয়, অনুপস্থিত ফ্রেম দেখা যেতে পারে). আমরা চূড়ান্ত উপসংহার টানা:

ফাংশন সর্বোত্তম পথ (অন্তত অন্য কোনো রৈখিক ফাংশনের তুলনায়)পরীক্ষামূলক পয়েন্ট কাছাকাছি নিয়ে আসে . মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এর গ্রাফটি এই পয়েন্টগুলির যতটা সম্ভব কাছাকাছি যায়। ঐতিহ্যে অর্থনীতিফলে আনুমানিক ফাংশন বলা হয় জোড়া লিনিয়ার রিগ্রেশন সমীকরণ .

বিবেচনাধীন সমস্যাটি অত্যন্ত ব্যবহারিক গুরুত্বের। আমাদের উদাহরণ পরিস্থিতিতে, Eq. আপনি কি ট্রেড টার্নওভার ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারবেন ("ইগ্রেক")দোকান বিক্রয় এলাকার এক বা অন্য মান হবে ("x" এর এক বা অন্য অর্থ). হ্যাঁ, ফলস্বরূপ পূর্বাভাস শুধুমাত্র একটি পূর্বাভাস হবে, কিন্তু অনেক ক্ষেত্রে এটি বেশ সঠিক হতে চালু হবে।

আমি "বাস্তব" সংখ্যাগুলির সাথে শুধুমাত্র একটি সমস্যা বিশ্লেষণ করব, যেহেতু এতে কোনও অসুবিধা নেই - সমস্ত গণনা স্তরে রয়েছে স্কুলের পাঠ্যক্রম 7-8 গ্রেড। 95 শতাংশ ক্ষেত্রে, আপনাকে শুধুমাত্র একটি রৈখিক ফাংশন খুঁজে পেতে বলা হবে, কিন্তু নিবন্ধের একেবারে শেষে আমি দেখাব যে সর্বোত্তম হাইপারবোলা, সূচকীয় এবং অন্যান্য কিছু ফাংশনের সমীকরণ খুঁজে পাওয়া আর কঠিন নয়।

প্রকৃতপক্ষে, যা বাকি থাকে তা হল প্রতিশ্রুত জিনিসপত্র বিতরণ করা - যাতে আপনি এই জাতীয় উদাহরণগুলি কেবল সঠিকভাবে নয়, দ্রুত সমাধান করতে শিখতে পারেন। আমরা সাবধানে মান অধ্যয়ন:

টাস্ক

দুটি সূচকের মধ্যে সম্পর্ক অধ্যয়নের ফলস্বরূপ, নিম্নলিখিত জোড়া সংখ্যা প্রাপ্ত হয়েছিল:

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি ব্যবহার করে, রৈখিক ফাংশনটি সন্ধান করুন যা অভিজ্ঞতাগতকে সর্বোত্তম অনুমান করে (অভিজ্ঞ)তথ্য একটি কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে পরীক্ষামূলক বিন্দু এবং আনুমানিক ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করার জন্য একটি অঙ্কন তৈরি করুন . অভিজ্ঞতামূলক এবং তাত্ত্বিক মানের মধ্যে বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টি খুঁজুন। বৈশিষ্ট্যটি আরও ভাল হবে কিনা তা খুঁজে বের করুন (সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির দৃষ্টিকোণ থেকে)পরীক্ষামূলক পয়েন্ট কাছাকাছি আনুন.

দয়া করে মনে রাখবেন যে "x" অর্থগুলি প্রাকৃতিক, এবং এর একটি বৈশিষ্ট্যপূর্ণ অর্থপূর্ণ অর্থ রয়েছে, যা আমি একটু পরে বলব; কিন্তু তারা, অবশ্যই, এছাড়াও ভগ্নাংশ হতে পারে. উপরন্তু, একটি নির্দিষ্ট কাজের বিষয়বস্তুর উপর নির্ভর করে, "X" এবং "গেম" উভয় মানই সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে নেতিবাচক হতে পারে। ঠিক আছে, আমাদের একটি "মুখবিহীন" কাজ দেওয়া হয়েছে এবং আমরা এটি শুরু করি সমাধান:

মতভেদ সর্বোত্তম ফাংশনআমরা সিস্টেমের একটি সমাধান হিসাবে খুঁজে পাই:

আরও কমপ্যাক্ট রেকর্ডিংয়ের উদ্দেশ্যে, "কাউন্টার" ভেরিয়েবলটি বাদ দেওয়া যেতে পারে, যেহেতু এটি ইতিমধ্যেই স্পষ্ট যে সমষ্টিটি 1 থেকে .

ট্যাবুলার আকারে প্রয়োজনীয় পরিমাণ গণনা করা আরও সুবিধাজনক:

একটি মাইক্রোক্যালকুলেটরে গণনা করা যেতে পারে, তবে এক্সেল ব্যবহার করা আরও ভাল - উভয় দ্রুত এবং ত্রুটি ছাড়াই; একটি ছোট ভিডিও দেখুন:

এইভাবে, আমরা নিম্নলিখিত পেতে পদ্ধতি:

এখানে আপনি দ্বিতীয় সমীকরণটিকে 3 এবং দ্বারা গুণ করতে পারেন টার্ম অনুসারে ১ম সমীকরণ পদ থেকে ২য় বিয়োগ করুন. তবে এটি ভাগ্য - অনুশীলনে, সিস্টেমগুলি প্রায়শই একটি উপহার নয় এবং এই জাতীয় ক্ষেত্রে এটি সংরক্ষণ করে ক্রেমারের পদ্ধতি:
, যার মানে সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে।

এর চেক করা যাক. আমি বুঝতে পারি যে আপনি চান না, তবে কেন ত্রুটিগুলি এড়িয়ে যান যেখানে সেগুলি একেবারে মিস করা যাবে না? আমাদের পাওয়া সমাধান প্রতিস্থাপন করা যাক বাম পাশেসিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণ:

সংশ্লিষ্ট সমীকরণগুলির ডানদিকের দিকগুলি পাওয়া যায়, যার মানে সিস্টেমটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে।

সুতরাং, পছন্দসই আনুমানিক ফাংশন: - থেকে সমস্ত লিনিয়ার ফাংশনতিনিই সর্বোত্তম পরীক্ষামূলক ডেটা অনুমান করেন।

অপছন্দ সোজা তার এলাকার উপর দোকানের টার্নওভারের নির্ভরতা, পাওয়া নির্ভরতা বিপরীত (নীতি "যত বেশি, কম"), এবং এই সত্য অবিলম্বে নেতিবাচক দ্বারা প্রকাশিত হয় ঢাল. ফাংশন আমাদের বলে যে 1 ইউনিট দ্বারা একটি নির্দিষ্ট সূচক বৃদ্ধির সাথে, নির্ভরশীল সূচকের মান হ্রাস পায় গড় 0.65 ইউনিট দ্বারা। তারা যেমন বলে, বাঁশের দাম যত বেশি, বিক্রি হয় তত কম।

আনুমানিক ফাংশনের গ্রাফ প্লট করতে, আমরা এর দুটি মান খুঁজে পাই:

এবং অঙ্কনটি সম্পাদন করুন:

নির্মিত সরলরেখাকে বলা হয় ট্রেন্ড লাইন (যথা, একটি লিনিয়ার ট্রেন্ড লাইন, যেমন সাধারণ ক্ষেত্রেএকটি প্রবণতা অগত্যা একটি সরল রেখা নয়). প্রত্যেকেই "প্রবণতা থাকা" অভিব্যক্তিটির সাথে পরিচিত এবং আমি মনে করি যে এই শব্দটির অতিরিক্ত মন্তব্যের প্রয়োজন নেই।

আসুন বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল গণনা করি অভিজ্ঞতামূলক এবং তাত্ত্বিক মূল্যবোধের মধ্যে। জ্যামিতিকভাবে, এটি "রাস্পবেরি" সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি (যার মধ্যে দুটি এত ছোট যে তারা দৃশ্যমানও নয়).

আসুন একটি সারণীতে গণনাগুলি সংক্ষিপ্ত করা যাক:

আবার, সেগুলি ম্যানুয়ালি করা যেতে পারে; ঠিক সেই ক্ষেত্রে, আমি 1 ম পয়েন্টের জন্য একটি উদাহরণ দেব:

তবে এটি ইতিমধ্যে পরিচিত উপায়ে করা অনেক বেশি কার্যকর:

আমরা আবার পুনরাবৃত্তি করি: প্রাপ্ত ফলাফলের অর্থ কি?থেকে সমস্ত লিনিয়ার ফাংশন y ফাংশন সূচকটি সবচেয়ে ছোট, অর্থাৎ তার পরিবারে এটি সর্বোত্তম অনুমান। এবং এখানে, যাইহোক, সমস্যার চূড়ান্ত প্রশ্নটি আকস্মিক নয়: প্রস্তাবিত সূচকীয় ফাংশন হলে কী হবে পরীক্ষামূলক পয়েন্ট কাছাকাছি আনা ভাল হবে?

আসুন বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির অনুরূপ যোগফল খুঁজে বের করি - পার্থক্য করতে, আমি তাদের "এপসিলন" অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করব। কৌশলটি ঠিক একই:

এবং আবার, শুধুমাত্র ক্ষেত্রে, 1 ম পয়েন্টের জন্য গণনা:

এক্সেলে আমরা স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন ব্যবহার করি এক্সপি (সিনট্যাক্স এক্সেল সাহায্যে পাওয়া যাবে).

উপসংহার: , যার অর্থ হল সূচকীয় ফাংশনটি একটি সরল রেখার চেয়ে খারাপ পরীক্ষামূলক বিন্দুগুলিকে আনুমানিক করে .

কিন্তু এখানে এটি লক্ষ করা উচিত যে "খারাপ" এখনো মানে না, কি সমস্যা. এখন আমি এর একটি গ্রাফ তৈরি করেছি ব্যাখ্যামূলক কাজ- এবং এটি পয়েন্টের কাছাকাছিও যায় - এতটাই যে বিশ্লেষণাত্মক গবেষণা ছাড়া কোন ফাংশনটি আরও সঠিক তা বলা কঠিন।

এটি সমাধানটি শেষ করে এবং আমি যুক্তির স্বাভাবিক মূল্যবোধের প্রশ্নে ফিরে আসি। ভিতরে বিভিন্ন গবেষণা, একটি নিয়ম হিসাবে, অর্থনৈতিক বা সমাজতাত্ত্বিক, প্রাকৃতিক "X's" মাস, বছর বা অন্যান্য সমান সময়ের ব্যবধান সংখ্যা করতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন।

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ( OLS, OLS, সাধারণ সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র) - নমুনা ডেটা ব্যবহার করে রিগ্রেশন মডেলের অজানা পরামিতি অনুমান করার জন্য রিগ্রেশন বিশ্লেষণের মৌলিক পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি। পদ্ধতিটি রিগ্রেশন অবশিষ্টাংশের বর্গক্ষেত্রের যোগফলকে ছোট করার উপর ভিত্তি করে।

এটি লক্ষ করা উচিত যে ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র পদ্ধতিকে নিজেই যে কোনও ক্ষেত্রে একটি সমস্যা সমাধানের একটি পদ্ধতি বলা যেতে পারে যদি সমাধানটি প্রয়োজনীয় ভেরিয়েবলের কিছু ফাংশনের বর্গগুলির যোগফলকে ছোট করার জন্য কিছু মানদণ্ডের মধ্যে থাকে বা সন্তুষ্ট করে। অতএব, ন্যূনতম বর্গ পদ্ধতিটি অন্যান্য (সরল) ফাংশন দ্বারা একটি প্রদত্ত ফাংশনের আনুমানিক উপস্থাপনা (আনুমানিক) জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে, যখন সমীকরণ বা সীমাবদ্ধতাগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন পরিমাণের একটি সেট খুঁজে বের করার সময়, যার সংখ্যা এই পরিমাণগুলির সংখ্যাকে অতিক্রম করে। , ইত্যাদি

MNC এর সারমর্ম

(ব্যাখ্যা করা) ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি সম্ভাব্য (রিগ্রেশন) সম্পর্কের কিছু (প্যারামেট্রিক) মডেল দেওয়া যাক yএবং অনেক কারণ (ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীল) এক্স

অজানা মডেল প্যারামিটারের ভেক্টর কোথায়

- র্যান্ডম মডেল ত্রুটি।

এই ভেরিয়েবলের মানগুলির নমুনা পর্যবেক্ষণও থাকুক। ধরা যাক পর্যবেক্ষণ সংখ্যা ()। তারপর তম পর্যবেক্ষণে ভেরিয়েবলের মান। তারপর, পরামিতি b এর প্রদত্ত মানের জন্য, ব্যাখ্যা করা পরিবর্তনশীল y এর তাত্ত্বিক (মডেল) মানগুলি গণনা করা সম্ভব:

অবশিষ্টাংশের আকার পরামিতিগুলির মানের উপর নির্ভর করে b.

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতির সারমর্ম (সাধারণ, শাস্ত্রীয়) হল পরামিতি b খুঁজে বের করা যার জন্য অবশিষ্টাংশের বর্গের সমষ্টি (ইঞ্জি. বর্গক্ষেত্রের অবশিষ্ট সমষ্টি) সর্বনিম্ন হবে:

সাধারণ ক্ষেত্রে, এই সমস্যাটি সংখ্যাসূচক অপ্টিমাইজেশান (মিনিমাইজেশন) পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। এ ক্ষেত্রে তারা কথা বলে অরৈখিক সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র(NLS বা NLLS - ইংরেজি) নন-লিনিয়ার লেস্ট স্কোয়ার) অনেক ক্ষেত্রে এটি একটি বিশ্লেষণাত্মক সমাধান প্রাপ্ত করা সম্ভব। ন্যূনতমকরণের সমস্যা সমাধানের জন্য, অজানা পরামিতি b এর সাপেক্ষে এটিকে আলাদা করে ফাংশনের স্থির বিন্দুগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন, ডেরিভেটিভগুলিকে শূন্যে সমান করে এবং ফলাফলের সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করে:

যদি মডেলের এলোমেলো ত্রুটিগুলি সাধারণত বিতরণ করা হয়, একই বৈচিত্র্য থাকে এবং অসম্পর্কিত না হয়, ওএলএস পরামিতি অনুমান সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমান (এমএলএম) এর মতোই।

একটি লিনিয়ার মডেলের ক্ষেত্রে OLS

রিগ্রেশন নির্ভরতা রৈখিক হতে দিন:

দিন yব্যাখ্যা করা ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণের একটি কলাম ভেক্টর এবং এটি ফ্যাক্টর পর্যবেক্ষণের একটি ম্যাট্রিক্স (ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি হল ফ্যাক্টর মানের ভেক্টর এই পর্যবেক্ষণ, কলামগুলিতে - সমস্ত পর্যবেক্ষণে একটি প্রদত্ত ফ্যাক্টরের মানগুলির একটি ভেক্টর)। লিনিয়ার মডেলের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা হল:

তারপর ব্যাখ্যা করা ভেরিয়েবলের অনুমানের ভেক্টর এবং রিগ্রেশন অবশিষ্টাংশের ভেক্টর সমান হবে

তদনুসারে, রিগ্রেশন অবশিষ্টাংশের বর্গের সমষ্টি সমান হবে

প্যারামিটারের ভেক্টরের সাথে এই ফাংশনটিকে আলাদা করে এবং ডেরিভেটিভগুলিকে শূন্যের সাথে সমান করে, আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই (ম্যাট্রিক্স আকারে):

সমীকরণ এই সিস্টেমের সমাধান দেয় সাধারণ সূত্রলিনিয়ার মডেলের জন্য OLS অনুমান:

বিশ্লেষণাত্মক উদ্দেশ্যে, এই সূত্রের পরবর্তী উপস্থাপনা দরকারী। যদি একটি রিগ্রেশন মডেল তথ্য কেন্দ্রীভূত, তারপর এই উপস্থাপনাটিতে প্রথম ম্যাট্রিক্সটির অর্থ রয়েছে ফ্যাক্টরগুলির একটি নমুনা কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের, এবং দ্বিতীয়টি নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল সহ ফ্যাক্টরগুলির সহভরিয়েন্সের একটি ভেক্টর। এছাড়া ডাটাও থাকে স্বাভাবিক করা MSE-তে (অর্থাৎ, শেষ পর্যন্ত প্রমিত), তারপর প্রথম ম্যাট্রিক্সের অর্থ রয়েছে ফ্যাক্টরগুলির একটি নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স, দ্বিতীয় ভেক্টর - নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের সাথে ফ্যাক্টরগুলির নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কগুলির একটি ভেক্টর।

মডেলের জন্য OLS অনুমানের একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি ধ্রুবক সঙ্গে- নির্মিত রিগ্রেশনের লাইনটি নমুনা ডেটার মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়, অর্থাৎ, সমতা সন্তুষ্ট:

বিশেষ করে, চরম ক্ষেত্রে, যখন একমাত্র রিগ্রেসর একটি ধ্রুবক, আমরা দেখতে পাই যে একমাত্র প্যারামিটারের OLS অনুমান (ধ্রুবক নিজেই) ব্যাখ্যা করা ভেরিয়েবলের গড় মানের সমান। যে, পাটিগণিত গড়, তার জন্য পরিচিত ভাল বৈশিষ্ট্যবৃহৎ সংখ্যার সূত্র থেকে, এটিও একটি সর্বনিম্ন বর্গ অনুমান - এটি থেকে বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির ন্যূনতম যোগফলের মানদণ্ডকে সন্তুষ্ট করে৷

উদাহরণ: সহজতম (জোড়া অনুসারে) রিগ্রেশন

পেয়ারড লিনিয়ার রিগ্রেশনের ক্ষেত্রে, গণনার সূত্রগুলি সরলীকৃত হয় (আপনি ম্যাট্রিক্স বীজগণিত ছাড়াই করতে পারেন):

OLS অনুমানকারীর বৈশিষ্ট্য

প্রথমত, আমরা লক্ষ করি যে রৈখিক মডেলগুলির জন্য OLS অনুমানগুলি রৈখিক অনুমান, উপরের সূত্র থেকে নিম্নরূপ. নিরপেক্ষ OLS অনুমানের জন্য, এটি সম্পাদন করার জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ শর্তরিগ্রেশন বিশ্লেষণ: কারণগুলির উপর শর্তসাপেক্ষ, একটি এলোমেলো ত্রুটির গাণিতিক প্রত্যাশা শূন্যের সমান হতে হবে। এই শর্ত, বিশেষ করে, যদি সন্তুষ্ট হয়

প্রত্যাশিত মানর্যান্ডম ত্রুটি শূন্য, এবং
ফ্যাক্টর এবং এলোমেলো ত্রুটিগুলি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল।

দ্বিতীয় শর্ত - কারণগুলির বহির্মুখীতার শর্ত - মৌলিক। যদি এই সম্পত্তিটি পূরণ না হয়, তবে আমরা ধরে নিতে পারি যে প্রায় কোনও অনুমান অত্যন্ত অসন্তোষজনক হবে: তারা এমনকি সামঞ্জস্যপূর্ণও হবে না (অর্থাৎ, এমনকি একটি খুব বড় পরিমাণ ডেটাও আমাদের এই ক্ষেত্রে উচ্চ-মানের অনুমান পেতে দেয় না। ) ধ্রুপদী ক্ষেত্রে, একটি দৃঢ় অনুমান তৈরি করা হয় কারণের নির্ণয়বাদ সম্পর্কে, একটি এলোমেলো ত্রুটির বিপরীতে, যার স্বয়ংক্রিয় অর্থ হল যে বহির্গমন অবস্থা পূরণ হয়েছে। সাধারণ ক্ষেত্রে, অনুমানের সামঞ্জস্যের জন্য, নমুনার আকার অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধির সাথে সাথে কিছু অ-একবচন ম্যাট্রিক্সে ম্যাট্রিক্সের অভিসারের সাথে একত্রে বহির্গমন অবস্থাকে সন্তুষ্ট করার জন্য যথেষ্ট।

ধারাবাহিকতা এবং নিরপেক্ষতা ছাড়াও, (সাধারণ) ন্যূনতম বর্গক্ষেত্রের অনুমান কার্যকর হওয়ার জন্য (রৈখিক নিরপেক্ষ অনুমানের শ্রেণিতে সর্বোত্তম), এলোমেলো ত্রুটির অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য পূরণ করতে হবে:

এই অনুমানগুলি র্যান্ডম ত্রুটি ভেক্টরের কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্য প্রণয়ন করা যেতে পারে

একটি রৈখিক মডেল যা এই শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে তাকে বলা হয় শাস্ত্রীয়. ধ্রুপদী রৈখিক রিগ্রেশনের জন্য ওএলএস অনুমান নিরপেক্ষ, সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং সমস্ত রৈখিক নিরপেক্ষ অনুমানের শ্রেণীতে সবচেয়ে কার্যকর অনুমান (ইংরেজি সাহিত্যে সংক্ষেপণটি কখনও কখনও ব্যবহৃত হয় নীল (সেরা লিনিয়ার আনবেইসড এস্টিমেটর) - সেরা রৈখিক নিরপেক্ষ অনুমান; রাশিয়ান সাহিত্যে গাউস-মার্কভ উপপাদ্যটি প্রায়শই উদ্ধৃত করা হয়)। যেমনটি দেখানো সহজ, সহগ অনুমানের ভেক্টরের কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সমান হবে:

সাধারণীকৃত OLS

সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি বিস্তৃত সাধারণীকরণের অনুমতি দেয়। অবশিষ্টাংশের বর্গক্ষেত্রের যোগফলকে ছোট করার পরিবর্তে, কেউ অবশিষ্টাংশের ভেক্টরের কিছু ধনাত্মক নির্দিষ্ট দ্বিঘাত রূপকে ছোট করতে পারে, যেখানে কিছু প্রতিসম ধনাত্মক নির্দিষ্ট ওজন ম্যাট্রিক্স রয়েছে। প্রচলিত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র এই পদ্ধতির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যেখানে ওজন ম্যাট্রিক্স আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সমানুপাতিক। সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স (বা অপারেটর) তত্ত্ব থেকে জানা যায়, এই ধরনের ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি পচন আছে। ফলস্বরূপ, নির্দিষ্ট ফাংশনালটিকে নিম্নরূপ উপস্থাপন করা যেতে পারে, অর্থাৎ, এই ফাংশনালটিকে কিছু রূপান্তরিত "অবশিষ্ট" এর বর্গের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এইভাবে, আমরা ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির একটি শ্রেণিকে আলাদা করতে পারি - LS পদ্ধতি (সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র)।

এটি প্রমাণিত হয়েছে (আইটকেনের উপপাদ্য) যে একটি সাধারণ রৈখিক রিগ্রেশন মডেলের জন্য (যেটিতে র্যান্ডম ত্রুটির কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের উপর কোন বিধিনিষেধ আরোপ করা হয় না), সবচেয়ে কার্যকর (রৈখিক নিরপেক্ষ অনুমানের শ্রেণীতে) তথাকথিত অনুমান। সাধারণীকৃত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র (GLS - সাধারণীকৃত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র)- এলোমেলো ত্রুটির বিপরীত কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের সমান ওজন ম্যাট্রিক্স সহ LS পদ্ধতি:

এটি দেখানো যেতে পারে যে একটি রৈখিক মডেলের পরামিতিগুলির GLS অনুমানের সূত্রের ফর্ম রয়েছে

এই অনুমানের কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সেই অনুযায়ী সমান হবে

প্রকৃতপক্ষে, OLS এর সারমর্মটি মূল ডেটার একটি নির্দিষ্ট (লিনিয়ার) রূপান্তর (P) এবং রূপান্তরিত ডেটাতে সাধারণ OLS-এর প্রয়োগের মধ্যে রয়েছে। এই রূপান্তরের উদ্দেশ্য হল রূপান্তরিত ডেটার জন্য, এলোমেলো ত্রুটিগুলি ইতিমধ্যেই শাস্ত্রীয় অনুমানগুলিকে সন্তুষ্ট করে।

ওজনযুক্ত OLS

একটি তির্যক ওজন ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে (এবং তাই এলোমেলো ত্রুটিগুলির একটি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স), আমাদের তথাকথিত ওজনযুক্ত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র (WLS) রয়েছে। ভিতরে এক্ষেত্রেমডেলের অবশিষ্টাংশের বর্গক্ষেত্রের ওজনযুক্ত যোগফলকে ন্যূনতম করা হয়েছে, অর্থাৎ, প্রতিটি পর্যবেক্ষণ এই পর্যবেক্ষণে র্যান্ডম ত্রুটির বৈচিত্রের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক একটি "ওজন" পায়: . প্রকৃতপক্ষে, পর্যবেক্ষণগুলিকে ওজন করে ডেটা রূপান্তরিত হয় (প্রত্যাশিত আনুপাতিক পরিমাণ দ্বারা ভাগ করে আদর্শ চ্যুতির্যান্ডম ত্রুটি), এবং স্বাভাবিক ওএলএস ওজনযুক্ত ডেটাতে প্রয়োগ করা হয়।

অনুশীলনে MNC ব্যবহারের কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে

রৈখিক নির্ভরতার আনুমানিকতা

আসুন আমরা বিবেচনা করি যখন, একটি নির্দিষ্ট স্কেলার পরিমাণের উপর একটি নির্দিষ্ট স্কেলার পরিমাণের নির্ভরতা অধ্যয়নের ফলে (এটি হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, বর্তমান শক্তির উপর ভোল্টেজের নির্ভরতা: , যেখানে একটি ধ্রুবক মান, এর প্রতিরোধের কন্ডাকটর), এই পরিমাণগুলির পরিমাপ করা হয়েছিল, যার ফলস্বরূপ মানগুলি এবং তাদের সংশ্লিষ্ট মানগুলি। পরিমাপের তথ্য একটি টেবিলে রেকর্ড করা আবশ্যক।

টেবিল। পরিমাপের ফলাফল।

পরিমাপ নং.
1
2
3
4
5
6

প্রশ্ন হল: নির্ভরতাকে সর্বোত্তমভাবে বর্ণনা করতে সহগের কোন মান নির্বাচন করা যেতে পারে? সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি অনুসারে, এই মানটি এমন হওয়া উচিত যাতে মানগুলি থেকে মানের বর্গের বিচ্যুতির যোগফল

ন্যূনতম ছিল

বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফলের একটি চরমসীমা রয়েছে - একটি সর্বনিম্ন, যা আমাদের এই সূত্রটি ব্যবহার করতে দেয়। এই সূত্র থেকে সহগের মান বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা এর বাম দিকটি নিম্নরূপ রূপান্তর করি:

শেষ সূত্রটি আমাদের সহগের মান খুঁজে পেতে দেয়, যা সমস্যাটিতে প্রয়োজনীয় ছিল।

গল্প

আগে XIX এর প্রথম দিকেভি. সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের জন্য বিজ্ঞানীদের নির্দিষ্ট নিয়ম ছিল না যেখানে অজানা সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার চেয়ে কম; সেই সময় পর্যন্ত, ব্যক্তিগত কৌশলগুলি ব্যবহার করা হত যা সমীকরণের ধরন এবং ক্যালকুলেটরের বুদ্ধির উপর নির্ভর করে এবং তাই একই পর্যবেক্ষণমূলক ডেটার উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন ক্যালকুলেটর আসে। বিভিন্ন উপসংহার. গাউস (1795) পদ্ধতির প্রথম প্রয়োগের জন্য দায়ী ছিলেন, এবং Legendre (1805) স্বাধীনভাবে এটি আবিষ্কার ও প্রকাশ করেন আধুনিক নাম(fr. Méthode des moindres quarrés ) ল্যাপ্লেস পদ্ধতিটিকে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত করে এবং আমেরিকান গণিতবিদ অ্যাড্রেইন (1808) এর সম্ভাব্যতা-তাত্ত্বিক প্রয়োগ বিবেচনা করেছিলেন। Encke, Bessel, Hansen এবং অন্যান্যদের দ্বারা আরও গবেষণার মাধ্যমে পদ্ধতিটি ব্যাপক এবং উন্নত হয়েছিল।

OLS এর বিকল্প ব্যবহার

ন্যূনতম স্কোয়ার পদ্ধতির ধারণাটি অন্যান্য ক্ষেত্রেও ব্যবহার করা যেতে পারে যা সরাসরি রিগ্রেশন বিশ্লেষণের সাথে সম্পর্কিত নয়। আসল বিষয়টি হ'ল বর্গক্ষেত্রের যোগফল ভেক্টরগুলির জন্য সবচেয়ে সাধারণ প্রক্সিমিটি পরিমাপগুলির মধ্যে একটি (সসীম-মাত্রিক স্থানগুলিতে ইউক্লিডীয় মেট্রিক)।

একটি অ্যাপ্লিকেশন হল "সমাধান" সিস্টেম রৈখিক সমীকরণ, যাতে সমীকরণের সংখ্যা আরো সংখ্যাভেরিয়েবল

যেখানে ম্যাট্রিক্স বর্গক্ষেত্র নয়, আয়তক্ষেত্রাকার।

এই ধরনের সমীকরণের সিস্টেম, সাধারণ ক্ষেত্রে, কোন সমাধান নেই (যদি র‌্যাঙ্ক আসলে ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে বেশি হয়)। অতএব, এই সিস্টেমটি "সমাধান" করা যেতে পারে শুধুমাত্র ভেক্টর এবং . এটি করার জন্য, আপনি বাম এবং এবং ডান অংশসিস্টেমের সমীকরণ, যে. এটা দেখানো সহজ যে এই ন্যূনতমকরণ সমস্যা সমাধান করা সমাধানের দিকে নিয়ে যায় পরবর্তী সিস্টেমসমীকরণ

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি

MNC এর সারমর্ম

অজানা মডেল প্যারামিটারের ভেক্টর কোথায়

- র্যান্ডম মডেল ত্রুটি।

অবশিষ্টাংশের আকার পরামিতিগুলির মানের উপর নির্ভর করে b.

একটি লিনিয়ার মডেলের ক্ষেত্রে OLS

রিগ্রেশন নির্ভরতা রৈখিক হতে দিন:

দিন yব্যাখ্যা করা ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণের একটি কলাম ভেক্টর এবং এটি ফ্যাক্টর পর্যবেক্ষণের একটি ম্যাট্রিক্স (ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি একটি প্রদত্ত পর্যবেক্ষণে ফ্যাক্টর মানের ভেক্টর, কলামগুলি একটি প্রদত্ত ফ্যাক্টরের মানগুলির ভেক্টর) সমস্ত পর্যবেক্ষণে)। লিনিয়ার মডেলের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা হল:

তদনুসারে, রিগ্রেশন অবশিষ্টাংশের বর্গের সমষ্টি সমান হবে

সমীকরণের এই সিস্টেমের সমাধানটি একটি রৈখিক মডেলের জন্য ন্যূনতম বর্গক্ষেত্রের অনুমানের জন্য সাধারণ সূত্র দেয়:

বিশেষ করে, চরম ক্ষেত্রে, যখন একমাত্র রিগ্রেসর একটি ধ্রুবক, আমরা দেখতে পাই যে একমাত্র প্যারামিটারের OLS অনুমান (ধ্রুবক নিজেই) ব্যাখ্যা করা ভেরিয়েবলের গড় মানের সমান। অর্থাৎ, গাণিতিক গড়, বৃহৎ সংখ্যার আইন থেকে তার ভাল বৈশিষ্ট্যের জন্য পরিচিত, এটিও একটি সর্বনিম্ন বর্গ অনুমান - এটি এটি থেকে বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির ন্যূনতম যোগফলের মানদণ্ডকে সন্তুষ্ট করে।

উদাহরণ: সহজতম (জোড়া অনুসারে) রিগ্রেশন

OLS অনুমানকারীর বৈশিষ্ট্য

প্রথমত, আমরা লক্ষ্য করি যে রৈখিক মডেলগুলির জন্য, OLS অনুমানগুলি রৈখিক অনুমান, উপরের সূত্র থেকে অনুসরণ করা হয়েছে। নিরপেক্ষ ওএলএস অনুমানের জন্য, রিগ্রেশন বিশ্লেষণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ শর্ত পূরণ করার জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট: একটি এলোমেলো ত্রুটির গাণিতিক প্রত্যাশা, কারণগুলির শর্তাধীন, অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে। এই শর্ত, বিশেষ করে, যদি সন্তুষ্ট হয়

র্যান্ডম ত্রুটির গাণিতিক প্রত্যাশা শূন্য, এবং
ফ্যাক্টর এবং এলোমেলো ত্রুটিগুলি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল।

সাধারণীকৃত OLS

এই অনুমানের কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সেই অনুযায়ী সমান হবে

ওজনযুক্ত OLS

একটি তির্যক ওজন ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে (এবং তাই এলোমেলো ত্রুটিগুলির একটি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স), আমাদের তথাকথিত ওজনযুক্ত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র (WLS) রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, মডেলের অবশিষ্টাংশের বর্গক্ষেত্রের ওজনযুক্ত যোগফল ন্যূনতম করা হয়, অর্থাৎ, প্রতিটি পর্যবেক্ষণ একটি "ওজন" পায় যা এই পর্যবেক্ষণে র্যান্ডম ত্রুটির বৈচিত্রের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক: . প্রকৃতপক্ষে, পর্যবেক্ষণগুলি ওজন করে ডেটা রূপান্তরিত হয় (এলোমেলো ত্রুটিগুলির আনুমানিক মান বিচ্যুতির সমানুপাতিক পরিমাণ দ্বারা ভাগ করে) এবং ওজনযুক্ত ডেটাতে সাধারণ OLS প্রয়োগ করা হয়।

অনুশীলনে MNC ব্যবহারের কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে

রৈখিক নির্ভরতার আনুমানিকতা

টেবিল। পরিমাপের ফলাফল।

পরিমাপ নং.
1
2
3
4
5
6

ন্যূনতম ছিল

গল্প

19 শতকের শুরু পর্যন্ত। সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের জন্য বিজ্ঞানীদের নির্দিষ্ট নিয়ম ছিল না যেখানে অজানা সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার চেয়ে কম; সেই সময় পর্যন্ত, ব্যক্তিগত কৌশলগুলি ব্যবহার করা হয়েছিল যা সমীকরণের ধরন এবং ক্যালকুলেটরদের বুদ্ধির উপর নির্ভর করে এবং তাই একই পর্যবেক্ষণমূলক ডেটার উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন ক্যালকুলেটর বিভিন্ন সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছিল। Gauss (1795) প্রথম পদ্ধতিটি ব্যবহার করেন এবং Legendre (1805) স্বাধীনভাবে এটির আধুনিক নামে (ফরাসি) এটি আবিষ্কার ও প্রকাশ করেন। Méthode des moindres quarrés ) ল্যাপ্লেস পদ্ধতিটিকে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত করে এবং আমেরিকান গণিতবিদ অ্যাড্রেইন (1808) এর সম্ভাব্যতা-তাত্ত্বিক প্রয়োগ বিবেচনা করেছিলেন। Encke, Bessel, Hansen এবং অন্যান্যদের দ্বারা আরও গবেষণার মাধ্যমে পদ্ধতিটি ব্যাপক এবং উন্নত হয়েছিল।

OLS এর বিকল্প ব্যবহার

একটি প্রয়োগ হল রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির "সমাধান" যেখানে সমীকরণের সংখ্যা ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে বেশি

যেখানে ম্যাট্রিক্স বর্গক্ষেত্র নয়, আয়তক্ষেত্রাকার।

এই ধরনের সমীকরণের সিস্টেম, সাধারণ ক্ষেত্রে, কোন সমাধান নেই (যদি র‌্যাঙ্ক আসলে ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে বেশি হয়)। অতএব, এই সিস্টেমটি "সমাধান" করা যেতে পারে শুধুমাত্র ভেক্টর এবং . এটি করার জন্য, আপনি সিস্টেম সমীকরণের বাম এবং ডান দিকের পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের যোগফলকে ছোট করার মানদণ্ড প্রয়োগ করতে পারেন, অর্থাৎ। এটা দেখানো সহজ যে এই ন্যূনতমকরণের সমস্যা সমাধানের ফলে নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করা যায়

যদি কিছু শারীরিক পরিমাণঅন্য পরিমাণের উপর নির্ভর করে, তাহলে এই নির্ভরতা x এর বিভিন্ন মানের সাথে y পরিমাপ করে অধ্যয়ন করা যেতে পারে। পরিমাপের ফলস্বরূপ, বেশ কয়েকটি মান প্রাপ্ত হয়:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1, y 2, ..., y i, ... , y n।

এই ধরনের পরীক্ষার তথ্যের উপর ভিত্তি করে, নির্ভরতা y = ƒ(x) এর একটি গ্রাফ তৈরি করা সম্ভব। ফলস্বরূপ বক্ররেখা ƒ(x) ফাংশনের রূপ বিচার করা সম্ভব করে। যাইহোক, এই ফাংশনে প্রবেশ করা ধ্রুবক সহগগুলি অজানা থেকে যায়। তারা সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। পরীক্ষামূলক পয়েন্ট, একটি নিয়ম হিসাবে, বক্ররেখার উপর ঠিক মিথ্যা হয় না। সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির প্রয়োজন যে বক্ররেখা থেকে পরীক্ষামূলক বিন্দুগুলির বিচ্যুতির বর্গের সমষ্টি, যেমন 2 ছিল সবচেয়ে ছোট।

অনুশীলনে, এই পদ্ধতিটি প্রায়শই (এবং সবচেয়ে সহজভাবে) একটি রৈখিক সম্পর্কের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন কখন

y = kxবা y = a + bx.

রৈখিক নির্ভরতাপদার্থবিদ্যায় খুবই বিস্তৃত। এমনকি যখন সম্পর্কটি অরৈখিক হয়, তারা সাধারণত একটি গ্রাফ তৈরি করার চেষ্টা করে যাতে একটি সরল রেখা পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি ধরে নেওয়া হয় যে গ্লাস n-এর প্রতিসরণ সূচক আলোক তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ এর সাথে n = a + b/λ 2 সম্পর্কিত, তাহলে λ -2-এর উপর n-এর নির্ভরতা গ্রাফে প্লট করা হয়েছে।

নির্ভরতা বিবেচনা করুন y = kx(উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা)। আসুন সরলরেখা থেকে আমাদের বিন্দুগুলির বিচ্যুতির বর্গের সমষ্টি φ মানটি রচনা করি

φ-এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয় এবং আমাদের বিন্দু সরলরেখার যত কাছে আসে ততই ছোট হয়। সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি বলে যে k-এর মান এমনভাবে বেছে নেওয়া উচিত যাতে φ-এর একটি সর্বনিম্ন থাকে

বা
(19)

গণনাটি দেখায় যে k-এর মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে মূল-মান-বর্গক্ষেত্রের ত্রুটিটি সমান

, (20)
যেখানে n হল পরিমাপের সংখ্যা।

এবার একটু বেশি বিবেচনা করা যাক হার্ড কেস, যখন পয়েন্ট অবশ্যই সূত্রটি পূরণ করবে y = a + bx(একটি সরল রেখা যা মূলের মধ্য দিয়ে যায় না)।

কাজটি হল x i , y i মানের একটি সেট খুঁজে বের করা সেরা মান a এবং b.

আসুন আবার দ্বিঘাত রূপ φ রচনা করি, পরিমাণের সমানসরলরেখা থেকে x i, y i বিন্দুর বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতি

এবং a এবং b এর মান খুঁজুন যার জন্য φ একটি সর্বনিম্ন আছে

;

এই সমীকরণের যৌথ সমাধান দেয়

(21)

a এবং b নির্ণয়ের মূল বর্গক্ষেত্রের ত্রুটিগুলি সমান

(23)

. (24)

এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে পরিমাপের ফলাফলগুলি প্রক্রিয়া করার সময়, একটি টেবিলে সমস্ত ডেটা সংক্ষিপ্ত করা সুবিধাজনক যেখানে সূত্র (19)(24) এ অন্তর্ভুক্ত সমস্ত পরিমাণ প্রাথমিকভাবে গণনা করা হয়। এই সারণীগুলির ফর্মগুলি নীচের উদাহরণগুলিতে দেওয়া হয়েছে।

উদাহরণ 1.গতিবিদ্যার মৌলিক সমীকরণ অধ্যয়ন করা হয়েছিল ঘূর্ণায়মান আন্দোলনε = M/J (উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখা)। M মুহুর্তের বিভিন্ন মানগুলিতে, একটি নির্দিষ্ট শরীরের কৌণিক ত্বরণ ε পরিমাপ করা হয়েছিল। এই শরীরের জড়তা মুহূর্ত নির্ধারণ করা প্রয়োজন. বল এবং কৌণিক ত্বরণের মুহুর্তের পরিমাপের ফলাফলগুলি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় কলামে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে টেবিল 5.

টেবিল 5

n	M, N m	ε, s -1	এম 2	এম ε	ε - কিমি	(ε - কিমি) 2
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
4	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑			123.1886	41.1115		0.016436

সূত্র (19) ব্যবহার করে আমরা নির্ধারণ করি:

মূল গড় বর্গাকার ত্রুটি নির্ধারণ করতে, আমরা সূত্র ব্যবহার করি (20)

0.005775কেজি-1 · মি -2 .

সূত্র অনুযায়ী (18) আমাদের আছে

; .

S J = (2.996 0.005775)/0.3337 = 0.05185 কেজি m2.

নির্ভরযোগ্যতা P = 0.95 সেট করার পরে, n = 5 এর জন্য ছাত্র সহগগুলির টেবিল ব্যবহার করে, আমরা t = 2.78 খুঁজে পাই এবং নির্ধারণ করি সম্পূর্ণ ভুলΔJ = 2.78 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 কেজি m2.

ফর্মে ফলাফল লিখি:

J = (3.0 ± 0.2) কেজি m2;

উদাহরণ 2।সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করে ধাতব প্রতিরোধের তাপমাত্রা সহগ গণনা করা যাক। রোধ তাপমাত্রার উপর রৈখিকভাবে নির্ভর করে

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°।

মুক্ত শব্দটি 0 ° C তাপমাত্রায় প্রতিরোধের R 0 নির্ধারণ করে এবং ঢাল সহগ হল তাপমাত্রা সহগ α এবং রোধ R 0 এর গুণফল।

পরিমাপ এবং গণনার ফলাফল টেবিলে দেওয়া হয়েছে ( টেবিল 6 দেখুন).

সারণি 6

n	t°, s	r, ওহম	t-¯t	(t-¯t) 2	(t-¯t)r	r - bt - a	(r - bt - a) 2.10 -6
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑	515	8.403		8166.833	21.5985		746.804
∑/n	85.83333	1.4005

সূত্র ব্যবহার করে (21), (22) আমরা নির্ধারণ করি

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 85.83333 = 1.1735 ওম.

α এর সংজ্ঞায় একটি ত্রুটি খুঁজে বের করা যাক। যেহেতু, তারপর সূত্র অনুযায়ী (18) আমাদের আছে:

সূত্র ব্যবহার করে (23), (24) আমাদের আছে

;

0.014126 ওম.

P = 0.95-এ নির্ভরযোগ্যতা সেট করার পরে, n = 6-এর জন্য ছাত্র সহগগুলির সারণী ব্যবহার করে, আমরা t = 2.57 খুঁজে পাই এবং পরম ত্রুটি Δα = 2.57 0.000132 = 0.000338 নির্ধারণ করি ডিগ্রী -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 শিলাবৃষ্টি P = 0.95 এ -1।

উদাহরণ 3.নিউটনের রিং ব্যবহার করে লেন্সের বক্রতার ব্যাসার্ধ নির্ধারণ করা প্রয়োজন। নিউটনের বলয় r m এর ব্যাসার্ধ পরিমাপ করা হয়েছিল এবং এই বলয়ের সংখ্যা m নির্ধারণ করা হয়েছিল। নিউটনের বলয়ের ব্যাসার্ধ R লেন্সের বক্রতার ব্যাসার্ধ এবং সমীকরণ দ্বারা রিং নম্বরের সাথে সম্পর্কিত

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

যেখানে d 0 লেন্স এবং সমতল-সমান্তরাল প্লেটের মধ্যে ফাঁকের পুরুত্ব (বা লেন্সের বিকৃতি),

ঘটনা আলোর λ তরঙ্গদৈর্ঘ্য।

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

তাহলে সমীকরণটি রূপ নেবে y = a + bx.

পরিমাপ এবং গণনার ফলাফল প্রবেশ করানো হয় টেবিল 7.

টেবিল 7

n	x = মি	y = r 2, 10 -2 মিমি 2	m -¯ মি	(m -¯m) 2	(m -¯ m)y	y - bx - a, 10 -4	(y - bx - a) 2 , 10 -6
1	1	6.101	-2.5	6.25	-0.152525	12.01	1.44229
2	2	11.834	-1.5	2.25	-0.17751	-9.6	0.930766
3	3	17.808	-0.5	0.25	-0.08904	-7.2	0.519086
4	4	23.814	0.5	0.25	0.11907	-1.6	0.0243955
5	5	29.812	1.5	2.25	0.44718	3.28	0.107646
6	6	35.760	2.5	6.25	0.894	3.12	0.0975819
∑	21	125.129		17.5	1.041175		3.12176
∑/n	3.5	20.8548333