বাড়ি অপসারণ একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান। দ্বিতীয় অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

অপসারণ

একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান। দ্বিতীয় অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

দ্বিতীয় ক্রম (LNDU-2) এর সাথে রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধানের মৌলিক বিষয়গুলি ধ্রুবক সহগ(পিসি)

ধ্রুবক সহগ $p$ এবং $q$ সহ একটি 2য় ক্রম LDDE-এর ফর্ম $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, যেখানে $f\left(x) \right)$ একটি ক্রমাগত ফাংশন।

PC এর সাথে LNDU 2 এর ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত দুটি বিবৃতি সত্য।

আসুন আমরা ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $U$ হল একটি অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্বিচারে আংশিক সমাধান। আমরা আরও ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $Y$ হল সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-এর সাধারণ সমাধান (GS)। তারপর এর GR LHDE-2 নির্দেশিত ব্যক্তিগত এবং সাধারণ সমাধানের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ $y=U+Y$।

যদি 2য় ক্রম LMDE-এর ডানদিকের দিকটি ফাংশনের সমষ্টি হয়, অর্থাৎ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, তারপর প্রথমে আমরা PD গুলি খুঁজে পেতে পারি $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ যা মিলবে প্রতিটি ফাংশনে $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, এবং তার পরে $U=U_(1) +U_(2) +...U_(r) $ আকারে CR LNDU-2 লিখুন।

পিসি সহ 2য় অর্ডার LPDE এর সমাধান

এটা স্পষ্ট যে প্রদত্ত LNDU-2-এর এক বা অন্য PD $U$-এর ধরন নির্ভর করে তার ডানদিকের $f\left(x\right)$-এর নির্দিষ্ট ফর্মের উপর। PD LNDU-2 অনুসন্ধানের সহজতম ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত চারটি নিয়মের আকারে প্রণয়ন করা হয়েছে।

নিয়ম #1।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, যেখানে $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, অর্থাৎ একে বলা হয় a ডিগ্রী $n$ এর বহুপদ। তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) \left(x\right)$ আরেকটি $P_(n) \left(x\right)$ এর সমান ডিগ্রির বহুপদী, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2-এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা যা শূন্যের সমান। বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$-এর সহগগুলি অনির্দিষ্ট সহগ (UK) পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

বিধি নং 2।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, যেখানে $P_(n) \left( x\right)$ হল $n$ ডিগ্রির একটি বহুপদ। তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) ) \ left(x\right)$ হল $P_(n) \left(x\right)$ এর মতো একই ডিগ্রির আরেকটি বহুপদ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা $\alpha $ এর সমান। বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

বিধি নং 3।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ফর্ম আছে \right) $, যেখানে $a$, $b$ এবং $\beta$ আছে পরিচিত সংখ্যা. তারপর এর PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) আকারে চাওয়া হয়। \right )\cdot x^(r) $, যেখানে $A$ এবং $B$ অজানা সহগ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা, $i\cdot এর সমান বিটা $। সহগ $A$ এবং $B$ অ-ধ্বংসাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়।

বিধি নং 4।

LNDU-2-এর ডানদিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, যেখানে $P_(n) \left(x\right)$ হল ডিগ্রীর একটি বহুপদী $n$, এবং $P_(m) \left(x\right)$ হল $m$ ডিগ্রির একটি বহুপদী। তারপর এর PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $R_(s) \left(x\right)$ হল $s$ ডিগ্রির বহুপদ, $s$ হল সর্বাধিক দুটি সংখ্যা $n$ এবং $m$, এবং $r$ হল মূলের সংখ্যা সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর চরিত্রগত সমীকরণের, $\alpha +i\cdot \beta $ এর সমান। $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $R_(s) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

NK পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। বহুপদীর অজানা সহগগুলি খুঁজে বের করার জন্য যা অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ LNDU-2 এর আংশিক সমাধানের অংশ, এটি প্রয়োজনীয়:

PD $U$ প্রতিস্থাপন করুন, সাধারণ আকারে লিখিত, মধ্যে বাম পাশে LNDU-2;
LNDU-2 এর বাম দিকে, একই ক্ষমতা $x$ সহ সরলীকরণ এবং গ্রুপ পদগুলি সম্পাদন করুন;
ফলস্বরূপ পরিচিতিতে, বাম এবং ডান দিকের একই ক্ষমতা $x$ সহ পদগুলির সহগকে সমান করুন;
অজানা সহগগুলির জন্য রৈখিক সমীকরণের ফলে সিস্টেমটি সমাধান করুন।

উদাহরণ 1

টাস্ক: খুঁজুন OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $। এছাড়াও PD খুঁজুন , $x=0$ এর জন্য $y=6$ এবং $x=0$ এর জন্য $y"=1$ প্রাথমিক শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে৷

আমরা সংশ্লিষ্ট LOD-2 লিখি: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$।

চরিত্রগত সমীকরণ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$। চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি হল: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$। এই শিকড়গুলি বৈধ এবং স্বতন্ত্র। এইভাবে, সংশ্লিষ্ট LODE-2-এর OR-এর ফর্ম আছে: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $।

এই LNDU-2-এর ডান দিকে $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ফর্ম আছে। $\alpha =3$ সূচকের সহগ বিবেচনা করা প্রয়োজন। এই সহগটি বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের কোনো মূলের সাথে মিলে না। অতএব, এই LNDU-2-এর PD-এর ফর্ম $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আছে।

আমরা NC পদ্ধতি ব্যবহার করে $A$, $B$ সহগ অনুসন্ধান করব।

আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা প্রদত্ত NLDE-2 $y""-3\cdot y"-এ $y""$, $y"$ এবং $y$ এর পরিবর্তে $U""$, $U"$ এবং $U$ ফাংশনগুলি প্রতিস্থাপন করি। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ তাছাড়া, যেহেতু সূচক $e^(3\cdot x)$ একটি গুণনীয়ক হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। সমস্ত উপাদানে, তারপর এটি বাদ দেওয়া যেতে পারে। আমরা পাই:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

আমরা ফলাফল সমতার বাম দিকে ক্রিয়া সম্পাদন করি:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

আমরা NDT পদ্ধতি ব্যবহার করি। আমরা দুটি অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

এই সিস্টেমের সমাধান হল: $A=-2$, $B=-1$।

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আমাদের সমস্যার জন্য এইরকম দেখায়: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $।

আমাদের সমস্যার জন্য OR $y=Y+U$ এইরকম দেখায়: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $।

প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি PD অনুসন্ধান করার জন্য, আমরা OP-এর ডেরিভেটিভ $y"$ খুঁজে পাই:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা $y$ এবং $y"$ এ প্রতিস্থাপন করি $y=6$ এর জন্য $x=0$ এবং $y"=1$ এর জন্য $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

এর সমাধান করা যাক। আমরা ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে $C_(1) $ খুঁজে পাই, এবং $C_(2) $ আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে নির্ধারণ করি:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

এইভাবে, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের PD এর ফর্ম আছে: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $।

এই নিবন্ধটি ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার সমস্যাটিকে সম্বোধন করে। প্রদত্ত সমস্যার উদাহরণ সহ তত্ত্বটি আলোচনা করা হবে। অস্পষ্ট পদগুলি বোঝার জন্য, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বের মৌলিক সংজ্ঞা এবং ধারণাগুলি সম্পর্কে বিষয়টি উল্লেখ করা প্রয়োজন।

y "" + p · y " + q · y = f (x) ফর্মের ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমটির একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (LDE) বিবেচনা করা যাক, যেখানে p এবং q হল নির্বিচারে সংখ্যা, এবং বিদ্যমান ফাংশন f (x) একীকরণ ব্যবধান x এর উপর অবিচ্ছিন্ন।

আসুন উপপাদ্য গঠনে এগিয়ে যাই সাধারণ সমাধানএলএনডিইউ।

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU এর জন্য সাধারণ সমাধান উপপাদ্য

উপপাদ্য ঘ

একটি সাধারণ সমাধান, y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ফর্মের একটি অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ব্যবধান x-এ অবস্থিত। . . + f 0 (x) · y = f (x) x ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন একীকরণ সহগ সহ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) এবং একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f (x) সাধারণ সমাধান y 0 এর যোগফলের সমান, যা LOD এবং কিছু নির্দিষ্ট সমাধান y ~ এর সাথে মিলে যায়, যেখানে মূল অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণটি y = y 0 + y~।

এটি দেখায় যে এই ধরনের একটি দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের সমাধানটির ফর্ম y = y 0 + y ~ আছে। y 0 খোঁজার অ্যালগরিদমটি ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিবন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এর পরে আমাদের y ~ এর সংজ্ঞায় যেতে হবে।

LPDE-এর একটি নির্দিষ্ট সমাধানের পছন্দ সমীকরণের ডানদিকে অবস্থিত উপলব্ধ ফাংশন f (x) ধরনের উপর নির্ভর করে। এটি করার জন্য, ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির সমাধানগুলি আলাদাভাবে বিবেচনা করা প্রয়োজন।

যখন f (x) কে nম ডিগ্রী f (x) = P n (x) এর বহুপদী হিসাবে বিবেচনা করা হয়, তখন এটি অনুসরণ করে যে LPDE এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান y ~ = Q n (x) ফর্মুলা ব্যবহার করে পাওয়া যায় ) x γ, যেখানে Q n ( x) ডিগ্রী n এর একটি বহুপদী, r হল বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের শূন্য মূলের সংখ্যা। মান y ~ হল একটি নির্দিষ্ট সমাধান y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , তারপর উপলব্ধ সহগগুলি যা বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়
Q n (x), আমরা সমতা y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) থেকে অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতি ব্যবহার করে খুঁজে পাই।

উদাহরণ 1

কচির উপপাদ্য y "" - 2 y" = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 ব্যবহার করে গণনা করুন।

সমাধান

অন্য কথায়, ধ্রুবক সহগ y "" - 2 y" = x 2 + 1 সহ দ্বিতীয় ক্রমটির একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানের দিকে এগিয়ে যাওয়া প্রয়োজন, যা প্রদত্ত শর্তগুলি y (0) পূরণ করবে। = 2, y " (0) = 1 4।

রৈখিক এর সাধারণ সমাধান একজাতীয় সমীকরণসাধারণ সমাধানের সমষ্টি যা y 0 সমীকরণের সাথে বা অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ y ~, অর্থাৎ y = y 0 + y ~ এর একটি নির্দিষ্ট সমাধানের সাথে মিলে যায়।

প্রথমত, আমরা LNDU-এর জন্য একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে পাব, এবং তারপরে একটি নির্দিষ্ট।

আসুন y 0 খোঁজার দিকে এগিয়ে যাই। চারিত্রিক সমীকরণ লিখলে আপনি শিকড় খুঁজে পেতে সাহায্য করবে। আমরা যে পেতে

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

আমরা খুঁজে পেয়েছি যে শিকড়গুলি ভিন্ন এবং বাস্তব। অতএব, আসুন লিখুন

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x।

আসুন y ~ খুঁজে দেখি। এটি দেখা যায় যে প্রদত্ত সমীকরণের ডান দিকটি দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদী, তারপর মূলগুলির একটি শূন্যের সমান। এটি থেকে আমরা পাই যে y ~ এর জন্য একটি নির্দিষ্ট সমাধান হবে

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, যেখানে A, B, C এর মানগুলি অনির্ধারিত সহগ গ্রহণ করে।

আসুন y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ফর্মের একটি সমতা থেকে তাদের খুঁজে বের করি।

তারপরে আমরা এটি পাই:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

x এর একই সূচকের সাথে সহগকে সমান করে, আমরা রৈখিক রাশির একটি সিস্টেম পাই - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1। যে কোনো পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করার সময়, আমরা সহগ খুঁজে বের করব এবং লিখব: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 এবং y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x।

এই এন্ট্রিটিকে ধ্রুবক সহগ সহ মূল রৈখিক অসংগত দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান বলা হয়।

y (0) = 2, y "(0) = 1 4 শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে পেতে, মানগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন গ ঘএবং গ 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ফর্মের একটি সমতার উপর ভিত্তি করে।

আমরা এটি পাই:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

আমরা C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ফর্মের সমীকরণের ফলাফল সিস্টেমের সাথে কাজ করি, যেখানে C 1 = 3 2, C 2 = 1 2।

কচির উপপাদ্য প্রয়োগ করে, আমাদের তা আছে

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

উত্তর: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x।

যখন ফাংশন f (x) ডিগ্রী n এবং একটি সূচক f (x) = P n (x) · e a x সহ একটি বহুপদীর গুণফল হিসাবে উপস্থাপিত হয়, তখন আমরা পাই যে দ্বিতীয়-ক্রম LPDE এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান হবে একটি ফর্ম y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ ফর্মের সমীকরণ, যেখানে Q n (x) হল nম ডিগ্রির একটি বহুপদী, এবং r হল α এর সমান চরিত্রগত সমীকরণের মূল সংখ্যা।

Q n (x) এর সহগ সমতা y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) দ্বারা পাওয়া যায়।

উদাহরণ 2

y "" - 2 y" = (x 2 + 1) · e x ফর্মের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান

সমীকরণটি সাধারণ দৃষ্টিকোণ y = y 0 + y ~। নির্দেশিত সমীকরণটি LOD y "" - 2 y" = 0 এর সাথে মিলে যায়। আগের উদাহরণ থেকে দেখা যায় যে এর শিকড় সমান k 1 = 0এবং k 2 = 2 এবং y 0 = C 1 + C 2 e 2 x চরিত্রগত সমীকরণ দ্বারা।

এটা দেখা যায় যে সমীকরণের ডান দিক হল x 2 + 1 · e x। এখান থেকে LPDE পাওয়া যায় y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, যেখানে Q n (x) দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদী, যেখানে α = 1 এবং r = 0, কারণ বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণটি নেই 1 এর সমান একটি মূল আছে। এখান থেকে আমরা সেটা পাই

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C।

A, B, C হল অজানা সহগ যা সমতা y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x দ্বারা পাওয়া যায়।

বুঝেছি

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B == e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

আমরা একই সহগ সহ সূচকগুলিকে সমান করি এবং রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই। এখান থেকে আমরা A, B, C পাই:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

উত্তর:এটা স্পষ্ট যে y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 হল LNDDE এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান, এবং y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - একটি সেকেন্ড-অর্ডার inhomogeneous dif সমীকরণের জন্য একটি সাধারণ সমাধান।

যখন ফাংশনটি f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x হিসাবে লেখা হয়, এবং ক ঘএবং 1 তেসংখ্যা, তাহলে LPDE এর একটি আংশিক সমাধানকে y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ ফর্মের একটি সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যেখানে A এবং B বিবেচনা করা হয় অনিশ্চিত সহগ, এবং r হল চারিত্রিক সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত জটিল সমন্বিত মূলের সংখ্যা, ± i β এর সমান। এই ক্ষেত্রে, সমতা y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ব্যবহার করে সহগ অনুসন্ধান করা হয়।

উদাহরণ 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ফর্মের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান

চরিত্রগত সমীকরণ লেখার আগে আমরা y 0 খুঁজে পাই। তারপর

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

আমাদের এক জোড়া জটিল সংযোজিত শিকড় রয়েছে। আসুন রূপান্তর করি এবং পাই:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়কে কনজুগেট জোড়া ± 2 i, তারপর f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) বলে মনে করা হয়। এটি দেখায় যে y ~ এর অনুসন্ধানটি y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x থেকে করা হবে। অজানা আমরা y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ফর্মের সমতা থেকে A এবং B সহগ খুঁজব।

আসুন রূপান্তর করি:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

তাহলে এটা পরিষ্কার

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

সাইন এবং কোসাইনের সহগকে সমান করা প্রয়োজন। আমরা ফর্মের একটি সিস্টেম পাই:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

এটি অনুসরণ করে যে y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x।

উত্তর:ধ্রুবক সহগ সহ মূল দ্বিতীয়-ক্রম LDDE-এর সাধারণ সমাধান বিবেচনা করা হয়

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

যখন f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), তখন y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ। আমাদের কাছে আছে যে r হল চরিত্রগত সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত জটিল সমন্বিত জোড়ার মূলের সংখ্যা, α ± i β এর সমান, যেখানে P n (x), Q k (x), L m(x) এবং Nm(x)ডিগ্রী n, k, m, m, কোথায় এর বহুপদ m = m a x (n, k). সহগ সন্ধান করা Lm(x)এবং Nm(x)সমতার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয় y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x)।

উদাহরণ 4

সাধারণ সমাধানটি খুঁজুন y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))।

সমাধান

শর্ত অনুযায়ী এটা পরিষ্কার

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

তারপর m = m a x (n, k) = 1। আমরা প্রথমে লিখে y 0 খুঁজে পাই চরিত্রগত সমীকরণপ্রকার:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

আমরা খুঁজে পেয়েছি যে শিকড়গুলি বাস্তব এবং স্বতন্ত্র। তাই y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x। এর পরে, ফর্মটির অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ y ~ এর উপর ভিত্তি করে একটি সাধারণ সমাধান সন্ধান করা প্রয়োজন

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x (A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

এটি জানা যায় যে A, B, C সহগ, r = 0, কারণ α ± i β = 3 ± 5 · i এর সাথে চরিত্রগত সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত সংযোজক মূলের কোন জোড়া নেই। আমরা ফলাফল সমতা থেকে এই সহগগুলি খুঁজে পাই:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x (38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x) A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x (A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x (38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

ডেরিভেটিভ এবং অনুরূপ পদ খোঁজা দেয়

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

সহগ সমান করার পরে, আমরা ফর্মের একটি সিস্টেম পাই

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 ডি = 1

সবকিছু থেকে এটি অনুসরণ করে

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) পাপ (5 x))

উত্তর:এখন আমরা প্রদত্ত রৈখিক সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পেয়েছি:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম

সংজ্ঞা 1

সমাধানের জন্য অন্য যেকোন ধরনের ফাংশন f(x) এর সমাধান অ্যালগরিদমের সাথে সম্মতি প্রয়োজন:

সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করা, যেখানে y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, যেখানে y 1এবং y 2 LODE এর রৈখিকভাবে স্বাধীন আংশিক সমাধান, গ ঘএবং গ 2নির্বিচারে ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত হয়;
LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 এর সাধারণ সমাধান হিসাবে গ্রহণ;
ফর্ম C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , এবং ফাংশন খোঁজা গ 1 (x)এবং C 2 (x) একীকরণের মাধ্যমে।

উদাহরণ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x এর সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান

আমরা পূর্বে y 0, y "" + 36 y = 0 লিখে চরিত্রগত সমীকরণটি লেখার জন্য এগিয়ে যাই। আসুন লিখি এবং সমাধান করি:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = পাপ (6 x)

আমাদের আছে যে প্রদত্ত সমীকরণের সাধারণ সমাধান y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) হিসাবে লেখা হবে। ডেরিভেটিভ ফাংশনের সংজ্ঞায় এগিয়ে যাওয়া প্রয়োজন গ 1 (x)এবং C2(x)সমীকরণ সহ একটি সিস্টেম অনুযায়ী:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

বিষয়ে সিদ্ধান্ত নেওয়া দরকার গ 1" (x)এবং C 2" (x)যে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করে। তারপর আমরা লিখি:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

প্রতিটি সমীকরণ একত্রিত করা আবশ্যক। তারপরে আমরা ফলস্বরূপ সমীকরণ লিখি:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

এটি অনুসরণ করে যে সাধারণ সমাধানটির ফর্ম থাকবে:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 পাপ (6 x)

উত্তর: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

আমরা দেখেছি যে, যে ক্ষেত্রে একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান জানা যায়, সেখানে নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি অসামঞ্জস্য সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজে পাওয়া সম্ভব। যাইহোক, কিভাবে একটি সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করা যায় সেই প্রশ্নটি উন্মুক্ত ছিল। বিশেষ ক্ষেত্রে যখন রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে (3) সমস্ত সহগ p i(এক্স)= a i - ধ্রুবক, এটি খুব সহজভাবে সমাধান করা যেতে পারে, এমনকি ইন্টিগ্রেশন ছাড়াই।

ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন, যেমন ফর্মের সমীকরণগুলি

y (n) + ক 1 y (n – 1) +...ক n – 1 y " + a n y = 0, (14)

কোথায় এবং আমি- ধ্রুবক (i= 1, 2, ...,n).

যেমনটি জানা যায়, ১ম ক্রমটির একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের জন্য সমাধানটি ফর্মের একটি ফাংশন e kxআমরা ফর্মে সমীকরণ (14) এর সমাধান খুঁজব j (এক্স) = e kx.

আসুন ফাংশনটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি (14) j (এক্স) এবং এর অর্ডার ডেরিভেটিভস মি (1 £ মি£ n)j (মি) (এক্স) = k m e kx. আমরা পেতে

(k n + a 1 kn – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,

কিন্তু e k x ¹ যে কোনো জন্য 0 এক্স, এই জন্য

k n + a 1 k n – 1 +...ক n – 1 k + a n = 0. (15)

সমীকরণ (15) বলা হয় চরিত্রগত সমীকরণ, বাম পাশে বহুপদ- চরিত্রগত বহুপদ , এর শিকড়- বৈশিষ্ট্যযুক্ত শিকড় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (14)।

উপসংহার:

ফাংশনj (এক্স) = e kx - রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সমাধান (14) যদি এবং শুধুমাত্র সংখ্যা k - চরিত্রগত সমীকরণের মূল (15)।

এইভাবে, রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ (14) সমাধানের প্রক্রিয়াটি বীজগণিতীয় সমীকরণ (15) সমাধানে হ্রাস করা হয়।

চরিত্রগত শিকড় বিভিন্ন ক্ষেত্রে সম্ভব।

1.চরিত্রগত সমীকরণের সমস্ত শিকড় বাস্তব এবং স্বতন্ত্র।

এক্ষেত্রে nবিভিন্ন বৈশিষ্ট্যযুক্ত শিকড় k 1 ,k 2 ,..., k nঅনুরূপ nএকজাত সমীকরণের বিভিন্ন সমাধান (14)

এটি দেখানো যেতে পারে যে এই সমাধানগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং তাই গঠন করে মৌলিক ব্যবস্থাসিদ্ধান্ত. সুতরাং, সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল ফাংশন

কোথায় সঙ্গে 1 , গ 2 , ..., গ n - নির্বিচারে ধ্রুবক

উদাহরণ 7। রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন:

ক) এ¢ ¢ (এক্স) - 6এ¢ (এক্স) + 8এ(এক্স) = 0, খ) এ¢ ¢ ¢ (এক্স) + 2এ¢ ¢ (এক্স) - 3এ¢ (এক্স) = 0.

সমাধান। আসুন একটি চরিত্রগত সমীকরণ তৈরি করি। এটি করার জন্য, আমরা অর্ডারের ডেরিভেটিভ প্রতিস্থাপন করি মিফাংশন y(এক্স) উপযুক্ত মাত্রায়

k(এ (মি) (এক্স) « k মি),

যখন ফাংশন নিজেই এ(এক্স) হিসাবে zeroth অর্ডার ডেরিভেটিভ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় k 0 = 1.

ক্ষেত্রে (a) চরিত্রগত সমীকরণের ফর্ম আছে k 2 - 6k+ 8 = 0. এর শিকড় দ্বিঘাত সমীকরণ k 1 = 2,k 2 = 4. যেহেতু তারা বাস্তব এবং ভিন্ন, সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে j (এক্স)= গ 1 e 2এক্স + গ 2 e 4x

ক্ষেত্রে (b), চরিত্রগত সমীকরণ হল 3য় ডিগ্রী সমীকরণ k 3 + 2k 2 - 3k = 0. আসুন এই সমীকরণের মূল খুঁজে বের করি:

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

টি . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত শিকড়গুলি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের মৌলিক সিস্টেমের সাথে মিলে যায়:

j 1 (এক্স)= ই 0এক্স = 1, j 2 (এক্স) = ই এক্স, j 3 (এক্স)= ই - 3এক্স .

সূত্র (9) অনুসারে সাধারণ সমাধান হল ফাংশন

j (এক্স)= গ 1 + গ 2 e x + C 3 e - 3এক্স .

২ . চরিত্রগত সমীকরণের সমস্ত শিকড় ভিন্ন, কিন্তু তাদের মধ্যে কিছু জটিল।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমস্ত সহগ (14), এবং তাই এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণ (15)- বাস্তব সংখ্যা, যার মানে যদি c চরিত্রগত মূলের মধ্যে একটি জটিল মূল থাকে k 1 = a + ib,অর্থাৎ, এর সংযোজিত মূল k 2 = ` k 1 = ক- ibপ্রথম মূলে k 1 ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের সাথে মিলে যায় (14)

j 1 (এক্স)= ই (a+ib)এক্স = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(আমরা অয়লারের সূত্র ব্যবহার করেছি e i x = cosx + isinx) একইভাবে, মূল k 2 = ক- ibসমাধানের সাথে মিলে যায়

j 2 (এক্স)= ই (a - -ib)এক্স = e a x e - ib x= ই কুঠার(cosbx - isinbx).

এই সমাধানগুলি জটিল। তাদের কাছ থেকে বাস্তব সমাধান পেতে, আমরা একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি (13.2 দেখুন)। ফাংশন

সমীকরণের বাস্তব সমাধান (14)। অধিকন্তু, এই সমাধানগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন। সুতরাং, আমরা নিম্নলিখিত উপসংহার টানতে পারি।

নিয়ম 1.একজোড়া সমন্বিত জটিল শিকড় ক± রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের FSR-এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের ib (14) দুটি বাস্তব আংশিক সমাধানের সাথে মিলে যায়এবং .

উদাহরণ 8। সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন:

ক) এ¢ ¢ (এক্স) - 2এ ¢ (এক্স) + 5এ(এক্স) = 0 ;খ) এ¢ ¢ ¢ (এক্স) - এ¢ ¢ (এক্স) + 4এ ¢ (এক্স) - 4এ(এক্স) = 0.

সমাধান। সমীকরণের ক্ষেত্রে (a), চরিত্রগত সমীকরণের মূল k 2 - 2k+ 5 = 0 দুটি সমন্বিত জটিল সংখ্যা

k 1, 2 = .

ফলস্বরূপ, নিয়ম 1 অনুসারে, তারা দুটি বাস্তব রৈখিক স্বাধীন সমাধানের সাথে মিলে যায়: এবং , এবং সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল ফাংশন

j (এক্স)= গ 1 e x cos 2x + গ 2 e x পাপ 2এক্স.

ক্ষেত্রে (b), চরিত্রগত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করতে k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, আমরা এর বাম দিকে ফ্যাক্টরাইজ করি:

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

অতএব, আমাদের তিনটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত শিকড় রয়েছে: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2iকর্নু k 1 সমাধানের সাথে মিলে যায় , এবং একজোড়া জটিল শিকড় k 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2i- দুটি বৈধ সমাধান: এবং . আমরা সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান রচনা করি:

j (এক্স)= গ 1 e x + C 2 কারণ 2x + গ 3 পাপ 2এক্স.

III . বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের শিকড়গুলির মধ্যে গুণগুলি রয়েছে।

দিন k 1 - বহুত্বের প্রকৃত মূল মিচরিত্রগত সমীকরণ (15), অর্থাৎ শিকড়গুলির মধ্যে রয়েছে মিসমান শিকড়। তাদের প্রত্যেকটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একই সমাধানের সাথে মিলে যায় (14) যাইহোক, অন্তর্ভুক্ত করুন মিএফএসআর-এ কোন সমান সমাধান নেই, যেহেতু তারা ফাংশনের একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সিস্টেম গঠন করে।

এটি একটি একাধিক মূলের ক্ষেত্রে দেখানো যেতে পারে k 1সমীকরণের সমাধান (14), ফাংশন ছাড়াও, ফাংশন

ফাংশনগুলি সম্পূর্ণ সাংখ্যিক অক্ষের উপর রৈখিকভাবে স্বাধীন, যেহেতু , অর্থাৎ, সেগুলি FSR-এ অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে।

নিয়ম 2। বাস্তব চরিত্রগত মূল k 1 বহুগুণ মি FSR অনুরূপ মধ্যে মিসমাধান:

যদি k 1 - জটিল মূল বহুগুণ মিচরিত্রগত সমীকরণ (15), তারপর একটি সংযোজিত মূল আছে k 1 বহুগুণ মি. সাদৃশ্য দ্বারা আমরা নিম্নলিখিত নিয়ম প্রাপ্ত.

নিয়ম 3. একজোড়া সমন্বিত জটিল শিকড় ক± এফএসআর-এ ib 2mreal রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানের সাথে মিলে যায়:

, , ..., ,

, , ..., .

উদাহরণ 9। সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন:

ক) এ¢ ¢ ¢ (এক্স) + 3এ¢ ¢ (এক্স) + 3এ¢ (এক্স)+ y ( এক্স)= ০;খ) IV এ(এক্স) + 6এ¢ ¢ (এক্স) + 9এ(এক্স) = 0.

সমাধান। ক্ষেত্রে (a) চরিত্রগত সমীকরণের ফর্ম আছে

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k+ 1) 3 = 0,

অর্থাৎ k =- 1 - গুণের মূল 3. নিয়ম 2 এর উপর ভিত্তি করে, আমরা সাধারণ সমাধান লিখি:

j (এক্স)= গ 1 + গ 2 x + গ 3 এক্স 2 .

ক্ষেত্রে (b) চরিত্রগত সমীকরণ হল সমীকরণ

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

অথবা অন্যটি,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i

আমাদের কাছে একজোড়া সমন্বিত জটিল শিকড় রয়েছে, যার প্রতিটির 2 গুণ রয়েছে। নিয়ম 3 অনুসারে, সাধারণ সমাধানটি লেখা হয়

j (এক্স)= গ 1 + গ 2 x + গ 3 + গ 4 এক্স.

উপরোক্ত থেকে এটি অনুসরণ করে যে ধ্রুবক সহগ সহ যেকোন রৈখিক একজাতীয় সমীকরণের জন্য সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম খুঁজে বের করা এবং একটি সাধারণ সমাধান রচনা করা সম্ভব। ফলস্বরূপ, যে কোনওটির জন্য সংশ্লিষ্ট অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সমাধান ক্রমাগত ফাংশন চ(এক্স) ডানদিকে নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে (বিভাগ 5.3 দেখুন)।

উদাহরণ 10. প্রকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে, একজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন এ¢ ¢ (এক্স) - এ¢ (এক্স) - 6এ(এক্স) = xe 2এক্স .

সমাধান। প্রথমে আমরা সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজে পাই এ¢ ¢ (এক্স) - এ¢ (এক্স) - 6এ(এক্স) = 0. চরিত্রগত সমীকরণের মূল k 2 - k- 6 = 0 হয় k 1 = 3,k 2 = - 2, ক সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান - ফাংশন ` এ ( এক্স) = গ 1 e 3এক্স + গ 2 e - 2এক্স .

আমরা ফর্মে অসংলগ্ন সমীকরণের সমাধান খুঁজব

এ( এক্স) = সঙ্গে 1 (এক্স)e 3এক্স + গ 2 (এক্স)e 2এক্স . (*)

চলুন Wronski নির্ধারক খুঁজে

ডব্লিউ[e 3এক্স , ই 2এক্স ] = .

আসুন আমরা অজানা ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেম (12) রচনা করি সঙ্গে ¢ 1 (এক্স) এবং সঙ্গে¢ 2 (এক্স):

Cramer এর সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেম সমাধান করা, আমরা প্রাপ্ত

একত্রীকরণ, আমরা খুঁজে সঙ্গে 1 (এক্স) এবং সঙ্গে 2 (এক্স):

প্রতিস্থাপন ফাংশন সঙ্গে 1 (এক্স) এবং সঙ্গে 2 (এক্স) সমতায় (*), আমরা সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পাই এ¢ ¢ (এক্স) - এ¢ (এক্স) - 6এ(এক্স) = xe 2এক্স :

যে ক্ষেত্রে ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের ডানদিকের একটি বিশেষ রূপ থাকে, তখন স্বেচ্ছাচারী ধ্রুবকের পরিবর্তিত পদ্ধতির অবলম্বন না করেই একজাতীয় সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান পাওয়া যেতে পারে।

ধ্রুবক সহগ সমীকরণ বিবেচনা করুন

y (n) + a 1 y (n– 1) +...ক n – 1y " + a n y = f (এক্স), (16)

চ( এক্স) = eকুঠার(পিএন(এক্স)cosbx + R মি(এক্স)sinbx), (17)

কোথায় পিএন(এক্স) এবং আরএম(এক্স) - ডিগ্রী বহুপদ n এবং মিযথাক্রমে

ব্যক্তিগত সমাধান y*(এক্স) সমীকরণের (16) সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

এ* (এক্স) = xse কুঠার(জনাব(এক্স)cosbx + Nr(এক্স)sinbx), (18)

কোথায় জনাব(এক্স) এবং N r(এক্স) - ডিগ্রী বহুপদ r = সর্বোচ্চ(n, মি) অনিশ্চিত সহগ সহ , ক sমূলের গুণিতকের সমান k 0 = a + ibসমীকরণের বৈশিষ্ট্যগত বহুপদ (16), এবং আমরা অনুমান করি s = 0 যদি k 0 একটি চরিত্রগত মূল নয়।

সূত্র (18) ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট সমাধান রচনা করার জন্য, আপনাকে চারটি পরামিতি খুঁজে বের করতে হবে - a, b, rএবং sপ্রথম তিনটি সমীকরণের ডান দিক থেকে নির্ধারিত হয়, এবং r- এটি আসলে সর্বোচ্চ ডিগ্রী এক্স, ডান দিকে পাওয়া যায়. প্যারামিটার sসংখ্যার তুলনা থেকে পাওয়া যায় k 0 = a + ibএবং সমীকরণ (16) এর সমস্ত বৈশিষ্ট্যগত মূল (অনুসারে গুণিতিকতা বিবেচনা করে) সমষ্টি, যা সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণ সমাধান করে পাওয়া যায়।

আসুন আমরা ফাংশনের ফর্মের বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করি (17):

1) এ ক ¹ 0, খ= 0চ(এক্স)= e ax P n(এক্স);

2) কখন ক= 0, খ ¹ 0চ(এক্স)= পিএন(এক্স) সঙ্গেosbx + R m(এক্স)sinbx;

3) কখন ক = 0, খ = 0চ(এক্স)=Pn(এক্স).

মন্তব্য 1. যদি P n (x) º 0 বা Rm(x)º 0, তারপর সমীকরণের ডান দিকে f(x) = e ax P n (x)с osbx বা f(x) = e ax R m (x)sinbx, অর্থাৎ শুধুমাত্র একটি ফাংশন রয়েছে - কোসাইন বা সাইন। কিন্তু একটি নির্দিষ্ট সমাধানের রেকর্ডিংয়ে, তাদের উভয়কেই উপস্থিত থাকতে হবে, যেহেতু সূত্র (18) অনুসারে, তাদের প্রত্যেককে একই ডিগ্রি r = max(n, m) এর অনির্ধারিত সহগ সহ একটি বহুপদী দ্বারা গুণ করা হয়।

উদাহরণ 11. যদি সমীকরণের ডান দিকটি জানা থাকে তবে ধ্রুবক সহগ সহ 4র্থ ক্রমটির একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের আংশিক সমাধানের ধরন নির্ধারণ করুন চ(এক্স) = ই এক্স(2xcos 3x+(এক্স 2 + 1)পাপ 3এক্স) এবং চরিত্রগত সমীকরণের মূল:

ক ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

খ ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;

ভি ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i

সমাধান। ডান দিকে আমরা যে বিশেষ সমাধান খুঁজে এ*(এক্স), যা সূত্র (18), পরামিতি দ্বারা নির্ধারিত হয়: ক= 1, খ= 3, r = 2. তিনটি ক্ষেত্রেই তারা একই থাকে, তাই সংখ্যা k 0 যা শেষ পরামিতি নির্দিষ্ট করে sসূত্র (18) এর সমান k 0 = 1+ 3i. ক্ষেত্রে (ক) চরিত্রগত মূলের মধ্যে কোন সংখ্যা নেই k 0 = 1 + 3আমি,মানে, s= 0, এবং একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্ম আছে

y*(এক্স) = এক্স 0 e x(এম 2 (এক্স)কারণ 3x+N 2 (এক্স)পাপ 3এক্স) =

= eএক্স( (কুঠার 2 +Bx+C)কারণ 3x+(ক 1 এক্স 2 +বি 1 x+C 1)পাপ 3এক্স.

ক্ষেত্রে (খ) সংখ্যা k 0 = 1 + 3iচরিত্রগত শিকড় মধ্যে একবার ঘটে, যার মানে s = 1 এবং

y*(এক্স) = x ই x((কুঠার 2 +Bx+C)কারণ 3x+(ক 1 এক্স 2 +বি 1 x+C 1)পাপ 3এক্স.

ক্ষেত্রে (c) আমরা আছে s = 2 এবং

y*(এক্স) = x 2 e x((কুঠার 2 +Bx+C)কারণ 3x+(ক 1 এক্স 2 +বি 1 x+C 1)পাপ 3এক্স.

উদাহরণ 11-এ, নির্দিষ্ট সমাধানে অনির্ধারিত সহগ সহ ডিগ্রী 2 এর দুটি বহুপদ রয়েছে। একটি সমাধান খুঁজতে, আপনাকে এই সহগগুলির সংখ্যাসূচক মানগুলি নির্ধারণ করতে হবে। আসুন একটি সাধারণ নিয়ম প্রণয়ন করি।

বহুপদীর অজানা সহগ নির্ণয় করতে জনাব(এক্স) এবং N r(এক্স) সমতা (17) প্রয়োজনীয় সংখ্যক বার আলাদা করা হয়, এবং ফাংশনটি প্রতিস্থাপিত হয় y*(এক্স) এবং এর ডেরিভেটিভগুলি সমীকরণে (16)। এর বাম এবং ডান দিক তুলনা করে, আমরা সিস্টেমটি পাই বীজগণিত সমীকরণসহগ খুঁজে বের করতে।

উদাহরণ 12. সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজুন এ¢ ¢ (এক্স) - এ¢ (এক্স) - 6এ(এক্স) = xe 2এক্স, ডানদিকের আকারের দ্বারা অসংলগ্ন সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান নির্ধারণ করে।

সমাধান। একজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে

এ( এক্স) = ` এ(এক্স)+ y*(এক্স),

কোথায় ` এ ( এক্স) - সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান, এবং y*(এক্স) - একটি অ-সমজাতীয় সমীকরণের বিশেষ সমাধান।

প্রথমে আমরা সমজাতীয় সমীকরণটি সমাধান করি এ¢ ¢ (এক্স) - এ¢ (এক্স) - 6এ(এক্স) = 0. এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ k 2 - k- 6 = 0 দুটি শিকড় আছে k 1 = 3,k 2 = - 2, তাই, ` এ ( এক্স) = গ 1 e 3এক্স + গ 2 e - 2এক্স .

আসুন নির্দিষ্ট সমাধানের ধরন নির্ধারণ করতে সূত্র (18) ব্যবহার করি এ*(এক্স) ফাংশন চ(এক্স) = xe 2এক্স প্রতিনিধিত্ব করে বিশেষ মামলা(a) সূত্র (17), যখন a = 2,b = 0 এবং r = 1, অর্থাৎ k 0 = 2 + 0i = 2. চরিত্রগত শিকড় সঙ্গে তুলনা, আমরা যে উপসংহার s = 0. সমস্ত প্যারামিটারের মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করে (18), আমাদের আছে y*(এক্স) = (আহ + বি)e 2এক্স .

মান খুঁজে বের করতে কএবং ভিতরে, আসুন ফাংশনের প্রথম এবং দ্বিতীয় ক্রম ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি y*(এক্স) = (আহ + বি)e 2এক্স :

y*¢ (এক্স)= Ae 2এক্স + 2(আহ + বি)e 2এক্স = (2আহ + আহ + 2খ)e 2x,

y*¢ ¢ (এক্স) = 2Ae 2এক্স + 2(2আহ + আহ + 2খ)e 2এক্স = (4আহ + 4A+ 4খ)e 2এক্স .

ফাংশন প্রতিস্থাপন পরে y*(এক্স) এবং আমাদের সমীকরণে এর ডেরিভেটিভস

(4আহ + 4A+ 4খ)e 2এক্স - (2আহ + আহ + 2খ)e 2এক্স - 6(আহ + বি)e 2এক্স =xe 2এক্স Þ Þ ক =- 1/4,খ=- 3/16.

এইভাবে, একজাতীয় সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানের ফর্ম রয়েছে

y*(এক্স) = (- 1/4এক্স- 3/16)e 2এক্স ,

এবং সাধারণ সমাধান - এ ( এক্স) = গ 1 e 3এক্স + গ 2 e - 2এক্স + (- 1/4এক্স- 3/16)e 2এক্স .

নোট 2।যে ক্ষেত্রে কচি সমস্যাটি একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের জন্য উত্থাপিত হয়, একজনকে প্রথমে সমীকরণটির একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করতে হবে

এ( এক্স) = ,

সহগগুলির সমস্ত সংখ্যাসূচক মান নির্ধারণ করে এ*(এক্স) তারপরে প্রাথমিক শর্তগুলি ব্যবহার করুন এবং সাধারণ সমাধানে তাদের প্রতিস্থাপন করুন (এবং এর মধ্যে নয় y*(এক্স)), ধ্রুবকের মান খুঁজুন গ i.

উদাহরণ 13. কচি সমস্যার সমাধান খুঁজুন:

এ¢ ¢ (এক্স) - এ¢ (এক্স) - 6এ(এক্স) = xe 2এক্স ,y(0) = 0, y ¢ (এক্স) = 0.

সমাধান। এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল

এ(এক্স) = গ 1 e 3এক্স + গ 2 e - 2এক্স + (- 1/4এক্স- 3/16)e 2এক্স

উদাহরণ 12 এ পাওয়া গেছে। এই কচি সমস্যার প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজতে, আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই

এটা সমাধান, আমরা আছে গ 1 = 1/8, গ 2 = 1/16। অতএব, Cauchy সমস্যার সমাধান হল ফাংশন

এ(এক্স) = 1/8e 3এক্স + 1/16e - 2এক্স + (- 1/4এক্স- 3/16)e 2এক্স .

নোট 3(সুপারপজিশন নীতি). যদি ইন একঘাত সমীকরণ Ln[y(এক্স)]=f(এক্স), কোথায় চ(এক্স) =f 1 (এক্স)+চ 2 (এক্স) এবং y* 1 (এক্স) - সমীকরণের সমাধান Ln[y(এক্স)]=f 1 (এক্স), ক y* 2 (এক্স) - সমীকরণের সমাধান Ln[y(এক্স)]=f 2 (এক্স), তারপর ফাংশন y*(এক্স)= y* 1 (এক্স)+ y* 2 (এক্স) হয় সমীকরণ সমাধান Ln[y(এক্স)]=f(এক্স).

উদাহরণ 14. একটি রৈখিক সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ধরন নির্দেশ করুন

এ¢ ¢ (এক্স) + 4এ(এক্স) = x + sinx.

সমাধান। সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান

` এ(এক্স) = গ 1 কারণ 2x + গ 2 পাপ 2এক্স,

চরিত্রগত সমীকরণ থেকে k 2 + 4 = 0 এর শিকড় আছে k 1, 2 = ± 2iসমীকরণের ডান দিকটি সূত্র (17) এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়, তবে যদি আমরা স্বরলিপি প্রবর্তন করি চ 1 (এক্স) = x, চ 2 (এক্স) = sinxএবং সুপারপজিশন নীতি ব্যবহার করুন , তাহলে অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্মে পাওয়া যাবে y*(এক্স)= y* 1 (এক্স)+ y* 2 (এক্স), কোথায় y* 1 (এক্স) - সমীকরণের সমাধান এ¢ ¢ (এক্স) + 4এ(এক্স) = x, ক y* 2 (এক্স) - সমীকরণের সমাধান এ¢ ¢ (এক্স) + 4এ(এক্স) = sinx.সূত্র অনুযায়ী (18)