রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করা যায়। দ্বিতীয় অর্ডারের অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

বক্তৃতায়, LNDE গুলি অধ্যয়ন করা হয় - লিনিয়ার ইনহোমোজেনিয়াস ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. সাধারণ সমাধানের গঠন বিবেচনা করা হয়, নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করে LPDE এর সমাধান, এর সাথে LPDE এর সমাধান ধ্রুবক সহগএবং একটি বিশেষ ধরনের ডান দিকে. বিবেচনাধীন বিষয়গুলি পদার্থবিদ্যা, বৈদ্যুতিক প্রকৌশল এবং ইলেকট্রনিক্স এবং স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণের তত্ত্বে জোরপূর্বক দোলনের অধ্যয়নে ব্যবহৃত হয়।

1. 2য় ক্রমে একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের গঠন।

আসুন প্রথমে নির্বিচারে আদেশের একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ বিবেচনা করি:

স্বরলিপি বিবেচনায় নিয়ে, আমরা লিখতে পারি:

এই ক্ষেত্রে, আমরা ধরে নেব যে সহগ এবং এই সমীকরণের ডানদিকে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন।

উপপাদ্য। একটি নির্দিষ্ট ডোমেনে একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল এর যেকোনো সমাধানের সমষ্টি এবং সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান।

প্রমাণ। Y-কে একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের কিছু সমাধান হতে দিন।

তারপরে, এই সমাধানটিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করার সময়, আমরা পরিচয়টি পাই:

দিন
- মৌলিক ব্যবস্থাএকটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সমাধান
. তারপর সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধানটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

বিশেষ করে, ২য় ক্রমে একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য, সাধারণ সমাধানের গঠনটির ফর্ম রয়েছে:

কোথায়
সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা এবং
- একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের কোনো বিশেষ সমাধান।

এইভাবে, একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার জন্য, সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করতে হবে এবং কোনোভাবে একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করতে হবে। একজাতীয় সমীকরণ. সাধারণত এটি নির্বাচন দ্বারা পাওয়া যায়। আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলিতে একটি ব্যক্তিগত সমাধান নির্বাচন করার পদ্ধতিগুলি বিবেচনা করব।

2. পরিবর্তন পদ্ধতি

অনুশীলনে, বিভিন্ন নির্বিচারে ধ্রুবকের পদ্ধতি ব্যবহার করা সুবিধাজনক।

এটি করার জন্য, প্রথমে ফর্মটিতে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজুন:

তারপর, সহগ নির্বাণ গ iথেকে ফাংশন এক্স, একজাতীয় সমীকরণের একটি সমাধান চাওয়া হয়েছে:

এটা প্রমাণ করা যেতে পারে যে ফাংশন খুঁজে পেতে গ i (এক্স) আমাদের সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করতে হবে:

উদাহরণ।সমীকরণটি সমাধান করুন

একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ সমাধান করা

একজাতীয় সমীকরণের সমাধানের ফর্ম থাকবে:

আসুন সমীকরণের একটি সিস্টেম তৈরি করি:

আসুন এই সিস্টেমটি সমাধান করি:

সম্পর্ক থেকে আমরা ফাংশন খুঁজে উহু)।

এখন আমরা খুঁজে B(x)।

আমরা অসংলগ্ন সমীকরণের সাধারণ সমাধানের জন্য প্রাপ্ত মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি:

চূড়ান্ত উত্তর:

সাধারণভাবে বলতে গেলে, নির্বিচারে ধ্রুবকের তারতম্যের পদ্ধতি যেকোনো রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত। কিন্তু যেহেতু অনুরূপ সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের মৌলিক পদ্ধতি খুঁজে বের করা বেশ কঠিন কাজ হতে পারে এই পদ্ধতিটি প্রধানত ধ্রুবক সহগ সমীকরণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

3. একটি বিশেষ ফর্মের ডান পাশের সমীকরণ

অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের ডানদিকের ধরণের উপর নির্ভর করে একটি নির্দিষ্ট সমাধানের ধরণ কল্পনা করা সম্ভব বলে মনে হয়।

নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে আলাদা করা হয়:

I. রৈখিক অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকের ফর্ম রয়েছে:

যেখানে ডিগ্রির একটি বহুপদ মি.

তারপরে একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্মে চাওয়া হয়:

এখানে প্র(এক্স) - একই ডিগ্রির বহুপদ পৃ(এক্স) , কিন্তু অনির্ধারিত সহগ সহ, এবং r– একটি সংখ্যা যা দেখায় যে সংখ্যাটি কতবার সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল।

উদাহরণ।সমীকরণটি সমাধান করুন
.

আসুন সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণটি সমাধান করি:

এখন আসল অসংলগ্ন সমীকরণের একটি বিশেষ সমাধান বের করা যাক।

আসুন উপরে আলোচিত ডান পাশের ফর্মের সাথে সমীকরণের ডান দিকের তুলনা করি।

আমরা ফর্মটিতে একটি নির্দিষ্ট সমাধান সন্ধান করি:
, কোথায়

সেগুলো।

এখন অজানা সহগ নির্ধারণ করা যাক কএবং ভিতরে.

আমাদের একটি নির্দিষ্ট সমাধান প্রতিস্থাপন করা যাক সাধারণ দৃষ্টিকোণমূল inhomogeneous ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ মধ্যে.

মোট, ব্যক্তিগত সমাধান:

তারপর একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল:

২. রৈখিক অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকের ফর্ম রয়েছে:

এখানে আর 1 (এক্স)এবং আর 2 (এক্স)- ডিগ্রির বহুপদ মি 1 এবং মি 2 যথাক্রমে

তারপরে একজাতীয় সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানের ফর্ম থাকবে:

সংখ্যাটি কোথায় rএকটি সংখ্যা কতবার দেখায়
সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের জন্য চরিত্রগত সমীকরণের মূল, এবং প্র 1 (এক্স) এবং প্র 2 (এক্স) - ডিগ্রির বহুপদ এর চেয়ে বেশি নয় মি, কোথায় মি- ডিগ্রীর মধ্যে সবচেয়ে বড় মি 1 এবং মি 2 .

ব্যক্তিগত সমাধানের প্রকারের সংক্ষিপ্ত সারণী

বিভিন্ন ধরনের ডানদিকের জন্য

	ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিক	চরিত্রগত সমীকরণ	ব্যক্তিগত প্রকার
		1. সংখ্যাটি বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল নয়
		2. সংখ্যা হল গুণের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল
		1. সংখ্যা চরিত্রগত সমীকরণের মূল নয়
		2. সংখ্যা বহুত্বের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল
		1. সংখ্যা
		2. সংখ্যা গুণের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল
		1. সংখ্যা বৈশিষ্ট্যগত বহুগুণ সমীকরণের মূল নয়
		2. সংখ্যা গুণের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল

উল্লেখ্য যে, যদি সমীকরণের ডানদিকের দিকটি উপরে বিবেচিত ধরনের অভিব্যক্তির সংমিশ্রণ হয়, তাহলে সমাধানটি সহায়ক সমীকরণের সমাধানগুলির সংমিশ্রণ হিসাবে পাওয়া যায়, যার প্রতিটির ডানদিকের দিকটি অন্তর্ভুক্ত অভিব্যক্তির সাথে সম্পর্কিত। সংমিশ্রণে

সেগুলো। যদি সমীকরণ হয়:
, তাহলে এই সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান হবে
কোথায় এ 1 এবং এ 2 - অক্জিলিয়ারী সমীকরণের বিশেষ সমাধান

এবং

বোঝানোর জন্য, উপরের উদাহরণটিকে অন্যভাবে সমাধান করা যাক।

উদাহরণ।সমীকরণটি সমাধান করুন

দুটি ফাংশনের যোগফল হিসাবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকটি উপস্থাপন করা যাক চ 1 (এক্স) + চ 2 (এক্স) = এক্স + (- পাপ এক্স).

আসুন চরিত্রগত সমীকরণটি রচনা এবং সমাধান করি:

আমরা পাই: i.e.

মোট:

সেগুলো। প্রয়োজনীয় বিশেষ সমাধানের ফর্ম আছে:

একটি অ-সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান:

আসুন বর্ণিত পদ্ধতিগুলির প্রয়োগের উদাহরণগুলি দেখুন।

উদাহরণ 1..সমীকরণটি সমাধান করুন

আসুন সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য একটি চরিত্রগত সমীকরণ রচনা করি:

এখন চলুন ফর্মে অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করা যাক:

পদ্ধতিটি ব্যবহার করা যাক অনিশ্চিত সহগ.

মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্ম আছে:

একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান:

উদাহরণ।সমীকরণটি সমাধান করুন

বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ:

সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান:

একজাতীয় সমীকরণের বিশেষ সমাধান:
.

আমরা ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই এবং তাদের মূল অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

আমরা একজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পাই:

এই নিবন্ধটি ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার সমস্যাটিকে সম্বোধন করে। প্রদত্ত সমস্যার উদাহরণ সহ তত্ত্বটি আলোচনা করা হবে। বোধগম্য পদের পাঠোদ্ধার করার জন্য, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বের মৌলিক সংজ্ঞা এবং ধারণাগুলির বিষয় উল্লেখ করা প্রয়োজন।

y "" + p · y" + q · y = f (x) ফর্মের ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমটির একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (LDE) বিবেচনা করা যাক, যেখানে p এবং q হল নির্বিচারে সংখ্যা, এবং বিদ্যমান ফাংশন f (x) একীকরণ ব্যবধান x এর উপর অবিচ্ছিন্ন।

আসুন LNDE-এর সাধারণ সমাধানের জন্য উপপাদ্যের প্রণয়নে এগিয়ে যাই।

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU এর জন্য সাধারণ সমাধান উপপাদ্য

উপপাদ্য ঘ

একটি সাধারণ সমাধান, y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ফর্মের একটি অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ব্যবধান x-এ অবস্থিত। . . + f 0 (x) · y = f (x) x ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন একীকরণ সহগ সহ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) এবং ক্রমাগত ফাংশন f (x) সাধারণ সমাধান y 0 এর সমষ্টির সমান, যা LOD এবং কিছু নির্দিষ্ট সমাধান y ~ এর সাথে মিলে যায়, যেখানে মূল অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণটি y = y 0 + y~।

এটি দেখায় যে এই ধরনের একটি দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের সমাধানটির ফর্ম y = y 0 + y ~ আছে। y 0 খোঁজার অ্যালগরিদমটি ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিবন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এর পরে আমাদের y ~ এর সংজ্ঞায় যেতে হবে।

LPDE-এর একটি নির্দিষ্ট সমাধানের পছন্দ সমীকরণের ডানদিকে অবস্থিত উপলব্ধ ফাংশন f (x) ধরনের উপর নির্ভর করে। এটি করার জন্য, ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির সমাধানগুলি আলাদাভাবে বিবেচনা করা প্রয়োজন।

যখন f (x) কে nম ডিগ্রী f (x) = P n (x) এর বহুপদী হিসাবে বিবেচনা করা হয়, তখন এটি অনুসরণ করে যে LPDE এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান y ~ = Q n (x) ফর্মুলা ব্যবহার করে পাওয়া যায় ) x γ, যেখানে Q n ( x) ডিগ্রী n এর একটি বহুপদী, r হল শূন্য মূলের সংখ্যা চরিত্রগত সমীকরণ. মান y ~ হল একটি নির্দিষ্ট সমাধান y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , তারপর উপলব্ধ সহগগুলি যা বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়
Q n (x), আমরা সমতা y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) থেকে অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতি ব্যবহার করে খুঁজে পাই।

উদাহরণ 1

কচির উপপাদ্য y "" - 2 y" = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 ব্যবহার করে গণনা করুন।

সমাধান

অন্য কথায়, ধ্রুবক সহগ y "" - 2 y" = x 2 + 1 সহ দ্বিতীয় ক্রমটির একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানের দিকে এগিয়ে যাওয়া প্রয়োজন, যা প্রদত্ত শর্তগুলি y (0) পূরণ করবে। = 2, y " (0) = 1 4।

একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল সাধারণ সমাধানের সমষ্টি, যা সমীকরণ y 0 বা অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ y ~, অর্থাৎ, y = y 0 + y~ এর একটি নির্দিষ্ট সমাধানের সাথে মিলে যায়।

প্রথমত, আমরা LNDU-এর জন্য একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে পাব, এবং তারপরে একটি নির্দিষ্ট।

আসুন y 0 খোঁজার দিকে এগিয়ে যাই। চারিত্রিক সমীকরণ লিখলে আপনি শিকড় খুঁজে পেতে সাহায্য করবে। আমরা যে পেতে

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

আমরা খুঁজে পেয়েছি যে শিকড়গুলি ভিন্ন এবং বাস্তব। অতএব, আসুন লিখুন

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x।

আসুন y ~ খুঁজে দেখি। দেখা যায় যে প্রদত্ত সমীকরণের ডান দিকটি দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদী, তারপর মূলগুলির একটি শূন্যের সমান। এটি থেকে আমরা পাই যে y ~ এর জন্য একটি নির্দিষ্ট সমাধান হবে

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, যেখানে A, B, C এর মানগুলি অনির্ধারিত সহগ গ্রহণ করে।

আসুন y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ফর্মের একটি সমতা থেকে তাদের খুঁজে বের করি।

তারপরে আমরা এটি পাই:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

x এর একই সূচকের সাথে সহগকে সমান করে, আমরা রৈখিক রাশির একটি সিস্টেম পাই - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1। যে কোনো পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করার সময়, আমরা সহগ খুঁজে বের করব এবং লিখব: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 এবং y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x।

এই এন্ট্রিটিকে ধ্রুবক সহগ সহ মূল রৈখিক অসংগত দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান বলা হয়।

y (0) = 2, y "(0) = 1 4 শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে পেতে, মানগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন গ ঘএবং গ 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ফর্মের একটি সমতার উপর ভিত্তি করে।

আমরা এটি পাই:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

আমরা C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ফর্মের সমীকরণের ফলস্বরূপ সিস্টেমের সাথে কাজ করি, যেখানে C 1 = 3 2, C 2 = 1 2।

কচির উপপাদ্য প্রয়োগ করে, আমাদের তা আছে

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

উত্তর: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x।

যখন ফাংশন f (x) ডিগ্রী n এবং একটি সূচক f (x) = P n (x) · e a x সহ বহুপদীর গুণফল হিসাবে উপস্থাপিত হয়, তখন আমরা পাই যে দ্বিতীয়-ক্রম LPDE এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান হবে একটি y ~ = e a x · Q n ( x) x γ ফর্মের সমীকরণ, যেখানে Q n (x) হল nম ডিগ্রির একটি বহুপদী, এবং r হল α এর সমান চরিত্রগত সমীকরণের মূল সংখ্যা।

Q n (x) এর সহগ সমতা y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) দ্বারা পাওয়া যায়।

উদাহরণ 2

y "" - 2 y" = (x 2 + 1) · e x ফর্মের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান

সাধারণ সমীকরণ হল y = y 0 + y ~। নির্দেশিত সমীকরণটি LOD y "" - 2 y" = 0 এর সাথে মিলে যায়। আগের উদাহরণ থেকে দেখা যায় যে এর শিকড় সমান k 1 = 0এবং k 2 = 2 এবং y 0 = C 1 + C 2 e 2 x চরিত্রগত সমীকরণ দ্বারা।

এটা দেখা যায় যে সমীকরণের ডান দিক হল x 2 + 1 · e x। এখান থেকে LPDE পাওয়া যায় y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, যেখানে Q n (x) দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদী, যেখানে α = 1 এবং r = 0, কারণ বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণটি নেই 1 এর সমান একটি মূল আছে। এখান থেকে আমরা সেটা পাই

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C।

A, B, C হল অজানা সহগ যা সমতা y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x দ্বারা পাওয়া যায়।

বুঝেছি

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B == e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

আমরা একই সহগ সহ সূচকগুলিকে সমান করি এবং সিস্টেমটি পাই রৈখিক সমীকরণ. এখান থেকে আমরা A, B, C পাই:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

উত্তর:এটা স্পষ্ট যে y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 হল LNDDE এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান, এবং y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - একটি সেকেন্ড-অর্ডার inhomogeneous dif সমীকরণের জন্য একটি সাধারণ সমাধান।

যখন ফাংশনটি f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x হিসাবে লেখা হয়, এবং ক ঘএবং 1 তেসংখ্যা হয়, তাহলে LPDE-এর একটি আংশিক সমাধানকে y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ ফর্মের একটি সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যেখানে A এবং B অনির্ধারিত সহগ হিসাবে বিবেচিত হয় এবং r হল এর সংখ্যা জটিল সমন্বিত শিকড় বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত, ± i β এর সমান। এই ক্ষেত্রে, সমতা y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ব্যবহার করে সহগগুলির জন্য অনুসন্ধান করা হয়।

উদাহরণ 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ফর্মের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান

চরিত্রগত সমীকরণ লেখার আগে আমরা y 0 খুঁজে পাই। তারপর

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

আমাদের এক জোড়া জটিল সংযোজিত শিকড় রয়েছে। আসুন রূপান্তর করি এবং পাই:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়কে কনজুগেট জোড়া ± 2 i, তারপর f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) বলে মনে করা হয়। এটি দেখায় যে y ~ এর অনুসন্ধানটি y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x থেকে করা হবে। অজানা আমরা y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ফর্মের সমতা থেকে A এবং B সহগ খুঁজব।

আসুন রূপান্তর করি:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

তাহলে এটা পরিষ্কার

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

সাইন এবং কোসাইনের সহগকে সমান করা প্রয়োজন। আমরা ফর্মের একটি সিস্টেম পাই:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

এটি অনুসরণ করে যে y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x।

উত্তর:ধ্রুবক সহগ সহ মূল দ্বিতীয়-ক্রম LDDE-এর সাধারণ সমাধান বিবেচনা করা হয়

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

যখন f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), তখন y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ আমাদের কাছে আছে যে r হল চরিত্রগত সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত জটিল সমন্বিত জোড়ার সংখ্যা, α ± i β, যেখানে P n (x), Q k (x), L m(x) এবং Nm(x)ডিগ্রী n, k, m, m, কোথায় এর বহুপদ m = m a x (n, k). সহগ সন্ধান করা Lm(x)এবং Nm(x)সমতার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয় y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x)।

উদাহরণ 4

সাধারণ সমাধানটি খুঁজুন y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))।

সমাধান

শর্ত অনুযায়ী এটা পরিষ্কার

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

তারপর m = m a x (n, k) = 1। আমরা প্রথমে ফর্মের একটি চরিত্রগত সমীকরণ লিখে y 0 খুঁজে পাই:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

আমরা খুঁজে পেয়েছি যে শিকড়গুলি বাস্তব এবং স্বতন্ত্র। তাই y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x। এর পরে, ফর্মটির অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ y ~ এর উপর ভিত্তি করে একটি সাধারণ সমাধান সন্ধান করা প্রয়োজন

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x (A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

এটি জানা যায় যে A, B, C সহগ, r = 0, কারণ α ± i β = 3 ± 5 · i সহ বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত সংযোজক মূলের কোন জোড়া নেই। আমরা ফলাফল সমতা থেকে এই সহগগুলি খুঁজে পাই:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x (38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x) A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x (A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x (38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

ডেরিভেটিভ এবং অনুরূপ পদ খুঁজে পাওয়া যায়

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

সহগ সমান করার পরে, আমরা ফর্মের একটি সিস্টেম পাই

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 ডি = 1

সবকিছু থেকে এটি অনুসরণ করে

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) পাপ (5 x))

উত্তর:এখন আমরা প্রদত্ত রৈখিক সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পেয়েছি:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম

সংজ্ঞা 1

সমাধানের জন্য অন্য যেকোন ধরনের ফাংশন f(x) এর সমাধান অ্যালগরিদমের সাথে সম্মতি প্রয়োজন:

• সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করা, যেখানে y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, যেখানে y 1এবং y 2 LODE এর রৈখিকভাবে স্বাধীন আংশিক সমাধান, গ ঘএবং গ 2নির্বিচারে ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত হয়;
• LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 এর সাধারণ সমাধান হিসাবে গ্রহণ;
• ফর্ম C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , এবং ফাংশন খোঁজা গ 1 (x)এবং C 2 (x) একীকরণের মাধ্যমে।

উদাহরণ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x এর সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান

আমরা পূর্বে y 0, y "" + 36 y = 0 লিখে চরিত্রগত সমীকরণটি লেখার জন্য এগিয়ে যাই। আসুন লিখি এবং সমাধান করি:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = পাপ (6 x)

আমাদের আছে যে প্রদত্ত সমীকরণের সাধারণ সমাধান y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) হিসাবে লেখা হবে। ডেরিভেটিভ ফাংশনের সংজ্ঞায় এগিয়ে যাওয়া প্রয়োজন গ 1 (x)এবং C2(x)সমীকরণ সহ একটি সিস্টেম অনুযায়ী:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

বিষয়ে সিদ্ধান্ত নেওয়া দরকার গ 1" (x)এবং C 2" (x)যে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করে। তারপর আমরা লিখি:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

প্রতিটি সমীকরণ একত্রিত করা আবশ্যক। তারপরে আমরা ফলস্বরূপ সমীকরণগুলি লিখি:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

এটি অনুসরণ করে যে সাধারণ সমাধানটির ফর্ম থাকবে:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 পাপ (6 x)

উত্তর: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

ধ্রুবক সহগ সহ inhomogeneous দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

সাধারণ সমাধানের গঠন এই ধরণের একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের ফর্ম রয়েছে: কোথায় পি, q− ধ্রুবক সংখ্যা (যা বাস্তব বা জটিল হতে পারে)। এই ধরনের প্রতিটি সমীকরণের জন্য আমরা সংশ্লিষ্ট লিখতে পারি সমজাতীয় সমীকরণ: উপপাদ্য: একটি অসঙ্গতিহীন সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল সাধারণ সমাধানের সমষ্টি y 0 (এক্স) সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণ এবং নির্দিষ্ট সমাধানের y 1 (এক্স) একজাতীয় সমীকরণ: নীচে আমরা অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার দুটি উপায় বিবেচনা করব। ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি তাহলে সাধারণ সমাধান yসম্পৃক্ত সমজাতীয় সমীকরণের 0টি জানা যায়, তাহলে অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধানটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে ধ্রুবক পরিবর্তন পদ্ধতি. একটি সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্মটি থাকতে দিন: স্থায়ীর বদলে গ 1 এবং গ 2 আমরা অক্জিলিয়ারী ফাংশন বিবেচনা করব গ 1 (এক্স) এবং গ 2 (এক্স) আমরা এই ফাংশন যেমন সমাধান খুঁজব ডানদিকের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণটি সন্তুষ্ট করেছে চ(এক্স) অজানা ফাংশন গ 1 (এক্স) এবং গ 2 (এক্স) দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম থেকে নির্ধারিত হয়: অনিশ্চিত সহগ পদ্ধতি ডান অংশ চ(এক্স) একটি inhomogeneous ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রায়ই একটি বহুপদী, সূচকীয় বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, বা এই ফাংশনগুলির কিছু সংমিশ্রণ। এই ক্ষেত্রে, এটি ব্যবহার করে একটি সমাধান অনুসন্ধান করা আরও সুবিধাজনক অনিশ্চিত সহগ পদ্ধতি. আমাদের যে জোর দেওয়া যাক এই পদ্ধতিশুধুমাত্র ডান দিকের সীমিত শ্রেণীর ফাংশনের জন্য কাজ করে, যেমন উভয় ক্ষেত্রেই, একটি নির্দিষ্ট দ্রবণের পছন্দ অবশ্যই অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকের কাঠামোর সাথে মিলিত হতে হবে। ক্ষেত্রে 1, যদি সংখ্যা α ভি ব্যাখ্যামূলক কাজচরিত্রগত সমীকরণের মূলের সাথে মিলে যায়, তাহলে নির্দিষ্ট সমাধানটিতে একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর থাকবে এক্স s, কোথায় s- মূলের বহুগুণ α বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণে। ক্ষেত্রে 2, যদি সংখ্যা α + βiচরিত্রগত সমীকরণের মূলের সাথে মিলে যায়, তাহলে নির্দিষ্ট সমাধানের অভিব্যক্তিতে একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর থাকবে এক্স. অজানা সহগগুলি একটি নির্দিষ্ট সমাধানের জন্য পাওয়া অভিব্যক্তিটিকে মূল অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। সুপারপজিশন নীতি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের ডান পাশে থাকলে পরিমাণফর্মের বিভিন্ন ফাংশন তাহলে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানটি ডান পাশের প্রতিটি পদের জন্য আলাদাভাবে নির্মিত আংশিক সমাধানের সমষ্টিও হবে।

উদাহরণ 1

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন y"" + y= পাপ (2 এক্স). সমাধান। প্রথমে আমরা সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণটি সমাধান করি y"" + y= 0.V এক্ষেত্রেচরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক: ফলস্বরূপ, অভিব্যক্তি দ্বারা সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান দেওয়া হয় চলুন আবার ফিরে আসা যাক একজাতীয় সমীকরণে। আমরা ফর্মে এর সমাধান খুঁজব ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করে। ফাংশন গ 1 (এক্স) এবং গ 2 (এক্স) থেকে পাওয়া যাবে পরবর্তী সিস্টেমসমীকরণ: এর ডেরিভেটিভ প্রকাশ করা যাক গ 1 " (এক্স) প্রথম সমীকরণ থেকে: দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই গ 2 " (এক্স): এটা যে অনুসরণ করে ডেরিভেটিভের জন্য একীভূত এক্সপ্রেশন গ 1 " (এক্স) এবং গ 2 " (এক্স), আমরা পেতে: কোথায় ক 1 , ক 2 - একীকরণের ধ্রুবক। এখন পাওয়া ফাংশন প্রতিস্থাপন করা যাক গ 1 (এক্স) এবং গ 2 (এক্স) এর সূত্রে y 1 (এক্স) এবং অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান লিখুন:

উদাহরণ 2

সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন y"" + y" −6y = 36এক্স. সমাধান। চলুন অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতি ব্যবহার করা যাক। প্রদত্ত সমীকরণের ডান দিক হল লিনিয়ার ফাংশন চ(এক্স)= কুড়াল + খ. অতএব, আমরা ফর্মে একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজব ডেরিভেটিভগুলি সমান: এটিকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই: শেষ সমীকরণটি একটি পরিচয়, অর্থাৎ এটি সকলের জন্য বৈধ এক্স, তাই আমরা একই ডিগ্রির সাথে পদের সহগকে সমান করি এক্সবাম এবং ডান দিকে: ফলাফল সিস্টেম থেকে আমরা খুঁজে পাই: ক = −6, খ= −1। ফলস্বরূপ, নির্দিষ্ট সমাধান আকারে লিখিত হয় এখন সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান বের করা যাক। আসুন সহায়ক চরিত্রগত সমীকরণের মূল গণনা করি: অতএব, সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে: সুতরাং, মূল অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

DE এর সাধারণ অবিচ্ছেদ্য।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন

কিন্তু সবচেয়ে মজার বিষয় হল উত্তরটি ইতিমধ্যেই জানা আছে: , আরও স্পষ্টভাবে, আমাদের অবশ্যই একটি ধ্রুবক যোগ করতে হবে: সাধারণ অবিচ্ছেদ্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান।

নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি। সমাধানের উদাহরণ

অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এই পাঠটি সেই সমস্ত ছাত্রদের জন্য যারা ইতিমধ্যেই এই বিষয়ে কমবেশি পারদর্শী। আপনি যদি রিমোট কন্ট্রোলের সাথে পরিচিত হতে শুরু করেন, যেমন আপনি যদি চাপাতা হন তবে আমি প্রথম পাঠ দিয়ে শুরু করার পরামর্শ দিই: ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। সমাধানের উদাহরণ. এবং যদি আপনি ইতিমধ্যেই সমাপ্ত করে থাকেন, তাহলে অনুগ্রহ করে সম্ভাব্য পূর্ব ধারণাটি বাতিল করুন যে পদ্ধতিটি কঠিন। কারণ এটা সহজ।

কোন কোন ক্ষেত্রে নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়?

1) একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতিটি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে 1ম ক্রম এর রৈখিক inhomogeneous DE. যেহেতু সমীকরণটি প্রথম ক্রমে, তারপর ধ্রুবকটিও এক।

2) নির্বিচারে ধ্রুবকগুলির পরিবর্তনের পদ্ধতিটি কিছু সমাধান করতে ব্যবহৃত হয় রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ. এখানে দুটি ধ্রুবক পরিবর্তিত হয়।

এটা অনুমান করা যৌক্তিক যে পাঠ দুটি অনুচ্ছেদ নিয়ে গঠিত হবে... তাই আমি এই বাক্যটি লিখেছিলাম, এবং প্রায় 10 মিনিটের জন্য আমি বেদনাদায়কভাবে চিন্তা করছিলাম যে ব্যবহারিক উদাহরণগুলিতে একটি মসৃণ রূপান্তরের জন্য আমি অন্য কোন চতুর বাজে কথা যোগ করতে পারি। তবে কিছু কারণে ছুটির পরে আমার কোন চিন্তা নেই, যদিও আমি কিছু অপব্যবহার করেছি বলে মনে হয় না। অতএব, সরাসরি প্রথম অনুচ্ছেদে আসা যাক।

একটি নির্বিচারী ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি একটি প্রথম ক্রম রৈখিক inhomogeneous সমীকরণ জন্য

একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি বিবেচনা করার আগে, নিবন্ধটির সাথে পরিচিত হওয়ার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে প্রথম অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. সেই পাঠে আমরা অনুশীলন করেছি প্রথম সমাধান inhomogeneous 1st order DE. এই প্রথম সমাধান, আমি আপনাকে মনে করিয়ে, বলা হয় প্রতিস্থাপন পদ্ধতিবা বার্নোলি পদ্ধতি(এর সাথে বিভ্রান্ত হবেন না বার্নউলির সমীকরণ!!!)

এখন আমরা দেখব দ্বিতীয় সমাধান- একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি। আমি মাত্র তিনটি উদাহরণ দেব, এবং আমি সেগুলি উপরে উল্লিখিত পাঠ থেকে নেব। এত কম কেন? কারণ প্রকৃতপক্ষে, দ্বিতীয় উপায়ে সমাধানটি প্রথম উপায়ে সমাধানের সাথে খুব মিল হবে। উপরন্তু, আমার পর্যবেক্ষণ অনুসারে, নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতিটি প্রতিস্থাপন পদ্ধতির চেয়ে কম ঘন ঘন ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ 1

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন (পাঠের উদাহরণ নং 2 থেকে ভিন্নতা ১ম ক্রমের রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ)

সমাধান:এই সমীকরণটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ এবং এর একটি পরিচিত রূপ রয়েছে:

প্রথম পর্যায়ে, একটি সহজ সমীকরণ সমাধান করা প্রয়োজন: অর্থাৎ, আমরা নির্বোধভাবে ডান দিকটি শূন্যে রিসেট করি - পরিবর্তে শূন্য লিখুন। আমি সমীকরণ কল করব সহায়ক সমীকরণ.

এই উদাহরণে, আপনাকে নিম্নলিখিত সহায়ক সমীকরণটি সমাধান করতে হবে:

আমাদের পূর্বে বিভাজ্য সমীকরণ, যার সমাধান (আমি আশা করি) আপনার জন্য আর কঠিন নয়:

এইভাবে: - সহায়ক সমীকরণের সাধারণ সমাধান।

দ্বিতীয় ধাপে আমরা প্রতিস্থাপন করবকিছু ধ্রুবক আপাততঅজানা ফাংশন যা "x" এর উপর নির্ভর করে:

তাই পদ্ধতির নাম - আমরা ধ্রুবক পরিবর্তন. বিকল্পভাবে, ধ্রুবক কিছু ফাংশন হতে পারে যা আমাদের এখন খুঁজে বের করতে হবে।

ভিতরে মূলএকজাতীয় সমীকরণে আমরা প্রতিস্থাপন করি:

আসুন সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা যাক:

কন্ট্রোল পয়েন্ট- বাম দিকের দুটি পদ বাতিল. যদি এটি না ঘটে, তাহলে আপনার উপরের ত্রুটিটি সন্ধান করা উচিত।

প্রতিস্থাপনের ফলস্বরূপ, বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণ প্রাপ্ত হয়েছিল। আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করি এবং একত্রিত করি।

কি আশীর্বাদ, সূচকগুলিও বাতিল করে:

আমরা পাওয়া ফাংশনে একটি "স্বাভাবিক" ধ্রুবক যোগ করি:

চূড়ান্ত পর্যায়ে, আমরা আমাদের প্রতিস্থাপনের কথা মনে করি:

ফাংশন সবেমাত্র পাওয়া গেছে!

সুতরাং সাধারণ সমাধান হল:

উত্তর:সাধারণ সিদ্ধান্ত:

আপনি যদি দুটি সমাধান প্রিন্ট আউট করেন, আপনি সহজেই লক্ষ্য করবেন যে উভয় ক্ষেত্রেই আমরা একই অখণ্ডতা খুঁজে পেয়েছি। পার্থক্য শুধুমাত্র সমাধান অ্যালগরিদম হয়.

এখন আরও জটিল কিছুর জন্য, আমি দ্বিতীয় উদাহরণেও মন্তব্য করব:

উদাহরণ 2

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন (পাঠের উদাহরণ নং 8 থেকে ভিন্নতা ১ম ক্রমের রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ)

সমাধান:সমীকরণটি ফর্মে নিয়ে আসা যাক:

আসুন ডানদিকে রিসেট করি এবং অক্জিলিয়ারী সমীকরণটি সমাধান করি:

আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করি এবং একত্রিত করি: সহায়ক সমীকরণের সাধারণ সমাধান:

একজাতীয় সমীকরণে আমরা প্রতিস্থাপন করি:

পণ্য পার্থক্য নিয়ম অনুযায়ী:

আসুন মূল অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

বাম দিকের দুটি পদ বাতিল করে, যার মানে আমরা সঠিক পথে আছি:

এর অংশ দ্বারা সংহত করা যাক. অংশ সূত্র দ্বারা একীকরণের সুস্বাদু চিঠি ইতিমধ্যে সমাধানের সাথে জড়িত, তাই আমরা ব্যবহার করি, উদাহরণস্বরূপ, অক্ষর "a" এবং "be":

অবশেষে:

এখন প্রতিস্থাপন মনে রাখা যাক:

উত্তর:সাধারণ সিদ্ধান্ত:

নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণের জন্য ধ্রুবক সহগ সহ

আমি প্রায়ই মতামত শুনেছি যে দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের জন্য নির্বিচারে ধ্রুবক পরিবর্তিত করার পদ্ধতি একটি সহজ জিনিস নয়। কিন্তু আমি নিম্নলিখিতটি অনুমান করি: সম্ভবত, পদ্ধতিটি অনেকের কাছে কঠিন বলে মনে হয় কারণ এটি প্রায়শই ঘটে না। তবে বাস্তবে কোনও বিশেষ অসুবিধা নেই - সিদ্ধান্তের কোর্সটি পরিষ্কার, স্বচ্ছ এবং বোধগম্য। এবং সুন্দর।

পদ্ধতিটি আয়ত্ত করার জন্য, ডানদিকের আকারের উপর ভিত্তি করে একটি নির্দিষ্ট সমাধান নির্বাচন করে অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হওয়া বাঞ্ছনীয়। এই পদ্ধতিনিবন্ধে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে একজাতীয় 2য় ক্রম DEs. আমরা স্মরণ করি যে ধ্রুবক সহগ সহ একটি দ্বিতীয়-ক্রম রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের ফর্ম রয়েছে:

নির্বাচন পদ্ধতি, যা উপরের পাঠে আলোচনা করা হয়েছিল, শুধুমাত্র সীমিত সংখ্যক ক্ষেত্রে কাজ করে যখন ডান দিকে বহুপদ, সূচক, সাইন এবং কোসাইন থাকে। কিন্তু ডানদিকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি ভগ্নাংশ, লগারিদম, স্পর্শক হলে কী করবেন? এমন পরিস্থিতিতে, ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতিটি উদ্ধারে আসে।

উদাহরণ 4

একটি দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন

সমাধান:এই সমীকরণের ডানদিকে একটি ভগ্নাংশ রয়েছে, তাই আমরা অবিলম্বে বলতে পারি যে একটি নির্দিষ্ট সমাধান নির্বাচন করার পদ্ধতি কাজ করে না। আমরা নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করি।

একটি বজ্রপাতের কোন লক্ষণ নেই সমাধানের শুরুটি সম্পূর্ণ সাধারণ:

আমরা খুঁজে নেব সাধারণ সিদ্ধান্তযথাযথ সমজাতীয়সমীকরণ:

আসুন চরিত্রগত সমীকরণটি রচনা এবং সমাধান করি: - সংযোজিত জটিল শিকড় প্রাপ্ত হয়, তাই সাধারণ সমাধান হল:

সাধারণ সমাধানের রেকর্ডে মনোযোগ দিন - যদি বন্ধনী থাকে তবে সেগুলি খুলুন।

এখন আমরা প্রথম-ক্রম সমীকরণের মতো প্রায় একই কৌশলটি করি: আমরা ধ্রুবকগুলিকে পরিবর্তিত করি, তাদের অজানা ফাংশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করি। এটাই, inhomogeneous সাধারণ সমাধানআমরা ফর্মে সমীকরণ খুঁজব:

কোথায় - আপাততঅজানা ফাংশন।

ল্যান্ডফিলের মতো দেখায় গৃহস্থালি বর্জ্য, কিন্তু এখন আমরা সবকিছু গুছিয়ে নেব।

অজানা হল ফাংশনের ডেরিভেটিভস। আমাদের লক্ষ্য হল ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করা, এবং পাওয়া ডেরিভেটিভগুলিকে অবশ্যই সিস্টেমের প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করতে হবে৷

"গ্রীক" কোথা থেকে আসে? সারস তাদের নিয়ে আসে। আমরা আগে প্রাপ্ত সাধারণ সমাধানটি দেখি এবং লিখি:

আসুন ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি:

বাম অংশগুলি নিয়ে কাজ করা হয়েছে। ডানদিকে কি?

- এই ডান দিক মূল সমীকরণ, এক্ষেত্রে:

ধ্রুবক সহগ (পিসি) সহ রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (LNDE-2) সমাধানের মৌলিক বিষয়গুলি

ধ্রুবক সহগ $p$ এবং $q$ সহ একটি 2য় ক্রম LDDE-এর ফর্ম $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, যেখানে $f\left(x) \right)$ একটি ক্রমাগত ফাংশন।

PC এর সাথে LNDU 2 সম্পর্কে, নিম্নলিখিত দুটি বিবৃতি সত্য।

আসুন আমরা ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $U$ হল একটি অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্বিচারে আংশিক সমাধান। আমরা আরও ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $Y$ হল সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-এর সাধারণ সমাধান (GS)। তারপর এর GR LHDE-2 নির্দেশিত প্রাইভেট এবং এর যোগফলের সমান সাধারণ সমাধান, অর্থাৎ $y=U+Y$।

যদি 2য় ক্রম LMDE-এর ডানদিকের দিকটি ফাংশনের সমষ্টি হয়, অর্থাৎ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, তারপর প্রথমে আমরা $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ খুঁজে পেতে পারি। প্রতিটি ফাংশনে $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, এবং তার পরে $U=U_(1) +U_(2) +...U_(r) $ আকারে CR LNDU-2 লিখুন।

পিসি সহ 2য় অর্ডার LPDE এর সমাধান

এটা স্পষ্ট যে প্রদত্ত LNDU-2-এর এক বা অন্য PD $U$-এর ধরন নির্ভর করে তার ডানদিকের $f\left(x\right)$-এর নির্দিষ্ট ফর্মের উপর। PD LNDU-2 অনুসন্ধানের সহজতম ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত চারটি নিয়মের আকারে প্রণয়ন করা হয়েছে।

নিয়ম #1।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, যেখানে $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, অর্থাৎ একে বলা হয় a ডিগ্রী $n$ এর বহুপদ। তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) \left(x\right)$ আরেকটি $P_(n) \left(x\right)$ এর সমান ডিগ্রীর বহুপদী, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর চরিত্রগত সমীকরণের মূল সংখ্যা যা শূন্যের সমান। বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$-এর সহগগুলি অনির্দিষ্ট সহগ (UK) পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

বিধি নং 2।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, যেখানে $P_(n) \left( x\right)$ হল $n$ ডিগ্রির একটি বহুপদ। তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) ) \ left(x\right)$ হল $P_(n) \left(x\right)$ এর মতো একই ডিগ্রির আরেকটি বহুপদ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা $\alpha $ এর সমান। বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

বিধি নং 3।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ফর্ম আছে \right) $, যেখানে $a$, $b$ এবং $\beta$ আছে পরিচিত সংখ্যা. তারপর এর PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) আকারে চাওয়া হয়। \right )\cdot x^(r) $, যেখানে $A$ এবং $B$ অজানা সহগ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা, $i\cdot এর সমান বিটা $। সহগ $A$ এবং $B$ অ-ধ্বংসাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়।

বিধি নং 4।

LNDU-2-এর ডানদিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, যেখানে $P_(n) \left(x\right)$ হল ডিগ্রীর একটি বহুপদী $n$, এবং $P_(m) \left(x\right)$ হল $m$ ডিগ্রির একটি বহুপদী। তারপর এর PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $R_(s) \left(x\right)$ হল $s$ ডিগ্রির বহুপদ, $s$ হল সর্বাধিক দুটি সংখ্যা $n$ এবং $m$, এবং $r$ হল মূলের সংখ্যা সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর চরিত্রগত সমীকরণের, $\alpha +i\cdot \beta $ এর সমান। $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $R_(s) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

NK পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। বহুপদীর অজানা সহগগুলি খুঁজে বের করার জন্য যা অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ LNDU-2 এর আংশিক সমাধানের অংশ, এটি প্রয়োজনীয়:

• PD $U$ প্রতিস্থাপন করুন, সাধারণ আকারে লিখিত, মধ্যে বাম পাশে LNDU-2;
• LNDU-2 এর বাম দিকে, একই ক্ষমতা $x$ সহ সরলীকরণ এবং গ্রুপ পদগুলি সম্পাদন করুন;
• ফলস্বরূপ পরিচিতিতে, বাম এবং ডান দিকের একই ক্ষমতা $x$ সহ পদগুলির সহগকে সমান করুন;
• অজানা সহগগুলির জন্য রৈখিক সমীকরণের ফলে সিস্টেমটি সমাধান করুন।

উদাহরণ 1

টাস্ক: খুঁজুন OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $। এছাড়াও PD খুঁজুন , $x=0$ এর জন্য $y=6$ এবং $x=0$ এর জন্য $y"=1$ প্রাথমিক শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে৷

আমরা সংশ্লিষ্ট LOD-2 লিখি: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$।

চরিত্রগত সমীকরণ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$। চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি হল: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$। এই শিকড়গুলি বৈধ এবং স্বতন্ত্র। এইভাবে, সংশ্লিষ্ট LODE-2-এর OR-এর ফর্ম আছে: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $।

এই LNDU-2-এর ডান দিকে $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ফর্ম আছে। $\alpha =3$ সূচকের সহগ বিবেচনা করা প্রয়োজন। এই সহগটি বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের কোনো মূলের সাথে মিলে না। অতএব, এই LNDU-2-এর PD-এর ফর্ম $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আছে।

আমরা NC পদ্ধতি ব্যবহার করে $A$, $B$ সহগ অনুসন্ধান করব।

আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা প্রদত্ত NLDE-2 $y""-3\cdot y"-এ $y""$, $y"$ এবং $y$ এর পরিবর্তে $U""$, $U"$ এবং $U$ ফাংশনগুলি প্রতিস্থাপন করি। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ অধিকন্তু, যেহেতু সূচক $e^(3\cdot x) $ একটি গুণনীয়ক হিসাবে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত উপাদানে, তারপর এটি বাদ দেওয়া যেতে পারে:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

আমরা ফলাফল সমতার বাম দিকে ক্রিয়া সম্পাদন করি:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

আমরা NDT পদ্ধতি ব্যবহার করি। আমরা দুটি অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

এই সিস্টেমের সমাধান হল: $A=-2$, $B=-1$।

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আমাদের সমস্যার জন্য এইরকম দেখায়: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $।

আমাদের সমস্যার জন্য OR $y=Y+U$ এইরকম দেখায়: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $।

প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি PD অনুসন্ধান করার জন্য, আমরা OP-এর ডেরিভেটিভ $y"$ খুঁজে পাই:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা $y$ এবং $y"$ এ প্রতিস্থাপন করি $y=6$ এর জন্য $x=0$ এবং $y"=1$ এর জন্য $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

এর সমাধান করা যাক। আমরা ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে $C_(1) $ খুঁজে পাই, এবং $C_(2) $ আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে নির্ধারণ করি:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

এইভাবে, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের PD এর ফর্ম আছে: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $।