দ্বিতীয় আদেশের অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ। দ্বিতীয় অর্ডারের অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

দ্বিতীয় ক্রম (LNDU-2) এর সাথে রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধানের মৌলিক বিষয়গুলি ধ্রুবক সহগ(পিসি)

ধ্রুবক সহগ $p$ এবং $q$ সহ একটি 2য় ক্রম LDDE-এর ফর্ম $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, যেখানে $f\left(x) \right)$ একটি ক্রমাগত ফাংশন।

PC সহ LNDU 2 সম্পর্কে, নিম্নলিখিত দুটি বিবৃতি সত্য।

আসুন আমরা ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $U$ হল একটি অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্বিচারে আংশিক সমাধান। আমরা আরও ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $Y$ হল সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-এর সাধারণ সমাধান (GS)। তারপর এর GR LHDE-2 নির্দেশিত ব্যক্তিগত এবং সাধারণ সমাধানের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ $y=U+Y$।

যদি 2য় ক্রম LMDE-এর ডানদিকের দিকটি ফাংশনের সমষ্টি হয়, অর্থাৎ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, তারপর প্রথমে আমরা $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ খুঁজে পেতে পারি। প্রতিটি ফাংশনে $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, এবং তার পরে $U=U_(1) +U_(2) +...U_(r) $ আকারে CR LNDU-2 লিখুন।

পিসি সহ 2য় অর্ডার LPDE এর সমাধান

এটা স্পষ্ট যে প্রদত্ত LNDU-2-এর এক বা অন্য PD $U$-এর ধরন নির্ভর করে তার ডানদিকের $f\left(x\right)$-এর নির্দিষ্ট ফর্মের উপর। PD LNDU-2 অনুসন্ধানের সহজতম ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত চারটি নিয়মের আকারে প্রণয়ন করা হয়েছে।

নিয়ম #1।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, যেখানে $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, অর্থাৎ একে বলা হয় a ডিগ্রী $n$ এর বহুপদ। তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) \left(x\right)$ আরেকটি $P_(n) \left(x\right)$ এর সমান ডিগ্রীর বহুপদ, এবং $r$ হল মূল সংখ্যা চরিত্রগত সমীকরণ LOD-2 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, শূন্যের সমান। বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$-এর সহগগুলি অনির্দিষ্ট সহগ (UK) পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

বিধি নং 2।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, যেখানে $P_(n) \left( x\right)$ হল $n$ ডিগ্রির একটি বহুপদ। তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) ) \ left(x\right)$ হল $P_(n) \left(x\right)$ এর মতো একই ডিগ্রির আরেকটি বহুপদ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা $\alpha $ এর সমান। বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

বিধি নং 3।

LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ফর্ম আছে \right) $, যেখানে $a$, $b$ এবং $\beta$ আছে পরিচিত সংখ্যা. তারপর এর PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) আকারে চাওয়া হয়। \right )\cdot x^(r) $, যেখানে $A$ এবং $B$ অজানা সহগ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর চরিত্রগত সমীকরণের মূল সংখ্যা, $i\cdot এর সমান বিটা $। সহগ $A$ এবং $B$ অ-ধ্বংসাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়।

বিধি নং 4।

LNDU-2-এর ডানদিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, যেখানে $P_(n) \left(x\right)$ হল ডিগ্রীর একটি বহুপদী $n$, এবং $P_(m) \left(x\right)$ হল $m$ ডিগ্রির একটি বহুপদী। তারপর এর PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $R_(s) \left(x\right)$ হল $s$ ডিগ্রির বহুপদ, $s$ হল সর্বাধিক দুটি সংখ্যা $n$ এবং $m$, এবং $r$ হল মূলের সংখ্যা সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর চরিত্রগত সমীকরণের, $\alpha +i\cdot \beta $ এর সমান। $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $R_(s) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

NK পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। বহুপদীর অজানা সহগগুলি খুঁজে বের করার জন্য যা অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ LNDU-2 এর আংশিক সমাধানের অংশ, এটি প্রয়োজনীয়:

• PD $U$ লিখুন প্রতিস্থাপন করুন সাধারণ দৃষ্টিকোণ, ভি বাম পাশে LNDU-2;
• LNDU-2 এর বাম দিকে, একই ক্ষমতা $x$ সহ সরলীকরণ এবং গ্রুপ পদগুলি সম্পাদন করুন;
• ফলস্বরূপ পরিচিতিতে, বাম এবং ডান দিকের একই ক্ষমতা $x$ সহ পদগুলির সহগকে সমান করুন;
• ফলাফল সিস্টেম সমাধান রৈখিক সমীকরণঅজানা সহগ সম্পর্কিত।

উদাহরণ 1

টাস্ক: খুঁজুন OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $। এছাড়াও PD খুঁজুন , $x=0$ এর জন্য $y=6$ এবং $x=0$ এর জন্য $y"=1$ প্রাথমিক শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে৷

আমরা সংশ্লিষ্ট LOD-2 লিখে রাখি: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$।

চরিত্রগত সমীকরণ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$। চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি হল: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$। এই শিকড় বৈধ এবং স্বতন্ত্র. এইভাবে, সংশ্লিষ্ট LODE-2-এর OR-এর ফর্ম আছে: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $।

এই LNDU-2-এর ডান দিকে $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ফর্ম আছে। $\alpha =3$ সূচকের সহগ বিবেচনা করা প্রয়োজন। এই সহগটি বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের কোনো মূলের সাথে মিলে না। অতএব, এই LNDU-2-এর PD-এর ফর্ম $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আছে।

আমরা NC পদ্ধতি ব্যবহার করে $A$, $B$ সহগ অনুসন্ধান করব।

আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা প্রদত্ত NLDE-2 $y""-3\cdot y"-এ $y""$, $y"$ এবং $y$ এর পরিবর্তে $U""$, $U"$ এবং $U$ ফাংশনগুলি প্রতিস্থাপন করি। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ অধিকন্তু, যেহেতু সূচক $e^(3\cdot x) $ একটি গুণনীয়ক হিসাবে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত উপাদানে, তারপর এটি বাদ দেওয়া যেতে পারে:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

আমরা ফলাফল সমতার বাম দিকে ক্রিয়া সম্পাদন করি:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

আমরা NDT পদ্ধতি ব্যবহার করি। আমরা দুটি অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

এই সিস্টেমের সমাধান হল: $A=-2$, $B=-1$।

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আমাদের সমস্যার জন্য এইরকম দেখায়: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $।

আমাদের সমস্যার জন্য OR $y=Y+U$ এইরকম দেখায়: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $।

প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি PD অনুসন্ধান করার জন্য, আমরা OP-এর ডেরিভেটিভ $y"$ খুঁজে পাই:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

আমরা $y$ এবং $y"$ এ প্রতিস্থাপন করি প্রাথমিক শর্ত $y=6$ এর জন্য $x=0$ এবং $y"=1$ এর জন্য $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

এর সমাধান করা যাক। আমরা ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে $C_(1) $ খুঁজে পাই, এবং $C_(2) $ আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে নির্ধারণ করি:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

এইভাবে, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের PD এর ফর্ম আছে: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $।

বক্তৃতায়, LNDE গুলি অধ্যয়ন করা হয় - লিনিয়ার ইনহোমোজেনিয়াস ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. সাধারণ সমাধানের গঠন বিবেচনা করা হয়, নির্বিচারে ধ্রুবকগুলির পরিবর্তনের পদ্ধতি দ্বারা LPDE-এর সমাধান, ধ্রুবক সহগ সহ LDDE-এর সমাধান এবং একটি বিশেষ ফর্মের ডানদিকে। বিবেচনাধীন বিষয়গুলি পদার্থবিদ্যা, বৈদ্যুতিক প্রকৌশল এবং ইলেকট্রনিক্স এবং স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণের তত্ত্বে জোরপূর্বক দোলনের অধ্যয়নে ব্যবহৃত হয়।

1. 2য় ক্রমে একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের গঠন।

আসুন প্রথমে নির্বিচারে আদেশের একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ বিবেচনা করি:

স্বরলিপি বিবেচনায় নিয়ে, আমরা লিখতে পারি:

এই ক্ষেত্রে, আমরা ধরে নেব যে সহগ এবং এই সমীকরণের ডানদিকে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন।

উপপাদ্য। একটি নির্দিষ্ট ডোমেনে একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল এর যেকোনো সমাধানের সমষ্টি এবং সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান।

প্রমাণ। Y-কে একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের কিছু সমাধান হতে দিন।

তারপরে, এই সমাধানটিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করার সময়, আমরা পরিচয়টি পাই:

দিন
- মৌলিক ব্যবস্থারৈখিক সমাধান সমজাতীয় সমীকরণ
. তারপর সাধারণ সিদ্ধান্তসমজাতীয় সমীকরণ এভাবে লেখা যেতে পারে:

বিশেষ করে, ২য় ক্রমে একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য, সাধারণ সমাধানের গঠনটির ফর্ম রয়েছে:

কোথায়
সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা, এবং
- একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের কোনো বিশেষ সমাধান।

এইভাবে, একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার জন্য, সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করতে হবে এবং কোনোভাবে একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করতে হবে। একজাতীয় সমীকরণ. সাধারণত এটি নির্বাচন দ্বারা পাওয়া যায়। আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলিতে একটি ব্যক্তিগত সমাধান নির্বাচন করার পদ্ধতিগুলি বিবেচনা করব।

2. পরিবর্তন পদ্ধতি

অনুশীলনে, বিভিন্ন নির্বিচারে ধ্রুবকের পদ্ধতি ব্যবহার করা সুবিধাজনক।

এটি করার জন্য, প্রথমে ফর্মটিতে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজুন:

তারপর, সহগ নির্বাণ গ iথেকে ফাংশন এক্স, একজাতীয় সমীকরণের একটি সমাধান চাওয়া হয়েছে:

এটা প্রমাণ করা যেতে পারে যে ফাংশন খুঁজে পেতে গ i (এক্স) আমাদের সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করতে হবে:

উদাহরণ।সমীকরণটি সমাধান করুন

একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ সমাধান করা

একজাতীয় সমীকরণের সমাধানের ফর্ম থাকবে:

আসুন সমীকরণের একটি সিস্টেম তৈরি করি:

আসুন এই সিস্টেমটি সমাধান করি:

সম্পর্ক থেকে আমরা ফাংশন খুঁজে উহু)।

এখন আমরা খুঁজে B(x)।

আমরা অসংলগ্ন সমীকরণের সাধারণ সমাধানের জন্য প্রাপ্ত মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি:

চূড়ান্ত উত্তর:

সাধারণভাবে বলতে গেলে, নির্বিচারে ধ্রুবকের তারতম্যের পদ্ধতিটি যেকোন রৈখিক অসঙ্গতিহীন সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত। কিন্তু যেহেতু অনুরূপ সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের মৌলিক পদ্ধতি খুঁজে বের করা বেশ কঠিন কাজ হতে পারে এই পদ্ধতিটি প্রধানত ধ্রুবক সহগ সমীকরণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

3. একটি বিশেষ ফর্মের ডান পাশের সমীকরণ

অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের ডানদিকের ধরণের উপর নির্ভর করে একটি নির্দিষ্ট সমাধানের ধরণ কল্পনা করা সম্ভব বলে মনে হয়।

নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে আলাদা করা হয়:

I. রৈখিক অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকের ফর্ম রয়েছে:

যেখানে ডিগ্রির একটি বহুপদ মি.

তারপরে একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্মে চাওয়া হয়:

এখানে প্র(এক্স) - একই ডিগ্রির একটি বহুপদ পৃ(এক্স) , কিন্তু অনির্ধারিত সহগ সহ, এবং r– একটি সংখ্যা যা দেখায় যে সংখ্যাটি কতবার সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল।

উদাহরণ।সমীকরণটি সমাধান করুন
.

আসুন আমরা সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণটি সমাধান করি:

এখন আসল অসংলগ্ন সমীকরণের একটি বিশেষ সমাধান বের করা যাক।

আসুন উপরে আলোচিত ডান পাশের ফর্মের সাথে সমীকরণের ডান দিকের তুলনা করি।

আমরা ফর্মটিতে একটি নির্দিষ্ট সমাধান সন্ধান করি:
, কোথায়

সেগুলো।

এখন অজানা সহগ নির্ধারণ করা যাক কএবং ভিতরে.

আসুন আমরা একটি নির্দিষ্ট সমাধানকে সাধারণ আকারে মূল অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি।

মোট, ব্যক্তিগত সমাধান:

তারপর একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল:

২. রৈখিক অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকের ফর্ম রয়েছে:

এখানে আর 1 (এক্স)এবং আর 2 (এক্স)- ডিগ্রির বহুপদ মি 1 এবং মি 2 যথাক্রমে

তারপরে একজাতীয় সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানের ফর্ম থাকবে:

সংখ্যাটি কোথায় rএকটি সংখ্যা কতবার দেখায়
সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের জন্য বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল, এবং প্র 1 (এক্স) এবং প্র 2 (এক্স) - ডিগ্রীর বহুপদ এর চেয়ে বেশি নয় মি, কোথায় মি- ডিগ্রীর মধ্যে সবচেয়ে বড় মি 1 এবং মি 2 .

ব্যক্তিগত সমাধানের প্রকারের সংক্ষিপ্ত সারণী

বিভিন্ন ধরণের ডানদিকের জন্য

উল্লেখ্য যে, যদি সমীকরণের ডানদিকের দিকটি উপরে বিবেচিত ধরনের অভিব্যক্তির সংমিশ্রণ হয়, তাহলে সমাধানটি সহায়ক সমীকরণের সমাধানগুলির সংমিশ্রণ হিসাবে পাওয়া যায়, যার প্রতিটির ডানদিকের দিকটি অন্তর্ভুক্ত অভিব্যক্তির সাথে সম্পর্কিত। সংমিশ্রণে

সেগুলো। যদি সমীকরণ হয়:
, তাহলে এই সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান হবে
কোথায় এ 1 এবং এ 2 - অক্জিলিয়ারী সমীকরণের বিশেষ সমাধান

এবং

বোঝানোর জন্য, উপরের উদাহরণটিকে অন্যভাবে সমাধান করা যাক।

উদাহরণ।সমীকরণটি সমাধান করুন

আসুন দুটি ফাংশনের যোগফল হিসাবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকটি উপস্থাপন করি চ 1 (এক্স) + চ 2 (এক্স) = এক্স + (- পাপ এক্স).

আসুন চরিত্রগত সমীকরণটি রচনা এবং সমাধান করি:

আমরা পাই: i.e.

মোট:

সেগুলো। প্রয়োজনীয় বিশেষ সমাধানের ফর্ম আছে:

একটি অ-সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান:

আসুন বর্ণিত পদ্ধতিগুলির প্রয়োগের উদাহরণগুলি দেখুন।

উদাহরণ 1..সমীকরণটি সমাধান করুন

আসুন সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য একটি চরিত্রগত সমীকরণ রচনা করি:

এখন চলুন ফর্মে অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করা যাক:

চলুন অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতি ব্যবহার করা যাক।

মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

একটি নির্দিষ্ট সমাধান ফর্ম আছে:

একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান:

উদাহরণ।সমীকরণটি সমাধান করুন

বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ:

সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান:

একজাতীয় সমীকরণের বিশেষ সমাধান:
.

আমরা ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই এবং তাদের মূল অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

আমরা একজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পাই:

ধ্রুবক সহগ সহ inhomogeneous দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

সাধারণ সমাধানের গঠন এই ধরণের একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের ফর্ম রয়েছে: কোথায় পি, q− ধ্রুবক সংখ্যা (যা বাস্তব বা জটিল হতে পারে)। এই ধরনের প্রতিটি সমীকরণের জন্য আমরা সংশ্লিষ্ট লিখতে পারি সমজাতীয় সমীকরণ: উপপাদ্য: একটি অসঙ্গতিহীন সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল সাধারণ সমাধানের সমষ্টি y 0 (এক্স) সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণ এবং নির্দিষ্ট সমাধানের y 1 (এক্স) একজাতীয় সমীকরণ: নীচে আমরা অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার দুটি উপায় বিবেচনা করব। ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি তাহলে সাধারণ সমাধান yসম্পৃক্ত সমজাতীয় সমীকরণের 0টি জানা যায়, তাহলে অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধানটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে ধ্রুবক পরিবর্তন পদ্ধতি. একটি সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্মটি থাকতে দিন: স্থায়ীর বদলে গ 1 এবং গ 2 আমরা অক্জিলিয়ারী ফাংশন বিবেচনা করব গ 1 (এক্স) এবং গ 2 (এক্স) আমরা এই ফাংশন যেমন সমাধান খুঁজব ডানদিকের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণটি সন্তুষ্ট করেছে চ(এক্স) অজানা ফাংশন গ 1 (এক্স) এবং গ 2 (এক্স) দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম থেকে নির্ধারিত হয়: অনিশ্চিত সহগ পদ্ধতি ডান অংশ চ(এক্স) একটি inhomogeneous ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রায়ই একটি বহুপদী, সূচকীয় বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, বা এই ফাংশনগুলির কিছু সংমিশ্রণ। এই ক্ষেত্রে, এটি ব্যবহার করে একটি সমাধান অনুসন্ধান করা আরও সুবিধাজনক অনিশ্চিত সহগ পদ্ধতি. আমাদের যে জোর দেওয়া যাক এই পদ্ধতিশুধুমাত্র ডান দিকের সীমিত শ্রেণীর ফাংশনের জন্য কাজ করে, যেমন উভয় ক্ষেত্রেই, একটি নির্দিষ্ট দ্রবণের পছন্দ অবশ্যই অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকের কাঠামোর সাথে মিলিত হতে হবে। ক্ষেত্রে 1, যদি সংখ্যা α ভি ব্যাখ্যামূলক কাজচরিত্রগত সমীকরণের মূলের সাথে মিলে যায়, তাহলে নির্দিষ্ট সমাধানটিতে একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর থাকবে এক্স s, কোথায় s- মূলের বহুগুণ α বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণে। ক্ষেত্রে 2, যদি সংখ্যা α + βiচরিত্রগত সমীকরণের মূলের সাথে মিলে যায়, তাহলে নির্দিষ্ট সমাধানের অভিব্যক্তিতে একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর থাকবে এক্স. অজানা সহগগুলি একটি নির্দিষ্ট সমাধানের জন্য পাওয়া অভিব্যক্তিটিকে মূল অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। সুপারপজিশন নীতি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের ডান পাশে থাকলে পরিমাণফর্মের বিভিন্ন ফাংশন তারপর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানটি ডান পাশের প্রতিটি পদের জন্য আলাদাভাবে নির্মিত আংশিক সমাধানের সমষ্টিও হবে।

উদাহরণ 1

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন y"" + y= পাপ (2 এক্স). সমাধান। প্রথমে আমরা সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণটি সমাধান করি y"" + y= 0.V এক্ষেত্রেচরিত্রগত সমীকরণের শিকড়গুলি সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক: ফলস্বরূপ, অভিব্যক্তি দ্বারা সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান দেওয়া হয় চলুন আবার ফিরে আসা যাক একজাতীয় সমীকরণে। আমরা ফর্মে এর সমাধান খুঁজব ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করে। ফাংশন গ 1 (এক্স) এবং গ 2 (এক্স) থেকে পাওয়া যাবে পরবর্তী সিস্টেমসমীকরণ: এর ডেরিভেটিভ প্রকাশ করা যাক গ 1 " (এক্স) প্রথম সমীকরণ থেকে: দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই গ 2 " (এক্স): এটা যে অনুসরণ করে ডেরিভেটিভের জন্য একীভূত এক্সপ্রেশন গ 1 " (এক্স) এবং গ 2 " (এক্স), আমরা পেতে: কোথায় ক 1 , ক 2 - একীকরণের ধ্রুবক। এখন পাওয়া ফাংশন প্রতিস্থাপন করা যাক গ 1 (এক্স) এবং গ 2 (এক্স) এর সূত্রে y 1 (এক্স) এবং অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান লিখুন:

উদাহরণ 2

সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন y"" + y" −6y = 36এক্স. সমাধান। চলুন অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতি ব্যবহার করা যাক। প্রদত্ত সমীকরণের ডান দিক হল লিনিয়ার ফাংশন চ(এক্স)= কুড়াল + খ. অতএব, আমরা ফর্মে একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজব ডেরিভেটিভগুলি সমান: এটিকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই: শেষ সমীকরণটি একটি পরিচয়, অর্থাৎ এটি সকলের জন্য বৈধ এক্স, তাই আমরা একই ডিগ্রির সাথে পদের সহগকে সমান করি এক্সবাম এবং ডান দিকে: ফলস্বরূপ সিস্টেম থেকে আমরা খুঁজে পাই: ক = −6, খ= −1। ফলস্বরূপ, নির্দিষ্ট সমাধান আকারে লিখিত হয় এখন সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান বের করা যাক। আসুন সহায়ক চরিত্রগত সমীকরণের মূল গণনা করি: অতএব, সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে: সুতরাং, মূল অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

DE এর সাধারণ অবিচ্ছেদ্য।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন

কিন্তু সবচেয়ে মজার বিষয় হল উত্তরটি ইতিমধ্যেই জানা আছে: , আরও স্পষ্টভাবে, আমাদের অবশ্যই একটি ধ্রুবক যোগ করতে হবে: সাধারণ অখণ্ড হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান।

নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি। সমাধানের উদাহরণ

অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এই পাঠটি সেই সমস্ত ছাত্রদের জন্য যারা ইতিমধ্যেই এই বিষয়ে কমবেশি পারদর্শী। আপনি যদি রিমোট কন্ট্রোলের সাথে পরিচিত হতে শুরু করেন, যেমন আপনি যদি চাপাতা হন, আমি প্রথম পাঠ দিয়ে শুরু করার পরামর্শ দিই: ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। সমাধানের উদাহরণ. এবং যদি আপনি ইতিমধ্যেই সমাপ্ত করে থাকেন, তাহলে অনুগ্রহ করে সম্ভাব্য পূর্ব ধারণাটি বাতিল করুন যে পদ্ধতিটি কঠিন। কারণ এটা সহজ।

কোন কোন ক্ষেত্রে নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়?

1) একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতিটি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে 1ম ক্রম এর রৈখিক inhomogeneous DE. যেহেতু সমীকরণটি প্রথম ক্রমে, তারপর ধ্রুবকটিও এক।

2) নির্বিচারে ধ্রুবকগুলির পরিবর্তনের পদ্ধতিটি কিছু সমাধান করতে ব্যবহৃত হয় রৈখিক inhomogeneous দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ. এখানে দুটি ধ্রুবক পরিবর্তিত হয়।

এটা অনুমান করা যৌক্তিক যে পাঠ দুটি অনুচ্ছেদ নিয়ে গঠিত হবে... তাই আমি এই বাক্যটি লিখেছিলাম, এবং প্রায় 10 মিনিটের জন্য আমি বেদনাদায়কভাবে চিন্তা করছিলাম যে ব্যবহারিক উদাহরণগুলিতে একটি মসৃণ রূপান্তরের জন্য আমি অন্য কোন চতুর বাজে কথা যোগ করতে পারি। তবে কিছু কারণে ছুটির পরে আমার কোন চিন্তা নেই, যদিও আমি কিছু অপব্যবহার করেছি বলে মনে হয় না। অতএব, আসুন সরাসরি প্রথম অনুচ্ছেদে যাই।

একটি নির্বিচারী ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি একটি প্রথম ক্রম রৈখিক inhomogeneous সমীকরণ জন্য

একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি বিবেচনা করার আগে, নিবন্ধটির সাথে পরিচিত হওয়ার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে প্রথম অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. সেই পাঠে আমরা অনুশীলন করেছি প্রথম সমাধান inhomogeneous 1st order DE. এই প্রথম সমাধান, আমি আপনাকে মনে করিয়ে, বলা হয় প্রতিস্থাপন পদ্ধতিবা বার্নোলি পদ্ধতি(এর সাথে বিভ্রান্ত হবেন না বার্নউলির সমীকরণ!!!)

এখন আমরা দেখব দ্বিতীয় সমাধান- একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি। আমি মাত্র তিনটি উদাহরণ দেব, এবং আমি সেগুলি উপরে উল্লিখিত পাঠ থেকে নেব। এত কম কেন? কারণ প্রকৃতপক্ষে, দ্বিতীয় উপায়ে সমাধানটি প্রথম উপায়ে সমাধানের সাথে খুব মিল হবে। উপরন্তু, আমার পর্যবেক্ষণ অনুসারে, নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতিটি প্রতিস্থাপন পদ্ধতির চেয়ে কম ঘন ঘন ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ 1

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন (পাঠের উদাহরণ নং 2 থেকে ভিন্নতা ১ম ক্রমের রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ)

সমাধান:এই সমীকরণটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ এবং এর একটি পরিচিত রূপ রয়েছে:

প্রথম পর্যায়ে, একটি সহজ সমীকরণ সমাধান করা প্রয়োজন: অর্থাৎ, আমরা নির্বোধভাবে ডান দিকটি শূন্যে রিসেট করি - পরিবর্তে শূন্য লিখুন। আমি সমীকরণ কল করব সহায়ক সমীকরণ.

এই উদাহরণে, আপনাকে নিম্নলিখিত সহায়ক সমীকরণটি সমাধান করতে হবে:

আমাদের পূর্বে বিভাজ্য সমীকরণ, যার সমাধান (আমি আশা করি) আপনার জন্য আর কঠিন নয়:

এইভাবে: - সহায়ক সমীকরণের সাধারণ সমাধান।

দ্বিতীয় ধাপে আমরা প্রতিস্থাপন করবকিছু ধ্রুবক আপাততঅজানা ফাংশন যা "x" এর উপর নির্ভর করে:

তাই পদ্ধতির নাম - আমরা ধ্রুবক পরিবর্তন. বিকল্পভাবে, ধ্রুবক কিছু ফাংশন হতে পারে যা আমাদের এখন খুঁজে বের করতে হবে।

ভিতরে মূলএকজাতীয় সমীকরণে আমরা প্রতিস্থাপন করি:

আসুন সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা যাক:

কন্ট্রোল পয়েন্ট- বাম দিকের দুটি পদ বাতিল. যদি এটি না ঘটে, তাহলে আপনার উপরের ত্রুটিটি সন্ধান করা উচিত।

প্রতিস্থাপনের ফলস্বরূপ, বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণ প্রাপ্ত হয়েছিল। আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করি এবং একত্রিত করি।

কি আশীর্বাদ, সূচকগুলিও বাতিল করে:

আমরা পাওয়া ফাংশনে একটি "স্বাভাবিক" ধ্রুবক যোগ করি:

চূড়ান্ত পর্যায়ে, আমরা আমাদের প্রতিস্থাপন সম্পর্কে মনে রাখি:

ফাংশন সবেমাত্র পাওয়া গেছে!

সুতরাং সাধারণ সমাধান হল:

উত্তর:সাধারণ সিদ্ধান্ত:

আপনি যদি দুটি সমাধান মুদ্রণ করেন, আপনি সহজেই লক্ষ্য করবেন যে উভয় ক্ষেত্রেই আমরা একই অখণ্ডতা খুঁজে পেয়েছি। পার্থক্য শুধুমাত্র সমাধান অ্যালগরিদম হয়.

এখন আরও জটিল কিছুর জন্য, আমি দ্বিতীয় উদাহরণেও মন্তব্য করব:

উদাহরণ 2

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন (পাঠের উদাহরণ নং 8 থেকে ভিন্নতা ১ম ক্রমের রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ)

সমাধান:সমীকরণটি ফর্মে নিয়ে আসা যাক:

আসুন ডানদিকে রিসেট করি এবং অক্জিলিয়ারী সমীকরণটি সমাধান করি:

আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করি এবং একত্রিত করি: সহায়ক সমীকরণের সাধারণ সমাধান:

একজাতীয় সমীকরণে আমরা প্রতিস্থাপন করি:

পণ্য পার্থক্য নিয়ম অনুযায়ী:

আসুন মূল অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

বাম দিকের দুটি পদ বাতিল করে, যার মানে আমরা সঠিক পথে আছি:

এর অংশ দ্বারা সংহত করা যাক. অংশ সূত্র দ্বারা একীকরণের সুস্বাদু চিঠি ইতিমধ্যে সমাধানের সাথে জড়িত, তাই আমরা ব্যবহার করি, উদাহরণস্বরূপ, অক্ষর "a" এবং "be":

অবশেষে:

এখন প্রতিস্থাপন মনে রাখা যাক:

উত্তর:সাধারণ সিদ্ধান্ত:

নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণের জন্য ধ্রুবক সহগ সহ

আমি প্রায়ই মতামত শুনেছি যে দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের জন্য নির্বিচারে ধ্রুবক পরিবর্তিত করার পদ্ধতি একটি সহজ জিনিস নয়। কিন্তু আমি নিম্নলিখিতটি অনুমান করি: সম্ভবত, পদ্ধতিটি অনেকের কাছে কঠিন বলে মনে হয় কারণ এটি প্রায়শই ঘটে না। তবে বাস্তবে কোনও বিশেষ অসুবিধা নেই - সিদ্ধান্তের কোর্সটি পরিষ্কার, স্বচ্ছ এবং বোধগম্য। এবং সুন্দর।

পদ্ধতিটি আয়ত্ত করার জন্য, ডানদিকের আকারের উপর ভিত্তি করে একটি নির্দিষ্ট সমাধান নির্বাচন করে অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হওয়া বাঞ্ছনীয়। এই পদ্ধতিনিবন্ধে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে একজাতীয় 2য় ক্রম DEs. আমরা স্মরণ করি যে ধ্রুবক সহগ সহ একটি দ্বিতীয়-ক্রম রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের ফর্ম রয়েছে:

নির্বাচন পদ্ধতি, যা উপরের পাঠে আলোচনা করা হয়েছিল, শুধুমাত্র সীমিত সংখ্যক ক্ষেত্রে কাজ করে যখন ডান দিকে বহুপদ, সূচক, সাইন এবং কোসাইন থাকে। কিন্তু ডানদিকে হলে কি করবেন, উদাহরণস্বরূপ, একটি ভগ্নাংশ, লগারিদম, স্পর্শক? এমন পরিস্থিতিতে, ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতিটি উদ্ধারে আসে।

উদাহরণ 4

একটি দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন

সমাধান:এই সমীকরণের ডানদিকে একটি ভগ্নাংশ রয়েছে, তাই আমরা অবিলম্বে বলতে পারি যে একটি নির্দিষ্ট সমাধান নির্বাচন করার পদ্ধতি কাজ করে না। আমরা নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করি।

একটি বজ্রপাতের কোন লক্ষণ নেই সমাধানের শুরুটি সম্পূর্ণ সাধারণ:

আমরা খুঁজে বের করব সাধারণ সিদ্ধান্তযথাযথ সমজাতীয়সমীকরণ:

আসুন চরিত্রগত সমীকরণটি রচনা এবং সমাধান করি: - সংযোজিত জটিল শিকড় প্রাপ্ত হয়, তাই সাধারণ সমাধান হল:

সাধারণ সমাধানের রেকর্ডে মনোযোগ দিন - যদি বন্ধনী থাকে তবে সেগুলি খুলুন।

এখন আমরা প্রথম-ক্রম সমীকরণের মতো প্রায় একই কৌশলটি করি: আমরা ধ্রুবকগুলিকে পরিবর্তিত করি, তাদের অজানা ফাংশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করি। এটাই, inhomogeneous সাধারণ সমাধানআমরা ফর্মে সমীকরণ খুঁজব:

কোথায় - আপাততঅজানা ফাংশন।

ল্যান্ডফিলের মতো দেখায় গৃহস্থালি বর্জ্য, কিন্তু এখন আমরা সবকিছু গুছিয়ে নেব।

অজানা হল ফাংশনের ডেরিভেটিভ। আমাদের লক্ষ্য হল ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করা, এবং পাওয়া ডেরিভেটিভগুলিকে অবশ্যই সিস্টেমের প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করতে হবে৷

"গ্রীক" কোথা থেকে আসে? সারস তাদের নিয়ে আসে। আমরা আগে প্রাপ্ত সাধারণ সমাধানটি দেখি এবং লিখি:

আসুন ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি:

বাম অংশগুলি নিয়ে কাজ করা হয়েছে। ডানদিকে কি?

- এই ডান দিক মূল সমীকরণ, এক্ষেত্রে: