একটি সমীকরণ কি একটি সমীকরণ সমাধান করার মানে কি? যখন সমীকরণের উভয় দিক একটি জোড় শক্তিতে উত্থাপিত হয়, ফলাফলটি একটি সমীকরণ যা আসলটির সাথে অসম।

সাধারণভাবে, কোন সমীকরণ হয় গানিতিক প্রতিমাণকাপ স্কেল (লিভার, সমান-বাহু, রকার - অনেক নাম আছে), উদ্ভাবিত প্রাচীন ব্যাবিলন 7000 বছর আগে বা তারও আগে। তাছাড়া, আমি এমনকি মনে করি যে এটি সবচেয়ে প্রাচীন বাজারে ব্যবহৃত কাপ স্কেল ছিল যা সমীকরণের প্রোটোটাইপ হয়ে ওঠে। এবং যদি আপনি দুটি সমান্তরাল লাঠি দ্বারা সংযুক্ত সংখ্যা এবং অক্ষরগুলির একটি বোধগম্য সেট হিসাবে নয়, তবে দাঁড়িপাল্লার মতো কোনও সমীকরণ দেখেন তবে অন্য সমস্ত কিছুতে কোনও সমস্যা হবে না:

যেকোনো সমীকরণই ভারসাম্যপূর্ণ দাঁড়িপাল্লার মতো

এটা ঠিক তাই ঘটে যে প্রতিদিন আমাদের জীবনে আরও বেশি বেশি সমীকরণ রয়েছে, কিন্তু একটি সমীকরণ কী এবং এর অর্থ কী তা বোঝা কম এবং কম। যাই হোক না কেন, আমার বড় মেয়েকে একটি সহজ গাণিতিক সমীকরণের অর্থ ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করার সময় আমি এই ধারণাটি পেয়েছি:

x + 2 = 8 (500.1)

সেগুলো. স্কুলে, অবশ্যই, তারা ব্যাখ্যা করে যে এই ধরনের ক্ষেত্রে, খুঁজে বের করার জন্য এক্স, আপনাকে ডান দিক থেকে 2 বিয়োগ করতে হবে:

x = 8 - 2 (500.3)

এই, অবশ্যই, একেবারে সঠিক কর্ম, কিন্তু কেন বিয়োগ করা প্রয়োজন এবং নয়, উদাহরণস্বরূপ, যোগ বা ভাগ, স্কুলের পাঠ্যপুস্তকে কোন ব্যাখ্যা নেই। শুধু একটি নিয়ম আছে যা আপনাকে শিখতে হবে:

যখন একটি সমীকরণের সদস্য এক অংশ থেকে অন্য অংশে স্থানান্তরিত হয়, তখন এর চিহ্ন বিপরীতে পরিবর্তিত হয়.

একজন 10 বছর বয়সী স্কুলছাত্রের এই নিয়মটি কীভাবে বোঝা উচিত এবং এর অর্থ কী, এটি চিন্তা করা এবং সিদ্ধান্ত নেওয়া আপনার উপর নির্ভর করে। তদুপরি, এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে আমার নিকটাত্মীয়রাও সমীকরণগুলির অর্থ কখনই বুঝতে পারেনি, তবে যা প্রয়োজন ছিল তা কেবল মুখস্থ করে রেখেছিল (এবং বিশেষভাবে উপরের নিয়মটি), এবং কেবল তখনই ঈশ্বরের সন্তুষ্টি অনুসারে এটি প্রয়োগ করেছিলেন। আমি এই অবস্থাটি পছন্দ করিনি, তাই আমি এই নিবন্ধটি লেখার সিদ্ধান্ত নিয়েছি (আমার সবচেয়ে ছোট বড় হচ্ছে, কয়েক বছরের মধ্যে তাকে এটি আবার ব্যাখ্যা করতে হবে, এবং এটি আমার সাইটের কয়েকজন পাঠকদের জন্যও কার্যকর হতে পারে) .

আমি এখনই বলতে চাই যে যদিও আমি 10 বছর স্কুলে অধ্যয়ন করেছি, আমি কখনই প্রযুক্তিগত শৃঙ্খলা সম্পর্কিত কোনও নিয়ম বা সংজ্ঞা শিখিনি। সেগুলো. কিছু পরিষ্কার হলে মনে থাকবে, কিন্তু কিছু পরিষ্কার না হলে, অর্থ না বুঝে তা ঠেলে দিয়ে কী লাভ, যদি তা ভুলেই যাবে? এবং পাশাপাশি, আমি যদি কিছু বুঝতে না পারি, তার মানে আমার এটির প্রয়োজন নেই (আমি সম্প্রতি বুঝতে পেরেছি যে আমি স্কুলে কিছু বুঝতে না পারলে, এটি আমার দোষ নয়, তবে শিক্ষক, পাঠ্যপুস্তক এবং সাধারণভাবে শিক্ষা ব্যবস্থা)।

এই পদ্ধতিটি আমাকে প্রচুর অবসর সময় প্রদান করেছিল, যা শৈশবকালে সমস্ত ধরণের গেম এবং বিনোদনের জন্য খুব কম ছিল। একই সময়ে, আমি পদার্থবিদ্যা এবং রসায়নের বিভিন্ন অলিম্পিয়াডে অংশগ্রহণ করেছি এবং এমনকি গণিতে একটি আঞ্চলিক প্রতিযোগিতা জিতেছি। কিন্তু সময় অতিবাহিত হয়েছে, বিমূর্ত ধারণাগুলির সাথে পরিচালিত শৃঙ্খলার সংখ্যা শুধুমাত্র বৃদ্ধি পেয়েছে এবং সেই অনুযায়ী, আমার গ্রেড হ্রাস পেয়েছে। ইনস্টিটিউটের প্রথম বছরে, বিমূর্ত ধারণার সাথে পরিচালিত শৃঙ্খলার সংখ্যা ছিল নিরঙ্কুশ সংখ্যাগরিষ্ঠ এবং অবশ্যই, আমি একজন সম্পূর্ণ সি ছাত্র ছিলাম। কিন্তু তারপরে, যখন বেশ কিছু কারণে আমাকে বক্তৃতা এবং নোটের সাহায্য ছাড়াই উপকরণের শক্তির সাথে মোকাবিলা করতে হয়েছিল এবং আমি এটি বুঝতে পেরেছিলাম, তখন জিনিসগুলি সুচারুভাবে চলে গিয়েছিল এবং একটি অনার্স ডিপ্লোমা দিয়ে শেষ হয়েছিল। যাইহোক, এটি এখন এই সম্পর্কে নয়, তবে এই বিষয়টি সম্পর্কে যে নির্দিষ্ট সুনির্দিষ্টতার কারণে, আমার ধারণা এবং সংজ্ঞাগুলি স্কুলে শেখানো থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা হতে পারে।

এখন চলুন চালিয়ে যান

সহজতম সমীকরণ, দাঁড়িপাল্লার সাথে সাদৃশ্য

প্রকৃতপক্ষে, শিশুদের যত তাড়াতাড়ি বিভিন্ন বস্তুর তুলনা শেখানো হয় প্রাক বিদ্যালয় বয়সযখন তারা এখনও কথা বলতে জানে না। তারা সাধারণত জ্যামিতিক তুলনা দিয়ে শুরু করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি শিশুকে দুটি কিউব দেখানো হয় এবং শিশুটিকে অবশ্যই নির্ধারণ করতে হবে কোন ঘনকটি বড় এবং কোনটি ছোট। এবং যদি তারা একই হয়, তাহলে এটি আকারে সমতা। তারপর কাজটি আরও জটিল হয়ে ওঠে, শিশুটিকে বস্তু দেখানো হয় বিভিন্ন রূপ, বিভিন্ন রং এবং একই আইটেম নির্বাচন একটি শিশুর জন্য ক্রমবর্ধমান কঠিন হয়ে উঠছে. যাইহোক, আমরা কাজটিকে এতটা জটিল করব না, তবে শুধুমাত্র এক ধরনের সমতার উপর ফোকাস করব - আর্থিক-ওজন।

যখন দাঁড়িপাল্লা একই অনুভূমিক স্তরে থাকে (আঁশের তীরগুলি 500.1 চিত্রে দেখানো হয়েছে কমলা এবং নীল, সমপরিমাণ, অনুভূমিক স্তরটি একটি কালো বোল্ড লাইন দ্বারা দেখানো হয়েছে), এর অর্থ হল স্কেলের ডান প্যানে বাম প্যানের মতো ওজনের সমান পরিমাণ রয়েছে৷ সহজ ক্ষেত্রে, এগুলি 1 কেজি ওজনের ওজন হতে পারে:

চিত্র 500.1।

এবং তারপরে আমরা সবচেয়ে সহজ সমীকরণ 1 = 1 পাই৷ যাইহোক, এই সমীকরণটি কেবল আমার জন্য; গণিতে, এই জাতীয় অভিব্যক্তিগুলিকে সমতা বলা হয়, তবে সারাংশ পরিবর্তন হয় না৷ যদি আমরা দাঁড়িপাল্লার বাম প্যান থেকে ওজন সরিয়ে ফেলি এবং এতে কিছু রাখি, এমনকি আপেল, এমনকি নখ, এমনকি লাল ক্যাভিয়ার এবং একই সময়ে দাঁড়িপাল্লা একই অনুভূমিক স্তরে থাকে, তবে এর অর্থ হবে 1 কেজি। স্কেলের ডানদিকে অবশিষ্ট 1 কেজি ওজনের সমান নির্দেশিত পণ্যগুলির যেকোনো একটি। যা অবশিষ্ট থাকে তা হল বিক্রেতার দ্বারা নির্ধারিত মূল্য অনুসারে এই কিলোগ্রামের জন্য অর্থ প্রদান করা। আরেকটি বিষয় হল যে আপনি মূল্য পছন্দ নাও করতে পারেন, বা দাঁড়িপাল্লার যথার্থতা সম্পর্কে সন্দেহ থাকতে পারেন - তবে এগুলি অর্থনৈতিক এবং আইনগত সম্পর্কের বিষয় যা গণিতের সাথে সরাসরি কোন সম্পর্ক নেই।

অবশ্যই, সেই দূরবর্তী সময়ে, যখন কাপের স্কেল উপস্থিত হয়েছিল, তখন সবকিছু অনেক সহজ ছিল। প্রথমত, কিলোগ্রামের মতো ওজনের কোনও পরিমাপ ছিল না, তবে ওজনের পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত আর্থিক একক ছিল, উদাহরণস্বরূপ, প্রতিভা, শেকেল, পাউন্ড, রিভনিয়াস ইত্যাদি। একটি পাউন্ড - একটি আর্থিক ইউনিট এবং একটি পাউন্ড - ওজনের একটি পরিমাপ, একটি রিভনিয়া আছে - একটি আর্থিক একক, এবং একবার রিভনিয়া ওজনের একটি পরিমাপ ছিল, এবং শুধুমাত্র সম্প্রতি, যখন আমি শিখেছি যে প্রতিভা শুধুমাত্র আর্থিক একক নয় প্রাচীন ইহুদি, উল্লেখ করা হয়েছে ওল্ড টেস্টামেন্ট, তবে প্রাচীন ব্যাবিলনে গৃহীত ওজনের পরিমাপও, সবকিছু জায়গায় পড়েছিল)।

আরও স্পষ্টভাবে, প্রথমে ওজনের পরিমাপ ছিল, সাধারণত শস্য দানা শস্য, এবং শুধুমাত্র তখনই অর্থ উপস্থিত হয়েছিল যা দাঁড়িপাল্লার এই পরিমাপের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, 60টি শস্য এক শেকেলের সাথে মিলিত, 60 শেকেল এক মিনার সাথে মিলিত এবং 60 মিনা এক প্রতিভার সাথে সম্পর্কিত। অতএব, প্রস্তাবিত অর্থ জাল কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য প্রাথমিকভাবে স্কেলগুলি ব্যবহার করা হয়েছিল, এবং শুধুমাত্র তখনই ওজনগুলি অর্থ, ওজন এবং গণনা, ইলেকট্রনিক স্কেল এবং প্লাস্টিকের কার্ডের সমতুল্য হিসাবে উপস্থিত হয়েছিল, তবে এটি বিষয়টির সারাংশ পরিবর্তন করে না।

সেই দূরবর্তী সময়ে, বিক্রেতাকে একটি নির্দিষ্ট পণ্যের দাম কত হবে তা দৈর্ঘ্য এবং বিশদভাবে ব্যাখ্যা করার প্রয়োজন ছিল না। স্কেলের একটি প্যানে বিক্রি হওয়া পণ্যটি রাখার জন্য এটি যথেষ্ট ছিল, এবং ক্রেতা দ্বিতীয়টিতে অর্থ রাখেন - এটি খুব সহজ এবং পরিষ্কার, এমনকি স্থানীয় উপভাষার জ্ঞানেরও প্রয়োজন নেই, আপনি বিশ্বের যে কোনও জায়গায় বাণিজ্য করতে পারেন। তবে এর সমীকরণে ফিরে আসা যাক।

যদি আমরা দাঁড়িপাল্লার অবস্থান থেকে সমীকরণ (500.1) বিবেচনা করি, তাহলে এর অর্থ দাঁড়ায় যে দাঁড়িপাল্লার বাম প্যানে একটি অজানা সংখ্যক কিলোগ্রাম এবং আরও 2 কিলোগ্রাম রয়েছে এবং ডান প্যানে 8 কিলোগ্রাম রয়েছে:

x + 2 কেজি, = 8 কেজি, (500.1.2)

বিঃদ্রঃ: ভিতরে এক্ষেত্রেআন্ডারলাইনটি স্কেলের নীচের প্রতীক; কাগজে গণনা করার সময়, এই লাইনটি স্কেলের নীচের সাথে আরও ঘনিষ্ঠভাবে অনুরূপ হতে পারে। তদুপরি, গণিতবিদরা দীর্ঘকাল ধরে বিশেষ চিহ্ন নিয়ে এসেছেন - বন্ধনী, এবং তাই যে কোনও বন্ধনীকে দাঁড়িপাল্লার দিক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, অন্তত সমীকরণের অর্থ বোঝার প্রথম পর্যায়ে। তবুও, আমি আরও স্পষ্টতার জন্য আন্ডারস্কোর ছেড়ে দেব।

তাহলে, কিলোগ্রামের অজানা সংখ্যা বের করতে আমাদের কী করতে হবে? ঠিক! দাঁড়িপাল্লার বাম এবং ডান দিক থেকে 2 কিলোগ্রাম সরান, তারপর দাঁড়িপাল্লা একই অনুভূমিক স্তরে থাকবে, অর্থাৎ আমাদের এখনও সমতা থাকবে:

x + 2 কেজি, - 2 কেজি = 8 কেজি, - 2 কেজি (500.2.2)

যথাক্রমে

x, = 8 কেজি - 2 কেজি, (500.3.2)

x, = 6 কেজি, (500.4.2)

চিত্র 500.2।

প্রায়শই গণিত কিলোগ্রাম দিয়ে নয়, কিছু বিমূর্ত মাত্রাবিহীন একক দিয়ে কাজ করে এবং তারপরে সমীকরণের সমাধান (500.1) লিখলে, উদাহরণস্বরূপ একটি খসড়াতে, এইরকম দেখাবে:

x + 2, = 8, (500.1)

x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

x, = 8 - 2 , (500.3)

x = 6 (500.4)

যা চিত্র 500.2-এ প্রতিফলিত হয়েছে।

বিঃদ্রঃ: আনুষ্ঠানিকভাবে, আরও ভাল বোঝার জন্য, সমীকরণ (500.2) ফর্মের অন্য একটি সমীকরণ অনুসরণ করা উচিত: x + 2 - 2, = 8 - 2,এর অর্থ হল অ্যাকশন শেষ হয়ে গেছে এবং আমরা আবার ওজনের ভারসাম্যপূর্ণ বোল নিয়ে কাজ করছি। যাইহোক, আমার মতে, সিদ্ধান্তের এমন সম্পূর্ণ সম্পূর্ণ রেকর্ডিংয়ের প্রয়োজন নেই।

পরিচ্ছন্ন বইগুলিতে, একটি সমীকরণের সমাধানের একটি সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি সাধারণত ব্যবহৃত হয়, এবং কেবলমাত্র স্কেলগুলির চিহ্নগুলিই নয়, যা সমীকরণ অধ্যয়নের প্রাথমিক পর্যায়ে আমার মতে এত প্রয়োজনীয়, সংক্ষিপ্ত করা হয়, এমনকি সম্পূর্ণ সমীকরণগুলিও। সুতরাং, পাঠ্যপুস্তকগুলিতে প্রদত্ত উদাহরণ অনুসারে একটি পরিষ্কার সংস্করণে সমীকরণ (500.1) এর সমাধানের একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ এইরকম দেখাবে:

x + 2 = 8 (500.1.1)

x = 8 - 2 (500.3.1)

x = 6 (500.4)

ফলস্বরূপ, স্কেলগুলির সাথে সাদৃশ্য ব্যবহার করে, আমরা পাঠ্যপুস্তকে প্রস্তাবিত সমীকরণের তুলনায় একটি অতিরিক্ত সমীকরণ (500.2) সংকলন করেছি, হয় সমাধানের পদ্ধতি দ্বারা বা এই সমাধানটি লেখার মাধ্যমে। আমার মতে, এটি একটি সমীকরণ, তদুপরি, প্রায় এই ফর্মটিতে লিখিত, i.e. স্কেলগুলির একটি প্রতীকী পদবী সহ - এটি অনুপস্থিত লিঙ্ক, সমীকরণের অর্থ বোঝার জন্য গুরুত্বপূর্ণ।

সেগুলো. সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আমরা কোথাও বিপরীত চিহ্ন দিয়ে কিছু স্থানান্তর করি না, তবে সমীকরণের বাম এবং ডান দিকের সাথে একই গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করি।

উপরে প্রদত্ত সংক্ষিপ্ত আকারে সমীকরণের সমাধান লিখতে এটি এখন প্রথাগত। সমীকরণ (500.1.1) অবিলম্বে সমীকরণ (500.3.1) দ্বারা অনুসরণ করা হয়, তাই বিপরীত চিহ্নগুলির নিয়ম, যা অনেকের পক্ষে সমীকরণগুলির অর্থ অনুসন্ধান করার চেয়ে মনে রাখা সহজ।

বিঃদ্রঃ: আমার কাছে রেকর্ডিংয়ের সংক্ষিপ্ত রূপের বিরুদ্ধে কিছুই নেই, তাছাড়া। উন্নত ব্যবহারকারীরা এই ফর্মটিকে আরও সংক্ষিপ্ত করতে পারে, তবে এটি কেবলমাত্র সমীকরণগুলির সাধারণ অর্থ ইতিমধ্যে পরিষ্কারভাবে বোঝার পরে করা উচিত।

এবং বর্ধিত স্বরলিপি আপনাকে সমীকরণ সমাধানের প্রধান নিয়মগুলি বুঝতে দেয়:

1. যদি আমরা একই গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি বাম এবং ডান পাশসমীকরণ, তারপর সমতা অবশেষ।

2. বিবেচনাধীন সমীকরণের কোন অংশটি বাম এবং কোনটি ডান তা বিবেচ্য নয়, আমরা অবাধে তাদের অদলবদল করতে পারি।

এই গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি যে কোনও কিছু হতে পারে। আমরা উপরে দেখানো হিসাবে বাম দিক থেকে এবং ডান দিক থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করতে পারি। আমরা সমীকরণের বাম এবং ডান দিকে একই সংখ্যা যোগ করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ:

x - 2, = 8, (500.5.1)

x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

x, = 8 + 2 , (500.5.3)

x = 10 (500.5.4)

আমরা একই সংখ্যা দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ বা গুণ করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ:

3х, = 12, (500.6.1)

3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

x, = 12 : 3 , (500.6.3)

x = 4 (500.6.4)

3x - 6, = 12, (500.7.1)

3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3х, = 18, (500.7.3)

3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

x = 6 (500.7.5)

আমরা উভয় অংশকে একীভূত বা পার্থক্য করতে পারি। আমরা বাম এবং ডান অংশগুলির সাথে যা খুশি তা করতে পারি, তবে যদি এই ক্রিয়াগুলি বাম এবং ডান অংশগুলির জন্য একই হয় তবে সমতা বজায় থাকবে (স্কেলগুলি একই অনুভূমিক স্তরে থাকবে)।

অবশ্যই, আপনাকে এমন ক্রিয়াগুলি বেছে নিতে হবে যা আপনাকে যত তাড়াতাড়ি এবং সহজভাবে সম্ভব অজানা পরিমাণ নির্ধারণ করতে দেয়।

এই দৃষ্টিকোণ থেকে, বিপরীত কর্মের শাস্ত্রীয় পদ্ধতিটি সহজ বলে মনে হয়, কিন্তু যদি শিশুটি এখনও নেতিবাচক সংখ্যা অধ্যয়ন না করে তবে কী হবে? এদিকে, সংকলিত সমীকরণের নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:

5 - x = 3 (500.8)

সেগুলো. শাস্ত্রীয় পদ্ধতি ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করার সময়, সম্ভাব্য সমাধানগুলির মধ্যে একটি, যা সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি দেয়, নিম্নরূপ:

- x = 3 - 5 (500.8.2)

- x = - 2 (500.8.3)

x = 2 (500.8.4)

এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, আপনি কীভাবে একটি শিশুকে ব্যাখ্যা করবেন কেন সমীকরণ (500.8.3) সমীকরণ (500.8.4) এর সাথে অভিন্ন?

এর মানে এই ক্ষেত্রে, ব্যবহার করার সময়ও শাস্ত্রীয় পদ্ধতিলেখায় সঞ্চয় করার কোন মানে নেই এবং প্রথমে আপনাকে বাম দিকের অজানা মান থেকে পরিত্রাণ পেতে হবে, যার একটি নেতিবাচক চিহ্ন রয়েছে।

5 - x = 3 (500.8)

5 = 3 + x (500.8.5)

3 + x = 5 (500.8.6)

x = 5 - 3 (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

সম্পূর্ণ এন্ট্রি এই মত দেখাবে:

5 - x, = 3, (500.8)

5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)

5, = 3 + x, (500.9.3)

3 + x, = 5, (500.8.6)

3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

x, = 5 - 3, (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

আমি আবার যোগ করব। সমাধানের একটি সম্পূর্ণ রেকর্ড শিক্ষকদের জন্য নয়, সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতিটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য প্রয়োজন। এবং যখন আমরা সমীকরণের বাম এবং ডান দিকগুলি অদলবদল করি, তখন মনে হয় আমরা ক্রেতার দৃষ্টিকোণ থেকে বিক্রেতার দৃষ্টিকোণ থেকে স্কেলের দৃষ্টিভঙ্গি পরিবর্তন করছি, কিন্তু সমতা একই থাকে।

দুর্ভাগ্যবশত, আমি কখনই আমার মেয়েকে সমাধানটি সম্পূর্ণভাবে লিখতে পারিনি, এমনকি খসড়াতেও। তার একটি লোহাযুক্ত যুক্তি রয়েছে: "আমাদের সেভাবে শেখানো হয়নি।" ইতিমধ্যে, সংকলিত সমীকরণগুলির জটিলতা বৃদ্ধি পায়, অজানা পরিমাণ নির্ধারণের জন্য কোন ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে তা অনুমান করার শতাংশ হ্রাস পায় এবং গ্রেড হ্রাস পায়। আমি এটা দিয়ে কি করব জানি না...

বিঃদ্রঃ: আধুনিক গণিতে সমতা এবং সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য করা প্রথাগত, যেমন 1 = 1 শুধুমাত্র একটি সংখ্যাগত সমতা, এবং যদি সমতার অংশগুলির একটিতে এমন একটি অজানা থাকে যা খুঁজে পাওয়া দরকার, তাহলে এটি ইতিমধ্যেই একটি সমীকরণ। আমার জন্য, অর্থের এই জাতীয় পার্থক্য খুব বেশি অর্থবোধ করে না, তবে কেবল উপাদানটির উপলব্ধিকে জটিল করে তোলে। আমি বিশ্বাস করি যে কোন সমতাকে একটি সমীকরণ বলা যেতে পারে এবং যে কোন সমীকরণই সমতার উপর ভিত্তি করে। এবং পাশাপাশি, প্রশ্ন উঠেছে: x = 6, এটি কি ইতিমধ্যেই একটি সমতা নাকি এটি এখনও একটি সমীকরণ?

সবচেয়ে সহজ সমীকরণ, সময়ের সাথে সাদৃশ্য

অবশ্যই, সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় দাঁড়িপাল্লার সাথে সাদৃশ্যটি একমাত্র থেকে অনেক দূরে। উদাহরণ স্বরূপ, সমীকরণ সমাধানকেও সময়ের দৃষ্টিকোণ থেকে বিবেচনা করা যেতে পারে। তারপর সমীকরণ (500.1) দ্বারা বর্ণিত শর্তটি এইরকম শোনাবে:

আমরা একটি অজানা পরিমাণ যোগ করার পরে এক্সআরও 2টি ইউনিট, আমাদের এখন 8টি ইউনিট রয়েছে (বর্তমান)। যাইহোক, এক বা অন্য কারণে, আমরা কতজন আছে তা নিয়ে আগ্রহী নই, বরং অতীত কালের কতজন ছিল। তদনুসারে, আমাদের কাছে এই একই ইউনিটগুলির কতগুলি ছিল তা খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের বিপরীত ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে, যেমন 8 থেকে 2 বিয়োগ করুন (সমীকরণ 500.3)। এই পদ্ধতিটি পাঠ্যপুস্তকগুলিতে যা উপস্থাপিত হয় তার সাথে ঠিক মিলে যায়, তবে আমার মতে, এটি দাঁড়িপাল্লার সাথে সাদৃশ্যের মতো স্পষ্ট নয়। যাইহোক, এই বিষয়ে মতামত ভিন্ন হতে পারে।

বন্ধনী দিয়ে একটি সমীকরণ সমাধানের একটি উদাহরণ

আমি এই নিবন্ধটি গ্রীষ্মে লিখেছিলাম, যখন আমার মেয়ে 4র্থ শ্রেণী থেকে স্নাতক হয়েছিল, কিন্তু ছয় মাসেরও কম পরে, তাদের স্কুলে নিম্নলিখিত ফর্মের সমীকরণগুলি সমাধান করতে বলা হয়েছিল:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)

ক্লাসের কেউ এই সমীকরণটি সমাধান করতে সক্ষম হয়নি, এবং তবুও আমি যে পদ্ধতিটি প্রস্তাব করেছি তা ব্যবহার করার সময় এটি সমাধান করার ক্ষেত্রে জটিল কিছু নেই, তবে স্বরলিপির পূর্ণ রূপটি খুব বেশি জায়গা নেবে:

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 300:3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

(500.10.10)

75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 50 - 25, (500.10.16)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x, = 25:5, (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

তবে এ পর্যায়ে এ রকম সম্পূর্ণ ফর্মরেকর্ডিং জন্য কোন প্রয়োজন নেই. যেহেতু আমরা ডবল বন্ধনীতে পৌঁছেছি, তাই বাম এবং ডান দিকে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের জন্য একটি পৃথক সমীকরণ তৈরি করার প্রয়োজন নেই, তাই একটি খসড়াতে সমাধানটি লেখার মতো দেখতে হতে পারে:

97 + 75: (50 - 5x), : 3 = 300, : 3, (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

মোট, এই পর্যায়ে মূল একটি সমাধান করার জন্য 14টি সমীকরণ লিখতে হবে।

এই ক্ষেত্রে, একটি পরিচ্ছন্ন অনুলিপিতে সমীকরণের সমাধান লেখাটি এরকম হতে পারে:

97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)

75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)

75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)

75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)

75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)

25 = 50 - 5x (500.10.12)

25 + 5x = 50 (500.10.14)

5x = 50 - 25 (500.10.16)

5x = 25 500.10.17)

x = 25:5 (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

সেগুলো. স্বরলিপির সংক্ষিপ্ত রূপের সাথে, আমাদের এখনও 12টি সমীকরণ তৈরি করতে হবে। রেকর্ডিংয়ে সঞ্চয় ন্যূনতম, কিন্তু একজন পঞ্চম-গ্রেডারের আসলে প্রয়োজনীয় ক্রিয়াগুলি বুঝতে সমস্যা হতে পারে।

পুনশ্চ.যখন ডবল বন্ধনীর কথা আসে তখনই আমার মেয়ে সমীকরণ সমাধানের জন্য আমার প্রস্তাবিত পদ্ধতিতে আগ্রহী হয়েছিল, কিন্তু একই সময়ে, তার লেখার আকারে, এমনকি খসড়াতে, এখনও 2 গুণ কম সমীকরণ রয়েছে, কারণ সে ফাইনাল এড়িয়ে যায় (500.10.4), (500.10. 7) এবং এর মতো সমীকরণ এবং রেকর্ডিং করার সময়, অবিলম্বে পরের জন্য জায়গা ছেড়ে দেয় গাণিতিক অপারেশন. ফলস্বরূপ, তার খসড়াতে এন্ট্রিটি দেখতে এরকম কিছু ছিল:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

ফলস্বরূপ, আমরা মাত্র 8টি সমীকরণ পেয়েছি, যা সংক্ষিপ্ত সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয়তার চেয়েও কম। নীতিগতভাবে, আমি কিছু মনে করি না, তবে এটি কার্যকর হবে।

একটি অজানা পরিমাণ সমন্বিত সহজ সমীকরণগুলি সমাধান করার বিষয়ে আমি আসলে এটাই বলতে চেয়েছিলাম। দুটি অজানা পরিমাণ সমীকরণ সমাধান করতে আপনার প্রয়োজন হবে

সমতা সম্পর্কে একটি সাধারণ ধারণা পেয়ে এবং তাদের একটি প্রকারের সাথে পরিচিত হওয়ার পরে - সংখ্যাগত সমতা, আপনি অন্য ধরণের সমতা সম্পর্কে কথা বলতে শুরু করতে পারেন যা ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে খুব গুরুত্বপূর্ণ - সমীকরণ। এই নিবন্ধে আমরা তাকান হবে একটি সমীকরণ কি, এবং যাকে সমীকরণের মূল বলা হয়। এখানে আমরা সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা দেব, সেইসাথে সমীকরণ এবং তাদের মূলের বিভিন্ন উদাহরণ প্রদান করব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

একটি সমীকরণ কি?

সমীকরণের লক্ষ্যযুক্ত ভূমিকা সাধারণত ২য় শ্রেণীতে গণিত পাঠে শুরু হয়। এই সময়ে নিম্নলিখিত দেওয়া হয় সমীকরণ সংজ্ঞা:

সংজ্ঞা।

সমীকরণটিএকটি অজানা সংখ্যা ধারণকারী একটি সমতা যা খুঁজে পাওয়া প্রয়োজন।

সমীকরণে অজানা সংখ্যা সাধারণত ছোট সংখ্যা ব্যবহার করে চিহ্নিত করা হয়। ল্যাটিন অক্ষর, উদাহরণস্বরূপ, p, t, u, ইত্যাদি, কিন্তু সর্বাধিক ব্যবহৃত অক্ষর হল x, y এবং z।

সুতরাং, লেখার ফর্মের দৃষ্টিকোণ থেকে সমীকরণটি নির্ধারিত হয়। অন্য কথায়, সমতা হল একটি সমীকরণ যখন এটি নির্দিষ্ট লেখার নিয়ম মেনে চলে - এতে একটি অক্ষর রয়েছে যার মান খুঁজে পাওয়া দরকার।

আমাদের প্রথম এবং সবচেয়ে উদাহরণ দেওয়া যাক সহজ সমীকরণ. x=8, y=3, ইত্যাদি ফর্মের সমীকরণ দিয়ে শুরু করা যাক। সংখ্যা এবং অক্ষর সহ চিহ্ন রয়েছে এমন সমীকরণগুলি একটু বেশি জটিল দেখায় গাণিতিক অপারেশন, উদাহরণস্বরূপ, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2।

পরিচিত হওয়ার পর সমীকরণের বৈচিত্র্য বৃদ্ধি পায় - বন্ধনী সহ সমীকরণ দেখা দিতে শুরু করে, উদাহরণস্বরূপ, 2·(x−1)=18 এবং x+3·(x+2·(x−2))=3। একটি সমীকরণে একটি অজানা অক্ষর বেশ কয়েকবার উপস্থিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, x+3+3·x−2−x=9, এছাড়াও অক্ষরগুলি সমীকরণের বাম দিকে, ডান পাশে বা উভয় পাশে হতে পারে সমীকরণ, উদাহরণস্বরূপ, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 বা 3·x−4=2·(x+12)।

আরও পড়াশুনা করার পর প্রাকৃতিক সংখ্যাপূর্ণসংখ্যা, মূলদ, বাস্তব সংখ্যার সাথে পরিচিতি ঘটে, নতুন গাণিতিক বস্তু অধ্যয়ন করা হয়: শক্তি, শিকড়, লগারিদম ইত্যাদি, যখন এই জিনিসগুলি সম্বলিত আরও নতুন ধরণের সমীকরণ উপস্থিত হয়। তাদের উদাহরণ নিবন্ধে দেখা যেতে পারে মৌলিক ধরনের সমীকরণস্কুলে অধ্যয়নরত।

7ম গ্রেডে, অক্ষর সহ, যার অর্থ কিছু নির্দিষ্ট সংখ্যা, তারা এমন অক্ষরগুলি বিবেচনা করতে শুরু করে যা বিভিন্ন মান নিতে পারে; তাদের ভেরিয়েবল বলা হয় (নিবন্ধ দেখুন)। একই সময়ে, "ভেরিয়েবল" শব্দটি সমীকরণের সংজ্ঞায় প্রবর্তিত হয় এবং এটি এরকম হয়:

সংজ্ঞা।

সমীকরণএকটি সমতা বলা হয় যেখানে একটি পরিবর্তনশীল রয়েছে যার মান খুঁজে পাওয়া দরকার।

উদাহরণস্বরূপ, x+3=6·x+7 সমীকরণ হল x চলকের একটি সমীকরণ এবং 3·z−1+z=0 হল z চলকের একটি সমীকরণ।

একই 7ম গ্রেডে বীজগণিত পাঠের সময়, আমরা একটি নয়, দুটি ভিন্ন অজানা চলক সমীকরণের সম্মুখীন হই। এগুলোকে দুটি চলকের সমীকরণ বলা হয়। ভবিষ্যতে, সমীকরণে তিন বা ততোধিক ভেরিয়েবলের উপস্থিতি অনুমোদিত।

সংজ্ঞা।

এক, দুই, তিন ইত্যাদির সমীকরণ। ভেরিয়েবল- এই সমীকরণগুলি তাদের লেখায় যথাক্রমে এক, দুই, তিন, ... অজানা চলক রয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ 3.2 x+0.5=1 হল একটি সমীকরণ যার একটি পরিবর্তনশীল x, ফলস্বরূপ, x−y=3 ফর্মের একটি সমীকরণ হল দুটি চলক x এবং y সহ একটি সমীকরণ। এবং আরও একটি উদাহরণ: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27। এটা স্পষ্ট যে এই ধরনের একটি সমীকরণ হল তিনটি অজানা চলক x, y এবং z সহ একটি সমীকরণ।

একটি সমীকরণের মূল কি?

একটি সমীকরণের সংজ্ঞা সরাসরি এই সমীকরণের মূলের সংজ্ঞার সাথে সম্পর্কিত। আসুন কিছু যুক্তি দেখাই যা আমাদের বুঝতে সাহায্য করবে সমীকরণের মূল কি।

ধরা যাক আমাদের একটি অক্ষর (পরিবর্তনশীল) সহ একটি সমীকরণ রয়েছে। যদি এই সমীকরণের এন্ট্রিতে অন্তর্ভুক্ত একটি বর্ণের পরিবর্তে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা প্রতিস্থাপিত হয়, তাহলে সমীকরণটি একটি সংখ্যাগত সমতায় পরিণত হয়। অধিকন্তু, ফলস্বরূপ সমতা সত্য বা মিথ্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি a+1=5 সমীকরণে a অক্ষরের পরিবর্তে 2 নম্বরটি প্রতিস্থাপন করেন, তাহলে আপনি ভুল সংখ্যাসূচক সমতা 2+1=5 পাবেন। যদি আমরা এই সমীকরণে a এর পরিবর্তে 4 নম্বরটি প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা সঠিক সমতা 4+1=5 পাব।

অনুশীলনে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, আগ্রহ সেই পরিবর্তনশীলের মানগুলির মধ্যে যার সমীকরণে প্রতিস্থাপন সঠিক সমতা দেয়; এই মানগুলিকে এই সমীকরণের মূল বা সমাধান বলা হয়।

সংজ্ঞা।

সমীকরণের মূল- এটি অক্ষরের মান (পরিবর্তনশীল), যার প্রতিস্থাপনের পরে সমীকরণটি একটি সঠিক সংখ্যাসূচক সমতায় পরিণত হয়।

উল্লেখ্য যে একটি চলকের একটি সমীকরণের মূলকে সমীকরণের সমাধানও বলা হয়। অন্য কথায়, একটি সমীকরণের সমাধান এবং সমীকরণের মূল একই জিনিস।

একটি উদাহরণ দিয়ে এই সংজ্ঞা ব্যাখ্যা করা যাক। এটি করার জন্য, আসুন a+1=5 এর উপরে লেখা সমীকরণে ফিরে যাই। একটি সমীকরণের মূলের উল্লিখিত সংজ্ঞা অনুসারে, সংখ্যা 4 হল এই সমীকরণের মূল, যেহেতু a অক্ষরের পরিবর্তে এই সংখ্যাটি প্রতিস্থাপন করার সময় আমরা সঠিক সমতা 4+1=5 পাই এবং সংখ্যা 2 তার নয় root, যেহেতু এটি ফর্ম 2+1= 5 এর একটি ভুল সমতার সাথে মিলে যায়।

এই মুহুর্তে, অনেকগুলি স্বাভাবিক প্রশ্ন দেখা দেয়: "কোন সমীকরণের কি একটি মূল আছে এবং একটি প্রদত্ত সমীকরণের কতগুলি মূল আছে?" আমরা তাদের উত্তর দেব।

উভয় সমীকরণ রয়েছে যার শিকড় রয়েছে এবং সমীকরণ যার শিকড় নেই। উদাহরণ স্বরূপ, x+1=5 সমীকরণের রুট 4 আছে, কিন্তু সমীকরণ 0 x=5 এর কোনো মূল নেই, যেহেতু আমরা এই সমীকরণে x পরিবর্তনশীলের পরিবর্তে যে সংখ্যাটি প্রতিস্থাপন করি না কেন, আমরা ভুল সমতা 0=5 পাব। .

একটি সমীকরণের মূল সংখ্যার জন্য, উভয় সমীকরণ রয়েছে যার একটি নির্দিষ্ট সীমিত সংখ্যক শিক (এক, দুই, তিন, ইত্যাদি) এবং সমীকরণের অসীম সংখ্যক মূল রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, x−2=4 সমীকরণটির একটি একক মূল 6 আছে, x 2 =9 সমীকরণের মূল দুটি সংখ্যা −3 এবং 3, সমীকরণ x·(x−1)·(x−2)=0 তিনটি মূল আছে 0, 1 এবং 2, এবং x=x সমীকরণের সমাধান হল যেকোনো সংখ্যা, অর্থাৎ, এটির অসীম সংখ্যক মূল রয়েছে।

সমীকরণের মূলের জন্য গৃহীত স্বরলিপি সম্পর্কে কয়েকটি শব্দ বলা উচিত। যদি কোনো সমীকরণের কোনো শিকড় না থাকে, তাহলে তারা সাধারণত "সমীকরণটির কোনো শিকড় নেই" লিখবে বা খালি সেট চিহ্ন ∅ ব্যবহার করবে। যদি সমীকরণের শিকড় থাকে, তাহলে সেগুলি কমা দ্বারা পৃথক করা হয়, বা হিসাবে লেখা হয় সেটের উপাদানকোঁকড়া বন্ধনী মধ্যে. উদাহরণস্বরূপ, যদি সমীকরণের মূল সংখ্যা −1, 2 এবং 4 হয়, তাহলে −1, 2, 4 বা (−1, 2, 4) লিখুন। সরল সমতার আকারে সমীকরণের শিকড় লেখাও জায়েজ। উদাহরণস্বরূপ, যদি সমীকরণটিতে x অক্ষর থাকে এবং এই সমীকরণের মূল সংখ্যা 3 এবং 5 হয়, তাহলে আপনি লিখতে পারেন x=3, x=5, এবং সাবস্ক্রিপ্ট x 1 =3, x 2 =5 প্রায়ই যোগ করা হয় ভেরিয়েবলের কাছে, যেন সমীকরণের সংখ্যার মূল নির্দেশ করে। একটি সমীকরণের মূলের একটি অসীম সেট সাধারণত আকারে লেখা হয়; সম্ভব হলে, স্বাভাবিক সংখ্যা N, পূর্ণসংখ্যা Z এবং বাস্তব সংখ্যা R-এর সেটের জন্য স্বরলিপিও ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি চলক x সহ একটি সমীকরণের মূল কোনো পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে লিখুন, এবং যদি y ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণের মূলগুলি 1 থেকে 9 সমেত কোনো বাস্তব সংখ্যা হয়, তাহলে লিখুন।

দুই, তিন বা ততোধিক ভেরিয়েবলের সমীকরণের জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, "সমীকরণের মূল" শব্দটি ব্যবহার করা হয় না; এই ক্ষেত্রে তারা "সমীকরণের সমাধান" বলে। কয়েকটি চলকের সমীকরণের সমাধানকে কী বলে? আসুন সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা দেওয়া যাক।

সংজ্ঞা।

দুই, তিন, ইত্যাদি দিয়ে একটি সমীকরণ সমাধান করা। ভেরিয়েবলএকটি জোড়া, তিন, ইত্যাদি বলা হয় ভেরিয়েবলের মান, এই সমীকরণটিকে একটি সঠিক সংখ্যাসূচক সমতায় পরিণত করে।

আসুন ব্যাখ্যামূলক উদাহরণ দেখাই। দুটি চলক x+y=7 সহ একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন। আসুন x এর পরিবর্তে 1 নম্বর এবং y এর পরিবর্তে 2 নম্বরটি প্রতিস্থাপন করি এবং আমাদের সমতা 1+2=7 আছে। স্পষ্টতই, এটি ভুল, তাই, x=1, y=2 মানের জোড়া লিখিত সমীকরণের সমাধান নয়। যদি আমরা x=4, y=3 মানের একটি জোড়া নিই, তাহলে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করার পরে আমরা সঠিক সমতা 4+3=7 এ পৌঁছাব, অতএব, সংজ্ঞা অনুসারে, পরিবর্তনশীল মানগুলির এই জোড়া একটি সমাধান। x+y=7 সমীকরণে।

বিভিন্ন ভেরিয়েবলের সমীকরণ, যেমন একটি ভেরিয়েবলের সমীকরণের কোনো মূল নাও থাকতে পারে, সসীম সংখ্যক শিকড় থাকতে পারে বা অসীম সংখ্যক শিকড় থাকতে পারে।

জোড়া, ত্রিপল, চতুর্গুণ ইত্যাদি। ভেরিয়েবলের মানগুলি প্রায়শই সংক্ষিপ্তভাবে লেখা হয়, বন্ধনীতে কমা দ্বারা পৃথক করা তাদের মানগুলি তালিকাভুক্ত করে। এই ক্ষেত্রে, বন্ধনীতে লিখিত সংখ্যাগুলি বর্ণানুক্রমিক ক্রমে ভেরিয়েবলের সাথে মিলে যায়। পূর্ববর্তী সমীকরণ x+y=7 এ ফিরে আসুন এই বিন্দুটি স্পষ্ট করা যাক। এই সমীকরণের সমাধান x=4, y=3 সংক্ষেপে লেখা যেতে পারে (4, 3)।

গণিত, বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনার স্কুল কোর্সে সর্বাধিক মনোযোগ দেওয়া হয় একটি পরিবর্তনশীলের সাথে সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার জন্য। আমরা নিবন্ধে এই প্রক্রিয়ার নিয়মগুলি বিশদভাবে আলোচনা করব। সমীকরণ সমাধান.

গ্রন্থপঞ্জি।

• অংক. 2টি ক্লাস পাঠ্যপুস্তক সাধারণ শিক্ষার জন্য adj সহ প্রতিষ্ঠান প্রতি ইলেকট্রন বাহক দুপুর ২টা পার্ট ১/ [এম. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, ইত্যাদি] - 3য় সংস্করণ। - এম।: শিক্ষা, 2012। - 96 পি।: অসুস্থ। - (রাশিয়ার স্কুল)। - আইএসবিএন 978-5-09-028297-0।
• বীজগণিত:পাঠ্যপুস্তক 7 ম শ্রেণীর জন্য সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; দ্বারা সম্পাদিত এস এ টেলিকভস্কি। - 17 তম সংস্করণ। - এম।: শিক্ষা, 2008। - 240 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019315-3।
• বীজগণিত: 9ম শ্রেণী: শিক্ষাগত। সাধারণ শিক্ষার জন্য প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; দ্বারা সম্পাদিত এস এ টেলিকভস্কি। - 16তম সংস্করণ। - এম।: শিক্ষা, 2009। - 271 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-021134-5।

সমীকরণ কি

• একটি সমীকরণ সমাধান করার মানে কি?

• সমীকরণ সমাধানের প্রাথমিক নিয়ম।

• সমীকরণের শ্রেণীবিভাগ।

• একটি সমীকরণ একটি সমতা যেখানে অজানা একটি অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। সমীকরণ থেকে যে বর্ণের একটি সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা পাওয়া যায় তাকে সমীকরণের মূল বলে।

সমীকরণটি সমাধান করুন

• সমীকরণটি সমাধান করুন - মানে এর সমস্ত শিকড় খুঁজে বের করা (বা নিশ্চিত করা যে সমীকরণটির একটি একক মূল নেই)।

• অজানা শব্দটি খুঁজে পেতে, আপনাকে যোগফল থেকে পরিচিত পদটি বিয়োগ করতে হবে (যদি a + x = b, তাহলে x = b – a)

• 7 + x = 23

• x = 23 – 7

• x = 16

• অজানা মিনুএন্ড খুঁজে পেতে, আপনাকে সাবট্রাহেন্ড এবং পার্থক্য যোগ করতে হবে।

• (যদি x – a = d, তাহলে x = a + d)

• x-8 =5

• x = 8+5

• x=13

• অজানা সাবট্রাহেন্ড খুঁজে পেতে, আপনাকে মিনুএন্ড থেকে পার্থক্য বিয়োগ করতে হবে

• (যদি a - x = b, তাহলে x = a-b)

• 9 এর = 1.3

• x = 9- 1.3

• x = 7.7

• একটি অজানা ফ্যাক্টর খুঁজে পেতে, আপনাকে পণ্যটিকে পরিচিত ফ্যাক্টর দ্বারা ভাগ করতে হবে

• (যদি ax = b, তাহলে x = b: a)

• 0.2x = 6

• x = 6: 0.2

• x=30

• অজানা লভ্যাংশ খুঁজে পেতে, আপনাকে ভাজক দ্বারা ভাগফলকে গুণ করতে হবে (যদি x: a = b, তারপর x = ab)

• x: 0.3 = 4

• x = 4 * 0.3

• x = 1.2

• একটি অজানা ভাজক খুঁজে পেতে, আপনাকে ভাগফল দ্বারা লভ্যাংশ ভাগ করতে হবে

• (যদি a: x = b, তাহলে x = a: b)

• 0.8:x=-5

• x=0.8(-5)

• x=-0.16

• সমীকরণের শিকড় পরিবর্তন হয় না যদি কিছু শব্দ সমীকরণের এক অংশ থেকে অন্য অংশে স্থানান্তরিত হয়, তার চিহ্ন পরিবর্তন করে।

• 3x – 8 = x – 14

• 3x –x = -14 + 8

• 2x = -6

• x = -3

• একটি সমীকরণের মূল পরিবর্তন হয় না যদি উভয় পক্ষকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয় যা শূন্যের সমান নয়।

সমীকরণের সমাধান হল x =

• সমীকরণের সমাধান হল x =

• সমীকরণ (যেখানে a 0, a সমীকরণ f (x) = g (x) এর সমতুল্য

• প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে, ফর্মের একটি সমীকরণ একটি দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা হয়

• লগারিদমিক চিহ্নের অধীনে একটি পরিবর্তনশীল সমীকরণকে লগারিদমিক বলে।

• ফর্মের লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করা

• এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে এই ধরনের একটি সমীকরণ অতিরিক্ত শর্তে f(x)=g(x) সমীকরণের সমতুল্য

• লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে,

• একটি অজানা সহ একটি রৈখিক সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ এই সমীকরণের সর্বদা একটি অনন্য সমাধান রয়েছে:

• একটি অজানা সহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ

• দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্য হল সংখ্যা

• যদি D > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই

• যদি D=0 হয়, তাহলে সমীকরণটির একটি অনন্য সমাধান আছে:

• যদি D > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি সমাধান আছে:

• একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ হল এমন একটি সমীকরণ যেখানে কমপক্ষে একটি সহগ শূন্য। C=0 এ সমীকরণটি রূপ নেয়

• একটি হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ, অর্থাৎ, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যেখানে প্রথম সহগ একের সমান।

• সমীকরণের মূলের চিহ্ন নির্ণয় কর

ভিয়েটের থিওরেম

• যদি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকৃত মূল থাকে, তাহলে তাদের যোগফল একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ নেওয়া দ্বিতীয় সহগের সমান, যেমন –р, এবং তাদের পণ্য বিনামূল্যে শব্দ q.

• ফর্মের একটি সমীকরণকে বলা হয় দ্বি-বিন্যাস।

• এই ধরনের সমীকরণ পরিবর্তনশীল পদ্ধতির পরিবর্তন দ্বারা সমাধান করা হয়। এর তাহলে এটা মনোনীত করা যাক. মূল সমীকরণটি রূপ নেবে অর্থাৎ এটি একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ।

• তৃতীয় ডিগ্রির একটি প্রতিসম সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ লক্ষ্য করুন

• সেগুলো. এই সমীকরণের সমাধান সেটের সমতুল্য

• চতুর্থ ডিগ্রির একটি প্রতিসম সমীকরণ হল নিম্নলিখিত দুটি সমীকরণের যেকোনো একটি:

• প্রথম সমীকরণটি সমাধান করতে, আমরা একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করি এবং দ্বিতীয়টি সমাধান করতে -

• পরিবর্তনশীল আমাদের আছে: i.e. সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়া যায়।

• একটি সংখ্যা x এর মডুলাস হল সংখ্যাটি যদি এটি অ-ঋণাত্মক হয়, অথবা সংখ্যাটি -x যদি সংখ্যাটি ঋণাত্মক হয়। উপাধি:

• এই সংজ্ঞার জন্য আনুষ্ঠানিক স্বরলিপি হল:

• সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমীকরণের শিকড়ের সূত্র

• সমীকরণের শিকড়ের সূত্র

• sin x=a() ফর্ম আছে

• cos x=a

• tan x=a

• ctg x=a

• পরিবর্তনশীল পরিবর্তন পদ্ধতি ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করা যেতে পারে

• ফর্মের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

• সাইন এবং কোসাইন এর ক্ষেত্রে যে সকল পদের একই মাত্রা আছে তাকে বলা হয়

• সমজাতীয় একটি সমজাতীয় সমীকরণ সহজেই একটি আপেক্ষিক সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে যদি এর সমস্ত পদ দ্বারা ভাগ করা হয়। অধিকন্তু, যদি, তাহলে এই ধরনের বিভাজন সমাধানের ক্ষতির দিকে পরিচালিত করবে না, যেহেতু মানটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে না। যদি তাই হয়, তাহলে এটি বন্ধনী থেকে নেওয়া হয়।

• ফর্মের একটি সমীকরণ যেখানে একটি সমীকরণের সমতুল্য

• সর্বাধিক ব্যবহৃত পদ্ধতি হল যে ডান দিকের সমীকরণের সমস্ত পদ বাম দিকে স্থানান্তরিত হয়; যার পরে বাম

• ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে একটি পণ্যে পচানোর সূত্র, ডিগ্রি হ্রাস করার সূত্র এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির একটি পণ্যকে একটি সিস্টেমে রূপান্তর করার জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমীকরণের অংশ ফ্যাক্টরাইজ করা হয়।

ভগ্নাংশ যৌক্তিক সমীকরণ

• একটি যৌক্তিক বীজগণিতীয় সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ যেখানে এবং বহুপদী।

• শর্ত পূরণ হলেই অভিব্যক্তিটি অর্থপূর্ণ হয়

• এর মানে হল যে যৌক্তিক সমীকরণের শর্তের অধীনে একটি সমাধান আছে

অযৌক্তিক সমীকরণ

• দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি র্যাডিকেল ধারণকারী সমীকরণ

• সমীকরণের উভয় দিককে শক্তিতে উত্থাপন করা।

• যখন সমীকরণের উভয় দিক একটি সমান শক্তিতে উত্থাপিত হয়, ফলাফলটি একটি সমীকরণ যা মূলটির সমতুল্য নয়। মূল সমীকরণে প্রাপ্ত শিকড়গুলি সরাসরি পরীক্ষা করা বহিরাগত শিকড় থেকে মুক্তি পেতে সহায়তা করে, যেমন মূলগুলিকে পর্যায়ক্রমে প্রাথমিক সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করা হয় এবং সংখ্যার সমতা সঠিক কিনা তা পরীক্ষা করা হয়।

• দুটি রাশির গুণফল (ভাগফল) শূন্যের সমান।

• দুটি রাশির গুণফল শূন্যের সমান হয় যদি অন্তত একটি রাশি শূন্যের সমান হয় এবং অন্যটি অর্থবোধ করে। আনুষ্ঠানিকভাবে এটি এই মত লেখা হয়:

• শূন্যের সমান দুটি রাশির ভাগফলের জন্য আনুষ্ঠানিক স্বরলিপি:

• দ্বিতীয় ডিগ্রির র্যাডিকেলের দুটি (তিন) চিহ্ন সম্বলিত সমীকরণ

• সমীকরণের উভয় পাশে বর্গক্ষেত্র।

প্রথমত, সমীকরণটি এমনভাবে রূপান্তরিত করতে হবে যাতে র্যাডিকেলগুলি এক অংশে থাকে এবং মূল সমীকরণের অবশিষ্ট পদগুলি অন্য অংশে থাকে। সমীকরণে দুটি র্যাডিকেল থাকলে এটি করা হয়। যদি তাদের মধ্যে তিনটি থাকে, তবে তাদের মধ্যে দুটি সমীকরণের একটি অংশে অবশিষ্ট থাকে এবং তৃতীয়টি অন্যটিতে স্থানান্তরিত হয়। তারপর সমীকরণের উভয় দিক বর্গ করা হয় এবং প্রয়োজনীয় রূপান্তরগুলি সঞ্চালিত হয়। এরপরে, সমীকরণের সমস্ত পদ যাতে র‌্যাডিকেল থাকে না সেগুলি আবার সমীকরণের একপাশে স্থানান্তরিত হয় এবং অবশিষ্ট র‌্যাডিকেল (এখন শুধুমাত্র একটি!) অন্যটিতে স্থানান্তরিত হয়। ফলস্বরূপ সমীকরণটি আবার বর্গ করা হয়, এবং ফলাফলটি এমন একটি সমীকরণ যাতে র্যাডিকেল থাকে না।

তৃতীয় এবং উচ্চতর ডিগ্রীর র্যাডিকাল সমন্বিত সমীকরণ।

• তৃতীয় ডিগ্রির র্যাডিকেল সমন্বিত সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, নিম্নলিখিত পরিচয়গুলি ব্যবহার করা কার্যকর হতে পারে:

• সমীকরণটি সমাধান করুন:

• সমাধান: আসুন এই সমীকরণের উভয় দিককে তৃতীয় শক্তিতে উন্নীত করি এবং উপরের পরিচয়টি ব্যবহার করি:

• লক্ষ্য করুন যে বন্ধনীতে অভিব্যক্তিটি 1 এর সমান, যা মূল সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে। এটিকে বিবেচনায় নিয়ে এবং অনুরূপ শর্তাবলী নিয়ে আসা, আমরা পাই:

• আসুন বন্ধনী খুলি, অনুরূপ পদ যোগ করি এবং দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। এর শিকড় হল x=5 এবং x=-25/2। যদি আমরা ধরে নিই (সংজ্ঞা অনুসারে) ঋণাত্মক সংখ্যা থেকেও বিজোড় মূল বের করা যায়, তাহলে উভয় প্রাপ্ত সংখ্যাই মূল সমীকরণের সমাধান।

• উত্তর: 5.-25/2

কি মান ক

• কি মান কসমীকরণের দুটি মূল আছে, যার একটি 1 এর চেয়ে বড় এবং অন্যটি কম?

• সমাধান: ফাংশন বিবেচনা করুন:

• এবং এর গ্রাফের একটি স্কেচ তৈরি করুন। এ a=0ফাংশনটি রৈখিক হয়ে যায় এবং অক্ষের সাথে দুটি ছেদ রয়েছে উহু(সমীকরণের মূল y=0) এবংএটা সহ্য করতে পারে না

• এ a>0ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা, যার শাখাগুলি উপরের দিকে পরিচালিত হয়। শিকড়ের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত যেমন এবং এই ক্ষেত্রে একমাত্র শর্ত:

• যদি এবং শর্ত, সেই অনুযায়ী, (চিত্র।)

• সুতরাং সমস্যার সমাধান আনুষ্ঠানিকভাবে সেট দ্বারা দেওয়া হয়:

• উত্তর:

• সমীকরণের একটি সিস্টেম দুই বা ততোধিক বীজগণিত সমীকরণ নিয়ে গঠিত।

• সিস্টেম সমাধানপরিবর্তনশীল মানগুলির একটি সেট যা প্রতিস্থাপনের পরে, সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে একটি সংখ্যাসূচক বা আক্ষরিক পরিচয়ে পরিণত করে।

• সিস্টেমের সমাধান করুন -এর অর্থ হল এর সমস্ত সমাধান খুঁজে পাওয়া বা প্রমাণ করা যে কোনওটি নেই।

সিস্টেমের গ্রাফিক সমাধান

• সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার একটি গ্রাফিকাল উপায় নিম্নরূপ:

• সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণের গ্রাফ তৈরি করা হয়;

• গ্রাফের ছেদ বিন্দু নির্ধারণ করা হয়;

• উত্তরটি রেকর্ড করা হয়েছে: নির্মিত গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক।

• বেশিরভাগ ক্ষেত্রে সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি সিস্টেমের একটি সঠিক সমাধান প্রদান করে না, তবে এটি যুক্তিকে দৃশ্যমানভাবে চিত্রিত করার জন্য কার্যকর হতে পারে।

সমাধান:

• সমাধান:প্রথম এবং তৃতীয় সমীকরণের গ্রাফগুলি সোজা; দ্বিতীয় সমীকরণের গ্রাফটি একটি ঘনক প্যারাবোলা (ডুমুর)। তিনটি ছেদ বিন্দুর মধ্যে, শুধুমাত্র একটি সিস্টেমের সমীকরণের সমস্ত গ্রাফে সাধারণ।

• উত্তর:(0;0)

সমীকরণের সমতা

• সমীকরণগুলিকে সমতুল্য (সমতুল্য) বলা হয় যদি প্রথম সমীকরণের সমস্ত মূল দ্বিতীয় সমীকরণের মূল হয় এবং দ্বিতীয় সমীকরণের সমস্ত মূল প্রথমটির মূল হয়।

• একটি সমীকরণের সমতুল্য রূপান্তরগুলি একটি সমতুল্য সমীকরণের দিকে পরিচালিত রূপান্তর:

• 1) একই সময়ে সমীকরণের উভয় পাশে যেকোনো সংখ্যা যোগ করা (বিশেষ করে, চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে সমীকরণের এক অংশ থেকে অন্য অংশে পদ স্থানান্তর করা)

• 2) শূন্য ব্যতীত অন্য যেকোন সংখ্যা দ্বারা সমীকরণের উভয় দিককে একই সাথে গুণ করা (এবং ভাগ করা)।

• এছাড়াও, বাস্তব সংখ্যা ডোমেনে সমীকরণের জন্য:

• 3) সমীকরণের উভয় দিককে যেকোনো বিজোড় শক্তিতে উত্থাপন করে

• 4) সমীকরণের উভয় দিক উত্থাপন করা, শর্ত থাকে যে তারা অ-নেতিবাচক, এমনকি কোনো প্রাকৃতিক শক্তির জন্য

Yu.N.Makarychev - "বীজগণিত। স্কুলের পাঠ্যবইয়ের জন্য অতিরিক্ত অধ্যায়। অষ্টম শ্রেণী।" 2003

Yu.N.Makarychev - "বীজগণিত। স্কুলের পাঠ্যবইয়ের জন্য অতিরিক্ত অধ্যায়। 9 ম গ্রেড." 2003

উপস্থাপনা প্রস্তুত করা হয়েছে:

• শমানভা ভিক্টোরিয়া

• ডিভা আলেকজান্দ্রা

• গ্রেড 11

• পৌর শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "মাধ্যমিক বিদ্যালয় নং 1"

• শুমিখা

• 2007

• ফোনে বিস্তারিত তথ্য 83524521413

• 1 নং মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের শিক্ষকদের বিশেষ ধন্যবাদ:

• তেরেগুলোভা ইরিনা ভিক্টোরোভনা

• শমানভ আনাতোলি ইভানোভিচ

একটি স্কুলের গণিত কোর্সে, একটি শিশু প্রথমবার "সমীকরণ" শব্দটি শোনে। এটি কি, আসুন একসাথে এটি বের করার চেষ্টা করি। এই নিবন্ধে আমরা সমাধানের ধরন এবং পদ্ধতিগুলি দেখব।

অংক. সমীকরণ

শুরু করার জন্য, আমরা আপনাকে ধারণাটি বুঝতে পরামর্শ দিই, এটি কী? অনেক গণিতের পাঠ্যপুস্তক যেমন বলে, একটি সমীকরণ হল এমন কিছু অভিব্যক্তি যার মধ্যে একটি সমান চিহ্ন থাকতে হবে। এই অভিব্যক্তিতে অক্ষর রয়েছে, তথাকথিত ভেরিয়েবল, যার মান অবশ্যই পাওয়া উচিত।

এটি একটি সিস্টেম বৈশিষ্ট্য যা এর মান পরিবর্তন করে। ভেরিয়েবলের একটি ভাল উদাহরণ হল:

• বাতাসের তাপমাত্রা;
• শিশুর উচ্চতা;
• ওজন এবং তাই।

গণিতে এগুলি অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, x, a, b, c... সাধারণত একটি গণিতের কাজ এভাবে হয়: সমীকরণের মান খুঁজুন। এর মানে হল যে এই ভেরিয়েবলগুলির মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

জাত

সমীকরণ (আগের অনুচ্ছেদে এটি কী তা আমরা আলোচনা করেছি) নিম্নলিখিত ফর্মের হতে পারে:

• রৈখিক;
• বর্গক্ষেত্র;
• ঘন
• বীজগণিত
• অতীন্দ্রিয়

সমস্ত ধরণের সাথে আরও বিশদ পরিচিতির জন্য, আমরা প্রতিটি আলাদাভাবে বিবেচনা করব।

একঘাত সমীকরণ

এটিই প্রথম প্রজাতি যা স্কুলছাত্রীদের সাথে পরিচিত হয়। তারা বেশ দ্রুত এবং সহজভাবে সমাধান করা হয়। সুতরাং, একটি রৈখিক সমীকরণ কি? এটি ফর্মের একটি অভিব্যক্তি: ah=c। এটি বিশেষভাবে পরিষ্কার নয়, তাই কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া যাক: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6।

আসুন সমীকরণের উদাহরণ দেখি। এটি করার জন্য, আমাদের একদিকে সমস্ত পরিচিত ডেটা সংগ্রহ করতে হবে এবং অপরদিকে অজানাগুলি: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2। এখানে গণিতের প্রাথমিক নিয়ম ব্যবহার করা হয়েছে: a*c=e, এই c=e/a থেকে; a=e/c সমীকরণের সমাধান সম্পূর্ণ করার জন্য, আমরা একটি ক্রিয়া সম্পাদন করি (আমাদের ক্ষেত্রে, বিভাগ) x = 13; x=8; x=5। এগুলো ছিল গুণের উদাহরণ, এখন বিয়োগ এবং যোগের দিকে নজর দেওয়া যাক: x+3=9; 10x-5=15। আমরা পরিচিত ডেটা এক দিকে স্থানান্তর করি: x=9-3; x=20/10। শেষ কর্ম সম্পাদন করুন: x=6; x=2।

বিকল্পগুলিও সম্ভব রৈখিক সমীকরণ, যেখানে একাধিক ভেরিয়েবল ব্যবহার করা হয়: 2x-2y=4। সমাধান করার জন্য, প্রতিটি অংশে 2y যোগ করা প্রয়োজন, আমরা 2x-2y + 2y = 4-2y পাই, যেমনটি আমরা লক্ষ্য করেছি, দ্বারা বাম পাশেসমান চিহ্ন -2y এবং +2y বাতিল করা হয়েছে, আমাদের রেখে যাচ্ছে: 2x=4-2y। শেষ ধাপ হল প্রতিটি অংশকে দুই দ্বারা ভাগ করা, আমরা উত্তর পাই: x সমান দুই বিয়োগ y।

সমীকরণের সমস্যাগুলি এমনকি আহমস প্যাপিরিতেও পাওয়া যায়। এখানে একটি সমস্যা আছে: একটি সংখ্যা এবং এর চতুর্থ অংশ 15 পর্যন্ত যোগ করে। এটি সমাধান করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি লিখি: x যোগ এক-চতুর্থাংশ x পনেরো সমান। আমরা সমাধানের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে আরেকটি উদাহরণ দেখি, আমরা উত্তর পাই: x=12। কিন্তু এই সমস্যাটি অন্য উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে, যেমন মিশরীয় বা, এটিকে ভিন্নভাবে বলা হয়, অনুমানের পদ্ধতি। প্যাপিরাস নিম্নলিখিত সমাধান ব্যবহার করে: চার এবং এটির এক চতুর্থাংশ নিন, অর্থাৎ এক। মোট তারা পাঁচটি দেয়, এখন পনেরোকে যোগফল দিয়ে ভাগ করতে হবে, আমরা তিনটি পাব, শেষ ধাপটি হল তিনটিকে চার দিয়ে গুণ করা। আমরা উত্তর পাই: 12. কেন আমরা সমাধানে পনেরোকে পাঁচ দিয়ে ভাগ করি? তাই আমরা খুঁজে বের করি কত বার পনের, অর্থাৎ আমাদের যে ফলাফল পেতে হবে তা পাঁচের কম। মধ্যযুগে এইভাবে সমস্যার সমাধান করা হয়েছিল; এটি মিথ্যা অবস্থান পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত হয়ে ওঠে।

দ্বিঘাত সমীকরণ

পূর্বে আলোচিত উদাহরণ ছাড়াও, অন্যান্য আছে. কোনটি ঠিক? দ্বিঘাত সমীকরণ, এটা কি? এগুলো দেখতে ax 2 +bx+c=0 এর মত। তাদের সমাধান করার জন্য, আপনাকে কিছু ধারণা এবং নিয়মগুলির সাথে নিজেকে পরিচিত করতে হবে।

প্রথমে, আপনাকে সূত্রটি ব্যবহার করে বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করতে হবে: b 2 -4ac। সিদ্ধান্তের তিনটি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে:

• বৈষম্যকারী শূন্যের চেয়ে বড়;
• শূন্যের চেয়ে কম;
• শূন্যের সমান।

প্রথম বিকল্পে, আমরা দুটি মূল থেকে উত্তর পেতে পারি, যেগুলি সূত্র অনুসারে পাওয়া যায়: -b+-প্রথম সহগের দ্বিগুণ দ্বারা বিভক্ত বৈষম্যকারীর মূল, অর্থাৎ 2a।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সমীকরণের কোন শিকড় নেই। তৃতীয় ক্ষেত্রে, মূল সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যায়: -b/2a।

আরো বিস্তারিত ভূমিকার জন্য একটি দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ দেখি: তিন x বর্গ বিয়োগ চৌদ্দ x বিয়োগ পাঁচ সমান শূন্য। শুরুতে, যেমনটি আগে লেখা হয়েছিল, আমরা একটি বৈষম্যকারীর সন্ধান করছি, আমাদের ক্ষেত্রে এটি 256 এর সমান। মনে রাখবেন যে ফলাফলের সংখ্যাটি শূন্যের চেয়ে বেশি, তাই, আমাদের দুটি মূল সমন্বিত একটি উত্তর পাওয়া উচিত। আমরা শিকড় খোঁজার সূত্রে ফলস্বরূপ বৈষম্যকারীকে প্রতিস্থাপন করি। ফলস্বরূপ, আমাদের আছে: x সমান পাঁচ এবং বিয়োগ এক তৃতীয়াংশ।

দ্বিঘাত সমীকরণে বিশেষ ক্ষেত্রে

এগুলি এমন উদাহরণ যেখানে কিছু মান শূন্য (a, b বা c), এবং সম্ভবত একাধিক।

উদাহরণ স্বরূপ, চলুন নিচের সমীকরণটি ধরা যাক, যা একটি দ্বিঘাতক: দুটি x বর্গ সমান শূন্য, এখানে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে b এবং c শূন্যের সমান। আসুন এটি সমাধান করার চেষ্টা করি, এটি করার জন্য আমরা সমীকরণের উভয় দিককে দুই দ্বারা ভাগ করি, আমাদের আছে: x 2 =0। ফলস্বরূপ, আমরা x=0 পাই।

আরেকটি কেস হল 16x 2 -9=0। এখানে শুধুমাত্র b=0। আসুন সমীকরণটি সমাধান করি, মুক্ত সহগটিকে ডানদিকে স্থানান্তর করুন: 16x 2 = 9, এখন আমরা প্রতিটি অংশকে ষোল দ্বারা ভাগ করি: x 2 = নয়টি ষোল ভাগ। যেহেতু আমাদের x বর্গ আছে, তাই 9/16 এর মূলটি হয় ঋণাত্মক বা ধনাত্মক হতে পারে। আমরা উত্তরটি নিম্নরূপ লিখি: x সমান/বিয়োগ তিন-চতুর্থাংশ।

আরেকটি সম্ভাব্য উত্তর হল যে সমীকরণটির কোনও শিকড় নেই। আসুন এই উদাহরণটি দেখি: 5x 2 +80=0, এখানে b=0। সমাধান করতে, বিনামূল্যে সদস্য নিক্ষেপ ডান পাশ, এই ক্রিয়াগুলির পরে আমরা পাই: 5x 2 = -80, এখন আমরা প্রতিটি অংশকে পাঁচ দ্বারা ভাগ করি: x 2 = বিয়োগ ষোল। যদি আমরা যেকোন সংখ্যার বর্গ করলে, আমরা একটি ঋণাত্মক মান পাব না। অতএব, আমাদের উত্তর হল: সমীকরণের কোন শিকড় নেই।

Trinomial সম্প্রসারণ

দ্বিঘাত সমীকরণের একটি কাজও এইরকম শোনাতে পারে: প্রসারিত করুন দ্বিঘাত ত্রিনামিকগুণক দ্বারা এটি নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে করা যেতে পারে: a(x-x 1)(x-x 2)। এটি করার জন্য, টাস্কের অন্যান্য সংস্করণের মতো, একটি বৈষম্যকারী খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করুন: 3x 2 -14x-5, ত্রিনমিক গুণনীয়ক। আমরা ইতিমধ্যে আমাদের কাছে পরিচিত একটি সূত্র ব্যবহার করে বৈষম্যকারীকে খুঁজে পাই; এটি 256 এর সমান হতে দেখা যায়। আমরা অবিলম্বে লক্ষ্য করি যে 256 শূন্যের চেয়ে বড়, তাই, সমীকরণটির দুটি মূল থাকবে। আমরা তাদের খুঁজে পাই, আগের অনুচ্ছেদের মতো, আমাদের আছে: x = পাঁচ এবং বিয়োগ এক তৃতীয়াংশ। চলুন ত্রিনয়কের গুণিতক করার সূত্রটি ব্যবহার করি: 3(x-5)(x+1/3)। দ্বিতীয় বন্ধনীতে আমরা একটি সমান চিহ্ন পেয়েছি, কারণ সূত্রটিতে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে এবং মূলটিও নেতিবাচক, গণিতের প্রাথমিক জ্ঞান ব্যবহার করে, যোগফলটিতে আমাদের একটি যোগ চিহ্ন রয়েছে। সহজ করার জন্য, ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পেতে সমীকরণের প্রথম এবং তৃতীয় পদগুলিকে গুণ করি: (x-5)(x+1)।

সমীকরণ দ্বিঘাতে হ্রাস করা

এই বিভাগে আমরা শিখব কিভাবে আরও জটিল সমীকরণ সমাধান করা যায়। আসুন এখনই একটি উদাহরণ দিয়ে শুরু করি:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. আমরা পুনরাবৃত্ত উপাদানগুলি লক্ষ্য করতে পারি: (x 2 - 2x), এটি সমাধান করার জন্য এটিকে অন্য একটি পরিবর্তনশীল দিয়ে প্রতিস্থাপন করা আমাদের পক্ষে সুবিধাজনক এবং তারপর স্বাভাবিক দ্বিঘাত সমীকরণটি অবিলম্বে সমাধান করুন আমরা লক্ষ্য করি যে এই ধরনের একটি টাস্কে আমরা চারটি শিকড় পাব, এটি আপনাকে ভয় দেখাবে না। আমরা পরিবর্তনশীল a এর পুনরাবৃত্তি নির্দেশ করি। আমরা পাই: a 2 -2a-3=0। আমাদের পরবর্তী পর্বএকটি নতুন সমীকরণের বৈষম্যকারী খুঁজে পাচ্ছে। আমরা 16 পাই, দুটি মূল খুঁজে পাই: বিয়োগ এক এবং তিন। আমরা মনে করি যে আমরা প্রতিস্থাপন করেছি, এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করেছি, ফলস্বরূপ আমাদের সমীকরণ রয়েছে: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3। আমরা প্রথম উত্তরে সেগুলি সমাধান করি: x সমান এক, দ্বিতীয়টিতে: x বিয়োগ এক এবং তিনের সমান। আমরা উত্তরটি নিম্নরূপ লিখি: প্লাস/বিয়োগ এক এবং তিন। একটি নিয়ম হিসাবে, উত্তর আরোহী ক্রমে লেখা হয়।

ঘন সমীকরণ

এর আরও একটি তাকান সম্ভাব্য বৈকল্পিক. এটা সম্পর্কেঘন সমীকরণ সম্পর্কে। এগুলো দেখতে এরকম: ax 3 + b x 2 + cx + d =0। আমরা নীচের সমীকরণের উদাহরণগুলি দেখব, তবে প্রথমে, একটি সামান্য তত্ত্ব। তাদের তিনটি মূল থাকতে পারে, এবং একটি ঘন সমীকরণের জন্য বৈষম্য খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্রও রয়েছে।

আসুন একটি উদাহরণ দেখি: 3x 3 +4x 2 +2x=0। কিভাবে এটা সমাধান করতে? এটি করার জন্য, আমরা বন্ধনীর বাইরে x রাখলাম: x(3x 2 +4x+2)=0। আমাদের যা করতে হবে তা হল বন্ধনীতে সমীকরণের মূল গণনা করা। বন্ধনীতে দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্য শূন্যের চেয়ে কম, এর উপর ভিত্তি করে, অভিব্যক্তিটির একটি মূল রয়েছে: x=0।

বীজগণিত। সমীকরণ

চলুন পরবর্তী ভিউতে চলে যাই। আমরা এখন সংক্ষেপে দেখব বীজগণিত সমীকরণ. একটি কাজ নিম্নরূপ: ফ্যাক্টর 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5। সবচেয়ে সুবিধাজনক উপায় নিম্নলিখিত গ্রুপিং হবে: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5)। মনে রাখবেন যে আমরা 3x 2 এবং 5x 2 এর যোগফল হিসাবে প্রথম রাশি থেকে 8x 2 উপস্থাপন করেছি। এখন আমরা প্রতিটি বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) বের করি। আমরা দেখতে পাই যে আমাদের একটি সাধারণ ফ্যাক্টর আছে: x বর্গ প্লাস ওয়ান, আমরা এটি বন্ধনী থেকে বের করি: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5)। উভয় সমীকরণের একটি নেতিবাচক বৈষম্য থাকায় আরও সম্প্রসারণ সম্ভব নয়।

অতীন্দ্রিয় সমীকরণ

আমরা আপনাকে নিম্নলিখিত ধরনের মোকাবেলা করার পরামর্শ দিই। এগুলি এমন সমীকরণ যাতে ট্রান্সসেন্ডেন্টাল ফাংশন থাকে, যথা লগারিদমিক, ত্রিকোণমিতিক বা সূচকীয়। উদাহরণ: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 ইত্যাদি। ত্রিকোণমিতি কোর্সে এগুলো কিভাবে সমাধান করা হয় তা আপনি শিখবেন।

ফাংশন

চূড়ান্ত ধাপ হল একটি ফাংশনের সমীকরণের ধারণাটি বিবেচনা করা। পূর্ববর্তী বিকল্পগুলির বিপরীতে, এই ধরনের সমাধান করা হয় না, তবে এটির উপর ভিত্তি করে একটি গ্রাফ তৈরি করা হয়। এটি করার জন্য, সমীকরণটি ভালভাবে বিশ্লেষণ করা, নির্মাণের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত পয়েন্ট খুঁজে বের করা এবং সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক পয়েন্ট গণনা করা মূল্যবান।