পৃথিবীতে এমন অনেক লোক নেই যারা কখনও ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য শুনেননি - সম্ভবত এটিই একমাত্র গাণিতিক সমস্যা যা এত ব্যাপকভাবে পরিচিত এবং একটি বাস্তব কিংবদন্তি হয়ে উঠেছে। এটি অনেক বই এবং চলচ্চিত্রে উল্লেখ করা হয়েছে, এবং প্রায় সব উল্লেখের মূল প্রসঙ্গ হল উপপাদ্য প্রমাণ করার অসম্ভবতা।
হ্যাঁ, এই উপপাদ্যটি খুব পরিচিত এবং এক অর্থে অপেশাদার এবং পেশাদার গণিতবিদদের দ্বারা উপাসনা করা একটি "মূর্তি" হয়ে উঠেছে, তবে খুব কম লোকই জানেন যে এর প্রমাণ পাওয়া গেছে এবং এটি 1995 সালে ঘটেছিল। কিন্তু প্রথম জিনিস প্রথম.
সুতরাং, ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য (যাকে প্রায়শই ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য বলা হয়), 1637 সালে উজ্জ্বল ফরাসি গণিতবিদ পিয়েরে ফার্মাট দ্বারা প্রণয়ন করা হয়েছিল, সারমর্মে খুবই সহজ এবং মাধ্যমিক শিক্ষার সাথে বোধগম্য। এটি বলে যে সূত্র a থেকে n + b এর শক্তি থেকে n = c এর শক্তি থেকে n এর শক্তিতে n > 2 এর জন্য প্রাকৃতিক (অর্থাৎ ভগ্নাংশ নয়) সমাধান নেই। সবকিছু সহজ এবং পরিষ্কার বলে মনে হচ্ছে, কিন্তু সেরা গণিতবিদ এবং সাধারণ অপেশাদাররা সাড়ে তিন শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে একটি সমাধানের সন্ধানে লড়াই করেছিলেন।
কেন তিনি এত বিখ্যাত? এখন আমরা খুঁজে বের করব...
অনেক প্রমাণিত, অপ্রমাণিত এবং এখনও অপ্রমাণিত উপপাদ্য আছে? এখানে বিন্দু হল যে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি সূত্রের সরলতা এবং প্রমাণের জটিলতার মধ্যে সবচেয়ে বড় বৈসাদৃশ্য উপস্থাপন করে। ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি একটি অবিশ্বাস্যভাবে কঠিন সমস্যা, এবং এখনও এটির সূত্রটি উচ্চ বিদ্যালয়ের 5ম শ্রেণির যে কেউ বুঝতে পারে, তবে এমনকি প্রতিটি পেশাদার গণিতবিদও প্রমাণটি বুঝতে পারে না। না পদার্থবিদ্যা, না রসায়ন, না জীববিদ্যা, না গণিতে, এমন একটি সমস্যা আছে যা এত সহজভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে, কিন্তু এত দিন অমীমাংসিত থেকে যায়। 2. এটা কি নিয়ে গঠিত?
এর Pythagorean প্যান্ট সঙ্গে শুরু করা যাক শব্দ সত্যিই সহজ - প্রথম নজরে. আমরা শৈশব থেকেই জানি, "পিথাগোরিয়ান প্যান্ট সব দিকে সমান।" সমস্যাটি খুব সহজ দেখায় কারণ এটি একটি গাণিতিক বিবৃতির উপর ভিত্তি করে ছিল যা সবাই জানে - পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য: যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের উপর নির্মিত বর্গটি পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
খ্রিস্টপূর্ব ৫ম শতাব্দীতে। পিথাগোরাস পিথাগোরিয়ান ভ্রাতৃত্ব প্রতিষ্ঠা করেছিলেন। পিথাগোরিয়ানরা, অন্যান্য জিনিসের মধ্যে, x²+y²=z² সমতাকে সন্তুষ্ট করে পূর্ণসংখ্যা ট্রিপলেট অধ্যয়ন করেছিল। তারা প্রমাণ করেছেন যে অসীমভাবে অনেকগুলি পিথাগোরিয়ান ট্রিপল রয়েছে এবং তাদের সন্ধানের জন্য সাধারণ সূত্রগুলি পেয়েছে। তারা সম্ভবত সি এবং উচ্চতর ডিগ্রী খোঁজার চেষ্টা করেছিল। নিশ্চিত যে এটি কাজ করেনি, পিথাগোরিয়ানরা তাদের অকেজো প্রচেষ্টা পরিত্যাগ করেছিল। ভ্রাতৃত্বের সদস্যরা গণিতবিদদের চেয়ে বেশি দার্শনিক এবং নন্দনতাত্ত্বিক ছিলেন।
অর্থাৎ, x²+y²=z² সমতাকে পুরোপুরি সন্তুষ্ট করে এমন সংখ্যার সেট নির্বাচন করা সহজ
3, 4, 5 থেকে শুরু করে - প্রকৃতপক্ষে, একজন জুনিয়র ছাত্র বুঝতে পারে যে 9 + 16 = 25।
অথবা 5, 12, 13: 25 + 144 = 169। দারুণ।
সুতরাং, দেখা যাচ্ছে যে তারা নয়। এখানেই কৌশল শুরু হয়। সরলতা স্পষ্ট, কারণ কিছুর উপস্থিতি প্রমাণ করা কঠিন, তবে বিপরীতভাবে, এর অনুপস্থিতি। যখন আপনাকে প্রমাণ করতে হবে যে একটি সমাধান আছে, আপনি এই সমাধানটি সহজভাবে উপস্থাপন করতে পারেন এবং করা উচিত।
অনুপস্থিতি প্রমাণ করা আরও কঠিন: উদাহরণস্বরূপ, কেউ বলেছেন: অমুক এবং অমুক সমীকরণের কোনও সমাধান নেই। তাকে একটি পুকুরে রাখবে? সহজ: বাম - এবং এটি এখানে, সমাধান! (সমাধান দিন)। আর তাতেই প্রতিপক্ষ পরাজিত হয়। কিভাবে অনুপস্থিতি প্রমাণ করতে?
বলুন: "আমি এই ধরনের সমাধান খুঁজে পাইনি"? অথবা হয়তো আপনি ভাল খুঁজছেন ছিল না? যদি তারা বিদ্যমান থাকে, তবে তারা খুব বড়, খুব বড়, এমন যে একটি সুপার-শক্তিশালী কম্পিউটারের এখনও যথেষ্ট শক্তি নেই? এই কি কঠিন.
এটি দৃশ্যত এইভাবে দেখানো যেতে পারে: আপনি যদি উপযুক্ত আকারের দুটি বর্গক্ষেত্র নেন এবং সেগুলিকে একক স্কোয়ারে বিচ্ছিন্ন করেন, তাহলে এই একক বর্গক্ষেত্র থেকে আপনি একটি তৃতীয় বর্গক্ষেত্র পাবেন (চিত্র 2): 
তবে আসুন তৃতীয় মাত্রার সাথে একই কাজ করি (চিত্র 3) - এটি কাজ করে না। পর্যাপ্ত কিউব নেই, বা অতিরিক্ত কিউব বাকি আছে:
কিন্তু 17 শতকের গণিতবিদ ফরাসি পিয়েরে ডি ফার্মাট উত্সাহের সাথে সাধারণ সমীকরণ x n + y n = z n অধ্যয়ন করেছিলেন। এবং অবশেষে, আমি উপসংহারে পৌঁছেছি: n>2 এর জন্য কোন পূর্ণসংখ্যা সমাধান নেই। Fermat এর প্রমাণ অপ্রতিরোধ্যভাবে হারিয়ে গেছে। পুড়ে যাচ্ছে পাণ্ডুলিপি! ডায়োফ্যান্টাসের পাটিগণিতের মধ্যে যা অবশিষ্ট রয়েছে তা হল তার মন্তব্য: "আমি এই প্রস্তাবের একটি সত্যই আশ্চর্যজনক প্রমাণ পেয়েছি, কিন্তু এখানে মার্জিনগুলি এটিকে ধারণ করার জন্য খুব সংকীর্ণ।"
প্রকৃতপক্ষে, প্রমাণ ছাড়া একটি উপপাদ্যকে হাইপোথিসিস বলা হয়। কিন্তু কখনও ভুল না করার জন্য Fermat এর খ্যাতি রয়েছে। এমনকি তিনি একটি বক্তব্যের প্রমাণ রেখে না গেলেও, এটি পরবর্তীতে নিশ্চিত করা হয়েছিল। তাছাড়া, Fermat n=4 এর জন্য তার থিসিস প্রমাণ করেছেন। এইভাবে, ফরাসি গণিতবিদদের অনুমান ইতিহাসে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য হিসাবে নেমে গেছে।
ফার্মাটের পরে, লিওনহার্ড অয়লারের মতো দুর্দান্ত মন একটি প্রমাণের সন্ধানে কাজ করেছিলেন (1770 সালে তিনি n = 3 এর জন্য একটি সমাধান প্রস্তাব করেছিলেন),
অ্যাড্রিয়েন লেজেন্ড্রে এবং জোহান ডিরিচলেট (এই বিজ্ঞানীরা যৌথভাবে 1825 সালে n = 5 এর প্রমাণ খুঁজে পেয়েছিলেন), গ্যাব্রিয়েল ল্যামে (যিনি n = 7 এর প্রমাণ খুঁজে পেয়েছিলেন) এবং আরও অনেকে। গত শতাব্দীর 80-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে, এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে বৈজ্ঞানিক জগৎ ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের চূড়ান্ত সমাধানের পথে, কিন্তু শুধুমাত্র 1993 সালে গণিতবিদরা দেখেছিলেন এবং বিশ্বাস করেছিলেন যে তিন শতাব্দীর মহাকাব্যের প্রমাণ অনুসন্ধান করা। ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি কার্যত শেষ হয়ে গেছে।
এটি সহজেই দেখানো হয়েছে যে এটি শুধুমাত্র সরল n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... এর জন্য Fermat-এর উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট। কিন্তু অসীমভাবে অনেক মৌলিক সংখ্যা আছে...
1825 সালে, সোফি জার্মেইনের পদ্ধতি ব্যবহার করে, মহিলা গণিতবিদ, ডিরিচলেট এবং কিংবদন্তি স্বাধীনভাবে n=5 এর উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন। 1839 সালে, একই পদ্ধতি ব্যবহার করে, ফরাসী গ্যাব্রিয়েল লেম n=7 এর উপপাদ্যটির সত্যতা দেখিয়েছিলেন। ধীরে ধীরে উপপাদ্যটি প্রায় সবকটির জন্য প্রমাণিত হয়েছিল একশরও কম।
অবশেষে, জার্মান গণিতবিদ আর্নস্ট কুমার, একটি উজ্জ্বল গবেষণায় দেখিয়েছেন যে 19 শতকের গণিতের পদ্ধতি ব্যবহার করে সাধারণভাবে উপপাদ্য প্রমাণ করা যায় না। ফারম্যাটের উপপাদ্য প্রমাণের জন্য 1847 সালে প্রতিষ্ঠিত ফ্রেঞ্চ একাডেমি অফ সায়েন্সেস-এর পুরষ্কার প্রাপ্ত হয়নি।
1907 সালে, ধনী জার্মান শিল্পপতি পল ওল্ফসকেহল অপ্রত্যাশিত প্রেমের কারণে নিজের জীবন নেওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন। একজন সত্যিকারের জার্মানের মতো, তিনি আত্মহত্যার তারিখ এবং সময় নির্ধারণ করেছিলেন: ঠিক মধ্যরাতে। শেষ দিনে তিনি একটি উইল করেছিলেন এবং বন্ধুবান্ধব এবং আত্মীয়দের কাছে চিঠি লিখেছিলেন। মাঝরাতের আগেই ঘটনা শেষ। এটা অবশ্যই বলা উচিত যে পল গণিতে আগ্রহী ছিলেন। আর কিছুই করার নেই, তিনি লাইব্রেরিতে গিয়ে কুমারের বিখ্যাত প্রবন্ধ পড়তে শুরু করলেন। হঠাৎ তার মনে হলো কুমার তার যুক্তিতে ভুল করেছে। উলফস্কেল তার হাতে একটি পেন্সিল নিয়ে নিবন্ধের এই অংশটি বিশ্লেষণ করতে শুরু করেছিলেন। মধ্যরাত পেরিয়ে সকাল হল। প্রমাণের শূন্যতা পূরণ হয়েছে। এবং আত্মহত্যার কারণটি এখন সম্পূর্ণ হাস্যকর বলে মনে হচ্ছে। পল তার বিদায়ের চিঠিগুলো ছিঁড়ে ফেললেন এবং তার উইল আবার লিখে দিলেন।
শীঘ্রই তিনি প্রাকৃতিক কারণে মারা যান। উত্তরাধিকারীরা বেশ অবাক হয়েছিলেন: 100,000 মার্ক (1,000,000 বর্তমান পাউন্ড স্টার্লিং-এর বেশি) গটিংজেনের রয়্যাল সায়েন্টিফিক সোসাইটির অ্যাকাউন্টে স্থানান্তরিত হয়েছিল, যা একই বছরে ওল্ফস্কেল পুরস্কারের জন্য একটি প্রতিযোগিতার ঘোষণা করেছিল। যে ব্যক্তি Fermat এর উপপাদ্য প্রমাণ করেছে তাকে 100,000 মার্ক দেওয়া হয়েছিল। উপপাদ্য খণ্ডন করার জন্য একটি পেফেনিগকে পুরস্কৃত করা হয়নি...
বেশিরভাগ পেশাদার গণিতবিদরা ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের প্রমাণের অনুসন্ধানকে একটি আশাহীন কাজ বলে মনে করেন এবং এই ধরনের অকেজো অনুশীলনে সময় নষ্ট করতে দৃঢ়ভাবে অস্বীকার করেছিলেন। কিন্তু অপেশাদারদের একটি বিস্ফোরণ ছিল. ঘোষণার কয়েক সপ্তাহ পরে, "প্রমাণ" এর একটি তুষারপাত গটিংজেন বিশ্ববিদ্যালয়ে আঘাত হানে। প্রফেসর ই.এম. ল্যান্ডউ, যার দায়িত্ব ছিল প্রেরিত প্রমাণ বিশ্লেষণ করা, তিনি তার ছাত্রদের কার্ড বিতরণ করেছিলেন:
প্রিয়. . . . . . . .
Fermat's Last Theorem-এর প্রমাণ সহ আমাকে পাণ্ডুলিপি পাঠানোর জন্য ধন্যবাদ। প্রথম ত্রুটি পৃষ্ঠায়... লাইনে...। এর কারণে, পুরো প্রমাণটি তার বৈধতা হারায়।
প্রফেসর ই এম ল্যান্ডউ
1963 সালে, পল কোহেন, গোডেলের অনুসন্ধানের উপর নির্ভর করে, হিলবার্টের তেইশটি সমস্যার একটির অমীমাংসিততা প্রমাণ করেছিলেন - ধারাবাহিক অনুমান। যদি ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটিও সিদ্ধান্তহীন হয়?! কিন্তু প্রকৃত মহান উপপাদ্য ধর্মান্ধরা মোটেও হতাশ হননি। কম্পিউটারের আবির্ভাব হঠাৎ গণিতবিদদের প্রমাণের একটি নতুন পদ্ধতি দিয়েছিল। দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের পর, প্রোগ্রামার এবং গণিতবিদদের দল 500, তারপর 1,000 এবং পরবর্তীতে 10,000 পর্যন্ত n-এর সমস্ত মানের জন্য Fermat-এর শেষ উপপাদ্য প্রমাণ করেছিল।
1980-এর দশকে, স্যামুয়েল ওয়াগস্টাফ সীমা 25,000-এ উন্নীত করেছিলেন এবং 1990-এর দশকে, গণিতবিদরা ঘোষণা করেছিলেন যে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি 4 মিলিয়ন পর্যন্ত n-এর সমস্ত মানের জন্য সত্য। কিন্তু আপনি যদি অসীম থেকে এক ট্রিলিয়ন ট্রিলিয়নও বিয়োগ করেন তবে এটি ছোট হবে না। গণিতবিদরা পরিসংখ্যান দ্বারা বিশ্বাসী নন। মহান উপপাদ্য প্রমাণ করার অর্থ হল এটা প্রমাণ করা সকলের জন্য এবং অনন্তে যাচ্ছে।
1954 সালে, দুই তরুণ জাপানি গণিতবিদ বন্ধু মডুলার ফর্ম গবেষণা শুরু করেন। এই ফর্মগুলি সংখ্যার সিরিজ তৈরি করে, প্রতিটির নিজস্ব সিরিজ রয়েছে। দৈবক্রমে, তানিয়ামা উপবৃত্তাকার সমীকরণ দ্বারা উত্পন্ন সিরিজের সাথে এই সিরিজগুলির তুলনা করেছেন। তারা মিলেছে! কিন্তু মডুলার ফর্মগুলি জ্যামিতিক বস্তু, এবং উপবৃত্তাকার সমীকরণগুলি বীজগণিত। এই ধরনের বিভিন্ন বস্তুর মধ্যে কোন সংযোগ খুঁজে পাওয়া যায়নি.
যাইহোক, সাবধানে পরীক্ষার পর, বন্ধুরা একটি অনুমান তুলে ধরেন: প্রতিটি উপবৃত্তাকার সমীকরণের একটি যমজ থাকে - একটি মডুলার ফর্ম এবং এর বিপরীতে। এই অনুমানটিই গণিতে একটি সম্পূর্ণ দিকনির্দেশের ভিত্তি হয়ে ওঠে, কিন্তু তানিয়ামা-শিমুরা হাইপোথিসিসটি প্রমাণিত না হওয়া পর্যন্ত যে কোনও মুহূর্তে পুরো ভবনটি ধসে পড়তে পারে।
1984 সালে, গেরহার্ড ফ্রে দেখিয়েছিলেন যে ফার্মাটের সমীকরণের একটি সমাধান, যদি এটি বিদ্যমান থাকে তবে কিছু উপবৃত্তাকার সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে। দুই বছর পর, প্রফেসর কেন রিবেট প্রমাণ করলেন যে এই অনুমানমূলক সমীকরণের মডুলার জগতে কোনো প্রতিকূল থাকতে পারে না। এখন থেকে, ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি তানিয়ামা-শিমুরা অনুমানের সাথে অঙ্গাঙ্গীভাবে যুক্ত ছিল। যে কোন উপবৃত্তাকার বক্ররেখা মডুলার তা প্রমাণ করার পর, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে ফার্মাটের সমীকরণের সমাধান সহ কোন উপবৃত্তাকার সমীকরণ নেই এবং ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য অবিলম্বে প্রমাণিত হবে। কিন্তু ত্রিশ বছর ধরে তানিয়ামা-শিমুরা হাইপোথিসিস প্রমাণ করা সম্ভব হয়নি এবং সাফল্যের আশাও কম ছিল।
1963 সালে, যখন তিনি মাত্র দশ বছর বয়সী ছিলেন, অ্যান্ড্রু ওয়াইলস ইতিমধ্যে গণিত দ্বারা মুগ্ধ হয়েছিলেন। যখন তিনি মহান উপপাদ্য সম্পর্কে জানতে পেরেছিলেন, তিনি বুঝতে পেরেছিলেন যে তিনি এটি ছেড়ে দিতে পারবেন না। একজন স্কুলছাত্র, ছাত্র এবং স্নাতক ছাত্র হিসাবে, তিনি এই কাজের জন্য নিজেকে প্রস্তুত করেছিলেন।
কেন রিবেটের অনুসন্ধান সম্পর্কে জানার পর, ওয়াইলস তানিয়ামা-শিমুরা হাইপোথিসিস প্রমাণ করার জন্য মাথাচাড়া দিয়েছিলেন। তিনি সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্নতা এবং গোপনীয়তার মধ্যে কাজ করার সিদ্ধান্ত নেন। "আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের সাথে যা কিছু করার আছে তা খুব বেশি আগ্রহ জাগিয়ে তোলে... অনেক দর্শক অবশ্যই লক্ষ্য অর্জনে হস্তক্ষেপ করে।" সাত বছরের কঠোর পরিশ্রম ফল দিয়েছে, অবশেষে তানিয়ামা-শিমুরা অনুমানের প্রমাণ শেষ করলেন উইলস।
1993 সালে, ইংরেজ গণিতবিদ অ্যান্ড্রু ওয়াইলস বিশ্বের কাছে তার ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের প্রমাণ উপস্থাপন করেছিলেন (ওয়াইলস কেমব্রিজের স্যার আইজ্যাক নিউটন ইনস্টিটিউটে একটি সম্মেলনে তার চাঞ্চল্যকর গবেষণাপত্র পড়েছিলেন।), যার কাজটি সাত বছরেরও বেশি সময় ধরে চলেছিল।
সংবাদমাধ্যমে প্রচার অব্যাহত থাকার সময়, প্রমাণ যাচাই করার জন্য গুরুতর কাজ শুরু হয়েছিল। প্রমাণের প্রতিটি অংশকে অবশ্যই কঠোর এবং নির্ভুল হিসাবে বিবেচনা করার আগে সাবধানে পরীক্ষা করা উচিত। ওয়াইলস একটি অস্থির গ্রীষ্ম কাটিয়েছেন পর্যালোচকদের প্রতিক্রিয়ার অপেক্ষায়, এই আশায় যে তিনি তাদের অনুমোদন জিততে সক্ষম হবেন। আগস্টের শেষে, বিশেষজ্ঞরা এই রায়টিকে অপর্যাপ্ত প্রমাণিত বলে মনে করেন।
দেখা গেল যে এই সিদ্ধান্তে একটি স্থূল ত্রুটি রয়েছে, যদিও সাধারণভাবে এটি সঠিক। ওয়াইলস হাল ছেড়ে দেননি, সংখ্যা তত্ত্বের বিখ্যাত বিশেষজ্ঞ রিচার্ড টেলরের সাহায্যের জন্য ডাকেন এবং ইতিমধ্যে 1994 সালে তারা উপপাদ্যটির একটি সংশোধন এবং প্রসারিত প্রমাণ প্রকাশ করেছিলেন। সবচেয়ে আশ্চর্যজনক বিষয় হল এই কাজটি গাণিতিক জার্নাল "অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্স"-এ 130 (!) পৃষ্ঠা নিয়েছিল। তবে গল্পটি সেখানেও শেষ হয়নি - চূড়ান্ত বিন্দুটি কেবলমাত্র পরের বছর, 1995 সালে পৌঁছেছিল, যখন গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে চূড়ান্ত এবং "আদর্শ" প্রমাণের সংস্করণ প্রকাশিত হয়েছিল।
"...তার জন্মদিন উপলক্ষে উত্সব নৈশভোজ শুরুর আধা মিনিট পরে, আমি নাদিয়াকে সম্পূর্ণ প্রমাণের পাণ্ডুলিপি উপস্থাপন করেছি" (অ্যান্ড্রু ওয়েলস)। আমি কি এখনও বলিনি যে গণিতবিদরা অদ্ভুত মানুষ?
এবার প্রমাণ নিয়ে সন্দেহ রইল না। দুটি নিবন্ধ সবচেয়ে যত্নশীল বিশ্লেষণের শিকার হয়েছিল এবং 1995 সালের মে মাসে গণিতের অ্যানালস-এ প্রকাশিত হয়েছিল।
সেই মুহূর্ত থেকে অনেক সময় অতিবাহিত হয়েছে, কিন্তু সমাজে এখনও একটি মতামত রয়েছে যে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি অমীমাংসিত। তবে যারা প্রমাণ পাওয়া গেছে তারাও এই দিকে কাজ চালিয়ে যাচ্ছেন - খুব কম লোকই সন্তুষ্ট যে মহান উপপাদ্যটির জন্য 130 পৃষ্ঠার সমাধান প্রয়োজন!
অতএব, এখন অনেক গণিতবিদদের প্রচেষ্টা (বেশিরভাগ অপেশাদার, পেশাদার বিজ্ঞানী নয়) একটি সহজ এবং সংক্ষিপ্ত প্রমাণের সন্ধানে নিক্ষিপ্ত হয়, তবে এই পথটি সম্ভবত কোথাও নিয়ে যাবে না ...
উৎস
লেকচার 6. ফাংশন অধ্যয়নের জন্য ডেরিভেটিভের প্রয়োগ
যদি ফাংশন চ(এক্স) সেগমেন্টের প্রতিটি বিন্দুতে একটি ডেরিভেটিভ আছে [ ক, খ], তারপর ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে এর আচরণ অধ্যয়ন করা যেতে পারে চ"(এক্স).
আসুন ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যগুলি দেখি যা ডেরিভেটিভ অ্যাপ্লিকেশনগুলিকে অন্তর্নিহিত করে।
Fermat এর উপপাদ্য
উপপাদ্য(খামার) ( ডেরিভেটিভের শূন্য থেকে সমতা সম্পর্কে ). যদি ফাংশন চ(এক্স), ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য (ক, খ) এবং বিন্দু c-এ তার বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম মান পৌঁছায় є ( ক, খ), তাহলে এই পয়েন্টে ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্য, অর্থাৎ চ"(সঙ্গে) = 0.
প্রমাণ. ফাংশন যাক চ(এক্স) ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য ( ক, খ) এবং বিন্দুতে এক্স = সঙ্গেসবচেয়ে বড় মূল্য নেয় এমএ সঙ্গে є ( ক, খ) (চিত্র 1), i.e.
চ(সঙ্গে) ≥ চ(এক্স) বা চ(এক্স) – চ(গ) ≤ 0 বা চ(s +Δ এক্স) – চ(সঙ্গে) ≤ 0.
অমৌলিক চ"(এক্স) বিন্দুতে এক্স = সঙ্গে: .
যদি এক্স> গ, Δ এক্স> 0 (অর্থাৎ Δ এক্সবিন্দুর ডানদিকে → 0 সঙ্গে), যে 
এবং সেইজন্য চ"(সঙ্গে) ≤ 0.
যদি এক্স< с
, Δ এক্স< 0 (т.е. Δএক্সবিন্দুর বাম দিকে → 0 সঙ্গে), যে 
, যা থেকে এটি অনুসরণ করে চ"(সঙ্গে) ≥ 0.
শর্ত অনুসারে চ(এক্স) বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য সঙ্গে, অতএব, এর সীমা এক্স→ সঙ্গেযুক্তির পদ্ধতির দিকনির্দেশ পছন্দের উপর নির্ভর করে না এক্সযথাযথ সঙ্গে, অর্থাৎ .
আমরা একটি সিস্টেম প্রাপ্ত যা থেকে এটি অনুসরণ করে চ"(সঙ্গে) = 0.
ক্ষেত্রে চ(সঙ্গে) = টি(সেগুলো. চ(এক্সবিন্দুতে লাগে সঙ্গেক্ষুদ্রতম মান), প্রমাণটি অনুরূপ। উপপাদ্য প্রমাণিত।
Fermat এর উপপাদ্য জ্যামিতিক অর্থ: ব্যবধানের মধ্যে অর্জিত বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম মানের বিন্দুতে, ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল।
সুতরাং, ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য (প্রায়ই বলা হয় ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য), যা 1637 সালে উজ্জ্বল ফরাসি গণিতবিদ পিয়েরে ফার্মাট দ্বারা প্রণয়ন করা হয়েছিল, প্রকৃতিতে খুব সহজ এবং মাধ্যমিক শিক্ষার সাথে যে কারও কাছে বোধগম্য। এটি বলে যে সূত্র a থেকে n + b এর শক্তি থেকে n = c এর শক্তি থেকে n এর শক্তিতে n > 2 এর জন্য প্রাকৃতিক (অর্থাৎ ভগ্নাংশ নয়) সমাধান নেই। সবকিছু সহজ এবং পরিষ্কার বলে মনে হচ্ছে, কিন্তু সেরা গণিতবিদ এবং সাধারণ অপেশাদাররা সাড়ে তিন শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে সমাধানের জন্য লড়াই করেছিলেন।
কেন তিনি এত বিখ্যাত? এখন আমরা খুঁজে বের করব...
অনেক প্রমাণিত, অপ্রমাণিত এবং এখনও অপ্রমাণিত উপপাদ্য আছে? এখানে বিন্দু হল যে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি সূত্রের সরলতা এবং প্রমাণের জটিলতার মধ্যে সবচেয়ে বড় বৈসাদৃশ্য উপস্থাপন করে। ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি একটি অবিশ্বাস্যভাবে কঠিন সমস্যা, এবং এখনও এটির সূত্রটি উচ্চ বিদ্যালয়ের 5ম শ্রেণির যে কেউ বুঝতে পারে, তবে এমনকি প্রতিটি পেশাদার গণিতবিদও প্রমাণটি বুঝতে পারে না। না পদার্থবিদ্যা, না রসায়ন, না জীববিদ্যা, না গণিতে, এমন একটি সমস্যা আছে যা এত সহজভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে, কিন্তু এত দিন অমীমাংসিত থেকে যায়। 2. এটা কি নিয়ে গঠিত?
এর Pythagorean প্যান্ট সঙ্গে শুরু করা যাক শব্দ সত্যিই সহজ - প্রথম নজরে. আমরা শৈশব থেকেই জানি, "পিথাগোরিয়ান প্যান্ট সব দিকে সমান।" সমস্যাটি এত সহজ দেখায় কারণ এটি একটি গাণিতিক বিবৃতির উপর ভিত্তি করে ছিল যা সবাই জানে - পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য: যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের উপর নির্মিত বর্গটি পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
খ্রিস্টপূর্ব ৫ম শতাব্দীতে। পিথাগোরাস পিথাগোরিয়ান ভ্রাতৃত্ব প্রতিষ্ঠা করেছিলেন। পিথাগোরিয়ানরা, অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে, সমতা x²+y²=z²কে সন্তুষ্ট করে পূর্ণসংখ্যা ত্রিপল অধ্যয়ন করেছিল। তারা প্রমাণ করেছে যে অসীমভাবে অনেকগুলি পিথাগোরিয়ান ট্রিপল রয়েছে এবং তাদের সন্ধানের জন্য সাধারণ সূত্রগুলি পেয়েছে। তারা সম্ভবত সি এবং উচ্চতর ডিগ্রী খোঁজার চেষ্টা করেছিল। নিশ্চিত যে এটি কাজ করেনি, পিথাগোরিয়ানরা তাদের অকেজো প্রচেষ্টা পরিত্যাগ করেছিল। ভ্রাতৃত্বের সদস্যরা গণিতবিদদের চেয়ে বেশি দার্শনিক এবং নন্দনতাত্ত্বিক ছিলেন।
অর্থাৎ, x²+y²=z² সমতাকে পুরোপুরি সন্তুষ্ট করে এমন সংখ্যার সেট নির্বাচন করা সহজ।
3, 4, 5 থেকে শুরু করে - প্রকৃতপক্ষে, একজন জুনিয়র ছাত্র বুঝতে পারে যে 9 + 16 = 25।
অথবা 5, 12, 13: 25 + 144 = 169। দারুণ।
ইত্যাদি। যদি আমরা একটি অনুরূপ সমীকরণ x³+y³=z³ গ্রহণ করি? হয়তো এমন সংখ্যাও আছে?
এবং তাই (চিত্র 1)।
সুতরাং, দেখা যাচ্ছে যে তারা নয়। এখানেই কৌশল শুরু হয়। সরলতা স্পষ্ট, কারণ কিছুর উপস্থিতি প্রমাণ করা কঠিন, তবে বিপরীতভাবে, এর অনুপস্থিতি। যখন আপনাকে প্রমাণ করতে হবে যে একটি সমাধান আছে, আপনি এই সমাধানটি সহজভাবে উপস্থাপন করতে পারেন এবং করা উচিত।
অনুপস্থিতি প্রমাণ করা আরও কঠিন: উদাহরণস্বরূপ, কেউ বলেছেন: অমুক এবং অমুক সমীকরণের কোনও সমাধান নেই। তাকে একটি পুকুরে রাখবে? সহজ: বাম - এবং এটি এখানে, সমাধান! (সমাধান দিন)। আর তাতেই প্রতিপক্ষ পরাজিত হয়। কিভাবে অনুপস্থিতি প্রমাণ করতে?
বলুন: "আমি এই ধরনের সমাধান খুঁজে পাইনি"? অথবা হয়তো আপনি ভাল খুঁজছেন ছিল না? যদি তারা বিদ্যমান থাকে, শুধুমাত্র খুব বড়, খুব বড়, এমন কি যে এমনকি একটি অতি-শক্তিশালী কম্পিউটারের এখনও যথেষ্ট শক্তি নেই? এই কি কঠিন.
এটি দৃশ্যত এইভাবে দেখানো যেতে পারে: আপনি যদি উপযুক্ত আকারের দুটি বর্গক্ষেত্র নেন এবং সেগুলিকে একক বর্গক্ষেত্রে বিচ্ছিন্ন করেন, তাহলে এই একক বর্গক্ষেত্র থেকে আপনি একটি তৃতীয় বর্গক্ষেত্র পাবেন (চিত্র 2):
তবে আসুন তৃতীয় মাত্রার (চিত্র 3) সাথে একই কাজ করি - এটি কাজ করে না। পর্যাপ্ত কিউব নেই, বা অতিরিক্ত কিউব বাকি আছে:
কিন্তু 17 শতকের ফরাসি গণিতবিদ পিয়েরে ডি ফার্মাট উত্সাহের সাথে সাধারণ সমীকরণ x অধ্যয়ন করেছিলেন n +y n =z n . এবং অবশেষে, আমি উপসংহারে পৌঁছেছি: n>2 এর জন্য কোন পূর্ণসংখ্যা সমাধান নেই। Fermat এর প্রমাণ অপ্রতিরোধ্যভাবে হারিয়ে গেছে। পুড়ে যাচ্ছে পাণ্ডুলিপি! যা বাকি আছে তা হল ডায়োফ্যান্টাসের পাটিগণিতের তার মন্তব্য: "আমি এই প্রস্তাবের একটি সত্যই আশ্চর্যজনক প্রমাণ পেয়েছি, কিন্তু এখানে মার্জিনগুলি এটিকে ধারণ করার জন্য খুব সংকীর্ণ।"
প্রকৃতপক্ষে, প্রমাণ ছাড়া একটি উপপাদ্যকে হাইপোথিসিস বলা হয়। কিন্তু কখনও ভুল না করার জন্য Fermat এর খ্যাতি রয়েছে। এমনকি তিনি একটি বক্তব্যের প্রমাণ রেখে না গেলেও, এটি পরবর্তীতে নিশ্চিত করা হয়েছিল। তাছাড়া, Fermat n=4 এর জন্য তার থিসিস প্রমাণ করেছেন। এইভাবে, ফরাসি গণিতবিদদের অনুমান ইতিহাসে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য হিসাবে নেমে গেছে।
ফার্মাটের পরে, লিওনহার্ড অয়লারের মতো দুর্দান্ত মন একটি প্রমাণের সন্ধানে কাজ করেছিলেন (1770 সালে তিনি n = 3 এর জন্য একটি সমাধান প্রস্তাব করেছিলেন),
অ্যাড্রিয়েন লেজেন্ড্রে এবং জোহান ডিরিচলেট (এই বিজ্ঞানীরা যৌথভাবে 1825 সালে n = 5 এর প্রমাণ খুঁজে পেয়েছিলেন), গ্যাব্রিয়েল ল্যামে (যিনি n = 7 এর প্রমাণ খুঁজে পেয়েছিলেন) এবং আরও অনেকে। গত শতাব্দীর 80-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে, এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে বৈজ্ঞানিক জগৎ ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের চূড়ান্ত সমাধানের পথে, কিন্তু শুধুমাত্র 1993 সালে গণিতবিদরা দেখেছিলেন এবং বিশ্বাস করেছিলেন যে তিন শতাব্দীর মহাকাব্যের প্রমাণ অনুসন্ধান করা। ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি কার্যত শেষ হয়ে গেছে।
এটি সহজেই দেখানো হয়েছে যে এটি শুধুমাত্র সরল n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... এর জন্য Fermat-এর উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট। কিন্তু অসীমভাবে অনেক মৌলিক সংখ্যা আছে...
1825 সালে, সোফি জার্মেইনের পদ্ধতি ব্যবহার করে, মহিলা গণিতবিদ, ডিরিচলেট এবং কিংবদন্তি স্বাধীনভাবে n=5 এর উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন। 1839 সালে, একই পদ্ধতি ব্যবহার করে, ফরাসী গ্যাব্রিয়েল লেম n=7 এর উপপাদ্যটির সত্যতা দেখিয়েছিলেন। ধীরে ধীরে উপপাদ্যটি প্রায় সবকটির জন্য প্রমাণিত হয়েছিল একশরও কম।
অবশেষে, জার্মান গণিতবিদ আর্নস্ট কুমার, একটি উজ্জ্বল গবেষণায় দেখিয়েছেন যে 19 শতকের গণিতের পদ্ধতি ব্যবহার করে সাধারণভাবে উপপাদ্য প্রমাণ করা যায় না। 1847 সালে ফারম্যাটের উপপাদ্য প্রমাণের জন্য প্রতিষ্ঠিত ফ্রেঞ্চ একাডেমি অফ সায়েন্সেসের পুরস্কারটি অনাদায়ী থেকে যায়।
1907 সালে, ধনী জার্মান শিল্পপতি পল উলফস্কেল অপ্রত্যাশিত প্রেমের কারণে নিজের জীবন নেওয়ার সিদ্ধান্ত নেন। একজন সত্যিকারের জার্মানের মতো, তিনি আত্মহত্যার তারিখ এবং সময় নির্ধারণ করেছিলেন: ঠিক মধ্যরাতে। শেষ দিনে তিনি একটি উইল করেছিলেন এবং বন্ধুবান্ধব ও আত্মীয়দের কাছে চিঠি লিখেছিলেন। মাঝরাতের আগেই ঘটনা শেষ। এটা অবশ্যই বলা উচিত যে পল গণিতে আগ্রহী ছিলেন। আর কিছুই করার নেই, তিনি লাইব্রেরিতে গিয়ে কুমারের বিখ্যাত প্রবন্ধ পড়তে শুরু করলেন। হঠাৎ তার মনে হলো কুমার তার যুক্তিতে ভুল করেছে। উলফস্কেল তার হাতে একটি পেন্সিল নিয়ে নিবন্ধের এই অংশটি বিশ্লেষণ করতে শুরু করেছিলেন। মধ্যরাত পেরিয়ে সকাল হল। প্রমাণের শূন্যতা পূরণ হয়েছে। এবং আত্মহত্যার কারণটি এখন সম্পূর্ণ হাস্যকর বলে মনে হচ্ছে। পল তার বিদায়ের চিঠিগুলো ছিঁড়ে ফেললেন এবং তার উইলটা আবার লিখলেন।
শীঘ্রই তিনি প্রাকৃতিক কারণে মারা যান। উত্তরাধিকারীরা বেশ অবাক হয়েছিলেন: 100,000 মার্ক (1,000,000 বর্তমান পাউন্ড স্টার্লিং-এর বেশি) গটিংজেনের রয়্যাল সায়েন্টিফিক সোসাইটির অ্যাকাউন্টে স্থানান্তরিত হয়েছিল, যা একই বছরে ওল্ফস্কেল পুরস্কারের জন্য একটি প্রতিযোগিতার ঘোষণা করেছিল। যে ব্যক্তি Fermat এর উপপাদ্য প্রমাণ করেছে তাকে 100,000 নম্বর দেওয়া হয়েছিল। উপপাদ্য খণ্ডনের জন্য একটি পেফেনিগকে পুরস্কৃত করা হয়নি...
বেশিরভাগ পেশাদার গণিতবিদরা ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের প্রমাণের অনুসন্ধানকে একটি আশাহীন কাজ বলে মনে করেন এবং এই ধরনের অকেজো অনুশীলনে সময় নষ্ট করতে দৃঢ়ভাবে অস্বীকার করেছিলেন। কিন্তু অপেশাদারদের বিস্ফোরণ ছিল। ঘোষণার কয়েক সপ্তাহ পরে, "প্রমাণ" এর একটি তুষারপাত গটিংজেন বিশ্ববিদ্যালয়ে আঘাত হানে। প্রফেসর ই.এম. ল্যান্ডউ, যার দায়িত্ব ছিল প্রেরিত প্রমাণ বিশ্লেষণ করা, তিনি তার ছাত্রদের কার্ড বিতরণ করেছিলেন:
প্রিয়. . . . . . . .
Fermat's Last Theorem-এর প্রমাণ সহ আমাকে পাণ্ডুলিপি পাঠানোর জন্য ধন্যবাদ। প্রথম ত্রুটি পৃষ্ঠায়... লাইনে...। এর কারণে, পুরো প্রমাণটি তার বৈধতা হারায়।
প্রফেসর ই এম ল্যান্ডউ
1963 সালে, পল কোহেন, গোডেলের অনুসন্ধানের উপর নির্ভর করে, হিলবার্টের তেইশটি সমস্যার একটির অমীমাংসিততা প্রমাণ করেছিলেন - ধারাবাহিক অনুমান। যদি ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটিও সিদ্ধান্তহীন হয়?! কিন্তু প্রকৃত মহান উপপাদ্য ধর্মান্ধরা মোটেও হতাশ হননি। কম্পিউটারের আবির্ভাব হঠাৎ গণিতবিদদের প্রমাণের একটি নতুন পদ্ধতি দিয়েছিল। দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের পর, প্রোগ্রামার এবং গণিতবিদদের দল 500, তারপর 1,000 এবং পরবর্তীতে 10,000 পর্যন্ত n-এর সমস্ত মানের জন্য Fermat-এর শেষ উপপাদ্য প্রমাণ করেছিল।
1980-এর দশকে, স্যামুয়েল ওয়াগস্টাফ সীমা 25,000-এ উন্নীত করেছিলেন এবং 1990-এর দশকে, গণিতবিদরা ঘোষণা করেছিলেন যে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি 4 মিলিয়ন পর্যন্ত n-এর সমস্ত মানের জন্য সত্য। কিন্তু আপনি যদি অসীম থেকে এক ট্রিলিয়ন ট্রিলিয়নও বিয়োগ করেন তবে এটি ছোট হবে না। গণিতবিদরা পরিসংখ্যান দ্বারা বিশ্বাসী নন। মহান উপপাদ্য প্রমাণ করার অর্থ হল এটা প্রমাণ করা সকলের জন্য এবং অনন্তে যাচ্ছে।
1954 সালে, দুই তরুণ জাপানি গণিতবিদ বন্ধু মডুলার ফর্ম গবেষণা শুরু করেন। এই ফর্মগুলি সংখ্যার সিরিজ তৈরি করে, প্রতিটির নিজস্ব সিরিজ রয়েছে। দৈবক্রমে, তানিয়ামা উপবৃত্তাকার সমীকরণ দ্বারা উত্পন্ন সিরিজের সাথে এই সিরিজগুলির তুলনা করেছেন। তারা মিলেছে! কিন্তু মডুলার ফর্মগুলি জ্যামিতিক বস্তু, এবং উপবৃত্তাকার সমীকরণগুলি বীজগণিত। এই ধরনের বিভিন্ন বস্তুর মধ্যে কোন সংযোগ খুঁজে পাওয়া যায়নি.
যাইহোক, সাবধানে পরীক্ষার পর, বন্ধুরা একটি অনুমান তুলে ধরেন: প্রতিটি উপবৃত্তাকার সমীকরণের একটি যমজ থাকে - একটি মডুলার ফর্ম এবং এর বিপরীতে। এই অনুমানটিই গণিতের একটি সম্পূর্ণ দিকনির্দেশের ভিত্তি হয়ে ওঠে, কিন্তু তানিয়ামা-শিমুরা অনুমান প্রমাণিত না হওয়া পর্যন্ত যে কোনও মুহূর্তে পুরো ভবনটি ধসে পড়তে পারে।
1984 সালে, গেরহার্ড ফ্রে দেখিয়েছিলেন যে ফার্মাটের সমীকরণের একটি সমাধান, যদি এটি বিদ্যমান থাকে তবে কিছু উপবৃত্তাকার সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে। দুই বছর পর, প্রফেসর কেন রিবেট প্রমাণ করলেন যে এই অনুমানমূলক সমীকরণের মডুলার জগতে কোনো প্রতিকূল থাকতে পারে না। এখন থেকে, ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য তানিয়ামা-শিমুরা অনুমানের সাথে অবিচ্ছেদ্যভাবে যুক্ত ছিল। যে কোন উপবৃত্তাকার বক্ররেখা মডুলার তা প্রমাণ করার পর, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে ফার্মাটের সমীকরণের সমাধান সহ কোন উপবৃত্তাকার সমীকরণ নেই এবং ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য অবিলম্বে প্রমাণিত হবে। কিন্তু ত্রিশ বছর ধরে তানিয়ামা-শিমুরা হাইপোথিসিস প্রমাণ করা সম্ভব হয়নি এবং সাফল্যের আশাও কম ছিল।
1963 সালে, যখন তিনি মাত্র দশ বছর বয়সী ছিলেন, অ্যান্ড্রু ওয়াইলস ইতিমধ্যে গণিত দ্বারা মুগ্ধ হয়েছিলেন। যখন তিনি মহান উপপাদ্য সম্পর্কে জানতে পেরেছিলেন, তিনি বুঝতে পেরেছিলেন যে তিনি এটি ছেড়ে দিতে পারবেন না। একজন স্কুলছাত্র, ছাত্র এবং স্নাতক ছাত্র হিসাবে, তিনি এই কাজের জন্য নিজেকে প্রস্তুত করেছিলেন।
কেন রিবেটের অনুসন্ধান সম্পর্কে জানার পর, ওয়াইলস তানিয়ামা-শিমুরা অনুমান প্রমাণ করার জন্য মাথাচাড়া দিয়েছিলেন। তিনি সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্নতা এবং গোপনীয়তার মধ্যে কাজ করার সিদ্ধান্ত নেন। "আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের সাথে যা কিছু করার আছে তা খুব বেশি আগ্রহ জাগিয়ে তোলে... অনেক দর্শক অবশ্যই লক্ষ্য অর্জনে হস্তক্ষেপ করে।" সাত বছরের কঠোর পরিশ্রম শেষ পর্যন্ত তানিয়ামা-শিমুরা অনুমানের প্রমাণ সম্পন্ন করেছে।
1993 সালে, ইংরেজ গণিতবিদ অ্যান্ড্রু ওয়াইলস বিশ্বের কাছে তার ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের প্রমাণ উপস্থাপন করেছিলেন (ওয়াইলস কেমব্রিজের স্যার আইজ্যাক নিউটন ইনস্টিটিউটে একটি সম্মেলনে তার চাঞ্চল্যকর গবেষণাপত্র পড়েছিলেন।), যার কাজটি সাত বছরেরও বেশি সময় ধরে চলেছিল।
সংবাদমাধ্যমে প্রচার অব্যাহত থাকার সময়, প্রমাণ যাচাই করার জন্য গুরুতর কাজ শুরু হয়েছিল। প্রমাণের প্রতিটি অংশকে অবশ্যই কঠোর এবং নির্ভুল হিসাবে বিবেচনা করার আগে সাবধানে পরীক্ষা করা উচিত। ওয়াইলস একটি অস্থির গ্রীষ্ম কাটিয়েছেন পর্যালোচকদের প্রতিক্রিয়ার অপেক্ষায়, এই আশায় যে তিনি তাদের অনুমোদন জিততে সক্ষম হবেন। আগস্টের শেষে, বিশেষজ্ঞরা এই রায়টিকে অপর্যাপ্ত প্রমাণিত বলে মনে করেন।
দেখা গেল যে এই সিদ্ধান্তে একটি স্থূল ত্রুটি রয়েছে, যদিও সাধারণভাবে এটি সঠিক। ওয়াইলস হাল ছেড়ে দেননি, সংখ্যা তত্ত্বের বিখ্যাত বিশেষজ্ঞ রিচার্ড টেলরের সাহায্যের জন্য ডাকেন এবং ইতিমধ্যে 1994 সালে তারা উপপাদ্যটির একটি সংশোধন এবং প্রসারিত প্রমাণ প্রকাশ করেছিলেন। সবচেয়ে আশ্চর্যজনক বিষয় হল এই কাজটি গাণিতিক জার্নাল "অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্স"-এ 130 (!) পৃষ্ঠা নিয়েছিল। তবে গল্পটি সেখানেও শেষ হয়নি - চূড়ান্ত বিন্দুটি কেবলমাত্র পরের বছর, 1995 সালে পৌঁছেছিল, যখন গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে চূড়ান্ত এবং "আদর্শ" প্রমাণের সংস্করণ প্রকাশিত হয়েছিল।
"...তার জন্মদিন উপলক্ষে উত্সব নৈশভোজ শুরুর আধা মিনিট পরে, আমি নাদিয়াকে সম্পূর্ণ প্রমাণের পাণ্ডুলিপি উপস্থাপন করেছি" (অ্যান্ড্রু ওয়েলস)। আমি কি এখনও বলিনি যে গণিতবিদরা অদ্ভুত মানুষ?
এবার প্রমাণ নিয়ে সন্দেহ রইল না। দুটি নিবন্ধ সবচেয়ে যত্নশীল বিশ্লেষণের শিকার হয়েছিল এবং 1995 সালের মে মাসে গণিতের অ্যানালস-এ প্রকাশিত হয়েছিল।
সেই মুহূর্ত থেকে অনেক সময় অতিবাহিত হয়েছে, কিন্তু সমাজে এখনও একটি মতামত রয়েছে যে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি অমীমাংসিত। তবে যারা প্রমাণ পাওয়া গেছে তারাও এই দিকে কাজ চালিয়ে যাচ্ছেন - খুব কম লোকই সন্তুষ্ট যে মহান উপপাদ্যটির জন্য 130 পৃষ্ঠার সমাধান প্রয়োজন!
অতএব, এখন অনেক গণিতবিদদের প্রচেষ্টা (বেশিরভাগ অপেশাদার, পেশাদার বিজ্ঞানী নয়) একটি সহজ এবং সংক্ষিপ্ত প্রমাণের সন্ধানে নিক্ষিপ্ত হয়, তবে এই পথটি সম্ভবত কোথাও নিয়ে যাবে না ...
