বাড়ি প্রতিরোধ দ্বিঘাত ত্রিনামিক থেকে একটি নিখুঁত বর্গ। ফ্যাক্টরিং বহুপদ

দ্বিঘাত ত্রিনামিক থেকে একটি নিখুঁত বর্গ। ফ্যাক্টরিং বহুপদ

এই পাঠে, আমরা বহুপদী ফ্যাক্টরিংয়ের পূর্বে অধ্যয়ন করা সমস্ত পদ্ধতিগুলি স্মরণ করব এবং তাদের প্রয়োগের উদাহরণগুলি বিবেচনা করব, উপরন্তু, আমরা অধ্যয়ন করব নতুন পদ্ধতি- একটি সম্পূর্ণ বর্গ চিহ্নিত করার পদ্ধতি এবং বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে এটি কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা শিখুন।

বিষয়:ফ্যাক্টরিং বহুপদ

পাঠ:ফ্যাক্টরিং বহুপদ। একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করার পদ্ধতি। পদ্ধতির সমন্বয়

আসুন আমরা একটি বহুপদকে ফ্যাক্টর করার প্রাথমিক পদ্ধতিগুলি স্মরণ করি যা আগে অধ্যয়ন করা হয়েছিল:

বন্ধনীর বাইরে একটি সাধারণ গুণনীয়ক রাখার পদ্ধতি, অর্থাৎ, বহুপদীর সকল পদে উপস্থিত একটি গুণনীয়ক। আসুন একটি উদাহরণ দেখি:

মনে রাখবেন যে একটি মনোমিয়াল হল ক্ষমতা এবং সংখ্যার গুণফল। আমাদের উদাহরণে, উভয় পদের কিছু সাধারণ, অভিন্ন উপাদান রয়েছে।

সুতরাং, আসুন বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টরটি নেওয়া যাক:

;

আসুন আমরা আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে একটি বন্ধনী দ্বারা প্রাপ্ত গুণনীয়কটিকে গুণ করে, আপনি বের করা গুণকের সঠিকতা পরীক্ষা করতে পারেন।

গ্রুপিং পদ্ধতি। একটি বহুপদে একটি সাধারণ গুণনীয়ক বের করা সবসময় সম্ভব নয়। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে এর সদস্যদের এমনভাবে গ্রুপে ভাগ করতে হবে যাতে প্রতিটি গ্রুপে আপনি একটি সাধারণ ফ্যাক্টর বের করতে পারেন এবং এটিকে ভেঙে ফেলার চেষ্টা করতে পারেন যাতে গ্রুপগুলির ফ্যাক্টরগুলি বের করার পরে, একটি সাধারণ ফ্যাক্টর উপস্থিত হয়। সম্পূর্ণ অভিব্যক্তি, এবং আপনি পচন চালিয়ে যেতে পারেন। আসুন একটি উদাহরণ দেখি:

আসুন প্রথম পদটিকে চতুর্থটির সাথে, দ্বিতীয়টি পঞ্চমটির সাথে এবং তৃতীয়টি ষষ্ঠটির সাথে গ্রুপ করি:

আসুন গোষ্ঠীগুলির সাধারণ কারণগুলি বের করি:

অভিব্যক্তি এখন একটি সাধারণ ফ্যাক্টর আছে. আসুন এটি বের করা যাক:

সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রের প্রয়োগ। আসুন একটি উদাহরণ দেখি:

;

আসুন বিস্তারিতভাবে অভিব্যক্তি লিখুন:

স্পষ্টতই, আমাদের সামনে বর্গীয় পার্থক্যের সূত্র রয়েছে, যেহেতু এটি দুটি রাশির বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি এবং তাদের দ্বিগুণ গুণফল এটি থেকে বিয়োগ করা হয়েছে। আসুন সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

আজ আমরা আরেকটি পদ্ধতি শিখব - একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করার পদ্ধতি। এটি যোগফলের বর্গ এবং পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রের উপর ভিত্তি করে। আসুন তাদের মনে করিয়ে দিই:

যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র (পার্থক্য);

এই সূত্রগুলির বিশেষত্ব হল যে তারা দুটি রাশির বর্গক্ষেত্র এবং তাদের দ্বিগুণ গুণফল ধারণ করে। আসুন একটি উদাহরণ দেখি:

আসুন অভিব্যক্তিটি লিখি:

সুতরাং, প্রথম অভিব্যক্তি হল , এবং দ্বিতীয়টি হল।

একটি যোগফল বা পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের জন্য একটি সূত্র তৈরি করার জন্য, রাশির গুণফলের দ্বিগুণ যথেষ্ট নয়। এটি যোগ এবং বিয়োগ করা প্রয়োজন:

যোগফলের বর্গ পূর্ণ করা যাক:

আসুন ফলিত অভিব্যক্তিটি রূপান্তর করি:

আসুন বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক, মনে রাখবেন যে দুটি রাশির বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য হল এর গুণফল এবং তাদের পার্থক্যের যোগফল:

তাই, এই পদ্ধতিপ্রথমত, এই উদাহরণে কোন রাশিগুলিকে বর্গ করা হয়েছে তা নির্ণয় করা a এবং b বর্গাকৃতির রাশিগুলি চিহ্নিত করা প্রয়োজন। এর পরে, আপনাকে একটি দ্বিগুণ পণ্যের উপস্থিতি পরীক্ষা করতে হবে এবং যদি এটি সেখানে না থাকে তবে এটি যোগ এবং বিয়োগ করুন, এটি উদাহরণের অর্থ পরিবর্তন করবে না, তবে বহুপদীকে এর বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে সমষ্টি বা পার্থক্য এবং বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য, যদি সম্ভব হয়।

আসুন উদাহরণ সমাধানের দিকে এগিয়ে যাই।

উদাহরণ 1 - ফ্যাক্টরাইজ করুন:

চলুন বর্গাকার অভিব্যক্তি খুঁজে বের করা যাক:

তাদের দ্বিগুণ পণ্য কী হওয়া উচিত তা আমরা লিখি:

আসুন পণ্যটির দ্বিগুণ যোগ এবং বিয়োগ করি:

আসুন যোগফলের বর্গটি সম্পূর্ণ করি এবং অনুরূপগুলি দিই:

বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে এটি লিখি:

উদাহরণ 2 - সমীকরণটি সমাধান করুন:

;

সমীকরণের বাম দিকে একটি ত্রিনয়ক রয়েছে। আপনি এটি ফ্যাক্টর মধ্যে ফ্যাক্টর প্রয়োজন. আমরা বর্গীয় পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করি:

আমাদের কাছে প্রথম রাশির বর্গ এবং দ্বিগুণ গুণফল আছে, দ্বিতীয় রাশির বর্গটি অনুপস্থিত, আসুন এটি যোগ এবং বিয়োগ করি:

আসুন একটি সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্র ভাঁজ করি এবং অনুরূপ পদগুলি দিই:

বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য প্রয়োগ করা যাক:

তাই আমরা সমীকরণ আছে

আমরা জানি যে একটি পণ্য শূন্যের সমান তখনই যদি অন্তত একটি গুণনীয়ক শূন্যের সমান হয়। এর উপর ভিত্তি করে নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি তৈরি করা যাক:

আসুন প্রথম সমীকরণটি সমাধান করি:

দ্বিতীয় সমীকরণটি সমাধান করা যাক:

উত্তরঃ বা

;

আমরা আগের উদাহরণের অনুরূপভাবে এগিয়ে যাই - পার্থক্যের বর্গ নির্বাচন করুন।

x বলা হয়েছে

1.2.3। সংক্ষিপ্ত গুণের পরিচয় ব্যবহার করে

উদাহরণ। গুণনীয়ক x 4 16।

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4।

1.2.4। একটি বহুপদীকে এর শিকড় ব্যবহার করে ফ্যাক্টর করা

উপপাদ্য। বহুপদী P x এর মূল x 1 ধরা যাক। তারপর এই বহুপদীকে নিম্নরূপ ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে: P x x x 1 S x , যেখানে S x হল কিছু বহুপদী যার ডিগ্রি এক কম

মানগুলি পর্যায়ক্রমে P x এর অভিব্যক্তিতে। আমরা পাই যখন x 2 আপনি-

অভিব্যক্তিটি 0-তে পরিণত হবে, অর্থাৎ P 2 0, যার অর্থ x 2 একটি বহু-এর মূল।

সদস্য বহুপদী P x কে x 2 দ্বারা ভাগ করুন।

X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10 x

x2 x12

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3। একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করা হচ্ছে

একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করার পদ্ধতিটি সূত্রের ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2।

একটি সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করা হল একটি পরিচয় রূপান্তর যেখানে একটি প্রদত্ত ত্রিনমিকটি দ্বিপদীর বর্গক্ষেত্রের যোগফল বা পার্থক্য এবং কিছু সংখ্যাসূচক বা বর্ণানুক্রমিক অভিব্যক্তি b 2 হিসাবে উপস্থাপন করা হয়।

একটি ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিক ফর্মের একটি অভিব্যক্তি দেয়

ax 2 bx c , যেখানে a, b এবং c সংখ্যা দেওয়া হয়েছে এবং a 0।

চতুর্মুখী ত্রিনামিক ax 2 bx c কে নিম্নরূপ রূপান্তর করা যাক।

x2:

গুণাঙ্ক

তারপরে আমরা b x 2b x (গুণফলের দ্বিগুণ) হিসাবে প্রকাশ করি

x):a x

বন্ধনীর অভিব্যক্তিতে আমরা এটি থেকে সংখ্যা যোগ এবং বিয়োগ করি

যা একটি সংখ্যার বর্গ

ফলস্বরূপ আমরা পাই:

এখন সেটা লক্ষ্য করছি

আমরা পেতে

4a 2

উদাহরণ। একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন।

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7।

4 a 2,

1.4। বিভিন্ন ভেরিয়েবলে বহুপদ

একটি চলকের বহুপদীর মত বিভিন্ন চলকের বহুপদীকে যোগ করা যায়, গুণ করা যায় এবং একটি প্রাকৃতিক শক্তিতে উন্নীত করা যায়।

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি বহুপদীর একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিচয় রূপান্তর হল ফ্যাক্টরাইজেশন। এখানে, ফ্যাক্টরাইজেশনের এই ধরনের পদ্ধতিগুলি বন্ধনীর বাইরে সাধারণ ফ্যাক্টর স্থাপন, গোষ্ঠীকরণ, সংক্ষিপ্ত গুণিতক পরিচয় ব্যবহার করে, একটি সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করা এবং সহায়ক ভেরিয়েবল প্রবর্তন হিসাবে ব্যবহৃত হয়।

1. বহুপদী P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 গুণনীয়ক।

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2।

2. ফ্যাক্টর P x,y,z 20x 2 3yz 15xy 4xz। গ্রুপিং পদ্ধতি প্রয়োগ করা যাক

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z।

3. ফ্যাক্টর P x ,y x 4 4y 4। আসুন একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করি:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy।

1.5। যেকোন যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য

যেকোন যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

br 1

যেখানে a 0;b 0;r 1;r 2 হল নির্বিচারে মূলদ সংখ্যা।

1. 8 গুণ করুন

x 3 12x 7।

24 x 23।

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. ফ্যাক্টরাইজ করুন

একটি 2x 3

1.6. ব্যায়াম আপনার নিজের করা

1. সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করে কর্ম সম্পাদন করুন। 1)একটি 52;

2) 3 a 72 ;

3) একটি nb n2।

4) 1 x 3;

3 y 3;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. সংক্ষিপ্ত গুণের পরিচয় ব্যবহার করে গণনা করুন:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. পরিচয় প্রমাণ করুন:

1)। x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2।

4. নিম্নলিখিত বহুপদকে গুণিত করুন:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 টি 3 27 টি 6।

5. সবচেয়ে সহজ উপায়ে গণনা করুন:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. একটি বহুপদীর ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশ খুঁজুন P x বহুপদী দ্বারা Q x: 1) P x 2x 4 x 3 5; Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; প্রশ্ন x x4 4 x2।

7. বহুপদ প্রমাণ কর x 2 2x 2 এর কোনো প্রকৃত শিকড় নেই।

8. বহুপদীর মূল খুঁজুন:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15।

9. ফ্যাক্টর:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6।

10. একটি সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করে সমীকরণগুলি সমাধান করুন:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0।

11. অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. গণনা করুন:

16 0,25

16 0,25

আমি ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি, অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসে একটি ভগ্নাংশকে একীভূত করার জন্য কোন সুবিধাজনক সূত্র নেই। এবং তাই, একটি দুঃখজনক প্রবণতা রয়েছে: ভগ্নাংশটি যত বেশি পরিশীলিত, তার অবিচ্ছেদ্য খুঁজে পাওয়া তত বেশি কঠিন। এই বিষয়ে, আপনাকে বিভিন্ন কৌশল অবলম্বন করতে হবে, যা আমি এখন আপনাকে বলব। প্রস্তুত পাঠক অবিলম্বে সুবিধা নিতে পারেন সুচিপত্র:

  • সরল ভগ্নাংশের জন্য ডিফারেনশিয়াল সাইন সাবম করার পদ্ধতি

কৃত্রিম সংখ্যা রূপান্তর পদ্ধতি

উদাহরণ 1

যাইহোক, বিবেচিত অবিচ্ছেদ্যটি পরিবর্তনশীল পদ্ধতির পরিবর্তন দ্বারাও সমাধান করা যেতে পারে, নির্দেশ করে, তবে সমাধানটি লেখা অনেক দীর্ঘ হবে।

উদাহরণ 2

অনুসন্ধান অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. চেক সঞ্চালন.

এই জন্য একটি উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত. এটি উল্লেখ করা উচিত যে পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি এখানে আর কাজ করবে না।

মনোযোগ, গুরুত্বপূর্ণ! উদাহরণ নং 1, 2 সাধারণ এবং প্রায়শই ঘটে. বিশেষত, এই ধরনের অখণ্ডগুলি প্রায়শই অন্যান্য অখণ্ডগুলির সমাধানের সময় দেখা দেয়, বিশেষত, অযৌক্তিক ফাংশন (মূল) একীভূত করার সময়।

বিবেচিত কৌশলটি ক্ষেত্রেও কাজ করে যদি লবের সর্বোচ্চ ডিগ্রী হর এর সর্বোচ্চ ডিগ্রী থেকে বেশি হয়.

উদাহরণ 3

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন। চেক সঞ্চালন.

আমরা লব নির্বাচন করতে শুরু করি।

লব নির্বাচন করার জন্য অ্যালগরিদম এরকম কিছু:

1) অংকের মধ্যে আমাকে সাজাতে হবে, কিন্তু সেখানে। কি করো? আমি এটি বন্ধনীতে রাখি এবং দ্বারা গুণ করি:

2) এখন আমি এই বন্ধনী খোলার চেষ্টা, কি হয়? . হুম... এটা ভালো, কিন্তু লবটিতে প্রথমে দুটি নেই। কি করো? আপনাকে এর দ্বারা গুণ করতে হবে:

3) আমি আবার বন্ধনী খুলি: . এবং এখানে প্রথম সাফল্য! এটা ঠিক ঠিক পরিণত! কিন্তু সমস্যা হল একটি অতিরিক্ত শব্দ হাজির হয়েছে। কি করো? অভিব্যক্তিকে পরিবর্তন করা থেকে বিরত রাখতে, আমাকে অবশ্যই আমার নির্মাণে এটি যোগ করতে হবে:
. জীবন সহজ হয়েছে। লব আবার সংগঠিত করা সম্ভব?

4) এটা সম্ভব। আসুন চেষ্টা করি: . দ্বিতীয় মেয়াদের বন্ধনী খুলুন:
. দুঃখিত, কিন্তু পূর্ববর্তী ধাপে আমি আসলে ছিল, না. কি করো? আপনাকে দ্বিতীয় পদটি দ্বারা গুণ করতে হবে:

5) আবার, চেক করতে, আমি দ্বিতীয় মেয়াদে বন্ধনী খুলি:
. এখন এটা স্বাভাবিক: পয়েন্ট 3 এর চূড়ান্ত নির্মাণ থেকে উদ্ভূত! কিন্তু আবার একটি ছোট "কিন্তু" আছে, একটি অতিরিক্ত শব্দ উপস্থিত হয়েছে, যার মানে আমাকে আমার অভিব্যক্তিতে যোগ করতে হবে:

যদি সবকিছু সঠিকভাবে করা হয়, তাহলে আমরা যখন সমস্ত বন্ধনী খুলি তখন আমাদের ইন্টিগ্র্যান্ডের আসল লব পাওয়া উচিত। আমরা পরীক্ষা করি:
ঘোমটা.

এইভাবে:

প্রস্তুত. শেষ টার্মে, আমি একটি ডিফারেনশিয়ালের অধীনে একটি ফাংশন সাবসাম করার পদ্ধতি ব্যবহার করেছি।

যদি আমরা উত্তরের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই এবং অভিব্যক্তিটিকে একটি সাধারণ হর-এ কমিয়ে দেই, তাহলে আমরা ঠিক মূল ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশনটি পাব। একটি সমষ্টিতে পচনের বিবেচিত পদ্ধতিটি একটি সাধারণ হরকে একটি অভিব্যক্তি আনার বিপরীত ক্রিয়া ছাড়া আর কিছুই নয়।

এই ধরনের উদাহরণে লব নির্বাচন করার জন্য অ্যালগরিদম খসড়া আকারে সবচেয়ে ভাল করা হয়। কিছু দক্ষতা থাকলে এটি মানসিকভাবে কাজ করবে। আমার একটি রেকর্ড-ব্রেকিং কেস মনে আছে যখন আমি 11 তম পাওয়ারের জন্য একটি নির্বাচন করছিলাম, এবং অংকের প্রসারণটি ভার্ডের প্রায় দুটি লাইন নিয়েছিল।

উদাহরণ 4

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন। চেক সঞ্চালন.

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ।

সরল ভগ্নাংশের জন্য ডিফারেনশিয়াল সাইন সাবম করার পদ্ধতি

আসুন পরবর্তী প্রকারের ভগ্নাংশ বিবেচনা করার জন্য এগিয়ে যাই।
, , , (সহগ এবং শূন্যের সমান নয়)।

প্রকৃতপক্ষে, আর্কসাইন এবং আর্কটেনজেন্ট সহ কয়েকটি ক্ষেত্রে ইতিমধ্যে পাঠে উল্লেখ করা হয়েছে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য পরিবর্তনশীল পরিবর্তন পদ্ধতি. এই ধরনের উদাহরণগুলি ডিফারেনশিয়াল চিহ্নের অধীনে ফাংশনটি সাবমিট করে এবং একটি টেবিল ব্যবহার করে আরও একীভূত করে সমাধান করা হয়। এখানে আরেকটি সাধারণ উদাহরণদীর্ঘ এবং উচ্চ লগারিদম সহ:

উদাহরণ 5

উদাহরণ 6

এখানে অখণ্ডের একটি সারণী বাছাই করা বাঞ্ছনীয় এবং দেখুন কি সূত্র এবং কিভাবেরূপান্তর সঞ্চালিত হয়। বিঃদ্রঃ, কীভাবে এবং কেনএই উদাহরণগুলিতে বর্গক্ষেত্রগুলি হাইলাইট করা হয়েছে৷ বিশেষ করে, উদাহরণ 6-এ আমাদের প্রথমে হরকে ফর্মে উপস্থাপন করতে হবে , তারপর ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে আনুন। এবং স্ট্যান্ডার্ড ট্যাবুলার সূত্র ব্যবহার করার জন্য এই সব করা প্রয়োজন .

কেন দেখুন, উদাহরণ নং 7, 8 নিজে সমাধান করার চেষ্টা করুন, বিশেষত যেহেতু সেগুলি বেশ ছোট:

উদাহরণ 7

উদাহরণ 8

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন:

আপনি যদি এই উদাহরণগুলি পরীক্ষা করতেও পরিচালনা করেন তবে মহান সম্মান - আপনার পার্থক্য দক্ষতা দুর্দান্ত।

সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন পদ্ধতি

ফর্মের অবিচ্ছেদ্য অংশ (সহগ এবং শূন্যের সমান নয়) সমাধান করা হয় সম্পূর্ণ বর্গ নিষ্কাশন পদ্ধতি, যা ইতিমধ্যে পাঠে উপস্থিত হয়েছে৷ গ্রাফের জ্যামিতিক রূপান্তর.

প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের অখণ্ডগুলি আমরা এইমাত্র যে চারটি টেবুলার ইন্টিগ্রেলের দিকে তাকিয়েছি তার একটিতে হ্রাস করে। এবং এটি পরিচিত সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করে অর্জন করা হয়:

সূত্রগুলি এই দিকটিতে সুনির্দিষ্টভাবে প্রয়োগ করা হয়, অর্থাৎ, পদ্ধতির ধারণাটি কৃত্রিমভাবে হরগুলিতে অভিব্যক্তিগুলিকে সংগঠিত করা, এবং তারপর সেগুলিকে সেই অনুযায়ী রূপান্তর করা।

উদাহরণ 9

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

এই সহজ উদাহরণ, যা শব্দের সাথে - একক সহগ(এবং কিছু সংখ্যা বা বিয়োগ নয়)।

এর হর তাকান, এখানে পুরো বিষয়টি স্পষ্টভাবে সুযোগে নেমে আসে। আসুন হরকে রূপান্তর করা শুরু করি:

স্পষ্টতই, আপনাকে 4 যোগ করতে হবে। এবং, যাতে অভিব্যক্তি পরিবর্তন না হয়, একই চারটি বিয়োগ করুন:

এখন আপনি সূত্র প্রয়োগ করতে পারেন:

রূপান্তর সম্পন্ন হওয়ার পর সর্বদাএটা সঞ্চালন করার পরামর্শ দেওয়া হয় বিপরীত স্ট্রোক:, সবকিছু ঠিক আছে, কোন ত্রুটি নেই.

প্রশ্নে উদাহরণের চূড়ান্ত নকশাটি এইরকম দেখতে হবে:

প্রস্তুত. "ফ্রিবি" এর সারসংক্ষেপ জটিল ফাংশনডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে: , নীতিগতভাবে, উপেক্ষিত হতে পারে

উদাহরণ 10

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন:

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ, উত্তরটি পাঠের শেষে রয়েছে

উদাহরণ 11

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন:

সামনে মাইনাস থাকলে কি করবেন? এই ক্ষেত্রে, আমাদের বন্ধনী থেকে বিয়োগটি বের করতে হবে এবং আমাদের প্রয়োজন অনুসারে পদগুলি সাজাতে হবে: . ধ্রুবক("দুই" ইন এক্ষেত্রে) স্পর্শ করবেন না!

এখন আমরা বন্ধনীতে একটি যোগ করি। অভিব্যক্তি বিশ্লেষণ করে, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে আমাদের বন্ধনীর বাইরে একটি যোগ করতে হবে:

এখানে আমরা সূত্র পাই, প্রয়োগ করুন:

সর্বদাআমরা খসড়া পরীক্ষা করি:
, যা চেক করা প্রয়োজন ছিল.

পরিষ্কার উদাহরণ এই মত কিছু দেখায়:

কাজটিকে আরও কঠিন করা

উদাহরণ 12

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন:

এখানে শব্দটি আর একটি ইউনিট সহগ নয়, কিন্তু একটি "পাঁচ"।

(1) যদি একটি ধ্রুবক থাকে, তাহলে আমরা তা অবিলম্বে বন্ধনী থেকে বের করি।

(2) সাধারণভাবে, এই ধ্রুবকটিকে অবিচ্ছেদ্যের বাইরে সরানো সর্বদা ভাল যাতে এটি পথে না যায়।

(3) স্পষ্টতই, সবকিছু সূত্রে নেমে আসবে। আমাদের শব্দটি বুঝতে হবে, যথা, "দুটি" পেতে

(4) হ্যাঁ, . এর মানে হল যে আমরা অভিব্যক্তিতে যোগ করি এবং একই ভগ্নাংশ বিয়োগ করি।

(5) এখন একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন। ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেআমাদেরও গণনা করতে হবে, কিন্তু এখানে দীর্ঘ লগারিদমের সূত্র আছে , এবং কর্ম সম্পাদন করার কোন মানে নেই; কেন নীচে স্পষ্ট হবে।

(6) আসলে, আমরা সূত্রটি প্রয়োগ করতে পারি , শুধুমাত্র "X" এর পরিবর্তে আমাদের আছে , যা টেবিলের অবিচ্ছেদ্য বৈধতাকে অস্বীকার করে না। কঠোরভাবে বলতে গেলে, একটি ধাপ মিস করা হয়েছিল - ইন্টিগ্রেশনের আগে, ফাংশনটি ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে অন্তর্ভুক্ত করা উচিত ছিল: , কিন্তু, আমি বারবার উল্লেখ করেছি, এটি প্রায়ই উপেক্ষিত হয়।

(7) মূলের নীচে উত্তরে, সমস্ত বন্ধনীগুলিকে পিছনে প্রসারিত করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে:

কঠিন? এটি অখণ্ড ক্যালকুলাসের সবচেয়ে কঠিন অংশ নয়। যদিও, বিবেচনাধীন উদাহরণগুলি এত জটিল নয় কারণ তাদের ভাল কম্পিউটিং কৌশল প্রয়োজন।

উদাহরণ 13

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন:

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। উত্তরটি পাঠের শেষে রয়েছে।

হরটিতে শিকড় সহ পূর্ণাঙ্গ রয়েছে, যা একটি প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে বিবেচিত ধরণের পূর্ণাঙ্গে হ্রাস করা হয়; আপনি নিবন্ধে সেগুলি সম্পর্কে পড়তে পারেন জটিল অখণ্ড, কিন্তু এটা খুব প্রস্তুত ছাত্রদের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে.

ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে লব সাবসমিং

এটি পাঠের চূড়ান্ত অংশ, তবে, এই ধরণের অখণ্ডগুলি বেশ সাধারণ! আপনি যদি ক্লান্ত হয়ে থাকেন, তাহলে হয়তো আগামীকাল পড়া ভালো? ;)

আমরা যে অখণ্ডগুলি বিবেচনা করব সেগুলি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের অখণ্ডগুলির অনুরূপ, তাদের ফর্ম রয়েছে: অথবা (সহগ , এবং শূন্যের সমান নয়)।

অর্থাৎ আমাদের অংকের মধ্যে আছে লিনিয়ার ফাংশন. কিভাবে এই ধরনের integrals সমাধান?

অনলাইন ক্যালকুলেটর।
একটি দ্বিপদীর বর্গকে বিচ্ছিন্ন করা এবং একটি বর্গাকার ত্রিনমীয়কে গুণিত করা।

এই গণিত প্রোগ্রাম বর্গাকার দ্বিপদকে বর্গাকার ত্রিনমিক থেকে আলাদা করে, অর্থাৎ একটি রূপান্তর করে যেমন:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) এবং একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিককে ফ্যাক্টরাইজ করে: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

সেগুলো. \(p, q\) এবং \(n, m\) সংখ্যাগুলি খুঁজে পেতে সমস্যাগুলি ফুটে ওঠে

প্রোগ্রামটি শুধুমাত্র সমস্যার উত্তর দেয় না, তবে সমাধান প্রক্রিয়াও প্রদর্শন করে।

এই প্রোগ্রাম উচ্চ বিদ্যালয় ছাত্রদের জন্য দরকারী হতে পারে মাধ্যমিক বিদ্যালয়জন্য প্রস্তুতি পরীক্ষাএবং পরীক্ষা, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার আগে জ্ঞান পরীক্ষা করার সময়, অভিভাবকদের গণিত এবং বীজগণিতের অনেক সমস্যার সমাধান নিয়ন্ত্রণ করতে। অথবা হয়তো আপনার জন্য একজন গৃহশিক্ষক নিয়োগ করা বা নতুন পাঠ্যপুস্তক কেনা খুব ব্যয়বহুল? অথবা আপনি কি যত তাড়াতাড়ি সম্ভব এটি সম্পন্ন করতে চান? বাড়ির কাজগণিতে নাকি বীজগণিত? এই ক্ষেত্রে, আপনি বিস্তারিত সমাধান সহ আমাদের প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করতে পারেন।

এইভাবে, আপনি আপনার নিজের প্রশিক্ষণ এবং/অথবা আপনার ছোট ভাই বা বোনদের প্রশিক্ষণ পরিচালনা করতে পারেন, যখন সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে শিক্ষার স্তর বৃদ্ধি পায়।

আপনি যদি একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক প্রবেশের নিয়মগুলির সাথে পরিচিত না হন তবে আমরা সুপারিশ করি যে আপনি সেগুলির সাথে নিজেকে পরিচিত করুন৷

দ্বিঘাত বহুপদী প্রবেশের নিয়ম

যে কোনো ল্যাটিন অক্ষর পরিবর্তনশীল হিসেবে কাজ করতে পারে।
যেমন: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), ইত্যাদি।

সংখ্যা পূর্ণ বা ভগ্নাংশ সংখ্যা হিসাবে প্রবেশ করা যেতে পারে.
তদুপরি, ভগ্নাংশ সংখ্যাগুলি কেবল দশমিক আকারে নয়, একটি সাধারণ ভগ্নাংশের আকারেও প্রবেশ করা যেতে পারে।

দশমিক ভগ্নাংশ প্রবেশের নিয়ম।
দশমিকে ভগ্নাংশএকটি পিরিয়ড বা কমা দ্বারা সম্পূর্ণ থেকে আলাদা করা যেতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, আপনি প্রবেশ করতে পারেন দশমিকএইরকম: 2.5x - 3.5x^2

সাধারণ ভগ্নাংশ প্রবেশের নিয়ম।
শুধুমাত্র একটি পূর্ণ সংখ্যা একটি ভগ্নাংশের লব, হর এবং পূর্ণসংখ্যা হিসাবে কাজ করতে পারে।

হর নেতিবাচক হতে পারে না।

একটি সাংখ্যিক ভগ্নাংশ প্রবেশ করার সময়, লব একটি বিভাজন চিহ্ন দ্বারা হর থেকে পৃথক করা হয়: /
পুরো অংশএকটি অ্যাম্পারস্যান্ড দ্বারা ভগ্নাংশ থেকে পৃথক করা হয়েছে: &
ইনপুট: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
ফলাফল: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

একটি অভিব্যক্তি প্রবেশ করার সময় আপনি বন্ধনী ব্যবহার করতে পারেন. এই ক্ষেত্রে, সমাধান করার সময়, প্রবর্তিত অভিব্যক্তিটি প্রথমে সরলীকৃত হয়।
যেমন: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

একটি বিস্তারিত সমাধানের উদাহরণ

দ্বিপদীর বর্গকে বিচ্ছিন্ন করা।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ উত্তর:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ ফ্যাক্টরাইজেশন।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ উত্তর:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

সিদ্ধান্ত নিন

এটি আবিষ্কৃত হয়েছে যে এই সমস্যার সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় কিছু স্ক্রিপ্ট লোড করা হয়নি, এবং প্রোগ্রামটি কাজ নাও করতে পারে।
আপনি AdBlock সক্ষম হতে পারে.
এই ক্ষেত্রে, এটি নিষ্ক্রিয় করুন এবং পৃষ্ঠাটি রিফ্রেশ করুন।

আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট অক্ষম করা আছে।
সমাধানটি প্রদর্শিত হওয়ার জন্য, আপনাকে জাভাস্ক্রিপ্ট সক্ষম করতে হবে।
আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট কীভাবে সক্ষম করবেন তার নির্দেশাবলী এখানে রয়েছে৷

কারণ সমস্যা সমাধান করতে ইচ্ছুক অনেক মানুষ আছে, আপনার অনুরোধ সারিবদ্ধ করা হয়েছে.
কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে সমাধানটি নীচে প্রদর্শিত হবে।
অনুগ্রহপূর্বক অপেক্ষা করুন সেকেন্ড


আপনি যদি সমাধানে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেছি, তাহলে আপনি ফিডব্যাক ফর্মে এই বিষয়ে লিখতে পারেন।
ভুলে যেও না কোন কাজটি নির্দেশ করুনআপনি কি সিদ্ধান্ত নিন ক্ষেত্রগুলিতে প্রবেশ করুন.



আমাদের গেম, পাজল, এমুলেটর:

একটু তত্ত্ব।

একটি বর্গাকার ত্রিনমিক থেকে দ্বিপদীর বর্গকে বিচ্ছিন্ন করা

যদি বর্গাকার ট্রিনমিয়াল ax 2 +bx+c কে a(x+p) 2 +q হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, যেখানে p এবং q বাস্তব সংখ্যা, তাহলে আমরা বলি যে থেকে বর্গ ত্রিনমিক, দ্বিপদীর বর্গ হাইলাইট করা হয়.

ট্রিনোমিয়াল 2x 2 +12x+14 থেকে আমরা দ্বিপদটির বর্গ বের করি।


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


এটি করার জন্য, 6x কে 2*3*x এর গুণফল হিসাবে কল্পনা করুন এবং তারপর 3 2 যোগ এবং বিয়োগ করুন। আমরা পেতে:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

যে. আমরা বর্গাকার ত্রিনমিক থেকে বর্গ দ্বিপদী বের করুন, এবং দেখিয়েছেন যে:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

একটি দ্বিঘাত ত্রিকোণিক গুণিতক

যদি বর্গাকার ট্রিনমিয়াল ax 2 +bx+c a(x+n)(x+m) আকারে উপস্থাপিত হয়, যেখানে n এবং m বাস্তব সংখ্যা হয়, তাহলে অপারেশনটি সম্পাদিত হয়েছে বলে বলা হয় একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন.

এই রূপান্তরটি কীভাবে করা হয় তা একটি উদাহরণ দিয়ে দেখান।

চতুর্মুখী ত্রিনামিক 2x 2 +4x-6 গুণনীয়ক করা যাক।

আসুন বন্ধনীর বাইরে সহগটি নেওয়া যাক, যেমন 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

বন্ধনীতে এক্সপ্রেশন রুপান্তর করা যাক।
এটি করার জন্য, 2x কে পার্থক্য 3x-1x, এবং -3 কে -1*3 হিসাবে কল্পনা করুন। আমরা পেতে:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

যে. আমরা দ্বিঘাত ত্রিনামিক গুণিত, এবং দেখিয়েছেন যে:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

মনে রাখবেন যে একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক ফ্যাক্টরিং তখনই সম্ভব যখন, দ্বিঘাত সমীকরণ, এই trinomial অনুরূপ শিকড় আছে.
সেগুলো. আমাদের ক্ষেত্রে, দ্বিঘাত সমীকরণ 2x 2 +4x-6 =0 এর মূল থাকলে ত্রিনয়িক 2x 2 +4x-6 গুণনীয়ক করা সম্ভব। ফ্যাক্টরাইজেশন প্রক্রিয়ায়, আমরা প্রতিষ্ঠিত করেছি যে সমীকরণ 2x 2 + 4x-6 = 0 এর দুটি মূল রয়েছে 1 এবং -3, কারণ এই মানগুলির সাথে, সমীকরণ 2(x-1)(x+3)=0 একটি সত্য সমতায় পরিণত হয়।

বই (পাঠ্যপুস্তক) ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশনের অ্যাবস্ট্রাক্ট এবং ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন পরীক্ষার অনলাইন গেমস, পাজল ফাংশনের গ্রাফ প্লট করা রাশিয়ান ভাষার বানান অভিধান ইউথ স্ল্যাং এর অভিধান রাশিয়ান স্কুলের ক্যাটালগ রাশিয়ার মাধ্যমিক শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের ক্যাটালগ রাশিয়ান বিশ্ববিদ্যালয়ের তালিকা কাজের

সংজ্ঞা

2 x 2 + 3 x + 5 ফর্মের অভিব্যক্তিকে দ্বিঘাত ত্রিনয়ক বলা হয়। সাধারণভাবে, একটি বর্গাকার ত্রিনামিক হল একটি x 2 + b x + c ফর্মের একটি অভিব্যক্তি, যেখানে a, b, c a, b, c হল নির্বিচারে সংখ্যা এবং a ≠ 0।

দ্বিঘাত ত্রিনামিক x 2 - 4 x + 5 বিবেচনা করুন। আসুন এটি এই ফর্মে লিখি: x 2 - 2 · 2 · x + 5। আসুন এই রাশিটির সাথে 2 2 যোগ করি এবং 2 2 বিয়োগ করি, আমরা পাই: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5। মনে রাখবেন x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, সুতরাং x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 । আমরা যে রূপান্তর তৈরি করেছি তাকে বলা হয় "একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক থেকে একটি নিখুঁত বর্গকে বিচ্ছিন্ন করা".

দ্বিঘাত ত্রিনামিক 9 x 2 + 3 x + 1 থেকে নিখুঁত বর্গ নির্ণয় কর।

দ্রষ্টব্য যে 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`। তারপর `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`। ফলে প্রাপ্ত রাশিতে `(1/2)^2` যোগ এবং বিয়োগ করুন, আমরা পাই

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`।

আমরা দেখাব কীভাবে একটি দ্বিঘাত ত্রিনমিক থেকে একটি নিখুঁত বর্গকে বিচ্ছিন্ন করার পদ্ধতিটি একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিককে ফ্যাক্টরাইজ করতে ব্যবহৃত হয়।

দ্বিঘাত ত্রিনামিক 4 x 2 - 12 x + 5 গুণনীয়ক।

আমরা দ্বিঘাত ত্রিনামিক থেকে নিখুঁত বর্গ নির্বাচন করি: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2। এখন আমরা a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) সূত্রটি প্রয়োগ করি, আমরা পাই: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1)।

দ্বিঘাত ত্রিনামিক গুণনীয়ক - 9 x 2 + 12 x + 5।

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5। এখন আমরা লক্ষ্য করি যে 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2।

আমরা 9 ​​x 2 - 12 x অভিব্যক্তিতে 2 2 শব্দটি যোগ করি, আমরা পাই:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2

আমরা বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের জন্য সূত্র প্রয়োগ করি, আমাদের আছে:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1)।

দ্বিঘাত ত্রিনামিক 3 x 2 - 14 x - 5 গুণনীয়ক।

আমরা 3 x 2 রাশিটিকে কিছু রাশির বর্গ হিসাবে উপস্থাপন করতে পারি না, কারণ আমরা এখনও স্কুলে এটি অধ্যয়ন করিনি। আপনি পরে এটির মধ্য দিয়ে যাবেন, এবং টাস্ক নং 4 এ আমরা অধ্যয়ন করব বর্গমূল. চলুন দেখাই কিভাবে আপনি একটি প্রদত্ত দ্বিঘাত ত্রিনামিককে ফ্যাক্টর করতে পারেন:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `।

একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়কের সবচেয়ে বড় বা ক্ষুদ্রতম মান খুঁজে পেতে কীভাবে নিখুঁত বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করতে হয় তা আমরা আপনাকে দেখাব।
দ্বিঘাত ত্রিনামিক x 2 - x + 3 বিবেচনা করুন। একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`। মনে রাখবেন যখন `x=1/2` দ্বিঘাত ত্রিনয়কের মান `11/4` হয়, এবং যখন `x!=1/2` একটি ধনাত্মক সংখ্যা `11/4` এর মানের সাথে যোগ করা হয়, তাই আমরা `11/4` এর থেকে বড় একটি সংখ্যা পান। এইভাবে, ক্ষুদ্রতম মানদ্বিঘাত ত্রিনামিক হল `11/4` এবং এটি প্রাপ্ত হয় যখন `x=1/2`।

দ্বিঘাত ত্রিনয়কের বৃহত্তম মান নির্ণয় কর - 16 2 + 8 x + 6।

আমরা একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক থেকে একটি নিখুঁত বর্গ নির্বাচন করি: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7।

যখন `x=1/4` দ্বিঘাত ত্রিনয়কের মান 7 হয়, এবং যখন `x!=1/4` একটি ধনাত্মক সংখ্যা 7 নম্বর থেকে বিয়োগ করা হয়, অর্থাৎ, আমরা 7 থেকে কম একটি সংখ্যা পাই। তাই 7 নম্বর সর্বোচ্চ মানদ্বিঘাত ত্রিনামিক, এবং এটি প্রাপ্ত হয় যখন `x=1/4`।

ভগ্নাংশের লব এবং হর নির্ণয় করুন `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` এবং ভগ্নাংশটি হ্রাস করুন।

উল্লেখ্য, ভগ্নাংশের হর x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2। একটি বর্গাকার ত্রিনামিক থেকে একটি সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করার পদ্ধতি ব্যবহার করে ভগ্নাংশের লব গুণনীয়ক করা যাক। x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3)।

এই ভগ্নাংশটি `(x+5)(x-3))/(x-3)^2` আকারে হ্রাস করা হয়েছিল (x - 3) দ্বারা হ্রাস করার পরে আমরা `(x+5)/(x-3) পাই )`।

বহুপদী x 4 - 13 x 2 + 36 গুণনীয়ক।

আসুন এই বহুপদে একটি সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করার পদ্ধতি প্রয়োগ করি। `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



সাইটে নতুন

>

সবচেয়ে জনপ্রিয়

© 2023. ডেন্টাল কনসালটেশন পোর্টাল।

জনপ্রিয় বিভাগ