বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের সীমা। একটি extremum জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত. একটি extremum জন্য যথেষ্ট শর্ত. শর্তাধীন চরম. Lagrange গুণক পদ্ধতি। বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান খোঁজা.

লেকচার 5।

সংজ্ঞা 5.1।ডট M 0 (x 0, y 0)ডাকা সর্বোচ্চ পয়েন্টফাংশন z = f (x, y),যদি f (x o, y o) > f(x,y)সব পয়েন্টের জন্য (x, y) M 0.

সংজ্ঞা 5.2।ডট M 0 (x 0, y 0)ডাকা সর্বনিম্ন পয়েন্টফাংশন z = f (x, y),যদি f (x o, y o) < f(x,y)সব পয়েন্টের জন্য (x, y)একটি বিন্দুর কিছু পাড়া থেকে M 0.

দ্রষ্টব্য 1. সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট বলা হয় চরম পয়েন্টবিভিন্ন ভেরিয়েবলের ফাংশন।

মন্তব্য 2. যেকোনো সংখ্যক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য চরম বিন্দু একইভাবে নির্ধারিত হয়।

উপপাদ্য 5.1 (প্রয়োজনীয় শর্তাবলীচরম)। যদি M 0 (x 0, y 0)- ফাংশনের চরম বিন্দু z = f (x, y),তারপর এই সময়ে এই ফাংশনের প্রথম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই৷

প্রমাণ।

চলকের মান ঠিক করা যাক এ, গণনা y = y 0. তারপর ফাংশন f (x, y 0)একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হবে এক্স, কিসের জন্য x = x 0চরম বিন্দু হয়. অতএব, Fermat এর উপপাদ্য দ্বারা, বা বিদ্যমান নেই. একই বিবৃতি জন্য একইভাবে প্রমাণিত হয়.

সংজ্ঞা 5.3।কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ডোমেইনের অন্তর্গত বিন্দু যেখানে ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই তাকে বলা হয় স্থির পয়েন্টএই ফাংশন।

মন্তব্য করুন। সুতরাং, প্রান্তটি কেবল স্থির বিন্দুতে পৌঁছানো যেতে পারে, তবে তাদের প্রতিটিতে এটি অগত্যা পরিলক্ষিত হয় না।

উপপাদ্য 5.2(একটি চরমের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত)। বিন্দু কিছু আশেপাশে যাক M 0 (x 0, y 0), যা ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু z = f (x, y),এই ফাংশনটিতে 3য় ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে। আসুন তাহলে বোঝাই:

1) f(x,y)পয়েন্ট এ আছে M 0সর্বোচ্চ যদি এসি-বি² > 0, ক < 0;

2) f(x,y)পয়েন্ট এ আছে M 0সর্বনিম্ন যদি এসি-বি² > 0, ক > 0;

3) গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে কোন চরমপন্থা নেই যদি এসি-বি² < 0;

4) যদি এসি-বি² = 0, আরও গবেষণা প্রয়োজন।

প্রমাণ।

ফাংশনের জন্য দ্বিতীয় ক্রম টেলর সূত্র লিখি f(x,y),মনে রাখবেন যে একটি স্থির বিন্দুতে প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান:

কোথায় যদি সেগমেন্টের মধ্যে কোণ থাকে M 0 M, কোথায় M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ এ), এবং O অক্ষ এক্সφ বোঝান, তারপর Δ x =Δ ρ কারণ φ, Δ y =Δρsinφ এই ক্ষেত্রে, টেলরের সূত্রটি ফর্মটি গ্রহণ করবে: . চলুন তাহলে আমরা বন্ধনীতে থাকা এক্সপ্রেশনটিকে দ্বারা ভাগ ও গুণ করতে পারি ক. আমরা পেতে:

এখন চারটি বিবেচনা করা যাক সম্ভাব্য ক্ষেত্রে:

1) এসি-বি² > 0, ক < 0. Тогда , и যথেষ্ট ছোট Δρ এ। অতএব, কিছু পাড়ায় M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), এটাই M 0- সর্বোচ্চ পয়েন্ট।

2) যাক এসি-বি² > 0, A > 0।তারপর , এবং M 0- সর্বনিম্ন পয়েন্ট।

3) যাক এসি-বি² < 0, ক> 0. রশ্মি φ = 0 বরাবর আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি বিবেচনা করুন। তারপর (5.1) থেকে এটি অনুসরণ করে , অর্থাৎ, এই রশ্মির সাথে চলার সময়, ফাংশন বৃদ্ধি পায়। যদি আমরা একটি রশ্মি বরাবর অগ্রসর হই যেমন tg φ 0 = -A/B,যে , অতএব, এই রশ্মির সাথে চলার সময়, ফাংশন হ্রাস পায়। সুতরাং, সময়কাল M 0একটি চরম বিন্দু না.

3`) কখন এসি-বি² < 0, ক < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

আগেরটির মতো।

3``) যদি এসি-বি² < 0, ক= 0, তারপর। যার মধ্যে. তারপর যথেষ্ট ছোট φ এক্সপ্রেশন 2 এর জন্য খ cosφ + গ sinφ 2 এর কাছাকাছি ভিতরে, অর্থাৎ, এটি একটি ধ্রুবক চিহ্ন ধরে রাখে, কিন্তু sinφ বিন্দুর আশেপাশে চিহ্ন পরিবর্তন করে এম 0।এর মানে হল যে ফাংশনের বৃদ্ধি একটি স্থির বিন্দুর আশেপাশে সাইন পরিবর্তন করে, যা তাই একটি চরম বিন্দু নয়।

4) যদি এসি-বি² = 0, এবং , , অর্থাৎ, বৃদ্ধির চিহ্নটি 2α 0 চিহ্ন দ্বারা নির্ধারিত হয়। একই সময়ে, একটি এক্সট্রিমামের অস্তিত্বের প্রশ্নটি স্পষ্ট করার জন্য আরও গবেষণা প্রয়োজন।

উদাহরণ। চলুন ফাংশনের চরম বিন্দুগুলো খুঁজে বের করা যাক z = x² - 2 xy + 2y² + 2 এক্স.স্থির পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে, আমরা সিস্টেমটি সমাধান করি . সুতরাং, স্থির বিন্দু হল (-2,-1)। যার মধ্যে ক = 2, ভিতরে = -2, সঙ্গে= 4. তারপর এসি-বি² = 4 > 0, অতএব, একটি স্থির বিন্দুতে একটি চরমে পৌঁছে যায়, যথা ন্যূনতম (যেহেতু ক > 0).

সংজ্ঞা 5.4।যদি ফাংশন আর্গুমেন্ট f (x 1 , x 2 ,…, x n)সংযুক্ত অতিরিক্ত শর্তসমূহহিসাবে মিসমীকরণ ( মি< n) :

φ 1 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, …, φ মি ( x 1, x 2, …, x n) = 0, (5.2)

যেখানে ফাংশন φ i ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ আছে, তখন সমীকরণ (5.2) বলা হয় সংযোগ সমীকরণ.

সংজ্ঞা 5.5।ফাংশন এর চরম f (x 1 , x 2 ,…, x n)যখন শর্ত (5.2) পূরণ করা হয়, এটি বলা হয় শর্তাধীন চরম.

মন্তব্য করুন। আমরা দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের নিম্নলিখিত জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিতে পারি: ফাংশনের আর্গুমেন্টগুলি যাক f(x,y)φ সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত (x,y)= 0, O সমতলে কিছু বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করা xy. এই বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দু থেকে সমতল O-তে লম্ব পুনর্গঠন xyযতক্ষণ না এটি পৃষ্ঠের সাথে ছেদ করে z = f (x,y),আমরা বক্ররেখার উপরে পৃষ্ঠে থাকা একটি স্থানিক বক্ররেখা পাই φ (x,y)= 0. কাজটি হল ফলাফল বক্ররেখার চরম বিন্দুগুলি খুঁজে বের করা, যা অবশ্যই, সাধারণ ক্ষেত্রেফাংশনের শর্তহীন চরম বিন্দুর সাথে মিলিত হবে না f(x,y)।

আসুন আমরা প্রথমে নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি প্রবর্তন করে দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমামের প্রয়োজনীয় শর্তগুলি নির্ধারণ করি:

সংজ্ঞা 5.6।ফাংশন L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

কোথায় λi -কিছু ধ্রুবক, বলা হয় ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন, এবং সংখ্যা λi– অনির্দিষ্ট Lagrange গুণক.

উপপাদ্য 5.3(কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। একটি ফাংশনের শর্তাধীন প্রান্ত z = f (x, y)কাপলিং সমীকরণের উপস্থিতিতে φ ( x, y)= 0 শুধুমাত্র Lagrange ফাংশনের স্থির বিন্দুতে অর্জন করা যেতে পারে L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y)।

প্রমাণ। কাপলিং সমীকরণ একটি অন্তর্নিহিত নির্ভরতা নির্দিষ্ট করে এথেকে এক্সতাই আমরা ধরে নেব যে এথেকে একটি ফাংশন আছে এক্স: y = y(x)।তারপর zথেকে একটি জটিল ফাংশন আছে এক্স, এবং এর সমালোচনামূলক পয়েন্ট শর্ত দ্বারা নির্ধারিত হয়: . (5.4) কাপলিং সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে . (5.5)

আসুন সমতা (5.5) কে কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণ করি এবং (5.4) এর সাথে যোগ করি। আমরা পেতে:

, বা

শেষ সমতা অবশ্যই স্থির বিন্দুতে সন্তুষ্ট হতে হবে, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে:

(5.6)

তিনটি অজানা জন্য তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাওয়া যায়: x, yএবং λ, এবং প্রথম দুটি সমীকরণ হল Lagrange ফাংশনের স্থির বিন্দুর শর্ত। সিস্টেম (5.6) থেকে অক্জিলিয়ারী অজানা λ বাদ দিয়ে, আমরা বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই যেখানে মূল ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম থাকতে পারে।

মন্তব্য 1. থিওরেম 5.2 এর সাথে সাদৃশ্য দ্বারা ল্যাগ্রঞ্জ ফাংশনের দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি অধ্যয়ন করে পাওয়া বিন্দুতে একটি শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের উপস্থিতি পরীক্ষা করা যেতে পারে।

মন্তব্য 2. পয়েন্ট যেখানে ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তে পৌঁছানো যেতে পারে f (x 1 , x 2 ,…, x n)যখন শর্তগুলি (5.2) পূরণ হয়, তখন সিস্টেমের সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (5.7)

উদাহরণ। চলুন ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম খুঁজে বের করা যাক z = xyদেত্তয়া আছে x + y= 1. এবার Lagrange ফাংশন রচনা করি L(x, y) = xy + λ (x + y – 1)। সিস্টেম (5.6) এর মত দেখাচ্ছে:

যেখানে -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5। যার মধ্যে L(x,y)ফর্মে উপস্থাপন করা যেতে পারে L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, তাই পাওয়া স্থির বিন্দুতে L(x,y)সর্বোচ্চ আছে এবং z = xy -শর্তাধীন সর্বোচ্চ।

শর্তাধীন চরম।

বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমা

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি।

FNP এর স্থানীয় চরমপন্থা

ফাংশন দেওয়া যাক এবং= চ(P), РÎDÌR nএবং বিন্দু P 0 দিন ( ক 1 , ক 2 , ..., একটি পি) –অভ্যন্তরীণসেট ডি পয়েন্ট

সংজ্ঞা 9.4।

1) বিন্দু P 0 বলা হয় সর্বোচ্চ পয়েন্ট ফাংশন এবং= চ(P), যদি এই বিন্দু U(P 0) М D এর কোনো আশেপাশের এলাকা থাকে যে কোনো বিন্দুর জন্য P( এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , শর্তটি সন্তুষ্ট চ(P) £ চ(পি 0)। অর্থ চ(P 0) সর্বাধিক বিন্দুতে ফাংশন বলা হয় ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং মনোনীত করা হয় চ(P0) = সর্বোচ্চ চ(পি)।

2) বিন্দু P 0 বলা হয় সর্বনিম্ন পয়েন্ট ফাংশন এবং= চ(P), যদি এই বিন্দু U(P 0)Ì D এর কোনো প্রতিবেশী থাকে যে কোনো বিন্দুর জন্য P( এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x n)OU(P 0), Р¹Р 0 , শর্তটি সন্তুষ্ট চ(P)³ চ(পি 0)। অর্থ চ(P 0) ন্যূনতম বিন্দুতে ফাংশন বলা হয় ন্যূনতম ফাংশন এবং মনোনীত করা হয় চ(P 0) = মিনিট চ(পি)।

একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয় চরম পয়েন্ট, এক্সট্রিমা পয়েন্টে ফাংশনের মানগুলিকে বলা হয় ফাংশনের চরম

সংজ্ঞা থেকে নিম্নরূপ, অসমতা চ(P) £ চ(P 0), চ(P)³ চ(P 0) শুধুমাত্র P 0 বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট আশেপাশে সন্তুষ্ট হতে হবে, এবং ফাংশনের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেনে নয়, যার মানে হল যে ফাংশনের একই ধরণের একাধিক এক্সট্রিমা থাকতে পারে (অনেক মিনিমা, বেশ কয়েকটি ম্যাক্সিমা) . অতএব, উপরে সংজ্ঞায়িত চরম বলা হয় স্থানীয়(স্থানীয়) চরম।

উপপাদ্য 9.1 (FNP এর চরম অংশের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)

যদি ফাংশন এবং= চ(এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x n) P 0 বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম্যাম আছে, তাহলে এই বিন্দুতে এর প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি হয় শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই।

প্রমাণ।ধরুন বিন্দু P 0 ( ক 1 , ক 2 , ..., একটি পি) ফাংশন এবং= চ(P) এর একটি এক্সট্রিম আছে, উদাহরণস্বরূপ, একটি সর্বোচ্চ। এর যুক্তিগুলো ঠিক করা যাক এক্স 2 , ..., x n, বসানো এক্স 2 =ক 2 ,..., x n = একটি পি. তারপর এবং= চ(P) = চ 1 ((এক্স 1 , ক 2 , ..., একটি পি) একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন এক্স 1 যেহেতু এই ফাংশন আছে এক্স 1 = ক 1 extremum (সর্বোচ্চ), তারপর চ 1 ¢=0 বা যখন অস্তিত্ব নেই এক্স 1 =ক 1 (একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমিয়ামের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত)। কিন্তু, এর মানে বা বিন্দু P 0-এ বিদ্যমান নেই - চরম বিন্দু। একইভাবে, আমরা অন্যান্য ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভ বিবেচনা করতে পারি। সিটিডি।

একটি ফাংশনের ডোমেইনের বিন্দু যেখানে প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই তাকে বলা হয় সমালোচনামূলক পয়েন্ট এই ফাংশন।

উপপাদ্য 9.1 থেকে নিম্নরূপ, FNP-এর চরম বিন্দুগুলি ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলির মধ্যে চাওয়া উচিত। কিন্তু, একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হিসাবে, প্রতিটি সমালোচনামূলক বিন্দু একটি চরম বিন্দু নয়।

উপপাদ্য 9.2 (FNP এর চরম অংশের জন্য যথেষ্ট শর্ত)

ধরুন P 0 ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু এবং= চ(P) এবং এই ফাংশনের দ্বিতীয় অর্ডার ডিফারেনশিয়াল। তারপর

এবং যদি d 2 u(P 0) > 0 এ, তারপর P 0 একটি বিন্দু সর্বনিম্নফাংশন এবং= চ(পি);

খ) যদি d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка সর্বোচ্চফাংশন এবং= চ(পি);

গ) যদি d 2 u(P 0) চিহ্ন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় না, তাহলে P 0 একটি চরম বিন্দু নয়;

আমরা প্রমাণ ছাড়াই এই উপপাদ্য বিবেচনা করব।

উল্লেখ্য যে উপপাদ্য যখন ক্ষেত্রে বিবেচনা করে না d 2 u(P 0) = 0 বা বিদ্যমান নেই। এর মানে হল যে এই ধরনের পরিস্থিতিতে P 0 বিন্দুতে একটি এক্সট্রিমিয়ামের উপস্থিতির প্রশ্নটি খোলা থাকে - আমাদের প্রয়োজন অতিরিক্ত গবেষণা, উদাহরণস্বরূপ, এই সময়ে একটি ফাংশনের বৃদ্ধি অধ্যয়ন করা।

আরো বিস্তারিত গণিত কোর্সে এটা প্রমাণিত হয় যে, বিশেষ করে ফাংশনের জন্য z = f(এক্স,y) দুটি ভেরিয়েবলের, যার দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়ালটি ফর্মের যোগফল

সমালোচনামূলক বিন্দু P 0 এ একটি এক্সট্রিমামের উপস্থিতি অধ্যয়নকে সরল করা যেতে পারে।

আসুন বোঝাই, , . এর একটি নির্ধারক রচনা করা যাক

.

প্রস্থান:

d 2 z> P 0 বিন্দুতে 0, অর্থাৎ P 0 - ন্যূনতম পয়েন্ট, যদি ক(P 0) > 0 এবং D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ক(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

যদি D(P 0)< 0, то d 2 zবিন্দু P 0 এর আশেপাশে এটি চিহ্ন পরিবর্তন করে এবং বিন্দু P 0-এ কোন এক্সট্রিম নেই;

যদি D(Р 0) = 0 হয়, তাহলে গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু Р 0 এর আশেপাশে ফাংশনের অতিরিক্ত অধ্যয়নও প্রয়োজন।

সুতরাং, ফাংশন জন্য z = f(এক্স,y) দুটি ভেরিয়েবলের একটি এক্সট্রিমাম খুঁজে বের করার জন্য আমাদের নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম রয়েছে (আসুন এটিকে "অ্যালগরিদম D" বলি):

1) সংজ্ঞা D এর ডোমেন খুঁজুন চ) ফাংশন।

2) সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজুন, যেমন ডি থেকে পয়েন্ট ( চ), যার জন্য এবং শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই।

3) প্রতিটি জটিল বিন্দু P 0 এ, চরমের জন্য পর্যাপ্ত অবস্থা পরীক্ষা করুন। এটি করতে, খুঁজুন , যেখানে , , এবং গণনা করুন D(P 0) এবং ক(P 0) তারপর:

যদি D(P 0) >0, তাহলে P 0 বিন্দুতে একটি extremum আছে, এবং যদি ক(P 0) > 0 – তাহলে এটি সর্বনিম্ন, এবং যদি ক(P 0)< 0 – максимум;

যদি D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

যদি D(P 0) = 0 হয়, তাহলে অতিরিক্ত গবেষণা প্রয়োজন।

4) পাওয়া চরম বিন্দুতে, ফাংশনের মান গণনা করুন।

উদাহরণ 1.

ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন z = এক্স 3 + 8y 3 – 3xy .

সমাধান।এই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হল সমগ্র স্থানাঙ্ক সমতল। আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজে বের করা যাক।

, , Þ P 0 (0,0), .

এক্সট্রিমামের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত পূরণ করা হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। আমরা খুঁজে নেব

6এক্স, = -3, = 48এএবং = 288xy – 9.

তারপর D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – বিন্দু Р 1-এ একটি এক্সট্রিম আছে, এবং যেহেতু ক(P 1) = 3 >0, তাহলে এই extremum হল সর্বনিম্ন। তাই মিন z=z(P 1) = .

উদাহরণ 2।

ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন .

সমাধান: D( চ) =R 2। সমালোচনামূলক পয়েন্ট: ; অস্তিত্ব নেই যখন এ= 0, যার মানে P 0 (0,0) হল এই ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট।

2, = 0, = , = , কিন্তু D(P 0) সংজ্ঞায়িত করা হয়নি, তাই এর চিহ্ন অধ্যয়ন করা অসম্ভব।

একই কারণে, উপপাদ্য 9.2 সরাসরি প্রয়োগ করা অসম্ভব - d 2 zএই সময়ে বিদ্যমান নেই।

এর ফাংশন বৃদ্ধি বিবেচনা করা যাক চ(এক্স, y) বিন্দু P 0 এ। যদি ডি চ =চ(P) - চ(P 0)>0 "P, তারপর P 0 সর্বনিম্ন বিন্দু, কিন্তু যদি D চ < 0, то Р 0 – точка максимума.

আমাদের ক্ষেত্রে আমরা আছে

ডি চ = চ(এক্স, y) – চ(0, 0) = চ(0+D এক্স,0+D y) – চ(0, 0) = .

ডি এ এক্স= 0.1 এবং ডি y= -0.008 আমরা D পাই চ = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dএক্স= 0.1 এবং ডি y= 0.001 ডি চ= 0.01 + 0.1 > 0, অর্থাৎ বিন্দু P 0 এর আশেপাশে কোন অবস্থা D সন্তুষ্ট নয় চ <0 (т.е. চ(এক্স, y) < চ(0, 0) এবং সেইজন্য P 0 সর্বোচ্চ বিন্দু নয়, বা শর্ত D নয় চ>0 (যেমন চ(এক্স, y) > চ(0, 0) এবং তারপর P 0 একটি সর্বনিম্ন বিন্দু নয়)। এর মানে হল, এক্সট্রিমামের সংজ্ঞা অনুসারে, এই ফাংশনের কোন এক্সট্রিমা নেই।

শর্তাধীন চরম।

ফাংশনের বিবেচিত প্রান্তকে বলা হয় শর্তহীন, যেহেতু ফাংশন আর্গুমেন্টে কোনো সীমাবদ্ধতা (শর্ত) আরোপ করা হয় না।

সংজ্ঞা 9.2।ফাংশন এর চরম এবং = চ(এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n), শর্ত অধীনে পাওয়া যে তার আর্গুমেন্ট এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x nসমীকরণ j 1 ( এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) = 0, …, j টি(এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) = 0, যেখানে P ( এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) ও ডি( চ), বলা হয় শর্তাধীন চরম .

সমীকরণ j k(এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., মি, ডাকল সংযোগ সমীকরণ.

চলুন ফাংশন তাকান z = f(এক্স,y) দুটি ভেরিয়েবল। যদি সংযোগ সমীকরণ এক হয়, i.e. , তারপর একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম্যাম খুঁজে বের করার অর্থ হল ফাংশনের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেনে নয়, তবে ডি (ডি) তে থাকা কিছু বক্ররেখার জন্য এক্সট্রিমাম চাওয়া হয়েছে চ) (অর্থাৎ, এটি পৃষ্ঠের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু নয় যা চাওয়া হয় z = f(এক্স,y), এবং সিলিন্ডারের সাথে এই পৃষ্ঠের ছেদ বিন্দুগুলির মধ্যে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু, চিত্র 5)।

একটি ফাংশনের শর্তাধীন প্রান্ত z = f(এক্স,yদুটি ভেরিয়েবলের ) নিম্নলিখিত উপায়ে পাওয়া যাবে( নির্মূল পদ্ধতি) সমীকরণ থেকে, একটি ভেরিয়েবলকে অন্যটির ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করুন (উদাহরণস্বরূপ, লিখুন ) এবং, ভেরিয়েবলের এই মানটিকে ফাংশনে প্রতিস্থাপন করে, পরবর্তীটিকে একটি চলকের ফাংশন হিসাবে লিখুন (বিবেচিত ক্ষেত্রে ) একটি ভেরিয়েবলের ফলে ফাংশনের সীমা নির্ণয় কর।

সংজ্ঞা 1: একটি ফাংশন বলা হয় একটি বিন্দুতে একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ আছে যদি বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যেমন কোনো বিন্দুর জন্য এমস্থানাঙ্ক সহ (x, y)অসমতা ধারণ করে: এই ক্ষেত্রে, অর্থাৎ, ফাংশনের বৃদ্ধি< 0.

সংজ্ঞা 2: একটি ফাংশন বলা হয় একটি বিন্দুতে একটি স্থানীয় ন্যূনতম থাকে যদি বিন্দুর প্রতিবেশী থাকে যেমন কোনো বিন্দুর জন্য এমস্থানাঙ্ক সহ (x, y)অসমতা ধারণ করে: এই ক্ষেত্রে, যেমন, ফাংশনের বৃদ্ধি > 0।

সংজ্ঞা 3: স্থানীয় সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয় চরম পয়েন্ট.

শর্তাধীন চরম

অনেক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমা খুঁজে বের করার সময়, তথাকথিত সম্পর্কিত সমস্যা প্রায়ই দেখা দেয় শর্তাধীন চরম।এই ধারণাটি দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের উদাহরণ ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।

একটি ফাংশন এবং একটি লাইন দেওয়া যাক এলপৃষ্ঠের উপর 0xy. কাজ হল লাইনে উঠা এলযেমন একটি বিন্দু খুঁজে P(x, y),যেখানে লাইনের বিন্দুতে এই ফাংশনের মানের তুলনায় একটি ফাংশনের মান সবচেয়ে বড় বা সবচেয়ে ছোট এল, পয়েন্ট কাছাকাছি অবস্থিত পৃ. যেমন পয়েন্ট পৃডাকল শর্তাধীন চরম পয়েন্টলাইনে ফাংশন এল. সাধারণ চরম বিন্দুর বিপরীতে, শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দুতে ফাংশনের মানকে ফাংশনের মানের সাথে তুলনা করা হয় তার আশেপাশের সমস্ত বিন্দুতে নয়, তবে কেবলমাত্র সেই লাইনে যেগুলি থাকে এল.

এটা একেবারে পরিষ্কার যে স্বাভাবিক চরমের বিন্দু (তারাও বলে শর্তহীন চরম) এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া যেকোনো রেখার জন্য একটি শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দু। কথোপকথন, অবশ্যই, সত্য নয়: শর্তাধীন চরম বিন্দু সাধারণ চরম বিন্দু নাও হতে পারে। আমি যা বলেছি তা একটি সহজ উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করি। ফাংশনের গ্রাফ হল উপরের গোলার্ধ (পরিশিষ্ট 3 (চিত্র 3))।

এই ফাংশনটির উৎপত্তিতে সর্বাধিক রয়েছে; শীর্ষবিন্দু এটির সাথে মিলে যায় এমগোলার্ধ লাইন হলে এলপয়েন্টের মধ্য দিয়ে একটি লাইন যাচ্ছে কএবং ভিতরে(তার সমীকরণ x+y-1=0), তাহলে এটি জ্যামিতিকভাবে পরিষ্কার যে এই লাইনের বিন্দুগুলির জন্য সর্বোচ্চ মানবিন্দুর মাঝখানে থাকা একটি বিন্দুতে ফাংশন অর্জন করা হয় কএবং ভিতরে.এটি এই লাইনের ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম (সর্বোচ্চ) বিন্দু; এটি গোলার্ধে M 1 বিন্দুর সাথে মিলে যায়, এবং চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে এখানে কোন সাধারণ চরমপন্থার কথা বলা যাবে না।

উল্লেখ্য যে একটি বদ্ধ অঞ্চলে একটি ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজে বের করার সমস্যার চূড়ান্ত অংশে, আমাদের এই অঞ্চলের সীমানায় ফাংশনের চরম মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে, যেমন কিছু লাইনে, এবং এর মাধ্যমে শর্তসাপেক্ষ চরম সমস্যার সমাধান করুন।

আসুন এখন Z= f(x, y) ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দুগুলির জন্য ব্যবহারিক অনুসন্ধানে এগিয়ে যাই তবে শর্ত থাকে যে x এবং y ভেরিয়েবল সমীকরণ (x, y) = 0 দ্বারা সম্পর্কিত। আমরা এই সম্পর্কটিকে বলব সংযোগ সমীকরণ। যদি কাপলিং সমীকরণ থেকে y কে x এর পরিপ্রেক্ষিতে স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা যায়: y=(x), আমরা একটি চলক Z= f(x, (x)) = Ф(x) এর একটি ফাংশন পাই।

x যে মানটিতে এই ফাংশনটি একটি চরমসীমায় পৌঁছায়, এবং তারপরে সংযোগ সমীকরণ থেকে সংশ্লিষ্ট y মানগুলি নির্ধারণ করে, আমরা শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের পছন্দসই পয়েন্টগুলি পাই।

সুতরাং, উপরের উদাহরণে, সম্পর্ক সমীকরণ থেকে x+y-1=0 আমাদের আছে y=1-x। এখান থেকে

এটা পরীক্ষা করা সহজ যে z তার সর্বোচ্চ x = 0.5 এ পৌঁছেছে; কিন্তু তারপর সংযোগ সমীকরণ y = 0.5 থেকে, এবং আমরা জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে পাওয়া P বিন্দু ঠিক পাই।

একটি শর্তসাপেক্ষ চরমের সমস্যাটি খুব সহজেই সমাধান করা হয় এমনকি যখন সংযোগ সমীকরণটি উপস্থাপন করা যায় প্যারামেট্রিক সমীকরণ x=x(t), y=y(t)। x এবং y এর মধ্যে এক্সপ্রেশন প্রতিস্থাপন করা এই ফাংশন, আমরা আবার একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে বের করার সমস্যায় আসি।

যদি কাপলিং সমীকরণ এর থেকে বেশি থাকে জটিল চেহারাএবং আমরা একটি ভেরিয়েবলকে অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে স্পষ্টভাবে প্রকাশ করতে পারি না, অথবা প্যারামেট্রিক সমীকরণ দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি না, তাহলে শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম খুঁজে বের করার কাজটি আরও কঠিন হয়ে পড়ে। আমরা z= f(x, y) ফাংশনের এক্সপ্রেশনে ভেরিয়েবল (x, y) = 0 ধরে নিতে থাকব। z= f(x, y) ফাংশনের মোট ডেরিভেটিভ সমান:

যেখানে অন্তর্নিহিত ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ y` পাওয়া যায়। কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের বিন্দুতে, পাওয়া মোট ডেরিভেটিভ অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে; এটি x এবং y সম্পর্কিত একটি সমীকরণ দেয়। যেহেতু তাদের অবশ্যই কাপলিং সমীকরণটি পূরণ করতে হবে, আমরা দুটি অজানা সহ দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই

আসুন একটি অনুপাত আকারে প্রথম সমীকরণটি লিখে এবং একটি নতুন অক্জিলিয়ারী অজানা প্রবর্তন করে এই সিস্টেমটিকে আরও বেশি সুবিধাজনক হিসাবে রূপান্তরিত করি:

(সামনে মাইনাস চিহ্নটি সুবিধার জন্য)। এই সমতা থেকে নিম্নলিখিত সিস্টেমে সরানো সহজ:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f`y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

যা, সংযোগ সমীকরণ (x, y) = 0 সহ, অজানা x, y এবং সহ তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম গঠন করে।

এই সমীকরণগুলি (*) নিম্নলিখিত নিয়মটি ব্যবহার করে মনে রাখা সবচেয়ে সহজ: ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের বিন্দু হতে পারে এমন পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে

Z= f(x, y) সংযোগ সমীকরণ (x, y) = 0 সহ, আপনাকে একটি সহায়ক ফাংশন গঠন করতে হবে

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

কোথায় কিছু ধ্রুবক আছে, এবং এই ফাংশনের চরম বিন্দু খুঁজে পেতে সমীকরণ তৈরি করুন।

সমীকরণের নির্দেশিত সিস্টেম একটি নিয়ম হিসাবে, শুধুমাত্র প্রয়োজনীয় শর্ত প্রদান করে, যেমন প্রতিটি জোড়া মান x এবং y যা এই সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে তা অপরিহার্যভাবে একটি শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দু নয়। আমি শর্তসাপেক্ষ চরম পয়েন্টের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত দেব না; প্রায়শই সমস্যার নির্দিষ্ট বিষয়বস্তু নিজেই নির্দেশ করে যে পাওয়া পয়েন্টটি কী। শর্তসাপেক্ষ চরমে সমস্যা সমাধানের জন্য বর্ণিত কৌশলটিকে ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক পদ্ধতি বলা হয়।

z - /(x, y) ফাংশনটিকে কিছু ডোমেইন D-এ সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং Mo(xo, Vo) এই ডোমেনের একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু হতে দিন। সংজ্ঞা। যদি এমন একটি সংখ্যা থাকে যা সমস্ত শর্ত পূরণের জন্য অসমতা সত্য হয়, তাহলে Mo(xo, yo) বিন্দুটিকে ফাংশনের স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয় /(x, y); যদি সকল Dx, Du, শর্ত পূরণ করে | তারপর Mo(xo,yo) বিন্দুটিকে একটি পাতলা স্থানীয় সর্বনিম্ন বলা হয়। অন্য কথায়, বিন্দু M0(x0, y0) হল f(x, y) ফাংশনের সর্বোচ্চ বা ন্যূনতম একটি বিন্দু যদি A/o(x0, y0) বিন্দুর 6-প্রতিবেশী থাকে তাহলে আশেপাশে এর M(x, y) পয়েন্ট, ফাংশনের বৃদ্ধি তার চিহ্ন বজায় রাখে। উদাহরণ। 1. ফাংশন পয়েন্টের জন্য - সর্বনিম্ন পয়েন্ট (চিত্র 17)। 2. ফাংশনের জন্য, পয়েন্ট 0(0,0) হল সর্বাধিক বিন্দু (চিত্র 18)। 3. একটি ফাংশনের জন্য, পয়েন্ট 0(0,0) হল একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দু। 4 প্রকৃতপক্ষে, বিন্দু 0(0, 0) এর একটি প্রতিবেশী রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, j ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত (চিত্র 19 দেখুন), যার যেকোনো বিন্দুতে, বিন্দু 0(0,0) থেকে আলাদা, ফাংশনের মান /(x,y) 1 এর কম = আমরা শুধুমাত্র কঠোর সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন ফাংশনের পয়েন্টগুলি বিবেচনা করব যখন কঠোর অসমতা বা কঠোর অসমতা সমস্ত পয়েন্টের জন্য সন্তুষ্ট হয় M(x) y) কিছু ছিদ্রযুক্ত 6-পাড়া থেকে বিন্দু Mq. সর্বাধিক বিন্দুতে একটি ফাংশনের মানকে সর্বোচ্চ বলা হয় এবং সর্বনিম্ন বিন্দুতে ফাংশনের মানকে এই ফাংশনের সর্বনিম্ন বলা হয়। একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন বিন্দুগুলিকে ফাংশনের চরম বিন্দু বলা হয়, এবং ফাংশনের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন বিন্দুগুলিকে তার এক্সট্রিমা বলা হয়। উপপাদ্য 11 (চরম জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। যদি Extremum ফাংশনটি একাধিক ফাংশন হয় ভেরিয়েবল ধারণাবিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিম। একটি এক্সট্রিমামের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত শর্তাধীন এক্সট্রিমাম ক্রমাগত ফাংশনের সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলির একটি বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম থাকে তারপর এই বিন্দুতে প্রতিটি আংশিক ডেরিভেটিভ u হয় অদৃশ্য হয়ে যায় বা বিদ্যমান থাকে না। ধরুন M0(x0, yо) বিন্দুতে ফাংশন z = f(x) y) এর একটি এক্সট্রিমাম আছে। চলক y এর মান yo দিই। তারপর ফাংশন z = /(x, y) একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হবে x\ যেহেতু x = xo তে এটির একটি এক্সট্রিমাম রয়েছে (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন, চিত্র 20), তারপর x = “o, এর সাপেক্ষে এর ডেরিভেটিভ | (*o,l>)" শূন্যের সমান বা এর অস্তিত্ব নেই। একইভাবে, আমরা নিশ্চিত যে) হয় শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই। যে বিন্দুতে = 0 এবং χ = 0 বা বিদ্যমান নেই তাদের বলা হয় সমালোচনামূলক z = Dx, y) বিন্দুগুলিকে ফাংশনের স্থির বিন্দুও বলা হয় 11, যা যথেষ্ট নয় স্ট্রামের ইমভ্যাটে ফাংশনটি পাতলা, প্রকৃতপক্ষে, 0(0,0) বিন্দুতে ফাংশনটি শূন্যের সমান এবং বিন্দু M(x,y) তে ধনাত্মক মান নেয়, নির্বিচারে 0(0) বিন্দুর কাছাকাছি। ,0), এবং এর জন্য নেতিবাচক মান যাতে বিন্দুতে (0, y) নির্বিচারে ছোট বিন্দু 0(0,0) বলা হয় একটি minimax বিন্দু (চিত্র 21) দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের সীমাকে নিম্নরূপ প্রকাশ করা হয়েছে থিওরেম 12 (দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের প্রান্তের জন্য যথেষ্ট শর্ত) মো(x, y) ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু ), এবং বিন্দুর কিছু আশেপাশে, Mo বিন্দু সহ, ফাংশন /(r, y) এর দ্বিতীয় ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে। তারপর।" Mo(xo, V0) বিন্দুতে ফাংশন /(xo, y) এর একটি এক্সট্রিম্যাম নেই যদি D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) ফাংশনের প্রান্তভাগ থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আরও গবেষণা প্রয়োজন। m আসুন আমরা উপপাদ্যের 1) এবং 2) বিবৃতি প্রমাণ করার মধ্যে নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখি। ফাংশন /(i, y): যেখানে দ্বিতীয়-ক্রম টেলর সূত্রটি লিখি। শর্ত অনুসারে, এটা স্পষ্ট যে বৃদ্ধির চিহ্ন D/ (1) এর ডান পাশে ত্রিনয়কের চিহ্ন দ্বারা নির্ধারিত হয়, অর্থাৎ, দ্বিতীয় ডিফারেনশিয়াল d2f-এর চিহ্ন। এর সংক্ষিপ্ততার জন্য এটি চিহ্নিত করা যাক. তাহলে সমতা (l) এভাবে লেখা যেতে পারে: চলুন বিন্দুতে MQ(so, V0) আমাদের আছে... যেহেতু, শর্ত অনুসারে, f(s, y) ফাংশনের দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি অবিচ্ছিন্ন, তাহলে অসমতা (3) M0(s0,yo) বিন্দুর কিছু আশেপাশেও থাকবে। যদি শর্তটি সন্তুষ্ট হয় (বিন্দু А/0 এ, এবং ধারাবাহিকতার কারণে ডেরিভেটিভ /,z(s,y) Af0 বিন্দুর কিছু আশেপাশে তার চিহ্ন ধরে রাখবে। যে অঞ্চলে А Ф 0, আমাদের আছে এটি থেকে স্পষ্ট যে যদি M0(x0) y0 বিন্দুর কিছু আশেপাশে ЛС - В2 > 0 হয়, তবে ত্রিনয়ক AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 বিন্দুতে A এর চিহ্নের সাথে মিলে যায় (তাই , V0) (পাশাপাশি C চিহ্নের সাথে, যেহেতু AC - B2 > 0 A এবং C-এর জন্য আলাদা চিহ্ন থাকতে পারে না)। যেহেতু বিন্দুতে AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 যোগফলের চিহ্ন (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) পার্থক্যের চিহ্ন নির্ধারণ করে, তাই আমরা নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তে উপনীত হই: যদি ফাংশনের জন্য /(s,y) এ স্থির বিন্দু (s0, V0) অবস্থা, তারপর যথেষ্ট ছোট জন্য || অসমতা সন্তুষ্ট হবে। সুতরাং, বিন্দুতে (sq, V0) ফাংশন /(s, y) এর সর্বোচ্চ রয়েছে। যদি শর্তটি স্থির বিন্দুতে (s0, y0) সন্তুষ্ট হয়, তাহলে সকলের জন্য যথেষ্ট ছোট |Dr| এবং |Du| অসমতা সত্য, যার মানে হল বিন্দুতে (so,yo) ফাংশন /(s, y) ন্যূনতম। উদাহরণ। 1. একটি extremum এর জন্য ফাংশন তদন্ত করুন 4 একটি extremum এর জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি ব্যবহার করে, আমরা ফাংশনের স্থির পয়েন্টগুলি সন্ধান করি। এটি করার জন্য, আমরা আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই এবং তাদের শূন্যের সাথে সমান করি। আমরা কোথা থেকে সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই - একটি স্থির বিন্দু। এখন থিওরেম 12 ব্যবহার করা যাক। আমাদের আছে এর মানে হল বিন্দু Ml-এ একটি extremum আছে। কারণ এটি সর্বনিম্ন। আমরা যদি ফাংশনটি জি ফর্মে রূপান্তর করি তবে এটি দেখা সহজ ডান অংশ(“) ন্যূনতম হবে যখন এই ফাংশনের পরম সর্বনিম্ন হবে। 2. আমরা ফাংশনের স্থির বিন্দু খুঁজে পাই, যার জন্য আমরা একটি সমীকরণ তৈরি করি, যাতে বিন্দুটি স্থির থাকে। যেহেতু, থিওরেম 12 এর গুণে, বিন্দু M-এ কোন এক্সট্রিম নেই। * 3. ফাংশনের স্থির বিন্দুগুলি অনুসন্ধান করুন। সমীকরণের সিস্টেম থেকে আমরা তা পাই, তাই বিন্দুটি স্থির। পরবর্তীতে আমাদের আছে যে থিওরেম 12 একটি এক্সট্রিমামের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি সম্পর্কে প্রশ্নের উত্তর দেয় না। এর এই ভাবে করা যাক. বিন্দু থেকে ভিন্ন সমস্ত বিন্দু সম্পর্কে একটি ফাংশনের জন্য, তাই, সংজ্ঞা অনুসারে, এবং বিন্দু A/o(0,0) ফাংশন r এর একটি পরম সর্বনিম্ন আছে। অনুরূপ গণনা দ্বারা আমরা স্থাপন করি যে বিন্দুতে ফাংশনের একটি সর্বোচ্চ আছে, কিন্তু ফাংশনের বিন্দুতে একটি এক্সট্রিমাম নেই। একটি বিন্দুতে n স্বাধীন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনকে বিন্দু মোকে ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু বলা হয় যদি উপপাদ্য 13 (একটি প্রান্তের জন্য যথেষ্ট শর্ত পর্যন্ত)। ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং সূক্ষ্ম Mt(xi...) এর কিছু আশেপাশে দ্বিতীয় ক্রমটির ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভস থাকতে দিন, যা একটি স্থির সূক্ষ্ম ফাংশন যদি দ্বিঘাত ফর্ম (সূক্ষ্মটিতে f ফাংশনের দ্বিতীয় পার্থক্যটি ধনাত্মক হয়) definite (ঋণাত্মক নির্দিষ্ট), ফাংশনের ন্যূনতম বিন্দু (যথাক্রমে, সূক্ষ্ম সর্বাধিক) সূক্ষ্ম হয় যদি দ্বিঘাত রূপ (4) চিহ্ন-অল্টারনেটিং হয়, তাহলে সূক্ষ্ম LG0 তে কোন চরম নেই চতুর্ভুজ ফর্ম (4) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক, আপনি ব্যবহার করতে পারেন, ধনাত্মক (নেতিবাচক ) নিশ্চিততা 15.2 এখন পর্যন্ত স্থানীয় চরম একটি ফাংশন তার সম্পূর্ণ সংজ্ঞার ডোমেন জুড়ে, যখন ফাংশনের আর্গুমেন্ট কোনো অতিরিক্ত শর্ত দ্বারা আবদ্ধ হয় না। এই ধরনের চরমপত্রকে বলা হয় শর্তহীন। যাইহোক, তথাকথিত কন্ডিশনাল এক্সট্রিমা খুঁজে পেতে প্রায়ই সমস্যা হয়। D ডোমেনে ফাংশন z = /(x, y) সংজ্ঞায়িত করা যাক। আসুন ধরে নিই যে এই ডোমেনে একটি বক্ররেখা L দেওয়া আছে, এবং আমাদের শুধুমাত্র তাদের মধ্যে f(x> y) ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে বের করতে হবে। এর মানগুলির যেগুলি বক্ররেখা L-এর বিন্দুগুলির সাথে মিলে যায়। একই প্রান্তকে বলা হয় z = f(x) y) বক্ররেখার ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত , ফাংশন f(x, y) একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ (ন্যূনতম) আছে যদি অসমতা সমস্ত বিন্দুতে সন্তুষ্ট হয় M (s, y) y) বক্ররেখা L, বিন্দু M0(x0, V0) এর কিছু আশেপাশের অন্তর্গত এবং ভিন্ন M0 বিন্দু থেকে (যদি বক্ররেখা L একটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়, তাহলে বক্ররেখার r - f(x,y) ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে বের করার সমস্যাটি নিম্নরূপ তৈরি করা যেতে পারে: x ফাংশনের প্রান্তটি খুঁজুন = /(z, y) অঞ্চলে D, শর্ত থাকে যে এইভাবে, ফাংশন z = y এর শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে বের করার সময়, ওয়াইল্ডবিস্টের আর্গুমেন্টগুলিকে আর স্বাধীন চলক হিসাবে বিবেচনা করা যাবে না: তারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত সম্পর্ক y) = 0, যাকে সংযোগ সমীকরণ বলে। শর্তহীন এবং শর্তসাপেক্ষ চরমের মধ্যে পার্থক্য স্পষ্ট করার জন্য, আসুন একটি উদাহরণ দেখি যেখানে ফাংশনের শর্তহীন সর্বোচ্চ (চিত্র 23) একের সমান এবং বিন্দুতে (0,0) অর্জন করা হয়। এটি বিন্দু M এর সাথে মিলে যায় - pvvboloid এর শীর্ষবিন্দু y = j যোগ করি। তাহলে শর্তযুক্ত সর্বোচ্চ স্পষ্টতই এটির সমান হবে (o,|), এবং এটি বলের শীর্ষবিন্দু Afj এর সাথে মিলে যায়, যা সমতল y = j এর সাথে বলের ছেদ করার রেখা। একটি শর্তহীন mvximum-এর ক্ষেত্রে, আমাদের পৃষ্ঠের সমস্ত vpplicvt এর মধ্যে একটি mvximum প্রয়োগ আছে * = 1 - l;2 ~ y1; summvv শর্তসাপেক্ষ - শুধুমাত্র vllikvt বিন্দুগুলির মধ্যে pvraboloidv, সরলরেখা y = j এর বিন্দু* এর সাথে সংশ্লিষ্ট xOy সমতল নয়। উপস্থিতি এবং সংযোগে একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হল নিম্নরূপ। সংযোগ সমীকরণ y) - O সংজ্ঞায়িত করুন y কে আর্গুমেন্ট x এর একটি অনন্য পার্থক্যযোগ্য ফাংশন হিসাবে: ফাংশনে y এর পরিবর্তে একটি ফাংশন প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি আর্গুমেন্টের একটি ফাংশন পাই যেখানে সংযোগের শর্তটি ইতিমধ্যেই বিবেচনা করা হয়েছে। ফাংশনের (নিঃশর্ত) প্রান্ত কাঙ্খিত শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম। উদাহরণ। শর্তের অধীনে একটি ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সীমানা বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্তের ধারণা। একটি এক্সট্রিমামের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত শর্তাধীন এক্সট্রিমাম ক্রমাগত ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান A সংযোগ সমীকরণ (2") থেকে আমরা y = 1-x পাই। এই মান y কে (V) তে প্রতিস্থাপিত করে, আমরা একটি আর্গুমেন্ট x এর একটি ফাংশন পাই: আসুন আমরা এটিকে এক্সট্রিমামের জন্য পরীক্ষা করি: যেখান থেকে x = 1 গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু; , যাতে এটি একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম ফাংশন r প্রদান করে (চিত্র 24)। চলুন আমরা শর্তসাপেক্ষ চরম সমস্যা সমাধানের আরেকটি উপায় নির্দেশ করি, যাকে বলে Lagrange গুণক পদ্ধতি। একটি সংযোগের উপস্থিতিতে একটি ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দু থাকুক, আসুন আমরা ধরে নিই যে সংযোগ সমীকরণটি xx বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট আশেপাশে একটি অনন্য ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্য ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে। বিবেচনা করে আমরা পাই যে xq বিন্দুতে ফাংশন /(r, ip(x)) এর x সম্পর্কিত ডেরিভেটিভ অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে বা, যা এর সমতুল্য, f(x, y) এর ডিফারেন্সিয়াল বিন্দু Mo" O অবশ্যই শূন্যের সমান হবে ) তারপর, dx এর স্বেচ্ছাচারিতার কারণে, আমরা একটি ফাংশনের একটি বিন্দুতে শর্তহীন এক্সট্রিম এর জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলিকে প্রকাশ করি যাকে বলা হয়, এর শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দু ফাংশন /(x, y), যদি, অগত্যা ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু যেখানে A একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাগত সহগ এখানে থেকে আমরা শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমা খুঁজে বের করার জন্য একটি নিয়ম পাই: বিন্দুগুলি খুঁজে পেতে একটি সংযোগের উপস্থিতিতে একটি ফাংশনের সাধারণ প্রান্ত: 1) আমরা ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন রচনা করি, 2) এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং ইউকে শূন্যে সমান করে এবং ফলাফল সমীকরণগুলিতে সংযোগ সমীকরণ যোগ করে, আমরা তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই যেখান থেকে আমরা A এর মান খুঁজে পাই এবং x, y সম্ভাব্য চরম বিন্দুগুলিকে স্থানাঙ্কিত করি। শর্তযুক্ত চরমের অস্তিত্ব এবং প্রকৃতির প্রশ্নটি (8) থেকে প্রাপ্ত মান x0, V0, A এর বিবেচিত সিস্টেমের জন্য Lagrange ফাংশনের দ্বিতীয় পার্থক্যের চিহ্ন অধ্যয়নের ভিত্তিতে সমাধান করা হয় তবে শর্ত থাকে যে যদি , তারপর বিন্দুতে (x0, V0) ফাংশন /(x, y ) এর একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ আছে; যদি d2F > 0 - তাহলে একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম। বিশেষ করে, যদি একটি স্থির বিন্দুতে (xo, J/o) F(x, y) ফাংশনের জন্য নির্ধারক D ধনাত্মক হয়, তাহলে বিন্দুতে (®o, V0) ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ ফাংশন থাকে x, y), যদি এবং ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম /(x, y), যদি উদাহরণ। আগের উদাহরণের শর্তে আবার ফিরে আসা যাক: x + y = 1 শর্তের অধীনে ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন। আমরা Lagrange গুণক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করব। Lagrange ফাংশন মধ্যে এক্ষেত্রে ফর্ম আছে স্থির বিন্দু খুঁজে বের করার জন্য, আমরা সিস্টেমের প্রথম দুটি সমীকরণ থেকে একটি সিস্টেম রচনা করি যেটি x = y। তারপর সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণ (সংযোগ সমীকরণ) থেকে আমরা দেখতে পাই যে x - y = j হল সম্ভাব্য চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক। এই ক্ষেত্রে (এটি নির্দেশিত হয় যে A = -1। এইভাবে, Lagrange ফাংশন। শর্তাধীন * = x2 + y2 ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম বিন্দু। ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশনের জন্য কোন শর্তহীন এক্সট্রিমাম নেই। P(x, y) ) এর অর্থ এখনও এই নয় যে একটি সংযোগের উপস্থিতিতে /(x, y) ফাংশনের জন্য একটি শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের অনুপস্থিতি উদাহরণ: y 4 শর্তের অধীনে একটি ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন আমরা Lagrange ফাংশন রচনা করি এবং এর জন্য একটি সিস্টেম লিখি A এবং সম্ভাব্য চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা: প্রথম দুটি সমীকরণ থেকে আমরা x + y = 0 পাই এবং আমরা সিস্টেমে আসি যেখান থেকে x = y = A = 0। এইভাবে, সংশ্লিষ্ট Lagrange ফাংশনের বিন্দুতে ফর্ম রয়েছে (0,0), ফাংশন F(x, y; 0) এর শর্তহীন এক্সট্রিমাম নেই, তবে r = xy ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত আছে যখন y = x প্রকৃতপক্ষে, এই ক্ষেত্রে r = x2। এখান থেকে এটা স্পষ্ট যে বিন্দুতে (0,0) একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম "ল্যাগ্রেঞ্জ গুণকের পদ্ধতিটি যেকোন সংখ্যক আর্গুমেন্টের ফাংশনের ক্ষেত্রে স্থানান্তরিত হয়। আসুন উপস্থিতিতে ফাংশনের প্রান্তের সন্ধান করি। সংযোগ সমীকরণের চলুন A|, Az,..., A„, অনির্দিষ্ট ধ্রুবক গুণনীয়কগুলি রচনা করি। F ফাংশনের সমস্ত প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলিকে শূন্যের সমান করে এবং ফলাফল সমীকরণগুলিতে সংযোগ সমীকরণ (9) যোগ করলে, আমরা n + m সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই, যেখান থেকে আমরা Ab A3|..., at এবং x স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করি \) x2)। কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের সম্ভাব্য পয়েন্টের xn। Lagrange পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া পয়েন্টগুলি আসলে একটি শর্তাধীন চরমের বিন্দু কিনা সেই প্রশ্নটি প্রায়শই শারীরিক বা জ্যামিতিক প্রকৃতির বিবেচনার ভিত্তিতে সমাধান করা যেতে পারে। 15.3। ক্রমাগত ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান z = /(x, y) ফাংশনের বৃহত্তম (ছোটতম) মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন, কিছু বদ্ধ সীমিত ডোমেনে ক্রমাগত D. উপপাদ্য 3 দ্বারা, এই ডোমেনে সেখানে একটি বিন্দু (xo, V0) যেখানে ফাংশনটি সবচেয়ে বড় (ছোটতম) মান নেয়। যদি বিন্দু (xo, y0) ডোমেইন D-এর ভিতরে থাকে, তাহলে ফাংশন / এর মধ্যে সর্বোচ্চ (ন্যূনতম) থাকে, তাই এই ক্ষেত্রে আমাদের আগ্রহের বিষয়টি ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির মধ্যে রয়েছে /(x, y)। যাইহোক, ফাংশন /(x, y) অঞ্চলের সীমানায় তার সবচেয়ে বড় (ছোটতম) মান পৌঁছাতে পারে। অতএব, একটি সীমিত বদ্ধ এলাকায় z = /(x, y) ফাংশন দ্বারা নেওয়া সবচেয়ে বড় (ছোটতম) মানটি খুঁজে পেতে, আপনাকে এই এলাকার ভিতরে অর্জিত ফাংশনের সমস্ত সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) খুঁজে বের করতে হবে, সেইসাথে এই এলাকার সীমানায় ফাংশনের সবচেয়ে বড় (ছোটতম) মান। এই সমস্ত সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম (ছোটতম) হবে 27 অঞ্চলে z = /(x,y) ফাংশনের কাঙ্ক্ষিত বৃহত্তম (ছোটতম) মান। আসুন দেখাই যে এটি একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের ক্ষেত্রে কীভাবে করা হয়। Prmmr. অঞ্চল 4 এর ফাংশনের সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজুন। আমরা D অঞ্চলের মধ্যে ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলি খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আমরা এখানে থেকে x = y « 0 প্রাপ্ত করি পয়েন্ট 0 (0,0) হল x ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু। যেহেতু এখন আমরা D অঞ্চলের Г এর সীমানায় ফাংশনের সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজে বের করি। সীমার অংশে আমাদের কাছে আছে যে y = 0 একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু, এবং যেহেতু = তারপর এই বিন্দুতে ফাংশন z = 1 + y2 এর ন্যূনতম সমান একটি। সেগমেন্টের শেষে Г", বিন্দুতে (, আমাদের আছে। প্রতিসাম্য বিবেচনা ব্যবহার করে, আমরা সীমানার অন্যান্য অংশের জন্য একই ফলাফল পাই। অবশেষে আমরা পাই: ক্ষুদ্রতম মান"B" অঞ্চলে ফাংশন z = x2+y2 শূন্যের সমান এবং এটি অঞ্চলের অভ্যন্তরীণ বিন্দু 0(0, 0) এ অর্জিত হয় এবং এই ফাংশনের সর্বোচ্চ মান, দুইটির সমান, চারটি বিন্দুতে অর্জিত হয় সীমার সীমানা (চিত্র 25) চিত্র 25 অনুশীলনগুলি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজুন: ফাংশনগুলির স্তরের লাইনগুলি তৈরি করুন: 9 তিনটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের ফাংশনের স্তরের পৃষ্ঠগুলি খুঁজুন: ফাংশনের সীমা গণনা করুন: ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন এবং তাদের সম্পূর্ণ ভিন্নতা : জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন: 3 J. বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমাম খুঁজুন বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিম ধারণা। একটি এক্সট্রিম্যামের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত শর্তাধীন এক্সট্রিমাম ক্রমাগত ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান 34. দুটি ভেরিয়েবলের একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র ব্যবহার করে, ফাংশনগুলি খুঁজুন: 35. একটি কমপ্লেক্সের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র ব্যবহার করে দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশন, খুঁজুন |J এবং ফাংশন: পরোক্ষভাবে দেওয়া jj ফাংশন খুঁজুন: 40. সরলরেখা x = 3 এর সাথে তার ছেদ বিন্দুতে স্পর্শক বক্ররেখার কৌণিক সহগ খুঁজুন। 41. বিন্দুগুলি খুঁজুন যেখানে স্পর্শকটি বক্ররেখার x অক্ষ অক্ষের সমান্তরাল। . নিম্নলিখিত সমস্যাগুলিতে, খুঁজুন এবং T: স্পর্শক সমতলের সমীকরণগুলি এবং পৃষ্ঠের স্বাভাবিক সমীকরণগুলি লিখ: 49. পৃষ্ঠের স্পর্শক সমতলগুলির সমীকরণগুলি লিখুন x2 + 2y2 + 3z2 = 21, সমতল x + 4y এর সমান্তরাল + 6z = 0. টেলর সূত্র ব্যবহার করে সম্প্রসারণের প্রথম তিন বা চারটি পদ খুঁজুন : 50. বিন্দুর আশেপাশে y (0, 0)। একটি ফাংশনের এক্সট্রিমামের সংজ্ঞা ব্যবহার করে, এক্সট্রিমামের জন্য নিম্নলিখিত ফাংশনগুলি পরীক্ষা করুন:)। দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্তের জন্য যথেষ্ট শর্ত ব্যবহার করে, ফাংশনের প্রান্তটি পরীক্ষা করুন: 84. একটি বন্ধ বৃত্তে z = x2 - y2 ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজুন 85. বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজুন ফাংশনের * = x2y(4-x-y) সরলরেখা x = 0, y = 0, x + y = b দ্বারা আবদ্ধ একটি ত্রিভুজের। 88. একটি আয়তক্ষেত্রাকার উন্মুক্ত পুলের মাত্রা নির্ণয় করুন যার সর্বাপেক্ষা ক্ষুদ্রতম পৃষ্ঠ রয়েছে, শর্ত থাকে যে এর আয়তন V এর সমান হয়। উত্তর 1. এবং | একটি বর্গক্ষেত্র যা এর বাহুগুলি সহ x রেখার অংশ দ্বারা গঠিত। 3. ঘনকেন্দ্রিক বলয়ের পরিবার 2= 0,1,2,... .4। সরলরেখার বিন্দু ব্যতীত পুরো সমতল। সমতলের অংশটি প্যারাবোলা y = -x? এর উপরে অবস্থিত। 8. বৃত্তের বিন্দু x। সরল রেখা ছাড়া সমগ্র সমতল x মূল অভিব্যক্তিটি দুটি ক্ষেত্রে অ-নেতিবাচক যা যথাক্রমে অসমতার একটি অসীম সিরিজের সমতুল্য (চিত্র 26); l যা একটি অসীম সিরিজের সমতুল্য ফাংশনটি বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ক) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখা x খ) কেন্দ্রিক বৃত্ত যার উৎপত্তিস্থল। 10. ক) প্যারাবোলাস y) প্যারাবোলাস y ক) প্যারাবোলাস খ) হাইপারবোলাস | প্লেন xc. 13.প্রাইম - Oz অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের একক-গহ্বর হাইপারবোলয়েড; যখন এবং Oz অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের দুই-শীট হাইপারবোলয়েড হয়, তখন পৃষ্ঠের উভয় পরিবার একটি শঙ্কু দ্বারা পৃথক হয়; কোন সীমা নেই, খ) 0। 18. y = kxt তারপর z lim z = -2 সেট করি, তাই বিন্দুতে (0,0) প্রদত্ত ফাংশনের কোনো সীমা নেই। 19. ক) পয়েন্ট (0,0); খ) পয়েন্ট (0,0)। 20. ক) ব্রেক লাইন - বৃত্ত x2 + y2 = 1; b) বিরতি রেখা হল সরলরেখা y = x। 21. ক) ব্রেক লাইন - অক্ষ অক্ষ এবং Oy সমন্বয়; খ) 0 (খালি সেট)। 22. সমস্ত বিন্দু (m, n), যেখানে এবং n পূর্ণসংখ্যা

দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের সীমাবদ্ধতার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত।একটি বিন্দুকে একটি ফাংশনের একটি সর্বনিম্ন (সর্বোচ্চ) বিন্দু বলা হয় যদি বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট এলাকায় ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং অসমতাকে সন্তুষ্ট করে (যথাক্রমে, সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন বিন্দুগুলিকে ফাংশনের চরম বিন্দু বলা হয়।

একটি extremum জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত. যদি একটি চরম বিন্দুতে একটি ফাংশনের প্রথম আংশিক ডেরিভেটিভ থাকে, তাহলে সেগুলি এই সময়ে অদৃশ্য হয়ে যায়। এটি অনুসরণ করে যে এই ধরনের একটি ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজে পেতে, একটি সমীকরণের একটি সিস্টেমকে সমাধান করতে হবে যেগুলির স্থানাঙ্কগুলি এই সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে তাকে ফাংশনের সমালোচনামূলক বিন্দু বলা হয়। তাদের মধ্যে সর্বাধিক পয়েন্ট, সর্বনিম্ন পয়েন্ট এবং এমন পয়েন্টও থাকতে পারে যেগুলি চরম পয়েন্ট নয়।

ক্রিটিক্যাল পয়েন্টের একটি সেট থেকে চরম বিন্দু চিহ্নিত করতে পর্যাপ্ত চরম অবস্থা ব্যবহার করা হয় এবং নিচে তালিকাভুক্ত করা হয়।

ক্রিটিক্যাল পয়েন্টে ফাংশনটির ক্রমাগত দ্বিতীয় আংশিক ডেরিভেটিভ থাকতে দিন। এই মুহুর্তে যদি এটি সত্য হয়

শর্ত তাহলে এটি একটি সর্বনিম্ন বিন্দুতে এবং একটি সর্বোচ্চ বিন্দুতে যদি একটি জটিল বিন্দুতে থাকে তবে এটি একটি চরম বিন্দু নয়। এই ক্ষেত্রে, সমালোচনামূলক বিন্দুর প্রকৃতির আরও সূক্ষ্ম অধ্যয়ন প্রয়োজন, যা এই ক্ষেত্রে একটি চরম বিন্দু হতে পারে বা নাও হতে পারে।

তিনটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের এক্সট্রিমা।তিনটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে, এক্সট্রিম বিন্দুর সংজ্ঞা দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞাগুলিকে মৌখিকভাবে পুনরাবৃত্তি করে। আমরা একটি extremum জন্য একটি ফাংশন অধ্যয়ন করার পদ্ধতি উপস্থাপন করার জন্য নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ. সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার সময়, একজনকে ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করা উচিত এবং তারপরে প্রতিটি সমালোচনামূলক পয়েন্টে মানগুলি গণনা করা উচিত।

যদি তিনটি পরিমাণই ধনাত্মক হয়, তাহলে প্রশ্নে গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুটি হল সর্বনিম্ন বিন্দু; যদি তারপর এই সমালোচনামূলক পয়েন্ট একটি সর্বোচ্চ পয়েন্ট.

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের শর্তাধীন প্রান্ত।একটি বিন্দুকে একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম (সর্বোচ্চ) বিন্দু বলা হয় তবে শর্ত থাকে যে বিন্দুটির একটি প্রতিবেশী রয়েছে যেখানে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং যেখানে (যথাক্রমে) সমস্ত বিন্দুর জন্য যার স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে

শর্তাধীন চরম বিন্দু খুঁজে পেতে, Lagrange ফাংশন ব্যবহার করুন

যেখানে সংখ্যাটিকে Lagrange গুণক বলা হয়। তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা

Lagrange ফাংশনের সমালোচনামূলক বিন্দুগুলি খুঁজুন (পাশাপাশি অক্জিলিয়ারী ফ্যাক্টর A এর মান)। এই জটিল পয়েন্টে একটি শর্তাধীন চরম হতে পারে। উপরের সিস্টেমটি শুধুমাত্র একটি চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত সরবরাহ করে, কিন্তু পর্যাপ্ত নয়: এটি এমন পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট হতে পারে যা শর্তসাপেক্ষ চরমের বিন্দু নয়। যাইহোক, সমস্যার সারাংশের উপর ভিত্তি করে, প্রায়শই জটিল বিন্দুর প্রকৃতি নির্ধারণ করা সম্ভব।

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের শর্তাধীন প্রান্ত।চলকগুলির কাজটি এই শর্তে বিবেচনা করা যাক যে তারা সমীকরণগুলির সাথে সম্পর্কিত