প্যারামেট্রিক আকারে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ। উপবৃত্ত সম্পত্তি সংজ্ঞা নির্মাণ

সংজ্ঞা 7.1.সমতলের সমস্ত বিন্দুর সেট যার জন্য দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু F 1 এবং F 2 এর দূরত্বের সমষ্টি একটি প্রদত্ত ধ্রুবক মান বলে উপবৃত্ত

একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞা তার জ্যামিতিক নির্মাণের নিম্নলিখিত পদ্ধতি দেয়। আমরা সমতলে দুটি বিন্দু F 1 এবং F 2 ঠিক করি এবং 2a দ্বারা একটি অ-নেতিবাচক ধ্রুবক মান নির্দেশ করি। বিন্দু F 1 এবং F 2 এর মধ্যে দূরত্ব 2c হতে দিন। আসুন কল্পনা করা যাক যে 2a দৈর্ঘ্যের একটি অক্ষম থ্রেড F 1 এবং F 2 বিন্দুতে স্থির করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, দুটি সূঁচ ব্যবহার করে। এটা স্পষ্ট যে এটি শুধুমাত্র একটি ≥ c এর জন্য সম্ভব। একটি পেন্সিল দিয়ে থ্রেডটি টেনে নিয়ে, একটি রেখা আঁকুন, যা একটি উপবৃত্তাকার হবে (চিত্র 7.1)।

সুতরাং, বর্ণিত সেটটি খালি হয় না যদি a ≥ c হয়। যখন a = c, উপবৃত্ত হল একটি সেগমেন্ট যার শেষ F 1 এবং F 2, এবং যখন c = 0, i.e. যদি একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞায় নির্দিষ্ট বিন্দুগুলি মিলে যায় তবে এটি একটি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত। এই অধঃপতন কেসগুলি বাদ দিয়ে, আমরা আরও অনুমান করব, একটি নিয়ম হিসাবে, a > c > 0।

উপবৃত্তের 7.1 সংজ্ঞায় F 1 এবং F 2 স্থির বিন্দুগুলিকে (চিত্র 7.1 দেখুন) বলা হয় উপবৃত্তাকার কেন্দ্রবিন্দু, তাদের মধ্যে দূরত্ব, 2c দ্বারা নির্দেশিত, - ফোকাস দৈর্ঘ্য, এবং উপবৃত্তের উপর একটি নির্বিচারী বিন্দু M এর কেন্দ্রবিন্দুর সাথে F 1 M এবং F 2 M সংযোগকারী অংশগুলি হল ফোকাল রেডিআই.

উপবৃত্তের আকৃতি ফোকাল দৈর্ঘ্য |F 1 F 2 | দ্বারা সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়৷ = 2c এবং প্যারামিটার a, এবং সমতলে এর অবস্থান - বিন্দু F 1 এবং F 2 এর একটি জোড়া।

একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে এটি ফোসি F 1 এবং F 2 এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার সাপেক্ষে প্রতিসাম্য এবং সেইসাথে যে রেখাটি F 1 F 2 কে অর্ধেকে বিভক্ত করে এবং এটির সাথে লম্ব। (চিত্র 7.2, ক)। এই লাইন বলা হয় উপবৃত্তাকার অক্ষ. তাদের ছেদকের O বিন্দুটি উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের কেন্দ্র এবং একে বলা হয় উপবৃত্তের কেন্দ্র, এবং প্রতিসাম্যের অক্ষের সাথে উপবৃত্তের ছেদ বিন্দু (বিন্দু A, B, C এবং D চিত্র 7.2, a) - উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু.

নম্বর a বলা হয় উপবৃত্তের আধা-প্রধান অক্ষ, এবং b = √(a 2 - c 2) - এর ক্ষুদ্র অক্ষ. এটা সহজে দেখা যায় যে c > 0 এর জন্য, আধা-প্রধান অক্ষ a উপবৃত্তের কেন্দ্র থেকে এর শীর্ষবিন্দুগুলির দূরত্বের সমান যা উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুর সাথে একই অক্ষে রয়েছে (শীর্ষ A এবং B) চিত্র 7.2, a) এবং অর্ধ-গৌণ অক্ষ b কেন্দ্র উপবৃত্ত থেকে তার অন্য দুটি শীর্ষবিন্দুর দূরত্বের সমান (চিত্র 7.2, a-তে শীর্ষবিন্দু C এবং D)।

উপবৃত্ত সমীকরণ।আসুন F 1 এবং F 2, প্রধান অক্ষ 2a বিন্দুতে ফোকাস সহ সমতলে কিছু উপবৃত্ত বিবেচনা করি। ধরা যাক 2c ফোকাল দৈর্ঘ্য, 2c = |F 1 F 2 |

আসুন সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সি বেছে নেওয়া যাক যাতে এর উত্স উপবৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায় এবং এর ফোসি চালু থাকে x-অক্ষ(চিত্র 7.2, খ)। এই ধরনের একটি সমন্বয় সিস্টেম বলা হয় ক্যানোনিকালপ্রশ্নে উপবৃত্তের জন্য, এবং সংশ্লিষ্ট ভেরিয়েবলগুলি হল ক্যানোনিকাল.

নির্বাচিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, foci এর স্থানাঙ্ক রয়েছে F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0)। বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে, আমরা শর্ত লিখি |F 1 M| + |F 2 M| স্থানাঙ্কে = 2a:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a। (7.2)

এই সমীকরণটি অসুবিধাজনক কারণ এতে দুটি বর্গ র্যাডিকেল রয়েছে। তাই এর রূপান্তর করা যাক. আসুন আমরা সমীকরণে (7.2) দ্বিতীয় র্যাডিকেলকে নিয়ে যাই ডান পাশএবং এটি বর্গক্ষেত্র:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2।

বন্ধনী খোলার পরে এবং অনুরূপ পদ আনার পরে, আমরা পাই

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

যেখানে ε = c/a. আমরা দ্বিতীয় র্যাডিকাল অপসারণের জন্য স্কোয়ারিং অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি করি: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, বা, প্রবেশ করা পরামিতি ε, (a 2 - c 2) এর মান বিবেচনা করে ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2। যেহেতু a 2 - c 2 = b 2 > 0, তারপর

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

সমীকরণ (7.4) উপবৃত্তে থাকা সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট। কিন্তু এই সমীকরণটি বের করার সময়, মূল সমীকরণ (7.2) এর অতুলনীয় রূপান্তর ব্যবহার করা হয়েছিল - দুটি বর্গক্ষেত্র যা বর্গক্ষেত্র র্যাডিকেলগুলিকে সরিয়ে দেয়। একটি সমীকরণ বর্গ করা একটি সমতুল্য রূপান্তর যদি উভয় পক্ষের একই চিহ্ন সহ পরিমাণ থাকে, কিন্তু আমরা আমাদের রূপান্তরগুলিতে এটি পরীক্ষা করিনি।

আমরা যদি নিম্নলিখিতগুলি বিবেচনা করি তবে আমরা রূপান্তরগুলির সমতা পরীক্ষা করা এড়াতে পারি। বিন্দু F 1 এবং F 2, |F 1 F 2 | = 2c, সমতলে এই বিন্দুতে ফোসি সহ উপবৃত্তের একটি পরিবারকে সংজ্ঞায়িত করে। F 1 F 2 সেগমেন্টের বিন্দু ব্যতীত সমতলের প্রতিটি বিন্দু নির্দেশিত পরিবারের কিছু উপবৃত্তের অন্তর্গত। এই ক্ষেত্রে, কোন দুটি উপবৃত্ত ছেদ করে না, যেহেতু ফোকাল ব্যাসার্ধের যোগফল স্বতন্ত্রভাবে একটি নির্দিষ্ট উপবৃত্ত নির্ধারণ করে। সুতরাং, ছেদবিহীন উপবৃত্তের বর্ণিত পরিবারটি F 1 F 2 সেগমেন্টের বিন্দুগুলি ব্যতীত পুরো সমতলকে জুড়ে দেয়। আসুন আমরা বিন্দুগুলির একটি সেট বিবেচনা করি যার স্থানাঙ্কগুলি পরামিতি a এর একটি প্রদত্ত মানের সাথে সমীকরণ (7.4) পূরণ করে। এই সেটটি কি বেশ কয়েকটি উপবৃত্তের মধ্যে বিতরণ করা যেতে পারে? সেটের কিছু বিন্দু সেমিমেজর অক্ষ সহ একটি উপবৃত্তের অন্তর্গত। সেমিমেজর অক্ষ a সহ একটি উপবৃত্তের উপর শুয়ে থাকা এই সেটটিতে একটি বিন্দু থাকতে দিন। তারপর এই বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণ মেনে চলে

সেগুলো। সমীকরণ (7.4) এবং (7.5) আছে সাধারণ সমাধান. যাইহোক, এটি সিস্টেমটি যাচাই করা সহজ

ã ≠ a এর কোনো সমাধান নেই। এটি করার জন্য, এটি বাদ দেওয়া যথেষ্ট, উদাহরণস্বরূপ, প্রথম সমীকরণ থেকে x:

যা রূপান্তরের পরে সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়

যার কোনো সমাধান নেই ã ≠ a, থেকে। সুতরাং, (7.4) হল আধা-প্রধান অক্ষ a > 0 এবং আধা-মাইন অক্ষ b =√(a 2 - c 2) > 0 সহ একটি উপবৃত্তের সমীকরণ। একে বলা হয় ক্যানোনিকাল উপবৃত্তাকার সমীকরণ.

উপবৃত্তাকার দৃশ্য।উপরে আলোচিত একটি উপবৃত্ত নির্মাণের জ্যামিতিক পদ্ধতি একটি যথেষ্ট ধারণা দেয় চেহারাউপবৃত্ত কিন্তু উপবৃত্তের আকৃতিও এর ক্যানোনিকাল সমীকরণ (7.4) ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি y ≥ 0 ধরে নিয়ে x: y = b√(1 - x 2 /a 2) এর মাধ্যমে y প্রকাশ করতে পারেন এবং এই ফাংশনটি অধ্যয়ন করে এর গ্রাফ তৈরি করতে পারেন। একটি উপবৃত্ত নির্মাণের আরেকটি উপায় আছে। উপবৃত্ত (7.4) এর ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উৎপত্তিস্থলে একটি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তকে x 2 + y 2 = a 2 সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে। যদি এটি একটি সহগ a/b > 1 বরাবর সংকুচিত হয় y-অক্ষ, তাহলে আপনি একটি বক্ররেখা পাবেন যা x 2 + (ya/b) 2 = a 2, অর্থাৎ একটি উপবৃত্ত দ্বারা বর্ণিত।

মন্তব্য 7.1.যদি একই বৃত্ত a/b গুণনীয়ক দ্বারা সংকুচিত হয়

উপবৃত্ত বিকেন্দ্রতা. একটি উপবৃত্তের ফোকাল দৈর্ঘ্যের সাথে এর প্রধান অক্ষের অনুপাতকে বলা হয় উপবৃত্তের বিকেন্দ্রতাএবং ε দ্বারা চিহ্নিত। দেওয়া একটি উপবৃত্ত জন্য

ক্যানোনিকাল সমীকরণ (7.4), ε = 2c/2a = c/a। যদি (7.4) মধ্যে পরামিতি a এবং b অসমতার সাথে সম্পর্কিত হয়

যখন c = 0, যখন উপবৃত্তটি একটি বৃত্তে পরিণত হয় এবং ε = 0। অন্য ক্ষেত্রে, 0

সমীকরণ (7.3) সমীকরণ (7.4) এর সমতুল্য, যেহেতু সমীকরণ (7.4) এবং (7.2) সমতুল্য। অতএব, মাত্রাবৃত্তের সমীকরণটিও (7.3)। উপরন্তু, সম্পর্ক (7.3) আকর্ষণীয় কারণ এটি দৈর্ঘ্যের জন্য একটি সহজ, র্যাডিকাল-মুক্ত সূত্র দেয় |F 2 M| উপবৃত্তের M(x; y) বিন্দুর ফোকাল ব্যাসার্ধের একটি: |F 2 M| = a + εx.

দ্বিতীয় ফোকাল ব্যাসার্ধের জন্য একটি অনুরূপ সূত্র প্রতিসাম্য বিবেচনা বা পুনরাবৃত্তি গণনা দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে যেখানে, স্কোয়ারিং সমীকরণ (7.2) আগে, প্রথম র্যাডিকেলটি ডানদিকে স্থানান্তরিত হয়, দ্বিতীয়টি নয়। সুতরাং, উপবৃত্তে M(x; y) বিন্দুর জন্য (চিত্র 7.2 দেখুন)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

এবং এই সমীকরণগুলির প্রতিটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ 7.1.আসুন সেমিমেজর অক্ষ 5 এবং বিকেন্দ্রিকতা 0.8 সহ একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণটি খুঁজে বের করি এবং এটি তৈরি করি।

উপবৃত্ত a = 5 এর আধা-প্রধান অক্ষ এবং বিকেন্দ্রতা ε = 0.8 জেনে, আমরা এর অর্ধ-গৌণ অক্ষ b খুঁজে পাব। যেহেতু b = √(a 2 - c 2), এবং c = εa = 4, তারপর b = √(5 2 - 4 2) = 3। সুতরাং প্রামাণিক সমীকরণটির আকার x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. একটি উপবৃত্ত তৈরি করতে, ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উৎপত্তিস্থলে একটি কেন্দ্রের সাথে একটি আয়তক্ষেত্র আঁকা সুবিধাজনক, যার বাহুগুলি উপবৃত্তের প্রতিসাম্য অক্ষগুলির সমান্তরাল এবং এর সংশ্লিষ্ট অক্ষগুলির সমান (চিত্র। 7.4)। এই আয়তক্ষেত্রের সাথে ছেদ করে

উপবৃত্তের অক্ষগুলি এর শীর্ষবিন্দুতে A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), এবং উপবৃত্তটি নিজেই এতে খোদাই করা আছে। চিত্রে। 7.4 এছাড়াও উপবৃত্তের foci F 1.2 (±4; 0) দেখায়।

উপবৃত্তের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য।আসুন প্রথম সমীকরণটি (7.6) এ |F 1 M| হিসাবে পুনরায় লিখি = (a/ε - x)ε। মনে রাখবেন a/ε - x a > c এর মান ধনাত্মক, যেহেতু ফোকাস F 1 উপবৃত্তের অন্তর্গত নয়। এই মানটি এই লাইনের বাম দিকে থাকা M(x; y) বিন্দু থেকে d: x = a/ε উল্লম্ব রেখার দূরত্ব উপস্থাপন করে। উপবৃত্ত সমীকরণ হিসাবে লেখা যেতে পারে

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

এর মানে হল যে এই উপবৃত্তটি সমতলের সেই বিন্দুগুলি M(x; y) নিয়ে গঠিত যার জন্য ফোকাল ব্যাসার্ধ F 1 M এর দৈর্ঘ্য এবং সরলরেখা d এর দূরত্বের অনুপাত ε (চিত্র 1) এর সমান একটি ধ্রুবক মান। 7.5)।

সরলরেখা d-এর একটি "দ্বিগুণ" আছে - উপবৃত্তের কেন্দ্রের সাপেক্ষে d-এর প্রতিসম, যা d-এর ক্ষেত্রে উপবৃত্তাকার বর্ণনা করা হয়েছে একই ভাবে ঘ. উভয় লাইন d এবং d" বলা হয় উপবৃত্তের directrixes. উপবৃত্তের নির্দেশিকাগুলি উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের অক্ষের সাথে লম্ব যার উপর এটির কেন্দ্রবিন্দু অবস্থিত এবং উপবৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব a/ε = a 2 /c (চিত্র 7.5 দেখুন)।

ডিরেক্ট্রিক্স থেকে ফোকাসের সবচেয়ে কাছের দূরত্ব p বলা হয় উপবৃত্তের ফোকাল প্যারামিটার. এই প্যারামিটার সমান

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

উপবৃত্তের আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে: ফোকাল রেডিআই F 1 M এবং F 2 M বিন্দু M (চিত্র 7.6) এ উপবৃত্তের স্পর্শকের সাথে সমান কোণ তৈরি করে।

এই সম্পত্তি একটি পরিষ্কার আছে শারীরিক অর্থ. যদি একটি আলোর উত্স ফোকাস F 1 এ স্থাপন করা হয়, তাহলে এই ফোকাস থেকে উদ্ভূত রশ্মি, উপবৃত্ত থেকে প্রতিফলনের পরে, দ্বিতীয় ফোকাল ব্যাসার্ধ বরাবর যাবে, কারণ প্রতিফলনের পরে এটি প্রতিফলনের আগের বক্ররেখার একই কোণে থাকবে। এইভাবে, ফোকাস F 1 থেকে উত্থিত সমস্ত রশ্মি দ্বিতীয় ফোকাস F 2-এ ঘনীভূত হবে এবং এর বিপরীতে। এই ব্যাখ্যার উপর ভিত্তি করে, এই সম্পত্তি বলা হয় উপবৃত্তের অপটিক্যাল সম্পত্তি.

সংজ্ঞা। একটি উপবৃত্ত হল একটি সমতলে থাকা বিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থান, যার প্রতিটির দূরত্বের সমষ্টি এই সমতলের দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে, ফোসি বলা হয়, একটি ধ্রুবক মান (যদি থাকে যে এই মানটি ফোকির মধ্যে দূরত্বের চেয়ে বেশি) .

আসুন তাদের মধ্যে দূরত্বের মাধ্যমে ফোসি বোঝাই - মাধ্যমে , এবং একটি ধ্রুবক মান, পরিমাণের সমানউপবৃত্তের প্রতিটি বিন্দু থেকে ফোসি পর্যন্ত দূরত্ব, মাধ্যমে (শর্ত অনুযায়ী)।

আসুন একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা তৈরি করি যাতে ফোসিটি অ্যাবসিসা অক্ষের উপর থাকে এবং স্থানাঙ্কের উৎপত্তি সেগমেন্টের মাঝখানের সাথে মিলে যায় (চিত্র 44)। তারপর foci এর নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক থাকবে: বাম ফোকাস এবং ডান ফোকাস। আমাদের বেছে নেওয়া স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় উপবৃত্তের সমীকরণটি বের করা যাক। এই উদ্দেশ্যে, উপবৃত্তের একটি নির্বিচারে বিন্দু বিবেচনা করুন। একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞা অনুসারে, এই বিন্দু থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্বের যোগফল সমান:

দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে, তাই আমরা প্রাপ্ত করি

এই সমীকরণটি সহজ করার জন্য, আমরা এটি আকারে লিখি

তারপর সমীকরণের উভয় পক্ষের বর্গক্ষেত্র, আমরা পেতে

বা, সুস্পষ্ট সরলীকরণের পরে:

এখন আমরা আবার সমীকরণের উভয় দিকে বর্গক্ষেত্র করি, যার পরে আমাদের আছে:

বা, অভিন্ন রূপান্তরের পরে:

যেহেতু, উপবৃত্তের সংজ্ঞার শর্ত অনুসারে, সংখ্যাটি ধনাত্মক। স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক

তারপর সমীকরণটি নিম্নলিখিত ফর্মটি গ্রহণ করবে:

একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞা অনুসারে, এর যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণকে (26) পূরণ করে। কিন্তু সমীকরণ (29) হল সমীকরণের (26) পরিণতি। ফলস্বরূপ, এটি উপবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারাও সন্তুষ্ট হয়।

এটি দেখানো যেতে পারে যে বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি উপবৃত্তের উপর থাকে না সেগুলি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে না (29)। সুতরাং, সমীকরণ (29) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ। একে উপবৃত্তের প্রামাণিক সমীকরণ বলা হয়।

এর প্রামাণিক সমীকরণ ব্যবহার করে উপবৃত্তের আকৃতি স্থাপন করা যাক।

প্রথমত, আসুন এই বিষয়টিতে মনোযোগ দেওয়া যাক যে এই সমীকরণটি কেবলমাত্র রয়েছে এমনকি ডিগ্রি x এবং y। এর মানে হল যে কোনো বিন্দু যদি একটি উপবৃত্তের অন্তর্গত হয়, তবে এতে অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে সম্পর্কিত বিন্দুর সাথে একটি বিন্দু প্রতিসাম্য এবং অর্ডিনেট অক্ষের সাথে সম্পর্কিত বিন্দুর সাথে একটি বিন্দু প্রতিসম থাকে। এইভাবে, উপবৃত্তে প্রতিসাম্যের দুটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষ রয়েছে, যা আমাদের নির্বাচিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সাথে মিলে যায়। আমরা এখন থেকে উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের অক্ষগুলিকে উপবৃত্তের অক্ষ এবং তাদের ছেদ বিন্দুটিকে উপবৃত্তের কেন্দ্র বলব। যে অক্ষের উপর উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু অবস্থিত (in এক্ষেত্রে x-অক্ষ) কে ফোকাল অক্ষ বলা হয়।

আসুন প্রথমে প্রথম ত্রৈমাসিকে উপবৃত্তের আকৃতি নির্ধারণ করি। এটি করার জন্য, আসুন y এর জন্য সমীকরণ (28) সমাধান করি:

এটা স্পষ্ট যে এখানে, যেহেতু y কাল্পনিক মান নেয়। আপনি 0 থেকে a-তে বাড়ার সাথে সাথে y b থেকে 0-তে কমে যায়। প্রথম ত্রৈমাসিকে পড়ে থাকা উপবৃত্তের অংশটি B (0; b) বিন্দু দ্বারা আবদ্ধ এবং স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর শুয়ে থাকা একটি চাপ হবে (চিত্র 45)। এখন উপবৃত্তের প্রতিসাম্য ব্যবহার করে, আমরা উপসংহারে উপনীত হই যে উপবৃত্তের আকারটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 45।

অক্ষের সাথে উপবৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলিকে উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু বলা হয়। উপবৃত্তের প্রতিসাম্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে, শীর্ষবিন্দুগুলি ছাড়াও, উপবৃত্তের আরও দুটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে (চিত্র 45 দেখুন)।

উপবৃত্তের অংশগুলি এবং সংযোগকারী বিপরীত শীর্ষবিন্দুগুলি, সেইসাথে তাদের দৈর্ঘ্যগুলিকে যথাক্রমে উপবৃত্তের প্রধান এবং ছোট অক্ষ বলা হয়। a এবং b সংখ্যাগুলিকে যথাক্রমে উপবৃত্তের প্রধান এবং গৌণ আধা-অক্ষ বলা হয়।

উপবৃত্তের অর্ধ-প্রধান অক্ষের কেন্দ্রবিন্দু থেকে অর্ধেক দূরত্বের অনুপাতকে উপবৃত্তের বিকেন্দ্রতা বলা হয় এবং সাধারণত অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

যেহেতু, উপবৃত্তের বিকেন্দ্রতা একতার চেয়ে কম: বিকেন্দ্রিকতা উপবৃত্তের আকৃতিকে চিহ্নিত করে। প্রকৃতপক্ষে, সূত্র (28) থেকে এটি অনুসরণ করে যে উপবৃত্তের বিকেন্দ্রতা যত ছোট হবে, এর অর্ধ-অপ্রধান অক্ষ b আধা-প্রধান অক্ষ a থেকে তত কম হবে, অর্থাৎ, উপবৃত্তটি তত কম প্রসারিত হবে (ফোকাল অক্ষ বরাবর)।

সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রে, ফলাফল হল ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত a: , বা . একই সময়ে, উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু এক বিন্দুতে একত্রিত বলে মনে হচ্ছে - বৃত্তের কেন্দ্র। বৃত্তের বিকেন্দ্রতা শূন্য:

উপবৃত্ত এবং বৃত্তের মধ্যে সংযোগ স্থাপন করা যেতে পারে অন্য দৃষ্টিকোণ থেকে। আসুন দেখান যে অর্ধ-অক্ষ a এবং b সহ একটি উপবৃত্তকে a ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের অভিক্ষেপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

আসুন আমরা দুটি সমতল P এবং Q বিবেচনা করি, নিজেদের মধ্যে এমন একটি কোণ গঠন করে, যার জন্য (চিত্র 46)। আসুন আমরা P সমতলে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা তৈরি করি, এবং Q সমতলে একটি সিস্টেম অক্সি যার একটি সাধারণ উত্স O এবং একটি সাধারণ অ্যাবসিসা অক্ষ সমতলগুলির ছেদ রেখার সাথে মিলে যায়। সমতল পি একটি বৃত্ত বিবেচনা করুন

উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্র এবং a এর সমান ব্যাসার্ধ সহ। বৃত্তে একটি নির্বিচারে নির্বাচিত বিন্দু হতে দিন, Q সমতলে এটির অভিক্ষেপ হোক এবং অক্স অক্ষের উপর M বিন্দুর অভিক্ষেপ হোক। আসুন দেখান যে বিন্দুটি একটি উপবৃত্তের উপর অর্ধ-অক্ষ a এবং b সহ অবস্থিত।

দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখাএকটি সমতলে সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত লাইন হয় যেখানে পরিবর্তনশীল স্থানাঙ্ক এক্সএবং yদ্বিতীয় ডিগ্রী মধ্যে রয়েছে. এর মধ্যে উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং প্যারাবোলা অন্তর্ভুক্ত।

দ্বিতীয় ক্রম বক্র সমীকরণের সাধারণ ফর্ম নিম্নরূপ:

কোথায় A, B, C, D, E, F- সংখ্যা এবং অন্তত একটি সহগ A, B, Cশূন্যের সমান নয়।

দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখার সমস্যা সমাধান করার সময়, উপবৃত্ত, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণগুলি প্রায়শই বিবেচনা করা হয়। সাধারণ সমীকরণ থেকে তাদের দিকে এগিয়ে যাওয়া সহজ; উপবৃত্তাকার সমস্যাগুলির উদাহরণ 1 এটিতে উত্সর্গ করা হবে।

ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত উপবৃত্ত

উপবৃত্তের সংজ্ঞা।একটি উপবৃত্ত হল সমতলের সমস্ত বিন্দুর সেট যার জন্য বিন্দুগুলির দূরত্বের সমষ্টি ফোসি নামক একটি ধ্রুবক মান ফোসি-এর মধ্যকার দূরত্বের চেয়ে বেশি।

ফোকাসগুলি নীচের চিত্রের মতো নির্দেশিত হয়েছে।

একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণের ফর্ম রয়েছে:

কোথায় কএবং খ (ক > খ) - অর্ধ-অক্ষের দৈর্ঘ্য, অর্থাৎ স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর উপবৃত্ত দ্বারা কাটা অংশগুলির অর্ধেক দৈর্ঘ্য।

উপবৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া সরল রেখাটি হল এর প্রতিসাম্যের অক্ষ। একটি উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের আরেকটি অক্ষ হল একটি সরল রেখা যা এই অংশের লম্ব একটি অংশের মাঝখান দিয়ে যায়। ডট সম্পর্কিতএই রেখাগুলির ছেদটি উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের কেন্দ্র বা কেবলমাত্র উপবৃত্তের কেন্দ্র হিসাবে কাজ করে।

উপবৃত্তের অবসিসা অক্ষ বিন্দুতে ছেদ করে ( ক, সম্পর্কিত) এবং (- ক, সম্পর্কিত), এবং অর্ডিনেট অক্ষ বিন্দুতে রয়েছে ( খ, সম্পর্কিত) এবং (- খ, সম্পর্কিত) এই চারটি বিন্দুকে উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু বলা হয়। x-অক্ষের উপর উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর মধ্যবর্তী অংশটিকে এর প্রধান অক্ষ বলা হয় এবং অর্ডিনেট অক্ষের উপর - এটির ছোট অক্ষ। উপবৃত্তের শীর্ষ থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত তাদের অংশগুলিকে অর্ধ-অক্ষ বলা হয়।

যদি ক = খ, তাহলে উপবৃত্তের সমীকরণটি রূপ নেয়। এটি ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তের সমীকরণ ক, এবং বৃত্ত হল বিশেষ মামলাউপবৃত্ত ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত থেকে একটি উপবৃত্তাকার প্রাপ্ত করা যেতে পারে ক, যদি আপনি এটিকে সংকুচিত করেন ক/খঅক্ষ বরাবর বার ওয় .

উদাহরণ 1.একটি সাধারণ সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি লাইন কিনা তা পরীক্ষা করুন , উপবৃত্তাকার।

সমাধান। আমরা রূপান্তর করা সাধারণ সমীকরণ. আমরা মুক্ত শব্দের ডানদিকে স্থানান্তর ব্যবহার করি, একই সংখ্যা দ্বারা সমীকরণের মেয়াদ-দ্বারা বিভাজন এবং ভগ্নাংশের হ্রাস ব্যবহার করি:

উত্তর। রূপান্তরের ফলে প্রাপ্ত সমীকরণ হল উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ। অতএব, এই লাইন একটি উপবৃত্ত.

উদাহরণ 2।একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করুন যদি এর অর্ধ-অক্ষ যথাক্রমে 5 এবং 4 হয়।

সমাধান। আমরা একটি উপবৃত্ত এবং বিকল্পের ক্যানোনিকাল সমীকরণের সূত্রটি দেখি: সেমিমেজর অক্ষ হল ক= 5, সেমিনার অক্ষ হল খ= 4। আমরা উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ পাই:

বিন্দু এবং , প্রধান অক্ষে সবুজে নির্দেশিত, যেখানে

ডাকল কৌশল.

ডাকা উদ্ভটতাউপবৃত্ত

মনোভাব খ/কউপবৃত্তের "স্থায়িত্ব" চিহ্নিত করে। এই অনুপাতটি যত ছোট হবে, উপবৃত্তটি প্রধান অক্ষ বরাবর দীর্ঘায়িত হবে। যাইহোক, একটি উপবৃত্তের প্রসারণের মাত্রা প্রায়শই উদ্বেগের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, যার সূত্র উপরে দেওয়া হয়েছে। বিভিন্ন উপবৃত্তের জন্য, বিকেন্দ্রতা 0 থেকে 1 পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়, সর্বদা একতার চেয়ে কম থাকে।

উদাহরণ 3.উপবৃত্তের প্রামাণিক সমীকরণ রচনা করুন যদি ফোসিটির মধ্যে দূরত্ব 8 এবং প্রধান অক্ষের 10 হয়।

সমাধান। আসুন কিছু সহজ সিদ্ধান্তে আসা যাক:

যদি প্রধান অক্ষ 10 এর সমান হয়, তাহলে এর অর্ধেক, অর্থাৎ অর্ধ-অক্ষ ক = 5 ,

যদি foci এর মধ্যে দূরত্ব 8 হয়, তাহলে সংখ্যাটি গফোকাল স্থানাঙ্ক 4 এর সমান।

আমরা প্রতিস্থাপন করি এবং গণনা করি:

ফলাফল হল উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ:

উদাহরণ 4.একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করুন যদি এর প্রধান অক্ষ 26 হয় এবং এর বিকেন্দ্রতা হয়।

সমাধান। প্রধান অক্ষের আকার এবং বিকেন্দ্রিকতা সমীকরণ উভয় থেকে অনুসরণ করা হয়েছে, উপবৃত্তের অর্ধপ্রধান অক্ষ ক= 13টি। বিকেন্দ্রতা সমীকরণ থেকে আমরা সংখ্যা প্রকাশ করি গ, গৌণ আধা-অক্ষের দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য প্রয়োজন:

.

আমরা গৌণ আধা-অক্ষের দৈর্ঘ্যের বর্গ গণনা করি:

আমরা উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করি:

উদাহরণ 5।ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু নির্ধারণ করুন।

সমাধান। নম্বরটি সন্ধান করুন গ, যা উপবৃত্তের ফোকির প্রথম স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করে:

.

আমরা উপবৃত্তের ফোকাস পাই:

উদাহরণ 6.উপবৃত্তের কেন্দ্রগুলি অক্ষের উপর অবস্থিত বলদউৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম। উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করুন যদি:

1) ফোকাসের মধ্যে দূরত্ব হল 30, এবং প্রধান অক্ষ হল 34

2) ক্ষুদ্র অক্ষ 24, এবং ফোকাসগুলির একটি বিন্দুতে (-5; 0)

3) বিকেন্দ্রতা, এবং ফোসিগুলির একটি বিন্দুতে (6; 0)

আসুন একসাথে উপবৃত্তাকার সমস্যাগুলি সমাধান করা চালিয়ে যাই

যদি উপবৃত্তের একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু হয় (অঙ্কনে উপবৃত্তের উপরের ডানদিকে সবুজ রঙে নির্দেশিত) এবং ফোসি থেকে এই বিন্দুর দূরত্ব হয়, তাহলে দূরত্বের সূত্রগুলি নিম্নরূপ:

উপবৃত্তের অন্তর্গত প্রতিটি বিন্দুর জন্য, ফোসি থেকে দূরত্বের যোগফল 2 এর সমান একটি ধ্রুবক মান ক.

সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত লাইন

ডাকল প্রধান শিক্ষিকাউপবৃত্তাকার (অঙ্কনে প্রান্ত বরাবর লাল রেখা রয়েছে)।

উপরের দুটি সমীকরণ থেকে এটি উপবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর জন্য অনুসরণ করে

,

ডিরেক্ট্রিক্স এবং এই বিন্দুর দূরত্ব কোথায় এবং

উদাহরণ 7।একটি উপবৃত্ত দেওয়া. এর নির্দেশিকাগুলির জন্য একটি সমীকরণ লিখ।

সমাধান। আমরা ডাইরেক্ট্রিক্স সমীকরণটি দেখি এবং দেখতে পাই যে আমাদের উপবৃত্তের বিকেন্দ্রতা খুঁজে বের করতে হবে, যেমন এর জন্য আমাদের কাছে সব তথ্য আছে। আমরা গণনা করি:

.

আমরা উপবৃত্তের নির্দেশকগুলির সমীকরণটি পাই:

উদাহরণ 8।একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করুন যদি এর কেন্দ্রবিন্দু হয় এবং নির্দেশিকাগুলি রেখা হয়।

বীজগণিত এবং জ্যামিতি উপর বক্তৃতা. সেমিস্টার ১।

লেকচার 15. উপবৃত্ত।

অধ্যায় 15. উপবৃত্ত।

ধারা 1 মৌলিক সংজ্ঞা।

সংজ্ঞা। একটি উপবৃত্ত হল একটি সমতলের GMT, সমতলের দুটি নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্বের সমষ্টি, যাকে ফোসি বলা হয়, একটি ধ্রুবক মান।

সংজ্ঞা। সমতলের একটি নির্বিচারী বিন্দু M থেকে উপবৃত্তের ফোকাস পর্যন্ত দূরত্বকে M বিন্দুর ফোকাল ব্যাসার্ধ বলে।

পদবি:
- উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু,
- বিন্দু M এর ফোকাল রেডিআই।

একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞা অনুসারে, একটি বিন্দু M হল একটি উপবৃত্তের একটি বিন্দু যদি এবং শুধুমাত্র যদি
- ধ্রুবক মান। এই ধ্রুবক সাধারণত 2a হিসাবে চিহ্নিত করা হয়:

. (1)

লক্ষ্য করুন
.

একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞা অনুসারে, এর কেন্দ্রবিন্দুগুলি নির্দিষ্ট বিন্দু, তাই তাদের মধ্যে দূরত্বও একটি প্রদত্ত উপবৃত্তের জন্য একটি ধ্রুবক মান।

সংজ্ঞা। উপবৃত্তের কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্বকে ফোকাল দৈর্ঘ্য বলা হয়।

উপাধি:
.

একটি ত্রিভুজ থেকে
যে অনুসরণ করে
, অর্থাৎ

.

এর সমান সংখ্যা b দ্বারা চিহ্নিত করা যাক
, অর্থাৎ

. (2)

সংজ্ঞা। মনোভাব

(3)

উপবৃত্তের বিকেন্দ্রতা বলা হয়।

আসুন আমরা এই সমতলে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা চালু করি, যাকে আমরা উপবৃত্তের জন্য ক্যানোনিকাল বলব।

সংজ্ঞা। যে অক্ষের উপর উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু থাকে তাকে ফোকাল অক্ষ বলে।

উপবৃত্তের জন্য একটি ক্যানোনিকাল PDSC তৈরি করা যাক, চিত্র 2 দেখুন।

আমরা ফোকাল অক্ষটিকে অ্যাবসিসা অক্ষ হিসাবে নির্বাচন করি এবং সেগমেন্টের মাঝখানে অর্ডিনেট অক্ষটি আঁকি
ফোকাল অক্ষের লম্ব।

তারপর foci স্থানাঙ্ক আছে
,
.

ধারা 2। একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ।

উপপাদ্য। একটি উপবৃত্তের জন্য ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমে, উপবৃত্তের সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে:

. (4)

প্রমাণ। আমরা দুটি পর্যায়ে প্রমাণ বহন করি। প্রথম পর্যায়ে, আমরা প্রমাণ করব যে উপবৃত্তে থাকা যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণ (4) পূরণ করে। দ্বিতীয় পর্যায়ে আমরা প্রমাণ করব যে সমীকরণ (4) এর যেকোনো সমাধান উপবৃত্তে থাকা একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেয়। এখান থেকে এটি অনুসরণ করবে যে সমীকরণ (4) উপবৃত্তের উপর অবস্থিত স্থানাঙ্ক সমতলের শুধুমাত্র সেই বিন্দুগুলি দ্বারা সন্তুষ্ট। এটি থেকে এবং একটি বক্ররেখার সমীকরণের সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করবে যে সমীকরণ (4) একটি উপবৃত্তের একটি সমীকরণ।

1) বিন্দু M(x, y) উপবৃত্তের একটি বিন্দু হতে দিন, যেমন এর ফোকাল রেডিআই এর যোগফল হল 2a:

.

আসুন স্থানাঙ্ক সমতলে দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্রটি ব্যবহার করি এবং একটি প্রদত্ত বিন্দু M এর ফোকাল রেডিআই খুঁজে পেতে এই সূত্রটি ব্যবহার করি:

,
, যেখান থেকে আমরা পাই:

আসুন সমতার ডান দিকে একটি রুট সরান এবং এটি বর্গক্ষেত্র করুন:

হ্রাস করা, আমরা পাই:

আমরা অনুরূপ উপস্থাপন করি, 4 দ্বারা হ্রাস করি এবং র্যাডিকাল অপসারণ করি:

.

স্কোয়ারিং

বন্ধনী খুলুন এবং দ্বারা সংক্ষিপ্ত
:

যেখানে আমরা পাই:

সমতা ব্যবহার করে (2), আমরা পাই:

.

দ্বারা শেষ সমতা বিভাজন
, আমরা সমতা পাই (4), ইত্যাদি।

2) এখন একজোড়া সংখ্যা (x, y) সমীকরণ (4) সন্তুষ্ট করুন এবং স্থানাঙ্ক সমতল অক্সিতে M(x, y) অনুরূপ বিন্দু হতে দিন।

তারপর (4) থেকে এটি অনুসরণ করে:

.

আমরা বিন্দু M এর ফোকাল ব্যাসার্ধের অভিব্যক্তিতে এই সমতা প্রতিস্থাপন করি:

.

এখানে আমরা সমতা (2) এবং (3) ব্যবহার করেছি।

এইভাবে,
. একইভাবে,
.

এখন লক্ষ্য করুন যে সমতা থেকে (4) এটি অনুসরণ করে

বা
ইত্যাদি
, তারপর অসমতা নিম্নরূপ:

.

এখান থেকে এটা অনুসরণ করে, ঘুরে, যে

বা
এবং

,
. (5)

সমতা থেকে (5) এটি অনুসরণ করে
, অর্থাৎ বিন্দু M(x, y) উপবৃত্তের একটি বিন্দু, ইত্যাদি।

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

সংজ্ঞা। সমীকরণ (4) কে উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ বলা হয়।

সংজ্ঞা। উপবৃত্তের জন্য ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিকে উপবৃত্তের প্রধান অক্ষ বলা হয়।

সংজ্ঞা। একটি উপবৃত্তের জন্য ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সকে উপবৃত্তের কেন্দ্র বলা হয়।

ধারা 3। উপবৃত্তের বৈশিষ্ট্য।

উপপাদ্য। (একটি উপবৃত্তের বৈশিষ্ট্য।)

1. একটি উপবৃত্তের জন্য ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমে, সবকিছু

উপবৃত্তের বিন্দুগুলি আয়তক্ষেত্রে রয়েছে

,
.

2. পয়েন্ট মিথ্যা

3. একটি উপবৃত্ত একটি বক্ররেখা যা সাপেক্ষে প্রতিসম

তাদের প্রধান অক্ষ।

4. উপবৃত্তের কেন্দ্র হল এর প্রতিসাম্য কেন্দ্র।

প্রমাণ। 1, 2) উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে অবিলম্বে অনুসরণ করে।

3, 4) M(x, y) উপবৃত্তের একটি নির্বিচারী বিন্দু হতে দিন। তারপর এর স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে (4)। কিন্তু তারপরে বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলিও সমীকরণ (4) সন্তুষ্ট করে এবং তাই, উপবৃত্তের বিন্দু, যেখান থেকে উপপাদ্যের বিবৃতিগুলি অনুসরণ করা হয়।

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

সংজ্ঞা। 2a পরিমাণকে উপবৃত্তের প্রধান অক্ষ বলা হয়, একটি পরিমাণকে উপবৃত্তের আধা-প্রধান অক্ষ বলা হয়।

সংজ্ঞা। পরিমাণ 2b কে উপবৃত্তের ক্ষুদ্র অক্ষ বলা হয়, পরিমাণ b কে উপবৃত্তের অর্ধেক অক্ষ বলা হয়।

সংজ্ঞা। একটি উপবৃত্তের প্রধান অক্ষগুলির সাথে ছেদ করার বিন্দুগুলিকে উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু বলা হয়।

মন্তব্য করুন। একটি উপবৃত্ত নিম্নরূপ নির্মাণ করা যেতে পারে. সমতলে, আমরা "ফোকাল পয়েন্টগুলিতে একটি পেরেক মেরে ফেলি" এবং তাদের সাথে একটি সুতার দৈর্ঘ্য বেঁধে দেই
. তারপরে আমরা একটি পেন্সিল নিই এবং থ্রেডটি প্রসারিত করতে এটি ব্যবহার করি। তারপর আমরা সমতল বরাবর পেন্সিল সীসা সরান, সুতা টান আছে তা নিশ্চিত করে।

খামখেয়ালির সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে

আসুন a সংখ্যাটি ঠিক করি এবং c সংখ্যাটিকে শূন্যে নির্দেশ করি। তারপর এ
,
এবং
. লিমিটে আমরা পাই

বা
- একটি বৃত্তের সমীকরণ।

এখন নির্দেশ দেওয়া যাক
. তারপর
,
এবং আমরা দেখতে পাই যে সীমার মধ্যে উপবৃত্তটি একটি সরল রেখার অংশে পরিণত হয়
চিত্র 3 এর স্বরলিপিতে।

ধারা 4। উপবৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ।

উপপাদ্য। দিন
- নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা। তারপর সমীকরণের সিস্টেম

,
(6)

উপবৃত্তের জন্য ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি উপবৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ।

প্রমাণ। এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে সমীকরণের সিস্টেম (6) সমীকরণ (4) এর সমতুল্য, অর্থাৎ তাদের সমাধান একই সেট আছে.

1) যাক (x, y) সিস্টেমের (6) একটি নির্বিচারে সমাধান। প্রথম সমীকরণটিকে a দ্বারা, দ্বিতীয়টিকে b দ্বারা ভাগ করুন, উভয় সমীকরণকে বর্গ করুন এবং যোগ করুন:

.

সেগুলো। সিস্টেমের যেকোনো সমাধান (x, y) (6) সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে (4)।

2) বিপরীতভাবে, জোড় (x, y) সমীকরণ (4) এর সমাধান হতে দিন, যেমন

.

এই সমতা থেকে এটি স্থানাঙ্ক সহ বিন্দু অনুসরণ করে
উৎপত্তি কেন্দ্রে একক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, অর্থাৎ একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের একটি বিন্দু যার সাথে একটি নির্দিষ্ট কোণ মিলে যায়
:

সাইন এবং কোসাইন এর সংজ্ঞা থেকে এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে

,
, কোথায়
, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে জোড়া (x, y) হল সিস্টেম (6), ইত্যাদির একটি সমাধান।

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

মন্তব্য করুন। অ্যাবসিসা অক্ষের দিকে ব্যাসার্ধ a এর একটি বৃত্তের অভিন্ন "সংকোচনের" ফলে একটি উপবৃত্ত প্রাপ্ত করা যেতে পারে।

দিন
- উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্র সহ একটি বৃত্তের সমীকরণ। অ্যাবসিসা অক্ষে একটি বৃত্তের "সংকোচন" নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে পরিচালিত স্থানাঙ্ক সমতলের একটি রূপান্তর ছাড়া আর কিছুই নয়। প্রতিটি বিন্দু M(x, y) এর জন্য আমরা একই সমতলে একটি বিন্দু সংযুক্ত করি
, কোথায়
,
- "কম্প্রেশন" সহগ।

এই রূপান্তরের সাথে, বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু সমতলের অন্য একটি বিন্দুতে "পরিবর্তন" করে, যার একই আবসিসা আছে, কিন্তু একটি ছোট অর্ডিনেট। আসুন একটি বিন্দুর পুরানো অর্ডিনেটকে নতুনটির মাধ্যমে প্রকাশ করি:

এবং সমীকরণে বৃত্তগুলি প্রতিস্থাপন করুন:

.

এখান থেকে আমরা পাই:

. (7)

এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে যদি "কম্প্রেশন" রূপান্তরের আগে M(x, y) বিন্দুটি বৃত্তের উপর থাকে, যেমন এর স্থানাঙ্কগুলি বৃত্তের সমীকরণকে সন্তুষ্ট করেছে, তারপর "সংকোচন" রূপান্তরের পরে এই বিন্দুটি বিন্দুতে "রূপান্তরিত" হয়েছে
, যার স্থানাঙ্ক উপবৃত্তাকার সমীকরণ (7) পূরণ করে। আমরা যদি সেমিমিনর অক্ষের সাথে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ পেতে চাই, তাহলে আমাদের কম্প্রেশন ফ্যাক্টরটি নিতে হবে

.

ধারা 5। একটি উপবৃত্তের স্পর্শক।

উপপাদ্য। দিন
- উপবৃত্তের নির্বিচারে বিন্দু

.

তারপর বিন্দুতে এই উপবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ
ফর্ম আছে:

. (8)

প্রমাণ। স্থানাঙ্ক সমতলের প্রথম বা দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকে যখন স্পর্শকতার বিন্দু থাকে তখন বিষয়টি বিবেচনা করা যথেষ্ট:
. উপরের অর্ধ-সমতলের উপবৃত্তের সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে:

. (9)

ফাংশনের গ্রাফে স্পর্শক সমীকরণ ব্যবহার করা যাক
বিন্দুতে
:

কোথায়
- একটি বিন্দুতে একটি প্রদত্ত ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান
. প্রথম ত্রৈমাসিকের উপবৃত্তটিকে ফাংশনের একটি গ্রাফ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে (8)। আসুন এটির ডেরিভেটিভ এবং স্পর্শকতার বিন্দুতে এর মান খুঁজে বের করি:

,

. এখানে আমরা ট্যানজেন্ট পয়েন্টের সুবিধা নিয়েছি
উপবৃত্তের একটি বিন্দু এবং তাই এর স্থানাঙ্কগুলি উপবৃত্তাকার সমীকরণ (9), অর্থাৎ

.

আমরা ট্যানজেন্ট সমীকরণে ডেরিভেটিভের পাওয়া মান প্রতিস্থাপন করি (10):

,

যেখানে আমরা পাই:

এই থেকেই বোঝা:

এর দ্বারা এই সমতা ভাগ করা যাক
:

.

এটা যে নোট অবশেষ
, কারণ বিন্দু
উপবৃত্তের অন্তর্গত এবং এর স্থানাঙ্কগুলি এর সমীকরণ পূরণ করে।

স্পর্শক সমীকরণ (8) স্থানাঙ্ক সমতলের তৃতীয় বা চতুর্থ চতুর্থাংশে অবস্থিত স্পর্শক বিন্দুতে একইভাবে প্রমাণিত হয়।

এবং অবশেষে, আমরা সহজেই যাচাই করতে পারি যে সমীকরণ (8) বিন্দুতে স্পর্শক সমীকরণ দেয়
,
:

বা
, এবং
বা
.

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

ধারা 6। একটি উপবৃত্তের মিরর সম্পত্তি।

উপপাদ্য। উপবৃত্তের স্পর্শকটি স্পর্শক বিন্দুর ফোকাল রেডিআইয়ের সাথে সমান কোণ রয়েছে।

দিন
- যোগাযোগ করার কারণ,
,
- স্পর্শক বিন্দুর ফোকাল ব্যাসার্ধ, P এবং Q - বিন্দুতে উপবৃত্তে টানা স্পর্শকটির উপর ফোকির অনুমান
.

উপপাদ্য বলে যে

. (11)

এই সমতাকে আপতন কোণের সমতা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং তার ফোকাস থেকে মুক্তিপ্রাপ্ত একটি উপবৃত্ত থেকে আলোর রশ্মির প্রতিফলন। এই বৈশিষ্ট্যটিকে উপবৃত্তের মিরর সম্পত্তি বলা হয়:

উপবৃত্তের ফোকাস থেকে প্রকাশিত আলোর রশ্মি, উপবৃত্তের আয়না থেকে প্রতিফলনের পরে, উপবৃত্তের আরেকটি ফোকাসের মধ্য দিয়ে যায়।

উপপাদ্যের প্রমাণ। কোণের সমতা প্রমাণ করতে (11), আমরা ত্রিভুজের সাদৃশ্য প্রমাণ করি
এবং
, যা দলগুলো
এবং
অনুরূপ হবে। যেহেতু ত্রিভুজ সমকোণী, তাই সমতা প্রমাণের জন্য যথেষ্ট

একটি উপবৃত্ত হল একটি সমতলে বিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থান, তাদের প্রতিটি থেকে দুটি প্রদত্ত বিন্দুর দূরত্বের যোগফল F_1, এবং F_2 একটি ধ্রুবক মান (2a) এইগুলির মধ্যে দূরত্ব (2c) থেকে বেশি প্রদত্ত পয়েন্ট(চিত্র 3.36, ক)। এই জ্যামিতিক সংজ্ঞা প্রকাশ করে একটি উপবৃত্তের ফোকাল সম্পত্তি.

একটি উপবৃত্তের ফোকাল সম্পত্তি

বিন্দু F_1 এবং F_2 কে উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু বলা হয়, তাদের মধ্যকার দূরত্ব 2c=F_1F_2 হল ফোকাল দৈর্ঘ্য, F_1F_2 সেগমেন্টের মাঝের O হল উপবৃত্তের কেন্দ্র, সংখ্যা 2a হল উপবৃত্তের প্রধান অক্ষের দৈর্ঘ্য উপবৃত্ত (অনুসারে, সংখ্যা a হল উপবৃত্তের আধা-প্রধান অক্ষ)। যে অংশগুলি F_1M এবং F_2M উপবৃত্তের একটি নির্বিচারী বিন্দু M কে এর কেন্দ্রবিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে তাদেরকে M বিন্দুর ফোকাল রেডিআই বলে। একটি উপবৃত্তের দুটি বিন্দুকে সংযুক্তকারী অংশকে উপবৃত্তের জ্যা বলে।

e=\frac(c)(a) অনুপাতকে উপবৃত্তের বিকেন্দ্রতা বলা হয়। সংজ্ঞা (2a>2c) থেকে এটি 0\leqslant e অনুসরণ করে<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

উপবৃত্তের জ্যামিতিক সংজ্ঞা, তার ফোকাল সম্পত্তি প্রকাশ করে, এটি তার বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞার সমতুল্য - উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত লাইন:

প্রকৃতপক্ষে, আসুন একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা চালু করি (চিত্র 3.36c)। আমরা উপবৃত্তের কেন্দ্র O কে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উত্স হিসাবে নিই; আমরা ফোসি (ফোকাল অক্ষ বা উপবৃত্তের প্রথম অক্ষ) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরল রেখাটিকে অ্যাবসিসা অক্ষ হিসাবে নিই (এর ইতিবাচক দিকটি বিন্দু F_1 থেকে বিন্দু F_2 পর্যন্ত); আসুন আমরা ফোকাল অক্ষের লম্ব একটি সরল রেখা নিই এবং অর্ডিনেট অক্ষ হিসাবে উপবৃত্তের (উপবৃত্তের দ্বিতীয় অক্ষ) কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাচ্ছি (অর্ডিনেট অক্ষের দিকটি বেছে নেওয়া হয়েছে যাতে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সি ঠিক থাকে) .

এর জ্যামিতিক সংজ্ঞা ব্যবহার করে উপবৃত্তের জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করা যাক, যা ফোকাল সম্পত্তি প্রকাশ করে। নির্বাচিত স্থানাঙ্ক সিস্টেমে, আমরা foci এর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করি F_1(-c,0), ~F_2(c,0). উপবৃত্তের অন্তর্গত একটি নির্বিচারে বিন্দু M(x,y) এর জন্য, আমাদের আছে:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

সমন্বিত আকারে এই সমতা লিখলে, আমরা পাই:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a।

আমরা দ্বিতীয় র্যাডিকেলটিকে ডান দিকে নিয়ে যাই, সমীকরণের উভয় পাশে বর্গক্ষেত্র করি এবং একই পদগুলি নিয়ে আসি:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx।

4 দ্বারা ভাগ করলে, আমরা সমীকরণের উভয় দিকে বর্গক্ষেত্র করি:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2)।

মনোনীত হচ্ছে b=\sqrt(a^2-c^2)>0, আমরা পেতে b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. উভয় পক্ষকে একটি ^2b^2\ne0 দ্বারা ভাগ করে, আমরা পৌঁছাই ক্যানোনিকাল সমীকরণউপবৃত্ত:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

অতএব, নির্বাচিত স্থানাঙ্ক সিস্টেমটি ক্যানোনিকাল।

যদি উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু মিলে যায়, তাহলে উপবৃত্তটি একটি বৃত্ত (চিত্র 3.36,6), যেহেতু a=b। এই ক্ষেত্রে, বিন্দুতে উৎপত্তি সহ যেকোনো আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ক্যানোনিকাল হবে O\equiv F_1\equiv F_2, এবং সমীকরণ x^2+y^2=a^2 হল একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র O বিন্দুতে এবং ব্যাসার্ধ a এর সমান।

মধ্যে যুক্তি দ্বারা বিপরীত ক্রম, এটি দেখানো যেতে পারে যে সমস্ত বিন্দু যার স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণ (3.49) সন্তুষ্ট করে এবং শুধুমাত্র তারাই, একটি উপবৃত্ত নামক বিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থানের অন্তর্গত। অন্য কথায়, একটি উপবৃত্তের বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞা তার জ্যামিতিক সংজ্ঞার সমতুল্য, যা উপবৃত্তের ফোকাল সম্পত্তি প্রকাশ করে।

একটি উপবৃত্তের নির্দেশিক সম্পত্তি

একটি উপবৃত্তের নির্দেশিকাগুলি হল দুটি সরল রেখা যা ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের অর্ডিনেট অক্ষের সমান্তরালে এটি থেকে একই দূরত্ব \frac(a^2)(c)। c=0 এ, যখন উপবৃত্তটি একটি বৃত্ত হয়, তখন কোন ডাইরেক্ট্রিক্স থাকে না (আমরা ধরে নিতে পারি যে ডাইরেক্ট্রিক্সগুলি অসীমে রয়েছে)।

বিকেন্দ্রিকতা 0 সহ উপবৃত্তাকার সমতলে বিন্দুগুলির অবস্থান, যার প্রত্যেকটির জন্য একটি প্রদত্ত বিন্দু F (ফোকাস) থেকে দূরত্বের অনুপাত একটি প্রদত্ত সরলরেখা d (ডাইরেক্ট্রিক্স) একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে না স্থির এবং বিকেন্দ্রতার সমান ই ( একটি উপবৃত্তের নির্দেশিক সম্পত্তি). এখানে F এবং d হল উপবৃত্তের একটি কেন্দ্র এবং এর একটি নির্দেশিকা, ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের অর্ডিনেট অক্ষের একপাশে অবস্থিত, অর্থাৎ F_1,d_1 বা F_2,d_2।

আসলে, উদাহরণস্বরূপ, ফোকাস F_2 এবং directrix d_2 (চিত্র 3.37,6) জন্য শর্ত \frac(r_2)(\rho_2)=eসমন্বয় আকারে লেখা যেতে পারে:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

অযৌক্তিকতা পরিত্রাণ এবং প্রতিস্থাপন e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, আমরা ক্যানোনিকাল এলিপস সমীকরণে পৌঁছেছি (3.49)। অনুরূপ যুক্তি ফোকাস F_1 এবং পরিচালক জন্য বাহিত হতে পারে d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

একটি মেরু স্থানাঙ্ক সিস্টেমে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ

মেরু স্থানাঙ্ক সিস্টেম F_1r\varphi (চিত্র 3.37, c এবং 3.37 (2)) এর উপবৃত্তের সমীকরণের ফর্ম রয়েছে

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

যেখানে p=\frac(b^2)(a) হল উপবৃত্তের ফোকাল প্যারামিটার।

আসলে, মেরু স্থানাঙ্ক সিস্টেমের মেরু হিসাবে উপবৃত্তের বাম ফোকাস F_1 এবং মেরু অক্ষ হিসাবে F_1F_2 রশ্মি বেছে নেওয়া যাক (চিত্র 3.37, c)। তারপর একটি নির্বিচারে বিন্দু M(r,\varphi), একটি উপবৃত্তের জ্যামিতিক সংজ্ঞা (ফোকাল সম্পত্তি) অনুযায়ী, আমাদের আছে r+MF_2=2a। আমরা M(r,\varphi) এবং F_2(2c,0) বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব প্রকাশ করি (দেখুন):

\begin(সারিবদ্ধ)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)।\end(সারিবদ্ধ)

অতএব, স্থানাঙ্ক আকারে, উপবৃত্তের সমীকরণ F_1M+F_2M=2a ফর্ম আছে

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

আমরা সমীকরণের র্যাডিকাল, বর্গক্ষেত্রকে বিচ্ছিন্ন করি, 4 দ্বারা ভাগ করি এবং অনুরূপ পদ দিই:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2।

মেরু ব্যাসার্ধ r প্রকাশ করুন এবং প্রতিস্থাপন করুন e=\frac(c)(a), ~b^2=a^2-c^2, ~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

উপবৃত্তাকার সমীকরণে সহগগুলির জ্যামিতিক অর্থ

চলুন স্থানাঙ্ক অক্ষ (উল্লম্বের শীর্ষবিন্দু) সহ উপবৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলি (চিত্র 3.37a দেখুন) সন্ধান করি। সমীকরণে y=0 প্রতিস্থাপন করে, আমরা অ্যাবসিসা অক্ষ (ফোকাল অক্ষ সহ): x=\pm a. অতএব, উপবৃত্তের ভিতরে থাকা ফোকাল অক্ষের অংশের দৈর্ঘ্য 2a এর সমান। এই সেগমেন্ট, যেমন উপরে উল্লিখিত হয়েছে, উপবৃত্তের প্রধান অক্ষ বলা হয়, এবং সংখ্যা a হল উপবৃত্তের আধা-প্রধান অক্ষ। x=0 প্রতিস্থাপন করলে, আমরা y=\pm b পাব। অতএব, উপবৃত্তের ভিতরে থাকা উপবৃত্তের দ্বিতীয় অক্ষের অংশের দৈর্ঘ্য 2b এর সমান। এই অংশটিকে উপবৃত্তের ক্ষুদ্র অক্ষ বলা হয় এবং সংখ্যা b হল উপবৃত্তের অর্ধ-অক্ষ অক্ষ।

সত্যিই, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, এবং সমতা b=a শুধুমাত্র c=0 ক্ষেত্রে পাওয়া যায়, যখন উপবৃত্ত একটি বৃত্ত হয়। মনোভাব k=\frac(b)(a)\leqslant1উপবৃত্তাকার সংকোচন অনুপাত বলা হয়।

নোট 3.9

1. সরলরেখা x=\pm a,~y=\pm b স্থানাঙ্ক সমতলের মূল আয়তক্ষেত্রকে সীমাবদ্ধ করে, যার ভিতরে একটি উপবৃত্ত রয়েছে (চিত্র 3.37, a দেখুন)।

2. একটি উপবৃত্ত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে একটি বৃত্তকে তার ব্যাসের সাথে সংকুচিত করে প্রাপ্ত বিন্দুগুলির অবস্থান।

প্রকৃতপক্ষে, আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সিতে একটি বৃত্তের সমীকরণকে x^2+y^2=a^2 হতে দিন। 0 এর সহগ সহ x-অক্ষে সংকুচিত হলে

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(কেস)

x=x" এবং y=\frac(1)(k)y" বৃত্তগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে, আমরা বিন্দু M(x,y") বিন্দুর M"(x",y") চিত্রের স্থানাঙ্কগুলির জন্য সমীকরণ পাই ):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

যেহেতু b=k\cdot a. এটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ।

3. স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি (প্রধান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার) হল উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের অক্ষ (যাকে উপবৃত্তের প্রধান অক্ষ বলা হয়), এবং এর কেন্দ্রটি প্রতিসাম্যের কেন্দ্র।

প্রকৃতপক্ষে, যদি বিন্দু M(x,y) উপবৃত্তের অন্তর্গত হয়। তারপর বিন্দু M"(x,-y) এবং M""(-x,y), স্থানাঙ্ক অক্ষের সাপেক্ষে M বিন্দুর প্রতিসম, একই মাত্রাবৃত্তের অন্তর্গত।

4. মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(চিত্র 3.37, c দেখুন), ফোকাল প্যারামিটারের জ্যামিতিক অর্থ স্পষ্ট করা হয়েছে - এটি উপবৃত্তের জ্যার অর্ধেক দৈর্ঘ্য যা ফোকাল অক্ষের লম্বের মধ্য দিয়ে যায় (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Ecentricity e উপবৃত্তের আকৃতিকে চিহ্নিত করে, অর্থাৎ উপবৃত্ত এবং বৃত্তের মধ্যে পার্থক্য। বৃহত্তর e, উপবৃত্তটি তত বেশি প্রলম্বিত, এবং e শূন্যের কাছাকাছি, উপবৃত্তটি একটি বৃত্তের কাছাকাছি (চিত্র 3.38a)। প্রকৃতপক্ষে, e=\frac(c)(a) এবং c^2=a^2-b^2 বিবেচনা করে আমরা পাই

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\ right )\^2=1-k^2, !}

যেখানে k হল উপবৃত্তাকার কম্প্রেশন অনুপাত, 0

6. সমীকরণ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1এ

7. সমীকরণ \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1, ~a\geqslant b O"(x_0,y_0) বিন্দুতে কেন্দ্রের সাথে একটি উপবৃত্তকে সংজ্ঞায়িত করে, যার অক্ষগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল (চিত্র 3.38, c)। সমান্তরাল অনুবাদ (3.36) ব্যবহার করে এই সমীকরণটি ক্যানোনিকাল একটিতে হ্রাস করা হয়েছে।

যখন a=b=R সমীকরণ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O"(x_0,y_0) বিন্দুতে কেন্দ্র বিশিষ্ট R ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত বর্ণনা করে।

উপবৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ

উপবৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণক্যানোনিকাল সমন্বয় সিস্টেমের ফর্ম আছে

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

প্রকৃতপক্ষে, এই অভিব্যক্তিগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে (3.49), আমরা মূল ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ে পৌঁছে যাই \cos^2t+\sin^2t=1.

উদাহরণ 3.20।একটি উপবৃত্ত আঁকুন \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1ক্যানোনিকাল সমন্বয় সিস্টেম অক্সিতে। আধা-অক্ষ, ফোকাল দৈর্ঘ্য, বিকেন্দ্রতা, কম্প্রেশন অনুপাত, ফোকাল প্যারামিটার, ডাইরেক্ট্রিক্স সমীকরণগুলি খুঁজুন।

সমাধান।প্রদত্ত সমীকরণটি ক্যানোনিকাল সমীকরণের সাথে তুলনা করে, আমরা সেমি-অক্ষগুলি নির্ধারণ করি: a=2 - আধা-প্রধান অক্ষ, b=1 - উপবৃত্তের অর্ধ-গৌণ অক্ষ। আমরা মূল আয়তক্ষেত্র তৈরি করি যার বাহু 2a=4, ~2b=2 উৎপত্তিস্থলের কেন্দ্রে রয়েছে (চিত্র 3.39)। উপবৃত্তের প্রতিসাম্য বিবেচনা করে, আমরা এটিকে প্রধান আয়তক্ষেত্রে ফিট করি। প্রয়োজনে উপবৃত্তের কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন। উদাহরণস্বরূপ, মাত্রাবৃত্তের সমীকরণে x=1 প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2)।

অতএব, স্থানাঙ্ক সঙ্গে পয়েন্ট \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!, ~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\ডান)- উপবৃত্তের অন্তর্গত।

কম্প্রেশন অনুপাত গণনা k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ফোকাস দৈর্ঘ্য 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); উদ্ভটতা e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ফোকাল প্যারামিটার p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). আমরা directrix সমীকরণ রচনা করি: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).