গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি কীভাবে সমাধান করবেন। গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত

এখানে আপনি বিনামূল্যে সিস্টেম সমাধান করতে পারেন রৈখিক সমীকরণ গাউস পদ্ধতি অনলাইন বড় মাপএকটি খুব বিশদ সমাধান সহ জটিল সংখ্যায়। আমাদের ক্যালকুলেটর গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের স্বাভাবিক সুনির্দিষ্ট এবং অনির্দিষ্ট উভয় পদ্ধতির অনলাইন সমাধান করতে পারে, যার অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, উত্তরে আপনি অন্যান্য, বিনামূল্যের মাধ্যমে কিছু ভেরিয়েবলের নির্ভরতা পাবেন। আপনি গাউসিয়ান সমাধান ব্যবহার করে অনলাইনে ধারাবাহিকতার জন্য সমীকরণের সিস্টেমটিও পরীক্ষা করতে পারেন।

ম্যাট্রিক্সের আকার: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 342 34334343 ৪৪ ৪৫ ৪৬ ৪৭ ৪৮ 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 69 82888 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 342 343434 ৪৪ ৪৫ ৪৬ ৪৭ ৪৮ ৪৯ 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 896 8188 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

পদ্ধতি সম্পর্কে

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার সময় অনলাইন পদ্ধতিগাউস নিম্নলিখিত ধাপগুলি সঞ্চালিত হয়।

1. আমরা বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি।
2. প্রকৃতপক্ষে, সমাধানটি গাউসিয়ান পদ্ধতির এগিয়ে এবং পিছনের ধাপে বিভক্ত। গাউসিয়ান পদ্ধতির সরাসরি পদ্ধতি হল একটি ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে হ্রাস করা। গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত হল একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি বিশেষ ধাপে ধাপে হ্রাস করা। তবে অনুশীলনে, প্রশ্নে থাকা উপাদানটির উপরে এবং নীচে কী রয়েছে তা অবিলম্বে শূন্য করা আরও সুবিধাজনক। আমাদের ক্যালকুলেটর ঠিক এই পদ্ধতি ব্যবহার করে।
3. এটি লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ যে গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করার সময়, একটি শূন্য নয় সহ কমপক্ষে একটি শূন্য সারির ম্যাট্রিক্সে উপস্থিতি ডান পাশ(মুক্ত সদস্যদের কলাম) সিস্টেমের অসঙ্গতি নির্দেশ করে। সমাধান লিনিয়ার সিস্টেমএই ক্ষেত্রে এটি বিদ্যমান নেই।

গাউসিয়ান অ্যালগরিদম অনলাইনে কীভাবে কাজ করে তা ভালভাবে বোঝার জন্য, যেকোনো উদাহরণ লিখুন, "খুব বিস্তারিত সমাধান" নির্বাচন করুন এবং অনলাইনে এর সমাধান দেখুন।

গাউস পদ্ধতি, যাকে পদ্ধতিও বলা হয় ক্রমিক নির্মূলঅজানা নিম্নরূপ. প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে, রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমকে এমন আকারে আনা হয় যে এর সহগগুলির ম্যাট্রিক্স পরিণত হয় ট্র্যাপিজয়েডাল (ত্রিভুজাকার বা ধাপের মতো) বা ট্র্যাপিজয়েডালের কাছাকাছি (গাউসিয়ান পদ্ধতির সরাসরি স্ট্রোক, এরপরে - কেবল সোজা স্ট্রোক)। এই জাতীয় সিস্টেমের একটি উদাহরণ এবং এর সমাধান উপরের চিত্রে রয়েছে।

এই ধরনের সিস্টেমে, শেষ সমীকরণে শুধুমাত্র একটি চলক থাকে এবং এর মান দ্ব্যর্থহীনভাবে পাওয়া যায়। এই ভেরিয়েবলের মানটি পূর্ববর্তী সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয় ( গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত , তারপর শুধু বিপরীত), যেখান থেকে পূর্ববর্তী ভেরিয়েবল পাওয়া যায়, ইত্যাদি।

একটি ট্র্যাপিজয়েডাল (ত্রিভুজাকার) সিস্টেমে, যেমনটি আমরা দেখি, তৃতীয় সমীকরণে আর ভেরিয়েবল থাকে না yএবং এক্স, এবং দ্বিতীয় সমীকরণ হল পরিবর্তনশীল এক্স .

সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স একটি ট্র্যাপিজয়েডাল আকার নেওয়ার পরে, সিস্টেমের সামঞ্জস্যের সমস্যাটি বোঝা, সমাধানের সংখ্যা নির্ধারণ করা এবং নিজেরাই সমাধানগুলি সন্ধান করা আর কঠিন নয়।

পদ্ধতির সুবিধা:

1. তিনটির বেশি সমীকরণ এবং অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার সময়, গাউস পদ্ধতি ক্রেমার পদ্ধতির মতো জটিল নয়, যেহেতু গাউস পদ্ধতিতে সমাধান করতে কম গণনার প্রয়োজন হয়;
2. গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে, আপনি লিনিয়ার সমীকরণের অনির্দিষ্ট সিস্টেমগুলি সমাধান করতে পারেন, অর্থাৎ সাধারণ সিদ্ধান্ত(এবং আমরা এই পাঠে তাদের দেখব), কিন্তু ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা কেবল বলতে পারি যে সিস্টেমটি অনিশ্চিত;
3. আপনি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করতে পারেন যেখানে অজানা সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার সমান নয় (আমরা এই পাঠে সেগুলিও বিশ্লেষণ করব);
4. পদ্ধতিটি প্রাথমিক (স্কুল) পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে - অজানা প্রতিস্থাপনের পদ্ধতি এবং সমীকরণ যোগ করার পদ্ধতি, যা আমরা সংশ্লিষ্ট নিবন্ধে স্পর্শ করেছি।

রৈখিক সমীকরণের ট্র্যাপিজয়েডাল (ত্রিভুজাকার, ধাপ) সিস্টেমগুলি যে সরলতার সাথে সমাধান করা হয় তা প্রত্যেকের বোঝার জন্য, আমরা বিপরীত গতি ব্যবহার করে এই জাতীয় সিস্টেমের একটি সমাধান উপস্থাপন করি। দ্রুত সিদ্ধান্তএই সিস্টেমটি পাঠের শুরুতে ছবিতে দেখানো হয়েছিল।

উদাহরণ 1.বিপরীত ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন:

সমাধান। এই ট্র্যাপিজয়েডাল সিস্টেমে পরিবর্তনশীল zতৃতীয় সমীকরণ থেকে অনন্যভাবে পাওয়া যাবে। আমরা এর মানটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং চলকের মান পাই y:

এখন আমরা দুটি ভেরিয়েবলের মান জানি - zএবং y. আমরা তাদের প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং চলকের মান পাই এক্স:

পূর্ববর্তী ধাপগুলি থেকে আমরা সমীকরণ সিস্টেমের সমাধান লিখি:

রৈখিক সমীকরণের এমন একটি ট্র্যাপিজয়েডাল সিস্টেম পেতে, যা আমরা খুব সহজভাবে সমাধান করেছি, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের প্রাথমিক রূপান্তরের সাথে যুক্ত একটি ফরোয়ার্ড স্ট্রোক ব্যবহার করা প্রয়োজন। এটাও খুব একটা কঠিন নয়।

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের প্রাথমিক রূপান্তর

বীজগণিতভাবে একটি সিস্টেমের সমীকরণ যোগ করার স্কুল পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি করে, আমরা খুঁজে পেয়েছি যে সিস্টেমের একটি সমীকরণের সাথে আমরা সিস্টেমের আরেকটি সমীকরণ যোগ করতে পারি এবং প্রতিটি সমীকরণকে কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, আমরা এটির সমতুল্য রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই। এটিতে, একটি সমীকরণে ইতিমধ্যে শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল রয়েছে, যার মানটিকে অন্যান্য সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি সমাধানে আসি। এই ধরনের সংযোজন সিস্টেমের প্রাথমিক রূপান্তরের এক প্রকার। গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, আমরা বিভিন্ন ধরনের রূপান্তর ব্যবহার করতে পারি।

উপরের অ্যানিমেশনটি দেখায় কিভাবে সমীকরণের সিস্টেমটি ধীরে ধীরে একটি ট্র্যাপিজয়েডালে পরিণত হয়। অর্থাৎ, যেটিকে আপনি প্রথম অ্যানিমেশনে দেখেছেন এবং নিজেকে নিশ্চিত করেছেন যে এটি থেকে সমস্ত অজানা মান খুঁজে পাওয়া সহজ। কিভাবে এই ধরনের একটি রূপান্তর সঞ্চালন এবং, অবশ্যই, উদাহরণ আরও আলোচনা করা হবে।

সমীকরণের সিস্টেমে এবং সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সে যে কোনও সংখ্যক সমীকরণ এবং অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার সময় করতে পারা:

1. লাইনগুলি পুনরায় সাজান (এই নিবন্ধের একেবারে শুরুতে এটি উল্লেখ করা হয়েছিল);
2. যদি অন্যান্য রূপান্তরের ফলে সমান বা সমানুপাতিক সারি হয়, তবে একটি বাদে সেগুলি মুছে ফেলা যেতে পারে;
3. "শূন্য" সারিগুলি সরান যেখানে সমস্ত সহগ শূন্যের সমান;
4. কোনো স্ট্রিংকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করুন;
5. যেকোন লাইনে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দিয়ে গুণ করে অন্য লাইন যোগ করুন।

রূপান্তরের ফলস্বরূপ, আমরা এটির সমতুল্য রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই।

অ্যালগরিদম এবং গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের উদাহরণ

আসুন প্রথমে রৈখিক সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি বিবেচনা করি যেখানে অজানা সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার সমান। এই ধরনের সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স বর্গাকার, অর্থাৎ এতে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার সমান।

উদাহরণ 2।গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন

স্কুল পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার সময়, আমরা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা পদ দ্বারা একটি সমীকরণ পদকে গুণ করেছি, যাতে দুটি সমীকরণের প্রথম চলকের সহগগুলি বিপরীত সংখ্যা ছিল। সমীকরণ যোগ করার সময়, এই পরিবর্তনশীলটি বাদ দেওয়া হয়। গাউস পদ্ধতি একইভাবে কাজ করে।

সরলভাবে চেহারাসমাধান সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যাক:

এই ম্যাট্রিক্সে, অজানাগুলির সহগগুলি উল্লম্ব রেখার আগে বাম দিকে অবস্থিত এবং মুক্ত পদগুলি উল্লম্ব রেখার পরে ডানদিকে অবস্থিত।

ভেরিয়েবলের জন্য সহগ ভাগ করার সুবিধার জন্য (একতা দ্বারা বিভাজন পেতে) সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় সারি অদলবদল করা যাক. আমরা এটির সমতুল্য একটি সিস্টেম পাই, যেহেতু রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমে সমীকরণগুলি বিনিময় করা যেতে পারে:

নতুন প্রথম সমীকরণ ব্যবহার করে পরিবর্তনশীল দূর করুন এক্সদ্বিতীয় এবং পরবর্তী সমস্ত সমীকরণ থেকে. এটি করার জন্য, ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারিতে আমরা প্রথম সারিটি যোগ করি (আমাদের ক্ষেত্রে ) দ্বারা গুণিত, তৃতীয় সারিতে - প্রথম সারিটি দ্বারা গুণিত (আমাদের ক্ষেত্রে )।

এটা সম্ভব কারণ

যদি আমাদের সমীকরণ সিস্টেম ছিল তিনের বেশি, তারপর একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে নেওয়া সংশ্লিষ্ট সহগগুলির অনুপাত দ্বারা গুণিত প্রথম লাইনটি পরবর্তী সমস্ত সমীকরণে যোগ করা প্রয়োজন।

ফলস্বরূপ, আমরা সমীকরণের একটি নতুন সিস্টেমের এই সিস্টেমের সমতুল্য একটি ম্যাট্রিক্স পাই, যেখানে সমস্ত সমীকরণ, দ্বিতীয় থেকে শুরু করে একটি পরিবর্তনশীল ধারণ করবেন না এক্স :

ফলস্বরূপ সিস্টেমের দ্বিতীয় লাইনটিকে সরল করতে, এটিকে গুন করুন এবং আবার এই সিস্টেমের সমতুল্য সমীকরণের একটি সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স পান:

এখন, ফলাফল সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ অপরিবর্তিত রেখে, দ্বিতীয় সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা ভেরিয়েবলটি নির্মূল করি y সমস্ত পরবর্তী সমীকরণ থেকে। এটি করার জন্য, সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের তৃতীয় সারিতে আমরা দ্বিতীয় সারি যোগ করি, দ্বারা গুণিত (আমাদের ক্ষেত্রে )।

যদি আমাদের সিস্টেমে তিনটির বেশি সমীকরণ থাকত, তাহলে আমাদের পরবর্তী সমস্ত সমীকরণে একটি দ্বিতীয় লাইন যোগ করতে হবে, একটি বিয়োগ চিহ্নের সাথে নেওয়া সংশ্লিষ্ট সহগগুলির অনুপাত দ্বারা গুণ করে।

ফলস্বরূপ, আমরা আবার রৈখিক সমীকরণের এই সিস্টেমের সমতুল্য একটি সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স পাই:

আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সমতুল্য ট্র্যাপিজয়েডাল সিস্টেম পেয়েছি:

যদি সমীকরণ এবং ভেরিয়েবলের সংখ্যা আমাদের উদাহরণের চেয়ে বেশি হয়, তাহলে আমাদের ডেমো উদাহরণের মতো সিস্টেম ম্যাট্রিক্স ট্র্যাপিজয়েডাল না হওয়া পর্যন্ত ক্রমিকভাবে ভেরিয়েবলগুলিকে নির্মূল করার প্রক্রিয়া চলতে থাকে।

আমরা "শেষ থেকে" সমাধানটি খুঁজে পাব - বিপরীত পদক্ষেপ. এই জন্য শেষ সমীকরণ থেকে আমরা নির্ধারণ করি z:
.
এই মানটিকে পূর্ববর্তী সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা খুঁজে পাব y:

প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে পাব এক্স:

উত্তরঃ এই সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান হল .

: এই ক্ষেত্রে একই উত্তর দেওয়া হবে যদি সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান থাকে। যদি সিস্টেমে অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে, তবে এটি হবে উত্তর, এবং এটি এই পাঠের পঞ্চম অংশের বিষয়।

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম নিজেই সমাধান করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

এখানে আবার আমাদের কাছে রৈখিক সমীকরণের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নির্দিষ্ট সিস্টেমের উদাহরণ রয়েছে, যেখানে সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার সমান। অ্যালগরিদম থেকে আমাদের ডেমো উদাহরণ থেকে পার্থক্য হল যে ইতিমধ্যে চারটি সমীকরণ এবং চারটি অজানা রয়েছে৷

উদাহরণ 4.গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন:

এখন আপনাকে পরবর্তী সমীকরণ থেকে ভেরিয়েবল বাদ দিতে দ্বিতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করতে হবে। এর সঞ্চালন করা যাক প্রস্তুতিমূলক কাজ. সহগ অনুপাতের সাথে এটি আরও সুবিধাজনক করতে, আপনাকে দ্বিতীয় সারির দ্বিতীয় কলামে একটি পেতে হবে। এটি করার জন্য, দ্বিতীয় লাইন থেকে তৃতীয়টি বিয়োগ করুন এবং ফলস্বরূপ দ্বিতীয় লাইনটিকে -1 দ্বারা গুণ করুন।

আসুন এখন তৃতীয় এবং চতুর্থ সমীকরণ থেকে চলকের প্রকৃত নির্মূল করা যাক। এটি করার জন্য, দ্বিতীয় লাইনটি যোগ করুন, , দ্বারা গুণিত , তৃতীয় লাইনে এবং দ্বিতীয়টি, দ্বারা গুণিত , চতুর্থ লাইনে।

এখন, তৃতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করে, আমরা চতুর্থ সমীকরণ থেকে চলকটিকে বাদ দিই। এটি করার জন্য, চতুর্থ লাইনে তৃতীয় লাইন যোগ করুন, গুন করুন। আমরা একটি বর্ধিত trapezoidal ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত.

আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি যা সমতুল্য এই সিস্টেম:

ফলস্বরূপ, ফলাফল এবং প্রদত্ত সিস্টেমগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নির্দিষ্ট। চূড়ান্ত সিদ্ধান্তআমরা "শেষ থেকে" খুঁজে পাই। চতুর্থ সমীকরণ থেকে আমরা সরাসরি "x-4" ভেরিয়েবলের মান প্রকাশ করতে পারি:

আমরা এই মানটিকে সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং পাই

,

,

অবশেষে, মান প্রতিস্থাপন

প্রথম সমীকরণ দেয়

,

কোথায় আমরা "x প্রথম" খুঁজে পাব:

উত্তর: এই সমীকরণ পদ্ধতির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে .

আপনি ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ক্যালকুলেটরে সিস্টেমের সমাধানও পরীক্ষা করতে পারেন: এই ক্ষেত্রে, সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান থাকলে একই উত্তর দেওয়া হবে।

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে অ্যালয়েসের সমস্যার উদাহরণ ব্যবহার করে ফলিত সমস্যার সমাধান করা

রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি ভৌত ​​জগতে বাস্তব বস্তুর মডেল করতে ব্যবহৃত হয়। আসুন এই সমস্যার একটি সমাধান করা যাক - সংকর ধাতু। অনুরূপ সমস্যা - মিশ্রণ, খরচ বা সমস্যা আপেক্ষিক গুরুত্ব স্বতন্ত্র পণ্যএকটি পণ্য গ্রুপ এবং মত.

উদাহরণ 5।খাদের তিনটি টুকরার মোট ভর 150 কেজি। প্রথম খাদটিতে 60% তামা রয়েছে, দ্বিতীয়টিতে - 30%, তৃতীয় - 10%। অধিকন্তু, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সংকর ধাতুতে প্রথম সংকর ধাতুর তুলনায় 28.4 কেজি কম তামা রয়েছে এবং তৃতীয় সংকর ধাতুতে দ্বিতীয়টির তুলনায় 6.2 কেজি কম তামা রয়েছে। সংকর ধাতুর প্রতিটি অংশের ভর খুঁজুন।

সমাধান। আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করি:

আমরা দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণকে 10 দ্বারা গুণ করি, আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সমতুল্য সিস্টেম পাই:

আমরা সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করি:

মনোযোগ, সরাসরি এগিয়ে. যোগ করে (আমাদের ক্ষেত্রে, বিয়োগ করে) একটি সারি একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করে (আমরা এটি দুবার প্রয়োগ করি), সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের সাথে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি ঘটে:

সরাসরি পদক্ষেপ শেষ। আমরা একটি প্রসারিত ট্র্যাপিজয়েডাল ম্যাট্রিক্স পেয়েছি।

আমরা বিপরীত পদক্ষেপ প্রয়োগ করি। আমরা শেষ থেকে সমাধান খুঁজে. আমরা যে দেখতে.

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে পাই

তৃতীয় সমীকরণ থেকে -

আপনি ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ক্যালকুলেটরে সিস্টেমের সমাধানও পরীক্ষা করতে পারেন: এই ক্ষেত্রে, সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান থাকলে একই উত্তর দেওয়া হবে।

গাউসের পদ্ধতির সরলতা প্রমাণ করে যে এটি আবিষ্কার করতে জার্মান গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস মাত্র 15 মিনিট সময় নিয়েছেন। তাঁর নামে নামকরণ করা পদ্ধতির পাশাপাশি, "আমাদের কাছে যা অবিশ্বাস্য এবং অপ্রাকৃতিক বলে মনে হয় তাকে একেবারে অসম্ভব বলে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়" এই কথাটি গাউসের কাজ থেকে জানা যায় - এক ধরণের সংক্ষিপ্ত নির্দেশাবলীআবিষ্কার করতে।

অনেক প্রয়োগ সমস্যায় তৃতীয় সীমাবদ্ধতা নাও থাকতে পারে, অর্থাৎ একটি তৃতীয় সমীকরণ, তাহলে আপনাকে গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে তিনটি অজানা সহ দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে, বা বিপরীতভাবে, সমীকরণের চেয়ে কম অজানা আছে। আমরা এখন সমীকরণের এই জাতীয় সিস্টেমগুলি সমাধান করতে শুরু করব।

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে, আপনি নির্ধারণ করতে পারেন যে কোনও সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ বা বেমানান কিনা nসঙ্গে রৈখিক সমীকরণ nভেরিয়েবল

অসীম সংখ্যক সমাধান সহ রৈখিক সমীকরণের গাউস পদ্ধতি এবং সিস্টেম

পরবর্তী উদাহরণ হল রৈখিক সমীকরণের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ কিন্তু অনির্দিষ্ট ব্যবস্থা, অর্থাৎ অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর সম্পাদন করার পরে (সারি পুনর্বিন্যাস করা, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা সারিগুলিকে গুণ করা এবং ভাগ করা, একটি সারিতে আরেকটি যোগ করা), ফর্মের সারিগুলি উপস্থিত হতে পারে

যদি সমস্ত সমীকরণে ফর্ম থাকে

মুক্ত পদগুলি শূন্যের সমান, এর অর্থ হল সিস্টেমটি অনির্দিষ্ট, অর্থাৎ এটিতে অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে এবং এই ধরণের সমীকরণগুলি "অতিপ্রয়" এবং আমরা সেগুলিকে সিস্টেম থেকে বাদ দিই।

উদাহরণ 6.

সমাধান। সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যাক। তারপর, প্রথম সমীকরণটি ব্যবহার করে, আমরা পরবর্তী সমীকরণগুলি থেকে পরিবর্তনশীলটিকে বাদ দিই। এটি করার জন্য, প্রথমটি দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ লাইনে যোগ করুন, দ্বারা গুণ করুন:

এখন তৃতীয় এবং চতুর্থ লাইনে দ্বিতীয় লাইন যোগ করা যাক।

ফলস্বরূপ, আমরা সিস্টেমে পৌঁছান

শেষ দুটি সমীকরণ ফর্মের সমীকরণে পরিণত হয়েছে। এই সমীকরণগুলি অজানা যেকোন মানের জন্য সন্তুষ্ট এবং বাতিল করা যেতে পারে।

দ্বিতীয় সমীকরণটি সন্তুষ্ট করতে, আমরা এবং এর জন্য নির্বিচারে মান নির্বাচন করতে পারি, তারপরের মানটি অনন্যভাবে নির্ধারণ করা হবে: . প্রথম সমীকরণ থেকে এর মানটিও অনন্যভাবে পাওয়া যায়: .

প্রদত্ত এবং শেষ সিস্টেম উভয়ই সামঞ্জস্যপূর্ণ, কিন্তু অনিশ্চিত, এবং সূত্র

নির্বিচারে জন্য এবং আমাদের একটি প্রদত্ত সিস্টেমের সমস্ত সমাধান দিন।

গাউস পদ্ধতি এবং সমাধান ছাড়াই রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম

পরবর্তী উদাহরণ হল রৈখিক সমীকরণের একটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম, যেটির কোনো সমাধান নেই। এই ধরনের সমস্যার উত্তর এইভাবে তৈরি করা হয়: সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।

যেমনটি ইতিমধ্যে প্রথম উদাহরণের সাথে সম্পর্কিত উল্লেখ করা হয়েছে, রূপান্তর সম্পাদন করার পরে, ফর্মের সারিগুলি সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সে উপস্থিত হতে পারে

ফর্মের একটি সমীকরণের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ

যদি তাদের মধ্যে একটি অশূন্য মুক্ত শব্দ (অর্থাৎ) সহ অন্তত একটি সমীকরণ থাকে, তাহলে এই সমীকরণের সিস্টেমটি অসঙ্গতিপূর্ণ, অর্থাৎ এর কোনো সমাধান নেই এবং এর সমাধান সম্পূর্ণ।

উদাহরণ 7।গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি সমাধান করুন:

সমাধান। আমরা সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স রচনা করি। প্রথম সমীকরণ ব্যবহার করে, আমরা পরবর্তী সমীকরণ থেকে চলকটিকে বাদ দিই। এটি করার জন্য, প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে গুন করে, তৃতীয় লাইনের সাথে গুন করা প্রথম লাইনটি এবং চতুর্থ লাইনের সাথে গুন করা প্রথম লাইনটি যোগ করুন।

এখন আপনাকে পরবর্তী সমীকরণ থেকে ভেরিয়েবল বাদ দিতে দ্বিতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করতে হবে। সহগগুলির পূর্ণসংখ্যা অনুপাত পেতে, আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারিগুলিকে অদলবদল করি।

তৃতীয় এবং চতুর্থ সমীকরণ বাদ দিতে, দ্বিতীয়টি , তৃতীয় লাইনে এবং দ্বিতীয়টি দ্বারা গুণিত , চতুর্থ লাইনে যোগ করুন।

এখন, তৃতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করে, আমরা চতুর্থ সমীকরণ থেকে চলকটিকে বাদ দিই। এটি করার জন্য, চতুর্থ লাইনে তৃতীয় লাইন যোগ করুন, গুন করুন।

প্রদত্ত সিস্টেমটি তাই নিম্নলিখিতগুলির সমতুল্য:

ফলস্বরূপ সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ, কারণ এর শেষ সমীকরণটি অজানা কোনো মান দ্বারা সন্তুষ্ট হতে পারে না। অতএব, এই সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।

গাউস পদ্ধতিরৈখিক বীজগণিত সমীকরণ (SLAEs) এর সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য নিখুঁত। অন্যান্য পদ্ধতির তুলনায় এটির বেশ কয়েকটি সুবিধা রয়েছে:

• প্রথমত, সামঞ্জস্যের জন্য প্রথমে সমীকরণ পদ্ধতি পরীক্ষা করার দরকার নেই;
• দ্বিতীয়ত, গাউস পদ্ধতি শুধুমাত্র SLAE গুলিই সমাধান করতে পারে না যেখানে সমীকরণের সংখ্যা অজানা ভেরিয়েবলের সংখ্যার সাথে মিলে যায় এবং সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সটি অ-একবচন, তবে সমীকরণের সিস্টেমগুলিও যাতে সমীকরণের সংখ্যার সাথে মিলে না অজানা ভেরিয়েবলের সংখ্যা বা প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্যের সমান;
• তৃতীয়ত, গাউসিয়ান পদ্ধতি তুলনামূলকভাবে অল্প সংখ্যক কম্পিউটেশনাল অপারেশনের ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়।

নিবন্ধের সংক্ষিপ্ত বিবরণ।

প্রথমত, আমরা প্রয়োজনীয় সংজ্ঞা দিই এবং স্বরলিপি প্রবর্তন করি।

এর পরে, আমরা সহজ ক্ষেত্রে গাউস পদ্ধতির অ্যালগরিদম বর্ণনা করব, অর্থাৎ, রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমের জন্য, সমীকরণের সংখ্যা যেখানে অজানা চলকের সংখ্যার সাথে মিলে যায় এবং সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্যের সমান নয়। সমীকরণের এই জাতীয় সিস্টেমগুলি সমাধান করার সময়, গাউস পদ্ধতির সারমর্মটি সবচেয়ে স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান হয়, যা অজানা ভেরিয়েবলের ক্রমিক নির্মূল। তাই, গাউসিয়ান পদ্ধতিকে অজানাকে ক্রমিকভাবে নির্মূল করার পদ্ধতিও বলা হয়। আমরা কয়েকটি উদাহরণের বিস্তারিত সমাধান দেখাব।

উপসংহারে, আমরা রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমগুলির গাউস পদ্ধতি দ্বারা সমাধানটি বিবেচনা করব, যার প্রধান ম্যাট্রিক্সটি হয় আয়তক্ষেত্রাকার বা একবচন। এই ধরনের সিস্টেমের সমাধানের কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা আমরা উদাহরণ ব্যবহার করে বিস্তারিতভাবে পরীক্ষা করব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

মৌলিক সংজ্ঞা এবং স্বরলিপি।

n অজানা সহ p রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম বিবেচনা করুন (p n এর সমান হতে পারে):

কোথায় অজানা ভেরিয়েবল আছে, সংখ্যা (বাস্তব বা জটিল) এবং মুক্ত পদ।

যদি , তারপর রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেম বলা হয় সমজাতীয়, অন্যথায় - ভিন্নধর্মী.

অজানা ভেরিয়েবলের মানের সেট যার জন্য সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ পরিচয় হয়ে ওঠে SLAU এর সিদ্ধান্ত.

রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেমের অন্তত একটি সমাধান থাকলে, তাকে বলা হয় যৌথ, অন্যথায় - অ জয়েন্ট.

যদি একটি SLAE এর একটি অনন্য সমাধান থাকে, তাহলে এটি বলা হয় নিশ্চিত. যদি একাধিক সমাধান থাকে, তাহলে সিস্টেম বলা হয় অনিশ্চিত.

তারা বলে যে সিস্টেমে লেখা আছে সমন্বয় ফর্ম, যদি এটির ফর্ম থাকে
.

এই সিস্টেম ইন ম্যাট্রিক্স ফর্মরেকর্ড ফর্ম আছে, যেখানে - SLAE-এর প্রধান ম্যাট্রিক্স, - অজানা ভেরিয়েবলের কলামের ম্যাট্রিক্স, - মুক্ত পদের ম্যাট্রিক্স।

যদি আমরা ম্যাট্রিক্স A-তে (n+1)তম কলাম হিসাবে মুক্ত পদগুলির একটি ম্যাট্রিক্স-কলাম যোগ করি, আমরা তথাকথিত পাই বর্ধিত ম্যাট্রিক্সরৈখিক সমীকরণের সিস্টেম। সাধারণত, একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে T অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং মুক্ত পদের কলামটি অবশিষ্ট কলামগুলি থেকে একটি উল্লম্ব রেখা দ্বারা পৃথক করা হয়, অর্থাৎ,

বর্গ ম্যাট্রিক্স A বলা হয় অধঃপতন, যদি এর নির্ধারক শূন্য হয়। যদি, তাহলে ম্যাট্রিক্স A বলা হয় অধঃপতিত.

নিম্নলিখিত পয়েন্ট লক্ষ করা উচিত.

যদি আমরা রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেমের সাথে সঞ্চালন করি নিম্নলিখিত কর্ম

• দুটি সমীকরণ অদলবদল করুন,
• যেকোনো সমীকরণের উভয় দিককে একটি নির্বিচারে এবং অ-শূন্য বাস্তব (বা জটিল) সংখ্যা k দ্বারা গুণ করুন,
• যেকোনো সমীকরণের উভয় পাশে অন্য একটি সমীকরণের সংশ্লিষ্ট অংশ যোগ করুন, একটি নির্বিচারে সংখ্যা k দ্বারা গুণ করে,

তারপরে আপনি একটি সমতুল্য সিস্টেম পাবেন যার একই সমাধান রয়েছে (বা, আসলটির মতো, কোনও সমাধান নেই)।

রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের জন্য, এই ক্রিয়াগুলির অর্থ হবে সারিগুলির সাথে প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করা:

• দুটি লাইন অদলবদল করা,
• একটি অশূন্য সংখ্যা k দ্বারা ম্যাট্রিক্স T-এর যেকোন সারির সমস্ত উপাদানকে গুণ করে,
• একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সারির উপাদানের সাথে অন্য সারির সংশ্লিষ্ট উপাদান যোগ করে, একটি নির্বিচারে সংখ্যা k দ্বারা গুণ করা হয়।

এখন আমরা গাউস পদ্ধতির বর্ণনায় এগিয়ে যেতে পারি।

রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি, যেখানে সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার সমান এবং সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স অ-একবচন, গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে।

স্কুলে আমরা কী করব যদি আমাদেরকে সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান খোঁজার কাজ দেওয়া হয়? .

কেউ কেউ তাই করবে।

লক্ষ্য করুন যে দ্বিতীয় সমীকরণের বাম দিকে যোগ করা বাম পাশেপ্রথমে, এবং ডান দিকে - ডানদিকে, আপনি অজানা ভেরিয়েবল x 2 এবং x 3 থেকে মুক্তি পেতে পারেন এবং অবিলম্বে x 1 খুঁজে পেতে পারেন:

আমরা সিস্টেমের প্রথম এবং তৃতীয় সমীকরণে পাওয়া মান x 1 =1 প্রতিস্থাপন করি:

যদি আমরা সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণের উভয় দিককে -1 দ্বারা গুণ করি এবং সেগুলিকে প্রথম সমীকরণের সংশ্লিষ্ট অংশগুলিতে যোগ করি, তাহলে আমরা অজানা চলক x 3 থেকে মুক্তি পাব এবং x 2 খুঁজে পাব:

আমরা ফলাফলের মান x 2 = 2কে তৃতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং অবশিষ্ট অজানা চলক x 3 খুঁজে পাই:

অন্যরা ভিন্নভাবে করত।

আসুন আমরা অজানা চলক x 1 এর সাপেক্ষে সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটি সমাধান করি এবং তাদের থেকে এই ভেরিয়েবলটি বাদ দেওয়ার জন্য সিস্টেমের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণে ফলাফলের অভিব্যক্তিটিকে প্রতিস্থাপন করি:

এখন আসুন x 2 এর জন্য সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণটি সমাধান করি এবং এটি থেকে অজানা চলক x 2 দূর করতে তৃতীয় সমীকরণে প্রাপ্ত ফলাফলটিকে প্রতিস্থাপন করি:

সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণ থেকে এটা স্পষ্ট যে x 3 =3। দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে পাই , এবং প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা পাই।

পরিচিত সমাধান, তাই না?

এখানে সবচেয়ে মজার বিষয় হল যে দ্বিতীয় সমাধান পদ্ধতিটি মূলত অজানাকে ক্রমিক নির্মূল করার পদ্ধতি, অর্থাৎ গাউসিয়ান পদ্ধতি। যখন আমরা অজানা ভেরিয়েবলগুলি প্রকাশ করি (প্রথম x 1, পরবর্তী পর্যায়ে x 2) এবং সিস্টেমের অবশিষ্ট সমীকরণগুলিতে তাদের প্রতিস্থাপিত করি, তখন আমরা সেগুলিকে বাদ দিয়েছিলাম। শেষ সমীকরণে শুধুমাত্র একটি অজানা পরিবর্তনশীল অবশিষ্ট না থাকা পর্যন্ত আমরা নির্মূল করেছি। ক্রমানুসারে অজানাকে নির্মূল করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় সরাসরি গাউসিয়ান পদ্ধতি. শেষ করার পর ফরোয়ার্ড স্ট্রোকআমাদের এখন শেষ সমীকরণে অজানা পরিবর্তনশীল গণনা করার সুযোগ আছে। এর সাহায্যে, আমরা উপান্তর সমীকরণ থেকে পরবর্তী অজানা চলকটি খুঁজে পাই এবং আরও অনেক কিছু। শেষ সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণে যাওয়ার সময় ক্রমানুসারে অজানা চলক খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত.

এটি লক্ষ করা উচিত যে যখন আমরা প্রথম সমীকরণে x 2 এবং x 3 এর পরিপ্রেক্ষিতে x 1 প্রকাশ করি এবং তারপরে দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণে ফলিত অভিব্যক্তিটিকে প্রতিস্থাপন করি, নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি একই ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়:

প্রকৃতপক্ষে, এই জাতীয় পদ্ধতি সিস্টেমের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণ থেকে অজানা পরিবর্তনশীল x 1 বাদ দেওয়াও সম্ভব করে তোলে:

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে অজানা ভেরিয়েবলের নির্মূলের সূক্ষ্মতা দেখা দেয় যখন সিস্টেমের সমীকরণে কিছু ভেরিয়েবল থাকে না।

উদাহরণস্বরূপ, SLAU তে প্রথম সমীকরণে কোন অজানা পরিবর্তনশীল x 1 নেই (অন্য কথায়, এর সামনের সহগটি শূন্য)। অতএব, অবশিষ্ট সমীকরণগুলি থেকে এই অজানা পরিবর্তনশীলটিকে নির্মূল করার জন্য আমরা x 1 এর জন্য সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটি সমাধান করতে পারি না। এই পরিস্থিতি থেকে বেরিয়ে আসার উপায় হল সিস্টেমের সমীকরণগুলি অদলবদল করা। যেহেতু আমরা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি বিবেচনা করছি যার প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকগুলি শূন্য থেকে আলাদা, তাই সর্বদা একটি সমীকরণ থাকে যেখানে আমাদের প্রয়োজনীয় পরিবর্তনশীলটি উপস্থিত থাকে এবং আমরা এই সমীকরণটিকে আমাদের প্রয়োজনীয় অবস্থানে পুনর্বিন্যাস করতে পারি। আমাদের উদাহরণের জন্য, সিস্টেমের প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণগুলি অদলবদল করার জন্য এটি যথেষ্ট , তারপর আপনি x 1 এর জন্য প্রথম সমীকরণটি সমাধান করতে পারেন এবং সিস্টেমের অবশিষ্ট সমীকরণগুলি থেকে এটি বাদ দিতে পারেন (যদিও x 1 দ্বিতীয় সমীকরণে আর উপস্থিত নেই)।

আমরা আশা করি আপনি সারাংশ পাবেন।

আসুন বর্ণনা করি গাউসিয়ান পদ্ধতির অ্যালগরিদম।

ধরুন আমাদের n অজানা সহ n রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে ফর্মের ভেরিয়েবল , এবং এর প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারককে শূন্য থেকে ভিন্ন হতে দিন।

আমরা ধরে নেব যে, যেহেতু আমরা সর্বদা সিস্টেমের সমীকরণগুলিকে পুনর্বিন্যাস করে এটি অর্জন করতে পারি। দ্বিতীয়টি দিয়ে শুরু করে সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ থেকে অজানা চলক x 1 বাদ দেওয়া যাক। এটি করার জন্য, সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণে আমরা প্রথমটি যোগ করি, গুন করে, তৃতীয় সমীকরণে আমরা প্রথমটি যোগ করি, গুন করে, এবং তাই, nম সমীকরণে আমরা প্রথমটি যোগ করি, গুন করে। এই ধরনের রূপান্তরের পরে সমীকরণের সিস্টেম রূপ নেবে

কোথায় এবং .

আমরা একই ফলাফলে পৌঁছে যেতাম যদি আমরা সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে অন্যান্য অজানা ভেরিয়েবলের পরিপ্রেক্ষিতে x 1 প্রকাশ করতাম এবং ফলাফলের অভিব্যক্তিটিকে অন্য সমস্ত সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করতাম। এইভাবে, চলক x 1 দ্বিতীয় থেকে শুরু করে সমস্ত সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া হয়েছে।

এরপরে, আমরা একইভাবে এগিয়ে যাই, তবে শুধুমাত্র ফলাফলের সিস্টেমের অংশ দিয়ে, যা চিত্রে চিহ্নিত করা হয়েছে

এটি করার জন্য, সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণে আমরা দ্বিতীয়টি যোগ করি, গুন করে, চতুর্থ সমীকরণে আমরা দ্বিতীয়টি যোগ করি, গুন করে, এবং তাই, nম সমীকরণে আমরা দ্বিতীয়টি যোগ করি, দ্বারা গুণ করে। এই ধরনের রূপান্তরের পরে সমীকরণের সিস্টেম রূপ নেবে

কোথায় এবং . এইভাবে, চলক x 2টি তৃতীয় থেকে শুরু করে সমস্ত সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া হয়েছে।

এরপরে, আমরা অজানা x 3 বাদ দিতে এগিয়ে যাই, যখন আমরা চিত্রে চিহ্নিত সিস্টেমের অংশের সাথে একইভাবে কাজ করি।

সুতরাং সিস্টেমটি রূপ না নেওয়া পর্যন্ত আমরা গাউসিয়ান পদ্ধতির সরাসরি অগ্রগতি অব্যাহত রাখি

এই মুহূর্ত থেকে আমরা গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত শুরু করি: আমরা শেষ সমীকরণ থেকে x n গণনা করি, x n এর প্রাপ্ত মান ব্যবহার করে আমরা উপান্তর সমীকরণ থেকে x n-1 খুঁজে পাই এবং একইভাবে, আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে x 1 খুঁজে পাই। .

আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করে অ্যালগরিদমটি দেখি।

উদাহরণ।

গাউস পদ্ধতি।

সমাধান।

সহগ একটি 11 অ-শূন্য, তাই আসুন গাউসিয়ান পদ্ধতির সরাসরি অগ্রগতিতে এগিয়ে যাই, অর্থাৎ, প্রথমটি ছাড়া সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ থেকে অজানা চলক x 1 বাদ দেওয়া। এটি করার জন্য, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ সমীকরণের বাম এবং ডান দিকে, যথাক্রমে , দ্বারা গুণিত প্রথম সমীকরণের বাম এবং ডান দিক যোগ করুন। এবং :

অজানা ভেরিয়েবল x 1 বাদ দেওয়া হয়েছে, আসুন x 2 নির্মূল করার দিকে এগিয়ে যাই। সিস্টেমের তৃতীয় এবং চতুর্থ সমীকরণের বাম এবং ডান দিকে আমরা যথাক্রমে গুন করে দ্বিতীয় সমীকরণের বাম এবং ডান দিক যোগ করি এবং :

গাউসিয়ান পদ্ধতির অগ্রগতি সম্পূর্ণ করতে, আমাদের সিস্টেমের শেষ সমীকরণ থেকে অজানা পরিবর্তনশীল x 3 বাদ দিতে হবে। আসুন চতুর্থ সমীকরণের বাম ও ডান পাশে যথাক্রমে তৃতীয় সমীকরণের বাম ও ডান দিক যোগ করি :

আপনি গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত শুরু করতে পারেন।

শেষ সমীকরণ থেকে আমরা ,
তৃতীয় সমীকরণ থেকে আমরা পাই,
দ্বিতীয় থেকে,
প্রথম থেকে

চেক করতে, আপনি অজানা ভেরিয়েবলের প্রাপ্ত মানগুলিকে সমীকরণের মূল সিস্টেমে প্রতিস্থাপন করতে পারেন। সমস্ত সমীকরণ পরিচয়ে পরিণত হয়, যা নির্দেশ করে যে গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধানটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে।

উত্তর:

এখন ম্যাট্রিক্স নোটেশনে গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে একই উদাহরণের সমাধান দেওয়া যাক।

উদাহরণ।

সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান খুঁজুন গাউস পদ্ধতি।

সমাধান।

সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের ফর্ম আছে . প্রতিটি কলামের শীর্ষে ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ অজানা ভেরিয়েবল রয়েছে।

এখানে গাউসিয়ান পদ্ধতির সরাসরি পদ্ধতিতে প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে ট্র্যাপিজয়েডাল আকারে হ্রাস করা জড়িত। এই প্রক্রিয়াটি অজানা ভেরিয়েবলের নির্মূলের অনুরূপ যা আমরা সমন্বয় আকারে সিস্টেমের সাথে করেছি। এখন আপনি এটি দেখতে পাবেন।

আসুন ম্যাট্রিক্সকে রূপান্তরিত করি যাতে প্রথম কলামের সমস্ত উপাদান, দ্বিতীয় থেকে শুরু করে, শূন্য হয়ে যায়। এটি করার জন্য, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ লাইনের উপাদানগুলিতে আমরা প্রথম লাইনের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলিকে গুন করে যোগ করি, এবং সেই অনুযায়ী:

এর পরে, আমরা ফলাফল ম্যাট্রিক্সকে রূপান্তরিত করি যাতে দ্বিতীয় কলামে সমস্ত উপাদান, তৃতীয় থেকে শুরু করে, শূন্য হয়ে যায়। এটি অজানা ভেরিয়েবল x 2 নির্মূল করার সাথে সম্পর্কিত হবে। এটি করার জন্য, তৃতীয় এবং চতুর্থ সারির উপাদানগুলিতে আমরা ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলিকে যথাক্রমে গুণিত করে যোগ করি। এবং :

সিস্টেমের শেষ সমীকরণ থেকে অজানা পরিবর্তনশীল x 3 বাদ দেওয়া বাকি আছে। এটি করার জন্য, ফলাফল ম্যাট্রিক্সের শেষ সারির উপাদানগুলিতে আমরা উপান্তর সারির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি যোগ করি, দ্বারা গুণিত :

এটি লক্ষ করা উচিত যে এই ম্যাট্রিক্সটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সাথে মিলে যায়

যা আগে একটি অগ্রসর পদক্ষেপের পরে প্রাপ্ত হয়েছিল।

ফিরে আসার সময়। ম্যাট্রিক্স স্বরলিপিতে, গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীতে পরিণত ম্যাট্রিক্সকে রূপান্তরিত করা জড়িত যেমন ম্যাট্রিক্স চিত্রে চিহ্নিত

তির্যক হয়ে গেল, অর্থাৎ রূপ নিয়েছে

যেখানে কিছু সংখ্যা আছে।

এই রূপান্তরগুলি গাউসিয়ান পদ্ধতির অগ্রবর্তী রূপান্তরের অনুরূপ, তবে প্রথম লাইন থেকে শেষ পর্যন্ত নয়, শেষ থেকে প্রথম পর্যন্ত সঞ্চালিত হয়।

তৃতীয়, দ্বিতীয় এবং প্রথম লাইনের উপাদানগুলির সাথে শেষ লাইনের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি যোগ করুন, দ্বারা গুণ করুন , অন এবং অন যথাক্রমে:

এখন দ্বিতীয় এবং প্রথম লাইনের উপাদানগুলিতে তৃতীয় লাইনের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি যোগ করুন, যথাক্রমে দ্বারা এবং দ্বারা গুণ করুন:

বিপরীত গাউসিয়ান পদ্ধতির শেষ ধাপে, প্রথম সারির উপাদানগুলিতে আমরা দ্বিতীয় সারির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি যোগ করি, যা দ্বারা গুণিত হয়:

ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্স সমীকরণের সিস্টেমের সাথে মিলে যায় , যেখান থেকে আমরা অজানা ভেরিয়েবল খুঁজে পাই।

উত্তর:

বিঃদ্রঃ.

রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, আনুমানিক গণনাগুলি এড়ানো উচিত, কারণ এটি সম্পূর্ণরূপে ভুল ফলাফলের দিকে নিয়ে যেতে পারে। আমরা ডেসিমেল বৃত্তাকার না করার পরামর্শ দিই। থেকে ভালো দশমিকযাও সাধারণ ভগ্নাংশ.

উদাহরণ।

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন .

সমাধান।

মনে রাখবেন যে এই উদাহরণে অজানা ভেরিয়েবলের একটি ভিন্ন পদবি আছে (x 1, x 2, x 3 নয়, কিন্তু x, y, z)। চলুন সাধারণ ভগ্নাংশে যাওয়া যাক:

সিস্টেমের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণ থেকে অজানা x বাদ দেওয়া যাক:

ফলস্বরূপ সিস্টেমে, অজানা চলক y দ্বিতীয় সমীকরণে অনুপস্থিত, কিন্তু y তৃতীয় সমীকরণে উপস্থিত, অতএব, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণগুলি অদলবদল করা যাক:

এটি গাউস পদ্ধতির সরাসরি অগ্রগতি সম্পন্ন করে (তৃতীয় সমীকরণ থেকে y বাদ দেওয়ার প্রয়োজন নেই, যেহেতু এই অজানা পরিবর্তনশীলটি আর বিদ্যমান নেই)।

এর বিপরীত পদক্ষেপ শুরু করা যাক.

শেষ সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে ,
উপান্ত থেকে


আমাদের প্রথম সমীকরণ থেকে

উত্তর:

X = 10, y = 5, z = -20।

রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি যেখানে সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার সাথে মিলে যায় না বা সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স একবচন হয়, গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে।

সমীকরণের সিস্টেম, যার প্রধান ম্যাট্রিক্স হল আয়তক্ষেত্রাকার বা বর্গাকার একবচন, এর কোনো সমাধান নাও থাকতে পারে, একক সমাধান থাকতে পারে বা অসীম সংখ্যক সমাধান থাকতে পারে।

এখন আমরা বুঝতে পারব কীভাবে গাউস পদ্ধতি আমাদেরকে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সামঞ্জস্য বা অসঙ্গতি স্থাপন করতে দেয় এবং এর সামঞ্জস্যের ক্ষেত্রে, সমস্ত সমাধান (বা একটি একক সমাধান) নির্ধারণ করে।

নীতিগতভাবে, এই ধরনের SLAE-এর ক্ষেত্রে অজানা ভেরিয়েবল বাদ দেওয়ার প্রক্রিয়া একই থাকে। যাইহোক, উদ্ভূত হতে পারে এমন কিছু পরিস্থিতি সম্পর্কে বিস্তারিতভাবে যাওয়া মূল্যবান।

আসুন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পর্যায়ে চলে যাই।

সুতরাং, আমরা ধরে নিই যে রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সিস্টেমটি, গাউস পদ্ধতির অগ্রগতি সম্পন্ন করার পরে, রূপ নেয় এবং একটি একক সমীকরণ হ্রাস করা হয়নি (এই ক্ষেত্রে আমরা সিদ্ধান্ত নেব যে সিস্টেমটি বেমানান)। একটি যৌক্তিক প্রশ্ন উঠছে: "এরপর কি করতে হবে"?

আসুন আমরা অজানা ভেরিয়েবলগুলি লিখি যা ফলাফল সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণে প্রথমে আসে:

আমাদের উদাহরণে এগুলি হল x 1, x 4 এবং x 5। সিস্টেমের সমীকরণের বাম দিকে আমরা কেবলমাত্র সেই পদগুলি ছেড়ে দিই যেগুলিতে লিখিত অজানা ভেরিয়েবল x 1, x 4 এবং x 5 রয়েছে, অবশিষ্ট পদগুলি বিপরীত চিহ্ন সহ সমীকরণের ডানদিকে স্থানান্তরিত হয়:

আসুন অজানা ভেরিয়েবলগুলি দিই যা সমীকরণের অবাধ মানগুলির ডান দিকে রয়েছে, যেখানে - নির্বিচারে সংখ্যা:

এর পরে, আমাদের SLAE-এর সমস্ত সমীকরণের ডানদিকে সংখ্যা রয়েছে এবং আমরা গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীতে যেতে পারি।

আমাদের কাছে থাকা সিস্টেমের শেষ সমীকরণ থেকে, আমরা যে উপান্তর সমীকরণটি পাই তা থেকে, প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা পাই

সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান হল অজানা ভেরিয়েবলের মানগুলির একটি সেট

নম্বর দেওয়া বিভিন্ন মান, আমরা সমীকরণ সিস্টেমের বিভিন্ন সমাধান পাব। অর্থাৎ, আমাদের সমীকরণের সিস্টেমে অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে।

উত্তর:

কোথায় - নির্বিচারে সংখ্যা।

উপাদান একত্রিত করার জন্য, আমরা আরও কয়েকটি উদাহরণের সমাধানগুলি বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব।

উদাহরণ।

সিদ্ধান্ত নিন একজাতীয় সিস্টেমরৈখিক বীজগণিত সমীকরণ গাউস পদ্ধতি।

সমাধান।

সিস্টেমের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণ থেকে অজানা চলক x বাদ দেওয়া যাক। এটি করার জন্য, দ্বিতীয় সমীকরণের বাম এবং ডান দিকে, আমরা যথাক্রমে, প্রথম সমীকরণের বাম এবং ডান দিকগুলিকে , দ্বারা গুন করে এবং তৃতীয় সমীকরণের বাম এবং ডান দিকে, আমরা বাম এবং যোগ করি প্রথম সমীকরণের ডান দিক, দ্বারা গুণিত:

এখন আসুন সমীকরণের ফলাফল সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণ থেকে y বাদ দেওয়া যাক:

ফলস্বরূপ SLAE সিস্টেমের সমতুল্য .

আমরা সিস্টেম সমীকরণের বাম দিকে শুধুমাত্র অজানা ভেরিয়েবল x এবং y সম্বলিত পদগুলি রেখে দেই, এবং অজানা ভেরিয়েবল z সহ পদগুলিকে ডান দিকে নিয়ে যাই:

রৈখিক সমীকরণের দুটি সিস্টেমকে সমতুল্য বলা হয় যদি তাদের সমস্ত সমাধানের সেট মিলে যায়।

সমীকরণের একটি সিস্টেমের প্রাথমিক রূপান্তরগুলি হল:

1. সিস্টেম থেকে তুচ্ছ সমীকরণ মুছে ফেলা, যেমন যেগুলির জন্য সমস্ত সহগ শূন্যের সমান;
2. শূন্য ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা যেকোনো সমীকরণকে গুণ করা;
3. যেকোন i-th সমীকরণের সাথে যোগ করা যেকোন j-th সমীকরণকে যেকোন সংখ্যা দিয়ে গুণ করে।

একটি ভেরিয়েবল x i কে মুক্ত বলা হয় যদি এই ভেরিয়েবলটি অনুমোদিত না হয় তবে সমীকরণের সম্পূর্ণ সিস্টেম অনুমোদিত।

উপপাদ্য। প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সমীকরণের একটি সিস্টেমকে একটি সমতুল্যে রূপান্তরিত করে।

গাউসিয়ান পদ্ধতির অর্থ হ'ল সমীকরণের মূল সিস্টেমকে রূপান্তর করা এবং একটি সমতুল্য সমাধান বা সমতুল্য অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম প্রাপ্ত করা।

সুতরাং, গাউসিয়ান পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি রয়েছে:

1. আসুন প্রথম সমীকরণটি দেখি। আসুন প্রথম অ-শূন্য সহগটি বেছে নেওয়া যাক এবং এটি দ্বারা সমগ্র সমীকরণটিকে ভাগ করি। আমরা একটি সমীকরণ পাই যেখানে কিছু পরিবর্তনশীল x i 1 এর সহগ দিয়ে প্রবেশ করে;
2. আসুন এই সমীকরণটি অন্য সকল থেকে বিয়োগ করি, এটিকে এমন সংখ্যা দিয়ে গুণ করি যাতে অবশিষ্ট সমীকরণে x i ভেরিয়েবলের সহগ শূন্য হয়। আমরা পরিবর্তনশীল x i এবং আসলটির সমতুল্য একটি সিস্টেম সমাধান করি;
3. যদি তুচ্ছ সমীকরণ দেখা দেয় (কদাচিৎ, তবে এটি ঘটে; উদাহরণস্বরূপ, 0 = 0), আমরা সেগুলিকে সিস্টেম থেকে অতিক্রম করি। ফলস্বরূপ, একটি কম সমীকরণ আছে;
4. আমরা পূর্ববর্তী ধাপগুলি n বারের বেশি পুনরাবৃত্তি করি না, যেখানে n হল সিস্টেমের সমীকরণের সংখ্যা। প্রতিবার আমরা "প্রসেসিং" এর জন্য একটি নতুন ভেরিয়েবল নির্বাচন করি। যদি অসামঞ্জস্যপূর্ণ সমীকরণ দেখা দেয় (উদাহরণস্বরূপ, 0 = 8), সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ।

ফলস্বরূপ, কয়েকটি ধাপের পরে আমরা একটি সমাধান করা সিস্টেম (সম্ভবত বিনামূল্যে ভেরিয়েবল সহ) বা একটি অসঙ্গত পাব। অনুমোদিত সিস্টেম দুটি ক্ষেত্রে পড়ে:

1. চলকের সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার সমান। এর মানে হল যে সিস্টেম সংজ্ঞায়িত করা হয়;
2. ভেরিয়েবলের সংখ্যা আরো সংখ্যাসমীকরণ আমরা ডানদিকে সমস্ত বিনামূল্যের ভেরিয়েবল সংগ্রহ করি - আমরা অনুমোদিত ভেরিয়েবলের সূত্র পাই। এই সূত্রগুলো উত্তরে লেখা আছে।

এখানেই শেষ! রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম সমাধান! এটি একটি মোটামুটি সহজ অ্যালগরিদম, এবং এটি আয়ত্ত করতে আপনাকে উচ্চতর গণিত শিক্ষকের সাথে যোগাযোগ করতে হবে না। আসুন একটি উদাহরণ দেখি:

টাস্ক। সমীকরণ পদ্ধতি সমাধান করুন:

পদক্ষেপের বর্ণনা:

1. দ্বিতীয় এবং তৃতীয় থেকে প্রথম সমীকরণ বিয়োগ করুন - আমরা অনুমোদিত পরিবর্তনশীল x 1 পাই;
2. আমরা দ্বিতীয় সমীকরণটিকে (−1) দ্বারা গুণ করি, এবং তৃতীয় সমীকরণটিকে (−3) দ্বারা ভাগ করি - আমরা দুটি সমীকরণ পাই যেখানে x 2 ভেরিয়েবলটি 1 এর সহগ সহ প্রবেশ করে;
3. আমরা প্রথমটির সাথে দ্বিতীয় সমীকরণটি যোগ করি এবং তৃতীয়টি থেকে বিয়োগ করি। আমরা অনুমোদিত পরিবর্তনশীল x 2 পাই;
4. অবশেষে, আমরা প্রথম থেকে তৃতীয় সমীকরণটি বিয়োগ করি - আমরা অনুমোদিত পরিবর্তনশীল x 3 পাই;
5. আমরা একটি অনুমোদিত সিস্টেম পেয়েছি, প্রতিক্রিয়া লিখুন।

রৈখিক সমীকরণের যুগপত পদ্ধতির সাধারণ সমাধান হল নতুন সিস্টেম, আসলটির সমতুল্য, যেখানে সমস্ত অনুমোদিত ভেরিয়েবল বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়।

যখন একটি সাধারণ সমাধান প্রয়োজন হতে পারে? যদি আপনাকে k থেকে কম ধাপ করতে হয় (k হল কতগুলি সমীকরণ আছে)। যাইহোক, যে কারণে প্রক্রিয়াটি কিছু ধাপে শেষ হয় l< k , может быть две:

1. lth ধাপের পরে, আমরা এমন একটি সিস্টেম পেয়েছি যাতে সংখ্যা সহ একটি সমীকরণ নেই (l + 1)। আসলে, এটি ভাল, কারণ ... অনুমোদিত সিস্টেম এখনও প্রাপ্ত হয় - এমনকি কয়েক ধাপ আগে।
2. lth ধাপের পরে, আমরা একটি সমীকরণ পেয়েছি যেখানে ভেরিয়েবলের সমস্ত সহগ শূন্যের সমান এবং মুক্ত সহগ শূন্য থেকে আলাদা। এটি একটি পরস্পরবিরোধী সমীকরণ, এবং সেইজন্য, সিস্টেমটি অসঙ্গতিপূর্ণ।

এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ সমীকরণের উত্থান অসঙ্গতির জন্য যথেষ্ট ভিত্তি। একই সময়ে, আমরা লক্ষ্য করি যে lth ধাপের ফলস্বরূপ, কোনও তুচ্ছ সমীকরণ থাকতে পারে না - সেগুলি সমস্ত প্রক্রিয়ার মধ্যেই অতিক্রম করা হয়।

পদক্ষেপের বর্ণনা:

1. প্রথম সমীকরণটি বিয়োগ করুন, দ্বিতীয়টি থেকে 4 দ্বারা গুণ করুন। আমরা তৃতীয়টিতে প্রথম সমীকরণ যোগ করি - আমরা অনুমোদিত পরিবর্তনশীল x 1 পাই;
2. দ্বিতীয় থেকে 2 দ্বারা গুণিত তৃতীয় সমীকরণটি বিয়োগ করুন - আমরা পরস্পরবিরোধী সমীকরণ 0 = −5 পাই।

সুতরাং, সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ কারণ একটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ সমীকরণ আবিষ্কৃত হয়েছে।

টাস্ক। সামঞ্জস্য অন্বেষণ করুন এবং সিস্টেমের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজুন:

পদক্ষেপের বর্ণনা:

1. আমরা দ্বিতীয়টি থেকে প্রথম সমীকরণটি বিয়োগ করি (দুই দ্বারা গুণ করার পরে) এবং তৃতীয়টি - আমরা অনুমোদিত পরিবর্তনশীল x 1 পাই;
2. তৃতীয় থেকে দ্বিতীয় সমীকরণ বিয়োগ করুন। যেহেতু এই সমীকরণগুলির সমস্ত সহগ একই, তৃতীয় সমীকরণটি তুচ্ছ হয়ে যাবে। একই সময়ে, দ্বিতীয় সমীকরণটিকে (−1) দ্বারা গুণ করুন;
3. প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করুন - আমরা অনুমোদিত পরিবর্তনশীল x 2 পাই। সমীকরণের পুরো সিস্টেমটিও এখন সমাধান করা হয়েছে;
4. যেহেতু x 3 এবং x 4 ভেরিয়েবলগুলি বিনামূল্যে, আমরা অনুমোদিত ভেরিয়েবলগুলি প্রকাশ করার জন্য তাদের ডানদিকে নিয়ে যাই। এই উত্তর.

সুতরাং, সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অনিশ্চিত, যেহেতু দুটি অনুমোদিত ভেরিয়েবল (x 1 এবং x 2) এবং দুটি বিনামূল্যে (x 3 এবং x 4) রয়েছে।