চলো বিবেচনা করি রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেম(SLAU) তুলনামূলকভাবে nঅজানা এক্স 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n :
এই সিস্টেমটি একটি "ধ্বংস" আকারে নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
এস n i=1 ক ij এক্স j = খ i , i=1,2, ..., n.
ম্যাট্রিক্স গুণের নিয়ম অনুসারে, বিবেচিত সিস্টেম রৈখিক সমীকরণলেখা যেতে পারে ম্যাট্রিক্স ফর্ম কুড়াল = খ, কোথায়
,
,.
ম্যাট্রিক্স ক, যার কলামগুলি সংশ্লিষ্ট অজানাগুলির সহগ এবং সারিগুলি সংশ্লিষ্ট সমীকরণের অজানাগুলির সহগকে বলা হয় সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স. কলাম ম্যাট্রিক্স খ, যে উপাদানগুলির উপাদানগুলি সিস্টেমের সমীকরণগুলির ডানদিকের দিকগুলিকে ডানদিকের ম্যাট্রিক্স বা সহজভাবে বলা হয় সিস্টেমের ডান দিকে. কলাম ম্যাট্রিক্স এক্স , যার উপাদান অজানা অজানা, বলা হয় সিস্টেম সমাধান.
আকারে লিখিত রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেম কুড়াল = খ, হয় ম্যাট্রিক্স সমীকরণ.
সিস্টেম ম্যাট্রিক্স হলে অধঃপতিত, তারপর তার আছে বিপরীত ম্যাট্রিক্সএবং তারপর সিস্টেমের সমাধান কুড়াল = খসূত্র দ্বারা দেওয়া হয়:
x=A -1 খ.
উদাহরণসিস্টেমের সমাধান করুন 
ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি।
সমাধানসিস্টেমের সহগ ম্যাট্রিক্সের জন্য ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করা যাক
প্রথম লাইন বরাবর প্রসারিত করে নির্ধারক গণনা করা যাক:
কারন Δ ≠ 0 , যে ক -1 বিদ্যমান
বিপরীত ম্যাট্রিক্স সঠিকভাবে পাওয়া গেছে.
আসুন সিস্টেমের একটি সমাধান খুঁজে বের করা যাক 
তাই, এক্স 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
পরীক্ষা: 
7. রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেমের সামঞ্জস্যের উপর ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য।
রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমফর্ম আছে:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
এখানে a i j এবং b i ( i = ; j = ) দেওয়া হয়েছে এবং x j হল অজানা বাস্তব সংখ্যা। ম্যাট্রিক্সের পণ্যের ধারণাটি ব্যবহার করে, আমরা ফর্মটিতে সিস্টেম (5.1) পুনরায় লিখতে পারি:
যেখানে A = (a i j) একটি ম্যাট্রিক্স যা সিস্টেমের অজানা (5.1) জন্য সহগ নিয়ে গঠিত, যাকে বলা হয় সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T হল যথাক্রমে অজানা x j এবং মুক্ত পদ b i দ্বারা গঠিত কলাম ভেক্টর।
অর্ডার করা সংগ্রহ nবাস্তব সংখ্যা (c 1, c 2,..., c n) বলা হয় সিস্টেম সমাধান(5.1), যদি সংশ্লিষ্ট ভেরিয়েবল x 1, x 2,..., x n এর পরিবর্তে এই সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপনের ফলে সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণ একটি গাণিতিক পরিচয়ে পরিণত হয়; অন্য কথায়, যদি একটি ভেক্টর থাকে C= (c 1, c 2,..., c n) T যেমন AC B।
সিস্টেম (5.1) বলা হয় যৌথ,বা সমাধানযোগ্য,যদি এটির অন্তত একটি সমাধান থাকে। সিস্টেম বলা হয় বেমানান,বা অমীমাংসিত, যদি এর কোন সমাধান না থাকে।
,
ম্যাট্রিক্স A এর ডান পাশে মুক্ত পদের একটি কলাম বরাদ্দ করে গঠিত হয় সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স।
সিস্টেমের সামঞ্জস্যের প্রশ্নটি (5.1) নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা সমাধান করা হয়েছে।
ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য . রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এবং শুধুমাত্র যদি ম্যাট্রিক্স A এবংA এর ক্রমগুলি মিলে যায়, যেমন r(A) = r(A) = r.
সিস্টেমের সমাধানের সেট এম (5.1) এর জন্য তিনটি সম্ভাবনা রয়েছে:
1) M = (এই ক্ষেত্রে সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ);
2) M একটি উপাদান নিয়ে গঠিত, যেমন সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে (এই ক্ষেত্রে সিস্টেমটিকে বলা হয় নিশ্চিত);
3) M একাধিক উপাদান নিয়ে গঠিত (তখন সিস্টেম বলা হয় অনিশ্চিত) তৃতীয় ক্ষেত্রে, সিস্টেমের (5.1) অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।
সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে শুধুমাত্র যদি r(A) = n হয়। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের সংখ্যা অজানা (mn) সংখ্যার চেয়ে কম নয়; যদি m>n, তাহলে m-n সমীকরণঅন্যদের পরিণতি। যদি 0 রৈখিক সমীকরণের একটি নির্বিচারে ব্যবস্থা সমাধান করতে, আপনাকে এমন সিস্টেমগুলি সমাধান করতে সক্ষম হতে হবে যেখানে সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার সমান - তথাকথিত ক্রেমার টাইপ সিস্টেম: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n। সিস্টেমগুলি (5.3) নিম্নলিখিত উপায়গুলির মধ্যে একটিতে সমাধান করা হয়: 1) গাউস পদ্ধতি, বা অজানাকে নির্মূল করার পদ্ধতি; 2) ক্রেমারের সূত্র অনুযায়ী; 3) ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি। উদাহরণ 2.12. সমীকরণের সিস্টেমটি অন্বেষণ করুন এবং এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ হলে এটি সমাধান করুন: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0। সমাধান।আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি:
আসুন সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক গণনা করি। এটা স্পষ্ট যে, উদাহরণস্বরূপ, উপরের বাম কোণে দ্বিতীয়-ক্রম ছোট = 7 0; এতে থাকা তৃতীয় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্করা শূন্যের সমান: ফলস্বরূপ, সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল 2, অর্থাৎ r(A) = 2. বর্ধিত ম্যাট্রিক্স A-এর র্যাঙ্ক গণনা করতে, বর্ডারিং মাইনর বিবেচনা করুন এর মানে হল বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক r(A) = 3। যেহেতু r(A) r(A), সিস্টেমটি অসঙ্গত। প্রথম অংশে, আমরা কিছু তাত্ত্বিক উপাদান, প্রতিস্থাপন পদ্ধতি, সেইসাথে সিস্টেম সমীকরণের টার্ম-বাই-টার্ম যোগ করার পদ্ধতি দেখেছি। যারা এই পৃষ্ঠাটির মাধ্যমে সাইটটি অ্যাক্সেস করেছেন তাদের প্রথম অংশটি পড়ার জন্য আমি সুপারিশ করছি। সম্ভবত কিছু দর্শক উপাদানটিকে খুব সহজ মনে করবে, কিন্তু রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার প্রক্রিয়াতে, আমি সাধারণভাবে গাণিতিক সমস্যার সমাধান সম্পর্কে বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ মন্তব্য এবং সিদ্ধান্ত নিয়েছি। এখন আমরা ক্র্যামারের নিয়ম বিশ্লেষণ করব, সেইসাথে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স (ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি) ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করব। সমস্ত উপকরণ সহজভাবে, বিস্তারিত এবং স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে; প্রায় সমস্ত পাঠক উপরের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে কীভাবে সিস্টেমগুলি সমাধান করতে হয় তা শিখতে সক্ষম হবে। প্রথমত, আমরা দুটি অজানা দুটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য ক্র্যামারের নিয়মটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখব। কি জন্য? – সর্বোপরি, স্কুল পদ্ধতি ব্যবহার করে সবচেয়ে সহজ পদ্ধতিটি সমাধান করা যেতে পারে, টার্ম-বাই-টার্ম যোগ করার পদ্ধতি! সত্য যে, যদিও মাঝে মাঝে, এই ধরনের একটি কাজ ঘটে - ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে দুটি অজানা সহ দুটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা। দ্বিতীয়ত, একটি সহজ উদাহরণ আপনাকে আরও জটিল ক্ষেত্রে ক্র্যামারের নিয়ম কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা বুঝতে সাহায্য করবে - তিনটি অজানা সহ তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম। এছাড়াও, দুটি ভেরিয়েবল সহ রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম রয়েছে, যা ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করে সমাধান করার পরামর্শ দেওয়া হয়! সমীকরণ সিস্টেম বিবেচনা করুন প্রথম ধাপে আমরা নির্ধারক গণনা করি, একে বলা হয় সিস্টেমের প্রধান নির্ধারক. গাউস পদ্ধতি। যদি , তাহলে সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে, এবং শিকড় খুঁজে পেতে আমাদের অবশ্যই আরও দুটি নির্ধারক গণনা করতে হবে: অনুশীলনে, উপরের যোগ্যতাগুলিকে একটি ল্যাটিন অক্ষর দ্বারাও চিহ্নিত করা যেতে পারে। আমরা সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের শিকড় খুঁজে পাই: উদাহরণ 7 রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন সমাধান: আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সমীকরণের সহগগুলি বেশ বড়; ডান দিকে একটি কমা সহ দশমিক ভগ্নাংশ রয়েছে। গণিতের ব্যবহারিক কাজে কমা একটি বিরল অতিথি; আমি এই সিস্টেমটিকে একটি অর্থনৈতিক সমস্যা থেকে নিয়েছি। কিভাবে এই ধরনের একটি সিস্টেম সমাধান? আপনি একটি পরিবর্তনশীলকে অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করার চেষ্টা করতে পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে আপনি সম্ভবত ভয়ানক অভিনব ভগ্নাংশের সাথে শেষ হবেন যা কাজ করতে অত্যন্ত অসুবিধাজনক এবং সমাধানটির নকশাটি কেবল ভয়ঙ্কর দেখাবে। আপনি দ্বিতীয় সমীকরণটিকে 6 দ্বারা গুণ করতে পারেন এবং পদ দ্বারা পদ বিয়োগ করতে পারেন, তবে এখানেও একই ভগ্নাংশ দেখা দেবে। কি করো? এই ধরনের ক্ষেত্রে, ক্রেমারের সূত্রগুলি উদ্ধারে আসে। ; ; উত্তর: , উভয় শিকড়েরই অসীম লেজ রয়েছে এবং প্রায় পাওয়া যায়, যা অর্থনীতির সমস্যার জন্য বেশ গ্রহণযোগ্য (এবং এমনকি সাধারণ)। এখানে মন্তব্যের প্রয়োজন নেই, যেহেতু কাজটি রেডিমেড সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে, তবে একটি সতর্কতা রয়েছে। এই পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, বাধ্যতামূলকটাস্ক ডিজাইনের একটি অংশ হল নিম্নলিখিত খণ্ড: "এর মানে হল সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে". অন্যথায়, ক্র্যামারের উপপাদ্যের প্রতি অসম্মানের জন্য পর্যালোচক আপনাকে শাস্তি দিতে পারে। এটি পরীক্ষা করা অপ্রয়োজনীয় হবে না, যা একটি ক্যালকুলেটরে সুবিধাজনকভাবে করা যেতে পারে: আমরা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণের বাম দিকে আনুমানিক মানগুলি প্রতিস্থাপন করি। ফলস্বরূপ, একটি ছোট ত্রুটির সাথে, আপনার ডান পাশে থাকা নম্বরগুলি পাওয়া উচিত। উদাহরণ 8 উত্তরটি সাধারণ অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে উপস্থাপন কর। একটি চেক করুন. এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ (চূড়ান্ত নকশার একটি উদাহরণ এবং পাঠের শেষে উত্তর)। আসুন তিনটি অজানা সহ তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য ক্র্যামারের নিয়ম বিবেচনা করা যাক: আমরা সিস্টেমের প্রধান নির্ধারক খুঁজে পাই: যদি , তাহলে সিস্টেমের অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে বা অসামঞ্জস্যপূর্ণ (কোনও সমাধান নেই)। এই ক্ষেত্রে, ক্র্যামারের নিয়ম সাহায্য করবে না; আপনাকে গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে। যদি , তাহলে সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে এবং শিকড় খুঁজে পেতে আমাদের অবশ্যই আরও তিনটি নির্ধারক গণনা করতে হবে: এবং অবশেষে, উত্তরটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়: আপনি দেখতে পাচ্ছেন, "তিন দ্বারা তিন" কেসটি "দুই দ্বারা দুই" কেস থেকে মৌলিকভাবে আলাদা নয়; মুক্ত পদের কলামটি মূল নির্ধারকের কলাম বরাবর বাম থেকে ডানে ক্রমানুসারে "হাঁটে"। উদাহরণ 9 Cramer এর সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন। সমাধান: চলুন Cramer এর সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেম সমাধান করা যাক. উত্তর: প্রকৃতপক্ষে, এখানে আবার মন্তব্য করার জন্য বিশেষ কিছু নেই, কারণ সমাধানটি প্রস্তুত সূত্র অনুসরণ করে। কিন্তু মন্তব্য একটি দম্পতি আছে. এটি ঘটে যে গণনার ফলস্বরূপ, "খারাপ" অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ প্রাপ্ত হয়, উদাহরণস্বরূপ: . 1) গণনায় একটি ত্রুটি থাকতে পারে। যত তাড়াতাড়ি আপনি একটি "খারাপ" ভগ্নাংশ সম্মুখীন, আপনি অবিলম্বে চেক করতে হবে শর্তটি কি সঠিকভাবে পুনরায় লেখা হয়েছে?. যদি শর্তটি ত্রুটি ছাড়াই পুনরায় লেখা হয়, তাহলে আপনাকে অন্য সারিতে (কলাম) সম্প্রসারণ ব্যবহার করে নির্ধারকগুলি পুনরায় গণনা করতে হবে। 2) যদি চেক করার ফলে কোন ত্রুটি চিহ্নিত না হয়, তাহলে সম্ভবত টাস্ক শর্তে একটি টাইপো ছিল। এই ক্ষেত্রে, শান্তভাবে এবং সাবধানে কাজটি শেষ পর্যন্ত কাজ করুন এবং তারপরে চেক করতে ভুলবেন নাএবং আমরা সিদ্ধান্তের পরে এটি একটি পরিষ্কার শীটে আঁকতে পারি। অবশ্যই, একটি ভগ্নাংশের উত্তর পরীক্ষা করা একটি অপ্রীতিকর কাজ, তবে এটি শিক্ষকের জন্য একটি নিরস্ত্রীকরণ যুক্তি হবে, যিনি সত্যিই যেকোন বাজে কথার জন্য একটি বিয়োগ দিতে পছন্দ করেন। ভগ্নাংশগুলি কীভাবে পরিচালনা করবেন তা উদাহরণ 8-এর উত্তরে বিশদভাবে বর্ণিত হয়েছে। যদি আপনার হাতে একটি কম্পিউটার থাকে, তাহলে পরীক্ষা করার জন্য একটি স্বয়ংক্রিয় প্রোগ্রাম ব্যবহার করুন, যা পাঠের একেবারে শুরুতে বিনামূল্যে ডাউনলোড করা যেতে পারে। যাইহোক, এখনই প্রোগ্রামটি ব্যবহার করা সবচেয়ে লাভজনক (এমনকি সমাধান শুরু করার আগে); আপনি অবিলম্বে মধ্যবর্তী পদক্ষেপটি দেখতে পাবেন যেখানে আপনি ভুল করেছেন! একই ক্যালকুলেটর স্বয়ংক্রিয়ভাবে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমের সমাধান গণনা করে। দ্বিতীয় মন্তব্য। সময়ে সময়ে সমীকরণে এমন সিস্টেম রয়েছে যার কিছু ভেরিয়েবল অনুপস্থিত, উদাহরণস্বরূপ: উদাহরণ 10 Cramer এর সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন। এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ (চূড়ান্ত নকশার একটি নমুনা এবং পাঠের শেষে উত্তর)। 4টি অজানা সহ 4টি সমীকরণের একটি সিস্টেমের ক্ষেত্রে, ক্র্যামারের সূত্রগুলি অনুরূপ নীতি অনুসারে লেখা হয়। আপনি ডিটারমিন্যান্টের বৈশিষ্ট্য পাঠে একটি লাইভ উদাহরণ দেখতে পারেন। নির্ধারকের ক্রম হ্রাস করা - পাঁচটি 4র্থ ক্রম নির্ধারক বেশ সমাধানযোগ্য। যদিও কাজটি ইতিমধ্যে একজন ভাগ্যবান ছাত্রের বুকে একজন অধ্যাপকের জুতার কথা মনে করিয়ে দেয়। ইনভার্স ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি মূলত একটি বিশেষ ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্স সমীকরণ(নির্দিষ্ট পাঠের নং 3 নং উদাহরণ দেখুন)। এই বিভাগটি অধ্যয়ন করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই নির্ধারকগুলিকে প্রসারিত করতে, একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত খুঁজে বের করতে এবং ম্যাট্রিক্স গুণন সম্পাদন করতে সক্ষম হতে হবে। ব্যাখ্যা অগ্রগতি হিসাবে প্রাসঙ্গিক লিঙ্ক প্রদান করা হবে. উদাহরণ 11 ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন সমাধানসিস্টেমটিকে ম্যাট্রিক্স আকারে লিখি: অনুগ্রহ করে সমীকরণ এবং ম্যাট্রিক্সের সিস্টেমটি দেখুন। আমি মনে করি সবাই সেই নীতিটি বোঝে যার দ্বারা আমরা উপাদানগুলিকে ম্যাট্রিসে লিখি। একমাত্র মন্তব্য: যদি সমীকরণ থেকে কিছু ভেরিয়েবল অনুপস্থিত থাকে, তাহলে শূন্যকে ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট স্থানে বসাতে হবে। আমরা সূত্র ব্যবহার করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে পাই: প্রথমত, নির্ধারকটি দেখি: এখানে নির্ধারককে প্রথম লাইনে প্রসারিত করা হয়েছে। মনোযোগ! যদি , তাহলে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান নেই, এবং ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করা অসম্ভব। এই ক্ষেত্রে, সিস্টেমটি অজানা অপসারণের পদ্ধতি (গাউস পদ্ধতি) দ্বারা সমাধান করা হয়। এখন আমাদের 9টি অপ্রাপ্তবয়স্ক গণনা করতে হবে এবং তাদের অপ্রাপ্তবয়স্ক ম্যাট্রিক্সে লিখতে হবে তথ্যসূত্র:রৈখিক বীজগণিতের ডবল সাবস্ক্রিপ্টের অর্থ জানার জন্য এটি দরকারী। প্রথম অঙ্ক হল সেই লাইনের সংখ্যা যেখানে উপাদানটি অবস্থিত। দ্বিতীয় সংখ্যা হল কলামের সংখ্যা যেখানে উপাদানটি অবস্থিত: nম ক্রমে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হতে দিন ম্যাট্রিক্স A-1 বলা হয় বিপরীত ম্যাট্রিক্সম্যাট্রিক্স A এর সাথে, যদি A*A -1 = E হয়, যেখানে E হল nম ক্রমটির পরিচয় ম্যাট্রিক্স। পরিচয় ম্যাট্রিক্স- এমন একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স যাতে প্রধান তির্যক বরাবর সমস্ত উপাদান, উপরের বাম কোণ থেকে নীচের ডান কোণে চলে যায়, এবং বাকিগুলি শূন্য, উদাহরণস্বরূপ: বিপরীত ম্যাট্রিক্সবিদ্যমান থাকতে পারে শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্যসেগুলো. সেই ম্যাট্রিক্সের জন্য যেখানে সারি এবং কলামের সংখ্যা মিলে যায়। একটি ম্যাট্রিক্সে একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকার জন্য, এটি অ-একবচন হওয়া আবশ্যক এবং যথেষ্ট। ম্যাট্রিক্স A = (A1, A2,...A n) বলা হয় অধঃপতিত, যদি কলাম ভেক্টর রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়। একটি ম্যাট্রিক্সের রৈখিকভাবে স্বাধীন কলাম ভেক্টরের সংখ্যাকে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক বলা হয়। অতএব, আমরা বলতে পারি যে একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার মাত্রার সমান, যেমন r = n. ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, বিপরীত ম্যাট্রিক্স A -1 খুঁজুন সমাধান: আমরা ম্যাট্রিক্স A লিখি এবং আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স Eকে ডানদিকে বরাদ্দ করি। জর্ডান রূপান্তর ব্যবহার করে, আমরা ম্যাট্রিক্স A-কে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স E-তে কমিয়ে দিই। গণনাগুলি সারণী 31.1 এ দেওয়া আছে। আসল ম্যাট্রিক্স A এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্স A -1 গুণ করে গণনার সঠিকতা পরীক্ষা করা যাক। ম্যাট্রিক্স গুণনের ফলে, পরিচয় ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত হয়েছিল। অতএব, গণনা সঠিকভাবে সঞ্চালিত হয়েছে. উত্তর: ম্যাট্রিক্স সমীকরণগুলি এর মতো দেখতে পারে: AX = B, HA = B, AXB = C, যেখানে A, B, C হল নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স, X হল কাঙ্খিত ম্যাট্রিক্স। ম্যাট্রিক্স সমীকরণগুলি বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণকে গুণ করে সমাধান করা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ থেকে ম্যাট্রিক্স খুঁজে পেতে, আপনাকে এই সমীকরণটিকে বাম দিকে দিয়ে গুণ করতে হবে। অতএব, সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, আপনাকে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করতে হবে এবং সমীকরণের ডান পাশের ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করতে হবে। অন্যান্য সমীকরণ একইভাবে সমাধান করা হয়। AX = B যদি সমীকরণটি সমাধান করুন সমাধান: যেহেতু বিপরীত ম্যাট্রিক্স সমান (উদাহরণ 1 দেখুন) অন্যদের সাথে, তারাও ব্যবহার করা হয় ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি. এই পদ্ধতিগুলি রৈখিক এবং ভেক্টর-ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের উপর ভিত্তি করে। জটিল এবং বহুমাত্রিক অর্থনৈতিক ঘটনা বিশ্লেষণের উদ্দেশ্যে এই ধরনের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। প্রায়শই, এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয় যখন সংস্থাগুলির কার্যকারিতা এবং তাদের কাঠামোগত বিভাগগুলির একটি তুলনামূলক মূল্যায়ন করার প্রয়োজন হয়। ম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণ পদ্ধতি প্রয়োগের প্রক্রিয়ায়, বেশ কয়েকটি ধাপ আলাদা করা যেতে পারে। প্রথম পর্যায়েঅর্থনৈতিক সূচকগুলির একটি সিস্টেম তৈরি করা হচ্ছে এবং এর ভিত্তিতে প্রাথমিক ডেটার একটি ম্যাট্রিক্স সংকলন করা হয়েছে, যা একটি টেবিল যেখানে সিস্টেম নম্বরগুলি তার পৃথক সারিতে দেখানো হয় (i = 1,2,....,n), এবং উল্লম্ব কলামে - সূচকের সংখ্যা (j = 1,2, ....,m). দ্বিতীয় পর্যায়েপ্রতিটি উল্লম্ব কলামের জন্য, উপলব্ধ সূচক মানগুলির মধ্যে বৃহত্তমটি চিহ্নিত করা হয়, যা একটি হিসাবে নেওয়া হয়। এর পরে, এই কলামে প্রতিফলিত সমস্ত পরিমাণকে বৃহত্তম মানের দ্বারা ভাগ করা হয় এবং প্রমিত সহগগুলির একটি ম্যাট্রিক্স গঠিত হয়। তৃতীয় পর্যায়েম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদান বর্গাকার। যদি তাদের আলাদা তাত্পর্য থাকে, তবে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স সূচককে একটি নির্দিষ্ট ওজন সহগ বরাদ্দ করা হয় k. পরেরটির মান বিশেষজ্ঞের মতামত দ্বারা নির্ধারিত হয়। শেষের দিকে, চতুর্থ পর্যায়রেটিং মান পাওয়া গেছে আরজেতাদের বৃদ্ধি বা হ্রাস ক্রমে গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়। উল্লিখিত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা উচিত, উদাহরণস্বরূপ, বিভিন্ন বিনিয়োগ প্রকল্পের তুলনামূলক বিশ্লেষণের পাশাপাশি সংস্থাগুলির কার্যকলাপের অন্যান্য অর্থনৈতিক সূচকগুলির মূল্যায়নে। (কখনও কখনও এই পদ্ধতিটিকে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি বা বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিও বলা হয়) SLAE-এর স্বরলিপির ম্যাট্রিক্স ফর্মের মতো একটি ধারণার সাথে প্রাথমিক পরিচিতি প্রয়োজন। ইনভার্স ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিটি রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সেই সিস্টেমগুলি সমাধান করার উদ্দেশ্যে তৈরি করা হয়েছে যেখানে সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্য থেকে আলাদা। স্বাভাবিকভাবেই, এটি অনুমান করে যে সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সটি বর্গক্ষেত্র (একটি নির্ধারকের ধারণাটি শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য বিদ্যমান)। বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতির সারাংশ তিনটি পয়েন্টে প্রকাশ করা যেতে পারে: যেকোনো SLAE ম্যাট্রিক্স আকারে $A\cdot X=B$ হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে $A$ হল সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স, $B$ হল মুক্ত পদের ম্যাট্রিক্স, $X$ হল অজানাগুলির ম্যাট্রিক্স। ম্যাট্রিক্স $A^(-1)$ বিদ্যমান থাকুক। আসুন সমতার উভয় দিক $A\cdot X=B$ কে বাম দিকের ম্যাট্রিক্স $A^(-1)$ দ্বারা গুণ করি: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ যেহেতু $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ হল আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স), তাই উপরে লেখা সমতা হল: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ যেহেতু $E\cdot X=X$, তারপর: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ উদাহরণ নং 1 বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ সমাধান করুন। $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)। $$ আসুন সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করি, যেমন আসুন $A^(-1)$ গণনা করি। উদাহরণ নং 2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$ এখন আসুন তিনটি ম্যাট্রিক্স ($X$, $A^(-1)$, $B$) সমতায় প্রতিস্থাপিত করি $X=A^(-1)\cdot B$। তারপর আমরা ম্যাট্রিক্স গুণন সঞ্চালন $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 এবং -5\end(অ্যারে)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(অ্যারে)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(অ্যারে) (c) -3\\ 2\end(অ্যারে)\right)। $$ সুতরাং, আমরা সমতা পেয়েছি $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( অ্যারে )\right)$। এই সমতা থেকে আমাদের আছে: $x_1=-3$, $x_2=2$। উত্তর: $x_1=-3$, $x_2=2$। উদাহরণ নং 2 সমাধান করুন SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6। \end(সংযুক্ত)\right .$ ইনভার্স ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে। আসুন আমরা সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স $A$, মুক্ত পদের ম্যাট্রিক্স $B$ এবং অজানা $X$ এর ম্যাট্রিক্স লিখি। $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \ end(array)\right)। $$ এখন সিস্টেম ম্যাট্রিক্সে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খোঁজার পালা, যেমন $A^(-1)$ খুঁজুন। বিপরীত ম্যাট্রিক্স খোঁজার জন্য নিবেদিত পৃষ্ঠায় নং 3 উদাহরণে, বিপরীত ম্যাট্রিক্স ইতিমধ্যেই পাওয়া গেছে। আসুন সমাপ্ত ফলাফলটি ব্যবহার করি এবং $A^(-1)$ লিখি: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 এবং 37\শেষ(অ্যারে)\ডান)। $$ এখন আসুন তিনটি ম্যাট্রিক্স ($X$, $A^(-1)$, $B$) সমতায় প্রতিস্থাপিত করি এই সমতার. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(অ্যারে)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(অ্যারে)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(অ্যারে)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(অ্যারে) (c) 0\\-4\\9\end(অ্যারে)\right) $$ সুতরাং, আমরা সমতা পেয়েছি $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(অ্যারে)\right)$। এই সমতা থেকে আমাদের আছে: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$। এটি একটি ধারণা যা ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পাদিত সমস্ত সম্ভাব্য ক্রিয়াকলাপকে সাধারণীকরণ করে। গাণিতিক ম্যাট্রিক্স - উপাদানের সারণী। যেখানে একটি টেবিল সম্পর্কে মিলাইন এবং nকলাম, এই ম্যাট্রিক্সের মাত্রা আছে বলা হয় মিচালু n. ম্যাট্রিক্সের সাধারণ দৃশ্য: জন্য ম্যাট্রিক্স সমাধানএকটি ম্যাট্রিক্স কী তা বোঝা এবং এর প্রধান পরামিতিগুলি জানা প্রয়োজন। ম্যাট্রিক্সের প্রধান উপাদান: প্রধান ধরনের ম্যাট্রিক্স: ম্যাট্রিক্স প্রধান এবং গৌণ কর্ণের সাপেক্ষে প্রতিসম হতে পারে। অর্থাৎ, যদি a 12 = a 21, a 13 =a 31, ….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, তাহলে ম্যাট্রিক্সটি প্রধান তির্যক সম্পর্কে প্রতিসম। শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্স প্রতিসম হতে পারে। প্রায় সব ম্যাট্রিক্স সমাধানের পদ্ধতিতার নির্ধারক খুঁজে নিয়ে গঠিত n-ম অর্ডার এবং তাদের বেশিরভাগই বেশ কষ্টকর। 2য় এবং 3য় ক্রম নির্ণায়ক খুঁজে পেতে অন্যান্য, আরো যুক্তিযুক্ত পদ্ধতি আছে. একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করতে ক 2য় ক্রম, প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল থেকে গৌণ কর্ণের উপাদানগুলির গুণফলকে বিয়োগ করা প্রয়োজন: নীচে 3য় ক্রম নির্ধারক খোঁজার নিয়ম আছে. একটি হিসাবে ত্রিভুজের সরলীকৃত নিয়ম ম্যাট্রিক্স সমাধানের পদ্ধতি, এভাবে চিত্রিত করা যেতে পারে: অন্য কথায়, সরলরেখা দ্বারা সংযুক্ত প্রথম নির্ধারকের উপাদানগুলির গুণফলকে একটি “+” চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয়; এছাড়াও, 2য় নির্ধারকের জন্য, সংশ্লিষ্ট পণ্যগুলি "-" চিহ্নের সাথে নেওয়া হয়, যা নিম্নলিখিত স্কিম অনুসারে: এ সরাসের নিয়ম ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সমাধান করা, নির্ধারকের ডানদিকে, প্রথম 2টি কলাম যোগ করুন এবং মূল তির্যক এবং এর সমান্তরাল কর্ণগুলির উপর সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির পণ্যগুলি একটি "+" চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয়; এবং গৌণ তির্যক এবং এর সমান্তরাল কর্ণগুলির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির পণ্যগুলি, "-" চিহ্ন সহ: ম্যাট্রিক্স সমাধান করার সময় সারি বা কলামে নির্ধারককে পচন করা। নির্ধারকটি নির্ধারকের সারির উপাদানের গুণফল এবং তাদের বীজগণিতের পরিপূরকের সমষ্টির সমান। সাধারণত যে সারি/কলামে শূন্য থাকে তা নির্বাচন করা হয়। যে সারি বা কলাম বরাবর পচনটি করা হয় তা একটি তীর দ্বারা নির্দেশিত হবে। ম্যাট্রিক্স সমাধান করার সময় নির্ধারককে ত্রিভুজাকার আকারে হ্রাস করা। এ ম্যাট্রিক্স সমাধাননির্ধারককে একটি ত্রিভুজাকার আকারে হ্রাস করার পদ্ধতি, তারা এইভাবে কাজ করে: সারি বা কলামে সহজতম রূপান্তর ব্যবহার করে, নির্ধারক আকারে ত্রিভুজাকার হয়ে যায় এবং তারপর নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য অনুসারে এর মান গুণফলের সমান হবে মূল তির্যকের উপর থাকা উপাদানগুলির। ম্যাট্রিক্স সমাধানের জন্য ল্যাপ্লেসের উপপাদ্য। ল্যাপ্লেসের উপপাদ্য ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সমাধান করার সময়, আপনাকে উপপাদ্যটি নিজেই জানতে হবে। ল্যাপ্লেসের উপপাদ্য: যাক Δ
- এটি একটি নির্ধারক n-ম আদেশ। আমরা যে কোনো নির্বাচন করি kসারি (বা কলাম), প্রদান করা হয়েছে k≤
n - 1. এই ক্ষেত্রে, সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্কদের পণ্যের যোগফল k-ম ক্রম নির্বাচিত অন্তর্ভুক্ত kসারি (কলাম), তাদের বীজগণিতের পরিপূরক দ্বারা নির্ধারকের সমান হবে। জন্য কর্মের ক্রম ইনভার্স ম্যাট্রিক্স সমাধান: জন্য ম্যাট্রিক্স সিস্টেমের সমাধানগাউসিয়ান পদ্ধতি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। গাউস পদ্ধতি হল রৈখিক বীজগণিত সমীকরণ (SLAEs) এর সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য একটি আদর্শ পদ্ধতি এবং এতে রয়েছে যে ভেরিয়েবলগুলিকে ক্রমিকভাবে বাদ দেওয়া হয়, অর্থাৎ প্রাথমিক পরিবর্তনের সাহায্যে, সমীকরণের সিস্টেমটিকে ত্রিভুজাকার একটি সমতুল্য সিস্টেমে আনা হয়। ফর্ম এবং এটি থেকে, ক্রমানুসারে, পরবর্তী (সংখ্যা দ্বারা) থেকে শুরু করে, সিস্টেমের প্রতিটি উপাদান খুঁজুন। গাউস পদ্ধতিম্যাট্রিক্স সমাধান খোঁজার জন্য সবচেয়ে বহুমুখী এবং সেরা হাতিয়ার। যদি একটি সিস্টেমের অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে বা সিস্টেমটি বেমানান হয়, তাহলে ক্র্যামারের নিয়ম এবং ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি সমাধান করা যাবে না। গাউস পদ্ধতিতে সরাসরি (প্রসারিত ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে হ্রাস করা, অর্থাত্ প্রধান কর্ণের নিচে শূন্য পাওয়া) এবং বিপরীত (বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপরে শূন্য প্রাপ্ত করা) চাল বোঝায়। এগিয়ে যাওয়া হল গাউস পদ্ধতি, বিপরীত পদক্ষেপ হল গাউস-জর্ডান পদ্ধতি। গাউস-জর্ডান পদ্ধতিটি শুধুমাত্র ভেরিয়েবল নির্মূল করার ক্রমানুসারে গাউস পদ্ধতি থেকে পৃথক।
.
এবং
, 
, 
, 
, যার মানে সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে।
.
আমি নিম্নলিখিত "চিকিত্সা" অ্যালগরিদম সুপারিশ. আপনার হাতে একটি কম্পিউটার না থাকলে, এটি করুন:
এখানে প্রথম সমীকরণে কোন পরিবর্তনশীল নেই, দ্বিতীয়টিতে কোন পরিবর্তনশীল নেই। এই ধরনের ক্ষেত্রে, প্রধান নির্ধারকটি সঠিকভাবে এবং সাবধানে লিখতে খুব গুরুত্বপূর্ণ: 
- অনুপস্থিত ভেরিয়েবলের জায়গায় শূন্য স্থাপন করা হয়।
যাইহোক, যে সারিতে (কলাম) শূন্য রয়েছে সেই সারি অনুসারে শূন্য সহ নির্ধারকগুলি খোলা যুক্তিসঙ্গত, কারণ লক্ষণীয়ভাবে কম গণনা রয়েছে।
একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে সিস্টেম সমাধান করা
, কোথায় 
, ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির বীজগণিতিক পরিপূরকের স্থানান্তরিত ম্যাট্রিক্স কোথায়।
অর্থাৎ, একটি ডাবল সাবস্ক্রিপ্ট নির্দেশ করে যে উপাদানটি প্রথম সারিতে, তৃতীয় কলামে এবং, উদাহরণস্বরূপ, উপাদানটি 3 সারিতে, 2 কলামে
একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের অবস্থার জন্য উপপাদ্য
বিপরীত ম্যাট্রিক্স খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম
উদাহরণ 1 
ম্যাট্রিক্স সমীকরণ সমাধান করা
অর্থনৈতিক বিশ্লেষণে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি
ম্যাট্রিক্স সমাধানের পদ্ধতি।
2য় ক্রম নির্ধারক খোঁজা.
3য় ক্রম নির্ধারক খুঁজে বের করার পদ্ধতি।
বিপরীত ম্যাট্রিক্স সমাধান করা।
ম্যাট্রিক্স সিস্টেম সমাধান করা।
