সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় বিভিন্ন কাজপদার্থবিদ্যা, রসায়ন, গণিত এবং অন্যান্য সঠিক বিজ্ঞানপ্রায়ই ব্যবহার করা হয় গাণিতিক মডেলএক বা একাধিক স্বাধীন ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত সমীকরণের আকারে, এই ভেরিয়েবলের একটি অজানা ফাংশন এবং এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ (বা ডিফারেনশিয়াল)। এই রকম সমীকরণগুলিকে ডিফারেনশিয়াল বলা হয়।
যদি শুধুমাত্র একটি স্বাধীন চলক থাকে, তাহলে সমীকরণটিকে সাধারণ বলা হয়; যদি দুই বা ততোধিক স্বাধীন চলক থাকে, তাহলে সমীকরণ বলা হয় আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।সঠিক শৃঙ্খলা অধ্যয়ন করা হয় এমন সমস্ত বিশ্ববিদ্যালয়ে উচ্চ যোগ্য বিশেষজ্ঞদের প্রাপ্ত করার জন্য, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি কোর্স প্রয়োজন। কিছু ছাত্রদের জন্য, তত্ত্ব কঠিন, অনুশীলন একটি সংগ্রাম; অন্যদের জন্য, তত্ত্ব এবং অনুশীলন উভয়ই কঠিন। আপনি যদি একটি ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি বিশ্লেষণ করেন, তবে সেগুলি গণনা করার জন্য আপনাকে কেবলমাত্র ডেরিভেটিভগুলিকে একীভূত করতে এবং গ্রহণে দক্ষ হতে হবে। অন্যান্য সমস্ত রূপান্তরগুলি বেশ কয়েকটি স্কিমে নেমে আসে যা বোঝা এবং অধ্যয়ন করা যায়। নীচে আমরা সাধারণ DR সমাধানের প্রাথমিক সংজ্ঞা এবং পদ্ধতি অধ্যয়ন করব।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্ব

সংজ্ঞা: সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণএকটি সমীকরণ যা স্বাধীন ভেরিয়েবল x, ফাংশন y(x), এর ডেরিভেটিভ y"(x), y n (x) কে সংযুক্ত করে এবং আছে সাধারণ ফর্মF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
আঙ্গক(DR) হয় একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বা একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রমসর্বোচ্চ ডেরিভেটিভ (n) এর ক্রম দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অন্তর্ভুক্ত।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানএকটি ফাংশন যা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম অনুসারে যতগুলি ধ্রুবক ধারণ করে, এবং যেটির প্রতিস্থাপন একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে এটিকে একটি পরিচয়ে পরিণত করে, অর্থাৎ, এটির ফর্ম y=f(x, C 1, C 2) , ..., গ n)।
একটি সাধারণ সমাধান যা y(x) সাপেক্ষে সমাধান করা হয় না এবং F(x,y,C 1,C 2, …, C n)=0 ফর্ম আছে তাকে বলা হয় একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য।
C 1, C 2, …, C n ধ্রুবকগুলির স্থির মানের জন্য সাধারণ একটি থেকে পাওয়া সমাধানকে বলা হয় একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ব্যক্তিগত সমাধান।
একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের যুগপত স্পেসিফিকেশন এবং প্রারম্ভিক অবস্থার সংশ্লিষ্ট সংখ্যা বলা হয় কচি সমস্যা।
F(x,y,C 1,C 2, …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0) = y n (0)
প্রথম অর্ডারের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণফর্মের সমীকরণ বলা হয়
F(x, y, y")=0। (1)
সমীকরণের অবিচ্ছেদ্য(1) ফর্ম Ф (x,y)=0 এর একটি সম্পর্ক বলা হয় যদি প্রতিটি ক্রমাগত বিভেদ ফাংশন এটি দ্বারা স্পষ্টভাবে নির্দিষ্ট করা হয় সমীকরণ (1) এর সমাধান।
একটি সমীকরণ যার ফর্ম (1) আছে এবং এতে কমানো যাবে না সহজ দৃশ্যসমীকরণ বলা হয়, ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সিদ্ধান্তহীন।যদি ফর্মে লেখা যায়
y" = f(x,y), তারপর বলা হয় ডেরিভেটিভের জন্য সমাধান করা সমীকরণ।
প্রথম ক্রম সমীকরণের জন্য কচি সমস্যাশুধুমাত্র একটি প্রাথমিক শর্ত রয়েছে এবং ফর্ম আছে:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0।
ফর্মের সমীকরণ
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
যেখানে x i y ভেরিয়েবলগুলি "প্রতিসম": আমরা ধরে নিতে পারি যে x একটি স্বাধীন চলক এবং y একটি নির্ভরশীল চলক, বা বিপরীতভাবে, y একটি স্বাধীন চলক এবং x একটি নির্ভরশীল চলক, যাকে বলা হয় প্রতিসম আকারে সমীকরণ।
একটি প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জ্যামিতিক অর্থ
y"=f(x,y) (3)
নিম্নরূপ.
এই সমীকরণটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x;y) এবং এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া অখণ্ড বক্ররেখার স্পর্শকটির কৌণিক সহগ y" এর মধ্যে একটি সংযোগ (নির্ভরতা) স্থাপন করে। এইভাবে, সমীকরণটি y"= f(x,y) একটি সেট দিকনির্দেশ (নির্দেশ ক্ষেত্র)কার্টেসিয়ান অক্সি প্লেনে।
বিন্দুতে নির্মিত একটি বক্ররেখা যেখানে ক্ষেত্রের দিক একই থাকে তাকে আইসোলাইন বলে। আইসোক্লিনগুলি অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখাগুলির আনুমানিক নির্মাণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। ধ্রুবক y"=C এর সমান ডেরিভেটিভ বসিয়ে আইসোলাইন সমীকরণ পাওয়া যেতে পারে
f(x, y)=C - আইসোলাইন সমীকরণ।.
সমীকরণের অবিচ্ছেদ্য রেখা(3) এই সমীকরণের সমাধানের গ্রাফ বলা হয়।
সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যার সমাধান বিশ্লেষণাত্মকভাবে নির্দিষ্ট করা যায় y=g(x) বলা হয় সংহত সমীকরণ।
ফর্মের সমীকরণ
M 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
ডাকল পৃথক বিনিময়যোগ্য সমীকরণ।
তাদের থেকে আমরা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে আমাদের পরিচিতি শুরু করব। ডিআর-এর সমাধান খোঁজার প্রক্রিয়াকে বলা হয় একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণ।

পৃথক করা পরিবর্তনশীল সমীকরণ

উদাহরণ 1. সমীকরণের সমাধান খুঁজুন y" = x।
সমাধান পরীক্ষা করুন।
সমাধান: সমীকরণটি ডিফারেনশিয়ালে লেখ
dy/dx=x বা dy=x*dx।
আসুন সমীকরণের ডান এবং বাম দিকের অবিচ্ছেদ্যটি খুঁজে বের করি
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2 /2+C।
এই DR অবিচ্ছেদ্য.
আসুন এর সঠিকতা পরীক্ষা করি এবং ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করি
y"=1/2*2x+0=x।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমরা আসল ডিআর পেয়েছি, তাই গণনা সঠিক।
আমরা এইমাত্র একটি প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজে পেয়েছি। এটি প্রকৃতপক্ষে সহজ সমীকরণ, যা কল্পনা করা যায়।

উদাহরণ 2। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্যটি খুঁজুন
(x+1)y"=y+3
সমাধান: মূল সমীকরণটি ডিফারেনশিয়ালে লিখি
(x+1)dy=(y+3)dx।
ফলস্বরূপ সমীকরণ হ্রাস করা হয় পৃথক ভেরিয়েবল সহ DR

যা বাকি আছে তা হল উভয় পক্ষের অবিচ্ছেদ্য গ্রহণ করা

ট্যাবুলার সূত্র ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই
ln|y+3|=ln|x+1|+C।
আমরা উভয় অংশ উন্মোচিত হলে, আমরা পেতে
y+3=e ln|x+1|+C বা y=e ln|x+1|+C -3।
এই স্বরলিপি সঠিক, কিন্তু কমপ্যাক্ট নয়।
অনুশীলনে, একটি ভিন্ন কৌশল ব্যবহার করা হয়; অখণ্ড গণনা করার সময়, লগারিদমের অধীনে ধ্রুবকটি প্রবেশ করা হয়
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C)।
লগারিদমের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, এটি আপনাকে শেষ দুটি পদকে ভেঙে ফেলার অনুমতি দেয়
ln|y+3|=ln(С|x+1|)।
এখন যখন উন্মুক্ত একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করাকম্প্যাক্ট এবং পড়া সহজ হবে
y=С|x+1|+3
এই নিয়মটি মনে রাখবেন; বাস্তবে এটি একটি গণনার মান হিসাবে ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ 3. ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন
y"=-y*sin(x)।
সমাধান: আসুন এটি লিখুন পার্থক্য মধ্যে সমীকরণ
dy/dx= y*sin(x)
অথবা ফর্মে ফ্যাক্টরগুলোকে পুনর্বিন্যাস করার পর বিচ্ছিন্ন সমীকরণ
dy/y=-sin(x)dx.
এটা সমীকরণ সংহত অবশেষ
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C)।
লগারিদমের অধীনে ধ্রুবক প্রবেশ করা সুবিধাজনক, এমনকি একটি ঋণাত্মক মান সহ, যাতে এটি স্থানান্তরিত হতে পারে বাম পাশেপাওয়া
ln|С*y|=cos(x)।
নির্ভরতার উভয় অংশকে প্রকাশ করা
С*y=exp(cos(x))।
এটি এটিই। আপনি এটিকে যেমন আছে রেখে দিতে পারেন, অথবা আপনি স্থায়ীভাবে এটিতে স্থানান্তর করতে পারেন ডান পাশ

গণনাগুলি জটিল নয়; বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, টেবুলার ইন্টিগ্রেশন সূত্র ব্যবহার করেও অখণ্ডগুলি পাওয়া যেতে পারে।

উদাহরণ 4. কচি সমস্যার সমাধান করুন
y"=y+x, y(1)=e 3 -2।
সমাধান: প্রাথমিক রূপান্তর এখানে আর ঘটবে না। যাইহোক, সমীকরণটি রৈখিক এবং বেশ সহজ। এই ধরনের ক্ষেত্রে, আপনাকে একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করতে হবে
z=y+x।
y=y(x) মনে রেখে z এর ডেরিভেটিভ বের করা যাক।
z"= y"+1,
যেখান থেকে আমরা পুরানো ডেরিভেটিভ প্রকাশ করি
y"= z"-1।
আসুন মূল সমীকরণে এই সব প্রতিস্থাপন করা যাক
z"-1=z বা z"=z+1।
আসুন এটি লিখে রাখি ডিফারেনশিয়ালের মাধ্যমে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ
dz=(z+1)dx.
সমীকরণে ভেরিয়েবল আলাদা করা

যা বাকি থাকে তা হল সাধারণ পূর্ণাঙ্গ গণনা করা যা যে কেউ করতে পারে

আমরা ফাংশনের লগারিদম থেকে পরিত্রাণ পেতে নির্ভরতা প্রকাশ করি
z+1=e x+C বা z=e x+1 -1
সম্পূর্ণ প্রতিস্থাপনে ফিরে যেতে ভুলবেন না।
z=x+y= e x+С -1,
এখান থেকে লিখুন সাধারণ সিদ্ধান্তআঙ্গক
y= e x+C -x-1।
ডিআর-এ কচি সমস্যার সমাধান খুঁজুন এক্ষেত্রেকঠিন নয়. আমরা Cauchy শর্ত লিখুন
y(1)=e 3 -2
এবং আমরা এইমাত্র পাওয়া সমাধানে প্রতিস্থাপন করুন
e 1 + C -1-1 = e 3 -2।
এখান থেকে আমরা ধ্রুবক গণনার শর্ত পাই
1+C=3; C=3-1=2।
এখন আমরা লিখতে পারি কচি সমস্যার সমাধান (DR এর আংশিক সমাধান)
y= e x+2 -x-1।
আপনি যদি ভালভাবে সংহত করতে জানেন, এবং আপনি ডেরিভেটিভের সাথেও ভাল করছেন, তাহলে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিষয় আপনার শিক্ষার ক্ষেত্রে কোন বাধা হবে না।
আরও অধ্যয়নের জন্য, আপনাকে বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ডায়াগ্রাম অধ্যয়ন করতে হবে যাতে আপনি সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য করতে পারেন এবং প্রতিটি ক্ষেত্রে কোন প্রতিস্থাপন বা কৌশল কাজ করে তা জানতে পারেন।
এর পরে, সমজাতীয় এবং অসঙ্গতিপূর্ণ DR, প্রথম এবং উচ্চতর আদেশের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ আপনার জন্য অপেক্ষা করছে। আপনাকে তত্ত্বের বোঝা না দেওয়ার জন্য, নিম্নলিখিত পাঠগুলিতে আমরা কেবলমাত্র সমীকরণের ধরন এবং তাদের গণনার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত স্কিম দেব। আপনি থেকে পুরো তত্ত্ব পড়তে পারেন পদ্ধতিগত সুপারিশকোর্স অধ্যয়ন করতে " ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ" (2014) লেখক বোকালো নিকোলাই মিখাইলোভিচ, ডোমানস্কায়া এলেনা ভিক্টোরোভনা, চমির ওকসানা ইউরিয়েভনা। আপনি অন্য উত্সগুলি ব্যবহার করতে পারেন যাতে আপনি বুঝতে পারেন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বের ব্যাখ্যা রয়েছে। ডিফারেনশিয়ালের জন্য রেডিমেড উদাহরণ। LNU এর গণিতবিদদের জন্য প্রোগ্রাম থেকে নেওয়া সমীকরণগুলি নামকরণ করা হয়েছে। I. ফ্রাঙ্ক।
আমরা জানি কিভাবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করতে হয় এবং আমরা চেষ্টা করব সহজ পথআপনার মধ্যে এই জ্ঞান স্থাপন.

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (DE) - এই সমীকরণ,
যেখানে স্বাধীন ভেরিয়েবল আছে, y হল ফাংশন এবং আংশিক ডেরিভেটিভস।

সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যার শুধুমাত্র একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল আছে,

আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যার দুটি বা ততোধিক স্বাধীন চলক রয়েছে।

কোন সমীকরণটি বিবেচনা করা হচ্ছে তা স্পষ্ট হলে "সাধারণ" এবং "আংশিক ডেরিভেটিভস" শব্দগুলি বাদ দেওয়া যেতে পারে। নিম্নলিখিত কি, সাধারণ পার্থক্য সমীকরণ বিবেচনা করা হয়.

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম সর্বোচ্চ ডেরিভেটিভের ক্রম।

এখানে একটি প্রথম আদেশ সমীকরণের একটি উদাহরণ:

এখানে একটি চতুর্থ ক্রম সমীকরণের একটি উদাহরণ:

কখনও কখনও একটি প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ডিফারেনশিয়ালের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা হয়:

এই ক্ষেত্রে, x এবং y ভেরিয়েবল সমান। অর্থাৎ, স্বাধীন চলক x বা y হতে পারে। প্রথম ক্ষেত্রে, y হল x এর একটি ফাংশন। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, x হল y এর একটি ফাংশন। প্রয়োজনে, আমরা এই সমীকরণটিকে এমন একটি ফর্মে কমাতে পারি যা স্পষ্টভাবে ডেরিভেটিভ y′ অন্তর্ভুক্ত করে।
এই সমীকরণটি dx দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:
.
যেহেতু এবং , এটি অনুসরণ করে
.

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা

থেকে ডেরিভেটিভস প্রাথমিক ফাংশনপ্রাথমিক ফাংশন মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়. প্রাথমিক ফাংশনের ইন্টিগ্রেলগুলি প্রায়শই প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয় না। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে পরিস্থিতি আরও খারাপ। সমাধানের ফলে আপনি পেতে পারেন:

• একটি ভেরিয়েবলের উপর একটি ফাংশনের সুস্পষ্ট নির্ভরতা;

  একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা ফাংশন y = u (এক্স), যা সংজ্ঞায়িত করা হয়, n বার পার্থক্যযোগ্য, এবং .

• Φ প্রকারের একটি সমীকরণ আকারে অন্তর্নিহিত নির্ভরতা (x, y) = 0বা সমীকরণের সিস্টেম;

  একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অবিচ্ছেদ্য একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান যার একটি অন্তর্নিহিত ফর্ম রয়েছে।

• নির্ভরতা প্রাথমিক ফাংশন এবং তাদের থেকে অবিচ্ছেদ্য মাধ্যমে প্রকাশ;

  চতুর্ভুজে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা - এটি প্রাথমিক ফাংশন এবং তাদের অবিচ্ছেদ্য সমন্বয়ের আকারে একটি সমাধান খুঁজে পাচ্ছে।

• সমাধান প্রাথমিক ফাংশন মাধ্যমে প্রকাশ করা যাবে না.

যেহেতু ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করা পূর্ণাঙ্গ গণনা করার জন্য নেমে আসে, তাই সমাধানটিতে ধ্রুবক C 1, C 2, C 3, ... C n এর একটি সেট অন্তর্ভুক্ত থাকে। ধ্রুবক সংখ্যা সমীকরণের ক্রম সমান। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আংশিক অবিচ্ছেদ্য C 1, C 2, C 3, ..., C n ধ্রুবকগুলির প্রদত্ত মানের জন্য সাধারণ অবিচ্ছেদ্য।

তথ্যসূত্র:
ভি.ভি. স্টেপানোভ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কোর্স, "LKI", 2015।
এন.এম. গুন্টার, আর.ও. কুজমিন, উচ্চতর গণিতে সমস্যার সংগ্রহ, "ল্যান", 2003।

সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি সমীকরণ যা একটি স্বাধীন ভেরিয়েবল, এই ভেরিয়েবলের একটি অজানা ফাংশন এবং বিভিন্ন অর্ডারের এর ডেরিভেটিভ (বা ডিফারেনশিয়াল) সম্পর্কিত।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম এটির মধ্যে থাকা সর্বোচ্চ ডেরিভেটিভের ক্রম বলা হয়।

সাধারণের পাশাপাশি, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিও অধ্যয়ন করা হয়। এগুলি হল স্বাধীন ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত সমীকরণ, এই ভেরিয়েবলগুলির একটি অজানা ফাংশন এবং একই ভেরিয়েবলের সাথে এর আংশিক ডেরিভেটিভ। তবে আমরা কেবল বিবেচনা করব সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং তাই, সংক্ষিপ্ততার জন্য, আমরা "সাধারণ" শব্দটি বাদ দেব।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণ:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

সমীকরণ (1) হল চতুর্থ ক্রম, সমীকরণ (2) হল তৃতীয় ক্রম, সমীকরণ (3) এবং (4) হল দ্বিতীয় ক্রম, সমীকরণ (5) হল প্রথম ক্রম।

আঙ্গক nতম অর্ডারে অগত্যা একটি স্পষ্ট ফাংশন থাকতে হবে না, প্রথম থেকে এর সমস্ত ডেরিভেটিভ n-ম ক্রম এবং স্বাধীন পরিবর্তনশীল। এটি স্পষ্টভাবে নির্দিষ্ট আদেশ, একটি ফাংশন, বা একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীলের ডেরিভেটিভ ধারণ করতে পারে না।

উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণে (1) স্পষ্টতই কোনও তৃতীয়- এবং দ্বিতীয়-ক্রম ডেরিভেটিভস, সেইসাথে একটি ফাংশন নেই; সমীকরণে (2) - দ্বিতীয়-ক্রম ডেরিভেটিভ এবং ফাংশন; সমীকরণে (4) - স্বাধীন পরিবর্তনশীল; সমীকরণে (5) - ফাংশন। শুধুমাত্র সমীকরণ (3) স্পষ্টভাবে সমস্ত ডেরিভেটিভ, ফাংশন এবং স্বাধীন পরিবর্তনশীল ধারণ করে।

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা প্রতিটি ফাংশন বলা হয় y = f(x), সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হলে এটি একটি পরিচয়ে পরিণত হয়।

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় মিশ্রণ.

উদাহরণ 1.ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান খুঁজুন।

সমাধান। আসুন এই সমীকরণটি আকারে লিখি। সমাধান হল এর ডেরিভেটিভ থেকে ফাংশন খুঁজে বের করা। মূল ফাংশন, যেমনটি ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস থেকে জানা যায়, এর জন্য একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ, অর্থাৎ

ওইটাই সেটা এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান . এতে পরিবর্তন হচ্ছে গ, আমরা বিভিন্ন সমাধান পেতে হবে. আমরা খুঁজে পেয়েছি যে একটি প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান nতম ক্রম হল তার সমাধান, অজানা ফাংশন এবং ধারণকারী সম্পর্কে স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা হয়েছে nস্বাধীন নির্বিচারে ধ্রুবক, যেমন

উদাহরণ 1 এ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানটি সাধারণ।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আংশিক সমাধান একটি সমাধান যেখানে নির্বিচারে ধ্রুবকগুলিকে নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান দেওয়া হয় তাকে বলা হয়।

উদাহরণ 2।ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান এবং এর জন্য একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন .

সমাধান। আসুন সমীকরণের উভয় দিককে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রমের সমান কয়েকবার একীভূত করি।

,

.

ফলস্বরূপ, আমরা একটি সাধারণ সমাধান পেয়েছি -

একটি প্রদত্ত তৃতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের।

এখন নির্দিষ্ট অবস্থার অধীনে একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, নির্বিচারে সহগগুলির পরিবর্তে তাদের মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন এবং পান

.

যদি, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ছাড়াও, প্রাথমিক শর্তটি আকারে দেওয়া হয়, তাহলে এই ধরনের সমস্যা বলা হয় কচি সমস্যা . সমীকরণের সাধারণ সমাধানে মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন এবং একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের মান খুঁজুন গ, এবং তারপর পাওয়া মানের জন্য সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান গ. এটি কচি সমস্যার সমাধান।

উদাহরণ 3.উদাহরণ 1 বিষয় থেকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য কচি সমস্যাটি সমাধান করুন।

সমাধান। আসুন প্রাথমিক অবস্থা থেকে সাধারণ সমাধানে মানগুলি প্রতিস্থাপন করি y = 3, এক্স= 1. আমরা পাই

আমরা এই প্রথম-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য কচি সমস্যার সমাধান লিখি:

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, এমনকি সহজতম সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য জটিল ফাংশন সহ ভাল একীকরণ এবং ডেরিভেটিভ দক্ষতা প্রয়োজন। এটি নিম্নলিখিত উদাহরণে দেখা যেতে পারে।

উদাহরণ 4.ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান। সমীকরণটি এমন আকারে লেখা হয়েছে যে আপনি অবিলম্বে উভয় পক্ষকে একীভূত করতে পারেন।

.

আমরা পরিবর্তনশীল পরিবর্তন (প্রতিস্থাপন) দ্বারা একীকরণের পদ্ধতি প্রয়োগ করি। তাহলেই হোক।

নিতে হবে dxএবং এখন - মনোযোগ - আমরা এটি একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে করি, যেহেতু এক্সএবং আছে জটিল ফাংশন("আপেল" - নিষ্কাশন বর্গমূলবা, একই জিনিস কি - শক্তিতে উত্থাপন করা "এক-অর্ধ", এবং "কিমা করা মাংস" হল মূলের নীচে খুব অভিব্যক্তি):

আমরা অবিচ্ছেদ্য খুঁজে পাই:

ভেরিয়েবলে ফিরে আসা এক্স, আমরা পেতে:

.

এটি এই প্রথম ডিগ্রি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য উচ্চতর গণিতের পূর্ববর্তী বিভাগগুলির দক্ষতাই নয়, প্রাথমিক, অর্থাৎ স্কুল গণিতের দক্ষতাও প্রয়োজন হবে। ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, যে কোনও আদেশের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে একটি স্বাধীন চলক নাও থাকতে পারে, অর্থাৎ একটি পরিবর্তনশীল এক্স. স্কুল থেকে অনুপাত সম্পর্কে জ্ঞান যা ভুলে যায়নি (তবে, কার উপর নির্ভর করে) স্কুল থেকে এই সমস্যা সমাধানে সাহায্য করবে। এটি পরবর্তী উদাহরণ।

ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। সমাধানের উদাহরণ।
বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (DE)। এই দুটি শব্দ সাধারণত গড় ব্যক্তিকে আতঙ্কিত করে। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ অনেক ছাত্রের জন্য কিছু নিষিদ্ধ এবং আয়ত্ত করা কঠিন বলে মনে হচ্ছে। উউউউউউ... ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, আমি কীভাবে এই সব থেকে বাঁচতে পারি?!

এই মতামত এবং এই মনোভাব মৌলিকভাবে ভুল, কারণ বাস্তবে ভিন্ন সমীকরণ - এটি সহজ এবং এমনকি মজাদার. ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখতে আপনার কী জানতে হবে এবং করতে সক্ষম হবেন? সফলভাবে ডিফিউজ অধ্যয়ন করতে, আপনাকে অবশ্যই একীভূতকরণ এবং পার্থক্য করতে হবে। ভালো বিষয় অধ্যয়ন করা হয় একটি চলকের একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভএবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বোঝা তত সহজ হবে। আমি আরও বলব, আপনার যদি কম-বেশি শালীন ইন্টিগ্রেশন দক্ষতা থাকে, তবে বিষয়টি প্রায় আয়ত্ত করা হয়েছে! আরও অখণ্ড বিভিন্ন ধরনেরআপনি কিভাবে সিদ্ধান্ত নিতে জানেন - তাই অনেক ভাল. কেন? আপনাকে অনেক সংহত করতে হবে। এবং পার্থক্য. এছাড়াও অত্যন্ত সুপারিশখুঁজে পেতে শিখুন।

95% ক্ষেত্রে পরীক্ষা 3 ধরনের প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রয়েছে: বিভাজ্য সমীকরণযা আমরা এই পাঠে দেখব; সমজাতীয় সমীকরণএবং রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ. যারা ডিফিউজার অধ্যয়ন শুরু করেন তাদের জন্য, আমি আপনাকে ঠিক এই ক্রমে পাঠগুলি পড়ার পরামর্শ দিচ্ছি এবং প্রথম দুটি নিবন্ধ অধ্যয়ন করার পরে, অতিরিক্ত কর্মশালায় আপনার দক্ষতা একত্রিত করতে ক্ষতি হবে না - সমীকরণ সমজাতীয় থেকে হ্রাস করা.

এমনকি বিরল ধরণের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রয়েছে: মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, বার্নোলি সমীকরণ এবং কিছু অন্যান্য। শেষ দুটি প্রকারের মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হল মোট ডিফারেনশিয়ালের সমীকরণ, যেহেতু এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ছাড়াও আমি বিবেচনা করি নতুন উপাদান – আংশিক একীকরণ.

আপনার যদি মাত্র এক বা দুই দিন বাকি থাকে, যে অতি দ্রুত প্রস্তুতির জন্যএখানে ব্লিটজ কোর্সপিডিএফ ফরম্যাটে।

সুতরাং, ল্যান্ডমার্কগুলি সেট করা হয়েছে - চলুন:

প্রথমে, সাধারণ বীজগণিতীয় সমীকরণগুলি মনে রাখা যাক। তারা ভেরিয়েবল এবং সংখ্যা ধারণ করে. সহজ উদাহরণ: একটি সাধারণ সমীকরণ সমাধান করার অর্থ কী? এর মানে খুঁজে পাওয়া সংখ্যার সেট, যা এই সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। এটি লক্ষ্য করা সহজ যে শিশুদের সমীকরণের একটি একক মূল রয়েছে: . শুধু মজা করার জন্য, আসুন আমাদের সমীকরণে পাওয়া রুটটি পরীক্ষা করে প্রতিস্থাপন করি:

- সঠিক সমতা প্রাপ্ত হয়, যার মানে সমাধানটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে।

ডিফিউসারগুলি একইভাবে ডিজাইন করা হয়েছে!

আঙ্গক প্রথম আদেশভি সাধারণ ক্ষেত্রে ধারণ করে:
1) স্বাধীন পরিবর্তনশীল;
2) নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল (ফাংশন);
3) ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ: .

কিছু 1ম ক্রম সমীকরণে কোন "x" এবং/অথবা "y" নাও থাকতে পারে, কিন্তু এটি তাৎপর্যপূর্ণ নয় - গুরুত্বপূর্ণকন্ট্রোল রুমে যেতে ছিলপ্রথম ডেরিভেটিভ, এবং ছিল নাউচ্চ আদেশের ডেরিভেটিভস – ইত্যাদি

মানে কি?একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা মানে খুঁজে পাওয়া সমস্ত ফাংশন সেট, যা এই সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। এই ধরনের ফাংশনের সেটের প্রায়ই ফর্ম থাকে (– একটি নির্বিচারে ধ্রুবক), যাকে বলা হয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান.

উদাহরণ 1

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন

সম্পূর্ণ গোলাবারুদ। কোথা থেকে শুরু করতে হবে সমাধান?

প্রথমত, আপনাকে ডেরিভেটিভটিকে একটু ভিন্ন আকারে পুনরায় লিখতে হবে। আমরা কষ্টকর উপাধিটি স্মরণ করি, যা আপনার অনেকেরই সম্ভবত হাস্যকর এবং অপ্রয়োজনীয় বলে মনে হয়েছিল। ডিফিউজারে এই কি নিয়ম!

দ্বিতীয় ধাপে, দেখা যাক এটা সম্ভব কিনা পৃথক ভেরিয়েবল?ভেরিয়েবল আলাদা করার মানে কি? কঠোরভাবে কথা বলা, বাম দিকেআমাদের চলে যেতে হবে শুধুমাত্র "গ্রীক", ক ডান দিকেসংগঠিত করা শুধুমাত্র "X এর". ভেরিয়েবলের বিভাজন "স্কুল" ম্যানিপুলেশনগুলি ব্যবহার করে করা হয়: সেগুলিকে বন্ধনীর বাইরে রাখা, চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে অংশ থেকে অংশে পদ স্থানান্তর করা, অনুপাতের নিয়ম অনুসারে উপাদানগুলিকে অংশ থেকে অংশে স্থানান্তর করা ইত্যাদি।

পার্থক্য এবং সম্পূর্ণ গুণক এবং শত্রুতায় সক্রিয় অংশগ্রহণকারী। বিবেচনাধীন উদাহরণে, ভেরিয়েবলগুলিকে অনুপাতের নিয়ম অনুসারে ফ্যাক্টরগুলি টস করে সহজেই আলাদা করা হয়:

ভেরিয়েবল আলাদা করা হয়। বাম দিকে শুধু "Y's", ডান পাশে - শুধুমাত্র "X's"।

পরবর্তী ধাপে - ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণ. এটি সহজ, আমরা উভয় দিকেই অবিচ্ছেদ্য রাখি:

অবশ্যই, আমরা integrals নিতে হবে. এই ক্ষেত্রে তারা ট্যাবুলার হয়:

আমরা মনে রাখি, যেকোনো অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য একটি ধ্রুবক বরাদ্দ করা হয়। এখানে দুটি অবিচ্ছেদ্য আছে, কিন্তু ধ্রুবক একবার লিখলেই যথেষ্ট (যেহেতু ধ্রুবক + ধ্রুবক এখনও অন্য ধ্রুবকের সমান). বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি ডান পাশে স্থাপন করা হয়।

কঠোরভাবে বলতে গেলে, অখণ্ডগুলি নেওয়ার পরে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান হিসাবে বিবেচিত হয়। একমাত্র জিনিস হল আমাদের "y" "x" এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় না, অর্থাৎ সমাধানটি উপস্থাপন করা হয় একটি অন্তর্নিহিত মধ্যেফর্ম অন্তর্নিহিত আকারে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান বলা হয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য. অর্থাৎ, এটি একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য।

এই ফর্মের উত্তর বেশ গ্রহণযোগ্য, কিন্তু একটি ভাল বিকল্প আছে? এর পেতে চেষ্টা করা যাক সাধারণ সিদ্ধান্ত.

অনুগ্রহ, প্রথম কৌশল মনে রাখবেন, এটা খুব সাধারণ এবং প্রায়ই ব্যবহৃত হয় ব্যবহারিক কাজ: যদি ইন্টিগ্রেশনের পরে একটি লগারিদম ডানদিকে উপস্থিত হয়, তবে অনেক ক্ষেত্রে (কিন্তু সর্বদা নয়!) লগারিদমের অধীনে ধ্রুবক লেখারও পরামর্শ দেওয়া হয়.

এটাই, পরিবর্তেএন্ট্রি সাধারণত লেখা হয় .

কেন এই প্রয়োজন? এবং যাতে "গেম" প্রকাশ করা সহজ হয়। লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা . এক্ষেত্রে:

এখন লগারিদম এবং মডিউলগুলি সরানো যেতে পারে:

ফাংশন স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা হয়. এটি সাধারণ সমাধান।

উত্তর: সাধারণ সিদ্ধান্ত: .

অনেক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উত্তর চেক করা মোটামুটি সহজ। আমাদের ক্ষেত্রে, এটি বেশ সহজভাবে করা হয়, আমরা পাওয়া সমাধানটি গ্রহণ করি এবং এটিকে আলাদা করি:

তারপরে আমরা মূল সমীকরণে ডেরিভেটিভ প্রতিস্থাপন করি:

- সঠিক সমতা পাওয়া যায়, যার মানে হল সাধারণ সমাধান সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, যা পরীক্ষা করা দরকার।

একটি ধ্রুবক বিভিন্ন মান প্রদান করে, আপনি একটি অসীম সংখ্যা পেতে পারেন ব্যক্তিগত সমাধানআঙ্গক. এটা স্পষ্ট যে কোন ফাংশন, ইত্যাদি। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে।

কখনও কখনও সাধারণ সমাধান বলা হয় ফাংশন পরিবার. এই উদাহরণে, সাধারণ সমাধান - এটি একটি পরিবার রৈখিক ফাংশন, অথবা বরং, প্রত্যক্ষ আনুপাতিকতার একটি পরিবার।

প্রথম উদাহরণের পুঙ্খানুপুঙ্খ পর্যালোচনার পরে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সম্পর্কে বেশ কয়েকটি নিষ্পাপ প্রশ্নের উত্তর দেওয়া উপযুক্ত:

1)এই উদাহরণে, আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করতে সক্ষম হয়েছি। এটা কি সবসময় করা যায়?না সবসময় না। এবং এমনকি আরো প্রায়ই, ভেরিয়েবল পৃথক করা যাবে না. উদাহরণস্বরূপ, মধ্যে একজাতীয় প্রথম ক্রম সমীকরণ, আপনাকে প্রথমে এটি প্রতিস্থাপন করতে হবে। অন্যান্য ধরণের সমীকরণে, উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রথম ক্রম রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণে, আপনাকে ব্যবহার করতে হবে বিভিন্ন কৌশলএবং একটি সাধারণ সমাধান খোঁজার পদ্ধতি। বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ সমীকরণ, যা আমরা প্রথম পাঠে বিবেচনা করি - সহজ প্রকারডিফারেনশিয়াল সমীকরণ.

2) একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সংহত করা কি সবসময় সম্ভব?না সবসময় না। এটি একটি "অভিনব" সমীকরণ নিয়ে আসা খুব সহজ যা একীভূত করা যায় না; উপরন্তু, এমন অখণ্ডগুলি রয়েছে যা নেওয়া যায় না। কিন্তু অনুরূপ DEs প্রায় ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে বিশেষ পদ্ধতি. ডি'আলেমবার্ট এবং কচি গ্যারান্টি... ...উফ, লুর্কমোর. এখনই অনেক কিছু পড়ার জন্য, আমি প্রায় যোগ করেছি "অন্য বিশ্ব থেকে"।

3) এই উদাহরণে, আমরা একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য আকারে একটি সমাধান পেয়েছি . একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য থেকে একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে পাওয়া কি সবসময় সম্ভব, অর্থাৎ, "y" স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা?না সবসময় না। উদাহরণ স্বরূপ: . আচ্ছা, আপনি এখানে কীভাবে "গ্রীক" প্রকাশ করতে পারেন?! এই ধরনের ক্ষেত্রে, উত্তরটি একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য হিসাবে লিখতে হবে। উপরন্তু, কখনও কখনও এটি একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করা সম্ভব, কিন্তু এটি এত কষ্টকর এবং আনাড়িভাবে লেখা হয় যে উত্তরটি একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য আকারে ছেড়ে দেওয়া ভাল।

4) ...হয়তো এখনকার জন্য যথেষ্ট। প্রথম উদাহরণে আমরা সম্মুখীন আরেকটা গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট , কিন্তু যাতে একটি তুষারপাত সঙ্গে "ডামি" আবরণ না নতুন তথ্য, আমি পরবর্তী পাঠ পর্যন্ত এটি ছেড়ে দেব.

আমরা তাড়াহুড়ো করব না। আরেকটি সহজ রিমোট কন্ট্রোল এবং আরেকটি সাধারণ সমাধান:

উদাহরণ 2

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন যা প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে

সমাধান: শর্ত অনুযায়ী, আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে ব্যক্তিগত সমাধান DE যা একটি প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তকে সন্তুষ্ট করে। প্রশ্নের এই ফর্মুলেশনও বলা হয় কচি সমস্যা.

প্রথমে আমরা একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করি। সমীকরণে কোন "x" ভেরিয়েবল নেই, তবে এটিকে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়, প্রধান জিনিসটি হল এটির প্রথম ডেরিভেটিভ রয়েছে।

আমরা প্রয়োজনীয় ফর্মে ডেরিভেটিভ পুনরায় লিখি:

স্পষ্টতই, ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করা যেতে পারে, ছেলেদের বামে, মেয়েরা ডানদিকে:

আসুন সমীকরণটি সংহত করি:

সাধারণ অখণ্ড প্রাপ্ত হয়। এখানে আমি একটি তারার সাথে একটি ধ্রুবক আঁকেছি, আসল বিষয়টি হল যে খুব শীঘ্রই এটি অন্য ধ্রুবকে পরিণত হবে।

এখন আমরা সাধারণ ইন্টিগ্রালকে একটি সাধারণ সমাধানে রূপান্তর করার চেষ্টা করি (সুস্পষ্টভাবে "y" প্রকাশ করুন)। আসুন স্কুলের ভাল পুরানো জিনিসগুলি মনে করি: . এক্ষেত্রে:

সূচকের ধ্রুবকটি একরকম অকোশের দেখায়, তাই এটি সাধারণত পৃথিবীতে আনা হয়। বিস্তারিত, এটা কিভাবে হয়. ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা ফাংশনটি নিম্নরূপ পুনরায় লিখি:

যদি একটি ধ্রুবক হয়, তবে কিছু ধ্রুবকও হয়, আসুন এটিকে অক্ষর দিয়ে পুনরায় ডিজাইন করি:

মনে রাখবেন "ধ্বংস করা" একটি ধ্রুবক দ্বিতীয় কৌশল, যা প্রায়শই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার সময় ব্যবহৃত হয়।

সুতরাং, সাধারণ সমাধান হল: . এটি সূচকীয় ফাংশনের একটি চমৎকার পরিবার।

চূড়ান্ত পর্যায়ে, আপনাকে একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করতে হবে যা প্রদত্ত প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে। এটিও সহজ।

টাস্ক কি? তুলতে হবে যেমনধ্রুবকের মান যাতে শর্তটি সন্তুষ্ট হয়।

এটি বিভিন্ন উপায়ে ফর্ম্যাট করা যেতে পারে, তবে এটি সম্ভবত সবচেয়ে পরিষ্কার উপায় হবে। সাধারণ সমাধানে, "X" এর পরিবর্তে আমরা একটি শূন্য প্রতিস্থাপন করি এবং "Y" এর পরিবর্তে আমরা একটি দুটি প্রতিস্থাপন করি:



এটাই,

স্ট্যান্ডার্ড ডিজাইন সংস্করণ:

এখন আমরা ধ্রুবকের পাওয়া মানটিকে সাধারণ সমাধানে প্রতিস্থাপন করি:
- এটি আমাদের প্রয়োজন বিশেষ সমাধান।

উত্তর: ব্যক্তিগত সমাধান:

এর চেক করা যাক. একটি ব্যক্তিগত সমাধান পরীক্ষা করা দুটি পর্যায় অন্তর্ভুক্ত:

প্রথমে আপনাকে পরীক্ষা করতে হবে যে বিশেষ সমাধানটি পাওয়া গেছে তা সত্যিই প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে কিনা? "X" এর পরিবর্তে আমরা একটি শূন্য প্রতিস্থাপন করি এবং দেখুন কি হয়:
- হ্যাঁ, প্রকৃতপক্ষে, একটি দুটি প্রাপ্ত হয়েছিল, যার অর্থ প্রাথমিক শর্ত পূরণ হয়েছে।

দ্বিতীয় পর্যায়টি ইতিমধ্যে পরিচিত। আমরা ফলস্বরূপ বিশেষ সমাধানটি গ্রহণ করি এবং ডেরিভেটিভটি খুঁজে পাই:

আমরা মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

- সঠিক সমতা পাওয়া যায়।

উপসংহার: বিশেষ সমাধানটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে।

আসুন আরও অর্থবহ উদাহরণের দিকে এগিয়ে যাই।

উদাহরণ 3

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন

সমাধান:আমরা ডেরিভেটিভটিকে আমাদের প্রয়োজনীয় ফর্মে আবার লিখি:

আমরা মূল্যায়ন করি যে ভেরিয়েবল আলাদা করা সম্ভব কিনা? করতে পারা. আমরা চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে দ্বিতীয় মেয়াদটিকে ডানদিকে নিয়ে যাই:

এবং আমরা অনুপাতের নিয়ম অনুসারে গুণকগুলি স্থানান্তর করি:

ভেরিয়েবলগুলি আলাদা করা হয়েছে, আসুন উভয় অংশকে একীভূত করি:

আমি অবশ্যই আপনাকে সতর্ক করব, বিচারের দিন ঘনিয়ে আসছে। আপনি যদি ভাল পড়াশোনা না করে থাকেন অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, কয়েকটি উদাহরণ সমাধান করেছেন, তারপরে কোথাও যাওয়ার নেই - আপনাকে এখন সেগুলি আয়ত্ত করতে হবে।

বাম দিকের অবিচ্ছেদ্যটি খুঁজে পাওয়া সহজ; আমরা পাঠে যে স্ট্যান্ডার্ড কৌশলটি দেখেছি তা ব্যবহার করে আমরা কোট্যাঞ্জেন্টের অখণ্ডের সাথে মোকাবিলা করি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন একীভূত করাগত বছর:

ডান দিকে আমাদের একটি লগারিদম আছে, এবং, আমার প্রথম প্রযুক্তিগত সুপারিশ অনুযায়ী, ধ্রুবকটি লগারিদমের অধীনেও লেখা উচিত।

এখন আমরা সাধারণ অবিচ্ছেদ্যকে সরল করার চেষ্টা করি। যেহেতু আমাদের কাছে শুধুমাত্র লগারিদম আছে, সেগুলি থেকে মুক্তি পাওয়া বেশ সম্ভব (এবং প্রয়োজনীয়)। ব্যবহার করে পরিচিত বৈশিষ্ট্যআমরা যতটা সম্ভব লগারিদম "প্যাক" করি। আমি এটি বিস্তারিতভাবে লিখব:

প্যাকেজিং বর্বরভাবে ছেঁড়া শেষ করা হয়েছে:

এটা "খেলা" প্রকাশ করা সম্ভব? করতে পারা. উভয় অংশ বর্গক্ষেত্র করা প্রয়োজন।

কিন্তু আপনি এটা করতে হবে না.

তৃতীয় প্রযুক্তিগত পরামর্শ:যদি একটি সাধারণ সমাধান পাওয়ার জন্য এটি একটি শক্তি বাড়াতে বা শিকড় নিতে প্রয়োজন হয়, তারপর অধিকাংশ ক্ষেত্রেআপনার এই ক্রিয়াগুলি থেকে বিরত থাকা উচিত এবং একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য আকারে উত্তরটি ছেড়ে দেওয়া উচিত। সত্য যে সাধারণ সমাধানটি কেবল ভয়ঙ্কর দেখাবে - বড় শিকড়, লক্ষণ এবং অন্যান্য আবর্জনা সহ।

অতএব, আমরা একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য আকারে উত্তর লিখি। এটি আকারে উপস্থাপন করা ভাল অভ্যাস হিসাবে বিবেচিত হয়, অর্থাৎ, ডান দিকে, যদি সম্ভব হয়, শুধুমাত্র একটি ধ্রুবক ছেড়ে দিন। এটি করার প্রয়োজন নেই, তবে এটি সর্বদা অধ্যাপককে খুশি করার জন্য উপকারী ;-)

উত্তর:সাধারণ অবিচ্ছেদ্য:

! বিঃদ্রঃ: যেকোন সমীকরণের সাধারণ পূর্ণাঙ্গ একাধিক উপায়ে লেখা যেতে পারে। সুতরাং, যদি আপনার ফলাফল পূর্বে পরিচিত উত্তরের সাথে মিলে না যায়, তাহলে এর মানে এই নয় যে আপনি সমীকরণটি ভুলভাবে সমাধান করেছেন।

সাধারণ অবিচ্ছেদ্যটিও পরীক্ষা করা বেশ সহজ, মূল জিনিসটি খুঁজে পেতে সক্ষম হওয়া নিহিতভাবে নির্দিষ্ট করা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ. আসুন উত্তরটি আলাদা করা যাক:

আমরা উভয় পদ দ্বারা গুণ করি:

এবং দ্বারা ভাগ করুন:

মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে, যার মানে সাধারণ অবিচ্ছেদ্যটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে।

উদাহরণ 4

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন যা প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে। চেক সঞ্চালন.

এই জন্য একটি উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত.

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে অ্যালগরিদম দুটি পর্যায় নিয়ে গঠিত:
1) একটি সাধারণ সমাধান খোঁজা;
2) প্রয়োজনীয় বিশেষ সমাধান খুঁজে বের করা।

চেকটিও দুটি ধাপে করা হয় (উদাহরণ নং 2-এ নমুনা দেখুন), আপনাকে এটি করতে হবে:
1) নিশ্চিত করুন যে নির্দিষ্ট সমাধানটি প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে;
2) পরীক্ষা করুন যে একটি নির্দিষ্ট সমাধান সাধারণত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে।

সম্পূর্ণ সমাধানএবং পাঠ শেষে উত্তর।

উদাহরণ 5

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন , প্রাথমিক অবস্থা সন্তুষ্ট. চেক সঞ্চালন.

সমাধান:প্রথমত, আসুন একটি সাধারণ সমাধান বের করা যাক। এই সমীকরণটিতে ইতিমধ্যেই তৈরি ডিফারেনশিয়াল রয়েছে এবং তাই, সমাধানটি সরলীকৃত। আমরা ভেরিয়েবলগুলি আলাদা করি:

আসুন সমীকরণটি সংহত করি:

বাম দিকের অখণ্ডটি ট্যাবুলার, ডানদিকে অখণ্ডটি নেওয়া হয় ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে একটি ফাংশন সাবসুম করার পদ্ধতি:

সাধারণ অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত হয়েছে; সাধারণ সমাধানটি সফলভাবে প্রকাশ করা কি সম্ভব? করতে পারা. আমরা উভয় দিকে লগারিদম ঝুলিয়ে রাখি। যেহেতু তারা ইতিবাচক, মডুলাস লক্ষণগুলি অপ্রয়োজনীয়:

(আমি আশা করি সবাই রূপান্তর বুঝতে পেরেছেন, এই জাতীয় জিনিসগুলি ইতিমধ্যে জানা উচিত)

সুতরাং, সাধারণ সমাধান হল:

প্রদত্ত প্রাথমিক অবস্থার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করা যাক।
সাধারণ সমাধানে, "X" এর পরিবর্তে আমরা শূন্য প্রতিস্থাপন করি এবং "Y" এর পরিবর্তে আমরা দুটি লগারিদম প্রতিস্থাপন করি:

আরো পরিচিত নকশা:

আমরা ধ্রুবকের পাওয়া মানটিকে সাধারণ সমাধানে প্রতিস্থাপন করি।

উত্তর:ব্যক্তিগত সমাধান:

পরীক্ষা করুন: প্রথমে, প্রাথমিক শর্ত পূরণ হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক:
- সবকিছু ভাল.

এখন আসুন পরীক্ষা করা যাক যে পাওয়া বিশেষ সমাধানটি আদৌ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে কিনা। ডেরিভেটিভ খোঁজা:

আসুন মূল সমীকরণটি দেখি: - এটা ডিফারেনশিয়ালে উপস্থাপিত হয়. চেক করার দুটি উপায় আছে। পাওয়া ডেরিভেটিভ থেকে পার্থক্য প্রকাশ করা সম্ভব:

আসল সমীকরণে পাওয়া নির্দিষ্ট সমাধান এবং ফলস্বরূপ ডিফারেন্সিয়াল প্রতিস্থাপন করা যাক :

আমরা মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় ব্যবহার করি:

সঠিক সমতা প্রাপ্ত হয়, যার মানে নির্দিষ্ট সমাধানটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে।

পরীক্ষণের দ্বিতীয় পদ্ধতিটি মিরর করা এবং আরও পরিচিত: সমীকরণ থেকে আসুন ডেরিভেটিভটি প্রকাশ করি, এটি করার জন্য আমরা সমস্ত টুকরোকে ভাগ করি:

এবং রূপান্তরিত DE-তে আমরা প্রাপ্ত আংশিক সমাধান এবং পাওয়া ডেরিভেটিভকে প্রতিস্থাপন করি। সরলীকরণের ফলে সঠিক সমতাও পাওয়া উচিত।

উদাহরণ 6

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন। উত্তরটি সাধারণ অখণ্ড আকারে উপস্থাপন কর।

এটি আপনার নিজের সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ, সম্পূর্ণ সমাধান এবং পাঠের শেষে উত্তর দিন।

বিভাজ্য ভেরিয়েবলের সাথে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় অপেক্ষার মধ্যে কোন অসুবিধাগুলি রয়েছে?

1) এটি সর্বদা সুস্পষ্ট নয় (বিশেষ করে একটি "চায়েরপাত্র") যে ভেরিয়েবলগুলি আলাদা করা যেতে পারে। চলো বিবেচনা করি শর্তসাপেক্ষ উদাহরণ: এখানে আপনাকে বন্ধনী থেকে ফ্যাক্টরগুলি বের করতে হবে: এবং শিকড়গুলি আলাদা করুন: . পরবর্তীতে কী করতে হবে তা পরিষ্কার।

2) ইন্টিগ্রেশন নিজেই সঙ্গে অসুবিধা. Integrals প্রায়ই সহজ নয়, এবং যদি খুঁজে বের করার দক্ষতা ত্রুটি আছে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, তারপর অনেক ডিফিউসারের সাথে এটি কঠিন হবে। উপরন্তু, লজিক "যেহেতু ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সহজ, তাহলে অন্তত ইন্টিগ্রেলগুলিকে আরও জটিল হতে দিন" সংগ্রহ এবং প্রশিক্ষণ ম্যানুয়ালগুলির সংকলকদের মধ্যে জনপ্রিয়।

3) একটি ধ্রুবক সহ রূপান্তর। সবাই যেমন লক্ষ্য করেছে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধ্রুবকটি বেশ অবাধে পরিচালনা করা যেতে পারে, এবং কিছু রূপান্তর সবসময় একজন শিক্ষানবিশের কাছে স্পষ্ট হয় না। আসুন আরেকটি শর্তসাপেক্ষ উদাহরণ দেখি: . সমস্ত পদকে 2 দ্বারা গুণ করার পরামর্শ দেওয়া হয়: . ফলস্বরূপ ধ্রুবকটিও একধরনের ধ্রুবক, যা দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে: . হ্যাঁ, এবং যেহেতু ডানদিকে একটি লগারিদম রয়েছে, তাই ধ্রুবকটিকে অন্য ধ্রুবকের আকারে পুনরায় লেখার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে: .

সমস্যা হল যে তারা প্রায়শই সূচী নিয়ে বিরক্ত হয় না এবং একই অক্ষর ব্যবহার করে। ফলস্বরূপ, সিদ্ধান্ত রেকর্ড নিম্নলিখিত ফর্ম নেয়:

কি ধরনের ধর্মদ্রোহিতা? সেখানে ভুল আছে! কঠোরভাবে বলতে গেলে, হ্যাঁ। যাইহোক, একটি সারগর্ভ দৃষ্টিকোণ থেকে, কোন ত্রুটি নেই, কারণ একটি পরিবর্তনশীল ধ্রুবক রূপান্তরিত করার ফলে, একটি পরিবর্তনশীল ধ্রুবক এখনও প্রাপ্ত হয়।

বা অন্য একটি উদাহরণ, ধরুন যে সমীকরণটি সমাধান করার সময় একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত হয়েছে। এই উত্তরটি কুৎসিত দেখাচ্ছে, তাই প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে: . আনুষ্ঠানিকভাবে, এখানে আরেকটি ভুল আছে - এটি ডানদিকে লেখা উচিত। কিন্তু অনানুষ্ঠানিকভাবে এটা বোঝানো হয় যে "মাইনাস সিই" এখনও একটি ধ্রুবক ( যা সহজে কোন অর্থ নিতে পারে!), তাই একটি "মাইনাস" বসানো মানে হয় না এবং আপনি একই অক্ষর ব্যবহার করতে পারেন।

আমি একটি অসতর্ক পন্থা এড়াতে চেষ্টা করব, এবং এখনও তাদের রূপান্তর করার সময় ধ্রুবকগুলিতে বিভিন্ন সূচক নির্ধারণ করব।

উদাহরণ 7

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন। চেক সঞ্চালন.

সমাধান:এই সমীকরণটি ভেরিয়েবলকে আলাদা করার অনুমতি দেয়। আমরা ভেরিয়েবলগুলি আলাদা করি:

আসুন একীভূত করি:

এখানে ধ্রুবকটিকে লগারিদম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করার প্রয়োজন নেই, কারণ এর থেকে কার্যকর কিছুই আসবে না।

উত্তর:সাধারণ অবিচ্ছেদ্য:

পরীক্ষা করুন: উত্তরটি আলাদা করুন (অন্তর্নিহিত ফাংশন):

আমরা উভয় পদকে এর দ্বারা গুণ করে ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাই:

মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রাপ্ত হয়েছে, যার মানে সাধারণ অখণ্ড সঠিকভাবে পাওয়া গেছে।

উদাহরণ 8

DE এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন।
,

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। একমাত্র ইঙ্গিত হল যে এখানে আপনি একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য পাবেন, এবং আরও সঠিকভাবে বলতে গেলে, আপনাকে একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করার জন্য কৌশল করতে হবে, কিন্তু আংশিক অবিচ্ছেদ্য. পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।

পদার্থবিজ্ঞানের কিছু সমস্যায়, প্রক্রিয়াটি বর্ণনাকারী পরিমাণের মধ্যে সরাসরি সংযোগ স্থাপন করা সম্ভব নয়। কিন্তু অধ্যয়নের অধীনে ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভ সমেত একটি সমতা পাওয়া সম্ভব। এইভাবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তৈরি হয় এবং একটি অজানা ফাংশন খুঁজে পেতে তাদের সমাধান করার প্রয়োজন হয়।

এই নিবন্ধটি তাদের উদ্দেশ্যে যারা একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার সমস্যার মুখোমুখি হয়েছেন যেখানে অজানা ফাংশনটি একটি পরিবর্তনশীলের একটি ফাংশন। তত্ত্বটি এমনভাবে গঠন করা হয়েছে যে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের শূন্য জ্ঞানের সাথে, আপনি আপনার কাজটি মোকাবেলা করতে পারেন।

প্রতিটি ধরণের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি সমাধান পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত যা সাধারণ উদাহরণ এবং সমস্যার বিশদ ব্যাখ্যা এবং সমাধান সহ। আপনাকে যা করতে হবে তা হল আপনার সমস্যার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধরন নির্ধারণ করুন, একটি অনুরূপ বিশ্লেষণ করা উদাহরণ খুঁজে বের করুন এবং অনুরূপ ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করুন।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সফলভাবে সমাধান করার জন্য, আপনার অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেটগুলি খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতাও প্রয়োজন হবে ( অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য) বিভিন্ন ফাংশন. প্রয়োজনে, আমরা সুপারিশ করি যে আপনি বিভাগটি পড়ুন।

প্রথমত, আমরা প্রথম ক্রমটির সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধরনগুলি বিবেচনা করব যা ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমাধান করা যেতে পারে, তারপরে আমরা দ্বিতীয়-ক্রমের ODE-তে চলে যাব, তারপরে আমরা উচ্চ-ক্রম সমীকরণগুলিতে থাকব এবং এর সিস্টেমগুলির সাথে শেষ করব ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ.

মনে রাখবেন যে যদি y আর্গুমেন্ট x এর একটি ফাংশন হয়।

ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

ফর্মের সহজতম প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

চলুন এই ধরনের রিমোট কন্ট্রোলের কয়েকটি উদাহরণ লিখি .

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমতার উভয় পক্ষকে f(x) দ্বারা ভাগ করে ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমাধান করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আমরা একটি সমীকরণে পৌঁছেছি যেটি f(x) ≠ 0 এর জন্য মূল সমীকরণের সমতুল্য হবে। এই ধরনের ODE-এর উদাহরণ হল।

যদি আর্গুমেন্ট x এর মান থাকে যেখানে ফাংশন f(x) এবং g(x) একই সাথে অদৃশ্য হয়ে যায়, তাহলে অতিরিক্ত সমাধান উপস্থিত হয়। সমীকরণের অতিরিক্ত সমাধান দেওয়া x এই আর্গুমেন্ট মানগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত যেকোন ফাংশন। এই ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে:

দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

দ্বিতীয় ক্রমে রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ধ্রুবক সহগ.

ধ্রুবক সহগ সহ LDE হল একটি খুব সাধারণ ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। তাদের সমাধান বিশেষ কঠিন নয়। প্রথমে শিকড় পাওয়া যায় চরিত্রগত সমীকরণ . বিভিন্ন p এবং q এর জন্য, তিনটি ক্ষেত্রে সম্ভব: চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব এবং ভিন্ন, বাস্তব এবং কাকতালীয় হতে পারে বা জটিল কনজুগেটস। চরিত্রগত সমীকরণের মূলের মানের উপর নির্ভর করে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান এভাবে লেখা হয় , বা , বা যথাক্রমে।

উদাহরণস্বরূপ, ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন। এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূলগুলি হল k 1 = -3 এবং k 2 = 0। শিকড় বাস্তব এবং ভিন্ন, তাই, ধ্রুবক সহগ সহ LODE-এর সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে


ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমের রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

ধ্রুবক সহগ y সহ একটি দ্বিতীয়-ক্রম LDDE-এর সাধারণ সমাধান সংশ্লিষ্ট LDDE-এর সাধারণ সমাধানের যোগফলের আকারে চাওয়া হয় এবং মূল একটি নির্দিষ্ট সমাধান একজাতীয় সমীকরণ, এটাই, . পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদটি ধ্রুবক সহগ সহ একটি সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খোঁজার জন্য নিবেদিত। এবং একটি নির্দিষ্ট সমাধান হয় পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারিত হয় অনিশ্চিত সহগডানদিকে ফাংশন f(x) এর একটি নির্দিষ্ট ফর্মের জন্য মূল সমীকরণ, অথবা নির্বিচারে ধ্রুবক পরিবর্তিত পদ্ধতির দ্বারা।

ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয়-ক্রম LDDE-এর উদাহরণ হিসাবে, আমরা দিই


তত্ত্বটি বোঝার জন্য এবং উদাহরণগুলির বিশদ সমাধানগুলির সাথে পরিচিত হতে, আমরা আপনাকে পৃষ্ঠায় অফার করি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি যার সাথে ধ্রুবক সহগ।

লিনিয়ার সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (LODE) এবং দ্বিতীয় ক্রমে লিনিয়ার ইনহোমোজেনিয়াস ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (LNDEs)।

এই ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হল ধ্রুবক সহগ সহ LODE এবং LDDE।

একটি নির্দিষ্ট অংশে LODE-এর সাধারণ সমাধান এই সমীকরণের দুটি রৈখিক স্বাধীন আংশিক সমাধান y 1 এবং y 2 এর রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা উপস্থাপিত হয়, অর্থাৎ, .

প্রধান অসুবিধা এই ধরনের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের রৈখিকভাবে স্বাধীন আংশিক সমাধান খুঁজে বের করার ক্ষেত্রেই রয়েছে। সাধারণত, বিশেষ সমাধান থেকে নির্বাচন করা হয় নিম্নলিখিত সিস্টেমরৈখিক স্বাধীন ফাংশন:


যাইহোক, নির্দিষ্ট সমাধান সবসময় এই ফর্ম উপস্থাপন করা হয় না.

একটি LOD একটি উদাহরণ .

LDDE-এর সাধারণ সমাধান ফর্মে চাওয়া হয়, যেখানে সংশ্লিষ্ট LDDE-এর সাধারণ সমাধান এবং মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশেষ সমাধান। আমরা শুধু এটি খুঁজে বের করার বিষয়ে কথা বলেছি, তবে এটি নির্ণয় করা যেতে পারে বিভিন্ন নির্বিচারে ধ্রুবকের পদ্ধতি ব্যবহার করে।

LNDU এর উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে .

উচ্চতর আদেশের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা ক্রম হ্রাস করার অনুমতি দেয়।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম , যা k-1 অর্ডার পর্যন্ত পছন্দসই ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভ ধারণ করে না, প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে n-k-এ হ্রাস করা যেতে পারে।

এই ক্ষেত্রে, মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি কমে যাবে। এর সমাধান p(x) খুঁজে পাওয়ার পরে, এটি প্রতিস্থাপনে ফিরে যেতে এবং অজানা ফাংশন y নির্ধারণ করতে থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রতিস্থাপনের পরে, এটি বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণে পরিণত হবে এবং এর ক্রম তৃতীয় থেকে প্রথম পর্যন্ত হ্রাস পাবে।