গাউসিয়ান পদ্ধতি সমাধান অ্যালগরিদম। গাউসিয়ান পদ্ধতি (অজানাদের ক্রমিক নির্মূল)

দ্য অনলাইন ক্যালকুলেটরসিস্টেমের একটি সমাধান খুঁজে বের করে রৈখিক সমীকরণ(SLN) গাউসিয়ান পদ্ধতি দ্বারা। বিস্তারিত সমাধান দেওয়া আছে। গণনা করতে, ভেরিয়েবলের সংখ্যা এবং সমীকরণের সংখ্যা নির্বাচন করুন। তারপরে কোষগুলিতে ডেটা প্রবেশ করান এবং "গণনা" বোতামে ক্লিক করুন।

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব:

পূর্ণসংখ্যা এবং/অথবা সাধারণ ভগ্নাংশ
পূর্ণ সংখ্যা এবং/অথবা দশমিক

দশমিক বিভাজকের পরে স্থানের সংখ্যা

×

সতর্কতা

সব কক্ষ সাফ করবেন?

সাফ বন্ধ করুন

ডেটা এন্ট্রি নির্দেশাবলী।সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা (উদাহরণ: 487, 5, -7623, ইত্যাদি), দশমিক (উদাহরণস্বরূপ 67., 102.54, ইত্যাদি) বা ভগ্নাংশ হিসাবে প্রবেশ করা হয়। ভগ্নাংশটি অবশ্যই a/b আকারে লিখতে হবে, যেখানে a এবং b (b>0) পূর্ণসংখ্যা বা দশমিক সংখ্যা. উদাহরণ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, ইত্যাদি।

গাউস পদ্ধতি

গাউস পদ্ধতি হল রৈখিক সমীকরণের মূল সিস্টেম থেকে (সমতুল্য রূপান্তর ব্যবহার করে) এমন একটি সিস্টেমে রূপান্তরের একটি পদ্ধতি যা মূল সিস্টেমের চেয়ে সমাধান করা সহজ।

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমতুল্য রূপান্তরগুলি হল:

• সিস্টেমে দুটি সমীকরণ অদলবদল করা,
• সিস্টেমের যেকোন সমীকরণকে একটি অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণ করা,
• একটি সমীকরণের সাথে অন্য একটি সমীকরণ যোগ করলে একটি নির্বিচারে সংখ্যা দ্বারা গুণিত হয়।

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম বিবেচনা করুন:

(1)

আসুন ম্যাট্রিক্স আকারে সিস্টেম (1) লিখি:

কুড়াল = খ

(2)

(3)

ক- সিস্টেমের সহগ ম্যাট্রিক্স বলা হয়, খ- বিধিনিষেধের ডান দিক, এক্স− ভেরিয়েবলের ভেক্টর পাওয়া যাবে। র‍্যাঙ্ক করা যাক( ক)=পি.

সমতুল্য রূপান্তরগুলি সহগ ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক এবং সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক পরিবর্তন করে না। সিস্টেমের সমাধানের সেটও সমতুল্য রূপান্তরের অধীনে পরিবর্তিত হয় না। গাউস পদ্ধতির সারমর্ম হল সহগগুলির ম্যাট্রিক্স হ্রাস করা ক to diagonal or stepped.

আসুন সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করি:

পরবর্তী পর্যায়ে, আমরা উপাদানের নীচে, কলাম 2-এর সমস্ত উপাদান পুনরায় সেট করি। যদি এই উপাদানটি শূন্য হয়, তাহলে এই সারিটি এই সারির নীচে থাকা সারির সাথে অদলবদল করা হবে এবং দ্বিতীয় কলামে একটি নন-জিরো এলিমেন্ট থাকবে। এরপরে, লিডিং এলিমেন্টের নিচে কলাম 2 এর সমস্ত উপাদান রিসেট করুন ক 22। এটি করতে, লাইন 3 যোগ করুন, ... মিস্ট্রিং 2 এর সাথে − দ্বারা গুণিত ক 32 /ক 22 , ..., −ক m2/ ক 22, যথাক্রমে। প্রক্রিয়াটি অব্যাহত রেখে, আমরা তির্যক বা ধাপযুক্ত ফর্মের একটি ম্যাট্রিক্স পাই। ফলস্বরূপ বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের ফর্ম থাকতে দিন:

(7)

কারণ রংএ=রং(ক|খ), তারপর সমাধানের সেট (7) হল ( n−p) - বৈচিত্র্য। তাই n−pঅজানা নির্বিচারে নির্বাচন করা যেতে পারে. সিস্টেম (7) থেকে অবশিষ্ট অজানাগুলি নিম্নরূপ গণনা করা হয়। শেষ সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি এক্স p অবশিষ্ট ভেরিয়েবলের মাধ্যমে এবং পূর্ববর্তী এক্সপ্রেশনে সন্নিবেশ করান। এর পরে, উপান্তর সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি এক্স p−1 অবশিষ্ট ভেরিয়েবলের মাধ্যমে এবং পূর্ববর্তী রাশিতে সন্নিবেশ করান, ইত্যাদি। আসুন নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে গাউস পদ্ধতিটি দেখি।

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ 1. খুঁজুন সাধারণ সিদ্ধান্তগাউস পদ্ধতি দ্বারা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম:

আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক ক ij উপাদান i-ম লাইন এবং jম কলাম।

কএগারো এটি করার জন্য, লাইন 1 এর সাথে লাইন 2,3 যোগ করুন, যথাক্রমে -2/3, -1/2 দ্বারা গুণ করুন:

ম্যাট্রিক্স রেকর্ডিং প্রকার: কুড়াল = খ, কোথায়

আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক ক ij উপাদান i-ম লাইন এবং jম কলাম।

এলিমেন্টের নিচের ম্যাট্রিক্সের ১ম কলামের এলিমেন্টগুলো বাদ দেওয়া যাক কএগারো এটি করার জন্য, লাইন 1 এর সাথে লাইন 2,3 যোগ করুন, যথাক্রমে -1/5, -6/5 দ্বারা গুণ করুন:

আমরা ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারিকে সংশ্লিষ্ট লিডিং এলিমেন্ট দিয়ে ভাগ করি (যদি লিডিং এলিমেন্ট থাকে):

কোথায় এক্স 3 , এক্স

উপরের অভিব্যক্তিগুলিকে নীচেরগুলির মধ্যে প্রতিস্থাপন করে, আমরা সমাধানটি পাই।

তারপর ভেক্টর সমাধানটি নিম্নরূপ উপস্থাপন করা যেতে পারে:

কোথায় এক্স 3 , এক্স 4 হল নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা।

রৈখিক বীজগণিত পদ্ধতিগুলি সমাধানের জন্য সর্বজনীন এবং কার্যকর পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি গাউসিয়ান পদ্ধতি , অজানা ক্রমিক নির্মূল গঠিত.

মনে রাখবেন যে দুটি সিস্টেম বলা হয় সমতুল্য (সমতুল্য) যদি তাদের সমাধানের সেটগুলি মিলে যায়। অন্য কথায়, সিস্টেমগুলি সমতুল্য যদি তাদের একটির প্রতিটি সমাধান অন্যটির সমাধান হয় এবং এর বিপরীতে। সমতুল্য সিস্টেম প্রাপ্ত হয় যখন প্রাথমিক রূপান্তর সিস্টেমের সমীকরণ:

সমীকরণের উভয় দিককে শূন্য ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ করা;

কিছু সমীকরণে অন্য সমীকরণের সংশ্লিষ্ট অংশ যোগ করা, শূন্য ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ করা;

দুটি সমীকরণ পুনর্বিন্যাস।

সমীকরণের একটি সিস্টেম দেওয়া যাক

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে এই পদ্ধতিটি সমাধান করার প্রক্রিয়াটি দুটি স্তর নিয়ে গঠিত। প্রথম পর্যায়ে (সরাসরি গতি), সিস্টেম, প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে, হ্রাস করা হয় ধাপে ধাপে , বা ত্রিভুজাকার মন, এবং দ্বিতীয় পর্যায়ে ( বিপরীত স্ট্রোক) শেষ ভেরিয়েবল সংখ্যা থেকে শুরু করে, ফলাফলের ধাপ সিস্টেম থেকে অজানাগুলির একটি ক্রমিক সংকল্প রয়েছে।

ধরা যাক এই সিস্টেমের সহগ
, অন্যথায় সিস্টেমে প্রথম সারি অন্য কোনো সারির সাথে অদলবদল করা যেতে পারে যাতে সহগ শূন্য থেকে ভিন্ন ছিল।

আসুন অজানাকে মুছে দিয়ে সিস্টেমকে রূপান্তরিত করি প্রথমটি ছাড়া সকল সমীকরণে। এটি করার জন্য, প্রথম সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন এবং সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণের সাথে পদ দ্বারা পদ যোগ করুন। তারপর প্রথম সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন এবং এটি সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণে যোগ করুন। এই প্রক্রিয়া অব্যাহত রেখে, আমরা সমতুল্য সিস্টেম প্রাপ্ত

এখানে
- সহগ এবং বিনামূল্যের পদগুলির নতুন মান যা প্রথম ধাপের পরে প্রাপ্ত হয়।

একইভাবে, প্রধান উপাদান বিবেচনা
, অজানা বাদ সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ থেকে, প্রথম এবং দ্বিতীয় ছাড়া। আসুন এই প্রক্রিয়াটি যতক্ষণ সম্ভব চালিয়ে যাই, এবং ফলস্বরূপ আমরা একটি ধাপে ধাপে সিস্টেম পাব

,

কোথায় ,
,…,- সিস্টেমের প্রধান উপাদান
.

যদি, সিস্টেমটিকে ধাপে ধাপে আকারে হ্রাস করার প্রক্রিয়ায়, সমীকরণগুলি উপস্থিত হয়, অর্থাৎ, ফর্মের সমতা
, তারা পরিত্যাগ করা হয় যেহেতু তারা সংখ্যার কোনো সেট দ্বারা সন্তুষ্ট
. আমি মোটা
প্রদর্শিত হবে ফর্মের সমীকরণ, যার কোন সমাধান নেই, তাহলে এটি সিস্টেমের অসঙ্গতি নির্দেশ করে।

বিপরীত স্ট্রোকের সময়, রূপান্তরিত পদক্ষেপ সিস্টেমের শেষ সমীকরণ থেকে প্রথম অজানা প্রকাশ করা হয় অন্য সব অজানা মাধ্যমে
যা বলা হয় বিনামূল্যে . তারপর পরিবর্তনশীল অভিব্যক্তি সিস্টেমের শেষ সমীকরণ থেকে উপান্তর সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয় এবং এটি থেকে পরিবর্তনশীল প্রকাশ করা হয়
. ভেরিয়েবল একই ভাবে ক্রমিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
. ভেরিয়েবল
, মুক্ত চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, বলা হয় মৌলিক (নির্ভরশীল)। ফলাফলটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের একটি সাধারণ সমাধান।

খুঁজতে ব্যক্তিগত সমাধান সিস্টেম, বিনামূল্যে অজানা
সাধারণ সমাধানে নির্বিচারে মানগুলি বরাদ্দ করা হয় এবং ভেরিয়েবলের মানগুলি গণনা করা হয়
.

টেকনিক্যালি আরও সুবিধাজনক যে প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সিস্টেমের সমীকরণগুলি নয়, বরং সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের সাপেক্ষে।

.

গাউস পদ্ধতি একটি সর্বজনীন পদ্ধতি যা আপনাকে শুধুমাত্র বর্গক্ষেত্র নয়, আয়তক্ষেত্রাকার সিস্টেমগুলিও সমাধান করতে দেয় যেখানে অজানা সংখ্যা
সমীকরণ সংখ্যার সমান নয়
.

এই পদ্ধতির সুবিধা হল যে সমাধানের প্রক্রিয়াতে আমরা একই সাথে সামঞ্জস্যের জন্য সিস্টেমটি পরীক্ষা করি, যেহেতু, বর্ধিত ম্যাট্রিক্স দেওয়ার পরে
ধাপে ধাপে আকারে, ম্যাট্রিক্সের ক্রম নির্ধারণ করা সহজ এবং বর্ধিত ম্যাট্রিক্স
এবং আবেদন করুন ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য .

উদাহরণ 2.1গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন

সমাধান. সমীকরণের সংখ্যা
এবং অজানা সংখ্যা
.

ম্যাট্রিক্সের ডানদিকে সহগ বরাদ্দ করে সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যাক বিনামূল্যে সদস্য কলাম .

ম্যাট্রিক্স উপস্থাপন করা যাক প্রতি ত্রিভুজাকার দৃশ্য; এটি করার জন্য, আমরা প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে প্রধান তির্যকটিতে অবস্থিত উপাদানগুলির নীচে "0" প্রাপ্ত করব।

প্রথম কলামের দ্বিতীয় অবস্থানে "0" পেতে, প্রথম সারিটিকে (-1) দ্বারা গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সারিতে যোগ করুন।

আমরা এই রূপান্তরটিকে প্রথম লাইনের বিপরীতে সংখ্যা (-1) হিসাবে লিখি এবং এটিকে প্রথম লাইন থেকে দ্বিতীয় লাইনে যাওয়ার তীর দিয়ে চিহ্নিত করি।

প্রথম কলামের তৃতীয় অবস্থানে "0" পেতে, প্রথম সারিটিকে (-3) দ্বারা গুণ করুন এবং তৃতীয় সারিতে যোগ করুন; প্রথম লাইন থেকে তৃতীয় দিকে যাওয়া একটি তীর ব্যবহার করে এই ক্রিয়াটি দেখাই।

.

ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সে, ম্যাট্রিক্সের চেইনে দ্বিতীয় লেখা, আমরা তৃতীয় অবস্থানের দ্বিতীয় কলামে "0" পাই। এটি করার জন্য, আমরা দ্বিতীয় লাইনটিকে (-4) দ্বারা গুণ করেছি এবং তৃতীয়টিতে যোগ করেছি। ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সে, দ্বিতীয় সারিটিকে (-1) দ্বারা গুণ করুন এবং তৃতীয়টিকে (-8) দ্বারা ভাগ করুন। তির্যক উপাদানগুলির নীচে থাকা এই ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদান শূন্য।

কারণ , সিস্টেমটি সহযোগী এবং সংজ্ঞায়িত।

শেষ ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পর্কিত সমীকরণের সিস্টেমের একটি ত্রিভুজাকার রূপ রয়েছে:

শেষ (তৃতীয়) সমীকরণ থেকে
. দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন এবং পান
.

এর বিকল্প করা যাক
এবং
প্রথম সমীকরণে, আমরা খুঁজে পাই


.

আমরা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি বিবেচনা করতে থাকি। এই পাঠটি এই বিষয়ে তৃতীয়। সাধারণভাবে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম কী তা সম্পর্কে আপনার যদি একটি অস্পষ্ট ধারণা থাকে, আপনি যদি চা-পাতার মতো মনে করেন, তবে আমি পরবর্তী পৃষ্ঠায় মূল বিষয়গুলি দিয়ে শুরু করার পরামর্শ দিচ্ছি, পাঠটি অধ্যয়ন করা দরকারী।

গাউসিয়ান পদ্ধতি সহজ!কেন? বিখ্যাত জার্মান গণিতবিদ জোহান কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস, তার জীবদ্দশায়, সর্বকালের সর্বশ্রেষ্ঠ গণিতবিদ, একজন প্রতিভা এবং এমনকি ডাকনাম "গণিতের রাজা" হিসাবে স্বীকৃতি পেয়েছিলেন। এবং বুদ্ধিমান সবকিছু, যেমন আপনি জানেন, সহজ!যাইহোক, শুধুমাত্র চোষাকারীরা অর্থ পায় না, কিন্তু প্রতিভাও পায় - গাউসের প্রতিকৃতিটি 10 ​​ডয়েচমার্ক ব্যাঙ্কনোটে ছিল (ইউরো প্রবর্তনের আগে), এবং গাউস এখনও সাধারণ ডাকটিকিট থেকে জার্মানদের দিকে রহস্যজনকভাবে হাসেন।

গাউস পদ্ধতিটি সহজ যে পঞ্চম-গ্রেডের শিক্ষার্থীর জ্ঞান এটি আয়ত্ত করার জন্য যথেষ্ট। আপনি যোগ এবং গুন কিভাবে জানেন!এটা কোন কাকতালীয় ঘটনা নয় যে শিক্ষকরা প্রায়শই স্কুলের গণিতের ইলেকটিভগুলিতে অজানাদের ক্রমিক বর্জনের পদ্ধতি বিবেচনা করে। এটি একটি প্যারাডক্স, কিন্তু ছাত্ররা গাউসিয়ান পদ্ধতিটিকে সবচেয়ে কঠিন বলে মনে করে। আশ্চর্যের কিছু নেই - এটি সমস্ত পদ্ধতি সম্পর্কে, এবং আমি একটি অ্যাক্সেসযোগ্য আকারে পদ্ধতির অ্যালগরিদম সম্পর্কে কথা বলার চেষ্টা করব।

প্রথমত, চলুন রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম সম্পর্কে সামান্য জ্ঞানকে পদ্ধতিগত করা যাক। রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম করতে পারে:

1) একটি অনন্য সমাধান আছে. 2) অসীম অনেক সমাধান আছে. 3) কোন সমাধান নেই (হও অ জয়েন্ট).

গাউস পদ্ধতি একটি সমাধান খোঁজার জন্য সবচেয়ে শক্তিশালী এবং সর্বজনীন হাতিয়ার যেকোনোরৈখিক সমীকরণের সিস্টেম। আমাদের মনে আছে, ক্রেমারের নিয়ম এবং ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিসিস্টেমের অসীম অনেক সমাধান আছে বা অসামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্রে অনুপযুক্ত. এবং অজানা ক্রমিক নির্মূল পদ্ধতি যাই হোকউত্তর আমাদের নেতৃত্বে হবে! এই পাঠে, আমরা আবার কেস নং 1 (সিস্টেমের একমাত্র সমাধান) জন্য গাউস পদ্ধতিটি বিবেচনা করব, একটি নিবন্ধটি পয়েন্ট নং 2-3 এর পরিস্থিতির জন্য উত্সর্গীকৃত। আমি নোট করি যে পদ্ধতির অ্যালগরিদম তিনটি ক্ষেত্রেই একই কাজ করে।

এর ফিরে যাওয়া যাক সবচেয়ে সহজ সিস্টেমক্লাস থেকে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম কীভাবে সমাধান করবেন?এবং গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি সমাধান করুন।

প্রথম ধাপটি লিখতে হবে বর্ধিত সিস্টেম ম্যাট্রিক্স: আমি মনে করি সবাই দেখতে পাবে কোন নীতি দ্বারা সহগ লেখা হয়। ম্যাট্রিক্সের অভ্যন্তরে উল্লম্ব লাইনের কোন গাণিতিক অর্থ নেই - এটি কেবল ডিজাইনের সহজতার জন্য একটি স্ট্রাইকথ্রু।

রেফারেন্স : আমি আপনাকে মনে রাখা সুপারিশ শর্তাবলী রৈখিক বীজগণিত. সিস্টেম ম্যাট্রিক্স একটি ম্যাট্রিক্স যা শুধুমাত্র অজানা জন্য সহগ দ্বারা গঠিত, এই উদাহরণে সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স: . এক্সটেন্ডেড সিস্টেম ম্যাট্রিক্স - এটি সিস্টেমের একই ম্যাট্রিক্স প্লাস বিনামূল্যে শর্তাবলীর একটি কলাম, এই ক্ষেত্রে: . সংক্ষিপ্ততার জন্য, যে কোনো ম্যাট্রিক্সকে সহজভাবে ম্যাট্রিক্স বলা যেতে পারে।

বর্ধিত সিস্টেম ম্যাট্রিক্স লেখার পরে, এটির সাথে কিছু ক্রিয়া সম্পাদন করা প্রয়োজন, যাকে বলা হয় প্রাথমিক রূপান্তর.

নিম্নলিখিত প্রাথমিক রূপান্তর বিদ্যমান:

1) স্ট্রিংসম্যাট্রিক্স করতে পারা পুনর্বিন্যাসকিছু জায়গায়. উদাহরণস্বরূপ, বিবেচনাধীন ম্যাট্রিক্সে, আপনি ব্যথাহীনভাবে প্রথম এবং দ্বিতীয় সারিগুলি পুনরায় সাজাতে পারেন:

2) যদি ম্যাট্রিক্স থাকে (বা উপস্থিত হয়েছে) সমানুপাতিক (যেমন বিশেষ মামলা- অভিন্ন) লাইন, তারপর এটি অনুসরণ করে মুছে ফেলাএই সব সারি একটি ছাড়া ম্যাট্রিক্স থেকে. উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন . এই ম্যাট্রিক্সে, শেষ তিনটি সারি সমানুপাতিক, তাই তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটি ছেড়ে দেওয়া যথেষ্ট: .

3) যদি রূপান্তরের সময় ম্যাট্রিক্সে একটি শূন্য সারি উপস্থিত হয়, তবে এটিও হওয়া উচিত মুছে ফেলা. আমি আঁকব না, অবশ্যই, শূন্য রেখা হল সেই রেখা যার মধ্যে সব শূন্য.

4) ম্যাট্রিক্স সারি হতে পারে গুন (ভাগ)যেকোনো সংখ্যায় অ-শূন্য. উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন। এখানে প্রথম লাইনটিকে –3 দ্বারা ভাগ করার এবং দ্বিতীয় লাইনটিকে 2 দ্বারা গুণ করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে: . এই ক্রিয়াটি খুব দরকারী কারণ এটি ম্যাট্রিক্সের আরও রূপান্তরকে সহজ করে।

5) এই রূপান্তরটি সবচেয়ে অসুবিধা সৃষ্টি করে, তবে বাস্তবে জটিল কিছু নেই। একটি ম্যাট্রিক্সের সারি আপনি করতে পারেন একটি সংখ্যা দ্বারা গুণিত আরেকটি স্ট্রিং যোগ করুন, শূন্য থেকে ভিন্ন। আমাদের ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন ব্যবহারিক উদাহরণ: প্রথমে আমি বিশদভাবে রূপান্তরটি বর্ণনা করব। প্রথম লাইনটিকে -2 দ্বারা গুণ করুন: , এবং দ্বিতীয় লাইনে আমরা প্রথম লাইনটিকে –2 দ্বারা গুণ করে যোগ করি: . এখন প্রথম লাইনটিকে "ব্যাক" -2 দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে: . আপনি দেখতে পারেন, যে লাইন যোগ করা হয় এলআই – পরিবর্তন হয়নি. সর্বদাযে লাইনে যোগ করা হয়েছে তা পরিবর্তন হয় UT.

অনুশীলনে, অবশ্যই, তারা এটি এত বিস্তারিতভাবে লেখেন না, তবে এটি সংক্ষেপে লিখুন: আবার: দ্বিতীয় লাইনে -2 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করুন. একটি লাইন সাধারণত মৌখিকভাবে বা একটি খসড়াতে গুণ করা হয়, মানসিক গণনা প্রক্রিয়াটি এরকম কিছু যায়:

"আমি ম্যাট্রিক্স পুনরায় লিখি এবং প্রথম লাইনটি পুনরায় লিখি: »

"প্রথম কলাম। নীচে আমি শূন্য পেতে প্রয়োজন. অতএব, আমি উপরের একটিটিকে –2: দ্বারা গুণ করি এবং প্রথমটিকে দ্বিতীয় লাইনে যোগ করি: 2 + (–2) = 0। আমি দ্বিতীয় লাইনে ফলাফল লিখি: »

“এখন দ্বিতীয় কলাম। শীর্ষে, আমি -1কে -2 দ্বারা গুণ করি:। আমি দ্বিতীয় লাইনে প্রথমটি যোগ করি: 1 + 2 = 3। আমি দ্বিতীয় লাইনে ফলাফল লিখি: »

“এবং তৃতীয় কলাম। শীর্ষে আমি -5কে -2 দ্বারা গুণ করি:। আমি দ্বিতীয় লাইনে প্রথমটি যোগ করি: –7 + 10 = 3। আমি দ্বিতীয় লাইনে ফলাফল লিখি: »

দয়া করে এই উদাহরণটি সাবধানে বুঝুন এবং অনুক্রমিক গণনার অ্যালগরিদমটি বুঝুন, যদি আপনি এটি বুঝতে পারেন, তাহলে গাউসিয়ান পদ্ধতিটি কার্যত আপনার পকেটে রয়েছে। তবে, অবশ্যই, আমরা এখনও এই রূপান্তর নিয়ে কাজ করব।

প্রাথমিক রূপান্তর সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান পরিবর্তন করে না

! মনোযোগ: বিবেচিত ম্যানিপুলেশন ব্যবহার করতে পারবেন না, যদি আপনাকে একটি কাজের প্রস্তাব দেওয়া হয় যেখানে ম্যাট্রিক্সগুলি "নিজেদের দ্বারা" দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, "শাস্ত্রীয়" সহ ম্যাট্রিক্স সহ অপারেশনকোন অবস্থাতেই আপনার ম্যাট্রিক্সের ভিতরে কিছু পুনর্বিন্যাস করা উচিত নয়! আমাদের সিস্টেমে ফিরে আসা যাক। এটা কার্যত টুকরা করা হয়.

আসুন আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি এবং প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে কমিয়ে দেই ধাপে ধাপে দৃশ্য:

(1) প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল, -2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। এবং আবার: কেন আমরা প্রথম লাইনটিকে –2 দ্বারা গুণ করি? নীচে শূন্য পেতে, যার অর্থ দ্বিতীয় লাইনে একটি ভেরিয়েবল থেকে মুক্তি পাওয়া।

(2) দ্বিতীয় লাইনটিকে 3 দ্বারা ভাগ করুন।

প্রাথমিক রূপান্তরের উদ্দেশ্য – ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে কমিয়ে দিন: . টাস্কের ডিজাইনে, তারা কেবল একটি সাধারণ পেন্সিল দিয়ে "সিঁড়ি" চিহ্নিত করে এবং "পদক্ষেপ" তে অবস্থিত সংখ্যাগুলিকেও বৃত্ত করে। "ধাপযুক্ত দৃষ্টিভঙ্গি" শব্দটি সম্পূর্ণরূপে তাত্ত্বিক নয়, বৈজ্ঞানিক এবং শিক্ষামূলক সাহিত্যএটা প্রায়ই বলা হয় ট্র্যাপিজয়েডাল ভিউবা ত্রিভুজাকার দৃশ্য.

প্রাথমিক রূপান্তরের ফলস্বরূপ, আমরা পেয়েছি সমতুল্যসমীকরণের মূল সিস্টেম:

এখন সিস্টেমটিকে বিপরীত দিকে "আনউইন্ডেড" করা দরকার - নীচে থেকে উপরে, এই প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত.

নিম্ন সমীকরণে আমরা ইতিমধ্যে একটি প্রস্তুত ফলাফল আছে: .

আসুন সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটি বিবেচনা করি এবং এটিতে "y" এর ইতিমধ্যে পরিচিত মানটিকে প্রতিস্থাপন করি:

আসুন সবচেয়ে সাধারণ পরিস্থিতি বিবেচনা করা যাক, যখন গাউসিয়ান পদ্ধতিতে তিনটি অজানা সহ তিনটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 1

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের পদ্ধতিটি সমাধান করুন:

চলুন সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি:

এখন আমি অবিলম্বে ফলাফলটি আঁকব যা আমরা সমাধানের সময় আসব: এবং আমি আবারও বলছি, আমাদের লক্ষ্য হল প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসা। কোথা থেকে শুরু?

প্রথমে, উপরের বাম নম্বরটি দেখুন: প্রায় সবসময় এখানে থাকা উচিত ইউনিট. সাধারণভাবে বলতে গেলে, –1 (এবং কখনও কখনও অন্যান্য সংখ্যা) করবে, কিন্তু কোন না কোনভাবে এটি ঐতিহ্যগতভাবে ঘটেছে যে একটি সাধারণত সেখানে স্থাপন করা হয়। কিভাবে একটি ইউনিট সংগঠিত? আমরা প্রথম কলাম তাকান - আমরা একটি সমাপ্ত ইউনিট আছে! রূপান্তর এক: প্রথম এবং তৃতীয় লাইন অদলবদল করুন:

এখন সমাধান শেষ না হওয়া পর্যন্ত প্রথম লাইন অপরিবর্তিত থাকবে. এখন ঠিক আছে।

উপরের বাম কোণে ইউনিট সংগঠিত হয়. এখন আপনাকে এই জায়গায় শূন্য পেতে হবে:

আমরা একটি "কঠিন" রূপান্তর ব্যবহার করে শূন্য পাই। প্রথমে আমরা দ্বিতীয় লাইন (2, –1, 3, 13) নিয়ে কাজ করি। প্রথম অবস্থানে শূন্য পেতে কি করতে হবে? প্রয়োজন দ্বিতীয় লাইনে -2 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করুন. মানসিকভাবে বা একটি খসড়াতে, প্রথম লাইনটিকে –2 দ্বারা গুণ করুন: (–2, –4, 2, –18)। এবং আমরা ধারাবাহিকভাবে (আবার মানসিকভাবে বা খসড়াতে) সংযোজন করি, দ্বিতীয় লাইনে আমরা প্রথম লাইন যোগ করি, ইতিমধ্যেই -2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে:

আমরা দ্বিতীয় লাইনে ফলাফল লিখি:

আমরা একইভাবে তৃতীয় লাইনের সাথে মোকাবিলা করি (3, 2, -5, -1)। প্রথম অবস্থানে একটি শূন্য পেতে, আপনার প্রয়োজন তৃতীয় লাইনে –3 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করুন. মানসিকভাবে বা একটি খসড়াতে, প্রথম লাইনটিকে –3 দ্বারা গুণ করুন: (–3, –6, 3, –27)। এবং তৃতীয় লাইনে আমরা –3 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করি:

আমরা তৃতীয় লাইনে ফলাফল লিখি:

অনুশীলনে, এই ক্রিয়াগুলি সাধারণত মৌখিকভাবে সঞ্চালিত হয় এবং এক ধাপে লিখিত হয়:

একবারে এবং একই সময়ে সবকিছু গণনা করার দরকার নেই. গণনার ক্রম এবং ফলাফল "লেখা" সামঞ্জস্যপূর্ণএবং সাধারণত এটি এরকম হয়: প্রথমে আমরা প্রথম লাইনটি আবার লিখি, এবং ধীরে ধীরে নিজেদের উপর পাফ করি - ধারাবাহিকভাবে এবং মনোযোগ সহকারে:
এবং আমি ইতিমধ্যে উপরে নিজেরাই গণনার মানসিক প্রক্রিয়া নিয়ে আলোচনা করেছি।

এই উদাহরণে, এটি করা সহজ; আমরা দ্বিতীয় লাইনটিকে –5 দ্বারা ভাগ করি (যেহেতু সমস্ত সংখ্যা অবশিষ্ট ছাড়া 5 দ্বারা বিভাজ্য)। একই সময়ে, আমরা তৃতীয় লাইনটিকে –2 দ্বারা ভাগ করি, কারণ সংখ্যা যত ছোট হবে, সমাধান তত সহজ হবে:

প্রাথমিক রূপান্তরের চূড়ান্ত পর্যায়ে, আপনাকে এখানে আরেকটি শূন্য পেতে হবে:

এই জন্য তৃতীয় লাইনে আমরা -2 দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় লাইন যোগ করি:
এই ক্রিয়াটি নিজেই বের করার চেষ্টা করুন - মানসিকভাবে দ্বিতীয় লাইনটিকে –2 দ্বারা গুণ করুন এবং যোগ করুন।

সঞ্চালিত শেষ কর্ম হল ফলাফলের hairstyle, 3 দ্বারা তৃতীয় লাইন বিভক্ত।

প্রাথমিক রূপান্তরের ফলস্বরূপ, রৈখিক সমীকরণের একটি সমতুল্য সিস্টেম প্রাপ্ত হয়েছিল: কুল।

এখন গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীতটি খেলায় আসে। সমীকরণগুলি নিচ থেকে উপরে "আনওয়াইন্ড"।

তৃতীয় সমীকরণে আমাদের ইতিমধ্যে একটি প্রস্তুত ফলাফল রয়েছে:

আসুন দ্বিতীয় সমীকরণটি দেখি: . "জেট" এর অর্থ ইতিমধ্যে পরিচিত, এইভাবে:

এবং অবশেষে, প্রথম সমীকরণ: . "Igrek" এবং "zet" পরিচিত, এটি সামান্য জিনিসের ব্যাপার:

উত্তর:

যেমনটি ইতিমধ্যে বেশ কয়েকবার উল্লেখ করা হয়েছে, সমীকরণের যে কোনও সিস্টেমের জন্য পাওয়া সমাধানটি পরীক্ষা করা সম্ভব এবং প্রয়োজনীয়, ভাগ্যক্রমে, এটি সহজ এবং দ্রুত।

উদাহরণ 2

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ, চূড়ান্ত নকশার একটি নমুনা এবং পাঠের শেষে একটি উত্তর।

এটা উল্লেখ করা উচিত যে আপনার সিদ্ধান্তের অগ্রগতিআমার সিদ্ধান্ত প্রক্রিয়ার সাথে মিলিত নাও হতে পারে, এবং এটি গাউস পদ্ধতির একটি বৈশিষ্ট্য. কিন্তু উত্তর একই হতে হবে!

উদাহরণ 3

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন

আমরা উপরের বাম দিকে তাকাই "ধাপ"। আমরা সেখানে একটি থাকা উচিত. সমস্যাটি হল যে প্রথম কলামে কোনও ইউনিট নেই, তাই সারিগুলিকে পুনর্বিন্যাস করলে কিছু সমাধান হবে না। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ইউনিটটি একটি প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে সংগঠিত হতে হবে। এটি সাধারণত বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে। আমি এটি করেছি: (1) প্রথম লাইনে আমরা দ্বিতীয় লাইন যোগ করি, -1 দ্বারা গুণ করে. অর্থাৎ, আমরা মানসিকভাবে দ্বিতীয় লাইনটিকে –1 দ্বারা গুণ করেছি এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইন যোগ করেছি, যখন দ্বিতীয় লাইনটি পরিবর্তন হয়নি।

এখন উপরের বাম দিকে রয়েছে "মাইনাস ওয়ান", যা আমাদের জন্য বেশ উপযুক্ত। যে কেউ +1 পেতে চায় তারা একটি অতিরিক্ত আন্দোলন করতে পারে: প্রথম লাইনকে –1 দ্বারা গুণ করুন (এর চিহ্ন পরিবর্তন করুন)।

(2) 5 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল। 3 দ্বারা গুণ করা প্রথম লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল।

(3) প্রথম লাইনটিকে –1 দ্বারা গুণ করা হয়েছে, নীতিগতভাবে, এটি সৌন্দর্যের জন্য। তৃতীয় লাইনের চিহ্নটিও পরিবর্তিত হয়েছিল এবং এটি দ্বিতীয় স্থানে স্থানান্তরিত হয়েছিল, যাতে দ্বিতীয় "ধাপে" আমাদের প্রয়োজনীয় ইউনিট ছিল।

(4) দ্বিতীয় লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছে, 2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

(5) তৃতীয় লাইনটি 3 দ্বারা বিভক্ত ছিল।

একটি খারাপ চিহ্ন যা গণনার একটি ত্রুটি নির্দেশ করে (আরও খুব কমই, একটি টাইপো) একটি "খারাপ" নীচের লাইন। অর্থাৎ, যদি আমরা নিচের মত কিছু পাই এবং সেই অনুযায়ী, , তাহলে উচ্চ মাত্রার সম্ভাব্যতার সাথে আমরা বলতে পারি যে প্রাথমিক রূপান্তরের সময় একটি ত্রুটি তৈরি হয়েছিল।

আমরা বিপরীতে চার্জ করি, উদাহরণগুলির নকশায় তারা প্রায়শই সিস্টেমটি নিজেই পুনর্লিখন করে না, তবে সমীকরণগুলি "প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স থেকে সরাসরি নেওয়া হয়।" বিপরীত স্ট্রোক, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি, নীচে থেকে উপরে কাজ করে। হ্যাঁ, এখানে একটি উপহার:

উত্তর: .

উদাহরণ 4

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ, এটি কিছুটা জটিল। কেউ বিভ্রান্ত হলে ঠিক আছে। পাঠের শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং নমুনা নকশা। আপনার সমাধান আমার সমাধান থেকে ভিন্ন হতে পারে.

শেষ অংশে আমরা গাউসিয়ান অ্যালগরিদমের কিছু বৈশিষ্ট্য দেখব। প্রথম বৈশিষ্ট্য হল যে কখনও কখনও কিছু ভেরিয়েবল সিস্টেম সমীকরণ থেকে অনুপস্থিত হয়, উদাহরণস্বরূপ: কিভাবে সঠিকভাবে বর্ধিত সিস্টেম ম্যাট্রিক্স লিখতে? আমি ইতিমধ্যে ক্লাসে এই পয়েন্ট সম্পর্কে কথা বলেছি। ক্রেমারের নিয়ম। ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি. সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সে, আমরা অনুপস্থিত ভেরিয়েবলের জায়গায় শূন্য রাখি: যাইহোক, এটি একটি মোটামুটি সহজ উদাহরণ, যেহেতু প্রথম কলামে ইতিমধ্যে একটি শূন্য রয়েছে এবং সঞ্চালনের জন্য কম প্রাথমিক রূপান্তর রয়েছে৷

দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্য এই. বিবেচনা করা সমস্ত উদাহরণে, আমরা "পদক্ষেপ"-এ -1 বা +1 রেখেছি। সেখানে অন্য সংখ্যা হতে পারে? কিছু ক্ষেত্রে তারা পারে। সিস্টেম বিবেচনা করুন: .

এখানে উপরের বাম দিকে "ধাপ" আমরা একটি দুটি আছে. কিন্তু আমরা লক্ষ্য করি যে প্রথম কলামের সমস্ত সংখ্যা একটি অবশিষ্ট ছাড়া 2 দ্বারা বিভাজ্য - এবং অন্যটি দুই এবং ছয়। এবং উপরের বাম দিকে দুটি আমাদের উপযুক্ত হবে! প্রথম ধাপে, আপনাকে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে হবে: দ্বিতীয় লাইনে –1 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করুন; তৃতীয় লাইনে –3 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করুন। এইভাবে আমরা প্রথম কলামে প্রয়োজনীয় শূন্য পাব।

বা এই মত কিছু শর্তসাপেক্ষ উদাহরণ: . এখানে দ্বিতীয় "পদক্ষেপের" তিনটিও আমাদের জন্য উপযুক্ত, যেহেতু 12 (যে স্থানটিতে আমাদের শূন্য পেতে হবে) অবশিষ্টাংশ ছাড়া 3 দ্বারা বিভাজ্য। নিম্নলিখিত রূপান্তরটি সম্পাদন করা প্রয়োজন: তৃতীয় লাইনে দ্বিতীয় লাইনটি যোগ করুন, –4 দ্বারা গুণিত করুন, যার ফলস্বরূপ আমাদের প্রয়োজনীয় শূন্যটি পাওয়া যাবে।

গাউসের পদ্ধতি সর্বজনীন, তবে একটি বিশেষত্ব রয়েছে। আত্মবিশ্বাসের সাথে অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমগুলি সমাধান করতে শিখুন (ক্রেমার পদ্ধতি, ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি) আপনি আক্ষরিকভাবে প্রথমবার করতে পারেন - একটি খুব কঠোর অ্যালগরিদম আছে। কিন্তু গাউসিয়ান পদ্ধতিতে আত্মবিশ্বাসী বোধ করার জন্য, আপনার "দাঁত প্রবেশ করানো" এবং কমপক্ষে 5-10টি সিস্টেম সমাধান করা উচিত। অতএব, প্রথমে গণনায় বিভ্রান্তি এবং ত্রুটি থাকতে পারে এবং এতে অস্বাভাবিক বা দুঃখজনক কিছু নেই।

জানালার বাইরে বর্ষার শরতের আবহাওয়া.... অতএব, যারা নিজেরাই সমাধান করতে আরও জটিল উদাহরণ চান তাদের জন্য:

উদাহরণ 5

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে চারটি অজানা সহ 4টি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন।

এই ধরনের কাজ অনুশীলনে এত বিরল নয়। আমি মনে করি এমনকি একজন চাপাত্র যিনি এই পৃষ্ঠাটি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে অধ্যয়ন করেছেন তারা স্বজ্ঞাতভাবে এই জাতীয় সিস্টেমের সমাধান করার জন্য অ্যালগরিদমটি বুঝতে পারবেন। মৌলিকভাবে, সবকিছু একই - শুধু আরো কর্ম আছে.

যে ক্ষেত্রে সিস্টেমের কোন সমাধান নেই (অসংগতিপূর্ণ) বা অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে পাঠে আলোচনা করা হয়েছে একটি সাধারণ সমাধান সহ বেমানান সিস্টেম এবং সিস্টেম. সেখানে আপনি গাউসিয়ান পদ্ধতির বিবেচিত অ্যালগরিদম ঠিক করতে পারেন।

আমি তোমার সাফল্য কামনা করি!

সমাধান এবং উত্তর:

উদাহরণ 2: সমাধান : আসুন আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি এবং প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসি।
প্রাথমিক রূপান্তর সম্পাদিত: (1) প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল, -2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। প্রথম লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল, -1 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। মনোযোগ! এখানে আপনি তৃতীয় লাইন থেকে প্রথমটি বিয়োগ করতে প্রলুব্ধ হতে পারেন; আমি এটিকে বিয়োগ না করার পরামর্শ দিচ্ছি - ত্রুটির ঝুঁকি অনেক বেড়ে যায়। শুধু এটা ভাঁজ! (2) দ্বিতীয় লাইনের চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে (-1 দ্বারা গুণ করা হয়েছে)। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইন অদলবদল করা হয়েছে. বিঃদ্রঃ , যে "পদক্ষেপে" আমরা শুধুমাত্র একটির সাথেই সন্তুষ্ট নয়, -1 এর সাথেও, যা আরও বেশি সুবিধাজনক। (3) দ্বিতীয় লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছে, 5 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। (4) দ্বিতীয় লাইনের চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে (-1 দ্বারা গুণিত)। তৃতীয় লাইনটি 14 দ্বারা বিভক্ত ছিল।

বিপরীত:

উত্তর : .

উদাহরণ 4: সমাধান : আসুন আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি এবং প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসি:

সঞ্চালিত রূপান্তর: (1) প্রথম লাইনে একটি দ্বিতীয় লাইন যোগ করা হয়েছে। এইভাবে, পছন্দসই ইউনিট উপরের বাম "ধাপে" সংগঠিত হয়। (2) 7 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল। 6 দ্বারা গুণ করা প্রথম লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল।

দ্বিতীয় "পদক্ষেপ" দিয়ে সবকিছু খারাপ হয়ে যায় , এর জন্য "প্রার্থী" হল 17 এবং 23 নম্বর, এবং আমাদের একটি বা -1 প্রয়োজন৷ রূপান্তর (3) এবং (4) কাঙ্ক্ষিত ইউনিট প্রাপ্ত করার লক্ষ্যে থাকবে (3) দ্বিতীয় লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছে, -1 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। (4) তৃতীয় লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছে, -3 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। দ্বিতীয় ধাপে প্রয়োজনীয় জিনিসপত্র পাওয়া গেছে। . (5) দ্বিতীয় লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছে, 6 দিয়ে গুণ করা হয়েছে। (6) দ্বিতীয় লাইনটিকে –1 দ্বারা গুণ করা হয়েছে, তৃতীয় লাইনটিকে -83 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে।

বিপরীত:

উত্তর :

উদাহরণ 5: সমাধান : আসুন আমরা সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স লিখি এবং প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসি:

সঞ্চালিত রূপান্তর: (1) প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইন অদলবদল করা হয়েছে। (2) প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল, -2 দ্বারা গুণ করা হয়েছিল। প্রথম লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল, -2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। প্রথম লাইনটি চতুর্থ লাইনে যোগ করা হয়েছিল, –3 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। (3) দ্বিতীয় লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছে, 4 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। দ্বিতীয় লাইনটি চতুর্থ লাইনে যোগ করা হয়েছে, –1 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। (4) দ্বিতীয় লাইনের চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে। চতুর্থ লাইনটি 3 দ্বারা ভাগ করা হয়েছিল এবং তৃতীয় লাইনের জায়গায় স্থাপন করা হয়েছিল। (5) তৃতীয় লাইনটি চতুর্থ লাইনে যোগ করা হয়েছে, –5 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

বিপরীত:

উত্তর :

সিস্টেম দেওয়া যাক, ∆≠0. (1)
গাউস পদ্ধতিক্রমানুসারে অজানাকে নির্মূল করার একটি পদ্ধতি।

গাউস পদ্ধতির সারমর্ম হল (1) একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স সহ একটি সিস্টেমে রূপান্তর করা, যেখান থেকে সমস্ত অজানা মানগুলি ক্রমানুসারে (বিপরীতভাবে) প্রাপ্ত হয়। আসুন গণনামূলক স্কিমগুলির একটি বিবেচনা করি। এই সার্কিটকে বলা হয় একক বিভাগ সার্কিট। তাহলে আসুন এই চিত্রটি দেখি। একটি 11 ≠0 (প্রধান উপাদান) প্রথম সমীকরণটিকে 11 দ্বারা ভাগ করা যাক। আমরা পেতে
(2)
সমীকরণ (2) ব্যবহার করে, সিস্টেমের অবশিষ্ট সমীকরণগুলি থেকে অজানা x 1 বাদ দেওয়া সহজ (এটি করার জন্য, প্রতিটি সমীকরণ থেকে সমীকরণ (2) বিয়োগ করা যথেষ্ট, পূর্বে x 1 এর জন্য সংশ্লিষ্ট সহগ দ্বারা গুণ করা হয়েছিল) , অর্থাৎ, প্রথম ধাপে আমরা পাই
.
অন্য কথায়, ধাপ 1-এ, পরবর্তী সারির প্রতিটি উপাদান, দ্বিতীয় থেকে শুরু করে, মূল উপাদান এবং প্রথম কলাম এবং প্রথম (রূপান্তরিত) সারির "প্রক্ষেপণ" এর গুণফলের মধ্যে পার্থক্যের সমান।
এটি অনুসরণ করে, প্রথম সমীকরণটি একা রেখে, আমরা প্রথম ধাপে প্রাপ্ত সিস্টেমের অবশিষ্ট সমীকরণগুলির উপর একটি অনুরূপ রূপান্তর সম্পাদন করি: আমরা তাদের মধ্যে থেকে অগ্রণী উপাদান সহ সমীকরণটি নির্বাচন করি এবং এর সাহায্যে, অবশিষ্ট থেকে x 2 বাদ দিই। সমীকরণ (ধাপ 2)।
n ধাপের পরে, (1) এর পরিবর্তে, আমরা একটি সমতুল্য সিস্টেম পাই
(3)
এইভাবে, প্রথম পর্যায়ে আমরা একটি ত্রিভুজাকার সিস্টেম (3) পাই। এই পর্যায়কে বলা হয় ফরোয়ার্ড স্ট্রোক।
দ্বিতীয় পর্যায়ে (বিপরীত), আমরা ক্রমানুসারে (3) থেকে x n, x n -1, ..., x 1 মানগুলি খুঁজে পাই।
ফলস্বরূপ সমাধানটিকে x 0 হিসাবে চিহ্নিত করা যাক। তারপর পার্থক্য ε=b-A x 0 অবশেষ বলা হয়.
যদি ε=0 হয়, তাহলে পাওয়া সমাধান x 0 সঠিক।

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা দুটি পর্যায়ে সঞ্চালিত হয়:

1. প্রথম ধাপকে বলা হয় ফরোয়ার্ড পদ্ধতি। প্রথম পর্যায়ে, মূল সিস্টেমটি একটি ত্রিভুজাকার আকারে রূপান্তরিত হয়।
2. দ্বিতীয় পর্যায়টিকে বলা হয় বিপরীত স্ট্রোক। দ্বিতীয় পর্যায়ে, মূলটির সমতুল্য একটি ত্রিভুজাকার সিস্টেম সমাধান করা হয়।

a 11, a 22, ... সহগকে অগ্রণী মৌল বলা হয়।
প্রতিটি ধাপে, নেতৃস্থানীয় উপাদানটি অশূন্য বলে ধরে নেওয়া হয়েছিল। যদি এটি না হয়, তাহলে অন্য কোনো উপাদান একটি অগ্রণী উপাদান হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে, যেন সিস্টেমের সমীকরণগুলি পুনর্বিন্যাস করা হয়।

গাউস পদ্ধতির উদ্দেশ্য

গাউস পদ্ধতিটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। সরাসরি সমাধান পদ্ধতি বোঝায়।

গাউসিয়ান পদ্ধতির প্রকারভেদ

1. শাস্ত্রীয় গাউসিয়ান পদ্ধতি;
2. গাউস পদ্ধতির পরিবর্তন। গাউসিয়ান পদ্ধতির পরিবর্তনগুলির মধ্যে একটি হল প্রধান উপাদানের পছন্দ সহ একটি স্কিম। প্রধান উপাদানের পছন্দের সাথে গাউস পদ্ধতির একটি বৈশিষ্ট্য হল সমীকরণগুলির এমন একটি পুনর্বিন্যাস যাতে kth ধাপে অগ্রণী উপাদানটি kth কলামের বৃহত্তম উপাদান হিসাবে পরিণত হয়।
3. জর্ডানো-গাউস পদ্ধতি;

জর্ডানো-গাউস পদ্ধতি এবং ক্লাসিক্যাল পদ্ধতির মধ্যে পার্থক্য গাউস পদ্ধতিআয়তক্ষেত্রের নিয়ম প্রয়োগ করে, যখন সমাধান অনুসন্ধানের দিকটি প্রধান তির্যক (পরিচয় ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর) বরাবর ঘটে। গাউস পদ্ধতিতে, সমাধান অনুসন্ধানের দিকটি কলাম বরাবর ঘটে (একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স সহ একটি সিস্টেমে রূপান্তর)।
এর পার্থক্য চিত্রিত করা যাক জর্ডানো-গাউস পদ্ধতিউদাহরণ সহ গাউসিয়ান পদ্ধতি থেকে।

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমাধানের উদাহরণ
আসুন সিস্টেমটি সমাধান করি:

গণনার সুবিধার জন্য, আসুন লাইনগুলি অদলবদল করি:

২য় লাইনকে (2) দিয়ে গুণ করি। ২য় লাইনে ৩য় লাইন যোগ করুন

২য় লাইনটিকে (-1) দ্বারা গুণ করুন। ১ম লাইনে ২য় লাইন যোগ করুন

1 ম লাইন থেকে আমরা x 3 প্রকাশ করি:
2য় লাইন থেকে আমরা x 2 প্রকাশ করি:
3য় লাইন থেকে আমরা x 1 প্রকাশ করি:

জর্ডানো-গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমাধানের উদাহরণ
জর্ডানো-গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে একই SLAE সমাধান করা যাক।

আমরা ক্রমানুসারে সমাধানকারী উপাদান RE নির্বাচন করব, যা ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপর অবস্থিত।
রেজোলিউশন উপাদান সমান (1)।



NE = SE - (A*B)/RE
RE - সমাধানকারী উপাদান (1), A এবং B - ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি STE এবং RE উপাদানগুলির সাথে একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করে।
আসুন একটি টেবিল আকারে প্রতিটি উপাদানের গণনা উপস্থাপন করা যাক:

x 1	x 2	x 3	খ
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

সমাধানকারী উপাদানটি (3) এর সমান।
সমাধানকারী উপাদানের জায়গায় আমরা 1 পাই এবং কলামেই আমরা শূন্য লিখি।
কলাম B এর উপাদান সহ ম্যাট্রিক্সের অন্যান্য সমস্ত উপাদান আয়তক্ষেত্রের নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়।
এটি করার জন্য, আমরা চারটি সংখ্যা নির্বাচন করি যা আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত এবং সর্বদা সমাধানকারী উপাদান RE অন্তর্ভুক্ত করে।

x 1	x 2	x 3	খ
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

রেজোলিউশন উপাদান হল (-4)।
সমাধানকারী উপাদানের জায়গায় আমরা 1 পাই এবং কলামেই আমরা শূন্য লিখি।
কলাম B এর উপাদান সহ ম্যাট্রিক্সের অন্যান্য সমস্ত উপাদান আয়তক্ষেত্রের নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়।
এটি করার জন্য, আমরা চারটি সংখ্যা নির্বাচন করি যা আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত এবং সর্বদা সমাধানকারী উপাদান RE অন্তর্ভুক্ত করে।
আসুন একটি টেবিল আকারে প্রতিটি উপাদানের গণনা উপস্থাপন করা যাক:

x 1	x 2	x 3	খ
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

উত্তর: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

গাউসিয়ান পদ্ধতির বাস্তবায়ন

গাউসিয়ান পদ্ধতিটি অনেক প্রোগ্রামিং ভাষায় প্রয়োগ করা হয়, বিশেষ করে: প্যাসকেল, সি++, পিএইচপি, ডেলফি, এবং গাউসিয়ান পদ্ধতির একটি অনলাইন বাস্তবায়নও রয়েছে।

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে

গেম তত্ত্বে গাউস পদ্ধতির প্রয়োগ

গেম তত্ত্বে, যখন একজন খেলোয়াড়ের সর্বাধিক সর্বোত্তম কৌশল খুঁজে বের করা হয়, তখন সমীকরণের একটি সিস্টেম সংকলিত হয়, যা গাউসিয়ান পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয়।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানে গাউস পদ্ধতির প্রয়োগ

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজতে, প্রথমে লিখিত আংশিক সমাধান (y=f(A,B,C,D)) এর জন্য উপযুক্ত ডিগ্রির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন, যেগুলি প্রতিস্থাপিত হয় মূল সমীকরণ. খোঁজার পাশে ভেরিয়েবল A, B, C, Dসমীকরণের একটি সিস্টেম গাউসিয়ান পদ্ধতি দ্বারা সংকলিত এবং সমাধান করা হয়।

লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ে জর্ডানো-গাউস পদ্ধতির প্রয়োগ

ভিতরে রৈখিক প্রোগ্রামিং, বিশেষ করে, সিমপ্লেক্স পদ্ধতিতে, আয়তক্ষেত্র নিয়ম, যা জর্ডানো-গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে, প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে সিমপ্লেক্স টেবিলকে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত হয়।

গাউসিয়ান পদ্ধতির সংজ্ঞা ও বর্ণনা

রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য গাউসিয়ান রূপান্তর পদ্ধতি (একটি সমীকরণ বা ম্যাট্রিক্স থেকে অজানা ভেরিয়েবলের ক্রমিক নির্মূল পদ্ধতি হিসাবেও পরিচিত) হল ক্লাসিক পদ্ধতিওম সিস্টেম সমাধান বীজগণিত সমীকরণ(SLAU)। এই শাস্ত্রীয় পদ্ধতিটি প্রাপ্তির মতো সমস্যাগুলি সমাধান করতেও ব্যবহৃত হয় বিপরীত ম্যাট্রিক্সএবং ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করা।

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে রূপান্তরের মধ্যে রয়েছে রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেমে ছোট (প্রাথমিক) অনুক্রমিক পরিবর্তনগুলি, যা মূলের সমতুল্য সমীকরণের একটি নতুন ত্রিভুজাকার সিস্টেম গঠনের সাথে উপরের থেকে নীচের দিকে চলকগুলিকে নির্মূল করে। এক.

সংজ্ঞা 1

সমাধান এই অংশ বলা হয় ফরোয়ার্ড স্ট্রোকগাউসিয়ান সমাধান, যেহেতু পুরো প্রক্রিয়াটি উপরে থেকে নীচে বাহিত হয়।

সমীকরণের মূল সিস্টেমটিকে ত্রিভুজাকারে হ্রাস করার পরে, আমরা সবগুলি খুঁজে পাই সিস্টেম ভেরিয়েবলনিচ থেকে উপরে (অর্থাৎ, পাওয়া প্রথম ভেরিয়েবলগুলো ঠিক সিস্টেম বা ম্যাট্রিক্সের শেষ লাইনগুলো দখল করে)। দ্রবণের এই অংশটি গাউসিয়ান দ্রবণের বিপরীত হিসাবেও পরিচিত। তার অ্যালগরিদমটি নিম্নরূপ: প্রথমে, সমীকরণ বা ম্যাট্রিক্সের সিস্টেমের নীচের দিকের ভেরিয়েবলগুলি গণনা করা হয়, তারপর ফলস্বরূপ মানগুলিকে উচ্চতর প্রতিস্থাপিত করা হয় এবং এইভাবে অন্য একটি পরিবর্তনশীল পাওয়া যায়, ইত্যাদি।

গাউসিয়ান পদ্ধতির অ্যালগরিদমের বর্ণনা

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের একটি সিস্টেমের সাধারণ সমাধানের জন্য ক্রিয়াগুলির ক্রমটি SLAE এর উপর ভিত্তি করে ম্যাট্রিক্সে ফরোয়ার্ড এবং ব্যাকওয়ার্ড স্ট্রোকগুলিকে পর্যায়ক্রমে প্রয়োগ করে। সমীকরণের প্রাথমিক সিস্টেমের নিম্নলিখিত ফর্ম থাকতে দিন:

$\begin(কেস) a_(11) \cdot x_1 +... a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \শেষ(কেস)$

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে SLAEs সমাধান করতে, একটি ম্যাট্রিক্স আকারে সমীকরণের মূল সিস্টেমটি লিখতে হবে:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

ম্যাট্রিক্স $A$ কে প্রধান ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং ক্রমানুসারে লেখা ভেরিয়েবলের সহগকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং $b$ কে এর মুক্ত পদের কলাম বলা হয়। ম্যাট্রিক্স $A$, মুক্ত পদের একটি কলাম সহ একটি বারের মাধ্যমে লেখা, একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স বলা হয়:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(অ্যারে)$

এখন এটি প্রয়োজনীয়, সমীকরণের সিস্টেমে প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে (বা ম্যাট্রিক্সে, যেহেতু এটি আরও সুবিধাজনক), এটিকে নিম্নলিখিত ফর্মটিতে আনার জন্য:

$\begin(কেস) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))... α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2))। ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \ শেষ(কেস)$ (1)

সমীকরণের রূপান্তরিত সিস্টেমের সহগ (1) থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সকে একটি স্টেপ ম্যাট্রিক্স বলা হয়; ধাপ ম্যাট্রিক্স সাধারণত এইরকম দেখায়:

$A = \begin(অ্যারে)(ccc|c) a_(11) এবং a_(12) এবং a_(13) এবং b_1 \\ 0 এবং a_(22) এবং a_(23) এবং b_2\\ 0 এবং 0 & a_(33) এবং b_3 \end(অ্যারে)$

এই ম্যাট্রিক্সগুলি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির সেট দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

1. এর সমস্ত শূন্য রেখা অ-শূন্য রেখার পরে আসে
2. যদি $k$ নম্বর সহ একটি ম্যাট্রিক্সের কিছু সারি অ-শূন্য হয়, তবে একই ম্যাট্রিক্সের পূর্ববর্তী সারিতে $k$ নম্বরের তুলনায় কম শূন্য রয়েছে।

ধাপ ম্যাট্রিক্স পাওয়ার পরে, অবশিষ্ট সমীকরণগুলিতে (শেষ থেকে শুরু করে) ফলাফলের ভেরিয়েবলগুলি প্রতিস্থাপন করা এবং ভেরিয়েবলগুলির অবশিষ্ট মানগুলি প্রাপ্ত করা প্রয়োজন।

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় মৌলিক নিয়ম এবং অনুমোদিত রূপান্তর

এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্স বা সমীকরণের সিস্টেমকে সরল করার সময়, আপনাকে শুধুমাত্র প্রাথমিক রূপান্তরগুলি ব্যবহার করতে হবে।

এই ধরনের রূপান্তরগুলিকে এমন ক্রিয়াকলাপ হিসাবে বিবেচনা করা হয় যা এর অর্থ পরিবর্তন না করেই একটি ম্যাট্রিক্স বা সমীকরণের সিস্টেমে প্রয়োগ করা যেতে পারে:

• বেশ কয়েকটি লাইনের পুনর্বিন্যাস,
• ম্যাট্রিক্সের এক সারি থেকে অন্য সারি যোগ বা বিয়োগ করা,
• শূন্যের সমান নয় এমন একটি ধ্রুবক দ্বারা একটি স্ট্রিংকে গুণ বা ভাগ করা,
• কেবলমাত্র শূন্য সমন্বিত একটি লাইন, যা সিস্টেমটি গণনা এবং সরলীকরণের প্রক্রিয়ায় প্রাপ্ত, অবশ্যই মুছে ফেলতে হবে,
• আপনাকে অপ্রয়োজনীয় আনুপাতিক রেখাগুলিও অপসারণ করতে হবে, সিস্টেমের জন্য সহগ সহ একমাত্র নির্বাচন করুন যা আরও গণনার জন্য আরও উপযুক্ত এবং সুবিধাজনক।

সমস্ত প্রাথমিক রূপান্তর বিপরীত হয়.

সরল গাউস রূপান্তর পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণ সমাধান করার সময় উদ্ভূত তিনটি প্রধান ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ

সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় তিনটি ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়:

1. যখন একটি সিস্টেম অসামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, অর্থাৎ এটির কোন সমাধান থাকে না
2. সমীকরণের সিস্টেমের একটি সমাধান রয়েছে এবং একটি অনন্য, এবং ম্যাট্রিক্সে অ-শূন্য সারি এবং কলামগুলির সংখ্যা একে অপরের সমান।
3. সিস্টেমের একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ বা সেট আছে সম্ভাব্য সমাধান, এবং এতে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে কম।

একটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেমের সাথে একটি সমাধানের ফলাফল

এই বিকল্পের জন্য, সমাধান করার সময় ম্যাট্রিক্স সমীকরণগাউস পদ্ধতিটি সমতা পূরণের অসম্ভবতার সাথে কিছু লাইন পাওয়ার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। অতএব, যদি অন্তত একটি ভুল সমতা দেখা দেয়, ফলাফল এবং মূল সিস্টেমের সমাধান থাকে না, তারা ধারণ করা অন্যান্য সমীকরণ নির্বিশেষে। একটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্সের একটি উদাহরণ:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end(array)$

শেষ লাইনে একটি অসম্ভব সমতা দেখা দিয়েছে: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$।

সমীকরণের একটি সিস্টেম যার একমাত্র সমাধান রয়েছে

এই সিস্টেমগুলি, একটি স্টেপ ম্যাট্রিক্সে হ্রাস করার পরে এবং শূন্য সহ সারিগুলি সরানোর পরে, মূল ম্যাট্রিক্সে একই সংখ্যক সারি এবং কলাম থাকে। এখানে সহজ উদাহরণযেমন একটি সিস্টেম:

$\begin(কেস) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \শেষ(কেস)$

আসুন এটি একটি ম্যাট্রিক্স আকারে লিখি:

$\begin(অ্যারে)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(অ্যারে)$

দ্বিতীয় সারির প্রথম ঘরটিকে শূন্যে আনতে, আমরা উপরের সারিটিকে $-2$ দিয়ে গুণ করি এবং ম্যাট্রিক্সের নীচের সারি থেকে বিয়োগ করি এবং উপরের সারিটিকে তার আসল আকারে রেখে দেই, ফলস্বরূপ আমাদের নিম্নলিখিতগুলি রয়েছে :

$\begin(অ্যারে)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(অ্যারে)$

এই উদাহরণটি একটি সিস্টেম হিসাবে লেখা যেতে পারে:

$\begin(কেস) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \শেষ(কেস)$

নিম্ন সমীকরণটি $x$-এর জন্য নিম্নলিখিত মান প্রদান করে: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$। এই মানটিকে উপরের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, আমরা $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ পাই।

অনেক সম্ভাব্য সমাধান সহ একটি সিস্টেম

এই সিস্টেমটি কলামের সংখ্যার তুলনায় উল্লেখযোগ্য সংখ্যক সারি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (প্রধান ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি বিবেচনায় নেওয়া হয়)।

এই ধরনের সিস্টেমের ভেরিয়েবলগুলি দুটি প্রকারে বিভক্ত: মৌলিক এবং বিনামূল্যে। এই জাতীয় সিস্টেমকে রূপান্তর করার সময়, এতে থাকা প্রধান ভেরিয়েবলগুলিকে অবশ্যই বাম অঞ্চলে "=" চিহ্ন পর্যন্ত ছেড়ে দিতে হবে এবং অবশিষ্ট ভেরিয়েবলগুলিকে স্থানান্তর করতে হবে ডান পাশসমতা

এই ধরনের সিস্টেমের শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট সাধারণ সমাধান আছে।

এটা বাছাই করা যাক নিম্নলিখিত সিস্টেমসমীকরণ:

$\begin(কেস) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \শেষ(কেস)$

আসুন এটি একটি ম্যাট্রিক্স আকারে লিখি:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(অ্যারে)$

আমাদের টাস্ক সিস্টেমের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করা হয়. এই ম্যাট্রিক্সের জন্য, ভিত্তি ভেরিয়েবল হবে $y_1$ এবং $y_3$ ($y_1$-এর জন্য - যেহেতু এটি প্রথমে আসে, এবং $y_3$-এর ক্ষেত্রে - এটি শূন্যের পরে অবস্থিত)।

ভিত্তি ভেরিয়েবল হিসাবে, আমরা ঠিক সেগুলি বেছে নিই যেগুলি সারিতে প্রথম এবং শূন্যের সমান নয়।

অবশিষ্ট ভেরিয়েবলগুলিকে বলা হয় বিনামূল্যে; আমাদের তাদের মাধ্যমে মৌলিকগুলি প্রকাশ করতে হবে।

তথাকথিত বিপরীত স্ট্রোক ব্যবহার করে, আমরা নীচে থেকে উপরে সিস্টেম বিশ্লেষণ করি; এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে সিস্টেমের নীচের লাইন থেকে $y_3$ প্রকাশ করি:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$।

এখন আমরা $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) সিস্টেমের উপরের সমীকরণে প্রকাশ করা $y_3$ প্রতিস্থাপন করি + y_4 = 1$

আমরা বিনামূল্যের ভেরিয়েবলের পরিপ্রেক্ষিতে $y_1$ প্রকাশ করি $y_2$ এবং $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

সমাধান প্রস্তুত।

উদাহরণ 1

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে স্লাউ সমাধান করুন। উদাহরণ। গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে 3 বাই 3 ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রদত্ত রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের একটি উদাহরণ

$\begin(কেস) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \শেষ(কেস)$

আসুন একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স আকারে আমাদের সিস্টেম লিখি:

$\begin(অ্যারে)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(অ্যারে)$

এখন, সুবিধার জন্য এবং ব্যবহারিকতার জন্য, আপনাকে ম্যাট্রিক্সকে রূপান্তর করতে হবে যাতে $1$ সবচেয়ে বাইরের কলামের উপরের কোণে থাকে।

এটি করার জন্য, 1 ম লাইনে আপনাকে মাঝখানে থেকে লাইনটি যোগ করতে হবে, $-1$ দ্বারা গুণ করে, এবং মাঝের লাইনটি নিজেই লিখতে হবে, এটি দেখা যাচ্ছে:

$\begin(অ্যারে)(cc

$\begin(অ্যারে)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(অ্যারে) $

উপরের এবং শেষ লাইনগুলিকে $-1$ দ্বারা গুণ করুন এবং শেষ এবং মধ্যম লাইনগুলিকেও অদলবদল করুন:

$\begin(অ্যারে)(cc

$\begin(অ্যারে)(cc

এবং শেষ লাইনটিকে $3$ দ্বারা ভাগ করুন:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

আমরা সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমটি পাই, মূলটির সমতুল্য:

$\শুরু(কেস) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \শেষ(কেস)$

উপরের সমীকরণ থেকে আমরা $x_1$ প্রকাশ করি:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$।

উদাহরণ 2

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে 4 বাই 4 ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত একটি সিস্টেম সমাধানের একটি উদাহরণ

$\begin(array)(cccc 2 এবং 37 \\ \end(অ্যারে)$।

শুরুতে, আমরা উপরের বাম কোণে $1$ পেতে এটি অনুসরণ করে উপরের লাইনগুলি অদলবদল করি:

$\begin(array)(cccc 2 এবং 37 \\ \end(অ্যারে)$।

এখন উপরের লাইনটিকে $-2$ দ্বারা গুণ করুন এবং 2য় এবং 3য় যোগ করুন। ৪র্থে আমরা ১ম লাইন যোগ করি, $-3$ দিয়ে গুণ করে:

$\begin(অ্যারে)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 এবং 3 এবং -1 এবং 4 \\ \end(অ্যারে)$

এখন 3 নম্বর লাইনে আমরা $4$ দ্বারা গুন করে লাইন 2 যোগ করি, এবং লাইন 4-এ আমরা $-1$ দ্বারা গুন করে লাইন 2 যোগ করি।

$\begin(অ্যারে)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 এবং 0 এবং 6 \\ \end(অ্যারে)$

আমরা লাইন 2 কে $-1$ দ্বারা গুন করি এবং লাইন 4 কে $3$ দ্বারা ভাগ করি এবং লাইন 3 প্রতিস্থাপন করি।

$\begin(অ্যারে)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 এবং 10 \\ \end(অ্যারে)$

এখন আমরা শেষ লাইনে পেনাল্টিমেট যোগ করি, $-5$ দিয়ে গুণ করে।

$\begin(অ্যারে)(cccc 1 এবং 0 \\ \end(অ্যারে)$

আমরা সমীকরণের ফলস্বরূপ সিস্টেমটি সমাধান করি:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(কেস)$