দ্বিঘাত সমীকরণ - সমাধান করা সহজ! *এরপরে "KU" হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে।বন্ধুরা, মনে হবে গণিতে এমন সমীকরণ সমাধানের চেয়ে সহজ আর কিছু হতে পারে না। কিন্তু কিছু আমাকে বলেছে যে তার সাথে অনেকের সমস্যা আছে। ইয়ানডেক্স প্রতি মাসে কতগুলি অন-ডিমান্ড ইমপ্রেশন দেয় তা আমি দেখার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। এখানে কি ঘটেছে, দেখুন:
এর মানে কী? এর মানে হল যে প্রতি মাসে প্রায় 70,000 মানুষ অনুসন্ধান করছে এই তথ্য, এই গ্রীষ্মে এর সাথে কি করার আছে এবং এর মধ্যে কি হবে স্কুল বছর- দ্বিগুণ অনুরোধ থাকবে। এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ সেই ছেলেরা এবং মেয়েরা যারা অনেক আগে স্কুল থেকে স্নাতক হয়েছিলেন এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি নিচ্ছেন তারা এই তথ্যটি খুঁজছেন এবং স্কুলছাত্ররাও তাদের স্মৃতিকে সতেজ করার চেষ্টা করে।
এই সমীকরণটি কীভাবে সমাধান করা যায় তা আপনাকে অনেক সাইট রয়েছে তা সত্ত্বেও, আমি উপাদানটি অবদান এবং প্রকাশ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। প্রথমত, আমি চাই ভিজিটররা এই অনুরোধের ভিত্তিতে আমার সাইটে আসুক; দ্বিতীয়ত, অন্যান্য নিবন্ধে, যখন “KU” বিষয় আসবে, আমি এই নিবন্ধটির একটি লিঙ্ক প্রদান করব; তৃতীয়ত, আমি আপনাকে তার সমাধান সম্পর্কে আরও কিছু বলব যা সাধারণত অন্যান্য সাইটে বলা হয়। চল শুরু করি!নিবন্ধের বিষয়বস্তু:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ:
যেখানে সহগ a,খএবং c হল নির্বিচারে সংখ্যা, a≠0 সহ।
স্কুল কোর্সে, উপাদানটি নিম্নলিখিত আকারে দেওয়া হয় - সমীকরণগুলি তিনটি শ্রেণীতে বিভক্ত:
1. তাদের দুটি শিকড় আছে।
2. *মাত্র একটি মূল আছে।
3. তাদের কোন শিকড় নেই। এটি এখানে বিশেষভাবে লক্ষণীয় যে তাদের আসল শিকড় নেই
কিভাবে শিকড় গণনা করা হয়? শুধু!
আমরা বৈষম্যকারীর হিসাব করি। এই "ভয়ঙ্কর" শব্দের নীচে একটি খুব সহজ সূত্র রয়েছে:
মূল সূত্রগুলি নিম্নরূপ:
* আপনাকে এই সূত্রগুলি হৃদয় দিয়ে জানতে হবে।
আপনি অবিলম্বে লিখতে এবং সমাধান করতে পারেন:
উদাহরণ:
1. যদি D > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি মূল আছে।
2. যদি D = 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির একটি মূল আছে।
3. যদি ডি< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
আসুন সমীকরণটি দেখি:
দ্বারা এই উপলক্ষে, যখন বৈষম্যকারী শূন্য হয়, স্কুল কোর্স বলে যে ফলাফলটি একটি মূল, এখানে এটি নয়টির সমান। সবকিছু ঠিক আছে, তাই, কিন্তু...
এই ধারণা কিছুটা ভুল। আসলে, দুটি শিকড় আছে। হ্যাঁ, হ্যাঁ, অবাক হবেন না, আপনি দুটি সমান শিকড় পাবেন এবং গাণিতিকভাবে সুনির্দিষ্ট হতে হলে উত্তরটি দুটি মূল লিখতে হবে:
x 1 = 3 x 2 = 3
কিন্তু এটি তাই - একটি ছোট ডিগ্রেশন। স্কুলে আপনি এটি লিখতে পারেন এবং বলতে পারেন যে একটি মূল আছে।
এখন পরবর্তী উদাহরণ:
আমরা জানি, এর মূল ঋণাত্মক সংখ্যানিষ্কাশিত হয় না, তাই সমাধান এক্ষেত্রেনা.
এটাই পুরো সিদ্ধান্ত প্রক্রিয়া।
দ্বিঘাত ফাংশন.
এটি জ্যামিতিকভাবে সমাধানটি দেখতে কেমন তা দেখায়। এটি বোঝা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ (ভবিষ্যতে, একটি নিবন্ধে আমরা দ্বিঘাত অসমতার সমাধানটি বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব)।
এটি ফর্মের একটি ফাংশন:
যেখানে x এবং y ভেরিয়েবল
a, b, c – প্রদত্ত সংখ্যা, একটি ≠ 0 সহ
গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা:
অর্থাৎ, এটা দেখা যাচ্ছে যে শূন্যের সমান “y” সহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে, আমরা x অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে পাই। এই পয়েন্টগুলির মধ্যে দুটি হতে পারে (বৈষম্যকারীটি ইতিবাচক), একটি (বৈষম্যকারী শূন্য) এবং কোনটিই (বৈষম্যকারী নেতিবাচক)। সম্পর্কে বিস্তারিত দ্বিঘাত ফাংশন দেখতে পারেনইন্না ফেল্ডম্যানের নিবন্ধ।
আসুন উদাহরণ দেখি:
উদাহরণ 1: সমাধান করুন 2x 2 +8 এক্স–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
উত্তরঃ x 1 = 8 x 2 = –12
*এটা অবিলম্বে ছেড়ে দেওয়া সম্ভব ছিল এবং ডান পাশসমীকরণটিকে 2 দ্বারা ভাগ করুন, অর্থাৎ এটিকে সরলীকরণ করুন। হিসাব সহজ হবে।
উদাহরণ 2: সিদ্ধান্ত নিন x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
আমরা খুঁজে পেয়েছি যে x 1 = 11 এবং x 2 = 11
উত্তরে x = 11 লেখা জায়েজ।
উত্তরঃ x = 11
উদাহরণ 3: সিদ্ধান্ত নিন x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
বৈষম্যকারী নেতিবাচক, বাস্তব সংখ্যায় কোন সমাধান নেই।
উত্তরঃ কোন সমাধান নেই
বৈষম্যকারী নেতিবাচক। একটি সমাধান আছে!
এখানে আমরা যখন একটি নেতিবাচক বৈষম্যকারী প্রাপ্ত হয় তখন সমীকরণটি সমাধান করার বিষয়ে কথা বলব। আপনি কি সম্পর্কে কিছু জানেন জটিল সংখ্যা? কেন এবং কোথায় তারা উদ্ভূত হয়েছিল এবং গণিতে তাদের নির্দিষ্ট ভূমিকা এবং প্রয়োজনীয়তা কী তা নিয়ে আমি এখানে বিশদে যাব না; এটি একটি বড় পৃথক নিবন্ধের জন্য একটি বিষয়।
একটি জটিল সংখ্যার ধারণা।
একটু তত্ত্ব।
একটি জটিল সংখ্যা z হল ফর্মের একটি সংখ্যা
z = a + bi
যেখানে a এবং b বাস্তব সংখ্যা, i হল তথাকথিত কাল্পনিক একক।
a+bi - এটি একটি একক নম্বর, একটি সংযোজন নয়৷
কাল্পনিক একক বিয়োগ একের মূলের সমান:
এখন সমীকরণ বিবেচনা করুন:
আমরা দুটি সংযোজিত শিকড় পাই।
অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ।
আসুন বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক, এটি তখন হয় যখন সহগ "b" বা "c" শূন্যের সমান হয় (বা উভয়ই শূন্যের সমান)। এগুলি কোনও বৈষম্য ছাড়াই সহজেই সমাধান করা যেতে পারে।
কেস 1. সহগ b = 0।
সমীকরণটি হয়ে যায়:
আসুন রূপান্তর করি:
উদাহরণ:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
কেস 2. সহগ c = 0।
সমীকরণটি হয়ে যায়:
আসুন রূপান্তর এবং ফ্যাক্টরাইজ করি:
* গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হলে পণ্যটি শূন্যের সমান।
উদাহরণ:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 বা x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
কেস 3. সহগ b = 0 এবং c = 0।
এখানে এটা স্পষ্ট যে সমীকরণের সমাধান সর্বদা x = 0 হবে।
সহগগুলির দরকারী বৈশিষ্ট্য এবং নিদর্শন।
এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আপনাকে বড় সহগ সহ সমীকরণগুলি সমাধান করতে দেয়।
কএক্স 2 + bx+ গ=0 সমতা ধরে রাখে
ক + খ+ গ = 0,যে
- যদি সমীকরণের সহগগুলির জন্য কএক্স 2 + bx+ গ=0 সমতা ধরে রাখে
ক+ গ =খ, যে
এই বৈশিষ্ট্যগুলি একটি নির্দিষ্ট ধরণের সমীকরণ সমাধান করতে সহায়তা করে।
উদাহরণ 1: 5001 এক্স 2 –4995 এক্স – 6=0
মতভেদের যোগফল হল 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, যার অর্থ
উদাহরণ 2: 2501 এক্স 2 +2507 এক্স+6=0
সমতা ধরে রাখে ক+ গ =খ, মানে
সহগগুলির নিয়মিততা।
1. যদি ax 2 + bx + c = 0 সমীকরণে "b" সহগ সমান হয় (a 2 +1), এবং সহগ "c" সংখ্যাগতভাবে সহগ "a" এর সমান হয়, তাহলে এর শিকড় সমান
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
উদাহরণ। 6x 2 + 37x + 6 = 0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন।
x 1 = –6 x 2 = –1/6।
2. যদি ax 2 – bx + c = 0 সমীকরণে "b" সহগ সমান হয় (a 2 +1), এবং সহগ "c" সংখ্যাগতভাবে সহগ "a" এর সমান হয়, তাহলে এর শিকড় সমান
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a।
উদাহরণ। 15x 2 –226x +15 = 0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন।
x 1 = 15 x 2 = 1/15।
3. যদি Eq. ax 2 + bx – c = 0 সহগ "b" সমান (a 2 - 1), এবং সহগ "c" সংখ্যাগতভাবে সহগ "a" এর সমান, তাহলে এর শিকড় সমান
ax 2 + (a 2 –1) ∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a।
উদাহরণ। 17x 2 +288x – 17 = 0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন।
x 1 = – 17 x 2 = 1/17।
4. যদি ax 2 – bx – c = 0 সমীকরণে "b" সহগ সমান হয় (a 2 - 1), এবং সহগ c সংখ্যাগতভাবে সহগ "a" এর সমান হয়, তাহলে এর শিকড় সমান
ax 2 – (a 2 –1) ∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a।
উদাহরণ। 10x 2 – 99x –10 = 0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন।
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
ভিয়েতার উপপাদ্য।
ভিয়েতার উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছে বিখ্যাত ফরাসি গণিতবিদ ফ্রাঁসোয়া ভিয়েতার নামে। ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা একটি নির্বিচারে KU এর মূলের যোগফল এবং গুণফলকে এর সহগগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে পারি।
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
মোট, 14 নম্বরটি শুধুমাত্র 5 এবং 9 দেয়। এগুলি হল মূল। একটি নির্দিষ্ট দক্ষতার সাথে, উপস্থাপিত উপপাদ্যটি ব্যবহার করে, আপনি অবিলম্বে মৌখিকভাবে অনেক দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে পারেন।
Vieta এর উপপাদ্য, উপরন্তু. সুবিধাজনক কারণ সমাধান করার পরে দ্বিঘাত সমীকরণফলস্বরূপ শিকড়গুলি স্বাভাবিক উপায়ে পরীক্ষা করা যেতে পারে (একটি বৈষম্যকারীর মাধ্যমে)। আমি সবসময় এটি করার পরামর্শ দিই।
পরিবহন পদ্ধতি
এই পদ্ধতির সাহায্যে, সহগ "a" কে মুক্ত শব্দ দ্বারা গুণ করা হয়, যেন এটিকে "নিক্ষেপ করা হয়", তাই এটি বলা হয় "স্থানান্তর" পদ্ধতি।এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয় যখন সমীকরণের শিকড়গুলি ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সহজেই খুঁজে পাওয়া যায় এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, যখন বৈষম্যকারী একটি সঠিক বর্গ হয়।
যদি ক± b+c≠ 0, তারপর স্থানান্তর কৌশল ব্যবহার করা হয়, উদাহরণস্বরূপ:
2এক্স 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => এক্স 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
সমীকরণে ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে (2), এটা নির্ধারণ করা সহজ যে x 1 = 10 x 2 = 1
সমীকরণের ফলস্বরূপ মূলগুলি অবশ্যই 2 দ্বারা ভাগ করা উচিত (যেহেতু দুটিকে x 2 থেকে "নিক্ষেপ করা" হয়েছিল), আমরা পাই
x 1 = 5 x 2 = 0.5।
এর যৌক্তিকতা কি? দেখুন কি হচ্ছে.
সমীকরণ (1) এবং (2) এর বৈষম্য সমান:
আপনি যদি সমীকরণের শিকড়গুলি দেখেন তবে আপনি শুধুমাত্র বিভিন্ন হর পাবেন এবং ফলাফলটি x 2 এর সহগের উপর অবিকল নির্ভর করে:
দ্বিতীয় (পরিবর্তিত) শিকড় রয়েছে যা 2 গুণ বড়।
অতএব, আমরা ফলাফলকে 2 দ্বারা ভাগ করি।
*যদি আমরা তিনটি পুনরায় রোল করি, আমরা ফলাফলটিকে 3 দ্বারা ভাগ করব, ইত্যাদি।
উত্তরঃ x 1 = 5 x 2 = 0.5
বর্গ. ইউআর-অর্থাৎ এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা।
আমি আপনাকে এর গুরুত্ব সম্পর্কে সংক্ষেপে বলব - আপনি অবশ্যই দ্রুত এবং চিন্তা না করে সিদ্ধান্ত নিতে সক্ষম হবেন, আপনাকে হৃদয় দিয়ে শিকড় এবং বৈষম্যের সূত্রগুলি জানতে হবে। ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন টাস্কে অন্তর্ভুক্ত অনেক সমস্যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (জ্যামিতিক সমীকরণ অন্তর্ভুক্ত) সমাধানের জন্য ফুটে ওঠে।
লক্ষ্য করার মত কিছু!
1. একটি সমীকরণ লেখার ফর্ম "অন্তর্নিহিত" হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত এন্ট্রি সম্ভব:
15+ 9x 2 - 45x = 0 বা 15x+42+9x 2 - 45x=0 বা 15 -5x+10x 2 = 0।
আপনাকে তাকে নিয়ে আসতে হবে স্ট্যান্ডার্ড ভিউ(যাতে সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় বিভ্রান্ত না হয়)।
2. মনে রাখবেন যে x একটি অজানা পরিমাণ এবং এটি অন্য কোনো অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে - t, q, p, h এবং অন্যান্য।
এই নিবন্ধে আমরা অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধানের দিকে নজর দেব।
কিন্তু প্রথমে, আসুন পুনরাবৃত্তি করি কোন সমীকরণগুলোকে দ্বিঘাতক বলা হয়। ax 2 + bx + c = 0 ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে x একটি চলক এবং a, b এবং c সহগ কিছু সংখ্যা, এবং a ≠ 0, বলা হয় বর্গক্ষেত্র. যেমন আমরা দেখি, x 2-এর সহগ শূন্যের সমান নয়, এবং সেইজন্য x বা মুক্ত পদের সহগ শূন্যের সমান হতে পারে, এই ক্ষেত্রে আমরা একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ পাই।
অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ তিন প্রকার:
1) যদি b = 0, c ≠ 0, তাহলে ax 2 + c = 0;
2) যদি b ≠ 0, c = 0, তাহলে ax 2 + bx = 0;
3) যদি b = 0, c = 0, তাহলে ax 2 = 0।
- আসুন কিভাবে সমাধান করা যায় তা খুঁজে বের করা যাক ax 2 + c = 0 ফর্মের সমীকরণ।
সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, আমরা সমীকরণের ডানদিকে মুক্ত শব্দ c স্থানান্তর করি, আমরা পাই
ax 2 = -s। যেহেতু a ≠ 0, আমরা সমীকরণের উভয় দিককে a দ্বারা ভাগ করি, তারপর x 2 = ‒c/a।
যদি ‒с/а > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি মূল আছে
x = ±√(–c/a)।
যদি -c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
আসুন উদাহরণ সহ বোঝার চেষ্টা করি কীভাবে এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করা যায়।
উদাহরণ 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।
উত্তরঃ x 1 = - 4, x 2 = 4।
উদাহরণ 2. 2x 2 + 8 = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।
উত্তর: সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।
- আসুন এটি সমাধান করার উপায় বের করা যাক ax 2 + bx = 0 ফর্মের সমীকরণ।
ax 2 + bx = 0 সমীকরণটি সমাধান করতে, আসুন এটিকে ফ্যাক্টরাইজ করি, অর্থাৎ, বন্ধনী থেকে x বের করি, আমরা x(ax + b) = 0 পাই। গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি সমান হলে গুণফলটি শূন্যের সমান শূন্য থেকে তারপর হয় x = 0, অথবা ax + b = 0। সমীকরণ ax + b = 0 সমাধান করলে, আমরা পাই ax = - b, যেখান থেকে x = - b/a। ax 2 + bx = 0 ফর্মের একটি সমীকরণের সর্বদা দুটি মূল x 1 = 0 এবং x 2 = ‒ b/a থাকে। এই ধরণের সমীকরণের সমাধান চিত্রটিতে কেমন দেখায় তা দেখুন। 
আসুন একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে আমাদের জ্ঞানকে একত্রিত করি।
উদাহরণ 3. 3x 2 ‒ 12x = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 বা 3x – 12 = 0
উত্তরঃ x 1 = 0, x 2 = 4।
- তৃতীয় ধরনের ax এর সমীকরণ 2 = 0খুব সহজভাবে সমাধান করা হয়।
যদি ax 2 = 0, তাহলে x 2 = 0। সমীকরণটির দুটি সমান মূল x 1 = 0, x 2 = 0।
স্পষ্টতার জন্য, এর চিত্রটি দেখুন। 
উদাহরণ 4 সমাধান করার সময় আমাদের নিশ্চিত করা যাক যে এই ধরণের সমীকরণগুলি খুব সহজভাবে সমাধান করা যেতে পারে।
উদাহরণ 4. 7x 2 = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।
উত্তরঃ x 1, 2 = 0।
কোন ধরনের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ আমাদের সমাধান করতে হবে তা সবসময় তাৎক্ষণিকভাবে পরিষ্কার হয় না। নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন.
উদাহরণ 5।সমীকরণটি সমাধান করুন
সমীকরণের উভয় দিককে একটি সাধারণ হর দ্বারা, অর্থাৎ 30 দ্বারা গুণ করি
চলুন এটা কাটা যাক
5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90।
এর বন্ধনী খুলুন
25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90।
এর অনুরূপ দেওয়া যাক
সমীকরণের বাম দিক থেকে ডানদিকে 99 সরানো যাক, চিহ্নটিকে বিপরীতে পরিবর্তন করা যাক
উত্তর: শিকড় নেই।
আমরা দেখেছি কিভাবে অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলো সমাধান করা হয়। আমি আশা করি যে এখন এই ধরনের কাজগুলির সাথে আপনার কোন অসুবিধা হবে না। অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের ধরণ নির্ধারণ করার সময় সতর্ক থাকুন, তাহলে আপনি সফল হবেন।
আপনার যদি এই বিষয়ে প্রশ্ন থাকে, আমার পাঠের জন্য সাইন আপ করুন, আমরা একসাথে উদ্ভূত সমস্যাগুলি সমাধান করব।
ওয়েবসাইট, সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে উপাদান অনুলিপি করার সময়, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।
উদাহরণস্বরূপ, ত্রিনয়কের জন্য \(3x^2+2x-7\), বৈষম্যকারীটি \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) এর সমান হবে। এবং ত্রিনয়কের জন্য \(x^2-5x+11\), এটি হবে \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)।
বৈষম্যকারীকে \(D\) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং প্রায়শই সমাধানে ব্যবহৃত হয়। এছাড়াও, বৈষম্যকারীর মান দ্বারা, আপনি বুঝতে পারেন যে গ্রাফটি প্রায় কেমন দেখাচ্ছে (নীচে দেখুন)।
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্য এবং মূল
বৈষম্যমূলক মান দ্বিঘাত সমীকরণের সংখ্যা দেখায়:
- যদি \(D\) ধনাত্মক হয়, সমীকরণটির দুটি মূল থাকবে;
- যদি \(D\) শূন্যের সমান হয় - শুধুমাত্র একটি মূল আছে;
- যদি \(D\) ঋণাত্মক হয়, কোন মূল নেই।
এটি শেখানোর দরকার নেই, এই ধরনের উপসংহারে আসা কঠিন নয়, কেবলমাত্র এটি জেনে যে বৈষম্যকারীর কাছ থেকে (অর্থাৎ, \(\sqrt(D)\) একটি দ্বিঘাতের শিকড় গণনার সূত্রে অন্তর্ভুক্ত। সমীকরণ: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) এবং \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) আসুন প্রতিটি ক্ষেত্রে আরও বিশদে দেখি।
যদি বৈষম্যকারী ইতিবাচক হয়
এই ক্ষেত্রে, এর মূল কিছু ধনাত্মক সংখ্যা, যার অর্থ \(x_(1)\) এবং \(x_(2)\) এর আলাদা অর্থ থাকবে, কারণ প্রথম সূত্রে \(\sqrt(D)\ ) যোগ করা হয়, এবং দ্বিতীয়টিতে এটি বিয়োগ করা হয়। এবং আমাদের দুটি ভিন্ন শিকড় আছে।
উদাহরণ
: সমীকরণের মূল খুঁজুন \(x^2+2x-3=0\)
সমাধান
:
উত্তর : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়
বৈষম্যকারী শূন্য হলে কয়টি শিকড় থাকবে? এর কারণ যাক.
মূল সূত্রগুলো দেখতে এরকম: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) এবং \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\)। আর বৈষম্যকারী যদি শূন্য হয়, তবে তার মূলও শূন্য। তারপর দেখা যাচ্ছে:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
অর্থাৎ, সমীকরণের মূলের মান একই হবে, কারণ শূন্য যোগ বা বিয়োগ করলে কিছুই পরিবর্তন হয় না।
উদাহরণ
: সমীকরণের মূল খুঁজুন \(x^2-4x+4=0\)
সমাধান
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
আমরা সহগ লিখি: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
আমরা সূত্র ব্যবহার করে বৈষম্যকারী গণনা করি \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
সমীকরণের শিকড় খোঁজা |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
আমরা দুটি অভিন্ন শিকড় পেয়েছি, তাই তাদের আলাদাভাবে লেখার কোন মানে নেই - আমরা তাদের এক হিসাবে লিখি। |
উত্তর : \(x=2\)
দ্বিঘাত সমীকরণ সমস্যাগুলিও অধ্যয়ন করা হয় স্কুলের পাঠ্যক্রমএবং বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে। তারা মানে a*x^2 + b*x + c = 0 ফর্মের সমীকরণ, যেখানে এক্স-পরিবর্তনশীল, a, b, c – ধ্রুবক; ক<>0 কাজটি হল সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করা।
দ্বিঘাত সমীকরণের জ্যামিতিক অর্থ
একটি ফাংশনের গ্রাফ যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপিত হয় একটি প্যারাবোলা। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান (মূল) হল অ্যাবসিসা (x) অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দু। এটি অনুসরণ করে যে তিনটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রে রয়েছে:
1) প্যারাবোলার অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দু নেই। এর মানে হল যে এটি উপরের সমতলে রয়েছে যার শাখাগুলি উপরে বা নীচে শাখাগুলি নীচে রয়েছে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব মূল নেই (এটির দুটি জটিল মূল রয়েছে)।
2) প্যারাবোলার অক্স অক্ষের সাথে ছেদ করার একটি বিন্দু রয়েছে। এই ধরনের একটি বিন্দুকে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু বলা হয় এবং এতে দ্বিঘাত সমীকরণটি তার সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ মান অর্জন করে। এই ক্ষেত্রে, দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বাস্তব মূল (বা দুটি অভিন্ন মূল) রয়েছে।
3) শেষ কেসটি অনুশীলনে আরও আকর্ষণীয় - অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ করার দুটি বিন্দু রয়েছে। এর মানে হল সমীকরণের দুটি আসল মূল রয়েছে।
ভেরিয়েবলের শক্তির সহগ বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে, প্যারাবোলা বসানো সম্পর্কে আকর্ষণীয় সিদ্ধান্তে আসা যেতে পারে।
1) যদি a সহগ শূন্যের চেয়ে বেশি হয় তবে প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত হয়; যদি এটি ঋণাত্মক হয় তবে প্যারাবোলার শাখাগুলি নীচের দিকে পরিচালিত হয়।
2) যদি b সহগ শূন্যের চেয়ে বেশি হয়, তবে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুটি বাম অর্ধ-সমতলের মধ্যে থাকে, যদি এটি একটি ঋণাত্মক মান নেয় তবে ডানদিকে।
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য সূত্রের উৎপত্তি
চতুর্মুখী সমীকরণ থেকে ধ্রুবক স্থানান্তর করা যাক 
সমান চিহ্নের জন্য, আমরা অভিব্যক্তি পাই
উভয় পক্ষকে 4a দ্বারা গুণ করুন 
বাম পেতে পারফেক্ট বর্গউভয় পাশে b^2 যোগ করুন এবং রূপান্তরটি সম্পাদন করুন
এখান থেকে আমরা খুঁজে পাই
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্য এবং মূলের জন্য সূত্র
বৈষম্যকারী হল র্যাডিকাল এক্সপ্রেশনের মান৷ যদি এটি ধনাত্মক হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি বাস্তব মূল রয়েছে, সূত্র দ্বারা গণনা করা হয় 
যখন বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তখন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি সমাধান থাকে (দুটি মিলিত মূল), যা D=0 এর জন্য উপরের সূত্র থেকে সহজেই পাওয়া যেতে পারে। নেতিবাচক বৈষম্যকারীকোন বাস্তব মূল সমীকরণ আছে. যাইহোক, দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানগুলি জটিল সমতলে পাওয়া যায় এবং তাদের মান সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয় 
ভিয়েতার উপপাদ্য
আসুন একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল বিবেচনা করি এবং তাদের ভিত্তিতে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করি। ভিয়েতার উপপাদ্যটি সহজেই স্বরলিপি থেকে অনুসরণ করে: যদি আমাদের ফর্মের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ থাকে 
তাহলে এর শিকড়ের যোগফল পি থেকে নেওয়া সহগ-এর সমান বিপরীত চিহ্ন, এবং সমীকরণের মূলের গুণফল মুক্ত পদ q এর সমান। উপরের সূত্রের উপস্থাপনাটি এমন দেখাবে যদি একটি ধ্রুপদী সমীকরণে ধ্রুবক a অশূন্য হয়, তাহলে আপনাকে এটি দ্বারা সম্পূর্ণ সমীকরণটি ভাগ করতে হবে এবং তারপরে ভিয়েটার উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হবে।
দ্বিঘাত সমীকরণ সময়সূচী ফ্যাক্টরিং
টাস্ক সেট করা যাক: একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ফ্যাক্টর. এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে সমীকরণটি সমাধান করি (শিকড়গুলি সন্ধান করুন)। এর পরে, আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের সম্প্রসারণ সূত্রে পাওয়া শিকড়গুলিকে প্রতিস্থাপন করি৷ এটি সমস্যার সমাধান করবে৷
দ্বিঘাত সমীকরণ সমস্যা
কার্যক্রম 1. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন
x^2-26x+120=0।
সমাধান: সহগগুলি লিখুন এবং তাদের বৈষম্যমূলক সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন
এই মানের মূল হল 14, এটি একটি ক্যালকুলেটর দিয়ে খুঁজে পাওয়া সহজ, বা ঘন ঘন ব্যবহারে মনে রাখা যায়, তবে সুবিধার জন্য, নিবন্ধের শেষে আমি আপনাকে সংখ্যার বর্গক্ষেত্রগুলির একটি তালিকা দেব যা প্রায়শই সম্মুখীন হতে পারে যেমন সমস্যা।
আমরা প্রাপ্ত মানটিকে মূল সূত্রে প্রতিস্থাপন করি 
এবং আমরা পাই 
টাস্ক 2। সমীকরণটি সমাধান করুন
2x 2 +x-3=0।
সমাধান: আমাদের একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ আছে, সহগ লিখুন এবং বৈষম্য নির্ণয় করুন 
দ্বারা পরিচিত সূত্রএকটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় সন্ধান করা 
টাস্ক 3। সমীকরণটি সমাধান করুন
9x 2 -12x+4=0।
সমাধান: আমাদের একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ আছে। বৈষম্যকারী নির্ধারণ করা
আমরা একটি কেস পেয়েছি যেখানে শিকড় মিলে যায়। সূত্র ব্যবহার করে শিকড়ের মান খুঁজুন 
টাস্ক 4। সমীকরণটি সমাধান করুন
x^2+x-6=0।
সমাধান: যে ক্ষেত্রে x-এর জন্য ছোট সহগ আছে, সেখানে Vieta-এর উপপাদ্য প্রয়োগ করার পরামর্শ দেওয়া হয়। এর অবস্থা দ্বারা আমরা দুটি সমীকরণ পাই
দ্বিতীয় শর্ত থেকে আমরা দেখতে পাই যে গুণফল -6 এর সমান হতে হবে। এর মানে হল যে একটি শিকড় নেতিবাচক। আমাদের কাছে নিম্নলিখিত সম্ভাব্য জোড়া সমাধান রয়েছে (-3;2), (3;-2)। একাউন্টে প্রথম শর্ত গ্রহণ, আমরা সমাধান দ্বিতীয় জোড়া প্রত্যাখ্যান.
সমীকরণের শিকড় সমান
সমস্যা 5. একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন যদি এর পরিসীমা 18 সেমি হয় এবং এর ক্ষেত্রফল 77 সেমি 2 হয়।
সমাধান: একটি আয়তক্ষেত্রের অর্ধেক পরিধি তার সন্নিহিত বাহুর সমষ্টির সমান। আসুন x কে বৃহত্তর দিক হিসাবে চিহ্নিত করি, তারপর 18-x এর ছোট দিক। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এই দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান:
x(18-x)=77;
বা
x 2 -18x+77=0।
আসুন সমীকরণের বৈষম্য খুঁজে বের করা যাক
সমীকরণের মূল গণনা করা 
যদি x=11,যে 18 এর = 7,বিপরীতটিও সত্য (যদি x=7, তাহলে 21's=9)।
সমস্যা 6. দ্বিঘাত সমীকরণ 10x 2 -11x+3=0 গুণিত করুন।
সমাধান: আসুন সমীকরণের মূল গণনা করি, এটি করার জন্য আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পাই 
আমরা প্রাপ্ত মানটিকে মূল সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং গণনা করি 
আমরা শিকড় দ্বারা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পচানোর সূত্রটি প্রয়োগ করি 
বন্ধনী খোলার আমরা একটি পরিচয় প্রাপ্ত.
পরামিতি সহ দ্বিঘাত সমীকরণ
উদাহরণ 1. কোন প্যারামিটারে মান ক,সমীকরণ (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 এর কি একটি মূল আছে?
সমাধান: a=3 মানের সরাসরি প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এর কোনো সমাধান নেই। এর পরে, আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করব যে একটি শূন্য বৈষম্যের সাথে সমীকরণটির বহুগুণ 2 এর একটি মূল রয়েছে। আসুন বৈষম্যকারীকে লিখি 
আসুন এটিকে সরলীকরণ করি এবং এটিকে শূন্যের সাথে সমান করি
আমরা প্যারামিটার a এর সাথে সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পেয়েছি, যার সমাধান ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সহজেই পাওয়া যেতে পারে। মূলের যোগফল 7, এবং তাদের গুণফল 12। সাধারণ অনুসন্ধানের মাধ্যমে আমরা প্রতিষ্ঠিত করি যে সংখ্যা 3,4 সমীকরণের মূল হবে। যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে গণনার শুরুতে a=3 সমাধানটি প্রত্যাখ্যান করেছি, একমাত্র সঠিকটি হবে - a=4।এইভাবে, a=4 এর জন্য সমীকরণটির একটি মূল আছে।
উদাহরণ 2. কোন প্যারামিটারের মান ক,সমীকরণটি a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0একাধিক রুট আছে?
সমাধান: প্রথমে একবচন বিন্দুগুলো বিবেচনা করা যাক, সেগুলো হবে a=0 এবং a=-3 এর মান। যখন a=0, সমীকরণটি 6x-9=0 ফর্মে সরলীকৃত হবে; x=3/2 এবং একটি রুট থাকবে। a= -3 এর জন্য আমরা 0=0 পরিচয় পাই।
আসুন বৈষম্যকারীর হিসাব করি 
এবং একটি এর মান খুঁজে বের করুন যেখানে এটি ধনাত্মক 
প্রথম শর্ত থেকে আমরা a>3 পাই। দ্বিতীয়টির জন্য, আমরা সমীকরণের বৈষম্য এবং মূল খুঁজে পাই 
ফাংশনটি ধনাত্মক মান গ্রহণ করে যেখানে ব্যবধান নির্ধারণ করা যাক। বিন্দু a=0 প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই 3>0
.
সুতরাং, ব্যবধানের বাইরে (-3;1/3) ফাংশনটি নেতিবাচক। বিন্দু ভুলবেন না a=0,যা বাদ দেওয়া উচিত কারণ এটি মূল সমীকরণএকটি মূল আছে।
ফলস্বরূপ, আমরা দুটি বিরতি পাই যা সমস্যার শর্ত পূরণ করে 
অনুশীলনে অনেকগুলি অনুরূপ কাজ থাকবে, কাজগুলি নিজেই বের করার চেষ্টা করুন এবং পারস্পরিক একচেটিয়া শর্তগুলি বিবেচনা করতে ভুলবেন না। দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধানের সূত্রগুলি ভালভাবে অধ্যয়ন করুন; বিভিন্ন সমস্যা এবং বিজ্ঞানের গণনায় প্রায়শই এগুলি প্রয়োজন হয়।
বৈষম্যকারী, দ্বিঘাত সমীকরণের মতো, 8 ম শ্রেণীতে একটি বীজগণিত কোর্সে অধ্যয়ন করা শুরু করে। আপনি একটি বৈষম্যকারীর মাধ্যমে এবং ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে পারেন। দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যয়ন করার পদ্ধতি, সেইসাথে বৈষম্যমূলক সূত্রগুলি, বাস্তব শিক্ষার অনেক কিছুর মতো স্কুলছাত্রীদের কাছে অসফলভাবে শেখানো হয়। তাই তারা পাস করে স্কুল বছর, 9-11 গ্রেডে শিক্ষা প্রতিস্থাপন করে " উচ্চ শিক্ষা"এবং সবাই আবার তাকাচ্ছে - "কীভাবে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে হয়?", "কিভাবে সমীকরণের মূল খুঁজে বের করতে হয়?", "কিভাবে বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করতে হয়?" এবং...
বৈষম্যমূলক সূত্র
দ্বিঘাত সমীকরণ a*x^2+bx+c=0 এর বৈষম্যমূলক D হল D=b^2–4*a*c এর সমান।
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল (সমাধান) বৈষম্যকারীর (D) চিহ্নের উপর নির্ভর করে:
D>0 - সমীকরণটির 2টি ভিন্ন বাস্তব মূল রয়েছে;
D=0 - সমীকরণটির 1টি মূল (2টি মিলে যাওয়া মূল):
ডি<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
বৈষম্যকারী গণনা করার সূত্রটি বেশ সহজ, তাই অনেক সাইট একটি অনলাইন বৈষম্যকারী ক্যালকুলেটর অফার করে। আমরা এখনও এই ধরনের স্ক্রিপ্ট খুঁজে পাইনি, তাই যদি কেউ জানেন কিভাবে এটি বাস্তবায়ন করতে হয়, তাহলে অনুগ্রহ করে আমাদের ইমেলের মাধ্যমে লিখুন এই ইমেইল ঠিকানাটি spambots থেকে রক্ষা করা হচ্ছে। এটি দেখতে আপনার অবশ্যই জাভাস্ক্রিপ্ট সক্রিয় থাকতে হবে। .
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার জন্য সাধারণ সূত্র:
আমরা সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের মূল খুঁজে পাই 
যদি একটি বর্গীয় ভেরিয়েবলের সহগ যুক্ত করা হয়, তবে বৈষম্যকারী নয়, তবে এর চতুর্থ অংশটি গণনা করার পরামর্শ দেওয়া হয়
এই ধরনের ক্ষেত্রে, সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের শিকড় পাওয়া যায় 
শিকড় খুঁজে বের করার দ্বিতীয় উপায় হল ভিয়েটার উপপাদ্য।
উপপাদ্যটি শুধুমাত্র দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য নয়, বহুপদগুলির জন্যও প্রণয়ন করা হয়। আপনি উইকিপিডিয়া বা অন্যান্য ইলেকট্রনিক সংস্থানগুলিতে এটি পড়তে পারেন। যাইহোক, সরলীকরণের জন্য, আসুন সেই অংশটি বিবেচনা করি যা উপরের দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত, অর্থাৎ ফর্মের সমীকরণ (a=1)
ভিয়েটার সূত্রের সারমর্ম হল যে সমীকরণের মূলের যোগফল পরিবর্তনশীলের সহগের সমান, বিপরীত চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয়। সমীকরণের মূলের গুণফল মুক্ত পদের সমান। ভিয়েতার উপপাদ্য সূত্রে লেখা যায়।
ভিয়েটার সূত্রের উদ্ভব বেশ সহজ। চলুন সহজ গুণনীয়কগুলির মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি 
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বুদ্ধিমান সবকিছু একই সময়ে সহজ। যখন শিকড়ের মডুলাসের পার্থক্য বা শিকড়ের মডিউলির পার্থক্য 1, 2 হয় তখন ভিয়েটার সূত্র ব্যবহার করা কার্যকর। উদাহরণস্বরূপ, ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির মূল রয়েছে
সমীকরণ 4 পর্যন্ত, বিশ্লেষণটি এইরকম হওয়া উচিত। সমীকরণের শিকড়ের গুণফল 6, তাই মূলগুলি মান (1, 6) এবং (2, 3) বা বিপরীত চিহ্ন সহ জোড়া হতে পারে। মূলের যোগফল 7 (বিপরীত চিহ্ন সহ চলকের সহগ)। এখান থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হল x=2; x=3।
মুক্ত শব্দের ভাজকগুলির মধ্যে সমীকরণের মূল নির্বাচন করা সহজ, ভিয়েটা সূত্রগুলি পূরণ করার জন্য তাদের চিহ্ন সামঞ্জস্য করা। প্রথমে, এটি করা কঠিন বলে মনে হয়, কিন্তু বেশ কয়েকটি দ্বিঘাত সমীকরণের অনুশীলনের সাথে, এই কৌশলটি বৈষম্যকারী গণনা করা এবং ক্লাসিক্যাল উপায়ে দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার চেয়ে আরও কার্যকর হবে।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বৈষম্যমূলক অধ্যয়ন করার স্কুল তত্ত্ব এবং সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলি ব্যবহারিক অর্থ বর্জিত - "স্কুলের বাচ্চাদের কেন একটি দ্বিঘাত সমীকরণের প্রয়োজন?", "বৈষম্যকারীর শারীরিক অর্থ কী?"
এর এটা বের করার চেষ্টা করা যাক বৈষম্যকারী কী বর্ণনা করে?
বীজগণিত কোর্সে তারা ফাংশন অধ্যয়ন করে, ফাংশন অধ্যয়নের জন্য স্কিম এবং ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করে। সমস্ত ফাংশনের মধ্যে, প্যারাবোলা একটি গুরুত্বপূর্ণ স্থান দখল করে, যার সমীকরণটি আকারে লেখা যেতে পারে 
সুতরাং দ্বিঘাত সমীকরণের ভৌত অর্থ হল প্যারাবোলার শূন্য, অর্থাৎ অ্যাবসিসা অক্ষ অক্সের সাথে ফাংশনের গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলি
আমি আপনাকে প্যারাবোলার বৈশিষ্ট্যগুলি মনে রাখতে বলি যা নীচে বর্ণিত হয়েছে। পরীক্ষা, পরীক্ষা বা প্রবেশিকা পরীক্ষা নেওয়ার সময় আসবে এবং আপনি রেফারেন্স উপাদানের জন্য কৃতজ্ঞ হবেন। বর্গক্ষেত্র পরিবর্তনশীলের চিহ্নটি গ্রাফে প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরে যাবে কিনা তার সাথে মিলে যায় (a>0),
অথবা একটি প্যারাবোলা যার শাখা নিচে (a<0)
.
প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুটি শিকড়ের মাঝখানে অবস্থিত
বৈষম্যকারীর শারীরিক অর্থ:
যদি বৈষম্যকারীটি শূন্য (D>0) এর চেয়ে বেশি হয় তবে প্যারাবোলার অক্স অক্ষের সাথে ছেদ করার দুটি বিন্দু থাকে। 
যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয় (D=0) তাহলে শীর্ষবিন্দুতে প্যারাবোলা x-অক্ষকে স্পর্শ করে। 
এবং শেষ ক্ষেত্রে, যখন বৈষম্যকারী শূন্যের কম হয় (ডি<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
