একটি সমীকরণে বন্ধনী খোলার নিয়ম। বিষয়: সমীকরণ সমাধান

খ্রিস্টপূর্ব পঞ্চম শতাব্দীতে, এলিয়ার প্রাচীন গ্রীক দার্শনিক জেনো তার বিখ্যাত অ্যাপোরিয়াস তৈরি করেছিলেন, যার মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত হল "অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ" অ্যাপোরিয়া। এখানে এটির মত শোনাচ্ছে:

ধরা যাক অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে দশগুণ দ্রুত দৌড়ায় এবং তার থেকে এক হাজার ধাপ পিছনে রয়েছে। এই দূরত্ব চালাতে অ্যাকিলিসের সময় লাগবে, কচ্ছপটি একই দিকে একশো ধাপ হামাগুড়ি দেবে। অ্যাকিলিস যখন একশো কদম দৌড়ায়, তখন কচ্ছপ আরও দশ ধাপ হামাগুড়ি দেয়, ইত্যাদি। প্রক্রিয়াটি অসীমভাবে চলতে থাকবে, অ্যাকিলিস কখনই কচ্ছপের সাথে ধরা দেবে না।

এই যুক্তি পরবর্তী সমস্ত প্রজন্মের জন্য একটি যৌক্তিক শক হয়ে ওঠে। অ্যারিস্টটল, ডায়োজেনিস, কান্ট, হেগেল, হিলবার্ট... তারা সকলেই জেনোর অপোরিয়াকে কোনো না কোনোভাবে বিবেচনা করতেন। ধাক্কাটা এতটাই শক্তিশালী ছিল যে " ...আলোচনা আজ অবধি চলছে, প্যারাডক্সের সারমর্ম সম্পর্কে একটি সাধারণ মতামতে পৌঁছানোর জন্য বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায়এখন পর্যন্ত এটা সম্ভব হয়নি... আমরা সমস্যাটির অধ্যয়নের সাথে জড়িত ছিলাম গাণিতিক বিশ্লেষণ, সেট তত্ত্ব, নতুন শারীরিক এবং দার্শনিক পদ্ধতির; তাদের মধ্যে কোনটিই সমস্যার সাধারণভাবে গৃহীত সমাধান হয়ে ওঠেনি..."[উইকিপিডিয়া, "জেনো'স অ্যাপোরিয়া"। সবাই বোঝে যে তাদের বোকা বানানো হচ্ছে, কিন্তু কেউ বুঝতে পারে না যে প্রতারণা কিসের।

গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, জেনো তার অ্যাপোরিয়াতে পরিমাণ থেকে পরিবর্তিত হওয়ার বিষয়টি স্পষ্টভাবে দেখিয়েছেন। এই রূপান্তরটি স্থায়ীগুলির পরিবর্তে প্রয়োগকে বোঝায়। যতদূর আমি বুঝতে পারি, পরিমাপের পরিবর্তনশীল একক ব্যবহার করার জন্য গাণিতিক যন্ত্রপাতি হয় এখনও তৈরি হয়নি, বা এটি জেনোর অ্যাপোরিয়াতে প্রয়োগ করা হয়নি। আমাদের স্বাভাবিক যুক্তি প্রয়োগ করা আমাদের একটি ফাঁদে নিয়ে যায়। আমরা, চিন্তার জড়তার কারণে, পারস্পরিক মূল্যে সময়ের ধ্রুবক একক প্রয়োগ করি। দৈহিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি অ্যাকিলিস কচ্ছপের সাথে ধরা পড়ার মুহুর্তে সম্পূর্ণরূপে থেমে না যাওয়া পর্যন্ত সময় ধীরগতির মতো দেখায়। সময় থেমে গেলে, অ্যাকিলিস আর কাছিমকে ছাড়িয়ে যেতে পারবে না।

আমরা যদি আমাদের স্বাভাবিক যুক্তিকে ঘুরিয়ে দেখি, সবকিছু জায়গায় পড়ে। সঙ্গে রান করেন অ্যাকিলিস ধ্রুব গতি. তার পথের প্রতিটি পরবর্তী সেগমেন্ট আগেরটির চেয়ে দশগুণ ছোট। তদনুসারে, এটি কাটিয়ে উঠতে ব্যয় করা সময় আগেরটির চেয়ে দশগুণ কম। যদি আমরা এই পরিস্থিতিতে "অনন্ত" ধারণাটি প্রয়োগ করি, তবে এটি বলা সঠিক হবে "অ্যাকিলিস অসীমভাবে কচ্ছপটিকে ধরবে।"

কিভাবে এই যৌক্তিক ফাঁদ এড়াতে? সময়ের অবিচ্ছিন্ন এককগুলিতে থাকুন এবং পারস্পরিক এককগুলিতে স্যুইচ করবেন না। জেনোর ভাষায় এটি এইরকম দেখায়:

অ্যাকিলিসকে এক হাজার কদম ছুটতে যে সময় লাগবে, কচ্ছপটি একই দিকে একশো কদম হাঁটবে। পরের সময়ের ব্যবধানে প্রথমটির সমান, অ্যাকিলিস আরও হাজার কদম দৌড়াবে এবং কচ্ছপটি একশো ধাপ হাঁটবে। এখন অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে আটশো ধাপ এগিয়ে।

এই পদ্ধতিটি কোন যৌক্তিক প্যারাডক্স ছাড়াই বাস্তবতাকে পর্যাপ্তভাবে বর্ণনা করে। কিন্তু তা নয় সম্পূর্ণ সমাধানসমস্যা আলোর গতির অপ্রতিরোধ্যতা সম্পর্কে আইনস্টাইনের বিবৃতি জেনোর অ্যাপোরিয়া "অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ" এর সাথে খুব মিল। আমাদের এখনও এই সমস্যার অধ্যয়ন, পুনর্বিবেচনা এবং সমাধান করতে হবে। এবং সমাধানটি অসীমভাবে বড় সংখ্যায় নয়, পরিমাপের এককের মধ্যে চাওয়া উচিত।

জেনোর আরেকটি আকর্ষণীয় অ্যাপোরিয়া একটি উড়ন্ত তীর সম্পর্কে বলে:

একটি উড়ন্ত তীর গতিহীন, যেহেতু সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে এটি বিশ্রামে থাকে এবং যেহেতু এটি সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে বিশ্রামে থাকে, তাই এটি সর্বদা বিশ্রামে থাকে।

এই অপোরিয়াতে, লজিক্যাল প্যারাডক্সটি খুব সহজভাবে কাটিয়ে উঠেছে - এটি স্পষ্ট করার জন্য যথেষ্ট যে সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে একটি উড়ন্ত তীর মহাকাশের বিভিন্ন পয়েন্টে বিশ্রামে থাকে, যা আসলে গতি। এখানে আরেকটি বিষয় উল্লেখ করা প্রয়োজন। রাস্তায় একটি গাড়ির একটি ছবি থেকে এটির গতিবিধি বা এর দূরত্ব নির্ণয় করা অসম্ভব। একটি গাড়ি চলমান কিনা তা নির্ধারণ করতে, আপনার একই পয়েন্ট থেকে বিভিন্ন সময়ে তোলা দুটি ফটোগ্রাফ প্রয়োজন, কিন্তু আপনি তাদের থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করতে পারবেন না। একটি গাড়ির দূরত্ব নির্ধারণ করার জন্য, আপনার একটি সময়ে মহাকাশের বিভিন্ন বিন্দু থেকে তোলা দুটি ফটোগ্রাফের প্রয়োজন, কিন্তু সেগুলি থেকে আপনি গতিবিধির সত্যতা নির্ধারণ করতে পারবেন না (অবশ্যই, আপনার এখনও গণনার জন্য অতিরিক্ত ডেটা প্রয়োজন, ত্রিকোণমিতি আপনাকে সাহায্য করবে। ) আমি কি নির্দেশ করতে চাই বিশেষ মনোযোগ, সময়ের মধ্যে দুটি বিন্দু এবং স্থানের দুটি বিন্দু ভিন্ন জিনিস যা বিভ্রান্ত করা উচিত নয়, কারণ তারা গবেষণার জন্য বিভিন্ন সুযোগ প্রদান করে।

বুধবার, জুলাই 4, 2018

সেট এবং মাল্টিসেটের মধ্যে পার্থক্যগুলি উইকিপিডিয়াতে খুব ভালভাবে বর্ণনা করা হয়েছে। দেখা যাক.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, "একটি সেটে দুটি অভিন্ন উপাদান থাকতে পারে না," কিন্তু যদি একটি সেটে অভিন্ন উপাদান থাকে তবে এই ধরনের সেটটিকে "মাল্টিসেট" বলা হয়। যুক্তিবাদী মানুষ কখনই এমন অযৌক্তিক যুক্তি বুঝবে না। এটি কথা বলা তোতাপাখি এবং প্রশিক্ষিত বানরের স্তর, যাদের "সম্পূর্ণ" শব্দটি থেকে কোনও বুদ্ধি নেই। গণিতবিদরা সাধারণ প্রশিক্ষক হিসাবে কাজ করে, আমাদের কাছে তাদের অযৌক্তিক ধারণাগুলি প্রচার করে।

এক সময় সেতু নির্মাণকারী প্রকৌশলীরা সেতু পরীক্ষা করার সময় সেতুর নিচে একটি নৌকায় ছিলেন। সেতুটি ভেঙে পড়লে তার সৃষ্টির ধ্বংসস্তূপের নিচে পড়ে মারা যান মধ্যম প্রকৌশলী। সেতুটি ভার সহ্য করতে পারলে মেধাবী প্রকৌশলী অন্যান্য সেতু নির্মাণ করেন।

গণিতবিদরা "মনে মনে, আমি ঘরে আছি" বা বরং, "গণিত বিমূর্ত ধারণাগুলি অধ্যয়ন করে" এই বাক্যাংশটির আড়ালে যেভাবেই লুকিয়ে থাকুক না কেন, সেখানে একটি নাভি আছে যা তাদের বাস্তবতার সাথে অবিচ্ছেদ্যভাবে সংযুক্ত করে। এই নাভি হল টাকা। প্রযোজ্য গাণিতিক তত্ত্বগণিতবিদদের নিজেরাই সেট করে।

আমরা গণিত খুব ভালভাবে অধ্যয়ন করেছি এবং এখন আমরা নগদ রেজিস্টারে বসে আছি, বেতন দিচ্ছি। তাই একজন গণিতবিদ তার অর্থের জন্য আমাদের কাছে আসেন। আমরা তার কাছে পুরো পরিমাণ গণনা করি এবং আমাদের টেবিলে বিভিন্ন স্তূপে রেখে দিই, যার মধ্যে আমরা একই মূল্যের বিল রাখি। তারপরে আমরা প্রতিটি গাদা থেকে একটি করে বিল নিই এবং গণিতবিদকে তার "বেতনের গাণিতিক সেট" দিই। আসুন আমরা গণিতবিদকে ব্যাখ্যা করি যে তিনি অবশিষ্ট বিলগুলি তখনই পাবেন যখন তিনি প্রমাণ করেন যে অভিন্ন উপাদান ছাড়া একটি সেট অভিন্ন উপাদানগুলির সাথে একটি সেটের সমান নয়। আনন্দের শুরু এখানেই.

প্রথমত, ডেপুটিদের যুক্তি কাজ করবে: "এটি অন্যদের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে, কিন্তু আমার ক্ষেত্রে নয়!" তারপরে তারা আমাদের আশ্বস্ত করতে শুরু করবে যে একই মূল্যের বিলগুলির বিভিন্ন বিল নম্বর রয়েছে, যার অর্থ তাদের একই উপাদান হিসাবে বিবেচনা করা যায় না। ঠিক আছে, আসুন কয়েনে বেতন গণনা করি - মুদ্রায় কোন সংখ্যা নেই। এখানে গণিতবিদ উদ্ভটভাবে পদার্থবিদ্যাকে মনে রাখতে শুরু করবেন: বিভিন্ন মুদ্রায় বিভিন্ন পরিমাণে ময়লা থাকে, প্রতিটি মুদ্রার জন্য স্ফটিক গঠন এবং পরমাণুর বিন্যাস অনন্য...

এবং এখন আমার কাছে সবচেয়ে আকর্ষণীয় প্রশ্ন আছে: লাইনটি কোথায় যেটির বাইরে একটি মাল্টিসেটের উপাদানগুলি একটি সেটের উপাদানে পরিণত হয় এবং এর বিপরীতে? এই ধরনের একটি লাইন বিদ্যমান নেই - সবকিছু shamans দ্বারা স্থির করা হয়, বিজ্ঞান এমনকি এখানে মিথ্যা কাছাকাছি নয়।

এখানে দেখুন. আমরা নির্বাচন করি ফুটবল স্টেডিয়ামএকই ক্ষেত্রের এলাকা সহ। ক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রগুলি একই - যার অর্থ আমাদের একটি মাল্টিসেট রয়েছে। কিন্তু আমরা যদি এই একই স্টেডিয়ামগুলির নাম দেখি তবে আমরা অনেকগুলি পাই, কারণ নামগুলি আলাদা। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, উপাদানগুলির একই সেট একটি সেট এবং একটি মাল্টিসেট উভয়ই। যা সঠিক? এবং এখানে গণিতবিদ-শামান-শার্পস্ট তার হাতা থেকে ট্রাম্পের টেক্কা বের করে এবং আমাদেরকে একটি সেট বা মাল্টিসেট সম্পর্কে বলতে শুরু করে। যাই হোক না কেন, তিনি আমাদের বোঝাবেন যে তিনি সঠিক।

আধুনিক শামানরা কীভাবে সেট তত্ত্বের সাথে কাজ করে, এটিকে বাস্তবের সাথে বেঁধে তা বোঝার জন্য, একটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যথেষ্ট: কীভাবে একটি সেটের উপাদানগুলি অন্য সেটের উপাদানগুলির থেকে আলাদা? আমি আপনাকে দেখাব, কোন "একক সমগ্র হিসাবে অনুমেয় নয়" বা "একক সমগ্র হিসাবে অনুমেয় নয়।"

রবিবার, মার্চ 18, 2018

একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল হল একটি খঞ্জনীর সাথে শামানদের একটি নৃত্য, যার সাথে গণিতের কোন সম্পর্ক নেই। হ্যাঁ, গণিতের পাঠে আমাদেরকে একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল খুঁজে বের করতে এবং এটি ব্যবহার করতে শেখানো হয়, কিন্তু সেই কারণেই তারা শামান, তাদের বংশধরদের তাদের দক্ষতা এবং প্রজ্ঞা শেখানোর জন্য, অন্যথায় শামানগুলি কেবল মারা যাবে।

আপনার কি প্রমাণ দরকার? উইকিপিডিয়া খুলুন এবং "একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল" পৃষ্ঠাটি খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন। তার অস্তিত্ব নেই। গণিতে এমন কোনো সূত্র নেই যা দিয়ে যেকোনো সংখ্যার অঙ্কের যোগফল বের করা যায়। সর্বোপরি, সংখ্যাগুলি হল গ্রাফিক চিহ্ন যা দিয়ে আমরা সংখ্যাগুলি লিখি এবং গণিতের ভাষায় কাজটি এইরকম শোনায়: "যেকোন সংখ্যার প্রতিনিধিত্বকারী গ্রাফিক চিহ্নগুলির সমষ্টি খুঁজুন।" গণিতবিদরা এই সমস্যার সমাধান করতে পারেন না, তবে শামানরা এটি সহজেই করতে পারেন।

একটি প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কের যোগফল বের করার জন্য আমরা কী এবং কীভাবে করি তা বের করা যাক। এবং তাই, আমাদের 12345 নম্বরটি দেওয়া যাক। এই সংখ্যার অঙ্কগুলির যোগফল বের করার জন্য কী করা দরকার? এর ক্রম সব ধাপ বিবেচনা করা যাক.

1. কাগজের টুকরোতে সংখ্যাটি লিখুন। আমরা কি করলাম? আমরা সংখ্যাটিকে একটি গ্রাফিক্যাল সংখ্যা প্রতীকে রূপান্তরিত করেছি। এটি একটি গাণিতিক অপারেশন নয়।

2. আমরা একটি ফলস্বরূপ ছবিকে পৃথক সংখ্যা ধারণকারী কয়েকটি ছবিতে কেটে ফেলি। একটি ছবি কাটা একটি গাণিতিক অপারেশন নয়.

3. পৃথক গ্রাফিক চিহ্নকে সংখ্যায় রূপান্তর করুন। এটি একটি গাণিতিক অপারেশন নয়।

4. ফলাফল সংখ্যা যোগ করুন. এখন এটি গণিত।

12345 নম্বরের অঙ্কের যোগফল হল 15৷ এইগুলি হল "কাটিং এবং সেলাইয়ের কোর্স" যা শামানদের দ্বারা শেখানো হয় যা গণিতবিদরা ব্যবহার করেন। কিন্তু যে সব হয় না।

গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, কোন সংখ্যা পদ্ধতিতে আমরা একটি সংখ্যা লিখি তা বিবেচ্য নয়। তাই, ইন বিভিন্ন সিস্টেমক্যালকুলাসে, একই সংখ্যার অঙ্কের যোগফল ভিন্ন হবে। গণিতে, সংখ্যা পদ্ধতিটি সংখ্যার ডানদিকে সাবস্ক্রিপ্ট হিসাবে নির্দেশিত হয়। সঙ্গে একটি বড় সংখ্যা 12345 আমি আমার মাথা বোকা করতে চাই না, আসুন নিবন্ধটি থেকে 26 নম্বরটি দেখি। এই সংখ্যাটি বাইনারি, অক্টাল, দশমিক এবং হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে লিখি। আমরা মাইক্রোস্কোপের নীচে প্রতিটি পদক্ষেপ দেখব না; আমরা ইতিমধ্যে এটি করেছি। চলুন ফলাফল তাকান.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতিতে একই সংখ্যার অঙ্কের যোগফল ভিন্ন। এই ফলাফলের সাথে গণিতের কোন সম্পর্ক নেই। আপনি যদি মিটার এবং সেন্টিমিটারে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করেন তবে আপনি সম্পূর্ণ ভিন্ন ফলাফল পাবেন।

শূন্য সমস্ত সংখ্যা পদ্ধতিতে একই দেখায় এবং অঙ্কের যোগফল নেই। এটি সত্যের পক্ষে আরেকটি যুক্তি। গণিতবিদদের জন্য প্রশ্ন: কীভাবে এমন কিছু হয় যা গণিতে মনোনীত সংখ্যা নয়? কি, গণিতবিদদের কাছে সংখ্যা ছাড়া আর কিছুই নেই? আমি শামানদের জন্য এটির অনুমতি দিতে পারি, তবে বিজ্ঞানীদের জন্য নয়। বাস্তবতা শুধুমাত্র সংখ্যা সম্পর্কে নয়।

প্রাপ্ত ফলাফল প্রমাণ হিসাবে বিবেচনা করা উচিত যে সংখ্যা সিস্টেমগুলি সংখ্যার পরিমাপের একক। সর্বোপরি, আমরা পরিমাপের বিভিন্ন এককের সাথে সংখ্যার তুলনা করতে পারি না। যদি একই পরিমাণের পরিমাপের বিভিন্ন এককের সাথে একই ক্রিয়াগুলি তাদের তুলনা করার পরে ভিন্ন ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে, তবে এর সাথে গণিতের কোনও সম্পর্ক নেই।

প্রকৃত গণিত কি? এটি তখন হয় যখন একটি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের ফলাফল সংখ্যার আকার, ব্যবহৃত পরিমাপের একক এবং কে এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করে তার উপর নির্ভর করে না।

দরজায় সাইন ইন করুন সে দরজা খুলে বলে:

উহু! এটা কি মহিলাদের বিশ্রামাগার নয়?
-যুবতী! এটি স্বর্গে আরোহণের সময় আত্মার অনাকাঙ্খিত পবিত্রতা অধ্যয়নের জন্য একটি পরীক্ষাগার! হ্যালো উপরে এবং তীর উপরে। আর কোন টয়লেট?

মহিলা... উপরের হালো এবং নীচের তীর পুরুষ।

নকশা শিল্পের এই ধরনের কাজ যদি দিনে কয়েকবার আপনার চোখের সামনে ভেসে ওঠে,

তারপরে অবাক হওয়ার কিছু নেই যে আপনি হঠাৎ আপনার গাড়িতে একটি অদ্ভুত আইকন খুঁজে পেয়েছেন:

ব্যক্তিগতভাবে, আমি একটি মলত্যাগকারী ব্যক্তির (একটি ছবি) মাইনাস চার ডিগ্রি দেখার চেষ্টা করি (কয়েকটি ছবির একটি রচনা: একটি বিয়োগ চিহ্ন, চার নম্বর, ডিগ্রির একটি উপাধি)। এবং আমি এই মেয়েটিকে বোকা মনে করি না যে পদার্থবিদ্যা জানে না। তিনি শুধু গ্রাফিক ইমেজ উপলব্ধি একটি শক্তিশালী স্টেরিওটাইপ আছে. এবং গণিতবিদরা আমাদের সর্বদা এটি শেখান। এখানে একটি উদাহরণ.

1A "মাইনাস ফোর ডিগ্রী" বা "এক a" নয়। এটি হেক্সাডেসিমেল নোটেশনে "পুপিং ম্যান" বা সংখ্যা "ছাব্বিশ"। যারা এই সংখ্যা পদ্ধতিতে ক্রমাগত কাজ করে তারা স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি সংখ্যা এবং একটি অক্ষরকে একটি গ্রাফিক প্রতীক হিসাবে উপলব্ধি করে।

এই ভিডিওতে আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সম্পূর্ণ সেট বিশ্লেষণ করব যা একই অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সমাধান করা হয় - এজন্যই তাদের সবচেয়ে সহজ বলা হয়।

প্রথমত, আসুন সংজ্ঞায়িত করা যাক: কি একঘাত সমীকরণএবং তাদের মধ্যে কোনটিকে সবচেয়ে সহজ বলা হয়?

একটি রৈখিক সমীকরণ হল একটি যেখানে শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল এবং শুধুমাত্র প্রথম ডিগ্রী পর্যন্ত।

সবচেয়ে সহজ সমীকরণ মানে নির্মাণ:

অন্যান্য সমস্ত রৈখিক সমীকরণ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সহজে হ্রাস করা হয়েছে:

1. প্রসারিত বন্ধনী, যদি থাকে;
2. একটি ভেরিয়েবল সমন্বিত পদগুলিকে সমান চিহ্নের একপাশে এবং একটি পরিবর্তনশীল ছাড়া পদগুলিকে অন্য দিকে সরান;
3. সমান চিহ্নের বাম এবং ডানে অনুরূপ পদ দিন;
4. $x$ ভেরিয়েবলের সহগ দ্বারা ফলিত সমীকরণটি ভাগ করুন।

অবশ্যই, এই অ্যালগরিদম সবসময় সাহায্য করে না। সত্য যে কখনও কখনও এই সমস্ত কৌশলের পরে ভেরিয়েবলের সহগ $x$ শূন্যের সমান হয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে, দুটি বিকল্প সম্ভব:

1. সমীকরণের কোনো সমাধান নেই। উদাহরণস্বরূপ, যখন $0\cdot x=8$ এর মতো কিছু দেখা যায়, যেমন বাম দিকে শূন্য, এবং ডানদিকে শূন্য ছাড়া অন্য একটি সংখ্যা। নীচের ভিডিওতে আমরা এই পরিস্থিতির সম্ভাব্য কয়েকটি কারণ দেখব।
2. সমাধান হল সব সংখ্যা। একমাত্র ক্ষেত্রে যখন এটি সম্ভব হয় যখন সমীকরণটি নির্মাণ $0\cdot x=0$ এ হ্রাস করা হয়। এটা বেশ যৌক্তিক যে $x$ আমরা যা কিছু প্রতিস্থাপন করি না কেন, এটি এখনও পরিণত হবে "শূন্য শূন্যের সমান", অর্থাৎ সঠিক সংখ্যাগত সমতা।

এখন দেখা যাক কিভাবে বাস্তব জীবনের উদাহরণ ব্যবহার করে এই সব কাজ করে।

সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

আজ আমরা রৈখিক সমীকরণ নিয়ে কাজ করছি, এবং শুধুমাত্র সবচেয়ে সহজ। সাধারণভাবে, একটি রৈখিক সমীকরণ মানে যে কোনো সমতা যা ঠিক একটি পরিবর্তনশীল ধারণ করে, এবং এটি শুধুমাত্র প্রথম ডিগ্রিতে যায়।

এই ধরনের নির্মাণগুলি প্রায় একই ভাবে সমাধান করা হয়:

1. প্রথমত, আপনাকে বন্ধনীগুলি প্রসারিত করতে হবে, যদি কোন থাকে (আমাদের শেষ উদাহরণের মতো);
2. তারপর অনুরূপ আনা
3. অবশেষে, ভেরিয়েবলকে আলাদা করুন, যেমন ভেরিয়েবলের সাথে সংযুক্ত সবকিছু-এটি যে পদগুলিতে রয়েছে—একদিকে সরান, এবং এটি ছাড়া বাকি থাকা সমস্ত কিছুকে অন্য দিকে সরান।

তারপরে, একটি নিয়ম হিসাবে, আপনাকে ফলস্বরূপ সমতার প্রতিটি পাশে একই রকম দিতে হবে এবং এর পরে যা অবশিষ্ট থাকে তা হল "x" এর সহগ দ্বারা ভাগ করা, এবং আমরা চূড়ান্ত উত্তর পাব।

তাত্ত্বিকভাবে, এটি দেখতে সুন্দর এবং সহজ, কিন্তু বাস্তবে, এমনকি অভিজ্ঞ উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা মোটামুটি সহজে আপত্তিকর ভুল করতে পারে রৈখিক সমীকরণ. সাধারণত, বন্ধনী খোলার সময় বা "প্লাস" এবং "মাইনাস" গণনা করার সময় ত্রুটিগুলি করা হয়।

উপরন্তু, এটি ঘটে যে একটি রৈখিক সমীকরণের কোনও সমাধান নেই, বা সমাধানটি সম্পূর্ণ সংখ্যারেখা, যেমন যেকোনো সংখ্যা। আমরা আজকের পাঠে এই সূক্ষ্মতাগুলি দেখব। তবে আমরা শুরু করব, যেমন আপনি ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছেন, খুব দিয়ে সহজ কাজ.

সরল রৈখিক সমীকরণ সমাধানের স্কিম

প্রথমে, আমাকে আবার সহজ রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য সম্পূর্ণ স্কিমটি লিখতে দিন:

1. বন্ধনী প্রসারিত করুন, যদি থাকে।
2. আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে বিচ্ছিন্ন করি, যেমন আমরা "X's" ধারণ করা সমস্ত কিছু একপাশে এবং "X's" ব্যতীত সমস্ত কিছু অন্য দিকে সরিয়ে দিই।
3. আমরা অনুরূপ শর্তাবলী উপস্থাপন.
4. আমরা "x" এর সহগ দ্বারা সবকিছু ভাগ করি।

অবশ্যই, এই স্কিমটি সর্বদা কাজ করে না; এতে কিছু সূক্ষ্মতা এবং কৌশল রয়েছে এবং এখন আমরা সেগুলি জানতে পারব।

সরল রৈখিক সমীকরণের বাস্তব উদাহরণ সমাধান করা

টাস্ক নং 1

প্রথম ধাপে আমাদের বন্ধনী খুলতে হবে। কিন্তু তারা এই উদাহরণে নেই, তাই আমরা এই ধাপটি এড়িয়ে যাই। দ্বিতীয় ধাপে আমাদের ভেরিয়েবলগুলোকে আলাদা করতে হবে। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: আমরা শুধুমাত্র পৃথক পদ সম্পর্কে কথা বলছি। আসুন এটি লিখুন:

আমরা বাম এবং ডানে একই পদ উপস্থাপন করি, কিন্তু এটি ইতিমধ্যেই এখানে করা হয়েছে। অতএব, আমরা চতুর্থ ধাপে এগিয়ে যাই: সহগ দ্বারা ভাগ করুন:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

তাই আমরা উত্তর পেয়েছি।

টাস্ক নং 2

আমরা এই সমস্যায় বন্ধনী দেখতে পাচ্ছি, তাই আসুন সেগুলি প্রসারিত করি:

বাম এবং ডান উভয় দিকেই আমরা প্রায় একই ডিজাইন দেখতে পাই, তবে আসুন অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ করি, যেমন ভেরিয়েবল আলাদা করা:

এখানে কিছু অনুরূপ আছে:

কি শিকড় এই কাজ করে? উত্তরঃ যে কোন জন্য। অতএব, আমরা লিখতে পারি যে $x$ যেকোনো সংখ্যা।

টাস্ক নং 3

তৃতীয় রৈখিক সমীকরণটি আরও আকর্ষণীয়:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

এখানে বেশ কয়েকটি বন্ধনী রয়েছে, তবে সেগুলিকে কোনও কিছু দ্বারা গুণ করা হয় না, সেগুলি কেবল বিভিন্ন চিহ্ন দ্বারা পূর্বে থাকে। আসুন সেগুলি ভেঙে ফেলি:

আমরা ইতিমধ্যে আমাদের কাছে পরিচিত দ্বিতীয় ধাপটি সম্পাদন করি:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

আসুন গণিত করি:

আমরা শেষ ধাপটি সম্পাদন করি - "x" এর সহগ দ্বারা সবকিছু ভাগ করুন:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

রৈখিক সমীকরণ সমাধান করার সময় যে বিষয়গুলো মনে রাখতে হবে

যদি আমরা খুব সাধারণ কাজগুলি উপেক্ষা করি, আমি নিম্নলিখিতগুলি বলতে চাই:

• আমি উপরে বলেছি, প্রতিটি রৈখিক সমীকরণের একটি সমাধান থাকে না - কখনও কখনও কেবলমাত্র কোনও শিকড় থাকে না;
• শিকড় থাকলেও তাদের মধ্যে শূন্য থাকতে পারে - এতে দোষের কিছু নেই।

শূন্য হল অন্যদের মতো একই সংখ্যা; আপনার এটির সাথে কোনোভাবেই বৈষম্য করা উচিত নয় বা ধরে নেওয়া উচিত নয় যে আপনি যদি শূন্য পান, তাহলে আপনি কিছু ভুল করেছেন।

আরেকটি বৈশিষ্ট্য বন্ধনী খোলার সাথে সম্পর্কিত। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: যখন তাদের সামনে একটি "বিয়োগ" থাকে, আমরা এটি সরিয়ে ফেলি, কিন্তু বন্ধনীতে আমরা চিহ্নগুলিকে পরিবর্তন করি বিপরীত. এবং তারপরে আমরা স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এটি খুলতে পারি: আমরা উপরের গণনায় যা দেখেছি তা পাব।

এই সাধারণ সত্যটি বোঝা আপনাকে হাই স্কুলে মূর্খ এবং ক্ষতিকারক ভুলগুলি করা এড়াতে সাহায্য করবে, যখন এই ধরনের জিনিসগুলিকে মঞ্জুর করা হয়।

জটিল রৈখিক সমীকরণ সমাধান করা

চলুন আরও জটিল সমীকরণে যাওয়া যাক। এখন নির্মাণগুলি আরও জটিল হয়ে উঠবে এবং বিভিন্ন রূপান্তর সম্পাদন করার সময় একটি চতুর্মুখী ফাংশন প্রদর্শিত হবে। যাইহোক, আমাদের এটিকে ভয় করা উচিত নয়, কারণ যদি, লেখকের পরিকল্পনা অনুসারে, আমরা একটি রৈখিক সমীকরণ সমাধান করি, তবে রূপান্তর প্রক্রিয়া চলাকালীন একটি দ্বিঘাত ফাংশন ধারণকারী সমস্ত মনোমিয়াল অবশ্যই বাতিল হয়ে যাবে।

উদাহরণ নং 1

স্পষ্টতই, প্রথম ধাপ হল বন্ধনী খোলা। আসুন এটি খুব সাবধানে করি:

এখন গোপনীয়তার দিকে নজর দেওয়া যাক:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

এখানে কিছু অনুরূপ আছে:

স্পষ্টতই, এই সমীকরণের কোন সমাধান নেই, তাই আমরা উত্তরে এটি লিখব:

\[\varnothing\]

বা কোন শিকড় আছে.

উদাহরণ নং 2

আমরা একই কর্ম সঞ্চালন. প্রথম ধাপ:

চলুন একটি ভেরিয়েবল সহ সবকিছু বাম দিকে সরানো যাক, এবং এটি ছাড়া - ডানদিকে:

এখানে কিছু অনুরূপ আছে:

স্পষ্টতই, এই রৈখিক সমীকরণের কোনও সমাধান নেই, তাই আমরা এটিকে এভাবে লিখব:

\[\varnothing\],

বা কোন শিকড় আছে.

সমাধানের সূক্ষ্মতা

উভয় সমীকরণ সম্পূর্ণরূপে সমাধান করা হয়. একটি উদাহরণ হিসাবে এই দুটি অভিব্যক্তি ব্যবহার করে, আমরা আবারও নিশ্চিত হয়েছি যে এমনকি সহজতম রৈখিক সমীকরণেও, সবকিছু এত সহজ নাও হতে পারে: একটি, বা কোনটি, বা অসীমভাবে অনেকগুলি মূল থাকতে পারে। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা দুটি সমীকরণ বিবেচনা করেছি, উভয়েরই কোনো শিকড় নেই।

তবে আমি অন্য একটি সত্যের প্রতি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই: বন্ধনীগুলির সাথে কীভাবে কাজ করবেন এবং তাদের সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকলে কীভাবে সেগুলি খুলবেন। এই অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন:

খোলার আগে, আপনাকে "X" দ্বারা সবকিছু গুণ করতে হবে। অনুগ্রহ করে নোট করুন: গুণিত হয় প্রতিটি পৃথক পদ. ভিতরে দুটি পদ আছে - যথাক্রমে, দুটি পদ এবং গুণিত।

এবং শুধুমাত্র এই আপাতদৃষ্টিতে প্রাথমিক, কিন্তু খুব গুরুত্বপূর্ণ এবং বিপজ্জনক রূপান্তরগুলি সম্পন্ন হওয়ার পরে, আপনি কি এই দৃষ্টিকোণ থেকে বন্ধনীটি খুলতে পারেন যে এর পরে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে। হ্যাঁ, হ্যাঁ: শুধুমাত্র এখন, যখন রূপান্তরগুলি সম্পন্ন হয়, আমরা মনে রাখি যে বন্ধনীগুলির সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে, যার অর্থ নীচের সমস্ত কিছু কেবল চিহ্নগুলিকে পরিবর্তন করে। একই সময়ে, বন্ধনীগুলি নিজেই অদৃশ্য হয়ে যায় এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, সামনের "মাইনাস" অদৃশ্য হয়ে যায়।

আমরা দ্বিতীয় সমীকরণের সাথে একই কাজ করি:

এটা দৈবক্রমে নয় যে আমি এই ছোট, আপাতদৃষ্টিতে তুচ্ছ ঘটনাগুলিতে মনোযোগ দিই। কারণ সমীকরণগুলি সমাধান করা সর্বদা প্রাথমিক রূপান্তরের একটি ক্রম, যেখানে স্পষ্টভাবে এবং দক্ষতার সাথে সাধারণ ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করতে অক্ষমতা এই সত্যের দিকে পরিচালিত করে যে উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা আমার কাছে আসে এবং আবার এই জাতীয় সহজ সমীকরণগুলি সমাধান করতে শেখে।

অবশ্যই, এমন দিন আসবে যখন আপনি এই দক্ষতাগুলিকে স্বয়ংক্রিয়তার পর্যায়ে নিয়ে যাবেন। আপনাকে আর প্রতিবার এতগুলি রূপান্তর করতে হবে না; আপনি এক লাইনে সবকিছু লিখবেন। কিন্তু আপনি যখন শিখছেন, তখন আপনাকে প্রতিটি কাজ আলাদাভাবে লিখতে হবে।

আরও জটিল রৈখিক সমীকরণ সমাধান করা

আমরা এখন যা সমাধান করতে যাচ্ছি তা খুব কমই সহজ কাজ বলা যেতে পারে, তবে অর্থ একই থাকে।

টাস্ক নং 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

প্রথম অংশের সমস্ত উপাদানকে গুন করা যাক:

আসুন কিছু গোপনীয়তা করি:

এখানে কিছু অনুরূপ আছে:

চলুন শেষ ধাপটি সম্পূর্ণ করি:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

এখানে আমাদের চূড়ান্ত উত্তর. এবং, সমাধানের প্রক্রিয়ায় আমাদের একটি দ্বিঘাত ফাংশন সহ সহগ থাকা সত্ত্বেও, তারা একে অপরকে বাতিল করে দেয়, যা সমীকরণটিকে রৈখিক করে এবং দ্বিঘাত নয়।

টাস্ক নং 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

আসুন সাবধানে প্রথম ধাপটি সম্পাদন করি: প্রথম বন্ধনী থেকে প্রতিটি উপাদানকে দ্বিতীয় থেকে প্রতিটি উপাদান দ্বারা গুণ করুন। রূপান্তরের পরে মোট চারটি নতুন পদ থাকা উচিত:

এখন আসুন প্রতিটি পদে গুণনটি যত্ন সহকারে সম্পাদন করি:

চলুন "X" সহ পদগুলিকে বাম দিকে সরানো যাক, এবং যাদের ছাড়া - ডানদিকে:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

এখানে অনুরূপ পদ আছে:

আবারও আমরা চূড়ান্ত উত্তর পেয়েছি।

সমাধানের সূক্ষ্মতা

এই দুটি সমীকরণ সম্পর্কে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নোট হল নিম্নোক্ত: যত তাড়াতাড়ি আমরা একাধিক পদ ধারণ করে এমন বন্ধনীকে গুণ করা শুরু করি, এটি নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে করা হয়: আমরা প্রথম থেকে প্রথম পদটি গ্রহণ করি এবং প্রতিটি উপাদানের সাথে গুণ করি দ্বিতীয়; তারপর আমরা প্রথম থেকে দ্বিতীয় উপাদানটি গ্রহণ করি এবং একইভাবে দ্বিতীয় থেকে প্রতিটি উপাদানের সাথে গুণ করি। ফলস্বরূপ, আমাদের চারটি পদ থাকবে।

বীজগণিতের যোগফল সম্পর্কে

এই শেষ উদাহরণ দিয়ে, আমি শিক্ষার্থীদের মনে করিয়ে দিতে চাই যে বীজগণিতের যোগফল কী। শাস্ত্রীয় গণিতে, $1-7$ দ্বারা আমরা একটি সাধারণ নির্মাণকে বোঝায়: একটি থেকে সাতটি বিয়োগ করুন। বীজগণিতে, আমরা এর দ্বারা নিম্নলিখিতগুলি বোঝাতে চাই: "এক" সংখ্যার সাথে আমরা আরেকটি সংখ্যা যোগ করি, যথা "বিয়োগ সাত"। এইভাবে একটি বীজগণিতের যোগফল একটি সাধারণ গাণিতিক যোগফল থেকে পৃথক হয়।

যত তাড়াতাড়ি, সমস্ত রূপান্তর সম্পাদন করার সময়, প্রতিটি সংযোজন এবং গুণন, আপনি উপরে বর্ণিতগুলির অনুরূপ নির্মাণগুলি দেখতে শুরু করেন, বহুপদ এবং সমীকরণগুলির সাথে কাজ করার সময় আপনার বীজগণিতে কোনও সমস্যা হবে না।

পরিশেষে, আসুন আরও কয়েকটি উদাহরণ দেখি যা আমরা যেগুলি দেখেছি তার চেয়ে আরও জটিল হবে এবং সেগুলি সমাধান করার জন্য আমাদের স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদমকে কিছুটা প্রসারিত করতে হবে।

ভগ্নাংশ দিয়ে সমীকরণ সমাধান করা

এই ধরনের কাজগুলি সমাধান করার জন্য, আমাদের অ্যালগরিদমে আরও একটি ধাপ যুক্ত করতে হবে। কিন্তু প্রথমে, আমি আপনাকে আমাদের অ্যালগরিদমের কথা মনে করিয়ে দিই:

1. বন্ধনী খুলতে.
2. পৃথক ভেরিয়েবল.
3. অনুরূপ বেশী আনুন.
4. অনুপাত দিয়ে ভাগ করুন।

হায়, এই বিস্ময়কর অ্যালগরিদম, এর সমস্ত কার্যকারিতার জন্য, যখন আমাদের সামনে ভগ্নাংশ থাকে তখন এটি সম্পূর্ণরূপে উপযুক্ত নয়। এবং আমরা নীচে যা দেখব, উভয় সমীকরণে আমাদের বাম এবং ডান উভয় দিকে একটি ভগ্নাংশ রয়েছে।

এই ক্ষেত্রে কীভাবে কাজ করবেন? হ্যাঁ, এটা খুব সহজ! এটি করার জন্য, আপনাকে অ্যালগরিদমে আরও একটি ধাপ যুক্ত করতে হবে, যা প্রথম কর্মের আগে এবং পরে উভয়ই করা যেতে পারে, যেমন, ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পাওয়া। তাই অ্যালগরিদম নিম্নরূপ হবে:

1. ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে.
2. বন্ধনী খুলতে.
3. পৃথক ভেরিয়েবল.
4. অনুরূপ বেশী আনুন.
5. অনুপাত দিয়ে ভাগ করুন।

"ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পেতে" এর অর্থ কী? এবং কেন এটি প্রথম স্ট্যান্ডার্ড ধাপের পরে এবং আগে উভয়ই করা যেতে পারে? আসলে, আমাদের ক্ষেত্রে, সমস্ত ভগ্নাংশ তাদের হর-এ সংখ্যাসূচক, অর্থাৎ সর্বত্র হর একটি সংখ্যা মাত্র। অতএব, যদি আমরা এই সংখ্যা দ্বারা সমীকরণের উভয় দিককে গুণ করি তবে আমরা ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পাব।

উদাহরণ নং 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=(x)^(2))-1\]

আসুন এই সমীকরণের ভগ্নাংশগুলি থেকে পরিত্রাণ করি:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

দয়া করে মনে রাখবেন: সবকিছুকে একবার "চার" দ্বারা গুণ করা হয়, যেমন আপনার দুটি বন্ধনী থাকার অর্থ এই নয় যে আপনাকে প্রতিটিকে "চার" দ্বারা গুণ করতে হবে। আসুন লিখুন:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

এখন প্রসারিত করা যাক:

আমরা পরিবর্তনশীলকে আলাদা করি:

আমরা অনুরূপ পদের হ্রাস সম্পাদন করি:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

আমরা পেয়েছি চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত, এবার দ্বিতীয় সমীকরণে যাওয়া যাক।

উদাহরণ নং 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+(x)^(2)=1\]

এখানে আমরা সমস্ত একই ক্রিয়া সম্পাদন করি:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

সমস্যাটি সমাধানকৃত.

যে, আসলে, আজ আমি আপনাকে বলতে চেয়েছিলাম.

গুরুত্বপূর্ণ দিক

মূল অনুসন্ধানগুলি হল:

• রৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম জানুন।
• বন্ধনী খোলার ক্ষমতা।
• দেখলে চিন্তা করবেন না দ্বিঘাত ফাংশন, সম্ভবত, আরও রূপান্তরের প্রক্রিয়াতে তারা হ্রাস পাবে।
• রৈখিক সমীকরণে তিন ধরনের শিকড় রয়েছে, এমনকি সহজতমগুলিও: একটি একক মূল, সম্পূর্ণ সংখ্যারেখাটি একটি মূল, এবং কোনও শিকড় নেই।

আমি আশা করি এই পাঠটি আপনাকে সমস্ত গণিতের আরও বোঝার জন্য একটি সহজ, কিন্তু অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয় আয়ত্ত করতে সাহায্য করবে। যদি কিছু পরিষ্কার না হয়, সাইটে যান এবং সেখানে উপস্থাপিত উদাহরণগুলি সমাধান করুন। সাথে থাকুন, আরও অনেক আকর্ষণীয় জিনিস আপনার জন্য অপেক্ষা করছে!

সমীকরণের সেই অংশটি হল বন্ধনীতে প্রকাশ করা। বন্ধনী খুলতে, বন্ধনীর সামনের চিহ্নটি দেখুন। যদি একটি প্লাস চিহ্ন থাকে, অভিব্যক্তিতে বন্ধনী খুললে কিছুই পরিবর্তন হবে না: শুধু বন্ধনীগুলি সরান। যদি একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকে, বন্ধনীগুলি খোলার সময়, আপনাকে অবশ্যই বন্ধনীতে থাকা সমস্ত চিহ্নগুলিকে বিপরীতে পরিবর্তন করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, -(2x-3)=-2x+3।

দুটি বন্ধনী গুণ করা হচ্ছে।
যদি সমীকরণে দুটি বন্ধনীর গুণফল থাকে, সেই অনুযায়ী বন্ধনী খোলা আদর্শ নিয়ম. প্রথম বন্ধনীর প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় বন্ধনীর প্রতিটি পদের সাথে গুণ করা হয়। প্রাপ্ত সংখ্যাগুলি সংক্ষিপ্ত করা হয়। এই ক্ষেত্রে, দুটি "প্লাস" বা দুটি "মাইনাস" এর গুণফল শব্দটিকে একটি "প্লাস" চিহ্ন দেয় এবং যদি কারণগুলি থাকে বিভিন্ন লক্ষণ, তারপর একটি বিয়োগ চিহ্ন পায়।
চলো বিবেচনা করি.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4।

বন্ধনী খোলার মাধ্যমে, কখনও কখনও একটি অভিব্যক্তি উত্থাপন করে। স্কোয়ারিং এবং কিউবডের সূত্রগুলি অবশ্যই হৃদয় দ্বারা জানা এবং মনে রাখতে হবে।
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে তিনটির বেশি রাশি গঠনের সূত্র তৈরি করা যেতে পারে।

সূত্র:

• বন্ধনী সম্প্রসারণ সূত্র

বন্ধনীতে আবদ্ধ গাণিতিক অপারেশনভেরিয়েবল এবং এক্সপ্রেশন থাকতে পারে সকলে সমানঅসুবিধা এই ধরনের অভিব্যক্তি গুন করতে, আপনাকে একটি সমাধান খুঁজতে হবে সাধারণ দৃষ্টিকোণ, বন্ধনী খোলা এবং ফলাফল সরলীকরণ. যদি বন্ধনীতে ভেরিয়েবল ছাড়াই ক্রিয়াকলাপ থাকে, শুধুমাত্র সংখ্যাসূচক মান সহ, তবে বন্ধনীগুলি খোলার প্রয়োজন নেই, যেহেতু আপনার যদি একটি কম্পিউটার থাকে তবে এর ব্যবহারকারীর খুব গুরুত্বপূর্ণ কম্পিউটিং সংস্থানগুলিতে অ্যাক্সেস রয়েছে - অভিব্যক্তিটি সরল করার চেয়ে সেগুলি ব্যবহার করা সহজ।

নির্দেশনা

আপনি যদি সাধারণ আকারে ফলাফল পেতে চান তবে অন্যান্য সমস্ত বন্ধনীর বিষয়বস্তু দ্বারা একটি বন্ধনীতে থাকা প্রতিটি (বা এর সাথে মিনিয়েন্ড) ক্রমিকভাবে গুণ করুন। উদাহরণস্বরূপ, মূল অভিব্যক্তিটি নিম্নরূপ লেখা যাক: (5+x)∗(6-x)∗(x+2)। তারপর অনুক্রমিক গুণ (অর্থাৎ, বন্ধনী খোলা) নিম্নলিখিত ফলাফল দেবে: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

অভিব্যক্তি সংক্ষিপ্ত করে ফলাফল সরলীকরণ. উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী ধাপে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিটি নিম্নরূপ সরলীকৃত করা যেতে পারে: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³।

একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন যদি আপনি x সমান 4.75 গুণ করতে চান, অর্থাৎ (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2)। এই মানটি গণনা করতে, Google বা Nigma সার্চ ইঞ্জিন ওয়েবসাইটে যান এবং ক্যোয়ারী ক্ষেত্রের অভিব্যক্তিটি তার আসল আকারে লিখুন (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2)। Google একটি বোতামে ক্লিক না করে অবিলম্বে 82.265625 দেখাবে, কিন্তু নিগমাকে একটি বোতামে ক্লিক করে সার্ভারে ডেটা পাঠাতে হবে।

বন্ধনীর প্রধান কাজ হল মান গণনা করার সময় কর্মের ক্রম পরিবর্তন করা। উদাহরণ স্বরূপ, সংখ্যাসূচক রাশি \(5·3+7\) গুণকটি প্রথমে গণনা করা হবে, এবং তারপর যোগ হবে: \(5·3+7 =15+7=22\)। কিন্তু অভিব্যক্তিতে \(5·(3+7)\) বন্ধনীর সংযোজন প্রথমে গণনা করা হবে, এবং শুধুমাত্র তারপর গুণিত হবে: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

উদাহরণ। বন্ধনীটি প্রসারিত করুন: \(-(4m+3)\)।
সমাধান : \(-(4m+3)=-4m-3\)।

উদাহরণ। বন্ধনী খুলুন এবং অনুরূপ পদ দিন \(5-(3x+2)+(2+3x)\)।
সমাধান : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)।

উদাহরণ। বন্ধনী প্রসারিত করুন \(5(3-x)\)।
সমাধান : বন্ধনীতে আছে \(3\) এবং \(-x\), এবং বন্ধনীর আগে একটি পাঁচ আছে। এর মানে হল যে বন্ধনীর প্রতিটি সদস্যকে \(5\) দ্বারা গুণ করা হয়েছে - আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি সংখ্যা এবং একটি বন্ধনীর মধ্যে গুণের চিহ্নটি এন্ট্রির আকার কমাতে গণিতে লেখা হয় না.

উদাহরণ। বন্ধনী প্রসারিত করুন \(-2(-3x+5)\)।
সমাধান : আগের উদাহরণের মতো, বন্ধনীতে \(-3x\) এবং \(5\) কে \(-2\) দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

উদাহরণ। অভিব্যক্তি সরল করুন: \(5(x+y)-2(x-y)\)।
সমাধান : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\)।

এটা শেষ পরিস্থিতি বিবেচনা অবশেষ.

একটি বন্ধনীকে একটি বন্ধনী দ্বারা গুণ করার সময়, প্রথম বন্ধনীর প্রতিটি পদ দ্বিতীয়টির প্রতিটি পদের সাথে গুণ করা হয়:

\(c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

উদাহরণ। বন্ধনী প্রসারিত করুন \((2-x)(3x-1)\)।
সমাধান : আমাদের ব্র্যাকেটের একটি পণ্য আছে এবং উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে তা অবিলম্বে প্রসারিত করা যেতে পারে। তবে বিভ্রান্ত না হওয়ার জন্য, আসুন ধাপে ধাপে সবকিছু করি।
ধাপ 1. প্রথম বন্ধনীটি সরান - এর প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় বন্ধনী দ্বারা গুণ করুন:

ধাপ 2. উপরে বর্ণিত হিসাবে বন্ধনীর পণ্য এবং ফ্যাক্টর প্রসারিত করুন:
- আগেরটা আগে...

তারপর দ্বিতীয়।

ধাপ 3. এখন আমরা একই পদকে গুণ করি এবং উপস্থাপন করি:

এই ধরনের বিস্তারিতভাবে সমস্ত রূপান্তর বর্ণনা করার প্রয়োজন নেই; আপনি এখনই তাদের গুণ করতে পারেন। কিন্তু আপনি যদি শুধু বন্ধনী খুলতে শিখছেন, বিস্তারিত লিখুন, তাহলে ভুল করার সম্ভাবনা কম থাকবে।

পুরো বিভাগে নোট করুন।আসলে, আপনাকে চারটি নিয়ম মনে রাখার দরকার নেই, আপনাকে শুধুমাত্র একটি মনে রাখতে হবে, এটি একটি: \(c(a-b)=ca-cb\)। কেন? কারণ আপনি যদি c এর পরিবর্তে একটি প্রতিস্থাপন করেন, আপনি নিয়ম পাবেন \((a-b)=a-b\)। এবং যদি আমরা একটি বিয়োগ প্রতিস্থাপন করি, আমরা নিয়ম পাব \(-(a-b)=-a+b\)। ঠিক আছে, যদি আপনি c এর পরিবর্তে অন্য বন্ধনীটি প্রতিস্থাপন করেন, আপনি শেষ নিয়মটি পেতে পারেন।

একটি বন্ধনীর মধ্যে বন্ধনী

কখনও কখনও অনুশীলনে অন্যান্য বন্ধনীর ভিতরে বন্ধনীর সাথে সমস্যা হয়। এখানে এই ধরনের একটি কাজের একটি উদাহরণ: অভিব্যক্তিটি সরলীকরণ করুন \(7x+2(5-(3x+y))\)।

এই ধরনের কাজগুলি সফলভাবে সমাধান করতে আপনার প্রয়োজন:
- বন্ধনীগুলির বাসাগুলি সাবধানে বুঝুন - কোনটি কোনটিতে রয়েছে;
- বন্ধনীগুলি ক্রমানুসারে খুলুন, শুরু করুন, উদাহরণস্বরূপ, সবচেয়ে ভিতরেরটি দিয়ে।

বন্ধনীগুলির একটি খোলার সময় এটি গুরুত্বপূর্ণ বাকি অভিব্যক্তি স্পর্শ করবেন না, শুধু এটি যেমন আছে পুনর্লিখন।
উদাহরণ হিসেবে উপরে লেখা টাস্কটি দেখি।

উদাহরণ। বন্ধনী খুলুন এবং অনুরূপ পদ দিন \(7x+2(5-(3x+y))\)।
সমাধান:

উদাহরণ। বন্ধনী খুলুন এবং অনুরূপ পদ দিন \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)।
সমাধান :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		এখানে বন্ধনীর ট্রিপল নেস্টিং আছে। এর সবচেয়ে ভিতরেরটি দিয়ে শুরু করা যাক (সবুজে হাইলাইট করা হয়েছে)। বন্ধনীর সামনে একটি প্লাস আছে, তাই এটি সহজভাবে বন্ধ হয়ে যায়।
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		এখন আপনাকে দ্বিতীয় বন্ধনীটি খুলতে হবে, মধ্যবর্তীটি। কিন্তু তার আগে, আমরা এই দ্বিতীয় বন্ধনীতে ভূত-সদৃশ পদগুলির অভিব্যক্তিকে সরল করব।
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		এখন আমরা দ্বিতীয় বন্ধনী খুলি (নীল রঙে হাইলাইট)। বন্ধনীর আগে একটি ফ্যাক্টর - তাই বন্ধনীর প্রতিটি পদ এটি দ্বারা গুণিত হয়।
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		এবং শেষ বন্ধনী খুলুন. বন্ধনীর সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে, তাই সমস্ত চিহ্ন বিপরীত।

বন্ধনী প্রসারিত করা গণিতের একটি মৌলিক দক্ষতা। এই দক্ষতা ছাড়া 8ম এবং 9ম গ্রেডে সি এর উপরে গ্রেড পাওয়া অসম্ভব। অতএব, আমি সুপারিশ করছি যে আপনি এই বিষয়টি ভালভাবে বোঝেন।

এই নিবন্ধে আমরা একটি গণিত কোর্সে বন্ধনী খোলার মতো একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়ের প্রাথমিক নিয়মগুলির উপর বিস্তারিত নজর দেব। যে সমীকরণগুলি ব্যবহার করা হয়েছে তা সঠিকভাবে সমাধান করার জন্য আপনাকে বন্ধনী খোলার নিয়মগুলি জানতে হবে।

যোগ করার সময় কিভাবে সঠিকভাবে বন্ধনী খুলবেন

"+" চিহ্নের পূর্বে থাকা বন্ধনীগুলি প্রসারিত করুন

এটি সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে, কারণ বন্ধনীর সামনে যদি একটি সংযোজন চিহ্ন থাকে তবে বন্ধনীগুলি খোলার সময় তাদের ভিতরের চিহ্নগুলি পরিবর্তন হয় না। উদাহরণ:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

কিভাবে একটি "-" চিহ্নের পূর্বে বন্ধনী প্রসারিত করবেন

ভিতরে এক্ষেত্রেআপনাকে বন্ধনী ছাড়াই সমস্ত পদ পুনরায় লিখতে হবে, তবে একই সাথে তাদের ভিতরের সমস্ত চিহ্নগুলিকে বিপরীতে পরিবর্তন করতে হবে। চিহ্নগুলি শুধুমাত্র সেই বন্ধনীগুলির শর্তগুলির জন্য পরিবর্তিত হয় যা "-" চিহ্নের পূর্বে ছিল। উদাহরণ:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

গুন করার সময় কিভাবে বন্ধনী খুলবেন

বন্ধনীর আগে একটি গুণক সংখ্যা আছে

এই ক্ষেত্রে, আপনাকে প্রতিটি পদকে একটি গুণক দ্বারা গুণ করতে হবে এবং চিহ্নগুলি পরিবর্তন না করে বন্ধনীগুলি খুলতে হবে। যদি গুণকের একটি "-" চিহ্ন থাকে, তবে গুণের সময় পদগুলির চিহ্নগুলি বিপরীত হয়। উদাহরণ:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

তাদের মধ্যে একটি গুণ চিহ্ন সহ দুটি বন্ধনী কীভাবে খুলবেন

এই ক্ষেত্রে, আপনাকে প্রথম বন্ধনী থেকে প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় বন্ধনী থেকে প্রতিটি পদের সাথে গুণ করতে হবে এবং তারপর ফলাফল যোগ করতে হবে। উদাহরণ:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

কিভাবে একটি বর্গক্ষেত্রে বন্ধনী খুলতে হয়

যদি দুটি পদের যোগফল বা পার্থক্য বর্গ করা হয়, বন্ধনীগুলি নিম্নলিখিত সূত্র অনুসারে খোলা উচিত:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2।

বন্ধনীর ভিতরে একটি বিয়োগের ক্ষেত্রে, সূত্র পরিবর্তন হয় না। উদাহরণ:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

অন্য ডিগ্রী বন্ধনী প্রসারিত কিভাবে

যদি পদগুলির যোগফল বা পার্থক্যটি উত্থাপিত হয়, উদাহরণস্বরূপ, 3য় বা 4র্থ শক্তিতে, তবে আপনাকে কেবল বন্ধনীটির শক্তিকে "বর্গ"-এ ভাঙতে হবে। অভিন্ন কারণের শক্তি যোগ করা হয়, এবং ভাগ করার সময়, ভাজকের শক্তি লভ্যাংশের শক্তি থেকে বিয়োগ করা হয়। উদাহরণ:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

কিভাবে 3টি বন্ধনী খুলবেন

এমন সমীকরণ রয়েছে যেখানে 3টি বন্ধনীকে একবারে গুণ করা হয়। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে প্রথমে প্রথম দুটি বন্ধনীর পদগুলিকে একসাথে গুণ করতে হবে এবং তারপরে তৃতীয় বন্ধনীর শর্তাবলী দ্বারা এই গুণের যোগফলকে গুণ করতে হবে। উদাহরণ:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

বন্ধনী খোলার এই নিয়মগুলি রৈখিক এবং ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ উভয় সমাধানের জন্য সমানভাবে প্রযোজ্য।