জটিল সংখ্যা সমীকরণ উদাহরণ সমাধান. অভিব্যক্তি, সমীকরণ এবং জটিল সংখ্যার সমীকরণের সিস্টেম

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন

রাষ্ট্রীয় শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

উচ্চতর পেশাগত শিক্ষা

"ভোরনেজ স্টেট পেডাগজিকাল ইউনিভার্সিটি"

AGLEBRA এবং জ্যামিতি বিভাগ

জটিল সংখ্যা

(নির্বাচিত কাজ)

স্নাতক যোগ্যতা কাজ

বিশেষত্ব 050201.65 গণিত

(অতিরিক্ত বিশেষত্ব 050202.65 কম্পিউটার বিজ্ঞান সহ)

সম্পূর্ণ করেছেন: ৫ম বর্ষের ছাত্র

শারীরিক এবং গাণিতিক

অনুষদ

বৈজ্ঞানিক উপদেষ্টা:

ভোরনেজ - 2008

1। পরিচিতি……………………………………………………...…………..…

2. জটিল সংখ্যা (নির্বাচিত সমস্যা)

2.1। মধ্যে জটিল সংখ্যা বীজগাণিতিক ফর্ম….……...……….….

2.2। জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা…………..

2.3। জটিল সংখ্যার ত্রিকোণমিতিক রূপ

2.4। 3য় এবং 4র্থ ডিগ্রির সমীকরণের সমাধানে জটিল সংখ্যার তত্ত্বের প্রয়োগ………………………………………………………………………

2.5। জটিল সংখ্যা এবং পরামিতি ………………………………………….

3. উপসংহার………………………………………………………………………।

4. রেফারেন্সের তালিকা………………………………………………………

1। পরিচিতি

স্কুলের গণিত পাঠ্যক্রমে, সংখ্যা তত্ত্বটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ, অমূলদ, যেমন উদাহরণ ব্যবহার করে প্রবর্তন করা হয়। বাস্তব সংখ্যার সেটে, যার চিত্রগুলি সম্পূর্ণ সংখ্যারেখা পূরণ করে। কিন্তু ইতিমধ্যে 8 তম গ্রেডে প্রকৃত সংখ্যার যথেষ্ট সরবরাহ নেই, একটি নেতিবাচক বৈষম্যকারীর সাথে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা। অতএব, জটিল সংখ্যার সাহায্যে বাস্তব সংখ্যার স্টক পুনরায় পূরণ করা প্রয়োজন ছিল, যার জন্য এর বর্গমূল ঋণাত্মক সংখ্যাঅর্থ আছে।

আমার স্নাতক বিষয় হিসাবে "জটিল সংখ্যা" বিষয় নির্বাচন করা যোগ্যতা কাজ, হল যে একটি জটিল সংখ্যার ধারণা সংখ্যা পদ্ধতি সম্পর্কে শিক্ষার্থীদের জ্ঞানকে প্রসারিত করে, বীজগণিত এবং জ্যামিতিক বিষয়বস্তুর বিস্তৃত সমস্যা সমাধানের বিষয়ে, সমাধান সম্পর্কে বীজগণিত সমীকরণযেকোন ডিগ্রী এবং প্যারামিটারের সাথে সমস্যা সমাধানের বিষয়ে।

এই থিসিসটি 82টি সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করে।

প্রধান বিভাগ "জটিল সংখ্যা" এর প্রথম অংশে সমস্যার সমাধান রয়েছে জটিল সংখ্যাবীজগাণিতিক আকারে, যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, বীজগাণিতিক আকারে জটিল সংখ্যাগুলির জন্য সংযোজন ক্রিয়াকলাপ, একটি কাল্পনিক এককের শক্তি, একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং নিষ্কাশনের নিয়মও বলা হয় বর্গমূলএকটি জটিল সংখ্যা থেকে।

দ্বিতীয় অংশে, জটিল সমতলের বিন্দু বা ভেক্টর আকারে জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যার সমস্যাগুলি সমাধান করা হয়।

তৃতীয় অংশ ত্রিকোণমিতিক আকারে জটিল সংখ্যার ক্রিয়াকলাপ পরীক্ষা করে। ব্যবহৃত সূত্রগুলো হল: Moivre এবং একটি জটিল সংখ্যার মূল বের করা।

চতুর্থ অংশটি 3য় এবং 4র্থ ডিগ্রির সমীকরণ সমাধানের জন্য নিবেদিত।

শেষ অংশে সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, "জটিল সংখ্যা এবং পরামিতি" পূর্ববর্তী অংশগুলিতে দেওয়া তথ্যগুলি ব্যবহার করা হয় এবং একত্রিত করা হয়। একটি প্যারামিটার সহ সমীকরণ (বৈষম্য) দ্বারা সংজ্ঞায়িত জটিল সমতলে লাইনের পরিবারগুলি নির্ধারণের জন্য অধ্যায়ের একটি সিরিজ সমস্যাগুলি নিবেদিত। অনুশীলনের অংশে আপনাকে একটি প্যারামিটার (ক্ষেত্র সি ওভার) দিয়ে সমীকরণগুলি সমাধান করতে হবে। এমন কিছু কাজ রয়েছে যেখানে একটি জটিল পরিবর্তনশীল একই সাথে বেশ কয়েকটি শর্ত পূরণ করে। এই বিভাগে সমস্যাগুলি সমাধানের একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হল তাদের মধ্যে অনেকগুলিকে একটি প্যারামিটার সহ অযৌক্তিক, ত্রিকোণমিতিক দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণ (বৈষম্য, সিস্টেম) এর সমাধানে হ্রাস করা।

প্রতিটি অংশে উপাদান উপস্থাপনের একটি বৈশিষ্ট্য হল প্রাথমিক ইনপুট তাত্ত্বিক ভিত্তি, এবং পরবর্তীতে সমস্যা সমাধানে তাদের ব্যবহারিক প্রয়োগ।

শেষে থিসিসব্যবহৃত সাহিত্যের একটি তালিকা উপস্থাপন করা হয়। তাদের বেশিরভাগই তাত্ত্বিক উপাদানকে পর্যাপ্ত বিশদে এবং অ্যাক্সেসযোগ্য পদ্ধতিতে উপস্থাপন করে, কিছু সমস্যার সমাধান বিবেচনা করে এবং দেয় ব্যবহারিক কাজজন্য স্বাধীন সিদ্ধান্ত. বিশেষ মনোযোগআমি যেমন উত্স উল্লেখ করতে চাই:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. জটিল সংখ্যা এবং তাদের অ্যাপ্লিকেশন: পাঠ্যপুস্তক। . উপাদান শিক্ষার এইডবক্তৃতা এবং ব্যবহারিক অনুশীলনের আকারে উপস্থাপিত।

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. প্রাথমিক গণিতের নির্বাচিত সমস্যা এবং উপপাদ্য। পাটিগণিত এবং বীজগণিত। বইটিতে বীজগণিত, পাটিগণিত এবং সংখ্যা তত্ত্ব সম্পর্কিত 320টি সমস্যা রয়েছে। এই কাজগুলো স্বাভাবিক স্কুলের কাজ থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা।

2. জটিল সংখ্যা (নির্বাচিত সমস্যা)

2.1। বীজগণিত আকারে জটিল সংখ্যা

গণিত এবং পদার্থবিদ্যার অনেক সমস্যার সমাধান বীজগণিতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য নেমে আসে, যেমন ফর্মের সমীকরণ

,

যেখানে a0, a1, …, an হল বাস্তব সংখ্যা। অতএব, বীজগণিত সমীকরণ অধ্যয়ন একটি গুরুতর বিষয়গণিতে উদাহরণস্বরূপ, এর সাথে দ্বিঘাত সমীকরণ নেতিবাচক বৈষম্যকারী. এই ধরনের সহজ সমীকরণ হল সমীকরণ

.

এই সমীকরণের সমাধান পেতে হলে, সমীকরণের মূল যোগ করে বাস্তব সংখ্যার সেটকে প্রসারিত করতে হবে।

.

এর দ্বারা এই মূলকে বোঝানো যাক

. সুতরাং, সংজ্ঞা দ্বারা, বা,

তাই,

. কাল্পনিক একক বলা হয়। এর সাহায্যে এবং এক জোড়া বাস্তব সংখ্যার সাহায্যে, ফর্মের একটি অভিব্যক্তি সংকলিত হয়।

ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিটিকে জটিল সংখ্যা বলা হত কারণ এতে বাস্তব এবং কাল্পনিক উভয় অংশই ছিল।

সুতরাং, জটিল সংখ্যাগুলি ফর্মের অভিব্যক্তি

, এবং বাস্তব সংখ্যা, এবং একটি নির্দিষ্ট প্রতীক যা শর্ত পূরণ করে। সংখ্যাটিকে জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ বলা হয় এবং সংখ্যাটি তার কাল্পনিক অংশ। চিহ্নগুলি , তাদের বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।

ফর্মের জটিল সংখ্যা

বাস্তব সংখ্যা এবং তাই, জটিল সংখ্যার সেটে বাস্তব সংখ্যার সেট থাকে।

ফর্মের জটিল সংখ্যা

বলা হয় সম্পূর্ণ কাল্পনিক। ফর্মের দুটি জটিল সংখ্যা এবং তাদের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ সমান হলে সমান বলা হয়, যেমন যদি সমতা, .

জটিল সংখ্যার বীজগণিতিক স্বরলিপি বীজগণিতের স্বাভাবিক নিয়ম অনুসারে তাদের উপর ক্রিয়াকলাপের অনুমতি দেয়।

জটিল সংখ্যার সমস্যা সমাধানের জন্য, আপনাকে মৌলিক সংজ্ঞাগুলি বুঝতে হবে। এই পর্যালোচনা নিবন্ধের মূল লক্ষ্য হল জটিল সংখ্যাগুলি কী এবং জটিল সংখ্যাগুলির সাথে মৌলিক সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য বর্তমান পদ্ধতিগুলি ব্যাখ্যা করা৷ সুতরাং, একটি জটিল সংখ্যাকে ফর্মের একটি সংখ্যা বলা হবে z = a + bi, কোথায় ক, খ- বাস্তব সংখ্যা, যাকে যথাক্রমে একটি জটিল সংখ্যার বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ বলা হয় এবং বোঝায় a = Re(z), b=Im(z).
iকাল্পনিক একক বলা হয়। i 2 = -1. বিশেষ করে, যেকোনো বাস্তব সংখ্যাকে জটিল হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে: a = a + 0i, যেখানে একটি বাস্তব. যদি a = 0এবং b ≠ 0, তাহলে সংখ্যাটিকে সাধারণত বিশুদ্ধভাবে কাল্পনিক বলা হয়।

এখন জটিল সংখ্যার ক্রিয়াকলাপ প্রবর্তন করা যাক।
দুটি জটিল সংখ্যা বিবেচনা করুন z 1 = a 1 + b 1 iএবং z 2 = a 2 + b 2 i.

চলো বিবেচনা করি z = a + bi.

জটিল সংখ্যার সেট বাস্তব সংখ্যার সেটকে প্রসারিত করে, যার ফলে সেটটি প্রসারিত হয় মূলদ সংখ্যাইত্যাদি বিনিয়োগের এই শৃঙ্খল চিত্রটিতে দেখা যেতে পারে: N - পূর্ণসংখ্যা, Z - পূর্ণসংখ্যা, Q - মূলদ, R - বাস্তব, C - জটিল।

জটিল সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব

বীজগণিতের স্বরলিপি।

একটি জটিল সংখ্যা বিবেচনা করুন z = a + bi, জটিল সংখ্যা লেখার এই রূপকে বলা হয় বীজগণিত. আমরা ইতিমধ্যে পূর্ববর্তী বিভাগে বিস্তারিতভাবে রেকর্ডিং এই ফর্ম আলোচনা করা হয়েছে. নিম্নলিখিত চাক্ষুষ অঙ্কন প্রায়ই ব্যবহৃত হয়

ত্রিকোণমিতিক ফর্ম।

অঙ্ক থেকে দেখা যায় যে সংখ্যাটি z = a + biভিন্নভাবে লেখা যায়। এটা স্পষ্ট যে a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, তাই z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) একটি জটিল সংখ্যার যুক্তি বলা হয়। একটি জটিল সংখ্যার এই উপস্থাপনা বলা হয় ত্রিকোণমিতিক ফর্ম. স্বরলিপির ত্রিকোণমিতিক ফর্ম কখনও কখনও খুব সুবিধাজনক। উদাহরণস্বরূপ, একটি জটিল সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা শক্তিতে বাড়াতে এটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক, যথা, যদি z = rcos(φ) + rsin(φ)i, যে z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, এই সূত্র বলা হয় Moivre এর সূত্র.

প্রদর্শনী ফর্ম।

চলো বিবেচনা করি z = rcos(φ) + rsin(φ)i- ত্রিকোণমিতিক আকারে একটি জটিল সংখ্যা, এটি অন্য আকারে লিখুন z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, শেষ সমতা অয়লারের সূত্র থেকে অনুসরণ করে, তাই আমরা পাই নতুন ইউনিফর্মজটিল সংখ্যা স্বরলিপি: z = re iφ, চমগ্মজগচ নির্দেশক. একটি জটিল সংখ্যাকে শক্তিতে উন্নীত করার জন্য স্বরলিপির এই ফর্মটিও খুব সুবিধাজনক: z n = r n e inφ, এখানে nঅগত্যা একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, তবে একটি নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। স্বরলিপির এই ফর্মটি প্রায়শই সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত হয়।

উচ্চ বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য

আসুন কল্পনা করি যে আমাদের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আছে x 2 + x + 1 = 0। স্পষ্টতই, এই সমীকরণের বৈষম্যকারী নেতিবাচক এবং এর কোনো প্রকৃত শিকড় নেই, কিন্তু দেখা যাচ্ছে যে এই সমীকরণের দুটি ভিন্ন জটিল শিকড় রয়েছে। সুতরাং, উচ্চতর বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটি বলে যে ডিগ্রী n-এর যেকোনো বহুপদীর অন্তত একটি জটিল মূল রয়েছে। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে ডিগ্রী n-এর যেকোন বহুপদীর ঠিক n জটিল শিকড় রয়েছে, তাদের বহুত্বকে বিবেচনা করে। এই উপপাদ্যটি গণিতে একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল এবং ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এই উপপাদ্যের একটি সহজ ফলাফল হল যে ঠিক n আছে বিভিন্ন শিকড়একতা ডিগ্রী n.

প্রধান ধরনের কাজ

এই বিভাগে প্রধান ধরনের কভার করা হবে সহজ কাজজটিল সংখ্যায়। প্রচলিতভাবে, জটিল সংখ্যার সমস্যাগুলিকে নিম্নলিখিত শ্রেণীতে ভাগ করা যায়।

• জটিল সংখ্যার উপর সহজ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা।
• জটিল সংখ্যায় বহুপদীর মূল খুঁজে বের করা।
• ক্ষমতায় জটিল সংখ্যা উত্থাপন.
• জটিল সংখ্যা থেকে মূল বের করা।
• অন্যান্য সমস্যা সমাধানের জন্য জটিল সংখ্যা ব্যবহার করা।

এখন বিবেচনা করা যাক সাধারণ কৌশলএই সমস্যার সমাধান।

জটিল সংখ্যাগুলির সাথে সহজতম গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি প্রথম বিভাগে বর্ণিত নিয়ম অনুসারে সঞ্চালিত হয়, তবে যদি জটিল সংখ্যাগুলি ত্রিকোণমিতিক বা সূচকীয় আকারে উপস্থাপিত হয়, তবে এই ক্ষেত্রে আপনি সেগুলিকে বীজগণিতীয় আকারে রূপান্তর করতে পারেন এবং পরিচিত নিয়ম অনুসারে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন।

বহুপদীর শিকড় খোঁজা সাধারণত একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খোঁজার জন্য নেমে আসে। ধরুন যে আমাদের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আছে, যদি তার বৈষম্যটি অ-নেতিবাচক হয়, তবে এর শিকড় বাস্তব হবে এবং একটি সুপরিচিত সূত্র অনুসারে পাওয়া যাবে। যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, অর্থাৎ, D = -1∙a 2, কোথায় কএকটি নির্দিষ্ট সংখ্যা, তারপর বৈষম্যকারী হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে D = (ia) 2, তাই √D = i|a|, এবং তারপর আপনি ব্যবহার করতে পারেন সুপরিচিত সূত্রএকটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের জন্য।

উদাহরণ. আসুন উপরে যা উল্লেখ করা হয়েছিল সেদিকে ফিরে যাই। দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 + x + 1 = 0।
বৈষম্যমূলক - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
এখন আমরা সহজেই শিকড় খুঁজে পেতে পারি:

জটিল সংখ্যাকে ক্ষমতায় উন্নীত করা বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে। আপনার যদি বীজগণিত আকারে একটি জটিল সংখ্যাকে একটি ছোট শক্তিতে (2 বা 3) বাড়াতে হয়, তবে আপনি সরাসরি গুণনের মাধ্যমে এটি করতে পারেন, তবে যদি শক্তিটি বড় হয় (সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে এটি প্রায়শই অনেক বড় হয়), তবে আপনাকে এটি করতে হবে। এই সংখ্যাটি ত্রিকোণমিতিক বা সূচকীয় আকারে লিখুন এবং ইতিমধ্যে পরিচিত পদ্ধতি ব্যবহার করুন।

উদাহরণ. z = 1 + i বিবেচনা করুন এবং এটিকে দশম শক্তিতে বাড়ান।
z কে সূচক আকারে লিখি: z = √2 e iπ/4।
তারপর z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
চলুন বীজগণিত আকারে ফিরে আসি: z 10 = -32i।

জটিল সংখ্যা থেকে মূল বের করা হল সূচকের বিপরীত ক্রিয়াকলাপ এবং তাই একইভাবে সঞ্চালিত হয়। শিকড় বের করতে, সংখ্যা লেখার সূচকীয় ফর্ম প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ. আসুন ঐক্যের ডিগ্রি 3 এর সমস্ত শিকড় খুঁজে বের করি। এটি করার জন্য, আমরা z 3 = 1 সমীকরণের সমস্ত শিকড় খুঁজে পাব, আমরা সূচকীয় আকারে মূলগুলি সন্ধান করব।
সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা যাক: r 3 e 3iφ = 1 বা r 3 e 3iφ = e 0।
তাই: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, অতএব φ = 2πk/3।
φ = 0, 2π/3, 4π/3 এ বিভিন্ন মূল পাওয়া যায়।
অতএব 1, e i2π/3, e i4π/3 হল মূল।
অথবা বীজগণিত আকারে:

শেষ ধরনের সমস্যাগুলির মধ্যে রয়েছে বিভিন্ন ধরণের সমস্যা এবং সেগুলি সমাধানের জন্য কোনও সাধারণ পদ্ধতি নেই। আসুন এই জাতীয় কাজের একটি সহজ উদাহরণ দেওয়া যাক:

পরিমাণ খুঁজুন sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

যদিও এই সমস্যাটির গঠন জটিল সংখ্যার সাথে জড়িত নয়, তবে তাদের সাহায্যে এটি সহজেই সমাধান করা যেতে পারে। এটি সমাধান করতে, নিম্নলিখিত উপস্থাপনা ব্যবহার করা হয়:


এখন যদি আমরা এই উপস্থাপনাটিকে যোগফলের মধ্যে প্রতিস্থাপন করি, তাহলে সমস্যাটি স্বাভাবিক জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফলের জন্য হ্রাস পাবে।

উপসংহার

জটিল সংখ্যাগুলি গণিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, এই পর্যালোচনা নিবন্ধটি জটিল সংখ্যার মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলি পরীক্ষা করে, বিভিন্ন ধরণের স্ট্যান্ডার্ড সমস্যা বর্ণনা করে এবং সংক্ষিপ্তভাবে বর্ণনা করে সাধারণ পদ্ধতিতাদের সমাধান, জটিল সংখ্যার ক্ষমতার আরও বিশদ অধ্যয়নের জন্য, বিশেষ সাহিত্য ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

সাহিত্য

আমাদের জীবনে সমীকরণের ব্যবহার ব্যাপক। এগুলি অনেক গণনা, কাঠামো নির্মাণ এবং এমনকি খেলাধুলায় ব্যবহৃত হয়। মানুষ প্রাচীনকালে সমীকরণ ব্যবহার করত, এবং তারপর থেকে তাদের ব্যবহার বেড়েছে। স্বচ্ছতার জন্য, আসুন নিম্নলিখিত সমস্যাটি সমাধান করি:

গণনা করুন \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] যদি \

প্রথমত, আসুন এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিন যে একটি সংখ্যা বীজগণিত আকারে উপস্থাপন করা হয়েছে, অন্যটি ত্রিকোণমিতিক আকারে। এটাকে সরলীকৃত করে নিচের ফর্মে আনা দরকার

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6))।\]

অভিব্যক্তি \ বলে যে প্রথমে আমরা Moivre সূত্র ব্যবহার করে 10 তম শক্তিতে গুণন এবং বৃদ্ধি করি। এই সূত্রটি একটি জটিল সংখ্যার ত্রিকোণমিতিক ফর্মের জন্য তৈরি করা হয়েছে। আমরা পেতে:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( ৩)\]

জটিল সংখ্যাগুলিকে ত্রিকোণমিতিক আকারে গুণ করার নিয়ম অনুসরণ করে, আমরা নিম্নলিখিতগুলি করি:

আমাদের ক্ষেত্রে:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3)।\]

ভগ্নাংশ \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] সঠিক করে, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে আমরা 4টি বাঁক \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

উত্তর: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (৩))\]

এই সমীকরণটি অন্য উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে, যা 2য় সংখ্যাকে বীজগণিত আকারে নিয়ে আসে, তারপর বীজগাণিতিক আকারে গুণন সম্পাদন করে, ফলাফলটিকে ত্রিকোণমিতিক আকারে রূপান্তর করে এবং Moivre-এর সূত্র প্রয়োগ করে:

আমি অনলাইনে জটিল সংখ্যার সমীকরণের একটি সিস্টেম কোথায় সমাধান করতে পারি?

আপনি আমাদের ওয়েবসাইট https://site এ সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করতে পারেন। বিনামূল্যের অনলাইন সমাধানকারী আপনাকে কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে যেকোনো জটিলতার অনলাইন সমীকরণ সমাধান করতে দেবে। আপনাকে যা করতে হবে তা হল সমাধানকারীতে আপনার ডেটা প্রবেশ করানো। এছাড়াও আপনি ভিডিও নির্দেশাবলী দেখতে পারেন এবং আমাদের ওয়েবসাইটে কীভাবে সমীকরণটি সমাধান করবেন তা শিখতে পারেন। এবং যদি আপনার এখনও প্রশ্ন থাকে, আপনি আমাদের VKontakte গ্রুপে তাদের জিজ্ঞাসা করতে পারেন http://vk.com/pocketteacher. আমাদের গ্রুপে যোগ দিন, আমরা আপনাকে সাহায্য করতে সবসময় খুশি।