পাঠ পরিকল্পনা.
1. সাংগঠনিক মুহূর্ত।
2. উপাদান উপস্থাপনা.
3. বাড়ির কাজ।
4. পাঠের সারসংক্ষেপ।
ক্লাস চলাকালীন
I. সাংগঠনিক মুহূর্ত.
২. উপাদান উপস্থাপনা.
প্রেরণা।
বাস্তব সংখ্যার সেটের সম্প্রসারণ হল বাস্তব সংখ্যার সাথে নতুন সংখ্যা (কাল্পনিক) যোগ করা। প্রকৃত সংখ্যার সেটে ঋণাত্মক সংখ্যার মূল বের করার অসম্ভবতার কারণে এই সংখ্যাগুলির প্রবর্তন হয়।
ধারণার ভূমিকা জটিল সংখ্যা.
কাল্পনিক সংখ্যা, যার সাথে আমরা বাস্তব সংখ্যার পরিপূরক, ফর্মে লেখা হয় দ্বি, কোথায় iএকটি কাল্পনিক একক, এবং i 2 = - 1.
এর উপর ভিত্তি করে, আমরা একটি জটিল সংখ্যার নিম্নলিখিত সংজ্ঞা পাই।
সংজ্ঞা. একটি জটিল সংখ্যা ফর্মের একটি অভিব্যক্তি a+bi, কোথায় কএবং খ- বাস্তব সংখ্যার. এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হয়:
ক) দুটি জটিল সংখ্যা a 1 + b 1 iএবং a 2 + b 2 iসমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি a 1 = a 2, b 1 = b 2.
খ) জটিল সংখ্যার যোগ নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
গ) জটিল সংখ্যার গুণফল নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
বীজগণিত ফর্মজটিল সংখ্যা.
ফর্মে একটি জটিল সংখ্যা লেখা a+biএকটি জটিল সংখ্যার বীজগণিতিক রূপ বলা হয়, যেখানে ক- বাস্তব অংশ, দ্বিকাল্পনিক অংশ, এবং খ- সত্য নম্বর.
জটিল সংখ্যা a+biশূন্যের সমান বিবেচিত হয় যদি এর বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ শূন্যের সমান হয়: a = b = 0
জটিল সংখ্যা a+biএ b = 0একটি বাস্তব সংখ্যা হিসাবে একই বিবেচনা করা হয় ক: a + 0i = a.
জটিল সংখ্যা a+biএ a = 0বিশুদ্ধভাবে কাল্পনিক বলা হয় এবং চিহ্নিত করা হয় দ্বি: 0 + bi = bi.
দুটি জটিল সংখ্যা z = a + biএবং = a – bi, শুধুমাত্র কাল্পনিক অংশের চিহ্নের মধ্যে পার্থক্য, বলা হয় সংযোজিত।
বীজগণিত আকারে জটিল সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপ।
আপনি বীজগণিত আকারে জটিল সংখ্যার উপর নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করতে পারেন।
1) সংযোজন।
সংজ্ঞা. জটিল সংখ্যার যোগফল z 1 = a 1 + b 1 iএবং z 2 = a 2 + b 2 iএকটি জটিল সংখ্যা বলা হয় z, যার বাস্তব অংশ বাস্তব অংশের যোগফলের সমান z 1এবং z 2, এবং কাল্পনিক অংশ হল সংখ্যার কাল্পনিক অংশের সমষ্টি z 1এবং z 2, এটাই z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
সংখ্যা z 1এবং z 2পদ বলা হয়।
জটিল সংখ্যার সংযোজনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
1º। পরিবর্তনশীলতা: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º। সহযোগীতা: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3)।
3º। জটিল সংখ্যা -a -biএকটি জটিল সংখ্যার বিপরীত বলা হয় z = a + bi. জটিল সংখ্যা, জটিল সংখ্যার বিপরীত z, নির্দেশিত -z. জটিল সংখ্যার যোগফল zএবং -zশূন্যের সমান: z + (-z) = 0
উদাহরণ 1: সংযোজন সম্পাদন করুন (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) বিয়োগ।
সংজ্ঞা।একটি জটিল সংখ্যা থেকে বিয়োগ করুন z 1জটিল সংখ্যা z 2 জেড,কি z + z 2 = z 1.
উপপাদ্য. জটিল সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য বিদ্যমান এবং অনন্য।
উদাহরণ 2: একটি বিয়োগ সম্পাদন করুন (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) গুণ।
সংজ্ঞা. জটিল সংখ্যার গুণফল z 1 =a 1 +b 1 iএবং z 2 =a 2 +b 2 iএকটি জটিল সংখ্যা বলা হয় z, সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
সংখ্যা z 1এবং z 2ফ্যাক্টর বলা হয়।
জটিল সংখ্যার গুণের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
1º। পরিবর্তনশীলতা: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º। সহযোগীতা: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º। যোগ সাপেক্ষে গুণের বন্টন:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º। z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- সত্য নম্বর.
অনুশীলনে, একটি যোগফলকে যোগফল দ্বারা গুণ করার এবং বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিকে পৃথক করার নিয়ম অনুসারে জটিল সংখ্যাগুলির গুণন করা হয়।
নিম্নলিখিত উদাহরণে, আমরা জটিল সংখ্যাগুলিকে দুটি উপায়ে গুণ করার কথা বিবেচনা করব: নিয়ম অনুসারে এবং যোগফলকে যোগফল দ্বারা গুণ করে।
উদাহরণ 3: গুণ করুন (2 + 3i) (5 - 7i).
1 উপায়। (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
পদ্ধতি 2। (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) বিভাগ।
সংজ্ঞা. একটি জটিল সংখ্যা ভাগ করুন z 1একটি জটিল সংখ্যায় z 2, মানে এমন একটি জটিল সংখ্যা খুঁজে বের করা z, কি z·z 2 = z 1.
উপপাদ্য।জটিল সংখ্যার ভাগফল বিদ্যমান এবং যদি অনন্য z 2 ≠ 0 + 0i.
অনুশীলনে, জটিল সংখ্যার ভাগফল পাওয়া যায় লব এবং হরকে হরের সংযোজন দ্বারা গুণ করে।
দিন z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, তারপর
.
নিম্নলিখিত উদাহরণে, আমরা সূত্র এবং হরকে সংযোজিত সংখ্যা দ্বারা গুণের নিয়ম ব্যবহার করে ভাগ করব।
উদাহরণ 4. ভাগফল নির্ণয় কর 
.
5) একটি ইতিবাচক সমগ্র শক্তি উত্থাপন.
ক) কাল্পনিক এককের ক্ষমতা।
সমতার সুযোগ নিচ্ছে i 2 = -1, কাল্পনিক এককের যেকোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা শক্তিকে সংজ্ঞায়িত করা সহজ। আমাদের আছে:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1ইত্যাদি
এই ডিগ্রী মান দেখায় ভিতরে, কোথায় n– একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, পর্যায়ক্রমে পুনরাবৃত্তি হয় যখন সূচক বৃদ্ধি পায় 4 .
তাই সংখ্যা বাড়াতে হবে iএকটি ধনাত্মক সমগ্র শক্তিতে, আমাদের অবশ্যই সূচকটিকে দ্বারা ভাগ করতে হবে 4 এবং নির্মাণ iএকটি শক্তি যার সূচক ভাগের অবশিষ্টাংশের সমান।
উদাহরণ 5: গণনা করুন: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i।
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 – i।
b) একটি জটিল সংখ্যাকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার শক্তিতে উত্থাপন করা হয় একটি দ্বিপদীকে সংশ্লিষ্ট শক্তিতে উত্থাপন করার নিয়ম অনুসারে, যেহেতু এটি প্রতিনিধিত্ব করে বিশেষ মামলাঅভিন্ন জটিল কারণের গুণন।
উদাহরণ 6: গণনা করুন: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i।
জটিল সংখ্যা হল বাস্তব সংখ্যার সেটের একটি এক্সটেনশন, সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যেকোন জটিল সংখ্যাকে একটি আনুষ্ঠানিক যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে এবং বাস্তব সংখ্যা এবং কাল্পনিক একক।
একটি জটিল সংখ্যা , , আকারে লেখাকে জটিল সংখ্যার বীজগণিতিক রূপ বলে।
জটিল সংখ্যার বৈশিষ্ট্য। একটি জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা।
বীজগাণিতিক আকারে দেওয়া জটিল সংখ্যার ক্রিয়া:
চলুন দেখে নেওয়া যাক কোন নিয়মে গাণিতিক অপারেশনজটিল সংখ্যার উপরে।
যদি দুটি জটিল সংখ্যা α = a + bi এবং β = c + di দেওয়া হয়, তাহলে
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i। (এগার)
এটি বাস্তব সংখ্যার দুটি ক্রমযুক্ত জোড়ার যোগ এবং বিয়োগের ক্রিয়াকলাপের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে (সূত্র দেখুন (1) এবং (3))। আমরা জটিল সংখ্যা যোগ এবং বিয়োগ করার নিয়ম পেয়েছি: দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করার জন্য, আমাদের আলাদাভাবে তাদের বাস্তব অংশ এবং সেই অনুযায়ী, তাদের কাল্পনিক অংশ যোগ করতে হবে; একটি জটিল সংখ্যা থেকে আরেকটি বিয়োগ করার জন্য, যথাক্রমে তাদের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলি বিয়োগ করা প্রয়োজন।
সংখ্যা – α = – a – bi সংখ্যাটিকে α = a + bi সংখ্যার বিপরীত বলে। এই দুটি সংখ্যার যোগফল শূন্য: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0।
জটিল সংখ্যাগুলিকে গুণ করার নিয়ম পেতে, আমরা সূত্র (6), অর্থাৎ, i2 = -1 ব্যবহার করি। এই সম্পর্কটিকে বিবেচনায় নিয়ে, আমরা (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i – bd, i.e.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i। (12)
এই সূত্রটি সূত্র (2) এর সাথে মিলে যায়, যা বাস্তব সংখ্যার ক্রমকৃত জোড়ার গুণ নির্ধারণ করে।
লক্ষ্য করুন যে দুটি জটিল সংযোজক সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল হল বাস্তব সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, যদি α = a + bi, = a – bi, তাহলে α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i = 2a, i.e.
α + = 2a, α = a2 + b2। (13)
বীজগাণিতিক আকারে দুটি জটিল সংখ্যাকে ভাগ করার সময়, একজনের আশা করা উচিত যে ভাগফলকে একই ধরণের একটি সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেমন α/β = u + vi, যেখানে u, v R। আসুন জটিল সংখ্যাগুলিকে ভাগ করার নিয়মটি বের করি। . সংখ্যা α = a + bi, β = c + di দেওয়া যাক, এবং β ≠ 0, অর্থাৎ c2 + d2 ≠ 0। শেষ অসমতার মানে হল যে c এবং d একই সাথে অদৃশ্য হয়ে যায় না (কেসটি বাদ দেওয়া হয় যখন c = 0 হয় , d = 0)। সূত্র (12) এবং সমতার দ্বিতীয় (13) প্রয়োগ করে, আমরা পাই:
অতএব, দুটি জটিল সংখ্যার ভাগফল সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
সূত্র (4) অনুরূপ.
β = c + di সংখ্যাটির ফলস্বরূপ সূত্রটি ব্যবহার করে, আপনি এর বিপরীত সংখ্যা β-1 = 1/β খুঁজে পেতে পারেন। সূত্রে a = 1, b = 0 ধরে নিলে (14), আমরা পাই
এই সূত্রটি শূন্য ব্যতীত একটি প্রদত্ত জটিল সংখ্যার বিপরীত নির্ধারণ করে; এই সংখ্যাটিও জটিল।
যেমন: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
বীজগণিত আকারে জটিল সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপ।
55. একটি জটিল সংখ্যার যুক্তি। জটিল সংখ্যা লেখার ত্রিকোণমিতিক রূপ (উৎপত্তি)।
Arg.com.numbers. - বাস্তব X অক্ষের ধনাত্মক দিক এবং প্রদত্ত সংখ্যার প্রতিনিধিত্বকারী ভেক্টরের মধ্যে।
ত্রিকোণ সূত্র। সংখ্যা:,
একটি জটিল সংখ্যা লেখার বীজগণিতীয় রূপ.................................. ........................................ | |||
জটিল সংখ্যার সমতল ................................................ ........................................................ ............................ | |||
জটিল সংযোজন সংখ্যা ................................................ ..................................................... ..................... | |||
বীজগাণিতিক আকারে জটিল সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপ ................................... ......... | |||
জটিল সংখ্যার সংযোজন.................................................. ........................................................... ................ | |||
জটিল সংখ্যা বিয়োগ করা.................................................. ..................................................... ..................... | |||
জটিল সংখ্যার গুণ ................................................. ..................................................... ................. | |||
জটিল সংখ্যাকে ভাগ করা ................................................ ........................................................ ................... | |||
একটি জটিল সংখ্যা লেখার ত্রিকোণমিতিক রূপ...................................... ........... | |||
ত্রিকোণমিতিক আকারে জটিল সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপ........................................ ........ | |||
ত্রিকোণমিতিক আকারে জটিল সংখ্যাকে গুণ করা ................................. ........ | |||
জটিল সংখ্যাকে ত্রিকোণমিতিক আকারে ভাগ করা ................................................ ........... | |||
একটি জটিল সংখ্যাকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা শক্তিতে উত্থাপন করা.................................. ........... | |||
একটি জটিল সংখ্যা থেকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ডিগ্রীর মূল বের করা.................................. | |||
একটি যৌক্তিক শক্তিতে একটি জটিল সংখ্যা উত্থাপন করা.................................................. ..................... | |||
জটিল সিরিজ................................. ................................................... ........................................ | |||
কমপ্লেক্স নম্বর সিরিজ................................................. ..................................................... ..................... | |||
জটিল সমতলে পাওয়ার সিরিজ............................................ ........................................ | |||
দ্বিপার্শ্ব শক্তি ধারাজটিল সমতলে ................................................... ..... | |||
একটি জটিল পরিবর্তনশীলের কাজ ................................................. ........................................................ | |||
মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন ................................................ ........................................................ . | |||
অয়লারের সূত্র ................................................ ................................................... ........................................ | |||
একটি জটিল সংখ্যার প্রতিনিধিত্বের সূচকীয় রূপ...................................... ........................ | |||
ত্রিকোণমিতিক এবং হাইপারবোলিক ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক ................................. | |||
লগারিদমিক ফাংশন ................................... ................................................... ......... | |||
সাধারণ সূচকীয় এবং সাধারণ শক্তি ফাংশন................................. ........................ | |||
একটি জটিল ভেরিয়েবলের ফাংশনের পার্থক্য........................................ ......... | |||
কচি-রিম্যানের অবস্থা .................................. ..................................................... ........................... | |||
ডেরিভেটিভ গণনা করার জন্য সূত্র................................................. ........................................................ | |||
ডিফারেনসিয়েশন অপারেশনের বৈশিষ্ট্য ................................................ ........................................................ | |||
একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলির বৈশিষ্ট্য ................................. | |||
একটি জটিল ভেরিয়েবলের বাস্তব বা কাল্পনিক থেকে একটি ফাংশনের পুনর্গঠন |
|||
পদ্ধতি নম্বর 1। একটি বক্ররেখা অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে................................................. ...... ....... | |||
পদ্ধতি নম্বর 2। Cauchy-Riemann শর্তের সরাসরি প্রয়োগ................................. | |||
পদ্ধতি নং 3। চাওয়া ফাংশনের ডেরিভেটিভের মাধ্যমে........................................... ........ | |||
একটি জটিল ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলির একীকরণ........................................... ........... | |||
অখণ্ড কচি সূত্র................................................. ..................................................... .............. | |||
টেলর এবং লরেন্ট সিরিজের ফাংশন সম্প্রসারণ.................................. .......................................... | |||
একটি জটিল চলকের একটি ফাংশনের শূন্য এবং একবচন বিন্দু.................................. ............ | |||
একটি জটিল ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের শূন্য .................................. ......................................... | |||
একটি জটিল চলকের একটি ফাংশনের বিচ্ছিন্ন একবচন বিন্দু..................................... | |||
14.3 একটি জটিল ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের একক বিন্দু হিসাবে অসীমতার একটি বিন্দু
কর্তন ................................................... ........................................................ ..................................................... ... | |||
চূড়ান্ত বিন্দুতে কর্তন ................................................ ...................................................... ............ | |||
অসীমতার একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের অবশিষ্টাংশ......................................... ........................... | |||
অবশিষ্টাংশ ব্যবহার করে পূর্ণসংখ্যার গণনা................................................. ....................................... | |||
স্ব-পরীক্ষার প্রশ্ন............................................. ..................................................... ........................................... | |||
সাহিত্য................................................. ..................................................... ...................................................... | |||
বিষয় সূচক ................................................ ..................................................... ...................... | |||
মুখবন্ধ
পরীক্ষা বা মডিউল সার্টিফিকেশনের তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক অংশগুলির জন্য প্রস্তুতির সময় সঠিকভাবে সময় এবং প্রচেষ্টা বিতরণ করা বেশ কঠিন, বিশেষত যেহেতু সেশনের সময় সবসময় পর্যাপ্ত সময় থাকে না। এবং অনুশীলন শো হিসাবে, সবাই এটি মোকাবেলা করতে পারে না। ফলস্বরূপ, পরীক্ষার সময়, কিছু শিক্ষার্থী সঠিকভাবে সমস্যার সমাধান করে, তবে সবচেয়ে সহজ উত্তর দিতে তাদের অসুবিধা হয় তাত্ত্বিক সমস্যা, অন্যরা উপপাদ্য গঠন করতে পারে, কিন্তু এটি প্রয়োগ করতে পারে না।
"থিওরি অফ ফাংশনস অফ এ কমপ্লেক্স ভেরিয়েবল" (TFCP) কোর্সে পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য এই নির্দেশিকাগুলি এই দ্বন্দ্বের সমাধান করার এবং কোর্সের তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক উপাদানগুলির একই সাথে পুনরাবৃত্তি নিশ্চিত করার একটি প্রচেষ্টা৷ "অনুশীলন ছাড়া তত্ত্ব মৃত, তত্ত্ব ছাড়া অনুশীলন অন্ধ" এই নীতি দ্বারা পরিচালিত তারা সংজ্ঞা এবং সূত্রের স্তরে কোর্সের উভয় তাত্ত্বিক বিধান ধারণ করে, সেইসাথে প্রতিটি প্রদত্ত তাত্ত্বিক অবস্থানের প্রয়োগকে চিত্রিত করে উদাহরণগুলি, এবং এর ফলে সহজতর তার মুখস্থ এবং বোঝার।
প্রস্তাবিত উদ্দেশ্য পদ্ধতিগত সুপারিশ- শিক্ষার্থীকে প্রাথমিক স্তরে পরীক্ষার জন্য প্রস্তুত করতে সহায়তা করুন। অন্য কথায়, টিএফকেপি কোর্সে ক্লাসে ব্যবহৃত প্রধান পয়েন্টগুলি এবং পারফর্ম করার সময় প্রয়োজনীয় একটি বর্ধিত কাজের রেফারেন্স বই সংকলন করা হয়েছে। বাড়ির কাজএবং নিয়ন্ত্রণ ইভেন্টের জন্য প্রস্তুতি। এছাড়া স্বাধীন কাজছাত্রছাত্রীরা, এই ইলেকট্রনিক শিক্ষামূলক প্রকাশনাটি একটি ইলেকট্রনিক বোর্ড ব্যবহার করে ইন্টারেক্টিভ ফর্মে ক্লাস পরিচালনা করার সময় বা দূরশিক্ষণ পদ্ধতিতে বসানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।
দয়া করে মনে রাখবেন যে এই কাজটি পাঠ্যপুস্তক বা বক্তৃতা নোটগুলিকে প্রতিস্থাপন করে না। উপাদানটির গভীরভাবে অধ্যয়নের জন্য, MSTU দ্বারা প্রকাশিত প্রাসঙ্গিক বিভাগগুলি উল্লেখ করার পরামর্শ দেওয়া হয়। N.E. Bauman মৌলিক পাঠ্যপুস্তক।
ম্যানুয়ালটির শেষে প্রস্তাবিত সাহিত্যের একটি তালিকা এবং একটি বিষয় সূচক রয়েছে, যা পাঠ্যে হাইলাইট করা সমস্ত কিছু অন্তর্ভুক্ত করে বোল্ড, ইটালিকশর্তাবলী সূচীতে এমন বিভাগগুলির হাইপারলিঙ্ক রয়েছে যেখানে এই পদগুলিকে কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে বা বর্ণনা করা হয়েছে এবং যেখানে তাদের ব্যবহার ব্যাখ্যা করার জন্য উদাহরণ দেওয়া হয়েছে।
ম্যানুয়ালটি MSTU এর সকল অনুষদের ২য় বর্ষের শিক্ষার্থীদের জন্য তৈরি করা হয়েছে। N.E. বউমান।
1. একটি জটিল সংখ্যা লেখার বীজগণিতীয় রূপ
z = x + iy ফর্মের স্বরলিপি, যেখানে x,y হল বাস্তব সংখ্যা, i হল একটি কাল্পনিক একক (যেমন i 2 = −1)
একটি জটিল সংখ্যা z লেখার বীজগণিতিক রূপ বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, x কে একটি জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ বলা হয় এবং Re z (x = Re z) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, y কে একটি জটিল সংখ্যার কাল্পনিক অংশ বলা হয় এবং Im z (y = Im z) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
উদাহরণ। জটিল সংখ্যা z = 4− 3i এর একটি বাস্তব অংশ রয়েছে Rez = 4 এবং একটি কাল্পনিক অংশ Imz = −3।
2. কমপ্লেক্স নম্বর প্লেন
ভিতরে একটি জটিল পরিবর্তনশীলের ফাংশনের তত্ত্ব বিবেচনা করা হয়জটিল সংখ্যা সমতল, যা জটিল সংখ্যা z, w, ইত্যাদি অক্ষর দ্বারা বা ব্যবহার করে চিহ্নিত করা হয়।
জটিল সমতলের অনুভূমিক অক্ষকে বলা হয় বাস্তব অক্ষ, বাস্তব সংখ্যা z = x + 0i = x এর উপর স্থাপন করা হয়।
জটিল সমতলের উল্লম্ব অক্ষকে কাল্পনিক অক্ষ বলা হয়;
3. জটিল সংযোজন সংখ্যা
z = x + iy এবং z = x − iy সংখ্যাগুলোকে বলা হয় জটিল অনুবন্ধী. জটিল সমতলে তারা এমন বিন্দুর সাথে মিলে যায় যা বাস্তব অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম।
4. বীজগণিত আকারে জটিল সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপ
4.1 জটিল সংখ্যার সংযোজন
দুটি জটিল সংখ্যার যোগফল | z 1= x 1+ iy 1 | এবং z 2 = x 2 + iy 2 কে জটিল সংখ্যা বলা হয় |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2)। | অপারেশন | যোগ |
||||||||||
জটিল সংখ্যা বীজগাণিতিক দ্বিপদী যোগের অপারেশনের অনুরূপ। | |||||||||||||
উদাহরণ। দুটি জটিল সংখ্যার যোগফল z 1 = 3+ 7i এবং z 2 | = −1 +2 i | একটি জটিল সংখ্যা হবে |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i। | |||||||||||||
স্পষ্টতই, | সর্বমোট পরিমাণ | কনজুগেট | হয় | বাস্তব | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 জটিল সংখ্যার বিয়োগ | |||||||||||||
দুটি জটিল সংখ্যার পার্থক্য z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | ডাকা | ব্যাপক |
||||||||||
সংখ্যা z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2)। | |||||||||||||
উদাহরণ। দুটি জটিল সংখ্যার পার্থক্য | z 1 =3 −4 i | এবং z 2 | = −1 +2 i | একটি ব্যাপক হবে |
|||||||||
সংখ্যা z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1 + 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i। | |||||||||||||
পার্থক্য দ্বারা | জটিল অনুবন্ধী | হয় | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy = 2 iIm z। | |||||||||||||
4.3 জটিল সংখ্যার গুণ | |||||||||||||
দুটি জটিল সংখ্যার গুণফল | z 1= x 1+ iy 1 | এবং z 2= x 2+ iy 2 | জটিল বলা হয় |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x)। | ||||||||||||
সুতরাং, জটিল সংখ্যাগুলিকে গুণ করার ক্রিয়াটি বীজগণিতীয় দ্বিপদগুলিকে গুণ করার ক্রিয়াকলাপের অনুরূপ, i 2 = −1 এই সত্যটিকে বিবেচনা করে।
পৃষ্ঠা 3 এর 2
একটি জটিল সংখ্যার বীজগণিতীয় রূপ।
জটিল সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ।
আমরা ইতিমধ্যে একটি জটিল সংখ্যার বীজগণিতীয় রূপের সাথে পরিচিত হয়েছি - এটি একটি জটিল সংখ্যার বীজগণিতীয় রূপ। আমরা ফর্ম সম্পর্কে কথা বলছি কেন? আসল বিষয়টি হল জটিল সংখ্যার ত্রিকোণমিতিক এবং সূচকীয় রূপও রয়েছে, যা পরবর্তী অনুচ্ছেদে আলোচনা করা হবে।
জটিল সংখ্যার ক্রিয়াকলাপগুলি বিশেষভাবে কঠিন নয় এবং সাধারণ বীজগণিত থেকে খুব বেশি আলাদা নয়।
জটিল সংখ্যার সংযোজন
উদাহরণ 1
দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করুন,
দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করার জন্য, আপনাকে তাদের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ যোগ করতে হবে:
সহজ, তাই না? ক্রিয়াটি এতটাই সুস্পষ্ট যে এতে অতিরিক্ত মন্তব্যের প্রয়োজন হয় না।
এই সহজ উপায়ে আপনি যেকোনো সংখ্যক পদের যোগফল খুঁজে পেতে পারেন: বাস্তব অংশের যোগফল এবং কাল্পনিক অংশের যোগফল।
জটিল সংখ্যার জন্য, প্রথম শ্রেণীর নিয়মটি বৈধ: 
- শর্তাবলী পুনর্বিন্যাস যোগফল পরিবর্তন করে না.
জটিল সংখ্যা বিয়োগ করা
উদাহরণ 2
জটিল সংখ্যা এবং যদি, এর মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় কর
ক্রিয়াটি যোগের অনুরূপ, একমাত্র বিশেষত্ব হল সাবট্রাহেন্ডটি অবশ্যই বন্ধনীতে রাখতে হবে, এবং তারপর বন্ধনীগুলি অবশ্যই চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে আদর্শ উপায়ে খুলতে হবে:
ফলাফলটি বিভ্রান্তিকর হওয়া উচিত নয়; ফলস্বরূপ সংখ্যাটির দুটি নয়, তিনটি অংশ রয়েছে। সহজভাবে আসল অংশ হল যৌগ: . স্পষ্টতার জন্য, উত্তরটি নিম্নরূপ পুনরায় লেখা যেতে পারে: .
আসুন দ্বিতীয় পার্থক্যটি গণনা করি:
এখানে আসল অংশটিও যৌগিক:
কোন অবমূল্যায়ন এড়াতে, আমি দিতে হবে সংক্ষিপ্ত উদাহরণএকটি "খারাপ" কাল্পনিক অংশ সহ: . এখানে আপনি বন্ধনী ছাড়া আর করতে পারবেন না।
জটিল সংখ্যা গুণ করা
বিখ্যাত সমতার সাথে আপনাকে পরিচয় করিয়ে দেওয়ার সময় এসেছে:
উদাহরণ 3
জটিল সংখ্যার গুণফল বের কর,
স্পষ্টতই, কাজটি এভাবে লেখা উচিত:
এই পরামর্শ কি? এটি বহুপদী গুণনের নিয়ম অনুসারে বন্ধনীগুলি খুলতে অনুরোধ করে। যে আপনি কি করতে হবে! সমস্ত বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি আপনার কাছে পরিচিত, প্রধান জিনিসটি এটি মনে রাখা এবং সতর্ক থাকুন.
আসুন আমরা পুনরাবৃত্তি করি, বহুপদকে গুণ করার জন্য স্কুলের নিয়ম: একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে একটি বহুপদীর প্রতিটি পদকে অন্য বহুপদীর প্রতিটি পদ দ্বারা গুণ করতে হবে।
আমি এটি বিস্তারিতভাবে লিখব:
আমি আশা করি এটা সবার কাছে পরিষ্কার ছিল
মনোযোগ, এবং আবার মনোযোগ, প্রায়শই চিহ্নগুলিতে ভুল করা হয়।
যোগফলের মতো, জটিল সংখ্যার গুণফল পরিবর্তনযোগ্য, অর্থাৎ, সমতা সত্য: .
ভিতরে শিক্ষামূলক সাহিত্যএবং ইন্টারনেটে জটিল সংখ্যার গুণফল গণনার জন্য একটি বিশেষ সূত্র খুঁজে পাওয়া সহজ। আপনি যদি চান তবে এটি ব্যবহার করুন, কিন্তু আমার কাছে মনে হচ্ছে বহুপদ সংখ্যার সাথে পদ্ধতিটি আরও সর্বজনীন এবং স্পষ্ট। আমি সূত্র দেব না, আমি মনে করি যে এক্ষেত্রে- এটা করাত দিয়ে আপনার মাথা ঠাসা.
জটিল সংখ্যার বিভাজন
উদাহরণ 4
দেওয়া জটিল সংখ্যা, . ভাগফল বের কর।
একটি ভাগফল তৈরি করা যাক:
সংখ্যার বিভাজন করা হয় হর এবং লবকে হর এর সংযোজিত রাশি দ্বারা গুণ করে.
আসুন দাড়ির সূত্রটি মনে রাখি এবং আমাদের হরকে তাকাই: . হর আগে থেকেই আছে, তাই এই ক্ষেত্রে কনজুগেট এক্সপ্রেশন হল, অর্থাৎ
নিয়ম অনুসারে, হরকে অবশ্যই গুন করতে হবে, এবং, যাতে কিছুই পরিবর্তন না হয়, লবটিকে অবশ্যই একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে:
আমি এটি বিস্তারিতভাবে লিখব:
আমি একটি "ভাল" উদাহরণ বেছে নিয়েছি: আপনি যদি "শুরু থেকে" দুটি সংখ্যা নেন, তবে বিভাগের ফলে আপনি প্রায় সর্বদা ভগ্নাংশ পাবেন, এরকম কিছু।
কিছু ক্ষেত্রে, একটি ভগ্নাংশ ভাগ করার আগে, এটি সরলীকরণ করার পরামর্শ দেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যার ভাগফল বিবেচনা করুন: . ভাগ করার আগে, আমরা অপ্রয়োজনীয় বিয়োগ থেকে পরিত্রাণ পাই: লব এবং হর-এ আমরা বিয়োগগুলি বন্ধনী থেকে বের করি এবং এই বিয়োগগুলি হ্রাস করি: 
. যারা সমস্যা সমাধান করতে পছন্দ করেন, তাদের জন্য এখানে সঠিক উত্তর রয়েছে:
কদাচিৎ, কিন্তু নিম্নলিখিত কাজটি ঘটে:
উদাহরণ 5
একটি জটিল সংখ্যা দেওয়া হয়েছে। এই সংখ্যাটি বীজগণিত আকারে লিখুন (অর্থাৎ আকারে)।
কৌশলটি একই - আমরা হর এবং লবকে হরকে সংযোজিত অভিব্যক্তি দ্বারা গুণ করি। আসুন আবার সূত্রটি দেখি। হরটিতে ইতিমধ্যেই রয়েছে, তাই হর এবং লবকে সমন্বিত রাশি দ্বারা গুণ করতে হবে, অর্থাৎ:
অনুশীলনে, তারা সহজেই একটি পরিশীলিত উদাহরণ দিতে পারে যেখানে আপনাকে জটিল সংখ্যার সাথে অনেকগুলি অপারেশন করতে হবে। আতঙ্ক নেই: সতর্ক হোন, বীজগণিতের নিয়ম অনুসরণ করুন, সাধারণ বীজগণিত পদ্ধতি, এবং মনে রাখবেন।
জটিল সংখ্যার ত্রিকোণমিতিক এবং সূচকীয় রূপ
এই অনুচ্ছেদে আরো আছে আমরা কথা বলতে পারবেনএকটি জটিল সংখ্যার ত্রিকোণমিতিক রূপ সম্পর্কে। মধ্যে প্রদর্শনী ফর্ম ব্যবহারিক কাজঅনেক কম ঘন ঘন ঘটে। আমি ডাউনলোড করার পরামর্শ দিচ্ছি এবং, যদি সম্ভব হয়, ত্রিকোণমিতিক টেবিল মুদ্রণ, পদ্ধতিগত উপাদানপৃষ্ঠায় পাওয়া যাবে গাণিতিক সূত্রএবং টেবিল. আপনি টেবিল ছাড়া দূরে যেতে পারবেন না.
যেকোন জটিল সংখ্যা (শূন্য বাদে) ত্রিকোণমিতিক আকারে লেখা যেতে পারে: 
, এটা কোথায় একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস, ক - জটিল সংখ্যা যুক্তি. আসুন পালিয়ে যাই না, সবকিছু যতটা মনে হয় তার চেয়ে সহজ।
জটিল সমতলে সংখ্যাটি উপস্থাপন করা যাক। ব্যাখ্যার সুনির্দিষ্টতা এবং সরলতার জন্য, আমরা এটিকে প্রথম স্থানাঙ্ক চতুর্ভুজে রাখব, অর্থাৎ আমরা বিশ্বাস করি যে:
একটি জটিল সংখ্যার মডুলাসজটিল সমতলে উৎপত্তিস্থল থেকে সংশ্লিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব। সহজভাবে করা, মডিউল হল দৈর্ঘ্যব্যাসার্ধ ভেক্টর, যা অঙ্কনে লাল রঙে নির্দেশিত।
একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: বা
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে, জটিল সংখ্যার মডুলাস খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র বের করা সহজ: এই সূত্রন্যায্য কোন জন্যঅর্থ "a" এবং "হও"।
বিঃদ্রঃ: একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস ধারণার একটি সাধারণীকরণ একটি বাস্তব সংখ্যার মডুলাস, একটি বিন্দু থেকে উৎপত্তির দূরত্ব হিসাবে।
একটি জটিল সংখ্যার যুক্তিডাকা কোণমধ্যে ইতিবাচক আধা-অক্ষআসল অক্ষ এবং ব্যাসার্ধ ভেক্টর উৎপত্তি থেকে সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে টানা। যুক্তির জন্য সংজ্ঞায়িত নয় একক: .
প্রশ্নে নীতি আসলে অনুরূপ মেরু স্থানাঙ্ক, যেখানে মেরু ব্যাসার্ধ এবং মেরু কোণ অনন্যভাবে বিন্দুকে সংজ্ঞায়িত করে।
একটি জটিল সংখ্যার যুক্তিকে প্রমিতভাবে চিহ্নিত করা হয়: বা
জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে, আমরা যুক্তি খোঁজার জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি পাই:
. মনোযোগ!এই সূত্রটি শুধুমাত্র ডান অর্ধেক প্লেনে কাজ করে! যদি জটিল সংখ্যাটি 1ম বা 4র্থ স্থানাঙ্ক চতুর্ভুজে অবস্থিত না হয়, তাহলে সূত্রটি কিছুটা ভিন্ন হবে। আমরা এই মামলাগুলিও বিশ্লেষণ করব।
কিন্তু প্রথমে, আসুন সহজ উদাহরণগুলি দেখি যখন জটিল সংখ্যাগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষে অবস্থিত।
উদাহরণ 7
চলুন অঙ্কন করা যাক:
আসলে, কাজটি মৌখিক। স্পষ্টতার জন্য, আমি একটি জটিল সংখ্যার ত্রিকোণমিতিক ফর্মটি আবার লিখব: 
আসুন আমরা দৃঢ়ভাবে মনে রাখি, মডিউলটি - দৈর্ঘ্য(যা সবসময় অ নেতিবাচক), যুক্তি হল কোণ.
1) আসুন সংখ্যাটিকে ত্রিকোণমিতিক আকারে উপস্থাপন করি। এর মডুলাস এবং যুক্তি খুঁজে বের করা যাক. এটা স্পষ্ট যে. সূত্র ব্যবহার করে আনুষ্ঠানিক গণনা: .
এটা সুস্পষ্ট যে (সংখ্যাটি সরাসরি প্রকৃত ধনাত্মক আধা-অক্ষের উপর অবস্থিত)। সুতরাং ত্রিকোণমিতিক আকারে সংখ্যা হল: 
.
বিপরীত চেক কর্ম দিনের মত পরিষ্কার:
2) আসুন আমরা সংখ্যাটিকে ত্রিকোণমিতিক আকারে উপস্থাপন করি। এর মডুলাস এবং যুক্তি খুঁজে বের করা যাক. এটা স্পষ্ট যে. সূত্র ব্যবহার করে আনুষ্ঠানিক গণনা: .
স্পষ্টতই (বা 90 ডিগ্রি)। অঙ্কনে, কোণটি লাল রঙে নির্দেশিত হয়। সুতরাং ত্রিকোণমিতিক আকারে সংখ্যা হল: 
.
মান একটি টেবিল ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, সংখ্যার বীজগাণিতিক ফর্ম ফিরে পাওয়া সহজ (একই সময়ে একটি পরীক্ষা করা):
3) আসুন ত্রিকোণমিতিক আকারে সংখ্যাটি উপস্থাপন করি। এর মডুলাস এবং যুক্তি খুঁজে বের করা যাক. এটা স্পষ্ট যে. সূত্র ব্যবহার করে আনুষ্ঠানিক গণনা: .
স্পষ্টতই (বা 180 ডিগ্রি)। অঙ্কনে কোণটি নীল রঙে নির্দেশিত হয়। সুতরাং ত্রিকোণমিতিক আকারে সংখ্যা হল: 
.
পরীক্ষা:
4) এবং চতুর্থ আকর্ষণীয় কেস. সংখ্যাটিকে ত্রিকোণমিতিক আকারে উপস্থাপন করা যাক। এর মডুলাস এবং যুক্তি খুঁজে বের করা যাক. এটা স্পষ্ট যে. সূত্র ব্যবহার করে আনুষ্ঠানিক গণনা: .
যুক্তিটি দুটি উপায়ে লেখা যেতে পারে: প্রথম উপায়: (270 ডিগ্রি), এবং সেই অনুযায়ী: 
. পরীক্ষা:
যাইহোক, নিম্নলিখিত নিয়ম আরো মানসম্মত: যদি কোণটি 180 ডিগ্রির বেশি হয়, তারপর এটি একটি বিয়োগ চিহ্ন এবং কোণের বিপরীত অভিযোজন ("স্ক্রলিং") দিয়ে লেখা হয়: (মাইনাস 90 ডিগ্রি), কোণটি অঙ্কনে চিহ্নিত করা হয় সবুজ. এটি দেখতে সহজ এবং একই কোণ।
সুতরাং, এন্ট্রি ফর্ম নেয়: 
মনোযোগ!কোন অবস্থাতেই আপনার কোসাইনের সমতা, সাইনের অদ্ভুততা ব্যবহার করা উচিত নয় এবং স্বরলিপিটিকে আরও "সরল" করা উচিত:
যাইহোক, এটি মনে রাখা দরকারী চেহারাএবং ত্রিকোণমিতিক এবং বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য, রেফারেন্স উপকরণগুলি পৃষ্ঠার শেষ অনুচ্ছেদে রয়েছে গ্রাফ এবং প্রধান বৈশিষ্ট্য প্রাথমিক ফাংশন . আর জটিল সংখ্যা অনেক সহজে শেখা হবে!
সবচেয়ে সহজ উদাহরণগুলির নকশায়, একজনকে লিখতে হবে: "এটি স্পষ্ট যে মডিউলটি সমান... এটা স্পষ্ট যে যুক্তিটি সমান..."। এটি সত্যিই সুস্পষ্ট এবং মৌখিকভাবে সমাধান করা সহজ।
আসুন আরও সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক। আমি ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি, মডিউলটির সাথে কোন সমস্যা নেই; আপনার সর্বদা সূত্রটি ব্যবহার করা উচিত। কিন্তু যুক্তি খোঁজার সূত্র ভিন্ন হবে, এটা নির্ভর করে সংখ্যাটি কোন স্থানাঙ্ক ত্রৈমাসিকে রয়েছে তার উপর। এই ক্ষেত্রে, তিনটি বিকল্প সম্ভব (এগুলি আপনার নোটবুকে কপি করা দরকারী):
1) যদি (1ম এবং 4র্থ স্থানাঙ্ক কোয়ার্টার, বা ডান অর্ধ-বিমান), তাহলে সূত্রটি ব্যবহার করে যুক্তিটি খুঁজে বের করতে হবে।
2) যদি (2য় স্থানাঙ্ক ত্রৈমাসিক), তাহলে সূত্রটি ব্যবহার করে যুক্তিটি খুঁজে বের করতে হবে 
.
3) যদি (3য় স্থানাঙ্ক ত্রৈমাসিক), তাহলে সূত্রটি ব্যবহার করে যুক্তি খুঁজে বের করতে হবে 
.
উদাহরণ 8
জটিল সংখ্যাগুলিকে ত্রিকোণমিতিক আকারে উপস্থাপন করুন: , , , .
যেহেতু রেডিমেড সূত্র রয়েছে, তাই অঙ্কনটি সম্পূর্ণ করার প্রয়োজন নেই। কিন্তু একটি বিন্দু আছে: যখন আপনাকে ত্রিকোণমিতিক আকারে একটি সংখ্যা উপস্থাপন করতে বলা হয়, তখন যাইহোক অঙ্কন করা ভাল. আসল বিষয়টি হ'ল অঙ্কন ছাড়া একটি সমাধান প্রায়শই শিক্ষকদের দ্বারা প্রত্যাখ্যান করা হয়; অঙ্কনের অনুপস্থিতি বিয়োগ এবং ব্যর্থতার একটি গুরুতর কারণ।
ওহ, আমি একশ বছর ধরে হাতে কিছু আঁকেনি, এখানে আপনি যান:
সর্বদা হিসাবে, এটা একটু নোংরা পরিণত =)
আমি সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করব এবং জটিল আকারে, প্রথম এবং তৃতীয় সংখ্যাগুলি স্বাধীন সমাধানের জন্য হবে।
সংখ্যাটিকে ত্রিকোণমিতিক আকারে উপস্থাপন করা যাক। এর মডুলাস এবং যুক্তি খুঁজে বের করা যাক.
