কোন বাহুর কোণগুলি অপরটির বাহুর ধারাবাহিকতা। উল্লম্ব এবং সন্নিহিত কোণ

পাঠ 8. উল্লম্ব কোণ। দুটি কোণকে উল্লম্ব বলা হয় যদি একটি কোণের বাহু অন্য কোণের বাহুর ধারাবাহিকতা হয়। থিওরেম। উল্লম্ব কোণগুলি সমান। প্রমাণ: = = 180 একইভাবে = = = 3 2 = 4 সমস্যার সমাধান: 64, 66 বাড়ির কাজ: অনুচ্ছেদ 11, 66, 67

গাণিতিক হুকুম। বিকল্প 1. 1. বাক্যটি সম্পূর্ণ করুন: "যদি কোণ 1 এবং 2 সংলগ্ন হয়, তাহলে তাদের যোগফল..." 2. 30 ডিগ্রি কোণের সংলগ্ন কোণটি কি তীব্র, স্থূল বা ডান হবে? 3. দুটি কোণের যোগফল 180 ডিগ্রি। এই কোণগুলি কি অগত্যা সংলগ্ন? 4. AM এবং CE রেখাগুলি O বিন্দুতে ছেদ করে, যা তাদের মধ্যে অবস্থিত। আপনি উল্লম্ব কোণ পেয়েছেন? যদি হ্যাঁ, তাহলে তাদের নাম বলুন। 5. এর সাথে উল্লম্ব কোণটি 34 ডিগ্রি হলে কোণটি কত? 6. দুটি সরলরেখার ছেদ থেকে উৎপন্ন চারটি কোণের একটি 140 ডিগ্রির সমান। অবশিষ্ট কোণগুলো কি কি? 7. দুটি কোণে একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু রয়েছে, প্রথম কোণটি 40 ডিগ্রি, দ্বিতীয়টি 140 ডিগ্রি। এই কোণগুলি কি উল্লম্ব? বিকল্প 2। 1. বাক্যটি সম্পূর্ণ করুন: "দুটি কোণকে সন্নিহিত বলা হয় যদি একটি বাহু সাধারণ হয় এবং অন্যটি..." 2. 130 ডিগ্রি কোণের সংলগ্ন কোণটি কি তীব্র, স্থূল বা সমকোণ হবে? 3. 180 ডিগ্রির একটি সাধারণ বাহু সহ দুটি কোণের সমষ্টি। এই কোণগুলি কি অগত্যা সংলগ্ন? 4. শিক্ষার্থী 2টি উল্লম্ব কোণ তৈরি করেছে। এই লাইনের কত জোড়া উত্পাদন করেছে? 5. দুটি কোণের একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু রয়েছে, এই কোণের প্রতিটি 60 ডিগ্রি। এই কোণ উল্লম্ব হতে হবে? 6. দুটি সরলরেখার ছেদ থেকে উৎপন্ন চারটি কোণের একটি 80 ডিগ্রির সমান। অবশিষ্ট কোণগুলো কি কি? 7. এর সাথে উল্লম্ব কোণটি 120 ডিগ্রি হলে কোণটি কত?

উত্তর। 1. 180 ডিগ্রির সমান 2. স্থূলকোণ 3. না 4. কোণ AOC এবং EOM, AOE এবং COM ডিগ্রি এবং 40 ডিগ্রি 7. হ্যাঁ 1. অতিরিক্ত রশ্মি 2. তীব্র কোণ 3. না 4. এক জোড়া 5. না এবং 100 ডিগ্রী ডিগ্রী

জ্যামিতি একটি অত্যন্ত বহুমুখী বিজ্ঞান। এটি যুক্তি, কল্পনা এবং বুদ্ধি বিকাশ করে। অবশ্যই, এর জটিলতার কারণে এবং বিপুল পরিমাণউপপাদ্য এবং স্বতঃসিদ্ধ, স্কুলছাত্রীরা সবসময় এটা পছন্দ করে না। উপরন্তু, সাধারণত গৃহীত মান এবং নিয়ম ব্যবহার করে আপনার সিদ্ধান্তগুলিকে ক্রমাগত প্রমাণ করার প্রয়োজন রয়েছে।

সংলগ্ন এবং উল্লম্ব কোণগুলি জ্যামিতির একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ। নিশ্চয়ই অনেক স্কুলছাত্রই কেবল এই কারণে তাদের পূজা করে যে তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি পরিষ্কার এবং প্রমাণ করা সহজ।

কোণ গঠন

দুটি সরল রেখাকে ছেদ করে বা একটি বিন্দু থেকে দুটি রশ্মি আঁকার মাধ্যমে যেকোনো কোণ তৈরি হয়। এগুলিকে একটি অক্ষর বা তিনটি বলা যেতে পারে, যা ক্রমানুসারে কোণটি যে বিন্দুতে নির্মিত হয়েছে তা নির্ধারণ করে।

কোণগুলি ডিগ্রীতে পরিমাপ করা হয় এবং (তাদের মানের উপর নির্ভর করে) ভিন্নভাবে বলা যেতে পারে। সুতরাং, একটি সমকোণ আছে, তীব্র, স্থূল এবং উন্মোচিত। প্রতিটি নাম একটি নির্দিষ্ট ডিগ্রী পরিমাপ বা এর ব্যবধানের সাথে মিলে যায়।

একটি তীব্র কোণ হল একটি কোণ যার পরিমাপ 90 ডিগ্রির বেশি নয়।

একটি স্থূলকোণ হল 90 ডিগ্রির চেয়ে বড় একটি কোণ।

একটি কোণকে ডান বলা হয় যখন এর ডিগ্রি পরিমাপ 90 হয়।

যখন এটি একটি অবিচ্ছিন্ন সরলরেখা দ্বারা গঠিত হয় এবং এর ডিগ্রি পরিমাপ 180 হয়, তখন এটিকে প্রসারিত বলা হয়।

যে কোণগুলির একটি সাধারণ দিক রয়েছে, যার দ্বিতীয় দিকটি একে অপরকে চলতে থাকে, তাকে সন্নিহিত বলে। তারা ধারালো বা ভোঁতা হতে পারে. রেখার ছেদ সংলগ্ন কোণ গঠন করে। তাদের বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ:

1. এই ধরনের কোণের যোগফল 180 ডিগ্রির সমান হবে (এটি প্রমাণ করে এমন একটি উপপাদ্য আছে)। অতএব, একজন সহজেই তাদের একটি গণনা করতে পারে যদি অন্যটি পরিচিত হয়।
2. প্রথম বিন্দু থেকে এটি অনুসরণ করে যে সন্নিহিত কোণ দুটি স্থূল বা দুটি তীব্র কোণ দ্বারা গঠিত হতে পারে না।

এই বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য ধন্যবাদ, অন্য কোণের মান, বা অন্তত তাদের মধ্যে অনুপাত দেওয়া একটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপ সর্বদা গণনা করা সম্ভব।

উল্লম্ব কোণ

যে কোণগুলির বাহুগুলি একে অপরের ধারাবাহিকতা থাকে তাদের উল্লম্ব বলে। তাদের জাতগুলির যে কোনও একটি জুটি হিসাবে কাজ করতে পারে। উল্লম্ব কোণগুলি সর্বদা একে অপরের সমান।

সরলরেখা ছেদ করলে এগুলি গঠিত হয়। তাদের সাথে, সন্নিহিত কোণগুলি সর্বদা উপস্থিত থাকে। একটি কোণ একই সাথে একটির জন্য সংলগ্ন এবং অন্যটির জন্য উল্লম্ব হতে পারে।

একটি নির্বিচারে লাইন অতিক্রম করার সময়, অন্যান্য বিভিন্ন ধরনের কোণও বিবেচনা করা হয়। এই ধরনের রেখাকে সেকেন্ট লাইন বলা হয় এবং এটি অনুরূপ, একতরফা এবং ক্রস-লাইং কোণ গঠন করে। তারা একে অপরের সমান। উল্লম্ব এবং সন্নিহিত কোণগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির আলোকে এগুলিকে দেখা যেতে পারে।

সুতরাং, কোণ বিষয় বেশ সহজ এবং বোধগম্য মনে হয়. তাদের সমস্ত বৈশিষ্ট্য মনে রাখা এবং প্রমাণ করা সহজ। যতক্ষণ কোণগুলি সঙ্গতিপূর্ণ হয় ততক্ষণ সমস্যা সমাধান করা কঠিন বলে মনে হয় না সংখ্যামান. পরে, যখন sin and cos এর অধ্যয়ন শুরু হবে, তখন আপনাকে অনেক কিছু মুখস্ত করতে হবে জটিল সূত্র, তাদের উপসংহার এবং ফলাফল. ততক্ষণ পর্যন্ত, আপনি সহজ পাজলগুলি উপভোগ করতে পারেন যেখানে আপনাকে সন্নিহিত কোণগুলি খুঁজে বের করতে হবে।

অধ্যায় I.

মৌলিক ধারণা.

§এগারো। সংলগ্ন এবং উল্লম্ব কোণ।

1. সন্নিহিত কোণ।

যদি আমরা কোন কোণের দিকটিকে তার শীর্ষবিন্দুর বাইরে প্রসারিত করি, তাহলে আমরা দুটি কোণ পাব (চিত্র 72): / এবং সূর্য এবং / SVD, যার এক পাশে BC সাধারণ, এবং বাকি দুটি A এবং BD একটি সরল রেখা তৈরি করে।

যে দুটি কোণে একটি বাহু সাধারণ এবং অন্য দুটি সরলরেখা তৈরি করে তাকে সন্নিহিত কোণ বলে।

সংলগ্ন কোণগুলিও এইভাবে পাওয়া যেতে পারে: যদি আমরা একটি রেখার কিছু বিন্দু থেকে একটি রশ্মি আঁকি (একটি প্রদত্ত রেখায় না পড়ে), আমরা সন্নিহিত কোণগুলি পাব।
উদাহরণ স্বরূপ, / এডিএফ এবং / FDВ - সন্নিহিত কোণ (চিত্র 73)।

সন্নিহিত কোণে বিভিন্ন ধরনের অবস্থান থাকতে পারে (চিত্র 74)।

সংলগ্ন কোণ একটি সরল কোণ পর্যন্ত যোগ করুন, তাই দুটি সন্নিহিত কোণের উম্মা সমান 2d

সুতরাং, একটি সমকোণকে তার সন্নিহিত কোণের সমান একটি কোণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

সংলগ্ন কোণের একটির আকার জেনে, আমরা এটির সংলগ্ন অন্য কোণের আকার খুঁজে পেতে পারি।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সন্নিহিত কোণ 3/5 হয় d, তারপর দ্বিতীয় কোণ সমান হবে:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. উল্লম্ব কোণ।

যদি আমরা কোণের বাহুগুলিকে তার শীর্ষবিন্দুর বাইরে প্রসারিত করি তবে আমরা উল্লম্ব কোণ পাই। 75 অঙ্কনে, EOF এবং AOC কোণগুলি উল্লম্ব; AOE এবং COF কোণগুলিও উল্লম্ব।

দুটি কোণকে উল্লম্ব বলা হয় যদি একটি কোণের বাহুগুলি অন্য কোণের বাহুর ধারাবাহিকতা হয়।

দিন / 1 = 7 / 8 d(চিত্র 76)। এর সংলগ্ন / 2 হবে 2 এর সমান d- 7 / 8 d, যেমন 1 1/8 d.

একইভাবে আপনি গণনা করতে পারেন তারা কি সমান / 3 এবং / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(চিত্র 77)।

আমরা যে দেখতে / 1 = / 3 এবং / 2 = / 4.

আপনি একই সমস্যাগুলির আরও বেশ কয়েকটি সমাধান করতে পারেন এবং প্রতিবার আপনি একই ফলাফল পাবেন: উল্লম্ব কোণগুলি একে অপরের সমান।

যাইহোক, উল্লম্ব কোণগুলি সর্বদা একে অপরের সমান হয় তা নিশ্চিত করার জন্য, এটি পৃথক বিবেচনা করা যথেষ্ট নয় সংখ্যাসূচক উদাহরণ, যেহেতু নির্দিষ্ট উদাহরণের ভিত্তিতে আঁকা উপসংহার কখনও কখনও ভুল হতে পারে।

যুক্তি দ্বারা, প্রমাণ দ্বারা উল্লম্ব কোণের বৈশিষ্ট্যগুলির বৈধতা যাচাই করা প্রয়োজন।

প্রমাণটি নিম্নরূপ করা যেতে পারে (চিত্র 78):

/ a +/ গ = 2d;
/ b+/ গ = 2d;

(যেহেতু সন্নিহিত কোণের যোগফল 2 d).

/ a +/ গ = / b+/ গ

(পাশাপাশি বাম পাশেএই সমতা 2 এর সমান d, এবং এর ডান দিকটিও 2 এর সমান d).

এই সমতা একই কোণ অন্তর্ভুক্ত সঙ্গে.

যদি আমরা সমান পরিমাণ থেকে সমান পরিমাণ বিয়োগ করি, তাহলে সমান পরিমাণ থাকবে। ফলাফল হবে: / ক = / খ, অর্থাৎ উল্লম্ব কোণগুলি একে অপরের সমান।

উল্লম্ব কোণের বিষয়টি বিবেচনা করার সময়, আমরা প্রথমে ব্যাখ্যা করেছি কোন কোণগুলিকে উল্লম্ব বলা হয়, যেমন সংজ্ঞাউল্লম্ব কোণ

তারপরে আমরা উল্লম্ব কোণের সমতা সম্পর্কে একটি রায় (বিবৃতি) তৈরি করেছি এবং প্রমাণের মাধ্যমে এই রায়ের বৈধতা সম্পর্কে নিশ্চিত হয়েছি। এই ধরনের রায়, যার বৈধতা প্রমাণ করতে হবে, বলা হয় উপপাদ্য. সুতরাং, এই বিভাগে আমরা উল্লম্ব কোণের একটি সংজ্ঞা দিয়েছি, এবং তাদের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে একটি উপপাদ্যও বলেছি এবং প্রমাণ করেছি।

ভবিষ্যতে, জ্যামিতি অধ্যয়ন করার সময়, আমাদের ক্রমাগত সংজ্ঞা এবং উপপাদ্যগুলির প্রমাণের মুখোমুখি হতে হবে।

3. একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু আছে এমন কোণের সমষ্টি।

অঙ্কন 79 উপর / 1, / 2, / 3 এবং / 4 একটি রেখার একপাশে অবস্থিত এবং এই লাইনে একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু রয়েছে। সংক্ষেপে, এই কোণগুলি একটি সরল কোণ তৈরি করে, যেমন
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

অঙ্কন 80 উপর / 1, / 2, / 3, / 4 এবং / 5 একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু আছে. সংক্ষেপে, এই কোণগুলি একটি পূর্ণ কোণ তৈরি করে, যেমন / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

অনুশীলন.

1. সন্নিহিত কোণের একটি হল 0.72 dএই সন্নিহিত কোণের দ্বিখণ্ডক দ্বারা গঠিত কোণ গণনা করুন।

2. প্রমাণ কর যে দুটি সন্নিহিত কোণের দ্বিখণ্ডক একটি সমকোণ গঠন করে।

3. প্রমাণ করুন যে দুটি কোণ সমান হলে তাদের সন্নিহিত কোণগুলিও সমান।

4. অঙ্কন 81-এ কত জোড়া সন্নিহিত কোণ আছে?

5. সন্নিহিত কোণগুলির একটি জোড়া কি দুটি তীব্র কোণ নিয়ে গঠিত হতে পারে? দুটি স্থূল কোণ থেকে? ডান এবং স্থূল কোণ থেকে? একটি ডান এবং তীব্র কোণ থেকে?

6. সংলগ্ন কোণগুলির একটি ঠিক হলে, তার সংলগ্ন কোণের আকার সম্পর্কে কী বলা যেতে পারে?

7. দুটি সরলরেখার সংযোগস্থলে যদি একটি কোণ সঠিক হয়, তবে অন্য তিনটি কোণের আকার সম্পর্কে কী বলা যেতে পারে?