জটিল ফাংশনের অখণ্ড সারণী। মৌলিক সূত্র এবং একীকরণের পদ্ধতি

স্কুলে, অনেক লোক সমান্তরাল সমাধান করতে ব্যর্থ হয় বা তাদের সাথে কোন অসুবিধা হয়। এই নিবন্ধটি আপনাকে এটি বের করতে সাহায্য করবে, কারণ আপনি এতে সবকিছু পাবেন। অবিচ্ছেদ্য টেবিল.

অখণ্ডগাণিতিক বিশ্লেষণের প্রধান গণনা এবং ধারণাগুলির মধ্যে একটি। এর উপস্থিতি দুটি উদ্দেশ্যের ফলে:
প্রথম গোল- এর ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে একটি ফাংশন পুনরুদ্ধার করুন।
দ্বিতীয় গোল- সরলরেখায় গ্রাফ থেকে ফাংশন f(x) পর্যন্ত দূরত্বে অবস্থিত ক্ষেত্রফলের হিসাব যেখানে, a x এর থেকে বড় বা সমান b এবং x-অক্ষের সমান।

এই লক্ষ্যগুলি আমাদেরকে নির্দিষ্ট এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য দিকে নিয়ে যায়। এই অবিচ্ছেদ্যগুলির মধ্যে সংযোগটি বৈশিষ্ট্য এবং গণনার অনুসন্ধানের মধ্যে রয়েছে। কিন্তু সবকিছু প্রবাহিত হয় এবং সময়ের সাথে সাথে সবকিছু পরিবর্তিত হয়, নতুন সমাধান খুঁজে পাওয়া যায়, সংযোজনগুলি চিহ্নিত করা হয়, যার ফলে সুনির্দিষ্ট এবং অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলিকে অন্যান্য ধরণের ইন্টিগ্রেশনের দিকে নিয়ে যায়।

কি হয়ছে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য আপনি জিজ্ঞাসা করুন এটি একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন F(x) একটি ভেরিয়েবল x এর ব্যবধানে x এর চেয়ে বড় একটি b এর চেয়ে বেশি। যেকোন ফাংশনকে F(x) বলা হয়, যেকোন উপাধি x এর জন্য একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে, ডেরিভেটিভটি F(x) এর সমান। এটা স্পষ্ট যে F(x) ব্যবধানে f(x) এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ হল x এর চেয়ে বড় a হল b এর চেয়ে বড়। এর মানে হল F1(x) = F(x) + C. C - একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে f(x) এর জন্য যেকোনো ধ্রুবক এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভ। এই বিবৃতিটি বিপরীতমুখী; ফাংশন f(x) - 2-এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলি শুধুমাত্র ধ্রুবকের মধ্যে পার্থক্য করে। অখণ্ড ক্যালকুলাসের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, দেখা যাচ্ছে যে প্রতিটি ব্যবধানে একটানা

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য অখণ্ড যোগফলের একটি সীমা হিসাবে বোঝা যায়, অথবা একটি প্রদত্ত ফাংশনের পরিস্থিতিতে f(x) নির্দিষ্ট লাইনে (a,b) একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ F থাকে, যার অর্থ একটি প্রদত্ত লাইনের শেষে এর অভিব্যক্তির পার্থক্য F(b)- F(a)।

এই বিষয়ের অধ্যয়নটি ব্যাখ্যা করার জন্য, আমি ভিডিওটি দেখার পরামর্শ দিই। এটি বিস্তারিতভাবে বলে এবং দেখায় কিভাবে পূর্ণাঙ্গগুলি খুঁজে বের করতে হয়।

অখণ্ডের প্রতিটি সারণী নিজেই খুব দরকারী, কারণ এটি একটি নির্দিষ্ট ধরণের অখণ্ড সমাধানে সহায়তা করে।

সব সম্ভাব্য প্রকারস্টেশনারি এবং আরও অনেক কিছু। আপনি অনলাইন স্টোর v-kant.ru এর মাধ্যমে কিনতে পারেন। অথবা শুধু স্টেশনারী সামারা (http://v-kant.ru) লিঙ্কটি অনুসরণ করুন গুণমান এবং দাম আপনাকে আনন্দিতভাবে অবাক করবে।

অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য

ঘটনা 1. ইন্টিগ্রেশন হল পার্থক্যের বিপরীত ক্রিয়া, যথা, এই ফাংশনের পরিচিত ডেরিভেটিভ থেকে একটি ফাংশন পুনরুদ্ধার করা। এইভাবে ফাংশন পুনরুদ্ধার করা হয়েছে চ(এক্স) বলা হয় অ্যান্টিডেরিভেটিভফাংশনের জন্য চ(এক্স).

সংজ্ঞা 1. ফাংশন চ(এক্স চ(এক্স) কিছু ব্যবধানে এক্স, যদি সব মানের জন্য এক্সএই ব্যবধান থেকে সমতা ধারণ করে চ "(এক্স)=চ(এক্স), এটাই এই ফাংশন চ(এক্স) হল অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনের ডেরিভেটিভ চ(এক্স). .

উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন চ(এক্স) = পাপ এক্স ফাংশন একটি antiderivative হয় চ(এক্স) = cos এক্স পুরো সংখ্যা লাইনে, যেহেতু x এর যেকোনো মানের জন্য (পাপ এক্স)" = (কারণ এক্স) .

সংজ্ঞা 2. একটি ফাংশনের অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য চ(এক্স) হল এর সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেট. এই ক্ষেত্রে, স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়

∫

চ(এক্স)dx

,

চিহ্ন কোথায় ∫ অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন বলা হয়, ফাংশন চ(এক্স) - ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন, এবং চ(এক্স)dx - একীভূত অভিব্যক্তি।

এইভাবে, যদি চ(এক্স) – এর জন্য কিছু অ্যান্টিডেরিভেটিভ চ(এক্স), যে

∫

চ(এক্স)dx = চ(এক্স) +গ

কোথায় গ - নির্বিচারে ধ্রুবক (ধ্রুবক)।

একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হিসাবে একটি ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেটের অর্থ বোঝার জন্য, নিম্নলিখিত উপমাটি উপযুক্ত। একটি দরজা (ঐতিহ্যবাহী কাঠের দরজা) হতে দিন। এর কাজ হল "একটি দরজা হওয়া।" দরজা কি দিয়ে তৈরি? কাঠের তৈরী. এর মানে হল যে “to be a door” ফাংশনের ইন্টিগ্র্যান্ডের অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেট, অর্থাৎ এর অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, ফাংশন হল “to be a tree + C”, যেখানে C হল একটি ধ্রুবক, যা এই প্রসঙ্গে হতে পারে উদাহরণস্বরূপ, গাছের ধরন নির্দেশ করুন। যেমন কিছু সরঞ্জাম ব্যবহার করে একটি দরজা কাঠ থেকে তৈরি করা হয়, তেমনি একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন থেকে "তৈরি" হয় সূত্রগুলি আমরা ডেরিভেটিভ অধ্যয়ন করার সময় শিখেছি .

তারপরে সাধারণ বস্তুর ফাংশনের টেবিল এবং তাদের সংশ্লিষ্ট অ্যান্টিডেরিভেটিভস ("দরজা হতে" - "গাছ হতে", "চামচ হতে" - "ধাতু হতে" ইত্যাদি) মৌলিক টেবিলের অনুরূপ। অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, যা নীচে দেওয়া হবে। অনির্দিষ্ট অখণ্ডের সারণী সাধারণ ফাংশনগুলিকে অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলির একটি ইঙ্গিত সহ তালিকাভুক্ত করে যেগুলি থেকে এই ফাংশনগুলি "তৈরি" হয়। অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজে বের করার সমস্যাগুলির অংশে, অখণ্ডগুলি দেওয়া হয় যেগুলি খুব বেশি প্রচেষ্টা ছাড়াই সরাসরি একীভূত করা যায়, অর্থাৎ, অনির্দিষ্ট অখণ্ডের সারণী ব্যবহার করে। আরও জটিল সমস্যায়, ইন্টিগ্র্যান্ডকে প্রথমে রূপান্তরিত করতে হবে যাতে টেবিল ইন্টিগ্র্যাল ব্যবহার করা যায়।

ঘটনা 2. একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ হিসাবে একটি ফাংশন পুনরুদ্ধার করার সময়, আমাদের অবশ্যই একটি নির্বিচারে ধ্রুবক (ধ্রুবক) বিবেচনা করতে হবে গ, এবং 1 থেকে অসীম পর্যন্ত বিভিন্ন ধ্রুবক সহ অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলির একটি তালিকা না লিখতে, আপনাকে একটি নির্বিচারে ধ্রুবক সহ অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলির একটি সেট লিখতে হবে গ, উদাহরণস্বরূপ, এই মত: 5 এক্স³+C. সুতরাং, একটি নির্বিচারে ধ্রুবক (ধ্রুবক) অ্যান্টিডেরিভেটিভের অভিব্যক্তিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যেহেতু অ্যান্টিডেরিভেটিভ একটি ফাংশন হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 5 এক্স³+4 বা 5 এক্স³+3 এবং যখন পার্থক্য করা হয়, 4 বা 3 বা অন্য কোন ধ্রুবক শূন্যে চলে যায়।

আমাদের ইন্টিগ্রেশন সমস্যা তুলে ধরা যাক: এই ফাংশনের জন্য চ(এক্স) যেমন একটি ফাংশন খুঁজুন চ(এক্স), যার ডেরিভেটিভসমান চ(এক্স).

উদাহরণ 1.একটি ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেট খুঁজুন

সমাধান। এই ফাংশনের জন্য, অ্যান্টিডেরিভেটিভ হল ফাংশন

ফাংশন চ(এক্স) ফাংশনের জন্য একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ বলা হয় চ(এক্স), যদি ডেরিভেটিভ হয় চ(এক্স) সমান চ(এক্স), বা, যা একই জিনিস, ডিফারেনশিয়াল চ(এক্স) সমান চ(এক্স) dx, অর্থাৎ

(2)

অতএব, ফাংশনটি ফাংশনের একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ। যাইহোক, এটি একমাত্র অ্যান্টিডেরিভেটিভ নয়। তারা ফাংশন হিসাবে কাজ করে

কোথায় সঙ্গে- নির্বিচারে ধ্রুবক। এটি পার্থক্য দ্বারা যাচাই করা যেতে পারে।

সুতরাং, যদি একটি ফাংশনের জন্য একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ থাকে, তবে এটির জন্য অসীম সংখ্যক অ্যান্টিডেরিভেটিভ রয়েছে যা একটি ধ্রুবক পদ দ্বারা পৃথক হয়। একটি ফাংশনের জন্য সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলি উপরের আকারে লেখা হয়। এটি নিম্নলিখিত উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে।

উপপাদ্য (তথ্য 2 এর আনুষ্ঠানিক বিবৃতি)।যদি চ(এক্স) – ফাংশনের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ চ(এক্স) কিছু ব্যবধানে এক্স, তারপর অন্য কোন antiderivative জন্য চ(এক্স) একই ব্যবধানে ফর্মে উপস্থাপন করা যেতে পারে চ(এক্স) + গ, কোথায় সঙ্গে- নির্বিচারে ধ্রুবক।

পরবর্তী উদাহরণে, আমরা অনির্দিষ্ট অখণ্ডের বৈশিষ্ট্যগুলির পরে, অনুচ্ছেদ 3-এ দেওয়া হবে এমন অখণ্ডগুলির টেবিলে ফিরে আসি। আমরা পুরো টেবিলটি পড়ার আগে এটি করি যাতে উপরের সারাংশটি পরিষ্কার হয়। এবং টেবিল এবং বৈশিষ্ট্যের পরে, আমরা একীকরণের সময় তাদের সম্পূর্ণরূপে ব্যবহার করব।

উদাহরণ 2।অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনের সেট খুঁজুন:

সমাধান। আমরা অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনগুলির সেট খুঁজে পাই যেগুলি থেকে এই ফাংশনগুলি "তৈরি" হয়। অখণ্ডের সারণী থেকে সূত্রগুলি উল্লেখ করার সময়, আপাতত কেবল স্বীকার করুন যে সেখানে এই জাতীয় সূত্র রয়েছে, এবং আমরা অনির্দিষ্ট অখণ্ডের সারণীটি আরও কিছুটা অধ্যয়ন করব।

1) integrals এর টেবিল থেকে সূত্র (7) প্রয়োগ করা n= 3, আমরা পাই

2) অখণ্ডের সারণী থেকে সূত্র (10) ব্যবহার করে n= 1/3, আমাদের আছে

3) যেহেতু

তারপর সূত্র অনুযায়ী (7) সঙ্গে n= -1/4 আমরা খুঁজে পাই

অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে লেখা ফাংশনটি নিজেই নয়। চ, এবং পার্থক্য দ্বারা তার পণ্য dx. কোন পরিবর্তনশীল দ্বারা অ্যান্টিডেরিভেটিভ চাওয়া হয়েছে তা নির্দেশ করার জন্য এটি প্রাথমিকভাবে করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ,

, ;

এখানে উভয় ক্ষেত্রেই ইন্টিগ্র্যান্ড সমান, কিন্তু বিবেচিত ক্ষেত্রে এর অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি ভিন্ন হতে দেখা যায়। প্রথম ক্ষেত্রে, এই ফাংশনটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয় এক্স, এবং দ্বিতীয় - এর একটি ফাংশন হিসাবে z .

একটি ফাংশনের অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটিকে সেই ফাংশনকে একীভূত করা বলে।

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য জ্যামিতিক অর্থ

ধরুন আমাদের একটি বক্ররেখা বের করতে হবে y=F(x)এবং আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে প্রতিটি বিন্দুতে স্পর্শক কোণের স্পর্শক একটি প্রদত্ত ফাংশন f(x)এই বিন্দুর abscissa.

অনুসারে জ্যামিতিক ইন্দ্রিয়বক্ররেখার একটি প্রদত্ত বিন্দুতে স্পর্শক কোণের স্পর্শক, ডেরিভেটিভ y=F(x) মানের সমানঅমৌলিক F"(x). তাই আমরা যেমন একটি ফাংশন খুঁজে বের করতে হবে F(x), কিসের জন্য F"(x) = f(x). টাস্কে প্রয়োজনীয় ফাংশন F(x)এর একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ f(x). সমস্যার শর্তগুলি একটি বক্ররেখা দ্বারা নয়, বক্ররেখার একটি পরিবার দ্বারা সন্তুষ্ট হয়৷ y=F(x)- এই বক্ররেখাগুলির একটি এবং অক্ষ বরাবর সমান্তরাল অনুবাদের মাধ্যমে এটি থেকে অন্য কোন বক্ররেখা পাওয়া যেতে পারে ওয়.

এর antiderivative ফাংশন এর গ্রাফ কল করা যাক f(x)অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা। যদি F"(x) = f(x), তারপর ফাংশনের গ্রাফ y=F(x)একটি অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা আছে।

ঘটনা 3. অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য জ্যামিতিকভাবে সমস্ত অখণ্ড বক্ররেখার পরিবার দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় , নীচের ছবিতে হিসাবে. স্থানাঙ্কের উৎপত্তি থেকে প্রতিটি বক্ররেখার দূরত্ব একটি নির্বিচারে ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক দ্বারা নির্ধারিত হয় গ.

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য

ঘটনা 4. উপপাদ্য 1. একটি অনির্দিষ্ট অখণ্ডের ডেরিভেটিভটি ইন্টিগ্র্যান্ডের সমান এবং এর ডিফারেনশিয়াল ইন্টিগ্র্যান্ডের সমান।

ফ্যাক্ট 5. উপপাদ্য 2. একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়ালের অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য চ(এক্স) ফাংশনের সমান চ(এক্স) একটি ধ্রুবক মেয়াদ পর্যন্ত , অর্থাৎ

(3)

উপপাদ্য 1 এবং 2 দেখায় যে পার্থক্য এবং একীকরণ পারস্পরিক বিপরীত ক্রিয়াকলাপ।

ঘটনা 6. উপপাদ্য 3. ইন্টিগ্র্যান্ডের ধ্রুবক ফ্যাক্টরটিকে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে , অর্থাৎ

একীকরণের চারটি প্রধান পদ্ধতি নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে।

1) যোগফল বা পার্থক্য একত্রিত করার নিয়ম।
.
এখানে এবং নিচে u, v, w হচ্ছে ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবল x এর ফাংশন।

2) অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের বাইরে ধ্রুবককে সরানো।
ধরা যাক c একটি ধ্রুবক x থেকে স্বাধীন। তারপর এটি অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে।

3) পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি।
এর অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করা যাক.
যদি আমরা এই ধরনের একটি ফাংশন খুঁজে পেতে পারি φ (এক্স) x থেকে, তাই
,
তারপর, পরিবর্তনশীল t = φ(x) প্রতিস্থাপন করে, আমাদের আছে
.

4) অংশ দ্বারা একীকরণ জন্য সূত্র.
,
যেখানে u এবং v ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবলের ফাংশন।

অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি গণনার চূড়ান্ত লক্ষ্য হল, রূপান্তরের মাধ্যমে, একটি প্রদত্ত অখণ্ডকে সরলতম অখণ্ডগুলিতে হ্রাস করা, যেগুলিকে ট্যাবুলার অখণ্ড বলা হয়। সারণী অখণ্ডগুলি প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয় পরিচিত সূত্র.
পূর্ণসংখ্যার সারণী দেখুন >>>

উদাহরণ

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন

সমাধান

আমরা লক্ষ্য করি যে ইন্টিগ্র্যান্ড হল তিনটি পদের যোগফল এবং পার্থক্য:
, এবং .
পদ্ধতি প্রয়োগ 1 .

এর পরে, আমরা লক্ষ্য করি যে নতুন অখণ্ডগুলির ইন্টিগ্র্যান্ডগুলিকে ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা হয় 5, 4, এবং 2 , যথাক্রমে। পদ্ধতি প্রয়োগ 2 .

অখণ্ডের সারণীতে আমরা সূত্রটি পাই
.
অনুমান n = 2 , আমরা প্রথম অবিচ্ছেদ্য খুঁজে.

আসুন ফর্মে দ্বিতীয় অবিচ্ছেদ্যটি আবার লিখি
.
আমরা তা লক্ষ্য করি। তারপর

আসুন তৃতীয় পদ্ধতিটি ব্যবহার করি। আমরা পরিবর্তনশীল t = φ পরিবর্তন করি (x) = লগ এক্স.
.
অখণ্ডের সারণীতে আমরা সূত্রটি পাই

যেহেতু ইন্টিগ্রেশনের ভেরিয়েবলকে যেকোনো অক্ষর দ্বারা বোঝানো যায়, তাহলে

আসুন ফর্মে তৃতীয় অবিচ্ছেদ্যটি আবার লিখি
.
আমরা অংশ দ্বারা একীকরণ সূত্র প্রয়োগ.
এটা করা যাক.
তারপর
;
;

;
;
.

অবশেষে আমরা আছে
.
আসুন x দিয়ে পদ সংগ্রহ করি 3 .
.

উত্তর

তথ্যসূত্র:
এন.এম. গুন্টার, আর.ও. কুজমিন, উচ্চতর গণিতে সমস্যার সংগ্রহ, "ল্যান", 2003।

প্রিন্সিপ্যাল ​​ইন্টিগ্রেল যা প্রত্যেক ছাত্রের জানা উচিত

তালিকাভুক্ত অখণ্ডগুলি হল ভিত্তি, মৌলিক বিষয়গুলির ভিত্তি৷ এই সূত্রগুলো অবশ্যই মনে রাখতে হবে। আরও জটিল অখণ্ড সংখ্যা গণনা করার সময়, আপনাকে সেগুলি ক্রমাগত ব্যবহার করতে হবে।

অনুগ্রহ করে অর্থ প্রদান করুন বিশেষ মনোযোগসূত্রে (5), (7), (9), (12), (13), (17) এবং (19)। একীভূত করার সময় আপনার উত্তরে একটি নির্বিচারে ধ্রুবক C যোগ করতে ভুলবেন না!

একটি ধ্রুবকের অবিচ্ছেদ্য

∫ A d x = A x + C (1)

একটি পাওয়ার ফাংশন সংহত করা

প্রকৃতপক্ষে, নিজেদেরকে শুধুমাত্র সূত্র (5) এবং (7) এর মধ্যে সীমাবদ্ধ করা সম্ভব ছিল, তবে এই গোষ্ঠীর বাকি অবিচ্ছেদ্যগুলি এত ঘন ঘন ঘটে যে তাদের দিকে একটু মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান।

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

সূচকীয় ফাংশন এবং হাইপারবোলিক ফাংশনের ইন্টিগ্রেল

অবশ্যই, সূত্র (8) (সম্ভবত মুখস্থ করার জন্য সবচেয়ে সুবিধাজনক) হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে বিশেষ মামলাসূত্র (9)। হাইপারবোলিক সাইন এবং হাইপারবোলিক কোসাইনের ইন্টিগ্রেলগুলির জন্য সূত্র (10) এবং (11) সহজেই সূত্র (8) থেকে উদ্ভূত হয়, তবে এই সম্পর্কগুলিকে সহজভাবে মনে রাখা ভাল।

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মৌলিক অখণ্ড

ছাত্ররা প্রায়ই একটি ভুল করে যে তারা সূত্র (12) এবং (13) এ চিহ্নগুলিকে বিভ্রান্ত করে। মনে রাখা যে সাইনের ডেরিভেটিভ কোসাইনের সমান, কিছু কারণে অনেকে বিশ্বাস করেন যে সিনক্স ফাংশনের অখণ্ডটি কসএক্সের সমান। এটা সত্য নয়! সাইনের ইন্টিগ্রেল "মাইনাস কোসাইন" এর সমান, কিন্তু কসক্সের ইন্টিগ্রেল "শুধু সাইন" এর সমান:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 পাপ 2 x d x = − c t g x + C (15)

পূর্ণসংখ্যা যা বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনে হ্রাস পায়

সূত্র (16), যা আর্কট্যাঞ্জেন্টের দিকে নিয়ে যায়, স্বাভাবিকভাবেই a=1 এর জন্য সূত্র (17) এর একটি বিশেষ কেস। একইভাবে, (18) হল (19) এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

আরও জটিল অখণ্ড

এই সূত্রগুলো মনে রাখাও বাঞ্ছনীয়। এগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় এবং তাদের আউটপুট বেশ ক্লান্তিকর।

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

একীকরণের সাধারণ নিয়ম

1) দুটি ফাংশনের যোগফলের অখণ্ড যোগফলের সমানসংশ্লিষ্ট পূর্ণাঙ্গ: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) দুটি ফাংশনের পার্থক্যের অখণ্ড সংখ্যা সংশ্লিষ্ট অখণ্ডগুলির পার্থক্যের সমান: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) ধ্রুবকটিকে অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

এটি দেখতে সহজ যে সম্পত্তি (26) কেবলমাত্র (25) এবং (27) বৈশিষ্ট্যের সংমিশ্রণ।

4) একটি জটিল ফাংশনের ইন্টিগ্রেল, যদি অভ্যন্তরীণ ফাংশনরৈখিক হয়: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

এখানে F(x) হল f(x) ফাংশনের জন্য একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: এই সূত্রটি তখনই কাজ করে যখন অভ্যন্তরীণ ফাংশন Ax + B হয়।

গুরুত্বপূর্ণ: বিদ্যমান নেই সার্বজনীন সূত্রদুটি ফাংশনের গুণফলের অখণ্ডের জন্য, সেইসাথে একটি ভগ্নাংশের অবিচ্ছেদ্য জন্য:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (ত্রিশ)

এর মানে এই নয় যে, একটি ভগ্নাংশ বা পণ্য একত্রিত করা যাবে না। এটি ঠিক যে প্রতিবার আপনি (30) এর মতো একটি অবিচ্ছেদ্য দেখতে পাবেন, আপনাকে এটি "লড়াই" করার একটি উপায় আবিষ্কার করতে হবে। কিছু ক্ষেত্রে, অংশগুলির দ্বারা একীকরণ আপনাকে সাহায্য করবে, অন্যগুলিতে আপনাকে পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করতে হবে, এবং কখনও কখনও এমনকি "স্কুল" বীজগণিত বা ত্রিকোণমিতি সূত্রগুলিও সাহায্য করতে পারে।

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনার একটি সহজ উদাহরণ

উদাহরণ 1. অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

আসুন আমরা সূত্রগুলি ব্যবহার করি (25) এবং (26) (ফাংশনের সমষ্টি বা পার্থক্যের সমষ্টিটি সংশ্লিষ্ট অখণ্ডগুলির যোগফল বা পার্থক্যের সমান। আমরা পাই: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

আমাদের মনে রাখা যাক যে ধ্রুবকটিকে অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন (সূত্র (27)) থেকে বের করা যেতে পারে। অভিব্যক্তিটি রূপান্তরিত হয়

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

এখন শুধু মৌলিক অখণ্ডের সারণী ব্যবহার করা যাক। আমাদের সূত্র (3), (12), (8) এবং (1) প্রয়োগ করতে হবে। এর সংহত করা যাক পাওয়ার ফাংশন, সাইন, সূচকীয় এবং ধ্রুবক 1. আসুন শেষে একটি নির্বিচারী ধ্রুবক C যোগ করতে ভুলবেন না:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

প্রাথমিক রূপান্তরের পরে আমরা চূড়ান্ত উত্তর পাই:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

পার্থক্য দ্বারা নিজেকে পরীক্ষা করুন: ফলস্বরূপ ফাংশনের ডেরিভেটিভ নিন এবং নিশ্চিত করুন যে এটি মূল ইন্টিগ্র্যান্ডের সমান।

পূর্ণসংখ্যার সারণী

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +গ

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +গ

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +গ

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

এই লিঙ্ক থেকে অখণ্ডের টেবিল (২য় খণ্ড) ডাউনলোড করুন

আপনি যদি একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যয়নরত হন, যদি আপনার উচ্চতর গণিত নিয়ে সমস্যা হয় ( গাণিতিক বিশ্লেষণ, রৈখিক বীজগণিত, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, পরিসংখ্যান), আপনার যদি একজন যোগ্য শিক্ষকের পরিষেবার প্রয়োজন হয়, তাহলে উচ্চতর গণিত শিক্ষকের পৃষ্ঠায় যান। আমরা একসাথে আপনার সমস্যার সমাধান করব!

তুমিও আগ্রহী হতে পার

এর অবিচ্ছেদ্য তালিকা করা যাক প্রাথমিক ফাংশন, যাকে কখনও কখনও ট্যাবুলার বলা হয়:

উপরের যে কোনো সূত্র ডান-হাত দিকের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করে প্রমাণ করা যেতে পারে (ফলাফল হবে ইন্টিগ্র্যান্ড)।

ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি

আসুন কিছু মৌলিক ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি দেখি। এর মধ্যে রয়েছে:

1. পচন পদ্ধতি(সরাসরি ইন্টিগ্রেশন).

এই পদ্ধতিটি টেবুলার ইন্টিগ্র্যালগুলির সরাসরি ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে, সেইসাথে অনির্দিষ্ট অখণ্ডের বৈশিষ্ট্য 4 এবং 5 ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে (অর্থাৎ, বন্ধনী থেকে ধ্রুবক ফ্যাক্টরকে বের করে নেওয়া এবং/অথবা ফাংশনের যোগফল হিসাবে ইন্টিগ্র্যান্ডকে উপস্থাপন করা - পচন পদে একত্রিত হওয়া)।

উদাহরণ 1.উদাহরণস্বরূপ, (dx/x 4) খুঁজতে আপনি সরাসরি x n dx-এর জন্য টেবিলটি ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করতে পারেন। আসলে,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C।

আসুন আরও কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 2।এটি খুঁজে পেতে, আমরা একই অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করি:

উদাহরণ 3.এটি খুঁজে পেতে আপনাকে নিতে হবে

উদাহরণ 4.খুঁজে বের করতে, আমরা ফর্মে ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশনটি উপস্থাপন করি এবং সূচকীয় ফাংশনের জন্য টেবিল ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করুন:

আসুন একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর বন্ধনী ব্যবহার বিবেচনা করা যাক.

উদাহরণ 5।উদাহরণস্বরূপ, আসুন খুঁজে বের করা যাক . সেই বিবেচনায় আমরা পাই

উদাহরণ 6.আমরা এটি খুঁজে বের করব। কারন , চলুন টেবিল integral ব্যবহার করা যাক আমরা পেতে

নিম্নলিখিত দুটি উদাহরণে, আপনি বন্ধনী এবং টেবিল ইন্টিগ্রেলগুলিও ব্যবহার করতে পারেন:

উদাহরণ 7।

(আমরা ব্যবহার করি এবং );

উদাহরণ 8।

(আমরা ব্যাবহার করি এবং ).

চলুন আরও জটিল উদাহরণ দেখি যা যোগফল অখণ্ড ব্যবহার করে।

উদাহরণ 9।উদাহরণস্বরূপ, আসুন খুঁজে বের করা যাক
. লবটিতে সম্প্রসারণ পদ্ধতি প্রয়োগ করার জন্য, আমরা যোগফল ঘনক সূত্র  ব্যবহার করি, এবং তারপর ফলিত বহুপদকে হর দ্বারা বিভক্ত করি, পদ দ্বারা পদ।

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

এটি লক্ষ করা উচিত যে সমাধানের শেষে একটি সাধারণ ধ্রুবক C লেখা হয় (এবং প্রতিটি শব্দকে একীভূত করার সময় আলাদা নয়)। ভবিষ্যতে, সমাধান প্রক্রিয়ায় পৃথক পদগুলির একীকরণ থেকে ধ্রুবকগুলিকে বাদ দেওয়ারও প্রস্তাব করা হয়েছে যতক্ষণ না অভিব্যক্তিতে কমপক্ষে একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য থাকে (আমরা সমাধানের শেষে একটি ধ্রুবক লিখব)।

উদাহরণ 10।আমরা খুঁজে নেব . এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য, আসুন লবকে ফ্যাক্টরাইজ করি (এর পরে আমরা হর কমাতে পারি)।

উদাহরণ 11।আমরা এটি খুঁজে বের করব। ত্রিকোণমিতিক পরিচয় এখানে ব্যবহার করা যেতে পারে।

কখনও কখনও, পদে একটি অভিব্যক্তি পচানোর জন্য, আপনাকে আরও জটিল কৌশল ব্যবহার করতে হবে।

উদাহরণ 12।আমরা খুঁজে নেব . ইন্টিগ্র্যান্ডে আমরা ভগ্নাংশের পুরো অংশটি নির্বাচন করি . তারপর

উদাহরণ 13।আমরা খুঁজে নেব

2. পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (প্রতিস্থাপন পদ্ধতি)

পদ্ধতিটি নিম্নলিখিত সূত্রের উপর ভিত্তি করে: f(x)dx=f((t))`(t)dt, যেখানে x =(t) বিবেচনাধীন ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য একটি ফাংশন।

প্রমাণ। আসুন আমরা বাম থেকে t চলকের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি এবং ডান অংশসূত্র

মনে রাখবেন যে বাম দিকে একটি জটিল ফাংশন রয়েছে যার মধ্যবর্তী আর্গুমেন্ট হল x = (t)। তাই, t এর সাপেক্ষে এটিকে আলাদা করার জন্য, আমরা প্রথমে x এর সাপেক্ষে integral কে আলাদা করি এবং তারপর t এর সাপেক্ষে ইন্টারমিডিয়েট আর্গুমেন্টের ডেরিভেটিভ নিই।

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

ডান দিক থেকে ডেরিভেটিভ:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

যেহেতু এই ডেরিভেটিভগুলি সমান, ল্যাগ্রেঞ্জের উপপাদ্যের ফলাফল অনুসারে, সূত্রের বাম এবং ডান দিকগুলি একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক দ্বারা পৃথক হয়। যেহেতু অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যগুলি নিজেই একটি অনির্দিষ্ট ধ্রুবক পদ পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তাই এই ধ্রুবকটিকে চূড়ান্ত স্বরলিপি থেকে বাদ দেওয়া যেতে পারে। প্রমাণিত।

ভেরিয়েবলের একটি সফল পরিবর্তন আপনাকে মূল অবিচ্ছেদ্যকে সরল করতে দেয় এবং সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে, এটিকে একটি সারণীতে কমিয়ে দেয়। এই পদ্ধতির প্রয়োগে, রৈখিক এবং অরৈখিক প্রতিস্থাপন পদ্ধতির মধ্যে একটি পার্থক্য তৈরি করা হয়।

ক) লিনিয়ার প্রতিস্থাপন পদ্ধতিএর একটি উদাহরণ তাকান.

উদাহরণ 1.
. চলুন t= 1 – 2x, তারপর

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

এটি লক্ষ করা উচিত যে নতুন ভেরিয়েবলটি স্পষ্টভাবে লেখার প্রয়োজন নেই। এই ধরনের ক্ষেত্রে, তারা ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে একটি ফাংশনকে রূপান্তর করার বিষয়ে বা ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে ধ্রুবক এবং ভেরিয়েবল প্রবর্তন সম্পর্কে কথা বলে, যেমন ও অন্তর্নিহিত পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন.

উদাহরণ 2।উদাহরণস্বরূপ, আসুন cos(3x + 2)dx খুঁজে বের করি। ডিফারেনশিয়ালের বৈশিষ্ট্য অনুসারে dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), তারপরcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C

বিবেচনা করা উভয় উদাহরণেই, লিনিয়ার প্রতিস্থাপন t=kx+b(k0) অখণ্ডগুলি খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়েছিল।

সাধারণ ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি বৈধ।

রৈখিক প্রতিস্থাপন উপপাদ্য. F(x) ফাংশন f(x) এর কিছু antiderivative হতে দিন। তারপরf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, যেখানে k এবং b কিছু ধ্রুবক, k0।

প্রমাণ।

অখণ্ডের সংজ্ঞা অনুসারে f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C। Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx। চলুন অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন থেকে k কে ধ্রুবক গুণনীয়ক নিই: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C। এখন আমরা সমতার বাম এবং ডান দিককে দুই ভাগে ভাগ করতে পারি এবং ধ্রুবক পদের উপাধি পর্যন্ত প্রমাণিত বিবৃতি পেতে পারি।

এই উপপাদ্যটি বলে যে যদি অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞায় f(x)dx= F(x) + C যুক্তি x এর পরিবর্তে আমরা অভিব্যক্তিটি (kx+b) প্রতিস্থাপন করি, তাহলে এটি একটি অতিরিক্ত চেহারার দিকে নিয়ে যাবে অ্যান্টিডেরিভেটিভের সামনে ফ্যাক্টর 1/k।

প্রমাণিত উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি সমাধান করি।

উদাহরণ 3.

আমরা খুঁজে নেব . এখানে kx+b= 3 –x, অর্থাৎ k= -1,b= 3। তারপর

উদাহরণ 4.

আমরা এটি খুঁজে বের করব। Herekx+b= 4x+3, অর্থাৎ k=4,b=3। তারপর

উদাহরণ 5।

আমরা খুঁজে নেব . এখানে kx+b= -2x+ 7, অর্থাৎ k= -2,b= 7। তারপর

.

উদাহরণ 6.আমরা খুঁজে নেব
. এখানে kx+b= 2x+ 0, অর্থাৎ k=2,b=0।

.

আসুন উদাহরণ 8 এর সাথে প্রাপ্ত ফলাফলের তুলনা করি, যা পচন পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল। একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে একই সমস্যা সমাধান, আমরা উত্তর পেয়েছিলাম
. আসুন ফলাফল তুলনা করা যাক: সুতরাং, এই অভিব্যক্তিগুলি একটি ধ্রুবক পদ দ্বারা একে অপরের থেকে পৃথক , অর্থাৎ প্রাপ্ত উত্তরগুলি একে অপরের সাথে বিরোধিতা করে না।

উদাহরণ 7।আমরা খুঁজে নেব
. আসুন হর-এ একটি নিখুঁত বর্গ নির্বাচন করি।

কিছু ক্ষেত্রে, একটি ভেরিয়েবল পরিবর্তন করলে তা অবিচ্ছেদ্যকে সরাসরি একটি সারণীতে কমিয়ে দেয় না, তবে সমাধানটিকে সহজ করতে পারে, যার ফলে পরবর্তী ধাপে সম্প্রসারণ পদ্ধতি ব্যবহার করা সম্ভব হয়।

উদাহরণ 8।উদাহরণস্বরূপ, আসুন খুঁজে বের করা যাক . t=x+ 2, তারপর dt=d(x+ 2) =dx প্রতিস্থাপন করুন। তারপর

,

যেখানে C = C 1 – 6 (প্রথম দুটি পদের পরিবর্তে রাশিটি (x+ 2) প্রতিস্থাপন করার সময় আমরা ½x 2 -2x– 6 পাই)।

উদাহরণ 9।আমরা খুঁজে নেব
. ধরুন t= 2x+ 1, তারপর dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2।

টি-এর জন্য এক্সপ্রেশন (2x+1) প্রতিস্থাপন করা যাক, বন্ধনী খুলুন এবং অনুরূপগুলি দিন।

নোট করুন যে রূপান্তর প্রক্রিয়ায় আমরা অন্য ধ্রুবক পদে চলে এসেছি, কারণ রূপান্তর প্রক্রিয়া চলাকালীন ধ্রুবক পদের গ্রুপ বাদ দেওয়া যেতে পারে।

খ) অরৈখিক প্রতিস্থাপন পদ্ধতিএর একটি উদাহরণ তাকান.

উদাহরণ 1.
. Lett= -x 2। এরপরে, একজন x কে t এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে পারে, তারপর dx-এর জন্য একটি অভিব্যক্তি খুঁজে বের করতে পারে এবং পছন্দসই ইন্টিগ্রালে ভেরিয়েবলের পরিবর্তন বাস্তবায়ন করতে পারে। তবে এই ক্ষেত্রে ভিন্নভাবে কাজ করা সহজ। চলুন dt=d(-x 2) = -2xdx বের করি। উল্লেখ্য যে xdx এক্সপ্রেশনটি কাঙ্ক্ষিত ইন্টিগ্র্যালের ইন্টিগ্র্যান্ডের একটি ফ্যাক্টর। আসুন আমরা এটিকে প্রাপ্ত সমতা xdx= - ½dt থেকে প্রকাশ করি। তারপর