লগারিদমের সংক্ষিপ্ত বৈশিষ্ট্য। লগারিদমিক সূত্র

লগারিদম কি?

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

লগারিদম কি? লগারিদম কিভাবে সমাধান করবেন? এই প্রশ্নগুলি অনেক স্নাতককে বিভ্রান্ত করে। ঐতিহ্যগতভাবে, লগারিদমের বিষয়টিকে জটিল, বোধগম্য এবং ভীতিকর বলে মনে করা হয়। বিশেষ করে লগারিদমের সমীকরণ।

এটা একেবারে সত্য নয়। একেবারেই! বিশ্বাস করবেন না? ফাইন। এখন, মাত্র 10-20 মিনিটের মধ্যে আপনি:

1. আপনি বুঝতে পারবেন লগারিদম কি.

2. সূচকীয় সমীকরণের পুরো ক্লাস সমাধান করতে শিখুন। এমনকি যদি আপনি তাদের সম্পর্কে কিছু না শুনে থাকেন।

3. সহজ লগারিদম গণনা করতে শিখুন।

তদুপরি, এর জন্য আপনাকে কেবল গুণের সারণী এবং কীভাবে একটি সংখ্যাকে শক্তিতে বাড়াতে হবে তা জানতে হবে...

আমার মনে হয় আপনার সন্দেহ আছে... আচ্ছা, ঠিক আছে, সময় চিহ্নিত করুন! যাওয়া!

প্রথমে, আপনার মাথায় এই সমীকরণটি সমাধান করুন:

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

সম্পর্কিত

প্রদত্ত অন্য দুটি থেকে তিনটি সংখ্যার যেকোনো একটি খুঁজে বের করার কাজটি নির্ধারণ করা যেতে পারে। যদি a এবং তারপর N দেওয়া হয়, তারা সূচক দ্বারা পাওয়া যায়। যদি N এবং তারপর a দেওয়া হয় ডিগ্রী x এর মূল নিয়ে (অথবা এটিকে শক্তিতে বাড়িয়ে)। এখন বিবেচনা করুন যখন, a এবং N দেওয়া হলে, আমাদের x খুঁজে বের করতে হবে।

N সংখ্যাটিকে ধনাত্মক হতে দিন: সংখ্যাটি ধনাত্মক এবং একের সমান নয়: .

সংজ্ঞা। সংখ্যা N-এর লগারিদম বেস a-এর সূচক হল যে সূচকটি N সংখ্যা পেতে হলে aকে উঠাতে হবে; লগারিদম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

এইভাবে, সমতায় (26.1) সূচকটিকে N-এর লগারিদম হিসাবে a বেস হিসাবে পাওয়া যায়। পোস্ট

একই অর্থ আছে সমতা (26.1) কখনও কখনও লগারিদম তত্ত্বের প্রধান পরিচয় বলা হয়; বাস্তবে এটি লগারিদমের ধারণার সংজ্ঞা প্রকাশ করে। দ্বারা এই সংজ্ঞালগারিদম a এর ভিত্তি সর্বদা ধনাত্মক এবং ঐক্য থেকে ভিন্ন; লগারিদমিক সংখ্যা N ধনাত্মক। ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্যের কোনো লগারিদম নেই। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে প্রদত্ত বেস সহ যেকোনো সংখ্যার একটি সুনির্দিষ্ট লগারিদম রয়েছে। তাই সমতা আবশ্যক। উল্লেখ্য যে শর্তটি এখানে অপরিহার্য; অন্যথায়, উপসংহারটি ন্যায়সঙ্গত হবে না, যেহেতু সমতা x এবং y-এর যেকোনো মানের জন্য সত্য।

উদাহরণ 1. খুঁজুন

সমাধান। একটি সংখ্যা প্রাপ্ত করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই বেস 2 কে শক্তিতে বাড়াতে হবে।

নিম্নলিখিত ফর্মে এই ধরনের উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় আপনি নোট তৈরি করতে পারেন:

উদাহরণ 2. খুঁজুন।

সমাধান। আমাদের আছে

উদাহরণ 1 এবং 2-এ, আমরা সহজেই লগারিদম সংখ্যাটিকে মূলদ সূচক সহ বেসের শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করে কাঙ্ক্ষিত লগারিদম খুঁজে পেয়েছি। ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, জন্য, ইত্যাদি, এটি করা যাবে না, যেহেতু লগারিদমের একটি অযৌক্তিক মান রয়েছে। আমাদের এই বিবৃতি সম্পর্কিত একটি বিষয় মনোযোগ দেওয়া যাক. অনুচ্ছেদ 12-এ, আমরা একটি প্রদত্ত ধনাত্মক সংখ্যার কোনো বাস্তব শক্তি নির্ধারণের সম্ভাবনার ধারণা দিয়েছি। লগারিদমগুলির প্রবর্তনের জন্য এটি প্রয়োজনীয় ছিল, যা সাধারণত বলতে গেলে, অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

আসুন লগারিদমের কিছু বৈশিষ্ট্য দেখি।

বৈশিষ্ট্য 1. যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি সমান হয়, তাহলে লগারিদম একের সমান, এবং বিপরীতভাবে, লগারিদম যদি একের সমান হয়, তাহলে সংখ্যা এবং ভিত্তি সমান।

প্রমাণ। একটি লগারিদম সংজ্ঞা দ্বারা আমরা এবং কোথা থেকে আছে

বিপরীতভাবে, তারপর সংজ্ঞা দ্বারা যাক

বৈশিষ্ট্য 2. যেকোন ভিত্তির সাথে একের লগারিদম শূন্যের সমান।

প্রমাণ। লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে (যে কোনো ধনাত্মক ভিত্তির শূন্য শক্তি একের সমান, দেখুন (10.1))। এখান থেকে

Q.E.D.

কথোপকথন বিবৃতিটিও সত্য: যদি , তাহলে N = 1। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের আছে।

লগারিদমের পরবর্তী বৈশিষ্ট্য প্রণয়ন করার আগে, আসুন আমরা বলতে রাজি যে দুটি সংখ্যা a এবং b তৃতীয় সংখ্যা c এর একই পাশে অবস্থিত যদি তারা উভয়ই c এর চেয়ে বড় বা c এর চেয়ে কম হয়। এই সংখ্যাগুলির একটি যদি c-এর চেয়ে বড় হয় এবং অন্যটি c-এর চেয়ে কম হয়, তাহলে আমরা বলব যে তারা c-এর বিপরীত দিকে রয়েছে।

বৈশিষ্ট্য 3. যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি একটির একই পাশে থাকে, তাহলে লগারিদমটি ধনাত্মক হয়; যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি একটির বিপরীত দিকে থাকে, তাহলে লগারিদম নেতিবাচক।

সম্পত্তি 3 এর প্রমাণটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে a এর শক্তি একের চেয়ে বেশি হয় যদি ভিত্তিটি একের বেশি হয় এবং সূচকটি ধনাত্মক হয় বা ভিত্তিটি একের চেয়ে কম হয় এবং সূচকটি ঋণাত্মক হয়। বেস একের বেশি হলে এবং সূচকটি ঋণাত্মক বা ভিত্তি একের কম হলে এবং সূচকটি ধনাত্মক হলে একটি শক্তি একের চেয়ে কম হয়।

বিবেচনা করার জন্য চারটি ক্ষেত্রে রয়েছে:

আমরা তাদের প্রথম বিশ্লেষণের মধ্যে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখব; পাঠক নিজেরাই বিবেচনা করবেন।

তাহলে সমতায় ধরা যাক সূচকটি ঋণাত্মক বা শূন্যের সমানও হতে পারে না, তাই, এটি ধনাত্মক, অর্থাত্‍ প্রমাণ করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 3. নীচের লগারিদমগুলির মধ্যে কোনটি ধনাত্মক এবং কোনটি ঋণাত্মক তা সন্ধান করুন:

সমাধান, ক) যেহেতু 15 নম্বর এবং ভিত্তি 12 একটির একই পাশে অবস্থিত;

খ) যেহেতু 1000 এবং 2 ইউনিটের একপাশে অবস্থিত; এই ক্ষেত্রে, এটা গুরুত্বপূর্ণ নয় যে বেসটি লগারিদমিক সংখ্যার চেয়ে বড়;

গ) যেহেতু 3.1 এবং 0.8 ঐক্যের বিপরীত দিকে রয়েছে;

ছ); কেন?

ঘ) ; কেন?

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য 4-6 কে প্রায়শই লগারিদমেশনের নিয়ম বলা হয়: তারা কিছু সংখ্যার লগারিদম জেনে তাদের প্রতিটির গুণফল, ভাগফল এবং ডিগ্রির লগারিদম খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়।

প্রপার্টি 4 (পণ্য লগারিদম নিয়ম)। দ্বারা বেশ কয়েকটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফলের লগারিদম এই ভিত্তি যোগফলের সমানএই সংখ্যার লগারিদম একই বেসে।

প্রমাণ। প্রদত্ত সংখ্যাগুলি ইতিবাচক হতে দিন।

তাদের পণ্যের লগারিদমের জন্য, আমরা সমতা (26.1) লিখি যা লগারিদমকে সংজ্ঞায়িত করে:

এখান থেকে আমরা খুঁজে পাব

প্রথম এবং শেষ রাশির সূচকগুলির তুলনা করে, আমরা প্রয়োজনীয় সমতা পাই:

উল্লেখ্য যে শর্ত অপরিহার্য; দুইটির গুণফলের লগারিদম নেতিবাচক সংখ্যাঅর্থপূর্ণ, কিন্তু এই ক্ষেত্রে আমরা পেতে

সাধারণভাবে, যদি বেশ কয়েকটি ফ্যাক্টরের গুণফল ধনাত্মক হয়, তাহলে এর লগারিদম এই ফ্যাক্টরগুলির পরম মানের লগারিদমের যোগফলের সমান।

সম্পত্তি 5 (ভাগফলের লগারিদম নেওয়ার নিয়ম)। ধনাত্মক সংখ্যার ভাগফলের লগারিদম একই বেসে নেওয়া লভ্যাংশ এবং ভাজকের লগারিদমের মধ্যে পার্থক্যের সমান। প্রমাণ। আমরা ধারাবাহিকভাবে খুঁজে

Q.E.D.

সম্পত্তি 6 (পাওয়ার লগারিদম নিয়ম)। যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার ঘাতের লগারিদম সূচক দ্বারা গুণিত সেই সংখ্যাটির লগারিদমের সমান।

প্রমাণ। আসুন আমরা আবার সংখ্যার জন্য মূল পরিচয় (26.1) লিখি:

Q.E.D.

পরিণতি। একটি ধনাত্মক সংখ্যার মূলের লগারিদম মূলের সূচক দ্বারা বিভক্ত র্যাডিকেলের লগারিদমের সমান:

সম্পত্তি 6 কিভাবে এবং ব্যবহার করে কল্পনা করে এই ফলাফলের বৈধতা প্রমাণ করা যেতে পারে।

উদাহরণ 4. লগারিদমকে বেস a-এ নিন:

ক) (ধারণা করা হয় যে সমস্ত মান b, c, d, e ধনাত্মক);

খ) (ধারণা করা হয় যে)।

সমাধান, ক) এই অভিব্যক্তিতে ভগ্নাংশের শক্তিতে যাওয়া সুবিধাজনক:

সমতার উপর ভিত্তি করে (26.5)-(26.7), আমরা এখন লিখতে পারি:

আমরা লক্ষ্য করি যে সংখ্যার লগারিদমগুলিতে সংখ্যার তুলনায় সহজ ক্রিয়াকলাপগুলি সঞ্চালিত হয়: সংখ্যাগুলিকে গুণ করার সময়, তাদের লগারিদমগুলি যোগ করা হয়, ভাগ করার সময়, বিয়োগ করা হয় ইত্যাদি।

এই কারণেই লগারিদমগুলি কম্পিউটিং অনুশীলনে ব্যবহৃত হয় (অনুচ্ছেদ 29 দেখুন)।

লগারিদমের বিপরীত ক্রিয়াকে পটেনশিয়ান বলা হয়, যথা: পটেনশিয়ান এমন একটি ক্রিয়া যার দ্বারা সংখ্যাটি একটি সংখ্যার প্রদত্ত লগারিদম থেকে পাওয়া যায়। অগত্যা, সম্ভাব্যতা নয় বিশেষ কর্ম: এটি বেসকে একটি পাওয়ারে উন্নীত করতে নেমে আসে (সংখ্যার লগারিদমের সমান)। "সম্ভাব্যতা" শব্দটিকে "সম্পত্তি" শব্দটির সমার্থক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

সম্ভাবনা তৈরি করার সময়, লগারিদমেশনের নিয়মগুলির বিপরীতে নিয়মগুলি ব্যবহার করতে হবে: লগারিদমের যোগফলকে গুণফলের লগারিদমের সাথে প্রতিস্থাপন করুন, ভাগফলের লগারিদমের সাথে লগারিদমের পার্থক্য ইত্যাদি। বিশেষ করে, যদি সামনে একটি ফ্যাক্টর থাকে লগারিদমের চিহ্নের, তারপর সম্ভাবনার সময় এটি লগারিদমের চিহ্নের অধীনে সূচক ডিগ্রীতে স্থানান্তর করতে হবে।

উদাহরণ 5. N সন্ধান করুন যদি এটি জানা যায় যে

সমাধান। সম্ভাব্যতার ঠিক উল্লেখিত নিয়মের সাথে, আমরা এই সমতার ডানদিকে লগারিদমগুলির চিহ্নগুলির সামনে দাঁড়িয়ে থাকা 2/3 এবং 1/3 গুণনীয়কগুলিকে এই লগারিদমের লক্ষণগুলির অধীনে সূচকগুলিতে স্থানান্তর করব; আমরা পেতে

এখন আমরা লগারিদমের পার্থক্যটিকে ভাগফলের লগারিদমের সাথে প্রতিস্থাপন করি:

সমতার এই শৃঙ্খলে শেষ ভগ্নাংশটি পেতে, আমরা পূর্ববর্তী ভগ্নাংশটিকে হর-এর অযৌক্তিকতা থেকে মুক্ত করেছি (ধারা 25)।

সম্পত্তি 7. যদি ভিত্তি একের বেশি হয়, তাহলে বড় সংখ্যাএকটি বৃহত্তর লগারিদম আছে (এবং একটি ছোট সংখ্যার একটি ছোট আছে), যদি ভিত্তিটি একের কম হয়, তাহলে একটি বড় সংখ্যার একটি ছোট লগারিদম থাকে (এবং একটি ছোট সংখ্যার একটি বড় থাকে)।

এই সম্পত্তিটি অসমতার লগারিদম নেওয়ার জন্য একটি নিয়ম হিসাবেও প্রণয়ন করা হয়েছে, যার উভয় দিকই ইতিবাচক:

অসমতার লগারিদমগুলিকে একের বেশি বেসে নেওয়ার সময়, অসমতার চিহ্নটি সংরক্ষিত থাকে এবং যখন একটির চেয়ে কম বেসে লগারিদম করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হয় (এছাড়াও অনুচ্ছেদ 80 দেখুন)।

প্রমাণটি 5 এবং 3 বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে। কেসটি বিবেচনা করুন যখন If , তারপর এবং লগারিদম গ্রহণ করলে আমরা পাই

(a এবং N/M ঐক্যের একই পাশে থাকে)। এখান থেকে

কেস একটি অনুসরণ করে, পাঠক নিজেই এটি বের করবে।

সমাজের বিকাশ এবং উত্পাদন আরও জটিল হওয়ার সাথে সাথে গণিতেরও বিকাশ ঘটে। সরল থেকে জটিল পর্যন্ত আন্দোলন। যোগ এবং বিয়োগের পদ্ধতি ব্যবহার করে সাধারণ হিসাব থেকে, তাদের বারবার পুনরাবৃত্তির সাথে, আমরা গুণ এবং ভাগের ধারণায় এসেছি। গুণের বারবার ক্রিয়াকলাপ হ্রাস করা সূচকের ধারণা হয়ে উঠেছে। ভিত্তির উপর সংখ্যার নির্ভরতা এবং সূচকের সংখ্যার প্রথম সারণীগুলি 8ম শতাব্দীতে ভারতীয় গণিতবিদ ভারসেনা দ্বারা সংকলিত হয়েছিল। এগুলি থেকে আপনি লগারিদমগুলির সংঘটনের সময় গণনা করতে পারেন।

ঐতিহাসিক স্কেচ

16 শতকে ইউরোপের পুনরুজ্জীবনও যান্ত্রিকতার বিকাশকে উদ্দীপিত করেছিল। টি প্রচুর পরিমাণে গণনার প্রয়োজনবহু-সংখ্যার সংখ্যার গুণ ও ভাগের সাথে সম্পর্কিত। প্রাচীন সারণীগুলো ছিল দারুণ সেবার। তারা জটিল ক্রিয়াকলাপগুলিকে সহজতর দিয়ে প্রতিস্থাপন করা সম্ভব করেছে - যোগ এবং বিয়োগ। 1544 সালে প্রকাশিত গণিতবিদ মাইকেল স্টিফেলের কাজটি একটি বড় পদক্ষেপ ছিল, যেখানে তিনি অনেক গণিতবিদদের ধারণা উপলব্ধি করেছিলেন। এটি কেবলমাত্র মৌলিক সংখ্যার আকারের শক্তির জন্যই নয়, যথেচ্ছ যুক্তিযুক্তগুলির জন্যও টেবিলগুলি ব্যবহার করা সম্ভব করেছিল।

1614 সালে, স্কটসম্যান জন নেপিয়ার, এই ধারণাগুলি বিকাশ করে, প্রথম "একটি সংখ্যার লগারিদম" নতুন শব্দটি চালু করেছিলেন। নতুন জটিল টেবিলসাইন এবং কোসাইন, সেইসাথে স্পর্শকগুলির লগারিদম গণনার জন্য। এটি জ্যোতির্বিজ্ঞানীদের কাজকে ব্যাপকভাবে হ্রাস করে।

নতুন টেবিলগুলি উপস্থিত হতে শুরু করে, যা সফলভাবে বিজ্ঞানীরা তিন শতাব্দী ধরে ব্যবহার করেছিলেন। অনেক সময় কেটে গেছে আগে নতুন অপারেশনবীজগণিতে এটি তার সম্পূর্ণ রূপ লাভ করে। লগারিদমের সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছিল এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল।

শুধুমাত্র 20 শতকে, ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারের আবির্ভাবের সাথে, মানবতা সেই প্রাচীন টেবিলগুলিকে পরিত্যাগ করেছিল যা 13 শতক জুড়ে সফলভাবে কাজ করেছিল।

আজকে আমরা b-এর লগারিদমকে বলি a সংখ্যা x এর ভিত্তি যা b তৈরি করতে a এর শক্তি। এটি একটি সূত্র হিসাবে লেখা হয়: x = log a(b)।

উদাহরণস্বরূপ, লগ 3(9) 2 এর সমান হবে। আপনি যদি সংজ্ঞাটি অনুসরণ করেন তবে এটি স্পষ্ট। যদি আমরা 3 কে 2 এর শক্তিতে বাড়াই, আমরা 9 ​​পাব।

সুতরাং, প্রণীত সংজ্ঞা শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধতা সেট করে: সংখ্যা a এবং b অবশ্যই বাস্তব হতে হবে।

লগারিদমের প্রকারভেদ

ক্লাসিক সংজ্ঞাটিকে প্রকৃত লগারিদম বলা হয় এবং এটি আসলে একটি x = b সমীকরণের সমাধান। বিকল্প a = 1 হল সীমারেখা এবং আগ্রহের নয়। মনোযোগ: 1 যেকোন শক্তির সমান 1।

লগারিদমের প্রকৃত মানশুধুমাত্র তখনই সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন বেস এবং আর্গুমেন্ট 0 এর বেশি হয় এবং বেস অবশ্যই 1 এর সমান হবে না।

গণিতের ক্ষেত্রে বিশেষ স্থানলগারিদম খেলুন, যেগুলি তাদের বেসের আকারের উপর নির্ভর করে নাম দেওয়া হবে:

নিয়ম এবং বিধিনিষেধ

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল নিয়ম: একটি পণ্যের লগারিদম লগারিদমিক যোগফলের সমান। log abp = log a(b) + log a(p)।

এই স্টেটমেন্টের বৈকল্পিক হিসেবে থাকবে: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), ভাগফল ফাংশন ফাংশনের পার্থক্যের সমান।

পূর্ববর্তী দুটি নিয়ম থেকে এটি দেখতে সহজ যে: log a(b p) = p * log a(b)।

অন্যান্য বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত:

মন্তব্য করুন। একটি সাধারণ ভুল করার দরকার নেই - একটি যোগফলের লগারিদম লগারিদমের যোগফলের সমান নয়।

বহু শতাব্দী ধরে, লগারিদম খুঁজে বের করা একটি বরং সময়সাপেক্ষ কাজ ছিল। গণিতবিদ ব্যবহার করেছেন সুপরিচিত সূত্রবহুপদী সম্প্রসারণের লগারিদমিক তত্ত্ব:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), যেখানে n - স্বাভাবিক সংখ্যা 1 এর বেশি, যা গণনার নির্ভুলতা নির্ধারণ করে।

অন্যান্য বেস সহ লগারিদমগুলি এক বেস থেকে অন্য বেসে রূপান্তর এবং পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে উপপাদ্য ব্যবহার করে গণনা করা হয়েছিল।

যেহেতু এই পদ্ধতিটি খুব শ্রম-নিবিড় এবং ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করার সময়বাস্তবায়ন করা কঠিন, আমরা লগারিদমের প্রাক-সংকলিত সারণী ব্যবহার করেছি, যা উল্লেখযোগ্যভাবে সমস্ত কাজের গতি বাড়িয়েছে।

কিছু ক্ষেত্রে, বিশেষভাবে ডিজাইন করা লগারিদম গ্রাফ ব্যবহার করা হয়েছিল, যা কম নির্ভুলতা দেয়, কিন্তু উল্লেখযোগ্যভাবে অনুসন্ধানের গতি বাড়িয়ে দেয়। পছন্দসই মান. ফাংশনের বক্ররেখা y = log a(x), বেশ কয়েকটি বিন্দুর উপর নির্মিত, আপনাকে অন্য যেকোনো বিন্দুতে ফাংশনের মান খুঁজে পেতে একটি নিয়মিত রুলার ব্যবহার করতে দেয়। ইঞ্জিনিয়ারদের অনেকক্ষণএই উদ্দেশ্যে, তথাকথিত গ্রাফ পেপার ব্যবহার করা হয়েছিল।

17 শতকে, প্রথম অক্জিলিয়ারী এনালগ কম্পিউটিং শর্তাদি উপস্থিত হয়েছিল, যা 19 তম শতকএকটি সমাপ্ত চেহারা অর্জন. সবচেয়ে সফল ডিভাইসটিকে স্লাইড নিয়ম বলা হয়। ডিভাইসের সরলতা সত্ত্বেও, এর উপস্থিতি উল্লেখযোগ্যভাবে সমস্ত ইঞ্জিনিয়ারিং গণনার প্রক্রিয়াকে ত্বরান্বিত করেছে এবং এটিকে অতিরিক্ত মূল্যায়ন করা কঠিন। বর্তমানে, খুব কম লোকই এই ডিভাইসটির সাথে পরিচিত।

ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারের আবির্ভাব অন্য কোনো ডিভাইসের ব্যবহারকে অর্থহীন করে তুলেছে।

সমীকরণ এবং অসমতা

লগারিদম ব্যবহার করে বিভিন্ন সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা হয়:

• এক বেস থেকে অন্য বেসে যাওয়া: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• পূর্ববর্তী বিকল্পের ফলস্বরূপ: লগ a(b) = 1 / লগ b(a)।

অসমতা সমাধানের জন্য এটি জানা দরকারী:

• লগারিদমের মান তখনই ধনাত্মক হবে যখন ভিত্তি এবং যুক্তি উভয়ই একের চেয়ে বড় বা কম হয়; যদি অন্তত একটি শর্ত লঙ্ঘন করা হয়, লগারিদম মান ঋণাত্মক হবে।
• যদি লগারিদম ফাংশনটি একটি অসমতার ডান এবং বাম দিকে প্রয়োগ করা হয় এবং লগারিদমের ভিত্তি একের চেয়ে বড় হয়, তাহলে অসমতার চিহ্নটি সংরক্ষিত হয়; অন্যথায় এটি পরিবর্তিত হয়।

নমুনা সমস্যা

লগারিদম এবং তাদের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করার জন্য বিভিন্ন বিকল্প বিবেচনা করা যাক। সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ:

একটি শক্তিতে লগারিদম স্থাপনের বিকল্পটি বিবেচনা করুন:

• সমস্যা 3. গণনা করুন 25^লগ 5(3)। সমাধান: সমস্যার শর্তে, এন্ট্রিটি নিম্নলিখিত (5^2)^log5(3) বা 5^(2 * লগ 5(3)) এর মতো। একে অন্যভাবে লিখি: 5^log 5(3*2), অথবা ফাংশন আর্গুমেন্ট হিসেবে একটি সংখ্যার বর্গকে ফাংশনের বর্গ হিসেবে লেখা যেতে পারে (5^log 5(3))^2। লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, এই রাশিটি 3^2 এর সমান। উত্তর: গণনার ফলস্বরূপ আমরা 9 ​​পাই।

বাস্তবিক ব্যবহার

একটি সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক হাতিয়ার হচ্ছে, এটা অনেক দূরে মনে হয় বাস্তব জীবনযে লগারিদম হঠাৎ অর্জিত তাত্পর্যপূর্ণবাস্তব বিশ্বের বস্তু বর্ণনা করতে. যেখানে এটি ব্যবহার করা হয় না এমন একটি বিজ্ঞান খুঁজে পাওয়া কঠিন। এটি কেবল প্রাকৃতিক নয়, মানবিক জ্ঞানের ক্ষেত্রেও পুরোপুরি প্রযোজ্য।

লগারিদমিক নির্ভরতা

কিছু উদাহরণ দেওয়া যাক সংখ্যাগত নির্ভরতা:

মেকানিক্স এবং পদার্থবিদ্যা

ঐতিহাসিকভাবে, বলবিদ্যা এবং পদার্থবিদ্যা সবসময় ব্যবহার করে বিকশিত হয়েছে গাণিতিক পদ্ধতিগবেষণা এবং একই সময়ে লগারিদম সহ গণিতের বিকাশের জন্য একটি উদ্দীপক হিসাবে কাজ করে। পদার্থবিজ্ঞানের অধিকাংশ সূত্রের তত্ত্ব গণিতের ভাষায় লেখা। বর্ণনার মাত্র দুটি উদাহরণ দেওয়া যাক শারীরিক আইনলগারিদম ব্যবহার করে।

একটি রকেটের গতির মতো জটিল পরিমাণ গণনা করার সমস্যাটি সিওলকোভস্কি সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে, যা মহাকাশ অনুসন্ধানের তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করেছিল:

V = I * ln (M1/M2), যেখানে

• V হল বিমানের চূড়ান্ত গতি।
• আমি - ইঞ্জিনের নির্দিষ্ট আবেগ।
• এম 1 - রকেটের প্রাথমিক ভর।
• M 2 - চূড়ান্ত ভর।

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ- এটি অন্য একজন মহান বিজ্ঞানী ম্যাক্স প্ল্যাঙ্কের সূত্রে ব্যবহৃত হয়, যা তাপগতিবিদ্যায় ভারসাম্যের অবস্থা মূল্যায়ন করে।

S = k * ln (Ω), যেখানে

• এস - থার্মোডাইনামিক সম্পত্তি।
• k – বোল্টজম্যান ধ্রুবক।
• Ω হল বিভিন্ন রাজ্যের পরিসংখ্যানগত ওজন।

রসায়ন

লগারিদমের অনুপাত ধারণকারী রসায়নে সূত্রের ব্যবহার কম স্পষ্ট। শুধু দুটি উদাহরণ দেওয়া যাক:

• Nernst সমীকরণ, পদার্থের কার্যকলাপ এবং ভারসাম্য ধ্রুবকের সাথে সম্পর্কযুক্ত মাধ্যমের রেডক্স সম্ভাবনার অবস্থা।
• অটোলাইসিস সূচক এবং দ্রবণের অম্লতার মতো ধ্রুবকগুলির গণনাও আমাদের ফাংশন ছাড়া করা যায় না।

মনোবিজ্ঞান এবং জীববিজ্ঞান

এবং এটির সাথে মনোবিজ্ঞানের কী সম্পর্ক তা মোটেও পরিষ্কার নয়। এটা দেখা যাচ্ছে যে সংবেদনের শক্তি এই ফাংশন দ্বারা ভালভাবে বর্ণনা করা হয়েছে উদ্দীপকের তীব্রতা মান থেকে নিম্ন তীব্রতার মানের বিপরীত অনুপাত হিসাবে।

উপরের উদাহরণগুলির পরে, এটি আর অবাক হওয়ার কিছু নেই যে লগারিদমের বিষয়টি জীববিজ্ঞানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। লগারিদমিক সর্পিলগুলির সাথে সম্পর্কিত জৈবিক ফর্মগুলি সম্পর্কে সম্পূর্ণ ভলিউম লেখা যেতে পারে।

অন্য এলাকা সমূহ

এটা মনে হয় যে এই ফাংশনের সাথে সংযোগ ছাড়া বিশ্বের অস্তিত্ব অসম্ভব, এবং এটি সমস্ত আইন শাসন করে। বিশেষ করে যখন প্রকৃতির নিয়মের সাথে সম্পর্কিত জ্যামিতিক অগ্রগতি. এটি MatProfi ওয়েবসাইটের দিকে ফিরে যাওয়া মূল্যবান এবং নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে এরকম অনেক উদাহরণ রয়েছে:

তালিকা অন্তহীন হতে পারে. এই ফাংশনের মৌলিক নীতিগুলি আয়ত্ত করার পরে, আপনি অসীম জ্ঞানের জগতে ডুবে যেতে পারেন।

আজ আমরা কথা বলবো লগারিদমিক সূত্রএবং আমরা ইঙ্গিত দেব সমাধান উদাহরণ.

তারা নিজেরাই লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী সমাধান প্যাটার্ন বোঝায়। সমাধানের জন্য লগারিদম সূত্র প্রয়োগ করার আগে, আসুন আমরা আপনাকে সমস্ত বৈশিষ্ট্য মনে করিয়ে দিই:

এখন, এই সূত্রগুলির (বৈশিষ্ট্য) উপর ভিত্তি করে, আমরা দেখাব লগারিদম সমাধানের উদাহরণ.

সূত্রের উপর ভিত্তি করে লগারিদম সমাধানের উদাহরণ।

লগারিদমএকটি ধনাত্মক সংখ্যা b এর ভিত্তি a (লগ a b দ্বারা নির্দেশিত) একটি সূচক যার সাথে b পেতে হলে aকে অবশ্যই b > 0, a > 0 এবং 1 বাড়াতে হবে।

সংজ্ঞা অনুসারে, লগ a b = x, যা a x = b এর সমতুল্য, তাই লগ a a x = x।

লগারিদম, উদাহরণ:

লগ 2 8 = 3, কারণ ২ ৩ = ৮

লগ 7 49 = 2, কারণ 7 2 = 49

লগ 5 1/5 = -1, কারণ 5 -1 = 1/5

দশমিক লগারিদম- এটি একটি সাধারণ লগারিদম, যার ভিত্তি হল 10৷ এটিকে lg হিসাবে চিহ্নিত করা হয়৷

লগ 10 100 = 2, কারণ 10 2 = 100

প্রাকৃতিক লগারিদম- এছাড়াও একটি সাধারণ লগারিদম, একটি লগারিদম, কিন্তু বেস e সহ (e = 2.71828... - একটি অমূলদ সংখ্যা)। ln হিসাবে চিহ্নিত।

লগারিদমগুলির সূত্র বা বৈশিষ্ট্যগুলি মুখস্থ করার পরামর্শ দেওয়া হয়, কারণ লগারিদম, লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করার সময় আমাদের পরে তাদের প্রয়োজন হবে। আসুন উদাহরণ সহ আবার প্রতিটি সূত্রের মাধ্যমে কাজ করি।

• মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়
  a লগ a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• গুণফলের লগারিদম লগারিদমের যোগফলের সমান
  log a (bc) = log a b + log a c

  লগ 3 8.1 + লগ 3 10 = লগ 3 (8.1*10) = লগ 3 81 = 4

• ভাগফলের লগারিদম লগারিদমের পার্থক্যের সমান
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 লগ 5 50 /9 লগ 5 2 = 9 লগ 5 50- লগ 5 2 = 9 লগ 5 25 = 9 2 = 81

• লগারিদম সংখ্যার শক্তি এবং লগারিদমের ভিত্তির বৈশিষ্ট্য

  লগারিদমের সূচক লগ নম্বর a b m = mlog a b

  লগারিদমের ভিত্তির সূচক লগ a n b =1/n*log a b

  লগ a n b m = m/n * লগ a b,

  যদি m = n হয়, আমরা log a n b n = log a b পাব

  লগ 4 9 = লগ 2 2 3 2 = লগ 2 3

• একটি নতুন ভিত্তি পরিবর্তন
  log a b = log c b/log c a,

  যদি c = b, আমরা log b b = 1 পাই

  তারপর লগ a b = 1/ log b a

  লগ 0.8 3*লগ 3 1.25 = লগ 0.8 3*লগ 0.8 1.25/লগ 0.8 3 = লগ 0.8 1.25 = লগ 4/5 5/4 = -1

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদমের সূত্রগুলি যতটা জটিল মনে হয় ততটা জটিল নয়। এখন, লগারিদম সমাধানের উদাহরণগুলি দেখে, আমরা লগারিদমিক সমীকরণে যেতে পারি। আমরা নিবন্ধে আরও বিশদে লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের উদাহরণগুলি দেখব: ""। মিস করবেন না!

সমাধান সম্পর্কে আপনার যদি এখনও প্রশ্ন থাকে তবে নিবন্ধের মন্তব্যে সেগুলি লিখুন।

দ্রষ্টব্য: আমরা একটি ভিন্ন শ্রেণির শিক্ষা পেতে এবং একটি বিকল্প হিসাবে বিদেশে পড়াশোনা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি।

একটি ধনাত্মক সংখ্যা b-এর লগারিদম ভিত্তি a (a>0, a 1 এর সমান নয়) একটি সংখ্যা c যেমন একটি c = b: লগ a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

মনে রাখবেন যে একটি অ-ধনাত্মক সংখ্যার লগারিদম অনির্ধারিত। উপরন্তু, লগারিদমের ভিত্তিটি অবশ্যই একটি ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে যা 1 এর সমান নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা বর্গ -2, তাহলে আমরা 4 নম্বর পাব, কিন্তু এর অর্থ এই নয় যে 4-এর বেস -2-এর লগারিদম 2 এর সমান।

মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়

a লগ a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

এটি গুরুত্বপূর্ণ যে এই সূত্রের ডান এবং বাম দিকের সংজ্ঞার সুযোগ ভিন্ন। বাম পাশেশুধুমাত্র b>0, a>0 এবং a ≠ 1 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ডান অংশযে কোনো b-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, কিন্তু a-এর উপর নির্ভর করে না। এইভাবে, সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময় মৌলিক লগারিদমিক "পরিচয়" প্রয়োগ করলে OD-তে পরিবর্তন হতে পারে।

লগারিদমের সংজ্ঞার দুটি সুস্পষ্ট ফলাফল

লগ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
লগ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

প্রকৃতপক্ষে, a সংখ্যাটিকে প্রথম পাওয়ারে বাড়ানোর সময়, আমরা একই সংখ্যাটি পাই এবং এটিকে শূন্য শক্তিতে বাড়ালে আমরা একটি পাই।

গুণফলের লগারিদম এবং ভাগফলের লগারিদম

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

লগ a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময় আমি এই সূত্রগুলিকে চিন্তাহীনভাবে ব্যবহার করার বিরুদ্ধে স্কুলছাত্রীদের সতর্ক করতে চাই। এগুলিকে "বাম থেকে ডানে" ব্যবহার করার সময়, ODZ সংকুচিত হয় এবং লগারিদমের যোগফল বা পার্থক্য থেকে গুণফল বা ভাগফলের লগারিদমে চলে যাওয়ার সময়, ODZ প্রসারিত হয়।

প্রকৃতপক্ষে, অভিব্যক্তি লগ a (f (x) g (x)) দুটি ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয়: যখন উভয় ফাংশন কঠোরভাবে ধনাত্মক হয় বা যখন f(x) এবং g(x) উভয়ই শূন্যের কম হয়।

এই রাশিটিকে যোগফল লগ a f (x) + log a g (x) এ রূপান্তরিত করে, আমরা শুধুমাত্র f(x)>0 এবং g(x)>0 ক্ষেত্রে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ করতে বাধ্য হই। গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরের একটি সংকীর্ণতা রয়েছে এবং এটি স্পষ্টভাবে অগ্রহণযোগ্য, কারণ এটি সমাধানের ক্ষতির দিকে নিয়ে যেতে পারে। সূত্র (6) এর জন্য অনুরূপ সমস্যা বিদ্যমান।

লগারিদমের চিহ্ন থেকে ডিগ্রি নেওয়া যেতে পারে

লগ a b p = p লগ a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

এবং আবার আমি সঠিকতার জন্য কল করতে চাই। নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন:

লগ a (f (x) 2 = 2 লগ a f (x)

সমতার বাম দিকটি শূন্য বাদে f(x) এর সমস্ত মানের জন্য স্পষ্টতই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ডান দিকটি শুধুমাত্র f(x)>0 এর জন্য! লগারিদম থেকে ডিগ্রি নেওয়ার মাধ্যমে, আমরা আবার ODZ সংকীর্ণ করি। বিপরীত পদ্ধতি গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরের সম্প্রসারণের দিকে নিয়ে যায়। এই সমস্ত মন্তব্য শুধুমাত্র ক্ষমতা 2 এর ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য নয়, যেকোনো জোড় ক্ষমতার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

একটি নতুন ভিত্তি সরানোর জন্য সূত্র

লগ a b = লগ c b লগ c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

সেই বিরল ক্ষেত্রে যখন রূপান্তরের সময় ODZ পরিবর্তন হয় না। আপনি যদি বেস সি বুদ্ধিমানের সাথে বেছে নেন (ধনাত্মক এবং 1 এর সমান নয়), একটি নতুন বেসে যাওয়ার সূত্রটি সম্পূর্ণ নিরাপদ।

আমরা যদি নতুন বেস c হিসাবে b সংখ্যাটি নির্বাচন করি, আমরা একটি গুরুত্বপূর্ণ পাব বিশেষ মামলাসূত্র (8):

লগ a b = 1 লগ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

লগারিদম সহ কিছু সহজ উদাহরণ

উদাহরণ 1. গণনা করুন: log2 + log50।
সমাধান। log2 + log50 = log100 = 2. আমরা লগারিদম সূত্রের যোগফল (5) এবং দশমিক লগারিদমের সংজ্ঞা ব্যবহার করেছি।

উদাহরণ 2. গণনা করুন: lg125/lg5।
সমাধান। log125/log5 = log 5 125 = 3. আমরা একটি নতুন বেস (8) এ যাওয়ার জন্য সূত্র ব্যবহার করেছি।

লগারিদম সম্পর্কিত সূত্রের সারণী

a লগ a b = b (a > 0, a ≠ 1)

লগ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

লগ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

লগ a b p = p লগ a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

লগ a b = লগ c b লগ c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

লগ a b = 1 লগ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)