3. গড় সমতা সম্পর্কে হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা
নমুনা দ্বারা উপস্থাপিত দুটি সূচকের গড় উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন যে প্রস্তাবটি পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়। তিন ধরনের পরীক্ষা আছে: একটি সম্পর্কিত নমুনার জন্য, এবং দুটি সম্পর্কহীন নমুনার জন্য (একই এবং ভিন্ন ভিন্নতার সাথে)। যদি নমুনাগুলি সংযুক্ত না থাকে, তাহলে কোন মানদণ্ড ব্যবহার করতে হবে তা নির্ধারণ করতে প্রথমে বৈচিত্র্যের সমতার অনুমান পরীক্ষা করা আবশ্যক। ঠিক যেমন বৈচিত্র তুলনা করার ক্ষেত্রে, সমস্যা সমাধানের 2টি উপায় রয়েছে, যা আমরা একটি উদাহরণ ব্যবহার করে বিবেচনা করব।
উদাহরণ 3. দুটি শহরে পণ্য বিক্রির সংখ্যার তথ্য রয়েছে৷ পরিসংখ্যানগত অনুমান 0.01 এর একটি তাত্পর্য স্তরে পরীক্ষা করুন যে শহরগুলিতে পণ্য বিক্রয়ের গড় সংখ্যা আলাদা।
| 23 | 25 | 23 | 22 | 23 | 24 | 28 | 16 | 18 | 23 | 29 | 26 | 31 | 19 |
| 22 | 28 | 26 | 26 | 35 | 20 | 27 | 28 | 28 | 26 | 22 | 29 |
আমরা ডেটা বিশ্লেষণ প্যাকেজ ব্যবহার করি। মানদণ্ডের প্রকারের উপর নির্ভর করে, তিনটির মধ্যে একটি নির্বাচন করা হয়েছে: "সংযুক্ত নমুনার জন্য জোড়াযুক্ত দুই-নমুনা টি-পরীক্ষা" - এবং "সমান ভিন্নতার সাথে দুটি-নমুনা টি-পরীক্ষা" বা "এর সাথে দুটি-নমুনা টি-পরীক্ষা ভিন্ন ভিন্নতা" - সংযোগ বিচ্ছিন্ন নমুনার জন্য। "ভেরিয়েবল ইন্টারভাল 1" এবং "ভেরিয়েবল ইন্টারভাল 2" ফিল্ডে যে উইন্ডোটি খোলে সেখানে সমান ভ্যারিয়েন্স সহ পরীক্ষাটি কল করুন, ডেটার লিঙ্কগুলি লিখুন (যথাক্রমে A1-N1 এবং A2-L2); যদি ডেটা লেবেল থাকে , তারপর "লেবেল" "এর পাশের বাক্সটি চেক করুন (আমাদের কাছে সেগুলি নেই, তাই চেকবক্সটি চেক করা হয়নি)৷ এর পরে, "আলফা" ক্ষেত্রে তাত্পর্য স্তর লিখুন - 0.01। "অনুমানিক গড় পার্থক্য" ক্ষেত্রটি ফাঁকা রাখা হয়েছে। "আউটপুট বিকল্প" বিভাগে, "আউটপুট ব্যবধান" এর পাশে একটি চেকমার্ক রাখুন এবং শিলালিপির বিপরীতে প্রদর্শিত ক্ষেত্রটিতে কার্সার স্থাপন করুন, সেল B7-এর বাম বোতামে ক্লিক করুন। ফলাফল এই ঘর থেকে শুরু আউটপুট হবে. "ঠিক আছে" এ ক্লিক করে, ফলাফলের একটি সারণী প্রদর্শিত হবে। কলাম B এবং C, C এবং D, D এবং E কলাম B, C এবং D এর প্রস্থ বৃদ্ধি করে সীমানা সরান যাতে সমস্ত লেবেল ফিট হয়। পদ্ধতিটি নমুনার প্রধান বৈশিষ্ট্য প্রদর্শন করে, টি-পরিসংখ্যান, সমালোচনামূলক মানএই পরিসংখ্যান এবং সমালোচনামূলক স্তরতাৎপর্য "পি(টি<=t) одностороннее» и «Р(Т<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае│-1,784242592│ < 2,492159469, следовательно, среднее число продаж значимо не отличается. Следует отметить, что если взять уровень значимости α=0,05, то результаты исследования будут совсем иными.
সমান ভিন্নতা সহ দুই-নমুনা টি-পরীক্ষা |
||
| গড় | 23,57142857 | 26,41666667 |
| বিচ্ছুরণ | 17,34065934 | 15,35606061 |
| পর্যবেক্ষণ | 14 | 12 |
| পুলড ভ্যারিয়েন্স | 16,43105159 | |
| কাল্পনিক গড় পার্থক্য | 0 | |
| df | 24 | |
| t-পরিসংখ্যান | -1,784242592 | |
| পি(টি<=t) одностороннее | 0,043516846 | |
| t সমালোচনামূলক একতরফা | 2,492159469 | |
| পি(টি<=t) двухстороннее | 0,087033692 | |
| t সমালোচনামূলক দ্বিমুখী | 2,796939498 | |
পরীক্ষাগারের কাজ নং 3
জোড়া লিনিয়ার রিগ্রেশন
লক্ষ্য: একটি কম্পিউটার ব্যবহার করে পেয়ারড রিগ্রেশনের একটি রৈখিক সমীকরণ তৈরির পদ্ধতিগুলি আয়ত্ত করা, রিগ্রেশন সমীকরণের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে প্রাপ্ত করা যায় এবং বিশ্লেষণ করা যায় তা শিখতে।
একটি উদাহরণ ব্যবহার করে একটি রিগ্রেশন সমীকরণ নির্মাণের পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক।
উদাহরণ। x i এবং y i গুণনীয়কগুলির নমুনা দেওয়া হল। এই নমুনাগুলি ব্যবহার করে, রৈখিক রিগ্রেশন সমীকরণ ỹ = ax + b খুঁজুন। জোড়া পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ খুঁজুন। তাৎপর্য স্তর a = 0.05 এ পর্যাপ্ততার জন্য রিগ্রেশন মডেলটি পরীক্ষা করুন।
| এক্স | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Y | 6,7 | 6,3 | 4,4 | 9,5 | 5,2 | 4,3 | 7,7 | 7,1 | 7,1 | 7,9 |
রিগ্রেশন সমীকরণের a এবং b সহগ খুঁজে পেতে, SLOPE এবং INTERCEPT ফাংশন, বিভাগ "পরিসংখ্যানগত" ব্যবহার করুন। আমরা A5-এ স্বাক্ষর “a=” লিখি এবং সংলগ্ন কক্ষ B5-এ TILT ফাংশন লিখি, কার্সারটিকে “Iz_value_y” ফিল্ডে রাখি এবং B2-K2 কোষে মাউস দিয়ে প্রদক্ষিণ করে একটি লিঙ্ক সেট করি। ফলাফল 0.14303। আসুন এখন b সহগ বের করি। আমরা A6-এ স্বাক্ষর “b=” লিখি, এবং B6-এ TILT ফাংশনের মতো একই পরামিতি সহ CUT ফাংশন লিখি। ফলাফল হল 5.976364। তাই, রৈখিক রিগ্রেশন সমীকরণ হল y=0.14303x+5.976364।
এর রিগ্রেশন সমীকরণ প্লট করা যাক। এটি করার জন্য, টেবিলের তৃতীয় লাইনে আমরা প্রদত্ত পয়েন্ট X (প্রথম লাইন) – y(x 1) এ ফাংশনের মান লিখি। এই মানগুলি পেতে, পরিসংখ্যান বিভাগের TREND ফাংশন ব্যবহার করুন। আমরা A3-এ স্বাক্ষর “Y(X)” লিখি এবং কার্সারটিকে B3-এ রেখে TREND ফাংশনকে কল করি। "From_value_y" এবং "From_value_x" ক্ষেত্রগুলিতে আমরা B2-K2 এবং B1-K1 এর একটি লিঙ্ক দিই। "New_value_x" ক্ষেত্রে আমরা B1-K1-এর একটি লিঙ্কও লিখি। "ধ্রুবক" ক্ষেত্রে 1 লিখুন যদি রিগ্রেশন সমীকরণের ফর্ম y=ax+b থাকে, এবং 0 যদি y=ax হয়। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা একটি লিখুন. TREND ফাংশন একটি অ্যারে, তাই এর সমস্ত মান প্রদর্শন করতে, B3-K3 এলাকা নির্বাচন করুন এবং F2 এবং Ctrl+Shift+Enter টিপুন। ফলাফল হল প্রদত্ত বিন্দুতে রিগ্রেশন সমীকরণের মান। আমরা একটি শিডিউল তৈরি করছি। কার্সারটি যেকোন মুক্ত কক্ষে রাখুন, ডায়াগ্রাম উইজার্ডকে কল করুন, "তীক্ষ্ণ" বিভাগ নির্বাচন করুন, গ্রাফের ধরন - বিন্দুবিহীন লাইন (নীচের ডান কোণায়), "পরবর্তী" এ ক্লিক করুন, B3-K3 এর লিঙ্কটি প্রবেশ করান "ডায়াগনস্টিক" ক্ষেত্র। "সারি" ট্যাবে যান এবং "এক্স মান" ক্ষেত্রে B1-K1 লিঙ্কটি প্রবেশ করান, "সমাপ্তি" ক্লিক করুন। ফলাফল হল একটি সরল রিগ্রেশন লাইন। পরীক্ষামূলক ডেটা এবং রিগ্রেশন সমীকরণের গ্রাফগুলি কীভাবে আলাদা তা দেখা যাক। এটি করার জন্য, কার্সারটি যেকোন ফ্রি সেলে রাখুন, চার্ট উইজার্ডকে কল করুন, বিভাগ "গ্রাফ", গ্রাফের ধরন - বিন্দু সহ ভাঙা লাইন (উপরের বাম থেকে দ্বিতীয়), "পরবর্তী" এ ক্লিক করুন, "রেঞ্জ" ক্ষেত্রে একটি লিখুন। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইনের লিঙ্ক B2- K3। "সারি" ট্যাবে যান এবং "এক্স-অক্ষ লেবেল" ক্ষেত্রে, B1-K1 লিঙ্কটি লিখুন, "সমাপ্তি" ক্লিক করুন। ফলাফল হল দুটি লাইন (নীল – আসল, লাল – রিগ্রেশন সমীকরণ)। এটি দেখা যায় যে লাইনগুলি একে অপরের থেকে সামান্য আলাদা।
| a= | 0,14303 |
| b= | 5,976364 |
পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ r xy গণনা করতে, PEARSON ফাংশন ব্যবহার করুন। আমরা গ্রাফটি রাখি যাতে সেগুলি লাইন 25 এর উপরে থাকে এবং A25-এ আমরা স্বাক্ষর করি "সহসংযোগ", B25-এ আমরা PEARSON ফাংশন বলি, যার ক্ষেত্রগুলিতে "অ্যারে 2" আমরা উৎস ডেটা B1 এর একটি লিঙ্ক লিখি -K1 এবং B2-K2। ফলাফল হল 0.993821। R xy নির্ধারণের সহগ হল পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ r xy এর বর্গ। A26 এ আমরা "সংকল্প" স্বাক্ষর করি, এবং B26-এ আমরা "=B25*B25" সূত্র লিখি। ফলাফল হল 0.265207।
যাইহোক, এক্সেলে একটি ফাংশন রয়েছে যা লিনিয়ার রিগ্রেশনের সমস্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্য গণনা করে। এটি LINEST ফাংশন। কার্সারটি B28-এ রাখুন এবং LINEST ফাংশনকে কল করুন, "পরিসংখ্যানগত" বিভাগ। "From_value_y" এবং "From_value_x" ক্ষেত্রগুলিতে আমরা B2-K2 এবং B1-K1 এর একটি লিঙ্ক দিই। "ধ্রুবক" ক্ষেত্রের TREND ফাংশনের মতো একই অর্থ রয়েছে; আমাদের ক্ষেত্রে এটি 1 এর সমান। যদি আপনি রিগ্রেশন সম্পর্কে সম্পূর্ণ পরিসংখ্যান প্রদর্শন করতে চান তবে "স্ট্যাট" ক্ষেত্রে অবশ্যই 1 থাকতে হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা সেখানে একটি রাখা. ফাংশনটি 2টি কলাম এবং 5টি সারির একটি অ্যারে প্রদান করে। প্রবেশ করার পর, মাউস দিয়ে সেল B28-C32 নির্বাচন করুন এবং F2 এবং Ctrl+Shift+Enter টিপুন। ফলাফলটি মানগুলির একটি সারণী, যে সংখ্যাগুলির নিম্নলিখিত অর্থ রয়েছে:
সহগ a | সহগ খ |
| স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি m o | স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি m h |
| নির্ণয় সহগ R xy | আদর্শ চ্যুতি |
| F - পরিসংখ্যান | স্বাধীনতার ডিগ্রি n-2 |
| বর্গক্ষেত্রের রিগ্রেশন যোগফল S n 2 | বর্গক্ষেত্রের অবশিষ্ট যোগফল S n 2 |
| 0,14303 | 5,976364 |
| 0,183849 | 0,981484 |
| 0,070335 | 1,669889 |
| 0,60525 | 8 |
| 1,687758 | 22,30824 |
ফলাফলের বিশ্লেষণ: প্রথম লাইনে - রিগ্রেশন সমীকরণের সহগ, তাদের গণনাকৃত ফাংশন SLOPE এবং INTERCEPT এর সাথে তুলনা করুন। দ্বিতীয় লাইনটি সহগগুলির মানক ত্রুটি। যদি তাদের মধ্যে একটি পরম মান সহগ থেকে বড় হয়, তাহলে সহগ শূন্য হিসাবে বিবেচিত হয়। নির্ণয়ের সহগ উপাদানগুলির মধ্যে সম্পর্কের গুণমানকে চিহ্নিত করে। 0.070335 এর ফলস্বরূপ মান ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে একটি খুব ভাল সম্পর্ক নির্দেশ করে, F - পরিসংখ্যান রিগ্রেশন মডেলের পর্যাপ্ততা সম্পর্কে হাইপোথিসিস পরীক্ষা করে। এই সংখ্যাটিকে সমালোচনামূলক মানের সাথে তুলনা করা আবশ্যক, এটি পেতে আমরা E33-এ স্বাক্ষর "F-সমালোচনা" এবং F33-এ FRIST ফাংশন লিখি, যার আর্গুমেন্টগুলি আমরা যথাক্রমে "0.05" (তাৎপর্য স্তর), "1" লিখি (কারকের সংখ্যা X) এবং "8" (স্বাধীনতার ডিগ্রি)।
| F- সমালোচনামূলক | 5,317655 |
এটা দেখা যায় যে F-পরিসংখ্যান F-ক্রিটিকালের চেয়ে কম, যার মানে হল রিগ্রেশন মডেল পর্যাপ্ত নয়। শেষ লাইনটি বর্গক্ষেত্রের রিগ্রেশন যোগফল দেখায় 
এবং বর্গক্ষেত্রের অবশিষ্ট যোগফল . এটা গুরুত্বপূর্ণ যে রিগ্রেশন যোগফল (রিগ্রেশন দ্বারা ব্যাখ্যা করা) অবশিষ্টাংশের চেয়ে অনেক বড় (রিগ্রেশন দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয় না, এলোমেলো কারণগুলির দ্বারা সৃষ্ট)। আমাদের ক্ষেত্রে, এই শর্ত পূরণ করা হয় না, যা দুর্বল রিগ্রেশন নির্দেশ করে।
উপসংহার: আমার কাজের সময়, আমি একটি কম্পিউটার ব্যবহার করে জোড়া রিগ্রেশনের একটি রৈখিক সমীকরণ তৈরি করার পদ্ধতিগুলি আয়ত্ত করেছি, রিগ্রেশন সমীকরণের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি পেতে এবং বিশ্লেষণ করতে শিখেছি।
পরীক্ষাগার কাজ নং 4
ননলাইনার রিগ্রেশন
লক্ষ্য: একটি কম্পিউটার (অভ্যন্তরীণ রৈখিক মডেল) ব্যবহার করে প্রধান ধরনের ননলিনিয়ার পেয়ার রিগ্রেশন সমীকরণ তৈরি করার পদ্ধতিগুলি আয়ত্ত করতে, রিগ্রেশন সমীকরণের গুণমান সূচকগুলি পেতে এবং বিশ্লেষণ করতে শিখুন।
ডেটা ট্রান্সফরমেশন (অভ্যন্তরীণ রৈখিক মডেল) ব্যবহার করে ননলিনিয়ার মডেলগুলিকে রৈখিক মডেলগুলিতে হ্রাস করা যেতে পারে এমন ঘটনাটি বিবেচনা করা যাক।
উদাহরণ। নমুনা x n y n (f = 1,2,…,10) এর জন্য একটি রিগ্রেশন সমীকরণ y = f(x) তৈরি করুন। f(x) হিসাবে, চার ধরণের ফাংশন বিবেচনা করুন - রৈখিক, শক্তি, সূচকীয় এবং হাইপারবোলা:
y = Ax + B; y = Ax B; y = Ae Bx; y = A/x + B।
তাদের সহগ A এবং B খুঁজে বের করা প্রয়োজন, এবং গুণমান সূচকগুলির তুলনা করার পরে, নির্ভরতাকে সর্বোত্তমভাবে বর্ণনা করে এমন ফাংশন নির্বাচন করুন।
| লাভ Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11,0 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| লাভ এক্স | 0,25 | 0,50 | 0,75 | 1,00 | 1,25 | 1,50 | 1,75 | 2,00 | 2,25 | 2,50 |
আসুন স্বাক্ষর সহ (কোষ A1-K2) টেবিলে ডেটা প্রবেশ করা যাক। রূপান্তরিত ডেটা প্রবেশের জন্য টেবিলের নীচে তিনটি লাইন খালি ছেড়ে দিন, 1 থেকে 5 পর্যন্ত সংখ্যা বরাবর বাম ধূসর সীমানা বরাবর সোয়াইপ করে প্রথম পাঁচটি লাইন নির্বাচন করুন এবং পটভূমিতে রঙ করতে একটি রঙ (হালকা - হলুদ বা গোলাপী) নির্বাচন করুন। কোষ এর পরে, A6 থেকে শুরু করে, আমরা লিনিয়ার রিগ্রেশন প্যারামিটারগুলি প্রদর্শন করি। এটি করার জন্য, সেল A6-এ "লিনিয়ার" লিখুন এবং সংলগ্ন সেল B6-এ LINEST ফাংশন লিখুন। "Izv_value_x" ক্ষেত্রগুলিতে আমরা B2-K2 এবং B1-K1 এর একটি লিঙ্ক দিই, পরবর্তী দুটি ক্ষেত্র একটির মান নেয়। এরপরে, নিচের এলাকাটিকে 5 লাইনে এবং বাম দিকে 2 লাইনে বৃত্ত করুন এবং F2 এবং Ctrl+Shift+Enter টিপুন। ফলাফল হল রিগ্রেশন প্যারামিটার সহ একটি সারণী, যার মধ্যে প্রথম কলামে নির্ণয়ের সহগ, শীর্ষ থেকে তৃতীয়, সর্বাধিক আগ্রহের বিষয়। আমাদের ক্ষেত্রে, এটি R 1 = 0.951262 এর সমান। F- মানদণ্ডের মান, যা মডেল F 1 = 156.1439 এর পর্যাপ্ততা পরীক্ষা করার অনুমতি দেয়
(চতুর্থ সারি, প্রথম কলাম)। রিগ্রেশন সমীকরণ হল
y = 12.96 x +6.18 (a এবং b সহগ B6 এবং C6 কোষে দেওয়া আছে)।
| রৈখিক | 12,96 | -6,18 |
| 1,037152 | 1,60884 | |
| 0,951262 | 2,355101 | |
| 156,1439 | 8 | |
| 866,052 | 44,372 |
আসুন আমরা অন্যান্য রিগ্রেশনের জন্য অনুরূপ বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করি এবং, সংকল্পের সহগ তুলনা করার ফলস্বরূপ, আমরা সেরা রিগ্রেশন মডেলটি খুঁজে পাব। আসুন হাইপারবোলিক রিগ্রেশন বিবেচনা করি। এটি পেতে, আমরা ডেটা রূপান্তর করি। তৃতীয় লাইনে, সেল A3-এ আমরা স্বাক্ষর লিখি "1/x" এবং সেল B3-এ আমরা "=1/B2" সূত্র লিখি। এই সেলটিকে B3-K3 এলাকায় স্বয়ংক্রিয়ভাবে পূরণ করা যাক। চলুন রিগ্রেশন মডেলের বৈশিষ্ট্যগুলো জেনে নেওয়া যাক। সেল A12-এ আমরা স্বাক্ষর লিখি "হাইপারবোলা", এবং পাশের LINEST ফাংশনে। “From_value_y” এবং “From_value_x2” ক্ষেত্রগুলিতে আমরা B1-K1 এবং আর্গুমেন্ট x – B3-K3 এর রূপান্তরিত ডেটার একটি লিঙ্ক দিই, পরবর্তী দুটি ক্ষেত্র একটির মান নেয়। এরপরে, 5 লাইনের নিচের এলাকাটি বৃত্ত করুন এবং বাম দিকে 2 লাইন করুন এবং F2 এবং Ctrl+Shift+Enter টিপুন। আমরা রিগ্রেশন প্যারামিটারের একটি টেবিল পাই। মধ্যে নির্ণয়ের সহগ এক্ষেত্রে R 2 = 0.475661 এর সমান, যা রৈখিক রিগ্রেশনের তুলনায় অনেক খারাপ। F- পরিসংখ্যান হল F2 = 7.257293৷ রিগ্রেশন সমীকরণ হল y = -6.25453x 18.96772।
| অধিবৃত্ত | -6,25453 | 18,96772 |
| 2,321705 | 3,655951 | |
| 0,475661 | 7,724727 | |
| 7,257293 | 8 | |
| 433,0528 | 477,3712 |
সূচকীয় রিগ্রেশন বিবেচনা করা যাক। এটিকে লিনিয়ারাইজ করার জন্য, আমরা সমীকরণটি পাই, যেখানে ỹ = ln y, ã = b, = ln a। এটি দেখা যায় যে একটি ডেটা ট্রান্সফরমেশন করা দরকার - y এর পরিবর্তে ln y। A4 কক্ষে কার্সার রাখুন এবং শিরোনাম করুন "ln y"। কার্সারটি B4 এ রাখুন এবং LN সূত্র লিখুন (বিভাগ "গাণিতিক")। একটি যুক্তি হিসাবে, আমরা B1 এর রেফারেন্স করি। অটোফিল ব্যবহার করে, আমরা সূত্রটিকে চতুর্থ সারিতে B4-K4 কক্ষে প্রসারিত করি। এর পরে, সেল F6-এ আমরা স্বাক্ষর সেট করি "Exponent" এবং সংলগ্ন G6-এ আমরা LINEST ফাংশনটি প্রবেশ করি, যার আর্গুমেন্টগুলি হবে রূপান্তরিত ডেটা B4-K4 ("Measured_value_y" ক্ষেত্রে) এবং অবশিষ্ট ক্ষেত্রগুলি হল লিনিয়ার রিগ্রেশন (B2-K2, এগারো) ক্ষেত্রের মতোই। এরপরে, G6-H10 সেলগুলিকে বৃত্ত করুন এবং F2 এবং Ctrl+Shift+Enter টিপুন। ফলাফল হল R 3 = 0.89079, F 3 = 65.25304, যা একটি খুব ভাল রিগ্রেশন নির্দেশ করে। রিগ্রেশন সমীকরণ b = ã এর সহগ বের করতে; কার্সারটি J6-এ রাখুন এবং শিরোনাম করুন “a=”, এবং পাশের K6-এ সূত্র “=EXP(H6)”, J7-এ আমরা শিরোনাম দিই “b=”, এবং K7-এ সূত্রটি “=G6”। রিগ্রেশন সমীকরণ হল y = 0.511707· e 6.197909 x।
| প্রদর্শক | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |
| 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | ||
| 0,89079 | 0,512793 | ||||
| 65,25304 | 8 | ||||
| 17,15871 | 2,103652 |
ক্ষমতা রিগ্রেশন বিবেচনা করা যাক. এটিকে লিনিয়ারাইজ করার জন্য, আমরা ỹ = ã সমীকরণ পাই, যেখানে ỹ = ln y, = ln x, ã = b, = ln a। এটি দেখা যায় যে ডেটা রূপান্তর করা প্রয়োজন - y এর পরিবর্তে ln y এবং x এর পরিবর্তে ln x। আমরা ইতিমধ্যে ln y সঙ্গে লাইন আছে. চলুন x চলক রূপান্তর করা যাক. সেল A5-এ আমরা স্বাক্ষর লিখি "ln x", এবং সেল B5-এ আমরা সূত্র LN (বিভাগ "গাণিতিক") লিখি। একটি যুক্তি হিসাবে, আমরা B2 এর রেফারেন্স করি। অটোফিল ব্যবহার করে, আমরা সূত্রটিকে পঞ্চম সারিতে B5-K5 কোষে প্রসারিত করি। এর পরে, সেল F12-এ আমরা স্বাক্ষর "পাওয়ার" সেট করি এবং সংলগ্ন G12-এ আমরা LINEST ফাংশন প্রবেশ করি, যার আর্গুমেন্টগুলি রূপান্তরিত ডেটা B4-K4 ("From_value_y" ক্ষেত্রে), এবং B5-K5 (এতে) "From_value_x" ক্ষেত্র), অবশিষ্ট ক্ষেত্রগুলি হল। এরপর, ফ্রি সেল G12-H16 এবং F2 এবং Ctrl+Shift+Enter টিপুন। ফলাফল হল R 4 = 0.997716, F 4 = 3494.117, যা ভাল রিগ্রেশন নির্দেশ করে। রিগ্রেশন সমীকরণ b = ã এর সহগ বের করতে; কার্সারটি J12-এ রাখুন এবং শিরোনাম করুন “a=”, এবং পার্শ্ববর্তী K12-এ সূত্র “=EXP(H12)”, J13-এ আমরা শিরোনাম দিই “b=”, এবং K13-এ সূত্রটি “=G12”। রিগ্রেশন সমীকরণ হল y = 4.90767/x+ 7.341268।
| শক্তি | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |
| 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | ||
| 0,997716 | 0,074163 | ||||
| 3494,117 | 8 | ||||
| 19,21836 | 0,044002 |
সমস্ত সমীকরণ পর্যাপ্তভাবে ডেটা বর্ণনা করে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। এটি করার জন্য, আপনাকে প্রতিটি মানদণ্ডের F-পরিসংখ্যানকে সমালোচনামূলক মানের সাথে তুলনা করতে হবে। এটি পাওয়ার জন্য, আমরা A21-এ স্বাক্ষর "F-ক্রিটিকাল" এবং B21-এ FRIST ফাংশন লিখি, যে আর্গুমেন্টগুলি আমরা লিখি, যথাক্রমে, "0.05" (তাৎপর্য স্তর), "1" (এতে X ফ্যাক্টরের সংখ্যা লাইন "তাৎপর্য স্তর 1") এবং "8" (স্বাধীনতার ডিগ্রি 2 = n – 2)। ফলাফল হল 5.317655। F – সমালোচনা F – পরিসংখ্যানের চেয়ে বড়, যার মানে মডেলটি পর্যাপ্ত। অবশিষ্ট রিগ্রেশনগুলিও যথেষ্ট। কোন মডেলটি সর্বোত্তমভাবে ডেটা বর্ণনা করে তা নির্ধারণ করার জন্য, আমরা প্রতিটি মডেল R 1, R 2, R 3, R 4 এর জন্য সংকল্প সূচকগুলি তুলনা করি। বৃহত্তম R4 = 0.997716। এর মানে হল পরীক্ষামূলক ডেটা y = 4.90767/x + 7.341268 দ্বারা আরও ভালভাবে বর্ণনা করা হয়েছে।
উপসংহার: আমার কাজ চলাকালীন, আমি কম্পিউটার ব্যবহার করে প্রধান ধরনের ননলাইনার পেয়ারওয়াইজ রিগ্রেশন সমীকরণ তৈরি করার পদ্ধতিগুলি আয়ত্ত করেছি, রিগ্রেশন সমীকরণের গুণমান সূচকগুলি পেতে এবং বিশ্লেষণ করতে শিখেছি।
| Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| এক্স | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 | 2,25 | 2,5 |
| 1/x | 4 | 2 | 1,333333 | 1 | 0,8 | 0,666667 | 0,571429 | 0,5 | 0,444444 | 0,4 |
| ln y | -1,20397 | 0,182322 | 1,029619 | 1,648659 | 2,0918641 | 2,397895 | 2,821379 | 2,827314 | 3,206803 | 3,380995 |
| ln x | -1,38629 | -0,69315 | -0,28768 | 0 | 0,2231436 | 0,405465 | 0,559616 | 0,693147 | 0,81093 | 0,916291 |
| রৈখিক | 12,96 | -6,18 | প্রদর্শক | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |||
| 1,037152 | 1,60884 | 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | |||||
| 0,951262 | 2,355101 | 0,89079 | 0,512793 | |||||||
| 156,1439 | 8 | 65,25304 | 8 | |||||||
| 866,052 | 44,372 | 17,15871 | 2,103652 | |||||||
| অধিবৃত্ত | -6,25453 | 18,96772 | শক্তি | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |||
| 2,321705 | 3,655951 | 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | |||||
| 0,475661 | 7,724727 | 0,997716 | 0,074163 | |||||||
| 7,257293 | 8 | 3494,117 | 8 | |||||||
| 433,0528 | 477,3712 | 19,21836 | 0,044002 | |||||||
| F - সমালোচনামূলক | 5,317655 | |||||||||
ল্যাবরেটরি কাজ নং 5
বহুপদী রিগ্রেশন
উদ্দেশ্য: পরীক্ষামূলক ডেটা ব্যবহার করে, y = ax 2 + bx + c ফর্মের একটি রিগ্রেশন সমীকরণ তৈরি করুন।
অগ্রগতি:
মাটিতে প্রয়োগ করা খনিজ সারের পরিমাণের উপর একটি নির্দিষ্ট ফসল y i এর ফলনের নির্ভরতা বিবেচনা করা হয়। ধারণা করা হয় এই নির্ভরতা দ্বিঘাতিক। ỹ = ax 2 + bx + c ফর্মের একটি রিগ্রেশন সমীকরণ খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
| এক্স | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 |
আসুন A1-K2 কক্ষে স্বাক্ষর সহ স্প্রেডশীটে এই ডেটা প্রবেশ করা যাক। এর একটি গ্রাফ নির্মাণ করা যাক. এটি করার জন্য, ডেটা Y (কোষ B2-K2) বৃত্তাকারে, চার্ট উইজার্ডকে কল করুন, চার্টের ধরন "গ্রাফ" নির্বাচন করুন, চার্টের ধরন - বিন্দু সহ গ্রাফ (উপরের বাম থেকে দ্বিতীয়), "পরবর্তী" ক্লিক করুন, যান "সিরিজ" ট্যাবে এবং "এক্স-অক্ষ লেবেল"-এ B2-K2-এ একটি লিঙ্ক তৈরি করুন, "সমাপ্ত করুন" এ ক্লিক করুন। গ্রাফটি ডিগ্রী 2 y = ax 2 + bx + c এর বহুপদী দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে। a, b, c সহগগুলি খুঁজে পেতে, আপনাকে সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করতে হবে:
এর পরিমাণ গণনা করা যাক. এটি করার জন্য, সেল A3-এ স্বাক্ষর “X^2” লিখুন এবং B3 ঘরে “= B1*B1” সূত্র লিখুন এবং অটোফিল ব্যবহার করে সম্পূর্ণ লাইন B3-K3 এ স্থানান্তর করুন। কক্ষ A4-এ আমরা স্বাক্ষর লিখি "X^3", এবং B4-এ সূত্র "=B1*B3" এবং অটোফিল পুরো লাইন B4-K4-এ স্থানান্তর করি। A5 কক্ষে আমরা "X^4" লিখি, এবং B5-এ সূত্র "=B4*B1", লাইনটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে পূরণ করুন। A6 কক্ষে আমরা "X*Y" লিখি, এবং B8-এ সূত্র "=B2*B1", লাইনটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে পূরণ করুন। সেল A7-এ আমরা "X^2*Y" লিখি, এবং B9-এ সূত্র "=B3*B2", লাইনটি অটোফিল করি। এখন আমরা পরিমাণ গণনা. হেডারে ক্লিক করে একটি রঙ নির্বাচন করে একটি ভিন্ন রঙের সাথে কলাম L নির্বাচন করুন। L1 কক্ষে কার্সার রাখুন এবং প্রথম সারির যোগফল গণনা করতে ∑ আইকন সহ অটোসাম বোতামে ক্লিক করুন। অটোফিল ব্যবহার করে, আমরা L1-710 কোষে সূত্র স্থানান্তর করি।
এখন আমরা সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করি। এটি করার জন্য, আমরা সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স প্রবর্তন করি। সেল A13-এ আমরা স্বাক্ষর "A=" লিখি, এবং ম্যাট্রিক্স কোষ B13-D15-এ আমরা টেবিলে প্রতিফলিত লিঙ্কগুলি প্রবেশ করি
| খ | গ | ডি | |
| 13 | =L5 | =L4 | =L3 |
| 14 | =L3 | =L2 | =L1 |
| 15 | =L2 | =L1 | =9 |
আমরা সমীকরণের সিস্টেমের ডানদিকের দিকগুলিও প্রবর্তন করি। G13-এ আমরা স্বাক্ষর লিখি “B=”, এবং H13-H15-এ আমরা যথাক্রমে “=L7”, “=L6”, “=L2” কোষের লিঙ্ক লিখি। আমরা ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করি। উচ্চতর গণিত থেকে জানা যায় যে সমাধানটি A -1 B এর সমান। বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজুন। এটি করতে, সেল J13-এ স্বাক্ষর "A arr" লিখুন। এবং, K13 এ কার্সার রেখে, MOBR সূত্র সেট করুন (বিভাগ "গাণিতিক")। অ্যারে আর্গুমেন্ট হিসাবে, আমরা B13:D15 সেলগুলির একটি রেফারেন্স প্রদান করি। ফলাফলটিও একটি 4x4 ম্যাট্রিক্স হওয়া উচিত। এটি পেতে, মাউস দিয়ে K13-M15 সেলগুলিকে বৃত্ত করুন, সেগুলি নির্বাচন করুন এবং F2 এবং Ctrl+Shift+Enter টিপুন। ফলাফল ম্যাট্রিক্স A -1. আসুন এখন এই ম্যাট্রিক্স এবং কলাম B (কোষ H13-H15) এর গুণফল খুঁজে বের করি। আমরা A18 কক্ষে স্বাক্ষর "সহগ" লিখি এবং B18-এ আমরা একাধিক ফাংশন সেট করি (বিভাগ "গাণিতিক")। "অ্যারে 1" ফাংশনের আর্গুমেন্টগুলি ম্যাট্রিক্স A-1 (কোষ K13-M15) এর একটি লিঙ্ক এবং "অ্যারে 2" ক্ষেত্রে আমরা কলাম B (কোষ H13-H16) এর একটি লিঙ্ক প্রদান করি। এরপর, B18-B20 নির্বাচন করুন এবং F2 এবং Ctrl+Shift+Enter টিপুন। ফলস্বরূপ অ্যারে হল রিগ্রেশন সমীকরণ a, b, c এর সহগ। ফলস্বরূপ, আমরা ফর্মটির একটি রিগ্রেশন সমীকরণ পাই: y = 1.201082x 2 – 5.619177x + 78.48095।
চলুন আসল ডেটা এবং রিগ্রেশন সমীকরণের উপর ভিত্তি করে প্রাপ্ত গ্রাফগুলি তৈরি করি। এটি করার জন্য, কক্ষ A8-এ স্বাক্ষর "রিগ্রেশন" লিখুন এবং B8-এ "=$B$18*B3+$B$19*B1+$B$20" সূত্র লিখুন। অটোফিল ব্যবহার করে, আমরা B8-K8 কোষে সূত্র স্থানান্তর করি। একটি গ্রাফ তৈরি করতে, সেল B8-K8 নির্বাচন করুন এবং Ctrl কী চেপে ধরে B2-M2 ঘরগুলিও নির্বাচন করুন। চার্ট উইজার্ডকে কল করুন, চার্টের ধরন "গ্রাফ" নির্বাচন করুন, চার্টের ধরন - পয়েন্ট সহ গ্রাফ (উপরের বাম থেকে দ্বিতীয়), "পরবর্তী" ক্লিক করুন, "সিরিজ" ট্যাবে যান এবং "এক্স-অক্ষ লেবেল" ক্ষেত্রে তৈরি করুন B2-M2 এর একটি লিঙ্ক, "রেডি" ক্লিক করুন। এটি দেখা যায় যে বক্ররেখাগুলি প্রায় মিলে যায়।
উপসংহার: পরীক্ষামূলক তথ্যের উপর ভিত্তি করে কাজের প্রক্রিয়ায়, আমি y = ax 2 + bx + c ফর্মের একটি রিগ্রেশন সমীকরণ তৈরি করতে শিখেছি।
| এক্স | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 | |||
| X^2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | |||
| X^3 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | |||
| X^4 | 0 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | |||
| X*Y | 0 | 58,8 | 144,4 | 304,5 | 564 | 675,5 | 939,6 | 1271,9 | 1732,8 | 1873,8 | |||
| X^2*Y | 0 | 58,8 | 288,8 | 913,5 | 2256 | 3377,5 | 5637,6 | 8903,3 | 13862,4 | 16864,2 | |||
| রিগ্রেশন। | 78,48095 | 85,30121 | 94,52364 | 106,1482 | 120,175 | 136,6039 | 155,435 | 176,6682 | 200,3036 | 226,3412 | |||
| ক = | 15333 | 2025 | 285 | খ= | 52162,1 | আ আর. | 0,003247 | -0,03247 | 0,059524 | ||||
| 2025 | 285 | 45 | 7565,3 | -0,03247 | 0,341342 | -0,67857 | |||||||
| 285 | 45 | 9 | 1301,5 | 0,059524 | -0,67857 | 1,619048 | |||||||
| গুণাঙ্ক | 1,201082 | ক | |||||||||||
| 5,619177 | |||||||||||||
নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 বক্তৃতা 6. দুটি নমুনা 6-1 তুলনা করা। উপায় সমতা অনুমান. জোড়া নমুনা 6-2। উপায়ে পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান। জোড়া নমুনা 6-3. ভেরিয়েন্সের সমতার হাইপোথিসিস 6-4। শেয়ারের সমতার হাইপোথিসিস 6-5। অনুপাতের পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
2 Ivanov O.V., 2005 এই বক্তৃতায়... পূর্ববর্তী বক্তৃতায় আমরা দুটি সাধারণ জনসংখ্যার গড় সমতা সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করেছিলাম এবং নির্মাণ আস্থা ব্যবধানস্বাধীন নমুনার ক্ষেত্রে উপায়ের পার্থক্যের জন্য। এখন আমরা উপায়ের সমতার হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার মানদণ্ড বিবেচনা করব এবং জোড়া (নির্ভরশীল) নমুনার ক্ষেত্রে উপায়ের পার্থক্যের জন্য একটি আস্থার ব্যবধান তৈরি করব। তারপর ধারা 6-3-এ বৈচিত্র্যের সমতার হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা হবে, ধারা 6-4-এ - শেয়ারের সমতার অনুমান। অবশেষে, আমরা অনুপাতের পার্থক্যের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করি।
নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 উপায়ের সমতার হাইপোথিসিস। জোড়া নমুনা সমস্যার বিবৃতি অনুমান এবং পরিসংখ্যান কর্মের ক্রম উদাহরণ
4 ইভানভ ও.ভি., 2005 জোড়া নমুনা। সমস্যার বর্ণনা আমাদের যা আছে 1. দুটি সাধারণ জনসংখ্যা থেকে প্রাপ্ত দুটি সাধারণ এলোমেলো নমুনা। নমুনা জোড়া হয় (নির্ভরশীল)। 2. উভয় নমুনার আকার n 30। যদি না হয়, তাহলে উভয় নমুনাই সাধারণত বিতরণকৃত জনসংখ্যা থেকে নেওয়া হয়। আমরা যা চাই তা হল দুটি জনসংখ্যার উপায়ের মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করা:
5 Ivanov O.V., 2005 জোড়া নমুনার পরিসংখ্যান অনুমান পরীক্ষা করার জন্য, পরিসংখ্যান ব্যবহার করা হয়: একটি জোড়ায় দুটি মানের মধ্যে পার্থক্য কোথায় - জোড়া পার্থক্যের জন্য সাধারণ গড় - জোড়া পার্থক্যের নমুনা গড় - আদর্শ চ্যুতিনমুনার জন্য পার্থক্য - জোড়া সংখ্যা
6 ইভানভ ও.ভি., 2005 উদাহরণ। শিক্ষার্থীদের প্রশিক্ষণ 15 জন শিক্ষার্থীর একটি দল প্রশিক্ষণের আগে এবং পরে একটি পরীক্ষা দেয়। পরীক্ষার ফলাফল টেবিলে আছে। আসুন 0.05 এর তাত্পর্যপূর্ণ স্তরে শিক্ষার্থীদের প্রস্তুতির উপর প্রশিক্ষণের প্রভাবের অনুপস্থিতির জন্য জোড়া নমুনার জন্য অনুমান পরীক্ষা করি। সমাধান। আসুন পার্থক্য এবং তাদের বর্গ গণনা করা যাক। শিক্ষার্থীর আগে Σ= 21 Σ= 145
7 Ivanov O.V., 2005 সমাধান ধাপ 1. প্রধান এবং বিকল্প অনুমান: ধাপ 2. তাৎপর্য স্তর = 0.05 সেট করা হয়েছে। ধাপ 3. df = 15 – 1=14 এর জন্য টেবিলটি ব্যবহার করে, আমরা t = 2.145 এর সমালোচনামূলক মান খুঁজে পাই এবং সমালোচনামূলক অঞ্চলটি লিখি: t > 2.145। ২.১৪৫। = 15 – 1=14 আমরা সমালোচনামূলক মান খুঁজে পাই t = 2.145 এবং সমালোচনামূলক অঞ্চল লিখি: t > 2.145।"> title="7 Ivanov O.V., 2005 সমাধান ধাপ 1. প্রধান এবং বিকল্প অনুমান: ধাপ 2. তাৎপর্য স্তর = 0.05 সেট করা হয়েছে। ধাপ 3. df = 15 – 1=14 এর জন্য টেবিলটি ব্যবহার করে, আমরা t = 2.145 এর সমালোচনামূলক মান খুঁজে পাই এবং সমালোচনামূলক অঞ্চলটি লিখি: t > 2.145।"> !}
9 Ivanov O.V., 2005 সমাধান পরিসংখ্যান মান নেয়: ধাপ 5. প্রাপ্ত মানকে সমালোচনামূলক অঞ্চলের সাথে তুলনা করুন। 1.889 
নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 উপায়ে পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান। পেয়ার করা নমুনা একটি আস্থার ব্যবধান নির্মাণের জন্য সমস্যা বিবৃতি পদ্ধতি উদাহরণ
11 ইভানভ ও.ভি., 2005 সমস্যার বর্ণনা আমাদের যা আছে আমাদের কাছে দুটি সাধারণ জনসংখ্যা থেকে n আকারের দুটি এলোমেলো জোড়া (নির্ভরশীল) নমুনা রয়েছে। সাধারণ জনসংখ্যার প্যারামিটার 1, 1 এবং 2, 2 বা উভয় নমুনার ভলিউম 30 সহ একটি সাধারণ বন্টন আইন রয়েছে। আমরা যা চাই তা হল দুটি সাধারণ জনসংখ্যার জন্য জোড়া পার্থক্যের গড় মান অনুমান করা। এটি করার জন্য, ফর্মে গড়ের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করুন:
নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 বৈচিত্র্যের সমতার হাইপোথিসিস সমস্যার বিবৃতি হাইপোথিসিস এবং পরিসংখ্যান কর্মের ক্রম উদাহরণ
15 ইভানভ ও.ভি., 2005 অধ্যয়নের সময়... গবেষককে অনুমানটি পরীক্ষা করতে হতে পারে যে দুটি জনসংখ্যার পার্থক্যগুলি অধ্যয়ন করা হচ্ছে সমান। যে ক্ষেত্রে এই সাধারণ জনগণ আছে স্বাভাবিক বন্টন, এর জন্য একটি F-পরীক্ষা রয়েছে, যাকে ফিশার মানদণ্ডও বলা হয়। ছাত্রের বিপরীতে, ফিশার একটি মদ তৈরির কারখানায় কাজ করেননি।
16 ইভানভ ও.ভি., 2005 সমস্যাটির বর্ণনা আমাদের কী আছে 1. দুটি সাধারণভাবে বিতরণ করা জনসংখ্যা থেকে প্রাপ্ত দুটি সাধারণ এলোমেলো নমুনা। 2. নমুনা স্বাধীন. এর মানে নমুনা বিষয়ের মধ্যে কোন সম্পর্ক নেই। আমরা যা চাই তা হল জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের সমতার অনুমান পরীক্ষা করা:
23 ইভানভ ও.ভি., 2005 উদাহরণ একজন চিকিৎসা গবেষক ধূমপান এবং ধূমপান না করা রোগীদের হৃদস্পন্দনের মধ্যে পার্থক্য আছে কিনা তা পরীক্ষা করতে চান (প্রতি মিনিটে স্পন্দনের সংখ্যা)। দুটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত দলের ফলাফল নীচে দেখানো হয়েছে. α = 0.05 ব্যবহার করে, ডাক্তার সঠিক কিনা তা খুঁজে বের করুন। ধূমপায়ী অধূমপায়ী
24 Ivanov O.V., 2005 সমাধান ধাপ 1. প্রধান এবং বিকল্প অনুমান: ধাপ 2. তাৎপর্য স্তর = 0.05 সেট করা হয়েছে। ধাপ 3. লব 25 এবং হর 17 এর স্বাধীনতার ডিগ্রীর সংখ্যার জন্য টেবিলটি ব্যবহার করে, আমরা f = 2.19 এবং সমালোচনামূলক অঞ্চলটি খুঁজে পাই: f > 2.19। ধাপ 4. নমুনা ব্যবহার করে, আমরা পরিসংখ্যান মান গণনা করি: 2.19। ধাপ 4. নমুনা ব্যবহার করে, আমরা পরিসংখ্যান মান গণনা করি: "> 
নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 সমান শেয়ারের অনুমান সমস্যার বিবৃতি হাইপোথিসিস এবং পরিসংখ্যান কর্মের ক্রম উদাহরণ
27 ইভানভ ও.ভি., 2005 প্রশ্ন সমাজবিজ্ঞান অনুষদের 100 এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ছাত্রদের মধ্যে, 43 জন বিশেষ কোর্সে অংশগ্রহণ করে। 200 এলোমেলোভাবে নির্বাচিত অর্থনীতির ছাত্রদের মধ্যে 90 জন বিশেষ কোর্সে অংশগ্রহণ করে। বিশেষ কোর্সে অংশগ্রহণকারী ছাত্রদের অনুপাত কি সমাজবিজ্ঞান এবং অর্থনীতি বিভাগের মধ্যে আলাদা? এটি উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা বলে মনে হচ্ছে না। আমি কিভাবে এটা চেক করতে পারি? যারা বিশেষ কোর্সে অংশ নিচ্ছেন তাদের ভাগের ভাগই ভাগ। 43 - "সফলতার" সংখ্যা। 43/100 - সাফল্যের ভাগ। পরিভাষাটি বার্নউলির পরিকল্পনার মতোই।
28 ইভানভ ও.ভি., 2005 সমস্যাটির বর্ণনা আমাদের কী আছে 1. দুটি সাধারণভাবে বিতরণ করা জনসংখ্যা থেকে প্রাপ্ত দুটি সাধারণ এলোমেলো নমুনা। নমুনা স্বাধীন. 2. নমুনার জন্য, np 5 এবং nq 5 পূর্ণ হয়। এর মানে হল যে নমুনার অন্তত 5টি উপাদানের অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যগত মান আছে, এবং অন্তত 5টির নেই। আমরা যা চাই তা হল দুটি সাধারণ জনগোষ্ঠীর মধ্যে একটি বৈশিষ্ট্যের শেয়ারের সমতা সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করা:
31 ইভানভ ও.ভি., 2005 উদাহরণ। দুটি অনুষদের বিশেষ কোর্স সমাজবিজ্ঞান অনুষদের 100 এলোমেলোভাবে নির্বাচিত শিক্ষার্থীর মধ্যে 43 জন বিশেষ কোর্সে অংশগ্রহণ করে। 200 জন অর্থনীতির শিক্ষার্থীর মধ্যে 90 জন বিশেষ কোর্সে অংশ নেয়। তাত্পর্য স্তর = 0.05, অনুমান পরীক্ষা করুন যে এই দুটি অনুষদে বিশেষ কোর্সে অংশগ্রহণকারী শিক্ষার্থীদের অনুপাতের মধ্যে কোন পার্থক্য নেই। 33 Ivanov O.V., 2005 সমাধান ধাপ 1. প্রধান এবং বিকল্প অনুমান: ধাপ 2. তাত্পর্য স্তর = 0.05 সেট করা হয়েছে। ধাপ 3. সাধারণ বন্টন সারণী ব্যবহার করে, আমরা z = – 1.96 এবং z = 1.96 এর গুরুত্বপূর্ণ মানগুলি খুঁজে পাই এবং সমালোচনামূলক অঞ্চলটি তৈরি করি: z 1.96। ধাপ 4. নমুনার উপর ভিত্তি করে, আমরা পরিসংখ্যানের মান গণনা করি।
34 ইভানভ ও.ভি., 2005 সমাধান ধাপ 5. প্রাপ্ত মানকে সমালোচনামূলক অঞ্চলের সাথে তুলনা করুন। ফলস্বরূপ পরিসংখ্যান মান সমালোচনামূলক অঞ্চলের মধ্যে পড়েনি। ধাপ 6. উপসংহার প্রণয়ন করুন। মূল অনুমান প্রত্যাখ্যান করার কোন কারণ নেই। বিশেষ কোর্সে যোগদানকারীদের অংশ পরিসংখ্যানগতভাবে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা নয়।
নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 নভেম্বর 5, 2012 অনুপাতের পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান সমস্যাটির বিবৃতি একটি আস্থার ব্যবধান নির্মাণের জন্য পদ্ধতি উদাহরণ
দুটি স্বতন্ত্র নমুনা বিবেচনা করুন x 1, x 2, ….., x n এবং y 1, y 2, …, y n, স্বাভাবিক জনসংখ্যা থেকে সমান বৈচিত্র সহ নির্যাসিত, নমুনা আকার যথাক্রমে n এবং m, এবং গড় μ x, μy এবং প্রকরণ σ 2 অজানা। প্রতিযোগী H 1: μ x μy এর সাথে মূল হাইপোথিসিস H 0: μ x = μy পরীক্ষা করা প্রয়োজন।
হিসাবে পরিচিত, নমুনা গড় নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য থাকবে: ~N(μx, σ 2 /n), ~N(μy, σ 2 /m)।
তাদের পার্থক্য গড়ের সাথে একটি স্বাভাবিক মান 
এবং ভিন্নতা, তাই
~ 
(23).
আসুন আমরা এক মুহুর্তের জন্য ধরে নিই যে মূল অনুমান H 0 সঠিক: μ x – μ y =0। তারপর 
এবং মানটিকে এর আদর্শ বিচ্যুতি দ্বারা ভাগ করলে, আমরা সাধারণ সাধারণ SL পাই। আকার 
~N(0,1)।
আগেই উল্লেখ করা হয়েছিল যে মাত্রা 
স্বাধীনতার (n-1)তম ডিগ্রী সহ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়, ক 
- স্বাধীনতার (m-1) ডিগ্রি সহ আইন অনুসারে। এই দুটি রাশির স্বাতন্ত্র্য বিবেচনায় নিলে আমরা দেখতে পাই যে তারা সর্বমোট পরিমাণ 
স্বাধীনতার n+m-2 ডিগ্রি সহ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়।
ধাপ 7 মনে রেখে, আমরা যে ভগ্নাংশ দেখতে 
স্বাধীনতার ν=m+n-2 ডিগ্রি সহ t-বন্টন (ছাত্র) মেনে চলে: Z=t। এই সত্যটি তখনই ঘটে যখন হাইপোথিসিস H 0 সত্য হয়।
ξ এবং Q তাদের অভিব্যক্তির সাথে প্রতিস্থাপন করে, আমরা Z এর জন্য একটি প্রসারিত সূত্র পাই:
(24)
পরবর্তী Z মান, যাকে মানদণ্ড পরিসংখ্যান বলা হয়, আপনাকে নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলির ক্রম অনুসারে সিদ্ধান্ত নিতে দেয়:
1. এলাকাটি D=[-t β,ν , +t β,ν] প্রতিষ্ঠিত হয়েছে, যেখানে t ν বণ্টন বক্ররেখার অধীনে β=1–α এলাকা রয়েছে (সারণী 10)।
2. পরিসংখ্যান Z-এর পরীক্ষামূলক মান Z-কে সূত্র (24) ব্যবহার করে গণনা করা হয়, যার জন্য নির্দিষ্ট নমুনার মান x 1 এবং y 1, সেইসাথে তাদের নমুনার মানে এবং, X 1 এবং Y 1 এর পরিবর্তে প্রতিস্থাপিত হয় .
3. যদি D-এর উপর Z, তাহলে হাইপোথিসিস H 0 পরীক্ষামূলক তথ্যের সাথে বিরোধিতা করে না বলে মনে করা হয় এবং গৃহীত হয়।
যদি D এর উপর Z, তাহলে হাইপোথিসিস H 1 গৃহীত হয়।
যদি হাইপোথিসিস H 0 সত্য হয়, তাহলে Z শূন্য গড় সহ পরিচিত t ν -বন্টন মেনে চলে এবং উচ্চ সম্ভাবনার সাথে β = 1–α হাইপোথিসিস H 0 গ্রহণের D-অঞ্চলে পড়ে। যখন পর্যবেক্ষিত, পরীক্ষামূলক মান Z-এর মধ্যে পড়ে। আমরা এটিকে H 0 অনুমানের পক্ষে প্রমাণ হিসাবে বিবেচনা করি।
যখন Z 0 n D-এর বাইরে থাকে (যেমন তারা বলে, সমালোচনামূলক অঞ্চল K-তে থাকে), যা স্বাভাবিক যদি হাইপোথিসিস H 1 সত্য হয়, কিন্তু H 0 যদি সত্য হয়, তাহলে আমরা শুধুমাত্র H 0 মেনে নিয়ে হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করতে পারি। এইচ 1।
উদাহরণ 31।
দুটি গ্রেডের পেট্রল তুলনা করা হয়েছে: A এবং B. একই শক্তির 11টি গাড়িতে, একটি বৃত্তাকার চ্যাসিসে একবার A এবং B গ্রেডের পেট্রল পরীক্ষা করা হয়েছিল৷ একটি গাড়ি পথের মধ্যে ভেঙে পড়ে এবং পেট্রল B-তে এটির কোনও ডেটা নেই৷
প্রতি 100 কিলোমিটারে পেট্রল খরচ
টেবিল 12
| i | ||||||||||||
| একাদশ | 10,51 | 11,86 | 10,5 | 9,1 | 9,21 | 10,74 | 10,75 | 10,3 | 11,3 | 11,8 | 10,9 | n=11 |
| উi | 13,22 | 13,0 | 11,5 | 10,4 | 11,8 | 11,6 | 10,64 | 12,3 | 11,1 | 11,6 | - | m=10 |
গ্যাসোলিন গ্রেড A এবং B এর খরচের পার্থক্য অজানা এবং একই বলে ধরে নেওয়া হয়। এটা কি সম্ভব, α=0.05-এর তাৎপর্যপূর্ণ স্তরে, এই ধরনের পেট্রলের প্রকৃত গড় খরচ μ A এবং μ B একই রকমের অনুমান মেনে নেওয়া?
সমাধান। হাইপোথিসিস H 0: μ A -μ B = 0 প্রতিযোগী একটির সাথে পরীক্ষা করা। H 1:μ 1 μ2 নিম্নলিখিতগুলি করে:
1. নমুনা উপায় এবং বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টি খুঁজুন Q.
;
;
2. Z পরিসংখ্যানের পরীক্ষামূলক মান গণনা করুন
3. t-বন্টনের সারণি 10 থেকে আমরা স্বাধীনতা ডিগ্রীর সংখ্যার জন্য t β,ν সীমা খুঁজে পাই ν=m+n–2=19 এবং β=1–α=0.95। সারণি 10-এ t 0.95.20 =2.09 এবং t 0.95.15 =2.13 আছে, কিন্তু t 0.95.19 নয়। আমরা ইন্টারপোলেশন t 0.95.19 =2.09+ =2.10 দ্বারা খুঁজে পাই।
4. D বা K দুটি এলাকার মধ্যে কোনটি জোন নম্বর রয়েছে তা পরীক্ষা করুন। জোন=-2.7 D=[-2.10; -2.10]।
যেহেতু Z-এর পর্যবেক্ষিত মানটি সমালোচনামূলক অঞ্চলে অবস্থিত, K = R\D, আমরা এটি বাতিল করি। H 0 এবং হাইপোথিসিস H 1 গ্রহণ করুন। এই ক্ষেত্রে, তারা বলে যে তাদের পার্থক্য উল্লেখযোগ্য। যদি, এই উদাহরণের সমস্ত শর্তের অধীনে, শুধুমাত্র Q পরিবর্তিত হয়, বলুন, Q দ্বিগুণ হয়েছে, তাহলে আমাদের উপসংহার পরিবর্তিত হত। Q দ্বিগুণ করার ফলে একটি ফ্যাক্টর দ্বারা জোনের মান হ্রাস পাবে, এবং তারপরে জোন সংখ্যাটি গ্রহণযোগ্য অঞ্চল D-এ পড়বে, যাতে H 0 হাইপোথিসিস পরীক্ষায় দাঁড়াবে এবং গৃহীত হবে। এই ক্ষেত্রে, এবং এর মধ্যে পার্থক্যটি ডেটার প্রাকৃতিক বিক্ষিপ্তকরণ দ্বারা ব্যাখ্যা করা হবে, এবং μ A μ B দ্বারা নয়।
হাইপোথিসিস পরীক্ষার তত্ত্বটি অত্যন্ত বিস্তৃত; অনুমানগুলি বন্টন আইনের ধরন, নমুনার একজাততা, পরবর্তী পরিমাণের স্বাধীনতা ইত্যাদি সম্পর্কে হতে পারে।
মানদণ্ড গ 2 (পিয়ার্সন)
একটি সাধারণ অনুমান পরীক্ষা করার জন্য অনুশীলনে সবচেয়ে সাধারণ মানদণ্ড। বন্টন আইন অজানা হলে প্রযোজ্য। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X বিবেচনা করুন যার উপরে n স্বাধীন পরীক্ষা. উপলব্ধি x 1, x 2,..., x n পাওয়া যায়। এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন সম্পর্কে হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা প্রয়োজন।
আসুন একটি সাধারণ অনুমানের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক। একটি সাধারণ অনুমান একটি জনসংখ্যার সাথে একটি নমুনার ফিট পরীক্ষা করে যা সাধারণত বিতরণ করা হয় (পরিচিত)। আমরা নমুনা অনুযায়ী নির্মাণ ভিন্নতা সিরিজ x (1), x (2), ..., x (n)। আমরা ব্যবধানটিকে সাবইন্টারভালে ভাগ করি। এই বিরতি r হতে দিন. তারপরে আমরা সম্ভাব্যতা খুঁজে পাব যে X, পরীক্ষার ফলস্বরূপ, ব্যবধান Di, i=1 ,..., r এর মধ্যে পড়বে যদি পরীক্ষা করা হাইপোথিসিসটি সত্য হয়।
মানদণ্ড সম্ভাব্যতার ঘনত্বের সত্যতা যাচাই করে না, তবে সংখ্যার সত্যতা যাচাই করে
প্রতিটি ব্যবধানের সাথে আমরা একটি র্যান্ডম ইভেন্ট A i - এই ব্যবধানে একটি হিট যুক্ত করি (এটি Di-তে প্রয়োগের ফলাফলের X-এ একটি পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে একটি আঘাত)। এর র্যান্ডম ভেরিয়েবল প্রবর্তন করা যাক. m i হল n-এর মধ্যে পরিচালিত পরীক্ষার সংখ্যা যেখানে A i ঘটেছিল। m i দ্বিপদ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয় এবং যদি অনুমানটি সত্য হয়
Dm i = np i (1-p i)
মানদণ্ড গ 2-এর ফর্ম আছে 
p 1 +p 2 + ...p r =1
মি 1 + মি 2 + ... মি r = n
যদি পরীক্ষিত হাইপোথিসিসটি সঠিক হয়, তাহলে m i একটি ইভেন্টের সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি উপস্থাপন করে যার প্রতিটি n ট্রায়ালে একটি সম্ভাব্যতা pi আছে, তাই, আমরা m i কে বিন্দু npi কেন্দ্রিক দ্বিপদী আইনের একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিষয় হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। যখন n বড় হয়, তখন আমরা অনুমান করতে পারি যে ফ্রিকোয়েন্সিটি একই পরামিতিগুলির সাথে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে সাধারণত বিতরণ করা হয়। যদি অনুমানটি সঠিক হয়, তাহলে আমাদের আশা করা উচিত যে তারা অ্যাসিম্পটোটিকভাবে স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হবে
সম্পর্কের মাধ্যমে আন্তঃসংযুক্ত
নমুনা ডেটা m 1 +m 2 + ...m r এবং তাত্ত্বিক np 1 +np 2 + ... np r এর মধ্যে পার্থক্যের পরিমাপ হিসাবে, মান বিবেচনা করুন
c 2 - অ্যাসিম্পটোটিকভাবে স্বাভাবিক পরিমাণের বর্গের সমষ্টি সম্পর্কিত রৈখিক নির্ভরতা. আমরা পূর্বে একটি অনুরূপ মামলার সম্মুখীন হয়েছি এবং জানি যে একটি রৈখিক সংযোগের উপস্থিতি স্বাধীনতার ডিগ্রীর সংখ্যা এক দ্বারা হ্রাস করেছে।
যদি পরীক্ষিত হাইপোথিসিসটি সঠিক হয়, তাহলে মানদণ্ড c 2-এর একটি ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে যা r-1 ডিগ্রী স্বাধীনতার সাথে c 2 এর বন্টনের সাথে n®¥ থাকে।
অনুমান করা যাক যে অনুমানটি মিথ্যা। তারপর যোগফল পদ বৃদ্ধির একটি প্রবণতা আছে, যেমন যদি অনুমানটি ভুল হয়, তাহলে এই যোগফলটি c 2 এর বড় মানের একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলে পড়বে। একটি সমালোচনামূলক অঞ্চল হিসাবে, আমরা মানদণ্ডের ইতিবাচক মানগুলির অঞ্চলটি গ্রহণ করি
| |
অজানা ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটারের ক্ষেত্রে, প্রতিটি প্যারামিটার পিয়ারসন মানদণ্ডের স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা এক করে কমিয়ে দেয়।
8.1। নির্ভরশীল এবং স্বাধীন নমুনার ধারণা।
একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য একটি মানদণ্ড নির্বাচন করা
বিবেচনাধীন নমুনাগুলি নির্ভর বা স্বাধীন কিনা তা প্রাথমিকভাবে নির্ধারিত হয়। আসুন সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞাগুলি প্রবর্তন করি।
ডিফনমুনা বলা হয় স্বাধীন, যদি প্রথম নমুনায় ইউনিট নির্বাচন করার পদ্ধতিটি দ্বিতীয় নমুনায় ইউনিট নির্বাচন করার পদ্ধতির সাথে কোনোভাবেই সংযুক্ত না হয়।
দুটি স্বতন্ত্র নমুনার একটি উদাহরণ হল একই এন্টারপ্রাইজে (একই শিল্পে, ইত্যাদি) কাজ করা পুরুষ এবং মহিলাদের উপরে আলোচনা করা নমুনা।
মনে রাখবেন যে দুটি নমুনার স্বাধীনতার মানে এই নয় যে এই নমুনার একটি নির্দিষ্ট ধরণের মিলের (তাদের একজাতীয়তা) কোন প্রয়োজন নেই। সুতরাং, পুরুষ এবং মহিলাদের আয়ের স্তর অধ্যয়ন করার সময়, আমরা এমন পরিস্থিতির অনুমতি দেবার সম্ভাবনা নেই যেখানে মস্কো ব্যবসায়ীদের মধ্য থেকে পুরুষদের এবং অস্ট্রেলিয়ার আদিবাসীদের মধ্য থেকে মহিলাদের নির্বাচিত করা হয়। মহিলাদেরও Muscovites এবং তদ্ব্যতীত, "ব্যবসায়ী মহিলা" হওয়া উচিত। তবে এখানে আমরা নমুনার নির্ভরতা সম্পর্কে কথা বলছি না, তবে বস্তুর অধ্যয়নকৃত জনসংখ্যার একজাতীয়তার প্রয়োজনীয়তা সম্পর্কে, যা সমাজতাত্ত্বিক ডেটা সংগ্রহ করার সময় এবং বিশ্লেষণ করার সময় উভয়ই সন্তুষ্ট হওয়া উচিত।
ডিফনমুনা বলা হয় নির্ভরশীল, বা জোড়া,যদি একটি নমুনার প্রতিটি ইউনিট দ্বিতীয় নমুনার একটি নির্দিষ্ট ইউনিটের সাথে "সংযুক্ত" হয়।
আমরা নির্ভরশীল নমুনার একটি উদাহরণ দিলে এই শেষ সংজ্ঞাটি সম্ভবত আরও স্পষ্ট হয়ে উঠবে।
ধরুন আমরা খুঁজে বের করতে চাই যে বাবার সামাজিক মর্যাদা, গড়ে, ছেলের সামাজিক মর্যাদার চেয়ে কম (আমরা বিশ্বাস করি যে আমরা এই জটিল এবং অস্পষ্টভাবে বোঝার পরিমাপ করতে পারি সামাজিক বৈশিষ্ট্যব্যক্তি)। এটা সুস্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে যে এই ধরনের পরিস্থিতিতে উত্তরদাতাদের জোড়া (পিতা, ছেলে) নির্বাচন করার পরামর্শ দেওয়া হয় এবং ধরে নেওয়া যায় যে প্রথম নমুনার প্রতিটি উপাদান (পিতাদের একজন) দ্বিতীয় নমুনার একটি নির্দিষ্ট উপাদানের সাথে "আবদ্ধ" (তার পুত্র). এই দুটি নমুনাকে নির্ভরশীল বলা হবে।
8.2। স্বতন্ত্র নমুনার জন্য হাইপোথিসিস পরীক্ষা
জন্য স্বাধীননমুনা, মানদণ্ডের পছন্দ নির্ভর করে যে আমরা অধ্যয়ন করা নমুনার জন্য বিবেচনাধীন বৈশিষ্ট্যের সাধারণ বৈচিত্র s 1 2 এবং s 2 2 জানি কিনা। আমরা এই সমস্যার সমাধান বিবেচনা করব, ধরে নিই যে নমুনা বৈচিত্রগুলি সাধারণগুলির সাথে মিলে যায়৷ এই ক্ষেত্রে, মানদণ্ড হল মান:
পরিস্থিতি নিয়ে আলোচনা করার আগে যখন সাধারণ বৈচিত্রগুলি (বা তাদের মধ্যে অন্তত একটি) আমাদের কাছে অজানা, আমরা নিম্নলিখিতগুলি নোট করি।
মানদণ্ড ব্যবহার করার যুক্তি (8.1) "চি-স্কয়ার" মানদণ্ড (7.2) বিবেচনা করার সময় আমরা যা বর্ণনা করেছি তার অনুরূপ। শুধুমাত্র একটি মৌলিক পার্থক্য আছে. মানদণ্ড (7.2) এর অর্থ সম্পর্কে বলতে গিয়ে, আমরা আমাদের সাধারণ জনসংখ্যা থেকে "আঁকানো" আকার n এর অসীম সংখ্যক নমুনা বিবেচনা করেছি। এখানে, মানদণ্ডের অর্থ বিশ্লেষণ করে (8.1), আমরা একটি অসীম সংখ্যা বিবেচনায় এগিয়ে যাই বাষ্প n 1 এবং n 2 আকারের নমুনা। প্রতিটি জোড়ার জন্য, ফর্মের পরিসংখ্যান (8.1) গণনা করা হয়। এই ধরনের পরিসংখ্যানের প্রাপ্ত মানগুলির সামগ্রিকতা, আমাদের স্বরলিপি অনুসারে, একটি স্বাভাবিক বন্টনের সাথে মিলে যায় (যেমন আমরা সম্মত হয়েছি, z অক্ষরটি এমন একটি মানদণ্ড বোঝাতে ব্যবহৃত হয় যা স্বাভাবিক বিতরণের সাথে মিলে যায়)।
সুতরাং, যদি সাধারণ বৈচিত্রগুলি আমাদের কাছে অজানা থাকে, তাহলে আমরা পরিবর্তে তাদের নমুনা অনুমান s 1 2 এবং s 2 2 ব্যবহার করতে বাধ্য হব। যাইহোক, এই ক্ষেত্রে, সাধারণ বন্টনটি ছাত্র বন্টন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হওয়া উচিত - z-কে t দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা উচিত (গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করার সময় অনুরূপ পরিস্থিতিতে ছিল)। যাইহোক, যথেষ্ট বড় নমুনা আকারের সাথে (n 1, n 2 ³ 30), যেমনটি আমরা ইতিমধ্যেই জানি, শিক্ষার্থীদের বিতরণ কার্যত স্বাভাবিকের সাথে মিলে যায়। অন্য কথায়, বড় নমুনার জন্য আমরা মানদণ্ড ব্যবহার করা চালিয়ে যেতে পারি:
পরিস্থিতি আরও জটিল হয় যখন বৈচিত্রগুলি অজানা থাকে এবং কমপক্ষে একটি নমুনার আকার ছোট হয়। তারপর আরেকটি ফ্যাক্টর খেলায় আসে। মানদণ্ডের ধরন নির্ভর করে আমরা দুটি বিশ্লেষিত নমুনায় বিবেচনাধীন বৈশিষ্ট্যের অজানা বৈচিত্রগুলিকে সমান হিসাবে বিবেচনা করতে পারি কিনা। খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের অনুমান পরীক্ষা করতে হবে:
H 0: s 1 2 = s 2 2। (8.3)
এই অনুমান পরীক্ষা করার জন্য, মানদণ্ড ব্যবহার করা হয়
এই মানদণ্ড ব্যবহার করার সুনির্দিষ্ট সম্পর্কে আমরা কথা বলতে পারবেননীচে, এবং এখন আমরা একটি মানদণ্ড নির্বাচন করার জন্য অ্যালগরিদম নিয়ে আলোচনা চালিয়ে যাব যা গাণিতিক প্রত্যাশার সমতা সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়।
যদি হাইপোথিসিস (8.3) প্রত্যাখ্যান করা হয়, তাহলে আমাদের আগ্রহের মানদণ্ডটি রূপ নেয়:
(8.5)
(অর্থাৎ, এটি মানদণ্ড (8.2) থেকে পৃথক, যা বৃহৎ নমুনার জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল, এতে সংশ্লিষ্ট পরিসংখ্যানের একটি সাধারণ বিতরণ নেই, তবে একটি ছাত্র বিতরণ)। যদি অনুমান (8.3) গৃহীত হয়, তাহলে মানদণ্ডের ধরণটি পরিবর্তিত হয়:
(8.6)
দুটি স্বাধীন নমুনার বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে সাধারণ গাণিতিক প্রত্যাশার সমতা সম্পর্কে হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য কীভাবে একটি মানদণ্ড নির্বাচন করা হয় তা সংক্ষিপ্ত করা যাক।
পরিচিত
অজানা
নমুনার আকার বড়
H 0: s 1 = s 2 প্রত্যাখ্যাত
গৃহীত
8.3। নির্ভরশীল নমুনার জন্য হাইপোথিসিস পরীক্ষা
চলুন নির্ভরশীল নমুনা বিবেচনা করা যাক. সংখ্যার ক্রম ধরা যাক
X 1, X 2, …, X n;
Y 1 , Y 2 , … , Y n –
এগুলি দুটি নির্ভরশীল নমুনার উপাদানগুলির জন্য বিবেচিত এলোমেলো একটির মান। আসুন স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক:
D i = X i - Y i , i = 1, ... , n.
জন্য নির্ভরশীলনমুনা মানদণ্ড যা আপনাকে একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষা করতে দেয়
নিম্নরূপ:
মনে রাখবেন যে s D-এর জন্য এইমাত্র দেওয়া অভিব্যক্তিটি একটি নতুন অভিব্যক্তি ছাড়া আর কিছুই নয় বিখ্যাত সূত্র, আদর্শ বিচ্যুতি প্রকাশ করে। এই ক্ষেত্রে আমরা D i এর মানের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সম্পর্কে কথা বলছি। অনুরূপ সূত্রটি প্রায়শই অনুশীলনে একটি সরল হিসাবে ব্যবহৃত হয় (সংশ্লিষ্ট গাণিতিক গড় থেকে বিবেচনাধীন মানের মানের বর্গ বিচ্যুতির যোগফলের "হেড-অন" গণনার তুলনায়) বিচ্ছুরণ গণনা করার পদ্ধতি।
যদি আমরা একটি আস্থার ব্যবধান তৈরির নীতিগুলি নিয়ে আলোচনা করার সময় যেগুলি ব্যবহার করেছিলাম সেগুলির সাথে যদি আমরা উপরের সূত্রগুলির তুলনা করি, তবে এটি সহজেই লক্ষ্য করা যায় যে নির্ভরশীল নমুনার ক্ষেত্রে উপায়ের সমতার অনুমান পরীক্ষা করা মূলত গাণিতিক প্রত্যাশার সমতা পরীক্ষা করছে। মান D i থেকে শূন্য। মাত্রা
D i এর জন্য আদর্শ বিচ্যুতি। অতএব, শুধু বর্ণিত মানদণ্ড t n -1-এর মান মূলত মান বিচ্যুতির ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা D i-এর মানের সমান। যেমনটি আমরা উপরে বলেছি (আস্থার ব্যবধান তৈরির পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করার সময়), এই সূচকটি বিবেচিত মান Di এর সম্ভাব্যতা বিচার করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। পার্থক্য হল উপরে আমরা একটি সাধারণ পাটিগণিত গড় সম্পর্কে কথা বলছিলাম, সাধারণত বিতরণ করা হয়, এবং এখানে আমরা গড় পার্থক্য সম্পর্কে কথা বলছি, এই গড়গুলির একটি ছাত্র বন্টন আছে। কিন্তু নমুনা পাটিগণিতের বিচ্যুতির সম্ভাবনার মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে যুক্তি মানে শূন্য থেকে (এর সাথে গাণিতিক প্রত্যাশা, শূন্যের সমান) কত ইউনিটের সাথে এই বিচ্যুতির পরিমাণ বলবৎ থাকবে।
উদাহরণ। একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য শহরের একটি মাইক্রোডিস্ট্রিক্টের ফার্মেসির আয়ের পরিমাণ ছিল 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98 (প্রচলিত একক)। প্রতিবেশী মাইক্রোডিস্ট্রিক্টে একই সময়ের জন্য তারা 286 এর সমান ছিল; 240; 263; 266; 484; 223; 335।
উভয় নমুনার জন্য, গড়, সংশোধন করা প্রকরণ এবং আদর্শ বিচ্যুতি গণনা করুন। প্রকরণের পরিসর খুঁজুন, গড় পরম (রৈখিক) বিচ্যুতি, প্রকরণের সহগ, রৈখিক সহগবৈচিত্র, দোলন সহগ।
ধরে নিচ্ছি যে এই এলোমেলো মানএকটি স্বাভাবিক বন্টন আছে, সাধারণ গড় (উভয় ক্ষেত্রেই) জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্ধারণ করুন।
ফিশারের পরীক্ষা ব্যবহার করে, সমতা অনুমান পরীক্ষা করুন সাধারণ পার্থক্য. ছাত্রদের পরীক্ষা ব্যবহার করে, সাধারণ উপায়ের সমতা সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করুন (বিকল্প অনুমানটি তাদের অসমতা সম্পর্কে)।
সমস্ত গণনায়, তাৎপর্য স্তর হল α = 0.05।
আমরা ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে সমাধানটি চালাই যা বৈচিত্র্যের সমতার হাইপোথিসিস পরীক্ষা করে।
1. প্রথম নমুনার জন্য ভিন্নতা সূচক খুঁজুন.
| এক্স | |x - x av | | (x - x গড়) 2 |
| 98 | 127.3 | 16205.29 |
| 128 | 97.3 | 9467.29 |
| 192 | 33.3 | 1108.89 |
| 205 | 20.3 | 412.09 |
| 219 | 6.3 | 39.69 |
| 223 | 2.3 | 5.29 |
| 260 | 34.7 | 1204.09 |
| 264 | 38.7 | 1497.69 |
| 266 | 40.7 | 1656.49 |
| 398 | 172.7 | 29825.29 |
| 2253 | 573.6 | 61422.1 |
.
পরিবর্তনের সূচক.
.
R = X সর্বোচ্চ - X মিনিট
R = 398 - 98 = 300
গড় রৈখিক বিচ্যুতি
সিরিজের প্রতিটি মান অন্যটির থেকে গড়ে 57.36 দ্বারা আলাদা
বিচ্ছুরণ
নিরপেক্ষ প্রকরণ অনুমানক
.
সিরিজের প্রতিটি মান 225.3 এর গড় মান থেকে 78.37 গড়ে আলাদা
.
.
প্রকরণের সহগ
যেহেতু v>30%, কিন্তু v বা
দোলন সহগ
.
.
ছাত্র টেবিল ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই:
T টেবিল (n-1;α/2) = T টেবিল (9;0.025) = 2.262
(225.3 - 59.09;225.3 + 59.09) = (166.21;284.39)
2. দ্বিতীয় নমুনার জন্য ভিন্নতা সূচক খুঁজুন.
এর সারি র্যাঙ্ক করা যাক. এটি করার জন্য, আমরা এর মানগুলিকে আরোহী ক্রমে সাজাই।
সূচক গণনার জন্য টেবিল।
| এক্স | |x - x av | | (x - x গড়) 2 |
| 223 | 76.57 | 5863.18 |
| 240 | 59.57 | 3548.76 |
| 263 | 36.57 | 1337.47 |
| 266 | 33.57 | 1127.04 |
| 286 | 13.57 | 184.18 |
| 335 | 35.43 | 1255.18 |
| 484 | 184.43 | 34013.9 |
| 2097 | 439.71 | 47329.71 |
বিতরণ সিরিজের মূল্যায়ন করতে, আমরা নিম্নলিখিত সূচকগুলি খুঁজে পাই:
বিতরণ কেন্দ্র সূচক.
সরল গাণিতিক গড়
পরিবর্তনের সূচক.
পরম বৈচিত্র.
প্রকরণের পরিসর হল প্রাথমিক সিরিজের বৈশিষ্ট্যের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের মধ্যে পার্থক্য।
R = X সর্বোচ্চ - X মিনিট
আর = 484 - 223 = 261
গড় রৈখিক বিচ্যুতি- অধ্যয়নের অধীনে জনসংখ্যার সমস্ত ইউনিটের পার্থক্য বিবেচনা করার জন্য গণনা করা হয়।
সিরিজের প্রতিটি মান অন্যটির থেকে গড়ে 62.82 দ্বারা আলাদা
বিচ্ছুরণ- এর গড় মানের চারপাশে ছড়িয়ে পড়ার পরিমাপকে চিহ্নিত করে (বিচ্ছুরণের একটি পরিমাপ, অর্থাৎ গড় থেকে বিচ্যুতি)।
নিরপেক্ষ প্রকরণ অনুমানক- প্রকরণের সামঞ্জস্যপূর্ণ অনুমান (সংশোধিত প্রকরণ)।
আদর্শ চ্যুতি.
সিরিজের প্রতিটি মান 299.57 এর গড় মানের থেকে 82.23 গড়ে আলাদা।
প্রমিত বিচ্যুতির অনুমান.
আপেক্ষিক পরিবর্তনের পরিমাপ.
প্রকরণের আপেক্ষিক সূচকগুলির মধ্যে রয়েছে: দোলনের সহগ, প্রকরণের রৈখিক সহগ, আপেক্ষিক রৈখিক বিচ্যুতি।
প্রকরণের সহগ- জনসংখ্যার মানগুলির আপেক্ষিক বিচ্ছুরণের একটি পরিমাপ: দেখায় যে এই মানের গড় মানের কত অনুপাত হল তার গড় বিচ্ছুরণ৷
যেহেতু v ≤ 30%, জনসংখ্যা একজাতীয় এবং প্রকরণ দুর্বল। প্রাপ্ত ফলাফল বিশ্বাস করা যেতে পারে.
প্রকরণের রৈখিক সহগবা আপেক্ষিক রৈখিক বিচ্যুতি- গড় মান থেকে পরম বিচ্যুতির চিহ্নের গড় মানের অনুপাতকে চিহ্নিত করে।
দোলন সহগ- গড়ের চারপাশে বৈশিষ্ট্যের চরম মানগুলির আপেক্ষিক ওঠানামাকে প্রতিফলিত করে।
জনসংখ্যা কেন্দ্রের ব্যবধান অনুমান.
সাধারণ গড় জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান.
ছাত্র বিতরণ টেবিল ব্যবহার করে t kp মান নির্ধারণ করুন
ছাত্র টেবিল ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই:
T টেবিল (n-1;α/2) = T টেবিল (6;0.025) = 2.447
(299.57 - 82.14;299.57 + 82.14) = (217.43;381.71)
0.95 এর সম্ভাব্যতার সাথে, এটি বলা যেতে পারে যে একটি বৃহত্তর নমুনা আকারের গড় মান পাওয়া ব্যবধানের বাইরে পড়বে না।
আমরা বৈচিত্র্যের সমতার অনুমান পরীক্ষা করি:
H 0: D x = D y ;
H 1: D x ফিশারের মানদণ্ডের পর্যবেক্ষিত মান খুঁজে বের করা যাক:
যেহেতু s y 2 > s x 2, তারপর s b 2 = s y 2, s m 2 = s x 2
স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা:
f 1 = n y – 1 = 7 – 1 = 6
f 2 = n x – 1 = 10 – 1 = 9
α = 0.05 এর একটি তাৎপর্য স্তরে ফিশার-স্নেডেকার বিতরণের সমালোচনামূলক পয়েন্টের সারণী ব্যবহার করে এবং স্বাধীনতার ডিগ্রির প্রদত্ত সংখ্যা, আমরা F cr (6;9) = 3.37 পাই
কারণ F obs. আমরা সাধারণ উপায়ের সমতা সম্পর্কে হাইপোথিসিস পরীক্ষা করি:
আসুন শিক্ষার্থীর মানদণ্ডের পরীক্ষামূলক মান খুঁজে বের করি:
স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা f = n x + n y – 2 = 10 + 7 – 2 = 15
ছাত্র বিতরণ টেবিল ব্যবহার করে t kp মান নির্ধারণ করুন
ছাত্র টেবিল ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই:
T টেবিল (f;α/2) = T টেবিল (15;0.025) = 2.131
α = 0.05 এর একটি তাৎপর্যপূর্ণ স্তরে এবং স্বাধীনতার একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ডিগ্রীতে ছাত্র বিতরণের সমালোচনামূলক পয়েন্টের সারণী ব্যবহার করে, আমরা tcr = 2.131 পাই
কারণ t obs.
