এন পরীক্ষাগুলি সফল হওয়ার সম্ভাবনা সহ বার্নৌলি স্কিম অনুসারে পরিচালিত হয়। X হল সাফল্যের সংখ্যা। র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর মানগুলির একটি পরিসীমা রয়েছে (0,1,2,...,n)। এই মানের সম্ভাব্যতাগুলি সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে: , যেখানে C m n হল n থেকে m এর সংমিশ্রণের সংখ্যা।
বিতরণ সিরিজটি এর মতো দেখাচ্ছে:

এক্স	0	1	...	মি	n
পি	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

এই বন্টন আইনকে দ্বিপদ বলা হয়।

সেবার উদ্দেশ্য. একটি অনলাইন ক্যালকুলেটর প্লট ব্যবহার করা হয় দ্বিপদী সিরিজ বিতরণএবং সিরিজের সমস্ত বৈশিষ্ট্যের গণনা: গাণিতিক প্রত্যাশা, বিচ্ছুরণ এবং আদর্শ বিচ্যুতি। সিদ্ধান্ত সহ প্রতিবেদনটি ওয়ার্ড বিন্যাসে (উদাহরণ) আঁকা হয়েছে।

পরীক্ষার সংখ্যা: n= , সম্ভাব্যতা p =
কম সম্ভাব্যতা p এবং একটি বড় সংখ্যা n (np, Poisson’s formula) সহ।

ভিডিও নির্দেশনা

বার্নোলি টেস্ট সার্কিট

দ্বিপদী আইন অনুযায়ী বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য

দ্বিপদী আইন অনুযায়ী বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর গাণিতিক প্রত্যাশা।
M[X]=np

দ্বিপদী আইন অনুসারে বন্টিত একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর প্রকরণ।
D[X]=npq

উদাহরণ নং 1। সম্ভাব্যতা p = 0.3 প্রতিটি সহ পণ্যটি ত্রুটিপূর্ণ হতে পারে। ব্যাচ থেকে তিনটি পণ্য নির্বাচন করা হয়। X হল নির্বাচিতদের মধ্যে ত্রুটিপূর্ণ অংশের সংখ্যা। খুঁজুন (ফর্মে সব উত্তর লিখুন দশমিক): ক) ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ এক্স; খ) ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x)।
সমাধান. র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর মানগুলির একটি পরিসীমা রয়েছে (0,1,2,3)।
আসুন X এর ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ বের করি।
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44

P 3 (3) = p n = 0.3 3 = 0.027

একাদশ	0	1	2	3
p i	0.34	0.44	0.19	0.027

আমরা M[X] = np = 3*0.3 = 0.9 সূত্র ব্যবহার করে গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে পাই
পরীক্ষা: m = ∑x i p i।
প্রত্যাশা M[X].
M[x] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9
আমরা D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63 সূত্র ব্যবহার করে পার্থক্য খুঁজে পাই
পরীক্ষা: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2।
ভ্যারিয়েন্স ডি[এক্স].
D[X] = 0 2 *0.34 + 1 2 *0.44 + 2 2 *0.19 + 3 2 *0.027 - 0.9 2 = 0.63
আদর্শ বিচ্যুতি σ(x).

বিতরণ ফাংশন F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1

1. একটি ট্রায়ালে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 0.6। 5টি পরীক্ষা করা হয়। এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর বন্টনের একটি আইন আঁকুন - ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা।
2. চার শট সহ হিটের এলোমেলো পরিবর্তনশীল X সংখ্যার জন্য একটি বন্টন আইন আঁকুন, যদি একটি শট দিয়ে লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা 0.8 হয়।
3. মুদ্রাটি 7 বার নিক্ষেপ করা হয়। অনুসন্ধান প্রত্যাশিত মানএবং কোট অফ আর্মসের উপস্থিতির সংখ্যার পার্থক্য। দ্রষ্টব্য: এখানে একটি কোট অফ আর্মসের উপস্থিতির সম্ভাবনা p = 1/2 (যেহেতু মুদ্রাটির দুটি দিক রয়েছে)।

উদাহরণ নং 2। একটি একক ট্রায়ালে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 0.6। বার্নোলির উপপাদ্য প্রয়োগ করে, স্বাধীন পরীক্ষার সংখ্যা নির্ধারণ করুন, যেখান থেকে একটি ঘটনার কম্পাঙ্কের বিচ্যুতির সম্ভাবনা তার সম্ভাব্যতা থেকে পরম মান 0.1 এর কম, 0.97 এর বেশি। (উত্তর: 801)

উদাহরণ নং 3। শিক্ষার্থীরা একটি কম্পিউটার বিজ্ঞান ক্লাসে একটি পরীক্ষা দেয়। কাজটি তিনটি কাজ নিয়ে গঠিত। একটি ভাল গ্রেড পেতে, আপনাকে কমপক্ষে দুটি সমস্যার সঠিক উত্তর খুঁজে বের করতে হবে। প্রতিটি সমস্যার জন্য, 5টি উত্তর দেওয়া হয়েছে, যার মধ্যে শুধুমাত্র একটি সঠিক। শিক্ষার্থী এলোমেলোভাবে একটি উত্তর বেছে নেয়। তার ভালো গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান. প্রশ্নের সঠিক উত্তর দেওয়ার সম্ভাবনা: p=1/5=0.2; n=3।
এই ডেটা অবশ্যই ক্যালকুলেটরে প্রবেশ করাতে হবে। উত্তরে, P(2)+P(3) এর জন্য দেখুন।

উদাহরণ নং 4। শ্যুটার একটি শট দিয়ে লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা হল (m+n)/(m+n+2)। n+4 গুলি চালানো হয়। সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে তিনি দুবার মিস করবেন না।

বিঃদ্রঃ. তিনি দুবার মিস করবেন না এমন সম্ভাবনার মধ্যে নিম্নলিখিত ইভেন্টগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে: কখনও P(4) মিস করবেন না, একবার P(3) মিস করবেন, দুবার P(2) মিস করবেন।

উদাহরণ নং 5। 4টি বিমান টেক অফ করলে ব্যর্থ বিমানের সংখ্যার সম্ভাব্যতা বন্টন নির্ধারণ করুন। বিমানের ব্যর্থতা-মুক্ত অপারেশনের সম্ভাবনা P = 0.99। প্রতিটি ফ্লাইটে ব্যর্থ হওয়া বিমানের সংখ্যা দ্বিপদী আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়।

সংক্ষিপ্ত তত্ত্ব

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এমন পরীক্ষা-নিরীক্ষা নিয়ে কাজ করে যেগুলো (অন্তত তাত্ত্বিকভাবে) সীমাহীন সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে। কিছু পরীক্ষা একবার পুনরাবৃত্তি করা যাক, এবং প্রতিটি পুনরাবৃত্তির ফলাফল পূর্ববর্তী পুনরাবৃত্তির ফলাফলের উপর নির্ভর করে না। পুনরাবৃত্তির এই ধরনের সিরিজকে বলা হয় স্বাধীন ট্রায়াল। এই ধরনের পরীক্ষার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হয় স্বাধীন বার্নোলি পরীক্ষা, যা দুটি শর্ত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

1) প্রতিটি পরীক্ষার ফলাফল হল দুটি সম্ভাব্য ফলাফলের একটি, যাকে যথাক্রমে "সাফল্য" বা "ব্যর্থতা" বলা হয়।

2) প্রতিটি পরবর্তী পরীক্ষায় "সফলতার" সম্ভাবনা পূর্ববর্তী পরীক্ষার ফলাফলের উপর নির্ভর করে না এবং স্থির থাকে।

বার্নোলির উপপাদ্য

যদি স্বাধীন বার্নোলি ট্রায়ালগুলির একটি সিরিজ সঞ্চালিত হয়, যার প্রতিটিতে "সফলতা" সম্ভাবনার সাথে প্রদর্শিত হয়, তাহলে "সফলতা" ট্রায়ালগুলিতে ঠিক একবার উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

"ব্যর্থতার" সম্ভাবনা কোথায়।

- দ্বারা উপাদানগুলির সংমিশ্রণের সংখ্যা (বেসিক কম্বিনেটরিক্স সূত্র দেখুন)

এই সূত্র বলা হয় বার্নউলির সূত্র.

বার্নোলির সূত্র আপনাকে প্রচুর পরিমাণে গণনা থেকে পরিত্রাণ পেতে দেয় - সম্ভাব্যতা যোগ করা এবং গুণ করা - পর্যাপ্ত সংখ্যক পরীক্ষার সাথে।

Bernoulli পরীক্ষার স্কিমকে দ্বিপদ স্কিমও বলা হয়, এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতাগুলিকে দ্বিপদ বলা হয়, যা দ্বিপদ সহগ ব্যবহারের সাথে যুক্ত।

Bernoulli স্কিম অনুযায়ী বিতরণ অনুমতি দেয়, বিশেষ করে, .

পরীক্ষার সংখ্যা হলে nবড়, তারপর ব্যবহার করুন:

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

কাজটি

কিছু গাছের বীজের অঙ্কুরোদগম হার 70%। 10টি বীজ বপনের সম্ভাবনা কত: 8, অন্তত 8টি; অন্তত 8?

সমস্যার সমাধান

আসুন Bernoulli এর সূত্র ব্যবহার করা যাক:

আমাদের ক্ষেত্রে

ঘটনাটি এমন হোক যে 10টি বীজের মধ্যে 8টি অঙ্কুরিত হয়:

ইভেন্টটি কমপক্ষে 8 হতে দিন (এর মানে 8, 9 বা 10)

ইভেন্টটি কমপক্ষে 8 বাড়তে দিন (এর মানে 8,9 বা 10)

উত্তর

গড়সমাধান খরচ পরীক্ষা কাজ 700 - 1200 রুবেল (তবে পুরো অর্ডারের জন্য 300 রুবেলের কম নয়)। মূল্য সিদ্ধান্তের জরুরীতা দ্বারা ব্যাপকভাবে প্রভাবিত হয় (একদিন থেকে কয়েক ঘন্টা পর্যন্ত)। একটি পরীক্ষা/পরীক্ষার জন্য অনলাইন সহায়তার খরচ 1000 রুবেল থেকে। টিকিট সমাধানের জন্য।

আপনি চ্যাটে সরাসরি একটি অনুরোধ করতে পারেন, পূর্বে কাজের শর্তাবলী পাঠিয়ে এবং আপনার প্রয়োজনীয় সমাধানের জন্য সময়সীমা সম্পর্কে আপনাকে অবহিত করে। প্রতিক্রিয়া সময় কয়েক মিনিট.

বারবার স্বাধীন পরীক্ষার সংজ্ঞা। সম্ভাব্যতা এবং সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যা গণনার জন্য Bernoulli সূত্র। বার্নোলির সূত্রের জন্য অ্যাসিম্পটোটিক সূত্র (স্থানীয় এবং অবিচ্ছেদ্য, ল্যাপ্লেসের উপপাদ্য)। অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য ব্যবহার করে। অসম্ভাব্য এলোমেলো ঘটনার জন্য পয়সনের সূত্র।

বারবার স্বাধীন পরীক্ষা

অনুশীলনে, আমাদের এমন কাজগুলি মোকাবেলা করতে হবে যা বারবার পুনরাবৃত্তি পরীক্ষার আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যার প্রতিটির ফলস্বরূপ ঘটনা A প্রদর্শিত হতে পারে বা নাও হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আগ্রহের ফলাফল প্রতিটি পৃথক পরীক্ষার ফলাফল নয়, কিন্তু মোটএকটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ট্রায়ালের ফলস্বরূপ ইভেন্ট A এর ঘটনা। এই ধরনের সমস্যায়, আপনাকে n ট্রায়ালের ফলস্বরূপ ইভেন্ট A-এর যে কোনো সংখ্যা m হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করতে হবে। বিচারগুলি যখন স্বাধীন হয় এবং প্রতিটি ট্রায়ালে ঘটনা A হওয়ার সম্ভাবনা ধ্রুবক থাকে তখন বিবেচনা করুন। এই ধরনের পরীক্ষা বলা হয় বারবার স্বাধীন।

স্বাধীন পরীক্ষার একটি উদাহরণ হল বেশ কয়েকটি ব্যাচ থেকে নেওয়া পণ্যের উপযুক্ততা পরীক্ষা করা। যদি এই লটে ত্রুটির শতাংশ একই হয়, তাহলে নির্বাচিত পণ্যটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা প্রতিটি ক্ষেত্রে একটি ধ্রুবক সংখ্যা।

বার্নউলির সূত্র

এর ধারণা ব্যবহার করা যাক জটিল ঘটনা, যার অর্থ i-th বিচারে ইভেন্ট A এর উপস্থিতি বা অ-ঘটনা সমন্বিত বেশ কয়েকটি প্রাথমিক ইভেন্টের সংমিশ্রণ। n স্বাধীন ট্রায়াল করা যাক, যার প্রতিটি ইভেন্টে A সম্ভাব্যতা p সহ উপস্থিত হতে পারে বা সম্ভাবনা q=1-p সহ উপস্থিত হতে পারে না। B_m ঘটনাটি বিবেচনা করুন, যেটি ঘটনা A এই n ট্রায়ালগুলিতে ঠিক m বার ঘটবে এবং তাই, ঠিক (n-m) বার ঘটবে না। এর উল্লেখ করা যাক A_i~(i=1,2,\ldots,(n))ঘটনা A, a \overline(A)_i - i-th বিচারে ঘটনা A-এর অ-ঘটনা। পরীক্ষার শর্তের স্থিরতার কারণে, আমাদের আছে

ইভেন্ট A এর সাথে পর্যায়ক্রমে বিভিন্ন ক্রম বা সংমিশ্রণে m বার প্রদর্শিত হতে পারে বিপরীত ঘটনা\overline(A)। এই ধরণের সম্ভাব্য সংমিশ্রণের সংখ্যা m দ্বারা n উপাদানগুলির সংমিশ্রণের সংখ্যার সমান, অর্থাৎ C_n^m। ফলস্বরূপ, ঘটনা B_m একে অপরের সাথে অসামঞ্জস্যপূর্ণ জটিল ঘটনার সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং পদ সংখ্যা C_n^m এর সমান:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

যেখানে প্রতিটি পণ্য ইভেন্ট A m বার, এবং \overline(A) - (n-m) বার থাকে।

স্বাধীন ইভেন্টের সম্ভাব্যতার গুণনের উপপাদ্য অনুসারে সূত্র (3.1) এর অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি জটিল ঘটনার সম্ভাবনা p^(m)q^(n-m) এর সমান। যেহেতু এই ধরনের ঘটনার মোট সংখ্যা C_n^m এর সমান, তাই, বেমানান ঘটনার জন্য সম্ভাব্যতা যোগ করার উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা B_m ঘটনার সম্ভাব্যতা পাই (আমরা এটি P_(m,n) নির্দেশ করি)

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

সূত্র (3.2) বলা হয় বার্নউলির সূত্র, এবং পুনরাবৃত্ত ট্রায়ালগুলি যা তাদের প্রতিটিতে ইভেন্ট A হওয়ার সম্ভাবনার স্বাধীনতা এবং স্থিরতার শর্তকে সন্তুষ্ট করে তাকে বলা হয় বার্নোলি পরীক্ষা করে, বা Bernoulli স্কিম।

উদাহরণ 1. একটি লেথে অংশ প্রক্রিয়াকরণের সময় সহনশীলতা অঞ্চলের বাইরে যাওয়ার সম্ভাবনা 0.07। সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করুন যে একটি স্থানান্তরের সময় এলোমেলোভাবে নির্বাচিত পাঁচটি অংশের মধ্যে একটির ব্যাসের মাত্রা রয়েছে যা নির্দিষ্ট সহনশীলতার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়।

সমাধান। সমস্যার শর্ত বার্নোলি স্কিমের প্রয়োজনীয়তাগুলিকে সন্তুষ্ট করে। অতএব, অনুমান n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, সূত্র ব্যবহার করে (3.2) আমরা প্রাপ্ত করি

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\আনুমানিক0,\!262।

উদাহরণ 2. পর্যবেক্ষণগুলি প্রতিষ্ঠিত করেছে যে একটি নির্দিষ্ট এলাকায় সেপ্টেম্বর মাসে 12টি বৃষ্টির দিন থাকে। এই মাসে এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া 8 দিনের মধ্যে 3 দিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান।

P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

একটি ইভেন্টের সম্ভাব্য সংখ্যা

সম্ভবত ঘটার তারিখ n স্বাধীন পরীক্ষায় ইভেন্ট A কে এমন একটি সংখ্যা m_0 বলা হয় যার জন্য এই সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত সম্ভাব্যতাটি অতিক্রম করে বা অন্ততপক্ষে, ঘটনা A ঘটার অন্যান্য সম্ভাব্য সংখ্যাগুলির সম্ভাব্যতার চেয়ে কম নয়। সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যা নির্ধারণ করার জন্য, একটি ইভেন্টের সম্ভাব্য সংখ্যার সম্ভাব্যতা গণনা করার প্রয়োজন নেই; এটি একটি পৃথক ট্রায়ালে ট্রায়াল n এবং ইভেন্ট A হওয়ার সম্ভাবনার সংখ্যা জানা যথেষ্ট। সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যা m_0 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সম্ভাব্যতা P_(m_0,n) বোঝাই। সূত্র ব্যবহার করে (3.2), আমরা লিখি

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n){m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা, যথাক্রমে m_0+1 এবং m_0-1 বার, অন্তত সম্ভাব্যতা P_(m_0,n) এর বেশি হওয়া উচিত নয়, অর্থাৎ

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

P_(m_0,n) মান এবং P_(m_0+1,n) এবং P_(m_0-1,n) সম্ভাব্যতা রাশিকে অসমতার মধ্যে প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই

m_0 এর জন্য এই অসমতাগুলি সমাধান করে, আমরা পাই

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

শেষ অসমতা একত্রিত করে, আমরা একটি দ্বিগুণ অসমতা পাই, যা সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p)।

যেহেতু অসমতা (3.4) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ব্যবধানের দৈর্ঘ্য একের সমান, অর্থাৎ

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

এবং ঘটনাটি n ট্রায়ালে শুধুমাত্র একটি পূর্ণসংখ্যা বার হতে পারে, তাহলে এটি মনে রাখা উচিত যে:

1) যদি np-q একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যার দুটি মান আছে, যথা: m_0=np-q এবং m"_0=np-q+1=np+p ;

2) যদি np-q একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা হয়, তবে একটি সম্ভাব্য সংখ্যা আছে, যথা: এর মধ্যে একমাত্র পূর্ণসংখ্যা ভগ্নাংশ সংখ্যা, অসমতা থেকে প্রাপ্ত (3.4);

3) যদি np একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে একটি সম্ভাব্য সংখ্যা আছে, যথা: m_0=np।

n এর বড় মানের জন্য, সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সম্ভাব্যতা গণনা করতে সূত্র (3.3) ব্যবহার করা অসুবিধাজনক। যদি আমরা স্টার্লিং সূত্রকে সমতায় প্রতিস্থাপন করি (3.3)

N!\prox(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

যথেষ্ট বড় n এর জন্য বৈধ, এবং সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যা m_0=np নিন, তারপরে আমরা সম্ভাব্য সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত সম্ভাব্যতার আনুমানিক গণনার জন্য একটি সূত্র পাই:

P_(m_0,n)\প্রায়\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))(np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq))।

উদাহরণ 2. এটা জানা যায় যে প্ল্যান্টের দ্বারা ট্রেডিং বেসে সরবরাহ করা পণ্যগুলির \frac(1)(15) অংশটি স্ট্যান্ডার্ডের সমস্ত প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে না। 250 টি আইটেমের একটি ব্যাচ বেসে বিতরণ করা হয়েছিল। স্ট্যান্ডার্ডের প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এমন সম্ভাব্য সংখ্যক পণ্য খুঁজুন এবং এই ব্যাচে সম্ভাব্য সংখ্যক পণ্যের সম্ভাব্যতা গণনা করুন।

সমাধান। শর্ত অনুসারে n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). অসমতা অনুযায়ী (3.4) আমাদের আছে

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

কোথায় 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. ফলস্বরূপ, 250 পিসিগুলির একটি ব্যাচে স্ট্যান্ডার্ডের প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এমন পণ্যগুলির সম্ভাব্য সংখ্যা। 234 এর সমান। তথ্যকে সূত্রে (3.5) প্রতিস্থাপন করে, আমরা ব্যাচে সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যক পণ্য থাকার সম্ভাবনা গণনা করি:

P_(234,250)\আনুমানিক\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\আনুমানিক 0,\!101

স্থানীয় ল্যাপ্লেস উপপাদ্য

n এর বড় মানের জন্য বার্নউলির সূত্র ব্যবহার করা খুবই কঠিন। উদাহরণস্বরূপ, যদি n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, তারপর P_(30.50) সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করার জন্য রাশিটির মান গণনা করা প্রয়োজন

P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

স্বাভাবিকভাবেই, প্রশ্ন জাগে: বার্নউলির সূত্র ব্যবহার না করেই কি সুদের সম্ভাব্যতা গণনা করা সম্ভব? দেখা যাচ্ছে এটা সম্ভব। ল্যাপ্লেসের স্থানীয় উপপাদ্যটি একটি অ্যাসিম্পটোটিক সূত্র দেয় যা আমাদেরকে n ট্রায়ালে ঠিক m বার ঘটার সম্ভাবনা খুঁজে বের করতে দেয়, যদি ট্রায়ালের সংখ্যা যথেষ্ট বড় হয়।

উপপাদ্য 3.1। যদি প্রতিটি ট্রায়ালে ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা p ধ্রুবক হয় এবং শূন্য এবং এক থেকে আলাদা হয়, তাহলে সম্ভাব্যতা P_(m,n) যে ঘটনাটি n ট্রায়ালে ঠিক m বার প্রদর্শিত হবে তা প্রায় সমান (আরো সঠিক, বড় n) ফাংশনের মান

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))এ

ফাংশন মান ধারণ করে যে টেবিল আছে \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), আর্গুমেন্ট x এর ইতিবাচক মানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। আর্গুমেন্টের নেতিবাচক মানের জন্য, একই টেবিল ব্যবহার করা হয়, যেহেতু ফাংশন \varphi(x) জোড়, অর্থাৎ \varphi(-x)=\varphi(x).

সুতরাং, n ট্রায়ালে ইভেন্ট A ঠিক m বার প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা প্রায়

P_(m,n)\প্রায়\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x),কোথায় x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

উদাহরণ 3. সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে ঘটনা A ঘটবে 400 ট্রায়ালে ঠিক 80 বার ঘটবে যদি প্রতিটি ট্রায়ালে ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা 0.2 হয়।

সমাধান। শর্ত অনুসারে n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. আসুন অ্যাসিম্পটোটিক ল্যাপ্লেস সূত্র ব্যবহার করি:

P_(80,400)\প্রায়\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (এক্স).

টাস্ক ডেটা দ্বারা নির্ধারিত মান x গণনা করা যাক:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0।

টেবিল adj. 1 অনুযায়ী আমরা খুঁজে \varphi(0)=0,\!3989. প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

বার্নোলির সূত্রটি প্রায় একই ফলাফলের দিকে নিয়ে যায় (তাদের জটিলতার কারণে গণনা বাদ দেওয়া হয়):

P_(80,100)=0,\!0498।

ল্যাপ্লেসের অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য

ধরুন যে n স্বাধীন ট্রায়াল করা হয়েছে, যার প্রতিটিতে ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা ধ্রুবক এবং p এর সমান। সম্ভাব্যতা P_((m_1,m_2),n) গণনা করা প্রয়োজন যে ঘটনা A n ট্রায়ালে কমপক্ষে m_1 এবং সর্বাধিক m_2 বার উপস্থিত হবে (সংক্ষিপ্ততার জন্য আমরা বলব "m_1 থেকে m_2 বার")। এটি ল্যাপ্লেসের অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য ব্যবহার করে করা যেতে পারে।

উপপাদ্য 3.2। যদি প্রতিটি ট্রায়ালে ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা p ধ্রুবক এবং শূন্য এবং এক থেকে আলাদা হয়, তাহলে প্রায় সম্ভাব্যতা P_((m_1,m_2),n) সেই ঘটনা A m_1 থেকে m_2 বার ট্রায়ালে উপস্থিত হবে,

P_((m_1,m_2),n)\আনুমানিক\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,কোথায় .

ল্যাপ্লেসের অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য প্রয়োগের প্রয়োজন এমন সমস্যার সমাধান করার সময়, বিশেষ টেবিল ব্যবহার করা হয়, যেহেতু অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য \int(e^(-x^2/2)\,dx)মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় না প্রাথমিক ফাংশন. অবিচ্ছেদ্য টেবিল \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzপরিশিষ্টে দেওয়া হয়েছে। 2, যেখানে x এর ধনাত্মক মানের জন্য \Phi(x) ফাংশনের মান x এর জন্য দেওয়া হয়<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 আমরা নিতে পারি \Phi(x)=0,\!5।

সুতরাং, m_1 থেকে m_2 বার পর্যন্ত n স্বাধীন পরীক্ষায় ইভেন্ট A উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা প্রায়

P_((m_1,m_2), n)\প্রায় \Phi(x"")-\Phi(x"),কোথায় x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

উদাহরণ 4. একটি অংশ মান লঙ্ঘন করে তৈরি হওয়ার সম্ভাবনা হল p=0,\!2। সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে 400টি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত অংশের মধ্যে 70 থেকে 100টি অ-মানক অংশ থাকবে।

সমাধান। শর্ত অনুসারে p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. আসুন ল্যাপ্লেসের অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য ব্যবহার করি:

P_((70,100),400)\প্রায়\Phi(x"")-\Phi(x")।

আসুন একীকরণের সীমা গণনা করি:

নিম্ন

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

উপরের

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

এভাবে

P_((70,100), 400)\প্রায়\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

সারণি অনুযায়ী adj. 2 আমরা খুঁজে

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944।

প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা

P_((70,100), 400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882।

ল্যাপ্লেসের অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্যের প্রয়োগ

যদি m সংখ্যাটি (n স্বাধীন ট্রায়ালে A ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা) m_1 থেকে m_2 তে পরিবর্তিত হয়, তাহলে ভগ্নাংশ \frac(m-np)(\sqrt(npq))থেকে ভিন্ন হবে \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"আগে \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". অতএব, ল্যাপ্লেসের অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্যটিও নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

পরম মানের ধ্রুবক সম্ভাব্যতা p থেকে আপেক্ষিক কম্পাঙ্ক \frac(m)(n) এর বিচ্যুতি একটি প্রদত্ত সংখ্যা \varepsilon>0 অতিক্রম না করে সম্ভাব্যতা খোঁজার কাজটি নির্ধারণ করা যাক। অন্য কথায়, আমরা অসমতার সম্ভাবনা খুঁজে পাই \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, যা একই -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. আমরা এই সম্ভাবনাকে নিম্নরূপ নির্দেশ করব: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). এই সম্ভাবনার জন্য অ্যাকাউন্ট সূত্র (3.6) গ্রহণ করে আমরা প্রাপ্ত করি

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq) )) \ ডান)।

উদাহরণ 5. অংশটি অ-মানক হওয়ার সম্ভাবনা হল p=0,\!1। সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত 400টি অংশের মধ্যে, অ-মানক অংশগুলির সংঘটনের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি p=0,\!1 এর পরম মান 0.03 এর বেশি না হওয়ার সম্ভাবনা থেকে বিচ্যুত হবে।

সমাধান। শর্ত অনুসারে n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. আমাদের সম্ভাবনা খুঁজে বের করতে হবে P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). সূত্র ব্যবহার করে (3.7), আমরা প্রাপ্ত

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\prox2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

সারণি অনুযায়ী adj. 2 আমরা খুঁজে পাই \Phi(2)=0,\!4772, তাই, 2\Phi(2)=0,\!9544 । সুতরাং, পছন্দসই সম্ভাবনা প্রায় 0.9544। ফলাফলের অর্থ নিম্নরূপ: আপনি যদি প্রতিটি 400টি অংশের পর্যাপ্ত পরিমাণে নমুনা নেন, তবে এই নমুনার প্রায় 95.44% এর মধ্যে ধ্রুবক সম্ভাব্যতা p=0.\!1 থেকে আপেক্ষিক কম্পাঙ্কের বিচ্যুতি। মান 0.03 এর বেশি হবে না।

অসম্ভাব্য ঘটনার জন্য পয়সনের সূত্র

যদি একটি পৃথক ট্রায়ালে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা p শূন্যের কাছাকাছি হয়, তাহলে এমনকি প্রচুর সংখ্যক ট্রায়াল n হলেও ছোট মানপণ্য np এর, ল্যাপ্লেসের সূত্র দ্বারা প্রাপ্ত সম্ভাব্যতার মানগুলি অপর্যাপ্তভাবে সঠিক বলে প্রমাণিত হয় এবং অন্য একটি আনুমানিক সূত্রের প্রয়োজন রয়েছে।

উপপাদ্য 3.3। যদি প্রতিটি ট্রায়ালে ঘটনা A ঘটার সম্ভাব্যতা p ধ্রুবক কিন্তু ছোট হয়, স্বাধীন ট্রায়াল n এর সংখ্যা যথেষ্ট বড় হয়, কিন্তু np=\lambda এর মান ছোট থাকে (দশের বেশি নয়), তাহলে সম্ভাব্যতা যে ঘটনা A ঘটবে m বার এই ট্রায়াল

P_(m,n)\প্রায়\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

পয়সন সূত্র ব্যবহার করে গণনা সহজ করার জন্য, পয়সন ফাংশন মানের একটি টেবিল সংকলিত করা হয়েছে \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(পরিশিষ্ট 3 দেখুন)।

উদাহরণ 6. একটি অ-মানক অংশ উৎপাদনের সম্ভাবনা 0.004 হতে দিন। সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে 1000টি অংশের মধ্যে 5টি অ-মানক অংশ থাকবে।

সমাধান। এখানে n=1000,p=0.004, ~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. তিনটি সংখ্যাই উপপাদ্য 3.3 এর প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে, তাই, পছন্দসই ঘটনার সম্ভাব্যতা খুঁজে পেতে P_(5,1000), আমরা পয়সন সূত্র ব্যবহার করি। পয়সন ফাংশনের মানের সারণী থেকে (পরিশিষ্ট 3) \lambda=4;m=5 আমরা পাই P_(5,1000)\আনুমানিক0,\!1563.

ল্যাপ্লেসের সূত্র ব্যবহার করে একই ঘটনার সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে m=5 এর সাথে সম্পর্কিত x এর মান গণনা করি:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\Aprox\frac(1)(1,\!996)\আনুমানিক 0 ,\!501।

অতএব, ল্যাপ্লেসের সূত্র অনুসারে, পছন্দসই সম্ভাবনা

P_(5,1000)\আনুমানিক\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\আনুমানিক\frac(0,\!3519)(1,\!996)\আনুমানিক 0,\ !1763

এবং বার্নোলির সূত্র অনুসারে এর সঠিক মান

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\prox0,\!1552।

এইভাবে, আপেক্ষিক ত্রুটিআনুমানিক ল্যাপ্লেস সূত্র ব্যবহার করে P_(5,1000) সম্ভাব্যতা গণনা করা হচ্ছে

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\আনুমানিক0,\!196, অথবা 13.\!6\%

এবং পয়সন সূত্র অনুসারে -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\আনুমানিক0,\!007, অথবা 0.\!7\%

অর্থাৎ অনেক গুণ কম।
পরবর্তী বিভাগে যান
একমাত্রিক এলোমেলো ভেরিয়েবল আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট অক্ষম করা হয়েছে।
গণনা সম্পাদন করতে, আপনাকে অবশ্যই ActiveX নিয়ন্ত্রণ সক্ষম করতে হবে!

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন

রাষ্ট্রীয় শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

উচ্চ পেশাগত শিক্ষা

"মাটি" - পরে নামকরণ করা রাশিয়ান স্টেট টেকনোলজিকাল ইউনিভার্সিটি কে.ই. টিসিওলকোভস্কি

"সিস্টেম মডেলিং এবং তথ্য প্রযুক্তি" বিভাগ

পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি। বার্নোলি সার্কিট

ব্যবহারিক অনুশীলনের জন্য নির্দেশিকা

"উচ্চতর গণিত" শৃঙ্খলায়

দ্বারা সংকলিত: Egorova Yu.B.

মামনভ আই.এম.

মস্কো 2006 ভূমিকা

নির্দেশিকাগুলি অনুষদের নং 14, বিশেষত্ব 150601, 160301, 230102-এর পূর্ণ-সময়ের এবং সান্ধ্যকালীন শিক্ষার্থীদের জন্য উদ্দিষ্ট। নির্দেশিকাগুলি বিষয়ের মৌলিক ধারণাগুলিকে হাইলাইট করে এবং উপাদান অধ্যয়নের ক্রম নির্ধারণ করে। আলোচিত উদাহরণের একটি বড় সংখ্যা বিষয়টির ব্যবহারিক বিকাশে সহায়তা করে। নির্দেশিকা একটি পদ্ধতিগত ভিত্তি হিসাবে কাজ করে ব্যবহারিক ক্লাসএবং স্বতন্ত্র কাজগুলি সম্পূর্ণ করা।

বার্নৌলি স্কিম। বার্নৌলি সূত্র

বার্নোলি স্কিম- বারবার স্বাধীন পরীক্ষার একটি স্কিম যেখানে কিছু ঘটনা কধ্রুবক সম্ভাবনার সাথে অনেকবার পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে আর (ক)= আর .

বার্নোলি স্কিম ব্যবহার করে করা পরীক্ষাগুলির উদাহরণ: একটি মুদ্রা বা পাশা বারবার ছুঁড়ে ফেলা, অংশগুলির একটি ব্যাচ তৈরি করা, একটি লক্ষ্যে গুলি করা ইত্যাদি।

উপপাদ্য।যদি কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা থাকে কপ্রতিটি পরীক্ষায় ধ্রুবক এবং সমান আর, তারপর সম্ভাবনা যে ঘটনা কআসবে মিপ্রতি একবার nপরীক্ষাগুলি (কোন ক্রমেই হোক না কেন), বার্নোলির সূত্র দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে:

কোথায় q = 1 – পি.

উদাহরণ 1.সম্ভাবনা যে একদিনে বিদ্যুত খরচ প্রতিষ্ঠিত আদর্শ অতিক্রম করবে না সমান p= 0,75. সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে পরবর্তী 6 দিনের মধ্যে, 4 দিনের জন্য বিদ্যুতের ব্যবহার আদর্শের বেশি হবে না।

সমাধান। প্রতিটি 6 দিনের জন্য স্বাভাবিক বিদ্যুৎ খরচের সম্ভাবনা স্থির এবং সমান আর= 0.75। ফলস্বরূপ, প্রতিদিন অতিরিক্ত শক্তি খরচের সম্ভাবনাও স্থির এবং সমান q = 1আর = 1  0,75 = 0,25.

বার্নোলির সূত্র অনুসারে প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা সমান:

উদাহরণ 2।বন্দুকধারী লক্ষ্যবস্তুতে তিনটি গুলি করে। প্রতিটি শটের সাথে লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা সমান p= 0,3. সম্ভাব্যতা খুঁজুন: ক) একটি লক্ষ্য আঘাত করা হয়েছে; খ) তিনটি লক্ষ্যমাত্রা; গ) একটি একক লক্ষ্য নয়; ঘ) কমপক্ষে একটি লক্ষ্য; ঙ) দুটি লক্ষ্যের কম।

সমাধান। প্রতিটি শটের সাথে লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা ধ্রুবক এবং সমান আর=0.75। অতএব, একটি মিস সম্ভাবনা সমান q = 1 আর= 1  0.3 = 0.7। সম্পাদিত পরীক্ষার মোট সংখ্যা n=3.

ক) তিনটি শট দিয়ে একটি লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা সমান:

খ) তিনটি শট দিয়ে তিনটি লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা সমান:

গ) তিনটি শট সহ তিনটি মিস হওয়ার সম্ভাবনা সমান:

ঘ) তিনটি শট দিয়ে কমপক্ষে একটি লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা সমান:

e) দুটি লক্ষ্যমাত্রার কম আঘাত করার সম্ভাবনা, অর্থাৎ একটি লক্ষ্য বা কোনোটি নয়:

1. Moivre-Laplace-এর স্থানীয় এবং অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য

যদি প্রচুর পরিমাণে পরীক্ষা করা হয়, তবে বার্নউলির সূত্র ব্যবহার করে সম্ভাব্যতা গণনা করা প্রযুক্তিগতভাবে কঠিন হয়ে পড়ে, যেহেতু সূত্রটির জন্য বিশাল সংখ্যার অপারেশন প্রয়োজন। অতএব, ব্যাপকভাবে সম্ভাব্যতা গণনার জন্য সহজ আনুমানিক সূত্র আছে n. এই সূত্রগুলিকে অ্যাসিম্পটোটিক বলা হয় এবং পয়সনের উপপাদ্য, ল্যাপ্লেসের স্থানীয় এবং অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য দ্বারা নির্ধারিত হয়।

Moivre-Laplace এর স্থানীয় উপপাদ্য। ক কহবে মিপ্রতি একবার n n (n →∞ ), প্রায় সমান:

ফাংশন কোথায়
এবং যুক্তি

অধিক n, সম্ভাব্যতার গণনা তত বেশি সঠিক। অতএব, যখন Moivre-Laplace উপপাদ্য প্রয়োগ করা বাঞ্ছনীয় npq  20.

চ ( এক্স ) বিশেষ টেবিল কম্পাইল করা হয়েছে (পরিশিষ্ট 1 দেখুন)। টেবিল ব্যবহার করার সময় মাথায় রাখতে হবে ফাংশন বৈশিষ্ট্য f(x) :

ফাংশন f(x)এমনকি চ(  x)=f(x) .

এ এক্স ∞ ফাংশন f(x) 0. অনুশীলনে, আমরা অনুমান করতে পারি যে ইতিমধ্যেই এ এক্স>4 ফাংশন f(x) ≈0.

উদাহরণ 3।ইভেন্ট যে সম্ভাবনা খুঁজুন ক 400টি ট্রায়ালে 80 বার ঘটবে যদি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা থাকে কপ্রতিটি বিচারে সমান p= 0,2.

সমাধান। শর্ত অনুসারে n=400, মি=80, পি=0,2, q=0.8। তাই:

টেবিল ব্যবহার করে, আমরা ফাংশনের মান নির্ধারণ করি চ (0)=0,3989.

Moivre-Laplace এর অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য।যদি কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা থাকে কপ্রতিটি ট্রায়াল ধ্রুবক এবং 0 এবং 1 থেকে ভিন্ন, তারপর সম্ভাবনা যে ঘটনা কথেকে আসে মি 1 আগে মি 2 প্রতি একবার n একটি পর্যাপ্ত বড় সংখ্যা সঙ্গে পরীক্ষা n (n →∞ ), প্রায় সমান:

কোথায়
 অবিচ্ছেদ্য বা ল্যাপ্লেস ফাংশন,

একটি ফাংশনের মান খুঁজে বের করতে F( এক্স ) বিশেষ টেবিল সংকলন করা হয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, পরিশিষ্ট 2 দেখুন)। টেবিল ব্যবহার করার সময় মাথায় রাখতে হবে ল্যাপ্লেস ফাংশনের বৈশিষ্ট্য Ф(x) :

ফাংশন Ф(x)অদ্ভুত F(  x)=  Ф(x) .

এ এক্স ∞ ফাংশন Ф(x) 0.5। অনুশীলনে, আমরা অনুমান করতে পারি যে ইতিমধ্যেই এ এক্স>5 ফাংশন Ф(x) ≈0,5.

চ (0)=0.

উদাহরণ 4।অংশটি গুণমান নিয়ন্ত্রণ পরিদর্শন পাস করেনি এমন সম্ভাবনা 0.2। সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে 400টি অংশের মধ্যে 70 থেকে 100টি অংশ অপরিক্ষিত থাকবে।

সমাধান। শর্ত অনুসারে n=400, মি 1 =70, মি 2 =100, পি=0,2, q=0.8। তাই:

ল্যাপ্লেস ফাংশনের মানগুলি দেখায় এমন টেবিলটি ব্যবহার করে, আমরা নির্ধারণ করি:

Ф(x 1 ) = F(  1,25 )=  F( 1,25 )=  0,3944; Ф(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.