এর সাথে একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন ধ্রুবক সহগ:
(1)
.
অনুসরণ করে এর সমাধান পাওয়া যাবে সাধারণ পদ্ধতিআদেশ হ্রাস।
যাইহোক, অবিলম্বে মৌলিক সিস্টেম প্রাপ্ত করা সহজ nরৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান এবং এর উপর ভিত্তি করে একটি সাধারণ সমাধান তৈরি করে। এই ক্ষেত্রে, সম্পূর্ণ সমাধান পদ্ধতি হ্রাস করা হয় পরবর্তী পদক্ষেপ.
আমরা ফর্মে সমীকরণ (1) এর সমাধান খুঁজছি। আমরা পেতে চরিত্রগত সমীকরণ
:
(2)
.
এর n শিকড় আছে। আমরা সমীকরণ (2) সমাধান করি এবং এর মূল খুঁজে পাই। তারপর চরিত্রগত সমীকরণ (2) নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
(3)
.
প্রতিটি মূল সমীকরণের (1) সমাধানের মৌলিক সিস্টেমের রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলির একটির সাথে মিলে যায়। তারপর সাধারণ সমাধান মূল সমীকরণ(1) ফর্ম আছে:
(4)
.
আসল শিকড়
আসল শিকড় বিবেচনা করা যাক. মূল একক হতে দিন। অর্থাৎ, গুণনীয়কটি বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণে (3) মাত্র একবার প্রবেশ করে। তারপর এই মূলটি সমাধানের সাথে মিলে যায়
.
মাল্টিপ্লিসিটি p এর একাধিক মূল হোক। এটাই
. এই ক্ষেত্রে, গুণক হল p বার:
.
এই একাধিক (সমান) মূলগুলি মূল সমীকরণের (1) রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলির সাথে মিলে যায়:
;
;
;
...;
.
জটিল শিকড়
জটিল শিকড় বিবেচনা করুন. আসল এবং কাল্পনিক অংশের পরিপ্রেক্ষিতে জটিল মূলকে প্রকাশ করা যাক:
.
যেহেতু মূলের সহগগুলি বাস্তব, তাই মূল ছাড়াও একটি জটিল সংযোজিত মূল রয়েছে
.
জটিল মূল একাধিক হতে দিন। তারপরে এক জোড়া শিকড় দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানের সাথে মিলে যায়:
;
.
মাল্টিপ্লিসিটি p এর একটি একাধিক জটিল মূল হোক। তারপর জটিল কনজুগেট মানটিও গুণিতিকতার বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল এবং গুণকটি p বার প্রবেশ করে:
.
এই 2 পিশিকড় মিলে যায় 2 পিরৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান:
;
;
;
...
;
;
;
;
...
.
রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানের মৌলিক সিস্টেম খুঁজে পাওয়ার পর, আমরা সাধারণ সমাধান পাই।
সমস্যা সমাধানের উদাহরণ
উদাহরণ 1
সমীকরণটি সমাধান করুন:
.
সমাধান
.
আসুন এটি রূপান্তরিত করি:
;
;
.
আসুন এই সমীকরণের শিকড়গুলি দেখি। আমরা গুণন 2 এর চারটি জটিল মূল পেয়েছি:
;
.
তারা মূল সমীকরণের চারটি রৈখিক স্বাধীন সমাধানের সাথে মিলে যায়:
;
;
;
.
আমাদের কাছে একাধিক 3 এর তিনটি আসল মূল রয়েছে:
.
তারা তিনটি রৈখিক স্বাধীন সমাধানের সাথে মিলে যায়:
;
;
.
সাধারণ সিদ্ধান্তমূল সমীকরণের ফর্ম আছে:
.
উত্তর
উদাহরণ 2
সমীকরণটি সমাধান করুন
সমাধান
আমরা ফর্মে একটি সমাধান খুঁজছি। আমরা চরিত্রগত সমীকরণ রচনা করি:
.
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা।
.
আমরা দুটি জটিল শিকড় পেয়েছি:
.
তারা দুটি রৈখিক স্বাধীন সমাধানের সাথে মিলে যায়:
.
সমীকরণের সাধারণ সমাধান:
.
পদার্থবিজ্ঞানের কিছু সমস্যায়, প্রক্রিয়াটি বর্ণনাকারী পরিমাণের মধ্যে সরাসরি সংযোগ স্থাপন করা সম্ভব নয়। কিন্তু অধ্যয়নের অধীনে ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভ সমেত একটি সমতা পাওয়া সম্ভব। এভাবেই তাদের উদ্ভব হয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণএবং অজানা ফাংশন খুঁজে পেতে তাদের সমাধান করার প্রয়োজন।
এই নিবন্ধটি তাদের উদ্দেশ্যে যারা একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার সমস্যার মুখোমুখি হয়েছেন যেখানে অজানা ফাংশনটি একটি পরিবর্তনশীলের একটি ফাংশন। তত্ত্বটি এমনভাবে গঠন করা হয়েছে যে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের শূন্য জ্ঞানের সাথে, আপনি আপনার কাজটি মোকাবেলা করতে পারেন।
প্রতিটি ধরণের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি সমাধান পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত যা সাধারণ উদাহরণ এবং সমস্যার বিশদ ব্যাখ্যা এবং সমাধান সহ। আপনাকে যা করতে হবে তা হল আপনার সমস্যার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধরন নির্ধারণ করুন, একটি অনুরূপ বিশ্লেষণ করা উদাহরণ খুঁজে বের করুন এবং অনুরূপ ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করুন।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সফলভাবে সমাধান করার জন্য, আপনার অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেটগুলি খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতাও প্রয়োজন হবে ( অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য) বিভিন্ন ফাংশন. প্রয়োজনে, আমরা সুপারিশ করি যে আপনি বিভাগটি পড়ুন।
প্রথমত, আমরা প্রথম ক্রমটির সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধরনগুলি বিবেচনা করব যা ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমাধান করা যেতে পারে, তারপরে আমরা দ্বিতীয়-ক্রমের ODE-তে চলে যাব, তারপরে আমরা উচ্চ-ক্রম সমীকরণগুলিতে থাকব এবং এর সিস্টেমগুলির সাথে শেষ করব ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ.
মনে রাখবেন যে যদি y আর্গুমেন্ট x এর একটি ফাংশন হয়।
ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।
ফর্মের প্রথম ক্রমটির সহজতম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।
চলুন এই ধরনের রিমোট কন্ট্রোলের কয়েকটি উদাহরণ লিখি 
.
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ 
সমতার উভয় পক্ষকে f(x) দ্বারা ভাগ করে ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমাধান করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আমরা একটি সমীকরণে পৌঁছেছি যেটি f(x) ≠ 0 এর জন্য মূল সমীকরণের সমতুল্য হবে। এই ধরনের ODE-এর উদাহরণ হল।
যদি আর্গুমেন্ট x এর মান থাকে যেখানে ফাংশন f(x) এবং g(x) একই সাথে অদৃশ্য হয়ে যায়, তাহলে অতিরিক্ত সমাধান উপস্থিত হয়। সমীকরণের অতিরিক্ত সমাধান 
দেওয়া x এই আর্গুমেন্ট মানগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত যেকোন ফাংশন। এই ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে:
দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।
ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমের রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।
ধ্রুবক সহগ সহ LDE হল একটি খুব সাধারণ ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। তাদের সমাধান বিশেষ কঠিন নয়। প্রথমত, চরিত্রগত সমীকরণের শিকড় পাওয়া যায় 
. বিভিন্ন p এবং q এর জন্য, তিনটি ক্ষেত্রে সম্ভব: চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব এবং ভিন্ন, বাস্তব এবং কাকতালীয় হতে পারে 
বা জটিল কনজুগেটস। চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়ের মানের উপর নির্ভর করে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান এভাবে লেখা হয় 
, বা 
, বা যথাক্রমে।
উদাহরণস্বরূপ, ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন। এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূলগুলি হল k 1 = -3 এবং k 2 = 0। শিকড় বাস্তব এবং ভিন্ন, তাই, ধ্রুবক সহগ সহ LODE-এর সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে
ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমের রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।
ধ্রুবক সহগ y সহ একটি দ্বিতীয়-ক্রম LDDE-এর সাধারণ সমাধান সংশ্লিষ্ট LDDE-এর সাধারণ সমাধানের যোগফলের আকারে চাওয়া হয় 
এবং মূল একটি নির্দিষ্ট সমাধান না সমজাতীয় সমীকরণ, এটাই, . পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদটি ধ্রুবক সহগ সহ একটি সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খোঁজার জন্য নিবেদিত। এবং একটি নির্দিষ্ট সমাধান হয় মূল সমীকরণের ডান দিকের f(x) ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট ফর্মের জন্য অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতির দ্বারা বা বিভিন্ন নির্বিচারে ধ্রুবকের পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারিত হয়।
ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয়-ক্রম LDDE-এর উদাহরণ হিসাবে, আমরা দিই 
তত্ত্বটি বোঝার জন্য এবং উদাহরণগুলির বিশদ সমাধানগুলির সাথে পরিচিত হতে, আমরা আপনাকে পৃষ্ঠায় অফার করি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি যার সাথে ধ্রুবক সহগ।
লিনিয়ার সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (LODE) 
এবং দ্বিতীয় ক্রমে লিনিয়ার ইনহোমোজেনিয়াস ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (LNDEs)।
এই ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হল ধ্রুবক সহগ সহ LODE এবং LDDE।
একটি নির্দিষ্ট অংশে LODE-এর সাধারণ সমাধান এই সমীকরণের দুটি রৈখিক স্বাধীন আংশিক সমাধান y 1 এবং y 2 এর রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা উপস্থাপিত হয়, অর্থাৎ, 
.
প্রধান অসুবিধা এই ধরনের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের রৈখিকভাবে স্বাধীন আংশিক সমাধান খুঁজে বের করার ক্ষেত্রেই রয়েছে। সাধারণত, নিম্নলিখিত সিস্টেমগুলি থেকে নির্দিষ্ট সমাধানগুলি রৈখিকভাবে নির্বাচন করা হয় স্বাধীন ফাংশন:
যাইহোক, নির্দিষ্ট সমাধান সবসময় এই ফর্ম উপস্থাপন করা হয় না.
একটি LOD একটি উদাহরণ 
.
LDDE-এর সাধারণ সমাধান ফর্মে চাওয়া হয়, যেখানে সংশ্লিষ্ট LDDE-এর সাধারণ সমাধান এবং মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশেষ সমাধান। আমরা শুধু এটি খুঁজে বের করার বিষয়ে কথা বলেছি, তবে এটি নির্ণয় করা যেতে পারে বিভিন্ন নির্বিচারে ধ্রুবকের পদ্ধতি ব্যবহার করে।
LNDU এর উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে 
.
উচ্চতর আদেশের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা ক্রম হ্রাস করার অনুমতি দেয়।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম 
, যা k-1 অর্ডার পর্যন্ত পছন্দসই ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভ ধারণ করে না, প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে n-k-এ হ্রাস করা যেতে পারে।
এই ক্ষেত্রে, মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি কমে যাবে। এর সমাধান p(x) খুঁজে পাওয়ার পরে, এটি প্রতিস্থাপনে ফিরে যেতে এবং অজানা ফাংশন y নির্ধারণ করতে থাকে।
উদাহরণস্বরূপ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ 
প্রতিস্থাপনের পরে, এটি বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণে পরিণত হবে এবং এর ক্রম তৃতীয় থেকে প্রথম পর্যন্ত হ্রাস পাবে।
এই অনুচ্ছেদ আলোচনা করা হবে বিশেষ মামলা রৈখিক সমীকরণদ্বিতীয় ক্রম, যখন সমীকরণের সহগ ধ্রুবক, অর্থাৎ, তারা সংখ্যা। এই ধরনের সমীকরণকে ধ্রুবক সহগ সমীকরণ বলে। এই ধরনের সমীকরণ বিশেষভাবে ব্যাপক প্রয়োগ খুঁজে পায়।
1. রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ
ধ্রুবক সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমসমীকরণ বিবেচনা করুন
যেখানে সহগ ধ্রুবক। ধরে নিচ্ছি যে সমীকরণের সমস্ত পদকে বিভক্ত করা এবং বোঝানো হচ্ছে
এই সমীকরণটি আকারে লিখি
যেমনটি জানা যায়, একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজতে, এটির আংশিক সমাধানের মৌলিক সিস্টেমটি জানা যথেষ্ট। ধ্রুব সহগ সহ একটি সমজাতীয় রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য আংশিক সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা দেখাই। আমরা ফর্মটিতে এই সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজব
এই ফাংশনটিকে দুবার আলাদা করে এবং সমীকরণ (59) এর জন্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই
তারপর থেকে, হ্রাস করে আমরা সমীকরণ পাই
এই সমীকরণ থেকে, k-এর সেই মানগুলি নির্ধারিত হয় যার জন্য ফাংশনটি সমীকরণের সমাধান হবে (59)।
k সহগ নির্ণয়ের জন্য বীজগণিতীয় সমীকরণ (61) কে এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ (59) বলা হয়।
বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণটি দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি সমীকরণ এবং তাই এর দুটি মূল রয়েছে। এই শিকড় হয় বাস্তব স্বতন্ত্র, বাস্তব এবং সমান, অথবা জটিল সংমিশ্রণ হতে পারে।
আসুন আমরা বিবেচনা করি যে এই প্রতিটি ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট সমাধানের মৌলিক সিস্টেমের রূপ কী।
1. চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব এবং ভিন্ন: . এই ক্ষেত্রে, সূত্র (60) ব্যবহার করে আমরা দুটি আংশিক সমাধান খুঁজে পাই:
এই দুটি নির্দিষ্ট সমাধান সমগ্র সংখ্যাসূচক অক্ষে সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা গঠন করে, যেহেতু রনস্কি নির্ধারক কোথাও বিলুপ্ত হয় না:
ফলস্বরূপ, সূত্র (48) অনুসারে সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে
2. চরিত্রগত সমীকরণের শিকড় সমান: . এই ক্ষেত্রে, উভয় শিকড় বাস্তব হবে। সূত্র ব্যবহার করে (60), আমরা শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট সমাধান প্রাপ্ত
আসুন দেখান যে দ্বিতীয় বিশেষ সমাধান, যা প্রথমটির সাথে একত্রে একটি মৌলিক সিস্টেম গঠন করে, ফর্ম আছে
প্রথমত, আসুন পরীক্ষা করে দেখি যে ফাংশনটি সমীকরণের সমাধান (59)। সত্যিই,
কিন্তু, যেহেতু চরিত্রগত সমীকরণের একটি মূল আছে (61)। উপরন্তু, ভিয়েটার উপপাদ্য অনুযায়ী, অতএব। ফলস্বরূপ, , অর্থাৎ, ফাংশনটি প্রকৃতপক্ষে সমীকরণের একটি সমাধান (59)।
আসুন এখন দেখান যে পাওয়া আংশিক সমাধানগুলি সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা গঠন করে। সত্যিই,
সুতরাং, এই ক্ষেত্রে সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে
3. চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি জটিল। হিসাবে পরিচিত, বাস্তব সহগ সহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল মূলগুলি সংযোজিত জটিল সংখ্যা, অর্থাৎ তারা দেখতে এরকম: এই ক্ষেত্রে, সূত্র (60) অনুসারে সমীকরণ (59) এর আংশিক সমাধানগুলির ফর্ম থাকবে:
অয়লারের সূত্রগুলি ব্যবহার করে (অধ্যায় XI, § 5, অনুচ্ছেদ 3 দেখুন), জন্য অভিব্যক্তিগুলি এভাবে লেখা যেতে পারে:
এই সমাধানগুলি ব্যাপক। বৈধ সমাধান পেতে, নতুন ফাংশন বিবেচনা করুন
তারা সমাধানের রৈখিক সংমিশ্রণ এবং তাই, সমীকরণ (59) এর সমাধান (§ 3, আইটেম 2, উপপাদ্য 1 দেখুন)।
এটা দেখানো সহজ যে এই সমাধানগুলির জন্য Wronski নির্ধারক অশূন্য এবং তাই, সমাধানগুলি সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম গঠন করে।
এইভাবে, বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের জটিল মূলের ক্ষেত্রে একটি সমজাতীয় রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে
উপসংহারে, আমরা বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের শিকড়ের ধরণের উপর নির্ভর করে সমীকরণের সাধারণ সমাধান (59) এর জন্য সূত্রগুলির একটি সারণী উপস্থাপন করি।
ধ্রুবক সহগ (পিসি) সহ রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (LNDE-2) সমাধানের মৌলিক বিষয়গুলি
ধ্রুবক সহগ $p$ এবং $q$ সহ একটি 2য় ক্রম LDDE-এর ফর্ম $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, যেখানে $f\left(x) \right)$ একটি ক্রমাগত ফাংশন।
PC এর সাথে LNDU 2 এর ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত দুটি বিবৃতি সত্য।
আসুন আমরা ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $U$ হল একটি অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্বিচারে আংশিক সমাধান। আমরা আরও ধরে নিই যে কিছু ফাংশন $Y$ হল সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-এর সাধারণ সমাধান (GS)। তারপর এর GR LHDE-2 নির্দেশিত ব্যক্তিগত এবং সাধারণ সমাধানের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ $y=U+Y$।
যদি 2য় ক্রম LMDE-এর ডানদিকের দিকটি ফাংশনের সমষ্টি হয়, অর্থাৎ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, তারপর প্রথমে আমরা PD গুলি খুঁজে পেতে পারি $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ যা মিলবে প্রতিটি ফাংশনে $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, এবং তার পরে $U=U_(1) +U_(2) +...U_(r) $ আকারে CR LNDU-2 লিখুন।
পিসি সহ 2য় অর্ডার LPDE এর সমাধান
এটা স্পষ্ট যে প্রদত্ত LNDU-2-এর এক বা অন্য PD $U$-এর ধরন নির্ভর করে তার ডানদিকের $f\left(x\right)$-এর নির্দিষ্ট ফর্মের উপর। PD LNDU-2 অনুসন্ধানের সহজতম ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত চারটি নিয়মের আকারে প্রণয়ন করা হয়েছে।
নিয়ম #1।
ডান অংশ LNDU-2-এর $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ আছে, যেখানে $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, অর্থাৎ, এটিকে ডিগ্রী $ এর বহুপদ বলা হয় n$ তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) \left(x\right)$ আরেকটি $P_(n) \left(x\right)$ এর সমান ডিগ্রির বহুপদী, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2-এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা যা শূন্যের সমান। বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$-এর সহগগুলি অনির্দিষ্ট সহগ (UK) পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।
বিধি নং 2।
LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, যেখানে $P_(n) \left( x\right)$ হল $n$ ডিগ্রির একটি বহুপদ। তারপর এর PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(n) ) \ left(x\right)$ হল $P_(n) \left(x\right)$ এর মতো একই ডিগ্রির আরেকটি বহুপদ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা $\alpha $ এর সমান। বহুপদী $Q_(n) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।
বিধি নং 3।
LNDU-2-এর ডান দিকে $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ফর্ম আছে \right) $, যেখানে $a$, $b$ এবং $\beta$ আছে পরিচিত সংখ্যা. তারপর এর PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) আকারে চাওয়া হয়। \right )\cdot x^(r) $, যেখানে $A$ এবং $B$ অজানা সহগ, এবং $r$ হল সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল সংখ্যা, $i\cdot এর সমান বিটা $। সহগ $A$ এবং $B$ অ-ধ্বংসাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়।
বিধি নং 4।
LNDU-2-এর ডানদিকে $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, যেখানে $P_(n) \left(x\right)$ হল ডিগ্রীর একটি বহুপদী $n$, এবং $P_(m) \left(x\right)$ হল $m$ ডিগ্রির একটি বহুপদী। তারপর এর PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ আকারে চাওয়া হয়, যেখানে $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $R_(s) \left(x\right)$ হল $s$ ডিগ্রির বহুপদ, $s$ হল সর্বাধিক দুটি সংখ্যা $n$ এবং $m$, এবং $r$ হল মূলের সংখ্যা সংশ্লিষ্ট LODE-2 এর চরিত্রগত সমীকরণের, $\alpha +i\cdot \beta $ এর সমান। $Q_(s) \left(x\right)$ এবং $R_(s) \left(x\right)$ এর সহগ NC পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।
NK পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। বহুপদীর অজানা সহগগুলি খুঁজে বের করার জন্য যা অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ LNDU-2 এর আংশিক সমাধানের অংশ, এটি প্রয়োজনীয়:
- PD $U$ লিখুন প্রতিস্থাপন করুন সাধারণ দৃষ্টিকোণ, ভি বাম পাশে LNDU-2;
- LNDU-2 এর বাম দিকে, একই ক্ষমতা $x$ সহ সরলীকরণ এবং গ্রুপ পদগুলি সম্পাদন করুন;
- ফলস্বরূপ পরিচিতিতে, বাম এবং ডান দিকের একই ক্ষমতা $x$ সহ পদগুলির সহগকে সমান করুন;
- অজানা সহগগুলির জন্য রৈখিক সমীকরণের ফলে সিস্টেমটি সমাধান করুন।
উদাহরণ 1
টাস্ক: খুঁজুন OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $। এছাড়াও PD খুঁজুন , $x=0$ এর জন্য $y=6$ এবং $x=0$ এর জন্য $y"=1$ প্রাথমিক শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে৷
আমরা সংশ্লিষ্ট LOD-2 লিখি: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$।
চরিত্রগত সমীকরণ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$। চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি হল: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$। এই শিকড়গুলি বৈধ এবং স্বতন্ত্র। এইভাবে, সংশ্লিষ্ট LODE-2-এর OR-এর ফর্ম আছে: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $।
এই LNDU-2-এর ডান দিকে $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ফর্ম আছে। $\alpha =3$ সূচকের সহগ বিবেচনা করা প্রয়োজন। এই সহগটি বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের কোনো মূলের সাথে মিলে না। অতএব, এই LNDU-2-এর PD-এর ফর্ম $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আছে।
আমরা NC পদ্ধতি ব্যবহার করে $A$, $B$ সহগ অনুসন্ধান করব।
আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
আমরা চেক প্রজাতন্ত্রের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
আমরা প্রদত্ত NLDE-2 $y""-3\cdot y"-এ $y""$, $y"$ এবং $y$ এর পরিবর্তে $U""$, $U"$ এবং $U$ ফাংশনগুলি প্রতিস্থাপন করি। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ তাছাড়া, যেহেতু সূচক $e^(3\cdot x)$ একটি গুণনীয়ক হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। সমস্ত উপাদানে, তারপর এটি বাদ দেওয়া যেতে পারে। আমরা পাই:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
আমরা ফলাফল সমতার বাম দিকে ক্রিয়া সম্পাদন করি:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
আমরা NDT পদ্ধতি ব্যবহার করি। আমরা দুটি অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
এই সিস্টেমের সমাধান হল: $A=-2$, $B=-1$।
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ আমাদের সমস্যার জন্য এইরকম দেখায়: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $।
আমাদের সমস্যার জন্য OR $y=Y+U$ এইরকম দেখায়: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $।
প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি PD অনুসন্ধান করার জন্য, আমরা OP-এর ডেরিভেটিভ $y"$ খুঁজে পাই:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
আমরা $y$ এবং $y"$ এ প্রতিস্থাপন করি $y=6$ এর জন্য $x=0$ এবং $y"=1$ এর জন্য $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
এর সমাধান করা যাক। আমরা ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে $C_(1) $ খুঁজে পাই, এবং $C_(2) $ আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে নির্ধারণ করি:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
এইভাবে, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের PD এর ফর্ম আছে: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $।
এখানে আমরা রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে ল্যাগ্রেঞ্জ ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি প্রয়োগ করব। বিস্তারিত বিবরণনির্বিচারে আদেশের সমীকরণ সমাধানের এই পদ্ধতিটি পৃষ্ঠায় বর্ণিত হয়েছে
Lagrange পদ্ধতি >>> দ্বারা উচ্চ ক্রমগুলির রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান।
উদাহরণ 1
Lagrange ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করে ধ্রুবক সহগ সহ একটি দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন:
(1)
সমাধান
প্রথমে আমরা সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করি:
(2)
এটি একটি দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ.
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান:
.
একাধিক শিকড়: . মৌলিক ব্যবস্থাসমীকরণ (2) এর সমাধানগুলির ফর্ম রয়েছে:
(3)
.
এখান থেকে আমরা সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পাই (2):
(4)
.
ধ্রুবক পরিবর্তনশীল সি 1
এবং সি 2
. অর্থাৎ, আমরা (4) এর মধ্যে ধ্রুবককে ফাংশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করি:
.
আমরা ফর্মটিতে মূল সমীকরণ (1) এর সমাধান খুঁজছি:
(5)
.
ডেরিভেটিভ খোঁজা:
.
চলুন ফাংশন এবং সমীকরণ সংযোগ করা যাক:
(6)
.
তারপর
.
আমরা দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
.
মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন (1):
(1)
;
.
যেহেতু এবং সমজাতীয় সমীকরণ (2) সন্তুষ্ট করে, শেষ তিনটি সারির প্রতিটি কলামের পদগুলির যোগফল শূন্য দেয় এবং পূর্ববর্তী সমীকরণটি রূপ নেয়:
(7)
.
এখানে .
সমীকরণ (6) এর সাথে একসাথে আমরা ফাংশন নির্ধারণের জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই এবং:
(6)
:
(7)
.
সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা
আমরা সমীকরণের সিস্টেম (6-7) সমাধান করি। চলুন ফাংশনের জন্য এক্সপ্রেশন লিখি এবং:
.
আমরা তাদের ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই:
;
.
আমরা ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেম (6-7) সমাধান করি। আমরা সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করি:
.
ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই:
;
.
সুতরাং, আমরা ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেয়েছি:
;
.
আসুন একীভূত করি (শিকড় সংহত করার পদ্ধতি দেখুন)। একটি প্রতিস্থাপন করা
;
;
;
.
.
.
;
.
উত্তর
উদাহরণ 2
Lagrange ধ্রুবকগুলির পরিবর্তনের পদ্ধতি দ্বারা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করুন:
(8)
সমাধান
ধাপ 1. সমজাতীয় সমীকরণ সমাধান করা
আমরা সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করি:
(9)
আমরা ফর্মে একটি সমাধান খুঁজছি। আমরা চরিত্রগত সমীকরণ রচনা করি:
এই সমীকরণের জটিল শিকড় রয়েছে:
.
এই শিকড়গুলির সাথে সম্পর্কিত সমাধানগুলির মৌলিক সিস্টেমের ফর্ম রয়েছে:
(10)
.
সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান (9):
(11)
.
ধাপ 2. ধ্রুবকের ভিন্নতা - ফাংশন দিয়ে ধ্রুবক প্রতিস্থাপন করা
এখন আমরা ধ্রুবক C পরিবর্তন করি 1
এবং সি 2
. অর্থাৎ, আমরা (11) এর মধ্যে ধ্রুবকগুলিকে ফাংশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করি:
.
আমরা ফর্মটিতে মূল সমীকরণ (8) এর সমাধান খুঁজছি:
(12)
.
আরও, সমাধানের অগ্রগতি উদাহরণ 1-এর মতোই। আমরা পৌঁছেছি পরবর্তী সিস্টেমফাংশন নির্ধারণের জন্য সমীকরণ এবং:
(13)
:
(14)
.
এখানে .
সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা
আসুন এই সিস্টেমটি সমাধান করি। চলুন ফাংশনগুলির জন্য এক্সপ্রেশনগুলি লিখি এবং:
.
ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে আমরা খুঁজে পাই:
;
.
আমরা ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেম (13-14) সমাধান করি। সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক:
.
ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই:
;
.
.
যেহেতু, লগারিদম চিহ্নের অধীনে মডুলাস চিহ্নটি বাদ দেওয়া যেতে পারে। লব এবং হর এর দ্বারা গুণ করুন:
.
তারপর
.
মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান:
.
