ক 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ক 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ক 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
সমাধান।কি খোঁজচ্ছেন সাধারণ সিদ্ধান্তসমীকরণ সিস্টেম
ক 1 এক্স 1 + ক 2 এক্স 2 + ক 3 এক্স 3 = Θ
গাউস পদ্ধতি। এটি করার জন্য, আমরা স্থানাঙ্কগুলিতে এই সমজাতীয় সিস্টেমটি লিখি:
সিস্টেম ম্যাট্রিক্স
অনুমোদিত সিস্টেমের ফর্ম আছে: 
(r এ = 2, n= 3)। সিস্টেমটি সহযোগিতামূলক এবং অনিশ্চিত। এর সাধারণ সমাধান ( এক্স 2 - বিনামূল্যে পরিবর্তনশীল): এক্স 3 = 13এক্স 2 ; 3এক্স 1 – 2এক্স 2 – 13এক্স 2 = 0 => এক্স 1 = 5এক্স 2 => এক্স o =। একটি নন-জিরো বিশেষ দ্রবণের উপস্থিতি, উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টরগুলি নির্দেশ করে ক
1 , ক
2 , ক
3
রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
উদাহরণ 2।
কিনা খুঁজে বের করুন এই সিস্টেমরৈখিকভাবে নির্ভরশীল বা রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টর:
1. ক 1 = { -20, -15, - 4 }, ক 2 = { –7, -2, -4 }, ক 3 = { 3, –1, –2 }.
সমাধান।সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেম বিবেচনা করুন ক 1 এক্স 1 + ক 2 এক্স 2 + ক 3 এক্স 3 = Θ
বা প্রসারিত আকারে (স্থানাঙ্ক দ্বারা)
সিস্টেমটি সমজাতীয়। যদি এটি অ-ক্ষয়প্রাপ্ত হয়, তবে এটির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। কখন একজাতীয় সিস্টেম- শূন্য (তুচ্ছ) সমাধান। এর মানে হল এই ক্ষেত্রে ভেক্টর সিস্টেম স্বাধীন। যদি সিস্টেমটি ক্ষয়প্রাপ্ত হয়, তবে এর অ-শূন্য সমাধান রয়েছে এবং তাই এটি নির্ভরশীল।
আমরা অধঃপতনের জন্য সিস্টেম পরীক্ষা করি:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
সিস্টেমটি নন-ডিজেনারেট এবং এইভাবে, ভেক্টর ক 1 , ক 2 , ক 3 রৈখিকভাবে স্বাধীন।
কাজ.ভেক্টরের একটি প্রদত্ত সিস্টেম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল বা রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা তা খুঁজে বের করুন:
1. ক 1 = { -4, 2, 8 }, ক 2 = { 14, -7, -28 }.
2. ক 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ক 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. ক 1 = { -7, 5, 19 }, ক 2 = { -5, 7 , -7 }, ক 3 = { -8, 7, 14 }.
4. ক 1 = { 1, 2, -2 }, ক 2 = { 0, -1, 4 }, ক 3 = { 2, -3, 3 }.
5. ক 1 = { 1, 8 , -1 }, ক 2 = { -2, 3, 3 }, ক 3 = { 4, -11, 9 }.
6. ক 1 = { 1, 2 , 3 }, ক 2 = { 2, -1 , 1 }, ক 3 = { 1, 3, 4 }.
7. ক 1 = {0, 1, 1 , 0}, ক 2 = {1, 1 , 3, 1}, ক 3 = {1, 3, 5, 1}, ক 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. ক 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ক 2 = {2, 3 , 2, 1}, ক 3 = {4, 4, 4, -3}, ক 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. প্রমাণ করুন যে ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে যদি এতে থাকে:
ক) দুটি সমান ভেক্টর;
b) দুটি সমানুপাতিক ভেক্টর।
সংজ্ঞা। ভেক্টরের রৈখিক সংমিশ্রণ a 1, ..., a n সহ সহগ x 1, ..., x n কে ভেক্টর বলা হয়
x 1 a 1 + ... + x n a n।
নগণ্য, যদি সমস্ত সহগ x 1, ..., x n শূন্যের সমান হয়।
সংজ্ঞা। রৈখিক সংমিশ্রণ x 1 a 1 + ... + x n a n বলা হয় অ তুচ্ছ, যদি অন্তত একটি সহগ x 1, ..., x n শূন্যের সমান না হয়।
রৈখিকভাবে স্বাধীন, যদি শূন্য ভেক্টরের সমান এই ভেক্টরগুলির কোন অ-তুচ্ছ সমন্বয় না থাকে।
অর্থাৎ, a 1, ..., a n ভেক্টর রৈখিকভাবে স্বাধীন যদি x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 হয় এবং শুধুমাত্র x 1 = 0, ..., x n = 0 হলে।
সংজ্ঞা। a 1, ..., a n ভেক্টর বলা হয় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, যদি শূন্য ভেক্টরের সমান এই ভেক্টরগুলির একটি অ-তুচ্ছ সমন্বয় থাকে।
রৈখিকভাবে নির্ভরশীল ভেক্টরের বৈশিষ্ট্য:
n-মাত্রিক ভেক্টরের জন্য।
n + 1 ভেক্টর সবসময় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
2 এবং 3 মাত্রিক ভেক্টরের জন্য।
দুই লিনিয়ার নির্ভরশীল ভেক্টর- সমরেখার (কোলিনিয়ার ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।)
3-মাত্রিক ভেক্টরের জন্য।
তিনটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল ভেক্টর কপ্ল্যানার। (তিনটি কপ্ল্যানার ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।)
রৈখিক নির্ভরতা এবং ভেক্টরের রৈখিক স্বাধীনতা সংক্রান্ত সমস্যার উদাহরণ:
উদাহরণ 1. ভেক্টর a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা তা পরীক্ষা করুন .
সমাধান:
ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে, যেহেতু ভেক্টরগুলির মাত্রা ভেক্টরের সংখ্যার চেয়ে কম।
উদাহরণ 2. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা তা পরীক্ষা করুন।
সমাধান:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
প্রথম লাইন থেকে দ্বিতীয় বিয়োগ করুন; তৃতীয় লাইনে একটি দ্বিতীয় লাইন যোগ করুন:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
এই সমাধানটি দেখায় যে সিস্টেমে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে, অর্থাৎ, x 1, x 2, x 3 সংখ্যার মানের একটি অ-শূন্য সমন্বয় রয়েছে যাতে a, b, c ভেক্টরগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ সমান শূন্য ভেক্টর, উদাহরণস্বরূপ:
A + b + c = 0
যার মানে a, b, c ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
উত্তর:ভেক্টর a, b, c রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
উদাহরণ 3. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা তা পরীক্ষা করুন।
সমাধান:আসুন আমরা সহগগুলির মানগুলি খুঁজে বের করি যেখানে এই ভেক্টরগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ শূন্য ভেক্টরের সমান হবে।
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0এই ভেক্টর সমীকরণটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম হিসাবে লেখা যেতে পারে
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
আসুন গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে এই পদ্ধতিটি সমাধান করি
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
দ্বিতীয় লাইন থেকে প্রথম বিয়োগ করুন; তৃতীয় লাইন থেকে প্রথম বিয়োগ করুন:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
প্রথম লাইন থেকে দ্বিতীয় বিয়োগ করুন; তৃতীয় লাইনে একটি সেকেন্ড যোগ করুন।
রৈখিক নির্ভরতা এবং রৈখিক স্বাধীনতাভেক্টর
ভেক্টরের ভিত্তি। Affine সমন্বয় সিস্টেম
অডিটোরিয়ামে চকোলেট সহ একটি কার্ট রয়েছে এবং প্রতিটি দর্শক আজ একটি মিষ্টি দম্পতি পাবেন - রৈখিক বীজগণিত সহ বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি। এই নিবন্ধটি উচ্চতর গণিতের দুটি বিভাগকে একবারে স্পর্শ করবে, এবং আমরা দেখব কিভাবে তারা একটি মোড়কে সহাবস্থান করে। একটি বিরতি নিন, একটি Twix খান! ...অভিশাপ, কি একগুচ্ছ আজেবাজে কথা। যদিও, ঠিক আছে, আমি স্কোর করব না, শেষ পর্যন্ত, আপনার পড়াশোনার প্রতি ইতিবাচক মনোভাব থাকা উচিত।
ভেক্টরের রৈখিক নির্ভরতা, রৈখিক ভেক্টর স্বাধীনতা, ভেক্টরের ভিত্তিএবং অন্যান্য পদগুলির শুধুমাত্র একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যাই নয়, সর্বোপরি, একটি বীজগণিতিক অর্থ রয়েছে। রৈখিক বীজগণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে "ভেক্টর" এর ধারণাটি সর্বদা "সাধারণ" ভেক্টর নয় যা আমরা একটি সমতলে বা মহাকাশে চিত্রিত করতে পারি। প্রমাণের জন্য আপনাকে বেশিদূর তাকাতে হবে না, পাঁচ-মাত্রিক স্থানের ভেক্টর আঁকার চেষ্টা করুন 
. অথবা আবহাওয়া ভেক্টর, যার জন্য আমি শুধু গিসমেটিওতে গিয়েছিলাম: – তাপমাত্রা এবং বায়ুমণ্ডলের চাপযথাক্রমে উদাহরণটি, অবশ্যই, ভেক্টর স্থানের বৈশিষ্ট্যগুলির দৃষ্টিকোণ থেকে ভুল, তবে, তবুও, কেউ এই পরামিতিগুলিকে ভেক্টর হিসাবে আনুষ্ঠানিক করতে নিষেধ করে না। শরতের নিঃশ্বাস...
না, আমি আপনাকে তত্ত্ব, রৈখিক ভেক্টর স্পেস দিয়ে বিরক্ত করতে যাচ্ছি না, কাজটি হল বোঝাসংজ্ঞা এবং উপপাদ্য। নতুন পদগুলি (রৈখিক নির্ভরতা, স্বাধীনতা, রৈখিক সংমিশ্রণ, ভিত্তি, ইত্যাদি) বীজগাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সমস্ত ভেক্টরের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তবে জ্যামিতিক উদাহরণ দেওয়া হবে। সুতরাং, সবকিছু সহজ, অ্যাক্সেসযোগ্য এবং পরিষ্কার। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সমস্যা ছাড়াও, আমরা কিছু সাধারণ বীজগণিত সমস্যাও বিবেচনা করব। উপাদানটি আয়ত্ত করার জন্য, পাঠের সাথে নিজেকে পরিচিত করার পরামর্শ দেওয়া হয় ডামি জন্য ভেক্টরএবং নির্ধারক গণনা কিভাবে?
সমতল ভেক্টরের রৈখিক নির্ভরতা এবং স্বাধীনতা।
সমতল ভিত্তি এবং affine সমন্বয় সিস্টেম
আসুন আপনার কম্পিউটার ডেস্কের সমতল বিবেচনা করা যাক (শুধু একটি টেবিল, বেডসাইড টেবিল, মেঝে, ছাদ, যা আপনি চান)। কাজ হবে পরবর্তী পদক্ষেপ:
1) সমতল ভিত্তিতে নির্বাচন করুন. মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, একটি টেবিলটপের একটি দৈর্ঘ্য এবং একটি প্রস্থ থাকে, তাই এটি স্বজ্ঞাত যে ভিত্তিটি তৈরি করতে দুটি ভেক্টরের প্রয়োজন হবে। একটি ভেক্টর স্পষ্টতই যথেষ্ট নয়, তিনটি ভেক্টর অনেক বেশি।
2) নির্বাচিত ভিত্তিতে উপর ভিত্তি করে সমন্বয় সিস্টেম সেট করুন(সমন্বয় গ্রিড) টেবিলের সমস্ত বস্তুর স্থানাঙ্ক বরাদ্দ করতে।
অবাক হবেন না, প্রথমে ব্যাখ্যা আঙ্গুলের উপর হবে। তাছাড়া, আপনার উপর. দয়া করে বসান তর্জনীবাম হাতটেবিলটপের প্রান্তে যাতে সে মনিটরের দিকে তাকায়। এটি একটি ভেক্টর হবে। এখন জায়গা কনিষ্ট আঙ্গুল ডান হাত
টেবিলের প্রান্তে একইভাবে - যাতে এটি মনিটরের পর্দায় নির্দেশিত হয়। এটি একটি ভেক্টর হবে। হাসুন, আপনাকে দুর্দান্ত দেখাচ্ছে! আমরা ভেক্টর সম্পর্কে কি বলতে পারি? ডেটা ভেক্টর সমরেখা, যার অর্থ রৈখিকএকে অপরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়:
, ভাল, বা তদ্বিপরীত: , যেখানে কিছু সংখ্যা শূন্য থেকে আলাদা।
আপনি ক্লাসে এই কর্মের একটি ছবি দেখতে পারেন। ডামি জন্য ভেক্টর, যেখানে আমি একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার নিয়ম ব্যাখ্যা করেছি।
আপনার আঙ্গুলগুলি কি কম্পিউটার ডেস্কের সমতলে ভিত্তি স্থাপন করবে? অবশ্যই না. কলিনিয়ার ভেক্টরগুলি সামনে পিছনে ভ্রমণ করে একাদিক, এবং একটি সমতল দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ আছে।
এই ধরনের ভেক্টর বলা হয় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল.
তথ্যসূত্র: "রৈখিক", "রৈখিক" শব্দগুলি এই সত্যটিকে বোঝায় যে গাণিতিক সমীকরণ এবং অভিব্যক্তিতে কোনও বর্গ, ঘনক, অন্যান্য শক্তি, লগারিদম, সাইন ইত্যাদি নেই। শুধুমাত্র রৈখিক (1ম ডিগ্রী) অভিব্যক্তি এবং নির্ভরতা আছে।
দুটি সমতল ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীলযদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সমান্তরাল হয়.
টেবিলের উপর আপনার আঙ্গুলগুলি ক্রস করুন যাতে তাদের মধ্যে 0 বা 180 ডিগ্রি ছাড়া অন্য কোন কোণ থাকে। দুটি সমতল ভেক্টররৈখিক নানির্ভরশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সমান্তরাল না হয়. সুতরাং, ভিত্তি প্রাপ্ত হয়. বিব্রত হওয়ার দরকার নেই যে ভিত্তিটি বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের অ-লম্ব ভেক্টরের সাথে "তরল" হয়ে উঠেছে। খুব শীঘ্রই আমরা দেখতে পাব যে এটির নির্মাণের জন্য শুধুমাত্র 90 ডিগ্রি কোণই উপযুক্ত নয়, এবং সমান দৈর্ঘ্যের একক ভেক্টরই নয়।
যে কোনসমতল ভেক্টর একমাত্র পথভিত্তি অনুযায়ী প্রসারিত হয়: 
, বাস্তব সংখ্যা কোথায়। নম্বরগুলো বলা হয় ভেক্টর স্থানাঙ্কএই ভিত্তিতে।
এটাও বলা হয় ভেক্টরহিসাবে উপস্থাপিত রৈখিক সংমিশ্রণভিত্তি ভেক্টর. অর্থাৎ অভিব্যক্তি বলা হয় ভেক্টর পচনভিত্তিতেবা রৈখিক সংমিশ্রণভিত্তি ভেক্টর।
উদাহরণস্বরূপ, আমরা বলতে পারি যে ভেক্টরটি সমতলের অর্থনর্মাল ভিত্তিতে পচে গেছে, বা আমরা বলতে পারি যে এটি ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছে।
আসুন প্রণয়ন করি ভিত্তির সংজ্ঞাআনুষ্ঠানিকভাবে: বিমানের ভিত্তিরৈখিকভাবে স্বাধীন (নন-কোলিনিয়ার) ভেক্টরের জোড়া বলা হয়, , যেখানে যেকোনোএকটি সমতল ভেক্টর হল ভিত্তি ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।
সংজ্ঞার একটি অপরিহার্য বিষয় হল ভেক্টর নেওয়া হয় একটি নির্দিষ্ট ক্রমে. ঘাঁটি 
- এই দুটি সম্পূর্ণ ভিন্ন ঘাঁটি! যেমন তারা বলে, আপনি আপনার ডান হাতের ছোট আঙুলের জায়গায় আপনার বাম হাতের কনিষ্ঠ আঙুল প্রতিস্থাপন করতে পারবেন না।
আমরা ভিত্তিটি বের করেছি, কিন্তু আপনার কম্পিউটার ডেস্কের প্রতিটি আইটেমের জন্য একটি স্থানাঙ্ক গ্রিড সেট করা এবং স্থানাঙ্ক বরাদ্দ করা যথেষ্ট নয়। কেন এটা যথেষ্ট নয়? ভেক্টর মুক্ত এবং সমগ্র সমতল জুড়ে বিচরণ করে। তাহলে আপনি কিভাবে একটি বন্য উইকএন্ড থেকে অবশিষ্ট টেবিলের সেই ছোট নোংরা দাগের জন্য স্থানাঙ্ক বরাদ্দ করবেন? একটি শুরু বিন্দু প্রয়োজন. এবং এই জাতীয় ল্যান্ডমার্ক প্রত্যেকের কাছে পরিচিত একটি বিন্দু - স্থানাঙ্কের উত্স। আসুন স্থানাঙ্ক সিস্টেমটি বুঝতে পারি:
আমি "স্কুল" সিস্টেম দিয়ে শুরু করব। ইতিমধ্যেই সূচনা পাঠে ডামি জন্য ভেক্টরআমি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম এবং অর্থনর্মাল ভিত্তির মধ্যে কিছু পার্থক্য তুলে ধরেছি। এখানে স্ট্যান্ডার্ড ছবি:
যখন তারা কথা বলে আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় সিস্টেম, তারপর প্রায়শই তারা উৎপত্তি বোঝায়, অক্ষের সমন্বয় এবং অক্ষ বরাবর স্কেল। একটি সার্চ ইঞ্জিনে "আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম" টাইপ করার চেষ্টা করুন, এবং আপনি দেখতে পাবেন যে অনেক উত্স আপনাকে 5ম-6ম গ্রেড থেকে পরিচিত স্থানাঙ্ক অক্ষ সম্পর্কে এবং একটি সমতলে পয়েন্টগুলি কীভাবে প্লট করতে হয় সে সম্পর্কে বলবে৷
অন্যদিকে, এটা মনে হয় যে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমকে একটি অর্থনরমাল ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এবং যে প্রায় সত্য. শব্দটি নিম্নরূপ:
মূল, এবং অর্থনর্মালভিত্তি সেট করা হয় কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার সমতল স্থানাঙ্ক সিস্টেম . অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা স্পষ্টভাবেএকটি একক বিন্দু এবং দুটি একক অর্থোগোনাল ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই কারণেই আমি উপরে যে অঙ্কনটি দিয়েছি তা আপনি দেখতে পাচ্ছেন - জ্যামিতিক সমস্যাগুলিতে, উভয় ভেক্টর এবং স্থানাঙ্ক অক্ষ প্রায়শই আঁকা হয় (কিন্তু সর্বদা নয়)।
আমি মনে করি সবাই বুঝতে পারে যে একটি বিন্দু (উৎস) এবং একটি অর্থনর্মাল ভিত্তি ব্যবহার করে প্লেনে যেকোনো পয়েন্ট এবং প্লেনে যেকোনো ভেক্টরস্থানাঙ্ক বরাদ্দ করা যেতে পারে। রূপকভাবে বলতে গেলে, "একটি সমতলের সবকিছুই সংখ্যায়িত হতে পারে।"
সমন্বয় ভেক্টর কি একক হতে হবে? না, তাদের একটি নির্বিচারে অ-শূন্য দৈর্ঘ্য থাকতে পারে। নির্বিচারে অ-শূন্য দৈর্ঘ্যের একটি বিন্দু এবং দুটি অর্থোগোনাল ভেক্টর বিবেচনা করুন:
যেমন একটি ভিত্তি বলা হয় অর্থোগোনাল. ভেক্টরগুলির সাথে স্থানাঙ্কগুলির উত্স একটি স্থানাঙ্ক গ্রিড দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং সমতলের যে কোনও বিন্দু, যে কোনও ভেক্টরের একটি নির্দিষ্ট ভিত্তিতে এর স্থানাঙ্ক রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, বা. সুস্পষ্ট অসুবিধা হল যে স্থানাঙ্ক ভেক্টর ভি সাধারণ ক্ষেত্রে
ঐক্য ছাড়া ভিন্ন ভিন্ন দৈর্ঘ্য আছে। যদি দৈর্ঘ্য একতার সমান হয়, তাহলে স্বাভাবিক অর্থনর্মাল ভিত্তি পাওয়া যায়।
! বিঃদ্রঃ : অর্থোগোনাল ভিত্তিতে, পাশাপাশি নীচে সমতল এবং স্থানের অ্যাফাইন বেসে, অক্ষ বরাবর একক বিবেচনা করা হয় শর্তসাপেক্ষ. উদাহরণস্বরূপ, x-অক্ষ বরাবর একটি ইউনিট 4 সেমি, এবং অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর একটি ইউনিট 2 সেমি ধারণ করে। এই তথ্যটি প্রয়োজন হলে, "অ-মানক" স্থানাঙ্কগুলিকে "আমাদের স্বাভাবিক সেন্টিমিটারে" রূপান্তর করার জন্য যথেষ্ট।
এবং দ্বিতীয় প্রশ্ন, যা আসলে ইতিমধ্যে উত্তর দেওয়া হয়েছে, ভিত্তি ভেক্টর মধ্যে কোণ 90 ডিগ্রী সমান হতে হবে কিনা? না! সংজ্ঞা হিসাবে বলা হয়েছে, ভিত্তি ভেক্টর হতে হবে শুধুমাত্র নন-সমলিনিয়ার. তদনুসারে, কোণটি 0 এবং 180 ডিগ্রী ছাড়া অন্য কিছু হতে পারে।
প্লেনে একটা বিন্দু ডাকল মূল, এবং নন-কোলিনিয়ারভেক্টর, , সেট affine সমতল সমন্বয় সিস্টেম :
কখনও কখনও যেমন একটি সমন্বয় সিস্টেম বলা হয় তির্যকপদ্ধতি. উদাহরণ হিসাবে, অঙ্কন পয়েন্ট এবং ভেক্টর দেখায়: 
আপনি যেমন বুঝতে পেরেছেন, অ্যাফাইন কোঅর্ডিনেট সিস্টেমটি আরও কম সুবিধাজনক; ভেক্টর এবং সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সূত্র, যা আমরা পাঠের দ্বিতীয় অংশে আলোচনা করেছি, এতে কাজ করে না ডামি জন্য ভেক্টর, অনেক সুস্বাদু সূত্র সম্পর্কিত ভেক্টরের স্কেলার গুণফল. কিন্তু ভেক্টর যোগ করার নিয়ম এবং একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার নিয়ম, এই সম্পর্কের একটি অংশকে ভাগ করার সূত্র এবং সেইসাথে আরও কিছু ধরণের সমস্যা যা আমরা শীঘ্রই বিবেচনা করব তা বৈধ।
এবং উপসংহার হল যে একটি অ্যাফাইন স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সবচেয়ে সুবিধাজনক বিশেষ ক্ষেত্রে কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার সিস্টেম। এই কারণেই আপনাকে প্রায়শই তাকে দেখতে হবে, আমার প্রিয়জন। ...তবে, এই জীবনের সবকিছুই আপেক্ষিক - এমন অনেক পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে একটি তির্যক কোণ (বা অন্য কোন একটি, উদাহরণস্বরূপ, পোলার) তুল্য সিস্টেম. এবং হিউম্যানয়েডগুলি এই ধরনের সিস্টেম পছন্দ করতে পারে =)
চলুন ব্যবহারিক অংশে যাওয়া যাক। এই পাঠের সমস্ত সমস্যা আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম এবং সাধারণ অ্যাফাইন ক্ষেত্রে উভয়ের জন্যই বৈধ। এখানে জটিল কিছু নেই; সমস্ত উপাদান এমনকি একটি স্কুলছাত্রের কাছেও অ্যাক্সেসযোগ্য।
সমতল ভেক্টরের সমসাময়িকতা কীভাবে নির্ধারণ করবেন?
সাধারণ জিনিস। দুটি সমতল ভেক্টরের জন্য 
সমরেখার ছিল, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে তাদের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক হবেমূলত, এটি সুস্পষ্ট সম্পর্কের বিশদ বিবরণ একটি সমন্বয়-দ্বারা-সমন্বয়।
উদাহরণ 1
ক) ভেক্টর সমরেখার কিনা তা পরীক্ষা করুন 
.
খ) ভেক্টর কি একটি ভিত্তি তৈরি করে? 
?
সমাধান:
ক) ভেক্টর আছে কিনা তা খুঁজে বের করা যাক 
সমানুপাতিক সহগ, যেমন সমতা সন্তুষ্ট হয়: 
আমি অবশ্যই আপনাকে "ফপপিশ" ধরণের অ্যাপ্লিকেশন সম্পর্কে বলব এই নিয়মের, যা অনুশীলনে বেশ ভাল কাজ করে। ধারণাটি অবিলম্বে অনুপাত তৈরি করা এবং এটি সঠিক কিনা তা দেখুন:
আসুন ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির অনুপাত থেকে একটি অনুপাত তৈরি করি:
আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক:
, এইভাবে সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক, তাই,
সম্পর্কটি অন্যভাবে তৈরি করা যেতে পারে; এটি একটি সমতুল্য বিকল্প:
স্ব-পরীক্ষার জন্য, আপনি এই সত্যটি ব্যবহার করতে পারেন যে সমরেখার ভেক্টরগুলি একে অপরের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়। ভিতরে এক্ষেত্রেসমতা আছে 
. ভেক্টর সহ প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপগুলির মাধ্যমে তাদের বৈধতা সহজেই যাচাই করা যেতে পারে: 
খ) দুটি সমতল ভেক্টর একটি ভিত্তি তৈরি করে যদি তারা সমরেখা (রৈখিকভাবে স্বাধীন) না হয়। আমরা সমকোনতার জন্য ভেক্টর পরীক্ষা করি 
. আসুন একটি সিস্টেম তৈরি করি: 
প্রথম সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে, দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে, যার অর্থ সিস্টেম অসঙ্গত(কোন সমাধান নেই)। সুতরাং, ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক নয়।
উপসংহার: ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং একটি ভিত্তি তৈরি করে।
সমাধানের একটি সরলীকৃত সংস্করণ এই মত দেখায়:
আসুন ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি থেকে একটি অনুপাত তৈরি করি 
:
, যার মানে এই ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং একটি ভিত্তি তৈরি করে।
সাধারণত এই বিকল্পটি পর্যালোচকদের দ্বারা প্রত্যাখ্যান করা হয় না, তবে কিছু স্থানাঙ্ক শূন্যের সমান হলে একটি সমস্যা দেখা দেয়। এটার মত: 
. অথবা এই মত: 
. অথবা এই মত: 
. এখানে অনুপাতের মাধ্যমে কিভাবে কাজ করবেন? (প্রকৃতপক্ষে, আপনি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না)। এই কারণেই আমি সরলীকৃত সমাধানটিকে "ফপিশ" বলেছি।
উত্তর:ক) , খ) ফর্ম।
জন্য একটি সামান্য সৃজনশীল উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত:
উদাহরণ 2
প্যারামিটারের কোন মান ভেক্টর আছে 
তারা সমরেখার হবে?
নমুনা সমাধানে, অনুপাতের মাধ্যমে পরামিতি পাওয়া যায়।
সমনৈখিকতার জন্য ভেক্টর পরীক্ষা করার একটি মার্জিত বীজগণিত উপায় রয়েছে। আসুন আমাদের জ্ঞানকে পদ্ধতিগতভাবে সাজাই এবং পঞ্চম পয়েন্ট হিসাবে যোগ করি:
দুটি সমতল ভেক্টরের জন্য নিম্নলিখিত বিবৃতি সমতুল্য:
2) ভেক্টর একটি ভিত্তি গঠন করে;
3) ভেক্টর সমরেখার নয়;
+ 5) এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত নির্ধারকটি অশূন্য.
যথাক্রমে, নিম্নলিখিত বিপরীত বিবৃতি সমতুল্য:
1) ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল;
2) ভেক্টর একটি ভিত্তি গঠন করে না;
3) ভেক্টর সমরেখাযুক্ত;
4) ভেক্টর একে অপরের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে;
+ 5) এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত নির্ধারকটি শূন্যের সমান.
আমি সত্যিই, সত্যিই আশা করি যে এই মুহূর্তেআপনি ইতিমধ্যেই আপনার সামনে আসা সমস্ত শর্তাবলী এবং বিবৃতি বুঝতে পেরেছেন।
আসুন নতুন, পঞ্চম পয়েন্টটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক: দুটি সমতল ভেক্টর 
যদি প্রদত্ত ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত নির্ধারকটি শূন্যের সমান হয় তবেই এবং শুধুমাত্র তখনই সমরৈখিক হয়:. ব্যবহারের জন্য এই বৈশিষ্ট্যেরস্বাভাবিকভাবেই, আপনাকে সক্ষম হতে হবে নির্ধারক খুঁজুন.
সিদ্ধান্ত নেওয়া যাকদ্বিতীয় উপায়ে উদাহরণ 1:
ক) আসুন ভেক্টরের স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করি 
:
, যার মানে এই ভেক্টর সমরেখার।
খ) দুটি সমতল ভেক্টর একটি ভিত্তি তৈরি করে যদি তারা সমরেখা (রৈখিকভাবে স্বাধীন) না হয়। ভেক্টর স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করা যাক 
:
, যার মানে ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং একটি ভিত্তি তৈরি করে।
উত্তর:ক) , খ) ফর্ম।
এটি অনুপাত সহ একটি সমাধানের চেয়ে অনেক বেশি কম্প্যাক্ট এবং সুন্দর দেখায়।
বিবেচিত উপাদানের সাহায্যে, কেবল ভেক্টরের সমন্বিততাই নয়, অংশ এবং সরলরেখার সমান্তরালতাও প্রমাণ করা সম্ভব। আসুন নির্দিষ্ট জ্যামিতিক আকারের সাথে কয়েকটি সমস্যা বিবেচনা করি।
উদাহরণ 3
চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু দেওয়া আছে। প্রমাণ করুন যে একটি চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম।
প্রমাণ: সমস্যাটিতে একটি অঙ্কন তৈরি করার দরকার নেই, যেহেতু সমাধানটি সম্পূর্ণরূপে বিশ্লেষণাত্মক হবে। আসুন একটি সমান্তরালগ্রামের সংজ্ঞাটি মনে রাখা যাক:
সমান্তরাল বৃত্ত
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো জোড়ায় সমান্তরাল তাকে বলে।
সুতরাং, এটি প্রমাণ করা প্রয়োজন:
1) বিপরীত পক্ষের সমান্তরালতা এবং;
2) বিপরীত বাহুর সমান্তরালতা এবং।
আমরা প্রমাণ করি:
1) ভেক্টর খুঁজুন: 
2) ভেক্টর খুঁজুন: 
ফলাফল একই ভেক্টর ("স্কুল অনুযায়ী" - সমান ভেক্টর)। সমন্বিততা বেশ সুস্পষ্ট, তবে ব্যবস্থার সাথে স্পষ্টভাবে সিদ্ধান্তটি আনুষ্ঠানিক করা ভাল। আসুন ভেক্টর স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করি: 
, যার মানে এই ভেক্টর সমরেখার, এবং .
উপসংহার: একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু জোড়ায় সমান্তরাল, যার অর্থ সংজ্ঞা অনুসারে এটি একটি সমান্তরালগ্রাম। Q.E.D.
আরও ভাল এবং ভিন্ন পরিসংখ্যান:
উদাহরণ 4
চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু দেওয়া আছে। প্রমাণ করুন যে একটি চতুর্ভুজ একটি ট্র্যাপিজয়েড।
প্রমাণের আরও কঠোর প্রণয়নের জন্য, অবশ্যই, ট্র্যাপিজয়েডের সংজ্ঞা পাওয়া ভাল, তবে এটি দেখতে কেমন তা কেবল মনে রাখাই যথেষ্ট।
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি কাজ। সম্পূর্ণ সমাধানপাঠ শেষে
এবং এখন প্লেন থেকে ধীরে ধীরে মহাকাশে যাওয়ার সময় এসেছে:
কিভাবে স্পেস ভেক্টরের সমন্বিততা নির্ধারণ করবেন?
নিয়ম খুব অনুরূপ। দুটি স্পেস ভেক্টর সমরেখার হওয়ার জন্য, তাদের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক হওয়া আবশ্যক এবং যথেষ্ট.
উদাহরণ 5
নিম্নলিখিত স্পেস ভেক্টরগুলি সমরেখার কিনা তা সন্ধান করুন:
ক) ;
খ)
ভি) 
সমাধান:
ক) ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির জন্য আনুপাতিকতার একটি সহগ আছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক:
সিস্টেমের কোন সমাধান নেই, যার মানে ভেক্টর সমরেখার নয়।
অনুপাত পরীক্ষা করে "সরলীকৃত" আনুষ্ঠানিক করা হয়। এক্ষেত্রে:
- সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক নয়, যার মানে ভেক্টরগুলি সমরেখার নয়।
উত্তর:ভেক্টর সমরেখার নয়।
b-c) এগুলি স্বাধীন সিদ্ধান্তের জন্য পয়েন্ট। এটি দুটি উপায়ে চেষ্টা করুন।
তৃতীয়-ক্রম নির্ধারকের মাধ্যমে সমনক্ষতির জন্য স্থানিক ভেক্টর পরীক্ষা করার একটি পদ্ধতি রয়েছে, এই পদ্ধতিনিবন্ধে আচ্ছাদিত ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল.
প্লেন কেসের মতো, বিবেচিত সরঞ্জামগুলি স্থানিক অংশ এবং সরলরেখাগুলির সমান্তরালতা অধ্যয়ন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
দ্বিতীয় বিভাগে স্বাগতম:
ত্রিমাত্রিক স্থানের ভেক্টরের রৈখিক নির্ভরতা এবং স্বাধীনতা।
স্থানিক ভিত্তি এবং affine সমন্বয় সিস্টেম
প্লেনে আমরা যে নিদর্শনগুলি পরীক্ষা করেছি তার অনেকগুলি স্থানের জন্য বৈধ হবে। আমি তত্ত্ব নোট ছোট করার চেষ্টা করেছি কারণ সিংহ ভাগতথ্য ইতিমধ্যে চিবানো হয়েছে. যাইহোক, আমি সুপারিশ করছি যে আপনি সূচনা অংশটি মনোযোগ সহকারে পড়ুন, কারণ নতুন শর্তাবলী এবং ধারণাগুলি উপস্থিত হবে।
এখন, কম্পিউটার ডেস্কের প্লেনের পরিবর্তে, আমরা ত্রিমাত্রিক স্থান অন্বেষণ করি। প্রথমত, এর ভিত্তি তৈরি করা যাক। কেউ এখন বাড়ির ভিতরে, কেউ বাইরে, কিন্তু যে কোনও ক্ষেত্রে, আমরা তিনটি মাত্রা এড়াতে পারি না: প্রস্থ, দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা। অতএব, একটি ভিত্তি তৈরি করতে, তিনটি স্থানিক ভেক্টরের প্রয়োজন হবে। এক বা দুটি ভেক্টর যথেষ্ট নয়, চতুর্থটি অতিরিক্ত।
এবং আবার আমরা আমাদের আঙ্গুলের উপর উষ্ণ আপ। অনুগ্রহ করে আপনার হাত উপরে তুলুন এবং বিভিন্ন দিকে ছড়িয়ে দিন থাম্ব, সূচক এবং মধ্যমা . এগুলি ভেক্টর হবে, তারা বিভিন্ন দিকে তাকায়, বিভিন্ন দৈর্ঘ্য এবং নিজেদের মধ্যে বিভিন্ন কোণ রয়েছে। অভিনন্দন, ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি প্রস্তুত! যাইহোক, শিক্ষকদের কাছে এটি প্রদর্শন করার দরকার নেই, আপনি আপনার আঙ্গুলগুলি যতই শক্ত করুন না কেন, তবে সংজ্ঞা থেকে রেহাই নেই =)
পরবর্তী, এর জিজ্ঞাসা করা যাক গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, যে কোনো তিনটি ভেক্টর একটি ভিত্তি তৈরি করুন ত্রিমাত্রিক স্থান ? অনুগ্রহ করে কম্পিউটার ডেস্কের উপরের দিকে তিনটি আঙ্গুল দৃঢ়ভাবে টিপুন। কি হলো? তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থিত, এবং মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, আমরা একটি মাত্রা হারিয়েছি - উচ্চতা। এই ধরনের ভেক্টর হয় কপ্ল্যানারএবং, এটা বেশ স্পষ্ট যে ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করা হয়নি।
এটি লক্ষ করা উচিত যে কপ্ল্যানার ভেক্টরগুলিকে একই সমতলে শুতে হবে না, তারা সমান্তরাল সমতলে থাকতে পারে (শুধু আপনার আঙ্গুল দিয়ে এটি করবেন না, শুধুমাত্র সালভাদর ডালি এটি করেছেন =))।
সংজ্ঞা: ভেক্টর বলা হয় কপ্ল্যানার, যদি একটি সমতল থাকে যার সাথে তারা সমান্তরাল হয়। এখানে যোগ করা যৌক্তিক যে যদি এই জাতীয় সমতল না থাকে তবে ভেক্টরগুলি কপ্ল্যানার হবে না।
তিনটি কপ্ল্যানার ভেক্টর সবসময় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, অর্থাৎ, তারা একে অপরের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়। সরলতার জন্য, আসুন আমরা আবার কল্পনা করি যে তারা একই সমতলে শুয়ে আছে। প্রথমত, ভেক্টরগুলি কেবল কপ্ল্যানার নয়, তারা সমতলীয়ও হতে পারে, তারপর যে কোনও ভেক্টরকে যে কোনও ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, যদি, উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টর সমরেখার না হয়, তাহলে তৃতীয় ভেক্টর তাদের মাধ্যমে একটি অনন্য উপায়ে প্রকাশ করা হয়: 
(এবং কেন পূর্ববর্তী বিভাগে উপকরণ থেকে অনুমান করা সহজ)।
কথোপকথনটিও সত্য: তিনটি নন-কপ্লানার ভেক্টর সবসময় রৈখিকভাবে স্বাধীন, অর্থাৎ, তারা একে অপরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় না। এবং, স্পষ্টতই, শুধুমাত্র এই ধরনের ভেক্টর ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করতে পারে।
সংজ্ঞা: ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তিরৈখিকভাবে স্বাধীন (নন-কপ্ল্যানার) ভেক্টরের ট্রিপল বলা হয়, একটি নির্দিষ্ট ক্রমে নেওয়া, এবং স্থানের যেকোনো ভেক্টর একমাত্র পথএকটি প্রদত্ত ভিত্তিতে পচে যায়, এই ভিত্তিতে ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি কোথায় থাকে
আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আমরা এটাও বলতে পারি যে ভেক্টরটি আকারে উপস্থাপন করা হয় রৈখিক সংমিশ্রণভিত্তি ভেক্টর।
একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের ধারণাটি প্লেন কেসের মতো ঠিক একইভাবে প্রবর্তন করা হয়েছে; একটি বিন্দু এবং যেকোনো তিনটি রৈখিক স্বাধীন ভেক্টর যথেষ্ট:
মূল, এবং নন-কপ্লানারভেক্টর, একটি নির্দিষ্ট ক্রমে নেওয়া, সেট ত্রিমাত্রিক স্থানের অ্যাফাইন সমন্বয় ব্যবস্থা
:
অবশ্যই, স্থানাঙ্ক গ্রিড "তির্যক" এবং অসুবিধাজনক, কিন্তু, তবুও, নির্মিত স্থানাঙ্ক সিস্টেম আমাদের অনুমতি দেয় স্পষ্টভাবেযেকোনো ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং মহাকাশের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন। একটি সমতলের মতো, কিছু সূত্র যা আমি ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি স্থানের অ্যাফাইন সমন্বয় ব্যবস্থায় কাজ করবে না।
একটি অ্যাফাইন কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের সবচেয়ে পরিচিত এবং সুবিধাজনক বিশেষ ক্ষেত্রে, যেমনটি সবাই অনুমান করে, আয়তক্ষেত্রাকার স্থান সমন্বয় সিস্টেম:
মহাকাশে একটি বিন্দু বলা হয় মূল, এবং অর্থনর্মালভিত্তি সেট করা হয় কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থান সমন্বয় সিস্টেম
. পরিচিত ছবি: 
ব্যবহারিক কাজগুলিতে যাওয়ার আগে, আসুন আবার তথ্যগুলিকে সুবিন্যস্ত করা যাক:
তিনটি স্থান ভেক্টরের জন্য নিম্নলিখিত বিবৃতি সমতুল্য:
1) ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন;
2) ভেক্টর একটি ভিত্তি গঠন করে;
3) ভেক্টর কপ্ল্যানার নয়;
4) ভেক্টর একে অপরের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা যায় না;
5) নির্ধারক, এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত, শূন্য থেকে আলাদা।
আমি মনে করি বিপরীত বিবৃতি বোধগম্য।
স্পেস ভেক্টরের রৈখিক নির্ভরতা/স্বাধীনতা ঐতিহ্যগতভাবে একটি নির্ধারক (পয়েন্ট 5) ব্যবহার করে পরীক্ষা করা হয়। অবশিষ্ট ব্যবহারিক কাজএকটি উচ্চারিত বীজগণিতীয় অক্ষর থাকবে। জ্যামিতি স্টিকটি ঝুলিয়ে লিনিয়ার বীজগণিতের বেসবল ব্যাট চালানোর সময় এসেছে:
স্থানের তিনটি ভেক্টরপ্রদত্ত ভেক্টরের স্থানাঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত নির্ধারকটি শূন্যের সমান হলে এবং শুধুমাত্র তাহলেই কপ্ল্যানার হয়: 
.
আমি একটি ছোট আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ প্রযুক্তিগত সূক্ষ্মতা: ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি কেবল কলামেই নয়, সারিগুলিতেও লেখা যেতে পারে (এ থেকে নির্ধারকের মান পরিবর্তন হবে না - নির্ধারকগুলির বৈশিষ্ট্য দেখুন)। তবে এটি কলামগুলিতে অনেক ভাল, যেহেতু এটি কিছু ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য আরও উপকারী।
সেই পাঠকদের জন্য যারা নির্ধারক গণনা করার পদ্ধতিগুলি কিছুটা ভুলে গেছেন, বা সম্ভবত সেগুলি সম্পর্কে খুব কমই বুঝতে পেরেছেন, আমি আমার প্রাচীনতম পাঠগুলির একটি সুপারিশ করছি: নির্ধারক গণনা কিভাবে?
উদাহরণ 6
নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলি ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করে কিনা তা পরীক্ষা করুন:
সমাধান: প্রকৃতপক্ষে, সম্পূর্ণ সমাধান নির্ধারক গণনার জন্য নেমে আসে।
ক) আসুন ভেক্টর স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করি (নির্ধারকটি প্রথম লাইনে প্রকাশ করা হয়েছে): 
, যার মানে ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন (কপ্ল্যানার নয়) এবং ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করে।
উত্তর: এই ভেক্টর একটি ভিত্তি গঠন করে
খ) এটি স্বাধীন সিদ্ধান্তের জন্য একটি বিন্দু। পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।
এছাড়াও সৃজনশীল কাজ আছে:
উদাহরণ 7
প্যারামিটারের কোন মান দিয়ে ভেক্টরগুলো কপ্ল্যানার হবে?
সমাধান: ভেক্টরগুলি কপ্ল্যানার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির দ্বারা গঠিত নির্ধারক শূন্যের সমান হয়: 
মূলত, আপনাকে একটি নির্ধারকের সাথে একটি সমীকরণ সমাধান করতে হবে। আমরা জারবোসের ঘুড়ির মতো শূন্যের উপর ঝাঁপিয়ে পড়ি - দ্বিতীয় লাইনে নির্ধারকটি খোলা এবং অবিলম্বে বিয়োগগুলি থেকে মুক্তি পাওয়া ভাল: 
আমরা আরও সরলীকরণ করি এবং বিষয়টিকে সহজে কমিয়ে দিই একঘাত সমীকরণ:
উত্তর: এ
এখানে চেক করা সহজ; এটি করার জন্য, আপনাকে মূল নির্ধারকের সাথে ফলাফলের মান প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং নিশ্চিত করতে হবে যে 
, আবার খুলছি।
উপসংহারে, আসুন আরও একটি তাকান সাধারণ কাজ, যা প্রকৃতিতে আরও বীজগণিতীয় এবং ঐতিহ্যগতভাবে রৈখিক বীজগণিতের কোর্সে অন্তর্ভুক্ত। এটি এত সাধারণ যে এটি তার নিজস্ব বিষয় প্রাপ্য:
প্রমাণ করুন যে 3টি ভেক্টর ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করে
এবং এই ভিত্তিতে 4র্থ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন
উদাহরণ 8
ভেক্টর দেওয়া হয়। দেখান যে ভেক্টরগুলি ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি ভিত্তি তৈরি করে এবং এই ভিত্তিতে ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করে।
সমাধান: প্রথমত, শর্ত মোকাবেলা করা যাক. শর্ত অনুসারে, চারটি ভেক্টর দেওয়া হয়েছে, এবং আপনি দেখতে পাচ্ছেন, তাদের ইতিমধ্যেই কিছু ভিত্তিতে স্থানাঙ্ক রয়েছে। এই ভিত্তি কি আমাদের আগ্রহের নয়. এবং নিম্নলিখিত বিষয়গুলি আগ্রহের বিষয়: তিনটি ভেক্টর একটি নতুন ভিত্তি তৈরি করতে পারে। এবং প্রথম পর্যায়টি উদাহরণ 6 এর সমাধানের সাথে সম্পূর্ণভাবে মিলে যায়; ভেক্টরগুলি সত্যিই রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা তা পরীক্ষা করা প্রয়োজন:
আসুন ভেক্টর স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করি: 
, যার অর্থ হল ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করে।
! গুরুত্বপূর্ণ : ভেক্টর স্থানাঙ্ক অগত্যালেখ কলামেনির্ধারক, স্ট্রিং-এ নয়। অন্যথায়, পরবর্তী সমাধান অ্যালগরিদমে বিভ্রান্তি থাকবে।
আমাদের দ্বারা প্রবর্তিত ভেক্টরে রৈখিক ক্রিয়াকলাপএর জন্য বিভিন্ন অভিব্যক্তি তৈরি করা সম্ভব করুন ভেক্টর পরিমাণএবং এই অপারেশনগুলির জন্য সেট করা বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে তাদের রূপান্তর করুন।
একটি 1, ..., a n ভেক্টরের একটি প্রদত্ত সেটের উপর ভিত্তি করে, আপনি ফর্মের একটি অভিব্যক্তি তৈরি করতে পারেন
যেখানে একটি 1, ..., এবং n নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা। এই অভিব্যক্তি বলা হয় ভেক্টরের রৈখিক সংমিশ্রণএকটি 1, ..., একটি এন। সংখ্যা α i, i = 1, n, প্রতিনিধিত্ব করে রৈখিক সমন্বয় সহগ. ভেক্টরের একটি সেটও বলা হয় ভেক্টর সিস্টেম.
ভেক্টরের একটি রৈখিক সংমিশ্রণের প্রবর্তিত ধারণার সাথে সংযোগে, একটি 1, ..., একটি n ভেক্টরের একটি প্রদত্ত সিস্টেমের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে এমন একটি ভেক্টরের সেট বর্ণনা করতে সমস্যা দেখা দেয়। উপরন্তু, যে অবস্থার অধীনে একটি রৈখিক সংমিশ্রণ আকারে একটি ভেক্টরের একটি উপস্থাপনা আছে, এবং এই ধরনের উপস্থাপনার স্বতন্ত্রতা সম্পর্কে স্বাভাবিক প্রশ্ন রয়েছে।
সংজ্ঞা 2.1।ভেক্টর a 1, ..., এবং n বলা হয় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, যদি সহগগুলির একটি সেট থাকে α 1 , ... , α n যেমন
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)
এবং এই সহগগুলির মধ্যে অন্তত একটি অ-শূন্য। যদি সহগগুলির নির্দিষ্ট সেটটি বিদ্যমান না থাকে তবে ভেক্টর বলা হয় রৈখিকভাবে স্বাধীন.
যদি α 1 = ... = α n = 0, তাহলে, স্পষ্টতই, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0। এই কথা মাথায় রেখে, আমরা বলতে পারি: ভেক্টর a 1, ..., এবং n রৈখিকভাবে স্বাধীন হয় যদি এটি সমতা (2.2) থেকে অনুসরণ করে যে সমস্ত সহগ α 1 , ... , α n শূন্যের সমান।
নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি ব্যাখ্যা করে যে কেন নতুন ধারণাটিকে "নির্ভরতা" (বা "স্বাধীনতা") শব্দটি বলা হয় এবং রৈখিক নির্ভরতার জন্য একটি সহজ মানদণ্ড প্রদান করে।
উপপাদ্য 2.1। 1, ..., এবং n, n > 1 ভেক্টরগুলিকে রৈখিকভাবে নির্ভর করার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে তাদের মধ্যে একটি অন্যগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।
◄ প্রয়োজনীয়তা। ধরা যাক যে ভেক্টর a 1, ..., এবং n রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। রৈখিক নির্ভরতার সংজ্ঞা 2.1 অনুসারে, সমতা (2.2) বাম দিকে কমপক্ষে একটি অ-শূন্য সহগ আছে, উদাহরণস্বরূপ α 1। সমতার বাম দিকে প্রথম পদটি রেখে, আমরা বাকি অংশে চলে যাই ডান পাশ, তাদের লক্ষণ পরিবর্তন, স্বাভাবিক হিসাবে. ফলস্বরূপ সমতাকে α 1 দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n
সেগুলো. অবশিষ্ট ভেক্টরের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে a 1 ভেক্টরের উপস্থাপনা a 2, ..., a n।
পর্যাপ্ততা। ধরুন, উদাহরণস্বরূপ, প্রথম ভেক্টর a 1টিকে অবশিষ্ট ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n। ডান দিক থেকে বাম দিকে সমস্ত পদ স্থানান্তর করে, আমরা একটি 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, সমান শূন্য ভেক্টর।এই রৈখিক সংমিশ্রণে, সমস্ত সহগ শূন্য নয়। সংজ্ঞা 2.1 অনুসারে, a 1, ..., এবং n ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
রৈখিক নির্ভরতার সংজ্ঞা এবং মানদণ্ড দুটি বা ততোধিক ভেক্টরের উপস্থিতি বোঝাতে প্রণয়ন করা হয়। যাইহোক, আমরা একটি ভেক্টরের একটি রৈখিক নির্ভরতা সম্পর্কেও কথা বলতে পারি। এই সম্ভাবনাটি উপলব্ধি করার জন্য, "ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল" এর পরিবর্তে আপনাকে বলতে হবে "ভেক্টরগুলির সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।" এটা দেখা সহজ যে "একটি ভেক্টরের একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল" অভিব্যক্তিটির অর্থ হল এই একক ভেক্টরটি শূন্য (একটি রৈখিক সংমিশ্রণে শুধুমাত্র একটি সহগ থাকে এবং এটি শূন্যের সমান হওয়া উচিত নয়)।
রৈখিক নির্ভরতার ধারণাটির একটি সহজ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে। নিম্নলিখিত তিনটি বিবৃতি এই ব্যাখ্যা স্পষ্ট.
উপপাদ্য 2.2।দুটি ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সমরেখা
◄ যদি a এবং b ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তবে তাদের মধ্যে একটি, যেমন a, অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, যেমন a = λb কিছু বাস্তব সংখ্যার জন্য λ। সংজ্ঞা অনুযায়ী 1.7 কাজ করেপ্রতি সংখ্যার ভেক্টর, a এবং b ভেক্টর সমরেখার।
এখন a এবং b ভেক্টর সমরেখার হতে দিন। যদি তারা উভয়ই শূন্য হয়, তবে এটি স্পষ্ট যে তারা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, যেহেতু তাদের যেকোনো রৈখিক সমন্বয় শূন্য ভেক্টরের সমান। এই ভেক্টরগুলির একটি 0 এর সমান না হোক, উদাহরণস্বরূপ ভেক্টর b। ভেক্টর দৈর্ঘ্যের অনুপাত λ দ্বারা বোঝানো যাক: λ = |a|/|b|। কলিনিয়ার ভেক্টর হতে পারে একমুখীবা বিপরীতভাবে নির্দেশিত. পরবর্তী ক্ষেত্রে, আমরা λ এর চিহ্ন পরিবর্তন করি। তারপর, সংজ্ঞা 1.7 পরীক্ষা করে, আমরা নিশ্চিত যে a = λb। উপপাদ্য 2.1 অনুসারে, a এবং b ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
মন্তব্য 2.1.দুটি ভেক্টরের ক্ষেত্রে, রৈখিক নির্ভরতার মানদণ্ড বিবেচনা করে, প্রমাণিত উপপাদ্যটি নিম্নরূপ সংস্কার করা যেতে পারে: দুটি ভেক্টর সমরেখার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের একটিকে একটি সংখ্যা দ্বারা অন্যটির গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। এটি দুটি ভেক্টরের সমাহারের জন্য একটি সুবিধাজনক মানদণ্ড।
উপপাদ্য 2.3।তিনটি ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা কপ্ল্যানার.
◄ যদি তিনটি ভেক্টর a, b, c রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তাহলে, উপপাদ্য 2.1 অনুসারে, তাদের মধ্যে একটি, উদাহরণস্বরূপ a, অন্যগুলির একটি রৈখিক সমন্বয়: a = βb + γс। আসুন আমরা A বিন্দুতে b এবং c ভেক্টরের উৎপত্তিকে একত্রিত করি। তারপর A বিন্দুতে এবং বরাবর ভেক্টর βb, γс এর একটি সাধারণ উৎপত্তি থাকবে সমান্তরালগ্রাম নিয়ম অনুযায়ী, তাদের যোগফল হয়সেগুলো. ভেক্টর a একটি ভেক্টর হবে যার উৎপত্তি A এবং শেষ, যা উপাদান ভেক্টরের উপর নির্মিত একটি সমান্তরালগ্রামের শীর্ষবিন্দু। এইভাবে, সমস্ত ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করে, যেমন, কপ্ল্যানার।
a, b, c ভেক্টরকে কপ্ল্যানার হতে দিন। যদি এই ভেক্টরগুলির একটি শূন্য হয়, তবে এটি অবশ্যই অন্যগুলির একটি রৈখিক সমন্বয় হবে। শূন্যের সমান একটি রৈখিক সংমিশ্রণের সমস্ত সহগ গ্রহণ করা যথেষ্ট। অতএব, আমরা ধরে নিতে পারি যে তিনটি ভেক্টরই শূন্য নয়। উপযুক্ত শুরুএই ভেক্টরগুলির একটি সাধারণ বিন্দু O-তে। তাদের প্রান্তগুলি যথাক্রমে A, B, C বিন্দু হতে দিন (চিত্র 2.1)। C বিন্দুর মাধ্যমে আমরা O, A এবং O, B বিন্দুর জোড়ার মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার সমান্তরাল রেখা আঁকি। ছেদ বিন্দুকে A" এবং B হিসাবে চিহ্নিত করে, আমরা একটি সমান্তরাল লোগ্রাম OA"CB" পাই, তাই, OC" = OA" + OB। ভেক্টর OA" এবং অ-শূন্য ভেক্টর a = OA সমরেখার, এবং তাই তাদের মধ্যে প্রথমটি দ্বিতীয়টিকে একটি বাস্তব সংখ্যা α:OA" = αOA দ্বারা গুণ করে পাওয়া যেতে পারে। একইভাবে, OB" = βOB, β ∈ R. ফলস্বরূপ, আমরা পাই যে OC" = α OA + βOB, অর্থাৎ ভেক্টর c হল a এবং b ভেক্টরের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। উপপাদ্য 2.1 অনুযায়ী, ভেক্টর a, b, c রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
উপপাদ্য 2.4।যে কোনো চারটি ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
◄ আমরা উপপাদ্য 2.3 এর মতো একই স্কিম অনুসারে প্রমাণটি সম্পাদন করি। নির্বিচারে চারটি ভেক্টর a, b, c এবং d বিবেচনা করুন। যদি চারটি ভেক্টরের মধ্যে একটি শূন্য হয়, বা তাদের মধ্যে দুটি সমতলীয় ভেক্টর থাকে, বা চারটি ভেক্টরের তিনটি কপ্ল্যানার হয়, তাহলে এই চারটি ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। উদাহরণ স্বরূপ, যদি a এবং b ভেক্টর সমরেখার হয়, তাহলে আমরা তাদের লিনিয়ার কম্বিনেশন αa + βb = 0 কে নন-জিরো কোফিসিয়েন্টের সাথে তৈরি করতে পারি, এবং তারপর বাকি দুটি ভেক্টরকে এই কম্বিনেশনে যোগ করতে পারি, শূন্যকে সহগ হিসেবে নিয়ে। আমরা 0 এর সমান চারটি ভেক্টরের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ পাই, যেখানে অ-শূন্য সহগ রয়েছে।
এইভাবে, আমরা ধরে নিতে পারি যে নির্বাচিত চারটি ভেক্টরের মধ্যে কোনো ভেক্টরই শূন্য নয়, কোনো দুটি সমতলীয় নয় এবং তিনটিই সমতলীয় নয়। আসুন তাদের সাধারণ শুরু হিসাবে O বিন্দু বেছে নিন। তারপর a, b, c, d ভেক্টরগুলির শেষগুলি হবে কিছু বিন্দু A, B, C, D (চিত্র 2.2)। বিন্দু D এর মাধ্যমে আমরা তিনটি সমতল OBC, OCA, OAB সমতলের সমান্তরাল আঁকি এবং A", B, C" কে যথাক্রমে OA, OB, OS সরলরেখা সহ এই সমতলগুলির ছেদ বিন্দু হতে দিন। আমরা একটি পাই সমান্তরালপিপযুক্ত OA" C "B" C" B"DA", এবং ভেক্টর a, b, c শীর্ষবিন্দু থেকে উত্থিত এর প্রান্তে অবস্থিত। যেহেতু চতুর্ভুজ OC"DC" একটি সমান্তরাল, তাহলে OD = OC" + OC"। পরিবর্তে, OC" রেখাংশটি একটি তির্যক সমান্তরাল OA"C"B", তাই OC" = OA" + OB" এবং OD = OA" + OB" + OC"।
এটি লক্ষ করা যায় যে OA ≠ 0 এবং OA" , OB ≠ 0 এবং OB" , OC ≠ 0 এবং OC" ভেক্টরের জোড়া সমরেখার, এবং তাই, α, β, γ সহগগুলি নির্বাচন করা সম্ভব যাতে OA" = αOA , OB" = βOB এবং OC" = γOC। আমরা অবশেষে OD = αOA + βOB + γOC পাই। ফলস্বরূপ, OD ভেক্টর অন্য তিনটি ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় এবং উপপাদ্য 2.1 অনুসারে চারটি ভেক্টরই রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
ভেক্টর সিস্টেম বলা হয় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, যদি এমন সংখ্যা থাকে যার মধ্যে অন্তত একটি শূন্য থেকে আলাদা, যেমন সমতা https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">
যদি এই সমতা শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রেই সন্তুষ্ট হয় যখন সব, তখন ভেক্টর সিস্টেম বলা হয় রৈখিকভাবে স্বাধীন.
উপপাদ্য।ভেক্টর সিস্টেম হবে রৈখিকভাবে নির্ভরশীলযদি এবং শুধুমাত্র যদি এর অন্তত একটি ভেক্টর অন্যদের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হয়।
উদাহরণ 1.বহুপদ 
বহুপদীর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">। বহুপদ একটি রৈখিক স্বাধীন সিস্টেম গঠন করে, যেহেতু বহুপদী https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">।
উদাহরণ 2।ম্যাট্রিক্স সিস্টেম, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> রৈখিকভাবে স্বাধীন, যেহেতু একটি রৈখিক সমন্বয় সমান শূন্য ম্যাট্রিক্স শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রে যখন https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> রৈখিকভাবে নির্ভরশীল৷
সমাধান।
আসুন এই ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সমন্বয় তৈরি করি https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" উচ্চতা=" 22">।
সমান ভেক্টরের একই স্থানাঙ্কগুলিকে সমান করে, আমরা https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> পাই
অবশেষে আমরা পেতে
এবং
সিস্টেমের একটি অনন্য তুচ্ছ সমাধান রয়েছে, তাই এই ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ শূন্যের সমান শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রে যখন সমস্ত সহগ শূন্যের সমান হয়। অতএব, ভেক্টরের এই সিস্টেমটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।
উদাহরণ 4.ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন। ভেক্টর সিস্টেম কেমন হবে?
ক)।
;
খ)।
?
সমাধান।
ক)।আসুন একটি রৈখিক সংমিশ্রণ তৈরি করি এবং এটিকে শূন্যের সমান করি
রৈখিক স্থানের ভেক্টরগুলির সাথে ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, আমরা ফর্মটিতে শেষ সমতাটি পুনরায় লিখি
যেহেতু ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন, তাই এর সহগগুলি অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে, যেমন gif" width="12" height="23 src=">
সমীকরণের ফলস্বরূপ সিস্টেমের একটি অনন্য তুচ্ছ সমাধান রয়েছে 
.
যেহেতু সমতা (*) শুধুমাত্র যখন https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - রৈখিকভাবে স্বাধীন;
খ)।আসুন একটি সমতা তৈরি করি https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
অনুরূপ যুক্তি প্রয়োগ, আমরা প্রাপ্ত
গাউস পদ্ধতিতে সমীকরণের পদ্ধতির সমাধান করে, আমরা পাই
বা
পরবর্তী সিস্টেমটিতে অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">। এইভাবে, একটি অ- সহগগুলির শূন্য সেট যার জন্য সমতা রয়েছে৷ (**)
. অতএব, ভেক্টর সিস্টেম - রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
উদাহরণ 5ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে স্বাধীন, এবং ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
সমতায় (***) . প্রকৃতপক্ষে, এ, সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে।
সম্পর্ক থেকে (***)
আমরা পেতে 
বা 
এর উল্লেখ করা যাক 
.
আমরা পেতে 
স্বাধীন সমাধানের জন্য সমস্যা (শ্রেণীকক্ষে)
1. একটি শূন্য ভেক্টর ধারণকারী একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
2. একটি ভেক্টর নিয়ে গঠিত সিস্টেম ক, রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি, a=0.
3. দুটি ভেক্টর সমন্বিত একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি ভেক্টরগুলি সমানুপাতিক হয় (অর্থাৎ, তাদের একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করে অন্যটি থেকে পাওয়া যায়)।
4. আপনি যদি একটি রৈখিক নির্ভরশীল সিস্টেমে একটি ভেক্টর যোগ করেন, আপনি একটি রৈখিক নির্ভরশীল সিস্টেম পাবেন।
5. যদি একটি ভেক্টর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সিস্টেম থেকে সরানো হয়, তাহলে ভেক্টরের ফলস্বরূপ সিস্টেমটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।
6. যদি সিস্টেম এসরৈখিকভাবে স্বাধীন, কিন্তু একটি ভেক্টর যোগ করার সময় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়ে ওঠে খ, তারপর ভেক্টর খসিস্টেম ভেক্টরের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয় এস.
গ)।ম্যাট্রিক্সের সিস্টেম , , দ্বিতীয় ক্রম ম্যাট্রিক্সের জায়গায়।
10. ভেক্টর সিস্টেম যাক একটি,খ,গভেক্টর স্থান রৈখিকভাবে স্বাধীন। রৈখিক স্বাধীনতা প্রমাণ করুন নিম্নলিখিত সিস্টেমভেক্টর:
ক)।a+খ, খ, গ.
খ)।a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–নির্বিচারে সংখ্যা
গ)।a+b, a+c, b+c।
11. দিন একটি,খ,গ- সমতলে তিনটি ভেক্টর যা থেকে একটি ত্রিভুজ তৈরি করা যায়। এই ভেক্টর কি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে?
12. দুটি ভেক্টর দেওয়া আছে a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). আরও দুটি চার-মাত্রিক ভেক্টর খুঁজুন a3 এবংa4যাতে সিস্টেম a1,a2,a3,a4রৈখিকভাবে স্বাধীন ছিল .
