গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান। MS EXCEL-এ গড় অনুমান করার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান (প্রকরণ জানা আছে)

প্রায়শই মূল্যায়নকারীকে সেই অংশের রিয়েল এস্টেট বাজার বিশ্লেষণ করতে হয় যেখানে সম্পত্তি মূল্যায়ন করা হচ্ছে। যদি বাজারটি উন্নত হয়, তাহলে উপস্থাপিত বস্তুর সম্পূর্ণ সেট বিশ্লেষণ করা কঠিন হতে পারে, তাই বিশ্লেষণের জন্য বস্তুর একটি নমুনা ব্যবহার করা হয়। এই নমুনাটি সর্বদা সমজাতীয় হতে পারে না; কখনও কখনও এটিকে চরম পয়েন্টগুলি পরিষ্কার করা প্রয়োজন - খুব বেশি বা খুব কম বাজারের অফার। এই উদ্দেশ্যে এটি ব্যবহার করা হয় আস্থা ব্যবধান. টার্গেট এই গবেষণা- আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার জন্য দুটি পদ্ধতির একটি তুলনামূলক বিশ্লেষণ পরিচালনা করুন এবং estimatica.pro সিস্টেমে বিভিন্ন নমুনার সাথে কাজ করার সময় সর্বোত্তম গণনা বিকল্পটি নির্বাচন করুন৷

আস্থা ব্যবধান- একটি নমুনার ভিত্তিতে গুণিত মানগুলির একটি ব্যবধান, যা একটি পরিচিত সম্ভাব্যতার সাথে আনুমানিক পরামিতি ধারণ করে জনসংখ্যা.

একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার বিষয় হল নমুনা ডেটার উপর ভিত্তি করে এমন একটি ব্যবধান তৈরি করা যাতে এটি একটি প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে বলা যায় যে আনুমানিক পরামিতির মান এই ব্যবধানে রয়েছে। অন্য কথায়, আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে অজানা মানআনুমানিক মূল্য. ব্যবধান যত বেশি হবে, ভুলত্রুটি তত বেশি হবে।

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্ধারণের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। এই নিবন্ধে আমরা 2 টি পদ্ধতি দেখব:

• মধ্য এবং মান বিচ্যুতির মাধ্যমে;
• মাধ্যম সমালোচনামূলক মান t-পরিসংখ্যান (ছাত্রের সহগ)।

পর্যায় তুলনামূলক বিশ্লেষণ ভিন্ন পথ CI গণনা:

1. একটি তথ্য নমুনা গঠন;

2. আমরা পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি প্রক্রিয়া করি: আমরা গড় মান, মধ্যমা, প্রকরণ ইত্যাদি গণনা করি;

3. আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান দুটি উপায়ে গণনা করুন;

4. পরিষ্কার করা নমুনা এবং ফলে আস্থার ব্যবধান বিশ্লেষণ করুন।

পর্যায় 1. ডেটা স্যাম্পলিং

estimatica.pro সিস্টেম ব্যবহার করে নমুনাটি তৈরি করা হয়েছিল। নমুনাটিতে "খ্রুশ্চেভ" ধরণের লেআউট সহ 3য় দামের জোনে 1-রুমের অ্যাপার্টমেন্ট বিক্রির জন্য 91টি অফার অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

সারণী 1. প্রাথমিক নমুনা

	মূল্য 1 বর্গমিটার, ইউনিট

আকার 1. প্রাথমিক নমুনা

পর্যায় 2. প্রাথমিক নমুনা প্রক্রিয়াকরণ

পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি নমুনা প্রক্রিয়াকরণের জন্য নিম্নলিখিত মানগুলি গণনা করা প্রয়োজন:

1. পাটিগণিত গড়

2. মাঝারি হল একটি সংখ্যা যা নমুনাটিকে চিহ্নিত করে: নমুনার উপাদানগুলির ঠিক অর্ধেকটি মধ্যমা থেকে বড়, বাকি অর্ধেকটি মধ্যমা থেকে কম

(বিজোড় সংখ্যক মান সহ একটি নমুনার জন্য)

3. পরিসর - নমুনায় সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মানের মধ্যে পার্থক্য

4. ভ্যারিয়েন্স - ডেটার বৈচিত্র আরও সঠিকভাবে অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়

5. নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (এর পরে - SD) হল পাটিগণিত গড়ের চারপাশে সমন্বয় মানগুলির বিচ্ছুরণের সবচেয়ে সাধারণ সূচক।

6. প্রকরণের সহগ - সমন্বয় মানগুলির বিক্ষিপ্ততার মাত্রা প্রতিফলিত করে

7. দোলন সহগ - গড়ের কাছাকাছি নমুনায় চরম মূল্য মানের আপেক্ষিক ওঠানামাকে প্রতিফলিত করে

সারণী 2. মূল নমুনার পরিসংখ্যানগত সূচক

প্রকরণের সহগ, যা ডেটার একজাতীয়তাকে চিহ্নিত করে, 12.29%, কিন্তু দোলনের সহগ খুব বেশি। এইভাবে, আমরা বলতে পারি যে আসল নমুনাটি সমজাতীয় নয়, তাই আসুন আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার দিকে এগিয়ে যাই।

পর্যায় 3. আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা

পদ্ধতি 1. মধ্যমা এবং মানক বিচ্যুতি ব্যবহার করে গণনা।

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়: ন্যূনতম মান - আদর্শ বিচ্যুতি মধ্যক থেকে বিয়োগ করা হয়; সর্বাধিক মান - আদর্শ বিচ্যুতি মধ্যক যোগ করা হয়।

এইভাবে, আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান (47179 CU; 60689 CU)

ভাত। 2. আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের মধ্যে পড়ে যাওয়া মান 1.

পদ্ধতি 2. টি-পরিসংখ্যানের সমালোচনামূলক মান ব্যবহার করে একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করা (ছাত্র সহগ)

এস.ভি. গ্রিবভস্কি বইতে " গাণিতিক পদ্ধতিসম্পত্তির মূল্য অনুমান করা" ছাত্র সহগ ব্যবহার করে একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার জন্য একটি পদ্ধতি বর্ণনা করে। এই পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা করার সময়, অনুমানকারীকে অবশ্যই তাত্পর্য স্তর ∝ সেট করতে হবে, যা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করা হবে এমন সম্ভাবনা নির্ধারণ করে। সাধারণত, 0.1 এর তাৎপর্য মাত্রা ব্যবহার করা হয়; 0.05 এবং 0.01। তারা 0.9 এর আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনার সাথে মিলে যায়; 0.95 এবং 0.99। এই পদ্ধতির সাহায্যে, প্রকৃত মান অনুমান করা হয় গাণিতিক প্রত্যাশাএবং বৈচিত্রগুলি কার্যত অজানা (যা প্রায় সবসময়ই সত্য যখন ব্যবহারিক অনুমান সমস্যা সমাধান করা হয়)।

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান সূত্র:

n - নমুনার আকার;

টি-পরিসংখ্যানের সমালোচনামূলক মান (ছাত্রদের বিতরণ) একটি তাত্পর্য স্তর ∝, স্বাধীনতা n-1 ডিগ্রির সংখ্যা, যা বিশেষ পরিসংখ্যান সারণী বা MS এক্সেল (→"পরিসংখ্যান"→ STUDIST) ব্যবহার করে নির্ধারিত হয়;

∝ - তাৎপর্য স্তর, নিন ∝=0.01।

ভাত। 2. আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের মধ্যে পড়ে থাকা মান 2.

পর্যায় 4. আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতির বিশ্লেষণ

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার দুটি পদ্ধতি - মধ্যমা এবং শিক্ষার্থীর সহগ - এর ফলে বিভিন্ন অর্থবিরতি সেই অনুযায়ী, আমরা দুটি ভিন্ন পরিষ্কার নমুনা পেয়েছি।

সারণী 3. তিনটি নমুনার পরিসংখ্যান।

সূচক	প্রাথমিক নমুনা	1 বিকল্প	বিকল্প 2
গড় মূল্য
বিচ্ছুরণ
কোফ। বৈচিত্র
কোফ। দোলনা
অবসরপ্রাপ্ত বস্তুর সংখ্যা, পিসি।

সম্পাদিত গণনার উপর ভিত্তি করে, আমরা বলতে পারি যে প্রাপ্ত বিভিন্ন পদ্ধতিআত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের মানগুলিকে ছেদ করে, তাই আপনি মূল্যায়নকারীর বিবেচনার ভিত্তিতে যে কোনও গণনা পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন।

যাইহোক, আমরা বিশ্বাস করি যে estimatica.pro সিস্টেমে কাজ করার সময়, বাজারের বিকাশের মাত্রার উপর নির্ভর করে আস্থার ব্যবধান গণনা করার জন্য একটি পদ্ধতি বেছে নেওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয়:

• যদি বাজারটি অনুন্নত হয় তবে মধ্যম এবং মানক বিচ্যুতি ব্যবহার করে গণনা পদ্ধতি ব্যবহার করুন, যেহেতু এই ক্ষেত্রে অবসরপ্রাপ্ত বস্তুর সংখ্যা কম;
• যদি বাজার বিকশিত হয়, টি-পরিসংখ্যান (ছাত্রের সহগ) এর সমালোচনামূলক মানের মাধ্যমে গণনাটি প্রয়োগ করুন, যেহেতু এটি একটি বড় প্রাথমিক নমুনা তৈরি করা সম্ভব।

নিবন্ধটি প্রস্তুত করার জন্য নিম্নলিখিতগুলি ব্যবহার করা হয়েছিল:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. সম্পত্তির মূল্য নির্ধারণের জন্য গাণিতিক পদ্ধতি। মস্কো, 2014

2. সিস্টেম ডেটা estimatica.pro

গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান - এটি একটি ব্যবধান যা ডেটা থেকে গণনা করা হয় যা একটি পরিচিত সম্ভাব্যতার সাথে, সাধারণ জনগণের গাণিতিক প্রত্যাশা ধারণ করে। গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য একটি স্বাভাবিক অনুমান হল তার পর্যবেক্ষণ করা মানগুলির গাণিতিক গড়। তাই, পুরো পাঠ জুড়ে আমরা "গড়" এবং "গড় মান" শব্দগুলো ব্যবহার করব। একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার সমস্যাগুলিতে, একটি উত্তর প্রায়শই প্রয়োজন হয় "গড় সংখ্যার আস্থার ব্যবধান [একটি নির্দিষ্ট সমস্যায়] [ছোট মান] থেকে [বৃহত্তর মান]"। একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ব্যবহার করে, আপনি শুধুমাত্র গড় মানই নয়, সাধারণ জনসংখ্যার একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের অনুপাতও মূল্যায়ন করতে পারেন। গড়, পার্থক্য, আদর্শ চ্যুতিএবং যে ত্রুটিগুলির মাধ্যমে আমরা নতুন সংজ্ঞা এবং সূত্রগুলিতে পৌঁছব সেগুলি পাঠে আলোচনা করা হয়েছে নমুনা এবং জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্য .

গড় বিন্দু এবং ব্যবধান অনুমান

যদি একটি সংখ্যা (পয়েন্ট) দ্বারা জনসংখ্যার গড় মান অনুমান করা হয়, তবে একটি নির্দিষ্ট গড়, যা পর্যবেক্ষণের নমুনা থেকে গণনা করা হয়, জনসংখ্যার অজানা গড় মূল্যের অনুমান হিসাবে নেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে, নমুনার গড় মান - একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল - সাধারণ জনসংখ্যার গড় মানের সাথে মিলে না। অতএব, নমুনার গড় নির্দেশ করার সময়, আপনাকে অবশ্যই একই সাথে স্যাম্পলিং ত্রুটি নির্দেশ করতে হবে। নমুনা ত্রুটির পরিমাপ হল আদর্শ ত্রুটি, যা গড় হিসাবে একই ইউনিটে প্রকাশ করা হয়। অতএব, নিম্নলিখিত স্বরলিপি প্রায়ই ব্যবহৃত হয়: .

যদি গড় অনুমান একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে যুক্ত করা প্রয়োজন, তাহলে জনসংখ্যার আগ্রহের প্যারামিটারটি একটি সংখ্যা দ্বারা নয়, একটি ব্যবধান দ্বারা মূল্যায়ন করা উচিত। একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হল একটি ব্যবধান যাতে একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে পৃআনুমানিক জনসংখ্যা সূচকের মান পাওয়া যায়। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান যাতে এটি সম্ভাব্য পৃ = 1 - α র্যান্ডম ভেরিয়েবল পাওয়া যায়, নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

,

α = 1 - পৃ, যা পরিসংখ্যান সম্পর্কিত প্রায় যেকোনো বইয়ের পরিশিষ্টে পাওয়া যাবে।

বাস্তবে, জনসংখ্যার গড় এবং প্রকরণ জানা যায় না, তাই জনসংখ্যার বৈচিত্রটি নমুনা প্রকরণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং জনসংখ্যার গড় নমুনা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। সুতরাং, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

.

আস্থার ব্যবধান সূত্রটি জনসংখ্যার গড় অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যদি

• জনসংখ্যার আদর্শ বিচ্যুতি জানা যায়;
• অথবা জনসংখ্যার মান বিচ্যুতি অজানা, কিন্তু নমুনার আকার 30-এর বেশি।

নমুনা গড় জনসংখ্যা গড় একটি নিরপেক্ষ অনুমান। ঘুরে, নমুনা বৈচিত্র জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের একটি নিরপেক্ষ অনুমান নয়। নমুনা প্রকরণ সূত্রে জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের একটি নিরপেক্ষ অনুমান পেতে, নমুনার আকার nদ্বারা প্রতিস্থাপিত করা উচিত n-1.

উদাহরণ 1.একটি নির্দিষ্ট শহরের 100টি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ক্যাফে থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয়েছিল যে তাদের মধ্যে কর্মচারীর গড় সংখ্যা 4.6 এর মান বিচ্যুতি সহ 10.5। ক্যাফে কর্মীদের সংখ্যার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্ধারণ করুন।

যেখানে মান সমালোচনামূলক মান স্বাভাবিক বন্টনতাত্পর্য স্তরের জন্য α = 0,05 .

এইভাবে, ক্যাফে কর্মচারীদের গড় সংখ্যার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 9.6 থেকে 11.4 পর্যন্ত।

উদাহরণ 2। 64টি পর্যবেক্ষণের জনসংখ্যা থেকে একটি এলোমেলো নমুনার জন্য, নিম্নলিখিত মোট মানগুলি গণনা করা হয়েছিল:

পর্যবেক্ষণে মানের সমষ্টি,

গড় থেকে মানের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল .

গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করুন।

আসুন আদর্শ বিচ্যুতি গণনা করি:

,

আসুন গড় মান গণনা করা যাক:

.

আমরা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য অভিব্যক্তিতে মানগুলি প্রতিস্থাপন করি:

তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,05 .

আমরা পেতে:

এইভাবে, এই নমুনার গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 7.484 থেকে 11.266 পর্যন্ত।

উদাহরণ 3. 100টি পর্যবেক্ষণের একটি এলোমেলো জনসংখ্যার নমুনার জন্য, গণনা করা গড় হল 15.2 এবং আদর্শ বিচ্যুতি হল 3.2। প্রত্যাশিত মানের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করুন, তারপর 99% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান। যদি নমুনা শক্তি এবং এর বৈচিত্র অপরিবর্তিত থাকে এবং আস্থা সহগ বৃদ্ধি পায়, তাহলে আস্থার ব্যবধান কি সংকীর্ণ বা প্রশস্ত হবে?

আমরা এই মানগুলিকে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করি:

তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,05 .

আমরা পেতে:

.

এইভাবে, এই নমুনার গড় জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 14.57 থেকে 15.82 পর্যন্ত।

আমরা আবার এই মানগুলিকে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করি:

তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,01 .

আমরা পেতে:

.

এইভাবে, এই নমুনার গড় জন্য 99% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 14.37 থেকে 16.02 পর্যন্ত।

আমরা যেমন দেখি, আত্মবিশ্বাসের গুণাগুণ বাড়ার সাথে সাথে, সাধারণ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মানও বৃদ্ধি পায়, এবং ফলস্বরূপ, ব্যবধানের শুরু এবং শেষ বিন্দুগুলি গড় থেকে আরও দূরে অবস্থিত, এবং এইভাবে গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান বৃদ্ধি পায়। .

নির্দিষ্ট মাধ্যাকর্ষণ বিন্দু এবং ব্যবধান অনুমান

কিছু নমুনা বৈশিষ্ট্য ভাগ একটি পয়েন্ট অনুমান হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে আপেক্ষিক গুরুত্ব পিসাধারণ জনগণের মধ্যে একই বৈশিষ্ট্যের। যদি এই মানটিকে সম্ভাব্যতার সাথে যুক্ত করতে হয়, তাহলে নির্দিষ্ট মাধ্যাকর্ষণটির আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করা উচিত পিসম্ভাবনা সহ জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্য পৃ = 1 - α :

.

উদাহরণ 4.কোনো কোনো সিটিতে দুজন প্রার্থী রয়েছেন কএবং খমেয়র পদে লড়ছেন। 200 জন শহরের বাসিন্দাদের এলোমেলোভাবে জরিপ করা হয়েছিল, যার মধ্যে 46% প্রতিক্রিয়া জানিয়েছে যে তারা প্রার্থীকে ভোট দেবে ক, 26% - প্রার্থীর জন্য খএবং 28% জানেন না তারা কাকে ভোট দেবেন। প্রার্থীকে সমর্থনকারী শহরের বাসিন্দাদের অনুপাতের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্ধারণ করুন ক.

আস্থা ব্যবধান- সীমিত মান পরিসংখ্যানগত মান, যা একটি বৃহত্তর ভলিউম নমুনা করার সময় এই ব্যবধানে একটি প্রদত্ত আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা γ হবে। P(θ - ε হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। অনুশীলনে, আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা γ একতার কাছাকাছি মানগুলি থেকে বেছে নেওয়া হয়: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99।

সেবার উদ্দেশ্য. এই পরিষেবা ব্যবহার করে, আপনি নির্ধারণ করতে পারেন:

• সাধারণ গড় জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান, পরিবর্তনের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান;
• আদর্শ বিচ্যুতির জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান, সাধারণ ভাগের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান;

ফলস্বরূপ সমাধানটি একটি ওয়ার্ড ফাইলে সংরক্ষিত হয় (উদাহরণ দেখুন)। প্রাথমিক ডেটা কীভাবে পূরণ করতে হয় সে সম্পর্কে নীচে একটি ভিডিও নির্দেশনা রয়েছে।

উদাহরণ নং 1। একটি সম্মিলিত খামারে, মোট 1000 ভেড়ার পালের মধ্যে 100টি ভেড়া নির্বাচনী নিয়ন্ত্রণ কর্তনের মধ্য দিয়ে যায়। ফলস্বরূপ, প্রতি ভেড়ার গড় 4.2 কেজি উলের ক্লিপিং প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। 0.99 সম্ভাব্যতার সাথে নির্ণয় করুন নমুনার গড় বর্গাকার ত্রুটি প্রতি ভেড়ার গড় উল কাটানোর সময় এবং যে সীমার মধ্যে শিয়ারিং মান থাকে যদি বৈচিত্র্য 2.5 হয়। নমুনা অ-পুনরাবৃত্ত.
উদাহরণ নং 2। মস্কো নর্দার্ন কাস্টমসের পোস্টে আমদানি করা পণ্যের একটি ব্যাচ থেকে, পণ্য "A" এর 20 টি নমুনা এলোমেলোভাবে বারবার নমুনা নেওয়া হয়েছিল। পরীক্ষার ফলস্বরূপ, নমুনায় "A" পণ্যের গড় আর্দ্রতার পরিমাণ প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, যা 1% এর আদর্শ বিচ্যুতির সাথে 6% এর সমান হয়ে উঠেছে।
আমদানিকৃত পণ্যের সমগ্র ব্যাচে পণ্যের গড় আর্দ্রতার সীমা 0.683 সম্ভাব্যতার সাথে নির্ধারণ করুন।
উদাহরণ নং 3। 36 জন শিক্ষার্থীর উপর করা একটি সমীক্ষায় দেখা গেছে যে তারা প্রতি বছর গড়ে কত পাঠ্যবই পড়ে শিক্ষাবর্ষ, 6 এর সমান হয়েছে। ধরে নিচ্ছি যে প্রতি সেমিস্টারে একজন শিক্ষার্থীর পাঠ্যপুস্তকের সংখ্যা 6 এর সমান স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন আইন রয়েছে, খুঁজুন: A) 0.99 এর নির্ভরযোগ্যতা সহ, গাণিতিক জন্য একটি ব্যবধান অনুমান এই র্যান্ডম পরিবর্তনশীল প্রত্যাশা; খ) কতটা সম্ভাবনার সাথে আমরা বলতে পারি যে প্রতি সেমিস্টারে একজন শিক্ষার্থীর পাঠ্যপুস্তকের গড় সংখ্যা, এই নমুনা থেকে গণনা করা হয়েছে, পরম মূল্যে গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে 2-এর বেশি হবে না।

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের শ্রেণীবিভাগ

মূল্যায়ন করা পরামিতি প্রকার দ্বারা:

নমুনা টাইপ দ্বারা:

1. একটি অসীম নমুনার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান;
2. চূড়ান্ত নমুনার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান;

নমুনাকে রিস্যাম্পলিং বলা হয়, যদি নির্বাচিত বস্তুটি পরেরটি নির্বাচন করার আগে জনসংখ্যায় ফেরত দেওয়া হয়। নমুনাকে বলা হয় অ-পুনরাবৃত্তি, যদি নির্বাচিত বস্তু জনসংখ্যায় ফেরত না দেওয়া হয়। অনুশীলনে, আমরা সাধারণত অ-পুনরাবৃত্ত নমুনাগুলির সাথে মোকাবিলা করি।

এলোমেলো নমুনার জন্য গড় নমুনা ত্রুটির গণনা

নমুনা থেকে প্রাপ্ত সূচকের মান এবং সাধারণ জনসংখ্যার সংশ্লিষ্ট প্যারামিটারের মধ্যে পার্থক্য বলা হয় প্রতিনিধিত্ব ত্রুটি.
সাধারণ এবং নমুনা জনসংখ্যার প্রধান পরামিতিগুলির উপাধি।

গড় নমুনা ত্রুটি সূত্র
পুনরায় নির্বাচন		পুনরাবৃত্তি নির্বাচন
গড় জন্য	শেয়ারের জন্য	গড় জন্য	শেয়ারের জন্য

নমুনা ত্রুটি সীমার মধ্যে সম্পর্ক (Δ) কিছু সম্ভাবনার সাথে নিশ্চিত র(টি),এবং গড় ত্রুটিনমুনার ফর্ম আছে: বা Δ = t·μ, কোথায় t– আস্থা সহগ, ল্যাপ্লেস ইন্টিগ্রাল ফাংশনের টেবিল অনুসারে সম্ভাব্যতা স্তর P(t) এর উপর নির্ভর করে নির্ধারিত হয়।

বিশুদ্ধভাবে র্যান্ডম নমুনা পদ্ধতি ব্যবহার করে নমুনার আকার গণনা করার জন্য সূত্র

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল (আমরা একটি সাধারণ জনসংখ্যা সম্পর্কে কথা বলতে পারি) একটি সাধারণ আইন অনুসারে বিতরণ করা যাক, যার জন্য D = 2 (> 0) প্রকরণটি পরিচিত। সাধারণ জনসংখ্যা থেকে (অবজেক্টের সেটে যার একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল নির্ধারণ করা হয়), n আকারের একটি নমুনা তৈরি করা হয়। নমুনা x 1 , x 2 ,..., x n কে n স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সেট হিসাবে বিবেচনা করা হয় যা একইভাবে বিতরণ করা হয় (উপরে পাঠ্যে ব্যাখ্যা করা পদ্ধতি)।

নিম্নলিখিত সমতাগুলিও আগে আলোচিত এবং প্রমাণিত হয়েছিল:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

এটা সহজভাবে প্রমাণ করা যথেষ্ট (আমরা প্রমাণ বাদ দিই) যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্ষেত্রেএছাড়াও স্বাভাবিক আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়.

আসুন আমরা অজানা পরিমাণ M কে a দ্বারা চিহ্নিত করি এবং প্রদত্ত নির্ভরযোগ্যতার উপর ভিত্তি করে d > 0 সংখ্যাটি নির্বাচন করি যাতে শর্তটি সন্তুষ্ট হয়:

P(- ক< d) = (1)

যেহেতু এলোমেলো চলকটি গাণিতিক প্রত্যাশা M = M = a এবং প্রকরণ D = D /n = 2 /n সহ সাধারণ নিয়ম অনুসারে বিতরণ করা হয়, আমরা পাই:

P(- ক< d) =P(a - d < < a + d) =

এটি এমন d নির্বাচন করা অবশেষ যাতে সমতা বজায় থাকে

যেকোনো একটির জন্য, আপনি টেবিলটি ব্যবহার করে একটি সংখ্যা t খুঁজে পেতে পারেন যেমন (t)= / 2। এই সংখ্যাটিকে কখনও কখনও t বলা হয় পরিমাণ.

এখন সমতা থেকে

d এর মান নির্ধারণ করা যাক:

আমরা ফর্মে সূত্র (1) উপস্থাপন করে চূড়ান্ত ফলাফল পাই:

শেষ সূত্রের অর্থ নিম্নরূপ: নির্ভরযোগ্যতার সাথে, আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান

জনসংখ্যার অজানা প্যারামিটার a = M কভার করে। আপনি এটি ভিন্নভাবে বলতে পারেন: পয়েন্ট অনুমাননির্ভুলতা d= t / এবং নির্ভরযোগ্যতার সাথে প্যারামিটার M-এর মান নির্ধারণ করে।

টাস্ক। 6.25 এর সমান পার্থক্য সহ একটি সাধারণ আইন অনুসারে বিতরণ করা একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য সহ একটি সাধারণ জনসংখ্যা থাকতে দিন। n = 27 এর একটি নমুনা আকার নেওয়া হয়েছিল এবং বৈশিষ্ট্যের গড় নমুনা মান প্রাপ্ত হয়েছিল = 12। নির্ভরযোগ্যতা = 0.99 সহ সাধারণ জনগণের অধ্যয়নকৃত বৈশিষ্ট্যের অজানা গাণিতিক প্রত্যাশাকে কভার করে একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন।

সমাধান। প্রথমে, ল্যাপ্লেস ফাংশনের জন্য টেবিল ব্যবহার করে, আমরা সমতা (t) = / 2 = 0.495 থেকে t এর মান খুঁজে পাই। প্রাপ্ত মান t = 2.58 এর উপর ভিত্তি করে, আমরা অনুমানের সঠিকতা নির্ধারণ করি (বা আস্থার ব্যবধানের অর্ধেক দৈর্ঘ্য) d: d = 2.52.58 / 1.24। এখান থেকে আমরা কাঙ্ক্ষিত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান পাই: (10.76; 13.24)।

পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস সাধারণ পরিবর্তনশীল

একটি স্বাভাবিক বিতরণের গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান যখন না হয় পরিচিত বৈচিত্র

একটি অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা M সহ একটি সাধারণ আইন অনুসারে বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন, যা আমরা a অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করি। আয়তন n এর একটি নমুনা করা যাক। আসুন পরিচিত সূত্র ব্যবহার করে গড় নমুনা এবং সংশোধন করা নমুনা বৈচিত্র s 2 নির্ধারণ করি।

এলোমেলো মান

স্বাধীনতার n - 1 ডিগ্রি সহ ছাত্র আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়।

কাজটি হল প্রদত্ত নির্ভরযোগ্যতার জন্য একটি সংখ্যা t এবং স্বাধীনতার ডিগ্রীর সংখ্যা n - 1 খুঁজে বের করা যাতে সমতা

বা সমতুল্য সমতা

এখানে বন্ধনীতে এই শর্তটি লেখা হয়েছে যে অজানা প্যারামিটার a এর মান একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের অন্তর্গত, যা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান। এর সীমানা নির্ভরযোগ্যতার পাশাপাশি স্যাম্পলিং প্যারামিটার এবং s এর উপর নির্ভর করে।

মাত্রা দ্বারা t এর মান নির্ধারণ করতে, আমরা সমতা (2) ফর্মে রূপান্তর করি:

এখন, সারণিটি ব্যবহার করে শিক্ষার্থীর আইন অনুসারে বিতরিত একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল t-এর জন্য, সম্ভাব্যতা 1 - এবং স্বাধীনতার ডিগ্রীর সংখ্যা n - 1 ব্যবহার করে, আমরা t খুঁজে পাই। সূত্র (3) উত্থাপিত সমস্যার উত্তর দেয়।

টাস্ক। 20টি বৈদ্যুতিক বাতির নিয়ন্ত্রণ পরীক্ষার সময় গড় সময়কালতাদের কাজ 2000 ঘন্টার সমান ছিল একটি আদর্শ বিচ্যুতি (সংশোধিত নমুনার বৈচিত্রের বর্গমূল হিসাবে গণনা করা হয়) 11 ঘন্টার সমান। এটা জানা যায় যে ল্যাম্প অপারেশনের সময়কাল সাধারণত বিতরণ করা হয় আমার স্নাতকের. এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য 0.95 একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের নির্ভরযোগ্যতার সাথে নির্ধারণ করুন।

সমাধান। মান 1 - এই ক্ষেত্রে 0.05 এর সমান। ছাত্র বন্টন সারণী অনুসারে, স্বাধীনতার ডিগ্রীর সংখ্যা 19 এর সমান, আমরা পাই: t = 2.093। আসুন এখন অনুমানের নির্ভুলতা গণনা করি: 2.093121/ = 56.6। এখান থেকে আমরা প্রয়োজনীয় আস্থার ব্যবধান পাই: (1943.4; 2056.6)।

জনসংখ্যার এলোমেলো পরিবর্তনশীল Xকে সাধারণভাবে বিতরণ করা যাক, এই বন্টনের বৈচিত্র্য এবং মানক বিচ্যুতিগুলি জানা যায় তা বিবেচনায় নিয়ে। নমুনা গড় ব্যবহার করে অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করা প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে, কাজটি নির্ভরযোগ্যতার সাথে গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খোঁজার জন্য নেমে আসে খ। মান সেট করলে আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা(নির্ভরযোগ্যতা) b, তাহলে আপনি সূত্র (6.9a) ব্যবহার করে একটি অজানা গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা খুঁজে পেতে পারেন:

যেখানে Ф(t) হল Laplace ফাংশন (5.17a)।

ফলস্বরূপ, আমরা গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সীমানা খুঁজে বের করার জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করতে পারি যদি পার্থক্য D = s 2 জানা থাকে:

1. নির্ভরযোগ্যতার মান নির্ধারণ করুন – খ.
2. থেকে (6.14) এক্সপ্রেস Ф(t) = 0.5× b। Ф(t) মানের উপর ভিত্তি করে Laplace ফাংশনের জন্য টেবিল থেকে t এর মান নির্বাচন করুন (পরিশিষ্ট 1 দেখুন)।
3. সূত্র ব্যবহার করে বিচ্যুতি e গণনা করুন (6.10)।
4. সূত্র (6.12) ব্যবহার করে একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান লিখুন যাতে b সম্ভাবনার সাথে অসমতা থাকে:

.

উদাহরণ 5.

র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর একটি স্বাভাবিক বন্টন আছে। অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা a এর নির্ভরযোগ্যতা b = 0.96 সহ একটি অনুমানের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন, যদি দেওয়া হয়:

1) সাধারণ মান বিচ্যুতি s = 5;

2) নমুনা গড়;

3) নমুনার আকার n = 49।

গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধান অনুমানের সূত্রে (6.15) ক নির্ভরযোগ্যতার সাথে b টি ছাড়া সমস্ত পরিমাণ পরিচিত। t এর মান (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96 ব্যবহার করে পাওয়া যাবে। Ф(t) = ০.৪৮।

ল্যাপ্লেস ফাংশন Ф(t) = 0.48-এর জন্য পরিশিষ্ট 1-এ টেবিলটি ব্যবহার করে, সংশ্লিষ্ট মান t = 2.06 খুঁজুন। তাই, . e-এর গণনাকৃত মানকে সূত্রে (6.12) প্রতিস্থাপন করে, আপনি একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান পেতে পারেন: 30-1.47< a < 30+1,47.

অজানা গাণিতিক প্রত্যাশার নির্ভরযোগ্যতা b = 0.96 সহ একটি অনুমানের জন্য প্রয়োজনীয় আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান সমান: 28.53< a < 31,47.