2.1। আপেক্ষিক কম্পাঙ্ক. আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি স্থায়িত্ব

2.2। সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞার সীমাবদ্ধতা। পরিসংখ্যানগত সম্ভাবনা

2.3। জ্যামিতিক সম্ভাবনা

2.4। সম্ভাব্যতা যোগ উপপাদ্য

2.5। ইভেন্ট সম্পূর্ণ গ্রুপ

2.6। বিপরীত ঘটনা

2.7। অসম্ভাব্য ঘটনাগুলির ব্যবহারিক অসম্ভবতার নীতি

2.8। ইভেন্ট উত্পাদন. শর্তাধীন সম্ভাবনা

2.9। সম্ভাব্যতা গুণন উপপাদ্য

2.10। স্বাধীন ঘটনা। স্বাধীন ইভেন্টের জন্য গুণ উপপাদ্য

2.10। অন্তত একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা

লেকচার নং 3 যোগ এবং গুণের উপপাদ্যের সমষ্টি

3.1। যৌথ ইভেন্টের সম্ভাব্যতা যোগ করার জন্য উপপাদ্য

3.2। মোট সম্ভাব্যতা সূত্র

3.3। অনুমানের সম্ভাবনা। বেইস সূত্র

4. পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি

4.1। বার্নউলির সূত্র

4.2। Bernoulli এর স্কিমে সীমাবদ্ধ উপপাদ্য

4.3। Moivre-Laplace-এর স্থানীয় এবং অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য

4.3। স্বাধীন ট্রায়ালে ধ্রুবক সম্ভাবনা থেকে আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্যুতির সম্ভাবনা

5. এলোমেলো ভেরিয়েবল

5.1। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ধারণা. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টন আইন

5.2। একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন। বন্টন বহুভুজ

5.3। দ্বিপদ ডিস্ট্রিবিউশন

5.4। বিষ বিতরণ

5.5। জ্যামিতিক বিতরণ

5.6। হাইপারজিওমেট্রিক ডিস্ট্রিবিউশন

6. একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা

6.1। বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য

6.2। একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল প্রত্যাশা

6.3। গাণিতিক প্রত্যাশার সম্ভাব্য অর্থ

6.4। গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য

6.5। স্বাধীন পরীক্ষায় একটি ঘটনার সংঘটন সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা

7. একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ

7.1। একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিক্ষিপ্ততার একটি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য প্রবর্তনের সম্ভাব্যতা

7.2। গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্যুতি

7.3। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ

7.4। বৈচিত্র্য গণনা করার জন্য সূত্র

7.5। বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য

7.6। স্বাধীন বিচারে একটি ইভেন্টের সংঘটনের সংখ্যার তারতম্য

7.7। আদর্শ চ্যুতি

7.8। পারস্পরিক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টির প্রমিত বিচ্যুতি

৭.৯। অভিন্নভাবে বিতরণ করা পারস্পরিক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

7.10। প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয় তাত্ত্বিক পয়েন্ট

8. বড় সংখ্যার আইন

8.1। প্রাথমিক মন্তব্য

8.2। চেবিশেভের অসমতা

8.3। চেবিশেভের উপপাদ্য

8.4। চেবিশেভের উপপাদ্যের সারমর্ম

8.5। অনুশীলনের জন্য চেবিশেভের উপপাদ্যের তাৎপর্য

8.6। বার্নোলির উপপাদ্য

একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন

9.1। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের সংজ্ঞা

9.2। বন্টন ফাংশন বৈশিষ্ট্য

9.3। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন গ্রাফ

10. একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব

10.1। বন্টন ঘনত্ব নির্ধারণ

10.2। একটি প্রদত্ত ব্যবধানে একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল হওয়ার সম্ভাবনা

10.3। অভিন্ন সম্ভাব্যতা বন্টনের আইন

11. সাধারণ বিতরণ

11.1। ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য

11.2। স্বাভাবিক বন্টন

11.3। স্বাভাবিক বক্ররেখা

11.4। স্বাভাবিক বক্ররেখার আকৃতিতে স্বাভাবিক বন্টন পরামিতির প্রভাব

11.5। একটি স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা

11.6। প্রদত্ত বিচ্যুতির সম্ভাব্যতা গণনা করা হচ্ছে

11.7। তিনটি সিগমা নিয়ম

11.8। লিয়াপুনভের উপপাদ্যের ধারণা। কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের বিবৃতি

11.9। স্বাভাবিক থেকে তাত্ত্বিক বন্টনের বিচ্যুতির অনুমান। স্কুইনেস এবং কুরটোসিস

11.10। একটি র্যান্ডম আর্গুমেন্টের ফাংশন এবং এর ডিস্ট্রিবিউশন

11.11। একটি এলোমেলো যুক্তির একটি ফাংশনের গাণিতিক প্রত্যাশা

11.12। দুটি এলোমেলো আর্গুমেন্টের ফাংশন। স্বাধীন পদের যোগফলের বণ্টন। স্বাভাবিক বিতরণের স্থিতিশীলতা

11.13। চি বর্গ বিতরণ

11.14। ছাত্র বিতরণ

11.15। ফিশার-স্নেডেকর চ বিতরণ

12. সূচকীয় বন্টন

12.1। সূচকীয় বন্টনের সংজ্ঞা

12.2। সূচকীয়ভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি প্রদত্ত ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা

§ 3. সূচকীয় বন্টনের সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য

12.4। নির্ভরযোগ্যতা ফাংশন

12.5। সূচকীয় নির্ভরযোগ্যতা আইন

12.6। সূচকীয় নির্ভরযোগ্যতা আইনের বৈশিষ্ট্যগত বৈশিষ্ট্য

5.2। একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন। বন্টন বহুভুজ

প্রথম নজরে, এটা মনে হতে পারে যে একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল সংজ্ঞায়িত করার জন্য এটির সমস্ত সম্ভাব্য মান তালিকা করা যথেষ্ট। বাস্তবে এটি তাই নয়: র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একই তালিকা থাকতে পারে সম্ভাব্য মান, এবং তাদের সম্ভাব্যতা ভিন্ন। অতএব, একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল নির্দিষ্ট করার জন্য, এটির সমস্ত সম্ভাব্য মান তালিকাভুক্ত করা যথেষ্ট নয়; আপনাকে তাদের সম্ভাব্যতাগুলিও নির্দেশ করতে হবে।

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইনসম্ভাব্য মান এবং তাদের সম্ভাব্যতার মধ্যে চিঠিপত্র কল করুন; এটি সারণীভাবে, বিশ্লেষণাত্মকভাবে (একটি সূত্রের আকারে) এবং গ্রাফিকভাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে।

সংজ্ঞা।যেকোনো নিয়ম (টেবিল, ফাংশন, গ্রাফ) যা আপনাকে নির্বিচারে ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতা খুঁজে পেতে দেয় ক এস (এস– মহাকাশে ইভেন্টের -বীজগণিত ), বিশেষত, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা এই মানগুলির একটি সেটের পৃথক মানের সম্ভাব্যতা নির্দেশ করে, বলা হয় এলোমেলো পরিবর্তনশীল বন্টন আইন(বা সহজভাবে: বিতরণ) s.v সম্পর্কে তারা বলে যে "এটি বিতরণের একটি প্রদত্ত আইন মেনে চলে।"

দিন এক্স- d.s.v., যা মান নেয় এক্স 1 , এক্স 2 , …, এক্স n,… (এই মানগুলির সেটটি সসীম বা গণনাযোগ্য) কিছু সম্ভাবনা সহ পি i, কোথায় i = 1,2,…, n, … বন্টন আইন d.s.v. সূত্র ব্যবহার করে সেট করা সুবিধাজনক পি i = পৃ{এক্স = এক্স i)কোথায় i = 1,2,…, n,..., যা সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে যে পরীক্ষার ফলে r.v. এক্সমান নেবে এক্স i. d.s.v এর জন্য এক্সবন্টন আইন ফর্ম দেওয়া যেতে পারে বিতরণ টেবিল:

				এক্স n
				আর n

একটি টেবিলে একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের আইন নির্দিষ্ট করার সময়, টেবিলের প্রথম সারিতে সম্ভাব্য মান রয়েছে এবং দ্বিতীয়টি - তাদের সম্ভাব্যতা। যেমন একটি টেবিল বলা হয় বিতরণের কাছাকাছি.

একটি ট্রায়ালে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক এবং শুধুমাত্র একটি সম্ভাব্য মান নেয়, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে ঘটনাগুলি এক্স = এক্স 1 , এক্স = এক্স 2 , ..., এক্স = এক্স nএকটি সম্পূর্ণ গ্রুপ গঠন; অতএব, এই ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতার যোগফল, অর্থাৎ টেবিলের দ্বিতীয় সারির সম্ভাব্যতার যোগফল একের সমান, অর্থাৎ

যদি সম্ভাব্য মান সেট করা হয় এক্স infinitely (গণনাযোগ্যভাবে), তারপর সিরিজ আর 1 + আর 2 + ... একত্রিত হয় এবং এর যোগফল একের সমান।

উদাহরণ।নগদ লটারির জন্য জারি করা 100 টি টিকিট রয়েছে। 50 রুবেলের একটি জয় ড্র হয়। এবং 1 ঘষার দশটি জয়। একটি এলোমেলো চলকের বন্টন আইন খুঁজুন এক্স- একটি লটারি টিকিটের মালিকের জন্য সম্ভাব্য জয়ের খরচ।

সমাধান।এর সম্ভাব্য মান লিখুন এক্স: এক্স 1 = 50, এক্স 2 = 1, এক্স 3 = 0. এই সম্ভাব্য মানগুলির সম্ভাব্যতাগুলি হল: আর 1 = 0,01, আর 2 = 0,01, আর 3 = 1 – (আর 1 + আর 2)=0,89.

আসুন প্রয়োজনীয় বন্টন আইন লিখি:

নিয়ন্ত্রণ: 0.01 + 0.1 + 0.89 = 1।

উদাহরণ।কলশিতে 8টি বল রয়েছে, যার মধ্যে 5টি সাদা, বাকিগুলি কালো। এটি থেকে এলোমেলোভাবে 3 বল টানা হয়। নমুনায় সাদা বলের সংখ্যা বণ্টনের নিয়ম খুঁজুন।

সমাধান। r.v এর সম্ভাব্য মান এক্স- নমুনায় সাদা বলের সংখ্যা রয়েছে এক্স 1 = 0, এক্স 2 = 1, এক্স 3 = 2, এক্স 4 = 3. তাদের সম্ভাব্যতা সেই অনুযায়ী হবে

;
;
.

একটি টেবিল আকারে বন্টন আইন লিখুন.

নিয়ন্ত্রণ:
.

বন্টন আইন d.s.v. গ্রাফিকভাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে যদি r.v. এর সম্ভাব্য মানগুলি অ্যাবসিসা অক্ষে প্লট করা হয় এবং এই মানের সম্ভাব্যতাগুলি অর্ডিনেট অক্ষে প্লট করা হয়। একটি ভাঙা লাইন পর পর সংযোগকারী পয়েন্ট ( এক্স 1 , আর 1), (এক্স 2 , আর 2),... বলা হয় বহুভুজ(বা বহুভুজ) বিতরণ(চিত্র 5.1 দেখুন)।

ভাত। 5.1। বন্টন বহুভুজ

এখন আপনি আরো দিতে পারেন সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা d.s.v.

সংজ্ঞা।এলোমেলো মান X বিচ্ছিন্ন, যদি সংখ্যার একটি সসীম বা গণনাযোগ্য সেট থাকে এক্স 1 , এক্স 2, ... যেমন পৃ{এক্স = এক্স i } = পি i > 0 (i= 1,2,…) এবং পি 1 + পি 2 + আর 3 +… = 1.

বিযুক্ত r.v-তে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করা যাক।

সংজ্ঞা।পরিমাণ (পার্থক্য, কাজ) d.s.v. এক্স, মান গ্রহণ এক্স iসম্ভাবনা সহ পি i = পৃ{এক্স = এক্স i }, i = 1, 2, …, n, এবং d.s.v. Y, মান গ্রহণ y j সম্ভাবনা সহ পি j = পৃ{Y = y j }, j = 1, 2, …, মি, d.s.v বলা হয় জেড = এক্স + Y (জেড = এক্স – Y, জেড = এক্স Y), মান গ্রহণ z ij = এক্স i + y j (z ij = এক্স i – y j , z ij = এক্স i  y j) সম্ভাবনা সহ পি ij = পৃ{এক্স = এক্স i , Y = y j) সমস্ত নির্দিষ্ট মানের জন্য iএবং j. যদি কিছু পরিমাণ মিলে যায় এক্স i + y j (পার্থক্য এক্স i – y j, কাজ করে এক্স i  y j) সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা যোগ করা হয়।

সংজ্ঞা।কাজ d.s.v. চালু সংখ্যা s d.s.v বলা হয় cX, মান গ্রহণ সঙ্গেএক্স iসম্ভাবনা সহ পি i = পৃ{এক্স = এক্স i }.

সংজ্ঞা।দুটি d.s.v. এক্সএবং Yডাকল স্বাধীন, যদি ঘটনা ( এক্স = এক্স i } = ক iএবং ( Y = y j } = খ jযে কোনো জন্য স্বাধীন i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, মি, এটাই

অন্যথায় r.v. ডাকা নির্ভরশীল. বেশ কিছু r.v. পারস্পরিকভাবে স্বাধীন বলা হয় যদি তাদের কোনোটির বণ্টন আইন অন্যান্য পরিমাণের সম্ভাব্য মানগুলির উপর নির্ভর করে না।

সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত বন্টন আইনের কয়েকটি বিবেচনা করা যাক।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের প্রাথমিক ধারণাগুলির জন্য উত্সর্গীকৃত কোর্সের বিভাগে, আমরা ইতিমধ্যে একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণাটি চালু করেছি। এখানে আমরা দেব সামনের অগ্রগতিএই ধারণা এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলিকে বর্ণনা এবং বৈশিষ্ট্যযুক্ত করার উপায়গুলি নির্দেশ করে।

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল একটি পরিমাণ যা পরীক্ষার ফলস্বরূপ, একটি বা অন্য মান গ্রহণ করতে পারে, তবে কোনটি তা আগে থেকে জানা যায় না। আমরা অবিচ্ছিন্ন (বিচ্ছিন্ন) এবং এর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে পার্থক্য করতেও সম্মত হয়েছি ক্রমাগত প্রকার. অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের সম্ভাব্য মান অগ্রিম তালিকাভুক্ত করা যেতে পারে। ক্রমাগত পরিমাণের সম্ভাব্য মানগুলি অগ্রিম তালিকাভুক্ত করা যায় না এবং ক্রমাগত একটি নির্দিষ্ট ফাঁক পূরণ করতে পারে।

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ:

1) তিনটি মুদ্রা টসের সময় অস্ত্রের কোটটির উপস্থিতির সংখ্যা (সম্ভাব্য মান 0, 1, 2, 3);

2) একই পরীক্ষায় অস্ত্রের আবরণের উপস্থিতির ফ্রিকোয়েন্সি (সম্ভাব্য মান);

3) পাঁচটি উপাদান সমন্বিত একটি ডিভাইসে ব্যর্থ উপাদানের সংখ্যা (সম্ভাব্য মানগুলি হল 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) বিমানে আঘাতের সংখ্যা এটিকে নিষ্ক্রিয় করার জন্য যথেষ্ট (সম্ভাব্য মান 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) বিমানের যুদ্ধে গুলি করা বিমানের সংখ্যা (সম্ভাব্য মান 0, 1, 2, ..., N, যুদ্ধে অংশগ্রহণকারী বিমানের মোট সংখ্যা কোথায়)।

ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ:

1) গুলি চালানোর সময় প্রভাবের বিন্দুর অবসিসা (অর্ডিনেট);

2) প্রভাবের বিন্দু থেকে লক্ষ্যের কেন্দ্রের দূরত্ব;

3) উচ্চতা মিটার ত্রুটি;

4) রেডিও টিউবের ব্যর্থতা-মুক্ত অপারেশন সময়।

ক্যাপিটাল অক্ষর দ্বারা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সংশ্লিষ্ট ছোট অক্ষর দ্বারা তাদের সম্ভাব্য মানগুলি বোঝাতে নিম্নলিখিতটিতে আমরা সম্মত হই। উদাহরণস্বরূপ, – তিনটি শট সহ হিটের সংখ্যা; সম্ভাব্য মান:।

আসুন সম্ভাব্য মান সহ একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করি। এই মানগুলির প্রতিটি সম্ভব, তবে নির্দিষ্ট নয়, এবং মান X তাদের প্রতিটিকে কিছু সম্ভাব্যতার সাথে নিতে পারে। পরীক্ষার ফলস্বরূপ, মান X এই মানগুলির একটি গ্রহণ করবে, যেমন বেমানান ইভেন্টগুলির একটি সম্পূর্ণ গ্রুপ ঘটবে:

আসুন সংশ্লিষ্ট সূচকগুলির সাথে p অক্ষর দ্বারা এই ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতা বোঝাই:

যেহেতু বেমানান ঘটনা (5.1.1) একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে, তাহলে

সেগুলো. একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য সকল মানের সম্ভাব্যতার সমষ্টি একটির সমান। এই মোট সম্ভাব্যতা একরকম পৃথক মানগুলির মধ্যে বিতরণ করা হয়। র্যান্ডম ভেরিয়েবলটিকে সম্ভাব্য দৃষ্টিকোণ থেকে সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করা হবে যদি আমরা এই বিতরণটি নির্দিষ্ট করি, যেমন প্রতিটি ঘটনার (5.1.1) সম্ভাব্যতা ঠিক কী আছে তা নির্দেশ করা যাক। এটি দিয়ে আমরা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের তথাকথিত আইন প্রতিষ্ঠা করব।

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বণ্টনের নিয়ম হল যে কোনও সম্পর্ক যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার মধ্যে সংযোগ স্থাপন করে। আমরা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কে বলব যে এটি একটি প্রদত্ত বন্টন আইনের অধীন।

আসুন আমরা সেই ফর্মটি স্থাপন করি যেখানে একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের বন্টন আইন নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। সহজতম ফর্মএই আইনের সংজ্ঞা হল একটি টেবিল যা এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা তালিকাভুক্ত করে:

আমরা এই জাতীয় টেবিলকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ বলব।

ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজকে আরও চাক্ষুষ চেহারা দেওয়ার জন্য, তারা প্রায়শই এর গ্রাফিকাল উপস্থাপনা অবলম্বন করে: র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানগুলি অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর প্লট করা হয় এবং এই মানগুলির সম্ভাব্যতাগুলি অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়। স্বচ্ছতার জন্য, ফলাফল বিন্দু সোজা অংশ দ্বারা সংযুক্ত করা হয়. এই ধরনের চিত্রকে বন্টন বহুভুজ বলা হয় (চিত্র 5.1.1)। বন্টন বহুভুজ, ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজের মতো, সম্পূর্ণরূপে এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে চিহ্নিত করে; এটি বন্টনের আইনের একটি রূপ।

কখনও কখনও বিতরণ সিরিজের তথাকথিত "যান্ত্রিক" ব্যাখ্যা সুবিধাজনক। আসুন আমরা কল্পনা করি যে একটির সমান একটি নির্দিষ্ট ভর অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর এমনভাবে বিতরণ করা হয়েছে যাতে ভরগুলি যথাক্রমে পৃথক বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত হয়। তারপর ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজটিকে আবসিসা অক্ষের উপর অবস্থিত কিছু ভর সহ উপাদান বিন্দুগুলির একটি সিস্টেম হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়।

চলুন বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তাদের বন্টন আইনের সাথে কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 1. একটি পরীক্ষা সঞ্চালিত হয় যেখানে ঘটনাটি প্রদর্শিত হতে পারে বা নাও হতে পারে। ঘটনার সম্ভাবনা 0.3। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করা হয় - একটি প্রদত্ত পরীক্ষায় একটি ইভেন্টের সংঘটনের সংখ্যা (অর্থাৎ একটি ইভেন্টের একটি চরিত্রগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল, এটি প্রদর্শিত হলে মান 1 এবং এটি প্রদর্শিত না হলে 0)। একটি ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ এবং একটি ম্যাগনিচুড ডিস্ট্রিবিউশন বহুভুজ তৈরি করুন।

সমাধান। মানটির মাত্র দুটি মান রয়েছে: 0 এবং 1।

বন্টন বহুভুজ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.1.2।

উদাহরণ 2. একজন শুটার একটি লক্ষ্যবস্তুতে তিনটি গুলি চালায়। প্রতিটি শটে লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা 0.4। প্রতিটি আঘাতের জন্য শুটার পায় 5 পয়েন্ট। স্কোর করা পয়েন্টের সংখ্যার জন্য একটি বিতরণ সিরিজ তৈরি করুন।

সমাধান। স্কোর করা পয়েন্টের সংখ্যা নির্দেশ করা যাক। সম্ভাব্য মান:

আমরা পরীক্ষার পুনরাবৃত্তির উপর উপপাদ্য ব্যবহার করে এই মানগুলির সম্ভাব্যতা খুঁজে পাই:

মান বন্টন সিরিজের ফর্ম আছে:

বন্টন বহুভুজ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.1.3।

উদাহরণ 3. একটি পরীক্ষায় একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সমান। স্বাধীন পরীক্ষার একটি সিরিজ সঞ্চালিত হয়, যা ইভেন্টের প্রথম ঘটনা না হওয়া পর্যন্ত চলতে থাকে, তারপরে পরীক্ষাগুলি বন্ধ হয়ে যায়। এলোমেলো পরিবর্তনশীল – সম্পাদিত পরীক্ষার সংখ্যা। মান বিতরণের একটি সিরিজ তৈরি করুন।

সমাধান। সম্ভাব্য মান: 1, 2, 3, ... (তাত্ত্বিকভাবে তারা কিছু দ্বারা সীমাবদ্ধ নয়)। একটি পরিমাণের মান 1 গ্রহণ করার জন্য, প্রথম পরীক্ষায় ঘটনাটি ঘটতে হবে; এর সম্ভাবনা সমান। একটি রাশির মান 2 গ্রহণ করার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে ঘটনাটি প্রথম পরীক্ষায় প্রদর্শিত হবে না, কিন্তু দ্বিতীয়টিতে প্রদর্শিত হবে; এর সম্ভাবনা সমান, কোথায়, ইত্যাদি। মান বন্টন সিরিজের ফর্ম আছে:

ক্ষেত্রের জন্য বিতরণ বহুভুজের প্রথম পাঁচটি অর্ডিনেট চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.1.4।

উদাহরণ 4. একজন শুটার প্রথম আঘাত না হওয়া পর্যন্ত একটি লক্ষ্যবস্তুতে গুলি চালায়, যার কাছে 4 রাউন্ড গোলাবারুদ রয়েছে। প্রতিটি শটের জন্য একটি আঘাতের সম্ভাবনা 0.6। অব্যয়কৃত গোলাবারুদের পরিমাণের জন্য একটি বিতরণ সিরিজ তৈরি করুন।

সমাধান। র্যান্ডম ভেরিয়েবল - অব্যয়িত কার্তুজের সংখ্যা - এর চারটি সম্ভাব্য মান রয়েছে: 0, 1, 2 এবং 3। এই মানগুলির সম্ভাব্যতাগুলি যথাক্রমে সমান:

মান বন্টন সিরিজের ফর্ম আছে:

বন্টন বহুভুজ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.1.5।

উদাহরণ 5. একটি প্রযুক্তিগত ডিভাইস বিভিন্ন পরিস্থিতিতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং এটির উপর নির্ভর করে, সময়ে সময়ে সামঞ্জস্য প্রয়োজন। ডিভাইসটি একবার ব্যবহার করার সময়, এটি এলোমেলোভাবে একটি অনুকূল বা প্রতিকূল মোডে প্রবেশ করতে পারে। অনুকূল মোডে, ডিভাইসটি সমন্বয় ছাড়াই তিনটি ব্যবহার সহ্য করতে পারে; চতুর্থের আগে এটি সামঞ্জস্য করতে হবে। প্রতিকূল মোডে, ডিভাইসটি প্রথম ব্যবহারের পরে সামঞ্জস্য করা আবশ্যক। ডিভাইসটি একটি অনুকূল মোডে পড়ার সম্ভাবনা 0.7, এবং এটি একটি প্রতিকূল মোডে পড়ার সম্ভাবনা হল 0.3৷ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করা হয় - সামঞ্জস্যের আগে ডিভাইসের ব্যবহারের সংখ্যা। এর বিতরণ সিরিজ তৈরি করুন।

সমাধান। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তিনটি সম্ভাব্য মান রয়েছে: 1, 2 এবং 3। সম্ভাব্যতা যেটি , সম্ভাব্যতার সমান যে ডিভাইসটি প্রথমবার ব্যবহার করা হলে, এটি একটি প্রতিকূল মোডে পড়বে, যেমন . মানটি মান 2 গ্রহণ করার জন্য, ডিভাইসটিকে প্রথম ব্যবহারের সময় একটি অনুকূল মোডে এবং দ্বিতীয় ব্যবহারের সময় একটি প্রতিকূল মোডে থাকতে হবে; এই সম্ভাবনা . মানটি 3 মান নেওয়ার জন্য, ডিভাইসটিকে প্রথম দুইবার একটি অনুকূল মোডে থাকতে হবে (তৃতীয়বারের পরেও এটি সামঞ্জস্য করতে হবে)। এর সম্ভাবনা সমান .

মান বন্টন সিরিজের ফর্ম আছে:

বন্টন বহুভুজ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.1.6।

বিতরণ ফাংশন

পূর্ববর্তী n°-এ আমরা একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্য (বন্টন আইন) হিসাবে বিতরণ সিরিজটি চালু করেছি। যাইহোক, এই বৈশিষ্ট্য সর্বজনীন নয়; এটি শুধুমাত্র অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিদ্যমান। এটা দেখা সহজ যে একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের জন্য এই ধরনের একটি বৈশিষ্ট্য নির্মাণ করা অসম্ভব। প্রকৃতপক্ষে, একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অসীম সংখ্যক সম্ভাব্য মান রয়েছে, সম্পূর্ণরূপে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান পূরণ করে (তথাকথিত "গণনাযোগ্য সেট")। এই জাতীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য মান তালিকাভুক্ত একটি টেবিল তৈরি করা অসম্ভব। তাছাড়া, আমরা পরে দেখতে পাব, একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিটি স্বতন্ত্র মানের সাধারণত কোনো অশূন্য সম্ভাবনা থাকে না। ফলস্বরূপ, একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য কোন ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ নেই যে অর্থে এটি একটি বিচ্ছিন্ন চলকের জন্য বিদ্যমান। যাইহোক, একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানের বিভিন্ন ক্ষেত্র এখনও সমানভাবে সম্ভাব্য নয়, এবং একটি অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবলের জন্য একটি "সম্ভাব্যতা বন্টন" রয়েছে, যদিও একটি বিচ্ছিন্ন একটির মতো একই অর্থে নয়।

এই সম্ভাব্যতা বন্টনকে পরিমাণগতভাবে চিহ্নিত করার জন্য, ইভেন্টের অসম্ভাব্যতা এবং ঘটনার সম্ভাব্যতা ব্যবহার করা সুবিধাজনক, যেখানে কিছু বর্তমান পরিবর্তনশীল। এই ঘটনার সম্ভাবনা স্পষ্টতই নির্ভর করে, এর কিছু ফাংশন আছে। এই ফাংশনটিকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন বলা হয় এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

. (5.2.1)

বন্টন ফাংশনকে কখনও কখনও ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন বা ক্রমবর্ধমান বন্টন আইনও বলা হয়।

ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সবচেয়ে সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য। এটি সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিদ্যমান: অবিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন উভয়ই। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন একটি সম্ভাব্য দৃষ্টিকোণ থেকে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করে, যেমন বণ্টন আইনের অন্যতম রূপ।

ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য তৈরি করা যাক।

1. ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনটি তার আর্গুমেন্টের একটি অ-হ্রাসকারী ফাংশন, যেমন এ

2. মাইনাস ইনফিনিটিতে, ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন শূন্যের সমান: .

3. প্লাস ইনফিনিটিতে, ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন একের সমান: .

এই বৈশিষ্ট্যগুলির একটি কঠোর প্রমাণ না দিয়ে, আমরা একটি ভিজ্যুয়াল জ্যামিতিক ব্যাখ্যা ব্যবহার করে তাদের চিত্রিত করব। এটি করার জন্য, আমরা অক্স অক্ষের (চিত্র 5.2.1) একটি এলোমেলো বিন্দু হিসাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে বিবেচনা করব, যা পরীক্ষার ফলস্বরূপ এক বা অন্য অবস্থান নিতে পারে। তারপর ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হল সম্ভাব্যতা যে পরীক্ষার ফলস্বরূপ একটি এলোমেলো বিন্দু বিন্দুর বাম দিকে পড়বে।

আমরা বৃদ্ধি করব, অর্থাৎ, বিন্দুটিকে অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর ডানদিকে নিয়ে যাব। স্পষ্টতই, এই ক্ষেত্রে, একটি এলোমেলো বিন্দু বাম দিকে পড়ার সম্ভাবনা কমতে পারে না; অতএব, বন্টন ফাংশন বৃদ্ধির সাথে হ্রাস করতে পারে না।

এটি নিশ্চিত করতে, আমরা বিন্দুটিকে অনির্দিষ্টকালের জন্য অ্যাবসিসা বরাবর বাম দিকে নিয়ে যাব। এই ক্ষেত্রে, সীমার মধ্যে বাম দিকে একটি এলোমেলো বিন্দুতে আঘাত করা একটি অসম্ভব ঘটনা হয়ে ওঠে; এটা বিশ্বাস করা স্বাভাবিক যে এই ঘটনার সম্ভাবনা শূন্যের দিকে থাকে, অর্থাৎ .

একইভাবে, বিন্দুটিকে সীমা ছাড়াই ডানদিকে সরানো, আমরা নিশ্চিত করি যে, যেহেতু ঘটনাটি সীমাতে নির্ভরযোগ্য হয়ে ওঠে।

ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন গ্রাফ ইন সাধারণ ক্ষেত্রেএটি একটি অ-হ্রাসমান ফাংশনের একটি গ্রাফ (চিত্র 5.2.2), যার মান 0 থেকে শুরু হয় এবং 1 এ পৌঁছায় এবং কিছু নির্দিষ্ট পয়েন্টে ফাংশনটি লাফিয়ে (বিচ্ছিন্নতা) থাকতে পারে।

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ জেনে, কেউ সহজেই এই ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন তৈরি করতে পারে। সত্যিই,

,

যেখানে সমষ্টি চিহ্নের অধীনে অসমতা নির্দেশ করে যে সমষ্টিটি সেই সমস্ত মানগুলির জন্য প্রযোজ্য যা .

যখন বর্তমান ভেরিয়েবল বিচ্ছিন্ন মানের সম্ভাব্য মানের মধ্য দিয়ে যায়, তখন বন্টন ফাংশন আকস্মিকভাবে পরিবর্তিত হয় এবং লাফের মাত্রা এই মানের সম্ভাব্যতার সমান।

উদাহরণ 1. একটি পরীক্ষা সঞ্চালিত হয় যেখানে ঘটনাটি প্রদর্শিত হতে পারে বা নাও হতে পারে। ঘটনার সম্ভাবনা 0.3। এলোমেলো পরিবর্তনশীল - একটি পরীক্ষায় একটি ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা (একটি ঘটনার চরিত্রগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল)। এর বিতরণ ফাংশন তৈরি করুন।

অভিজ্ঞতা হল কিছু নির্দিষ্ট শর্ত এবং কর্মের কোনো বাস্তবায়ন যার অধীনে অধ্যয়ন করা র্যান্ডম ঘটনা পরিলক্ষিত হয়। পরীক্ষাগুলি গুণগত এবং পরিমাণগতভাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। একটি এলোমেলো পরিমাণ হল এমন একটি পরিমাণ যা পরীক্ষার ফলস্বরূপ, এক বা অন্য মান গ্রহণ করতে পারে এবং কোনটি তা আগে থেকে জানা যায় না।

এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি সাধারণত (X,Y,Z) এবং সংশ্লিষ্ট মানগুলি (x,y,z) চিহ্নিত করা হয়

বিচ্ছিন্ন হল র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেগুলি একে অপরের থেকে আলাদা আলাদা মানগুলি গ্রহণ করে যা অতিরিক্ত মূল্যায়ন করা যেতে পারে। ক্রমাগত পরিমাণসম্ভাব্য মান যা ক্রমাগত একটি নির্দিষ্ট পরিসর পূরণ করে। এলোমেলো ভেরিয়েবলের বণ্টনের নিয়ম হল এমন কোনো সম্পর্ক যা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার মধ্যে সংযোগ স্থাপন করে। বন্টন সারি এবং বহুভুজ। বন্টন আইনের সহজতম রূপ বিচ্ছিন্ন মানবিতরণ সিরিজ. ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজের গ্রাফিক্যাল ব্যাখ্যা হল ডিস্ট্রিবিউশন বহুভুজ।

এছাড়াও আপনি বৈজ্ঞানিক সার্চ ইঞ্জিন Otvety.Online-এ আপনার আগ্রহের তথ্য পেতে পারেন। অনুসন্ধান ফর্ম ব্যবহার করুন:

বিষয়ে আরো 13. বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল। বন্টন বহুভুজ। র্যান্ডম ভেরিয়েবল সহ অপারেশন, উদাহরণ:

1. 13. বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এর বন্টনের নিয়ম। বন্টন বহুভুজ। র্যান্ডম ভেরিয়েবল সহ অপারেশন। উদাহরণ।
2. "এলোমেলো পরিবর্তনশীল" ধারণা এবং এর বর্ণনা। বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং এর বন্টনের আইন (সিরিজ)। স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল। উদাহরণ।
3. 14. এলোমেলো ভেরিয়েবল, তাদের প্রকার। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল (DRV) এর সম্ভাব্যতা বন্টনের আইন। র্যান্ডম ভেরিয়েবল (SV) নির্মাণের পদ্ধতি।
4. 16. একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন। একটি পৃথক এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য: গাণিতিক প্রত্যাশা, বিচ্ছুরণ এবং মান বিচ্যুতি।
5. পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y-এর প্রদত্ত বন্টনের উপর ভিত্তি করে KX, X"1, X + K, XV-এর জন্য বন্টন আইন নির্মাণের উদাহরণ।
6. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ধারণা. বিচ্ছিন্ন মামলা বিতরণের আইন। পরিমাণ এলোমেলোভাবে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ। পরিমাণ

এলোমেলো ভেরিয়েবল: বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন।

একটি স্টোকাস্টিক পরীক্ষা পরিচালনা করার সময়, প্রাথমিক ঘটনাগুলির একটি স্থান গঠিত হয় - সম্ভাব্য ফলাফলএই পরীক্ষা। এটা প্রাথমিক ঘটনা এই স্থান উপর দেওয়া হয় যে বিশ্বাস করা হয় এলোমেলো মান X, যদি একটি আইন (নিয়ম) দেওয়া হয় যা অনুযায়ী প্রতিটি প্রাথমিক ঘটনা একটি সংখ্যার সাথে যুক্ত থাকে। সুতরাং, এলোমেলো পরিবর্তনশীল X প্রাথমিক ঘটনাগুলির স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

■ এলোমেলো পরিবর্তনশীল- একটি পরিমাণ যা প্রতিটি পরীক্ষার জন্য এক বা অন্য লাগে সংখ্যামান(এটি আগে থেকে জানা নেই কোনটি), এলোমেলো কারণগুলির উপর নির্ভর করে যা আগাম বিবেচনা করা যায় না। এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি বড় অক্ষরে নির্দেশিত হয় ল্যাটিন বর্ণমালা, এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানগুলি ছোট। সুতরাং, একটি ডাই নিক্ষেপ করার সময়, x সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত একটি ঘটনা ঘটে, যেখানে x হল বিন্দুর সংখ্যা। পয়েন্টের সংখ্যা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, এবং সংখ্যা 1, 2, 3, 4, 5, 6 এই মানের সম্ভাব্য মান। একটি বন্দুক থেকে গুলি চালানোর সময় একটি প্রজেক্টাইল যে দূরত্ব অতিক্রম করবে তাও একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল (দৃষ্টির ইনস্টলেশন, বাতাসের শক্তি এবং দিক, তাপমাত্রা এবং অন্যান্য কারণগুলির উপর নির্ভর করে), এবং এই মানের সম্ভাব্য মানগুলি অন্তর্গত একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে (a; b)।

■ বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল- একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে পৃথক, বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্য মান গ্রহণ করে। একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানের সংখ্যা সসীম বা অসীম হতে পারে।

■ ক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল- একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা কিছু সীমিত বা অসীম ব্যবধান থেকে সমস্ত মান নিতে পারে। একটানা এলোমেলো চলকের সম্ভাব্য মানের সংখ্যা অসীম।

উদাহরণস্বরূপ, একটি পাশা ছুঁড়ে ফেলার সময় পয়েন্টের সংখ্যা, একটি পরীক্ষার স্কোর হল বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক; বন্দুক থেকে গুলি চালানোর সময় একটি প্রজেক্টাইল যে দূরত্বটি উড়ে যায়, শিক্ষাগত উপাদান আয়ত্ত করার সময় নির্দেশকের পরিমাপের ত্রুটি, একজন ব্যক্তির উচ্চতা এবং ওজন ক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল।

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টন আইন- একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং তাদের সম্ভাব্যতার মধ্যে চিঠিপত্র, যেমন প্রতিটি সম্ভাব্য মান x i সম্ভাব্যতার সাথে যুক্ত হয় p i যার সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এই মানটি নিতে পারে। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন সারণীভাবে (টেবিল আকারে), বিশ্লেষণাত্মকভাবে (একটি সূত্রের আকারে) এবং গ্রাফিকভাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে।

একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক X-কে যথাক্রমে p 1 , p 2 , …, p n সম্ভাব্যতা সহ x 1 , x 2 , …, x n মান নিতে দিন। P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. একটি টেবিলে এই পরিমাণের বন্টন আইন নির্দিষ্ট করার সময়, টেবিলের প্রথম সারিতে সম্ভাব্য মান রয়েছে x 1 , x 2 , ..., x n , এবং দ্বিতীয় সারিতে তাদের সম্ভাব্যতা রয়েছে

এক্স	x 1	x 2	…	x n
পি	পৃ 1	p2	…	p n

পরীক্ষার ফলস্বরূপ, একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক X সম্ভাব্য মানগুলির মধ্যে একটি এবং শুধুমাত্র একটিকে গ্রহণ করে, তাই ঘটনাগুলি X=x 1, X=x 2, ..., X=x n জোড়ার মতো বেমানান একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে। ঘটনা, এবং তাই, এই ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতার যোগফল একের সমান, অর্থাৎ p 1 + p 2 +… + p n =1.

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন। বন্টন বহুভুজ (বহুভুজ)।

আপনি জানেন যে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল একটি পরিবর্তনশীল যা ক্ষেত্রের উপর নির্ভর করে নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করতে পারে। এলোমেলো ভেরিয়েবল বোঝায় বড় অক্ষরেল্যাটিন বর্ণমালা (X, Y, Z), এবং তাদের অর্থ - সংশ্লিষ্ট ছোট হাতের অক্ষরে (x, y, z)। এলোমেলো চলকগুলি বিচ্ছিন্ন (বিচ্ছিন্ন) এবং অবিচ্ছিন্নভাবে বিভক্ত।

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা নির্দিষ্ট অ-শূন্য সম্ভাব্যতার সাথে শুধুমাত্র একটি সসীম বা অসীম (গণনাযোগ্য) মানগুলির সেট নেয়।

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইনএকটি ফাংশন যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানকে তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে সংযুক্ত করে। বন্টন আইন নিম্নলিখিত উপায়ে একটি নির্দিষ্ট করা যেতে পারে.

1. বন্টন আইন টেবিল দ্বারা দেওয়া যেতে পারে:

যেখানে λ>0, k = 0, 1, 2, …।

c) ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x) ব্যবহার করে, যা প্রতিটি মানের জন্য x সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল X x এর চেয়ে কম একটি মান নেবে, যেমন F(x) = P(X< x).

ফাংশনের বৈশিষ্ট্য F(x)

3. বন্টন আইন গ্রাফিকভাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে - একটি বন্টন বহুভুজ (বহুভুজ) দ্বারা (টাস্ক 3 দেখুন)।

উল্লেখ্য, কিছু সমস্যা সমাধানের জন্য বন্টন আইন জানার প্রয়োজন নেই। কিছু ক্ষেত্রে, এক বা একাধিক সংখ্যা জানা যথেষ্ট যা সর্বাধিক প্রতিফলিত করে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যবন্টন আইন। এটি এমন একটি সংখ্যা হতে পারে যার অর্থ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের "গড়" বা একটি সংখ্যা নির্দেশ করে গড় আকারএকটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এর গড় মান থেকে বিচ্যুতি। এই ধরণের সংখ্যাগুলিকে র্যান্ডম চলকের সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য বলা হয়।

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মৌলিক সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য:

• একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল M(X)=Σ x i p i এর গাণিতিক প্রত্যাশা (গড় মান)।
  দ্বিপদী বন্টনের জন্য M(X)=np, পয়সন বন্টনের জন্য M(X)=λ
• একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক D(X)= M 2 বা D(X) = M(X 2)− 2 এর বিচ্ছুরণ। পার্থক্য X–M(X) এর থেকে একটি এলোমেলো চলকের বিচ্যুতি বলা হয় গাণিতিক প্রত্যাশা.
  দ্বিপদী বন্টনের জন্য D(X)=npq, পয়সন বন্টনের জন্য D(X)=λ
• আদর্শ চ্যুতি ( আদর্শ চ্যুতিσ(X)=√D(X)।

· ভিন্নতা সিরিজের উপস্থাপনার স্বচ্ছতার জন্য তাত্পর্যপূর্ণএর গ্রাফিক ছবি আছে। গ্রাফিকভাবে, একটি ভিন্নতা সিরিজকে বহুভুজ, হিস্টোগ্রাম এবং কিউমিলেট হিসাবে চিত্রিত করা যেতে পারে।

· একটি বন্টন বহুভুজ (আক্ষরিক অর্থে একটি বন্টন বহুভুজ) একটি ভাঙা রেখা বলা হয়, যা একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় নির্মিত হয়। অ্যাট্রিবিউটের মান অ্যাবসিসাতে প্লট করা হয়, সংশ্লিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি (বা আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি) - অর্ডিনেটে। বিন্দু (বা) সরলরেখার অংশ দ্বারা সংযুক্ত থাকে এবং একটি বন্টন বহুভুজ পাওয়া যায়। প্রায়শই, বহুভুজ বিযুক্ত চিত্রিত করতে ব্যবহৃত হয় ভিন্নতা সিরিজ, কিন্তু তারা এর জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে ব্যবধান সিরিজ. এই ক্ষেত্রে, এই ব্যবধানগুলির মধ্যবিন্দুগুলির সাথে সম্পর্কিত বিন্দুগুলি অ্যাবসিসা অক্ষের উপর প্লট করা হয়।