রাশিয়ান ভাষার দীর্ঘতম সর্বনাম। মস্কো স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ প্রিন্টিং আর্টস

সিস্টেমের সমস্ত বিন্দুর গতিশক্তির সমষ্টির সমান স্কেলার পরিমাণ T কে সিস্টেমের গতিশক্তি বলা হয়।

গতিশক্তি হল একটি সিস্টেমের অনুবাদমূলক এবং ঘূর্ণন গতির একটি বৈশিষ্ট্য। এর পরিবর্তন বাহ্যিক শক্তির ক্রিয়া দ্বারা প্রভাবিত হয় এবং যেহেতু এটি একটি স্কেলার, এটি সিস্টেমের অংশগুলির গতিবিধির উপর নির্ভর করে না।

চলুন গতির বিভিন্ন ক্ষেত্রে গতিশক্তি খুঁজে বের করা যাক:

1.অগ্রসর আন্দোলন

সিস্টেমের সমস্ত বিন্দুর বেগ ভর কেন্দ্রের বেগের সমান। তারপর

অনুবাদমূলক গতির সময় সিস্টেমের গতিশক্তি সিস্টেমের ভরের অর্ধেক গুণফল এবং ভর কেন্দ্রের বেগের বর্গক্ষেত্রের সমান।

2. ঘূর্ণায়মান আন্দোলন (চিত্র 77)

শরীরের যে কোনো বিন্দুর গতি: . তারপর

অথবা সূত্র ব্যবহার করে (15.3.1):

ঘূর্ণনের সময় একটি দেহের গতিশক্তি ঘূর্ণনের অক্ষ এবং এর কৌণিক বেগের বর্গক্ষেত্রের সাপেক্ষে শরীরের জড়তার মুহুর্তের অর্ধেক গুণফলের সমান।

3. সমতল-সমান্তরাল গতি

একটি প্রদত্ত আন্দোলনের জন্য, গতিশক্তি অনুবাদমূলক এবং ঘূর্ণনশীল আন্দোলনের শক্তি নিয়ে গঠিত

গতির সাধারণ কেসটি শেষের মতো গতিশক্তি গণনা করার জন্য একটি সূত্র দেয়।

আমরা অধ্যায় 14-এর 3 অনুচ্ছেদে কাজ এবং শক্তির সংজ্ঞা তৈরি করেছি। এখানে আমরা একটি যান্ত্রিক সিস্টেমে কাজ করা শক্তির কাজ এবং শক্তি গণনার উদাহরণগুলি দেখব।

1.মাধ্যাকর্ষণ শক্তির কাজ. চলুন, শরীরের k বিন্দুর প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত অবস্থানের স্থানাঙ্ক। এই ওজন কণার উপর অভিকর্ষ বল কাজ করে কাজ করবে . তারপর পূর্ণকালীন চাকুরী:

যেখানে P হল বস্তুগত বিন্দুর সিস্টেমের ওজন, C হল মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের উল্লম্ব স্থানচ্যুতি।

2. একটি ঘূর্ণায়মান শরীরে প্রয়োগ করা শক্তির কাজ.

সম্পর্ক অনুসারে (14.3.1), আমরা লিখতে পারি, কিন্তু চিত্র 74 অনুযায়ী ds, এর অসীম ক্ষুদ্রতার কারণে, আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে - শরীরের ঘূর্ণনের একটি অসীম কোণ। তারপর

মাত্রা টর্ক বলা হয়।

আমরা সূত্র (19.1.6) হিসাবে পুনরায় লিখি

প্রাথমিক কাজ টর্ক বার প্রাথমিক ঘূর্ণনের গুণফলের সমান।

চূড়ান্ত কোণের মাধ্যমে ঘোরানোর সময় আমাদের আছে:

যদি টর্কতারপর ধ্রুবক

এবং আমরা সম্পর্ক থেকে শক্তি নির্ধারণ করি (14.3.5)

ঘূর্ণন সঁচারক বল সময় পণ্য হিসাবে কৌণিক বেগমৃতদেহ

একটি বিন্দু (§ 14.4) এর জন্য প্রমাণিত গতিশক্তির পরিবর্তন সম্পর্কিত উপপাদ্য সিস্টেমের যেকোনো বিন্দুর জন্য বৈধ হবে

সিস্টেমের সমস্ত বিন্দুর জন্য এই ধরনের সমীকরণ রচনা করে এবং সেগুলিকে মেয়াদ অনুসারে যোগ করে, আমরা পাই:

বা, (19.1.1) অনুসারে:

যা একটি সিস্টেমের গতিশক্তির উপর উপপাদ্যের অভিব্যক্তি ডিফারেনশিয়াল ফর্ম.

একীভূতকরণ (19.2.2) আমরা পাই:

গতিশক্তির তার চূড়ান্ত আকারে পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য: কিছু চূড়ান্ত স্থানচ্যুতির সময় একটি সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন সিস্টেমে প্রয়োগ করা সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির এই স্থানচ্যুতির উপর করা কাজের সমষ্টির সমান।

আমাদের যে জোর দেওয়া যাক অভ্যন্তরীণ শক্তিবাদ দেওয়া হয় না। একটি অপরিবর্তনীয় সিস্টেমের জন্য, সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তি দ্বারা সম্পাদিত কাজের যোগফল শূন্য এবং

যদি সিস্টেমে আরোপিত সীমাবদ্ধতা সময়ের সাথে পরিবর্তিত না হয়, তাহলে বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ উভয় শক্তিকে সক্রিয় এবং প্রতিক্রিয়া সীমাবদ্ধতায় ভাগ করা যেতে পারে এবং সমীকরণ (19.2.2) এখন লেখা যেতে পারে:

গতিবিদ্যায়, একটি "আদর্শ" যান্ত্রিক সিস্টেমের ধারণা চালু করা হয়। এটি এমন একটি সিস্টেম যেখানে সংযোগের উপস্থিতি গতিশক্তির পরিবর্তনকে প্রভাবিত করে না, অর্থাৎ

এই ধরনের সংযোগগুলি, যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না এবং প্রাথমিক স্থানচ্যুতিতে যার কাজের যোগফল শূন্য, তাকে আদর্শ বলা হয় এবং সমীকরণ (19.2.5) লেখা হবে:

একটি প্রদত্ত অবস্থান M-এ একটি বস্তুগত বিন্দুর সম্ভাব্য শক্তি হল স্কেলার পরিমাণ P, বিন্দুটিকে M অবস্থান থেকে শূন্যে নিয়ে যাওয়ার সময় ক্ষেত্র বাহিনী যে কাজটি তৈরি করবে তার সমান

P = A (mo) (19.3.1)

সম্ভাব্য শক্তি M বিন্দুর অবস্থানের উপর, অর্থাৎ এর স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে

P = P(x,y,z) (19.3.2)

আসুন আমরা এখানে ব্যাখ্যা করি যে একটি বল ক্ষেত্র হল একটি স্থানিক আয়তনের একটি অংশ, যার প্রতিটি বিন্দুতে একটি নির্দিষ্ট মাত্রা এবং দিকনির্দেশের একটি বল একটি কণার উপর কাজ করে, যা কণার অবস্থানের উপর নির্ভর করে, অর্থাৎ স্থানাঙ্ক x এর উপর, y, z. যেমন পৃথিবীর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র।

স্থানাঙ্কের একটি ফাংশন U যার ডিফারেন্সিয়াল কাজের সমান তাকে বলা হয় পাওয়ার ফাংশন. বল ক্ষেত্র যার জন্য আছে বল ফাংশন, বলা হয় সম্ভাব্য শক্তি ক্ষেত্র, এবং এই ক্ষেত্রে অভিনয় বাহিনী হয় সম্ভাব্য শক্তি.

দিন শূন্য পয়েন্টদুটি বল ফাংশনের জন্য P(x,y,z) এবং U(x,y,z) মিলে যায়।

সূত্র ব্যবহার করে (14.3.5) আমরা পাই, যেমন dA = dU(x,y,z) এবং

যেখানে U হল M বিন্দুতে বল ফাংশনের মান। তাই

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

বল ক্ষেত্রের যেকোনো বিন্দুতে সম্ভাব্য শক্তি এই বিন্দুতে বল ফাংশনের মানের সমান, বিপরীত চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয়।

অর্থাৎ, বল ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করার সময়, বল ফাংশনের পরিবর্তে, আমরা সম্ভাব্য শক্তি বিবেচনা করতে পারি এবং বিশেষত, সমীকরণ (19.3.3) হিসাবে পুনরায় লেখা হবে

একটি সম্ভাব্য শক্তি দ্বারা করা কাজ প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত অবস্থানে একটি চলমান বিন্দুর সম্ভাব্য শক্তি মানের মধ্যে পার্থক্যের সমান।

বিশেষ করে, মহাকর্ষের কাজ:

সিস্টেমের উপর কাজ করে এমন সমস্ত শক্তিকে সম্ভাব্য হতে দিন। তারপর সিস্টেমের প্রতিটি বিন্দু k জন্য কাজ সমান হয়

তারপর বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ উভয় শক্তির জন্যই থাকবে

যেখানে সমগ্র সিস্টেমের সম্ভাব্য শক্তি।

আমরা গতিশক্তি (19.2.3) এর অভিব্যক্তিতে এই যোগফলগুলি প্রতিস্থাপন করি:

বা অবশেষে:

সম্ভাব্য শক্তির প্রভাবে চলার সময়, সিস্টেমের গতি এবং সম্ভাব্য শক্তির সমষ্টি তার প্রতিটি অবস্থানে স্থির থাকে। এটি যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের নিয়ম।

x = 0.1sinl0t আইন অনুসারে 1 কেজি ওজনের একটি লোড অবাধে দোদুল্যমান হয়। বসন্তের দৃঢ়তা সহগ c = 100 N/m. x = 0.05 মিটারে লোডের মোট যান্ত্রিক শক্তি নির্ধারণ করুন, যদি x = 0 এ সম্ভাব্য শক্তি শূন্য হয় . (0,5)

m = 4 kg ভরের একটি লোড, নিচে পড়ে, একটি থ্রেডের সাহায্যে R = 0.4 m ব্যাসার্ধের একটি সিলিন্ডারকে ঘোরায়। ঘূর্ণনের অক্ষের সাপেক্ষে সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্ত হল I = 0.2। লোডের গতি v = 2m/s সময়ের মুহুর্তে দেহের সিস্টেমের গতিশক্তি নির্ধারণ করুন . (10,5)

স্লাইডার ব্যবহার করে শরীরের ওজন মান সেট করুনমি, সমতল প্রবণতা কোণক, বাহ্যিক শক্তি F ext , ঘর্ষণ গুণাঙ্কমিএবং ত্বরণ কআপনার দলের জন্য সারণী 1 এ নির্দেশিত।

একই সময়ে, স্টপওয়াচটি চালু করুন এবং "স্টার্ট" বোতাম টিপুন। আপনার শরীর শেষে থামলে স্টপওয়াচটি বন্ধ করুন আনত তল.

এই পরীক্ষাটি 10 ​​বার করুন এবং টেবিলে আনত সমতল থেকে শরীর স্লাইড করার সময় পরিমাপের ফলাফল রেকর্ড করুন। 2.

সারণী 1. পরীক্ষার প্রাথমিক পরামিতি

ব্রিগেডিয়ার নং
মি, কেজি
মি	0,10
a, deg
এফ ইন, এন
a, m/s 2

সারণী 2. পরিমাপ এবং গণনার ফলাফল

ডাব্লু পি = - ঝুঁকে থাকা সমতলের শীর্ষ বিন্দুতে শরীরের সম্ভাব্য শক্তি;

ডি) - ডিসেন্ট সেকশনে ঘর্ষণ বলের কাজ;

ঙ) - ডিসেন্ট বিভাগে বাহ্যিক শক্তির কাজ

এবং টেবিলের উপযুক্ত সারিগুলিতে এই মানগুলি লিখুন। 2. এই পরামিতিগুলির গড় মানগুলি গণনা করুন এবং সারণি 2-এর "গড় মান" কলামে সেগুলি লিখুন৷

সূত্র ব্যবহার করে (7), যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের আইনের পরিপূর্ণতা পরীক্ষা করুন যখন একটি দেহ একটি ঝোঁক সমতল বরাবর চলে। ত্রুটিগুলি গণনা করুন এবং পরীক্ষার ফলাফলের উপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্তগুলি আঁকুন।

স্ব-নিয়ন্ত্রণের জন্য প্রশ্ন এবং কাজ

1.যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের আইন কি?

2. কোন সিস্টেমের জন্য যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের আইন ধারণ করে?

3.শক্তি এবং কাজের ধারণার মধ্যে পার্থক্য কী?

4. সম্ভাব্য শক্তির পরিবর্তনের কারণ কী?

5. গতিশক্তির পরিবর্তনের কারণ কী?

6. যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের আইনটি পূরণ করার জন্য শরীরের একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের বন্ধ হওয়ার শর্ত পূরণ করা কি প্রয়োজনীয়?

7. কোন শক্তিকে রক্ষণশীল বলা হয়?

8. কোন শক্তিকে অপসারণ বলে?

9.শরীরটি ধীরে ধীরে পাহাড়ে টেনে নিয়ে যাওয়া হয়। পর্বত প্রোফাইলের আকৃতি কি নির্ভর করে: ক) মাধ্যাকর্ষণ কাজ; খ) ঘর্ষণ শক্তি দ্বারা কাজ করা হয়? শরীরের আন্দোলনের শুরু এবং শেষ বিন্দু স্থির করা হয়।

10. একটি শরীর প্রাথমিক গতি ছাড়াই একটি ঝোঁক সমতলের উপর থেকে স্লাইড করে। এটি অনুভূমিক বিভাগে থামা পর্যন্ত শরীরের গতির সমগ্র পথ বরাবর ঘর্ষণ শক্তির কাজ করে: ক) সমতলের প্রবণতার কোণে; খ) ঘর্ষণ সহগ উপর?

11. দুটি দেহ একই উচ্চতা থেকে একটি ঝুঁকে পড়া সমতল থেকে নিচে নেমে আসে: একটি ভর সহমি , ভর 2 সহ আরেকটিমি . কোন বডিটি অনুভূমিক অংশ বরাবর দীর্ঘতম দূরত্ব অতিক্রম করবে এবং কতবার থামবে? উভয় দেহের ঘর্ষণ সহগ একই।

12. ভরের স্লেজ মি H উচ্চতার একটি পাহাড়ের নিচে গড়িয়ে একটি অনুভূমিক অংশে থামল। ঢাল রেখা বরাবর পাহাড়ে ওদের উপরে তুলতে কী কাজ করতে হবে।

13. একই প্রাথমিক গতির সাথে, শরীর পাস করে: ক) একটি বিষণ্নতা; খ) অভিন্ন ট্র্যাজেক্টরি আর্কস এবং অভিন্ন ঘর্ষণ সহগ বিশিষ্ট একটি স্লাইড। উভয় ক্ষেত্রেই পথের শেষে শরীরের গতির তুলনা করুন।

সাহিত্য

1. Trofimova T.I. পদার্থবিদ্যা কোর্স। অধ্যায় 3, §§12,13।

পরিবর্তন নেই

গড় অর্থ

পোগ্র

t, s

v , m/s

এস, মি

ডব্লিউ কে, জে

ডব্লিউ পি, জে

এ ট্র, জে

এ ইন, জে

ডব্লিউ পূর্ণ, জে

ডিফারেনশিয়াল আকারে একটি বিন্দুর গতিশক্তির উপর উপপাদ্য

আমরা যে বিন্দুটি পাই তার প্রাথমিক স্থানচ্যুতি দ্বারা বস্তুগত বিন্দুর গতির সমীকরণের উভয় দিককে স্কেলারলি গুণ করে

অথবা, তারপর থেকে

একটি স্কেলার পরিমাণ বা একটি বিন্দুর ভরের অর্ধেক গুণফল এবং তার গতির বর্গকে একটি বিন্দুর গতিশক্তি বা একটি বিন্দুর জীবন্ত শক্তি বলে।

শেষ সমতা ডিফারেনশিয়াল আকারে একটি বিন্দুর গতিশক্তির উপর উপপাদ্যটির বিষয়বস্তু গঠন করে, যা বলে: একটি বিন্দুর গতিশক্তির পার্থক্য বল বিন্দুতে কাজ করা প্রাথমিক কাজের সমান।

গতিশক্তির উপর উপপাদ্যটির ভৌত অর্থ হল যে একটি বিন্দুর উপর ক্রিয়াশীল একটি শক্তি দ্বারা করা কাজটি গতির গতিশক্তি হিসাবে এটিতে জমা হয়।

অবিচ্ছেদ্য আকারে একটি বিন্দুর গতিশক্তির উপর উপপাদ্য

বিন্দুটিকে A অবস্থান থেকে B অবস্থানে যেতে দিন, এর গতিপথ বরাবর চূড়ান্ত চাপ AB (চিত্র 113)। A থেকে B পর্যন্ত সমতা একীভূত করা:

A এবং B অবস্থানে বিন্দুর বেগ যথাক্রমে কোথায়।

শেষ সমতা অবিচ্ছেদ্য আকারে একটি বিন্দুর গতিশক্তির উপর উপপাদ্যটির বিষয়বস্তু গঠন করে, যা বলে: একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে একটি বিন্দুর গতিশক্তির পরিবর্তন একই সময়ে করা কাজের সমান। জোর করে তার উপর কাজ করা।

ফলস্বরূপ উপপাদ্যটি বৈধ হয় যখন একটি বিন্দু কোন শক্তির প্রভাবে চলে। যাইহোক, নির্দেশিত হিসাবে, একটি শক্তি দ্বারা সম্পন্ন মোট কাজ গণনা করা প্রয়োজন সাধারণ ক্ষেত্রেবিন্দুর গতির সমীকরণ জান।

অতএব, গতিশক্তির উপর উপপাদ্য, সাধারণভাবে বলতে গেলে, গতির সমীকরণের প্রথম অখণ্ডতা দেয় না।

শক্তি অবিচ্ছেদ্য

গতিশক্তির উপপাদ্যটি একটি বিন্দুর গতির সমীকরণের প্রথম অখণ্ডতা দেয় যদি একটি বল দ্বারা সম্পাদিত মোট কাজটি গতির সমীকরণ অবলম্বন না করে নির্ণয় করা যায়। পরবর্তীটি সম্ভব, যেমন পূর্বে নির্দেশিত হয়েছে, যদি বিন্দুতে কাজ করা বলটি বল ক্ষেত্রের অন্তর্গত হয়। এই ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র বিন্দুর গতিপথ জানা যথেষ্ট। একটি বিন্দুর ট্রাজেক্টোরিকে একধরনের বক্ররেখা ধরা যাক, তারপরে এর বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলিকে ট্র্যাজেক্টোরির চাপের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে, এবং তাই, বিন্দুর স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে বল প্রকাশ করা যেতে পারে

এবং গতিশক্তি উপপাদ্য ফর্মের প্রথম অবিচ্ছেদ্য দেয়

কোথায় ট্র্যাজেক্টোরির আর্কসগুলি বিন্দু A এর সাথে সম্পর্কিত এবং এটি ট্র্যাজেক্টোরির স্পর্শকের উপর বলের অভিক্ষেপ (চিত্র 113)।

সম্ভাব্য শক্তি এবং একটি বিন্দুর যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের আইন

একটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রের একটি বিন্দুর গতি বিশেষ আগ্রহের বিষয়, যেহেতু গতিশক্তির উপর উপপাদ্যটি গতির সমীকরণের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অবিচ্ছেদ্য অংশ দেয়।

একটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রে, একটি বল দ্বারা সম্পাদিত মোট কাজ শেষ এবং পথের শুরুতে বল ফাংশনের মানের মধ্যে পার্থক্যের সমান:

অতএব, এই ক্ষেত্রে গতিশক্তি উপপাদ্যটি লেখা হয়েছে:

বিপরীত চিহ্নের সাথে নেওয়া বল ফাংশনকে একটি বিন্দুর সম্ভাব্য শক্তি বলা হয় এবং P অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

সম্ভাব্য শক্তি, সেইসাথে বল ফাংশন, একটি নির্বিচারে ধ্রুবক পর্যন্ত নির্দিষ্ট করা হয়, যার মান শূন্য স্তরের পৃষ্ঠের পছন্দ দ্বারা নির্ধারিত হয়। একটি বিন্দুর গতিশক্তি এবং সম্ভাব্য শক্তির যোগফলকে বিন্দুর মোট যান্ত্রিক শক্তি বলে।

একটি বিন্দুর গতিশক্তির উপর উপপাদ্য, যদি বলটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রের অন্তর্গত হয়, তাহলে এটি লেখা হয়:

বিন্দু A এবং B এর সাথে সম্ভাব্য শক্তির মানগুলি কোথায় সঙ্গতিপূর্ণ। ফলস্বরূপ সমীকরণটি একটি বিন্দুর জন্য যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণের আইনের বিষয়বস্তু গঠন করে, যা বলে: একটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রে চলাকালীন, গতির সমষ্টি এবং বিন্দুর সম্ভাব্য শক্তি স্থির থাকে।

যেহেতু যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণের আইন শুধুমাত্র সম্ভাব্য ক্ষেত্রের অন্তর্গত শক্তিগুলির জন্য বৈধ, তাই এই জাতীয় ক্ষেত্রের শক্তিগুলিকে রক্ষণশীল বলা হয় (ল্যাটিন ক্রিয়া সংরক্ষন থেকে - সংরক্ষণ করা), যা এই ক্ষেত্রে প্রণীত আইনের পরিপূর্ণতার উপর জোর দেয়। লক্ষ্য করুন যে গতিশক্তির ধারণাটি যদি তার সংজ্ঞায় ভৌত ভিত্তিগুলি জানে, তবে সম্ভাব্য শক্তির ধারণাটি এটি নেই। মধ্যে সম্ভাব্য শক্তি ধারণা একটি নির্দিষ্ট অর্থেএকটি কাল্পনিক পরিমাণ যা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যাতে এর মান পরিবর্তনগুলি গতিশক্তির পরিবর্তনের সাথে ঠিক মিলে যায়। গতির সাথে যুক্ত এই পরিমাণের প্রবর্তন গতির বর্ণনায় সাহায্য করে এবং এর কারণে তথাকথিত একটি অপরিহার্য ভূমিকা পালন করে শক্তি বিবরণআন্দোলন, বিশ্লেষণাত্মক মেকানিক্স দ্বারা উন্নত. পরেরটি এই মান প্রবর্তনের অর্থ।

দেহে প্রয়োগ করা সমস্ত শক্তির ফলস্বরূপ কাজ শরীরের গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান।

এই উপপাদ্যটি শুধুমাত্র একটি অনমনীয় শরীরের অনুবাদমূলক গতির জন্যই নয়, এর স্বেচ্ছাচারী গতির ক্ষেত্রেও সত্য।

শুধুমাত্র চলমান দেহেই গতিশক্তি থাকে, তাই একে গতির শক্তি বলা হয়।

§ 8. রক্ষণশীল (সম্ভাব্য) বাহিনী।

রক্ষণশীল শক্তির ক্ষেত্র

ডিফ

বাহিনী, যার কাজটি শরীরের যে পথ ধরে চলেছিল তার উপর নির্ভর করে না, তবে শুধুমাত্র শরীরের প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত অবস্থান দ্বারা নির্ধারিত হয়, রক্ষণশীল (সম্ভাব্য) বাহিনী বলা হয়।

ডিফ

একটি বল ক্ষেত্র হল স্থানের একটি অঞ্চল, যার প্রতিটি বিন্দুতে একটি বল প্রয়োগ করা হয় সেখানে স্থাপিত শরীরের উপর, স্বাভাবিকভাবে স্থান থেকে বিন্দুতে পরিবর্তিত হয়।

ডিফ

যে ক্ষেত্রটি সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না তাকে স্থির বলে।

নিম্নলিখিত 3 বিবৃতি প্রমাণ করা যেতে পারে

1) রক্ষণশীল শক্তি দ্বারা যে কোনো বন্ধ পথ ধরে করা কাজ 0 এর সমান।

প্রমাণ:

2) বাহিনীর একটি সমজাতীয় ক্ষেত্র রক্ষণশীল।

ডিফ

একটি ক্ষেত্রকে সমজাতীয় বলা হয় যদি ক্ষেত্রের সমস্ত বিন্দুতে স্থাপিত দেহের উপর ক্রিয়াশীল শক্তিগুলির মাত্রা এবং দিক অভিন্ন হয়।

প্রমাণ:

3) কেন্দ্রীয় বাহিনীর ক্ষেত্র, যেখানে শক্তির মাত্রা শুধুমাত্র কেন্দ্রের দূরত্বের উপর নির্ভর করে, রক্ষণশীল।

ডিফ

কেন্দ্রীয় বাহিনীর ক্ষেত্র হল একটি বল ক্ষেত্র, যার প্রতিটি বিন্দুতে একটি বল একই স্থির বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি লাইন বরাবর নির্দেশিত - ক্ষেত্রের কেন্দ্র - এটিতে চলমান একটি বিন্দুর উপর কাজ করে।

সাধারণ ক্ষেত্রে, কেন্দ্রীয় বাহিনীর এই ধরনের একটি ক্ষেত্র রক্ষণশীল নয়। যদি, কেন্দ্রীয় বাহিনীর ক্ষেত্রে, শক্তির মাত্রা শুধুমাত্র বল ক্ষেত্রের (O) কেন্দ্রের দূরত্বের উপর নির্ভর করে, অর্থাৎ , তাহলে এই ধরনের একটি ক্ষেত্র রক্ষণশীল (সম্ভাব্য)।

প্রমাণ:

অ্যান্টিডেরিভেটিভ কোথায়?

§ 9. সম্ভাব্য শক্তি।

শক্তি এবং সম্ভাব্য শক্তির মধ্যে সম্পর্ক

রক্ষণশীল শক্তির ক্ষেত্রে

আসুন আমরা রক্ষণশীল শক্তির ক্ষেত্র হিসাবে স্থানাঙ্কের উত্স নির্বাচন করি, অর্থাৎ

রক্ষণশীল শক্তির ক্ষেত্রে একটি শরীরের সম্ভাব্য শক্তি। এই ফাংশনটি অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় (শুধুমাত্র স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে), কারণ রক্ষণশীল শক্তির কাজ পথের ধরনের উপর নির্ভর করে না।

বিন্দু 1 থেকে বিন্দু 2 এ একটি শরীরকে সরানোর সময় রক্ষণশীল শক্তির ক্ষেত্রে একটি সংযোগ খুঁজে বের করা যাক।

রক্ষণশীল শক্তির কাজ বিপরীত চিহ্নের সাথে সম্ভাব্য শক্তির পরিবর্তনের সমান।

রক্ষণশীল শক্তির একটি ক্ষেত্রের একটি শরীরের সম্ভাব্য শক্তি একটি নির্দিষ্ট মিথস্ক্রিয়া থেকে একটি বল ক্ষেত্রের উপস্থিতির কারণে শক্তি। দেওয়া শরীরএকটি বাহ্যিক দেহ (দেহ) সহ, যা একটি বল ক্ষেত্র তৈরি করতে বলা হয়।

রক্ষণশীল শক্তির ক্ষেত্রের সম্ভাব্য শক্তি একটি শরীরের কাজ করার ক্ষমতাকে চিহ্নিত করে এবং সংখ্যাগতভাবে রক্ষণশীল শক্তির কাজের সমান যা দেহকে স্থানাঙ্কের উত্সে (বা শূন্য শক্তি সহ একটি বিন্দুতে) নিয়ে যায়। এটি শূন্য স্তরের পছন্দের উপর নির্ভর করে এবং নেতিবাচক হতে পারে। যে কোনও ক্ষেত্রে, এবং সেইজন্য প্রাথমিক কাজের জন্যও সত্য, যেমন বা , কোথায় আন্দোলন বা প্রাথমিক স্থানচ্যুতির দিকে বল প্রক্ষেপণ করা হয়। তাই, . কারণ আমরা যে কোন দিকে শরীর সরাতে পারি, তারপর যে কোন দিকের জন্য এটি সত্য। একটি রক্ষণশীল শক্তির অভিক্ষেপ একটি নির্বিচারে অভিমুখে বিপরীত চিহ্ন সহ এই দিকের সম্ভাব্য শক্তির ডেরিভেটিভের সমান।

ভেক্টরের সম্প্রসারণ বিবেচনায় নিয়ে এবং ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে , , আমরা তা পাই

অন্যদিকে থেকে গাণিতিক বিশ্লেষণএটা জানা যায় যে সম্পূর্ণ ডিফারেনশিয়ালবিভিন্ন ভেরিয়েবলের ফাংশন যোগফলের সমানআর্গুমেন্ট এবং আর্গুমেন্টের ডিফারেন্সিয়ালের ক্ষেত্রে আংশিক ডেরিভেটিভের পণ্য, যেমন , যার মানে আমরা যে সম্পর্ক থেকে পাই

এই সম্পর্কগুলিকে আরও কম্প্যাক্টলি লিখতে, আপনি একটি ফাংশন গ্রেডিয়েন্টের ধারণা ব্যবহার করতে পারেন।

ডিফ

কিছু স্কেলার স্থানাঙ্ক ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট হল এই ফাংশনের সংশ্লিষ্ট আংশিক ডেরিভেটিভের সমান স্থানাঙ্ক সহ একটি ভেক্টর।

আমাদের ক্ষেত্রে

ডিফ

একটি সমতুল্য পৃষ্ঠ হল রক্ষণশীল শক্তির ক্ষেত্রে বিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থান যার সম্ভাব্য শক্তির মানগুলি একই, যেমন .

কারণ একটি সমতুল্য পৃষ্ঠের সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে এই পৃষ্ঠের বিন্দুগুলির জন্য, তারপর, একটি ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ হিসাবে, অতএব।

এইভাবে, রক্ষণশীল বল সর্বদা ইকুপোটেনশিয়াল পৃষ্ঠের লম্ব হয় এবং সম্ভাব্য শক্তি হ্রাসের দিকে পরিচালিত হয়। (P 1 > P 2 > P 3)।

§ 10. মিথস্ক্রিয়া সম্ভাব্য শক্তি.

রক্ষণশীল যান্ত্রিক সিস্টেম

দুটি ইন্টারঅ্যাক্টিং কণার একটি সিস্টেম বিবেচনা করা যাক। তাদের পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপের শক্তিগুলিকে কেন্দ্রীভূত করা যাক এবং বলের মাত্রা কণাগুলির মধ্যে দূরত্বের উপর নির্ভর করে (এই জাতীয় শক্তিগুলি হল মহাকর্ষীয় এবং বৈদ্যুতিক কুলম্ব বল)। এটা স্পষ্ট যে দুটি কণার মধ্যে মিথস্ক্রিয়া শক্তি অভ্যন্তরীণ।

নিউটনের তৃতীয় সূত্র () বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই, অর্থাৎ দুটি কণার মধ্যে মিথস্ক্রিয়ার অভ্যন্তরীণ শক্তির কাজ তাদের মধ্যে দূরত্বের পরিবর্তন দ্বারা নির্ধারিত হয়।

একই কাজ করা হবে যদি প্রথম কণাটি উৎপত্তিস্থলে বিশ্রামে থাকে এবং দ্বিতীয়টি তার ব্যাসার্ধ ভেক্টরের বৃদ্ধির সমান একটি স্থানচ্যুতি পায়, অর্থাৎ অভ্যন্তরীণ শক্তি দ্বারা করা কাজটি একটি কণাকে স্থির বিবেচনা করে গণনা করা যেতে পারে, এবং কেন্দ্রীয় বাহিনীর ক্ষেত্রে দ্বিতীয় চলমান, যার মাত্রা অনন্যভাবে কণার মধ্যে দূরত্ব দ্বারা নির্ধারিত হয়। §8-এ আমরা প্রমাণ করেছি যে এই ধরনের বাহিনীর ক্ষেত্র (অর্থাৎ কেন্দ্রীয় বাহিনীর ক্ষেত্র, যেখানে শক্তির মাত্রা শুধুমাত্র কেন্দ্রের দূরত্বের উপর নির্ভর করে) রক্ষণশীল, যার মানে তাদের কাজ হ্রাস হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সম্ভাব্য শক্তি (সংজ্ঞায়িত, §9 অনুযায়ী, রক্ষণশীল শক্তির ক্ষেত্রের জন্য)।

বিবেচনাধীন ক্ষেত্রে, এই শক্তি দুটি কণার মিথস্ক্রিয়া যা একটি বন্ধ সিস্টেম তৈরি করে। একে বলা হয় মিথস্ক্রিয়া সম্ভাব্য শক্তি (বা পারস্পরিক সম্ভাব্য শক্তি)। এটি শূন্য স্তরের পছন্দের উপরও নির্ভর করে এবং নেতিবাচক হতে পারে।

ডিফ

অনমনীয় দেহগুলির একটি যান্ত্রিক ব্যবস্থা, যার মধ্যে অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলি রক্ষণশীল, তাকে রক্ষণশীল যান্ত্রিক ব্যবস্থা বলা হয়।

এটি দেখানো যেতে পারে যে N কণাগুলির একটি রক্ষণশীল সিস্টেমের সম্ভাব্য মিথস্ক্রিয়া শক্তি জোড়ায় নেওয়া কণাগুলির সম্ভাব্য মিথস্ক্রিয়া শক্তির সমন্বয়ে গঠিত, যা কল্পনা করা যেতে পারে।

i-th এবং j-th দুটি কণার মধ্যে মিথস্ক্রিয়া সম্ভাব্য শক্তি কোথায়? যোগফলের i এবং j সূচকগুলি 1,2,3, ..., N এর স্বতন্ত্র মান নেয়। বিবেচনা করে যে i-th এবং j-th কণাগুলির একে অপরের সাথে মিথস্ক্রিয়া করার একই সম্ভাব্য শক্তি, তারপর যখন যোগ করা হয় , শক্তি 2 দ্বারা গুণিত হবে, যার ফলে রাশির সামনে একটি সহগ উপস্থিত হবে। সাধারণভাবে, N কণাগুলির একটি সিস্টেমের সম্ভাব্য মিথস্ক্রিয়া শক্তি সমস্ত কণার অবস্থান বা স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করবে। এটা দেখা সহজ যে রক্ষণশীল শক্তির ক্ষেত্রে একটি কণার সম্ভাব্য শক্তি কণার একটি সিস্টেমের মিথস্ক্রিয়া সম্ভাব্য শক্তির একটি প্রকার, কারণ একটি বল ক্ষেত্র একে অপরের সাথে শরীরের কিছু মিথস্ক্রিয়া ফলাফল.

§ 11. মেকানিক্সে শক্তি সংরক্ষণের আইন।

দিন কঠিনরক্ষণশীল এবং অ-রক্ষণশীল শক্তির প্রভাবে এগিয়ে যায়, অর্থাৎ সাধারণ ক্ষেত্রে। তখন দেহের উপর সমস্ত শক্তি ক্রিয়াশীল হয়। এ ক্ষেত্রে সব শক্তির ফলশ্রুতিতে কাজ।

গতিশক্তি উপর উপপাদ্য দ্বারা, এবং একাউন্টে গ্রহণ যে, আমরা প্রাপ্ত

শরীরের মোট যান্ত্রিক শক্তি

যদি, তাহলে। ওইটাই সেটা গাণিতিক স্বরলিপিএকটি পৃথক শরীরের জন্য মেকানিক্সে শক্তি সংরক্ষণের আইন।

শক্তি সংরক্ষণ আইন প্রণয়ন:

অ-রক্ষণশীল শক্তি দ্বারা কাজের অনুপস্থিতিতে শরীরের মোট যান্ত্রিক শক্তি পরিবর্তিত হয় না।

N কণার একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের জন্য এটি (*) ঘটে তা দেখানো সহজ।

যার মধ্যে

এখানে প্রথম যোগফল হল কণা ব্যবস্থার মোট গতিশক্তি।

দ্বিতীয়টি হল রক্ষণশীল শক্তির বাহ্যিক ক্ষেত্রে কণার মোট সম্ভাব্য শক্তি

তৃতীয়টি হল একে অপরের সাথে সিস্টেমের কণার মিথস্ক্রিয়া সম্ভাব্য শক্তি।

দ্বিতীয় এবং তৃতীয় রাশিগুলি সিস্টেমের মোট সম্ভাব্য শক্তির প্রতিনিধিত্ব করে।

অ-রক্ষণশীল শক্তির কাজ দুটি পদ নিয়ে গঠিত, যা অভ্যন্তরীণ এবং বহিরাগত অ-রক্ষণশীল শক্তির কাজকে প্রতিনিধিত্ব করে।

ঠিক যেমন একটি পৃথক দেহের গতির ক্ষেত্রে, N দেহগুলির একটি যান্ত্রিক ব্যবস্থার জন্য, যদি , তারপর , এবং একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের জন্য সাধারণ ক্ষেত্রে শক্তি সংরক্ষণের আইন বলে:

শুধুমাত্র রক্ষণশীল শক্তির প্রভাবের অধীনে থাকা কণাগুলির একটি সিস্টেমের মোট যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষিত হয়।

সুতরাং, অ-রক্ষণশীল শক্তির উপস্থিতিতে, মোট যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষিত হয় না।

অ-রক্ষণশীল শক্তিগুলি হল, উদাহরণস্বরূপ, ঘর্ষণ শক্তি, প্রতিরোধ শক্তি এবং অন্যান্য শক্তি, যেগুলির ক্রিয়াগুলি শক্তি ডিসিনাইজেশন (তাপে যান্ত্রিক শক্তির রূপান্তর) ঘটায়।

ডিসিনাইজেশনের দিকে পরিচালিত শক্তিগুলিকে ডেসিনেটিভ বলা হয়। কিছু শক্তি অগত্যা গন্তব্য নয়।

শক্তি সংরক্ষণের আইনটি সর্বজনীন এবং এটি শুধুমাত্র যান্ত্রিক ঘটনার জন্য নয়, প্রকৃতির সমস্ত প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। দেহ এবং ক্ষেত্রগুলির একটি বিচ্ছিন্ন সিস্টেমে শক্তির মোট পরিমাণ সর্বদা স্থির থাকে। শক্তি শুধুমাত্র এক ফর্ম থেকে অন্য ফর্মে যেতে পারে।

এই সমতা বিবেচনায় নিয়ে

আপনার যদি এই বিষয়ে অতিরিক্ত উপাদানের প্রয়োজন হয়, বা আপনি যা খুঁজছিলেন তা খুঁজে না পান, আমরা আমাদের কাজের ডাটাবেসে অনুসন্ধান ব্যবহার করার পরামর্শ দিই:

প্রাপ্ত উপাদান দিয়ে আমরা কী করব:

যদি এই উপাদানটি আপনার জন্য উপযোগী হয়, আপনি সামাজিক নেটওয়ার্কগুলিতে আপনার পৃষ্ঠায় এটি সংরক্ষণ করতে পারেন:

শরীরে প্রয়োগ করা ফলের শক্তির কাজ শরীরের গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান।

যেহেতু গতিশক্তির পরিবর্তন শক্তির কাজের সমান (3), তাই একটি দেহের গতিশক্তি একই ইউনিটে প্রকাশ করা হয়, যেমন, জুলে।

যদি একটি ভরের শরীরের নড়াচড়ার প্রাথমিক গতি হয় মিশূন্য এবং শরীরের মান তার গতি বৃদ্ধি υ , তাহলে বল দ্বারা করা কাজটি শরীরের গতিশক্তির চূড়ান্ত মানের সমান:

ক=এক 2−এক 1=মি⋅υ 22−0=মি⋅υ 22 .

42) সম্ভাব্য ক্ষেত্র

সম্ভাব্য ক্ষেত্র

রক্ষণশীল ক্ষেত্র, একটি ভেক্টর ক্ষেত্র যার প্রচলন যেকোনো বন্ধ ট্র্যাজেক্টোরি বরাবর শূন্য। যদি একটি বল ক্ষেত্র একটি বল ক্ষেত্র হয়, তাহলে এর অর্থ হল একটি বন্ধ ট্র্যাজেক্টোরি বরাবর ক্ষেত্র বাহিনীর কাজ শূন্যের সমান। পি পি জন্য. ক(এম) যেমন একটি অনন্য ফাংশন আছে u(এম)(ক্ষেত্র সম্ভাবনা) যে ক= স্নাতক u(গ্রেডিয়েন্ট দেখুন)। যদি একটি ক্ষেত্র ক্ষেত্র একটি সহজভাবে সংযুক্ত ডোমেনে দেওয়া হয় Ω, তাহলে সূত্রটি ব্যবহার করে এই ক্ষেত্রের সম্ভাব্যতা পাওয়া যাবে

যেখানে এএম-কোনো মসৃণ বক্ররেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে সংযুক্ত করে কএকটি বিন্দু দিয়ে Ω থেকে এম, টি -স্পর্শক বক্ররেখার একক ভেক্টর এ.এম.এবং / - চাপ দৈর্ঘ্য এ.এম.পয়েন্ট-ভিত্তিক ক.যদি ক(এম) - P. p., তারপর পচা ক= 0 (ভেক্টর ফিল্ড ঘূর্ণি দেখুন)। বিপরীতভাবে, যদি পচা ক= 0 এবং ক্ষেত্রটি একটি সহজভাবে সংযুক্ত ডোমেনে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং তারপরে পার্থক্যযোগ্য ক(এম) - P.p. সম্ভাব্যতা হল, উদাহরণস্বরূপ, একটি ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক ক্ষেত্র, একটি মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র এবং ইরোটেশনাল গতির সময় একটি বেগ ক্ষেত্র।

43) বিভবশক্তি

বিভবশক্তি- স্কেলার শারীরিক পরিমাণ, শক্তির ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে তার অবস্থানের কারণে একটি নির্দিষ্ট দেহের (বা উপাদান বিন্দু) কাজ করার ক্ষমতাকে চিহ্নিত করে। আরেকটি সংজ্ঞা: সম্ভাব্য শক্তি হল স্থানাঙ্কের একটি ফাংশন, যা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সিস্টেমের একটি শব্দ এবং সিস্টেমের উপাদানগুলির মিথস্ক্রিয়া বর্ণনা করে। "সম্ভাব্য শক্তি" শব্দটি 19 শতকে স্কটিশ প্রকৌশলী এবং পদার্থবিদ উইলিয়াম র‍্যাঙ্কাইন দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল।

শক্তির SI একক হল জুল।

মহাকাশে দেহের একটি নির্দিষ্ট কনফিগারেশনের জন্য সম্ভাব্য শক্তি শূন্য বলে ধরে নেওয়া হয়, যার পছন্দ আরও গণনার সুবিধার দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই কনফিগারেশন নির্বাচন করার প্রক্রিয়া বলা হয় সম্ভাব্য শক্তির স্বাভাবিকীকরণ.

সম্ভাব্য শক্তির একটি সঠিক সংজ্ঞা শুধুমাত্র শক্তির একটি ক্ষেত্রে দেওয়া যেতে পারে, যার কাজ শুধুমাত্র শরীরের প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত অবস্থানের উপর নির্ভর করে, কিন্তু এর আন্দোলনের গতিপথের উপর নয়। এই ধরনের শক্তিকে রক্ষণশীল বলা হয়।

এছাড়াও, সম্ভাব্য শক্তি বিভিন্ন সংস্থা বা একটি শরীর এবং একটি ক্ষেত্রের মিথস্ক্রিয়ার একটি বৈশিষ্ট্য।

যে কোন শারীরিক সিস্টেমসর্বনিম্ন সম্ভাব্য শক্তির সাথে রাষ্ট্রের দিকে ঝোঁক।

বিভবশক্তি ইলাস্টিক বিকৃতিশরীরের অংশগুলির মধ্যে মিথস্ক্রিয়া চিহ্নিত করে।

ভূপৃষ্ঠের কাছাকাছি পৃথিবীর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের সম্ভাব্য শক্তি প্রায় সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

কোথায় ই পি- শরীরের সম্ভাব্য শক্তি, মি- শরীরের ভর, g- অভিকর্ষের ত্বরণ, জ- নির্বিচারে নির্বাচিত শূন্য স্তরের উপরে শরীরের ভর কেন্দ্রের উচ্চতা।

44) শক্তি এবং সম্ভাব্য শক্তির মধ্যে সম্পর্ক

সম্ভাব্য ক্ষেত্রের প্রতিটি বিন্দু একদিকে, শরীরের উপর ক্রিয়াশীল বল ভেক্টরের একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে এবং অন্যদিকে, সম্ভাব্য শক্তির একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলে যায়। অতএব, শক্তি এবং সম্ভাব্য শক্তির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক থাকতে হবে।

এই সংযোগ স্থাপনের জন্য, আসুন আমরা মহাকাশে নির্বিচারে নির্বাচিত দিক বরাবর শরীরের একটি ছোট স্থানচ্যুতির সময় ক্ষেত্র বাহিনী দ্বারা সম্পাদিত প্রাথমিক কাজের হিসাব করি, যা আমরা অক্ষর দ্বারা নির্দেশ করি। এই কাজ সমান

যেখানে বল অভিক্ষেপ দিক সম্মুখের দিকে.

মধ্যে থেকে এক্ষেত্রেসম্ভাব্য শক্তির রিজার্ভের কারণে কাজটি করা হয়, এটি অক্ষের অংশে সম্ভাব্য শক্তির ক্ষতির সমান:

শেষ দুটি অভিব্যক্তি থেকে আমরা পেতে

শেষ অভিব্যক্তিটি ব্যবধানে গড় মান দেয়। প্রতি

বিন্দুতে মান পেতে আপনাকে সীমাতে যেতে হবে:

গণিত ভেক্টরে,

যেখানে a হল x, y, z এর একটি স্কেলার ফাংশন, যাকে এই স্কেলারের গ্রেডিয়েন্ট বলা হয় এবং চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় . অতএব, বলটি বিপরীত চিহ্নের সাথে নেওয়া সম্ভাব্য শক্তি গ্রেডিয়েন্টের সমান

45) যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের আইন