পৃষ্ঠা 2
গ্রাফিক্যালি বন্টন আইন বিচ্ছিন্ন মানএকটি তথাকথিত বিতরণ বহুভুজ আকারে দেওয়া হয়.
একটি বন্টন সিরিজের গ্রাফিক্যাল উপস্থাপনা (চিত্র 5 দেখুন) একটি বন্টন বহুভুজ বলা হয়।
ডিস্ট্রিবিউশন আইনের বৈশিষ্ট্য, বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলপ্রায়শই একটি সারি (টেবিল) এবং একটি বিতরণ বহুভুজ ব্যবহার করা হয়।
এটিকে চিত্রিত করার জন্য, বিন্দুগুলি (Y Pi) (x - i Pa) একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে তৈরি করা হয় এবং রেখার অংশ দ্বারা সংযুক্ত করা হয়। বন্টন বহুভুজ একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টনের প্রকৃতির একটি আনুমানিক চাক্ষুষ উপস্থাপনা দেয়।
স্বচ্ছতার জন্য, একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইনটিও গ্রাফিকভাবে চিত্রিত করা যেতে পারে, যার জন্য বিন্দুগুলি (x/, p) একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তৈরি করা হয় এবং তারপরে রেখার অংশ দ্বারা সংযুক্ত করা হয়।
M (xn; pn) (hp - - সম্ভাব্য মান Xt pi - সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা) এবং সোজা অংশগুলির সাথে তাদের সংযোগ করুন। ফলস্বরূপ চিত্রটিকে বন্টন বহুভুজ বলা হয়।
পয়েন্টের সমষ্টির সম্ভাব্যতা বণ্টন বিবেচনা করুন পাশা. নীচের চিত্রগুলি এক, দুই এবং তিনটি হাড়ের ক্ষেত্রে বন্টন বহুভুজ দেখায়।
এই ক্ষেত্রে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি বন্টন বহুভুজের পরিবর্তে, একটি বন্টন ঘনত্ব ফাংশন তৈরি করা হয়, যাকে ডিফারেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন বলা হয় এবং ডিফারেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন আইনকে উপস্থাপন করে। সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল x (x Xr) এর বণ্টন ঘনত্বকে বোঝা হয় x মানের সম্ভাব্যতার অনুপাতের সীমা হিসাবে ব্যবধান (x, x - Ax) থেকে Ax এর মধ্যে পড়ে, যখন Al; শূন্য প্রবণতা. ডিফারেনশিয়াল ফাংশন ছাড়াও, ইন্টিগ্রাল ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন, যাকে প্রায়ই বলা হয় শুধু ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন বা ইন্টিগ্রাল ডিস্ট্রিবিউশন ল, একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টনকে চিহ্নিত করতে ব্যবহৃত হয়।
এই নির্মাণের সাথে, ব্যবধানে পড়ার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলি সংশ্লিষ্ট হিস্টোগ্রাম বারগুলির ক্ষেত্রগুলির সমান হবে, ঠিক যেমন সম্ভাব্যতাগুলি সংশ্লিষ্ট বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডগুলির ক্ষেত্রের সমান হয়, যদি অনুমান করা তাত্ত্বিক বন্টনটি পরীক্ষার সাথে ভালভাবে সম্মত হয় যথেষ্ট বড় n এবং একটি সফল পছন্দের ব্যবধান সহ (YJ-I, y. কখনও কখনও, তুলনার স্বচ্ছতার জন্য, হিস্টোগ্রাম বারের উপরের ভিত্তিগুলির মধ্যবিন্দুগুলিকে ক্রমানুসারে সংযুক্ত করে একটি বন্টন বহুভুজ তৈরি করা হয়।
0 থেকে i পর্যন্ত m বিভিন্ন মান প্রদান করে, সম্ভাব্যতা PQ, P RF - Pn পাওয়া যায়, যা গ্রাফে প্লট করা হয়েছে। দেওয়া পি; z11, একটি সম্ভাব্যতা বন্টন বহুভুজ তৈরি করুন।
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বণ্টন আইন হল এর সম্ভাব্য মান এবং তাদের সম্ভাব্যতার মধ্যে যে কোনো সঙ্গতি। আইনটি ট্যাবুলারলি (বন্টন সিরিজ), গ্রাফিক্যালি (বন্টন বহুভুজ, ইত্যাদি) এবং বিশ্লেষণাত্মকভাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে।
বন্টন বক্ররেখা খোঁজা, অন্য কথায়, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশনকে প্রতিষ্ঠিত করে, এমন একটি ঘটনাকে আরও গভীরভাবে অধ্যয়ন করা সম্ভব করে যা একটি নির্দিষ্ট ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা থেকে দূরে। পাওয়া সমতলকরণ বন্টন বক্ররেখা এবং আংশিক জনসংখ্যা থেকে নির্মিত বিতরণ বহুভুজ উভয়ই অঙ্কন করে, গবেষক স্পষ্টভাবে দেখতে পারেন চারিত্রিক বৈশিষ্ট্যঅধ্যয়ন করা হচ্ছে ঘটনার অন্তর্নিহিত। এর জন্য ধন্যবাদ, পরিসংখ্যান বিশ্লেষণ ঘটনাটির কিছু প্রাকৃতিক পরিবর্তন থেকে পর্যবেক্ষিত ডেটার বিচ্যুতির দিকে গবেষকের মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করে, এবং গবেষক এই বিচ্যুতির কারণগুলি খুঁজে বের করার কাজটির মুখোমুখি হন।
তারপর, ব্যবধানের মাঝখান থেকে অ্যাবসিসাস (একটি স্কেলে) টানা হয়, এই ব্যবধানে খরচ সহ মাসের সংখ্যার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। এই অ্যাবসিসাসের প্রান্তগুলি সংযুক্ত থাকে এবং এইভাবে একটি বহুভুজ বা বিতরণ বহুভুজ পাওয়া যায়।
যে বিন্দুগুলি পরিমাণের মানের স্থানাঙ্ক সমতলে একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলকের বণ্টনের আইনের একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনা দেয় - মানের সম্ভাব্যতা, সাধারণত সরল অংশ দ্বারা সংযুক্ত থাকে এবং ফলস্বরূপ ফলাফলকে বলা হয় জ্যামিতিক চিত্রবিতরণ বহুভুজ। চিত্রে। সারণি 46 এ 3 (পাশাপাশি চিত্র 4 এবং 5 এ) বিতরণ বহুভুজ দেখানো হয়েছে।
বিচ্ছিন্ন একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বলা হয় যা নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে স্বতন্ত্র, বিচ্ছিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে।
উদাহরণ 1.তিনটি মুদ্রা টসে যতবার অস্ত্রের কোট প্রদর্শিত হয়। সম্ভাব্য মান: 0, 1, 2, 3, তাদের সম্ভাব্যতা যথাক্রমে সমান:
P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) =।
উদাহরণ 2।পাঁচটি উপাদান নিয়ে গঠিত একটি ডিভাইসে ব্যর্থ উপাদানের সংখ্যা। সম্ভাব্য মান: 0, 1, 2, 3, 4, 5; তাদের সম্ভাব্যতা নির্ভর করে প্রতিটি উপাদানের নির্ভরযোগ্যতার উপর।
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সএকটি বিতরণ সিরিজ বা একটি বিতরণ ফাংশন (অখণ্ড বন্টন আইন) দ্বারা দেওয়া যেতে পারে।
বিতরণের কাছাকাছি সমস্ত সম্ভাব্য মানগুলির সেট এক্সiএবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা ri = পি(X = xi), এটি একটি টেবিল হিসাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে:
| x i | x n |
|||
| p i | р n |
একই সময়ে, সম্ভাবনা riশর্ত সন্তুষ্ট
ri= 1 কারণ 
সম্ভাব্য মানের সংখ্যা কোথায় nসসীম বা অসীম হতে পারে।
বিতরণ সিরিজের গ্রাফিকাল উপস্থাপনা বন্টন বহুভুজ বলা হয় . এটি তৈরি করতে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান ( এক্সi) x-অক্ষ বরাবর প্লট করা হয় এবং সম্ভাব্যতা ri- অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর; পয়েন্ট কiস্থানাঙ্ক সহ ( এক্সi, рi) ভাঙ্গা লাইন দ্বারা সংযুক্ত করা হয়.
বিতরণ ফাংশন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সফাংশন বলা হয় চ(এক্স), যার মূল্য বিন্দুতে এক্সর্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতার সমান এক্সএই মান থেকে কম হবে এক্স, যে
F(x) = P(X< х).
ফাংশন চ(এক্স) জন্য বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলসূত্র দ্বারা গণনা করা হয়
চ(এক্স) = ri , (1.10.1)
যেখানে সমষ্টি সমস্ত মানের উপর বাহিত হয় i, যার জন্য এক্সi< х.
উদাহরণ 3। 100টি পণ্য সমন্বিত একটি ব্যাচ থেকে, যার মধ্যে 10টি ত্রুটিপূর্ণ, পাঁচটি পণ্য তাদের গুণমান পরীক্ষা করার জন্য এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয়েছে। বিতরণের একটি সিরিজ তৈরি করুন এলোমেলো সংখ্যা এক্সনমুনায় থাকা ত্রুটিপূর্ণ পণ্য।
সমাধান. যেহেতু নমুনায় ত্রুটিপূর্ণ পণ্যের সংখ্যা 0 থেকে 5 সহ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হতে পারে, তাহলে সম্ভাব্য মানগুলি এক্সiএলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সসমান:
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5।
সম্ভাবনা আর(X = k) যে নমুনা ঠিক আছে k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) ত্রুটিপূর্ণ পণ্য, সমান
P (X = k) = .
0.001 এর নির্ভুলতার সাথে এই সূত্রটি ব্যবহার করে গণনার ফলস্বরূপ, আমরা পাই:
r 1 = পি(এক্স = 0) @ 0,583;r 2 = পি(এক্স = 1) @ 0,340;r 3 = পি(এক্স = 2) @ 0,070;
r 4 = পি(এক্স = 3) @ 0,007;r 5 = পি(এক্স= 4) @ 0;r 6 = পি(এক্স = 5) @ 0.
চেক করতে সমতা ব্যবহার করে rk=1, আমরা নিশ্চিত করি যে গণনা এবং রাউন্ডিং সঠিকভাবে সম্পন্ন হয়েছে (সারণী দেখুন)।
| x i | ||||||
| p i |
উদাহরণ 4।একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি বন্টন সিরিজ দেওয়া হয়েছে এক্স :
| x i | |||||
| p i |
সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন খুঁজুন চ(এক্সএই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ) এবং এটি গঠন করুন।
সমাধান. যদি এক্সতাহলে £10 চ(এক্স)= পি(এক্স<এক্স) = 0;
যদি 10<এক্সতাহলে £20 চ(এক্স)= পি(এক্স<এক্স) = 0,2 ;
যদি 20<এক্সতাহলে £30 চ(এক্স)= পি(এক্স<এক্স) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
যদি 30<এক্সতাহলে £40 চ(এক্স)= পি(এক্স<এক্স) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
যদি 40<এক্সতাহলে £50 চ(এক্স)= পি(এক্স<এক্স) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
যদি এক্স> 50, তারপর চ(এক্স)= পি(এক্স<এক্স) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
উত্তরঃ একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন এক্সসম্ভাব্য মান সহ। এই মানগুলির প্রতিটি সম্ভব, তবে নির্দিষ্ট নয়, এবং মান এক্সকিছু সম্ভাবনা সঙ্গে তাদের প্রতিটি গ্রহণ করতে পারেন. পরীক্ষার ফলে, মান এক্সএই মানগুলির মধ্যে একটি গ্রহণ করবে, অর্থাৎ বেমানান ইভেন্টগুলির সম্পূর্ণ গ্রুপের একটি ঘটবে:
আসুন অক্ষর দ্বারা এই ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতা বোঝাই rসংশ্লিষ্ট সূচকগুলির সাথে:
অর্থাৎ, বিভিন্ন মানের সম্ভাব্যতা বন্টন একটি ডিস্ট্রিবিউশন টেবিল দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, যেখানে একটি প্রদত্ত বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা গৃহীত সমস্ত মান উপরের লাইনে নির্দেশিত হয় এবং সংশ্লিষ্ট মানের সম্ভাব্যতাগুলি নীচের লাইনে নির্দেশিত হয়। যেহেতু বেমানান ইভেন্টগুলি (3.1) একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে, তাহলে , অর্থাৎ, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য মানের সম্ভাব্যতার সমষ্টি একটির সমান। অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন একটি সারণী আকারে উপস্থাপিত করা যায় না, কারণ এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের সংখ্যা সীমিত ব্যবধানেও অসীম। তাছাড়া, কোনো বিশেষ মান পাওয়ার সম্ভাবনা শূন্য। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি সম্ভাব্য দৃষ্টিকোণ থেকে সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করা হবে যদি আমরা এই বন্টনটি সংজ্ঞায়িত করি, অর্থাৎ, প্রতিটি ইভেন্টের ঠিক কী সম্ভাবনা রয়েছে তা আমরা নির্দেশ করি। এটি দিয়ে আমরা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের তথাকথিত আইন প্রতিষ্ঠা করব। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন আইন হল যে কোনও সম্পর্ক যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার মধ্যে সংযোগ স্থাপন করে। আমরা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কে বলব যে এটি একটি প্রদত্ত বন্টন আইনের অধীন। আসুন আমরা সেই ফর্মটি স্থাপন করি যেখানে একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলকের বন্টন আইন নির্দিষ্ট করা যেতে পারে এক্স.এই আইনটি নির্দিষ্ট করার সহজতম ফর্মটি হল একটি টেবিল যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা তালিকাভুক্ত করে:
| x i | x 1 | x 2 | × × × | x n |
| p i | পি 1 | পি 2 | × × × | p n |
আমরা এই জাতীয় টেবিলকে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণের একটি সিরিজ বলব এক্স.
ভাত। 3.1
ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজকে আরও চাক্ষুষ চেহারা দেওয়ার জন্য, তারা প্রায়শই এর গ্রাফিকাল উপস্থাপনা অবলম্বন করে: র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানগুলি অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর প্লট করা হয় এবং এই মানগুলির সম্ভাব্যতাগুলি অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়। স্বচ্ছতার জন্য, ফলাফল বিন্দু সোজা অংশ দ্বারা সংযুক্ত করা হয়. এই ধরনের একটি চিত্রকে একটি বন্টন বহুভুজ বলা হয় (চিত্র 3.1)। ডিস্ট্রিবিউশন বহুভুজ, সেইসাথে ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ, সম্পূর্ণরূপে র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে চিহ্নিত করে। এটি বন্টনের আইনের একটি রূপ। কখনও কখনও বিতরণ সিরিজের তথাকথিত "যান্ত্রিক" ব্যাখ্যা সুবিধাজনক। আসুন আমরা কল্পনা করি যে একতার সমান একটি নির্দিষ্ট ভর অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর বিতরণ করা হয়েছে যাতে nভর যথাক্রমে পৃথক বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত হয় 
. তারপর ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজটিকে আবসিসা অক্ষের উপর অবস্থিত কিছু ভর সহ উপাদান বিন্দুগুলির একটি সিস্টেম হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়।
এলোমেলো পরিবর্তনশীলএকটি পরিমাণ যা, পরীক্ষার ফলস্বরূপ, এক বা অন্য মান গ্রহণ করতে পারে যা আগে থেকে জানা যায় না। র্যান্ডম ভেরিয়েবল আছে বিচ্ছিন্ন (বিচ্ছিন্ন)এবং একটানাটাইপ অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের সম্ভাব্য মান অগ্রিম তালিকাভুক্ত করা যেতে পারে। ক্রমাগত পরিমাণের সম্ভাব্য মানগুলি অগ্রিম তালিকাভুক্ত করা যায় না এবং ক্রমাগত একটি নির্দিষ্ট ফাঁক পূরণ করতে পারে।
বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ:
1) তিনটি মুদ্রা টসে অস্ত্রের কোট যতবার প্রদর্শিত হয়। (সম্ভাব্য মান 0;1;2;3)
2) একই পরীক্ষায় কোট অফ আর্মসের উপস্থিতির ফ্রিকোয়েন্সি। (সম্ভাব্য মান)
3) পাঁচটি উপাদান নিয়ে গঠিত একটি ডিভাইসে ব্যর্থ উপাদানের সংখ্যা। (সম্ভাব্য মান 0;1;2;3;4;5)
ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ:
1) গুলি চালানোর সময় প্রভাবের বিন্দুর অ্যাবসিসা (অর্ডিনেট)।
2) প্রভাবের বিন্দু থেকে লক্ষ্যের কেন্দ্রের দূরত্ব।
3) ডিভাইসের আপটাইম (রেডিও টিউব)।
এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি বড় অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এবং তাদের সম্ভাব্য মানগুলি সংশ্লিষ্ট ছোট অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, X হল তিনটি শট সহ হিটের সংখ্যা; সম্ভাব্য মান: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3।
আসুন X 1, X 2, ..., X n সম্ভাব্য মান সহ একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক X বিবেচনা করি। এই মানগুলির প্রতিটি সম্ভব, তবে নির্দিষ্ট নয়, এবং মান X তাদের প্রতিটিকে কিছু সম্ভাব্যতার সাথে নিতে পারে। পরীক্ষার ফলস্বরূপ, X-এর মান এই মানগুলির একটি নেবে, অর্থাৎ, বেমানান ঘটনাগুলির সম্পূর্ণ গ্রুপের একটি ঘটবে।
আসুন সংশ্লিষ্ট সূচকগুলির সাথে p অক্ষর দ্বারা এই ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতাগুলি চিহ্নিত করি:
যেহেতু বেমানান ঘটনা একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে, তাহলে
অর্থাৎ, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য সকল মানের সম্ভাব্যতার যোগফল 1 এর সমান। এই মোট সম্ভাব্যতা কোনো না কোনোভাবে পৃথক মানের মধ্যে বিতরণ করা হয়। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি সম্ভাব্য দৃষ্টিকোণ থেকে সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করা হবে যদি আমরা এই বন্টনটি সংজ্ঞায়িত করি, অর্থাৎ, প্রতিটি ইভেন্টের ঠিক কী সম্ভাবনা রয়েছে তা আমরা নির্দেশ করি। (এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের তথাকথিত আইন প্রতিষ্ঠা করবে।)
এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টনের আইনকোনো সম্পর্ক যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার মধ্যে সংযোগ স্থাপন করে। (আমরা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কে বলব যে এটি একটি প্রদত্ত বন্টন আইনের সাপেক্ষে)
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন নির্দিষ্ট করার সহজতম ফর্ম হল একটি টেবিল যা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা তালিকাভুক্ত করে।
টেবিল 1।
| X i | X 1 | X 2 | … | Xn |
| পি i | পৃ 1 | P2 | … | পি n |
এই টেবিল বলা হয় বিতরণের কাছাকাছিএলোমেলো ভেরিয়েবল।
ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজকে আরও ভিজ্যুয়াল চেহারা দেওয়ার জন্য, তারা এর গ্রাফিকাল উপস্থাপনা অবলম্বন করে: র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানগুলি অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর প্লট করা হয় এবং এই মানের সম্ভাব্যতাগুলি অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়। (স্বচ্ছতার জন্য, ফলস্বরূপ বিন্দুগুলি সরলরেখার অংশ দ্বারা সংযুক্ত।)
চিত্র 1 – বিতরণ বহুভুজ
এই চিত্র বলা হয় বিতরণ বহুভুজ. বন্টন বহুভুজ, ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজের মতো, সম্পূর্ণরূপে এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে চিহ্নিত করে; এটি বন্টনের আইনের একটি রূপ।
উদাহরণ:
একটি পরীক্ষা করা হয় যেখানে ঘটনা A উপস্থিত হতে পারে বা নাও হতে পারে A = 0.3। আমরা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X বিবেচনা করি - একটি প্রদত্ত পরীক্ষায় ঘটনা A এর সংঘটনের সংখ্যা। X মানের বিতরণের একটি সিরিজ এবং বহুভুজ তৈরি করা প্রয়োজন।
টেবিল 2।
| X i | ||
| পি i | 0,7 | 0,3 |
চিত্র 2 - বিতরণ ফাংশন
বিতরণ ফাংশনএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল একটি সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য. এটি সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিদ্যমান: অবিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন উভয়ই। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন একটি সম্ভাব্য দৃষ্টিকোণ থেকে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করে, অর্থাৎ, এটি বন্টন আইনের একটি রূপ।
এই সম্ভাব্যতা বন্টনকে পরিমাণগতভাবে চিহ্নিত করতে, ইভেন্ট X=x এর সম্ভাব্যতা নয়, ইভেন্ট X এর সম্ভাব্যতা ব্যবহার করা সুবিধাজনক। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x) কে কখনও কখনও ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন বা ক্রমবর্ধমান বন্টন আইনও বলা হয়। এলোমেলো ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের বৈশিষ্ট্য 1. ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x) হল এর আর্গুমেন্টের একটি অ-হ্রাসমান ফাংশন, যেটির জন্য; 2. বিয়োগ অসীম এ: 3. অন প্লাস ইনফিনিটি: চিত্র 3 - বিতরণ ফাংশন গ্রাফ বিতরণ ফাংশন গ্রাফসাধারণভাবে, এটি একটি অ-হ্রাসমান ফাংশনের একটি গ্রাফ যার মান 0 থেকে শুরু হয় এবং 1 এ যায়। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ জেনে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন তৈরি করা সম্ভব। উদাহরণ: পূর্ববর্তী উদাহরণের শর্তগুলির জন্য, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ফাংশন তৈরি করুন। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন X তৈরি করা যাক: চিত্র 4 – বিতরণ ফাংশন X বিতরণ ফাংশনযেকোনো বিচ্ছিন্ন বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সবসময় একটি বিচ্ছিন্ন স্টেপ ফাংশন থাকে, যার লাফগুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানের সাথে সম্পর্কিত পয়েন্টে ঘটে এবং এই মানের সম্ভাব্যতার সমান। সমস্ত ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন জাম্পের যোগফল 1 এর সমান. একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে তাদের মধ্যে ব্যবধান হ্রাস পায়, লাফের সংখ্যা আরও বড় হয় এবং লাফগুলি নিজেই ছোট হয়ে যায়: চিত্র 5 ধাপযুক্ত বক্ররেখা মসৃণ হয়ে ওঠে: চিত্র 6 এলোমেলো পরিবর্তনশীল ধীরে ধীরে একটি অবিচ্ছিন্ন মানের কাছে আসে এবং এর বিতরণ ফাংশন একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের কাছে আসে। এছাড়াও র্যান্ডম ভেরিয়েবল রয়েছে যার সম্ভাব্য মান ক্রমাগত একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান পূরণ করে, কিন্তু যার জন্য বিতরণ ফাংশন সর্বত্র অবিচ্ছিন্ন নয়। এবং নির্দিষ্ট পয়েন্টে এটি ভেঙ্গে যায়। এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে মিশ্র বলা হয়। চিত্র 7 একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ধারণা. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টন আইন র্যান্ডম ভেরিয়েবল (সংক্ষেপে: r.v.) বড় ল্যাটিন অক্ষর X, Y, দ্বারা চিহ্নিত করা হয় Z,...(বা ছোট হাতের গ্রিক অক্ষর ξ (xi), η (eta), θ
(থিটা), ψ
(psi), ইত্যাদি), এবং তারা যে মানগুলি গ্রহণ করে তা অনুরূপভাবে ছোট অক্ষরে x 1 ,
x 2 ,…,
1 এ ,
2 এ ,
3 এ …
উদাহরণসঙ্গে। ভি. পরিবেশন করতে পারেন: 1) এক্স- একটি ডাই নিক্ষেপ করার সময় প্রদর্শিত পয়েন্টের সংখ্যা; 2) Y - লক্ষ্যে প্রথম আঘাতের আগে শটের সংখ্যা; ৩) জেড- ডিভাইসের ঝামেলা-মুক্ত অপারেশনের সময়, ইত্যাদি (ব্যক্তির উচ্চতা, ডলারের বিনিময় হার, একটি ব্যাচে ত্রুটিপূর্ণ অংশের সংখ্যা, বায়ুর তাপমাত্রা, খেলোয়াড়ের জয়, একটি বিন্দুর সমন্বয় যদি এটি এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয়, কোম্পানির লাভ, . ..) এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সΏ w X(w), i.e. এক্স= X(w), wО Ώ (বা X = f(w)) (31)
উদাহরণ 1.
পরীক্ষায় একটি মুদ্রা 2 বার টস করা হয়। PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), যেখানে w 1 =
GG, w 2
= GR, w 3 = RG, w 4 =
RR, আপনি পি বিবেচনা করতে পারেন. ভি. এক্স- কোট অফ আর্মসের উপস্থিতির সংখ্যা। S.v. এক্সপ্রাথমিক ঘটনার একটি ফাংশন w i : এক্স( w 1 )
= 2, এক্স( w 2 ) =
1, এক্স( w 3 ) =
1, এক্স( w 4 )=
0; এক্স- d.s ভি. মান x 1 সহ =
0, x 2 =1
, x 3 = 2। X(w) S Р(А) = Р(Х< এক্স)।
এক্স- d.s. ভি।, x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ,… পি আমি,যেখানে i = 1,2,3, ...,n,... বন্টন আইন d.s ভি. p i =P(X=x i},
i=1,2,3,...,n,..., সঙ্গে। ভি. এক্স x i : ঘটনা থেকে (এক্স = x 1 ), (এক্স = x 2),…, (এক্স = x n ), i.e. .
(x 1 ,
পৃ 1 ),
(x 2, p 2), …, (x n, p n) বলা হয় বহুভুজ(বা বহুভুজ) বিতরণ(চিত্র 17 দেখুন)। এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স বিচ্ছিন্ন,যদি x 1 সংখ্যার একটি সসীম বা গণনাযোগ্য সেট থাকে ,
x 2 ,
..., x n এরকম যে P(X = x i ) = p i
> 0 (i = 1,2,...) পৃ 1 +
p2 +
পৃ 3 +…=
1 (32)
পরিমাণ d.s ভি. X, সম্ভাব্যতার সাথে x i মান গ্রহণ করা p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, এবং d.s। ভি. Y, সম্ভাব্যতার সাথে y j মান নিলে p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... m, বলা হয় d.s। ভি. Z = X + Y, সমস্ত নির্দিষ্ট মানের জন্য সম্ভাব্যতা p ij = P( X = x i,Y = y j) সহ z ij = x i + y j মান গ্রহণ করা iএবং জে যদি কিছু যোগফল x i + y j মিলে যায়, তাহলে সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা যোগ করা হয়। পার্থক্য দ্বারা d.s ভি. X, সম্ভাব্যতার সাথে x i মান গ্রহণ করা p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, এবং d.s। ভি. Y, সম্ভাব্যতার সাথে y j মান নিলে p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... m, বলা হয় d.s। ভি. Z = X - Y, সমস্ত নির্দিষ্ট মানের জন্য সম্ভাব্যতা p ij = P ( X = x i ,Y = y j) সহ z ij = x i – y j মান গ্রহণ করা iএবং জে যদি কিছু পার্থক্য x i – y j মিলে যায়, তাহলে সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা যোগ করা হয়। কাজ d.s ভি. X, সম্ভাব্যতার সাথে x i মান গ্রহণ করা p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, এবং d.s। ভি. Y, সম্ভাব্যতার সাথে y j মান নিলে p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... m, বলা হয় d.s। ভি. Z = X × Y, সমস্ত নির্দিষ্ট মানের জন্য সম্ভাব্যতা p ij = P( X = x i,Y = y j) সহ z ij = x i × y j মান গ্রহণ করা iএবং জে যদি কিছু পণ্য x i × y j মিলে যায়, তাহলে সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা যোগ করা হয়। d.s ভি. сХ, с x i р i = Р(Х = x i)। X এবং Y ঘটনা (X = x i) = A i এবং (Y = y j) = B j যেকোনো i= 1,2,...,n এর জন্য স্বাধীন; j = l,2,...,m, i.e P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33) উদাহরণ 2।কলসিতে 8টি বল রয়েছে, যার মধ্যে 5টি সাদা, বাকিগুলি কালো। এটি থেকে এলোমেলোভাবে 3 বল টানা হয়। নমুনায় সাদা বলের সংখ্যা বণ্টনের নিয়ম খুঁজুন।
এক্স x 1 x 2 ….
x n …
পৃ পৃ 1 p2 ….
p n …
