সমাধান।
কোন প্রতীক আঁকা হয়নি এমন সম্ভাবনা: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
তিনটি কোট অফ আর্মস পাওয়ার সম্ভাবনা: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর বন্টন আইন:
| এক্স | 0 | 1 | 2 | 3 |
| পৃ | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
উদাহরণ নং 2। প্রথম শ্যুটারের জন্য একটি শ্যুটার একটি শট দিয়ে লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা 0.8, দ্বিতীয় শ্যুটারের জন্য - 0.85। বন্দুকধারীরা লক্ষ্য করে একটি গুলি করে। স্বতন্ত্র শুটারদের জন্য স্বতন্ত্র ইভেন্ট হিসাবে লক্ষ্যে আঘাত করা বিবেচনা করে, ইভেন্ট A-এর সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন - লক্ষ্যে ঠিক একটি আঘাত।
সমাধান।
ইভেন্ট A বিবেচনা করুন - লক্ষ্যে একটি আঘাত। সম্ভাব্য বিকল্পএই ঘটনার সংঘটন নিম্নরূপ:
- প্রথম শুটার আঘাত, দ্বিতীয় শ্যুটার মিস: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- প্রথম শ্যুটার মিস করেছে, দ্বিতীয় শ্যুটার টার্গেটে আঘাত করেছে: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- প্রথম এবং দ্বিতীয় তীরগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করে: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
জানা যায়, আমার স্নাতকের একটি পরিবর্তনশীল পরিমাণ বলা হয় যা ক্ষেত্রের উপর নির্ভর করে নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করতে পারে। র্যান্ডম ভেরিয়েবল বোঝায় বড় অক্ষরে ল্যাটিন বর্ণমালা(X, Y, Z), এবং তাদের মানগুলি সংশ্লিষ্ট ছোট হাতের অক্ষরে (x, y, z) নির্দেশিত হয়। এলোমেলো চলকগুলি বিচ্ছিন্ন (বিচ্ছিন্ন) এবং অবিচ্ছিন্নভাবে বিভক্ত।
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল ডাকা এলোমেলো মান, নির্দিষ্ট অ-শূন্য সম্ভাবনা সহ শুধুমাত্র একটি সসীম বা অসীম (গণনাযোগ্য) মানের সেট গ্রহণ করা।
একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন একটি ফাংশন যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানকে তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে সংযুক্ত করে। বন্টন আইন নিম্নলিখিত উপায়ে একটি নির্দিষ্ট করা যেতে পারে.
1 . বন্টন আইন টেবিল দ্বারা দেওয়া যেতে পারে:
যেখানে λ>0, k = 0, 1, 2, …।
ভি)ব্যবহার করে বিতরণ ফাংশন F(x) , যা প্রতিটি মানের জন্য x এর সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল X x এর চেয়ে কম একটি মান নেবে, যেমন F(x) = P(X< x).
ফাংশনের বৈশিষ্ট্য F(x)
3 . বন্টন আইন গ্রাফিকভাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে – বন্টন বহুভুজ (বহুভুজ) (সমস্যা 3 দেখুন)।
উল্লেখ্য, কিছু সমস্যা সমাধানের জন্য বন্টন আইন জানার প্রয়োজন নেই। কিছু ক্ষেত্রে, এক বা একাধিক সংখ্যা জানা যথেষ্ট যা সর্বাধিক প্রতিফলিত করে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যবন্টন আইন। এটি এমন একটি সংখ্যা হতে পারে যার অর্থ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের "গড়" বা একটি সংখ্যা নির্দেশ করে গড় আকারএকটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এর গড় মান থেকে বিচ্যুতি। এই ধরণের সংখ্যাগুলিকে র্যান্ডম চলকের সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য বলা হয়।
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মৌলিক সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য :
- গাণিতিক প্রত্যাশা
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের (গড় মান) M(X)=Σ x i p i.
দ্বিপদী বন্টনের জন্য M(X)=np, পয়সন বন্টনের জন্য M(X)=λ - বিচ্ছুরণ
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল D(X)=M2বা D(X) = M(X 2)− 2. পার্থক্য X–M(X) কে তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি এলোমেলো চলকের বিচ্যুতি বলা হয়।
দ্বিপদী বন্টনের জন্য D(X)=npq, পয়সন বন্টনের জন্য D(X)=λ - আদর্শ চ্যুতি (আদর্শ চ্যুতি) σ(X)=√D(X).
"একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের আইন" বিষয়ে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ
কার্যক্রম 1.
1000টি লটারির টিকিট জারি করা হয়েছিল: তাদের মধ্যে 5 জন 500 রুবেল জিতবে, 10 জন 100 রুবেল জিতবে, 20 জন 50 রুবেল জিতবে, 50 জন 10 রুবেল জিতবে৷ এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর সম্ভাব্যতা বণ্টনের আইন নির্ধারণ করুন - প্রতি টিকিটে জয়।
সমাধান। সমস্যার শর্ত অনুসারে, র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর নিম্নলিখিত মানগুলি সম্ভব: 0, 10, 50, 100 এবং 500।
জয়ী না হওয়া টিকিটের সংখ্যা হল 1000 – (5+10+20+50) = 915, তারপর P(X=0) = 915/1000 = 0.915।
একইভাবে, আমরা অন্যান্য সমস্ত সম্ভাব্যতা খুঁজে পাই: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005। আসুন আমরা একটি টেবিল আকারে ফলাফল আইন উপস্থাপন করি:
আসুন X মানের গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে বের করি: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
টাস্ক 3।
ডিভাইসটি তিনটি স্বাধীনভাবে অপারেটিং উপাদান নিয়ে গঠিত। একটি পরীক্ষায় প্রতিটি উপাদানের ব্যর্থতার সম্ভাবনা 0.1। একটি পরীক্ষায় ব্যর্থ উপাদানের সংখ্যার জন্য একটি বন্টন আইন আঁকুন, একটি বিতরণ বহুভুজ তৈরি করুন। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x) খুঁজুন এবং এটি প্লট করুন। একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং আদর্শ বিচ্যুতি খুঁজুন।
সমাধান। 1. বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল X=(একটি পরীক্ষায় ব্যর্থ উপাদানের সংখ্যা) নিম্নলিখিতগুলি রয়েছে৷ সম্ভাব্য মান: x 1 =0 (ডিভাইসের কোনো উপাদান ব্যর্থ হয়েছে), x 2 =1 (একটি উপাদান ব্যর্থ হয়েছে), x 3 =2 (দুটি উপাদান ব্যর্থ হয়েছে) এবং x 4 =3 (তিনটি উপাদান ব্যর্থ হয়েছে)।
উপাদানগুলির ব্যর্থতা একে অপরের থেকে স্বাধীন, প্রতিটি উপাদানের ব্যর্থতার সম্ভাবনা সমান, তাই এটি প্রযোজ্য বার্নোলির সূত্র
. বিবেচনা করে, শর্ত অনুসারে, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, আমরা মানগুলির সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করি:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
চেক করুন: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1।
সুতরাং, X এর কাঙ্খিত দ্বিপদ বন্টন আইনটির ফর্ম রয়েছে:
আমরা অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর x i এর সম্ভাব্য মান এবং অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা p i প্লট করি। চলুন বিন্দু নির্মাণ করি M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001)। এই বিন্দুগুলিকে সরলরেখার অংশগুলির সাথে সংযুক্ত করে, আমরা পছন্দসই বিতরণ বহুভুজ পাই।
3. ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(x) = Р(Х
x ≤ 0 এর জন্য আমাদের আছে F(x) = Р(Х<0) = 0;0 এর জন্য< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 এর জন্য< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
২জনের জন্য< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 এর জন্য F(x) = 1 হবে, কারণ ঘটনাটি নির্ভরযোগ্য।
 |
ফাংশনের গ্রাফ (x)
4.
দ্বিপদী বন্টন X এর জন্য:
- গাণিতিক প্রত্যাশা M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- ভ্যারিয়েন্স D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- আদর্শ বিচ্যুতি σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52।
বিচ্ছিন্ন এলোমেলোভেরিয়েবল হল র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেগুলি শুধুমাত্র সেই মানগুলি নেয় যা একে অপরের থেকে দূরে থাকে এবং যেগুলি আগে থেকে তালিকাভুক্ত করা যেতে পারে।
বন্টন আইন
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন একটি সম্পর্ক যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার মধ্যে একটি সংযোগ স্থাপন করে।
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ হল এর সম্ভাব্য মান এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার তালিকা।
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হল ফাংশন:
,
আর্গুমেন্ট x এর প্রতিটি মানের জন্য সম্ভাব্যতা নির্ণয় করা যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এই x থেকে কম একটি মান নেবে।
একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল প্রত্যাশা
,
একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান কোথায়; - X মান গ্রহণকারী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা।
যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্ভাব্য মানের একটি গণনাযোগ্য সেট নেয়, তাহলে: 
.
n স্বাধীন পরীক্ষায় একটি ঘটনার সংঘটন সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা:
,
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ এবং আদর্শ বিচ্যুতি
একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ: 
বা 
.
n স্বাধীন ট্রায়ালে একটি ঘটনার সংঘটনের সংখ্যার পার্থক্য 
,
যেখানে p হল ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা।
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি: 
.
উদাহরণ 1
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল (DRV) X-এর জন্য সম্ভাব্যতা বন্টনের একটি আইন আঁকুন - n = 8 ডাইসের একটি জোড়া নিক্ষেপে কমপক্ষে একটি "ছয়" এর k সংঘটনের সংখ্যা। একটি বিতরণ বহুভুজ তৈরি করুন। ডিস্ট্রিবিউশনের সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজুন (বন্টন মোড, গাণিতিক প্রত্যাশা M(X), বিচ্ছুরণ D(X), মান বিচ্যুতি s(X))। সমাধান:আসুন স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দিই: ঘটনা A - "এক জোড়া পাশা নিক্ষেপ করার সময়, একটি ছয়টি অন্তত একবার উপস্থিত হয়।" ইভেন্ট A-এর সম্ভাব্যতা P(A) = p খুঁজে বের করার জন্য, প্রথমে বিপরীত ঘটনা Ā-এর সম্ভাব্যতা P(Ā) = q খুঁজে বের করা আরও সুবিধাজনক - "এক জোড়া পাশা নিক্ষেপ করার সময়, একটি ছয়টি কখনও দেখা যায়নি।"
যেহেতু একটি ডাই নিক্ষেপ করার সময় একটি "ছয়" প্রদর্শিত না হওয়ার সম্ভাবনা 5/6, তাহলে সম্ভাব্যতা গুণন উপপাদ্য অনুসারে
P(Ā) = q = =।
যথাক্রমে,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
সমস্যায় পরীক্ষাগুলি বার্নোলি স্কিম অনুসরণ করে, তাই d.s.v. মাত্রা এক্স- সংখ্যা kদুটি পাশা নিক্ষেপ করার সময় কমপক্ষে একটি ছয়ের ঘটনা সম্ভাব্যতা বন্টনের দ্বিপদী আইন মেনে চলে: 
যেখানে = এর সংমিশ্রণের সংখ্যা nদ্বারা k.
এই সমস্যার জন্য সম্পাদিত গণনাগুলি একটি টেবিলের আকারে সুবিধাজনকভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
সম্ভাব্যতা বন্টন d.s.v. এক্স º k (n = 8; পি = ; q = )
| k | ||||||||||
পিএন(k) |
একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টনের বহুভুজ (বহুভুজ) এক্সচিত্রে দেখানো হয়েছে:
ভাত। সম্ভাব্যতা বন্টন বহুভুজ d.s.v. এক্স=k.
উল্লম্ব রেখাটি বন্টনের গাণিতিক প্রত্যাশা দেখায় এম(এক্স).
আসুন d.s.v-এর সম্ভাব্যতা বন্টনের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করি। এক্স. বিতরণ মোড হল 2 (এখানে পৃ 8(2) = 0.2932 সর্বোচ্চ)। সংজ্ঞা অনুসারে গাণিতিক প্রত্যাশা সমান:
এম(এক্স) = = 2,4444,
কোথায় xk = k- d.s.v দ্বারা নেওয়া মান এক্স. ভিন্নতা ডি(এক্স) আমরা সূত্র ব্যবহার করে বিতরণ খুঁজে পাই:
ডি(এক্স) = 
= 4,8097.
স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন (RMS):
s( এক্স) = = 2,1931.
উদাহরণ 2
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সবিতরণ আইন দ্বারা প্রদত্ত
সমাধান।যদি , তারপর (তৃতীয় সম্পত্তি)।
যদি, তাহলে। সত্যিই, এক্সসম্ভাব্যতা 0.3 সহ মান 1 নিতে পারে।
যদি, তাহলে। প্রকৃতপক্ষে, যদি এটি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে
, তারপর ঘটতে পারে এমন একটি ঘটনার সম্ভাবনার সমান এক্সমান 1 (এই ইভেন্টের সম্ভাবনা 0.3) বা মান 4 (এই ইভেন্টের সম্ভাবনা 0.1) নেবে। যেহেতু এই দুটি ঘটনা অসামঞ্জস্যপূর্ণ, তাহলে যোগ উপপাদ্য অনুসারে, একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা 0.3 + 0.1 = 0.4 সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান। যদি, তাহলে। প্রকৃতপক্ষে, ঘটনাটি নিশ্চিত, তাই এর সম্ভাবনা একের সমান। সুতরাং, বিতরণ ফাংশন বিশ্লেষণাত্মকভাবে নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: 
এই ফাংশনের গ্রাফ:
আসুন আমরা এই মানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সম্ভাবনাগুলি খুঁজে বের করি। শর্ত অনুসারে, ডিভাইসগুলির ব্যর্থতার সম্ভাবনা সমান: তারপর ওয়্যারেন্টি সময়কালে ডিভাইসগুলি কাজ করবে এমন সম্ভাবনাগুলি সমান: 
বন্টন আইনের ফর্ম আছে:
শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "বেলারুশিয়ান রাজ্য
কৃষি একাডেমী"
উচ্চতর গণিত বিভাগ
নির্দেশিকা
করেসপন্ডেন্স এডুকেশনের (NISPO) অ্যাকাউন্টিং অনুষদের শিক্ষার্থীদের দ্বারা "র্যান্ডম ভেরিয়েবল" বিষয় অধ্যয়ন করতে
গোর্কি, 2013
এলোমেলো ভেরিয়েবল
বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল
সম্ভাব্যতা তত্ত্বের অন্যতম প্রধান ধারণা হল ধারণা আমার স্নাতকের . আমার স্নাতকের এমন একটি পরিমাণ যা পরীক্ষার ফলস্বরূপ, এর অনেকগুলি সম্ভাব্য মানগুলির মধ্যে শুধুমাত্র একটি গ্রহণ করে এবং কোনটি তা আগে থেকে জানা যায় না।
র্যান্ডম ভেরিয়েবল আছে বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন . বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল (DRV) একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা একে অপরের থেকে বিচ্ছিন্ন সীমিত সংখ্যক মান গ্রহণ করতে পারে, যেমন যদি এই পরিমাণের সম্ভাব্য মানগুলি পুনরায় গণনা করা যায়। ক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল (CNV) একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, সমস্ত সম্ভাব্য মান যার মধ্যে সংখ্যা লাইনের একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান সম্পূর্ণরূপে পূরণ করে।
এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি ল্যাটিন বর্ণমালা X, Y, Z, ইত্যাদির বড় অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানগুলি সংশ্লিষ্ট ছোট অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয়।
রেকর্ড 
মানে "সম্ভাব্যতা যে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স 0.28 এর সমান 5 এর মান নিবে।"
উদাহরণ 1 . পাশা একবার নিক্ষেপ করা হয়. এই ক্ষেত্রে, 1 থেকে 6 পর্যন্ত সংখ্যা উপস্থিত হতে পারে, পয়েন্ট সংখ্যা নির্দেশ করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবল বোঝাই এক্স=(গূর্ণিত পয়েন্টের সংখ্যা)। পরীক্ষার ফলস্বরূপ এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি ছয়টি মানের মধ্যে শুধুমাত্র একটি গ্রহণ করতে পারে: 1, 2, 3, 4, 5 বা 6। অতএব, এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স DSV আছে।
উদাহরণ 2 . যখন একটি পাথর নিক্ষেপ করা হয়, এটি একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবল বোঝাই এক্স=(স্টোন ফ্লাইটের দূরত্ব)। এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান থেকে যেকোন, কিন্তু শুধুমাত্র একটি মান নিতে পারে। অতএব, র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্স NSV আছে।
একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে চিহ্নিত করা হয় এটি যে মানগুলি গ্রহণ করতে পারে এবং সম্ভাব্যতার সাথে এই মানগুলি নেওয়া হয়। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার মধ্যে সঙ্গতিকে বলা হয় একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের আইন .
যদি সমস্ত সম্ভাব্য মান জানা থাকে 
আমার স্নাতকের এক্সএবং সম্ভাবনা 
এই মান চেহারা, তারপর এটা বিশ্বাস করা হয় যে DSV বিতরণের আইন এক্সপরিচিত এবং টেবিল আকারে লেখা যেতে পারে:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
DSV বন্টন আইন গ্রাফিকভাবে চিত্রিত করা যেতে পারে যদি পয়েন্টগুলি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় চিত্রিত করা হয় 
,
,
…,
এবং তাদের সরলরেখার অংশগুলির সাথে সংযুক্ত করুন। ফলস্বরূপ চিত্রটিকে বন্টন বহুভুজ বলা হয়।
উদাহরণ 3 . পরিষ্কারের উদ্দেশ্যে করা শস্যে 10% আগাছা রয়েছে। এলোমেলোভাবে 4টি শস্য নির্বাচন করা হয়েছিল। র্যান্ডম ভেরিয়েবল বোঝাই এক্স=(নির্বাচিত চারটির মধ্যে আগাছার সংখ্যা)। DSV বিতরণ আইন তৈরি করুন এক্সএবং বিতরণ বহুভুজ।
সমাধান . উদাহরণ শর্ত অনুযায়ী. তারপর:
আসুন DSV X এর বন্টন আইনটি টেবিলের আকারে লিখি এবং একটি বিতরণ বহুভুজ তৈরি করি:
|
|
একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল প্রত্যাশা
একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি এর বৈশিষ্ট্য দ্বারা বর্ণনা করা হয়। এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল প্রত্যাশিত মান আমার স্নাতকের.
ডিএসভি বন্টন আইন জানা যাক এক্স:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
গাণিতিক প্রত্যাশা
ডিএসভি এক্সএই পরিমাণের প্রতিটি মানের পণ্যের সমষ্টি এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা: 
.
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা তার সমস্ত মানের পাটিগণিত গড়ের প্রায় সমান। অতএব, ব্যবহারিক সমস্যায়, এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মানকে প্রায়ই গাণিতিক প্রত্যাশা হিসাবে নেওয়া হয়।
উদাহরণ 8 . শ্যুটার 0.1, 0.45, 0.3 এবং 0.15 সম্ভাব্যতার সাথে 4, 8, 9 এবং 10 পয়েন্ট স্কোর করে। এক শট দিয়ে পয়েন্ট সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন।
সমাধান . র্যান্ডম ভেরিয়েবল বোঝাই এক্স=(স্কোর করা পয়েন্টের সংখ্যা)। তারপর এইভাবে, এক শটে স্কোর করা পয়েন্টের প্রত্যাশিত গড় সংখ্যা 8.2, এবং 10 শট সহ - 82।
প্রধান বৈশিষ্ট্য গাণিতিক প্রত্যাশা হল:
.
.
, কোথায় 
,
.
.
, কোথায় এক্সএবং Yস্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল।
পার্থক্য 
ডাকা বিচ্যুতি
আমার স্নাতকের এক্সএর গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে। এই পার্থক্যটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এর গাণিতিক প্রত্যাশা শূন্য, অর্থাৎ 
.
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ
একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে চিহ্নিত করতে, গাণিতিক প্রত্যাশা ছাড়াও, আমরাও ব্যবহার করি বিচ্ছুরণ , যা এটির গাণিতিক প্রত্যাশার চারপাশে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের মানগুলির বিচ্ছুরণ (প্রসারণ) অনুমান করা সম্ভব করে তোলে। সমান গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে দুটি সমজাতীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তুলনা করার সময়, "সর্বোত্তম" মানটিকে কম স্প্রেড হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যেমন কম বিচ্ছুরণ।
ভিন্নতা আমার স্নাতকের এক্সগাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি এলোমেলো চলকের বর্গ বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়: .
ব্যবহারিক সমস্যায়, একটি সমতুল্য সূত্র প্রকরণ গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।
বিচ্ছুরণের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি হল:
.
আমরা বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের সবচেয়ে সাধারণ আইনগুলি হাইলাইট করতে পারি:
- দ্বিপদী বন্টন আইন
- বিষ বিতরণ আইন
- জ্যামিতিক বন্টন আইন
- হাইপারজিওমেট্রিক বন্টন আইন
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রদত্ত বিতরণের জন্য, তাদের মানগুলির সম্ভাব্যতার গণনা, সেইসাথে সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি (গাণিতিক প্রত্যাশা, বৈচিত্র, ইত্যাদি) নির্দিষ্ট "সূত্র" ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়। অতএব, এই ধরনের বিতরণ এবং তাদের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি জানা খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
1. দ্বিপদী বন্টন আইন।
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ দ্বিপদী সম্ভাব্যতা বন্টন আইনের সাপেক্ষে যদি এটি $0,\1,\2,\ \dots ,\n$ এর সাথে সম্ভাব্য $P\left(X=k\right)= মান নেয়। C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$। প্রকৃতপক্ষে, এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$ হল $n$ স্বাধীন ট্রায়ালে $A$ ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা। এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টনের নিয়ম $X$:
$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\হলাইন
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\ডান) \\
\হলাইন
\end(অ্যারে)$
এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা হল $M\left(X\right)=np$, ভ্যারিয়েন্স হল $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$।
উদাহরণ . পরিবারে দুটি সন্তান রয়েছে। একটি ছেলে এবং একটি মেয়ের সমান $0.5$ হওয়ার সম্ভাবনা অনুমান করে, এলোমেলো পরিবর্তনশীল $\xi$ - পরিবারে ছেলেদের সংখ্যা বন্টনের নিয়মটি খুঁজুন।
এলোমেলো চলক $\xi $ হল পরিবারের ছেলেদের সংখ্যা। $\xi যে মানগুলি নিতে পারে:\ 0, \ 1,\ 2$। এই মানের সম্ভাব্যতাগুলি $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে )$, যেখানে $n =2$ হল স্বাধীন ট্রায়ালের সংখ্যা, $p=0.5$ হল $n$ ট্রায়ালের একটি সিরিজে ঘটতে থাকা একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা৷ আমরা পেতে:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right)^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$
তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবল $\xi $ এর ডিস্ট্রিবিউশন আইন হল $0,\1,\2$ এবং তাদের সম্ভাব্যতার মধ্যে সঙ্গতি, অর্থাৎ:
$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
\xi এবং 0 এবং 1 এবং 2 \\
\হলাইন
P(\xi) এবং 0.25 এবং 0.5 এবং 0.25 \\
\হলাইন
\end(অ্যারে)$
বন্টন আইনে সম্ভাব্যতার যোগফল $1$ এর সমান হওয়া উচিত, অর্থাৎ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1।
প্রত্যাশা $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, প্রকরণ $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, আদর্শ বিচ্যুতি $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\ প্রায় $0.707।
2. বিষ বিতরণ আইন।
যদি একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ শুধুমাত্র $0,\1,\2,\\dots ,\n$ $P\left(X=k\right)=((((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
মন্তব্য করুন. এই বিতরণের বিশেষত্ব হল, পরীক্ষামূলক ডেটার উপর ভিত্তি করে, আমরা $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ খুঁজে পাই, যদি প্রাপ্ত অনুমান একে অপরের কাছাকাছি হয়, তাহলে আমাদের আছে দৃঢ়তার কারণ যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল পয়সন বন্টন আইনের অধীন।
উদাহরণ . পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন আইনের সাপেক্ষে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ হতে পারে: আগামীকাল একটি গ্যাস স্টেশন দ্বারা পরিবেশিত গাড়ির সংখ্যা; উত্পাদিত পণ্য ত্রুটিপূর্ণ আইটেম সংখ্যা.
উদাহরণ . কারখানা বেসে $500$ পণ্য পাঠিয়েছে। ট্রানজিটে পণ্যের ক্ষতি হওয়ার সম্ভাবনা $0.002$। ক্ষতিগ্রস্থ পণ্যের সংখ্যার সমান $X$ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের আইন খুঁজুন; $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ কি।
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$ ক্ষতিগ্রস্থ পণ্যের সংখ্যা হতে দিন। এই ধরনের একটি এলোমেলো চলক $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ প্যারামিটার সহ পয়সন বন্টন আইনের সাপেক্ষে। মানের সম্ভাব্যতা $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) এর সমান}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টন আইন $X$:
$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\হলাইন
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\হলাইন
\end(অ্যারে)$
এই ধরনের একটি এলোমেলো চলকের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ একে অপরের সমান এবং পরামিতি $\lambda $ এর সমান, অর্থাৎ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$।
3. জ্যামিতিক বন্টন আইন।
যদি একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ শুধুমাত্র $1,\2,\\dots,\n$ সম্ভাব্যতা সহ প্রাকৃতিক মান নিতে পারে $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) ডান)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, তারপর তারা বলে যে এই ধরনের একটি এলোমেলো চলক $X$ সম্ভাব্যতা বণ্টনের জ্যামিতিক নিয়মের অধীন। আসলে, জ্যামিতিক বন্টন প্রথম সাফল্য পর্যন্ত একটি Bernoulli পরীক্ষা.
উদাহরণ . জ্যামিতিক বন্টন আছে এমন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ হতে পারে: লক্ষ্যে প্রথম আঘাতের আগে শটের সংখ্যা; প্রথম ব্যর্থতা পর্যন্ত ডিভাইস পরীক্ষার সংখ্যা; প্রথম মাথা না আসা পর্যন্ত মুদ্রা নিক্ষেপের সংখ্যা, ইত্যাদি
জ্যামিতিক বণ্টনের সাপেক্ষে একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ যথাক্রমে $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) এর সমান )/p^ $2।
উদাহরণ . স্পনিং সাইটে মাছ চলাচলের পথে একটি $4$ তালা রয়েছে। প্রতিটি লক দিয়ে মাছ যাওয়ার সম্ভাবনা $p=3/5$। এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$-এর বিতরণের একটি সিরিজ তৈরি করুন - লকটিতে প্রথম আটকের আগে মাছের দ্বারা পাস করা তালার সংখ্যা। $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$ খুঁজুন।
র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ হল লক এ প্রথম গ্রেফতারের আগে মাছের দ্বারা পাস করা তালার সংখ্যা। এই ধরনের একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সম্ভাব্যতা বন্টনের জ্যামিতিক আইনের অধীন। র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X যে মানগুলি নিতে পারে:$ 1, 2, 3, 4। এই মানের সম্ভাব্যতাগুলি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, যেখানে: $ p=2/5$ - তালা দিয়ে মাছ ধরা পড়ার সম্ভাবনা, $q=1-p=3/5$ - তালা দিয়ে মাছ যাওয়ার সম্ভাবনা, $k=1,\ 2,\3,\4$।
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right)^0=(2)\ বেশি (5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right)^2=(2)\ বেশি (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right)^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$
$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\হলাইন
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\হলাইন
\end(অ্যারে)$
প্রত্যাশিত মান:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
বিচ্ছুরণ:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\ডান))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$
$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\আনুমানিক 1.377.$
আদর্শ চ্যুতি:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ প্রায় 1,173.$
4. হাইপারজিওমেট্রিক বন্টন আইন।
যদি $N$ অবজেক্ট, যার মধ্যে $m$ অবজেক্টের একটি প্রদত্ত সম্পত্তি থাকে। $n$ অবজেক্টগুলি এলোমেলোভাবে ফিরে না পেয়ে পুনরুদ্ধার করা হয়, যার মধ্যে $k$ অবজেক্ট ছিল যেগুলির একটি প্রদত্ত সম্পত্তি রয়েছে৷ হাইপারজিওমেট্রিক ডিস্ট্রিবিউশন নমুনায় $k$ অবজেক্টের একটি প্রদত্ত সম্পত্তি থাকার সম্ভাবনার অনুমান করা সম্ভব করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ হল নমুনাতে থাকা বস্তুর সংখ্যা যার প্রদত্ত সম্পত্তি আছে। তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের সম্ভাব্যতা $X$:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
মন্তব্য করুন. এক্সেল $f_x$ ফাংশন উইজার্ডের পরিসংখ্যানগত ফাংশন HYPERGEOMET আপনাকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পরীক্ষা সফল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করতে দেয়।
$f_x\to$ পরিসংখ্যানগত$\to$ হাইপারজিওমেট$\to$ ঠিক আছে. একটি ডায়ালগ বক্স প্রদর্শিত হবে যা আপনাকে পূরণ করতে হবে। কলামে নমুনাতে_সাফল্যের_সংখ্যা$k$ মান নির্দেশ করুন। সাধারন মাপসমান $n$। কলামে একত্রে_সাফল্যের_সংখ্যা$m$ মান নির্দেশ করুন। জনসংখ্যার আকার$N$ এর সমান।
জ্যামিতিক বন্টন আইন সাপেক্ষে একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ এর গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ যথাক্রমে $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= সমান। ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$।
উদাহরণ . ব্যাঙ্কের ক্রেডিট বিভাগ উচ্চতর আর্থিক শিক্ষা সহ 5 জন বিশেষজ্ঞ এবং উচ্চ আইনি শিক্ষা সহ 3 জন বিশেষজ্ঞ নিয়োগ করে৷ ব্যাঙ্কের ব্যবস্থাপনা তাদের যোগ্যতার উন্নতির জন্য 3 জন বিশেষজ্ঞ পাঠানোর সিদ্ধান্ত নিয়েছে, তাদের এলোমেলোভাবে নির্বাচন করে।
ক) উচ্চ আর্থিক শিক্ষা সহ বিশেষজ্ঞদের সংখ্যার জন্য একটি বিতরণ সিরিজ তৈরি করুন যাদের তাদের দক্ষতা উন্নত করতে পাঠানো যেতে পারে;
খ) এই বন্টনের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য খুঁজুন।
র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ হল তিনজন নির্বাচিতদের মধ্যে উচ্চতর আর্থিক শিক্ষার সাথে বিশেষজ্ঞদের সংখ্যা। $X যে মানগুলি নিতে পারে: 0,\1,\2,\3$। এই এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$ নিম্নলিখিত পরামিতিগুলির সাথে একটি হাইপারজ্যামিতিক বন্টন অনুসারে বিতরণ করা হয়: $N=8$ - জনসংখ্যার আকার, $m=5$ - জনসংখ্যার সাফল্যের সংখ্যা, $n=3$ - নমুনার আকার, $ k=0,\1, \2,\3$ - নমুনায় সাফল্যের সংখ্যা। তারপর $P\left(X=k\right)$ সূত্রটি ব্যবহার করে সম্ভাব্যতা গণনা করা যেতে পারে: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_(N)^(n) ) $ এর বেশি। আমাদের আছে:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\প্রায় 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\প্রায় 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\প্রায় 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\প্রায় 0.179.$
তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ $X$:
$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\হলাইন
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\হলাইন
\end(অ্যারে)$
সাধারণ হাইপার সূত্র ব্যবহার করে এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$ এর সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য গণনা করা যাক জ্যামিতিক বিতরণ.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-(3)\over (8) ))\ডান))\over (8-1))=((225)\over (448))\আনুমানিক 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ প্রায় 0.7085.$
