বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বণ্টনের আইন। জ্যামিতিক বিতরণ

লেকচার 8

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন।দ্বিপদ ডিস্ট্রিবিউশন. বিষ বিতরণ। জ্যামিতিক বিতরণ। ফাংশন তৈরি করা হচ্ছে।

6. সম্ভাব্যতা বিতরণ
বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

দ্বিপদ ডিস্ট্রিবিউশন

এটি উত্পাদন করা যাক nস্বাধীন ট্রায়াল, যার প্রতিটি ইভেন্ট কএটি প্রদর্শিত হতে পারে বা নাও হতে পারে। সম্ভাবনা পিএকটি ঘটনার সংঘটন কসমস্ত পরীক্ষায় ধ্রুবক এবং পরীক্ষা থেকে পরীক্ষায় পরিবর্তন হয় না। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করুন X ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা কএই পরীক্ষায়। ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা খুঁজে বের করার সূত্র ক
মসৃণ kপ্রতি একবার nপরীক্ষা, হিসাবে পরিচিত, বর্ণনা করা হয় বার্নউলির সূত্র

Bernoulli এর সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত সম্ভাব্যতা বন্টন বলা হয় দ্বিপদ .

এই আইনটিকে "দ্বিপদ" বলা হয় কারণ ডানদিকের দিকটিকে নিউটনের দ্বিপদ সম্প্রসারণের ক্ষেত্রে একটি সাধারণ শব্দ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

একটি টেবিল আকারে দ্বিপদ সূত্র লিখি

আসুন এই বিতরণের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করি।

.

আসুন আমরা সমতা লিখি, যা নিউটনের বাইনারি

.

এবং পি এর সাপেক্ষে এটিকে আলাদা করুন। ফলে আমরা পাই

.

বাম এবং ডান দিক দিয়ে গুণ করুন পি:

.

সেই বিবেচনায় p+q=1, আমাদের আছে

(6.2)

তাই, n স্বাধীন ট্রায়ালে ঘটনার সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা প্রতিটি ট্রায়ালে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা p দ্বারা ট্রায়ালের সংখ্যার গুণফলের সমান.

চলুন সূত্র ব্যবহার করে প্রকরণ গণনা করা যাক

এ জন্য আমরা খুঁজে বের করব

.

আসুন প্রথমে নিউটনের দ্বিপদী সূত্রটিকে সাপেক্ষে দুইবার আলাদা করি পি:

এবং সমতার উভয় পক্ষকে দ্বারা গুণ করুন পি 2:

তাই,

সুতরাং, দ্বিপদ বণ্টনের প্রকরণ হল

. (6.3)

এই ফলাফলগুলি সম্পূর্ণরূপে গুণগত যুক্তি থেকেও পাওয়া যেতে পারে। সমস্ত ট্রায়াল জুড়ে ইভেন্ট A-এর সংঘটনের মোট সংখ্যা X হল পৃথক ট্রায়ালে ইভেন্টের সংঘটনের সংখ্যার যোগফল। অতএব, যদি X 1 হল প্রথম ট্রায়ালে ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা, X 2 – দ্বিতীয়টিতে, ইত্যাদি, তাহলে সমস্ত ট্রায়ালে ঘটনা A এর মোট সংঘটনের সংখ্যা X = X 1 + X 2 এর সমান +…+এক্স n. গাণিতিক প্রত্যাশার সম্পত্তি অনুসারে:

সমতার ডান দিকের প্রতিটি পদ হল একটি বিচারে ইভেন্টের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা, যা ঘটনার সম্ভাব্যতার সমান। এইভাবে,

বিচ্ছুরণ সম্পত্তি অনুযায়ী:

যেহেতু , এবং একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা, যা শুধুমাত্র দুটি মান নিতে পারে, যথা 1 2 সম্ভাবনা সহ পিএবং 0 2 সম্ভাবনা সহ q, যে. এইভাবে, ফলস্বরূপ, আমরা পাই

প্রারম্ভিক এবং কেন্দ্রীয় মুহুর্তের ধারণা ব্যবহার করে, আমরা অসমতা এবং কুরটোসিসের সূত্র পেতে পারি:

. (6.4)

দ্বিপদী বণ্টনের বহুভুজটির নিম্নলিখিত রূপ রয়েছে (চিত্র 6.1 দেখুন)। সম্ভাবনা পি n(k) প্রথমে বৃদ্ধির সাথে বৃদ্ধি পায় k, তার সর্বোচ্চ মান পৌঁছায় এবং তারপর কমতে শুরু করে। ক্ষেত্রে ব্যতীত দ্বিপদী বন্টন তির্যক পি=0.5। উল্লেখ্য যে প্রচুর পরিক্ষার সাথে nদ্বিপদী বন্টন স্বাভাবিকের খুব কাছাকাছি। (এই প্রস্তাবের যৌক্তিকতা Moivre-Laplace-এর স্থানীয় উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কিত।)

একটি ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা m 0 বলা হয় সম্ভবত, যদি পরীক্ষার এই সিরিজে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বার একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি হয় (বন্টন বহুভুজে সর্বাধিক). দ্বিপদ বিতরণের জন্য

. (6.5)

মন্তব্য করুন। এই অসমতা দ্বিপদী সম্ভাব্যতার জন্য পুনরাবৃত্ত সূত্র ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে:

(6.6)

উদাহরণ 6.1।এই এন্টারপ্রাইজে প্রিমিয়াম পণ্যের শেয়ার 31%। 75টি পণ্যের এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ব্যাচের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র, সেইসাথে প্রিমিয়াম পণ্যগুলির সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যা কী?

সমাধান। কারন পি=0,31, q=0,69, n=75, তারপর

এম[ এক্স] = n.p= 75×0.31 = 23.25; ডি[ এক্স] = npq= 75×0.31×0.69 = 16.04।

সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যা খুঁজে পেতে মি 0, এর একটি ডবল অসমতা তৈরি করা যাক

এটা যে অনুসরণ করে মি 0 = 23.

বিষ বিতরণ

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, দ্বিপদী বন্টন স্বাভাবিক হয় যখন n®¥ যাইহোক, এই সঞ্চালিত না যদি, একটি বৃদ্ধি বরাবর nপরিমাণের মধ্যে একটি পিবা qশূন্য প্রবণতা. এই ক্ষেত্রে, অ্যাসিম্পটোটিক পয়সন সূত্র ধরে, যেমন এ n®¥, পি®0

, (6.7)

যেখানে l= n.p. এই সূত্র নির্ধারণ করে বিষ বিতরণ আইন , যার স্বাধীন অর্থ আছে, এবং শুধুমাত্র দ্বিপদ বন্টনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে নয়। দ্বিপদী বন্টন থেকে ভিন্ন, এখানে এলোমেলো পরিবর্তনশীল kঅসীম সংখ্যক মান নিতে পারে: k=0,1,2,…

Poisson এর সূত্র বর্ণনা করে যে ঘটনাগুলি সমান সময় ধরে ঘটছে k ঘটনাগুলি, শর্ত থাকে যে ঘটনাগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে একটি ধ্রুবক গড় তীব্রতা সহ ঘটে, যা প্যারামিটার l দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। পয়সন বিতরণ বহুভুজ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 6.2। বড় l ঘোড়দৌড় জন্য যে নোট
পয়সনের বন্টন স্বাভাবিকের দিকে চলে আসে। সুতরাং, পয়সন বন্টনটি একটি নিয়ম হিসাবে ব্যবহৃত হয়, যেখানে l একতার ক্রম অনুসারে এবং বিচারের সংখ্যা। nবড় হতে হবে, এবং ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা পিপ্রতিটি পরীক্ষায় ছোট। এই বিষয়ে, Poisson এর আইন প্রায়ই বলা হয় বিরল ঘটনা বন্টন আইন.

যেসব পরিস্থিতিতে পয়সন বিতরণ ঘটে তার উদাহরণ হল: 1) প্রতি ইউনিট আয়তনে নির্দিষ্ট জীবাণুর সংখ্যা; 2) প্রতি ইউনিট সময়ে উত্তপ্ত ক্যাথোড থেকে নির্গত ইলেকট্রনের সংখ্যা; 3) একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে একটি তেজস্ক্রিয় উত্স দ্বারা নির্গত a-কণার সংখ্যা; 4) দিনের একটি নির্দিষ্ট সময়ে টেলিফোন এক্সচেঞ্জে আসা কলের সংখ্যা ইত্যাদি।

একটি টেবিল আকারে Poisson এর সূত্র লিখুন

আসুন পরীক্ষা করি যে সমস্ত সম্ভাব্যতার যোগফল একের সমান:

আসুন এই বিতরণের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করি। DSV-এর জন্য গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুসারে, আমাদের আছে

উল্লেখ্য, শেষ যোগে, যোগফল দিয়ে শুরু হয় k=1, কারণ অনুরূপ যোগফল প্রথম পদ k=0, শূন্যের সমান।

বৈচিত্র খুঁজে পেতে, আমরা প্রথমে র্যান্ডম বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে পাই:

সুতরাং, পয়সনের সূত্র অনুসারে বিতরণ করা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য মিলে যায় এবং এই বন্টনের প্যারামিটারের সমান

. (6.8)

এটি পয়সন বিতরণের স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য। এইভাবে, যদি, পরীক্ষামূলক তথ্যের উপর ভিত্তি করে, এটি পাওয়া যায় যে গাণিতিক প্রত্যাশা এবং একটি নির্দিষ্ট মানের বৈচিত্র একে অপরের কাছাকাছি, তাহলে অনুমান করার কারণ রয়েছে যে এই এলোমেলো পরিবর্তনশীলটি পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে।

প্রারম্ভিক এবং কেন্দ্রীয় মুহুর্তের ধারণা ব্যবহার করে, আমরা দেখাতে পারি যে পয়সন বিতরণের জন্য তির্যকতা সহগ এবং কুরটোসিস সমান:

. (6.9)

যেহেতু l পরামিতি সর্বদা ধনাত্মক, তাই পয়সন বিতরণে সর্বদা ইতিবাচক তির্যকতা এবং কুরটোসিস থাকে।

আসুন এখন দেখাই যে পয়সনের সূত্রটিকে ঘটনাগুলির সহজ প্রবাহের একটি গাণিতিক মডেল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

ঘটনার প্রবাহএলোমেলো সময়ে ঘটে যাওয়া ঘটনার একটি ক্রম কল করুন। স্রোত বলা হয় সহজতম, যদি এর বৈশিষ্ট্য থাকে স্থিরতা, কোন প্রভাব নেইএবং সাধারণতা.

প্রবাহের তীব্রতা l হল প্রতি একক সময়ে ঘটে যাওয়া ঘটনার গড় সংখ্যা।

যদি প্রবাহের তীব্রতা ধ্রুবক l পরিচিত হয়, তাহলে ঘটার সম্ভাবনা kসময়ের সাথে সহজ প্রবাহের ঘটনা tপয়সন সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

. (6.10)

এই সূত্রটি সহজ প্রবাহের সমস্ত বৈশিষ্ট্য প্রতিফলিত করে। তদুপরি, যেকোনো সহজ প্রবাহকে পয়সন সূত্র দ্বারা বর্ণনা করা হয়, তাই সহজতম প্রবাহকে প্রায়শই বলা হয় বিষ.

স্থিরতা সম্পত্তি kসময়ের যেকোনো সময়ের ঘটনা শুধুমাত্র সংখ্যার উপর নির্ভর করে kএবং সময়কালের উপর tসময়কাল এবং তার গণনা শুরুর উপর নির্ভর করে না। অন্য কথায়, যদি প্রবাহে স্থিরতার বৈশিষ্ট্য থাকে, তাহলে সংঘটনের সম্ভাবনা kএকটি সময়ের মধ্যে ঘটনা tএকটি ফাংশন আছে যা শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে kএবং থেকে t.

সহজতম প্রবাহের ক্ষেত্রে, এটি পয়সনের সূত্র (6.10) থেকে অনুসরণ করে যে সম্ভাব্যতা kসময় ঘটনা t, একটি প্রদত্ত তীব্রতায়, শুধুমাত্র দুটি আর্গুমেন্টের একটি ফাংশন: kএবং t, যা স্থিরতার বৈশিষ্ট্যকে চিহ্নিত করে।

কোন আফটারফেক্ট সম্পত্তিযে ঘটনা সম্ভাবনা kসময়ের যেকোনো সময়ের ঘটনাগুলি প্রশ্নে থাকা সময়কালের শুরুর আগের সময়ে ঘটনাগুলি উপস্থিত হয়েছিল বা দেখা যায়নি তার উপর নির্ভর করে৷ অন্য কথায়, প্রবাহের ইতিহাস অদূর ভবিষ্যতে ঘটতে থাকা ঘটনার সম্ভাবনাকে প্রভাবিত করে না।

সহজ প্রবাহের ক্ষেত্রে, পয়সন সূত্র (6.10) বিবেচনাধীন সময়কাল শুরু হওয়ার আগে ঘটনাগুলির সংঘটন সম্পর্কে তথ্য ব্যবহার করে না, যা পরবর্তী প্রভাবগুলির অনুপস্থিতির বৈশিষ্ট্যকে চিহ্নিত করে।

সাধারণতা সম্পত্তিএই যে স্বল্প সময়ের মধ্যে দুই বা ততোধিক ঘটনার সংঘটন কার্যত অসম্ভব। অন্য কথায়, অল্প সময়ের মধ্যে একাধিক ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা শুধুমাত্র একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার তুলনায় নগণ্য।

আসুন দেখাই যে পয়সন সূত্র (6.10) সাধারণতার বৈশিষ্ট্যকে প্রতিফলিত করে। বসানো k=0 এবং k=1, আমরা খুঁজে পাই, যথাক্রমে, কোন ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা এবং একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা:

তাই একাধিক ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা থাকে

ম্যাকলরিন সিরিজে ফাংশনের সম্প্রসারণ ব্যবহার করে, প্রাথমিক রূপান্তরের পরে আমরা পাই

.

তুলনা করা পি টি(1) এবং পি টি(k>1), আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি ছোট মানের জন্য tএকাধিক ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা একটি ঘটনার সংঘটনের সম্ভাবনার তুলনায় নগণ্য, যা সাধারণতার বৈশিষ্ট্যকে চিহ্নিত করে।

উদাহরণ 6.2।রাদারফোর্ড এবং গিগারের পর্যবেক্ষণে, 7.5 সময়ের একটি তেজস্ক্রিয় পদার্থ সেকেন্ডগড়ে 3.87 কণা নির্গত হয়। 1 এর জন্য সম্ভাব্যতা খুঁজুন সেকেন্ডএই পদার্থ অন্তত একটি কণা নির্গত হবে.

সমাধান। আমরা ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি, একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে একটি তেজস্ক্রিয় উত্স দ্বারা নির্গত a-কণার সংখ্যার বন্টন পয়সন সূত্র দ্বারা বর্ণিত হয়, অর্থাৎ ঘটনাগুলির সহজতম প্রবাহ গঠন করে। যেহেতু 1-এর জন্য ক-কণা নির্গমনের তীব্রতা সেকেন্ডসমান

,

তারপর Poisson সূত্র (6.10) রূপ নেয়

সুতরাং, সম্ভাবনা যে t=1 সেকেন্ডপদার্থ নির্গত হবে অন্তত একটি কণা সমান হবে

জ্যামিতিক বিতরণ

প্রথম আঘাত, এবং সম্ভাব্যতা পর্যন্ত একটি প্রদত্ত লক্ষ্যে শুটিং করা হোক পিপ্রতিটি শটে লক্ষ্যে আঘাত করা একই এবং পূর্ববর্তী শটের ফলাফলের উপর নির্ভর করে না। অন্য কথায়, বিবেচনাধীন পরীক্ষায়, বার্নোলি স্কিমটি বাস্তবায়িত হয়। এলোমেলো পরিবর্তনশীল X হিসাবে আমরা গুলি চালানোর সংখ্যা বিবেচনা করব। স্পষ্টতই, এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর সম্ভাব্য মানগুলি হল প্রাকৃতিক সংখ্যা: এক্স 1 =1, এক্স 2 =2, ... তাহলে সম্ভাব্যতা যে এটির প্রয়োজন হবে kশট সমান হবে

. (6.11)

এই সূত্রে ধরে নিচ্ছি k=1,2, ... আমরা প্রথম পদের সাথে একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি পাই পিএবং একটি গুণক q:

এই কারণে, সূত্র (6.11) দ্বারা সংজ্ঞায়িত বন্টন বলা হয় জ্যামিতিক .

অসীমভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফলের সূত্রটি ব্যবহার করে, এটি যাচাই করা সহজ

.

জ্যামিতিক বণ্টনের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য খুঁজে বের করা যাক।

DSV-এর জন্য গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুসারে, আমাদের আছে

.

চলুন সূত্র ব্যবহার করে প্রকরণ গণনা করা যাক

.

এ জন্য আমরা খুঁজে বের করব

.

তাই,

.

সুতরাং, জ্যামিতিক বন্টনের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য সমান

. (6.12)

6.4.* ফাংশন তৈরি করা

DSV সম্পর্কিত সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, কম্বিনেটরিক্স পদ্ধতি প্রায়শই ব্যবহার করা হয়। সমন্বিত বিশ্লেষণের সবচেয়ে উন্নত তাত্ত্বিক পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হল ফাংশন তৈরি করার পদ্ধতি, যা অ্যাপ্লিকেশনগুলির মধ্যে সবচেয়ে শক্তিশালী পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি। আসুন তাকে সংক্ষেপে চিনি।

যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল x শুধুমাত্র অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার মান নেয়, যেমন

,

যে উৎপন্ন ফাংশন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল x এর সম্ভাব্যতা বন্টনকে একটি ফাংশন বলা হয়

, (6.13)

কোথায় z- বাস্তব বা জটিল পরিবর্তনশীল। মনে রাখবেন যে একাধিক জেনারেটিং ফাংশনের মধ্যে j x ( এক্স)এবং অনেক বিতরণ(P(x= k)} এক থেকে এক চিঠিপত্র আছে.

র্যান্ডম ভেরিয়েবল x আছে যাক দ্বিপদ ডিস্ট্রিবিউশন

.

তারপর, নিউটনের দ্বিপদ সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই

,

সেগুলো. দ্বিপদী ডিস্ট্রিবিউশন জেনারেটিং ফাংশন দেখতে

. (6.14)

যোগ. বিষ উৎপন্ন ফাংশন

দেখতে

. (6.15)

জ্যামিতিক বন্টনের ফাংশন তৈরি করা

দেখতে

. (6.16)

উৎপন্ন ফাংশন ব্যবহার করে, DSV-এর প্রধান সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে পাওয়া সুবিধাজনক। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম এবং দ্বিতীয় প্রারম্ভিক মুহূর্তগুলি নিম্নলিখিত সমতা দ্বারা তৈরি ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত:

, (6.17)

. (6.18)

ফাংশন তৈরি করার পদ্ধতি প্রায়শই সুবিধাজনক কারণ কিছু ক্ষেত্রে DSV এর বিতরণ ফাংশন নির্ধারণ করা খুব কঠিন, যখন জেনারেটিং ফাংশনটি কখনও কখনও খুঁজে পাওয়া সহজ। উদাহরণস্বরূপ, Bernoulli এর ক্রমিক স্বাধীন পরীক্ষার নকশা বিবেচনা করুন, কিন্তু এটিতে একটি পরিবর্তন করুন। ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা যাক কট্রায়াল থেকে ট্রায়াল পরিবর্তিত হয়। এর মানে হল যে বার্নোলির সূত্র এই ধরনের একটি পরিকল্পনার জন্য অপ্রযোজ্য হয়ে ওঠে। এই ক্ষেত্রে ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন খোঁজার কাজটি উল্লেখযোগ্য অসুবিধা উপস্থাপন করে। যাইহোক, এই স্কিমের জন্য, জেনারেটিং ফাংশনটি খুঁজে পাওয়া সহজ, এবং সেইজন্য, সংশ্লিষ্ট সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ।

জেনারেটিং ফাংশনগুলির ব্যাপক ব্যবহার এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টির অধ্যয়ন সংশ্লিষ্ট জেনারেটিং ফাংশনগুলির পণ্যগুলির অধ্যয়নের দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। সুতরাং, যদি x 1, x 2, …, x nস্বাধীন, তারপর

দিন pk=পিকে(ক) - "সাফল্য" এর সম্ভাবনা k-বারনোলি সার্কিটে তম পরীক্ষা (যথাক্রমে, q k=1–pk- "ব্যর্থতার" সম্ভাবনা kতম পরীক্ষা)। তারপর, সূত্র (6.19) অনুসারে, জেনারেটিং ফাংশনের ফর্ম থাকবে

. (6.20)

এই উৎপন্ন ফাংশন ব্যবহার করে, আমরা লিখতে পারি

.

এটি এখানে বিবেচনায় নেওয়া হয়েছে p k + q k=1। এখন, সূত্র ব্যবহার করে (6.1), আমরা দ্বিতীয় প্রাথমিক মুহূর্তটি খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আসুন প্রথমে গণনা করি

এবং .

বিশেষ ক্ষেত্রে পি 1 =পি 2 =…=p n=পি(অর্থাৎ দ্বিপদ বণ্টনের ক্ষেত্রে) প্রাপ্ত সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে Mx= n.p, Dx= npq.

আমরা বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের সবচেয়ে সাধারণ আইনগুলি হাইলাইট করতে পারি:

• দ্বিপদী বন্টন আইন
• বিষ বিতরণ আইন
• জ্যামিতিক বন্টন আইন
• হাইপারজিওমেট্রিক বন্টন আইন

বিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রদত্ত বিতরণের জন্য, তাদের মানগুলির সম্ভাব্যতার গণনা, সেইসাথে সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি (গাণিতিক প্রত্যাশা, বৈচিত্র, ইত্যাদি) নির্দিষ্ট "সূত্র" ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়। অতএব, এই ধরনের বিতরণ এবং তাদের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি জানা খুবই গুরুত্বপূর্ণ।

1. দ্বিপদী বন্টন আইন।

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ দ্বিপদী সম্ভাব্যতা বন্টন আইনের সাপেক্ষে যদি এটি $0,\1,\2,\ \dots ,\n$ এর সাথে সম্ভাব্য $P\left(X=k\right)= মান নেয়। C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$। প্রকৃতপক্ষে, এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$ হল $n$ স্বাধীন ট্রায়ালে $A$ ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা। এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টনের নিয়ম $X$:

$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\হলাইন
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\হলাইন
\end(অ্যারে)$

এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা হল $M\left(X\right)=np$, ভ্যারিয়েন্স হল $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$।

উদাহরণ . পরিবারে দুটি সন্তান রয়েছে। একটি ছেলে এবং একটি মেয়ের সমান $0.5$ হওয়ার সম্ভাবনা অনুমান করে, এলোমেলো পরিবর্তনশীল $\xi$ - পরিবারে ছেলেদের সংখ্যা বন্টনের নিয়মটি খুঁজুন।

এলোমেলো চলক $\xi $ হল পরিবারের ছেলেদের সংখ্যা। $\xi যে মানগুলি নিতে পারে:\ 0, \ 1,\ 2$। এই মানের সম্ভাব্যতাগুলি $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে )$, যেখানে $n =2$ হল স্বাধীন ট্রায়ালের সংখ্যা, $p=0.5$ হল $n$ ট্রায়ালের একটি সিরিজে ঘটতে থাকা একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা৷ আমরা পেতে:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right)^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবল $\xi $ এর ডিস্ট্রিবিউশন আইন হল $0,\1,\2$ এবং তাদের সম্ভাব্যতার মধ্যে সঙ্গতি, অর্থাৎ:

$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
\xi এবং 0 এবং 1 এবং 2 \\
\হলাইন
P(\xi) এবং 0.25 এবং 0.5 এবং 0.25 \\
\হলাইন
\end(অ্যারে)$

বন্টন আইনে সম্ভাব্যতার যোগফল $1$ এর সমান হওয়া উচিত, অর্থাৎ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1।

প্রত্যাশা $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, প্রকরণ $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, আদর্শ বিচ্যুতি $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\ প্রায় $0.707।

2. বিষ বিতরণ আইন।

যদি একটি বিচ্ছিন্ন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ শুধুমাত্র $0,\1,\2,\\dots ,\n$ $P\left(X=k\right)=((((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

মন্তব্য করুন. এই বিতরণের বিশেষত্ব হল, পরীক্ষামূলক ডেটার উপর ভিত্তি করে, আমরা $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ খুঁজে পাই, যদি প্রাপ্ত অনুমান একে অপরের কাছাকাছি হয়, তাহলে আমাদের আছে দৃঢ়তার কারণ যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল পয়সন বন্টন আইনের অধীন।

উদাহরণ . পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন আইনের সাপেক্ষে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ হতে পারে: আগামীকাল একটি গ্যাস স্টেশন দ্বারা পরিবেশিত গাড়ির সংখ্যা; উত্পাদিত পণ্য ত্রুটিপূর্ণ আইটেম সংখ্যা.

উদাহরণ . কারখানা বেসে $500$ পণ্য পাঠিয়েছে। ট্রানজিটে পণ্যের ক্ষতি হওয়ার সম্ভাবনা $0.002$। ক্ষতিগ্রস্থ পণ্যের সংখ্যার সমান $X$ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের আইন খুঁজুন; $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ কি।

বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$ ক্ষতিগ্রস্থ পণ্যের সংখ্যা হতে দিন। এই ধরনের একটি এলোমেলো চলক $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ প্যারামিটার সহ পয়সন বন্টন আইনের সাপেক্ষে। মানের সম্ভাব্যতা $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) এর সমান}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টন আইন $X$:

$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\হলাইন
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\হলাইন
\end(অ্যারে)$

এই ধরনের একটি এলোমেলো চলকের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ একে অপরের সমান এবং পরামিতি $\lambda $ এর সমান, অর্থাৎ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$।

3. জ্যামিতিক বন্টন আইন।

যদি একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ শুধুমাত্র $1,\2,\\dots,\n$ সম্ভাব্যতা সহ প্রাকৃতিক মান নিতে পারে $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) ডান)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, তারপর তারা বলে যে এই ধরনের একটি এলোমেলো চলক $X$ সম্ভাব্যতা বণ্টনের জ্যামিতিক নিয়মের অধীন। আসলে, জ্যামিতিক বন্টন প্রথম সাফল্য পর্যন্ত একটি Bernoulli পরীক্ষা.

উদাহরণ . জ্যামিতিক বন্টন আছে এমন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ হতে পারে: লক্ষ্যে প্রথম আঘাতের আগে শটের সংখ্যা; প্রথম ব্যর্থতা পর্যন্ত ডিভাইস পরীক্ষার সংখ্যা; প্রথম মাথা না আসা পর্যন্ত মুদ্রা নিক্ষেপের সংখ্যা, ইত্যাদি

জ্যামিতিক বণ্টনের সাপেক্ষে একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ যথাক্রমে $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) এর সমান )/p^ $2।

উদাহরণ . স্পনিং সাইটে মাছ চলাচলের পথে একটি $4$ তালা রয়েছে। প্রতিটি লক দিয়ে মাছ যাওয়ার সম্ভাবনা $p=3/5$। এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$-এর বিতরণের একটি সিরিজ তৈরি করুন - লকটিতে প্রথম আটকের আগে মাছের দ্বারা পাস করা তালার সংখ্যা। $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$ খুঁজুন।

র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ হল লক এ প্রথম গ্রেফতারের আগে মাছের দ্বারা পাস করা তালার সংখ্যা। এই ধরনের একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সম্ভাব্যতা বন্টনের জ্যামিতিক আইনের অধীন। র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X যে মানগুলি নিতে পারে:$ 1, 2, 3, 4। এই মানের সম্ভাব্যতাগুলি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, যেখানে: $ p=2/5$ - তালা দিয়ে মাছ ধরা পড়ার সম্ভাবনা, $q=1-p=3/5$ - তালা দিয়ে মাছ যাওয়ার সম্ভাবনা, $k=1,\ 2,\3,\4$।

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right)^0=(2)\ বেশি (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right)^2=(2)\ বেশি (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right)^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\হলাইন
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\হলাইন
\end(অ্যারে)$

প্রত্যাশিত মান:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

বিচ্ছুরণ:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\ডান))^2+0.24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0.144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\আনুমানিক 1.377.$

আদর্শ চ্যুতি:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ প্রায় 1,173.$

4. হাইপারজিওমেট্রিক বন্টন আইন।

যদি $N$ অবজেক্ট, যার মধ্যে $m$ অবজেক্টের একটি প্রদত্ত সম্পত্তি থাকে। $n$ অবজেক্টগুলি এলোমেলোভাবে ফিরে না পেয়ে পুনরুদ্ধার করা হয়, যার মধ্যে $k$ অবজেক্ট ছিল যেগুলির একটি প্রদত্ত সম্পত্তি রয়েছে৷ হাইপারজিওমেট্রিক ডিস্ট্রিবিউশন নমুনায় $k$ অবজেক্টের একটি প্রদত্ত সম্পত্তি থাকার সম্ভাবনার অনুমান করা সম্ভব করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ হল নমুনাতে থাকা বস্তুর সংখ্যা যার প্রদত্ত সম্পত্তি আছে। তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের সম্ভাব্যতা $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

মন্তব্য করুন. এক্সেল $f_x$ ফাংশন উইজার্ডের পরিসংখ্যানগত ফাংশন HYPERGEOMET আপনাকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পরীক্ষা সফল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করতে দেয়।

$f_x\to$ পরিসংখ্যানগত$\to$ হাইপারজিওমেট$\to$ ঠিক আছে. একটি ডায়ালগ বক্স প্রদর্শিত হবে যা আপনাকে পূরণ করতে হবে। কলামে নমুনাতে_সাফল্যের_সংখ্যা$k$ মান নির্দেশ করুন। সাধারন মাপসমান $n$। কলামে একত্রে_সাফল্যের_সংখ্যা$m$ মান নির্দেশ করুন। জনসংখ্যার আকার$N$ এর সমান।

জ্যামিতিক বন্টন আইন সাপেক্ষে একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ এর গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ যথাক্রমে $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= সমান। ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$।

উদাহরণ . ব্যাঙ্কের ক্রেডিট বিভাগ উচ্চতর আর্থিক শিক্ষা সহ 5 জন বিশেষজ্ঞ এবং উচ্চ আইনি শিক্ষা সহ 3 জন বিশেষজ্ঞ নিয়োগ করে৷ ব্যাঙ্কের ব্যবস্থাপনা তাদের যোগ্যতার উন্নতির জন্য 3 জন বিশেষজ্ঞ পাঠানোর সিদ্ধান্ত নিয়েছে, তাদের এলোমেলোভাবে নির্বাচন করে।

ক) উচ্চ আর্থিক শিক্ষা সহ বিশেষজ্ঞদের সংখ্যার জন্য একটি বিতরণ সিরিজ তৈরি করুন যাদের তাদের দক্ষতা উন্নত করতে পাঠানো যেতে পারে;

খ) এই বন্টনের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য খুঁজুন।

র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ হল তিনজন নির্বাচিতদের মধ্যে উচ্চতর আর্থিক শিক্ষার সাথে বিশেষজ্ঞদের সংখ্যা। $X যে মানগুলি নিতে পারে: 0,\1,\2,\3$। এই এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$ নিম্নলিখিত পরামিতিগুলির সাথে একটি হাইপারজ্যামিতিক বন্টন অনুসারে বিতরণ করা হয়: $N=8$ - জনসংখ্যার আকার, $m=5$ - জনসংখ্যার সাফল্যের সংখ্যা, $n=3$ - নমুনার আকার, $ k=0,\1, \2,\3$ - নমুনায় সাফল্যের সংখ্যা। তারপর $P\left(X=k\right)$ সূত্রটি ব্যবহার করে সম্ভাব্যতা গণনা করা যেতে পারে: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_(N)^(n) ) $ এর বেশি। আমাদের আছে:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\প্রায় 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\প্রায় 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\প্রায় 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\প্রায় 0.179.$

তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ $X$:

$\begin(অ্যারে)(|c|c|)
\হলাইন
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\হলাইন
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\হলাইন
\end(অ্যারে)$

হাইপারজিওমেট্রিক ডিস্ট্রিবিউশনের সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে এলোমেলো ভেরিয়েবল $X$-এর সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য গণনা করা যাক।

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-(3)\over (8) ))\ডান))\over (8-1))=((225)\over (448))\আনুমানিক 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ প্রায় 0.7085.$

সেগুলো. বিচ্ছিন্ন এলোমেলো X এর মান একটি জিওম আছে। পরিবেশক প্যারামিটার সহ আরএবং হর q, যদি এটি মান লাগে 1,2,3,… k, ... সম্ভাবনা সহ

P(X) = pq k-1, কোথায় q=1-আর.

বিতরণকে জিওম বলা হয়।, কারণ। সত্যতা পৃ 1, পৃ 2, ...একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি গঠন করে, যার প্রথম সদস্য আর, এবং হর হল q.

যদি পরীক্ষার সংখ্যা সীমিত না হয়, যেমন যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল 1, 2, ..., ∞ মান নিতে পারে, তাহলে প্রত্যাশিত মান এবং প্রকরণ জ্যামিতিক। Mх = 1/p, Dх = q/p 2 সূত্র ব্যবহার করে বিতরণগুলি পাওয়া যেতে পারে

উদাহরণ। প্রথম আঘাত না হওয়া পর্যন্ত বন্দুকটি লক্ষ্যবস্তুতে গুলি করা হয়। প্রতিটি শটের সাথে লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা p = 0.6। S.v. X হল প্রথম আঘাতের আগে সম্ভাব্য শটের সংখ্যা।

ক) একটি ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ কম্পাইল করুন, ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন খুঁজুন, এর গ্রাফ তৈরি করুন এবং সমস্ত সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য খুঁজুন। খ) শ্যুটার যদি তিনটি গুলির বেশি গুলি করতে না চায় তবে মামলার জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা এবং পার্থক্য খুঁজুন।

ক)র্যান্ডম ভেরিয়েবল 1, 2, 3, 4,..., ∞ মান নিতে পারে
P(1) = p = 0.6
P(2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p = 0.4 2 0.6 = 0.096 ...
P(k) = q k-1 p = 0.4 k-1 0.6 ...
বিতরণ পরিসীমা:

নিয়ন্ত্রণ: Σp i = 0.6/(1-0.4) = 1 (জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল)

ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হল সম্ভাব্যতা যা r.v. X নির্দিষ্ট সাংখ্যিক মানের থেকে কম একটি মান গ্রহণ করবে। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের মানগুলি সম্ভাব্যতা যোগ করে পাওয়া যায়।

যদি x ≤ 1 হয়, তাহলে F(x) = 0

যদি 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
যদি 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
যদি 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
যদি k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mх = 1/p = 1/0.6 ≈ 1.667
Dх = q/p 2 = 0.4/0.36 ≈ 1.111
σ = √Dх ≈ 1.054

খ)র্যান্ডম ভেরিয়েবল 1, 2, 3 মান নিতে পারে।
P(1) = p = 0.6
P(2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0.4 2 0.6 + 0.4 3 = 0.16
বিতরণ পরিসীমা:

নিয়ন্ত্রণ: Σp i = 0.6 + 0.24 + 0.16 = 1
বিতরণ ফাংশন।

যদি x ≤ 1 হয়, তাহলে F(x) = 0
যদি 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
যদি 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
যদি x > 3 হয়, তাহলে F(x) = 0.84 + 0.16 = 1
M(X) = 1 0.6 + 2 0.24 + 3 0.16 = 1.56
D(X) = 1 2 0.6 + 2 2 0.24 + 3 2 0.16 - 1.56 2 = 0.5664
σ(Х) ≈ ০.৭৫২

স্কুইনেস এবং কুরটোসিস

অসমতা নমুনা বণ্টনের একটি বৈশিষ্ট্য যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের অসাম্যতাকে চিহ্নিত করে। অনুশীলনে, প্রতিসম বন্টন বিরল, এবং অসমতার ডিগ্রী সনাক্ত ও মূল্যায়ন করার জন্য, অসমতার ধারণাটি চালু করা হয়। একটি নেতিবাচক অসমত্ব সহগের ক্ষেত্রে, বাম দিকে একটি মৃদু "উদ্দেশ্য" পরিলক্ষিত হয়, অন্যথায় - ডানদিকে। প্রথম ক্ষেত্রে, অসমতাকে বাম-পার্শ্বযুক্ত বলা হয় এবং দ্বিতীয়টিতে - ডান-পার্শ্বযুক্ত।

অসমতা সহগ বিচ্ছিন্নর্যান্ডম ভেরিয়েবল সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
হিসাবে(X) = (এক্স 1 মি এক্স) 3 পি 1 + (এক্স 2 - এম এক্স) 3 পি 2 + ... + ( এক্স n-এম এক্স) 3 পি এন

Coeff. অসমতা একটানা sl.vel সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

অতিরিক্ত বিতরণ বক্ররেখার খাড়াতার একটি পরিমাপ। একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কার্টোসিস সহগ সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

Ex(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কার্টোসিস সহগ সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

উদাহরণ.

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর বন্টন আইন হল পরবর্তী ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য মানের একটি তালিকা। X যে এটি গ্রহণ করতে পারে, এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা। সমস্ত বিশ্বাসের যোগফল অবশ্যই 1 এর সমান হতে হবে। পরীক্ষা করুন: 0.1 + 0.2 + 0.5 + 0.1 + 0.1 = 1।

1. প্রত্যাশিত মান: M(X) = -2 0.1 - 1 0.2 + 0 0.5 + 1 0.1 + 2 0.1 = -0.1
2. বিচ্ছুরণপরবর্তী ভেল এর মানের বর্গ বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা। তার mat.ozh থেকে X: D(X) = (-2 + 0.1) 2 0.1 + (- 1 + 0.1) 2 0.2 + (0 + 0.1) 2 0.5 + (1 + 0.1) 2 0.1 + (2 + 0.1) 2 0.1 = 1.09
   অথবা D(X) = (-2) 2 0.1 + (-1) 2 0.2 + 0 2 0.5 + 1 2 0.1 + 2 2 0.1 - (-0 ,1) 2 = 1.1 - 0.01 = 1.09
3. বুধ. বর্গ বন্ধপ্রকরণের বর্গমূল হল: σ = √1.09 ≈ 1.044
4. কোফ। অসমতাযেমন(X) = [(-2 + 0.1) 3 0.1 + (- 1 + 0.1) 3 0.2 + (0 + 0.1) 3 0.5 + (1 + 0.1) 3 0.1 + (2 + 0.1) 3 0.1] / 1.044 3 = 0.200353
5. কোফ। অতিরিক্তই এক্স(এক্স) = [(-2 + 0.1) 4 0.1 + (- 1 + 0.1) 4 0.2 + (0 + 0.1) 4 0.5 + (1 + 0,1) 4 ·0.1 + (2 + 0.1) 4 ·0.1 ]/1.044 4 - 3 = 0.200353
6. ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হল সম্ভাব্যতা যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল X কিছু সাংখ্যিক মানের থেকে কম একটি মান নেবে এক্স: F(X) = P(X< এক্স) বন্টন ফাংশন একটি অ-হ্রাস ফাংশন. এটি 0 থেকে 1 পর্যন্ত পরিসরে মান নেয়।

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0.05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.5 + 0.1 + 0.1 = 0.7

2) ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল। স্বাভাবিক বন্টন.

একটানার্যান্ডম ভেরিয়েবল কোন নির্দিষ্ট নেয় না সংখ্যাসূচক মান, কিন্তু সাংখ্যিক ব্যবধানে যেকোনো মান। ক্রমাগত ক্ষেত্রে বন্টন আইনের বর্ণনা বিযুক্ত মামলার তুলনায় অনেক বেশি জটিল।

একটানাএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বলা হয় যা একটি নির্দিষ্ট প্রদত্ত ব্যবধান থেকে যে কোনও মান নিতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, পরিবহনের জন্য অপেক্ষার সময়, যে কোনও মাসে বায়ুর তাপমাত্রা, নামমাত্র থেকে একটি অংশের প্রকৃত আকারের বিচ্যুতি ইত্যাদি। যে ব্যবধানে এটি সেট করা হয় তা এক বা উভয় দিকে অসীম হতে পারে।

বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা গণনার সমস্যাগুলির মধ্যে প্রধান পার্থক্য নিম্নরূপ। একটি পৃথক ক্ষেত্রেমত ঘটনা জন্য x = গ(এলোমেলো পরিবর্তনশীল একটি নির্দিষ্ট মান নেয়) সম্ভাব্যতা চাওয়া হয় আর(সঙ্গে). ধারাবাহিক ক্ষেত্রেএই ধরনের সম্ভাবনা শূন্যের সমান, অতএব, "একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল একটি নির্দিষ্ট অংশ থেকে মান নেয়" ধরণের ইভেন্টের সম্ভাবনাগুলি আগ্রহের বিষয়, যেমন ক≤ এক্স≤ খ. বা মত ঘটনা জন্য এক্স≤ সঙ্গেসম্ভাবনা খুঁজছেন আর(এক্স≤ সঙ্গে) আমরা ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের একটি গ্রাফ পেয়েছি F( এক্স≤ সঙ্গে).

সুতরাং, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈচিত্র অনেক বড়। তারা যে মানগুলি গ্রহণ করে তা সসীম, গণনাযোগ্য বা অগণিত হতে পারে; মানগুলি বিচ্ছিন্নভাবে অবস্থিত হতে পারে বা সম্পূর্ণরূপে ব্যবধান পূরণ করতে পারে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলির সম্ভাব্যতা নির্দিষ্ট করার জন্য যা প্রকৃতিতে এতটাই আলাদা, এবং তদ্ব্যতীত, একইভাবে তাদের নির্দিষ্ট করার জন্য, ধারণাটি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন.

একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল হতে দিন এবং এক্স- একটি নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা। এর থেকে একটি মান কম নেওয়ার সম্ভাবনা এক্স,ডাকা সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশনআমার স্নাতকের: F(x)= পি(<х}.

যা বলা হয়েছে তা সংক্ষিপ্ত করা যাক: আমার স্নাতকেরএকটি পরিমাণ যার মান কেসের উপর নির্ভর করে এবং যার জন্য সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়।

ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য (যখন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানের সেট অগণিত হয়), বন্টন আইন একটি ফাংশন ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা হয়। প্রায়ই এই বিতরণ ফাংশন :F( এক্স) = P(X<এক্স) .

ফাংশন F( এক্স) নিম্নলিখিত আছে বৈশিষ্ট্য:

1. 0 ≤ F( এক্স) ≤ 1 ;

2.F( এক্স) কমে না;

3.F( এক্স) একটানা বাম;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.