এলাকা খুঁজে বের করার সমস্যা হিসাবে, আপনার আত্মবিশ্বাসী অঙ্কন দক্ষতা প্রয়োজন - এটি প্রায় সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিস (যেহেতু অবিচ্ছেদ্যগুলি প্রায়শই সহজ হবে)। আপনি ব্যবহার করে দক্ষ এবং দ্রুত চার্টিং কৌশল আয়ত্ত করতে পারেন শিক্ষা উপকরণএবং গ্রাফের জ্যামিতিক রূপান্তর। কিন্তু, আসলে, আমি ইতিমধ্যে ক্লাসে বেশ কয়েকবার আঁকার গুরুত্ব সম্পর্কে কথা বলেছি।
সাধারণভাবে, ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসে প্রচুর আকর্ষণীয় অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে, ব্যবহার করে নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যআপনি একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল, বিপ্লবের শরীরের আয়তন, চাপের দৈর্ঘ্য, বিপ্লবের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আরও অনেক কিছু গণনা করতে পারেন। তাই এটা মজা হবে, আশাবাদী থাকুন!
স্থানাঙ্ক সমতলে কিছু সমতল চিত্র কল্পনা করুন। পরিচয় করিয়ে দিলেন? ... আমি ভাবছি কে কী উপস্থাপন করেছে... =))) আমরা ইতিমধ্যে এর এলাকা খুঁজে পেয়েছি। তবে, উপরন্তু, এই চিত্রটি ঘোরানো এবং দুটি উপায়ে ঘোরানো যেতে পারে:
- অ্যাবসিসা অক্ষের চারপাশে;
- অর্ডিনেট অক্ষের চারপাশে।
এই নিবন্ধটি উভয় ক্ষেত্রেই পরীক্ষা করবে। ঘূর্ণনের দ্বিতীয় পদ্ধতিটি বিশেষ করে আকর্ষণীয়; এটি সবচেয়ে বেশি অসুবিধা সৃষ্টি করে, কিন্তু প্রকৃতপক্ষে সমাধানটি প্রায় একই রকম হয় x-অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে। বোনাস হিসেবে আমি ফিরে আসব একটি চিত্রের ক্ষেত্র খুঁজে বের করার সমস্যা, এবং আমি আপনাকে বলব কিভাবে দ্বিতীয় উপায়ে এলাকাটি খুঁজে বের করতে হয় - অক্ষ বরাবর। এটি এত বেশি বোনাস নয় কারণ উপাদানটি বিষয়ের সাথে ভালভাবে ফিট করে।
সবচেয়ে জনপ্রিয় ধরনের ঘূর্ণন দিয়ে শুরু করা যাক।
একটি অক্ষের চারপাশে সমতল চিত্র
উদাহরণ 1
চিত্রটি ঘুরিয়ে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন গণনা করুন, লাইন দ্বারা সীমাবদ্ধ, অক্ষের চারপাশে।
সমাধান: এলাকা খোঁজার সমস্যা যেমন, সমাধান একটি অঙ্কন দিয়ে শুরু হয় সমতল চিত্র . অর্থাৎ, সমতলে রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্র তৈরি করা প্রয়োজন, এবং ভুলে যাবেন না যে সমীকরণটি অক্ষকে নির্দিষ্ট করে। কিভাবে আরো দক্ষতার সাথে এবং দ্রুত একটি অঙ্কন সম্পূর্ণ করতে পৃষ্ঠাগুলিতে পাওয়া যাবে প্রাথমিক ফাংশনের গ্রাফ এবং বৈশিষ্ট্যএবং নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায়. এটি একটি চীনা অনুস্মারক, এবং এই মুহূর্তেআমি আর থামি না।
এখানে অঙ্কন বেশ সহজ:
পছন্দসই ফ্ল্যাট চিত্রটি নীল রঙে শেড করা হয়; এটি অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণায়মান হয়, ফলাফলটি একটি সামান্য ডিম্বাকৃতির ফ্লাইং সসার যা অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম। আসলে, শরীরের একটি গাণিতিক নাম আছে, কিন্তু আমি রেফারেন্স বইতে কিছু স্পষ্ট করতে খুব অলস, তাই আমরা এগিয়ে যাই।
ঘূর্ণন একটি শরীরের আয়তন গণনা কিভাবে?
সূত্র ব্যবহার করে বিপ্লবের শরীরের আয়তন গণনা করা যেতে পারে:
সূত্রে, সংখ্যাটি অখণ্ডের আগে উপস্থিত থাকতে হবে। তাই ঘটেছে - জীবনে যা কিছু আবর্তিত হয় তা এই ধ্রুবকের সাথে সংযুক্ত।
আমি মনে করি কিভাবে সম্পূর্ণ অঙ্কন থেকে "a" এবং "be" একীকরণের সীমা সেট করতে হয় তা অনুমান করা সহজ।
ফাংশন... এই ফাংশন কি? চলুন অঙ্কন তাকান. সমতল চিত্রটি উপরের প্যারাবোলার গ্রাফ দ্বারা আবদ্ধ। এটি সেই ফাংশন যা সূত্রে উহ্য রয়েছে।
ব্যবহারিক কাজগুলিতে, একটি সমতল চিত্র কখনও কখনও অক্ষের নীচে অবস্থিত হতে পারে। এটি কিছু পরিবর্তন করে না - সূত্রের ইন্টিগ্র্যান্ডটি বর্গ হয়: , এভাবে অবিচ্ছেদ্য সবসময় অ নেতিবাচক হয়, যা খুবই যৌক্তিক।
এর ব্যবহার করে বিপ্লবের শরীরের আয়তন গণনা করা যাক এই সূত্র:
আমি ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি, অবিচ্ছেদ্য প্রায় সবসময় সহজ হতে সক্রিয়, প্রধান জিনিস সতর্কতা অবলম্বন করা হয়।
উত্তর: 
আপনার উত্তরে, আপনাকে অবশ্যই মাত্রা নির্দেশ করতে হবে - ঘন একক। অর্থাৎ, আমাদের ঘূর্ণনের শরীরে প্রায় 3.35টি "কিউব" রয়েছে। কেন ঘন ইউনিট? কারণ সবচেয়ে সার্বজনীন ফর্মুলেশন। কিউবিক সেন্টিমিটার হতে পারে, কিউবিক মিটার হতে পারে, কিউবিক কিলোমিটার হতে পারে, ইত্যাদি, আপনার কল্পনা একটি উড়ন্ত সসারে কতগুলি সবুজ পুরুষ রাখতে পারে।
উদাহরণ 2
শরীরের আয়তন খুঁজুন, ঘূর্ণন দ্বারা গঠিতচিত্রের অক্ষের চারপাশে, রেখা দ্বারা আবদ্ধ, ,
এই জন্য একটি উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত. সম্পূর্ণ সমাধানএবং পাঠ শেষে উত্তর।
আসুন আরও দুটি জটিল সমস্যা বিবেচনা করি, যা প্রায়শই অনুশীলনে সম্মুখীন হয়।
উদাহরণ 3
রেখা , , এবং
সমাধান: আসুন আমরা রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র অঙ্কন করি, , , , ভুলে যাই যে সমীকরণটি অক্ষকে সংজ্ঞায়িত করে:
পছন্দসই চিত্রটি নীল রঙে ছায়াযুক্ত। যখন এটি তার অক্ষের চারপাশে ঘোরে, তখন এটি চারটি কোণ সহ একটি পরাবাস্তব ডোনাট হিসাবে পরিণত হয়।
আসুন বিপ্লবের শরীরের আয়তন হিসাবে গণনা করি দেহের আয়তনের পার্থক্য.
প্রথমে, লাল রঙে বৃত্তাকার চিত্রটি দেখি। যখন এটি একটি অক্ষের চারপাশে ঘোরে, তখন একটি কাটা শঙ্কু পাওয়া যায়। এই ছেঁটে যাওয়া শঙ্কুটির আয়তনকে দ্বারা চিহ্নিত করা যাক।
বৃত্তাকার চিত্রটি বিবেচনা করুন সবুজ. আপনি যদি অক্ষের চারপাশে এই চিত্রটি ঘোরান তবে আপনি একটি কাটা শঙ্কুও পাবেন, শুধুমাত্র একটু ছোট। এর দ্বারা এর আয়তন বোঝানো যাক।
এবং, স্পষ্টতই, ভলিউমের পার্থক্য হল আমাদের "ডোনাট" এর ভলিউম।
বিপ্লবের শরীরের আয়তন খুঁজে পেতে আমরা আদর্শ সূত্র ব্যবহার করি: 
1) লাল বৃত্তাকার চিত্রটি উপরে একটি সরল রেখা দ্বারা আবদ্ধ, তাই:
2) সবুজ বৃত্তাকার চিত্রটি উপরে একটি সরল রেখা দ্বারা আবদ্ধ, তাই:
3) বিপ্লবের কাঙ্ক্ষিত অংশের আয়তন: 
উত্তর: 
এটা কৌতূহল যে মধ্যে এক্ষেত্রেএকটি ছাঁটা শঙ্কুর আয়তন গণনার জন্য স্কুল সূত্র ব্যবহার করে সমাধানটি পরীক্ষা করা যেতে পারে।
সিদ্ধান্ত নিজেই প্রায়শই ছোট করে লেখা হয়, এরকম কিছু: 
এখন একটু বিশ্রাম নিয়ে জ্যামিতিক বিভ্রম সম্পর্কে বলি।
লোকেদের প্রায়ই ভলিউমের সাথে যুক্ত বিভ্রম থাকে, যা বইতে পেরেলম্যান (অন্য) দ্বারা লক্ষ্য করা হয়েছিল বিনোদনমূলক জ্যামিতি. সমাধান করা সমস্যার সমতল চিত্রটি দেখুন - এটি ক্ষেত্রফলের দিক থেকে ছোট বলে মনে হচ্ছে, এবং বিপ্লবের শরীরের আয়তন মাত্র 50 কিউবিক ইউনিটের বেশি, যা খুব বড় বলে মনে হচ্ছে। যাইহোক, গড় ব্যক্তি তার সমগ্র জীবনে 18 বর্গ মিটার তরল একটি ঘরের সমতুল্য পান করে, যা বিপরীতে, একটি ভলিউম খুব ছোট বলে মনে হয়।
সাধারণভাবে, ইউএসএসআর-এর শিক্ষা ব্যবস্থা সত্যিই সেরা ছিল। 1950 সালে প্রকাশিত পেরেলম্যানের একই বইটি খুব ভালভাবে বিকাশ করে, যেমন হাস্যরসাত্মক বলেছেন, বুঝতে এবং আপনাকে আসল সন্ধান করতে শেখায় অ-মানক সমাধানসমস্যা আমি সম্প্রতি কিছু অধ্যায় খুব আগ্রহের সাথে পুনরায় পড়েছি, আমি এটি সুপারিশ করছি, এটি এমনকি মানবতাবাদীদের জন্যও অ্যাক্সেসযোগ্য। না, আপনার হাসির দরকার নেই যে আমি একটি অবসর সময় অফার করেছি, যোগাযোগের ক্ষেত্রে জ্ঞান এবং বিস্তৃত দিগন্ত একটি দুর্দান্ত জিনিস।
একটি গীতিমূলক ডিগ্রেশনের পরে, এটি একটি সৃজনশীল কাজ সমাধান করার জন্য উপযুক্ত:
উদাহরণ 4
রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্রের অক্ষের উপর ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত একটি শরীরের আয়তন গণনা করুন , , যেখানে।
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। দয়া করে মনে রাখবেন যে সমস্ত ক্ষেত্রে ব্যান্ডে ঘটে, অন্য কথায়, ইন্টিগ্রেশনের রেডিমেড সীমা আসলে দেওয়া হয়। সঠিকভাবে গ্রাফ আঁকুন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, আমাকে পাঠ উপাদান সম্পর্কে আপনাকে মনে করিয়ে দিন গ্রাফের জ্যামিতিক রূপান্তর: যদি আর্গুমেন্টকে দুই দ্বারা ভাগ করা হয়: , তাহলে গ্রাফগুলি অক্ষ বরাবর দুবার প্রসারিত হয়। এটি কমপক্ষে 3-4 পয়েন্ট খুঁজে বের করার পরামর্শ দেওয়া হয় ত্রিকোণমিতিক টেবিল অনুযায়ীআরো সঠিকভাবে অঙ্কন সম্পূর্ণ করতে. সম্পূর্ণ সমাধান এবং পাঠ শেষে উত্তর। যাইহোক, টাস্কটি যুক্তিযুক্তভাবে সমাধান করা যেতে পারে এবং খুব যুক্তিযুক্তভাবে নয়।
ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত শরীরের আয়তনের গণনা
একটি অক্ষের চারপাশে সমতল চিত্র
দ্বিতীয় অনুচ্ছেদটি প্রথমটির চেয়ে আরও আকর্ষণীয় হবে। অর্ডিনেট অক্ষের চারপাশে বিপ্লবের বডির আয়তন গণনা করার কাজটিও মোটামুটি ঘন ঘন অতিথি। পরীক্ষা. পথ ধরে এটা বিবেচনা করা হবে একটি চিত্রের ক্ষেত্র খুঁজে বের করার সমস্যাদ্বিতীয় পদ্ধতিটি হল অক্ষ বরাবর একীকরণ, এটি আপনাকে কেবল আপনার দক্ষতা উন্নত করতে দেয় না, তবে আপনাকে সবচেয়ে লাভজনক সমাধানের পথ খুঁজে পেতে শেখায়। এর মধ্যেও একটা ব্যবহারিক জীবনের মানে আছে! গণিতের শিক্ষাদান পদ্ধতির বিষয়ে আমার শিক্ষক হাসিমুখে স্মরণ করায়, অনেক স্নাতক তাকে এই কথার সাথে ধন্যবাদ জানান: "আপনার বিষয় আমাদের অনেক সাহায্য করেছে, এখন আমরা কার্যকর ব্যবস্থাপক এবং সর্বোত্তমভাবে কর্মীদের পরিচালনা করি।" এই সুযোগটি গ্রহণ করে, আমি তার প্রতি আমার মহান কৃতজ্ঞতা প্রকাশ করছি, বিশেষ করে যেহেতু আমি অর্জিত জ্ঞানকে এর উদ্দেশ্যমূলক উদ্দেশ্যে ব্যবহার করি =)।
আমি প্রত্যেকের পড়ার জন্য সুপারিশ করছি, এমনকি সম্পূর্ণ ডামিও। তদুপরি, দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে শেখা উপাদানটি ডবল ইন্টিগ্রেল গণনা করতে অমূল্য সহায়তা প্রদান করবে.
উদাহরণ 5
লাইন দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র দেওয়া হয়েছে , , .
1) এই রেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন।
2) অক্ষের চারপাশে এই রেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন খুঁজুন।
মনোযোগ!এমনকি যদি আপনি শুধুমাত্র দ্বিতীয় পয়েন্ট পড়তে চান, প্রথম অগত্যাপ্রথম পড়ুন!
সমাধান: টাস্ক দুটি অংশ নিয়ে গঠিত। এর বর্গ দিয়ে শুরু করা যাক.
1) চলুন একটি অঙ্কন করা যাক:
এটা দেখতে সহজ যে ফাংশনটি প্যারাবোলার উপরের শাখাকে নির্দিষ্ট করে এবং ফাংশনটি প্যারাবোলার নীচের শাখাটিকে নির্দিষ্ট করে। আমাদের সামনে একটি তুচ্ছ প্যারাবোলা যা "তার পাশে রয়েছে।"
পছন্দসই চিত্র, যেটির ক্ষেত্রটি খুঁজে পাওয়া যাবে, নীল রঙে ছায়াযুক্ত।
কিভাবে একটি চিত্রের এলাকা খুঁজে বের করতে? এটি "স্বাভাবিক" উপায়ে পাওয়া যেতে পারে, যা ক্লাসে আলোচনা করা হয়েছিল নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায়. তদুপরি, চিত্রের ক্ষেত্রফলটি ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি হিসাবে পাওয়া যায়:
- সেগমেন্টে 
;
- সেগমেন্টে।
এই জন্য:
কেন এই ক্ষেত্রে স্বাভাবিক সমাধান খারাপ? প্রথমত, আমরা দুটি অবিচ্ছেদ্য পেয়েছি। দ্বিতীয়ত, ইন্টিগ্র্যাল হল শিকড়, এবং ইন্টিগ্র্যালের শিকড় কোনও উপহার নয়, এবং পাশাপাশি, আপনি ইন্টিগ্রেশনের সীমা প্রতিস্থাপনে বিভ্রান্ত হতে পারেন। প্রকৃতপক্ষে, অবিচ্ছেদ্যগুলি অবশ্যই হত্যাকারী নয়, তবে বাস্তবে সবকিছুই অনেক বেশি দুঃখজনক হতে পারে, আমি সমস্যার জন্য "ভাল" ফাংশন নির্বাচন করেছি।
আরও যুক্তিযুক্ত সমাধান রয়েছে: এটি বিপরীত ফাংশনে স্যুইচ করা এবং অক্ষ বরাবর একত্রিত করা নিয়ে গঠিত।
কিভাবে বিপরীত ফাংশন পেতে? মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, আপনাকে "y" এর মাধ্যমে "x" প্রকাশ করতে হবে। প্রথমে প্যারাবোলা দেখি:
এটি যথেষ্ট, তবে আসুন নিশ্চিত করি যে একই ফাংশনটি নিম্ন শাখা থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:
একটি সরল রেখা দিয়ে এটি সহজ:
এখন অক্ষের দিকে তাকান: অনুগ্রহ করে পর্যায়ক্রমে আপনার মাথাটি ডানদিকে 90 ডিগ্রি কাত করুন যেমন আপনি ব্যাখ্যা করেছেন (এটি একটি রসিকতা নয়!) আমাদের যে চিত্রটি প্রয়োজন সেটি সেগমেন্টে রয়েছে, যা লাল ডটেড লাইন দ্বারা নির্দেশিত। এই ক্ষেত্রে, সেগমেন্টে সরলরেখাটি প্যারাবোলার উপরে অবস্থিত, যার অর্থ হল আপনার পরিচিত সূত্রটি ব্যবহার করে চিত্রটির ক্ষেত্রফল পাওয়া উচিত: 
. সূত্রে কি পরিবর্তন হয়েছে? শুধু একটা চিঠি আর কিছু না।
! বিঃদ্রঃ: অক্ষ বরাবর ইন্টিগ্রেশন সীমা সেট করা উচিত নিচ থেকে উপরে কঠোরভাবে!
এলাকা খোঁজা:
সেগমেন্টে, অতএব: 
অনুগ্রহ করে নোট করুন কিভাবে আমি ইন্টিগ্রেশন সম্পন্ন করেছি, এটি সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত উপায় এবং টাস্কের পরবর্তী অনুচ্ছেদে কেন তা স্পষ্ট হবে।
পাঠকদের জন্য যারা একীকরণের সঠিকতা নিয়ে সন্দেহ পোষণ করেন, আমি ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাব: 
মূল ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন প্রাপ্ত হয়, যার মানে ইন্টিগ্রেশন সঠিকভাবে সম্পাদিত হয়েছিল।
উত্তর:
2) আসুন অক্ষের চারপাশে এই চিত্রটির ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত শরীরের আয়তন গণনা করা যাক।
আমি একটু ভিন্ন ডিজাইনে অঙ্কনটি পুনরায় আঁকব:
সুতরাং, নীল ছায়ায় চিত্রটি অক্ষের চারপাশে ঘোরে। ফলাফল হল একটি "হোভারিং প্রজাপতি" যা তার অক্ষের চারপাশে ঘোরে।
ঘূর্ণন শরীরের আয়তন খুঁজে বের করতে, আমরা অক্ষ বরাবর একীভূত হবে. প্রথমে আমাদের ইনভার্স ফাংশনে যেতে হবে। এটি ইতিমধ্যেই করা হয়েছে এবং পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে বিস্তারিত বর্ণনা করা হয়েছে।
এখন আমরা আমাদের মাথা আবার ডানদিকে কাত করি এবং আমাদের চিত্র অধ্যয়ন করি। স্পষ্টতই, আয়তনের পার্থক্য হিসাবে ঘূর্ণনের একটি বডির আয়তন পাওয়া উচিত।
আমরা অক্ষের চারপাশে লাল বৃত্তাকার চিত্রটি ঘোরাই, যার ফলে একটি ছোট শঙ্কু তৈরি হয়। আসুন এই ভলিউমটি দ্বারা বোঝাই।
আমরা অক্ষের চারপাশে সবুজ রঙে বৃত্তাকার চিত্রটি ঘোরাই এবং ঘূর্ণনের ফলের অংশের আয়তন দ্বারা এটিকে চিহ্নিত করি।
আমাদের প্রজাপতির আয়তন আয়তনের পার্থক্যের সমান।
আমরা বিপ্লবের শরীরের আয়তন খুঁজে পেতে সূত্র ব্যবহার করি: 
আগের অনুচ্ছেদে সূত্র থেকে পার্থক্য কি? শুধু চিঠিতে।
কিন্তু একীকরণের সুবিধা, যা আমি সম্প্রতি কথা বলেছি, খুঁজে পাওয়া অনেক সহজ 
, বরং প্রথমে ইন্টিগ্র্যান্ডকে 4র্থ শক্তিতে উত্থাপন করার চেয়ে।
উত্তর: 
তবে অসুস্থ প্রজাপতি নয়।
মনে রাখবেন যে যদি একই সমতল চিত্রটি অক্ষের চারপাশে ঘোরানো হয়, তাহলে আপনি স্বাভাবিকভাবেই ভিন্ন ভলিউমের সাথে সম্পূর্ণ ভিন্ন ঘূর্ণনের বডি পাবেন।
উদাহরণ 6
রেখা এবং একটি অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র দেওয়া হয়েছে৷
1) বিপরীত ফাংশনে যান এবং চলকের উপর একীভূত করে এই রেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন।
2) অক্ষের চারপাশে এই রেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত বডির আয়তন গণনা করুন।
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। আগ্রহীরা "স্বাভাবিক" উপায়ে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলও খুঁজে পেতে পারেন, যার ফলে পয়েন্ট 1 পরীক্ষা করে)। কিন্তু, যদি আমি পুনরাবৃত্তি করি, আপনি অক্ষের চারপাশে একটি সমতল চিত্র ঘোরান, আপনি একটি ভিন্ন ভলিউম সহ ঘূর্ণনের সম্পূর্ণ ভিন্ন বডি পাবেন, যাইহোক, সঠিক উত্তর (যারা সমস্যা সমাধান করতে চান তাদের জন্যও)।
টাস্কের দুটি প্রস্তাবিত পয়েন্টের একটি সম্পূর্ণ সমাধান পাঠের শেষে রয়েছে।
হ্যাঁ, এবং ঘূর্ণনের সংস্থান এবং একীকরণের সীমা বুঝতে আপনার মাথা ডানদিকে কাত করতে ভুলবেন না!
পাঠের ধরন: সম্মিলিত।
পাঠের উদ্দেশ্য:ইন্টিগ্রেল ব্যবহার করে বিপ্লবের দেহের আয়তন গণনা করতে শিখুন।
কাজ:
- বেশ কয়েকটি জ্যামিতিক চিত্র থেকে বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডগুলি সনাক্ত করার ক্ষমতাকে একীভূত করুন এবং বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডগুলির ক্ষেত্রগুলি গণনা করার দক্ষতা বিকাশ করুন;
- একটি ত্রিমাত্রিক চিত্রের ধারণার সাথে পরিচিত হন;
- ঘূর্ণনের দেহের আয়তন গণনা করতে শিখুন;
- অঙ্কন নির্মাণের সময় যৌক্তিক চিন্তাভাবনা, দক্ষ গাণিতিক বক্তৃতা, নির্ভুলতা বিকাশের প্রচার করুন;
- বিষয়ের প্রতি আগ্রহ তৈরি করা, গাণিতিক ধারণা এবং চিত্রের সাথে কাজ করার জন্য, চূড়ান্ত ফলাফল অর্জনে ইচ্ছা, স্বাধীনতা এবং অধ্যবসায় গড়ে তোলা।
ক্লাস চলাকালীন
I. সাংগঠনিক মুহূর্ত।
গ্রুপের পক্ষ থেকে শুভেচ্ছা। শিক্ষার্থীদের কাছে পাঠের উদ্দেশ্য যোগাযোগ করুন।
প্রতিফলন। শান্ত সুর।
- আমি একটি দৃষ্টান্ত দিয়ে আজকের পাঠ শুরু করতে চাই। “একসময় সেখানে একজন জ্ঞানী ব্যক্তি বাস করতেন যিনি সবকিছু জানতেন। একজন লোক প্রমাণ করতে চেয়েছিলেন যে ঋষি সব জানেন না। হাতের তালুতে একটা প্রজাপতি ধরে জিজ্ঞেস করল: "আমাকে বলুন, ঋষি, কোন প্রজাপতি আমার হাতে আছে: মৃত না জীবিত?" এবং সে নিজেই মনে করে: "যদি জীবিত বলে, আমি তাকে হত্যা করব, মৃত ব্যক্তি বলবে, আমি তাকে ছেড়ে দেব।" ঋষি চিন্তা করে উত্তর দিলেন: "সব তোমার হাতে"। (উপস্থাপনা।স্লাইড)
- অতএব, আসুন আজ ফলপ্রসূভাবে কাজ করি, জ্ঞানের একটি নতুন ভাণ্ডার অর্জন করি এবং আমরা অর্জিত দক্ষতা ও ক্ষমতাকে ভবিষ্যত জীবনে এবং ব্যবহারিক কার্যক্রমে প্রয়োগ করব। "সব তোমার হাতে"।
২. পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের পুনরাবৃত্তি।
- আসুন পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের মূল পয়েন্টগুলি মনে রাখি। এটি করতে, এর টাস্ক সম্পূর্ণ করা যাক "বাদ অতিরিক্ত শব্দ”. (স্লাইড।)
(শিক্ষার্থী আইডিতে যায়। অতিরিক্ত শব্দটি মুছে ফেলার জন্য একটি ইরেজার ব্যবহার করে।)
-ঠিক আছে "পার্থক্য"। বাকি শব্দগুলোকে একটি হিসেবে নাম দেওয়ার চেষ্টা করুন সাধারণ পদে. (অখণ্ড ক্যালকুলাস।)
- চলুন অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসের সাথে যুক্ত মূল পর্যায় এবং ধারণাগুলি মনে রাখি..
"গাণিতিক গুচ্ছ"।
ব্যায়াম। ফাঁক পুনরুদ্ধার করুন. (শিক্ষার্থী বেরিয়ে আসে এবং একটি কলম দিয়ে প্রয়োজনীয় শব্দে লেখে।)
- আমরা পরে পূর্ণাঙ্গের প্রয়োগের উপর একটি বিমূর্ত শুনব।
নোটবুকে কাজ করুন।
- নিউটন-লাইবনিজ সূত্রটি ইংরেজ পদার্থবিদ আইজ্যাক নিউটন (1643-1727) এবং জার্মান দার্শনিক গটফ্রিড লাইবনিজ (1646-1716) দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল। এবং এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ গণিত হল প্রকৃতির দ্বারা কথ্য ভাষা।
- সমাধান করার সময় কিভাবে বিবেচনা করা যাক ব্যবহারিক কাজএই সূত্র ব্যবহার করা হয়।
উদাহরণ 1: রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন
সমাধান: আসুন স্থানাঙ্ক সমতলে ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করি . আসুন চিত্রের ক্ষেত্রটি নির্বাচন করি যা খুঁজে পাওয়া দরকার।
III. নতুন উপাদান শেখা.
- পর্দায় মনোযোগ দিন। প্রথম ছবিতে কী দেখানো হয়েছে? (স্লাইড) (চিত্রটি একটি সমতল চিত্র দেখায়।)
- দ্বিতীয় ছবিতে কী দেখানো হয়েছে? এই চিত্র কি সমতল? (স্লাইড) (চিত্রটি একটি ত্রিমাত্রিক চিত্র দেখায়।)
- মহাকাশে, পৃথিবীতে এবং ভিতরে প্রাত্যহিক জীবনআমরা কেবল সমতল পরিসংখ্যানই নয়, ত্রিমাত্রিকগুলিরও সম্মুখীন হই, তবে আমরা কীভাবে এই জাতীয় দেহের আয়তন গণনা করতে পারি? যেমন একটি গ্রহ, ধূমকেতু, উল্কা ইত্যাদির আয়তন।
- মানুষ ঘর তৈরি করার সময় এবং এক পাত্র থেকে অন্য পাত্রে জল ঢালার সময় উভয়ই আয়তন সম্পর্কে চিন্তা করে। ভলিউম গণনার নিয়ম এবং কৌশলগুলি কতটা সঠিক এবং যুক্তিসঙ্গত ছিল তা অন্য বিষয়।
একজন ছাত্রের বার্তা। (টিউরিনা ভেরা।)
1612 সালটি অস্ট্রিয়ান শহর লিঞ্জের বাসিন্দাদের জন্য খুবই ফলপ্রসূ ছিল, যেখানে বিখ্যাত জ্যোতির্বিজ্ঞানী জোহানেস কেপলার থাকতেন, বিশেষ করে আঙ্গুরের জন্য। লোকেরা ওয়াইন ব্যারেল প্রস্তুত করছিল এবং তাদের ভলিউম ব্যবহারিকভাবে কীভাবে নির্ধারণ করা যায় তা জানতে চেয়েছিল। (স্লাইড 2)
– এইভাবে, কেপলারের বিবেচিত কাজগুলি গবেষণার একটি সম্পূর্ণ ধারার সূচনা করে যা 17 শতকের শেষ প্রান্তিকে শেষ হয়েছিল। আই. নিউটন এবং জি.ভি. এর কাজের নকশা ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের লাইবনিজ। সেই সময় থেকে, ভেরিয়েবলের গণিত গাণিতিক জ্ঞানের সিস্টেমে একটি অগ্রণী স্থান নেয়।
- আজ আপনি এবং আমি এই ধরনের ব্যবহারিক কার্যক্রমে নিযুক্ত হব, তাই,
আমাদের পাঠের বিষয়: "একটি সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে ঘূর্ণনের দেহের আয়তন গণনা করা।" (স্লাইড)
- আপনি সম্পূর্ণ করে বিপ্লবের শরীরের সংজ্ঞা শিখবেন পরবর্তী কাজ.
" গোলকধাঁধা "।
গোলকধাঁধা ( গ্রীক শব্দ) মানে অন্ধকূপে যাওয়া। একটি গোলকধাঁধা হল পথ, প্যাসেজ এবং আন্তঃসংযোগ কক্ষগুলির একটি জটিল নেটওয়ার্ক।
কিন্তু সংজ্ঞাটি "ভাঙ্গা" ছিল, তীরের আকারে চিহ্ন রেখেছিল।
ব্যায়াম। বিভ্রান্তিকর পরিস্থিতি থেকে বেরিয়ে আসার উপায় খুঁজুন এবং সংজ্ঞা লিখুন।
স্লাইড "মানচিত্র নির্দেশ" ভলিউম গণনা.
একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে, আপনি একটি নির্দিষ্ট শরীরের আয়তন গণনা করতে পারেন, বিশেষ করে, ঘূর্ণনের একটি বডি।
বিপ্লবের বডি হল একটি বডি যা তার ভিত্তির চারপাশে একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত হয় (চিত্র 1, 2)
ঘূর্ণন শরীরের ভলিউম একটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
1.
OX অক্ষের চারপাশে।
2. 
, যদি একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েডের ঘূর্ণন অপ-অ্যাম্পের অক্ষের চারপাশে।
প্রতিটি শিক্ষার্থী একটি নির্দেশনা কার্ড পায়। শিক্ষক প্রধান পয়েন্ট জোর.
- শিক্ষক বোর্ডে উদাহরণগুলির সমাধান ব্যাখ্যা করেন।
থেকে একটি উদ্ধৃতি বিবেচনা করুন বিখ্যাত রূপকথাএ.এস. পুশকিন "দ্য টেল অফ জার সালতান, তার মহিমান্বিত এবং পরাক্রমশালী নায়ক প্রিন্স গুইডন সালতানোভিচ এবং সুন্দর রাজকুমারী রাজহাঁসের গল্প" (স্লাইড 4):
…..
আর একজন মাতাল দূত নিয়ে এল
একই দিনে আদেশটি নিম্নরূপ:
"রাজা তার ছেলেদের আদেশ দেন,
সময় নষ্ট না করে,
এবং রাণী ও বংশধর
গোপনে জলের অতল গহ্বরে ফেলে দাও।"
কিছুই করার নেই: বয়রা,
সার্বভৌম সম্পর্কে উদ্বিগ্ন
এবং তরুণ রাণীর কাছে,
তার বেডরুমে ভিড় এলো।
তারা রাজার ইচ্ছা ঘোষণা করল-
তার এবং তার ছেলের মন্দ ভাগ আছে,
আমরা উচ্চস্বরে ডিক্রি পড়ি,
এবং একই সময়ে রানী
তারা আমাকে আমার ছেলের সাথে একটি ব্যারেলে রেখেছিল,
তারা tarred এবং দূরে তাড়িয়ে
এবং তারা আমাকে ওকিয়ানে ঢুকতে দিল -
জার সালতান এই নির্দেশ দিয়েছিলেন।
ব্যারেলের আয়তন কত হওয়া উচিত যাতে রানী এবং তার ছেলে এতে ফিট করতে পারে?
- নিম্নলিখিত কাজগুলি বিবেচনা করুন
1. রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েডের অর্ডিনেট অক্ষের চারপাশে ঘোরার মাধ্যমে প্রাপ্ত বডির আয়তন খুঁজুন: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0।
উত্তর: 1163 সেমি 3 .
অ্যাবসিসা অক্ষের চারপাশে একটি প্যারাবোলিক ট্র্যাপিজয়েড ঘুরিয়ে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন খুঁজুন y = , x = 4, y = 0।
IV নতুন উপাদান একত্রীকরণ
উদাহরণ 2. x-অক্ষের চারপাশে পাপড়ির ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত শরীরের আয়তন গণনা করুন y = x 2 , y 2 = x।
ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করা যাক। y = x 2 , y 2 = x. সময়সূচী y2 = xফর্মে রূপান্তর করুন y= .
আমাদের আছে V = V 1 – V 2আসুন প্রতিটি ফাংশনের আয়তন গণনা করি
- এখন, মস্কোর শাবোলোভকার রেডিও স্টেশনের টাওয়ারটি দেখি, অসাধারণ রাশিয়ান প্রকৌশলী, সম্মানিত শিক্ষাবিদ ভি জি শুকভের নকশা অনুসারে নির্মিত। এটি অংশ নিয়ে গঠিত - ঘূর্ণনের হাইপারবোলয়েড। অধিকন্তু, তাদের প্রতিটি সংলগ্ন চেনাশোনাগুলিকে সংযুক্ত করে সোজা ধাতব রড দিয়ে তৈরি (চিত্র 8, 9)।
- এর সমস্যা বিবেচনা করা যাক.
হাইপারবোলা আর্কগুলি ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন খুঁজুন 
এর কাল্পনিক অক্ষের চারপাশে, যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। 8, কোথায়
ঘনক্ষেত্র ইউনিট
গ্রুপ অ্যাসাইনমেন্ট। শিক্ষার্থীরা কাজের সাথে অনেকগুলি আঁকে, হোয়াটম্যান পেপারে অঙ্কন আঁকে এবং দলের প্রতিনিধিদের একজন কাজটিকে রক্ষা করে।
১ম দল।
আঘাত! আঘাত! আরেকটি ধাক্কা!
বল গোলে উড়ে যায় - বল!
এবং এটি একটি তরমুজ বল
সবুজ, গোলাকার, সুস্বাদু।
ভালো করে দেখে নিন - কি বল!
এটা বৃত্ত ছাড়া কিছুই তৈরি করা হয় না.
বৃত্তে তরমুজ কাটুন
এবং তাদের স্বাদ নিন।
সীমিত ফাংশনের OX অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন দ্বারা প্রাপ্ত বডির আয়তন খুঁজুন
ত্রুটি! বুকমার্ক সংজ্ঞায়িত করা হয় না.
- দয়া করে আমাকে বলুন আমরা এই চিত্রটি কোথায় দেখা করি?
গৃহ. 1 দলের জন্য টাস্ক। সিলিন্ডার (স্লাইড) .
"সিলিন্ডার - এটা কি?" - আমি আমার বাবাকে জিজ্ঞাসা করেছি।
বাবা হেসে উঠলেন: উপরের টুপিটা একটা টুপি।
একটি সঠিক ধারণা পেতে,
একটি সিলিন্ডার, ধরা যাক, একটি টিনের ক্যান।
স্টিমবোট পাইপ - সিলিন্ডার,
আমাদের ছাদেও পাইপ,
সমস্ত পাইপ একটি সিলিন্ডারের অনুরূপ।
এবং আমি এই মত একটি উদাহরণ দিলাম -
ক্যালিডোস্কোপ আমার ভালবাসা,
আপনি তার থেকে চোখ সরাতে পারবেন না,
এবং এটি দেখতেও সিলিন্ডারের মতো।
- ব্যায়াম। বাড়ির কাজফাংশন গ্রাফ করুন এবং আয়তন গণনা করুন।
২য় দল। শঙ্কু (স্লাইড).
মা বলেছেন: আর এখন
আমার গল্প হবে শঙ্কু নিয়ে।
একটি উচ্চ টুপি মধ্যে Stargazer
সারা বছর তারা গণনা করে।
শঙ্কু - স্টারগেজারের টুপি।
সে এমনই। বুঝলেন? এটাই.
মা টেবিলে দাঁড়িয়ে ছিলেন,
বোতলে তেল ঢেলে দিলাম।
- ফানেল কোথায়? ফানেল নেই।
এটা খুজছি. পাশে দাঁড়াবেন না।
- মা, আমি নড়ব না।
শঙ্কু সম্পর্কে আরও বলুন।
- ফানেলটি একটি ওয়াটারিং ক্যান শঙ্কু আকারে রয়েছে।
চলো, ওকে আমার জন্য তাড়াতাড়ি খুঁজে দাও।
আমি ফানেল খুঁজে পাচ্ছি না
কিন্তু মা একটা ব্যাগ বানিয়েছে,
আমি আমার আঙুলের চারপাশে কার্ডবোর্ডটি মুড়েছি
এবং তিনি দক্ষতার সাথে একটি কাগজের ক্লিপ দিয়ে এটি সুরক্ষিত করেছিলেন।
তেল প্রবাহিত হচ্ছে, মা খুশি,
শঙ্কু ঠিক বেরিয়ে এল।
ব্যায়াম। অ্যাবসিসা অক্ষের চারপাশে ঘোরার মাধ্যমে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন গণনা করুন
গৃহ. ২য় গ্রুপের জন্য টাস্ক। পিরামিড(স্লাইড)।
ছবিটা দেখলাম। এই ছবিতে
বালুকাময় মরুভূমিতে একটি পিরামিড রয়েছে।
পিরামিডের সবকিছুই অসাধারণ,
এর মধ্যে একধরনের রহস্য ও রহস্য রয়েছে।
এবং রেড স্কোয়ারের স্পাস্কায়া টাওয়ার
এটি শিশু এবং প্রাপ্তবয়স্ক উভয়ের কাছেই খুব পরিচিত।
টাওয়ারের দিকে তাকালে সাধারণ মনে হবে,
এটা উপরে কি? পিরামিড !
ব্যায়াম।হোমওয়ার্ক: ফাংশন গ্রাফ করুন এবং পিরামিডের আয়তন গণনা করুন
- আমরা একটি অখণ্ড ব্যবহার করে দেহের আয়তনের মৌলিক সূত্রের উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন সংস্থার আয়তন গণনা করেছি।
এটি আরেকটি নিশ্চিতকরণ যে গণিতের অধ্যয়নের জন্য নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য কিছু ভিত্তি।
-আচ্ছা এখন একটু বিশ্রাম করি।
একটি জোড়া খুঁজুন.
গাণিতিক ডমিনো মেলোডি বাজায়।
"আমি নিজে যে রাস্তাটি খুঁজছিলাম তা কখনই ভুলব না ..."
গবেষণা কাজ. অর্থনীতি এবং প্রযুক্তিতে অবিচ্ছেদ্য প্রয়োগ।
শক্তিশালী ছাত্র এবং গাণিতিক ফুটবলের জন্য পরীক্ষা।
গণিত সিমুলেটর।
2. একটি প্রদত্ত ফাংশনের সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেটকে বলা হয়
খ) ফাংশন,
খ) পার্থক্য।
7. রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের অ্যাবসিসা অক্ষের চারপাশে ঘোরার মাধ্যমে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন খুঁজুন:
D/Z ঘূর্ণন শরীরের ভলিউম গণনা.
প্রতিফলন।
ফর্মে প্রতিফলনের অভ্যর্থনা সিঙ্কওয়াইন(পাঁচ লাইন)।
১ম লাইন – বিষয়ের নাম (একটি বিশেষ্য)।
২য় লাইন - দুটি শব্দে বিষয়ের বর্ণনা, দুটি বিশেষণ।
3য় লাইন - তিনটি শব্দে এই বিষয়ের মধ্যে কর্মের বর্ণনা।
৪র্থ লাইন হল চারটি শব্দের একটি বাক্যাংশ যা বিষয়ের প্রতি মনোভাব দেখায় (একটি সম্পূর্ণ বাক্য)।
5 ম লাইন একটি সমার্থক শব্দ যা বিষয়ের সারাংশ পুনরাবৃত্তি করে।
- আয়তন।
- সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, সংহত ফাংশন।
- আমরা নির্মাণ করি, আমরা ঘোরান, আমরা গণনা করি।
- একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড (এর ভিত্তির চারপাশে) ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত একটি শরীর।
- ঘূর্ণনের বডি (ভলিউমেট্রিক জ্যামিতিক বডি)।
উপসংহার (স্লাইড).
- একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হল গণিতের অধ্যয়নের জন্য একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি, যা ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানে একটি অপূরণীয় অবদান রাখে।
- বিষয় "অখণ্ড" স্পষ্টভাবে গণিত এবং পদার্থবিদ্যা, জীববিদ্যা, অর্থনীতি এবং প্রযুক্তির মধ্যে সংযোগ প্রদর্শন করে.
- উন্নয়ন আধুনিক বিজ্ঞানঅবিচ্ছেদ্য ব্যবহার না করে কল্পনা করা যায় না। এই বিষয়ে, মাধ্যমিক বিশেষায়িত শিক্ষার কাঠামোর মধ্যে এটি অধ্যয়ন শুরু করা প্রয়োজন!
গ্রেডিং। (ভাষ্য সহ।)
গ্রেট লবস্টারখৈয়াম একজন গণিতবিদ, কবি, দার্শনিক। তিনি আমাদের নিজেদের ভাগ্যের মালিক হতে উৎসাহিত করেন। আসুন তার কাজের একটি অংশ শুনি:
তুমি বলবে, এ জীবন এক মুহূর্ত।
এটির প্রশংসা করুন, এটি থেকে অনুপ্রেরণা নিন।
আপনি এটি ব্যয় হিসাবে, এটি পাস হবে.
ভুলবেন না: তিনি আপনার সৃষ্টি.
বিষয়: "একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে বিপ্লবের দেহের আয়তন গণনা করা"
পাঠের ধরন:মিলিত
পাঠের উদ্দেশ্য:ইন্টিগ্রেল ব্যবহার করে বিপ্লবের দেহের আয়তন গণনা করতে শিখুন।
কাজ:
একটি সিরিজ থেকে বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড সনাক্ত করার ক্ষমতা একত্রিত করুন জ্যামিতিক আকারএবং বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডগুলির ক্ষেত্রগুলি গণনা করার দক্ষতা অনুশীলন করুন;
একটি ত্রিমাত্রিক চিত্রের ধারণার সাথে পরিচিত হন;
ঘূর্ণনের দেহের আয়তন গণনা করতে শিখুন;
অঙ্কন নির্মাণের সময় যৌক্তিক চিন্তাভাবনা, দক্ষ গাণিতিক বক্তৃতা, নির্ভুলতা বিকাশের প্রচার করুন;
বিষয়ের প্রতি আগ্রহ তৈরি করা, গাণিতিক ধারণা এবং চিত্রের সাথে কাজ করার জন্য, চূড়ান্ত ফলাফল অর্জনে ইচ্ছা, স্বাধীনতা এবং অধ্যবসায় গড়ে তোলা।
ক্লাস চলাকালীন
I. সাংগঠনিক মুহূর্ত।
গ্রুপের পক্ষ থেকে শুভেচ্ছা। শিক্ষার্থীদের কাছে পাঠের উদ্দেশ্য যোগাযোগ করুন।
আমি একটি দৃষ্টান্ত দিয়ে আজকের পাঠ শুরু করতে চাই। “একসময় সেখানে একজন জ্ঞানী ব্যক্তি বাস করতেন যিনি সবকিছু জানতেন। একজন লোক প্রমাণ করতে চেয়েছিলেন যে ঋষি সব জানেন না। হাতের তালুতে একটা প্রজাপতি ধরে জিজ্ঞেস করল: "আমাকে বলুন, ঋষি, কোন প্রজাপতি আমার হাতে আছে: মৃত না জীবিত?" এবং তিনি মনে করেন: "যদি জীবিত বলে, আমি তাকে হত্যা করব, যদি মৃতটি বলে, আমি তাকে ছেড়ে দেব।" ঋষি, চিন্তা করার পরে, উত্তর দিলেন: "সবকিছু তোমার হাতে।"
অতএব, আসুন আজ ফলপ্রসূভাবে কাজ করি, জ্ঞানের একটি নতুন ভাণ্ডার অর্জন করি, এবং আমরা অর্জিত দক্ষতা এবং ক্ষমতাকে ভবিষ্যতের জীবনে এবং ব্যবহারিক ক্রিয়াকলাপে প্রয়োগ করব "সবকিছু আপনার হাতে।"
২. পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের পুনরাবৃত্তি।
আসুন পূর্বে অধ্যয়নকৃত উপাদানের মূল পয়েন্টগুলি মনে রাখি। এটি করার জন্য, আসুন "অতিরিক্ত শব্দটি নির্মূল করুন" কাজটি সম্পূর্ণ করুন।
(শিক্ষার্থীরা একটি অতিরিক্ত শব্দ বলে।)
ঠিক "পার্থক্য"।একটি সাধারণ শব্দ দিয়ে অবশিষ্ট শব্দের নাম দেওয়ার চেষ্টা করুন। (অখণ্ড ক্যালকুলাস।)
চলুন পূর্ণাঙ্গ ক্যালকুলাসের সাথে যুক্ত মূল পর্যায় এবং ধারণাগুলি মনে রাখা যাক।
ব্যায়াম।ফাঁক পুনরুদ্ধার করুন. (শিক্ষার্থী বেরিয়ে আসে এবং একটি মার্কার দিয়ে প্রয়োজনীয় শব্দে লেখে।)
নোটবুকে কাজ করুন।
নিউটন-লাইবনিজ সূত্রটি ইংরেজ পদার্থবিদ আইজ্যাক নিউটন (1643-1727) এবং জার্মান দার্শনিক গটফ্রাইড লিবনিজ (1646-1716) দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল। এবং এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ গণিত হল প্রকৃতির দ্বারা কথ্য ভাষা।
আসুন বিবেচনা করি কিভাবে এই সূত্রটি ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহার করা হয়।
উদাহরণ 1: রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন 
সমাধান:আসুন স্থানাঙ্ক সমতলে ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করি . আসুন চিত্রের ক্ষেত্রটি নির্বাচন করি যা খুঁজে পাওয়া দরকার।
III. নতুন উপাদান শেখা.
পর্দায় মনোযোগ দিন। প্রথম ছবিতে কী দেখানো হয়েছে? (চিত্রটি একটি সমতল চিত্র দেখায়।)
দ্বিতীয় ছবিতে কী দেখানো হয়েছে? এই চিত্র কি সমতল? (চিত্রটি একটি ত্রিমাত্রিক চিত্র দেখায়।)
মহাকাশে, পৃথিবীতে এবং দৈনন্দিন জীবনে, আমরা কেবল সমতল পরিসংখ্যানই নয়, ত্রিমাত্রিকগুলিরও মুখোমুখি হই, তবে আমরা কীভাবে এই জাতীয় দেহের আয়তন গণনা করতে পারি? যেমন: একটি গ্রহ, ধূমকেতু, উল্কা ইত্যাদির আয়তন।
মানুষ ঘর তৈরি করার সময় এবং এক পাত্র থেকে অন্য পাত্রে পানি ঢালার সময় উভয়ই আয়তনের কথা চিন্তা করে। ভলিউম গণনার নিয়ম এবং কৌশলগুলি কতটা সঠিক এবং ন্যায়সঙ্গত ছিল তা অন্য বিষয়।
1612 সালটি অস্ট্রিয়ান শহর লিঞ্জের বাসিন্দাদের জন্য খুবই ফলপ্রসূ ছিল, যেখানে বিখ্যাত জ্যোতির্বিজ্ঞানী জোহানেস কেপলার থাকতেন, বিশেষ করে আঙ্গুরের জন্য। লোকেরা ওয়াইন ব্যারেল প্রস্তুত করছিল এবং তাদের ভলিউম ব্যবহারিকভাবে কীভাবে নির্ধারণ করা যায় তা জানতে চেয়েছিল।
এইভাবে, কেপলারের বিবেচিত কাজগুলি গবেষণার একটি সম্পূর্ণ ধারার সূচনা করে যা 17 শতকের শেষ চতুর্থাংশে শেষ হয়েছিল। আই. নিউটন এবং জি.ভি. এর কাজের নকশা ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের লাইবনিজ। সেই সময় থেকে, ভেরিয়েবলের গণিত গাণিতিক জ্ঞানের সিস্টেমে একটি অগ্রণী স্থান নেয়।
আজ আপনি এবং আমি এই ধরনের ব্যবহারিক কার্যক্রমে নিযুক্ত হব, তাই,
আমাদের পাঠের বিষয়: "একটি সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে ঘূর্ণনের দেহের আয়তন গণনা করা।"
আপনি নিম্নলিখিত কাজটি সম্পূর্ণ করার মাধ্যমে বিপ্লবের শরীরের সংজ্ঞা শিখবেন।
" গোলকধাঁধা "।
ব্যায়াম।বিভ্রান্তিকর পরিস্থিতি থেকে বেরিয়ে আসার উপায় খুঁজুন এবং সংজ্ঞা লিখুন।
IVআয়তনের গণনা।
একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে, আপনি একটি নির্দিষ্ট শরীরের আয়তন গণনা করতে পারেন, বিশেষ করে, ঘূর্ণনের একটি বডি।
বিপ্লবের বডি হল একটি বডি যা তার ভিত্তির চারপাশে একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত হয় (চিত্র 1, 2)
একটি সূত্র ব্যবহার করে বিপ্লবের শরীরের আয়তন গণনা করা হয়:
1.
OX অক্ষের চারপাশে।
2. 
, যদি একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েডের ঘূর্ণন অপ-অ্যাম্পের অক্ষের চারপাশে।
শিক্ষার্থীরা একটি নোটবুকে মৌলিক সূত্রগুলো লিখে রাখে।
শিক্ষক বোর্ডে উদাহরণগুলির সমাধান ব্যাখ্যা করেন।
1. রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েডের অর্ডিনেট অক্ষের চারপাশে ঘোরার মাধ্যমে প্রাপ্ত বডির আয়তন খুঁজুন: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0।
সমাধান।
উত্তর: 1163 cm3.
2. x-অক্ষের চারপাশে একটি প্যারাবোলিক ট্র্যাপিজয়েড ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন খুঁজুন y = , x = 4, y = 0।
সমাধান।
ভি. গণিত সিমুলেটর।
2. একটি প্রদত্ত ফাংশনের সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেটকে বলা হয়
ক) একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য,
খ) ফাংশন,
খ) পার্থক্য।
7. রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের অ্যাবসিসা অক্ষের চারপাশে ঘোরার মাধ্যমে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন খুঁজুন:
D/Z নতুন উপাদান একত্রীকরণ
x-অক্ষের চারপাশে পাপড়ির ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত শরীরের আয়তন গণনা করুন y = x2, y2 = x।
ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করা যাক। y = x2, y2 = x। চলুন গ্রাফ y2 = x রূপান্তর করি y = ফর্মে।
আমাদের কাছে V = V1 - V2 আছে প্রতিটি ফাংশনের ভলিউম গণনা করা যাক:
উপসংহার:
সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণিত অধ্যয়নের জন্য একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি, যা ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানে একটি অপরিবর্তনীয় অবদান রাখে।
বিষয় "অখণ্ড" স্পষ্টভাবে গণিত এবং পদার্থবিদ্যা, জীববিদ্যা, অর্থনীতি এবং প্রযুক্তির মধ্যে সংযোগ প্রদর্শন করে.
অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার ছাড়া আধুনিক বিজ্ঞানের বিকাশ কল্পনাতীত। এই বিষয়ে, গড়ের কাঠামোর মধ্যে এটি অধ্যয়ন শুরু করা প্রয়োজন বিশেষ শিক্ষা!
VI. গ্রেডিং।(ভাষ্য সহ।)
মহান ওমর খৈয়াম - গণিতবিদ, কবি, দার্শনিক। তিনি আমাদের নিজেদের ভাগ্যের মালিক হতে উৎসাহিত করেন। আসুন তার কাজের একটি অংশ শুনি:
তুমি বলো, এ জীবন এক মুহূর্ত।
এটির প্রশংসা করুন, এটি থেকে অনুপ্রেরণা নিন।
আপনি এটি ব্যয় হিসাবে, এটি পাস হবে.
ভুলবেন না: তিনি আপনার সৃষ্টি.
একটি অক্ষের চারপাশে সমতল চিত্র
উদাহরণ 3
লাইন দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র দেওয়া হয়েছে , , .
1) এই রেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন।
2) অক্ষের চারপাশে এই রেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন খুঁজুন।
মনোযোগ!এমনকি যদি আপনি শুধুমাত্র দ্বিতীয় পয়েন্ট পড়তে চান, প্রথম অগত্যাপ্রথম পড়ুন!
সমাধান: টাস্ক দুটি অংশ নিয়ে গঠিত। এর বর্গ দিয়ে শুরু করা যাক.
1) চলুন একটি অঙ্কন করা যাক:
এটা দেখতে সহজ যে ফাংশনটি প্যারাবোলার উপরের শাখাকে নির্দিষ্ট করে এবং ফাংশনটি প্যারাবোলার নীচের শাখাটিকে নির্দিষ্ট করে। আমাদের সামনে একটি তুচ্ছ প্যারাবোলা যা "তার পাশে রয়েছে।"
পছন্দসই চিত্র, যেটির ক্ষেত্রটি খুঁজে পাওয়া যাবে, নীল রঙে ছায়াযুক্ত।
কিভাবে একটি চিত্রের এলাকা খুঁজে বের করতে? এটি "স্বাভাবিক" উপায়ে পাওয়া যেতে পারে। তদুপরি, চিত্রের ক্ষেত্রফলটি ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি হিসাবে পাওয়া যায়:
- সেগমেন্টে 
;
- সেগমেন্টে।
এই জন্য:
আরও যুক্তিযুক্ত সমাধান রয়েছে: এটি বিপরীত ফাংশনে স্যুইচ করা এবং অক্ষ বরাবর একত্রিত করা নিয়ে গঠিত।
কিভাবে বিপরীত ফাংশন পেতে? মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, আপনাকে "y" এর মাধ্যমে "x" প্রকাশ করতে হবে। প্রথমে প্যারাবোলা দেখি:
এটি যথেষ্ট, তবে আসুন নিশ্চিত করি যে একই ফাংশনটি নিম্ন শাখা থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:
একটি সরল রেখা দিয়ে এটি সহজ:
এখন অক্ষের দিকে তাকান: অনুগ্রহ করে পর্যায়ক্রমে আপনার মাথাটি ডানদিকে 90 ডিগ্রি কাত করুন যেমন আপনি ব্যাখ্যা করেছেন (এটি একটি রসিকতা নয়!) আমাদের যে চিত্রটি প্রয়োজন সেটি সেগমেন্টে রয়েছে, যা লাল ডটেড লাইন দ্বারা নির্দেশিত। এই ক্ষেত্রে, সেগমেন্টে সরলরেখাটি প্যারাবোলার উপরে অবস্থিত, যার অর্থ হল আপনার পরিচিত সূত্রটি ব্যবহার করে চিত্রটির ক্ষেত্রফল পাওয়া উচিত: 
. সূত্রে কি পরিবর্তন হয়েছে? শুধু একটা চিঠি আর কিছু না।
! বিঃদ্রঃ : অক্ষ একীকরণ সীমা স্থাপন করা উচিতনিচ থেকে উপরে কঠোরভাবে !
এলাকা খোঁজা:
সেগমেন্টে, অতএব:
অনুগ্রহ করে নোট করুন কিভাবে আমি ইন্টিগ্রেশন সম্পন্ন করেছি, এটি সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত উপায় এবং টাস্কের পরবর্তী অনুচ্ছেদে কেন তা স্পষ্ট হবে।
পাঠকদের জন্য যারা একীকরণের সঠিকতা নিয়ে সন্দেহ পোষণ করেন, আমি ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাব:
মূল ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন প্রাপ্ত হয়, যার মানে ইন্টিগ্রেশন সঠিকভাবে সম্পাদিত হয়েছিল।
উত্তর:
2) আসুন অক্ষের চারপাশে এই চিত্রটির ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত শরীরের আয়তন গণনা করা যাক।
আমি একটু ভিন্ন ডিজাইনে অঙ্কনটি পুনরায় আঁকব:
সুতরাং, নীল ছায়ায় চিত্রটি অক্ষের চারপাশে ঘোরে। ফলাফল হল একটি "হোভারিং প্রজাপতি" যা তার অক্ষের চারপাশে ঘোরে।
ঘূর্ণন শরীরের আয়তন খুঁজে বের করতে, আমরা অক্ষ বরাবর একীভূত হবে. প্রথমে আমাদের ইনভার্স ফাংশনে যেতে হবে। এটি ইতিমধ্যেই করা হয়েছে এবং পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে বিস্তারিত বর্ণনা করা হয়েছে।
এখন আমরা আমাদের মাথা আবার ডানদিকে কাত করি এবং আমাদের চিত্র অধ্যয়ন করি। স্পষ্টতই, আয়তনের পার্থক্য হিসাবে ঘূর্ণনের একটি বডির আয়তন পাওয়া উচিত।
আমরা অক্ষের চারপাশে লাল বৃত্তাকার চিত্রটি ঘোরাই, যার ফলে একটি ছোট শঙ্কু তৈরি হয়। আসুন এই ভলিউমটি দ্বারা বোঝাই।
আমরা অক্ষের চারপাশে সবুজ রঙে বৃত্তাকার চিত্রটি ঘোরাই এবং ঘূর্ণনের ফলের অংশের আয়তন দ্বারা এটিকে চিহ্নিত করি।
আমাদের প্রজাপতির আয়তন আয়তনের পার্থক্যের সমান।
আমরা বিপ্লবের শরীরের আয়তন খুঁজে পেতে সূত্র ব্যবহার করি: 
আগের অনুচ্ছেদে সূত্র থেকে পার্থক্য কি? শুধু চিঠিতে।
কিন্তু একীকরণের সুবিধা, যা আমি সম্প্রতি কথা বলেছি, খুঁজে পাওয়া অনেক সহজ 
, বরং প্রথমে ইন্টিগ্র্যান্ডকে 4র্থ শক্তিতে উত্থাপন করার চেয়ে।
উত্তর: 
মনে রাখবেন যে যদি একই সমতল চিত্রটি অক্ষের চারপাশে ঘোরানো হয়, তাহলে আপনি স্বাভাবিকভাবেই ভিন্ন ভলিউমের সাথে সম্পূর্ণ ভিন্ন ঘূর্ণনের বডি পাবেন।
উদাহরণ 7
বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত একটি শরীরের আয়তন গণনা করুন এবং।
সমাধান: আসুন একটি অঙ্কন করি:
পথ ধরে, আমরা আরও কিছু ফাংশনের গ্রাফের সাথে পরিচিত হই। এটি একটি আকর্ষণীয় গ্রাফ এমনকি ফাংশন ….
বিপ্লবের শরীরের ভলিউম খুঁজে বের করার উদ্দেশ্যে, চিত্রটির ডান অর্ধেক ব্যবহার করা যথেষ্ট, যা আমি নীল রঙে ছায়া দিয়েছি। উভয় ফাংশন সমান, তাদের গ্রাফগুলি অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম, এবং আমাদের চিত্রটি প্রতিসম। এইভাবে ছায়াময় ডান অংশ, অক্ষের চারপাশে ঘোরানো, অবশ্যই বাম অপরিবর্তিত অংশের সাথে মিলে যাবে।
একটি নির্দিষ্ট অখণ্ড ব্যবহার করে বিপ্লবের শরীরের আয়তন কীভাবে গণনা করা যায়?
এছাড়া একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে একটি সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করা বিষয়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হল বিপ্লবের শরীরের আয়তন গণনা করা. উপাদান সহজ, কিন্তু পাঠক প্রস্তুত হতে হবে: আপনি সমাধান করতে সক্ষম হতে হবে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য মাঝারি জটিলতা এবং নিউটন-লাইবনিজ সূত্র প্রয়োগ করুন নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য . এলাকা খুঁজে বের করার সমস্যা হিসাবে, আপনার আত্মবিশ্বাসী অঙ্কন দক্ষতা প্রয়োজন - এটি প্রায় সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিস (যেহেতু অবিচ্ছেদ্যগুলি প্রায়শই সহজ হবে)। আপনি পদ্ধতিগত উপাদানের সাহায্যে দক্ষ এবং দ্রুত চার্টিং কৌশল আয়ত্ত করতে পারেন . কিন্তু, আসলে, আমি ইতিমধ্যে ক্লাসে বেশ কয়েকবার আঁকার গুরুত্ব সম্পর্কে কথা বলেছি। .
সাধারণভাবে, ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসে অনেক আকর্ষণীয় অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে একটি নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করে, আপনি একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল, ঘূর্ণনের অংশের আয়তন, একটি চাপের দৈর্ঘ্য, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করতে পারেন। একটি শরীর এবং আরও অনেক কিছু। তাই এটা মজা হবে, আশাবাদী থাকুন!
স্থানাঙ্ক সমতলে কিছু সমতল চিত্র কল্পনা করুন। পরিচয় করিয়ে দিলেন? ... আমি ভাবছি কে কী উপস্থাপন করেছে... =))) আমরা ইতিমধ্যে এর এলাকা খুঁজে পেয়েছি। তবে, উপরন্তু, এই চিত্রটি ঘোরানো এবং দুটি উপায়ে ঘোরানো যেতে পারে:
– x-অক্ষের চারপাশে; - অর্ডিনেট অক্ষের চারপাশে।
এই নিবন্ধটি উভয় ক্ষেত্রেই পরীক্ষা করবে। ঘূর্ণনের দ্বিতীয় পদ্ধতিটি বিশেষ করে আকর্ষণীয়; এটি সবচেয়ে বেশি অসুবিধা সৃষ্টি করে, কিন্তু প্রকৃতপক্ষে সমাধানটি প্রায় একই রকম হয় x-অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে। বোনাস হিসেবে আমি ফিরে আসব একটি চিত্রের ক্ষেত্র খুঁজে বের করার সমস্যা , এবং আমি আপনাকে বলব কিভাবে দ্বিতীয় উপায়ে এলাকাটি খুঁজে বের করতে হয় - অক্ষ বরাবর। এটি এত বেশি বোনাস নয় কারণ উপাদানটি বিষয়ের সাথে ভালভাবে ফিট করে।
সবচেয়ে জনপ্রিয় ধরনের ঘূর্ণন দিয়ে শুরু করা যাক।
উদাহরণ 1
একটি অক্ষের চারপাশে রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্র ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন গণনা করুন।
সমাধান:এলাকা খোঁজার সমস্যা হিসাবে, সমাধানটি একটি সমতল চিত্রের অঙ্কন দিয়ে শুরু হয়. অর্থাৎ, একটি সমতলে রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্র তৈরি করা প্রয়োজন এবং ভুলে যাবেন না যে সমীকরণটি অক্ষকে সংজ্ঞায়িত করে। কিভাবে আরো দক্ষতার সাথে এবং দ্রুত একটি অঙ্কন সম্পূর্ণ করতে পৃষ্ঠাগুলিতে পাওয়া যাবে প্রাথমিক ফাংশনের গ্রাফ এবং বৈশিষ্ট্য এবং নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায় . এটি একটি চীনা অনুস্মারক, এবং এই মুহুর্তে আমি আর থাকব না।
এখানে অঙ্কন বেশ সহজ:
পছন্দসই সমতল চিত্রটি নীল রঙে ছায়াযুক্ত; ঘূর্ণনের ফলে, ফলাফল হল একটি সামান্য ডিম্বাকৃতির উড়ন্ত সসার যা অক্ষের উপর প্রতিসম। আসলে, শরীরের একটি গাণিতিক নাম আছে, কিন্তু আমি রেফারেন্স বইটি দেখতে খুব অলস, তাই আমরা এগিয়ে যাই।
ঘূর্ণন একটি শরীরের আয়তন গণনা কিভাবে?
সূত্র ব্যবহার করে বিপ্লবের শরীরের আয়তন গণনা করা যেতে পারে:
সূত্রে, সংখ্যাটি অখণ্ডের আগে উপস্থিত থাকতে হবে। তাই ঘটেছে - জীবনে যা কিছু আবর্তিত হয় তা এই ধ্রুবকের সাথে সংযুক্ত।
আমি মনে করি কিভাবে সম্পূর্ণ অঙ্কন থেকে "a" এবং "be" একীকরণের সীমা সেট করতে হয় তা অনুমান করা সহজ।
ফাংশন... এই ফাংশন কি? চলুন অঙ্কন তাকান. সমতল চিত্রটি উপরের প্যারাবোলা গ্রাফ দ্বারা আবদ্ধ। এটি সেই ফাংশন যা সূত্রে উহ্য রয়েছে।
ব্যবহারিক কাজগুলিতে, একটি সমতল চিত্র কখনও কখনও অক্ষের নীচে অবস্থিত হতে পারে। এটি কিছু পরিবর্তন করে না - সূত্রের ফাংশনটি বর্গ করা হয়: এভাবে বিপ্লবের শরীরের আয়তন সবসময় অ-নেতিবাচক হয়, যা খুবই যৌক্তিক।
আসুন এই সূত্রটি ব্যবহার করে বিপ্লবের শরীরের আয়তন গণনা করি: 
আমি ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি, অবিচ্ছেদ্য প্রায় সবসময় সহজ হতে সক্রিয়, প্রধান জিনিস সতর্কতা অবলম্বন করা হয়।
উত্তর: 
আপনার উত্তরে, আপনাকে অবশ্যই মাত্রা নির্দেশ করতে হবে - ঘন একক। অর্থাৎ, আমাদের ঘূর্ণনের শরীরে প্রায় 3.35টি "কিউব" রয়েছে। কেন ঘন ইউনিট? কারণ সবচেয়ে সার্বজনীন ফর্মুলেশন। কিউবিক সেন্টিমিটার হতে পারে, কিউবিক মিটার হতে পারে, কিউবিক কিলোমিটার হতে পারে, ইত্যাদি, আপনার কল্পনা একটি উড়ন্ত সসারে কতগুলি সবুজ পুরুষ রাখতে পারে।
উদাহরণ 2
রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত একটি শরীরের আয়তন খুঁজুন,
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। সম্পূর্ণ সমাধান এবং পাঠ শেষে উত্তর।
আসুন আরও দুটি জটিল সমস্যা বিবেচনা করি, যা প্রায়শই অনুশীলনে সম্মুখীন হয়।
উদাহরণ 3
রেখা দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের অ্যাবসিসা অক্ষের চারপাশে ঘোরার মাধ্যমে প্রাপ্ত বডির আয়তন গণনা করুন,, এবং
সমাধান:আসুন আমরা রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র অঙ্কন করি,,,, ভুলে না গিয়ে যে সমীকরণটি অক্ষকে সংজ্ঞায়িত করে:
পছন্দসই চিত্রটি নীল রঙে ছায়াযুক্ত। যখন এটি তার অক্ষের চারপাশে ঘোরে, তখন এটি চারটি কোণ সহ একটি পরাবাস্তব ডোনাট হিসাবে পরিণত হয়।
আসুন বিপ্লবের শরীরের আয়তন হিসাবে গণনা করি দেহের আয়তনের পার্থক্য.
প্রথমে, লাল রঙে বৃত্তাকার চিত্রটি দেখি। যখন এটি একটি অক্ষের চারপাশে ঘোরে, তখন একটি কাটা শঙ্কু পাওয়া যায়। এই ছেঁটে যাওয়া শঙ্কুটির আয়তন বোঝাই।
সবুজ রঙে বৃত্তাকার চিত্রটি বিবেচনা করুন। আপনি যদি অক্ষের চারপাশে এই চিত্রটি ঘোরান তবে আপনি একটি কাটা শঙ্কুও পাবেন, শুধুমাত্র একটু ছোট। এর দ্বারা এর আয়তন বোঝানো যাক।
এবং, স্পষ্টতই, ভলিউমের পার্থক্য হল আমাদের "ডোনাট" এর ভলিউম।
বিপ্লবের শরীরের আয়তন খুঁজে পেতে আমরা আদর্শ সূত্র ব্যবহার করি:
1) লাল বৃত্তাকার চিত্রটি উপরে একটি সরল রেখা দ্বারা আবদ্ধ, তাই:
2) সবুজ বৃত্তাকার চিত্রটি উপরে একটি সরল রেখা দ্বারা আবদ্ধ, তাই:
3) বিপ্লবের কাঙ্ক্ষিত অংশের আয়তন:
উত্তর:
এটি আকর্ষণীয় যে এই ক্ষেত্রে সমাধানটি একটি ছাঁটা শঙ্কুর আয়তন গণনার জন্য স্কুল সূত্র ব্যবহার করে পরীক্ষা করা যেতে পারে।
সিদ্ধান্ত নিজেই প্রায়শই ছোট করে লেখা হয়, এরকম কিছু:
এখন একটু বিশ্রাম নিয়ে জ্যামিতিক বিভ্রম সম্পর্কে বলি।
লোকেদের প্রায়ই ভলিউমের সাথে সম্পর্কিত বিভ্রম থাকে, যা বইতে পেরেলম্যান (সেটি নয়) লক্ষ্য করেছিলেন বিনোদনমূলক জ্যামিতি. সমাধান করা সমস্যার সমতল চিত্রটি দেখুন - এটি ক্ষেত্রফলের দিক থেকে ছোট বলে মনে হচ্ছে, এবং বিপ্লবের শরীরের আয়তন মাত্র 50 কিউবিক ইউনিটের বেশি, যা খুব বড় বলে মনে হচ্ছে। যাইহোক, গড় ব্যক্তি তার সমগ্র জীবনে 18 বর্গ মিটার তরল একটি ঘরের সমতুল্য পান করে, যা বিপরীতে, একটি ভলিউম খুব ছোট বলে মনে হয়।
সাধারণভাবে, ইউএসএসআর-এর শিক্ষা ব্যবস্থা সত্যিই সেরা ছিল। পেরেলম্যানের একই বই, 1950 সালে তার দ্বারা লেখা, খুব ভালভাবে বিকাশ করে, যেমন হাস্যরসাত্মক বলেছেন, চিন্তাভাবনা করে এবং একজনকে সমস্যার আসল, অ-মানক সমাধানগুলি সন্ধান করতে শেখায়। আমি সম্প্রতি কিছু অধ্যায় খুব আগ্রহের সাথে পুনরায় পড়েছি, আমি এটি সুপারিশ করছি, এটি এমনকি মানবতাবাদীদের জন্যও অ্যাক্সেসযোগ্য। না, আপনার হাসির দরকার নেই যে আমি একটি অবসর সময় অফার করেছি, যোগাযোগের ক্ষেত্রে জ্ঞান এবং বিস্তৃত দিগন্ত একটি দুর্দান্ত জিনিস।
একটি গীতিমূলক ডিগ্রেশনের পরে, এটি একটি সৃজনশীল কাজ সমাধান করার জন্য উপযুক্ত:
উদাহরণ 4
রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্রের অক্ষ সম্পর্কে ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত একটি শরীরের আয়তন গণনা করুন, যেখানে.
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে সমস্ত জিনিস ব্যান্ডে ঘটে, অন্য কথায়, একীকরণের কার্যত রেডিমেড সীমা দেওয়া হয়। এছাড়াও ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি সঠিকভাবে আঁকতে চেষ্টা করুন যদি যুক্তিটি দুটি দ্বারা বিভক্ত হয়: তাহলে গ্রাফগুলি অক্ষ বরাবর প্রসারিত হয়। অন্তত 3-4 পয়েন্ট খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন ত্রিকোণমিতিক টেবিল অনুযায়ী এবং আরো সঠিকভাবে অঙ্কন সম্পূর্ণ করুন। সম্পূর্ণ সমাধান এবং পাঠ শেষে উত্তর। যাইহোক, টাস্কটি যুক্তিযুক্তভাবে সমাধান করা যেতে পারে এবং খুব যুক্তিযুক্তভাবে নয়।
একটি অক্ষের চারপাশে একটি সমতল চিত্র ঘোরানোর মাধ্যমে গঠিত একটি শরীরের আয়তনের গণনা
দ্বিতীয় অনুচ্ছেদটি প্রথমটির চেয়ে আরও আকর্ষণীয় হবে। অর্ডিনেট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের বডির আয়তন গণনা করার কাজটিও পরীক্ষার কাজে মোটামুটি সাধারণ অতিথি। পথ ধরে এটা বিবেচনা করা হবে একটি চিত্রের ক্ষেত্র খুঁজে বের করার সমস্যা দ্বিতীয় পদ্ধতিটি হল অক্ষ বরাবর একীকরণ, এটি আপনাকে কেবল আপনার দক্ষতা উন্নত করতে দেয় না, তবে আপনাকে সবচেয়ে লাভজনক সমাধানের পথ খুঁজে পেতে শেখায়। এর মধ্যেও একটা ব্যবহারিক জীবনের মানে আছে! গণিতের শিক্ষাদান পদ্ধতির বিষয়ে আমার শিক্ষক হাসিমুখে স্মরণ করায়, অনেক স্নাতক তাকে এই কথার সাথে ধন্যবাদ জানান: "আপনার বিষয় আমাদের অনেক সাহায্য করেছে, এখন আমরা কার্যকর ব্যবস্থাপক এবং সর্বোত্তমভাবে কর্মীদের পরিচালনা করি।" এই সুযোগটি গ্রহণ করে, আমি তার প্রতি আমার মহান কৃতজ্ঞতা প্রকাশ করছি, বিশেষ করে যেহেতু আমি অর্জিত জ্ঞানকে এর উদ্দেশ্যমূলক উদ্দেশ্যে ব্যবহার করি =)।
উদাহরণ 5
লাইন দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র দেওয়া,,.
1) এই রেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন। 2) অক্ষের চারপাশে এই রেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত শরীরের আয়তন খুঁজুন।
মনোযোগ!এমনকি যদি আপনি শুধুমাত্র দ্বিতীয় পয়েন্ট পড়তে চান, প্রথম অগত্যাপ্রথম পড়ুন!
সমাধান:টাস্ক দুটি অংশ নিয়ে গঠিত। এর বর্গ দিয়ে শুরু করা যাক.
1) চলুন একটি অঙ্কন করা যাক:
এটা দেখতে সহজ যে ফাংশনটি প্যারাবোলার উপরের শাখাকে নির্দিষ্ট করে এবং ফাংশনটি প্যারাবোলার নীচের শাখাটিকে নির্দিষ্ট করে। আমাদের সামনে একটি তুচ্ছ প্যারাবোলা যা "তার পাশে রয়েছে।"
পছন্দসই চিত্র, যেটির ক্ষেত্রটি খুঁজে পাওয়া যাবে, নীল রঙে ছায়াযুক্ত।
কিভাবে একটি চিত্রের এলাকা খুঁজে বের করতে? এটি "স্বাভাবিক" উপায়ে পাওয়া যেতে পারে, যা ক্লাসে আলোচনা করা হয়েছিল নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায়
. তদুপরি, চিত্রের ক্ষেত্রফল ক্ষেত্রফলের সমষ্টি হিসাবে পাওয়া যায়: - অংশে 
; - সেগমেন্টে।
এই জন্য:
কেন এই ক্ষেত্রে স্বাভাবিক সমাধান খারাপ? প্রথমত, আমরা দুটি অবিচ্ছেদ্য পেয়েছি। দ্বিতীয়ত, ইন্টিগ্র্যাল হল শিকড়, এবং ইন্টিগ্র্যালের শিকড় কোনও উপহার নয়, এবং পাশাপাশি, আপনি ইন্টিগ্রেশনের সীমা প্রতিস্থাপনে বিভ্রান্ত হতে পারেন। প্রকৃতপক্ষে, অবিচ্ছেদ্যগুলি অবশ্যই হত্যাকারী নয়, তবে বাস্তবে সবকিছুই অনেক বেশি দুঃখজনক হতে পারে, আমি সমস্যার জন্য "ভাল" ফাংশন নির্বাচন করেছি।
আরও যুক্তিযুক্ত সমাধান রয়েছে: এটি বিপরীত ফাংশনে স্যুইচ করা এবং অক্ষ বরাবর একত্রিত করা নিয়ে গঠিত।
কিভাবে বিপরীত ফাংশন পেতে? মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, আপনাকে "y" এর মাধ্যমে "x" প্রকাশ করতে হবে। প্রথমে প্যারাবোলা দেখি:
এটি যথেষ্ট, তবে আসুন নিশ্চিত করি যে একই ফাংশনটি নিম্ন শাখা থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:
একটি সরল রেখা দিয়ে এটি সহজ:
এখন অক্ষের দিকে তাকান: অনুগ্রহ করে পর্যায়ক্রমে আপনার মাথাটি ডানদিকে 90 ডিগ্রি কাত করুন যেমন আপনি ব্যাখ্যা করেছেন (এটি একটি রসিকতা নয়!) আমাদের যে চিত্রটি প্রয়োজন সেটি সেগমেন্টে রয়েছে, যা লাল ডটেড লাইন দ্বারা নির্দেশিত। তদুপরি, সেগমেন্টে সরলরেখাটি প্যারাবোলার উপরে অবস্থিত, যার অর্থ হল আপনার পরিচিত সূত্রটি ব্যবহার করে চিত্রটির ক্ষেত্রফল পাওয়া উচিত: 
. সূত্রে কি পরিবর্তন হয়েছে? শুধু একটা চিঠি আর কিছু না।
! দ্রষ্টব্য: অক্ষ বরাবর ইন্টিগ্রেশন সীমা সেট করা উচিতনিচ থেকে উপরে কঠোরভাবে !
এলাকা খোঁজা:
সেগমেন্টে, অতএব: 
অনুগ্রহ করে নোট করুন কিভাবে আমি ইন্টিগ্রেশন সম্পন্ন করেছি, এটি সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত উপায় এবং টাস্কের পরবর্তী অনুচ্ছেদে কেন তা স্পষ্ট হবে।
পাঠকদের জন্য যারা একীকরণের সঠিকতা নিয়ে সন্দেহ পোষণ করেন, আমি ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাব:
মূল ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন প্রাপ্ত হয়, যার মানে ইন্টিগ্রেশন সঠিকভাবে সম্পাদিত হয়েছিল।
উত্তর:
2) আসুন অক্ষের চারপাশে এই চিত্রটির ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত শরীরের আয়তন গণনা করা যাক।
আমি একটু ভিন্ন ডিজাইনে অঙ্কনটি পুনরায় আঁকব:
সুতরাং, নীল ছায়ায় চিত্রটি অক্ষের চারপাশে ঘোরে। ফলাফল হল একটি "হোভারিং প্রজাপতি" যা তার অক্ষের চারপাশে ঘোরে।
ঘূর্ণন শরীরের আয়তন খুঁজে বের করতে, আমরা অক্ষ বরাবর একীভূত হবে. প্রথমে আমাদের ইনভার্স ফাংশনে যেতে হবে। এটি ইতিমধ্যেই করা হয়েছে এবং পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে বিস্তারিত বর্ণনা করা হয়েছে।
এখন আমরা আমাদের মাথা আবার ডানদিকে কাত করি এবং আমাদের চিত্র অধ্যয়ন করি। স্পষ্টতই, আয়তনের পার্থক্য হিসাবে ঘূর্ণনের একটি বডির আয়তন পাওয়া উচিত।
আমরা অক্ষের চারপাশে লাল বৃত্তাকার চিত্রটি ঘোরাই, যার ফলে একটি ছোট শঙ্কু তৈরি হয়। এর দ্বারা এই ভলিউম বোঝানো যাক।
আমরা অক্ষের চারপাশে সবুজ রঙে বৃত্তাকার চিত্রটি ঘোরাই এবং ঘূর্ণনের ফলের অংশের আয়তন দ্বারা নির্দেশ করি।
আমাদের প্রজাপতির আয়তন আয়তনের পার্থক্যের সমান।
আমরা একটি ঘূর্ণন শরীরের আয়তন খুঁজে বের করতে সূত্র ব্যবহার করি: 
আগের অনুচ্ছেদে সূত্র থেকে পার্থক্য কি? শুধু চিঠিতে।
কিন্তু একীকরণের সুবিধা, যা আমি সম্প্রতি কথা বলেছি, খুঁজে পাওয়া অনেক সহজ 
, বরং প্রথমে ইন্টিগ্র্যান্ডকে 4র্থ শক্তিতে উত্থাপন করার চেয়ে।
