বিষয়: লিনিয়ার প্রোগ্রামিং

টাস্ক 2.A. একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা গ্রাফিকাল পদ্ধতি

মনোযোগ!

এটি কাজের নং 2073 এর একটি ট্রায়াল সংস্করণ, আসলটির মূল্য 200 রুবেল। ডিজাইন করা হয়েছে মাইক্রোসফট প্রোগ্রামশব্দ.

পেমেন্ট। পরিচিতি।

বিকল্প 7. সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মান খুঁজুনলিনিয়ার ফাংশনФ = 2x 1 - 2 x 2সীমাবদ্ধতা সহ: x 1 + x 2 ≥ 4;

- x 1 + 2 x 2 ≤ 2;

x 1 + 2 x 2 ≤ 10;

x i ≥ 0, i = 1.2।

সমাধান:

শর্তসাপেক্ষে অসমতার চিহ্নগুলিকে সমতা চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করে, আমরা x1 + x2 = 4 সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই;

- x1 + 2 x2 = 2;

x1 + 2 x2 = 10।

আসুন আমরা এই সমীকরণগুলি ব্যবহার করে সরল রেখা তৈরি করি, তারপরে, অসমতার লক্ষণ অনুসারে, আমরা অর্ধ-বিমানগুলি নির্বাচন করি এবং তাদের সাধারণ অংশটি পাই - ODR-এর গ্রহণযোগ্য সমাধানগুলির অঞ্চল - চতুর্ভুজ MNPQ।

ন্যূনতম ফাংশন মান

tions - বিন্দু M(2; 2) এ

Ф মিনিট = 2·2 - 2·2 = 0।

সর্বাধিক মান বিন্দু N (10; 0) এ পৌঁছেছে,

Ф সর্বোচ্চ = 2·10 - 2·0 = 20।

বিকল্প 8. সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান খুঁজুন

লিনিয়ার ফাংশন Ф = x 1 + x 2

সীমাবদ্ধতা সহ: x 1 - 4 x 2 - 4 ≤ 0;

3 x 1 - x 2 ≥ 0;

x 1 + x 2 - 4 ≥ 0;

x i ≥ 0, i = 1.2।

সমাধান:

শর্তসাপেক্ষে অসমতার চিহ্নগুলিকে সমতা চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি সমীকরণের সিস্টেম পাই x1 - 4 x2 = 4 ;

3 x1 - x2 = 0;

আসুন আমরা এই সমীকরণগুলি ব্যবহার করে সরল রেখা তৈরি করি, তারপরে, অসমতার লক্ষণ অনুসারে, আমরা অর্ধ-বিমানগুলি নির্বাচন করি এবং তাদের সাধারণ অংশটি পাই - ODR-এর গ্রহণযোগ্য সমাধানগুলির অঞ্চল - সীমাহীন বহুভুজ MNPQ।

ন্যূনতম ফাংশন মান

tions - সরাসরি NP-এ, উদাহরণস্বরূপ

P বিন্দুতে(4; 0)

Ф মিনিট = 4 + 0 = 4।

ODR উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়, তাই, Ф max = + ∞।

বিকল্প 10. সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মান খুঁজুন

লিনিয়ার ফাংশন Ф = 2 x 1 - 3 x 2

সীমাবদ্ধতা সহ: x 1 + 3 x 2 ≤ 18;

2 x 1 + x 2 ≤ 16;

x 2 ≤ 5;

x i ≥ 0, i = 1.2।

শর্তসাপেক্ষে অসমতার চিহ্নগুলিকে সমতা চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করে, আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই

x 1 + 3 x 2 = 18 (1);

2 x 1 + x 2 = 16 (2);

3 x 1 = 21 (4)।

আসুন এই সমীকরণগুলি ব্যবহার করে সরল রেখাগুলি তৈরি করি, তারপরে, অসমতার লক্ষণ অনুসারে, অর্ধ-বিমানগুলি নির্বাচন করুন এবং তাদের সাধারণ অংশটি পান - ODR-এর গ্রহণযোগ্য সমাধানগুলির অঞ্চল - MNPQRS বহুভুজ।

চলুন ভেক্টর Г(2; -3) তৈরি করি এবং স্থানাঙ্কের উৎপত্তির মধ্য দিয়ে আঁকি স্তর লাইন- সোজা।

আমরা লেভেল লাইনকে দিক দিয়ে সরাতে থাকি, Ф এর মান বৃদ্ধি পায়। S(7; 0) বিন্দুতে উদ্দেশ্য ফাংশন সর্বোচ্চ Ф max =2·7–3·0= = 14 এ পৌঁছায়। আমরা লেভেল রেখাকে দিক দিয়ে সরাতে থাকি, Ф-এর মান কমে যায়। ফাংশনের সর্বনিম্ন মান বিন্দু N(0; 5) এ

Ф মিনিট = 2·0 – 3·5 = –15।

টাস্ক 2.B. একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা

বিশ্লেষণাত্মক সিমপ্লেক্স পদ্ধতি

বিকল্প 7. উদ্দেশ্য ফাংশন ছোট করুন Ф = x 1 - x 2 + x 3 + x 4 + x 5 - x 6

সীমাবদ্ধতা সহ: x 1 + x 4 +6 x 6 = 9,

3 x 1 + x 2 – 4 x 3 + 2 x 6 = 2,

x 1 + 2 x 3 + x 5 + 2 x 6 = 6।

সমাধান:

অজানা সংখ্যা n=6, সমীকরণের সংখ্যা m=3। অতএব, r = n-m = 3 অজানাকে বিনামূল্যে নেওয়া যেতে পারে। আসুন x 1, x 3 এবং x 6 নির্বাচন করি।

আমরা মৌলিক ভেরিয়েবলগুলি x 2, x 4 এবং x 5কে বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করি এবং সিস্টেমটিকে একটি ইউনিটের ভিত্তিতে হ্রাস করি

x 2 = 2 – 3 x 1 + 4 x 3 – 2 x 6

x 4 = 9 – x 1 – 6 x 6 (*)

x 5 = 6 – x 1 – 2 x 3 – 2 x 6

উদ্দেশ্য ফাংশন এর মত দেখাবে:

Ф = x 1 - 2 + 3 x 1 - 4 x 3 + 2 x 6 + x 3 + 9 – x 1 – 6 x 6 +6 – x 1 – 2 x 3 – 2 x 6 – x 6 =

13 + 2 x 1 – 5 x 3 – 7 x 6

চলুন x 1 = x 3 = x 6 = 0 রাখি, এবং মৌলিক ভেরিয়েবলগুলি x 2 = 2 মান নেবে; x 4 = 9; x 5 = 6, অর্থাৎ, প্রথম সম্ভাব্য সমাধান (0; 2; 0; 9; 6; 0), উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন Ф 1 = 13।

x 3 এবং x 6 ভেরিয়েবলগুলি নেতিবাচক সহগ সহ উদ্দেশ্য ফাংশনে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, তাই, তাদের মান যত বাড়বে, Ф এর মান কমবে। উদাহরণ স্বরূপ x 6 ধরা যাক। সিস্টেমের 1ম সমীকরণ (*) থেকে এটা স্পষ্ট যে x 6 এর মান x 6 = 1 পর্যন্ত বৃদ্ধি করা সম্ভব (যখন x 2 ³ 0)। এই ক্ষেত্রে, x 1 এবং x 3 শূন্যের সমান থাকে। এখন আমরা x 4, x 5, x 6 কে বেসিক ভেরিয়েবল হিসেবে এবং x 1, x 2, x 3 কে ফ্রি ভেরিয়েবল হিসেবে নিই। আসুন আমরা নতুন মৌলিক ভেরিয়েবলগুলিকে নতুন বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করি। আমরা পেতে

x 6 = 1 – 3/2 x 1 – 1/2 x 2 + 2 x 3

x 4 = 3 + 8 x 1 + 3 x 2 – 12 x 3

x 5 = 4 + 2 x 1 + x 2 – 6 x 3

Ф = 6 + 25/2 x 1 + 7/2 x 2 – 19 x 3

মুক্ত ভেরিয়েবলে শূন্য মান নির্ধারণ করা যাক, অর্থাৎ x 1 = x 2 = x 3 = 0, যখন x 6 = 1, x 4 = 3, x 5 = 4, অর্থাৎ তৃতীয় সম্ভাব্য সমাধান (0 0; 4; এই ক্ষেত্রে, Ф 3 = 6।

ভেরিয়েবল x 3 একটি ঋণাত্মক সহগ সহ উদ্দেশ্য ফাংশনে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, তাই শূন্য মানের তুলনায় x 3 বৃদ্ধি করলে F হ্রাস পাবে। ২য় সমীকরণ থেকে এটা স্পষ্ট যে x 3 1/4 পর্যন্ত বৃদ্ধি পেতে পারে , 3য় সমীকরণ থেকে - 2/3 পর্যন্ত। দ্বিতীয় সমীকরণটি আরও জটিল। চলক x 3 কে মৌলিক সংখ্যায় এবং x 4 কে মুক্ত সংখ্যায় রূপান্তর করি।

এখন আমরা x 1, x 2 এবং x 4 কে নতুন ফ্রি ভেরিয়েবল হিসেবে নিই। আসুন তাদের মাধ্যমে নতুন মৌলিক চলক x 3, x 5, x 6 প্রকাশ করি। চলুন সিস্টেম পেতে

x 3 = 1/4 + 2/3 x 1 + 1/4 x 2 – 1/12 x 4

x 5 = 5/2 – 2 x 1 – 1/2 x 2 + 1/2 x 4

x 6 = 3/2 – 1/6 x 1 – 1/6 x 4

উদ্দেশ্য ফাংশন ফর্ম নিতে হবে

Ф = 5/4 - 1/6 x 1 - 5/4 x 2 + 19/12 x 4

ভেরিয়েবল x 1 এবং x 2 নেতিবাচক সহগ সহ উদ্দেশ্য ফাংশনে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, তাই, তাদের মান যত বাড়বে, Ф-এর মান কমবে। উদাহরণ স্বরূপ x 2 ধরা যাক। সিস্টেমের ২য় সমীকরণ থেকে এটা স্পষ্ট যে x 2 এর মান x 2 = 5 পর্যন্ত বৃদ্ধি করা সম্ভব (যখন x 5 ³ 0)। এই ক্ষেত্রে, x 1 এবং x 4 শূন্য থাকে, অন্যান্য ভেরিয়েবলের মান x 3 = 3/2 এর সমান; x 5 = 0, x 6 = 3/2, অর্থাৎ চতুর্থ সম্ভাব্য সমাধান (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2)। এই ক্ষেত্রে, Ф 4 = 5/4।

এখন আমরা x 1, x 4 এবং x 5 কে নতুন ফ্রি ভেরিয়েবল হিসেবে নিই। আসুন তাদের মাধ্যমে নতুন মৌলিক চলক x 2, x 3, x 6 প্রকাশ করি। চলুন সিস্টেম পেতে

x 2 = 5 – 4 x 1 + x 4 – 2 x 5

x 3 = 3/2 – 1/3 x 1 + 1/6 x 4 – 1/2 x 5

x 6 = 3/2 – 1/6 x 1 – 1/6 x 4

উদ্দেশ্য ফাংশন ফর্ম নিতে হবে

Ф = - 5 + 29/6 x 1 + 1/3 x 4 + 5/2 x 5

Ф-এর অভিব্যক্তিতে উভয় ভেরিয়েবলের সহগ ধনাত্মক, তাই, Ф-এর মান আরও হ্রাস করা অসম্ভব।

অর্থাৎ, Ф মিন = - 5 এর সর্বনিম্ন মান, শেষ সম্ভাব্য সমাধান (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2) সর্বোত্তম।

বিকল্প 8. উদ্দেশ্য ফাংশনটি সর্বাধিক করুন Ф = 4 x 5 + 2 x 6

সীমাবদ্ধতা সহ: x 1 + x 5 + x 6 = 12;

x 2 + 5 x 5 - x 6 = 30;

x 3 + x 5 - 2 x 6 = 6;

2 x 4 + 3 x 5 - 2 x 6 = 18;

সমাধান:

সমীকরণের সংখ্যা 4, অজানা সংখ্যা 6। অতএব, r = n – m = 6 – 4 = 2 ভেরিয়েবলকে মুক্ত ভেরিয়েবল, 4টি ভেরিয়েবলকে মৌলিক হিসাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে। আমরা x 5 এবং x 6 কে বিনামূল্যে বেছে নিই, এবং x 1, x 2, x 3, x 4 মৌলিক হিসাবে। আসুন আমরা মৌলিক ভেরিয়েবলগুলিকে বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করি এবং সমীকরণের সিস্টেমকে একক ভিত্তিতে কমিয়ে দেই

x 1 = 12 - x 5 - x 6 ;

x 2 = 30 - 5 x 5 + x 6 ;

x 3 = 6 - x 5 + 2 x 6 ;

x 4 = 9 - 3/2 x 5 + x 6 ;

আমরা উদ্দেশ্য ফাংশনটি Ф = 4 x 5 + 2 x 6 আকারে লিখি। মুক্ত ভেরিয়েবলের জন্য শূন্য মান নির্ধারণ করা যাক x 5 = x 6 = 0। এই ক্ষেত্রে, মৌলিক ভেরিয়েবলগুলি x 1 = 12, x 2 = 30, x 3 = 6, x 4 = 9 মান নেবে। , অর্থাৎ, আমরা প্রথম সম্ভাব্য সমাধান পাই (12, 30, 6, 9, 0,) এবং Ф 1 = 0।

উভয় মুক্ত ভেরিয়েবল ইতিবাচক সহগ সহ উদ্দেশ্য ফাংশনে প্রবেশ করে, অর্থাৎ, F-তে আরও বৃদ্ধি করা সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ, x 6 মৌলিক সংখ্যায়। সমীকরণ (1) থেকে এটা স্পষ্ট যে x 1 = 0 এ x 5 = 12, in (2) ÷ (4) x 6 ধনাত্মক সহগ সহ অন্তর্ভুক্ত। আসুন একটি নতুন ভিত্তির দিকে এগিয়ে যাই: মৌলিক ভেরিয়েবল - x 6, x 2, x 3, x 4, free - x 1, x 5। আসুন নতুন মৌলিক ভেরিয়েবলকে নতুন বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করি

x 6 = 12 - x 1 - x 5;

x 2 = 42 - x 1 - 6 x 5;

x 3 = 30 - 2 x 1 - 3 x 5 ;

x 4 = 21 - x 1 - 5/2 x 5 ;

অবজেক্টিভ ফাংশনটি ফর্ম নেবে Ф = 24 - 2 x 1 + 2 x 5;

মুক্ত ভেরিয়েবলের জন্য শূন্য মান নির্ধারণ করা যাক x 1 = x 5 = 0। এই ক্ষেত্রে, মৌলিক ভেরিয়েবলগুলি x 6 = 12, x 2 = 42, x 3 = 30, x 4 = 21 মান নেবে। , অর্থাৎ, আমরা দ্বিতীয় সম্ভাব্য সমাধান (0, 42, 30, 21, 0, 12) এবং Ф 2 = 24 পাই।

টার্গেট ফাংশন x 5 একটি ধনাত্মক সহগ সহ অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, অর্থাৎ, F-তে আরও বৃদ্ধি করা সম্ভব, আসুন একটি নতুন ভিত্তিতে এগিয়ে যাই: মৌলিক ভেরিয়েবল - x 6, x 5, x 3, x 4, বিনামূল্যে - x 1। , x 2. নতুন মৌলিক ভেরিয়েবলকে নতুন বিনামূল্যের মাধ্যমে প্রকাশ করা যাক

x 6 = 5 - 5/6 x 1 + 1/6 x 2;

x 5 = 7 - 1/6 x 1 - 1/6 x 2 ;

x 3 = 9 - 3/2 x 1 + 1/2 x 2 ;

x 4 = 7/2 - 7/12 x 1 + 5/12 x 5 ;

অবজেক্টিভ ফাংশন ফর্ম নেবে Ф = 38 – 7/2 x 1 – 1/3 x 2;

চলুন মুক্ত ভেরিয়েবলের জন্য শূন্য মান নির্ধারণ করি /2, অর্থাৎ, আমরা তৃতীয় সম্ভাব্য সমাধান পাই X 3 = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) এবং Ф 3 = 38।

উভয় ভেরিয়েবল নেতিবাচক সহগ সহ উদ্দেশ্য ফাংশনে প্রবেশ করে, অর্থাৎ, Ф তে আরও বৃদ্ধি করা অসম্ভব।

অতএব, শেষ সম্ভাব্য সমাধানটি সর্বোত্তম, অর্থাৎ, X opt = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) এবং Ф সর্বোচ্চ = 38।

বিকল্প 10. উদ্দেশ্য ফাংশন সর্বাধিক করুন Ф = x 2 + x 3

সীমাবদ্ধতা সহ: x 1 - x 2 + x 3 = 1,

x 2 - 2 x 3 + x 4 = 2।

সমাধান:

সমীকরণ-সীমাবদ্ধতার সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ, যেহেতু সমীকরণের সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স এবং বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কগুলি একই এবং 2 এর সমান। ফলস্বরূপ, দুটি চলককে মুক্ত হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, অন্য দুটি চলক - মৌলিক - হতে পারে দুটি বিনামূল্যের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা।

চলুন x 2 এবং x 3 কে মুক্ত ভেরিয়েবল হিসাবে নিই তাহলে মৌলিক ভেরিয়েবলগুলি হবে x 1 এবং x 2, যা আমরা বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করব

x 1 = 1 + x 2 - x 3 ; (*)

x 4 = 2 - x 2 + 2 x 3 ;

উদ্দেশ্য ফাংশনটি ইতিমধ্যেই x 2 এবং x 3 এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়েছে, অর্থাৎ, Ф = x 2 + x 3।

x 2 =0 এবং x 3 =0 এর জন্য, মৌলিক চলকগুলি x 1 = 1, x 4 = 2 এর সমান হবে।

আমাদের কাছে প্রথম সম্ভাব্য সমাধান আছে X 1 = (1, 0, 0, 2), সঙ্গে Ф 1 = 0।

Ф বৃদ্ধির মাধ্যমে বৃদ্ধি সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ, x 3 এর মান, যা একটি ধনাত্মক সহগ সহ Ф-এর অভিব্যক্তিতে অন্তর্ভুক্ত (x 2 শূন্যের সমান থাকে)। সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ (*) দেখায় যে x 3 কে 1 এ বাড়ানো যেতে পারে (অবস্থা x 1 ³0 থেকে), অর্থাৎ, এই সমীকরণটি x 3 এর মান বৃদ্ধির উপর একটি সীমাবদ্ধতা আরোপ করে। সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ (*) সমাধান করছে। এই সমীকরণের উপর ভিত্তি করে, আমরা x 1 এবং x 3 অদলবদল করে একটি নতুন ভিত্তিতে চলে যাই। এখন মৌলিক ভেরিয়েবলগুলি হবে x 3 এবং x 4, এবং বিনামূল্যের ভেরিয়েবলগুলি হবে x 1 এবং x 2। এখন x 1 এবং x 2 এর পরিপ্রেক্ষিতে x 3 এবং x 4 প্রকাশ করা যাক।

আমরা পাই: x 3 = 1 - x 1 + x 2; (**)

x 4 = 4 - 2 x 1 + x 2 ;

Ф = x 2 + 1 - x 1 + x 2 = 1 - x 1 + 2 x 2

মুক্ত ভেরিয়েবলকে শূন্যের সাথে সমান করে, আমরা দ্বিতীয় গ্রহণযোগ্য মৌলিক সমাধান পাই X 2 = (0; 0; 1; 4), যার জন্য Ф 2 = 1।

x2 বৃদ্ধির সাথে Ф-এর বৃদ্ধি সম্ভব। সমীকরণের শেষ সিস্টেম (**) দ্বারা বিচার করে x 2-এর বৃদ্ধি সীমাবদ্ধ নয়। ফলস্বরূপ, Ф ক্রমবর্ধমান বৃহত্তর ধনাত্মক মান গ্রহণ করবে, অর্থাৎ, Ф সর্বোচ্চ = + ¥।

সুতরাং, উদ্দেশ্য ফাংশন Ф উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়, তাই কোন সর্বোত্তম সমাধান নেই।

টাস্ক 2.D. প্রদত্ত একটির সাথে দ্বৈত সমস্যা রচনা করুন

মূল কাজ।

বিকল্প 7. উদ্দেশ্য ফাংশন সর্বাধিক করুন Ф = 2× x 1 - x 4

সীমাবদ্ধতা সহ: x 1 + x 2 = 20,

x 2 + 2× x 4 ≥ 5,

x 1 + x 2 + x 3 ≤ 8,

x i ≥ 0 (i = 1, 2, 3, 4)

সমাধান:

2য় এবং 3য় সমীকরণে অতিরিক্ত ভেরিয়েবল প্রবর্তন করে সীমাবদ্ধতার সিস্টেমটিকে একটি একক, উদাহরণস্বরূপ, ক্যানোনিকাল ফর্মে নিয়ে আসা যাক

x 1 + x 2 = 20,

x 2 + 2 × x 4 – x 5 = 5,

- x 1 + x 2 + x 3 + x 6 = 8।

আমরা টাইপ 2 এর একটি অপ্রতিসম সমস্যা পেয়েছি। দ্বৈত সমস্যাটি এরকম দেখাবে:

উদ্দেশ্য ফাংশন F = 20 ছোট করুন × y 1 + 5 × y2+8 × y 3

y 1 - y 3 এ ≥ 2,

y 1 + y 2 + y 3 ≥ 0,

y 3 ≥ 0,

2× y 2 ≥ 1,

Y2 ≥ 0,

y 3 ≥ 0.

বিকল্প 8. উদ্দেশ্য ফাংশন সর্বাধিক করুন Ф = x 2 - x 4 - 3× x 5

সীমাবদ্ধতা সহ: x 1 + 2× x 2 - x 4 + x 5 = 1,

— 4 × x 2 + x 3 + 2× x 4 - x 5 = 2,

3 × x 2 + x 5 + x 6 = 5,

একাদশ ≥ 0, (i = 1, 6)

সমাধান:

সমীকরণের আকারে সীমাবদ্ধতার একটি সিস্টেমের সাথে আমাদের একটি প্রাথমিক সর্বাধিকীকরণের সমস্যা রয়েছে, অর্থাৎ, দ্বৈত সমস্যার একটি জোড়ার একটি অপ্রতিসম টাইপ 2 টাইপ রয়েছে, যার গাণিতিক মডেলটি ম্যাট্রিক্স আকারে রয়েছে:

মূল সমস্যা: দ্বৈত সমস্যা:

F=C × X সর্বোচ্চ F = B T × ইয়ামিন

এ × A T এ X = B × Y ≥ C T

মূল সমস্যায়, অবজেক্টিভ ফাংশনে ভেরিয়েবলের সহগগুলির সারি ম্যাট্রিক্সের ফর্ম C = (0; 1; 0; -1; -3; 0),

সীমাবদ্ধতার সিস্টেমে ভেরিয়েবলের জন্য মুক্ত পদের ম্যাট্রিক্স-কলাম এবং সহগগুলির ম্যাট্রিক্সের ফর্ম রয়েছে

B = 2, A = 0 - 4 1 2 -1 0

আসুন সহগগুলির স্থানান্তরিত ম্যাট্রিক্স, উদ্দেশ্য ফাংশনে ভেরিয়েবলের জন্য সহগগুলির একটি সারি ম্যাট্রিক্স এবং মুক্ত পদগুলির একটি কলাম ম্যাট্রিক্স সন্ধান করি

0 1 0 0 V T = (1; 2; 5)

A T = -1 2 0 C T = -1

দ্বৈত সমস্যাটি নিম্নলিখিত আকারে লেখা হবে:

উদ্দেশ্য ফাংশন F = y 1 + 2 এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করুন × y2+5 × y 3

সীমাবদ্ধতার অধীনে y 1 ≥ 0,

2× y 1 - 4 × y2+3 × y 3 ≥ 1,

- y 1 + 2 × y 2 ≥ -1,

y 1 - y 2 + y 3 ≥ -3,

বিকল্প 10. ফাংশনটি ছোট করুন Ф = x 1 + x 2 + x 3

সীমাবদ্ধতা সহ: 3× x 1 + 9× x 2 + 7× x 3 ≥ 2,

6 × x 1 + 4 x 2 + 5× x 3 ≥ 3,

8 × x 1 + 2 x 2 + 4× x 3 ≥ 4,

সমাধান:

বৈষম্যের আকারে সীমাবদ্ধতার একটি সিস্টেমের সাথে আমাদের একটি প্রাথমিক ন্যূনতম সমস্যা রয়েছে, অর্থাৎ, দ্বৈত সমস্যার একটি জোড়া 3য় প্রকারের একটি প্রতিসম ফর্ম রয়েছে, যার গাণিতিক মডেলটি ম্যাট্রিক্স আকারে রয়েছে:

মূল সমস্যা দ্বৈত সমস্যা

F=C × X মিনিট F = B T × Y সর্বোচ্চ

এ × এক্স ≥ A T এ B × Y ≤ এস টি

X ≥ 0 Y ≥ 0

মূল সমস্যায়, অবজেক্টিভ ফাংশনে ভেরিয়েবলের ম্যাট্রিক্স-সারি, মুক্ত পদের ম্যাট্রিক্স-কলাম এবং সীমাবদ্ধতার সিস্টেমে ভেরিয়েবলের জন্য সহগগুলির ম্যাট্রিক্সের ফর্ম রয়েছে

C = (1; 1; 1), B = 3, A = 6 4 5

চলুন দ্বৈত সমস্যার ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করা যাক

B T = (2; 3; 4) C T = 3 A T = 9 4 2

দ্বৈত সমস্যাটি এইভাবে তৈরি করা হয়েছে:

উদ্দেশ্য ফাংশন F = 2y 1 + 3y 2 + 4y 3 সর্বাধিক করুন

বিধিনিষেধের অধীনে 3 × y 1 + 6 × y2+8 × y 3 ≤ 1,

9× y 1 + 4 × y2+2 × y 3 ≤ 1,

7× y 1 + 5 × y2+4 × y 3 ≤ 1,

y i ≥ 0 (i = 1, 2, 3)

টাস্ক 2.C. সিমপ্লেক্স টেবিল ব্যবহার করে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা।

বিকল্প 7. উদ্দেশ্য ফাংশন সর্বাধিক করুন Ф = 2 x 1 - x 2 + 3 x 3 + 2 x 4

সীমাবদ্ধতা সহ: 2 x 1 + 3 x 2 - x 3 + 2 x 4 ≤ 4,

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 ≥ 1,

4 x 1 + 10 x 2 +3 x 3 + x 4 ≤ 8।

সমাধান:

আসুন বিধিনিষেধের সিস্টেমটিকে ক্যানোনিকাল ফর্মে নিয়ে আসি

2 x 1 + 3 x 2 – x 3 + 2 x 4 + z 1 = 4, (1)

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 - z 2 = 1, (2)

4 x 1 + 10 x 2 +3 x 3 + x 4 + z 3 = 8. (3)

আমাদের 7টি অজানা সহ 3টি সমীকরণের একটি সিস্টেম রয়েছে। আসুন 3টি ভেরিয়েবল x 1 , z 1 , z 3 মৌলিক হিসাবে, x 2 , x 3 , x 4 , z 2 মুক্ত হিসাবে চয়ন করি এবং তাদের মাধ্যমে মৌলিক চলকগুলি প্রকাশ করি।

(2) থেকে আমাদের আছে x 1 = 1 + 2 x 2 - 5 x 3 + 3 x 4 + x 6

(1) এবং (3) মধ্যে প্রতিস্থাপন, আমরা পেতে

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 - z 2 = 1,

z 1 + 7 x 2 - 11 x 3 + 8 x 4 + 2 z 2 = 2,

z 3 + 18 x 2 - 17 x 3 + 13 x 4 + 4 z 2 = 4,

Ф - 3 x 2 + 7 x 3 - 8 x 4 - 2 z 2 = 2।

আসুন একটি সিমপ্লেক্স টেবিল তৈরি করি

I পুনরাবৃত্তি সারণি 1

মৌলিক এসি	স্বাধীনতা। এসি
x 1	1	1	— 2	5	— 3	0	— 1	0		3/8
z 1	2	0	7	-11		1	2	0	1/ 4	1/8
z 3	4	0	18	-17	13	0	4	1	4/13	13/8
চ	2	0	— 3	7	— 8	0	— 2	0		1

X 1 = (1; 0; 0; 0; 2; 0; 4) Ф 1 = 2।

II পুনরাবৃত্তি সারণি 2

x 1	14/8	1	5/8	7/8	0	3/8	-2/8	0	2	— 1
x 4	1/ 4	0	7/8	-11/8	1	1/8	2/8	0		11/7
z 3	6/8	0	53/8		0	-13/8	6/8	1	6/7	8/7
চ	4	0	4	— 4	0	1	0	0		32/7

X 2 = (14/8; 0; 0; 1/4; 0; 0; 4) Ф 2 = 4।

III পুনরাবৃত্তি সারণি 3

x 1	1	1	— 6	0	0		-1	— 1		1/2
x 4	10/ 7	0	79/7	0	1	-17/7	10/7	11/7		11/7
x 3	6/7	0	53/7	1	0	-13/7	6/7	8/7		13/14
চ	52/7	0	240/7	0	0	-45/7	24/7	32/7		45/14

X 3 = (1; 0; 6/7; 10/7; 0; 0; 0) F 3 = 52/7।

IV পুনরাবৃত্তি সারণি 4

z 1	1/ 2	1/2	— 3	0	0	1	-1/2	-1/2
x 4	37/ 14	17/14	56/14	0	1	0	3/14	5/14
x 3	25/14	13/14	28/14	1	0	0	-1/14	3/14
চ	149/14	45/14	15	0	0	0	3/14	19/14

X 4 = (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0) F 4 = 149/14।

সূচক সারিতে কোন শেষ টেবিল নেই নেতিবাচক সংখ্যা, যে, উদ্দেশ্য ফাংশন জন্য অভিব্যক্তি সব Г i< 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.

উত্তর: Ф m ax = 149/14,

সর্বোত্তম সমাধান (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0)

অপশন 8. উদ্দেশ্য ফাংশন ছোট করুন Ф = 5 x 1 - x 3

সীমাবদ্ধতার অধীনে: x 1 + x 2 + 2 x 3 - x 4 = 3,

x 2 + 2 x 4 =1,

সমাধান:

ভেরিয়েবলের সংখ্যা 4, ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হল 2, তাই মুক্ত ভেরিয়েবলের সংখ্যা হল r = 4 - 2 = 2, মৌলিক চলকের সংখ্যাও 2। আসুন x 3, x 4 হিসাবে নিই। মুক্ত ভেরিয়েবল, মৌলিক ভেরিয়েবল x 1, x 2কে বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করি এবং আসুন সিস্টেমটিকে একটি ইউনিটের ভিত্তিতে হ্রাস করি:

x 2 = 1 - 2 x 4,

x 1 = 3 - x 2 - 2 x 3 + x 4 = 3 - 1 + 2 x 4 - 2 x 3 + x 4 = 2 - 2 x 3 + 3 x 4

Ф = 5 x 1 - x 3 = 5 (2 - 2 x 3 + 3 x 4) - x 3 = 10 - 10 x 3 + 15 x 4 - x 3 = 10 - 11 x 3 + 15 x 4

আসুন আমরা সমীকরণের সিস্টেম এবং অবজেক্টিভ ফাংশনটি সিমপ্লেক্স টেবিলের জন্য সুবিধাজনক আকারে লিখি, অর্থাৎ x 2 + 2 x 4 = 1,

x 1 +2 x 3 - 3 x 4 = 2

F + 11 x 3 - 15 x 4 = 10

এর একটি টেবিল তৈরি করা যাক

I পুনরাবৃত্তি সারণি 1

মৌলিক এসি	স্বাধীনতা। এসি
X 1	2	1	0		— 3		1/2
X 2	1	0	1	0	2
চ	10	0	0	11	— 15		— 11/2

X 1 = (2; 1; 0; 0) F 1 = 10।

II পুনরাবৃত্তি সারণি 2

X 3	1	1/2	0	1	-3/2		3/4
X 2	1	0	1	0			1/2
চ	— 1	— 11/2	0	0	3/2		— 3/4

X 2 = (0; 1; 1; 0) Ф 2 = -1।

III পুনরাবৃত্তি সারণি 3

X 3	7/4	1/2	3/4	1	0
X 4	1/2	0	1/2	0	1
চ	— 7/4	— 11/2	— 3/4	0	0

X 3 = (0; 0; 7/4; 1/2) F 3 = -7/4।

শেষ টেবিলের সূচক লাইনে কোন ধনাত্মক সংখ্যা নেই, অর্থাৎ, উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের জন্য অভিব্যক্তিতে সমস্ত Г i > 0। আমাদের কেস I আছে, তাই, শেষ মৌলিক সমাধানটি সর্বোত্তম।

উত্তর: Ф মিনিট = -7/4, সর্বোত্তম সমাধান (0; 0; 7/4; 1/2)

********************

বিকল্প 10. উদ্দেশ্য ফাংশন ছোট করুন Ф = x 1 + x 2,

সীমাবদ্ধতার অধীনে: x 1 –2 x 3 + x 4 = 2,

x 2 – x 3 + 2 x 4 = 1,

সমাধান:

ভেরিয়েবলের সংখ্যা 5, ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হল 3, তাই মুক্ত ভেরিয়েবলের সংখ্যা হল r = 6-3 = 2। চলুন x 3 এবং x 4 কে মুক্ত ভেরিয়েবল হিসেবে ধরা যাক, এবং x 1 , x 2 , x 5 মৌলিক হিসাবে। সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ ইতিমধ্যেই একক ভিত্তিতে হ্রাস করা হয়েছে (বেসিক ভেরিয়েবলগুলি বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়), তবে এমন একটি ফর্মে লেখা হয়েছে যা সরল টেবিল ব্যবহার করার জন্য সুবিধাজনক নয়। আসুন আমরা ফর্মে সমীকরণের সিস্টেম লিখি

x 1 - 2 x 3 + x 4 = 2

x 2 - x 3 +2 x 4 = 1

x 5 + x 3 – x 4। = 5

আমরা মুক্ত ভেরিয়েবলের পরিপ্রেক্ষিতে উদ্দেশ্য ফাংশন প্রকাশ করি এবং এটি Ф - 3 x 3 +3 x 4 = 3 আকারে লিখি

এর একটি টেবিল তৈরি করা যাক

I পুনরাবৃত্তি সারণি 1

মৌলিক এসি	স্বাধীনতা। এসি
x 1	2	1	0	-2	1	0	2	-1/2
x 2	1	0	1	-1		0	1/2	1/2
x 5	5	0	0	1	-1	1		1/2
চ	3	0	0	-3	3	0		-3/2

X 1 = (2; 3; 0; 0; 5) F 1 = 3।

টেবিল ২

x 1	3/2	1	-1/2	-3/2	0	0
x 4	1/2	0	1/2	-1/2	1	0
x 5	11/2	0	1/2	1/2	0	1
চ	3/2	0	-3/2	-3/2	0	0

X 2 = (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2) F 2 = 3/2।

শেষ টেবিলের সূচী সারিতে কোন ধনাত্মক সংখ্যা নেই, অর্থাৎ, উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের অভিব্যক্তিতে সমস্ত Gi > 0। আমাদের কেস 1 আছে, তাই, শেষ মৌলিক সমাধানটি সর্বোত্তম।

উত্তর: Ф মিনিট = 3/2, সর্বোত্তম সমাধান (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2)।

শিক্ষার জন্য ফেডারেল এজেন্সি

রাজ্যের বাজেট শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

ঊর্ধ্বতন বৃত্তিমূলক শিক্ষা

"ওমস্ক স্টেট টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি"

গণনা এবং গ্রাফিক কাজ

শৃঙ্খলা দ্বারা"সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব »

বিষয়ে "অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতি এবং অপারেশন গবেষণা »

বিকল্প 7

সম্পন্ন:

চিঠিপত্র ছাত্র

চতুর্থ বর্ষের গ্রুপ ZA-419

পুরো নাম: কুজেলেভ এস এ।

চেক করা হয়েছে:

দেব্যাটেরিকোভা এম.ভি.

ওমস্ক - 2012
^

টাস্ক 1. লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের জন্য গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি।

7) 7এক্স 1 + 6এক্স 2 → সর্বোচ্চ 20এক্স 1 + 6এক্স 2 ≤ 15 16এক্স 1 − 2এক্স 2 ≤ 18 8এক্স 1 + 4এক্স 2 ≤ 20 13এক্স 1 + 3এক্স 2 ≤ 4 এক্স 1 , এক্স 2 ≥ 0.

ধাপ 1: সম্ভাব্য অঞ্চল নির্মাণ

ভেরিয়েবল এবং বর্গক্ষেত্রগুলির অ-নেতিবাচকতার শর্তগুলি তাদের অনুমোদিত মানগুলির পরিসরকে প্রথম চতুর্ভুজে সীমাবদ্ধ করে। মডেলের অবশিষ্ট চারটি অসমতার সীমাবদ্ধতার প্রতিটি একটি নির্দিষ্ট অর্ধ-বিমানের সাথে মিলে যায়। প্রথম চতুর্ভুজটির সাথে এই অর্ধ-বিমানগুলির ছেদ সমস্যাটির সম্ভাব্য সমাধানের সেট তৈরি করে।

মডেলের প্রথম সীমাবদ্ধতার ফর্ম আছে . এটিতে ≤ চিহ্নটিকে = চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে, আমরা সমীকরণটি পাই . চিত্রে। 1.1 এটি একটি সরল রেখা (1) সংজ্ঞায়িত করে, যা সমতলকে দুটি অর্ধ-বিমানে বিভক্ত করে, এক্ষেত্রেলাইনের উপরে এবং নীচে। কোনটি বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে তা বেছে নিতে , এটিতে একটি নির্দিষ্ট রেখায় অবস্থিত নয় এমন কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করুন (উদাহরণস্বরূপ, উত্স এক্স 1 = 0, এক্স 2 = 0)। যেহেতু আমরা সঠিক অভিব্যক্তি (20 0 + 6 0 = 0 ≤15) পাই, তাহলে অর্ধ-বিমান যেখানে স্থানাঙ্কের উৎপত্তি রয়েছে (একটি তীর দ্বারা চিহ্নিত) অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। নইলে আরেকটা অর্ধেক প্লেন।

আমরা সমস্যার অবশিষ্ট সীমাবদ্ধতার সাথে একইভাবে এগিয়ে যাই। প্রথম চতুর্ভুজ ফর্ম সহ সমস্ত নির্মিত অর্ধ-বিমানগুলির ছেদ এ বি সি ডি(চিত্র 1 দেখুন)। এটি সমস্যার সম্ভাব্য ক্ষেত্র।

ধাপ 2. একটি লেভেল লাইন লেভেল লাইন আঁকা অবজেক্টিভ ফাংশন হল সমতলের বিন্দুগুলির সেট যেখানে উদ্দেশ্য ফাংশন একটি ধ্রুবক মান নেয়। এই ধরনের একটি সেট সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয় চ ( এক্স) = const. উদাহরণ স্বরূপ ধরা যাক, const = 0 এবং স্তরে একটি রেখা আঁকুন চ ( এক্স) = 0, অর্থাৎ আমাদের ক্ষেত্রে সরলরেখা 7 এক্স 1 + 6এক্স 2 = 0.

এই রেখাটি মূলের মধ্য দিয়ে যায় এবং ভেক্টরের সাথে লম্ব। এই ভেক্টরটি বিন্দুতে (0,0) অবজেক্টিভ ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট। একটি ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট হল প্রশ্নবিন্দুতে একটি প্রদত্ত ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের মানগুলির একটি ভেক্টর। এলপি সমস্যার ক্ষেত্রে, উদ্দেশ্য ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি সহগগুলির সমান গআমি, j = 1 , ..., n.

গ্রেডিয়েন্ট ফাংশনের দ্রুততম বৃদ্ধির দিক দেখায়। উদ্দেশ্য ফাংশন স্তর লাইন সরানো চ ( এক্স) = const. গ্রেডিয়েন্টের দিকে লম্বভাবে, আমরা শেষ বিন্দুটি খুঁজে পাই যেখানে এটি অঞ্চলের সাথে ছেদ করে। আমাদের ক্ষেত্রে, এটি হল বিন্দু ডি, যা হবে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের সর্বাধিক বিন্দু (চিত্র 2 দেখুন)

এটি লাইন (2) এবং (3) এর সংযোগস্থলে অবস্থিত (চিত্র 1 দেখুন) এবং সর্বোত্তম সমাধানটি নির্দিষ্ট করে।

^ লক্ষ্য করুন যে আপনি যদি উদ্দেশ্য ফাংশনের ন্যূনতম মান খুঁজে পেতে চান তবে স্তর রেখাটি গ্রেডিয়েন্টের দিকের বিপরীত দিকে সরানো হয়।

^ ধাপ 3. সর্বাধিক (ন্যূনতম) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং উদ্দেশ্য ফাংশনের সর্বোত্তম মান নির্ধারণ করা

C বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য, সরলরেখার সাথে সম্পর্কিত সমীকরণ সমন্বিত একটি সিস্টেম সমাধান করা প্রয়োজন (এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ 2 এবং 3):

16এক্স 1 − 2এক্স 2 ≤ 18

8এক্স 1 + 4এক্স 2 ≤ 20

আমরা পাই সর্বোত্তম সমাধান = 1.33।

^ সর্বোত্তম মানউদ্দেশ্য ফাংশন চ * = চ (এক্স*) = 7 * 0 + 6 * 1,33 = 7,8

শৃঙ্খলার উপর নিয়ন্ত্রণ কাজ:

"অনুকূল সমাধানের পদ্ধতি"

বিকল্প নং 8

1. গ্রাফিকভাবে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করুন। প্রদত্ত সীমাবদ্ধতা সহ ফাংশনের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন খুঁজুন:

,

.

সমাধান

বিধিনিষেধের সিস্টেমের অধীনে উদ্দেশ্য ফাংশনের সর্বনিম্ন মান এবং সর্বোচ্চটি খুঁজে বের করা প্রয়োজন:

9x 1 +3x 2 ≥30, (1)

X 1 + x 2 ≤4, (2)

x 1 + x 2 ≤8, (3)

আসুন আমরা সম্ভাব্য সমাধানগুলির একটি অঞ্চল তৈরি করি, যেমন চলুন বৈষম্যের ব্যবস্থাকে গ্রাফিকভাবে সমাধান করি। এটি করার জন্য, আমরা প্রতিটি সরল রেখা তৈরি করি এবং অসমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত অর্ধ-বিমানগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি (অর্ধ-বিমানগুলি একটি প্রাইম দ্বারা নির্দেশিত হয়)।

অর্ধ-বিমানগুলির ছেদ এমন একটি অঞ্চল হবে যার বিন্দু স্থানাঙ্কগুলি সমস্যার সীমাবদ্ধতার সিস্টেমের অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। সমাধান বহুভুজের ক্ষেত্রফলের সীমানা চিহ্নিত করা যাক।

ফাংশনের মান F = 0: F = 2x 1 +3x 2 = 0 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি সরল রেখা তৈরি করা যাক। অবজেক্টিভ ফাংশনের সহগ দ্বারা গঠিত গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর F(X) এর ন্যূনতমকরণের দিক নির্দেশ করে। ভেক্টরের শুরু বিন্দু (0; 0), শেষটি বিন্দু (2; 3)। আমরা এই সরলরেখাটিকে সমান্তরালভাবে সরাব। যেহেতু আমরা ন্যূনতম সমাধানে আগ্রহী, তাই আমরা সরলরেখাটি সরাতে থাকি যতক্ষণ না এটি প্রথমে নির্ধারিত এলাকা স্পর্শ করে। গ্রাফে, এই সরল রেখাটি একটি বিন্দুযুক্ত রেখা দ্বারা নির্দেশিত।

সোজা
অঞ্চলটিকে C বিন্দুতে ছেদ করে। যেহেতু বিন্দু C রেখা (4) এবং (1) ছেদ করার ফলে প্রাপ্ত হয়, তাই এর স্থানাঙ্কগুলি এই রেখাগুলির সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে:
.

সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করার পরে, আমরা পাই: x 1 = 3.3333, x 2 = 0।

কিভাবে আমরা উদ্দেশ্য ফাংশনের সর্বনিম্ন মান খুঁজে পেতে পারি:

আসুন সমস্যাটির উদ্দেশ্যমূলক কাজটি বিবেচনা করি।

F = 0 ফাংশনের মানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি সরল রেখা তৈরি করা যাক: F = 2x 1 +3x 2 = 0। অবজেক্টিভ ফাংশনের সহগ দ্বারা গঠিত গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর F(X) এর সর্বাধিকীকরণের দিক নির্দেশ করে। ভেক্টরের শুরু বিন্দু (0; 0), শেষটি বিন্দু (2; 3)। আমরা এই সরলরেখাটিকে সমান্তরালভাবে সরাব। যেহেতু আমরা সর্বাধিক সমাধানে আগ্রহী, তাই আমরা মনোনীত এলাকার শেষ স্পর্শ না হওয়া পর্যন্ত সরলরেখাটি সরাই। গ্রাফে, এই সরল রেখাটি একটি বিন্দুযুক্ত রেখা দ্বারা নির্দেশিত।

সোজা
অঞ্চলটিকে বি বিন্দুতে ছেদ করে। যেহেতু বিন্দু বি রেখা (2) এবং (3) এর ছেদ করার ফলে প্রাপ্ত হয়, তাই এর স্থানাঙ্কগুলি এই রেখাগুলির সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে:

.

কিভাবে আমরা উদ্দেশ্য ফাংশনের সর্বোচ্চ মান খুঁজে পেতে পারি: .

উত্তর:
এবং
.

2 . সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করুন:

.

সমাধান

চলুন, সিমপ্লেক্স মেথড ব্যবহার করে একটি সিমপ্লেক্স টেবিল ব্যবহার করে সরাসরি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার সমাধান করা যাক।

উদ্দেশ্য ফাংশনের সর্বনিম্ন মান নির্ধারণ করা যাক
নিম্নলিখিত শর্তাবলীর অধীনে - সীমাবদ্ধতা:
.

প্রথম রেফারেন্স প্ল্যান তৈরি করতে, আমরা অতিরিক্ত ভেরিয়েবল প্রবর্তনের মাধ্যমে অসমতার সিস্টেমকে সমীকরণের সিস্টেমে কমিয়ে দিই।

অর্থের 1ম অসমতায় (≥) আমরা মৌলিক চলকটি প্রবর্তন করি এক্স 3 একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ। অর্থের 2য় অসমতায় (≤) আমরা মৌলিক চলকটি প্রবর্তন করি এক্স 4 . অর্থের 3য় অসমতায় (≤) আমরা মৌলিক চলক x 5 প্রবর্তন করি।

কৃত্রিম ভেরিয়েবল প্রবর্তন করা যাক : ১ম সমতায় আমরা একটি পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করি এক্স 6 ;

সমস্যাটিকে ন্যূনতম সেট করতে, আমরা উদ্দেশ্য ফাংশনটি নিম্নরূপ লিখি: .

উদ্দেশ্য ফাংশনে প্রবর্তিত কৃত্রিম ভেরিয়েবল ব্যবহারের জন্য, এম এর একটি তথাকথিত দণ্ড আরোপ করা হয়, একটি খুব বড় ধনাত্মক সংখ্যা যা সাধারণত নির্দিষ্ট করা হয় না।

ফলস্বরূপ ভিত্তিকে কৃত্রিম বলা হয়, এবং সমাধান পদ্ধতিকে কৃত্রিম ভিত্তি পদ্ধতি বলা হয়।

তদুপরি, কৃত্রিম ভেরিয়েবলগুলি সমস্যার বিষয়বস্তুর সাথে সম্পর্কিত নয়, তবে তারা একটি সূচনা বিন্দু তৈরি করা সম্ভব করে তোলে এবং অপ্টিমাইজেশন প্রক্রিয়া এই ভেরিয়েবলগুলিকে শূন্য মান নিতে এবং সর্বোত্তম সমাধানের গ্রহণযোগ্যতা নিশ্চিত করতে বাধ্য করে।

সমীকরণ থেকে আমরা কৃত্রিম ভেরিয়েবল প্রকাশ করি: x 6 = 4-x 1 -x 2 +x 3, যাকে আমরা উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনে প্রতিস্থাপন করি: বা।

সহগ ম্যাট্রিক্স
এই সমীকরণ সিস্টেমের ফর্ম আছে:
.

চলুন মৌলিক ভেরিয়েবলের সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করি: এক্স 6 , এক্স 4 , এক্স 5.

ধরে নিই যে ফ্রি ভেরিয়েবলগুলি 0 এর সমান, আমরা প্রথমটি পাই রেফারেন্স পরিকল্পনা:

X1 = (0,0,0,2,10,4)

একটি মৌলিক সমাধানকে গ্রহণযোগ্য বলা হয় যদি এটি অ-নেতিবাচক হয়।

		এক্স 1	এক্স 2	এক্স 3	এক্স 4	এক্স 5	এক্স 6
এক্স 6
এক্স 4
এক্স 5

বর্তমান রেফারেন্স প্ল্যানটি সর্বোত্তম নয় কারণ সূচক লাইনে ইতিবাচক সহগ রয়েছে৷ অগ্রণী কলাম হিসাবে, আমরা x 2 ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত কলামটি বেছে নেব, যেহেতু এটিই সবচেয়ে বড় সহগ। এর মান গণনা করা যাক ডি i এবং তাদের থেকে আমরা সবচেয়ে ছোটটি বেছে নিই: মিনিট (4: 1, 2: 2, 10: 2) = 1।

অতএব, ২য় লাইনটি অগ্রণী।

সমাধানকারী উপাদানটি (2) এর সমান এবং এটি অগ্রণী কলাম এবং অগ্রণী সারির সংযোগস্থলে অবস্থিত।

		এক্স 1	এক্স 2	এক্স 3	এক্স 4	এক্স 5	এক্স 6
এক্স 6
এক্স 4
এক্স 5

আমরা সিমপ্লেক্স টেবিলের পরবর্তী অংশ গঠন করি। পরিবর্তনশীল x 4 এর পরিবর্তে, প্ল্যান 1 এ ভেরিয়েবল x 2 অন্তর্ভুক্ত করবে।

প্ল্যান 1 এ ভেরিয়েবল x 2 এর সাথে সম্পর্কিত সারিটি প্ল্যান 0 এর সারির x 4 এর সমস্ত উপাদানকে সমাধানকারী উপাদান RE = 2 দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়। সমাধানকারী উপাদানের জায়গায় আমরা 1 পাই। x 2 কলামের অবশিষ্ট কোষগুলিতে আমরা শূন্য লিখি।

এইভাবে, নতুন পরিকল্পনা 1, সারি x 2 এবং কলাম x 2 পূরণ করা হয়েছে। সূচী সারির উপাদান সহ নতুন প্ল্যান 1 এর অন্যান্য সমস্ত উপাদান আয়তক্ষেত্রের নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়।

		এক্স 1	এক্স 2	এক্স 3	এক্স 4	এক্স 5	এক্স 6
এক্স 6
এক্স 2
এক্স 5
		1 1/2 +1 1/2 M

বর্তমান রেফারেন্স প্ল্যানটি সর্বোত্তম নয় কারণ সূচক সারিতে ইতিবাচক সহগ রয়েছে৷ অগ্রণী কলাম হিসাবে, আমরা x 1 ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত কলামটি বেছে নেব, যেহেতু এটিই সবচেয়ে বড় সহগ। এর মান গণনা করা যাক ডি iবিভাজনের ভাগফল হিসাবে সারি দ্বারা: এবং তাদের থেকে আমরা সবচেয়ে ছোটটি বেছে নিই: মিনিট (3: 1 1 / 2, -, 8: 2) = 2।

অতএব, ১ম লাইনটি অগ্রণী।

সমাধানকারী উপাদানটি (1 1/2) এর সমান এবং এটি অগ্রণী কলাম এবং অগ্রণী সারির সংযোগস্থলে অবস্থিত।

		এক্স 1	এক্স 2	এক্স 3	এক্স 4	এক্স 5	এক্স 6
এক্স 6		1 1 / 2
এক্স 2
এক্স 5
		-1 1 / 2 +1 1 / 2 এম

আমরা সিমপ্লেক্স টেবিলের পরবর্তী অংশ গঠন করি। পরিবর্তনশীল x 6-এর পরিবর্তে, প্ল্যান 2-এ x 1 ভেরিয়েবল অন্তর্ভুক্ত থাকবে।

আমরা একটি নতুন সিমপ্লেক্স টেবিল পাই:

		এক্স 1	এক্স 2	এক্স 3	এক্স 4	এক্স 5	এক্স 6
এক্স 1
এক্স 2
এক্স 5

সূচক স্ট্রিং মানগুলির মধ্যে কোন ইতিবাচক মান নেই। অতএব, এই টেবিলটি সমস্যার জন্য সর্বোত্তম পরিকল্পনা নির্ধারণ করে।

সিমপ্লেক্স টেবিলের চূড়ান্ত সংস্করণ:

		এক্স 1	এক্স 2	এক্স 3	এক্স 4	এক্স 5	এক্স 6
এক্স 1
এক্স 2
এক্স 5

যেহেতু সর্বোত্তম সমাধানে কোন কৃত্রিম ভেরিয়েবল নেই (তারা শূন্যের সমান), এই সমাধানটি গ্রহণযোগ্য।

সর্বোত্তম পরিকল্পনাটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: x 1 = 2, x 2 = 2:।

উত্তর:
,
.

3. থ্রি ফ্যাট মেন কোম্পানি শহরের বিভিন্ন স্থানে অবস্থিত তিনটি গুদাম থেকে তিনটি দোকানে টিনজাত মাংস পৌঁছে দেয়। গুদামগুলিতে উপলব্ধ টিনজাত খাবারের স্টক, সেইসাথে স্টোর অর্ডারের পরিমাণ এবং ডেলিভারির হার (প্রচলিত আর্থিক ইউনিটে) পরিবহন টেবিলে উপস্থাপন করা হয়।

একটি পরিবহন পরিকল্পনা খুঁজুন যা সর্বনিম্ন আর্থিক খরচ প্রদান করে ("উত্তর-পশ্চিম কোণ" পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রাথমিক পরিবহন পরিকল্পনা সম্পাদন করুন)।

সমাধান

আসুন আমরা সমস্যার সমাধানযোগ্যতার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত পরীক্ষা করি:

= 300 + 300 + 200 = 800 .

= 250 + 400 + 150 = 800.

ভারসাম্য শর্ত পূরণ করা হয়. সমান চাহিদা সরবরাহ করে। তাই পরিবহন সমস্যার মডেল বন্ধ রয়েছে।

ডিস্ট্রিবিউশন টেবিলে প্রাথমিক তথ্য প্রবেশ করা যাক।

চাহিদা

উত্তর-পশ্চিম কোণার পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা পরিবহন সমস্যার প্রথম রেফারেন্স পরিকল্পনা তৈরি করব।

পরিকল্পনাটি উপরের বাম কোণ থেকে পূরণ করতে শুরু করে।

প্রয়োজনীয় উপাদান হল 4। এই উপাদানটির জন্য, জায় 300, প্রয়োজনীয়তা 250। যেহেতু সর্বনিম্ন 250, আমরা এটি বিয়োগ করি:।

			300 - 250 = 50
250 - 250 = 0

প্রয়োজনীয় উপাদানটি 2 এর সমান। এই উপাদানটির জন্য, স্টক 50 এর সমান, প্রয়োজনীয়তা 400। যেহেতু সর্বনিম্ন 50, আমরা এটি বিয়োগ করি:।

			50 - 50 = 0
	400 - 50 = 350

প্রয়োজনীয় উপাদান হল 5। এই উপাদানটির জন্য, ইনভেন্টরিগুলি হল 300, প্রয়োজনীয়তা হল 350৷ যেহেতু সর্বনিম্ন হল 300, আমরা এটি বিয়োগ করি:

			300 - 300 = 0
	350 - 300 = 50

আপনি যে উপাদানটি খুঁজছেন তা হল 3৷ এই উপাদানটির জন্য, ইনভেন্টরিগুলি হল 200, প্রয়োজনীয়তাগুলি হল 50৷ যেহেতু সর্বনিম্নটি ​​50, আমরা এটি বিয়োগ করি:

			200 - 50 = 150
	50 - 50 = 0

প্রয়োজনীয় উপাদান হল 6৷ এই উপাদানটির জন্য, ইনভেন্টরিগুলি হল 150, প্রয়োজনীয়তা হল 150৷ যেহেতু সর্বনিম্ন হল 150, তাই আমরা এটি বিয়োগ করি:

			150 - 150 = 0
		150 - 150 = 0

চাহিদা

ভূমিকা

মানব বিকাশের বর্তমান পর্যায়টি এই সত্য দ্বারা আলাদা করা হয়েছে যে শক্তির বয়স কম্পিউটার বিজ্ঞানের যুগ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হচ্ছে। মানব ক্রিয়াকলাপের সমস্ত ক্ষেত্রে নতুন প্রযুক্তির নিবিড় প্রবর্তন রয়েছে। একটি তথ্য সমাজে উত্তরণের একটি বাস্তব সমস্যা রয়েছে, যার জন্য শিক্ষার উন্নয়ন অগ্রাধিকার হওয়া উচিত। সমাজে জ্ঞানের কাঠামোও বদলে যাচ্ছে। জন্য ক্রমবর্ধমান গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারিক জীবনমৌলিক জ্ঞান অর্জন করুন যা ব্যক্তির সৃজনশীল বিকাশে অবদান রাখে। অর্জিত জ্ঞানের গঠনমূলকতা এবং লক্ষ্য অনুযায়ী তা গঠন করার ক্ষমতাও গুরুত্বপূর্ণ। জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে, নতুনগুলি গঠিত হয় তথ্য সম্পদসমাজ নতুন জ্ঞানের গঠন এবং অধিগ্রহণ একটি সিস্টেম পদ্ধতির একটি কঠোর পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে হওয়া উচিত, যার মধ্যে মডেল পদ্ধতি একটি বিশেষ স্থান দখল করে। মডেল পদ্ধতির সম্ভাবনাগুলি অত্যন্ত বৈচিত্র্যময়, উভয়ই ব্যবহৃত আনুষ্ঠানিক মডেলের পরিপ্রেক্ষিতে এবং মডেলিং পদ্ধতিগুলি বাস্তবায়নের পদ্ধতিতে। শারীরিক মডেলিং একজনকে মোটামুটি সহজ সিস্টেমের জন্য নির্ভরযোগ্য ফলাফল পেতে দেয়।

বর্তমানে, মানব ক্রিয়াকলাপের এমন একটি অঞ্চলের নাম দেওয়া অসম্ভব যেখানে মডেলিং পদ্ধতিগুলি এক ডিগ্রি বা অন্য কোনও ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হবে না। এটি ব্যবস্থাপনার ক্ষেত্রে বিশেষভাবে সত্য বিভিন্ন সিস্টেম, যেখানে প্রধান প্রক্রিয়াগুলি প্রাপ্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করে।

1. সমস্যার বিবৃতি

ন্যূনতম উদ্দেশ্য ফাংশন

টাস্কের 16 নম্বর বিকল্প অনুসারে সমাধান বহুভুজ দ্বারা নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতার সিস্টেমের জন্য সর্বনিম্ন উদ্দেশ্য ফাংশন খুঁজে বের করার সমস্যাটি সমাধান করুন। সমাধান বহুভুজ চিত্র 1 এ দেখানো হয়েছে:

চিত্র 1 - সমস্যার সমাধানের বহুভুজ

সীমাবদ্ধতার সিস্টেম এবং সমস্যার উদ্দেশ্যমূলক কাজ নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে:

নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে সমস্যাটি সমাধান করা প্রয়োজন:

এলপি সমস্যা সমাধানের জন্য গ্রাফিকাল পদ্ধতি;

এলপি সমস্যা সমাধানের জন্য বীজগণিত পদ্ধতি;

এলপি সমস্যা সমাধানের জন্য সিমপ্লেক্স পদ্ধতি;

এলপি সমস্যার একটি গ্রহণযোগ্য সমাধান খোঁজার পদ্ধতি;

দ্বৈত এলপি সমস্যার সমাধান;

পূর্ণসংখ্যা এলপি সমস্যা সমাধানের জন্য শাখা এবং আবদ্ধ পদ্ধতি;

পূর্ণসংখ্যা এলপি সমস্যা সমাধানের জন্য গোমোরি পদ্ধতি;

বুলিয়ান এলপি সমস্যা সমাধানের জন্য বালাজ পদ্ধতি।

সমাধান ফলাফল তুলনা বিভিন্ন পদ্ধতিকাজ থেকে উপযুক্ত সিদ্ধান্ত আঁকুন।

2. লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার গ্রাফিক্যাল সমাধান

রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের জন্য গ্রাফিকাল পদ্ধতিটি এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যেখানে অজানা সংখ্যা তিনের বেশি হয় না। সমাধানের বৈশিষ্ট্যগুলির গুণগত গবেষণার জন্য সুবিধাজনক এবং অন্যান্য পদ্ধতির (বীজগণিত, শাখা এবং আবদ্ধ, ইত্যাদি) সাথে ব্যবহার করা হয়। পদ্ধতির ধারণাটি রৈখিক অসমতার একটি সিস্টেমের গ্রাফিকাল সমাধানের উপর ভিত্তি করে।

ভাত। 2 এলপি সমস্যার গ্রাফিক্যাল সমাধান

সর্বনিম্ন পয়েন্ট

দুটি বিন্দু A1 এবং A2 এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ:

AB: (0;1); (৩;৩)

VS: (3;3); (4;1)

সিডি: (4;1); (৩;০)

ইএ: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

সীমাবদ্ধতা সহ:

বীজগণিত সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা

একটি সমস্যা সমাধানের জন্য একটি বীজগণিত পদ্ধতির প্রয়োগের জন্য এলপি সমস্যার উপস্থাপনার একটি সাধারণীকরণ প্রয়োজন। বিধিনিষেধের মূল সিস্টেম, অসমতার আকারে নির্দিষ্ট করা, যখন সীমাবদ্ধতাগুলি সমতার আকারে নির্দিষ্ট করা হয় তখন একটি আদর্শ স্বরলিপিতে রূপান্তরিত হয়। সীমাবদ্ধতা সিস্টেম রূপান্তর স্ট্যান্ডার্ড ভিউনিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অন্তর্ভুক্ত করে:

অসমতাগুলিকে রূপান্তর করুন যাতে বাম দিকে ভেরিয়েবল এবং মুক্ত পদ থাকে এবং ডানদিকে 0 থাকে, যেমন প্রতি বাম পাশেশূন্যের চেয়ে বড় বা সমান ছিল;

অতিরিক্ত ভেরিয়েবল প্রবর্তন করুন, যার সংখ্যা সীমাবদ্ধতার সিস্টেমে অসমতার সংখ্যার সমান;

যোগ করা ভেরিয়েবলের অ-নেতিবাচকতার উপর অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা প্রবর্তন করে, অসমতার চিহ্নগুলিকে কঠোর সমতার চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন।

বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি LP সমস্যা সমাধান করার সময়, একটি শর্ত যোগ করা হয়: উদ্দেশ্য ফাংশন একটি সর্বনিম্ন প্রবণতা আবশ্যক। যদি এই অবস্থাসন্তুষ্ট নয়, বস্তুনিষ্ঠ ফাংশনকে সেই অনুযায়ী রূপান্তর করা প্রয়োজন (-1 দ্বারা গুণ করুন) এবং ন্যূনতমকরণ সমস্যা সমাধান করুন। সমাধান পাওয়া গেলে, ভেরিয়েবলের মানগুলিকে মূল ফাংশনে প্রতিস্থাপন করুন এবং এর মান গণনা করুন।

বীজগাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধানকে সর্বোত্তম বলে বিবেচনা করা হয় যখন সমস্ত মৌলিক ভেরিয়েবলের মান অ-নেতিবাচক হয়, এবং উদ্দেশ্য ফাংশন সমীকরণে মুক্ত ভেরিয়েবলের সহগগুলিও অ-নেতিবাচক হয়। যদি এই শর্তগুলি পূরণ করা না হয়, তবে উপরোক্ত বিধিনিষেধের পরিপূর্ণতা অর্জনের জন্য কিছু ভেরিয়েবলকে অন্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করে (মুক্ত এবং মৌলিক ভেরিয়েবলের পরিবর্তন) বৈষম্যের ব্যবস্থাকে রূপান্তর করা প্রয়োজন। সমস্ত মুক্ত ভেরিয়েবলের মান শূন্যের সমান বলে মনে করা হয়।

রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের জন্য বীজগাণিতিক পদ্ধতি সবচেয়ে একটি কার্যকর পদ্ধতিযখন ম্যানুয়ালি ছোট আকারের সমস্যাগুলি সমাধান করা হয় কারণ পাটিগণিত গণনার একটি বড় সংখ্যা প্রয়োজন হয় না. এই পদ্ধতির মেশিন বাস্তবায়ন আরও জটিল, উদাহরণস্বরূপ, সিমপ্লেক্স পদ্ধতির জন্য, কারণ বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান অ্যালগরিদম কিছুটা হিউরিস্টিক এবং সমাধানটির কার্যকারিতা মূলত ব্যক্তিগত অভিজ্ঞতার উপর নির্ভর করে।

বিনামূল্যের ভেরিয়েবল

সেন্ট লেন - অতিরিক্ত কিট

অ-নেতিবাচক শর্ত পূরণ করা হয়, তাই, সর্বোত্তম সমাধান পাওয়া গেছে.

3. একটি সিমপ্লেক্স টেবিল ব্যবহার করে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা

সমাধান: আসুন একটি সিমপ্লেক্স টেবিল ব্যবহার করে সমাধানের জন্য সমস্যাটিকে একটি আদর্শ আকারে নিয়ে আসি।

আসুন আমরা সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ ফর্মে কমিয়ে দেই:

আমরা একটি সিমপ্লেক্স টেবিল তৈরি করি:

টেবিলের প্রতিটি কক্ষের উপরের কোণে আমরা সমীকরণের সিস্টেম থেকে সহগ প্রবেশ করি;

আমরা সারি F-তে সর্বাধিক ইতিবাচক উপাদান নির্বাচন করি, এটি সাধারণ কলাম ছাড়া;

সাধারণ উপাদান খুঁজে বের করার জন্য, আমরা সমস্ত ইতিবাচকদের জন্য একটি সম্পর্ক তৈরি করি। 3/3; 9/1;- লাইন x3-এ ন্যূনতম অনুপাত। অতএব - সাধারণ স্ট্রিং এবং =3 - সাধারণ উপাদান।

আমরা =1/=1/3 খুঁজে পাই। আমরা এটিকে ঘরের নীচের কোণে নিয়ে আসি যেখানে সাধারণ উপাদানটি অবস্থিত;

সাধারণ লাইনের সমস্ত খালি নীচের কোণে আমরা ঘরের উপরের কোণে মানের গুণফলটি প্রবেশ করি;

সাধারণ লাইনের উপরের কোণগুলি নির্বাচন করুন;

সাধারণ কলামের সমস্ত নীচের কোণে আমরা উপরের কোণে মানের গুণফলটি প্রবেশ করি - এবং ফলস্বরূপ মানগুলি নির্বাচন করি;

টেবিলের অবশিষ্ট কোষগুলি সংশ্লিষ্ট নির্বাচিত উপাদানগুলির পণ্য হিসাবে ভরা হয়;

তারপরে আমরা একটি নতুন টেবিল তৈরি করি যেখানে সাধারণ কলাম এবং সারির উপাদানগুলির কোষগুলির উপাধিগুলি অদলবদল করা হয় (x2 এবং x3);

পূর্বে নীচের কোণে যে মানগুলি ছিল তা পূর্বের সাধারণ সারি এবং কলামের উপরের কোণে লেখা হয়;

পূর্ববর্তী সারণীতে এই ঘরগুলির উপরের এবং নীচের কোণগুলির মানগুলির যোগফল অবশিষ্ট কোষগুলির উপরের কোণে লেখা আছে

4. একটি গ্রহণযোগ্য সমাধান খুঁজে বের করে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা

রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম দেওয়া যাক:

আমরা অনুমান করতে পারি যে সবকিছুই আছে, অন্যথায় আমরা সংশ্লিষ্ট সমীকরণটিকে -1 দ্বারা গুণ করি।

আমরা অক্জিলিয়ারী ভেরিয়েবল প্রবর্তন করি:

আমরা একটি অক্জিলিয়ারী ফাংশন চালু করি

আমরা বিধিনিষেধ (2) এবং শর্তাবলীর অধীনে সিস্টেমটিকে ছোট করব৷

একটি অনুমোদনযোগ্য সমাধান খোঁজার নিয়ম: সিস্টেম (1) এর একটি গ্রহণযোগ্য সমাধান খুঁজতে, আমরা বিধিনিষেধ (2) এর অধীনে ফর্ম (3) ছোট করি, xj কে বিনামূল্যে অজানা হিসাবে গ্রহণ করি এবং xj কে ভিত্তি হিসাবে গ্রহণ করি।

সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমস্যা সমাধান করার সময়, দুটি ক্ষেত্রে দেখা দিতে পারে:

min f=0, তারপর সব i অবশ্যই শূন্যের সমান হবে। এবং xj এর ফলস্বরূপ মানগুলি সিস্টেমের জন্য একটি গ্রহণযোগ্য সমাধান গঠন করবে (1)।

min f>0, অর্থাৎ মূল সিস্টেমের একটি সম্ভাব্য সমাধান নেই।

উত্স সিস্টেম:

আগের টপিক থেকে সমস্যার কন্ডিশন ব্যবহার করা হয়েছে।

চলুন অতিরিক্ত ভেরিয়েবল প্রবর্তন করা যাক:

মূল সমস্যার একটি গ্রহণযোগ্য সমাধান পাওয়া গেছে: x1 = 3, x2 = 3, F = -12। প্রাপ্ত সম্ভাব্য সমাধানের উপর ভিত্তি করে, আমরা সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে মূল সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান খুঁজে পাব। এটি করার জন্য, আমরা উপরে প্রাপ্ত টেবিল থেকে একটি নতুন সিমপ্লেক্স টেবিল তৈরি করব, সহায়ক সমস্যার লক্ষ্য ফাংশন সহ সারি এবং সারিটি সরিয়ে ফেলব:

নির্মিত সিমপ্লেক্স টেবিলটি বিশ্লেষণ করে, আমরা দেখতে পাই যে মূল সমস্যার জন্য সর্বোত্তম সমাধান ইতিমধ্যেই পাওয়া গেছে (উদ্দেশ্য ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত সারির উপাদানগুলি নেতিবাচক)। সুতরাং, সহায়ক সমস্যা সমাধানের সময় যে সম্ভাব্য সমাধান পাওয়া যায় তা মূল সমস্যার সর্বোত্তম সমাধানের সাথে মিলে যায়:

6. ডুয়েল লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা

সীমাবদ্ধতার মূল সিস্টেম এবং সমস্যার উদ্দেশ্যমূলক কাজ নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

সীমাবদ্ধতা সহ:

সমাধান: বিধিনিষেধের সিস্টেমটিকে একটি আদর্শ আকারে নিয়ে আসা যাক:

এটির দ্বৈত সমস্যাটির ফর্ম থাকবে:

দ্বৈত সমস্যার সমাধান একটি সাধারণ সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সঞ্চালিত হবে।

আসুন উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটিকে রূপান্তরিত করি যাতে ন্যূনতমকরণের সমস্যাটি সমাধান করা হয় এবং সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধানের জন্য সীমাবদ্ধতার সিস্টেমটিকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে লিখি।

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??মিনিট

ডুয়াল এলপি সমস্যা সমাধানের জন্য প্রাথমিক সিমপ্লেক্স টেবিল তৈরি করা যাক।

সিমপ্লেক্স পদ্ধতির দ্বিতীয় ধাপ

সুতরাং, সিমপ্লেক্স পদ্ধতির তৃতীয় ধাপে, নিম্নোক্ত ফলাফলগুলির সাথে ন্যূনতমকরণ সমস্যার একটি সর্বোত্তম সমাধান পাওয়া গেছে: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12। এর মান খুঁজে বের করার জন্য দ্বৈত সমস্যার উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন, আমরা মৌলিক এবং বিনামূল্যের ভেরিয়েবলের প্রাপ্ত মানগুলিকে সর্বাধিকীকরণ ফাংশনে প্রতিস্থাপন করি:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

যেহেতু প্রত্যক্ষ এবং দ্বৈত সমস্যার উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের মান মিলে যায়, তাই প্রত্যক্ষ সমস্যার সমাধান পাওয়া যায় এবং 12 এর সমান।

Fmin = Фmax = -12

7. ব্রাঞ্চ-এন্ড-বাউন্ড পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি পূর্ণসংখ্যা লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা

আসুন আমরা আসল সমস্যাটিকে এমনভাবে রূপান্তর করি যাতে প্রচলিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করার সময় পূর্ণসংখ্যার অবস্থা সন্তুষ্ট হয় না।

একটি পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং সমস্যার সমাধানের প্রাথমিক বহুভুজ।

সমাধানের রূপান্তরিত বহুভুজের জন্য আমরা নির্মাণ করি নতুন সিস্টেমসীমাবদ্ধতা

বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা সমতার আকারে সীমাবদ্ধতার পদ্ধতিটি লিখি।

সমাধানের ফলস্বরূপ, সমস্যার জন্য সর্বোত্তম পরিকল্পনা পাওয়া গেছে: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4। এই সমাধানটি সমস্যায় সেট করা পূর্ণসংখ্যা শর্ত পূরণ করে না। এর থেকে ক্ষেত্রফল 3 বাদ দিয়ে মূল সমাধান বহুভুজটিকে দুটি এলাকায় ভাগ করা যাক

পরিবর্তিত সমস্যা সমাধান বহুভুজ

সমাধান বহুভুজ এর ফলে এলাকার জন্য সীমাবদ্ধতা নতুন সিস্টেম তৈরি করা যাক. বাম এলাকা একটি চতুর্ভুজ (ট্র্যাপিজয়েড)। সমাধান বহুভুজের বাম অঞ্চলের জন্য সীমাবদ্ধতার সিস্টেমটি নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে।

বাম এলাকার জন্য সীমাবদ্ধতা ব্যবস্থা

ডান এলাকাটি বিন্দু C প্রতিনিধিত্ব করে।

সঠিক সিদ্ধান্তের অঞ্চলের জন্য বিধিনিষেধের সিস্টেমটি নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে।

নতুন সীমাবদ্ধতা সিস্টেম দুটি সহায়ক সমস্যার প্রতিনিধিত্ব করে যা একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে সমাধান করা প্রয়োজন। সমাধান বহুভুজের বাম অঞ্চলের জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা যাক।

সমাধানের ফলস্বরূপ, সমস্যার জন্য সর্বোত্তম পরিকল্পনা পাওয়া গেছে: x1 = 3, x2 = 3, F = -12। এই পরিকল্পনাটি শর্ত পূরণ করে যে সমস্যার ভেরিয়েবলগুলি পূর্ণসংখ্যা এবং মূল পূর্ণসংখ্যা রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার জন্য সর্বোত্তম রেফারেন্স পরিকল্পনা হিসাবে গ্রহণ করা যেতে পারে। সঠিক সমাধান অঞ্চলের জন্য সমাধান করার কোন মানে নেই। নীচের চিত্রটি একটি গাছের আকারে একটি পূর্ণসংখ্যা লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের অগ্রগতি দেখায়।

গোমোরি পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি পূর্ণসংখ্যা লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানে অগ্রগতি।

অনেক ব্যবহারিক অ্যাপ্লিকেশনে, একটি পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং সমস্যা যেখানে রৈখিক অসমতার একটি সিস্টেম এবং একটি রৈখিক ফর্ম দেওয়া হয় তা অত্যন্ত আগ্রহের বিষয়।

সিস্টেম (1) এর জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা সমাধান খুঁজে বের করতে হবে, যা উদ্দেশ্য ফাংশন F কে ছোট করে এবং সমস্ত সহগ হল পূর্ণসংখ্যা।

পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের একটি পদ্ধতি গোমোরি প্রস্তাব করেছিলেন। পদ্ধতিটির ধারণাটি হল ক্রমাগত রৈখিক প্রোগ্রামিং পদ্ধতি ব্যবহার করা, বিশেষ করে, সিমপ্লেক্স পদ্ধতি।

1) সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে, সমস্যার সমাধান (1), (2) নির্ধারিত হয়, যার জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা সমাধানের প্রয়োজনীয়তা সরানো হয়; যদি সমাধানটি পূর্ণসংখ্যায় পরিণত হয়, তাহলে পূর্ণসংখ্যা সমস্যার কাঙ্ক্ষিত সমাধানও পাওয়া যাবে;

2) অন্যথায়, যদি কিছু স্থানাঙ্ক একটি পূর্ণসংখ্যা না হয়, তাহলে সমস্যার সমাধানটি একটি পূর্ণসংখ্যা সমাধানের অস্তিত্বের সম্ভাবনার জন্য পরীক্ষা করা হয় (একটি গ্রহণযোগ্য পলিহেড্রনে পূর্ণসংখ্যা বিন্দুর উপস্থিতি):

যদি একটি ভগ্নাংশ মুক্ত শব্দের সাথে যেকোন সারিতে, অন্যান্য সমস্ত সহগ পূর্ণসংখ্যায় পরিণত হয়, তাহলে গ্রহণযোগ্য পলিহেড্রনে কোন পূর্ণসংখ্যা বা বিন্দু নেই এবং পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং সমস্যার কোন সমাধান নেই;

অন্যথায়, একটি অতিরিক্ত রৈখিক সীমাবদ্ধতা প্রবর্তন করা হয়, যা গ্রহণযোগ্য পলিহেড্রনের একটি অংশকে কেটে দেয় যা পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং সমস্যার সমাধান খুঁজে পাওয়ার জন্য অপ্রত্যাশিত;

3) একটি অতিরিক্ত রৈখিক সীমাবদ্ধতা তৈরি করতে, একটি ভগ্নাংশ মুক্ত শব্দ সহ lth সারি নির্বাচন করুন এবং অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা লিখুন

যেখানে এবং যথাক্রমে সহগ এবং বিনামূল্যের ভগ্নাংশ অংশ

সদস্য আসুন সীমাবদ্ধতার মধ্যে একটি সহায়ক ভেরিয়েবল প্রবর্তন করি (3):

আসুন আমরা সহগ নির্ধারণ করি এবং সীমাবদ্ধতার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করি (4):

যেখানে এবং যথাক্রমে নীচের থেকে নিকটতম পূর্ণসংখ্যা।

গোমোরি প্রমাণ করেছেন যে অনুরূপ পদক্ষেপের একটি সীমিত সংখ্যা একটি রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার দিকে পরিচালিত করে যার সমাধান হল পূর্ণসংখ্যা এবং তাই কাঙ্খিত।

সমাধান: আসুন রৈখিক সীমাবদ্ধতার সিস্টেম এবং লক্ষ্য ফাংশনটিকে ক্যানোনিকাল ফর্মে নিয়ে আসি:

পূর্ণসংখ্যা অবস্থাকে সাময়িকভাবে বাতিল করে রৈখিক সীমাবদ্ধতার সিস্টেমের সর্বোত্তম সমাধান নির্ধারণ করা যাক। আমরা এর জন্য সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করি। নীচে, সারণীতে ক্রমানুসারে, সমস্যার মূল সমাধান উপস্থাপন করা হয়েছে, এবং সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান পাওয়ার জন্য মূল টেবিলের রূপান্তরগুলি দেওয়া হয়েছে:

বালাজ পদ্ধতি ব্যবহার করে বুলিয়ান এলপি সমস্যা সমাধান করা।

বুলিয়ান ভেরিয়েবলের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যা রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার জন্য আপনার নিজস্ব সংস্করণ তৈরি করুন, নিম্নলিখিত নিয়মগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে: সমস্যাটি কমপক্ষে 5টি ভেরিয়েবল ব্যবহার করে, কমপক্ষে 4টি সীমাবদ্ধতা, সীমাবদ্ধতার সহগ এবং উদ্দেশ্য ফাংশন নির্বিচারে বেছে নেওয়া হয়, কিন্তু এই ধরনের একটি উপায় যে সীমাবদ্ধতার সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ। কাজটি হল Balazs অ্যালগরিদম ব্যবহার করে বুলিয়ান ভেরিয়েবলের সাথে LCLP সমাধান করা এবং সম্পূর্ণ অনুসন্ধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে গণনার জটিলতা হ্রাস করা।

বিধিনিষেধ কার্যকর করা

F মান

ফিল্টারিং সীমাবদ্ধতা:

গণনামূলক প্রচেষ্টা হ্রাস নির্ধারণ

সম্পূর্ণ অনুসন্ধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান হল 6*25=192 গণনাকৃত অভিব্যক্তি। Balazs পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান হল 3*6+(25-3)=47 গণনাকৃত রাশি। সম্পূর্ণ অনুসন্ধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে গণনার জটিলতার মোট হ্রাস হল:

উপসংহার

নতুন তথ্য প্রযুক্তি প্রয়োগকারী তথ্য সিস্টেম ডিজাইন করার প্রক্রিয়া ক্রমাগত উন্নত করা হচ্ছে। সিস্টেম ইঞ্জিনিয়ারদের ফোকাস ক্রমবর্ধমান জটিল সিস্টেমের উপর, এটি শারীরিক মডেল ব্যবহার করা কঠিন করে তোলে এবং গাণিতিক মডেল এবং সিস্টেমের মেশিন সিমুলেশন গুরুত্ব বৃদ্ধি করে। মেশিন সিমুলেশন জটিল সিস্টেম অধ্যয়ন এবং ডিজাইন করার জন্য একটি কার্যকর হাতিয়ার হয়ে উঠেছে। গাণিতিক মডেলগুলির প্রাসঙ্গিকতা তাদের নমনীয়তা, বাস্তব প্রক্রিয়াগুলির পর্যাপ্ততা এবং আধুনিক পিসিগুলির ভিত্তিতে বাস্তবায়নের কম খরচের কারণে ক্রমাগত বৃদ্ধি পাচ্ছে। ব্যবহারকারীকে আরও বেশি সুযোগ দেওয়া হয়, অর্থাৎ কম্পিউটার প্রযুক্তি ব্যবহার করে মডেলিং সিস্টেমে বিশেষজ্ঞ। স্বয়ংক্রিয় সিস্টেম ডিজাইন করার প্রাথমিক পর্যায়ে মডেলিংয়ের ব্যবহার বিশেষভাবে কার্যকর, যখন ভুল সিদ্ধান্তের খরচ সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

আধুনিক কম্পিউটিং সরঞ্জামগুলি সিস্টেমের অধ্যয়নের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত মডেলগুলির জটিলতাকে উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি করা সম্ভব করেছে; , অধ্যয়ন অধীন ঘটনা আরো পর্যাপ্ত মডেল ব্যবহার.

সাহিত্য:

1. Lyashchenko I.N. লিনিয়ার এবং ননলাইনার প্রোগ্রামিং / আই.এন. কারাগোডোভা, এন.জেড. - কে.: "হায়ার স্কুল", 1975, 372 পি।

2. স্পেশালিটি "কম্পিউটার সিস্টেম এবং নেটওয়ার্ক" এর পূর্ণ-সময়ের এবং পার্ট-টাইম ফর্মের ছাত্রদের জন্য একটি কোর্স প্রকল্প সম্পূর্ণ করার জন্য নির্দেশিকা: I.A Balakireva, A.V Skatkov - Sevastopol: SevNTU পাবলিশিং হাউস, 2003। - 15 পি।

3. শৃঙ্খলা অধ্যয়নের জন্য নির্দেশিকা "প্রযুক্ত গণিত", বিভাগ "বিশ্বব্যাপী অনুসন্ধানের পদ্ধতি এবং এক-মাত্রিক মিনিমাইজেশন" / Comp. A.V Skatkov, I.A. বালাকিরেভা, L.A. লিটভিনোভা - সেভজিটিউ পাবলিশিং হাউস, 2000। - 31 পি।

4. পূর্ণ-সময় এবং খণ্ডকালীন শিক্ষার জন্য বিশেষত্ব "কম্পিউটার সিস্টেম এবং নেটওয়ার্ক" বিভাগের শিক্ষার্থীদের জন্য "অ্যাপ্লাইড ম্যাথমেটিক্স" অধ্যয়নের নির্দেশিকা / দ্বারা সংকলিত: আই.এ : SevNTU এর পাবলিশিং হাউস, 2000। - 13 পি।

5. আকুলিচ আই.এল. উদাহরণ এবং সমস্যাগুলিতে গাণিতিক প্রোগ্রামিং:

6. পাঠ্যপুস্তক অর্থনীতির ছাত্রদের জন্য ভাতা। বিশেষজ্ঞ বিশ্ববিদ্যালয়।-এম.: উচ্চতর। স্কুল, 1986.- 319 পি।, অসুস্থ।

7. Andronov S.A. সর্বোত্তম নকশা পদ্ধতি: লেকচারের পাঠ্য / SPbSUAP। সেন্ট পিটার্সবার্গ, 2001। 169 পি।: অসুস্থ।

অনুরূপ নথি

সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম। একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার একটি গাণিতিক মডেল নির্মাণ। এক্সেলে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা। লাভ এবং সর্বোত্তম উত্পাদন পরিকল্পনা সন্ধান করা।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 03/21/2012


গ্রাফিক সমস্যা সমাধান। একটি গাণিতিক মডেল আঁকা। উদ্দেশ্য ফাংশনের সর্বোচ্চ মান নির্ধারণ করা। ক্যানোনিকাল লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার একটি কৃত্রিম ভিত্তি সহ সিমপ্লেক্স পদ্ধতি দ্বারা সমাধান। সমাধানের সর্বোত্তমতা পরীক্ষা করা হচ্ছে।

পরীক্ষা, 04/05/2016 যোগ করা হয়েছে


লিনিয়ার প্রোগ্রামিং এর তাত্ত্বিক ভিত্তি। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা, সমাধান পদ্ধতি। সর্বোত্তম সমাধান বিশ্লেষণ। একটি একক-সূচক লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার সমাধান। সমস্যার বিবৃতি এবং ডেটা এন্ট্রি। মডেল নির্মাণ এবং সমাধান পর্যায়.

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 12/09/2008


একটি গাণিতিক মডেল নির্মাণ। সিমপ্লেক্স টেবিল ব্যবহার করে সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সরাসরি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি নির্বাচন, ন্যায্যতা এবং বর্ণনা। দ্বৈত সমস্যার সংকলন এবং সমাধান। মডেলের সংবেদনশীলতা বিশ্লেষণ।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 10/31/2014


এন্টারপ্রাইজের জন্য সর্বাধিক মুনাফা অর্জনের জন্য একটি গাণিতিক মডেল নির্মাণ, সমস্যার গ্রাফিকাল সমাধান। SOLVER অ্যাড-অন ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করা। রিসোর্স রিজার্ভ পরিবর্তন বিশ্লেষণ. উদ্দেশ্য ফাংশনের সহগ পরিবর্তনের জন্য সীমা নির্ধারণ।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 12/17/2014


গাণিতিক প্রোগ্রামিং। রৈখিক প্রোগ্রামিং. লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের জন্য গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার অর্থনৈতিক প্রণয়ন। একটি গাণিতিক মডেল নির্মাণ।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 10/13/2008


গ্রাফিকাল পদ্ধতিতে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা, এটি এমএস এক্সেলে পরীক্ষা করা। একটি প্রোগ্রামে একটি সমস্যা সমাধানের অভ্যন্তরীণ কাঠামোর বিশ্লেষণ। উত্পাদন পরিকল্পনা অপ্টিমাইজেশান. সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান। মাল্টিচ্যানেল সারিবদ্ধ সিস্টেম।

পরীক্ষা, যোগ করা হয়েছে 05/02/2012


সিমপ্লেক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধান করা: সমস্যার বিবৃতি, একটি অর্থনৈতিক এবং গাণিতিক মডেল নির্মাণ। সম্ভাব্য পদ্ধতি ব্যবহার করে পরিবহন সমস্যা সমাধান করা: প্রাথমিক রেফারেন্স পরিকল্পনা তৈরি করা, এর সর্বোত্তম মান নির্ধারণ করা।

পরীক্ষা, যোগ করা হয়েছে 04/11/2012


ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যার বিবৃতি। স্থির পয়েন্ট এবং তাদের ধরন নির্ধারণ। লেভেল লাইনের নির্মাণ, উদ্দেশ্য ফাংশনের ত্রি-মাত্রিক গ্রাফ এবং সীমাবদ্ধতা। সমস্যার গ্রাফিক এবং বিশ্লেষণাত্মক সমাধান। ব্যবহারকারীর ম্যানুয়াল এবং অ্যালগরিদম ডায়াগ্রাম।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 12/17/2012


লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার সমাধান বিশ্লেষণ। সিমপ্লেক্স টেবিল ব্যবহার করে সিমপ্লেক্স পদ্ধতি। একটি কম্পিউটারে LP সমস্যার মডেলিং এবং সমাধান করা। সমস্যার সর্বোত্তম সমাধানের অর্থনৈতিক ব্যাখ্যা। পরিবহন সমস্যার গাণিতিক গঠন।