সমাধানএকটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে বাহিত।
গ্রুপ গড় খোঁজা:
| এন | পৃ 1 | পৃ 2 |
| 1 | 12 | 17 |
| 2 | 18 | 19 |
| 3 | 23 | 25 |
| 4 | 10 | 7 |
| 5 | 15 | 17 |
| x গড় | 15.6 | 17 |
আসুন p নির্দেশ করি - গুণনীয়কের স্তরের সংখ্যা (p=2)। প্রতিটি স্তরে মাত্রার সংখ্যা সমান এবং সমান q=5।
শেষ সারিতে প্রতিটি ফ্যাক্টর স্তরের জন্য গ্রুপ উপায় রয়েছে।
সামগ্রিক গড় গোষ্ঠী গড়গুলির গাণিতিক গড় হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:
(1)
সামগ্রিক গড় সাপেক্ষে ব্যর্থতার শতাংশের গ্রুপ গড়ের বিস্তার বিবেচনাধীন ফ্যাক্টরের স্তরের পরিবর্তন এবং এলোমেলো কারণ উভয়ের দ্বারা প্রভাবিত হয়।
এই ফ্যাক্টরের প্রভাবকে বিবেচনায় নেওয়ার জন্য, মোট নমুনা প্রকরণটিকে দুটি ভাগে ভাগ করা হয়েছে, যার প্রথমটিকে ফ্যাক্টর S 2 f বলা হয় এবং দ্বিতীয়টিকে বলা হয় অবশিষ্ট S 2 বাকি।
এই উপাদানগুলিকে বিবেচনায় নেওয়ার জন্য, আমরা প্রথমে গণনা করি সর্বমোট পরিমাণসাধারণ গড় থেকে বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির বিকল্প:
এবং সামগ্রিক গড় থেকে গ্রুপ গড়ের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির ফ্যাক্টর সমষ্টি, যা এই ফ্যাক্টরের প্রভাবকে চিহ্নিত করে:
একটি প্রদত্ত ফ্যাক্টরের জন্য মোট গোষ্ঠী গড় দিয়ে R অভিব্যক্তিতে প্রতিটি বিকল্প প্রতিস্থাপন করে শেষ রাশিটি পাওয়া যায়।
বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির অবশিষ্ট যোগফল পার্থক্য হিসাবে প্রাপ্ত হয়:
R বিশ্রাম = R মোট - R f
মোট নমুনা বৈচিত্র্য নির্ণয় করতে, মোট R কে pq পরিমাপের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা প্রয়োজন:
এবং নিরপেক্ষ মোট নমুনা ভিন্নতা পেতে, এই অভিব্যক্তিটিকে pq/(pq-1) দ্বারা গুণিত করতে হবে:
তদনুসারে, একটি নিরপেক্ষ ফ্যাক্টরের নমুনা বৈচিত্র্যের জন্য:
যেখানে p-1 হল নিরপেক্ষ ফ্যাক্টরের নমুনা প্রকরণের স্বাধীনতার ডিগ্রীর সংখ্যা।
বিবেচনাধীন প্যারামিটারে পরিবর্তনের উপর একটি ফ্যাক্টরের প্রভাব মূল্যায়ন করার জন্য, মানটি গণনা করা হয়:
যেহেতু দুটি নমুনা বৈচিত্র্যের অনুপাত S 2 f এবং S 2 বিশ্রামের অনুপাত ফিশার-স্নেডেকার আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে, তাই f obs-এর ফলিত মান বিতরণ ফাংশনের মানের সাথে তুলনা করা হয়
গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুতে f cr নির্বাচিত তাত্পর্য স্তরের সাথে সম্পর্কিত a.
যদি f obs >f cr, তাহলে ফ্যাক্টরটির একটি উল্লেখযোগ্য প্রভাব রয়েছে এবং এটি বিবেচনায় নেওয়া উচিত, অন্যথায় এটির একটি তুচ্ছ প্রভাব রয়েছে যা উপেক্ষা করা যেতে পারে।
Rob এবং Rf গণনা করতে নিম্নলিখিত সূত্রগুলিও ব্যবহার করা যেতে পারে:
(4)
(5)
আমরা সূত্র (1) ব্যবহার করে সাধারণ গড় খুঁজে পাই:
সূত্র (4) ব্যবহার করে Rtot গণনা করতে, আমরা 2টি বর্গক্ষেত্রের একটি টেবিল আঁকি: বিকল্প:
| এন | পৃ 2 1 | পৃ 2 2 |
| 1 | 144 | 289 |
| 2 | 324 | 361 |
| 3 | 529 | 625 |
| 4 | 100 | 49 |
| 5 | 225 | 289 |
| ∑ | 1322 | 1613 |
সামগ্রিক গড় সূত্র (1) ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
Rtot = 1322 + 1613 - 5 2 16.3 2 = 278.1
আমরা সূত্র (5) ব্যবহার করে R f খুঁজে পাই:
R f = 5(15.6 2 + 17 2) - 2 16.3 2 = 4.9
আমরা R বিশ্রাম পাই: R বিশ্রাম = R মোট - R f = 278.1 - 4.9 = 273.2
আমরা ফ্যাক্টর এবং অবশিষ্ট পার্থক্য নির্ধারণ করি:
গড় মান থাকলে আমার স্নাতকের, পৃথক নমুনা থেকে গণনা করা একই, তারপর ফ্যাক্টর এবং অবশিষ্ট বৈচিত্র্যের অনুমান নিরপেক্ষ অনুমান সাধারণ পার্থক্যএবং নগণ্যভাবে ভিন্ন।
তারপর ফিশার মানদণ্ড ব্যবহার করে এই বৈচিত্রগুলির অনুমানের তুলনা দেখাতে হবে যে ফ্যাক্টর এবং অবশিষ্ট প্রকরণের সমতা সম্পর্কে শূন্য অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করার কোন কারণ নেই।
ফ্যাক্টর বিচ্ছুরণ অনুমান অবশিষ্ট বিচ্ছুরণ অনুমানের চেয়ে কম, তাই আমরা অবিলম্বে নমুনা স্তর জুড়ে গাণিতিক প্রত্যাশার সমতা সম্পর্কে শূন্য অনুমানের বৈধতা নিশ্চিত করতে পারি।
অন্য কথায়, এই উদাহরণে, ফ্যাক্টর Ф র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উপর উল্লেখযোগ্য প্রভাব ফেলে না।
আসুন নাল হাইপোথিসিস H 0: x এর গড় মানের সমতা পরীক্ষা করি।
f obs খুঁজুন.
তাত্পর্য স্তরের জন্য α=0.05, স্বাধীনতা সংখ্যা 1 এবং 8 এর ডিগ্রী, আমরা Fisher-Snedecor বিতরণ টেবিল থেকে fcr খুঁজে পাই।
f cr (0.05; 1; 8) = 5.32
দরুন এফ পর্যবেক্ষন< f кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов отклоняем.
অন্য কথায়, শিক্ষার্থীদের মৌখিক এবং অমৌখিক পছন্দের বন্টন ভিন্ন।
ব্যায়াম. ফেসিং টাইলস উৎপাদনের জন্য প্ল্যান্টে চারটি লাইন রয়েছে। প্রতিটি লাইন থেকে, একটি শিফটের সময় 10টি টাইল এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয়েছিল এবং তাদের বেধ (মিমি) পরিমাপ করা হয়েছিল। নামমাত্র আকার থেকে বিচ্যুতি টেবিলে দেওয়া হয়। একটি = 0.05 এর একটি তাত্পর্য স্তরে এটি স্থাপন করা প্রয়োজন যে উত্পাদন লাইনে (ফ্যাক্টর A) উচ্চ-মানের টাইলগুলির উত্পাদন নির্ভরতা রয়েছে।
ব্যায়াম. a = 0.05 এর একটি তাৎপর্য স্তরে, আবরণের পরিষেবা জীবনের উপর পেইন্ট রঙের প্রভাব তদন্ত করুন।
উদাহরণ নং 1। 13টি পরীক্ষা করা হয়েছিল, যার মধ্যে 4টি প্রথম ফ্যাক্টর স্তরে, 4টি দ্বিতীয়, 3টি তৃতীয় এবং 2টি চতুর্থ স্তরে ছিল। 0.05 এর একটি তাত্পর্য স্তরে বৈকল্পিক পদ্ধতির বিশ্লেষণ ব্যবহার করে, গোষ্ঠীর উপায়গুলির সমতা সম্পর্কে শূন্য অনুমান পরীক্ষা করুন। নমুনাগুলি সমান বৈচিত্র সহ সাধারণ জনসংখ্যা থেকে আঁকা বলে ধরে নেওয়া হয়। পরীক্ষার ফলাফল টেবিলে দেখানো হয়।
সমাধান:
গ্রুপ গড় খোঁজা:
| এন | পৃ 1 | পৃ 2 | পৃ 3 | পৃ 4 |
| 1 | 1.38 | 1.41 | 1.32 | 1.31 |
| 2 | 1.38 | 1.42 | 1.33 | 1.33 |
| 3 | 1.42 | 1.44 | 1.34 | - |
| 4 | 1.42 | 1.45 | - | - |
| ∑ | 5.6 | 5.72 | 3.99 | 2.64 |
| x গড় | 1.4 | 1.43 | 1.33 | 1.32 |
আসুন p নির্দেশ করি - ফ্যাক্টরের স্তরের সংখ্যা (p=4)। প্রতিটি স্তরে মাত্রার সংখ্যা হল: 4,4,3,2
শেষ সারিতে প্রতিটি ফ্যাক্টর স্তরের জন্য গ্রুপ উপায় রয়েছে।
সামগ্রিক গড় সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
সূত্র (4) ব্যবহার করে স্টটাল গণনা করতে, আমরা 2টি বর্গক্ষেত্রের একটি টেবিল আঁকি: বিকল্প:
| এন | পৃ 2 1 | পৃ 2 2 | পৃ 2 3 | পৃ 2 4 |
| 1 | 1.9 | 1.99 | 1.74 | 1.72 |
| 2 | 1.9 | 2.02 | 1.77 | 1.77 |
| 3 | 2.02 | 2.07 | 1.8 | - |
| 4 | 2.02 | 2.1 | - | - |
| ∑ | 7.84 | 8.18 | 5.31 | 3.49 |
সূত্র ব্যবহার করে বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির মোট যোগফল পাওয়া যায়:
আমরা সূত্র ব্যবহার করে S f খুঁজে পাই:
আমরা S বিশ্রাম পাই: S rest = S মোট - S f = 0.0293 - 0.0263 = 0.003
আমরা ফ্যাক্টর বিচ্ছুরণ নির্ধারণ করি:
এবং অবশিষ্ট পার্থক্য:
যদি পৃথক নমুনার জন্য গণনা করা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মান একই হয়, তাহলে ফ্যাক্টর এবং অবশিষ্ট প্রকরণের অনুমানগুলি সাধারণ বৈচিত্রের নিরপেক্ষ অনুমান এবং উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক হয় না।
তারপর ফিশার মানদণ্ড ব্যবহার করে এই বৈচিত্রগুলির অনুমানের তুলনা দেখাতে হবে যে ফ্যাক্টর এবং অবশিষ্ট প্রকরণের সমতা সম্পর্কে শূন্য অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করার কোন কারণ নেই।
ফ্যাক্টর বিচ্ছুরণের অনুমান অবশিষ্ট বিচ্ছুরণের অনুমানের চেয়ে বেশি, তাই আমরা অবিলম্বে জোর দিয়ে বলতে পারি যে নমুনা স্তর জুড়ে গাণিতিক প্রত্যাশার সমতা সম্পর্কে শূন্য অনুমান সত্য নয়।
অন্য কথায়, এই উদাহরণে, ফ্যাক্টর Ф র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উপর উল্লেখযোগ্য প্রভাব ফেলে।
আসুন নাল হাইপোথিসিস H 0: x এর গড় মানের সমতা পরীক্ষা করি।
f obs খুঁজুন.
তাত্পর্য স্তরের জন্য α=0.05, স্বাধীনতা সংখ্যা 3 এবং 12 এর ডিগ্রী, আমরা ফিশার-স্নেডেকর বিতরণ টেবিল থেকে fcr খুঁজে পাই।
f cr (0.05; 3; 12) = 3.49
যে কারণে f পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে > f cr, আমরা পরীক্ষার ফলাফলের উপর ফ্যাক্টরের উল্লেখযোগ্য প্রভাব সম্পর্কে শূন্য অনুমানকে গ্রহণ করি (আমরা গোষ্ঠীর অর্থের সমতা সম্পর্কে শূন্য অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করি)। অন্য কথায়, গোষ্ঠীর অর্থ সামগ্রিকভাবে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা।
উদাহরণ নং 2। স্কুলে 5টি ষষ্ঠ শ্রেণী রয়েছে। ক্লাসে পরিস্থিতিগত উদ্বেগের গড় স্তর একই কিনা তা নির্ধারণ করার দায়িত্ব মনোবিজ্ঞানীকে দেওয়া হয়। এই উদ্দেশ্যে তারা টেবিলে দেওয়া হয়েছিল। তাত্পর্য স্তর α=0.05 পরীক্ষা করুন, অনুমান যে ক্লাসে গড় পরিস্থিতিগত উদ্বেগের পার্থক্য নেই।
উদাহরণ নং 3। X এর মান অধ্যয়ন করার জন্য, ফ্যাক্টর F এর পাঁচটি স্তরের প্রতিটিতে 4টি পরীক্ষা করা হয়েছিল। পরীক্ষার ফলাফলগুলি টেবিলে দেখানো হয়েছে। X এর মানের উপর ফ্যাক্টর F এর প্রভাব তাৎপর্যপূর্ণ কিনা তা খুঁজে বের করুন। α = 0.05 নিন। নমুনাগুলি সমান বৈচিত্র সহ সাধারণ জনসংখ্যা থেকে আঁকা বলে ধরে নেওয়া হয়।
উদাহরণ নং 4। আসুন আমরা অনুমান করি যে প্রতিটি 10 জন শিক্ষার্থীর তিনটি দল শিক্ষাগত পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করেছিল। গ্রুপে প্রয়োগ করা হয়েছে বিভিন্ন পদ্ধতিপ্রশিক্ষণ: প্রথমটিতে - ঐতিহ্যগত (F 1), দ্বিতীয়টিতে - কম্পিউটার প্রযুক্তির উপর ভিত্তি করে (F 2), তৃতীয়টিতে - একটি পদ্ধতি যা ব্যাপকভাবে কাজগুলি ব্যবহার করে স্বাধীন কাজ(F 3)। একটি দশ-পয়েন্ট সিস্টেম ব্যবহার করে জ্ঞান মূল্যায়ন করা হয়েছিল।
α = 0.05 কে তাৎপর্যের স্তর হিসাবে গ্রহণ করে, প্রাপ্ত পরীক্ষার ডেটা প্রক্রিয়া করা এবং শিক্ষণ পদ্ধতির প্রভাব তাৎপর্যপূর্ণ কিনা সে সম্পর্কে একটি উপসংহার করা প্রয়োজন।
পরীক্ষার ফলাফল টেবিলে দেওয়া হয়েছে, F j হল ফ্যাক্টর x ij-এর স্তর - F j পদ্ধতি ব্যবহার করে i-th শিক্ষার্থীর মূল্যায়ন।
|
ফ্যাক্টর স্তর |
|||||||||||
উদাহরণ নং 5। ফসলের প্রতিযোগিতামূলক বৈচিত্র্য পরীক্ষার ফলাফল দেখানো হয়েছে (হেক্টর প্রতি সেন্টিমিটারে ফলন)। প্রতিটি জাত চারটি প্লটে পরীক্ষা করা হয়েছিল। বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণ ব্যবহার করে, ফলনের উপর বিভিন্নতার প্রভাব অধ্যয়ন করুন। ফ্যাক্টরের প্রভাবের তাত্পর্য (মোট পরিবর্তনের মধ্যে আন্তঃগোষ্ঠীর পরিবর্তনের ভাগ) এবং 0.05 এর তাত্পর্য স্তরে পরীক্ষামূলক ফলাফলের তাত্পর্য স্থাপন করুন।
বিভিন্ন পরীক্ষার প্লটে উত্পাদনশীলতা
| বৈচিত্র্য | প্রতিলিপি দ্বারা উৎপাদনশীলতা গ. হা থেকে | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 2 3 |
42,4 52,5 52,3 |
37,4 50,1 53,0 |
40,7 53,8 51,4 |
38,2 50,7 53,6 |
এই নোটে পরিসংখ্যানের ব্যবহার একটি ক্রস-কাটিং উদাহরণ দিয়ে চিত্রিত করা হবে। ধরা যাক আপনি পারফেক্ট প্যারাসুটের প্রোডাকশন ম্যানেজার। প্যারাসুটগুলি চারটি ভিন্ন সরবরাহকারী দ্বারা সরবরাহ করা সিন্থেটিক ফাইবার থেকে তৈরি করা হয়। প্যারাসুটের অন্যতম প্রধান বৈশিষ্ট্য হল এর শক্তি। আপনাকে নিশ্চিত করতে হবে যে সরবরাহ করা সমস্ত ফাইবার একই শক্তির। এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, সিন্থেটিক ফাইবার থেকে বোনা প্যারাসুটের শক্তি পরিমাপের জন্য একটি পরীক্ষামূলক নকশা তৈরি করা উচিত। বিভিন্ন সরবরাহকারী. এই পরীক্ষা থেকে প্রাপ্ত তথ্য নির্ধারণ করবে কোন সরবরাহকারী সবচেয়ে টেকসই প্যারাসুট সরবরাহ করে।
অনেক অ্যাপ্লিকেশানে এমন পরীক্ষা-নিরীক্ষা জড়িত যা একাধিক গোষ্ঠী বা একক ফ্যাক্টরের স্তর বিবেচনা করে। কিছু কারণ, যেমন সিরামিক ফায়ারিং তাপমাত্রার একাধিক সংখ্যাগত স্তর থাকতে পারে (যেমন 300°, 350°, 400° এবং 450°)। অন্যান্য কারণ, যেমন একটি সুপারমার্কেটে আইটেমগুলির অবস্থানের শ্রেণীগত স্তর থাকতে পারে (যেমন, প্রথম সরবরাহকারী, দ্বিতীয় সরবরাহকারী, তৃতীয় সরবরাহকারী, চতুর্থ সরবরাহকারী)। একক-ফ্যাক্টর পরীক্ষা যেখানে পরীক্ষামূলক ইউনিটগুলি এলোমেলোভাবে গ্রুপ বা ফ্যাক্টর স্তরে বরাদ্দ করা হয় তাকে সম্পূর্ণ এলোমেলো বলা হয়।
ব্যবহারচ- বেশ কয়েকটি গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে পার্থক্য মূল্যায়নের মানদণ্ড
যদি গোষ্ঠীতে একটি গুণনীয়কের সংখ্যাগত পরিমাপ ক্রমাগত হয় এবং কয়েকটি অতিরিক্ত শর্তসমূহ, বিভিন্ন গোষ্ঠীর গাণিতিক প্রত্যাশা তুলনা করতে, এটি ব্যবহার করা হয় বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণ(আনোভা - একটিবিশ্লেষণ oচ ভা riance)। সম্পূর্ণরূপে এলোমেলো নকশা ব্যবহার করে বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণকে একমুখী ANOVA পদ্ধতি বলা হয়। কিছু উপায়ে, বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণ শব্দটি একটি ভুল নাম কারণ এটি ভিন্নতার মধ্যে না হয়ে গোষ্ঠীর প্রত্যাশিত মানগুলির মধ্যে পার্থক্যকে তুলনা করে। যাইহোক, গাণিতিক প্রত্যাশার তুলনা ডাটা বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণের ভিত্তিতে সঠিকভাবে করা হয়। ANOVA পদ্ধতিতে, পরিমাপের ফলাফলের মোট বৈচিত্র্যকে গ্রুপের মধ্যে এবং গ্রুপের মধ্যে ভাগ করা হয় (চিত্র 1)। গ্রুপের মধ্যে প্রকরণ পরীক্ষামূলক ত্রুটি দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়, এবং মধ্য-গোষ্ঠীর প্রকরণ পরীক্ষামূলক অবস্থার প্রভাব দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়। প্রতীক সঙ্গেগোষ্ঠীর সংখ্যা নির্দেশ করে।
ভাত। 1. একটি সম্পূর্ণরূপে র্যান্ডমাইজড পরীক্ষায় বিভাজন পরিবর্তন
নোটটি ডাউনলোড করুন বা ফরম্যাটে, উদাহরণ ফরম্যাটে
এর ভান করা যাক সঙ্গেগোষ্ঠীগুলি স্বাধীন জনসংখ্যা থেকে বের করা হয় যাদের একটি স্বাভাবিক বন্টন এবং সমান বৈচিত্র রয়েছে। শূন্য অনুমান যে গাণিতিক প্রত্যাশাজনসংখ্যা একই: H 0: μ 1 = μ 2 = ... = μs. বিকল্প অনুমান বলে যে সমস্ত গাণিতিক প্রত্যাশা একই নয়: জ ঘ: সব μj একই নয় j= 1, 2, …, s)।
চিত্রে। চিত্র 2 পাঁচটি তুলনামূলক গোষ্ঠীর গাণিতিক প্রত্যাশা সম্পর্কে সত্যিকারের শূন্য হাইপোথিসিস উপস্থাপন করে, যদি জনসংখ্যার একটি স্বাভাবিক বন্টন এবং একই বৈচিত্র্য থাকে। পাঁচজন সাধারণ জনগোষ্ঠীর সাথে যুক্ত বিভিন্ন স্তরেকারণগুলি অভিন্ন। ফলস্বরূপ, তারা একই গাণিতিক প্রত্যাশা, বৈচিত্র এবং আকার ধারণ করে একে অপরের উপর চাপিয়ে দেওয়া হয়।
ভাত। 2. পাঁচটি সাধারণ জনসংখ্যার একই গাণিতিক প্রত্যাশা রয়েছে: μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5
অন্যদিকে, ধরুন যে প্রকৃতপক্ষে নাল হাইপোথিসিসটি মিথ্যা, চতুর্থ স্তরের সর্বোচ্চ প্রত্যাশিত মান রয়েছে, প্রথম স্তরের কিছুটা কম প্রত্যাশিত মান রয়েছে এবং অবশিষ্ট স্তরগুলির একই এবং এমনকি কম প্রত্যাশিত মান রয়েছে ( চিত্র 3)। উল্লেখ্য, প্রত্যাশিত মান বাদ দিয়ে, পাঁচটি জনসংখ্যাই অভিন্ন (অর্থাৎ, তাদের একই পরিবর্তনশীলতা এবং আকৃতি রয়েছে)।
ভাত। 3. পরীক্ষামূলক অবস্থার প্রভাব পরিলক্ষিত হয়: μ 4 > μ 1 > μ 2 = μ 3 = μ 5
বেশ কয়েকটি সাধারণ জনসংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশার সমতা সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করার সময়, মোট প্রকরণ দুটি ভাগে বিভক্ত: আন্তঃগোষ্ঠীর প্রকরণ, গোষ্ঠীর মধ্যে পার্থক্যের কারণে, এবং একই গোষ্ঠীর উপাদানগুলির মধ্যে পার্থক্যের কারণে আন্তঃগ্রুপ প্রকরণ। মোট প্রকরণটি স্কোয়ারের মোট যোগফল দ্বারা প্রকাশ করা হয় (SST – মোট বর্গক্ষেত্রের যোগফল)। যেহেতু নাল হাইপোথিসিস সব গাণিতিক প্রত্যাশা সঙ্গেগোষ্ঠীগুলি একে অপরের সমান, মোট প্রকরণ পৃথক পর্যবেক্ষণ এবং সামগ্রিক গড় (গড়ের গড়), সমস্ত নমুনার জন্য গণনা করা মধ্যে বর্গ পার্থক্যের সমষ্টির সমান। সম্পূর্ণ ভিন্নতা:
কোথায় 
- সাধারণ গড়, X ij - i-এ পর্যবেক্ষণ j- গোষ্ঠী বা স্তর, n j- এর মধ্যে পর্যবেক্ষণের সংখ্যা jম গ্রুপ, n - মোটসমস্ত গ্রুপে পর্যবেক্ষণ (যেমন n = n 1
+ n 2 + … + n গ), সঙ্গে- অধ্যয়ন করা গোষ্ঠী বা স্তরের সংখ্যা।
বিটুইন-গ্রুপ প্রকরণ, সাধারণত বর্গের মধ্য-গোষ্ঠীর যোগফল বলা হয় (SSA - গোষ্ঠীর মধ্যে বর্গক্ষেত্রের যোগফল), প্রতিটি গোষ্ঠীর নমুনা গড়ের মধ্যে পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান jএবং সামগ্রিক গড় , সংশ্লিষ্ট গোষ্ঠীর আয়তন দ্বারা গুণিত n j:
কোথায় সঙ্গে- অধ্যয়ন করা গ্রুপ বা স্তরের সংখ্যা, n j- এর মধ্যে পর্যবেক্ষণের সংখ্যা jম গ্রুপ, j- গড় মূল্য jম গ্রুপ, - সামগ্রিক গড়।
দলের মধ্যে বৈচিত্র, যাকে সাধারণত বর্গক্ষেত্রের অন্তর্গত সমষ্টি বলা হয় (SSW - গোষ্ঠীর মধ্যে বর্গক্ষেত্রের যোগফল), প্রতিটি গ্রুপের উপাদান এবং এই গোষ্ঠীর নমুনা গড়ের মধ্যে পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান j:
কোথায় এক্সij - iতম উপাদান jম গ্রুপ, j- গড় মূল্য jম গ্রুপ
যেহেতু তাদের তুলনা করা হয় সঙ্গেগুণনীয়ক স্তর, বর্গের আন্তঃগ্রুপ যোগফল আছে s – 1স্বাধীনতার মাত্রা. প্রতিটি সঙ্গেস্তর আছে n j – 1 স্বাধীনতার ডিগ্রী, তাই বর্গক্ষেত্রের অন্তঃগোষ্ঠী যোগফল আছে n- সঙ্গেস্বাধীনতা ডিগ্রী, এবং
উপরন্তু, বর্গ মোট যোগফল আছে n – 1 স্বাধীনতা ডিগ্রী, প্রতিটি পর্যবেক্ষণ থেকে এক্সijসর্বোপরি গণনা করা সামগ্রিক গড় সঙ্গে তুলনা করা হয় nপর্যবেক্ষণ যদি এই রাশিগুলির প্রতিটিকে স্বাধীনতার ডিগ্রীগুলির অনুরূপ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয় তবে তিন ধরণের বিচ্ছুরণ দেখা দেয়: আন্তঃগোষ্ঠী(এর মধ্যে বর্গক্ষেত্র - MSA), অন্তর্গোষ্ঠী(মানে বর্গক্ষেত্রের মধ্যে - MSW) এবং সম্পূর্ণ(মান মোট বর্গক্ষেত্র - MST):
বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণের মূল উদ্দেশ্য গাণিতিক প্রত্যাশার তুলনা করা সত্ত্বেও সঙ্গেপরীক্ষামূলক অবস্থার প্রভাব সনাক্ত করার জন্য গ্রুপ, এর নামটি এই কারণে যে মূল হাতিয়ারটি বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণ বিভিন্ন ধরনের. যদি নাল হাইপোথিসিস সত্য হয়, এবং গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে সঙ্গেগোষ্ঠীগুলির মধ্যে কোন উল্লেখযোগ্য পার্থক্য নেই, তিনটি বৈচিত্র্য - MSA, MSW এবং MST - প্রকরণ অনুমান σ 2বিশ্লেষণ করা তথ্যের অন্তর্নিহিত। এইভাবে, নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করতে H 0: μ 1 = μ 2 = ... = μsএবং বিকল্প অনুমান জ ঘ: সব μj একই নয় j = 1, 2, …, সঙ্গে), পরিসংখ্যান গণনা করা প্রয়োজন চ-মাপদণ্ড, যা দুটি ভিন্নতার অনুপাত, MSA এবং MSW। পরীক্ষা চ- বৈচিত্র্যের একমুখী বিশ্লেষণে পরিসংখ্যান
পরিসংখ্যান চ- মানদণ্ড সাপেক্ষে চ-এর সাথে বিতরণ s – 1সংখ্যায় স্বাধীনতার ডিগ্রী M.S.A.এবং n – sহর মধ্যে স্বাধীনতা ডিগ্রী M.S.W.. একটি প্রদত্ত তাত্পর্য স্তরের জন্য α, গণনা করা হলে শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যান করা হয় চ চউ, সহজাত চ-এর সাথে বিতরণ s – 1 n – sহর মধ্যে স্বাধীনতা ডিগ্রী. এইভাবে, চিত্রে দেখানো হয়েছে। 4, সিদ্ধান্তমূলক নিয়মনিম্নরূপ প্রণয়ন: শূন্য অনুমান H 0প্রত্যাখ্যাত হলে F> Fউ; অন্যথায় এটি প্রত্যাখ্যান করা হয় না।
ভাত। 4. একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার সময় বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণের সমালোচনামূলক ক্ষেত্র H 0
যদি শূন্য অনুমান H 0সত্য, গণনা করা হয় চ-পরিসংখ্যান 1 এর কাছাকাছি, যেহেতু এর লব এবং হর একই পরিমাণের অনুমান - বিচ্ছুরণ σ 2 বিশ্লেষণ করা তথ্যের অন্তর্নিহিত। যদি শূন্য অনুমান H 0মিথ্যা (এবং বিভিন্ন গোষ্ঠীর গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে একটি উল্লেখযোগ্য পার্থক্য রয়েছে), গণনা করা হয়েছে চ-পরিসংখ্যান একের চেয়ে অনেক বড় হবে কারণ এর অংক, MSA, অনুমান, ডেটার স্বাভাবিক পরিবর্তনশীলতা ছাড়াও, পরীক্ষামূলক অবস্থার প্রভাব বা গোষ্ঠীর মধ্যে পার্থক্য, যখন হর MSW শুধুমাত্র ডেটার প্রাকৃতিক পরিবর্তনশীলতা অনুমান করে। . এইভাবে, ANOVA পদ্ধতি হল চ-মাপদণ্ড যেখানে, একটি প্রদত্ত তাত্পর্য স্তরে α, গণনা করা হলে শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যান করা হয় চ-পরিসংখ্যান উপরের সমালোচনামূলক মানের চেয়ে বেশি চউ, সহজাত চ-এর সাথে বিতরণ s – 1সংখ্যার স্বাধীনতার ডিগ্রী এবং n – sহর-এ স্বাধীনতার ডিগ্রী, যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। 4.
বৈচিত্র্যের একমুখী বিশ্লেষণ ব্যাখ্যা করতে, নোটের শুরুতে বর্ণিত দৃশ্যে ফিরে আসা যাক। পরীক্ষার উদ্দেশ্য হল বিভিন্ন সরবরাহকারীর কাছ থেকে প্রাপ্ত সিন্থেটিক ফাইবার থেকে বোনা প্যারাশুটগুলির শক্তি একই আছে কিনা তা নির্ধারণ করা। প্রতিটি দলে পাঁচটি করে প্যারাসুট রয়েছে। গোষ্ঠীগুলি দ্বারা বিভক্ত to suppliers - সরবরাহকারী 1, সরবরাহকারী 2, সরবরাহকারী 3 এবং সরবরাহকারী 4। প্যারাসুটের শক্তি একটি বিশেষ যন্ত্র ব্যবহার করে পরিমাপ করা হয় যা ফ্যাব্রিকটিকে উভয় পাশে ছিঁড়ে পরীক্ষা করে। একটি প্যারাসুট ভাঙ্গার জন্য প্রয়োজনীয় বল একটি বিশেষ স্কেলে পরিমাপ করা হয়। ব্রেকিং ফোর্স যত বেশি, প্যারাসুট তত শক্তিশালী। এক্সেল আপনাকে বিশ্লেষণ করতে দেয় চ- এক ক্লিকে পরিসংখ্যান। মেনু মাধ্যমে যান ডেটা → তথ্য বিশ্লেষণ, এবং লাইন নির্বাচন করুন একমুখী আনোভা, খোলা উইন্ডোটি পূরণ করুন (চিত্র 5)। পরীক্ষামূলক ফলাফল (ব্রেকিং শক্তি), কিছু বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান এবং বৈচিত্র্যের একমুখী বিশ্লেষণের ফলাফল চিত্রে উপস্থাপন করা হয়েছে। 6.
ভাত। 5. জানালা ভ্যারিয়েন্স অ্যানালাইসিস প্যাকেজের ওয়ান-ওয়ে অ্যানালাইসিসএক্সেল
ভাত। 6. বিভিন্ন সরবরাহকারীর কাছ থেকে প্রাপ্ত সিন্থেটিক ফাইবার থেকে বোনা প্যারাসুটের শক্তি সূচক, বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান এবং ভিন্নতার একমুখী বিশ্লেষণের ফলাফল
চিত্র 6 এর বিশ্লেষণ দেখায় যে নমুনার উপায়গুলির মধ্যে কিছু পার্থক্য রয়েছে। প্রথম সরবরাহকারী থেকে প্রাপ্ত ফাইবারের গড় শক্তি হল 19.52, দ্বিতীয় থেকে - 24.26, তৃতীয় থেকে - 22.84 এবং চতুর্থ থেকে - 21.16। এই পার্থক্য কি পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ? ফাটল শক্তির বণ্টন স্ক্যাটার প্লটে প্রদর্শিত হয় (চিত্র 7)। এটা স্পষ্টভাবে উভয় দলের মধ্যে এবং মধ্যে পার্থক্য দেখায়. প্রতিটি গোষ্ঠী আকারে বড় হলে, একটি কান্ড-এবং-পাতার চিত্র, বক্স প্লট, বা বেল প্লট তাদের বিশ্লেষণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
ভাত। 7. চারটি সরবরাহকারীর কাছ থেকে প্রাপ্ত সিন্থেটিক ফাইবার থেকে বোনা প্যারাসুটের শক্তি বিচ্ছুরণের চিত্র।
নাল হাইপোথিসিস বলে যে গড় শক্তি স্কোরের মধ্যে কোন উল্লেখযোগ্য পার্থক্য নেই: H 0: μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4. একটি বিকল্প অনুমান হল যে কমপক্ষে একজন সরবরাহকারী রয়েছে যার গড় ফাইবার শক্তি অন্যদের থেকে আলাদা: জ ঘ: সব μj একই নয় ( j = 1, 2, …, সঙ্গে).
সামগ্রিক গড় (চিত্র 6 দেখুন) = গড়(D12:D15) = 21.945; নির্ণয় করতে, আপনি সমস্ত 20টি আসল সংখ্যা গড় করতে পারেন: = গড়(A3:D7)। বৈচিত্র্যের মান গণনা করা হয় বিশ্লেষণ প্যাকেজএবং প্লেটে প্রতিফলিত হয় বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণ(চিত্র 6 দেখুন): SSA = 63.286, SSW = 97.504, SST = 160.790 (কলাম দেখুন এসএসটেবিল বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণচিত্র 6)। স্বাধীনতার ডিগ্রীর উপযুক্ত সংখ্যা দ্বারা বর্গক্ষেত্রের এই যোগফলগুলিকে ভাগ করে গড় গণনা করা হয়। কারন সঙ্গে= 4, ক n= 20, আমরা স্বাধীনতার ডিগ্রির নিম্নলিখিত মানগুলি পাই; এসএসএর জন্য: s – 1= 3; SSW এর জন্য: n–c= 16; SST এর জন্য: n – 1= 19 (কলাম দেখুন df) এভাবে: MSA = SSA / ( s - 1)= 21.095; MSW = SSW / ( n–c) = 6.094; MST = SST / ( n – 1) = 8.463 (কলাম দেখুন মাইক্রোসফট). চ-পরিসংখ্যান = MSA / MSW = 3.462 (কলাম দেখুন চ).
আপার সমালোচনামূলক মান চউ, বৈশিষ্ট্য চ-বন্টন, সূত্র দ্বারা নির্ধারিত =F.OBR(0.95;3;16) = 3.239। ফাংশনের পরামিতি =F.OBR(): α = 0.05, লবের স্বাধীনতার তিনটি ডিগ্রী আছে, এবং হরটির 16 আছে। এইভাবে, গণনা করা হয়েছে চ-3.462 এর সমান পরিসংখ্যান উপরের সমালোচনামূলক মানকে ছাড়িয়ে গেছে চউ= 3.239, শূন্য হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা হয়েছে (চিত্র 8)।
ভাত। 8. 0.05 এর তাৎপর্যপূর্ণ স্তরে বৈচিত্র বিশ্লেষণের সমালোচনামূলক অঞ্চল যদি লবের স্বাধীনতার তিনটি ডিগ্রি থাকে এবং হর -16 হয়
আর-মান, যেমন শূন্য অনুমান সত্য হলে সম্ভাব্যতা চ-পরিসংখ্যান 3.46 এর কম নয়, 0.041 বা 4.1% এর সমান (কলাম দেখুন p-মানটেবিল বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণচিত্র 6)। যেহেতু এই মানটি তাৎপর্য স্তর α = 5% অতিক্রম করে না, তাই শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যান করা হয়। তাছাড়া, আর-মান নির্দেশ করে যে সাধারণ জনসংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে এই ধরনের বা তার চেয়ে বেশি পার্থক্য সনাক্ত করার সম্ভাবনা, যদি বাস্তবে তারা একই থাকে তবে 4.1% এর সমান।
তাই। চারটি নমুনা অর্থের মধ্যে পার্থক্য রয়েছে। শূন্য অনুমান ছিল যে চার জনসংখ্যার সমস্ত গাণিতিক প্রত্যাশা সমান। এই অবস্থার অধীনে, সমস্ত প্যারাসুটের শক্তির মোট পরিবর্তনশীলতার একটি পরিমাপ (অর্থাৎ মোট SST বৈচিত্র) প্রতিটি পর্যবেক্ষণের মধ্যে বর্গীয় পার্থক্যগুলি যোগ করে গণনা করা হয় X ijএবং সামগ্রিক গড় . মোট বৈচিত্র তখন দুটি উপাদানে বিভক্ত করা হয়েছিল (চিত্র 1 দেখুন)। প্রথম উপাদানটি ছিল এসএসএ-তে গ্রুপের মধ্যে পার্থক্য এবং দ্বিতীয়টি ছিল SSW-তে গ্রুপের মধ্যে পার্থক্য।
তথ্যের পরিবর্তনশীলতাকে কী ব্যাখ্যা করে? অন্য কথায়, কেন সব পর্যবেক্ষণ একই নয়? একটি কারণ হল বিভিন্ন কোম্পানি বিভিন্ন শক্তির ফাইবার সরবরাহ করে। এটি আংশিকভাবে ব্যাখ্যা করে যে কেন গোষ্ঠীগুলির বিভিন্ন গাণিতিক প্রত্যাশা রয়েছে: পরীক্ষামূলক অবস্থার প্রভাব যত বেশি শক্তিশালী, গোষ্ঠীগুলির গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে পার্থক্য তত বেশি। ডেটা পরিবর্তনশীলতার আরেকটি কারণ হল যে কোনো প্রক্রিয়ার স্বাভাবিক পরিবর্তনশীলতা, ইন এক্ষেত্রে- প্যারাসুট উত্পাদন। এমনকি যদি সমস্ত ফাইবার একই সরবরাহকারীর কাছ থেকে কেনা হয়, তবে তাদের শক্তি একই হবে না, অন্যান্য সমস্ত জিনিস সমান হবে। যেহেতু এই প্রভাব প্রতিটি গ্রুপের মধ্যে ঘটে তাই একে গ্রুপের মধ্যে প্রকরণ বলা হয়।
নমুনা মাধ্যমের মধ্যে পার্থক্যকে বলা হয় আন্তঃগ্রুপ প্রকরণ SSA। গ্রুপের অভ্যন্তরীণ বৈচিত্রের অংশ, যেমনটি ইতিমধ্যে নির্দেশিত হয়েছে, ডেটার অধিভুক্তি দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে বিভিন্ন গ্রুপ. যাইহোক, এমনকি যদি গোষ্ঠীগুলি ঠিক একই রকম হয় (অর্থাৎ, শূন্য অনুমানটি সত্য ছিল), গোষ্ঠীর মধ্যে পার্থক্য এখনও বিদ্যমান থাকবে। এর কারণ প্যারাসুট উৎপাদন প্রক্রিয়ার স্বাভাবিক পরিবর্তনশীলতা। কারণ নমুনা ভিন্ন, তাদের নমুনা মানে একে অপরের থেকে ভিন্ন। অতএব, যদি শূন্য অনুমান সত্য হয়, উভয়ের মধ্যে- এবং গোষ্ঠীর মধ্যে পরিবর্তনশীলতা জনসংখ্যার পরিবর্তনশীলতার একটি অনুমান উপস্থাপন করে। যদি নাল হাইপোথিসিস মিথ্যা হয়, তাহলে গ্রুপের মধ্যে হাইপোথিসিস বেশি হবে। এটা এই সত্য যে underlies চ- বিভিন্ন গোষ্ঠীর গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে পার্থক্য তুলনা করার জন্য মানদণ্ড।
একটি একমুখী ANOVA সম্পাদন করার পরে এবং সংস্থাগুলির মধ্যে একটি উল্লেখযোগ্য পার্থক্য খুঁজে পাওয়ার পরে, কোন সরবরাহকারী অন্যদের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা তা অজানা থেকে যায়৷ আমরা শুধু জানি যে সাধারণ জনগণের গাণিতিক প্রত্যাশা সমান নয়। অন্য কথায়, গাণিতিক প্রত্যাশার অন্তত একটি অন্যদের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা। কোন সরবরাহকারী অন্যদের থেকে আলাদা তা নির্ধারণ করতে, আপনি ব্যবহার করতে পারেন টুকি পদ্ধতি, সরবরাহকারীদের মধ্যে যুগলভিত্তিক তুলনা ব্যবহার করে। এই পদ্ধতিটি জন টুকি দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। পরবর্তীকালে, তিনি এবং কে. ক্রেমার স্বাধীনভাবে এই পদ্ধতিটি এমন পরিস্থিতিতে পরিবর্তন করেছেন যেখানে নমুনার আকার একে অপরের থেকে আলাদা।
একাধিক তুলনা: Tukey-Kramer পদ্ধতি
আমাদের দৃশ্যকল্পে, প্যারাসুটের শক্তির তুলনা করতে বৈচিত্র্যের একমুখী বিশ্লেষণ ব্যবহার করা হয়েছিল। চারটি গোষ্ঠীর গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে উল্লেখযোগ্য পার্থক্য খুঁজে পাওয়ার পরে, কোন দলগুলি একে অপরের থেকে আলাদা তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন। যদিও এই সমস্যাটি সমাধান করার বিভিন্ন উপায় আছে, আমরা শুধুমাত্র Tukey-Kramer একাধিক তুলনা পদ্ধতি বর্ণনা করব। এই পদ্ধতিটি পোস্ট-হক তুলনা পদ্ধতির একটি উদাহরণ কারণ পরীক্ষা করা হাইপোথিসিস ডেটা বিশ্লেষণের পরে প্রণয়ন করা হয়। Tukey-Kramer পদ্ধতিটি সমস্ত জোড়া গোষ্ঠীকে একযোগে তুলনা করার অনুমতি দেয়। প্রথম পর্যায়ে, পার্থক্য গণনা করা হয় এক্সj -এক্সj ’ , কোথায় j ≠j’ , গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে s(গুলি – 1)/2গ্রুপ সমালোচনামূলক সুযোগ Tukey-Kramer পদ্ধতি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
কোথায় প্রশ্ন উ- স্টুডেন্টাইজড রেঞ্জ ডিস্ট্রিবিউশনের উপরের সমালোচনামূলক মান, যা আছে সঙ্গেসংখ্যার স্বাধীনতার ডিগ্রী এবং n - সঙ্গেহর মধ্যে স্বাধীনতা ডিগ্রী.
নমুনার আকার একই না হলে, প্রতিটি জোড়া গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আলাদাভাবে সমালোচনামূলক পরিসর গণনা করা হয়। শেষ পর্যায়ে, প্রতিটি s(গুলি – 1)/2গাণিতিক প্রত্যাশার জোড়া সংশ্লিষ্ট সমালোচনামূলক পরিসরের সাথে তুলনা করা হয়। যদি পার্থক্য মডুলাস | X জে -এক্সj ’ | তাদের মধ্যে সমালোচনামূলক পরিসীমা অতিক্রম.
আসুন প্যারাসুটের শক্তির সমস্যায় Tukey-Kramer পদ্ধতি প্রয়োগ করি। যেহেতু প্যারাসুট কোম্পানির চারজন সরবরাহকারী রয়েছে, তাই 4(4 – 1)/2 = 6 জোড়া সরবরাহকারীকে পরীক্ষা করতে হবে (চিত্র 9)।
ভাত। 9. নমুনার অর্থের জোড়াভিত্তিক তুলনা
যেহেতু সমস্ত গ্রুপের ভলিউম একই (অর্থাৎ সব n j = n j ’ ), এটি শুধুমাত্র একটি সমালোচনামূলক পরিসীমা গণনা করার জন্য যথেষ্ট। এটি করার জন্য, টেবিল অনুযায়ী আনোভা(চিত্র 6) আমরা MSW = 6.094 মান নির্ধারণ করি। তারপর আমরা মান খুঁজে প্রশ্ন উα = ০.০৫ এ, সঙ্গে= 4 (অঙ্কে স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা) এবং n- সঙ্গে= 20 – 4 = 16 (হরে স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা)। দুর্ভাগ্যবশত, আমি Excel এ সংশ্লিষ্ট ফাংশন খুঁজে পাইনি, তাই আমি টেবিলটি ব্যবহার করেছি (চিত্র 10)।
ভাত। 10. ছাত্রকৃত পরিসরের সমালোচনামূলক মান প্রশ্ন উ
আমরা পেতে:
যেহেতু শুধুমাত্র 4.74 > 4.47 (চিত্র 9 এর নীচের সারণী দেখুন), প্রথম এবং দ্বিতীয় সরবরাহকারীর মধ্যে একটি পরিসংখ্যানগতভাবে উল্লেখযোগ্য পার্থক্য বিদ্যমান। অন্যান্য সমস্ত জোড়ার নমুনা রয়েছে যা আমাদের তাদের পার্থক্য সম্পর্কে কথা বলার অনুমতি দেয় না। ফলস্বরূপ, প্রথম সরবরাহকারীর কাছ থেকে কেনা ফাইবার থেকে বোনা প্যারাসুটের গড় শক্তি দ্বিতীয়টির তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে কম।
বৈচিত্র্যের একমুখী বিশ্লেষণের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত
প্যারাসুটের শক্তির সমস্যা সমাধান করার সময়, আমরা পরীক্ষা করিনি যে শর্তগুলির অধীনে এটি একটি এক-ফ্যাক্টর ব্যবহার করা সম্ভব কিনা। চ- মানদণ্ড। আপনি কিভাবে জানেন যে আপনি এক-ফ্যাক্টর ব্যবহার করতে পারেন চ-নির্দিষ্ট পরীক্ষামূলক তথ্য বিশ্লেষণ করার সময় মানদণ্ড? একক ফ্যাক্টর চ-মাত্র তিনটি মৌলিক অনুমান পূরণ হলেই মানদণ্ড প্রয়োগ করা যেতে পারে: পরীক্ষামূলক ডেটা অবশ্যই র্যান্ডম এবং স্বাধীন হতে হবে, একটি স্বাভাবিক বন্টন থাকতে হবে এবং তাদের বৈচিত্রগুলি অবশ্যই সমান হতে হবে।
প্রথম অনুমান - এলোমেলোতা এবং ডেটা স্বাধীনতা- সবসময় সঞ্চালিত হতে হবে, যেহেতু যেকোনো পরীক্ষার সঠিকতা পছন্দের এলোমেলোতা এবং/অথবা র্যান্ডমাইজেশন প্রক্রিয়ার উপর নির্ভর করে। ফলাফলের পক্ষপাতিত্ব এড়াতে, এটি থেকে ডেটা বের করা প্রয়োজন সঙ্গেসাধারণ জনসংখ্যা এলোমেলোভাবে এবং একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে। একইভাবে, ডেটা এলোমেলোভাবে জুড়ে বিতরণ করা উচিত সঙ্গেআমরা আগ্রহী ফ্যাক্টরের মাত্রা (পরীক্ষামূলক গোষ্ঠী)। এই শর্তগুলির লঙ্ঘন বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণের ফলাফলগুলিকে গুরুতরভাবে বিকৃত করতে পারে।
দ্বিতীয় অনুমান- স্বাভাবিকতা- মানে সাধারণভাবে বিতরণ করা জনসংখ্যা থেকে ডেটা বের করা হয়। এর জন্য t-মাপদণ্ড, তার উপর ভিত্তি করে প্রকরণের একমুখী বিশ্লেষণ চ- এই শর্ত লঙ্ঘনের জন্য মানদণ্ড তুলনামূলকভাবে সামান্য সংবেদনশীল। যদি বিতরণ স্বাভাবিক থেকে খুব উল্লেখযোগ্যভাবে বিচ্যুত না হয়, তাত্পর্য স্তর চ-মাপদণ্ড সামান্য পরিবর্তিত হয়, বিশেষ করে যদি নমুনার আকার যথেষ্ট বড় হয়। যদি বিতরণের স্বাভাবিকতার শর্ত গুরুতরভাবে লঙ্ঘন করা হয় তবে এটি প্রয়োগ করা উচিত।
তৃতীয় অনুমান- বৈচিত্র্যের একজাততা- মানে প্রতিটি জনসংখ্যার ভিন্নতা একে অপরের সমান (যেমন σ 1 2 = σ 2 2 = ... = σ j 2)। এই অনুমানটি একজনকে সিদ্ধান্ত নিতে দেয় যে আলাদা করা হবে বা গ্রুপের মধ্যে বৈচিত্রগুলি পুল করা উচিত। যদি গোষ্ঠীর আকার একই হয়, তাহলে বৈচিত্র্যের একজাতীয়তার শর্তটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত সিদ্ধান্তে সামান্য প্রভাব ফেলে। চ-নির্ণায়ক. যাইহোক, যদি নমুনার আকারগুলি অসম হয়, তবে বৈকল্পিক অবস্থার সমতার লঙ্ঘন বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণের ফলাফলগুলিকে গুরুতরভাবে বিকৃত করতে পারে। অতএব, নমুনা আকার সমান হয় তা নিশ্চিত করার জন্য প্রচেষ্টা করা উচিত। বৈচিত্র্যের একজাতীয়তার অনুমান পরীক্ষা করার একটি পদ্ধতি হল মানদণ্ড লেভেননীচে বর্ণিত.
যদি, তিনটি শর্তের মধ্যে, শুধুমাত্র বৈচিত্র্যের একজাতীয়তার শর্ত লঙ্ঘন করা হয়, একটি পদ্ধতির অনুরূপ t- পৃথক ভিন্নতা ব্যবহার করে মানদণ্ড (আরো বিশদ বিবরণের জন্য, দেখুন)। যাইহোক, যদি অনুমান সম্পর্কে স্বাভাবিক বন্টনএবং বৈচিত্র্যের একজাততা একই সময়ে লঙ্ঘন করা হয়, ডেটা স্বাভাবিক করা এবং বৈচিত্রগুলির মধ্যে পার্থক্য কমানো বা একটি ননপ্যারামেট্রিক পদ্ধতি প্রয়োগ করা প্রয়োজন।
ভিন্নতার একজাততা পরীক্ষা করার জন্য লেভেনের পরীক্ষা
যদিও চ-মাপদণ্ডটি গোষ্ঠীতে বৈচিত্র্যের সমতার শর্ত লঙ্ঘনের জন্য তুলনামূলকভাবে প্রতিরোধী; এই অনুমানের একটি স্থূল লঙ্ঘন মানদণ্ডের তাত্পর্য এবং শক্তির স্তরকে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাবিত করে। সম্ভবত সবচেয়ে শক্তিশালী এক মানদণ্ড হয় লেভেন. বৈচিত্র্যের সমতা পরীক্ষা করতে সঙ্গেসাধারণ জনসংখ্যা, আমরা নিম্নলিখিত অনুমানগুলি পরীক্ষা করব:
Н 0: σ 1 2 = σ 2 2 = … = σj 2
জ ঘ: সব না σ জ 2সব একই ( j = 1, 2, …, সঙ্গে)
পরিবর্তিত লেভেনের পরীক্ষাটি এই প্রস্তাবের উপর ভিত্তি করে যে পরিবর্তনশীলতা যদি গোষ্ঠী জুড়ে সমান হয় তবে বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণটি বৈচিত্র্যের সমতার শূন্য হাইপোথিসিস পরীক্ষা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। পরম মানপর্যবেক্ষণ এবং গ্রুপ মিডিয়ানের মধ্যে পার্থক্য। সুতরাং, আপনাকে প্রথমে প্রতিটি গ্রুপে পর্যবেক্ষণ এবং মধ্যকার পার্থক্যের পরম মানগুলি গণনা করা উচিত এবং তারপরে পার্থক্যগুলির ফলাফলের পরম মানগুলির উপর ভিন্নতার একমুখী বিশ্লেষণ করা উচিত। লেভেনের মাপকাঠি ব্যাখ্যা করার জন্য, আসুন নোটের শুরুতে বর্ণিত দৃশ্যে ফিরে আসি। চিত্রে উপস্থাপিত ডেটা ব্যবহার করে। 6, আমরা একটি অনুরূপ বিশ্লেষণ পরিচালনা করব, তবে পৃথকভাবে প্রতিটি নমুনার জন্য প্রাথমিক ডেটা এবং মিডিয়ানের পার্থক্যের মডিউলগুলির সাথে সম্পর্কিত (চিত্র 11)।
বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণ
1. প্রকরণ বিশ্লেষণের ধারণা
বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণকোনো নিয়ন্ত্রিত পরিবর্তনশীল কারণের প্রভাবের অধীনে একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতার একটি বিশ্লেষণ। বিদেশী সাহিত্যে, বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণকে প্রায়ই ANOVA হিসাবে উল্লেখ করা হয়, যা পরিবর্তনশীলতার বিশ্লেষণ (অ্যানালাইসিস অফ ভ্যারিয়েন্স) হিসাবে অনুবাদ করা হয়।
ANOVA সমস্যাএকটি বৈশিষ্ট্যের সাধারণ পরিবর্তনশীলতা থেকে ভিন্ন ধরনের পরিবর্তনশীলতাকে বিচ্ছিন্ন করার মধ্যে রয়েছে:
ক) অধ্যয়নের অধীনে প্রতিটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের কর্মের কারণে পরিবর্তনশীলতা;
খ) অধ্যয়ন করা স্বাধীন ভেরিয়েবলের মিথস্ক্রিয়ার কারণে পরিবর্তনশীলতা;
গ) অন্য সব অজানা ভেরিয়েবলের কারণে এলোমেলো পরিবর্তনশীলতা।
অধ্যয়নের অধীনে ভেরিয়েবলের ক্রিয়াকলাপের কারণে পরিবর্তনশীলতা এবং তাদের মিথস্ক্রিয়া এলোমেলো পরিবর্তনশীলতার সাথে সম্পর্কিত। এই সম্পর্কের একটি সূচক হল ফিশারের এফ পরীক্ষা।
F মানদণ্ড গণনার সূত্রে বৈচিত্র্যের অনুমান অন্তর্ভুক্ত থাকে, অর্থাৎ, বৈশিষ্ট্যের বন্টন পরামিতি, তাই F মানদণ্ডটি একটি প্যারামেট্রিক মানদণ্ড।
অধ্যয়নের অধীনে থাকা ভেরিয়েবল (ফ্যাক্টর) বা তাদের মিথস্ক্রিয়ার কারণে একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতা তত বেশি পরীক্ষামূলক মানদণ্ডের মান.
শূন্য বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণে অনুমানটি বলবে যে অধ্যয়ন করা কার্যকর বৈশিষ্ট্যের গড় মান সমস্ত গ্রেডেশনে একই।
বিকল্প হাইপোথিসিসটি বলবে যে অধ্যয়নের অধীনে ফ্যাক্টরের বিভিন্ন গ্রেডেশনে ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের গড় মান ভিন্ন।
বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণ আমাদেরকে একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তন বলতে দেয়, কিন্তু নির্দেশ করে না অভিমুখএই পরিবর্তনগুলি.
চলুন শুরু করা যাক ভিন্নতা বিশ্লেষণের বিষয়টিকে সহজতম ক্ষেত্রে দিয়ে, যখন আমরা শুধুমাত্র এর ক্রিয়া অধ্যয়ন করি একপরিবর্তনশীল (একটি ফ্যাক্টর)।
2. সম্পর্কহীন নমুনার জন্য ভিন্নতার একমুখী বিশ্লেষণ
2.1। পদ্ধতির উদ্দেশ্য
পরিবর্তনের এক-ফ্যাক্টর বিশ্লেষণের পদ্ধতিটি এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যেখানে একটি কার্যকর বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনগুলি পরিবর্তিত অবস্থার বা একটি ফ্যাক্টরের গ্রেডেশনের প্রভাবে অধ্যয়ন করা হয়। পদ্ধতির এই সংস্করণে, ফ্যাক্টরের প্রতিটি গ্রেডেশনের প্রভাব রয়েছে ভিন্নবিষয়ের নমুনা। ফ্যাক্টরের কমপক্ষে তিনটি গ্রেডেশন থাকতে হবে। (দুটি গ্রেডেশন থাকতে পারে, তবে এই ক্ষেত্রে আমরা অরৈখিক নির্ভরতা স্থাপন করতে সক্ষম হব না এবং সহজগুলি ব্যবহার করা আরও যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হয়)।
এই ধরণের বিশ্লেষণের একটি ননপ্যারামেট্রিক সংস্করণ হল ক্রুস্কাল-ওয়ালিস এইচ পরীক্ষা।
অনুমান
H 0: ফ্যাক্টর গ্রেডের মধ্যে পার্থক্য (ভিন্ন অবস্থা) প্রতিটি গ্রুপের মধ্যে এলোমেলো পার্থক্যের চেয়ে বেশি নয়।
H 1: ফ্যাক্টর গ্রেডের মধ্যে পার্থক্য (ভিন্ন শর্ত) প্রতিটি গ্রুপের মধ্যে র্যান্ডম পার্থক্যের চেয়ে বেশি।
2.2। সম্পর্কহীন নমুনার জন্য ভিন্নতার একমুখী বিশ্লেষণের সীমাবদ্ধতা
1. ভিন্নতার একমুখী বিশ্লেষণের জন্য ফ্যাক্টরের কমপক্ষে তিনটি গ্রেডেশন এবং প্রতিটি গ্রেডেশনে কমপক্ষে দুটি বিষয় প্রয়োজন।
2. ফলাফলের বৈশিষ্ট্য অবশ্যই অধ্যয়নের অধীনে নমুনায় বিতরণ করা উচিত।
সত্য, এটি সাধারণত নির্দেশিত হয় না যে আমরা সমগ্র জরিপকৃত নমুনার বৈশিষ্ট্যের বন্টন সম্পর্কে কথা বলছি বা এটির সেই অংশে যা বিচ্ছুরণ জটিলতা তৈরি করে।
3. উদাহরণ ব্যবহার করে সম্পর্কহীন নমুনার জন্য বৈচিত্র্যের একমুখী বিশ্লেষণের পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ:
ছয়টি বিষয়ের তিনটি ভিন্ন গ্রুপকে দশটি শব্দের তালিকা দেওয়া হয়েছিল। শব্দগুলি প্রথম গোষ্ঠীর কাছে কম গতিতে উপস্থাপন করা হয়েছিল - প্রতি 5 সেকেন্ডে 1 শব্দ, দ্বিতীয় দলের কাছে গড় গতিতে - 1 শব্দ প্রতি 2 সেকেন্ডে এবং তৃতীয় গোষ্ঠীর কাছে উচ্চ গতিতে - প্রতি সেকেন্ডে 1 শব্দ। প্রজনন কর্মক্ষমতা শব্দ উপস্থাপনের গতির উপর নির্ভর করে ভবিষ্যদ্বাণী করা হয়েছিল। ফলাফল টেবিলে উপস্থাপন করা হয়. 1.
পুনরুত্পাদিত শব্দ সংখ্যা 1 নং টেবিল
|
বিষয় নং. |
গড় গতি |
উচ্চ গতি |
|
|
সর্বমোট পরিমাণ | |||
H 0: শব্দ উৎপাদনের মধ্যে পার্থক্য মধ্যেগোষ্ঠীগুলি র্যান্ডম পার্থক্যের চেয়ে বেশি উচ্চারিত হয় না ভিতরেপ্রতিটি গ্রুপ.
H1: শব্দ উৎপাদন ভলিউম পার্থক্য মধ্যেদলগুলো এলোমেলো পার্থক্যের চেয়ে বেশি স্পষ্ট ভিতরেপ্রতিটি গ্রুপ. সারণীতে উপস্থাপিত পরীক্ষামূলক মান ব্যবহার করে। 1, আমরা কিছু মান স্থাপন করব যা F মানদণ্ড গণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় হবে।
বৈচিত্র্যের একমুখী বিশ্লেষণের জন্য প্রধান পরিমাণের গণনা টেবিলে উপস্থাপন করা হয়েছে:
টেবিল ২
টেবিল 3
সম্পর্কহীন নমুনার জন্য ভিন্নতার একমুখী বিশ্লেষণে অপারেশনের ক্রম
প্রায়শই এই এবং পরবর্তী সারণীতে পাওয়া যায়, উপাধি SS হল "বর্গের সমষ্টি" এর সংক্ষিপ্ত রূপ। এই সংক্ষিপ্ত রূপটি প্রায়শই অনুবাদিত উত্সগুলিতে ব্যবহৃত হয়।
এসএস সত্যঅধ্যয়নের অধীনে ফ্যাক্টরের কর্মের কারণে বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতা বোঝায়;
এসএস সাধারণভাবে- বৈশিষ্ট্যের সাধারণ পরিবর্তনশীলতা;
এস সি.এ.- হিসাববিহীন কারণের কারণে পরিবর্তনশীলতা, "এলোমেলো" বা "অবশিষ্ট" পরিবর্তনশীলতা।
মাইক্রোসফট- "মান বর্গ", বা বর্গক্ষেত্রের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা, সংশ্লিষ্ট SS-এর গড় মান।
df - স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা, যা, ননপ্যারামেট্রিক মানদণ্ড বিবেচনা করার সময়, আমরা একটি গ্রীক অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করি v.
উপসংহার: H 0 প্রত্যাখ্যান করা হয়েছে। H 1 গৃহীত হয়। গোষ্ঠীগুলির মধ্যে শব্দ স্মরণে পার্থক্য প্রতিটি গ্রুপের মধ্যে র্যান্ডম পার্থক্যের চেয়ে বেশি ছিল (α = 0.05)। সুতরাং, শব্দের উপস্থাপনার গতি তাদের প্রজননের আয়তনকে প্রভাবিত করে।
এক্সেলে সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে:
প্রাথমিক তথ্য:
কমান্ড ব্যবহার করে: টুলস->ডেটা অ্যানালাইসিস->একমুখী আনোভা, আমরা নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি পাই:
এক-ফ্যাক্টর ভ্যারিয়েন্স মডেলদেখতে
কোথায় Xjj-উপর প্রাপ্ত অধ্যয়ন অধীনে পরিবর্তনশীল মান জি-স্তরগুণনীয়ক (r = 1, 2,..., টি) soooo ক্রমিক সংখ্যা (জে- 1,2,..., পি);/y - ফ্যাক্টরের i-th স্তরের প্রভাবের কারণে প্রভাব; e^ - এলোমেলো উপাদান, বা অনিয়ন্ত্রিত কারণগুলির প্রভাব দ্বারা সৃষ্ট ব্যাঘাত, যেমন একটি পৃথক স্তরের মধ্যে একটি পরিবর্তনশীলের পরিবর্তন।
অধীন ফ্যাক্টর স্তরএটির কিছু পরিমাপ বা শর্ত বোঝায়, উদাহরণস্বরূপ, প্রয়োগকৃত সারের পরিমাণ, ধাতু গলানোর ধরন বা অংশের ব্যাচ সংখ্যা ইত্যাদি।
বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণের মৌলিক প্রাঙ্গণ।
1. গোলযোগের গাণিতিক প্রত্যাশা ? (/ - যেকোনো i এর জন্য শূন্যের সমান,সেগুলো.
- 2. ঝামেলাগুলি পারস্পরিকভাবে স্বাধীন।
- 3. ব্যাঘাতের বিচ্ছুরণ (বা পরিবর্তনশীল Xy) যেকোনো ij> এর জন্য ধ্রুবকসেগুলো.
4. ডিস্টার্বেন্স e# (বা পরিবর্তনশীল Xy) এর একটি স্বাভাবিক বন্টন আইন রয়েছে N( 0; একটি 2)।
ফ্যাক্টর স্তরের প্রভাব মত হতে পারে স্থির, বা পদ্ধতিগত(মডেল I), এবং এলোমেলো(মডেল II)।
ধরুন, উদাহরণস্বরূপ, কিছু গুণমান নির্দেশকের ক্ষেত্রে পণ্যগুলির ব্যাচের মধ্যে উল্লেখযোগ্য পার্থক্য রয়েছে কিনা তা খুঁজে বের করা প্রয়োজন, যেমন একটি ফ্যাক্টরের মানের উপর প্রভাব পরীক্ষা করুন - পণ্যগুলির একটি ব্যাচ। যদি আমরা গবেষণায় কাঁচামালের সমস্ত ব্যাচ অন্তর্ভুক্ত করি, তবে এই জাতীয় ফ্যাক্টরের স্তরের প্রভাব পদ্ধতিগত (মডেল I), এবং প্রাপ্ত সিদ্ধান্তগুলি কেবলমাত্র সেই ব্যক্তিগত ব্যাচগুলির জন্য প্রযোজ্য যা অধ্যয়নের সাথে জড়িত ছিল; যদি আমরা দলগুলির শুধুমাত্র একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত অংশ অন্তর্ভুক্ত করি, তাহলে ফ্যাক্টরের প্রভাব র্যান্ডম (মডেল II)। মাল্টিফ্যাক্টর কমপ্লেক্সে, একটি মিশ্র মডেল III সম্ভব, যেখানে কিছু কারণের এলোমেলো স্তর রয়েছে, অন্যদের স্থির স্তর রয়েছে।
আসুন আরো বিস্তারিতভাবে এই টাস্ক বিবেচনা করা যাক। হতে দিন টিপণ্যের ব্যাচ। সেই অনুযায়ী প্রতিটি ব্যাচ থেকে নির্বাচিত p L, p 2 ,p tপণ্য (সরলতার জন্য আমরা অনুমান করি u = n 2 =... = p t = p)।আমরা একটি পর্যবেক্ষণ ম্যাট্রিক্স আকারে এই পণ্যগুলির গুণমান সূচকের মানগুলি উপস্থাপন করি
তাদের মানের উপর পণ্য ব্যাচগুলির প্রভাবের তাত্পর্য পরীক্ষা করা প্রয়োজন।
যদি আমরা ধরে নিই যে পর্যবেক্ষণ ম্যাট্রিক্সের সারির উপাদানগুলি হল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংখ্যাসূচক মান (উপলব্ধি) এক্স টি, এক্স 2 ,..., এক্স টি,পণ্যের গুণমান প্রকাশ করা এবং যথাক্রমে গাণিতিক প্রত্যাশা সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন আইন রয়েছে a v a 2, ..., a tএবং অভিন্ন ভিন্নতা a 2, তারপর এই কাজটিনাল হাইপোথিসিস #0 পরীক্ষা করতে নেমে আসে: a v = a 2l = ... = ক t, বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণে সম্পাদিত।
আসুন আমরা একটি সূচকের পরিবর্তে একটি তারকাচিহ্ন (বা বিন্দু) দিয়ে কিছু সূচকের গড় নির্দেশ করি, তারপর গড় ith ব্যাচের পণ্যের গুণমান, বা গ্রুপ গড়ফ্যাক্টরের ith স্তরের জন্য, ফর্মটি নেয়
ক সামগ্রিক গড় -
আসুন সামগ্রিক গড় x″ থেকে পর্যবেক্ষণের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টি বিবেচনা করি:
বা প্রশ্ন =প্রশ্ন, + প্রশ্ন 2+ ?>শেষ মেয়াদ
যেহেতু একটি ভেরিয়েবলের মানের বিচ্যুতির যোগফল তার গড় থেকে, অর্থাৎ ? 1.g y - x) শূন্যের সমান। ) = এক্স
প্রথম পদটি আকারে লেখা যেতে পারে
ফলস্বরূপ, আমরা নিম্নলিখিত পরিচয় পাই:
ইত্যাদি _
কোথায় Q = Y,এক্স [ x ij _ x„, আমি 2 - সাধারণ,বা সম্পূর্ণ,বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টি; 7=1
প্রশ্ন, -n^)
