নির্ধারক এবং তাদের বৈশিষ্ট্য। দ্বিতীয় ক্রম নির্ধারক এবং তাদের বৈশিষ্ট্য

বিষয় 1. ম্যাট্রিক্স এবং সিস্টেম

ম্যাট্রিক্স ধারণা

সংজ্ঞা 1.ম্যাট্রিক্স

.

এখানে, a i j (i=1,2,...,মি; j=1,2,...n) - ম্যাট্রিক্স উপাদান, i- লাইন সংখ্যা, j m=nম্যাট্রিক্স বলা হয় বর্গক্ষেত্রঅর্ডার ম্যাট্রিক্স n

i¹jশূন্যের সমান, বলা হয় তির্যক:

একক

খালিএবং θ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

- ম্যাট্রিক্স সারি; - ম্যাট্রিক্স কলাম.

নির্ধারক(বা নির্ধারক).

২য় ক্রম নির্ধারক

সংজ্ঞা 2. সম্পর্কিত দ্বিতীয় অর্ডার লিমিটারম্যাট্রিক্স , এটাই

. (3)

অন্যান্য উপাধি: , .

সুতরাং, একটি নির্ধারকের ধারণা একই সাথে তার গণনার জন্য একটি পদ্ধতি অনুমান করে। সংখ্যাগুলোকে নির্ধারকের উপাদান বলা হয়। মৌল দ্বারা গঠিত তির্যক বলা হয় প্রধানএবং উপাদানগুলি - পাশ

উদাহরণ 1.ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক সমান

.

3য় ক্রম নির্ধারক

সংজ্ঞা 2. সম্পর্কিত তৃতীয় অর্ডার লিমিটারপ্রতীক দ্বারা চিহ্নিত সংখ্যা

,

এবং সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত

সংখ্যা - উপাদাননির্ধারক উপাদান গঠন বাড়িতির্যক, উপাদান - পাশ.

নির্ধারক গণনা করার সময়, মনে রাখার জন্য যে সমতার ডান দিকে কোন পদগুলি (4) "+" চিহ্নের সাথে নেওয়া হয়েছে এবং কোনটি "-" চিহ্নের সাথে, ত্রিভুজগুলির প্রতীকী নিয়ম (সারাসের নিয়ম) ব্যবহার করুন:

"+" চিহ্নের সাহায্যে, প্রধান তির্যকের উপাদানগুলির পণ্য এবং মূল তির্যকের সমান্তরাল ভিত্তি সহ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত উপাদানগুলি নেওয়া হয়; তারপরে "-" চিহ্নটি - গৌণ কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল এবং ত্রিভুজগুলির শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত উপাদানগুলি গৌণ কর্ণের সমান্তরাল বেসগুলির সাথে।

কলাম অ্যাসাইনমেন্ট নিয়ম ব্যবহার করে নির্ধারকের গণনা।

1. আমরা নির্ধারকের ডানদিকে ক্রমিকভাবে প্রথম এবং দ্বিতীয় কলামগুলি বরাদ্দ করি।

2. আমরা তিনটি উপাদানের পণ্যগুলিকে তির্যকভাবে বাম থেকে ডানে, উপর থেকে নীচে থেকে গণনা করি ক 11 থেকে ক 13 এবং "+" চিহ্ন দিয়ে তাদের নিন। তারপরে আমরা তিনটি উপাদানের পণ্যগুলিকে বাম থেকে ডানে, নীচে থেকে উপরে থেকে তির্যকভাবে গণনা করি ক 31 থেকে ক 13 এবং "-" চিহ্ন দিয়ে তাদের নিন।

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

উদাহরণ 2. কলাম অ্যাসাইনমেন্ট নিয়ম ব্যবহার করে নির্ধারক গণনা করুন।

3. নির্ধারক n-ম আদেশ। অপ্রাপ্তবয়স্ক এবং বীজগণিত সংযোজন. সারি (কলাম) সম্প্রসারণ দ্বারা নির্ধারক গণনা।

একটি নির্ধারক ধারণা বিবেচনা করা যাক n-কোন নির্দেশ নেই. নির্ধারক n-উচ্চ ক্রম হল ম্যাট্রিক্সের সাথে যুক্ত সংখ্যা n-একটি নির্দিষ্ট আদেশের এবং একটি নির্দিষ্ট আইন অনুসারে গণনা করা হয়।

,

এখানে নির্ধারক উপাদান আছে. যে নিয়ম দ্বারা নির্ণায়ক প্রকাশ করা হয় তা দেখানো nপ্রথম আদেশ, আসুন কিছু ধারণা তাকান.

সংজ্ঞা 4. গৌণনির্ধারক উপাদান n-ম ক্রমকে নির্ধারক বলা হয় ( n- 1) এই উপাদানটির সংযোগস্থলে নির্ধারকের সারি এবং কলাম অতিক্রম করে প্রাপ্ত আদেশ।

সংজ্ঞা 5. বীজগণিতের পরিপূরকনির্ধারকের কিছু উপাদান nতম ক্রমটিকে এই উপাদানটির গৌণ বলা হয় যা দ্বারা গুণিত হয়, অর্থাৎ .

একটি তৃতীয় ক্রম নির্ধারক বিবেচনা করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ,

, .

, .

সংজ্ঞা 6. নির্ধারক n-উচ্চ ক্রম হল এমন একটি সংখ্যা যা নির্ধারকের প্রথম সারির উপাদানগুলির গুণফলের যোগফলের সমান।

নির্ধারক গণনার জন্য এই নিয়ম বলা হয় প্রথম সারি বরাবর সম্প্রসারণ.

উপপাদ্য (নির্ধারকের সম্প্রসারণ সম্পর্কে)।যে কোনো সারি বা কলামের উপর প্রসারিত করে নির্ধারক গণনা করা যেতে পারে।

– 2য় কলামের বীজগণিতের পরিপূরক দ্বারা 1ম কলামের উপাদানগুলির গুণফলের সমষ্টি৷

উদাহরণ 3. চতুর্থ ক্রম নির্ধারক গণনা করুন .

সমাধান।আমরা তৃতীয় লাইনটিকে (-1) দ্বারা গুণ করি এবং চতুর্থ লাইনে যোগ করি, তারপর চতুর্থ লাইন বরাবর নির্ধারকটিকে প্রসারিত করি:

তৃতীয় ক্রম নির্ধারক প্রথম সারি বরাবর প্রসারিত করা হয়েছে.

গাউস পদ্ধতি।

গাউস পদ্ধতিযে মূল সিস্টেম, অজানা দূর করে, রূপান্তরিত হয় ধাপে ধাপেমন এই ক্ষেত্রে, রূপান্তরগুলি বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিতে সঞ্চালিত হয়, যেহেতু অজানাকে বাদ দেয় এমন রূপান্তরগুলি ম্যাট্রিক্স সারির প্রাথমিক রূপান্তরের সমতুল্য।

গাউসিয়ান পদ্ধতি নিয়ে গঠিত ফরোয়ার্ড স্ট্রোক এবং বিপরীত. গাউস পদ্ধতির প্রত্যক্ষ পদ্ধতি হল সারির উপর প্রাথমিক রূপান্তরের মাধ্যমে সিস্টেমের (1) বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে কমিয়ে আনা। এর পরে সিস্টেমটি ধারাবাহিকতা এবং নিশ্চিততার জন্য পরীক্ষা করা হয়। তারপর ধাপ ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেম পুনর্গঠন করা হয়। সমীকরণের এই ধাপে ধাপে পদ্ধতির সমাধান হল গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত, যেখানে, শেষ সমীকরণ থেকে শুরু করে, বড় সহ অজানা ক্রমিক সংখ্যা, এবং তাদের মানগুলি সিস্টেমের পূর্ববর্তী সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয়।

সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A এবং বর্ধিত ম্যাট্রিক্স A´ এর র‌্যাঙ্কের তুলনা করে ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য অনুসারে এগিয়ে চলার শেষে সিস্টেমের অধ্যয়ন করা হয়। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সম্ভব।

1) যদি , তাহলে সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ (ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য অনুসারে)।

2) যদি , তাহলে সিস্টেম (1) নির্দিষ্ট, এবং তদ্বিপরীত (প্রমাণ ছাড়াই)।

3) যদি , তাহলে সিস্টেম (1) অনিশ্চিত, এবং তদ্বিপরীত (প্রমাণ ছাড়া)।

অসমতা ধরে না, যেহেতু ম্যাট্রিক্স A ম্যাট্রিক্স A' এর অংশ, অসমতা ধরে না, যেহেতু ম্যাট্রিক্স A এর কলামের সংখ্যা সমান পৃ. তদুপরি, একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স সহ একটি সিস্টেমের জন্য, অর্থাৎ যদি পৃ = টি, সমতা এই সত্যের সমতুল্য।

যদি সিস্টেমটি অনিশ্চিত হয়, অর্থাৎ এটি কার্যকর করা হয়, তবে এর কিছু অজানাকে মুক্ত ঘোষণা করা হয় এবং বাকিগুলি তাদের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। মুক্ত অজানা সংখ্যা হল . গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত কার্য সম্পাদন করার সময়, যদি পরবর্তী সমীকরণে, পূর্বে পাওয়া ভেরিয়েবলগুলি প্রতিস্থাপন করার পরে, একাধিক অজানা থেকে যায়, তবে একটি ব্যতীত যে কোনও অজানাকে মুক্ত অজানা ঘোষণা করা হয়।

আসুন উদাহরণ ব্যবহার করে গাউস পদ্ধতির বাস্তবায়ন দেখি।

উদাহরণ 4. সমীকরণ পদ্ধতি সমাধান করুন

সমাধান।আসুন গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করি। আসুন সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি এবং প্রাথমিক সারি রূপান্তর (সরাসরি গতি) ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসি।

~ ~ ~

~ ~ .

অতএব, সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং একটি অনন্য সমাধান রয়েছে, যেমন নিশ্চিত

আসুন একটি ধাপে ধাপে সিস্টেম তৈরি করুন এবং এটি সমাধান করুন (বিপরীত)।

চেক সহজেই প্রতিস্থাপন দ্বারা সম্পন্ন করা যেতে পারে.

উত্তর: .

বিষয় 2. ভেক্টর বীজগণিত।

একটি অক্ষের উপর একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ।

সংজ্ঞা 2. ভেক্টর অভিক্ষেপঅক্ষ প্রতি lসেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সমান একটি সংখ্যা এবিএই অক্ষটি, ভেক্টরের শুরু এবং শেষের অনুমানগুলির মধ্যে আবদ্ধ, একটি "+" চিহ্ন দিয়ে নেওয়া, যদি সেগমেন্ট এবিওরিয়েন্টেড (থেকে গণনা করা হচ্ছে কপ্রতি ভিতরে) ভি ইতিবাচক দিকঅক্ষ lএবং চিহ্ন "-" - অন্যথায় (চিত্র 2 দেখুন)।

উপাধি: .

উপপাদ্য ঘ.অক্ষের উপর একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ তার মডুলাস এবং ভেক্টর এবং অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান (চিত্র 3):

. (1)

চিত্র 3. চিত্র 4.

প্রমাণ. (চিত্র 3) থেকে আমরা প্রাপ্ত। সেগমেন্টের দিকটি অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে মিলে যায়, তাই সমতা সত্য। বিপরীত অভিযোজনের ক্ষেত্রে (চিত্র 4) আমাদের আছে। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

আসুন অনুমানগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করি।

সম্পত্তি 1. দুটি ভেক্টরের যোগফল এবং অক্ষের উপর অভিক্ষেপ একই অক্ষের উপর তাদের অভিক্ষেপের যোগফলের সমান, অর্থাৎ।

চিত্র.5.

ভেক্টরের সম্ভাব্য বিন্যাসগুলির একটির ক্ষেত্রে প্রমাণটি চিত্র 5 থেকে অনুসরণ করে। প্রকৃতপক্ষে, সংজ্ঞা 2 দ্বারা

প্রপার্টি 1 ভেক্টরের যেকোনো সীমিত সংখ্যক পদের জন্য সত্য।

সম্পত্তি 2. যখন একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা l দ্বারা গুণ করা হয়, তখন তার অভিক্ষেপ এই সংখ্যা দ্বারা গুণিত হয়

. (2)

আসুন আমরা সমতা প্রমাণ করি (2)। যখন ভেক্টর এবং অক্ষের সাথে একই কোণ গঠন করে। উপপাদ্য 1 দ্বারা

যখন ভেক্টর এবং গঠন কোণ এবং অক্ষ সহ, যথাক্রমে। উপপাদ্য ঘ

জন্য, আমরা সুস্পষ্ট সমতা প্রাপ্ত

বৈশিষ্ট্য থেকে ফলাফল 1 এবং 2. ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণের অভিক্ষেপ এই ভেক্টরগুলির অভিক্ষেপগুলির একই রৈখিক সমন্বয়ের সমান, যেমন

বিষয় 1. ম্যাট্রিক্স এবং সিস্টেম

ম্যাট্রিক্স ধারণা

সংজ্ঞা 1.ম্যাট্রিক্সআকার হল সংখ্যার একটি আয়তক্ষেত্রাকার টেবিল বা আকারে লেখা বর্ণমালার রাশি

.

এখানে, a i j (i=1,2,...,মি; j=1,2,...n) - ম্যাট্রিক্স উপাদান, i- লাইন সংখ্যা, j- কলাম নম্বর। ম্যাট্রিক্স সাধারণত বড় অক্ষরে নির্দেশিত হয় ল্যাটিন বর্ণমালা A, B, C, ইত্যাদি, সেইসাথে বা . এ m=nম্যাট্রিক্স বলা হয় বর্গক্ষেত্রঅর্ডার ম্যাট্রিক্স n

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যেখানে সমস্ত উপাদানের অসম সূচক রয়েছে i¹jশূন্যের সমান, বলা হয় তির্যক:

যদি একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সের সমস্ত অ-শূন্য উপাদান একের সমান হয়, তবে ম্যাট্রিক্সকে বলা হয় একক. পরিচয় ম্যাট্রিক্স সাধারণত E অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

যে ম্যাট্রিক্সের সব উপাদানই শূন্য তাকে বলা হয় খালিএবং θ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

এছাড়াও একটি সারি বা একটি কলাম নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স রয়েছে।

- ম্যাট্রিক্স সারি; - ম্যাট্রিক্স কলাম.

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য হল নির্ধারক(বা নির্ধারক).

2য় ক্রম এবং 3য় ক্রম নির্ধারক, তাদের বৈশিষ্ট্য.

২য় ক্রম নির্ধারক

সংজ্ঞা 2. সম্পর্কিত দ্বিতীয় অর্ডার লিমিটারম্যাট্রিক্স (বা কেবল একটি দ্বিতীয়-ক্রম নির্ধারক) একটি সংখ্যা যা একটি প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত এবং সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত , এটাই

. (3)

অন্যান্য উপাধি: , .

একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজে পেতে, আপনাকে সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে যা 2য় এবং 3য় ক্রম নির্ধারকগুলির জন্য বৈধ৷

সূত্র

একটি দ্বিতীয়-ক্রম ম্যাট্রিক্স $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $ দেওয়া যাক। তারপরে এর নির্ধারক সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \ end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$

মূল কর্ণ $a_(11)\cdot a_(22) $-এ অবস্থিত উপাদানগুলির গুণফল থেকে, গৌণ কর্ণ $a_(12)\cdot a_(21) $-এ অবস্থিত উপাদানগুলির গুণফল বিয়োগ করা হয়। এই নিয়ম শুধুমাত্র একটি 2য় অর্ডার নির্ধারক জন্য সত্য (!).

যদি তৃতীয় ক্রম ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয় $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $, তারপর সূত্র ব্যবহার করে এর নির্ধারক গণনা করা উচিত:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$

$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$

সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ 1

একটি ম্যাট্রিক্স $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $ দেওয়া যাক। এর নির্ধারক গণনা করুন।

সমাধান

কিভাবে একটি ম্যাট্রিক্স নির্ণায়ক খুঁজে বের করতে? আসুন আমরা এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিই যে ম্যাট্রিক্সটি দ্বিতীয় ক্রমটির বর্গক্ষেত্র, অর্থাৎ, কলামের সংখ্যা সারির সংখ্যার সমান এবং প্রতিটিতে 2টি উপাদান রয়েছে। অতএব, আসুন প্রথম সূত্রটি প্রয়োগ করি। আসুন মূল কর্ণের উপাদানগুলিকে গুণ করি এবং তাদের থেকে গৌণ কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল বিয়োগ করি: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ আপনি যদি আপনার সমস্যার সমাধান করতে না পারেন, তাহলে আমাদের কাছে পাঠান। আমরা বিস্তারিত সমাধান প্রদান করব। আপনি গণনার অগ্রগতি দেখতে এবং তথ্য লাভ করতে সক্ষম হবেন। এটি আপনাকে সময়মত আপনার শিক্ষকের কাছ থেকে আপনার গ্রেড পেতে সাহায্য করবে!

উত্তর

$$ \Delta = -2 $$

উদাহরণ 2

একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে $ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $। আমাদের নির্ধারক গণনা করতে হবে।

সমাধান

যেহেতু সমস্যাটি 3য় ক্রমটির একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, তাই নির্ধারকটি দ্বিতীয় সূত্র ব্যবহার করে খুঁজে পাওয়া উচিত। সমস্যার সমাধান সহজ করার জন্য, সূত্রে $a_(ij) $ ভেরিয়েবলের পরিবর্তে আমাদের সমস্যার ম্যাট্রিক্স থেকে মানগুলি প্রতিস্থাপন করা যথেষ্ট: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ এটি লক্ষণীয় যে আমরা যখন গৌণ তির্যক এবং অনুরূপ উপাদানগুলির পণ্যগুলি খুঁজে পাই, তখন পণ্যগুলির সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন স্থাপন করা হয়।

উত্তর

$$ \Delta = 31 $$

সংজ্ঞা 6. সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স (1.4) এর সাথে সম্পর্কিত তৃতীয়-ক্রম নির্ধারক হল সংখ্যা D এর সমান

তৃতীয়-ক্রম নির্ধারক গণনা করার জন্য, দুটি গণনামূলক স্কিম ব্যবহার করা হয় যা খুব বেশি ঝামেলা ছাড়াই তৃতীয়-ক্রম নির্ধারক গণনা করা সম্ভব করে। এই স্কিমগুলি "" হিসাবে পরিচিত ত্রিভুজ নিয়ম" (বা "স্টারিস্ক নিয়ম") এবং " সরাস শাসন ".

ত্রিভুজ নিয়ম অনুসারে, ডায়াগ্রামে লাইন দ্বারা সংযুক্ত উপাদানগুলিকে প্রথমে গুণ করা হয় এবং যোগ করা হয়

সেগুলো. আমরা পণ্যের যোগফল পাই: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32.

দয়া করে মনে রাখবেন যে একটি লাইন দ্বারা সংযুক্ত উপাদানগুলি, সোজা বা ভাঙ্গা, গুণিত হয়, এবং তারপর ফলস্বরূপ পণ্য যোগ করা হয়।

তারপর ডায়াগ্রামে সংযুক্ত উপাদানগুলিকে গুণিত করে যোগ করা হয়

সেগুলো. আমরা পণ্যের আরেকটি সমষ্টি পেতে a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32. এবং অবশেষে, নির্ধারক গণনা করার জন্য, দ্বিতীয়টি প্রথম যোগফল থেকে বিয়োগ করা হয়। তারপরে আমরা অবশেষে তৃতীয়-ক্রম নির্ধারক গণনার জন্য সূত্রটি পাই:

D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32)।

সাররাসের নিয়ম অনুসারে, প্রথম দুটি কলাম ডানদিকে নির্ণায়কের সাথে যোগ করা হয় এবং তারপরে এক দিকে নির্ধারকের উপাদানগুলির গুণফলের যোগফল এবং অন্য দিকের উপাদানগুলির গুণফলের যোগফল গণনা করা হয়। এটি থেকে বিয়োগ করা হয় (চিত্র দেখুন):

আপনি নিশ্চিত হতে পারেন যে ত্রিভুজ নিয়ম ব্যবহার করে নির্ধারক গণনা করার সময় ফলাফলটি একই হবে।

উদাহরণ. গণনা নির্ধারক

সমাধান. আসুন তারকাচিহ্নের নিয়ম ব্যবহার করে নির্ধারক গণনা করি

এবং সাররাসের নিয়ম অনুযায়ী

সেগুলো. আমরা উভয় কম্পিউটেশনাল স্কিমের জন্য একই ফলাফল পাই, যেমনটি প্রত্যাশিত।

মনে রাখবেন যে দ্বিতীয়-ক্রম নির্ধারকদের জন্য প্রণয়ন করা সমস্ত বৈশিষ্ট্য তৃতীয়-ক্রম নির্ধারকদের জন্য বৈধ, আপনি নিজের জন্য যাচাই করতে পারেন। এই বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে, আমরা যেকোনো আদেশের নির্ধারকদের জন্য সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি তৈরি করি।

নির্ধারক একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হল একটি সংখ্যা যা নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

ক) যদি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ক্রম 1 হয়, যেমন এটি 1 সংখ্যা নিয়ে গঠিত, তারপর নির্ধারক এই সংখ্যার সমান;

b) যদি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ক্রম 2 হয়, যেমন এটি 4টি সংখ্যা নিয়ে গঠিত, তারপর নির্ধারক প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল এবং গৌণ কর্ণের উপাদানগুলির গুণফলের মধ্যে পার্থক্যের সমান;

গ) যদি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ক্রম 3 হয়, যেমন এটি 9টি সংখ্যা নিয়ে গঠিত, তারপর নির্ধারক যোগফলের সমানএই কর্ণের সমান্তরাল প্রধান কর্ণ এবং দুটি ত্রিভুজের উপাদানগুলির গুণফল, যেখান থেকে গৌণ কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল এবং এই কর্ণের সমান্তরাল দুটি ত্রিভুজের যোগফল বিয়োগ করা হয়েছে।

উদাহরণ

নির্ধারকদের বৈশিষ্ট্য

1. সারিগুলি কলাম দ্বারা এবং কলামগুলি সারি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হলে নির্ধারক পরিবর্তন হবে না

1. 2টি অভিন্ন সিরিজ থাকা একটি নির্ধারক শূন্যের সমান
2. নির্ধারকের যেকোনো সারির (সারি বা কলাম) সাধারণ গুণনীয়ক নির্ধারকের চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে।

4. দুটি সমান্তরাল ধারার পুনর্বিন্যাস করার সময়, নির্ধারক পরিবর্তনের চিহ্ন বিপরীত একটিতে পরিণত হয়

5. যদি নির্ধারকের যেকোনো সিরিজের উপাদান দুটি পদের যোগফল হয়, তাহলে নির্ধারকটিকে দুটি সংশ্লিষ্ট নির্ধারকের যোগফলের মধ্যে প্রসারিত করা যেতে পারে

6. একটি সমান্তরাল ধারার সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলিকে একটি ধারার উপাদানের সাথে যোগ করা হলে নির্ধারক পরিবর্তন হবে না, যে কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়

নির্ধারকের গৌণ উপাদান এবং এর বীজগণিতের পরিপূরক

গৌণ উপাদান একটি IJ n-ম ক্রম নির্ধারক হল একটি n-1 ক্রম নির্ধারক যা i-ম সারি এবং j-তম কলাম অতিক্রম করে আসলটি থেকে প্রাপ্ত হয়

একটি IJ উপাদানের বীজগণিতীয় পরিপূরকনির্ধারক হল এর গৌণকে (-1) i+ j দ্বারা গুণ করা হয়

উদাহরণ

বিপরীত ম্যাট্রিক্স

ম্যাট্রিক্স বলা হয় অধঃপতিত, যদি এর নির্ধারক শূন্যের সমান না হয়, অন্যথায়, ম্যাট্রিক্সকে একবচন বলা হয়

ম্যাট্রিক্স বলা হয় মিলন, যদি এটি সংশ্লিষ্ট বীজগাণিতিক পরিপূরকগুলি নিয়ে থাকে এবং স্থানান্তরিত হয়

ম্যাট্রিক্স বলা হয় বিপরীতএকটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সে যদি তাদের পণ্যটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের মতো একই ক্রমে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সমান হয়

অস্তিত্বের উপপাদ্য বিপরীত ম্যাট্রিক্স

যেকোন অ-একবচন ম্যাট্রিক্সের এই ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক দ্বারা বিভক্ত অ্যালাইড ম্যাট্রিক্সের সমান একটি বিপরীত থাকে

বিপরীত ম্যাট্রিক্স A খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম

1. গণনা নির্ধারক

1. স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স

1. একটি ইউনিয়ন ম্যাট্রিক্স তৈরি করুন, ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্সের সমস্ত বীজগাণিতিক পরিপূরক গণনা করুন

1. সূত্র ব্যবহার করুন:

ম্যাট্রিক্স মাইনর mxn আকারের একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের নির্বাচিত k সারি এবং k কলামগুলির সংযোগস্থলে অবস্থিত উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত একটি নির্ধারক

ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্কম্যাট্রিক্স মাইনর এর সর্বোচ্চ ক্রম যা অ-শূন্য

স্বরলিপি r(A), rangA

পদমর্যাদাধাপ ম্যাট্রিক্সের অ-শূন্য সারির সংখ্যার সমান।

উদাহরণ

সিস্টেম রৈখিক সমীকরণ.

m সমীকরণ এবং n অজানা সমন্বিত রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমকে ফর্মের সিস্টেম বলে

সংখ্যা কোথায় ক IJ - সিস্টেম সহগ, সংখ্যা b i - বিনামূল্যের পদ

ম্যাট্রিক্স রেকর্ডিং ফর্মরৈখিক সমীকরণের সিস্টেম

সিস্টেম সমাধান n অজানাগুলির মানগুলি c 1, c 2, …, c n বলা হয়, যখন সেগুলিকে সিস্টেমে প্রতিস্থাপন করা হয়, সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ সত্য সমতায় পরিণত হয়। সিস্টেমের সমাধান একটি কলাম ভেক্টর হিসাবে লেখা যেতে পারে।

সমীকরণ পদ্ধতি বলা হয় যৌথ, যদি এটির অন্তত একটি সমাধান থাকে, এবং অ জয়েন্ট, যদি কোন সমাধান না থাকে।

ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য

একটি LU সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান হয়

একটি LU সিস্টেম সমাধানের জন্য পদ্ধতি

1. গাউস পদ্ধতি(প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে, বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে একটি স্টেপ ম্যাট্রিক্সে এবং তারপর একটি ক্যানোনিকাল তে কমিয়ে দিন)

প্রাথমিক রূপান্তর অন্তর্ভুক্ত:

সারি পুনর্বিন্যাস করা (কলাম)

একটি সারিতে (কলাম) আরেকটি যোগ করা হচ্ছে, 0 ছাড়া অন্য একটি সংখ্যা দিয়ে গুণ করা হচ্ছে।

আসুন একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করি:

আসুন প্রথম কলাম এবং প্রথম সারিতে লিডিং এলিমেন্ট নির্বাচন করি, এলিমেন্ট 1., এবং এটিকে লিডিং বলি। অগ্রণী উপাদান ধারণকারী লাইন পরিবর্তন হবে না. মূল তির্যকের অধীনে উপাদানগুলি পুনরায় সেট করা যাক। এটি করার জন্য, প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যোগ করুন, (-2) দ্বারা গুণ করুন। তৃতীয় লাইনে প্রথম লাইনটি যোগ করুন, (-1) দ্বারা গুণ করে, আমরা পাই:

এর দ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইন অদলবদল করা যাক. মানসিকভাবে প্রথম কলাম এবং প্রথম সারিটি অতিক্রম করুন এবং অবশিষ্ট ম্যাট্রিক্সের জন্য অ্যালগরিদমটি চালিয়ে যান। তৃতীয় লাইনে আমরা ২য় যোগ করি, ৫ দিয়ে গুণ করি।

আমরা বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে নিয়ে এসেছি। সিস্টেমের সমীকরণে ফিরে, শেষ লাইন থেকে শুরু করে এবং উপরে চলে যাওয়া, আমরা একে একে অজানা নির্ধারণ করি।

2. ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; মুক্ত পদের কলাম দ্বারা গুণিত মূল ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স)

3. ক্রেমারের পদ্ধতি।

সিস্টেমের সমাধান সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:

পরিবর্তিত প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক কোথায়, যেখানে i-তম কলামটি মুক্ত পদের একটি কলামে পরিবর্তিত হয় এবং এটি অজানা সহগগুলি নিয়ে গঠিত প্রধান নির্ধারক।

ভেক্টর।

ভেক্টরএকটি নির্দেশিত সেগমেন্ট

যেকোনো ভেক্টর দৈর্ঘ্য (মডুলাস) এবং দিক দিয়ে দেওয়া হয়।

পদবী: বা

যেখানে A হল ভেক্টরের শুরু, B হল ভেক্টরের শেষ, এবং ভেক্টরের দৈর্ঘ্য।

ভেক্টর শ্রেণীবিভাগ

শূন্য ভেক্টরএকটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য শূন্য

একক ভেক্টরএকটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য একের সমান

সমান ভেক্টর- এই দুটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য এবং দিক একই

বিপরীত ভেক্টর– এই দুটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য সমান এবং দিক বিপরীত

কোলিনিয়ার ভেক্টর- এই দুটি ভেক্টর যা একই লাইনে বা সমান্তরাল রেখায় অবস্থান করে

নির্দেশমূলকভেক্টর হল একই দিকের দুটি সমান্তরাল ভেক্টর

বিপরীত দিক নির্দেশনা দিয়েছেনভেক্টর বিপরীত দিকনির্দেশ সহ দুটি সমান্তরাল ভেক্টর

কপ্ল্যানারভেক্টর হল তিনটি ভেক্টর যা একই সমতলে বা সমান্তরাল সমতলে থাকে

আয়তক্ষেত্রাকার সিস্টেমএকটি সমতলে স্থানাঙ্ক হল দুটি পারস্পরিক লম্ব রেখা যা একটি নির্বাচিত দিক এবং উত্স সহ, অনুভূমিক রেখাকে অ্যাবসিসা অক্ষ বলে এবং উল্লম্ব রেখাকে অর্ডিনেট অক্ষ বলে

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার প্রতিটি বিন্দুর জন্য আমরা দুটি সংখ্যা নির্ধারণ করি: অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট

আয়তক্ষেত্রাকার সিস্টেমস্থানাঙ্কগুলি একটি নির্বাচিত দিক এবং উত্স সহ তিনটি পারস্পরিকভাবে লম্ব সরল রেখা, যখন আমাদের দিকে নির্দেশিত অনুভূমিক সরলরেখাটিকে বলা হয় অ্যাবসিসা অক্ষ, আমাদের ডানদিকে নির্দেশিত অনুভূমিক সরলরেখাটি হল অর্ডিনেট অক্ষ এবং উল্লম্ব সরলরেখা। ঊর্ধ্বমুখী নির্দেশিতকে বলা হয় অ্যাপ্লিকেট অক্ষ

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার প্রতিটি বিন্দুর জন্য আমরা তিনটি সংখ্যা বরাদ্দ করি: abscissa, ordinate এবং applicate