ভাত। 4.2। সময়সূচী

ভাত। 4.3। সময়সূচী

একটি ফাংশনের উল্লম্ব উপসর্গগুলি হয় দ্বিতীয় ধরণের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুতে চাওয়া উচিত (একটি বিন্দুতে ফাংশনের একতরফা সীমার মধ্যে অন্তত একটি অসীম বা বিদ্যমান নেই), বা এর সংজ্ঞার ডোমেনের শেষে
, যদি
- সীমিত সংখ্যা।

যদি ফাংশন
সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং একটি সীমাবদ্ধ সীমা রয়েছে
, বা
, তারপর সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত সরল রেখা
, একটি ডান হাতের অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট এবং সরলরেখা
- বাম-পার্শ্বযুক্ত অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট।

যদি সসীম সীমা থাকে

এক্স
,

তারপর এটা সোজা
ফাংশনের গ্রাফের তির্যক অ্যাসিম্পটোট। তির্যক অ্যাসিম্পটোটটি ডানদিকেও হতে পারে (
) বা বাম-হাতি (
).

ফাংশন
সেটে বৃদ্ধি বলা হয়
, যদি কোন জন্য
, যেমন যে >, অসমতা ধারণ করে:
>
(কমছে যদি:
<
) অনেক
এই ক্ষেত্রে ফাংশনের একঘেয়েমি ব্যবধান বলা হয়।

একটি ফাংশনের একঘেয়েতার জন্য নিম্নলিখিত পর্যাপ্ত শর্তটি বৈধ: যদি সেটের ভিতরে একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের ডেরিভেটিভ
ইতিবাচক (নেতিবাচক), তারপর এই সেটে ফাংশন বৃদ্ধি (হ্রাস) হয়।

উদাহরণ 4.5।একটি ফাংশন দেওয়া
. এর বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান খুঁজুন।

সমাধান।এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক
. এটা স্পষ্ট যে >0 এ >3 এবং <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) এবং (3) দ্বারা বৃদ্ধি পায়;
).

ডট একটি বিন্দু বলা হয় স্থানীয় সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন)ফাংশন
, যদি বিন্দু কিছু আশেপাশে অসমতা ধরে রাখে
(
) . একটি বিন্দুতে ফাংশনের মান ডাকা সর্বাধিক (সর্বনিম্ন)।সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন ফাংশন একটি সাধারণ নাম দ্বারা একত্রিত হয় চরমফাংশন

ফাংশন জন্য ক্রম
পয়েন্ট এ একটি চরম ছিল এটি প্রয়োজনীয় যে এই সময়ে এর ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান (
) বা বিদ্যমান ছিল না।

যে সকল বিন্দুতে কোন ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান তাদেরকে বলে নিশ্চলফাংশন পয়েন্ট। একটি স্থির বিন্দুতে ফাংশন একটি চরম হতে হবে না. এক্সট্রিমা খুঁজে পেতে, অতিরিক্তভাবে ফাংশনের স্থির পয়েন্টগুলি পরীক্ষা করা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ, এক্সট্রিমামের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত ব্যবহার করে।

তাদের মধ্যে প্রথমটি হল যদি, একটি স্থির বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় বাম থেকে ডানে, ডিফারেনশিয়াবল ফাংশনের ডেরিভেটিভ চিহ্নকে প্লাস থেকে মাইনাসে পরিবর্তন করে, তারপর বিন্দুতে একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ পৌঁছানো হয়। যদি চিহ্নটি বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তিত হয়, তবে এটি ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।

যদি অধ্যয়নের অধীনে বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় ডেরিভেটিভের চিহ্নটি পরিবর্তিত না হয়, তবে এই বিন্দুতে কোন চরমপন্থা নেই।

একটি স্থির বিন্দুতে একটি ফাংশনের প্রান্তের জন্য দ্বিতীয় যথেষ্ট শর্ত ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে: যদি
<0, тоসর্বোচ্চ বিন্দু, এবং যদি
>0, তারপর - সর্বনিম্ন পয়েন্ট। এ
=0 Extremum এর ধরন সম্পর্কে প্রশ্ন খোলা থাকে।

ফাংশন
ডাকা উত্তল (অবতল) সেটে
, যদি কোন দুটি মানের জন্য
অসমতা ধারণ করে:

.

চিত্র.4.4. একটি উত্তল ফাংশনের গ্রাফ

যদি দ্বিগুণ পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হয়
সেটের মধ্যে ইতিবাচক (নেতিবাচক)
, তারপর ফাংশন সেটে অবতল (উত্তল) হয়
.

একটানা ফাংশনের গ্রাফের ইনফ্লেকশন বিন্দু
ফাংশন উত্তল এবং অবতল যে ব্যবধান বিভাজক বিন্দু বলা হয়.

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ
একটি ইনফ্লেকশন পয়েন্টে দ্বিগুণ পার্থক্যযোগ্য ফাংশন শূন্যের সমান, অর্থাৎ
= 0.

একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হলে তারপর তার চিহ্ন পরিবর্তন করে এর গ্রাফের ইনফ্লেকশন পয়েন্ট।

একটি ফাংশন অধ্যয়ন এবং এর গ্রাফ প্লট করার সময়, নিম্নলিখিত স্কিমটি ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়:

23. ডিফারেনশিয়াল ফাংশনের ধারণা। বৈশিষ্ট্য. প্রায় ডিফারেনশিয়ালের প্রয়োগ।y গণনা.

ডিফারেনশিয়াল ফাংশনের ধারণা

y=ƒ(x) ফাংশনটির x বিন্দুতে একটি অশূন্য ডেরিভেটিভ আছে।

তারপর, একটি ফাংশন, তার সীমা এবং একটি অসীম ফাংশনের মধ্যে সংযোগ সম্পর্কে উপপাদ্য অনুসারে, আমরা  у/х=ƒ"(x)+α লিখতে পারি, যেখানে α→0 ∆х→0, বা ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

এইভাবে, ফাংশনের বৃদ্ধি ∆у হল দুটি পদ ƒ"(x) ∆x এবং a ∆x, যেগুলো ∆x→0 এর জন্য অসীম। অধিকন্তু, প্রথম পদটি একই ক্রমে একটি অসীম ফাংশন ∆x, যেহেতু এবং দ্বিতীয় পদটি হল ∆x-এর চেয়ে উচ্চতর ক্রমে একটি অসীম ফাংশন:

অতএব, প্রথম পদ ƒ"(x) ∆x বলা হয় বৃদ্ধির প্রধান অংশফাংশন ∆у.

ফাংশন ডিফারেনশিয়াল x বিন্দুতে y=ƒ(x) কে এর বৃদ্ধির প্রধান অংশ বলা হয়, ফাংশনের ডেরিভেটিভের গুণফল এবং আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সমান, এবং এটিকে dу (বা dƒ(x) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়):

dy=ƒ"(x) ∆x. (1)

ডি ডিফারেনশিয়ালও বলা হয় প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল।চলুন স্বাধীন চলক x এর ডিফারেনশিয়াল বের করি, অর্থাৎ y=x ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল।

যেহেতু y"=x"=1, তারপর, সূত্র (1) অনুসারে, আমাদের আছে dy=dx=∆x, অর্থাৎ স্বাধীন চলকের ডিফারেন্সিয়াল এই ভেরিয়েবলের বৃদ্ধির সমান: dx=∆x।

সুতরাং, সূত্র (1) নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

অন্য কথায়, একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল এই ফাংশনের ডেরিভেটিভের গুণফল এবং স্বাধীন চলকের ডিফারেনশিয়ালের সমান।

সূত্র থেকে (2) সমতা dy/dx=ƒ"(x) অনুসরণ করে। এখন স্বরলিপি

ডেরিভেটিভ dy/dx কে ডিফারেনশিয়াল dy এবং dx এর অনুপাত হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

ডিফারেনশিয়ালনিম্নলিখিত প্রধান বৈশিষ্ট্য আছে.

1. d(সঙ্গে)=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv।

d(সঙ্গেu)=সঙ্গেd(u)

4. .

5. y= চ(z), , ,

ডিফারেনশিয়ালের ফর্মটি অপরিবর্তনীয় (অপরিবর্তিত): এটি সর্বদা ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং আর্গুমেন্টের ডিফারেনশিয়ালের গুণফলের সমান, যুক্তিটি সহজ বা জটিল যাই হোক না কেন।

আনুমানিক গণনার জন্য ডিফারেনশিয়াল প্রয়োগ করা হচ্ছে

ইতিমধ্যেই জানা গেছে, x বিন্দুতে у=ƒ(x) ফাংশনের বৃদ্ধি ∆уকে ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে α→0 এ ∆х→0, অথবা ∆у= dy+α ∆х ∆х-এর চেয়ে উচ্চতর মানের অসীম α ∆х বাদ দিলে আমরা আনুমানিক সমতা পাই।

∆y≈dy, (3)

অধিকন্তু, এই সমতা আরও সঠিক, ছোট ∆х।

এই সমতা আমাদেরকে আনুমানিকভাবে নিখুঁতভাবে কোন পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের বৃদ্ধি গণনা করতে দেয়।

ডিফারেনশিয়ালটি সাধারণত একটি ফাংশনের বৃদ্ধির চেয়ে খুঁজে পাওয়া অনেক সহজ, তাই সূত্র (3) কম্পিউটিং অনুশীলনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

24. অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন এবং অনির্দিষ্টতম অবিচ্ছেদ্য.

একটি আদিম ফাংশন এবং একটি ক্ষতিপূরণ অবিচ্ছেদ্য ধারণা

ফাংশন চ (এক্স) বলা হয় অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন এই ফাংশন জন্য চ (এক্স) (বা, সংক্ষেপে, অ্যান্টিডেরিভেটিভ এই ফাংশন চ (এক্স)) একটি প্রদত্ত ব্যবধানে, যদি এই ব্যবধানে। উদাহরণ. ফাংশনটি সম্পূর্ণ সংখ্যা অক্ষের ফাংশনের একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ, যেহেতু যেকোনোটির জন্য এক্স. নোট করুন যে, একটি ফাংশনের সাথে, একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফরম এর যেকোন ফাংশন, যেখানে সঙ্গে- একটি নির্বিচারে ধ্রুবক সংখ্যা (এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে একটি ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান)। এই সম্পত্তি এছাড়াও সাধারণ ক্ষেত্রে ঝুলিতে.

উপপাদ্য ঘ. যদি এবং ফাংশনের জন্য দুটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ হয় চ (এক্স) একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে, তারপর এই ব্যবধানে তাদের মধ্যে পার্থক্য একটি ধ্রুবক সংখ্যার সমান। এই উপপাদ্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে যদি কোনো অ্যান্টিডেরিভেটিভ জানা যায় চ (এক্স) এই ফাংশনের চ (এক্স), তারপর অ্যান্টিডেরিভেটিভের সম্পূর্ণ সেট চ (এক্স) ফাংশন দ্বারা নিঃশেষ হয় চ (এক্স) + সঙ্গে. অভিব্যক্তি চ (এক্স) + সঙ্গে, কোথায় চ (এক্স) - ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ চ (এক্স) এবং সঙ্গে- একটি নির্বিচারে ধ্রুবক, বলা হয় অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ফাংশন থেকে চ (এক্স) এবং প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এবং চ (এক্স) বলা হয় ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন ; - ইন্টিগ্র্যান্ড , এক্স - ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবল ; ∫ - অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন . সুতরাং, সংজ্ঞা দ্বারা যদি প্রশ্ন ওঠে: সবার জন্য ফাংশন চ (এক্স) একটি antiderivative আছে, এবং তাই একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য? উপপাদ্য 2. যদি ফাংশন চ (এক্স) একটানা উপর [ ক ; খ], তারপর ফাংশনের জন্য এই সেগমেন্টে চ (এক্স) একটি antiderivative আছে . নীচে আমরা শুধুমাত্র অবিচ্ছিন্ন ফাংশনগুলির জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভস সম্পর্কে কথা বলব। অতএব, আমরা এই বিভাগে পরে বিবেচনা করা অবিচ্ছেদ্য বিদ্যমান.

25. অনির্দিষ্টের বৈশিষ্ট্যএক্সঅবিচ্ছেদ্য অখণ্ডs মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন থেকে.

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য

নিচের সূত্রে চএবং g- পরিবর্তনশীল ফাংশন x, চ- ফাংশন এর antiderivative চ, a, k, C- ধ্রুবক মান।







প্রাথমিক ফাংশনের অখণ্ডতা

যৌক্তিক ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য তালিকা

(শূন্যের অ্যান্টিডেরিভেটিভ একটি ধ্রুবক; একীকরণের যেকোনো সীমার মধ্যে, শূন্যের অখণ্ডতা শূন্যের সমান)

লগারিদমিক ফাংশনের অখণ্ডের তালিকা

সূচকীয় ফাংশনের অখণ্ডের তালিকা

অযৌক্তিক ফাংশনের অখণ্ডের তালিকা

("লম্বা লগারিদম")

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য তালিকা , বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অখণ্ডের তালিকা

26. প্রতিস্থাপন পদ্ধতিs পরিবর্তনশীল, অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য অংশ দ্বারা একীকরণের পদ্ধতি.

পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (প্রতিস্থাপন পদ্ধতি)

প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে একীকরণের পদ্ধতিতে একটি নতুন ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবল (অর্থাৎ প্রতিস্থাপন) প্রবর্তন জড়িত। এই ক্ষেত্রে, প্রদত্ত অখণ্ডটি একটি নতুন সমাঙ্গিকে হ্রাস করা হয়, যা সারণী বা এটিতে হ্রাসযোগ্য। বিকল্প নির্বাচন করার জন্য কোন সাধারণ পদ্ধতি নেই। সঠিকভাবে প্রতিস্থাপন নির্ধারণ করার ক্ষমতা অনুশীলনের মাধ্যমে অর্জিত হয়।

ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে আনুমানিক গণনা

এই পাঠে আমরা একটি সাধারণ সমস্যা দেখব একটি ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে একটি ফাংশনের মানের আনুমানিক গণনার উপর. এখানে এবং আরও আমরা প্রথম-ক্রমের পার্থক্য সম্পর্কে কথা বলব; ডিফারেনশিয়ালগুলি ব্যবহার করে আনুমানিক গণনার সমস্যাটির একটি কঠোর সমাধান অ্যালগরিদম রয়েছে এবং তাই, কোনও বিশেষ অসুবিধা দেখা দেওয়া উচিত নয়। একমাত্র জিনিস হল যে ছোট ছোট ত্রুটিগুলিও পরিষ্কার করা হবে। তাই মাথার মধ্যে ডুব দিতে নির্দ্বিধায়।

উপরন্তু, পৃষ্ঠায় গণনার পরম এবং আপেক্ষিক ত্রুটি খুঁজে বের করার জন্য সূত্র রয়েছে। উপাদানটি খুব দরকারী, যেহেতু ত্রুটিগুলি অন্যান্য সমস্যাগুলির মধ্যে গণনা করতে হবে। পদার্থবিদ, আপনার করতালি কোথায়? =)

উদাহরণগুলি সফলভাবে আয়ত্ত করতে, আপনাকে অবশ্যই একটি মধ্যবর্তী স্তরে ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে, তাই আপনি যদি পার্থক্যের সাথে সম্পূর্ণভাবে ক্ষতিগ্রস্থ হন, অনুগ্রহ করে পাঠটি দিয়ে শুরু করুন কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে?আমি নিবন্ধটি পড়ার পরামর্শও দিই ডেরিভেটিভের সাথে সবচেয়ে সহজ সমস্যা, যথা অনুচ্ছেদ একটি পয়েন্টে ডেরিভেটিভ খোঁজার বিষয়েএবং বিন্দুতে পার্থক্য খুঁজে বের করা. প্রযুক্তিগত উপায় থেকে, আপনার বিভিন্ন গাণিতিক ফাংশন সহ একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর প্রয়োজন হবে। আপনি এক্সেল ব্যবহার করতে পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে এটি কম সুবিধাজনক।

কর্মশালা দুটি অংশ নিয়ে গঠিত:

- একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের পার্থক্য ব্যবহার করে আনুমানিক গণনা।

- দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের মোট ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে আনুমানিক গণনা।

কার কি দরকার? প্রকৃতপক্ষে, সম্পদকে দুটি স্তূপে বিভক্ত করা সম্ভব হয়েছিল, এই কারণে যে দ্বিতীয় পয়েন্টটি বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের প্রয়োগের সাথে সম্পর্কিত। কিন্তু আমি কি করতে পারি, আমি দীর্ঘ নিবন্ধ ভালোবাসি.

আনুমানিক হিসাব
একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের পার্থক্য ব্যবহার করে

প্রশ্নে থাকা কাজটি এবং এর জ্যামিতিক অর্থ ইতিমধ্যে পাঠে কভার করা হয়েছে ডেরিভেটিভ কী? , এবং এখন আমরা উদাহরণগুলির একটি আনুষ্ঠানিক বিবেচনার মধ্যে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ করব, যা সেগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তা শিখতে যথেষ্ট।

প্রথম অনুচ্ছেদে, একটি পরিবর্তনশীল নিয়মের ফাংশন। সবাই জানে, এটি দ্বারা বা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই কাজের জন্য দ্বিতীয় স্বরলিপি ব্যবহার করা অনেক বেশি সুবিধাজনক। আসুন অবিলম্বে একটি জনপ্রিয় উদাহরণের দিকে এগিয়ে যাই যা প্রায়শই অনুশীলনে দেখা যায়:

উদাহরণ 1

সমাধান:অনুগ্রহ করে আপনার নোটবুকে ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে আনুমানিক গণনার জন্য কাজের সূত্রটি অনুলিপি করুন:

আসুন এটি বের করা শুরু করি, এখানে সবকিছু সহজ!

প্রথম ধাপ হল একটি ফাংশন তৈরি করা। শর্ত অনুসারে, সংখ্যাটির ঘনমূল গণনা করার প্রস্তাব করা হয়েছে: , তাই সংশ্লিষ্ট ফাংশনের ফর্ম রয়েছে: . আনুমানিক মান খুঁজে পেতে আমাদের সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে।

চলুন তাকান বাম দিকেসূত্র, এবং চিন্তা মনে আসে যে সংখ্যা 67 ফর্ম প্রতিনিধিত্ব করা আবশ্যক. এটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় কি? আমি নিম্নলিখিত অ্যালগরিদমটি সুপারিশ করছি: একটি ক্যালকুলেটরে এই মানটি গণনা করুন:
- এটি একটি লেজ সহ 4 হতে পরিণত হয়েছে, এটি সমাধানের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ নির্দেশিকা।

আমরা হিসাবে একটি "ভাল" মান নির্বাচন করুন যাতে মূল সম্পূর্ণরূপে মুছে ফেলা হয়. স্বাভাবিকভাবেই, এই মান হওয়া উচিত যতটা সম্ভব কাছাকাছিথেকে 67. এই ক্ষেত্রে: . সত্যিই:।

দ্রষ্টব্য: যখন নির্বাচনের ক্ষেত্রে এখনও অসুবিধা দেখা দেয়, তখন কেবল গণনা করা মানটি দেখুন (এই ক্ষেত্রে ), নিকটতম পূর্ণসংখ্যার অংশ নিন (এই ক্ষেত্রে 4) এবং এটিকে প্রয়োজনীয় শক্তিতে বাড়ান (এই ক্ষেত্রে)। ফলস্বরূপ, পছন্দসই নির্বাচন করা হবে: .

যদি, তাহলে যুক্তির বৃদ্ধি: .

সুতরাং, সংখ্যা 67 একটি যোগফল হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়

প্রথমে, বিন্দুতে ফাংশনের মান গণনা করা যাক। প্রকৃতপক্ষে, এটি ইতিমধ্যেই করা হয়েছে:

একটি বিন্দুতে পার্থক্য সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
- আপনি এটি আপনার নোটবুকেও কপি করতে পারেন।

সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে আপনাকে প্রথম ডেরিভেটিভ নিতে হবে:

এবং পয়েন্টে এর মান খুঁজুন:

এইভাবে:

সবকিছু প্রস্তুত! সূত্র অনুযায়ী:

পাওয়া আনুমানিক মান মান বেশ কাছাকাছি , একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর ব্যবহার করে গণনা করা হয়।

উত্তরঃ

উদাহরণ 2

ফাংশনের ইনক্রিমেন্টগুলিকে এর ডিফারেনশিয়াল দিয়ে প্রতিস্থাপন করে প্রায় গণনা করুন।

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। চূড়ান্ত নকশার একটি আনুমানিক নমুনা এবং পাঠের শেষে উত্তর। নতুনদের জন্য, কোন সংখ্যাটি হিসাবে নেওয়া হয়েছে এবং কোন সংখ্যা হিসাবে নেওয়া হয়েছে তা খুঁজে বের করতে আমি প্রথমে একটি মাইক্রোক্যালকুলেটরে সঠিক মান গণনা করার পরামর্শ দিচ্ছি। এটি উল্লেখ করা উচিত যে এই উদাহরণে এটি নেতিবাচক হবে।

কেউ কেউ ভাবতে পারেন যে এই কাজটি কেন প্রয়োজন যদি সবকিছু শান্তভাবে এবং আরও সঠিকভাবে ক্যালকুলেটরে গণনা করা যায়? আমি একমত, কাজটি বোকা এবং নিষ্পাপ। তবে আমি একটু জাস্টিফাই করার চেষ্টা করব। প্রথমত, টাস্কটি ডিফারেনশিয়াল ফাংশনের অর্থ ব্যাখ্যা করে। দ্বিতীয়ত, প্রাচীনকালে, একটি ক্যালকুলেটর আধুনিক সময়ে একটি ব্যক্তিগত হেলিকপ্টারের মতো ছিল। আমি নিজে দেখেছি যে 1985-86 সালে কোথাও একটি স্থানীয় পলিটেকনিক ইনস্টিটিউট থেকে একটি কক্ষের আকারের একটি কম্পিউটার কীভাবে ফেলে দেওয়া হয়েছিল (রেডিও অপেশাদাররা স্ক্রু ড্রাইভার নিয়ে সারা শহর থেকে ছুটে এসেছিল, এবং কয়েক ঘন্টা পরে কেবল মামলাটি বাকি ছিল। ইউনিট)। আমাদের পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিত বিভাগেও প্রাচীন জিনিস ছিল, যদিও সেগুলি আকারে ছোট ছিল - প্রায় একটি ডেস্কের আকার। এইভাবে আমাদের পূর্বপুরুষরা আনুমানিক গণনার পদ্ধতি নিয়ে লড়াই করেছিলেন। ঘোড়ার গাড়িও পরিবহন।

এক বা অন্যভাবে, সমস্যাটি উচ্চতর গণিতের স্ট্যান্ডার্ড কোর্সে থেকে যায় এবং এটি সমাধান করতে হবে। এটি আপনার প্রশ্নের প্রধান উত্তর =)

উদাহরণ 3

বিন্দুতে একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর ব্যবহার করে একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের আরও সঠিক মান গণনা করুন, গণনার পরম এবং আপেক্ষিক ত্রুটি মূল্যায়ন করুন।

প্রকৃতপক্ষে, একই কাজ, এটি সহজেই নিম্নরূপ সংস্কার করা যেতে পারে: "আনুমানিক মান গণনা করুন একটি ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে"

সমাধান:আমরা পরিচিত সূত্র ব্যবহার করি:
এই ক্ষেত্রে, একটি রেডিমেড ফাংশন ইতিমধ্যে দেওয়া হয়েছে: . আবারও, আমি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই যে এটি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক।

মান অবশ্যই ফর্মে উপস্থাপন করতে হবে। ঠিক আছে, এটি এখানে সহজ, আমরা দেখতে পাই যে 1.97 সংখ্যাটি "দুই" এর খুব কাছাকাছি, তাই এটি নিজেই পরামর্শ দেয়। এবং তাই: .

সূত্র ব্যবহার করে , আসুন একই বিন্দুতে ডিফারেনশিয়াল গণনা করি।

আমরা প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

এবং বিন্দুতে এর মান:

সুতরাং, বিন্দুতে পার্থক্য:

ফলস্বরূপ, সূত্র অনুযায়ী:

কাজের দ্বিতীয় অংশ হল গণনার পরম এবং আপেক্ষিক ত্রুটি খুঁজে বের করা।

গণনার পরম এবং আপেক্ষিক ত্রুটি

সম্পূর্ণ গণনা ত্রুটিসূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:

মডুলাস চিহ্নটি দেখায় যে কোনটির মান বেশি এবং কোনটি কম তা আমরা চিন্তা করি না। গুরুত্বপূর্ণ, কতদূরআনুমানিক ফলাফল এক দিক বা অন্য দিক থেকে সঠিক মান থেকে বিচ্যুত।

আপেক্ষিক গণনার ত্রুটিসূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
, বা একই জিনিস:

আপেক্ষিক ত্রুটি দেখায় কত শতাংশ দ্বারাআনুমানিক ফলাফল সঠিক মান থেকে বিচ্যুত। 100% দ্বারা গুন না করে সূত্রটির একটি সংস্করণ রয়েছে, তবে অনুশীলনে আমি প্রায় সবসময় শতাংশ সহ উপরের সংস্করণটি দেখি।

একটি সংক্ষিপ্ত রেফারেন্সের পরে, আসুন আমাদের সমস্যায় ফিরে আসি, যেখানে আমরা ফাংশনের আনুমানিক মান গণনা করেছি একটি ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে।

একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর ব্যবহার করে ফাংশনের সঠিক মান গণনা করা যাক:
, কঠোরভাবে বলতে গেলে, মান এখনও আনুমানিক, কিন্তু আমরা এটি সঠিক বিবেচনা করব। এই ধরনের সমস্যা দেখা দেয়।

এর পরম ত্রুটি গণনা করা যাক:

চলুন আপেক্ষিক ত্রুটি গণনা করা যাক:
, একটি শতাংশের হাজারতম প্রাপ্ত হয়েছিল, তাই ডিফারেনশিয়ালটি একটি চমৎকার অনুমান প্রদান করেছে।

উত্তরঃ , পরম গণনা ত্রুটি, আপেক্ষিক গণনা ত্রুটি

একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত উদাহরণ:

উদাহরণ 4

একটি ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে একটি ফাংশনের আনুমানিক মান গণনা করুন বিন্দুতে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের আরও সঠিক মান গণনা করুন, গণনার পরম এবং আপেক্ষিক ত্রুটি অনুমান করুন।

চূড়ান্ত নকশার একটি আনুমানিক নমুনা এবং পাঠের শেষে উত্তর।

অনেক মানুষ লক্ষ্য করেছেন যে বিবেচিত সমস্ত উদাহরণে শিকড় উপস্থিত হয়। এটি আকস্মিক নয়, বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই বিবেচনাধীন সমস্যাটি মূলের সাথে কাজ করে।

কিন্তু ভুক্তভোগী পাঠকদের জন্য, আমি আর্কসিন দিয়ে একটি ছোট উদাহরণ খনন করেছি:

উদাহরণ 5

একটি ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে একটি ফাংশনের আনুমানিক মান গণনা করুন বিন্দুতে

এই সংক্ষিপ্ত কিন্তু তথ্যপূর্ণ উদাহরণটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্যও। এবং আমি একটু বিশ্রাম নিয়েছিলাম যাতে নতুন করে শক্তির সাথে আমি বিশেষ কাজটি বিবেচনা করতে পারি:

উদাহরণ 6

একটি ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে আনুমানিক গণনা করুন, ফলাফলটিকে দুই দশমিক স্থানে রাউন্ডিং করুন।

সমাধান:টাস্কে নতুন কি আছে? শর্তের জন্য ফলাফলটিকে দুই দশমিক স্থানে বৃত্তাকার করতে হবে। কিন্তু এটা বিন্দু নয়; আমি মনে করি আপনার জন্য স্কুল রাউন্ডিং সমস্যা কঠিন নয়। আসলে আমরা একটি স্পর্শক দেওয়া হয় একটি যুক্তি দিয়ে যা ডিগ্রীতে প্রকাশ করা হয়. যখন আপনাকে ডিগ্রী সহ একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সমাধান করতে বলা হয় তখন আপনার কী করা উচিত? যেমন, ইত্যাদি।

সমাধান অ্যালগরিদম মৌলিকভাবে একই, অর্থাৎ, পূর্ববর্তী উদাহরণগুলির মতো, সূত্র প্রয়োগ করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়

এর একটি সুস্পষ্ট ফাংশন লিখুন

মান অবশ্যই ফর্মে উপস্থাপন করতে হবে। গুরুতর সহায়তা প্রদান করবে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মানের সারণী. যাইহোক, যারা এটি মুদ্রণ করেননি তাদের জন্য, আমি এটি করার পরামর্শ দিই, যেহেতু আপনাকে উচ্চতর গণিত অধ্যয়নের পুরো কোর্স জুড়ে দেখতে হবে।

টেবিলটি বিশ্লেষণ করে, আমরা একটি "ভাল" স্পর্শক মান লক্ষ্য করি, যা 47 ডিগ্রির কাছাকাছি:

এইভাবে:

প্রাথমিক বিশ্লেষণের পর ডিগ্রী রেডিয়ানে রূপান্তর করা আবশ্যক. হ্যাঁ, এবং শুধুমাত্র এই ভাবে!

এই উদাহরণে, আপনি ত্রিকোণমিতিক টেবিল থেকে সরাসরি খুঁজে পেতে পারেন যে . ডিগ্রীকে রেডিয়ানে রূপান্তর করার সূত্র ব্যবহার করে: (সূত্রগুলি একই টেবিলে পাওয়া যাবে)।

নিম্নলিখিতটি হল সূত্রগত:

এইভাবে: (আমরা গণনার জন্য মান ব্যবহার করি)। ফলাফল, শর্ত অনুসারে, দুই দশমিক স্থানে বৃত্তাকার করা হয়।

উত্তরঃ

উদাহরণ 7

একটি ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে আনুমানিক গণনা করুন, ফলাফলটিকে তিন দশমিক স্থানে বৃত্তাকার করুন।

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। সম্পূর্ণ সমাধান এবং পাঠ শেষে উত্তর।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, জটিল কিছু নেই, আমরা ডিগ্রীকে রেডিয়ানে রূপান্তর করি এবং সাধারণ সমাধান অ্যালগরিদম মেনে চলি।

আনুমানিক হিসাব
দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সম্পূর্ণ পার্থক্য ব্যবহার করে

সবকিছু খুব, খুব একই রকম হবে, তাই আপনি যদি এই কাজের জন্য বিশেষভাবে এই পৃষ্ঠায় আসেন, তবে প্রথমে আমি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের অন্তত কয়েকটি উদাহরণ দেখার পরামর্শ দিই।

একটি অনুচ্ছেদ অধ্যয়ন আপনি খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে দ্বিতীয় আদেশ আংশিক ডেরিভেটিভসতাদের ছাড়া আমরা কোথায় থাকব? উপরের পাঠে, আমি অক্ষরটি ব্যবহার করে দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন নির্দেশ করেছি। বিবেচনাধীন কাজের সাথে সম্পর্কিত, সমতুল্য স্বরলিপি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক।

একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে, সমস্যার অবস্থা বিভিন্ন উপায়ে প্রণয়ন করা যেতে পারে, এবং আমি সম্মুখীন সমস্ত সূত্র বিবেচনা করার চেষ্টা করব।

উদাহরণ 8

সমাধান:শর্তটি যেভাবেই লেখা হোক না কেন, সমাধানে নিজেই ফাংশনটি বোঝাতে, আমি আবার বলছি, "z" অক্ষরটি ব্যবহার না করাই ভাল, তবে .

এবং এখানে কাজের সূত্র আছে:

আমাদের সামনে যা আছে তা আসলে আগের অনুচ্ছেদের সূত্রের বড় বোন। পরিবর্তনশীল শুধুমাত্র বৃদ্ধি পেয়েছে. কি বলবো, আমি নিজেই সমাধান অ্যালগরিদম মৌলিকভাবে একই হবে!

শর্ত অনুসারে, বিন্দুতে ফাংশনের আনুমানিক মান খুঁজে বের করতে হবে।

আসুন ফর্মে 3.04 সংখ্যাটি উপস্থাপন করি। বান নিজেই খেতে বলে:
,

আসুন 3.95 সংখ্যাটিকে হিসাবে উপস্থাপন করি। কোলোবোকের দ্বিতীয়ার্ধে পালা এসেছে:
,

এবং শেয়ালের সমস্ত কৌশলের দিকে তাকাবেন না, একটি কোলোবোক আছে - আপনাকে এটি খেতে হবে।

বিন্দুতে ফাংশনের মান গণনা করা যাক:

আমরা সূত্র ব্যবহার করে একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের পার্থক্য খুঁজে পাই:

সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে আংশিক ডেরিভেটিভসপ্রথম অর্ডার করুন এবং পয়েন্টে তাদের মান গণনা করুন।

বিন্দুতে প্রথম অর্ডার আংশিক ডেরিভেটিভ গণনা করা যাক:

বিন্দুতে মোট পার্থক্য:

সুতরাং, সূত্র অনুসারে, বিন্দুতে ফাংশনের আনুমানিক মান:

আসুন বিন্দুতে ফাংশনের সঠিক মান গণনা করি:

এই মান একেবারে সঠিক.

ত্রুটিগুলি মানক সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়, যা ইতিমধ্যে এই নিবন্ধে আলোচনা করা হয়েছে।

সম্পূর্ণ ত্রুটি:

আপেক্ষিক ত্রুটি:

উত্তরঃ, পরম ত্রুটি: , আপেক্ষিক ত্রুটি:

উদাহরণ 9

একটি ফাংশনের আনুমানিক মান গণনা করুন একটি মোট ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে একটি বিন্দুতে, পরম এবং আপেক্ষিক ত্রুটি অনুমান করুন।

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। যে কেউ এই উদাহরণটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখেন তিনি লক্ষ্য করবেন যে গণনার ত্রুটিগুলি খুব, খুব লক্ষণীয়। এটি নিম্নলিখিত কারণে ঘটেছে: প্রস্তাবিত সমস্যায় আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি বেশ বড়: . সাধারণ প্যাটার্ন হল: পরম মূল্যে এই বৃদ্ধি যত বড় হবে, গণনার নির্ভুলতা তত কম হবে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি অনুরূপ বিন্দুর জন্য বৃদ্ধি ছোট হবে: , এবং আনুমানিক গণনার নির্ভুলতা খুব বেশি হবে।

এই বৈশিষ্ট্যটি একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ক্ষেত্রেও সত্য (পাঠের প্রথম অংশ)।

উদাহরণ 10

সমাধান: চলুন দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের মোট ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে প্রায় এই রাশিটি গণনা করা যাক:

উদাহরণ 8-9 থেকে পার্থক্য হল যে আমাদের প্রথমে দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন তৈরি করতে হবে: . আমি মনে করি সবাই স্বজ্ঞাতভাবে বোঝে কিভাবে ফাংশন গঠিত হয়।

মান 4.9973 "পাঁচ" এর কাছাকাছি, তাই: , .
মান 0.9919 "এক" এর কাছাকাছি, তাই, আমরা ধরে নিই: , .

বিন্দুতে ফাংশনের মান গণনা করা যাক:

আমরা সূত্র ব্যবহার করে একটি বিন্দুতে পার্থক্য খুঁজে পাই:

এটি করার জন্য, আমরা বিন্দুতে প্রথম অর্ডার আংশিক ডেরিভেটিভ গণনা করি।

এখানে ডেরিভেটিভগুলি সবচেয়ে সহজ নয় এবং আপনার সতর্ক হওয়া উচিত:

;

.

বিন্দুতে মোট পার্থক্য:

সুতরাং, এই অভিব্যক্তির আনুমানিক মান হল:

আসুন একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর ব্যবহার করে আরও সঠিক মান গণনা করি: 2.998899527

চলুন আপেক্ষিক গণনা ত্রুটি খুঁজে বের করা যাক:

উত্তরঃ ,

শুধুমাত্র উপরের একটি দৃষ্টান্ত, বিবেচিত সমস্যাটিতে, আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি খুবই ছোট, এবং ত্রুটিটি চমত্কারভাবে ক্ষুদ্র হতে দেখা গেছে।

উদাহরণ 11

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সম্পূর্ণ ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে, এই রাশিটির আনুমানিক মান গণনা করুন। একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর ব্যবহার করে একই অভিব্যক্তি গণনা করুন। শতাংশ হিসাবে আপেক্ষিক গণনার ত্রুটি অনুমান করুন।

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। পাঠের শেষে চূড়ান্ত নকশার একটি আনুমানিক নমুনা।

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, এই ধরনের কাজের সবচেয়ে সাধারণ অতিথি হল কিছু ধরণের শিকড়। কিন্তু সময়ে সময়ে অন্যান্য ফাংশন আছে. এবং শিথিলকরণের জন্য একটি চূড়ান্ত সহজ উদাহরণ:

উদাহরণ 12

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের মোট ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে, ফাংশনের আনুমানিক মান গণনা করুন যদি

সমাধানটি পৃষ্ঠার নীচের কাছাকাছি। আবারও, পাঠের কাজগুলির শব্দের দিকে মনোযোগ দিন; অনুশীলনে বিভিন্ন উদাহরণে, শব্দগুলি আলাদা হতে পারে, তবে এটি সমাধানের সারমর্ম এবং অ্যালগরিদমকে মৌলিকভাবে পরিবর্তন করে না।

সত্যি বলতে, আমি একটু ক্লান্ত ছিলাম কারণ উপাদানটি একটু বিরক্তিকর ছিল। নিবন্ধের শুরুতে এটি বলা শিক্ষাগত ছিল না, কিন্তু এখন এটি ইতিমধ্যেই সম্ভব =) প্রকৃতপক্ষে, গণিত গণিতে সমস্যাগুলি সাধারণত খুব জটিল নয়, খুব আকর্ষণীয় নয়, সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিস, সম্ভবত, ভুল করা নয় সাধারণ গণনায়।

তোমার ক্যালকুলেটরের চাবি যেন মুছে না যায়!

সমাধান এবং উত্তর:

উদাহরণ 2: সমাধান:আমরা সূত্র ব্যবহার করি:
এই ক্ষেত্রে: , ,

এইভাবে:
উত্তরঃ

উদাহরণ 4: সমাধান:আমরা সূত্র ব্যবহার করি:
এই ক্ষেত্রে: , ,

কিন্তু Δ y = Δ চ(এক্স 0) হল ফাংশনের বৃদ্ধি, এবং চ (এক্স 0) Δ x = df(এক্স 0) - ডিফারেনশিয়াল ফাংশন।

তাই আমরা অবশেষে পেতে

উপপাদ্য ঘ. যাক ফাংশন y = f(এক্স) বিন্দু x এ 0 একটি সসীম ডেরিভেটিভ f  আছে(এক্স 0)≠0. তারপর যথেষ্ট ছোট মান জন্য Δ x আনুমানিক সমতা আছে (1), যা নির্বিচারে নির্ভুল হয়ে যায় Δ x→ 0.

সুতরাং, বিন্দুতে ফাংশনের পার্থক্য এক্স 0 এই সময়ে ফাংশনের বৃদ্ধির প্রায় সমান।

কারণ তারপর সমতা থেকে (1) আমরা পাই

এ Δ x→ 0 (2)

এ x→ এক্স 0 (2  )

যেহেতু স্পর্শকের সমীকরণটি ফাংশনের গ্রাফের সাথে y= চ(x) বিন্দুতে এক্স 0 এর মত দেখাচ্ছে

, যে আনুমানিক সমতা (1)-(2) জ্যামিতিকভাবে মানে x=x বিন্দুর কাছাকাছি 0 y=f ফাংশনের গ্রাফ(এক্স) প্রায় একটি স্পর্শক দ্বারা বক্ররেখা y = f প্রতিস্থাপিত হয়(এক্স).

যথেষ্ট ছোট মানের জন্য, ফাংশনের মোট বৃদ্ধি এবং ডিফারেনশিয়াল কিছুটা আলাদা, যেমন . এই পরিস্থিতি আনুমানিক গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ 1.আনুমানিক হিসাব করুন .

সমাধান। ফাংশন বিবেচনা করুন এবং করা এক্স 0 = 4, এক্স= 3.98। তারপর Δ x =x –x 0 = – 0,02, চ(x 0)= 2. তারপর থেকে চ (এক্স 0)=1/4=0.25। অতএব, সূত্র (2) ব্যবহার করে আমরা অবশেষে পাই: .

উদাহরণ 2।একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে, ফাংশনের মান কতটা পরিবর্তিত হবে তা নির্ধারণ করুন y=চ(এক্স)=(3x 3 +5)∙tg4 xযখন এর যুক্তির মান কমে যায় এক্স 0 = 0 দ্বারা 0.01।

সমাধান। (1) এর কারণে, ফাংশনের পরিবর্তন y = f(এক্স) বিন্দুতে এক্স D-এর যথেষ্ট ছোট মানের জন্য এই সময়ে ফাংশনের ডিফারেনশিয়ালের প্রায় সমান 0 x:

আসুন ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল গণনা করি df(0)। আমরা ডি x= –0.01। কারণ চ (এক্স)= 9x 2 ∙tg4 x + ((3x 3 +5)/ cos 2 4 x)∙4, তারপর চ (0)=5∙4=20 এবং df(0)=চ (0)∙Δ x= 20·(–0.01) = –0.2।

অতএব Δ চ(0) ≈ –0.2, অর্থাৎ মান হ্রাস করার সময় এক্স 0 = 0 ফাংশন আর্গুমেন্ট থেকে 0.01 ফাংশনের মান নিজেই y=চ(এক্স) প্রায় 0.2 কমে যাবে।

উদাহরণ 3.একটি পণ্যের জন্য চাহিদা ফাংশন ফর্ম আছে যাক . আপনি একটি মূল্যে একটি পণ্যের জন্য চাহিদা পরিমাণ খুঁজে বের করতে হবে পি 0 =3 আর্থিক একক এবং একটি পণ্যের মূল্য 0.2 আর্থিক ইউনিট কমে গেলে চাহিদা কতটা বাড়বে তা নির্ধারণ করুন।

সমাধান। দামে পি 0 =3 আর্থিক একক চাহিদার পরিমাণ প্র 0 =ডি(পি 0)=270/9=30 ইউনিট। পণ্য মূল্য পরিবর্তন Δ পি= –0.2 ডেন। ইউনিট (1) Δ এর কারণে প্র (পি 0) ≈ dQ (পি 0)। আসুন একটি পণ্যের চাহিদার আয়তনের পার্থক্য গণনা করি।

সেই থেকে ডি (3) = –20 এবং

চাহিদা ভলিউম পার্থক্য dQ(3) = ডি  (3) ∙Δ পি= –20·(–0.2) = 4. অতএব, Δ প্র(3) ≈ 4, i.e. যখন পণ্যের দাম কমে যায় পি 0 =3 প্রতি 0.2 আর্থিক ইউনিট পণ্যের চাহিদার পরিমাণ পণ্যের প্রায় 4 ইউনিট বৃদ্ধি পাবে এবং পণ্যের আনুমানিক 30 + 4 = 34 ইউনিটের সমান হবে।

স্ব-পরীক্ষার প্রশ্ন

1. ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল কাকে বলে?

2. একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়ালের জ্যামিতিক অর্থ কী?

3. ডিফারেনশিয়াল ফাংশনের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি তালিকাভুক্ত করুন।

3. সূত্রগুলি লিখুন যা আপনাকে একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে তার আনুমানিক মান খুঁজে পেতে দেয়।