স্থানাঙ্কগুলি জানা থাকলে কীভাবে দৈর্ঘ্য বের করবেন। একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক খোঁজা: উদাহরণ, সমাধান

নীচের নিবন্ধটি একটি সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার বিষয়গুলিকে কভার করবে যদি এর চরম বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি প্রাথমিক ডেটা হিসাবে পাওয়া যায়। কিন্তু আমরা সমস্যা অধ্যয়ন শুরু করার আগে, আসুন আমরা বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা উপস্থাপন করি।

Yandex.RTB R-A-339285-1 সংজ্ঞা 1

লাইনের অংশ- একটি সরল রেখা দুটি নির্বিচারে বিন্দুকে সংযুক্ত করে, যাকে একটি সেগমেন্টের প্রান্ত বলে। একটি উদাহরণ হিসাবে, এগুলি বিন্দু A এবং B এবং সেই অনুযায়ী, সেগমেন্ট A B হতে দিন।

A এবং B বিন্দু থেকে A B রেখাংশটি উভয় দিকে অব্যাহত থাকলে, আমরা একটি সরল রেখা A B পাই। তারপর সেগমেন্ট A B হল ফলস্বরূপ সরলরেখার অংশ, A এবং B বিন্দু দ্বারা আবদ্ধ। সেগমেন্ট A B বিন্দু A এবং B কে এক করে, যা এর শেষ, সেইসাথে বিন্দুগুলির সেটের মধ্যে রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা A এবং B বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত কোনো নির্বিচারে বিন্দু K নিই, তাহলে আমরা বলতে পারি K বিন্দু A B অংশে অবস্থিত।

সংজ্ঞা 2

বিভাগের দৈর্ঘ্য- একটি প্রদত্ত স্কেলে একটি সেগমেন্টের প্রান্তের মধ্যে দূরত্ব (একক দৈর্ঘ্যের একটি অংশ)। নিম্নরূপ A B রেখাংশের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করা যাক: A B।

সংজ্ঞা 3

সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু- একটি বিন্দু একটি অংশে শুয়ে আছে এবং এর প্রান্ত থেকে সমান দূরত্বে। সেগমেন্ট A B এর মাঝখানে C বিন্দু দ্বারা মনোনীত হলে, সমতা হবে সত্য: A C = C B

প্রারম্ভিক তথ্য: স্থানাঙ্ক রেখা O x এবং এর উপর অ-সঙ্গত বিন্দু: A এবং B। এই পয়েন্টগুলি বাস্তব সংখ্যার সাথে মিলে যায় x ক এবং x খ. বিন্দু C হল সেগমেন্ট A B এর মাঝখানে: স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা প্রয়োজন x গ।

যেহেতু C বিন্দু A B রেখাংশের মধ্যবিন্দু, তাই সমতা সত্য হবে: | ক সি | = | গ বি | . বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব তাদের স্থানাঙ্কের পার্থক্যের মডুলাস দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেমন

| ক সি | = | গ বি | ⇔ x C - x A = x B - x C

তাহলে দুটি সমতা সম্ভব: x C - x A = x B - x C এবং x C - x A = - (x B - x C)

প্রথম সমতা থেকে আমরা C বিন্দুর স্থানাঙ্কের সূত্র বের করি: x C = x A + x B 2 (সেগমেন্টের প্রান্তের স্থানাঙ্কের অর্ধেক)।

দ্বিতীয় সমতা থেকে আমরা পাই: x A = x B, যা অসম্ভব, কারণ উৎস তথ্যে - অ-মিলিত পয়েন্ট। এইভাবে, A (x A) প্রান্ত সহ A B সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক নির্ধারণের সূত্র এবং B(xB):

সমতলে বা মহাকাশে একটি সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক নির্ধারণের জন্য ফলস্বরূপ সূত্রটি ভিত্তি হবে।

প্রাথমিক তথ্য: O x y সমতলে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা, প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A x A, y A এবং B x B, y B সহ দুটি নির্বিচারে অ-মিলিত বিন্দু। বিন্দু C হল সেগমেন্ট A B এর মাঝখানে। বিন্দু C এর জন্য x C এবং y C স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

আসুন বিশ্লেষণের জন্য বিবেচনা করি যখন বিন্দু A এবং B একত্রিত হয় না এবং একই স্থানাঙ্ক রেখা বা অক্ষগুলির একটিতে লম্ব রেখার উপর থাকে না। A x , A y ; B x, B y এবং C x, C y - স্থানাঙ্ক অক্ষে A, B এবং C বিন্দুর অনুমান (সরল রেখা O x এবং O y)।

নির্মাণ অনুসারে, লাইনগুলি A A x, B B x, C C x সমান্তরাল; রেখাগুলোও একে অপরের সমান্তরাল। এর সাথে, থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, সমতা A C = C B থেকে সমতাগুলি অনুসরণ করে: A x C x = C x B x এবং A y C y = C y B y, এবং তারা ঘুরে নির্দেশ করে যে বিন্দু C x A x B x সেগমেন্টের মাঝখানে এবং C y হল A y B y সেগমেন্টের মাঝখানে। এবং তারপরে, পূর্বে প্রাপ্ত সূত্রের উপর ভিত্তি করে, আমরা পাই:

x C = x A + x B 2 এবং y C = y A + y B 2

একই সূত্রগুলি সেই ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে যখন বিন্দু A এবং B একই স্থানাঙ্ক রেখা বা অক্ষগুলির একটিতে লম্ব রেখার উপর থাকে। পরিচালনা বিস্তারিত বিশ্লেষণআমরা এই ক্ষেত্রে বিবেচনা করব না, আমরা এটি শুধুমাত্র গ্রাফিকভাবে বিবেচনা করব:

উপরের সবগুলোর সংক্ষিপ্তকরণ, প্রান্তের স্থানাঙ্কের সাথে সমতলে A B সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক A (x A, y A) এবং B(xB, yB) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

প্রাথমিক তথ্য: স্থানাঙ্ক সিস্টেম O x y z এবং প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A (x A, y A, z A) এবং B (x B, y B, z B) সহ দুটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু। বিন্দু C এর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করা প্রয়োজন, যা A B সেগমেন্টের মাঝখানে।

A x , A y , A z ; B x , B y , B z এবং C x , C y , C z - সকলের অনুমান প্রদত্ত পয়েন্টস্থানাঙ্ক সিস্টেমের অক্ষের উপর।

থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, নিম্নলিখিত সমতাগুলি সত্য: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

অতএব, বিন্দু C x , C y , C z হল যথাক্রমে A x B x , A y B y , A z B z অংশের মধ্যবিন্দু। তারপর, মহাকাশে একটি অংশের মাঝখানের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি সঠিক:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

ফলাফলের সূত্রগুলি সেই ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য যেখানে বিন্দু A এবং B স্থানাঙ্ক রেখাগুলির একটিতে অবস্থিত; একটি অক্ষের লম্ব সরলরেখায়; একটি স্থানাঙ্ক সমতলে বা একটি সমতল সমতল স্থানাঙ্কের একটিতে লম্ব।

প্রান্তের ব্যাসার্ধ ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির মাধ্যমে একটি অংশের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করা

একটি রেখাংশের মাঝখানের স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করার সূত্রটিও ভেক্টরের বীজগণিতিক ব্যাখ্যা অনুসারে নেওয়া যেতে পারে।

প্রাথমিক তথ্য: আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম O x y, প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A (x A, y A) এবং B (x B, x B) সহ বিন্দু। বিন্দু C হল সেগমেন্ট A B এর মাঝখানে।

ভেক্টরের ক্রিয়াগুলির জ্যামিতিক সংজ্ঞা অনুসারে, নিম্নলিখিত সমতা সত্য হবে: O C → = 1 2 · O A → + O B → । পয়েন্ট C-এ এক্ষেত্রে– O A → এবং O B → ভেক্টরের ভিত্তিতে নির্মিত একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণের ছেদ বিন্দু, অর্থাৎ কর্ণগুলির মধ্যবর্তী বিন্দু। বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি বিন্দুর স্থানাঙ্কের সমান, তাহলে সমতাগুলি সত্য: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y বি)। আসুন স্থানাঙ্কে ভেক্টরগুলিতে কিছু ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করি এবং পান:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

অতএব, বিন্দু C স্থানাঙ্ক রয়েছে:

x A + x B 2 , y A + y B 2

সাদৃশ্য দ্বারা, স্থানের একটি অংশের মাঝখানে স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র নির্ধারণ করা হয়:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

উপরের প্রাপ্ত সূত্রগুলির ব্যবহার জড়িত সমস্যাগুলির মধ্যে, এমন কিছু রয়েছে যেখানে সরাসরি প্রশ্নটি হল সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি গণনা করা, এবং যেগুলি এই প্রশ্নে প্রদত্ত শর্তগুলি নিয়ে আসা জড়িত: শব্দটি "মধ্য" প্রায়শই ব্যবহার করা হয়, লক্ষ্য হল একটি অংশের প্রান্ত থেকে একটির স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করা, এবং প্রতিসাম্য সমস্যাগুলিও সাধারণ, যার সমাধানটি সাধারণভাবে এই বিষয়টি অধ্যয়ন করার পরে অসুবিধা সৃষ্টি করবে না। এর সাধারণ উদাহরণ তাকান.

উদাহরণ 1

প্রাথমিক তথ্য:সমতলে - প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A (- 7, 3) এবং B (2, 4) সহ বিন্দু। A B রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

সমাধান

C বিন্দু দিয়ে A B রেখাংশের মাঝখানে চিহ্নিত করা যাক। এর স্থানাঙ্কগুলি সেগমেন্টের প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলির অর্ধেক হিসাবে নির্ধারিত হবে, যেমন পয়েন্ট A এবং B

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

উত্তর: A B - 5 2, 7 2 সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক।

উদাহরণ 2

প্রাথমিক তথ্য: A B C ত্রিভুজের স্থানাঙ্কগুলি পরিচিত: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8)। মাঝারি A M এর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

সমাধান

1. সমস্যার শর্ত অনুসারে, A M হল মধ্যক, যার মানে M হল B C রেখাংশের মধ্যবিন্দু। প্রথমত, B C সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা যাক, অর্থাৎ এম পয়েন্ট:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. যেহেতু আমরা এখন মধ্যকের উভয় প্রান্তের স্থানাঙ্ক (বিন্দু A এবং M) জানি, তাই আমরা বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করতে এবং A M মধ্যকের দৈর্ঘ্য গণনা করতে সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

উত্তর: 58

উদাহরণ 3

প্রাথমিক তথ্য:একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থায় ত্রিমাত্রিক স্থানদেওয়া সমান্তরাল A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . বিন্দু C 1 এর স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়েছে (1, 1, 0), এবং বিন্দু Mও সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা তির্যক B D 1 এর মধ্যবিন্দু এবং এর স্থানাঙ্ক M (4, 2, - 4) রয়েছে। বিন্দু A এর স্থানাঙ্ক গণনা করা প্রয়োজন।

সমাধান

একটি সমান্তরাল পাইপের কর্ণগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে, যা সমস্ত কর্ণের মধ্যবিন্দু। এই বিবৃতির উপর ভিত্তি করে, আমরা মনে রাখতে পারি যে বিন্দু M, সমস্যাটির অবস্থা থেকে পরিচিত, A C 1 সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু। মহাকাশে একটি সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার সূত্রের উপর ভিত্তি করে, আমরা বিন্দু A এর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাই: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z গ 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

উত্তর: A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7, 3, - 8)।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

জ্যামিতিতে ব্যবহৃত তিনটি প্রধান সমন্বয় ব্যবস্থা রয়েছে, তাত্ত্বিক বলবিদ্যা, পদার্থবিজ্ঞানের অন্যান্য শাখা: কার্টেসিয়ান, মেরু এবং গোলাকার। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, সম্পূর্ণ বিন্দুতে তিনটি স্থানাঙ্ক রয়েছে। 2 বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি জেনে আপনি এই দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করতে পারেন।

আপনার প্রয়োজন হবে

• একটি অংশের প্রান্তের কার্টেসিয়ান, মেরু এবং গোলাকার স্থানাঙ্ক

নির্দেশনা

1. প্রথমত, একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বিবেচনা করুন। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানের একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ধারিত হয় স্থানাঙ্ক x,y এবং z. একটি ব্যাসার্ধ ভেক্টর উৎপত্তি থেকে বিন্দু পর্যন্ত আঁকা হয়। স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর এই ব্যাসার্ধ ভেক্টরের অনুমান হবে স্থানাঙ্কএই পয়েন্ট। এখন আপনার সাথে দুটি পয়েন্ট আছে স্থানাঙ্কযথাক্রমে x1,y1,z1 এবং x2,y2 এবং z2। প্রথম এবং ২য় বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর যথাক্রমে r1 এবং r2 দ্বারা চিহ্নিত করুন। দৃশ্যত, এই দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হবে ভেক্টরের মডুলাস r = r1-r2, যেখানে (r1-r2) ভেক্টর পার্থক্য। ভেক্টর r-এর স্থানাঙ্কগুলি দৃশ্যত নিম্নরূপ হবে: x1-x2, y1-y2, z1-z2। তাহলে r ভেক্টরের মাত্রা বা দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব সমান হবে: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+(z1-z2)^2 ))।

2. এখন একটি পোলার কোঅর্ডিনেট সিস্টেম বিবেচনা করুন যেখানে একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক রেডিয়াল স্থানাঙ্ক r (XY সমতলে ব্যাসার্ধ ভেক্টর), কৌণিক স্থানাঙ্ক দিয়ে দেওয়া হবে? (ভেক্টর r এবং X অক্ষের মধ্যে কোণ) এবং z স্থানাঙ্ক, কার্টেসিয়ান সিস্টেমের z স্থানাঙ্কের অনুরূপ। একটি বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্কগুলিকে নিম্নলিখিত উপায়ে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে রূপান্তর করা যেতে পারে: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z। তারপর সঙ্গে দুই পয়েন্ট মধ্যে দূরত্ব স্থানাঙ্ক r1, ?1 ,z1 এবং r2, ?2, z2 সমান হবে R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+(r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+(z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. এখন গোলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার দিকে তাকান। এটিতে, পয়েন্টের অবস্থান তিনটি দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়েছে স্থানাঙ্ক r,? এবং?. r – উৎপত্তি থেকে বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব, ? এবং? – যথাক্রমে আজিমুথাল এবং জেনিথ কোণ। কোণ? মেরু স্থানাঙ্ক সিস্টেমে একই পদবী সহ একটি কোণের অনুরূপ, তাই না? – ব্যাসার্ধ ভেক্টর r এবং Z অক্ষের মধ্যে কোণ, 0 সহ<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с স্থানাঙ্ক r1, ?1, ?1 এবং r2, ?2 এবং ?2 হবে R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin? ?1 )^2)+(r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

বিষয়ের উপর ভিডিও

স্থানাঙ্ক সমতলের সাথে যুক্ত কর্মের একটি সম্পূর্ণ গ্রুপ (পরীক্ষার ধরণের সমস্যাগুলির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত) রয়েছে। এগুলি হল সবচেয়ে মৌলিক সমস্যাগুলি, যেগুলি মৌখিকভাবে সমাধান করা হয় (একটি প্রদত্ত বিন্দুর অর্ডিনেট বা অ্যাবসিসা নির্ধারণ করা, বা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি প্রতিসম বিন্দু, এবং অন্যান্য), এমন কাজগুলির সাথে শেষ হয় যার জন্য উচ্চ-মানের জ্ঞান, বোঝার এবং প্রয়োজন। ভাল দক্ষতা (একটি সরল রেখার কৌণিক সহগ সম্পর্কিত সমস্যা)।

ধীরে ধীরে আমরা তাদের সব বিবেচনা করা হবে. এই নিবন্ধে, আমরা মৌলিক বিষয়গুলি দিয়ে শুরু করব। এইগুলি নির্ণয় করার জন্য সহজ কাজগুলি: একটি বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট, একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য, একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু, একটি সরল রেখার ঢালের সাইন বা কোসাইন।বেশিরভাগ মানুষ এই কাজগুলিতে আগ্রহী হবে না। তবে সেগুলো উপস্থাপন করা জরুরি মনে করি।

আসল কথা হল সবাই স্কুলে যায় না। অনেক লোক স্নাতক হওয়ার 3-4 বা তার বেশি বছর পরে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা দেয় এবং তারা অস্পষ্টভাবে মনে রাখে যে অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট কী। আমরা সমন্বয় সমতল সম্পর্কিত অন্যান্য কাজগুলিও বিশ্লেষণ করব, এটি মিস করবেন না, ব্লগ আপডেটগুলিতে সদস্যতা নিন। এখন nএকটি সামান্য তত্ত্ব।

স্থানাঙ্কের সমতলে x=6, y=3 সহ বিন্দু A নির্মাণ করি।

তারা বলে যে বিন্দু A এর অবসিসা ছয়টির সমান, A বিন্দুর অর্ডিনেট সমান তিনটি।

সহজভাবে বলতে গেলে, ষাঁড়ের অক্ষটি অ্যাবসিসা অক্ষ, y অক্ষটি অর্ডিনেট অক্ষ।

অর্থাৎ, অ্যাবসিসা হল x অক্ষের একটি বিন্দু যেখানে স্থানাঙ্ক সমতলে প্রদত্ত একটি বিন্দু অভিক্ষিপ্ত হয়; অর্ডিনেট হল y অক্ষের বিন্দু যেখানে নির্দিষ্ট বিন্দুটি অভিক্ষিপ্ত হয়।

স্থানাঙ্ক সমতলে একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য

একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ধারণের সূত্র যদি তার প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলি জানা থাকে:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি অংশের দৈর্ঘ্য সমান পা সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজে কর্ণের দৈর্ঘ্য।

X B - X A এবং U B - U A

* * *

সেগমেন্টের মাঝখানে। তার স্থানাঙ্ক.

একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করার সূত্র:

দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ

দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণের সূত্রটির ফর্ম রয়েছে:

যেখানে (x 1;y 1) এবং (x 2;y 2 ) প্রদত্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

সমন্বয় মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করে, এটি আকারে হ্রাস করা হয়:

y = kx + b, যেখানে k রেখার ঢাল

স্থানাঙ্ক সমতল সম্পর্কিত অন্য একটি গ্রুপের সমস্যার সমাধান করার সময় আমাদের এই তথ্যের প্রয়োজন হবে। এই সম্পর্কে একটি নিবন্ধ থাকবে, এটি মিস করবেন না!

আপনি আর কি যোগ করতে পারেন?

একটি সরল রেখা (বা সেগমেন্ট) এর প্রবণতার কোণ হল oX অক্ষ এবং এই সরল রেখার মধ্যবর্তী কোণ, 0 থেকে 180 ডিগ্রি পর্যন্ত।

আসুন কাজগুলি বিবেচনা করি।

বিন্দু (6;8) থেকে একটি লম্বকে অর্ডিনেট অক্ষের উপর ফেলে দেওয়া হয়। লম্বের ভিত্তির অর্ডিনেট খুঁজুন।

অর্ডিনেট অক্ষের উপর নিচু করা লম্বের ভিত্তি স্থানাঙ্ক (0;8) থাকবে। অর্ডিনেট আটটির সমান।

উত্তর: 8

বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজুন কঅর্ডিনেটে স্থানাঙ্ক (6;8) সহ।

বিন্দু A থেকে অর্ডিনেট অক্ষের দূরত্ব A বিন্দুর অবসিসার সমান।

উত্তরঃ 6টি।

ক(6;8) অক্ষের সাথে আপেক্ষিক বলদ.

oX অক্ষের সাপেক্ষে A বিন্দুতে প্রতিসম বিন্দুর স্থানাঙ্ক রয়েছে (6;–8)।

অর্ডিনেট বিয়োগ আটের সমান।

উত্তর:- 8

বিন্দুর প্রতিসম বিন্দুর অর্ডিনেট খুঁজুন ক(6;8) উৎপত্তির সাথে সম্পর্কিত।

উৎসের সাপেক্ষে A বিন্দুতে প্রতিসম বিন্দুর স্থানাঙ্ক রয়েছে (– 6;– 8)।

এর অর্ডিনেট হল – 8।

উত্তরঃ-৮

বিন্দুগুলিকে সংযোগকারী সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর অ্যাবসিসা খুঁজুনও(0;0) এবং ক(6;8).

সমস্যা সমাধানের জন্য, সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন। আমাদের সেগমেন্টের প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলি হল (0;0) এবং (6;8)।

আমরা সূত্র ব্যবহার করে গণনা করি:

আমরা পেয়েছি (3;4)। অবসিসা তিনটির সমান।

উত্তরঃ 3

*একটি বর্গক্ষেত্রে কাগজের শীটে একটি স্থানাঙ্ক সমতলে এই রেখাংশটি তৈরি করে একটি সূত্র ব্যবহার করে হিসাব ছাড়াই একটি রেখাংশের মাঝখানের অ্যাবসিসা নির্ধারণ করা যেতে পারে। সেগমেন্টের মাঝখানে কোষ দ্বারা নির্ধারণ করা সহজ হবে।

বিন্দুগুলিকে সংযোগকারী সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর অ্যাবসিসা খুঁজুন ক(6;8) এবং খ(–2;2).

সমস্যা সমাধানের জন্য, সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন। আমাদের সেগমেন্টের প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলি হল (–2;2) এবং (6;8)।

আমরা সূত্র ব্যবহার করে গণনা করি:

আমরা পেয়েছি (2;5)। অ্যাবসিসা দুইটির সমান।

উত্তর: 2

*একটি বর্গক্ষেত্রে কাগজের শীটে একটি স্থানাঙ্ক সমতলে এই রেখাংশটি তৈরি করে একটি সূত্র ব্যবহার করে হিসাব ছাড়াই একটি রেখাংশের মাঝখানের অ্যাবসিসা নির্ধারণ করা যেতে পারে।

বিন্দু (0;0) এবং (6;8) সংযোগকারী অংশের দৈর্ঘ্য খুঁজুন।

তার প্রান্তের প্রদত্ত স্থানাঙ্কে অংশের দৈর্ঘ্য সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

আমাদের ক্ষেত্রে O(0;0) এবং A(6;8) আছে। মানে,

*বিয়োগ করার সময় স্থানাঙ্কের ক্রম কোন ব্যাপার নয়। আপনি বিন্দু A এর অবসিসা এবং বিন্দু O এর অর্ডিনেট থেকে বিন্দু বিয়োগ করতে পারেন:

উত্তরঃ ১০

বিন্দুগুলিকে সংযোগকারী সেগমেন্টের ঢালের কোসাইন খুঁজুন ও(0;0) এবং ক(6;8), x-অক্ষ সহ।

একটি রেখাংশের প্রবণতার কোণ হল এই সেগমেন্ট এবং oX অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ।

বিন্দু A থেকে আমরা একটি লম্বকে oX অক্ষের দিকে নামাই:

অর্থাৎ, একটি রেখাংশের প্রবণতার কোণটি কোণএসএআইসমকোণী ত্রিভুজ ABO-তে।

সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের কোসাইন হল

সংলগ্ন পায়ের সাথে কর্ণের অনুপাত

আমাদের কর্ণের সন্ধান করতে হবেOA.

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে:একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।

এইভাবে, ঢাল কোণের কোসাইন হল 0.6

উত্তর: 0.6

বিন্দু (6;8) থেকে একটি লম্বকে অ্যাবসিসা অক্ষের উপর ফেলে দেওয়া হয়। লম্বের ভিত্তির অবসিসা খুঁজুন।

বিন্দু (6;8) দিয়ে অ্যাবসিসা অক্ষের সমান্তরাল একটি সরল রেখা আঁকা হয়। অক্ষের সাথে এর ছেদ বিন্দুর অর্ডিনেট খুঁজুন OU.

বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজুন কস্থানাঙ্ক সহ (6;8) অ্যাবসিসা অক্ষে।

বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজুন কস্থানাঙ্ক সহ (6;8) উৎপত্তিতে।

আপনি যদি একটি ভাল-তীক্ষ্ণ পেন্সিল দিয়ে একটি নোটবুকের শীট স্পর্শ করেন তবে একটি ট্রেস থাকবে যা বিন্দুর ধারণা দেয়। (চিত্র 3)।

আসুন কাগজের টুকরোতে দুটি বিন্দু A এবং B চিহ্নিত করি। এই বিন্দুগুলি বিভিন্ন লাইন দ্বারা সংযুক্ত করা যেতে পারে (চিত্র 4)। কিভাবে বিন্দু A এবং B সংক্ষিপ্ততম লাইনের সাথে সংযুক্ত করবেন? এটি একটি শাসক ব্যবহার করে করা যেতে পারে (চিত্র 5)। ফলে রেখা বলা হয় সেগমেন্ট.

পয়েন্ট এবং লাইন - উদাহরণ জ্যামিতিক আকার.

পয়েন্ট A এবং B বলা হয় সেগমেন্টের শেষ.

একটি একক সেগমেন্ট আছে যার শেষ বিন্দু A এবং B। তাই, একটি সেগমেন্টকে চিহ্নিত করা হয় বিন্দুগুলি লিখে লিখে। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 5-এর সেগমেন্টটি দুটি উপায়ের একটিতে মনোনীত করা হয়েছে: AB বা BA। পড়ুন: "সেগমেন্ট AB" বা "সেগমেন্ট BA"।

চিত্র 6 তিনটি সেগমেন্ট দেখায়। সেগমেন্ট AB এর দৈর্ঘ্য 1 সেমি। এটি MN সেগমেন্টে ঠিক তিনবার এবং EF সেগমেন্টে ঠিক 4 বার ফিট করে। সেটা বলা যাক সেগমেন্ট দৈর্ঘ্য MN সমান 3 সেমি, এবং সেগমেন্ট EF এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।

এটা বলাও প্রথাগত: "সেগমেন্ট MN সমান 3 সেমি," "সেগমেন্ট EF সমান 4 সেমি।" তারা লেখে: MN = 3 সেমি, EF = 4 সেমি।

আমরা MN এবং EF বিভাগের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করেছি একক সেগমেন্ট, যার দৈর্ঘ্য 1 সেমি। বিভাগ পরিমাপ করতে, আপনি অন্য চয়ন করতে পারেন দৈর্ঘ্যের একক, উদাহরণস্বরূপ: 1 মিমি, 1 ডিএম, 1 কিমি। চিত্র 7-এ, সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য 17 মিমি। এটি একটি একক অংশ দ্বারা পরিমাপ করা হয়, যার দৈর্ঘ্য 1 মিমি, একটি স্নাতক শাসক ব্যবহার করে। এছাড়াও, একটি শাসক ব্যবহার করে, আপনি একটি প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের একটি অংশ তৈরি (আঁকতে) করতে পারেন (চিত্র 7 দেখুন)।

মোটেও, একটি সেগমেন্ট পরিমাপ করার অর্থ হল এতে কতগুলি ইউনিট সেগমেন্ট ফিট তা গণনা করা.

একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

আপনি যদি রেখাংশ AB-তে C বিন্দু চিহ্নিত করেন, তাহলে AB রেখাংশের দৈর্ঘ্য AC এবং CB-এর দৈর্ঘ্যের যোগফলের সমান।(চিত্র 8)।

লিখুন: AB = AC + CB।

চিত্র 9 এ দুটি সেগমেন্ট AB এবং CD দেখায়। এই বিভাগগুলি যখন সুপারইম্পোজ করা হয় তখন মিলিত হবে৷

দুটি অংশকে সমান বলা হয় যদি তারা সুপারইম্পোজ করার সময় মিলে যায়।

তাই রেখাংশ AB এবং CD সমান। তারা লেখে: AB = CD।

সমান অংশের সমান দৈর্ঘ্য আছে।

দুটি অসম অংশের মধ্যে, আমরা লম্বা দৈর্ঘ্যের একটিকে বড় বলে বিবেচনা করব। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 6-এ, সেগমেন্ট EF সেগমেন্ট MN থেকে বড়।

AB রেখাংশের দৈর্ঘ্যকে বলা হয় দূরত্বপয়েন্ট A এবং B এর মধ্যে

যদি চিত্র 10-এ দেখানো হিসাবে বেশ কয়েকটি সেগমেন্ট সাজানো হয়, আপনি একটি জ্যামিতিক চিত্র পাবেন ভাঙা লাইন. মনে রাখবেন যে চিত্র 11-এর সমস্ত অংশগুলি একটি ভাঙা রেখা তৈরি করে না। সেগমেন্টগুলিকে একটি ভাঙা রেখা হিসাবে বিবেচনা করা হয় যদি প্রথম সেগমেন্টের শেষটি দ্বিতীয়টির শেষের সাথে মিলে যায় এবং দ্বিতীয় অংশের অন্য প্রান্তটি তৃতীয়টির শেষে ইত্যাদির সাথে মিলে যায়।

বিন্দু A, B, C, D, E − একটি ভাঙ্গা রেখার শীর্ষবিন্দু ABCDE, বিন্দু A এবং E − পলিলাইনের শেষ, এবং রেখাংশ AB, BC, CD, DE হল এর লিঙ্ক(চিত্র 10 দেখুন)।

লাইন দৈর্ঘ্যএর সমস্ত লিঙ্কের দৈর্ঘ্যের যোগফলকে কল করুন।

চিত্র 12 দুটি ভাঙা লাইন দেখায় যার শেষগুলি মিলে যায়৷ এই ধরনের ভাঙা লাইন বলা হয় বন্ধ.

উদাহরণ 1 . সেগমেন্ট BC সেগমেন্ট AB থেকে 3 সেমি ছোট, যার দৈর্ঘ্য 8 সেমি (চিত্র 13)। AC সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান। আমাদের আছে: BC = 8 − 3 = 5 (cm)।

একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা AC = AB + BC লিখতে পারি। তাই AC = 8 + 5 = 13 (সেমি)।

উত্তর: 13 সেমি।

উদাহরণ 2 . এটি জানা যায় যে MK = 24 সেমি, NP = 32 সেমি, এমপি = 50 সেমি (চিত্র 14)। NK রেখাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান। আমাদের আছে: MN = MP − NP।

তাই MN = 50 − 32 = 18 (cm)।

আমাদের আছে: NK = MK − MN।

তাই NK = 24 − 18 = 6 (সেমি)।

উত্তরঃ 6 সে.মি.

সেগমেন্ট দ্বারাএই দুটি বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত এই লাইনের সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত একটি সরল রেখার একটি অংশকে কল করুন - সেগুলিকে সেগমেন্টের প্রান্ত বলা হয়।

এর প্রথম উদাহরণ তাকান. একটি নির্দিষ্ট অংশকে স্থানাঙ্ক সমতলের দুটি বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক। এই ক্ষেত্রে, আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে এর দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পারি।

সুতরাং, স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় আমরা এর প্রান্তগুলির প্রদত্ত স্থানাঙ্কগুলির সাথে একটি সেগমেন্ট আঁকি(x1; y1) এবং (x2; y2) . অক্ষে এক্স এবং Y সেগমেন্টের প্রান্ত থেকে লম্ব আঁকুন। স্থানাঙ্ক অক্ষের মূল অংশ থেকে অনুমান করা অংশগুলিকে লাল রঙে চিহ্নিত করা যাক। এর পরে, আমরা সেগমেন্টের প্রান্তের সমান্তরাল অভিক্ষেপ বিভাগগুলি স্থানান্তর করি। আমরা একটি ত্রিভুজ (আয়তক্ষেত্রাকার) পেতে। এই ত্রিভুজের কর্ণটি AB নিজেই সেগমেন্ট হবে এবং এর পাগুলি স্থানান্তরিত অনুমান।

আসুন এই অনুমানগুলির দৈর্ঘ্য গণনা করি। সুতরাং, অক্ষ সম্মুখের Y অভিক্ষেপ দৈর্ঘ্য হয় y2-y1 , এবং অক্ষের উপর এক্স অভিক্ষেপ দৈর্ঘ্য হয় x2-x1 . আসুন পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করি: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . এক্ষেত্রে |এবি| সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য।

আপনি যদি একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য গণনা করতে এই চিত্রটি ব্যবহার করেন, তাহলে আপনাকে সেগমেন্টটি নির্মাণ করতে হবে না। এখন স্থানাঙ্কের সাহায্যে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য গণনা করা যাক (1;3) এবং (2;5) . পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করে, আমরা পাই: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . এর মানে হল আমাদের সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য সমান 5:1/2 .

একটি অংশের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি বিবেচনা করুন। এটি করার জন্য, আমাদের কিছু সিস্টেমে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানতে হবে। একটি দ্বি-মাত্রিক কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করে এই বিকল্পটি বিবেচনা করা যাক।

সুতরাং, একটি দ্বি-মাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, সেগমেন্টের চরম বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়। যদি আমরা এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে সরল রেখা আঁকি, তবে সেগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষের লম্ব হতে হবে, তাহলে আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাব। মূল সেগমেন্টটি ফলস্বরূপ ত্রিভুজের কর্ণ হবে। একটি ত্রিভুজের পাগুলি অংশগুলি তৈরি করে, তাদের দৈর্ঘ্য স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিতে কর্ণের অভিক্ষেপের সমান। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি: একটি প্রদত্ত সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে, আপনাকে দুটি স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর অনুমানগুলির দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে হবে।

আসুন অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করি (X এবং Y) স্থানাঙ্ক অক্ষে মূল সেগমেন্ট। আমরা একটি পৃথক অক্ষ বরাবর বিন্দুর স্থানাঙ্কের পার্থক্য খুঁজে বের করে তাদের গণনা করি: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য গণনা করুন ক , এর জন্য আমরা বর্গমূল খুঁজে পাই:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

যদি আমাদের সেগমেন্ট বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত হয় যার স্থানাঙ্ক 2;4 এবং 4;1 , তাহলে এর দৈর্ঘ্য অনুরূপভাবে সমান √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .