চতুর্থ অধ্যায়। মহাকাশে সরল রেখা এবং প্লেন। পলিহেড্রা

§ 55. একটি বহুভুজের অভিক্ষেপ ক্ষেত্র।

আমাদের স্মরণ করা যাক যে একটি রেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণ হল একটি প্রদত্ত রেখা এবং সমতলে তার অভিক্ষেপের মধ্যে কোণ (চিত্র 164)।

উপপাদ্য। একটি সমতলে বহুভুজের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল বহুভুজের সমতল এবং অভিক্ষেপ সমতল দ্বারা গঠিত কোণের কোসাইন দ্বারা গুণিত অভিক্ষিপ্ত বহুভুজের ক্ষেত্রফলের সমান।

প্রতিটি বহুভুজকে ত্রিভুজে ভাগ করা যেতে পারে যার ক্ষেত্রফলের সমষ্টি বহুভুজের ক্ষেত্রফলের সমান। অতএব, এটি একটি ত্রিভুজের জন্য উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট।

যাক /\ ABC একটি সমতলে অভিক্ষিপ্ত হয় r. আসুন দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:
ক) পক্ষগুলির মধ্যে একটি /\ ABC সমতলের সমান্তরাল r;
খ) কোন পক্ষ নয় /\ ABC সমান্তরাল নয় r.

এর বিবেচনা করা যাক প্রথম ক্ষেত্রে: যাক [AB] || r.

আসুন (AB) এর মাধ্যমে একটি সমতল আঁকুন r 1 || rএবং orthogonally নকশা /\ ABC চালু r 1 এবং অন r(চিত্র 165); আমরা পাই /\ ABC 1 এবং /\ A"B"C"।
অভিক্ষেপ সম্পত্তি দ্বারা আমরা আছে /\ এবিসি ঘ /\ A"B"C", এবং তাই

এস /\ ABC1=S /\ A"B"C"

চলুন আঁকি __|_ এবং রেখাংশ D 1 C 1। তারপর _|_ , a = φ হল সমতলের মধ্যবর্তী কোণের মান /\ এবিসি এবং প্লেন r 1. সেজন্য

এস /\ ABC1 = 1/2 | এবি | | গ 1 ডি 1 | = 1/2 | এবি | | সিডি 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

এবং তাই এস /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

এর বিবেচনা এগিয়ে চলুন দ্বিতীয় ক্ষেত্রে. এর একটি সমতল আঁকুন r 1 || rযে উপরে /\ ABC, যেখান থেকে সমতলের দূরত্ব rক্ষুদ্রতম (এটি শীর্ষবিন্দু A হতে দিন)।
এর ডিজাইন করা যাক /\ বিমানে এবিসি r 1 এবং r(চিত্র 166); তার অনুমান যথাক্রমে হতে দিন /\ AB 1 C 1 এবং /\ A"B"C"।

যাক (সূর্য) পি 1 = D. তারপর

এস /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ এডিসি-এস /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

টাস্ক।একটি সমতল একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভিত্তি দিক দিয়ে φ = 30° কোণে তার ভিত্তির সমতলে আঁকা হয়। প্রিজমের গোড়ার পাশে থাকলে ফলস্বরূপ ক্রস-সেকশনের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন ক= 6 সেমি।

আসুন আমরা এই প্রিজমের ক্রস বিভাগটি চিত্রিত করি (চিত্র 167)। যেহেতু প্রিজম নিয়মিত, তাই এর পাশের প্রান্তগুলি ভিত্তির সমতলে লম্ব। মানে, /\ ABC একটি অভিক্ষেপ /\ এডিসি, তাই

একটি প্লেন বিবেচনা করুন পি এবং সরলরেখা এটিকে ছেদ করছে . যাক ক - মহাকাশে একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু। আসুন এই বিন্দু দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকুন , লাইনের সমান্তরাল . যাক . ডট বিন্দুর অভিক্ষেপ বলা হয় কসমতলে পিএকটি প্রদত্ত সরল রেখা বরাবর সমান্তরাল নকশা সহ . সমতল পি , যেখানে স্থানের বিন্দুগুলিকে অভিক্ষিপ্ত করা হয় তাকে অভিক্ষেপ সমতল বলে।

p - অভিক্ষেপ সমতল;

- সরাসরি নকশা; ;

; ; ;

অর্থোগোনাল নকশাসমান্তরাল নকশা একটি বিশেষ ক্ষেত্রে. অর্থোগোনাল ডিজাইন হল একটি সমান্তরাল নকশা যেখানে নকশা রেখাটি প্রজেকশন প্লেনের সাথে লম্ব। অর্থোগোনাল ডিজাইন প্রযুক্তিগত অঙ্কনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যেখানে একটি চিত্র তিনটি সমতলের উপর প্রক্ষিপ্ত হয় - অনুভূমিক এবং দুটি উল্লম্ব।

সংজ্ঞা: একটি বিন্দুর অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ এমসমতলে পিবেস বলা হয় এম ঘলম্ব এমএম ঘ, বিন্দু থেকে বাদ এমসমতলে পি.

পদবী: , , .

সংজ্ঞা: একটি চিত্রের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ চসমতলে পিসমতলের সমস্ত বিন্দুর সেট যা চিত্রের বিন্দুগুলির সেটের অর্থোগোনাল প্রজেকশন চসমতলে পি.

অর্থোগোনাল ডিজাইনের মতো বিশেষ ক্ষেত্রেসমান্তরাল নকশা একই বৈশিষ্ট্য আছে:

p - অভিক্ষেপ সমতল;

- সরাসরি নকশা; ;

1) ;

2) , .

1. সমান্তরাল রেখার অনুমানগুলি সমান্তরাল।

একটি ফ্ল্যাট চিত্রের প্রজেকশন এলাকা

উপপাদ্য: একটি নির্দিষ্ট সমতলে সমতল বহুভুজের অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল বহুভুজের সমতল এবং অভিক্ষেপ সমতলের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন দ্বারা গুণিত অভিক্ষিপ্ত বহুভুজের ক্ষেত্রফলের সমান।

পর্যায় 1: অভিক্ষিপ্ত চিত্রটি হল একটি ত্রিভুজ ABC, যার পাশে AC প্রক্ষেপণ সমতল a (অক্ষিক্ষেপ সমতল a-এর সমান্তরাল) মধ্যে রয়েছে।

দেওয়া:

প্রমাণ করুন:

প্রমাণ:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. তিনটি লম্বের উপপাদ্য দ্বারা;

ВD - উচ্চতা; B 1 D – উচ্চতা;

5. – ডিহেড্রাল কোণের রৈখিক কোণ;

6. ; ; ; ;

পর্যায় 2: অভিক্ষিপ্ত চিত্রটি একটি ত্রিভুজ ABC, যার কোনোটিই অভিক্ষেপ সমতল a তে থাকে না এবং এর সমান্তরাল নয়।

দেওয়া:

প্রমাণ করুন:

প্রমাণ:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(পর্যায় 1);

5. ; ; ;

(পর্যায় 1);

পর্যায়: ডিজাইন করা চিত্রটি একটি নির্বিচারে বহুভুজ।

প্রমাণ:

বহুভুজকে একটি শীর্ষবিন্দু থেকে আঁকা কর্ণ দ্বারা বিভক্ত করা হয়েছে একটি সসীম সংখ্যক ত্রিভুজ, যার প্রতিটির জন্য উপপাদ্যটি সত্য। অতএব, উপপাদ্যটি সমস্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের যোগফলের জন্যও সত্য হবে যার সমতল অভিক্ষেপ সমতলের সাথে একই কোণ তৈরি করে।

মন্তব্য করুন: প্রমাণিত উপপাদ্য যে কোনো জন্য বৈধ সমতল চিত্র, একটি বন্ধ বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ।

ব্যায়াম:

1. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রটি সন্ধান করুন যার সমতলটি একটি কোণে অভিক্ষেপ সমতলের দিকে ঝুঁকে আছে, যদি এর অভিক্ষেপটি একটি বাহুর সাথে একটি নিয়মিত ত্রিভুজ হয়।

2. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজুন যার সমতল একটি কোণে অভিক্ষেপ সমতলের দিকে ঝুঁকে আছে, যদি এর অভিক্ষেপটি 10 ​​সেমি বাহু এবং 12 সেমি বেস সহ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হয়।

3. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজুন যার সমতল একটি কোণে অভিক্ষেপ সমতলের দিকে ঝুঁকে আছে, যদি এর অভিক্ষেপ একটি ত্রিভুজ হয় যার বাহু 9, 10 এবং 17 সেমি।

4. একটি ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল গণনা করুন, যার সমতলটি একটি কোণে অভিক্ষেপ সমতলের দিকে ঝুঁকে আছে, যদি এটির অভিক্ষেপ একটি সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েড হয়, যার বড় ভিত্তিটি 44 সেমি, পার্শ্বটি 17 সেমি এবং তির্যক 39 সেমি হয়।

5. একটি নিয়মিত ষড়ভুজের অভিক্ষেপ ক্ষেত্র গণনা করুন 8 সেন্টিমিটার একটি পাশে, যার সমতলটি একটি কোণে অভিক্ষেপ সমতলের দিকে ঝুঁকে আছে।

6. 12 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি রম্বস এবং একটি তীব্র কোণ একটি প্রদত্ত সমতলের সাথে একটি কোণ গঠন করে। এই সমতলে রম্বসের অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল গণনা করুন।

7. একটি রম্বস যার একটি বাহু 20 সেমি এবং একটি তির্যক 32 সেমি একটি প্রদত্ত সমতলের সাথে একটি কোণ তৈরি করে। এই সমতলে রম্বসের অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল গণনা করুন।

8. একটি অনুভূমিক সমতলে একটি ক্যানোপির অভিক্ষেপ হল একটি আয়তক্ষেত্র যার বাহু এবং . ক্যানোপির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যদি পাশের মুখগুলি একটি কোণে অনুভূমিক সমতলে ঝুঁকে থাকা সমান আয়তক্ষেত্র হয় এবং ক্যানোপির মাঝখানের অংশটি অভিক্ষেপ সমতলের একটি বর্গাকার সমান্তরাল হয়।

11. "মহাকাশে লাইন এবং প্লেন" বিষয়ের উপর অনুশীলন:

ত্রিভুজটির বাহুগুলি 20 সেমি, 65 সেমি, ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের শীর্ষবিন্দু থেকে 60 সেমি সমান একটি লম্বের প্রান্ত থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করুন ত্রিভুজের বড় দিক।

2. সমতল থেকে সেমি দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে, দুটি বাঁক আঁকা হয়, সমতলের সমান কোণ তৈরি করে এবং তাদের মধ্যে একটি সমকোণ। আনত সমতলগুলির ছেদ বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন।

3. একটি নিয়মিত ত্রিভুজের বাহু 12 সেমি বিন্দু M বেছে নেওয়া হয়েছে যাতে ত্রিভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দুর সাথে সংযোগকারী অংশগুলি তার সমতলের সাথে কোণ তৈরি করে। বিন্দু M থেকে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং বাহুর দূরত্ব খুঁজুন।

4. বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দিকে একটি কোণে বর্গক্ষেত্রের পাশ দিয়ে একটি সমতল আঁকা হয়। বর্গক্ষেত্রের দুটি বাহু সমতলের দিকে ঝুঁকে থাকা কোণগুলি খুঁজুন।

5. সমদ্বিবাহু পা সমকোণী ত্রিভুজসমতলের দিকে ঝুঁকে একটি কোণে কর্ণের মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। প্রমাণ করুন যে সমতল a এবং ত্রিভুজের সমতলের মধ্যে কোণ সমান।

6. ABC এবং DBC ত্রিভুজের সমতলগুলির মধ্যবর্তী কোণ সমান। AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm হলে AD খুঁজুন।

"মহাকাশে রেখা এবং সমতল" বিষয়ে পরীক্ষামূলক প্রশ্ন

1. স্টেরিওমেট্রির মৌলিক ধারণাগুলি তালিকাভুক্ত করুন। স্টেরিওমেট্রির স্বতঃসিদ্ধ গঠন কর।

2. স্বতঃসিদ্ধ থেকে ফলাফল প্রমাণ করুন।

3. এটা কি মত? আপেক্ষিক অবস্থানমহাকাশে দুটি লাইন? ছেদকারী, সমান্তরাল এবং তির্যক রেখার সংজ্ঞা দাও।

4. তির্যক রেখার চিহ্ন প্রমাণ করুন।

5. রেখা এবং সমতলের আপেক্ষিক অবস্থান কি? ছেদকারী, সমান্তরাল রেখা এবং সমতলের সংজ্ঞা দাও।

6. একটি রেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে সমান্তরালতার চিহ্ন প্রমাণ করুন।

7. দুটি প্লেনের আপেক্ষিক অবস্থান কী?

8. সমান্তরাল সমতল সংজ্ঞায়িত করুন। একটি চিহ্ন প্রমাণ করুন যে দুটি সমতল সমান্তরাল। সমান্তরাল সমতল সম্পর্কে রাষ্ট্রীয় উপপাদ্য।

9. সরল রেখার মধ্যে কোণ সংজ্ঞায়িত করুন।

10. একটি রেখা এবং একটি সমতলের লম্বতার চিহ্ন প্রমাণ করুন।

11. একটি লম্বের ভিত্তি, একটি ঝোঁকের ভিত্তি, একটি সমতলের উপর একটি ঝোঁকের অভিক্ষেপ সংজ্ঞায়িত করুন। একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলে নেমে আসা একটি লম্ব এবং বাঁক রেখার বৈশিষ্ট্যগুলি তৈরি করুন।

12. একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণটি সংজ্ঞায়িত করুন।

13. তিনটি লম্ব সম্পর্কে উপপাদ্যটি প্রমাণ করুন।

14. ডাইহেড্রাল অ্যাঙ্গেল, ডিহেড্রাল অ্যাঙ্গেলের রৈখিক কোণের সংজ্ঞা দাও।

15. দুটি সমতলের লম্বতার চিহ্ন প্রমাণ কর।

16. দুটি ভিন্ন বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করুন।

17. একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব নির্ধারণ করুন।

18. একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলে দূরত্ব নির্ধারণ করুন।

19. একটি সরলরেখা এবং এর সমান্তরাল সমতলের মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করুন।

20. সমান্তরাল সমতলগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করুন।

21. ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করুন।

22. সমতলে একটি বিন্দুর অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ সংজ্ঞায়িত করুন।

23. একটি সমতলে একটি চিত্রের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ সংজ্ঞায়িত করুন।

24. একটি সমতলে অনুমানগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি তৈরি করুন।

25. সমতল বহুভুজের অভিক্ষেপ ক্ষেত্রফলের উপর একটি উপপাদ্য প্রণয়ন ও প্রমাণ করুন।

জ্যামিতি সমস্যায়, সাফল্য শুধুমাত্র তত্ত্বের জ্ঞানের উপর নয়, একটি উচ্চ-মানের অঙ্কনের উপর নির্ভর করে।
ফ্ল্যাট অঙ্কন সঙ্গে সবকিছু আরো বা কম পরিষ্কার. কিন্তু স্টেরিওমেট্রিতে পরিস্থিতি আরও জটিল। সব পরে, এটি চিত্রিত করা প্রয়োজন ত্রিমাত্রিকশরীরের উপর সমতলঅঙ্কন, এবং যাতে আপনি নিজে এবং যে ব্যক্তি আপনার অঙ্কনটি দেখছেন উভয়েই একই ভলিউম্যাট্রিক বডি দেখতে পাবেন।

এটা কিভাবে করবেন?
অবশ্যই, একটি সমতলে ভলিউমেট্রিক বডির যে কোনো ছবি শর্তসাপেক্ষ হবে। যাইহোক, একটি নির্দিষ্ট নিয়ম আছে. অঙ্কন নির্মাণের একটি সাধারণভাবে গৃহীত উপায় আছে - সমান্তরাল অভিক্ষেপ.

আসুন একটি ভলিউম্যাট্রিক বডি নেওয়া যাক।
এর নির্বাচন করা যাক অভিক্ষেপ সমতল.
ভলিউম্যাট্রিক বডির প্রতিটি বিন্দুর মাধ্যমে আমরা একে অপরের সমান্তরাল সরল রেখা আঁকি এবং যেকোন কোণে অভিক্ষেপ সমতলকে ছেদ করি। এই প্রতিটি রেখা কোনো না কোনো সময়ে অভিক্ষেপ সমতলকে ছেদ করে। এবং সব একসাথে এই পয়েন্ট গঠন অভিক্ষেপএকটি সমতলে একটি ভলিউম্যাট্রিক বডি, অর্থাৎ এর সমতল চিত্র।

ভলিউম্যাট্রিক সংস্থার অনুমান কিভাবে নির্মাণ করবেন?
কল্পনা করুন যে আপনার একটি ভলিউমেট্রিক বডির একটি ফ্রেম আছে - একটি প্রিজম, পিরামিড বা সিলিন্ডার। আলোর সমান্তরাল মরীচি দিয়ে এটিকে আলোকিত করে, আমরা একটি চিত্র পাই - দেয়ালে বা পর্দায় একটি ছায়া। মনে রাখবেন যে বিভিন্ন কোণ বিভিন্ন চিত্র তৈরি করে, তবে কিছু নিদর্শন এখনও উপস্থিত রয়েছে:

একটি সেগমেন্টের অভিক্ষেপ একটি সেগমেন্ট হবে।

অবশ্যই, যদি সেগমেন্টটি প্রজেকশন প্লেনের সাথে লম্ব হয় তবে এটি এক বিন্দুতে প্রদর্শিত হবে।

একটি বৃত্তের অভিক্ষেপ সাধারণ ক্ষেত্রেএকটি উপবৃত্ত হতে সক্রিয়.

একটি আয়তক্ষেত্রের অভিক্ষেপ একটি সমান্তরালগ্রাম।

একটি সমতলের উপর একটি ঘনকের অভিক্ষেপ এইরকম দেখায়:

এখানে সামনের এবং পিছনের মুখগুলি প্রজেকশন প্লেনের সমান্তরাল

আপনি এটি ভিন্নভাবে করতে পারেন:

আমরা যে কোণই বেছে নিই, অঙ্কনের সমান্তরাল অংশগুলির অনুমানগুলিও সমান্তরাল অংশ হবে৷. এটি সমান্তরাল অভিক্ষেপের নীতিগুলির মধ্যে একটি।

পিরামিডের অনুমান অঙ্কন,

সিলিন্ডার

সমান্তরাল অভিক্ষেপের মূল নীতির পুনরাবৃত্তি করা যাক। আমরা একটি প্রজেকশন প্লেন নির্বাচন করি এবং ভলিউমেট্রিক বডির প্রতিটি বিন্দুর মাধ্যমে একে অপরের সমান্তরাল সরল রেখা আঁকি। এই রেখাগুলো যে কোনো কোণে অভিক্ষেপ সমতলকে ছেদ করে। যদি এই কোণটি 90° হয়, আমরা কথা বলছি আয়তক্ষেত্রাকার অভিক্ষেপ. আয়তক্ষেত্রাকার অভিক্ষেপ ব্যবহার করে, প্রযুক্তিতে ভলিউমেট্রিক অংশগুলির অঙ্কন তৈরি করা হয়। এক্ষেত্রে আমরা টপ ভিউ, ফ্রন্ট ভিউ এবং সাইড ভিউ নিয়ে কথা বলছি।

বহুভুজ অর্থোগোনাল প্রজেকশন উপপাদ্যের বিস্তারিত প্রমাণ

যদি একটি ফ্ল্যাটের অভিক্ষেপ হয় n - gon একটি সমতলে, তাহলে বহুভুজ এবং সমতলগুলির মধ্যে কোণ কোথায়। অন্য কথায়, একটি সমতল বহুভুজের অভিক্ষেপ ক্ষেত্রটি অভিক্ষিপ্ত বহুভুজের ক্ষেত্রফল এবং অভিক্ষেপ সমতল এবং অভিক্ষিপ্ত বহুভুজের সমতলের মধ্যে কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান।

প্রমাণ। আমি মঞ্চ আসুন একটি ত্রিভুজের জন্য প্রথমে প্রমাণটি বের করি। আসুন 5 টি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।

1 মামলা। অভিক্ষেপ সমতলে থাকা .

যথাক্রমে সমতলে বিন্দুর অনুমান করা যাক। আমাদের ক্ষেত্রে. ধরা যাক যে. উচ্চতা ধরা যাক, তারপর তিনটি লম্বের উপপাদ্য দ্বারা আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে - উচ্চতা (- বাঁকের অভিক্ষেপ, - এর ভিত্তি এবং সরলরেখাটি বাঁকের ভিত্তির মধ্য দিয়ে যাচ্ছে এবং)।

এর বিবেচনা করা যাক. এটা আয়তক্ষেত্রাকার. কোসাইনের সংজ্ঞা অনুসারে:

অন্যদিকে, যেহেতু এবং তারপরে সংজ্ঞা অনুসারে সমতলগুলির অর্ধ-সমতল দ্বারা এবং সীমানা সরলরেখার সাথে গঠিত ডাইহেড্রাল কোণের রৈখিক কোণ, এবং সেইজন্য, এর পরিমাপও হল মধ্যবর্তী কোণের পরিমাপ। ত্রিভুজ এবং ত্রিভুজ নিজেই অভিক্ষেপের সমতল, যে.

ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করা যাক:

মনে রাখবেন যে সূত্রটি সত্য থাকে এমনকি যখন। এই ক্ষেত্রে

মামলা 2। শুধুমাত্র প্রজেকশন প্লেনে থাকে এবং প্রজেকশন প্লেনের সমান্তরাল থাকে .

যথাক্রমে সমতলে বিন্দুর অনুমান করা যাক। আমাদের ক্ষেত্রে.

বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকুন। আমাদের ক্ষেত্রে, সরলরেখা অভিক্ষেপ সমতলকে ছেদ করে, যার মানে, লেমা দ্বারা, সরলরেখাটি অভিক্ষেপ সমতলকেও ছেদ করে। এটা বিন্দু হতে দিন যেহেতু, তারপর বিন্দু একই সমতলে থাকা, এবং যেহেতু এটি অভিক্ষেপ সমতল সমান্তরাল, তারপর রেখা এবং সমতল এর সমান্তরালতার চিহ্নের ফলে এটি অনুসরণ করে। অতএব, এটি একটি সমান্তরালগ্রাম। এর বিবেচনা করা যাক এবং. তারা তিন দিকে সমান (সাধারণ দিকটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুর মতো)। লক্ষ্য করুন যে একটি চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র এবং সমান (পা এবং কর্ণ বরাবর), অতএব, তিন দিকে সমান। সেজন্য।

প্রযোজ্য ক্ষেত্রে 1: , অর্থাৎ

মামলা 3। শুধুমাত্র প্রজেকশন প্লেনে থাকে এবং প্রজেকশন প্লেনের সমান্তরাল নয় .

বিন্দুটি অভিক্ষেপ সমতলের সাথে লাইনের ছেদ বিন্দু হতে দিন। উল্লেখ্য যে এবং. 1 ক্ষেত্রে: i. এইভাবে আমরা যে পেতে

কেস 4 শীর্ষবিন্দুগুলি অভিক্ষেপ সমতলে থাকে না . চলুন লম্ব তাকান. এই লম্বগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোটটিকে ধরা যাক। এটি লম্ব হতে দিন. এটি চালু হতে পারে যে এটি হয় শুধুমাত্র বা শুধুমাত্র। তারপর যেভাবেই হোক আমরা এটা নিয়ে যাব।

আসুন আমরা একটি সেগমেন্টের একটি বিন্দু থেকে একটি বিন্দুকে আলাদা করে রাখি, যাতে, এবং একটি বিন্দু থেকে একটি সেগমেন্টের একটি বিন্দু, যাতে। এই নির্মাণ সম্ভব কারণ এটি লম্বগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট। উল্লেখ্য যে এটি নির্মাণ দ্বারা এবং এর একটি অভিক্ষেপ। আসুন আমরা এটি প্রমাণ করি এবং সমান।

একটি চতুর্ভুজ বিবেচনা করুন। শর্ত অনুযায়ী - একটি সমতলে লম্ব, অতএব, উপপাদ্য অনুসারে, অতএব। যেহেতু নির্মাণের মাধ্যমে, তারপর একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে (সমান্তরাল এবং সমান বিপরীত বাহু দ্বারা), আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে এটি একটি সমান্তরালগ্রাম। মানে, . একইভাবে, এটি প্রমাণিত হয় যে, . অতএব, এবং তিন দিকে সমান। সেজন্য। নোট করুন যে এবং, সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহু হিসাবে, তাই, সমতলগুলির সমান্তরালতার উপর ভিত্তি করে,। যেহেতু এই সমতলগুলি সমান্তরাল, তাই তারা অভিক্ষেপ সমতলের সাথে একই কোণ তৈরি করে।

পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে প্রযোজ্য:.

কেস 5 অভিক্ষেপ সমতল পক্ষগুলিকে ছেদ করে . চলুন সরলরেখা তাকান. তারা অভিক্ষেপ সমতলে লম্ব, তাই উপপাদ্য অনুসারে তারা সমান্তরাল। বিন্দুতে উৎপত্তি সহ সহনির্দেশক রশ্মির উপর, আমরা যথাক্রমে সমান অংশগুলি প্লট করব, যাতে শীর্ষবিন্দুগুলি অভিক্ষেপ সমতলের বাইরে থাকে। উল্লেখ্য যে এটি নির্মাণ দ্বারা এবং এর একটি অভিক্ষেপ। আসুন দেখান যে এটি সমান।

যেহেতু এবং, নির্মাণ দ্বারা, তারপর. অতএব, সমান্তরালগ্রামের মানদণ্ড অনুসারে (দুটি সমান এবং সমান্তরাল পক্ষ), একটি সমান্তরালগ্রাম। এটি একইভাবে প্রমাণিত হয় যে এবং সমান্তরালগ্রাম। কিন্তু তারপর, এবং (বিপরীত দিক হিসাবে), তাই তিন দিকে সমান। মানে, .

উপরন্তু, এবং সেইজন্য, প্লেনগুলির সমান্তরালতার উপর ভিত্তি করে। যেহেতু এই সমতলগুলি সমান্তরাল, তাই তারা অভিক্ষেপ সমতলের সাথে একই কোণ তৈরি করে।

প্রযোজ্য ক্ষেত্রে 4:.

২ মঞ্চ শীর্ষবিন্দু থেকে আঁকা তির্যক ব্যবহার করে একটি সমতল বহুভুজকে ত্রিভুজে ভাগ করা যাক: তারপর, ত্রিভুজের পূর্ববর্তী কেস অনুযায়ী: .

Q.E.D.

জ্যামিতি
দশম শ্রেণীর পাঠ পরিকল্পনা

পাঠ 56

বিষয়. বহুভুজের অর্থোগোনাল প্রজেকশনের ক্ষেত্রফল

পাঠের উদ্দেশ্য: বহুভুজের অর্থোগোনাল প্রজেকশনের ক্ষেত্রফলের উপর উপপাদ্য অধ্যয়ন করা, সমস্যা সমাধানে শেখা উপপাদ্য প্রয়োগে শিক্ষার্থীদের দক্ষতা বিকাশ করা।

সরঞ্জাম: স্টেরিওমেট্রিক সেট, কিউব মডেল।

পাঠের অগ্রগতি

I. হোমওয়ার্ক পরীক্ষা করা

1. দুইজন ছাত্র বোর্ডে 42, 45 নং সমস্যার সমাধান পুনরুত্পাদন করে।

2. সামনের প্রশ্ন।

1) ছেদকারী দুটি সমতলের মধ্যে কোণটি সংজ্ঞায়িত করুন।

2) মধ্যে কোণ কি:

ক) সমান্তরাল সমতল;

খ) লম্ব সমতল?

3) দুটি সমতলের মধ্যে কোণ কোন সীমার মধ্যে পরিবর্তিত হতে পারে?

4) এটি কি সত্য যে একটি সমতল যা সমান্তরাল সমতলগুলিকে একই কোণে ছেদ করে?

5) এটা কি সত্য যে একটি সমতল যা লম্ব তলগুলিকে সমান কোণে ছেদ করে?

3. 42, 45 নং সমস্যার সমাধানের সঠিকতা পরীক্ষা করা, যা শিক্ষার্থীরা বোর্ডে পুনরায় তৈরি করেছে।

২. উপলব্ধি এবং নতুন উপাদান সচেতনতা

শিক্ষার্থীদের জন্য অ্যাসাইনমেন্ট

1. প্রমাণ করুন যে একটি ত্রিভুজের অভিক্ষেপ ক্ষেত্র, যার এক পাশে অভিক্ষেপ সমতলে রয়েছে, তার ক্ষেত্রফলের গুণফল এবং বহুভুজের সমতল এবং অভিক্ষেপ সমতলের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন সমান।

2. ক্ষেত্রের উপপাদ্যটি প্রমাণ করুন যখন একটি জালযুক্ত ত্রিভুজ একটি হয় যার একটি বাহু অভিক্ষেপ সমতলের সমান্তরাল হয়।

3. ক্ষেত্রের উপপাদ্যটি প্রমাণ করুন যখন একটি জালযুক্ত ত্রিভুজ এমন হয় যার কোনোটিই অভিক্ষেপ সমতলের সমান্তরাল নয়।

4. যেকোনো বহুভুজের উপপাদ্য প্রমাণ করুন।

সমস্যা সমাধান

1. একটি বহুভুজের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল খুঁজুন যার ক্ষেত্রফল 50 cm2, এবং বহুভুজের সমতল এবং এর অভিক্ষেপের মধ্যে কোণটি 60°।

2. বহুভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজুন যদি এই বহুভুজের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল 50 cm2 হয় এবং বহুভুজের সমতল এবং এর অভিক্ষেপের মধ্যে কোণটি 45° হয়।

3. বহুভুজের ক্ষেত্রফল হল 64 cm2, এবং অর্থোগোনাল অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল হল 32 cm2। বহুভুজের সমতল এবং এর অভিক্ষেপের মধ্যে কোণ খুঁজুন।

4. অথবা হতে পারে একটি বহুভুজের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল এই বহুভুজের ক্ষেত্রফলের সমান?

5. ঘনক্ষেত্রের প্রান্তটি a এর সমান। এই বেসের দিকে 30° কোণে বেসের উপরের দিক দিয়ে যাওয়া এবং সমস্ত পাশের প্রান্তগুলিকে ছেদ করে একটি সমতল দ্বারা ঘনকের ক্রস-বিভাগীয় এলাকা খুঁজুন। (উত্তর।)

6. পাঠ্যবই থেকে সমস্যা নং 48 (1, 3) (পৃ. 58)।

7. পাঠ্যবই থেকে সমস্যা নং 49 (2) (পৃ. 58)।

8. আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি 20 এবং 25 সেমি সমতলে এটির অভিক্ষেপ। অভিক্ষেপের পরিধি খুঁজুন। (উত্তর: 72 সেমি বা 90 সেমি।)

III. বাড়ির কাজ

§4, অনুচ্ছেদ 34; নিরাপত্তা প্রশ্ননং 17; সমস্যা নং 48 (2), 49 (1) (পৃ. 58)।

IV পাঠের সারসংক্ষেপ

ক্লাসের জন্য প্রশ্ন

1) বহুভুজের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফলের উপর একটি উপপাদ্য বর্ণনা করুন।

2) বহুভুজের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল কি বহুভুজের ক্ষেত্রফলের চেয়ে বেশি হতে পারে?

3) সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর কর্ণ AB এর মাধ্যমে, একটি সমতল α ত্রিভুজের সমতলে 45° কোণে এবং সমতল α-তে একটি লম্ব CO আঁকা হয়। AC = 3 cm, BC = 4 cm নিচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক এবং কোনটি ভুল তা নির্দেশ করুন:

ক) সমতল ABC এবং α কোণ SMO কোণের সমান, যেখানে বিন্দু H হল ত্রিভুজ ABC-এর উচ্চতা CM এর ভিত্তি;

b) CO = 2.4 সেমি;

গ) ত্রিভুজ AOC হল α সমতলে ত্রিভুজ ABC এর একটি অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ;

d) AOB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 3 cm2।

(উত্তর: ক) সঠিক; খ) ভুল; গ) ভুল; ঘ) সঠিক।)