সংখ্যাসূচক একীকরণ সূত্রের ধারণা। সংখ্যাগত একীকরণ

সংখ্যাসূচক একীকরণ সূত্র প্রোগ্রামিং

ভূমিকা

1. সংখ্যাগত একীকরণের পদ্ধতি

2. চতুর্ভুজ সূত্র

3. ইন্টিগ্রেশন ধাপের স্বয়ংক্রিয় নির্বাচন

উপসংহার

গ্রন্থপঞ্জি

ভূমিকা

রচনাটির উদ্দেশ্য অধ্যয়ন করা এবং তুলনামূলক বিশ্লেষণফাংশন সংখ্যাসূচক একীকরণ পদ্ধতি; ভাষাতে মেশিন প্রোগ্রাম আকারে এই পদ্ধতির বাস্তবায়ন উচ্চস্তরএবং কম্পিউটারে সংখ্যাসূচক একীকরণ সমস্যার ব্যবহারিক সমাধান।

ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, প্রায়শই ফর্মের একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য মান গণনা করার প্রয়োজন হয়

. (1)

যদি ব্যবধানে ফাংশন একটানা থাকে [ ক , খ] এবং এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ একটি পরিচিত ফাংশনের মাধ্যমে নির্ধারণ করা যেতে পারে, তারপরে নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করে এই ধরনের একটি অখণ্ড গণনা করা হয়:

.

ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যায়, বিশ্লেষণাত্মক আকারে অবিচ্ছেদ্য মান পাওয়া খুব কমই সম্ভব। উপরন্তু, ফাংশন চ (এক্স) নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, পরীক্ষামূলক ডেটার একটি টেবিল দ্বারা। অতএব, অনুশীলনে, একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে তারা ব্যবহার করে বিশেষ পদ্ধতি, যা ইন্টারপোলেশন যন্ত্রের উপর ভিত্তি করে।

এই ধরনের পদ্ধতির ধারণা নিম্নরূপ। সূত্র (1) ব্যবহার করে অখণ্ড গণনা করার পরিবর্তে, প্রথমে ফাংশনের মানগুলি গণনা করুন চ (একাদশ) = yiকিছু নোডের মধ্যে একাদশ Î[ ক , খ]। তারপর ইন্টারপোলেশন বহুপদী নির্বাচন করা হয় পৃ (এক্স, প্রাপ্ত পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া ( একাদশ , yi), যা পূর্ণাঙ্গ (1) এর আনুমানিক মান গণনা করার সময় ব্যবহৃত হয়:

.

এই পদ্ধতির বাস্তবায়ন করার সময়, সংখ্যাসূচক একীকরণ সূত্র নিম্নলিখিত গ্রহণ করে সাধারণ ফর্ম:

, (2) - ইন্টারপোলেশন নোড, ক i- কিছু সহগ, আর- সূত্রের ত্রুটি চিহ্নিত করে অবশিষ্ট শব্দ। উল্লেখ্য, ফর্মের (2) সূত্রগুলোকে চতুর্ভুজ সূত্র বলা হয়।

সাংখ্যিক একীকরণের জ্যামিতিক অর্থ হল ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল গণনা করা। চ (এক্স), x-অক্ষ এবং দুটি সরলরেখা x = aএবং x = খ.ক্ষেত্রফলের একটি আনুমানিক গণনা চতুর্ভুজ সূত্রে অবশিষ্ট পদটিকে প্রত্যাখ্যানের দিকে নিয়ে যায় আর, যা পদ্ধতির ত্রুটিকে চিহ্নিত করে, যা অতিরিক্তভাবে একটি গণনাগত ত্রুটি দ্বারা উচ্চারিত হয়।

1. সংখ্যাসূচক একীকরণ পদ্ধতি

ভিতরে ফলিত গবেষণাপ্রায়শই একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের মান গণনা করার প্রয়োজন হয়

আপনি একটি গণিত কোর্স থেকে জানেন যে, সমস্ত ক্ষেত্রেই ইন্টিগ্রালকে বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যায় না। এমনকি সেই ক্ষেত্রেও যখন এই অবিচ্ছেদ্যটির বিশ্লেষণাত্মক রূপটি খুঁজে পাওয়া সম্ভব, গণনা পদ্ধতিটি একটি আনুমানিক ফলাফল দেয়, তাই এই অবিচ্ছেদ্যটির আনুমানিক মানের সমস্যা দেখা দেয়।

আনুমানিক গণনার সারমর্ম দুটি ক্রিয়াকলাপের মধ্যে রয়েছে: 1. n এর পরিবর্তে একটি সসীম সংখ্যা নির্বাচন করা; 2. একটি বিন্দু নির্বাচন

সংশ্লিষ্ট বিভাগে।

পছন্দের উপর নির্ভর করে

আমরা পূর্ণাঙ্গ গণনার জন্য বিভিন্ন সূত্র পাই: বাম এবং ডান আয়তক্ষেত্রের সূত্র (5), (6) (5) (6)

ট্র্যাপিজয়েড সূত্র:

সিম্পসনের সূত্র

b, a - বিবেচনাধীন সেগমেন্টের শেষ।

উপরের সাংখ্যিক একীকরণ সূত্রের সাথে গণনার ফলাফল তুলনা করতে, আমরা 3টি উপায়ে নিম্নোক্ত পূর্ণাঙ্গ গণনা করি, সেগমেন্টটিকে 6টি সমান সেগমেন্টে ভাগ করে: h=

বাম আয়তক্ষেত্রের সূত্র অনুসারে:

ট্র্যাপিজয়েড সূত্র অনুসারে:

সিম্পসনের সূত্র অনুসারে:

এবং বিশ্লেষণাত্মকভাবে প্রাপ্ত ফলাফল সমান

=1

অতএব, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে সিম্পসন সূত্র অনুসারে সংখ্যাসূচক একীকরণ পদ্ধতিটি আরও নির্ভুল, তবে এটি ব্যবহৃত হয় সাধারণ ক্ষেত্রেযখন সেগমেন্টকে বিভক্ত করার সময় একটি জোড় সংখ্যক ব্যবধানে বিভক্ত করা হয়।

2. চতুর্ভুজ সূত্র

আয়তক্ষেত্র সূত্রসহজ চতুর্ভুজ সূত্র। আসুন আমরা ইন্টিগ্রেশন সেগমেন্টকে বিভক্ত করি [ ক, খ] চালু পৃসমান অংশ দৈর্ঘ্য

. উল্লেখ্য যে মান জএকীকরণ পদক্ষেপ বলা হয়। বিভক্ত পয়েন্টে এক্স 0 = ক ,এক্স 1 =a+h , ..., x n = bআদেশ নোট করুন y 0 ,y 1 ,…,y nআঁকাবাঁকা চ (এক্স), i.e. আসুন গণনা করা যাক y i = f (একাদশ), x i = a+ ih = x i -1 +ঘ (i =) দৈর্ঘ্যের প্রতিটি অংশে জপাশ দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করুন জএবং yi, কোথায় i =, অর্থাৎ সেগমেন্টের বাম প্রান্তে গণনা করা অর্ডিনেট মান থেকে। তারপরে বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল, যা অখণ্ড (1) এর মান নির্ধারণ করে, প্রায় আয়তক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে (চিত্র 1)। এখান থেকে আমরা আয়তক্ষেত্রের সূত্র পাই:
. (3)

যদি, অবিচ্ছেদ্য যোগফল গণনা করার সময়, আমরা ফাংশনের মান গ্রহণ করি চ (এক্স) বাম দিকে নয়, দৈর্ঘ্যের অংশগুলির ডান প্রান্তে জ, যা চিত্রে দেখানো হয়েছে। বিন্দুযুক্ত রেখা সহ 1, আমরা আয়তক্ষেত্র সূত্রের দ্বিতীয় সংস্করণ পাই:

. (4)

আয়তক্ষেত্র সূত্রের তৃতীয় সংস্করণ ফাংশন মান ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে চ (এক্স), প্রতিটি দৈর্ঘ্য সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুতে গণনা করা হয় জ(চিত্র 2):

. (5)

সূত্র (3), (4) এবং (4) যথাক্রমে বাম, ডান এবং কেন্দ্রীয় আয়তক্ষেত্রের সূত্র বলা হয়।

সিম্পসনের সূত্র।ইন্টিগ্রেশন ব্যবধানকে 2 দ্বারা ভাগ করা যাক nসমান অংশ দৈর্ঘ্য

. প্রতিটি সেগমেন্টে [ একাদশ , x i+2] ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন চ (এক্স) পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি প্যারাবোলা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হবে ( একাদশ , yi), (একাদশ +1 , yi +1), (একাদশ +2 , yi+2)। তারপর অখণ্ডের আনুমানিক মান সিম্পসনের সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়: . (৭)

একটি কম্পিউটারে গণনা করার সময়, নিম্নলিখিত সূত্রটি আরও সুবিধাজনক:

সিম্পসনের পদ্ধতিটি সর্বাধিক পরিচিত এবং ব্যবহৃত সংখ্যাসূচক একীকরণ পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি, এটি দেয় সঠিক মানঅখণ্ড যখন তৃতীয় ক্রম পর্যন্ত বহুপদকে একত্রিত করে।

নিউটনের সূত্র।নিউটনের সূত্র ব্যবহার করে অখণ্ডের আনুমানিক মান নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

যেখানে পার্টিশন বিভাগের সংখ্যা তিনটির গুণিতক, অর্থাৎ হল 3 n. কম্পিউটার প্রোগ্রামগুলি বিকাশ করার সময়, সমতুল্য সূত্র ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক:

নিউটনের পদ্ধতিটি চতুর্থ ক্রম পর্যন্ত বহুপদকে একীভূত করার সময় অখণ্ডের সঠিক মান দেয়।

3. ইন্টিগ্রেশন ধাপের স্বয়ংক্রিয় নির্বাচন

সূত্র (3) - (8) ব্যবহার করে গণনার ফলস্বরূপ, অখণ্ডের একটি আনুমানিক মান পাওয়া যায়, যা একটি নির্দিষ্ট পরিমাণে সঠিক মানের থেকে পৃথক হতে পারে, যাকে ইন্টিগ্রেশন ত্রুটি বলা হয়। ত্রুটিটি অবশিষ্ট সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় আর, প্রতিটি ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতির জন্য আলাদা। যদি ই-এর বেশি না হওয়া ত্রুটির সাথে অখণ্ডের মান গণনা করার প্রয়োজন হয়, তাহলে এই ধরনের একীকরণ পদক্ষেপ নির্বাচন করা প্রয়োজন জযাতে বৈষম্য বজায় থাকে আর (জ) £e। অনুশীলনে, স্বয়ংক্রিয় মান নির্বাচন ব্যবহার করা হয় জ, একটি প্রদত্ত ত্রুটির অর্জন নিশ্চিত করা। প্রথমে, অখণ্ডের মান গণনা করুন আমি (n), ইন্টিগ্রেশন ব্যবধানে বিভক্ত করা পৃবিভাগ, তারপর বিভাগের সংখ্যা দ্বিগুণ করা হয় এবং অবিচ্ছেদ্য গণনা করা হয় আমি (2n) শর্তটি সত্য না হওয়া পর্যন্ত গণনা প্রক্রিয়া চলতে থাকে।

সংখ্যাসূচক একীকরণ সূত্র প্রোগ্রামিং

ভূমিকা

2. চতুর্ভুজ সূত্র

3. ইন্টিগ্রেশন ধাপের স্বয়ংক্রিয় নির্বাচন

উপসংহার

গ্রন্থপঞ্জি

ভূমিকা

বিমূর্তটির উদ্দেশ্য হল ফাংশনগুলির সংখ্যাগত একীকরণের পদ্ধতিগুলির অধ্যয়ন এবং তুলনামূলক বিশ্লেষণ করা; একটি উচ্চ-স্তরের ভাষায় মেশিন প্রোগ্রাম আকারে এই পদ্ধতির বাস্তবায়ন এবং একটি কম্পিউটারে সংখ্যাগত একীকরণের সমস্যার ব্যবহারিক সমাধান।

ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, প্রায়শই ফর্মের একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য মান গণনা করার প্রয়োজন হয়

যদি ব্যবধানে ফাংশন একটানা থাকে [ ক, খ] এবং এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ একটি পরিচিত ফাংশনের মাধ্যমে নির্ধারণ করা যেতে পারে, তারপরে নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করে এই ধরনের একটি অখণ্ড গণনা করা হয়:

.

ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যায়, বিশ্লেষণাত্মক আকারে অবিচ্ছেদ্য মান পাওয়া খুব কমই সম্ভব। উপরন্তু, ফাংশন চ(এক্স) নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, পরীক্ষামূলক ডেটার একটি টেবিল দ্বারা। অতএব, অনুশীলনে, একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করার জন্য, বিশেষ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, যা ইন্টারপোলেশন যন্ত্রের উপর ভিত্তি করে।

এই ধরনের পদ্ধতির ধারণা নিম্নরূপ। সূত্র (1) ব্যবহার করে অখণ্ড গণনা করার পরিবর্তে, প্রথমে ফাংশনের মানগুলি গণনা করুন চ(একাদশ) = yiকিছু নোডের মধ্যে একাদশ Î[ ক, খ]। তারপর ইন্টারপোলেশন বহুপদী নির্বাচন করা হয় পৃ(এক্স, প্রাপ্ত পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া ( একাদশ, yi), যা পূর্ণাঙ্গ (1) এর আনুমানিক মান গণনা করার সময় ব্যবহৃত হয়:

.

এই পদ্ধতির বাস্তবায়ন করার সময়, সংখ্যাসূচক একীকরণ সূত্র নিম্নলিখিত সাধারণ ফর্ম গ্রহণ করে:

, (2)

ইন্টারপোলেশন নোড কোথায়, ক i- কিছু সহগ, আর- সূত্রের ত্রুটি চিহ্নিত করে অবশিষ্ট শব্দ। উল্লেখ্য, ফর্মের (2) সূত্রগুলোকে চতুর্ভুজ সূত্র বলা হয়।

সাংখ্যিক একীকরণের জ্যামিতিক অর্থ হল ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল গণনা করা। চ(এক্স), x-অক্ষ এবং দুটি সরলরেখা x = aএবং x = খ.ক্ষেত্রফলের একটি আনুমানিক গণনা চতুর্ভুজ সূত্রে অবশিষ্ট শব্দটিকে প্রত্যাখ্যানের দিকে নিয়ে যায় আর, যা পদ্ধতির ত্রুটিকে চিহ্নিত করে, যা অতিরিক্তভাবে একটি গণনাগত ত্রুটি দ্বারা উচ্চারিত হয়।

সংখ্যাসূচক একীকরণ পদ্ধতি

ফলিত গবেষণায় প্রায়ই একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের মান গণনা করার প্রয়োজন হয়

আপনি একটি গণিত কোর্স থেকে জানেন যে, সমস্ত ক্ষেত্রেই ইন্টিগ্রালকে বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যায় না। এমনকি সেই ক্ষেত্রেও যখন এই অবিচ্ছেদ্যটির বিশ্লেষণাত্মক রূপটি খুঁজে পাওয়া সম্ভব, গণনা পদ্ধতিটি একটি আনুমানিক ফলাফল দেয়, তাই এই অবিচ্ছেদ্যটির আনুমানিক মানের সমস্যা দেখা দেয়।

আনুমানিক গণনার সারমর্ম দুটি ক্রিয়াকলাপের মধ্যে রয়েছে: 1. n এর পরিবর্তে একটি সসীম সংখ্যা নির্বাচন করা; 2. সংশ্লিষ্ট বিভাগে একটি বিন্দু বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে।

পছন্দের উপর নির্ভর করে, আমরা পূর্ণাঙ্গ গণনার জন্য বিভিন্ন সূত্র পাই: বাম এবং ডান আয়তক্ষেত্রের সূত্র (5), (6)

(5)

(6)

ট্র্যাপিজয়েড সূত্র:

সিম্পসনের সূত্র

b, a - বিবেচনাধীন সেগমেন্টের শেষ।

উপরের সাংখ্যিক একীকরণ সূত্রের সাথে গণনার ফলাফলের তুলনা করতে, আমরা 3টি উপায়ে নিম্নোক্ত পূর্ণাঙ্গ গণনা করি, সেগমেন্টটিকে 6টি সমান সেগমেন্টে ভাগ করে:

বাম আয়তক্ষেত্রের সূত্র অনুসারে:

ট্র্যাপিজয়েড সূত্র অনুসারে:

সিম্পসনের সূত্র অনুসারে:

এবং বিশ্লেষণাত্মকভাবে প্রাপ্ত ফলাফল সমান

ফলস্বরূপ, আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে সিম্পসন সূত্র অনুসারে একীকরণের সংখ্যাসূচক পদ্ধতিটি আরও সঠিক, তবে একটি সমান সংখ্যক ব্যবধানে বিভক্ত অংশটিকে ভাগ করার সময় সাধারণ ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

চতুর্ভুজ সূত্র

আয়তক্ষেত্র সূত্রসহজ চতুর্ভুজ সূত্র। আসুন আমরা ইন্টিগ্রেশন সেগমেন্টকে বিভক্ত করি [ ক, খ] চালু পৃসমান অংশ দৈর্ঘ্য। উল্লেখ্য যে মান জএকীকরণ পদক্ষেপ বলা হয়। বিভক্ত পয়েন্টে এক্স 0 = ক,এক্স 1 =a+h, ..., x n = bআদেশ নোট করুন y 0 ,y 1 ,…,y nআঁকাবাঁকা চ(এক্স), i.e. আসুন গণনা করা যাক y i = f(একাদশ), x i = a+ ih = x i -1 +ঘ(i =) দৈর্ঘ্যের প্রতিটি অংশে জপাশ দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করুন জএবং yi, কোথায় i =, অর্থাৎ সেগমেন্টের বাম প্রান্তে গণনা করা অর্ডিনেট মান থেকে। তারপরে বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল, যা অখণ্ড (1) এর মান নির্ধারণ করে, প্রায় আয়তক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে (চিত্র 1)। এখান থেকে আমরা আয়তক্ষেত্রের সূত্র পাই:

যদি, অবিচ্ছেদ্য যোগফল গণনা করার সময়, আমরা ফাংশনের মান গ্রহণ করি চ(এক্স) বাম দিকে নয়, দৈর্ঘ্যের অংশগুলির ডান প্রান্তে জ, যা চিত্রে দেখানো হয়েছে। বিন্দুযুক্ত রেখা সহ 1, আমরা আয়তক্ষেত্র সূত্রের দ্বিতীয় সংস্করণ পাই:

আয়তক্ষেত্র সূত্রের তৃতীয় সংস্করণ ফাংশন মান ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে চ(এক্স), প্রতিটি দৈর্ঘ্য সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুতে গণনা করা হয় জ(চিত্র 2):

. (5)

সূত্র (3), (4) এবং (4) যথাক্রমে বাম, ডান এবং কেন্দ্রীয় আয়তক্ষেত্রের সূত্র বলা হয়।

ভাত। 2

ট্র্যাপিজয়েড সূত্র।এখানে, প্রতিটি প্রাথমিক ব্যবধানে [ একাদশ -1 , একাদশ] দৈর্ঘ্য জস্থানাঙ্ক সহ পয়েন্ট ( একাদশ -1 , yi-1) এবং ( একাদশ, yi) একটি সেগমেন্ট দ্বারা সংযুক্ত (চিত্র 3)। তারপর এই ব্যবধানে নির্মিত ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল 0.5 গুণফল দ্বারা নির্ধারিত হয় জ(yi -1 + yi) প্রাথমিক ট্র্যাপিজয়েডগুলির ক্ষেত্রগুলির সংক্ষিপ্তকরণ i= আমরা পূর্ণাঙ্গের একটি আনুমানিক মান পাই।

x-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ, সংহত ফাংশন এবং রেখার অংশগুলির গ্রাফ x=a\,\!এবং x=b\,\!, কোথায় a\,\!এবং b\,\!- একীকরণের সীমা (চিত্র দেখুন)।

সংখ্যাসূচক একীকরণ ব্যবহার করার প্রয়োজনীয়তা প্রায়শই প্রতিনিধিত্বের অভাবের কারণে ঘটতে পারে এবং তাই, বিশ্লেষণাত্মকভাবে একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের মান গণনা করার অসম্ভবতা। এটাও সম্ভব যে অ্যান্টিডেরিভেটিভের ফর্মটি এতটাই জটিল যে এটি একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করে অখণ্ডের মান গণনা করা দ্রুততর।

একমাত্রিক কেস

বেশিরভাগ সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতির মূল ধারণাটি হল ইন্টিগ্র্যান্ডকে একটি সরল দিয়ে প্রতিস্থাপন করা, যার অবিচ্ছেদ্যটি সহজেই বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, অখণ্ডের মান অনুমান করার জন্য, ফর্মের সূত্রগুলি পাওয়া যায়

আমি প্রায় \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

কোথায় n\,\!- যে পয়েন্টে ইন্টিগ্র্যান্ডের মান গণনা করা হয় তার সংখ্যা। পয়েন্ট একাদশ\,\!পদ্ধতি নোড, সংখ্যা বলা হয় w_i\,\!- নোড ওজন। শূন্য, প্রথম এবং দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদ দিয়ে ইন্টিগ্র্যান্ড প্রতিস্থাপন করার সময়, যথাক্রমে পদ্ধতি এবং (সিম্পসন) প্রাপ্ত হয়। প্রায়শই অখণ্ডের মান অনুমানের জন্য সূত্রগুলিকে চতুর্ভুজ সূত্র বলা হয়।

আয়তক্ষেত্র পদ্ধতি

আয়তক্ষেত্র পদ্ধতিএকটি ধ্রুবক সঙ্গে integrand প্রতিস্থাপন দ্বারা প্রাপ্ত করা হয়. একটি ধ্রুবক হিসাবে, আপনি সেগমেন্টের যে কোনও বিন্দুতে ফাংশনের মান নিতে পারেন \বাম\,\!. সর্বাধিক ব্যবহৃত ফাংশন মানগুলি সেগমেন্টের মাঝখানে এবং এর প্রান্তে থাকে। সংশ্লিষ্ট পরিবর্তনগুলিকে পদ্ধতি বলা হয় মাঝারি আয়তক্ষেত্র, বাম আয়তক্ষেত্রএবং ডান আয়তক্ষেত্র. আয়তক্ষেত্র পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের মানের আনুমানিক গণনার সূত্রটির ফর্ম রয়েছে

I\প্রায় f(x) (b-a),

কোথায় x=\frac(\left(a+b\right))(2), a\,\!বা b\,\!, সেই অনুযায়ী।

ট্র্যাপিজয়েড পদ্ধতি

যদি আমরা ইন্টিগ্রেশন সেগমেন্টের প্রান্ত দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকি, আমরা পাই ট্র্যাপিজয়েড পদ্ধতি. জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে এটি প্রাপ্ত করা সহজ

আমি \ প্রায় \ frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

প্যারাবোলা পদ্ধতি

ইন্টিগ্রেশন সেগমেন্টের তিনটি পয়েন্ট ব্যবহার করে, আপনি একটি প্যারাবোলা দিয়ে ইন্টিগ্র্যান্ড প্রতিস্থাপন করতে পারেন। সাধারণত, একটি সেগমেন্টের প্রান্ত এবং এর মধ্যবিন্দুগুলি যেমন বিন্দু হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এই ক্ষেত্রে, সূত্র একটি খুব সহজ ফর্ম আছে

আমি \ আনুমানিক \ frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

বর্ধিত নির্ভুলতা

সম্পূর্ণ ইন্টিগ্রেশন ব্যবধানে একটি একক বহুপদী দ্বারা একটি ফাংশনের আনুমানিকতা, একটি নিয়ম হিসাবে, অখণ্ডের মান অনুমান করার ক্ষেত্রে একটি বড় ত্রুটির দিকে নিয়ে যায়।

ত্রুটি কমাতে, ইন্টিগ্রেশন সেগমেন্টকে ভাগে ভাগ করা হয় এবং তাদের প্রতিটিতে ইন্টিগ্রাল মূল্যায়ন করার জন্য একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

পার্টিশনের সংখ্যা অসীম হওয়ার প্রবণতা থাকায়, অখণ্ডের অনুমান যেকোনো সংখ্যাসূচক পদ্ধতির জন্য তার প্রকৃত মানকে প্রবণ করে।

উপরের পদ্ধতিগুলি ধাপটিকে অর্ধেক করার একটি সহজ পদ্ধতির অনুমতি দেয়, প্রতিটি ধাপে শুধুমাত্র নতুন যোগ করা নোডগুলিতে ফাংশনের মানগুলি গণনা করা প্রয়োজন। গণনার ত্রুটি অনুমান করতে, .

গাউস পদ্ধতি

উপরে বর্ণিত পদ্ধতিগুলি নির্দিষ্ট সেগমেন্ট পয়েন্ট (শেষ এবং মধ্যম) ব্যবহার করে এবং এর মান কম (যথাক্রমে 1, 1 এবং 3)। যদি আমরা সেই পয়েন্টগুলি বেছে নিতে পারি যেখানে আমরা ফাংশনের মানগুলি গণনা করি f(x)\,\!, তারপর ইন্টিগ্র্যান্ডের একই সংখ্যক গণনার সাহায্যে আরও বেশি পদ্ধতি পাওয়া সম্ভব উচ্চ আদেশসঠিকতা। সুতরাং দুইটির জন্য (ট্র্যাপিজয়েডাল পদ্ধতিতে) ইন্টিগ্র্যান্ডের মানগুলির গণনার জন্য, আপনি 1ম নয়, তবে নির্ভুলতার 3য় ক্রমটির একটি পদ্ধতি পেতে পারেন:

আমি প্রায় \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

সাধারণভাবে, ব্যবহার করে n\,\!পয়েন্ট, আপনি সঠিকতা একটি আদেশ সঙ্গে একটি পদ্ধতি পেতে পারেন 2n-1\,\!. গাউসিয়ান পদ্ধতির নোডের মান অনুযায়ী n\,\!বিন্দু হল ডিগ্রীর Legendre বহুপদীর মূল n\,\!.

গাউসিয়ান পদ্ধতির নোডের মান এবং তাদের ওজন বিশেষ ফাংশনের ডিরেক্টরিতে দেওয়া হয়। সর্বাধিক পরিচিত গাউসিয়ান পাঁচ-দফা পদ্ধতি।

গাউস-ক্রোনরড পদ্ধতি

গাউস পদ্ধতির অসুবিধা হল যে এটিতে একটি সহজ (কম্পিউটেশনাল দৃষ্টিকোণ থেকে) ফলাফলের অবিচ্ছেদ্য মানের ত্রুটি অনুমান করার উপায় নেই। Runge এর নিয়ম ব্যবহার করার জন্য প্রায় একই সংখ্যক পয়েন্টে ইন্টিগ্র্যান্ড গণনা করা প্রয়োজন, কার্যত নির্ভুলতার ক্ষেত্রে কোনো লাভ না দিয়ে, বিপরীতে সহজ পদ্ধতি, যেখানে প্রতিটি নতুন পার্টিশনের সাথে যথার্থতা উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি পায়। ক্রোনরোডম অফার করা হয়েছিল পরবর্তী পদ্ধতিঅখণ্ডের মান অনুমান

আমি প্রায় \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

কোথায় একাদশ\,\!- গাউসিয়ান পদ্ধতির নোড n\,\!পয়েন্ট, এবং 3n+2\,\!পরামিতি a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\!এমনভাবে নির্বাচন করা হয়েছে যাতে পদ্ধতির যথার্থতার ক্রম সমান হয় 3n+1\,\!.

তারপরে, ত্রুটিটি অনুমান করতে, আপনি পরীক্ষামূলক সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন

\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^(1.5),

কোথায় I_G\,\!- অখণ্ডের মান, গাউস পদ্ধতি অনুসারে অনুমান করা হয় n\,\!পয়েন্ট গ্রন্থাগার [

সাংখ্যিক একীকরণের ধারণাটি অত্যন্ত সহজ এবং নির্দিষ্ট অখণ্ডের জ্যামিতিক অর্থ থেকে অনুসরণ করে - নির্দিষ্ট অখণ্ডের মানটি ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা সীমাবদ্ধ বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলের সংখ্যাগতভাবে সমান। y=f(x), x-অক্ষ এবং সরলরেখা x=a, x=b. একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েডের আনুমানিক ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করে, আমরা অখণ্ডের মান পাই। আনুষ্ঠানিকভাবে, সাংখ্যিক একীকরণের পদ্ধতি হল যে সেগমেন্ট [a, b] কে n আংশিক সেগমেন্টে বিভক্ত করা হয়, এবং তারপর integrand ফাংশনটি একটি সহজে ইন্টিগ্রেবল ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যা একটি নির্দিষ্ট নির্ভরতা অনুসারে, মানগুলিকে ইন্টারপোলেট করে। পার্টিশনের পয়েন্টে ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশনের। আসুন এখন সংখ্যাসূচক একীকরণের সহজতম পদ্ধতি বিবেচনা করি।

তাই ফাংশন y=f(x)সেগমেন্টে ইন্টিগ্রেবল এবং আমাদের এর ইন্টিগ্রেল গণনা করতে হবে। এর জন্য অবিচ্ছেদ্য যোগফল রচনা করা যাক f(x)সেগমেন্টে এটি করার জন্য, আমরা পয়েন্ট ব্যবহার করে সেগমেন্টটিকে n সমান অংশে ভাগ করি: x 1 , x 2 , … , x k , … , x n-1.

যদি আমরা প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা নির্দেশ করি এক্স, তাই প্রতিটি পয়েন্টের জন্য x kথাকবে: (k=0, 1, 2, …, n)।

আমাদের এখন দ্বারা বোঝানো যাক y kইন্টিগ্র্যান্ডের মান f(x)যে, আমাদের করা যাক (k=0, 1, …, n)।

তারপর পরিমাণ ফাংশন জন্য অবিচ্ছেদ্য হবে f(x)সেগমেন্টে . (প্রথম যোগফল কম্পাইল করার সময়, আমরা ফাংশনের মান বিবেচনা করি y=f(x)আংশিক সেগমেন্টের বাম প্রান্তের বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় যোগফল রচনা করার সময় - এই অংশগুলির ডান প্রান্তের বিন্দুতে।)

অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞা দ্বারা আমাদের আছে:

এবং

অতএব, একটি আনুমানিক মান হিসাবে অবিচ্ছেদ্য যোগফল নেওয়া স্বাভাবিক ,সেগুলো। রাখা:

সেগুলো (1)

এবং (1")

এই আনুমানিক সমতাগুলিকে আয়তক্ষেত্র সূত্র বলা হয়।

ক্ষেত্রে যখন f(x) 0, সূত্র (1) এবং (1’) সহ জ্যামিতিক বিন্দুদৃষ্টি মানে বাঁকা ট্র্যাপিজয়েডের এলাকা aABb, বক্ররেখার চাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ y=f(x),অক্ষ উহুএবং সোজা x=aএবং x=খ, প্রায় নেওয়া হয় সমান এলাকাবেস এবং উচ্চতা সহ n আয়তক্ষেত্র থেকে গঠিত একটি ধাপযুক্ত চিত্র: y 0, y 1, y 2, …, y n-1– সূত্রের ক্ষেত্রে (1) (চিত্র 8) এবং y 1 , y 2 , y 3 , …, y n– সূত্রের ক্ষেত্রে (1") (চিত্র 9)।

উপরের সূত্রগুলির (1) এবং (1") জ্যামিতিক অর্থের উপর ভিত্তি করে, এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের আনুমানিক গণনার পদ্ধতিকে সাধারণত বলা হয় আয়তক্ষেত্র পদ্ধতি.

যেকোন আনুমানিক গণনার একটি নির্দিষ্ট মান থাকে শুধুমাত্র যখন এটি অনুমোদিত ত্রুটির মূল্যায়নের সাথে থাকে। অতএব, আয়তক্ষেত্রাকার সূত্রগুলি কেবলমাত্র সমাকলনের আনুমানিক গণনার জন্য কার্যত উপযুক্ত হবে যদি ফলাফলের ত্রুটি (প্রদত্ত n এর জন্য) অনুমান করার একটি সুবিধাজনক উপায় থাকে, যা একজনকে সেগমেন্ট পার্টিশনের অংশ n এর সংখ্যা খুঁজে পেতে দেয়, যা গ্যারান্টি দেয় আনুমানিক গণনার নির্ভুলতার প্রয়োজনীয় ডিগ্রী।

আমরা যে ফাংশন অনুমান করা হবে f(x)সেগমেন্টে একটি আবদ্ধ ডেরিভেটিভ আছে, তাই এমন একটি সংখ্যা আছে M>0, যে অসমতা থেকে x এর সমস্ত মানের জন্য |f"(x)|M. এই অসমতার গুণগত অর্থ হল ফাংশন মান পরিবর্তনের হার সীমিত। বাস্তব প্রাকৃতিক সিস্টেমে এই প্রয়োজনীয়তা প্রায় সবসময় পূরণ করা হয়. এই অবস্থার অধীনে, Rn ত্রুটির নিখুঁত মান, যা আমরা আয়তক্ষেত্র সূত্র ব্যবহার করে পূর্ণাঙ্গ গণনা করার সময় অনুমোদন করি, সূত্রটি ব্যবহার করে অনুমান করা যেতে পারে:

|আরএন | M(b-a) 2 /2n (2)

যেহেতু n অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায়, অভিব্যক্তি M(b-a) 2/2n, এবং সেইজন্য পরম মানত্রুটি Rnশূন্যের দিকে ঝোঁক থাকবে, অর্থাৎ অনুমান নির্ভুলতা বেশি হবে, সমান অংশের সংখ্যা যত বেশি সেগমেন্টে বিভক্ত হবে। ফলাফলের পরম ত্রুটি স্পষ্টতই নির্দিষ্ট সংখ্যার চেয়ে কম হবে >0 , যদি আপনি নেন

n > M(b-a) 2/2 .

ফলস্বরূপ, নির্ভুলতার নির্দিষ্ট ডিগ্রী সহ অবিচ্ছেদ্য গণনা করার জন্য, বিভাগটিকে অংশের সংখ্যায় ভাগ করা যথেষ্ট, বড় সংখ্যা M(b-a) 2/2 . .

আয়তক্ষেত্র পদ্ধতিটি সবচেয়ে সহজ এবং একই সাথে আনুমানিক একীকরণের সবচেয়ে অশোধিত পদ্ধতি। আরেকটি পদ্ধতি, ট্র্যাপিজয়েডাল পদ্ধতি, একটি লক্ষণীয়ভাবে ছোট ত্রুটি দেয়।

স্পষ্টতই, পার্টিশন সেগমেন্টের সংখ্যা n যত বেশি হবে, সূত্র (3a) এবং (3b) দ্বারা তত বেশি নির্ভুল ফলাফল দেওয়া হবে। যাইহোক, ইন্টিগ্রেশন ব্যবধানকে ভাগ করে ভাগের সংখ্যা বাড়ানো সবসময় সম্ভব নয়। অতএব, একই সংখ্যক পার্টিশন পয়েন্ট সহ আরও সঠিক ফলাফল দেয় এমন সূত্রগুলি অত্যন্ত আগ্রহের বিষয়।

এই জাতীয় সূত্রগুলির মধ্যে সবচেয়ে সরলটি সূত্রগুলির (1) এবং (1") ডানদিকের পাটিগণিত গড় হিসাবে প্রাপ্ত হয়:

(4)

এটা দেখতে সহজ জ্যামিতিক অর্থএই সূত্র। যদি পার্টিশনের প্রতিটি সেগমেন্টে ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন y=f(x) এর গ্রাফের চাপটি এটিকে সংকোচনকারী একটি জ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয় (লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন), তাহলে আমরা একটি ট্র্যাপিজয়েড পাই যার ক্ষেত্রফল সমান এবং তাই, সূত্র (4) এই ধরনের ট্র্যাপিজয়েড সমন্বিত চিত্রের ক্ষেত্রফলকে প্রতিনিধিত্ব করে (চিত্র 10)। জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে এটা স্পষ্ট যে এই ধরনের চিত্রের ক্ষেত্রফল, সাধারণত, আয়তক্ষেত্রের পদ্ধতিতে বিবেচনা করা একটি ধাপযুক্ত চিত্রের ক্ষেত্রফলের তুলনায় একটি বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলকে আরও সঠিকভাবে প্রকাশ করবে।

সূত্র (4) মধ্যে অনুরূপ পদ আনা, আমরা অবশেষে প্রাপ্ত

সূত্র (5) বলা হয় ট্র্যাপিজয়েডাল সূত্র.

ট্র্যাপিজয়েডাল সূত্র প্রায়ই ব্যবহারিক গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়। ত্রুটি অনুমান সংক্রান্ত Rn, (5) এর বাম দিকটি ডানদিকে প্রতিস্থাপন করার সময়, এটি প্রমাণিত হয় যে এর পরম মান অসমতাকে সন্তুষ্ট করে:

(6)

কোথায় এম 2- ব্যবধানে ইন্টিগ্র্যান্ডের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের সর্বাধিক মডুলাস, যেমন

.

তাই, Rnঅন্তত যত তাড়াতাড়ি কমে যায়।

সম্পূর্ণ ত্রুটি Rnএকটি পূর্বনির্ধারিত সংখ্যার চেয়ে কম হবে > 0 , যদি আপনি নেন .

আনুমানিক সূত্রের নির্ভুলতার একটি উল্লেখযোগ্য বৃদ্ধি ইন্টারপোলেশন অর্ডার বাড়িয়ে অর্জন করা যেতে পারে। এরকম একটি আনুমানিক একীকরণ পদ্ধতি হল প্যারাবোলা পদ্ধতি। পদ্ধতির ধারণাটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে আংশিক ব্যবধানে সাধারণ ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট প্যারাবোলার চাপটি বক্ররেখার সাথে আরও ঘনিষ্ঠভাবে সংলগ্ন হয় y=f(x),এই বক্ররেখার চাপের প্রান্তগুলিকে সংযোগকারী জ্যার চেয়ে, এবং সেইজন্য প্যারাবোলাসের আর্কগুলির দ্বারা "উপর থেকে" আবদ্ধ সংশ্লিষ্ট প্রাথমিক ট্র্যাপিজয়েডগুলির ক্ষেত্রগুলির মানগুলি সংশ্লিষ্ট অঞ্চলগুলির মানগুলির কাছাকাছি আংশিক বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডগুলি বক্ররেখার চাপ দ্বারা উপরে থেকে আবদ্ধ y=f(x),সংশ্লিষ্ট রেকটিলিনিয়ার ট্র্যাপিজয়েডগুলির ক্ষেত্রগুলির চেয়ে। পদ্ধতির সারমর্ম নিম্নরূপ। সেগমেন্টে বিভক্ত 2nসমান অংশ। বিভাজন পয়েন্ট হতে দিন

x 0 =a, x 1, x 2, …x 2n-2, x 2n-1, x 2n =b, এবং প্যারাবোলা সূত্রের জন্য - মানের সমানুপাতিক, অর্থাৎ প্যারাবোলা পদ্ধতি ট্র্যাপিজয়েডাল পদ্ধতির চেয়ে অনেক দ্রুত একত্রিত হয়, যখন গণনা প্রযুক্তির দৃষ্টিকোণ থেকে উভয় পদ্ধতি একই।

সংখ্যাসূচক একীকরণ পদ্ধতি

সংখ্যাগত পদ্ধতির মৌলিক বিষয়

লেকচার-5

মন্তব্য করুন।

অপারেটর

লিনিয়ার_অপারেটর ব্যবহার করুন

মানে স্ট্যান্ডার্ড dfimsl রুটিনের লাইব্রেরি সংযোগ করা এবং
লিনিয়ার_অপারেটর, যথাক্রমে।

লিনিয়ার_অপারেটর লাইব্রেরিতে eigenvalues ​​এবং ভেক্টর eig ফর্মে নির্ধারণের জন্য স্ট্যান্ডার্ড রুটিন ব্যবহার করা সম্ভব:

lambda=eig(a,v=y),

a – উৎস ম্যাট্রিক্স (দ্বি-মাত্রিক অ্যারে nxn),

lambda - eigenvalues ​​এর ভেক্টর (দৈর্ঘ্যের এক-মাত্রিক বিন্যাস n),

y – ম্যাট্রিক্স eigenvectors, কলামে সাজানো (দ্বি-মাত্রিক অ্যারে nxn).

তালিকাভুক্ত অ্যারেগুলি অবশ্যই প্রোগ্রামে ঘোষণা করতে হবে।

হিসাব করা দরকার নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যটাইপ

অনেক ফাংশনের জন্য, অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলি বেশ জটিল সংমিশ্রণ প্রাথমিক ফাংশন, অথবা তাদের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় না। এই ধরনের ক্ষেত্রে, অনুশীলনে নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করা সম্ভব নয়। অনেক ব্যবহারিক ক্ষেত্রে, প্রদত্ত নির্ভুলতার সাথে অখণ্ডের মান প্রাপ্ত করা যথেষ্ট। অখণ্ডের আনুমানিক মান গণনা করতে, সংখ্যাসূচক একীকরণ সূত্র রয়েছে। সংখ্যাসূচক একীকরণ সূত্র নির্মাণের সারমর্ম নিম্নরূপ।

চলুন অংশে ভাগ করা যাক. উপস্থাপনার সরলতার জন্য, আসুন একই দৈর্ঘ্যের এই অংশগুলি রাখি:

চিত্রে দেখানো হিসাবে বিভক্ত বিন্দু সংখ্যা করা যাক। 2.5.1। আমাদের আছে:

ভাত। 2.5.1।সংখ্যাগত একীকরণ ইস্যুতে।

মূল অবিচ্ছেদ্য (2.5.1) পার্টিশনের ফলে প্রাপ্ত "ছোট" অংশগুলির উপর অখণ্ডের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

. (2.5.2)

অখণ্ড

আনুমানিক সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়।

একটি সেগমেন্টের উপর অখণ্ড সংখ্যার আনুমানিক গণনার সহজতম সূত্রগুলিকে বলা হয় চতুর্ভুজ সূত্র . আসুন নীচে তাদের কয়েকটি দেখুন, এবং তাদের নির্ভুলতার সমস্যাগুলিও অন্বেষণ করি। একটি চতুর্ভুজ সূত্রের নির্ভুলতার ক্রম বহুপদী (বহুপদ) এর ডিগ্রি দ্বারা নির্ধারিত হয় যার জন্য এই চতুর্ভুজ সূত্রটি সঠিক।

2.5.2। আয়তক্ষেত্রের সূত্র ("গড়" এর সূত্র)।

এর সাথে এটি প্রতিস্থাপন করা যাক iইন্টিগ্রেবল ফাংশনের -ম বিভাগ ধ্রুবকএকটি মান, উদাহরণস্বরূপ, মধ্যবিন্দুতে তার মানের সমান (চিত্র 2.5.2):

ভাত। 2.5.2।আয়তক্ষেত্র সূত্র ব্যবহার করে ইন্টিগ্রেশনে।

, কোথায় . (2.5.4)

তারপর সেগমেন্টের অবিচ্ছেদ্যটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যেমন

, (2.5.5)

এবং মূল অখণ্ডের গণনা যোগফল গণনা করার জন্য হ্রাস করা হয়

. (2.5.6)

উপরন্তু, প্রায়ই ব্যবহারিক কারণে, বা সূত্রে গুণমান হিসাবে নেওয়া হয় (2.5.6)। ফলস্বরূপ আমরা পাই:

(2.5.7)

- "বাম" আয়তক্ষেত্রগুলির চতুর্ভুজ সূত্র;

(2.5.8)

- "ডান" আয়তক্ষেত্রের চতুর্ভুজ সূত্র।

সূত্র (2.5.7) এবং (2.5.8) (2.5.6) এর চেয়ে কম নির্ভুল, কিন্তু কখনও কখনও আরও সুবিধাজনক, উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাগতভাবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়।

গণনার নির্ভুলতা . নির্মাণ থেকে নিম্নরূপ, আয়তক্ষেত্রগুলির চতুর্ভুজ সূত্রগুলি ফাংশনের জন্য সঠিক একীকরণের ফলাফল দেয়, স্থায়ীচালু i-ম বিভাগ ()। "গড়" আয়তক্ষেত্রগুলির জন্য চতুর্ভুজ সূত্রটিও একটি সঠিক ফলাফল দেয় রৈখিকচালু i- ফাংশনের তম সেগমেন্ট। সহজতম জন্য এই বিবৃতিটি পরীক্ষা করা যথেষ্ট লিনিয়ার ফাংশন.

সঠিক একীকরণের সাথে আমরা পাই:

,

এবং যখন "গড়" আয়তক্ষেত্রগুলির সূত্র ব্যবহার করে একীভূত করা হয়

দেখা যায়, সঠিক এবং সংখ্যাসূচক একীকরণের ফলাফলগুলি মিলে যায়।