যা ইতিমধ্যে বেশ বিরক্তিকর। এবং আমি মনে করি যে মুহূর্তটি এসেছে যখন তত্ত্বের কৌশলগত মজুদ থেকে নতুন টিনজাত পণ্য বের করার সময় এসেছে। অন্য কোন উপায়ে একটি সিরিজে ফাংশন প্রসারিত করা সম্ভব? উদাহরণস্বরূপ, সাইন এবং কোসাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সরল রেখার অংশকে প্রকাশ কর? এটা অবিশ্বাস্য মনে হয়, কিন্তু যেমন আপাতদৃষ্টিতে দূরবর্তী ফাংশন হতে পারে
"পুনর্মিলন"। তত্ত্ব এবং অনুশীলনে পরিচিত ডিগ্রী ছাড়াও, একটি ফাংশনকে একটি সিরিজে প্রসারিত করার অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে।

এই পাঠে আমরা ত্রিকোণমিতি সম্পর্কে জানব। ফুরিয়ার কাছাকাছি, আমরা এর অভিসরণ এবং যোগফলের বিষয়টিতে স্পর্শ করব এবং অবশ্যই, আমরা ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনগুলির প্রসারণের অসংখ্য উদাহরণ বিশ্লেষণ করব। আমি আন্তরিকভাবে নিবন্ধটিকে "ডামিদের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ" বলতে চেয়েছিলাম, তবে এটি অযৌক্তিক হবে, কারণ সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য গাণিতিক বিশ্লেষণের অন্যান্য শাখার জ্ঞান এবং কিছু বাস্তব অভিজ্ঞতার প্রয়োজন হবে। অতএব, প্রস্তাবনাটি মহাকাশচারী প্রশিক্ষণের অনুরূপ হবে =)

প্রথমত, আপনাকে চমৎকার আকারে পৃষ্ঠার উপকরণগুলির অধ্যয়নের কাছে যেতে হবে। নিদ্রালু, বিশ্রাম এবং শান্ত. একটি ভাঙা হ্যামস্টার এর paw সম্পর্কে শক্তিশালী আবেগ ছাড়া এবং অবসেসিভ চিন্তাজীবনের কষ্টের কথা অ্যাকোয়ারিয়াম মাছ. তবে ফুরিয়ার সিরিজ বোঝা কঠিন নয় ব্যবহারিক কাজতাদের কেবল মনোযোগের বর্ধিত ঘনত্বের প্রয়োজন - আদর্শভাবে, আপনার বাহ্যিক উদ্দীপনা থেকে নিজেকে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন করা উচিত। সমাধান ও উত্তর যাচাই করার সহজ উপায় না থাকায় পরিস্থিতি আরও খারাপ হয়। এইভাবে, যদি আপনার স্বাস্থ্য গড়ের নিচে থাকে, তবে সহজ কিছু করা ভাল। এটা সত্যি.

দ্বিতীয়ত, মহাকাশে ওড়ার আগে আপনাকে যন্ত্র প্যানেল অধ্যয়ন করতে হবে মহাকাশযান. মেশিনে ক্লিক করা উচিত এমন ফাংশনগুলির মান দিয়ে শুরু করা যাক:

যেকোনো প্রাকৃতিক মূল্যের জন্য:

1)। প্রকৃতপক্ষে, সাইনুসয়েড প্রতিটি "পাই" এর মাধ্যমে এক্স-অক্ষকে "সেলাই" করে:
. যুক্তির নেতিবাচক মানের ক্ষেত্রে, ফলাফল, অবশ্যই, একই হবে: .

2)। কিন্তু সবাই এটা জানত না। কোসাইন "পাই" হল একটি "ব্লিঙ্কার" এর সমতুল্য:

একটি নেতিবাচক যুক্তি বিষয়টি পরিবর্তন করে না: .

সম্ভবত এটাই যথেষ্ট।

এবং তৃতীয়ত, প্রিয় মহাকাশচারী কর্পস, আপনি অবশ্যই সক্ষম হবেন... একীভূত করা.
বিশেষ করে, আত্মবিশ্বাসের সাথে ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে ফাংশনটি যোগ করুন, টুকরো টুকরো একীভূত করাএবং শান্তিতে থাকুন নিউটন-লাইবনিজ সূত্র. চলুন শুরু করা যাক গুরুত্বপূর্ণ প্রাক-ফ্লাইট অনুশীলন। আমি স্পষ্টতই এটি এড়িয়ে যাওয়ার পরামর্শ দিই না, যাতে পরে ওজনহীনতা না হয়:

উদাহরণ 1

সুনির্দিষ্ট অখণ্ড সংখ্যা গণনা করুন

যেখানে প্রাকৃতিক মূল্য লাগে।

সমাধান: ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবল "x" এর উপর সঞ্চালিত হয় এবং এই পর্যায়ে বিযুক্ত ভেরিয়েবল "en" একটি ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত হয়। সমস্ত অবিচ্ছেদ্য মধ্যে ডিফারেনশিয়াল সাইনের নিচে ফাংশনটি রাখুন:

সমাধানের একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ যা লক্ষ্য করা ভাল হবে তা এইরকম দেখায়:

আসুন এটিতে অভ্যস্ত হই:

বাকি চারটি পয়েন্ট আপনার নিজের। কাজটি আন্তরিকতার সাথে করার চেষ্টা করুন এবং সংক্ষিপ্ত উপায়ে অখণ্ডগুলি লিখুন। পাঠের শেষে নমুনা সমাধান।

অনুশীলনের গুণমান সম্পাদন করার পরে, আমরা স্পেসসুট পরিধান করি
এবং শুরু করার জন্য প্রস্তুত হচ্ছে!

ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে একটি ফাংশনের সম্প্রসারণ

কিছু ফাংশন বিবেচনা করুন যে নির্ধারিতঅন্তত একটি সময়ের জন্য (এবং সম্ভবত একটি দীর্ঘ সময়ের জন্য)। যদি এই ফাংশনটি ব্যবধানে একত্রিত হয়, তবে এটিকে ত্রিকোণমিতিকে প্রসারিত করা যেতে পারে ফুরিয়ার সিরিজ:
, যেখানে তথাকথিত হয় ফুরিয়ার সহগ.

এই ক্ষেত্রে নম্বরটি কল করা হয় পচনের সময়কাল, এবং সংখ্যা হল পচনের অর্ধ-জীবন.

এটা স্পষ্ট যে সাধারণ ক্ষেত্রে ফুরিয়ার সিরিজ সাইন এবং কোসাইন নিয়ে গঠিত:

প্রকৃতপক্ষে, আসুন এটি বিস্তারিতভাবে লিখুন:

সিরিজের শূন্য পদটি সাধারণত আকারে লেখা হয়।

ফুরিয়ার সহগগুলি নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

আমি পুরোপুরি বুঝতে পারি যে যারা বিষয়টি অধ্যয়ন করতে শুরু করছেন তারা এখনও নতুন শর্তাবলী সম্পর্কে অস্পষ্ট: পচনকাল, অর্ধচক্র, ফুরিয়ার সহগইত্যাদি। আতঙ্কিত হবেন না, এটি মহাকাশে যাওয়ার আগে উত্তেজনার সাথে তুলনীয় নয়। চলুন নিচের উদাহরণে সবকিছু বুঝে নিই, এক্সিকিউট করার আগে ব্যবহারিক প্রশ্নগুলো চাপানো যুক্তিযুক্ত:

নিম্নলিখিত কাজগুলিতে আপনাকে কী করতে হবে?

ফাংশনটি একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন। উপরন্তু, প্রায়শই একটি ফাংশনের একটি গ্রাফ, একটি সিরিজের যোগফলের একটি গ্রাফ, একটি আংশিক যোগফল, এবং অত্যাধুনিক প্রফেসরিয়াল ফ্যান্টাসিগুলির ক্ষেত্রে, অন্য কিছু করার প্রয়োজন হয়।

কিভাবে ফুরিয়ার সিরিজে একটি ফাংশন প্রসারিত করবেন?

মূলত, আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে ফুরিয়ার সহগ, অর্থাৎ, রচনা করুন এবং তিনটি গণনা করুন নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য.

অনুগ্রহ করে ফুরিয়ার সিরিজের সাধারণ ফর্ম এবং আপনার নোটবুকে তিনটি কার্যকরী সূত্র পুনরায় লিখুন। আমি খুবই আনন্দিত যে কিছু সাইট ভিজিটর আমার চোখের সামনে তাদের শৈশবকালের একজন মহাকাশচারী হওয়ার স্বপ্ন পূরণ করছে =)

উদাহরণ 2

ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনটি প্রসারিত করুন। একটি গ্রাফ, সিরিজের যোগফল এবং আংশিক যোগফলের একটি গ্রাফ তৈরি করুন।

সমাধান: টাস্কের প্রথম অংশ হল ফাংশনটিকে ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা।

শুরুটা মানসম্মত, তা লিখতে ভুলবেন না:

এই সমস্যায়, সম্প্রসারণকাল অর্ধ-কাল।

ফাংশনটিকে ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যাক:

উপযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে, আমরা খুঁজে ফুরিয়ার সহগ. এখন আমাদের তিনটি রচনা এবং গণনা করতে হবে নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. সুবিধার জন্য, আমি পয়েন্ট সংখ্যা করব:

1) প্রথম অবিচ্ছেদ্যটি সবচেয়ে সহজ, তবে এটির জন্য চোখের বলও প্রয়োজন:

2) দ্বিতীয় সূত্র ব্যবহার করুন:

এই অবিচ্ছেদ্য সুপরিচিত এবং সে টুকরো টুকরো করে নেয়:

পাওয়া গেলে ব্যবহার করা হয় ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে একটি ফাংশন সাবসুম করার পদ্ধতি.

বিবেচনাধীন টাস্কে, এটি অবিলম্বে ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য অংশ দ্বারা একীকরণ জন্য সূত্র :

প্রযুক্তিগত নোট একটি দম্পতি. প্রথমত, সূত্র প্রয়োগ করার পরে সম্পূর্ণ অভিব্যক্তি বড় বন্ধনী মধ্যে আবদ্ধ করা আবশ্যক, যেহেতু মূল অখণ্ডের আগে একটি ধ্রুবক আছে। আসুন তাকে হারাই না! যে কোনো ধাপে বন্ধনী প্রসারিত করা যেতে পারে আমি এটি একটি শেষ অবলম্বন হিসাবে করেছি। প্রথম "টুকরা" এ আমরা প্রতিস্থাপনে চরম যত্ন দেখাই; আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ধ্রুবক ব্যবহার করা হয় না, এবং একীকরণের সীমা পণ্যে প্রতিস্থাপিত হয়। এই ক্রিয়াটি বর্গাকার বন্ধনীতে হাইলাইট করা হয়েছে। ঠিক আছে, আপনি প্রশিক্ষণ টাস্ক থেকে সূত্রের দ্বিতীয় "টুকরা" এর অবিচ্ছেদ্য সাথে পরিচিত;-)

এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ - চরম ঘনত্ব!

3) আমরা তৃতীয় ফুরিয়ার সহগ খুঁজছি:

পূর্ববর্তী অবিচ্ছেদ্য একটি আপেক্ষিক প্রাপ্ত হয়, যা এছাড়াও টুকরো টুকরো একীভূত করে:

এই উদাহরণটি একটু বেশি জটিল, আমি ধাপে ধাপে ধাপে ধাপে মন্তব্য করব:

(1) অভিব্যক্তিটি সম্পূর্ণরূপে বড় বন্ধনীতে আবদ্ধ. আমি বিরক্তিকর মনে হতে চাইনি, তারা প্রায়শই ধ্রুবক হারায়।

(2) ভি এক্ষেত্রেআমি সঙ্গে সঙ্গে ঐ বড় বন্ধনী খুললাম. বিশেষ মনোযোগ আমরা নিজেদেরকে প্রথম "টুকরা"-এ নিবেদিত করি: ক্রমাগত ধূমপান করে এবং পণ্যের মধ্যে একীকরণের সীমা (এবং ) প্রতিস্থাপনে অংশগ্রহণ করে না। রেকর্ডের বিশৃঙ্খলার কারণে, বর্গাকার বন্ধনী দিয়ে এই ক্রিয়াটি হাইলাইট করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে। দ্বিতীয় "টুকরা" দিয়ে সবকিছু সহজ: এখানে ভগ্নাংশটি বড় বন্ধনী খোলার পরে উপস্থিত হয়েছে, এবং ধ্রুবক - পরিচিত অবিচ্ছেদ্য সংহত করার ফলে;-)

(3) বর্গাকার বন্ধনীতে আমরা রূপান্তর চালাই, এবং সঠিক অবিচ্ছেদ্য - ইন্টিগ্রেশন সীমার প্রতিস্থাপন।

(4) আমরা বর্গাকার বন্ধনী থেকে "ফ্ল্যাশিং লাইট" সরিয়ে ফেলি: , এবং তারপর ভিতরের বন্ধনী খুলি: .

(5) আমরা বন্ধনীতে 1 এবং –1 বাতিল করি এবং চূড়ান্ত সরলীকরণ করি।

অবশেষে, তিনটি ফুরিয়ার সহগ পাওয়া যায়:

আসুন তাদের সূত্রে প্রতিস্থাপন করি :

একই সময়ে, অর্ধেক ভাগ করতে ভুলবেন না। শেষ ধাপে, ধ্রুবক ("মাইনাস টু"), যা "en" এর উপর নির্ভর করে না যোগফলের বাইরে নেওয়া হয়।

এইভাবে, আমরা ব্যবধানে ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনের সম্প্রসারণ পেয়েছি:

আসুন আমরা ফুরিয়ার সিরিজের কনভারজেন্সের বিষয়টি অধ্যয়ন করি। আমি তত্ত্ব ব্যাখ্যা করব, বিশেষ করে ডিরিচলেটের উপপাদ্য, আক্ষরিক অর্থে "আঙ্গুলের উপর", তাই আপনার যদি কঠোর সূত্রের প্রয়োজন হয়, অনুগ্রহ করে পাঠ্যপুস্তকটি পড়ুন গাণিতিক বিশ্লেষণ (উদাহরণস্বরূপ, বোহানের ২য় খণ্ড; বা ফিচেনহোল্টজের ৩য় খণ্ড, তবে এটি আরও কঠিন).

সমস্যার দ্বিতীয় অংশের জন্য একটি গ্রাফ আঁকার প্রয়োজন, একটি সিরিজের যোগফলের একটি গ্রাফ এবং একটি আংশিক যোগফলের একটি গ্রাফ।

ফাংশনের গ্রাফটি স্বাভাবিক একটি সমতলে সরল রেখা, যা একটি কালো বিন্দুযুক্ত রেখা দিয়ে আঁকা হয়:

সিরিজের যোগফল বের করা যাক। আপনি জানেন, ফাংশন সিরিজ ফাংশন একত্রিত হয়. আমাদের ক্ষেত্রে, নির্মিত ফুরিয়ার সিরিজ "x" এর যেকোনো মানের জন্যফাংশনে একত্রিত হবে, যা লাল রঙে দেখানো হয়েছে। এই ফাংশনসহ্য করে 1ম ধরনের ফেটে যাওয়াবিন্দুতে, কিন্তু সেগুলিতেও সংজ্ঞায়িত করা হয় (অঙ্কনে লাল বিন্দু)

এইভাবে: . এটি দেখতে সহজ যে এটি মূল ফাংশন থেকে লক্ষণীয়ভাবে আলাদা, তাই এন্ট্রিতে একটি সমান চিহ্নের পরিবর্তে একটি টিল্ড ব্যবহার করা হয়।

আসুন একটি অ্যালগরিদম অধ্যয়ন করি যা একটি সিরিজের যোগফল তৈরি করার জন্য সুবিধাজনক।

কেন্দ্রীয় ব্যবধানে, ফুরিয়ার সিরিজ নিজেই ফাংশনে একত্রিত হয় (কেন্দ্রীয় লাল অংশটি রৈখিক ফাংশনের কালো বিন্দুযুক্ত রেখার সাথে মিলে যায়)।

এখন বিবেচনাধীন ত্রিকোণমিতিক বিস্তারের প্রকৃতি সম্পর্কে একটু কথা বলা যাক। ফুরিয়ার সিরিজ শুধুমাত্র পর্যায়ক্রমিক ফাংশন (ধ্রুবক, সাইন এবং কোসাইন) অন্তর্ভুক্ত করে, তাই সিরিজের যোগফল এছাড়াও একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন.

আমাদের নির্দিষ্ট উদাহরণে এর মানে কি? আর এর মানে হলো সিরিজের যোগফল –অবশ্যই পর্যায়ক্রমিকএবং ব্যবধানের লাল অংশটি বাম এবং ডানদিকে অবিরামভাবে পুনরাবৃত্তি করতে হবে।

আমি মনে করি "পচনের সময়কাল" শব্দগুচ্ছের অর্থ এখন অবশেষে পরিষ্কার হয়ে গেছে। সহজভাবে বলতে গেলে, প্রতিবারই পরিস্থিতি বারবার পুনরাবৃত্তি হয়।

অনুশীলনে, এটি সাধারণত পচনের তিনটি সময়কাল চিত্রিত করার জন্য যথেষ্ট, যেমনটি অঙ্কনে করা হয়। ভাল, এবং প্রতিবেশী সময়ের "স্টাম্প" - যাতে এটি স্পষ্ট হয় যে গ্রাফটি চলতে থাকে।

বিশেষ আগ্রহ আছে 1ম ধরনের বিচ্ছিন্নতা পয়েন্ট. এই ধরনের পয়েন্টগুলিতে, ফুরিয়ার সিরিজটি বিচ্ছিন্ন মানগুলিতে রূপান্তরিত হয়, যা অবিচ্ছিন্নতার "জাম্প" (অঙ্কনে লাল বিন্দু) ঠিক মাঝখানে অবস্থিত। কিভাবে এই পয়েন্ট ordinate খুঁজে বের করতে? প্রথমে, আসুন "উপরের তল" এর অর্ডিনেটটি খুঁজে বের করা যাক: এটি করার জন্য, আমরা সম্প্রসারণের কেন্দ্রীয় সময়কালের একেবারে ডানদিকে ফাংশনের মান গণনা করি:। "নিচের তল" এর অর্ডিনেট গণনা করার জন্য সবচেয়ে সহজ উপায় হল চরমটি নেওয়া বাম মানএকই সময়ের: . গড় মানের অর্ডিনেট হল "শীর্ষ এবং নীচে" এর যোগফলের গাণিতিক গড়: . একটি আনন্দদায়ক সত্য হল যে একটি অঙ্কন তৈরি করার সময়, আপনি অবিলম্বে দেখতে পাবেন যে মাঝখানে সঠিকভাবে বা ভুলভাবে গণনা করা হয়েছে কিনা।

আসুন সিরিজের একটি আংশিক যোগফল তৈরি করি এবং একই সাথে "কনভারজেন্স" শব্দটির অর্থ পুনরাবৃত্তি করি। উদ্দেশ্য সম্পর্কে পাঠ থেকেও জানা যায় একটি সংখ্যা সিরিজের যোগফল. আমাদের সম্পদ বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করা যাক:

একটি আংশিক যোগফল রচনা করতে, আপনাকে সিরিজের শূন্য + আরও দুটি পদ লিখতে হবে। এটাই,

অঙ্কনটি ফাংশনের গ্রাফ দেখায় সবুজ, এবং, আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এটি সম্পূর্ণ পরিমাণকে বেশ শক্তভাবে "মোড়ানো" করে। যদি আমরা সিরিজের পাঁচটি পদের আংশিক যোগফল বিবেচনা করি, তাহলে এই ফাংশনের গ্রাফটি লাল রেখাগুলিকে আরও সঠিকভাবে আনুমানিক করবে, যদি সেখানে একশটি পদ থাকে, তাহলে "সবুজ সর্প" সম্পূর্ণরূপে লাল অংশগুলির সাথে মিলিত হবে, ইত্যাদি এইভাবে, ফুরিয়ার সিরিজ তার যোগফলের সাথে মিলিত হয়।

এটা যে কোন আংশিক পরিমাণ লক্ষনীয় আকর্ষণীয় ক্রমাগত ফাংশন, তবে, সিরিজের মোট যোগফল এখনও বিচ্ছিন্ন।

অনুশীলনে, একটি আংশিক সমষ্টি গ্রাফ তৈরি করা এত বিরল নয়। এটা কিভাবে করতে হবে? আমাদের ক্ষেত্রে, সেগমেন্টের ফাংশনটি বিবেচনা করা প্রয়োজন, সেগমেন্টের শেষে এবং মধ্যবর্তী পয়েন্টগুলিতে এর মানগুলি গণনা করা প্রয়োজন (আপনি যত বেশি পয়েন্ট বিবেচনা করবেন, গ্রাফটি তত বেশি নির্ভুল হবে)। তারপরে আপনাকে অঙ্কনে এই পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করতে হবে এবং সাবধানতার সাথে পিরিয়ডের উপর একটি গ্রাফ আঁকতে হবে এবং তারপরে এটিকে সংলগ্ন ব্যবধানে "প্রতিলিপি" করতে হবে। কিভাবে অন্য? সর্বোপরি, আনুমানিকতাও একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন... ...কিছু উপায়ে এর গ্রাফটি আমাকে একটি মেডিকেল ডিভাইসের ডিসপ্লেতে হার্টের ছন্দের কথা মনে করিয়ে দেয়।

নির্মাণটি পরিচালনা করা অবশ্যই খুব সুবিধাজনক নয়, যেহেতু আপনাকে অত্যন্ত সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে, অর্ধ মিলিমিটারের কম নয় এমন নির্ভুলতা বজায় রাখতে হবে। যাইহোক, আমি পাঠকদের দয়া করে যারা অঙ্কন করতে স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করেন না - একটি "বাস্তব" সমস্যায় একটি অঙ্কন করা সবসময় প্রয়োজন হয় না প্রায় 50% ক্ষেত্রে ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনটি প্রসারিত করা প্রয়োজন এবং এটিই .

অঙ্কন শেষ করার পরে, আমরা কাজটি সম্পূর্ণ করি:

উত্তর:

অনেক কাজেই ফাংশন ক্ষতিগ্রস্ত হয় 1ম ধরনের ফেটে যাওয়াপচনের সময়কালে সঠিক:

উদাহরণ 3

ব্যবধানে দেওয়া ফাংশনটিকে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন। ফাংশনের একটি গ্রাফ এবং সিরিজের মোট যোগফল আঁকুন।

প্রস্তাবিত ফাংশন একটি piecewise পদ্ধতিতে নির্দিষ্ট করা হয় (এবং, নোট করুন, শুধুমাত্র সেগমেন্টে)এবং সহ্য করে 1ম ধরনের ফেটে যাওয়াবিন্দুতে ফুরিয়ার সহগ গণনা করা কি সম্ভব? সমস্যা নেই. ফাংশনের বাম এবং ডান দিক উভয়ই তাদের ব্যবধানে অখণ্ডনীয়, তাই তিনটি সূত্রের প্রতিটিতে অখণ্ডগুলিকে দুটি অখণ্ডের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা উচিত। আসুন দেখি, উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি শূন্য সহগের জন্য কীভাবে করা হয়:

দ্বিতীয় অবিচ্ছেদ্যটি শূন্যের সমান হয়ে উঠেছে, যা কাজকে হ্রাস করেছে, তবে এটি সর্বদা হয় না।

অন্য দুটি ফুরিয়ার সহগ একইভাবে বর্ণনা করা হয়েছে।

কিভাবে একটি সিরিজের যোগফল দেখান? বাম ব্যবধানে আমরা একটি সরল রেখার অংশ আঁকি, এবং ব্যবধানে - একটি সরল রেখার অংশ (আমরা অক্ষের বিভাগটিকে গাঢ় এবং গাঢ়ভাবে হাইলাইট করি)। অর্থাৎ, সম্প্রসারণ ব্যবধানে, তিনটি "খারাপ" পয়েন্ট ছাড়া সিরিজের যোগফল সর্বত্র ফাংশনের সাথে মিলে যায়। ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুতে, ফুরিয়ার সিরিজটি একটি বিচ্ছিন্ন মানতে একত্রিত হবে, যা বিচ্ছিন্নতার "জাম্প" এর ঠিক মাঝখানে অবস্থিত। এটি মৌখিকভাবে দেখা কঠিন নয়: বাম-পার্শ্বের সীমা: , ডান-পার্শ্বের সীমা: এবং, স্পষ্টতই, মধ্যবিন্দুর অর্ডিনেট হল 0.5।

যোগফলের পর্যায়ক্রমিকতার কারণে, ছবিটিকে সন্নিহিত পিরিয়ডগুলিতে "গুণ" করতে হবে, বিশেষ করে, একই জিনিসটি ব্যবধানে এবং . একই সময়ে, পয়েন্টগুলিতে ফুরিয়ার সিরিজ মধ্যম মানগুলিতে একত্রিত হবে।

আসলে এখানে নতুন কিছু নেই।

এই কাজটি নিজেই মোকাবেলা করার চেষ্টা করুন। চূড়ান্ত নকশার একটি আনুমানিক নমুনা এবং পাঠের শেষে একটি অঙ্কন।

ফুরিয়ার সিরিজে একটি ফাংশনের প্রসারণ একটি নির্বিচারে সময়ের মধ্যে

একটি নির্বিচারে সম্প্রসারণ সময়ের জন্য, যেখানে "el" যেকোন ধনাত্মক সংখ্যা, ফুরিয়ার সিরিজ এবং ফুরিয়ার সহগগুলির সূত্রগুলি সাইন এবং কোসাইনের জন্য কিছুটা জটিল যুক্তি দ্বারা আলাদা করা হয়:

যদি , তাহলে আমরা ব্যবধানের সূত্রগুলি পাই যা দিয়ে আমরা শুরু করেছি।

সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম এবং নীতিগুলি সম্পূর্ণরূপে সংরক্ষিত, তবে গণনার প্রযুক্তিগত জটিলতা বৃদ্ধি পায়:

উদাহরণ 4

ফাংশনটিকে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন এবং যোগফল প্লট করুন।

সমাধান: আসলে উদাহরণ নং 3 এর সাথে একটি অ্যানালগ 1ম ধরনের ফেটে যাওয়াবিন্দুতে এই সমস্যায়, সম্প্রসারণকাল অর্ধ-কাল। ফাংশনটি শুধুমাত্র অর্ধ-ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে এটি বিষয়টিকে পরিবর্তন করে না - এটি গুরুত্বপূর্ণ যে ফাংশনের উভয় অংশই একত্রিত হয়।

একটি ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনটি প্রসারিত করা যাক:

যেহেতু ফাংশনটি উৎপত্তিতে অবিচ্ছিন্ন, তাই প্রতিটি ফুরিয়ার সহগ স্পষ্টতই দুটি অখণ্ডের যোগফল হিসাবে লেখা উচিত:

1) আমি যতটা সম্ভব বিস্তারিতভাবে প্রথম অবিচ্ছেদ্য লিখব:

2) আমরা সাবধানে চাঁদের পৃষ্ঠের দিকে তাকাই:

দ্বিতীয় অবিচ্ছেদ্য টুকরো টুকরো করে নিন:

আমরা একটি তারকাচিহ্ন দিয়ে সমাধানের ধারাবাহিকতা খোলার পরে আমাদের কী মনোযোগ দেওয়া উচিত?

প্রথমত, আমরা প্রথম অবিচ্ছেদ্য হারান না , যেখানে আমরা অবিলম্বে মৃত্যুদন্ড কার্যকর ডিফারেনশিয়াল সাইন সাবস্ক্রাইব করা. দ্বিতীয়ত, বড় বন্ধনী এবং আগে দুর্ভাগ্য ধ্রুবক ভুলবেন না লক্ষণ দ্বারা বিভ্রান্ত হবেন নাসূত্র ব্যবহার করার সময় . বড় বন্ধনীগুলি পরবর্তী ধাপে অবিলম্বে খোলার জন্য আরও সুবিধাজনক।

বাকিটা টেকনিকের ব্যাপার; অখণ্ড সমাধানের অপর্যাপ্ত অভিজ্ঞতার কারণেই অসুবিধা হতে পারে।

হ্যাঁ, ফরাসি গণিতবিদ ফুরিয়ারের প্রখ্যাত সহকর্মীরা ক্ষুব্ধ ছিলেন না - তিনি কীভাবে ত্রিকোণমিতিক সিরিজে ফাংশনগুলি সাজানোর সাহস করলেন?! =) যাইহোক, সবাই সম্ভবত প্রশ্নে টাস্কটির ব্যবহারিক অর্থে আগ্রহী। ফুরিয়ার নিজে কাজ করেছেন গানিতিক প্রতিমাণতাপ পরিবাহিতা, এবং পরবর্তীকালে তার নামে নামকরণ করা সিরিজটি অনেক পর্যায়ক্রমিক প্রক্রিয়া অধ্যয়ন করতে ব্যবহৃত হতে শুরু করে, যা পার্শ্ববর্তী বিশ্বে দৃশ্যমান এবং অদৃশ্য। এখন, যাইহোক, আমি নিজেকে ধরে ফেললাম যে আমি দ্বিতীয় উদাহরণের গ্রাফটিকে হৃৎপিণ্ডের পর্যায়ক্রমিক ছন্দের সাথে তুলনা করেছি। যারা আগ্রহী তারা ব্যবহারিক প্রয়োগের সাথে নিজেদের পরিচিত করতে পারেন ফুরিয়ার রুপান্তরতৃতীয় পক্ষের সূত্রে। ...যদিও না করাই ভালো - এটি প্রথম প্রেম হিসেবে মনে থাকবে =)

3) বারবার উল্লিখিত দুর্বল লিঙ্কগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে, আসুন তৃতীয় সহগটি দেখি:

আসুন অংশ দ্বারা সংহত করা যাক:

প্রাপ্ত ফুরিয়ার সহগগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করা যাক , শূন্য সহগকে অর্ধেক ভাগ করতে ভুলবেন না:

সিরিজের যোগফল প্লট করা যাক। আসুন সংক্ষেপে পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করি: আমরা একটি ব্যবধানে একটি সরল রেখা এবং একটি ব্যবধানে একটি সরল রেখা তৈরি করি। যদি "x" মান শূন্য হয়, আমরা ফাঁকের "জাম্প" এর মাঝখানে একটি বিন্দু রাখি এবং সংলগ্ন সময়ের জন্য গ্রাফটিকে "প্রতিলিপি" করি:


পিরিয়ডের "জাংশন" এ, যোগফলও ফাঁকের "জাম্প" এর মধ্যবিন্দুর সমান হবে।

প্রস্তুত. আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে ফাংশনটি নিজেই শর্ত অনুসারে শুধুমাত্র অর্ধ-ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং স্পষ্টতই, বিরতিতে সিরিজের যোগফলের সাথে মিলে যায়

উত্তর:

কখনও কখনও একটি piecewise প্রদত্ত ফাংশন সম্প্রসারণ সময় ধরে অবিচ্ছিন্ন হয়। সবচেয়ে সহজ উদাহরণ: . সমাধান (বোহান ভলিউম 2 দেখুন)আগের দুটি উদাহরণের মতোই: সত্ত্বেও ফাংশনের ধারাবাহিকতাবিন্দুতে, প্রতিটি ফুরিয়ার সহগ দুটি অখণ্ডের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা হয়।

পচন ব্যবধানে 1ম ধরনের বিচ্ছিন্নতা পয়েন্টএবং/অথবা গ্রাফের আরও "জাংশন" পয়েন্ট থাকতে পারে (দুই, তিন এবং সাধারণত যেকোনো চূড়ান্তপরিমাণ)। যদি একটি ফাংশন প্রতিটি অংশে একত্রিত হয়, তবে এটি একটি ফুরিয়ার সিরিজেও প্রসারণযোগ্য। কিন্তু বাস্তব অভিজ্ঞতা থেকে আমি এমন নিষ্ঠুর জিনিস মনে রাখি না। যাইহোক, এইমাত্র বিবেচনা করাগুলির চেয়ে আরও কঠিন কাজ রয়েছে এবং নিবন্ধের শেষে প্রত্যেকের জন্য বর্ধিত জটিলতার ফুরিয়ার সিরিজের লিঙ্ক রয়েছে।

ইতিমধ্যে, আসুন আমরা আরাম করি, আমাদের চেয়ারে হেলান দিয়ে নক্ষত্রের অবিরাম বিস্তৃতি নিয়ে চিন্তা করি:

উদাহরণ 5

ফাংশনটিকে ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন এবং সিরিজের যোগফল প্লট করুন।

এই সমস্যায় ফাংশন একটানাসম্প্রসারণ অর্ধ-ব্যবধানে, যা সমাধানটিকে সরল করে। সবকিছু উদাহরণ নং 2 এর সাথে খুব মিল। স্পেসশিপ থেকে কোনো রেহাই নেই - আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে =) পাঠের শেষে একটি আনুমানিক নকশা নমুনা, একটি সময়সূচী সংযুক্ত করা হয়েছে।

জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ

জোড় এবং বিজোড় ফাংশন সহ, সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়াটি লক্ষণীয়ভাবে সরলীকৃত হয়। আর এই কারণে. ফুরিয়ার সিরিজের একটি ফাংশনের সম্প্রসারণে ফিরে আসা যাক যার মেয়াদ “টু পাই”। এবং নির্বিচারে সময়কাল "দুই এল" .

ধরা যাক আমাদের ফাংশন সমান। সিরিজের সাধারণ শব্দ, আপনি দেখতে পাচ্ছেন, জোড় কোসাইন এবং বিজোড় সাইন রয়েছে। এবং যদি আমরা একটি EVEN ফাংশন প্রসারিত করছি, তাহলে কেন আমাদের বিজোড় সাইনের প্রয়োজন?! চলুন অপ্রয়োজনীয় সহগ পুনরায় সেট করা যাক: .

এইভাবে, একটি জোড় ফাংশন শুধুমাত্র কোসাইনগুলিতে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে:

কারন জোড় ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য অংশএকটি ইন্টিগ্রেশন সেগমেন্টের সাথে যা শূন্যের ক্ষেত্রে প্রতিসম হয় তাকে দ্বিগুণ করা যেতে পারে, তারপর অবশিষ্ট ফুরিয়ার সহগগুলি সরলীকৃত হয়।

ফাঁকের জন্য:

একটি নির্বিচারে বিরতির জন্য:

পাঠ্যপুস্তকের উদাহরণ যা গাণিতিক বিশ্লেষণের প্রায় যেকোনো পাঠ্যপুস্তকে পাওয়া যেতে পারে তার মধ্যে সম ফাংশনের বিস্তার অন্তর্ভুক্ত . উপরন্তু, তারা আমার ব্যক্তিগত অনুশীলনে বেশ কয়েকবার সম্মুখীন হয়েছে:

উদাহরণ 6

ফাংশন দেওয়া হয়. প্রয়োজনীয়:

1) ফাংশনটিকে পিরিয়ড সহ একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন, যেখানে একটি নির্বিচারে ধনাত্মক সংখ্যা রয়েছে;

2) ব্যবধানে প্রসারণ লিখুন, একটি ফাংশন তৈরি করুন এবং সিরিজের মোট যোগফল গ্রাফ করুন।

সমাধান: প্রথম অনুচ্ছেদে সমস্যাটি সমাধান করার প্রস্তাব করা হয়েছে সাধারণ দৃষ্টিকোণ, এবং এটা খুব সুবিধাজনক! প্রয়োজন দেখা দিলে শুধু আপনার মান প্রতিস্থাপন করুন।

1) এই সমস্যায়, সম্প্রসারণকাল অর্ধ-কাল। সময় পরবর্তী কার্যক্রম, বিশেষ করে একীকরণের সময়, "el" একটি ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত হয়

ফাংশনটি সমান, যার মানে এটি শুধুমাত্র কোসাইনগুলিতে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে: .

আমরা সূত্র ব্যবহার করে ফুরিয়ার সহগ খুঁজি . তাদের নিঃশর্ত সুবিধার দিকে মনোযোগ দিন। প্রথমত, ইন্টিগ্রেশন সম্প্রসারণের ইতিবাচক অংশের উপর সঞ্চালিত হয়, যার মানে আমরা নিরাপদে মডিউল থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি , দুটি টুকরার শুধুমাত্র "X" বিবেচনা করে। এবং, দ্বিতীয়ত, ইন্টিগ্রেশন লক্ষণীয়ভাবে সরলীকৃত।

দুই:

আসুন অংশ দ্বারা সংহত করা যাক:

এইভাবে:
, যখন ধ্রুবক , যা "en" এর উপর নির্ভর করে না, যোগফলের বাইরে নেওয়া হয়।

উত্তর:

2) এই উদ্দেশ্যে, ব্যবধানে বিস্তার লিখি সাধারণ সূত্রবিকল্প পছন্দসই মানঅর্ধ চক্র:

পিরিয়ড 2π সহ পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ।

ফুরিয়ার সিরিজ আমাদের পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলিকে উপাদানগুলিতে পচিয়ে অধ্যয়ন করতে দেয়। বিকল্প স্রোত এবং ভোল্টেজ, স্থানচ্যুতি, ক্র্যাঙ্ক প্রক্রিয়ার গতি এবং ত্বরণ এবং শাব্দ তরঙ্গগুলি সাধারণ ব্যবহারিক উদাহরণইঞ্জিনিয়ারিং গণনায় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন প্রয়োগ।

ফুরিয়ার সিরিজের সম্প্রসারণ এই ধারণার উপর ভিত্তি করে যে ব্যবধানে ব্যবহারিক তাত্পর্যের সমস্ত ফাংশন -π ≤x≤ π অভিসারী ত্রিকোণমিতিক সিরিজ আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে (একটি ধারা অভিসারী বলে বিবেচিত হয় যদি আংশিক সমষ্টির ক্রম তার পদগুলির সমন্বয়ে গঠিত হয়। একত্রিত হয়):

sinx এবং cosx এর যোগফলের মাধ্যমে স্ট্যান্ডার্ড (=সাধারণ) স্বরলিপি

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

যেখানে a o, a 1, a 2,...,b 1, b 2,.. বাস্তব ধ্রুবক, যেমন

যেখানে, -π থেকে π পর্যন্ত সীমার জন্য, ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

a o, a n এবং b n সহগগুলিকে বলা হয় ফুরিয়ার সহগ, এবং যদি সেগুলি পাওয়া যায়, তাহলে সিরিজ (1) বলা হয় ফুরিয়ারের পাশে,ফাংশন f(x) এর সাথে সম্পর্কিত। সিরিজ (1) এর জন্য, শব্দটিকে (a 1 cosx+b 1 sinx) বলা হয় প্রথম বা মৌলিক সুরেলা,

একটি সিরিজ লেখার আরেকটি উপায় হল সম্পর্ক ব্যবহার করা acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...c n sin(nx+α n)

যেখানে a o একটি ধ্রুবক, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 হল বিভিন্ন উপাদানের প্রশস্ততা এবং a n = arctg a n এর সমান /b n.

সিরিজ (1) এর জন্য, শব্দটি (a 1 cosx+b 1 sinx) বা c 1 sin(x+α 1) বলা হয় প্রথম বা মৌলিক সুরেলা,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) বা c 2 sin(2x+α 2) বলা হয় দ্বিতীয় সুরেলাএবং তাই

একটি জটিল সংকেতকে সঠিকভাবে উপস্থাপন করার জন্য সাধারণত অসীম সংখ্যক পদের প্রয়োজন হয়। যাইহোক, অনেক ব্যবহারিক সমস্যায় শুধুমাত্র প্রথম কয়েকটি পদ বিবেচনা করাই যথেষ্ট।

পিরিয়ড 2π সহ অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ।

অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশন সম্প্রসারণ.

যদি ফাংশন f(x) অ-পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে এর অর্থ হল x এর সমস্ত মানের জন্য এটি একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যাবে না। যাইহোক, 2π প্রস্থের যেকোনো পরিসরের উপর একটি ফাংশনের প্রতিনিধিত্ব করে একটি ফুরিয়ার সিরিজ সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব।

একটি অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশন দেওয়া হলে, একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে f(x) এর মান নির্বাচন করে এবং 2π ব্যবধানে সেই সীমার বাইরে তাদের পুনরাবৃত্তি করে একটি নতুন ফাংশন তৈরি করা যেতে পারে। যেহেতু নতুন ফাংশনটি পিরিয়ড 2π সহ পর্যায়ক্রমিক, তাই x এর সমস্ত মানের জন্য এটি একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন f(x)=x পর্যায়ক্রমিক নয়। যাইহোক, যদি এটিকে o থেকে 2π পর্যন্ত ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করার প্রয়োজন হয়, তবে এই ব্যবধানের বাইরে 2π এর একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তৈরি করা হয় (নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে)।

অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য যেমন f(x)=x, ফুরিয়ার সিরিজের যোগফল একটি প্রদত্ত ব্যাপ্তির সমস্ত বিন্দুতে f(x) এর মানের সমান, কিন্তু বিন্দুর জন্য এটি f(x) এর সমান নয় সীমার বাইরে। 2π পরিসরে একটি অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ খুঁজে পেতে, ফুরিয়ার সহগগুলির একই সূত্র ব্যবহার করা হয়।

জোড় এবং বিজোড় ফাংশন।

তারা বলে ফাংশন y=f(x) এমন কি, যদি x এর সকল মানের জন্য f(-x)=f(x) হয়। জোড় ফাংশনের গ্রাফ সবসময় y-অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম হয় (অর্থাৎ, তারা মিরর ইমেজ)। জোড় ফাংশনের দুটি উদাহরণ: y=x2 এবং y=cosx।

তারা বলে যে ফাংশন y=f(x) অস্বাভাবিক, x এর সমস্ত মানের জন্য f(-x)=-f(x) হলে। বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ সর্বদা উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।

অনেক ফাংশন জোড় বা বিজোড় নয়।

কোসাইনে ফুরিয়ার সিরিজের বিস্তার।

পিরিয়ড 2π সহ একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) এর ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র কোসাইন পদ থাকে (অর্থাৎ, কোন সাইন পদ নেই) এবং একটি ধ্রুবক পদ অন্তর্ভুক্ত হতে পারে। তাই,

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

পিরিয়ড 2π সহ একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) এর ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র সাইন সহ পদ রয়েছে (অর্থাৎ, এতে কোসাইন সহ পদ নেই)।

তাই,

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

হাফ সাইকেলে ফুরিয়ার সিরিজ।

যদি একটি ফাংশন একটি পরিসরের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, বলুন 0 থেকে π পর্যন্ত, এবং শুধুমাত্র 0 থেকে 2π পর্যন্ত নয়, এটি একটি সিরিজে শুধুমাত্র সাইনে বা শুধুমাত্র কোসাইনে প্রসারিত করা যেতে পারে। ফলে ফুরিয়ার সিরিজ বলা হয় হাফ সাইকেলে ফুরিয়ারের কাছে।

আপনি যদি পচন পেতে চান কোসাইন দ্বারা অর্ধ-চক্র ফুরিয়ারফাংশন f(x) 0 থেকে π পর্যন্ত পরিসরে, তারপর একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তৈরি করা প্রয়োজন। চিত্রে। নীচের ফাংশন f(x)=x, x=0 থেকে x=π পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত। কারন এমনকি ফাংশন f(x) অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম, AB রেখা আঁকুন, যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। নিচে. যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে প্রাপ্ত ত্রিভুজাকার আকৃতিপর্যায়ক্রমিক 2π এর সময়কালের সাথে, তারপর চূড়ান্ত গ্রাফটি দেখায়, দেখায়। চিত্রে নিচে. যেহেতু আমাদের কোসাইনগুলিতে ফুরিয়ার সম্প্রসারণ পেতে হবে, আগের মতো, আমরা ফুরিয়ার সহগ a o এবং a n গণনা করি

যদি পেতে হয় ফুরিয়ার অর্ধ-চক্র সাইন সম্প্রসারণফাংশন f(x) 0 থেকে π পর্যন্ত পরিসরে, তারপর একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তৈরি করা প্রয়োজন। চিত্রে। নীচের ফাংশন f(x)=x, x=0 থেকে x=π পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত। যেহেতু বিজোড় ফাংশন উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম, তাই আমরা লাইন সিডি তৈরি করি, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে ফলস্বরূপ করাত টুথ সংকেতটি 2π এর সময়কালের সাথে পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে চূড়ান্ত গ্রাফটিতে চিত্রে দেখানো ফর্মটি রয়েছে। যেহেতু আমাদের সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে অর্ধ-চক্রের ফুরিয়ার সম্প্রসারণ পেতে হবে, আগের মতো, আমরা ফুরিয়ার সহগ গণনা করি। খ

একটি নির্বিচারে বিরতির জন্য ফুরিয়ার সিরিজ।

পিরিয়ড এল সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের প্রসারণ।

পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) পুনরাবৃত্তি হয় যখন x L দ্বারা বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ f(x+L)=f(x)। পূর্বে বিবেচিত ফাংশন থেকে 2π এর সময়কালের L এর সাথে ফাংশনে রূপান্তরটি বেশ সহজ, কারণ এটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন ব্যবহার করে করা যেতে পারে।

-L/2≤x≤L/2 রেঞ্জে ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ খুঁজে পেতে, আমরা একটি নতুন চলক u চালু করি যাতে f(x) ফাংশনের সময়কাল u-এর তুলনায় 2π থাকে। যদি u=2πx/L, তাহলে u=-π এর জন্য x=-L/2 এবং u=π এর জন্য x=L/2। এছাড়াও f(x)=f(Lu/2π)=F(u) দিন। ফুরিয়ার সিরিজ F(u) এর ফর্ম আছে

(একীকরণের সীমা L দৈর্ঘ্যের যেকোনো ব্যবধান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 0 থেকে L পর্যন্ত)

ব্যবধান L≠2π-এ নির্দিষ্ট ফাংশনের জন্য অর্ধ-চক্রে ফুরিয়ার সিরিজ।

u=πх/L প্রতিস্থাপনের জন্য, x=0 থেকে x=L পর্যন্ত ব্যবধানটি u=0 থেকে u=π পর্যন্ত ব্যবধানের সাথে মিলে যায়। ফলস্বরূপ, ফাংশনটি শুধুমাত্র কোসাইন বা শুধুমাত্র সাইনে একটি সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে, যেমন ভি হাফ সাইকেলে ফুরিয়ার সিরিজ.

0 থেকে L পর্যন্ত পরিসরে কোসাইন সম্প্রসারণের ফর্ম রয়েছে

পিরিয়ড 2p সহ একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) এর ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র কোসাইন সহ পদ থাকে (অর্থাৎ, সাইন সহ পদ থাকে না) এবং একটি ধ্রুবক পদ অন্তর্ভুক্ত হতে পারে। তাই,

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

সাইনে ফুরিয়ার সিরিজের বিস্তার

পিরিয়ড 2p সহ একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f (x) এর ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র সাইন সহ পদ রয়েছে (অর্থাৎ, এতে কোসাইন সহ পদ নেই)।

তাই,

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

হাফ সাইকেলে ফুরিয়ার সিরিজ

যদি একটি ফাংশন একটি পরিসরের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, বলুন 0 থেকে p পর্যন্ত, এবং শুধুমাত্র 0 থেকে 2p পর্যন্ত নয়, এটি শুধুমাত্র সাইনে বা শুধুমাত্র কোসাইনগুলিতে একটি সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে। ফলে ফুরিয়ার সিরিজ বলা হয় কাছাকাছি ফুরিয়ার চালু অর্ধচক্র

আপনি যদি পচন পেতে চান ফুরিয়ার চালু অর্ধ চক্র দ্বারা কোসাইনফাংশন f(x) 0 থেকে p রেঞ্জে, তারপর একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন গঠন করা প্রয়োজন। চিত্রে। নিচে ফাংশন f(x) = x, x = 0 থেকে x = p পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত। যেহেতু জোড় ফাংশনটি f (x) অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম, তাই আমরা AB রেখা আঁকি, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। নিচে. যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে ফলস্বরূপ ত্রিভুজাকার আকৃতিটি 2p সময়কালের সাথে পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে চূড়ান্ত গ্রাফটি এইরকম দেখায়: চিত্রে নিচে. যেহেতু আমাদের কোসাইনগুলিতে ফুরিয়ার সম্প্রসারণ পেতে হবে, আগের মতো, আমরা ফুরিয়ার সহগ a o এবং a n গণনা করি

যদি পেতে হয় পচন ফুরিয়ার চালু অর্ধ চক্র দ্বারা সাইনাসফাংশন f(x) 0 থেকে p রেঞ্জে, তারপর একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন গঠন করা প্রয়োজন। চিত্রে। নিচে f(x) =x ফাংশন দেওয়া হল, x=0 থেকে x=p পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত। যেহেতু বিজোড় ফাংশন উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম, তাই আমরা লাইন সিডি তৈরি করি, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে।

যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে ফলাফল করা স্যুটুথ সংকেতটি 2p সময়কালের সাথে পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে চূড়ান্ত গ্রাফটিতে চিত্রে দেখানো ফর্মটি রয়েছে। যেহেতু আমাদের সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে অর্ধ-চক্রের ফুরিয়ার সম্প্রসারণ পেতে হবে, আগের মতোই, আমরা ফুরিয়ার সহগ গণনা করি। খ

ফুরিয়ার সিরিজ একটি সিরিজ আকারে একটি নির্দিষ্ট সময়ের সাথে একটি নির্বিচারী ফাংশনের একটি উপস্থাপনা। সাধারণভাবে, এই দ্রবণটিকে অর্থোগোনাল ভিত্তিতে একটি উপাদানের পচন বলা হয়। ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশন সম্প্রসারণ একটি মোটামুটি শক্তিশালী হাতিয়ার কারণ এই রূপান্তরের বৈশিষ্ট্যগুলির কারণে একীকরণ, পার্থক্য, সেইসাথে আর্গুমেন্ট এবং কনভোল্যুশনের মাধ্যমে অভিব্যক্তি স্থানান্তরের কারণে বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য।

একজন ব্যক্তি যিনি উচ্চতর গণিতের সাথে পরিচিত নন, সেইসাথে ফরাসি বিজ্ঞানী ফুরিয়ারের কাজের সাথে, সম্ভবত এই "সিরিজ" কী এবং তাদের কী প্রয়োজন তা বুঝতে পারবেন না। ইতিমধ্যে, এই রূপান্তরটি আমাদের জীবনে বেশ একীভূত হয়ে গেছে। এটি শুধুমাত্র গণিতবিদদের দ্বারা নয়, পদার্থবিদ, রসায়নবিদ, ডাক্তার, জ্যোতির্বিজ্ঞানী, সিসমোলজিস্ট, সমুদ্রবিজ্ঞানী এবং আরও অনেকে ব্যবহার করেন। আসুন আমরা সেই মহান ফরাসি বিজ্ঞানীর কাজগুলিও ঘনিষ্ঠভাবে দেখি যিনি একটি আবিষ্কার করেছিলেন যা তার সময়ের আগে ছিল।

ম্যান এবং ফুরিয়ার রূপান্তর

ফুরিয়ার সিরিজ পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি (বিশ্লেষণ এবং অন্যান্য সহ) এই প্রক্রিয়াটি প্রতিবারই ঘটে যখন একজন ব্যক্তি একটি শব্দ শোনেন। আমাদের কান স্বয়ংক্রিয়ভাবে রূপান্তর বহন করে প্রাথমিক কণাএকটি ইলাস্টিক মিডিয়ামে বিভিন্ন উচ্চতার টোনের জন্য ক্রমাগত লাউডনেস লেভেল মানগুলির সারি (বর্ণালী বরাবর) বিন্যস্ত করা হয়। এর পরে, মস্তিষ্ক এই ডেটাটিকে আমাদের কাছে পরিচিত শব্দে পরিণত করে। এই সমস্ত আমাদের ইচ্ছা বা চেতনা ছাড়াই ঘটে, তবে এই প্রক্রিয়াগুলি বুঝতে, উচ্চতর গণিত অধ্যয়ন করতে কয়েক বছর সময় লাগবে।

ফুরিয়ার রূপান্তর সম্পর্কে আরও

ফুরিয়ার রূপান্তর বিশ্লেষণাত্মক, সংখ্যাসূচক এবং অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করে করা যেতে পারে। ফুরিয়ার সিরিজ কোন দোলক প্রক্রিয়ার পচনশীলতার সংখ্যাসূচক পদ্ধতিকে নির্দেশ করে - সমুদ্রের জোয়ার এবং আলোর তরঙ্গ থেকে সৌর (এবং অন্যান্য জ্যোতির্বিদ্যাগত বস্তুর) কার্যকলাপের চক্র পর্যন্ত। এই গাণিতিক কৌশলগুলি ব্যবহার করে, আপনি ফাংশন বিশ্লেষণ করতে পারেন, যেকোন দোলনীয় প্রক্রিয়াকে সাইনোসয়েডাল উপাদানগুলির একটি সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করে যা সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ এবং পিছনে চলে যায়। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি ফাংশন যা একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সির সাথে সম্পর্কিত সাইনোসয়েডের ফেজ এবং প্রশস্ততা বর্ণনা করে। এই প্রক্রিয়াটি খুব জটিল সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা তাপ, আলো বা এর প্রভাবে উদ্ভূত গতিশীল প্রক্রিয়াগুলিকে বর্ণনা করে। বৈদ্যুতিক শক্তি. এছাড়াও, ফুরিয়ার সিরিজ জটিল দোলক সংকেতগুলিতে ধ্রুবক উপাদানগুলিকে বিচ্ছিন্ন করা সম্ভব করে, যা ওষুধ, রসায়ন এবং জ্যোতির্বিদ্যায় প্রাপ্ত পরীক্ষামূলক পর্যবেক্ষণগুলিকে সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করা সম্ভব করে।

ঐতিহাসিক রেফারেন্স

এই তত্ত্বের প্রতিষ্ঠাতা হলেন ফরাসি গণিতবিদ জিন ব্যাপটিস্ট জোসেফ ফুরিয়ার। এই রূপান্তরটি পরবর্তীকালে তার নামে নামকরণ করা হয়েছিল। প্রাথমিকভাবে, বিজ্ঞানী তাপ পরিবাহিতার প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন এবং ব্যাখ্যা করার জন্য তার পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন - তাপের বিস্তার কঠিন পদার্থ. ফুরিয়ার পরামর্শ দিয়েছিলেন যে প্রাথমিক অনিয়মিত বন্টনটি সরল সাইনোসয়েডগুলিতে পচে যেতে পারে, যার প্রত্যেকটির নিজস্ব তাপমাত্রা থাকবে সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ, সেইসাথে নিজস্ব ফেজ। এই ক্ষেত্রে, এই জাতীয় প্রতিটি উপাদান সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ এবং পিছনে পরিমাপ করা হবে। গাণিতিক ফাংশন যা বক্ররেখার উপরের এবং নীচের শিখরগুলিকে বর্ণনা করে, সেইসাথে প্রতিটি হারমোনিক্সের পর্যায়গুলিকে তাপমাত্রা বন্টন প্রকাশের ফুরিয়ার রূপান্তর বলে। তত্ত্বের লেখক একসঙ্গে আনা সাধারণ ফাংশনবণ্টন, যা গাণিতিকভাবে বর্ণনা করা কঠিন, কোসাইন এবং সাইনের একটি খুব সুবিধাজনক সিরিজে, যা একসাথে মূল বন্টন দেয়।

রূপান্তরের নীতি এবং সমসাময়িকদের মতামত

বিজ্ঞানীর সমসাময়িক - উনিশ শতকের প্রথম দিকের নেতৃস্থানীয় গণিতবিদরা - এই তত্ত্বটি গ্রহণ করেননি। প্রধান আপত্তি ছিল ফুরিয়ারের দাবী যে একটি বিচ্ছিন্ন ফাংশন, একটি সরলরেখা বা একটি বিচ্ছিন্ন বক্ররেখা বর্ণনা করে, একটি সাইনোসয়েডাল অভিব্যক্তির সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যা অবিচ্ছিন্ন। একটি উদাহরণ হিসাবে, হেভিসাইড ধাপটি বিবেচনা করুন: এর মান বিচ্ছিন্নতার বামে শূন্য এবং ডানে একটি। এই ফাংশনটি সার্কিট বন্ধ করার সময় একটি অস্থায়ী পরিবর্তনশীলের উপর বৈদ্যুতিক প্রবাহের নির্ভরতা বর্ণনা করে। তৎকালীন তত্ত্বের সমসাময়িকরা কখনও এমন পরিস্থিতির সম্মুখীন হননি যেখানে একটি অবিচ্ছিন্ন অভিব্যক্তিকে সূচকীয়, সাইন, রৈখিক বা চতুর্ভুজের মতো অবিচ্ছিন্ন, সাধারণ ফাংশনের সংমিশ্রণ দ্বারা বর্ণনা করা হবে।

ফুরিয়ারের তত্ত্ব সম্পর্কে ফরাসি গণিতবিদদের কি বিভ্রান্ত?

সর্বোপরি, যদি গণিতবিদ তার বক্তব্যে সঠিক ছিলেন, তাহলে, অসীমের সংক্ষিপ্তসার ত্রিকোণমিতিক সিরিজফুরিয়ার, এটি একটি ধাপ অভিব্যক্তির একটি সঠিক উপস্থাপনা প্রাপ্ত করা সম্ভব এমনকি যদি এটিতে অনেকগুলি অনুরূপ পদক্ষেপ থাকে। ঊনবিংশ শতাব্দীর শুরুতে এ ধরনের বক্তব্য অযৌক্তিক মনে হয়েছিল। কিন্তু সমস্ত সন্দেহ সত্ত্বেও, অনেক গণিতবিদ এই ঘটনাটির অধ্যয়নের পরিধি প্রসারিত করেছিলেন, এটিকে তাপ পরিবাহিতা অধ্যয়নের বাইরে নিয়ে গিয়েছিলেন। যাইহোক, বেশিরভাগ বিজ্ঞানী এই প্রশ্ন দ্বারা যন্ত্রণা ভোগ করতে থাকেন: "একটি সাইনোসয়েডাল সিরিজের যোগফল কি একত্রিত হতে পারে? প্রকৃত মূল্যঅবিচ্ছিন্ন ফাংশন?

ফুরিয়ার সিরিজের কনভারজেন্স: একটি উদাহরণ

যখনই সংখ্যার অসীম সিরিজ যোগ করার প্রয়োজন হয় তখনই কনভারজেন্সের প্রশ্ন ওঠে। এই ঘটনাটি বুঝতে, একটি ক্লাসিক উদাহরণ বিবেচনা করুন। আপনি কি কখনও প্রাচীরে পৌঁছাতে সক্ষম হবেন যদি প্রতিটি পরবর্তী ধাপ পূর্ববর্তীটির আকারের অর্ধেক হয়? ধরা যাক আপনি আপনার লক্ষ্য থেকে দুই মিটার দূরে, প্রথম ধাপটি আপনাকে অর্ধেক চিহ্নে নিয়ে যাবে, পরেরটি আপনাকে তিন-চতুর্থাংশ চিহ্নে নিয়ে যাবে এবং পঞ্চমটির পরে আপনি প্রায় 97 শতাংশ পথ কভার করবেন। যাইহোক, আপনি যতই পদক্ষেপ নিন না কেন, আপনি কঠোর গাণিতিক অর্থে আপনার অভিপ্রেত লক্ষ্য অর্জন করতে পারবেন না। সংখ্যাসূচক গণনা ব্যবহার করে, এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে শেষ পর্যন্ত একটি নির্দিষ্ট দূরত্বের মতো কাছাকাছি যাওয়া সম্ভব। এই প্রমাণটি দেখানোর সমতুল্য যে এক-অর্ধ, এক-চতুর্থাংশ ইত্যাদির যোগফল একতার দিকে ঝুঁকবে।

কনভারজেন্সের প্রশ্ন: দ্বিতীয় আসছে, বা লর্ড কেলভিনের যন্ত্র

ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে এই সমস্যাটি আবার উত্থাপিত হয়েছিল, যখন তারা জোয়ারের তীব্রতা অনুমান করার জন্য ফুরিয়ার সিরিজ ব্যবহার করার চেষ্টা করেছিল। এই সময়ে, লর্ড কেলভিন একটি যন্ত্র আবিষ্কার করেন যা একটি অ্যানালগ ছিল কম্পিউটিং ডিভাইস, যা সামরিক এবং বণিক সামুদ্রিক নাবিকদের এই প্রাকৃতিক ঘটনাটি ট্র্যাক করার অনুমতি দেয়। এই প্রক্রিয়াটি জোয়ারের উচ্চতা এবং সংশ্লিষ্ট সময় বিন্দুগুলির একটি টেবিল থেকে পর্যায় এবং প্রশস্ততার সেট নির্ধারণ করে, সারা বছর ধরে একটি প্রদত্ত বন্দরে সাবধানে পরিমাপ করা হয়। প্রতিটি প্যারামিটার ছিল জোয়ারের উচ্চতা অভিব্যক্তির একটি সাইনোসয়েডাল উপাদান এবং নিয়মিত উপাদানগুলির মধ্যে একটি ছিল। পরিমাপগুলি লর্ড কেলভিনের গণনার যন্ত্রে দেওয়া হয়েছিল, যা একটি বক্ররেখা সংশ্লেষিত করেছিল যা পরবর্তী বছরের জন্য সময়ের ফাংশন হিসাবে জলের উচ্চতা পূর্বাভাস দেয়। খুব শীঘ্রই বিশ্বের সমস্ত পোতাশ্রয়ের জন্য একই বক্ররেখা তৈরি করা হয়েছিল।

যদি প্রক্রিয়াটি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন দ্বারা ব্যাহত হয়?

সেই সময়ে এটা সুস্পষ্ট মনে হয়েছিল যে বিপুল সংখ্যক গণনা উপাদান সহ একটি জোয়ার-ভাটার ভবিষ্যদ্বাণীকারী অনেকগুলি পর্যায় এবং প্রশস্ততা গণনা করতে পারে এবং এইভাবে আরও সঠিক ভবিষ্যদ্বাণী প্রদান করতে পারে। যাইহোক, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে এই প্যাটার্নটি এমন ক্ষেত্রে পরিলক্ষিত হয় না যেখানে জোয়ারের অভিব্যক্তি যা সংশ্লেষিত হওয়া উচিত একটি তীক্ষ্ণ লাফ রয়েছে, অর্থাৎ এটি বিচ্ছিন্ন ছিল। সময় মুহূর্তগুলির একটি সারণী থেকে ডেটা ডিভাইসে প্রবেশ করা হলে, এটি বেশ কয়েকটি ফুরিয়ার সহগ গণনা করে। মূল ফাংশন পুনরুদ্ধার করা হয় সাইনোসয়েডাল উপাদানগুলির জন্য ধন্যবাদ (পাওয়া সহগ অনুসারে)। মূল এবং পুনর্গঠিত অভিব্যক্তির মধ্যে পার্থক্য যে কোনো সময়ে পরিমাপ করা যেতে পারে। বারবার গণনা এবং তুলনা করার সময়, এটি স্পষ্ট যে বৃহত্তম ত্রুটির মান হ্রাস পায় না। যাইহোক, এগুলি বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর সাথে সংশ্লিষ্ট অঞ্চলে স্থানীয়করণ করা হয় এবং অন্য যে কোনও বিন্দুতে তারা শূন্যের দিকে ঝোঁক। 1899 সালে, এই ফলাফল তাত্ত্বিকভাবে ইয়েল বিশ্ববিদ্যালয়ের জোশুয়া উইলার্ড গিবস দ্বারা নিশ্চিত করা হয়েছিল।

ফুরিয়ার সিরিজের কনভারজেন্স এবং সাধারণভাবে গণিতের বিকাশ

ফুরিয়ার বিশ্লেষণ একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে অসীম সংখ্যক স্পাইক ধারণকারী অভিব্যক্তির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। সাধারণভাবে, ফুরিয়ার সিরিজ, যদি আসল ফাংশনটি বাস্তবের ফলাফল দ্বারা উপস্থাপন করা হয় শারীরিক মাত্রা, সবসময় একত্রিত হয়. নির্দিষ্ট শ্রেণীর ফাংশনগুলির জন্য এই প্রক্রিয়াটির অভিন্নতা সম্পর্কে প্রশ্নগুলি গণিতে নতুন শাখাগুলির উত্থানের দিকে পরিচালিত করে, উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ফাংশনের তত্ত্ব। তিনি এল. শোয়ার্টজ, জে. মিকুসিনস্কি এবং জে. টেম্পলের মতো নামের সাথে যুক্ত। এই তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে, একটি স্পষ্ট এবং সুনির্দিষ্ট তাত্ত্বিক ভিত্তিডিরাক ডেল্টা ফাংশন (এটি একটি বিন্দুর অসীম আশেপাশে কেন্দ্রীভূত একটি একক এলাকার একটি অঞ্চলকে বর্ণনা করে) এবং হেভিসাইড "পদক্ষেপ" এর মতো অভিব্যক্তির অধীনে। এই কাজের জন্য ধন্যবাদ, ফুরিয়ার সিরিজ সমীকরণ এবং স্বজ্ঞাত ধারণার সাথে জড়িত সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য প্রযোজ্য হয়েছে: বিন্দু চার্জ, বিন্দু ভর, চৌম্বকীয় ডাইপোল এবং একটি বিমের উপর ঘনীভূত লোড।

ফুরিয়ার পদ্ধতি

ফুরিয়ার সিরিজ, হস্তক্ষেপের নীতি অনুসারে, জটিল ফর্মগুলির পচন দিয়ে সহজে শুরু হয়। উদাহরণস্বরূপ, তাপ প্রবাহের পরিবর্তনকে ব্যাখ্যা করা হয় অনিয়মিত আকারের তাপ-অন্তরক উপাদান দিয়ে তৈরি বিভিন্ন বাধার মধ্য দিয়ে যাওয়া বা পৃথিবীর পৃষ্ঠের পরিবর্তন - একটি ভূমিকম্প, কক্ষপথের পরিবর্তন। স্বর্গীয় শরীরের- গ্রহের প্রভাব। একটি নিয়ম হিসাবে, এই ধরনের সমীকরণগুলি যা সহজ ক্লাসিক্যাল সিস্টেমগুলিকে বর্ণনা করে প্রতিটি পৃথক তরঙ্গের জন্য সহজেই সমাধান করা যেতে পারে। ফুরিয়ার সেটা দেখিয়েছেন সহজ সমাধানআরও জটিল সমস্যার সমাধান পেতেও যোগ করা যেতে পারে। গাণিতিক পরিভাষায়, ফুরিয়ার সিরিজ হল একটি অভিব্যক্তিকে হারমোনিক্সের সমষ্টি - কোসাইন এবং সাইন হিসাবে উপস্থাপন করার একটি কৌশল। এই জন্য এই বিশ্লেষণসুরেলা বিশ্লেষণ হিসাবেও পরিচিত।

ফুরিয়ার সিরিজ - "কম্পিউটার যুগের" আগে একটি আদর্শ কৌশল

সৃষ্টির আগে কম্পিউটার এর যন্ত্রাদিআমাদের বিশ্বের তরঙ্গ প্রকৃতির সাথে কাজ করার সময় ফুরিয়ার কৌশলটি বিজ্ঞানীদের অস্ত্রাগারের সেরা অস্ত্র ছিল। ফুরিয়ার সিরিজ জটিল ফর্মআপনি না শুধুমাত্র সিদ্ধান্ত নিতে পারবেন সহজ কাজ, যা নিউটনের মেকানিক্সের সূত্রের সরাসরি প্রয়োগের জন্য উপযুক্ত, কিন্তু মৌলিক সমীকরণও। ঊনবিংশ শতাব্দীতে নিউটনীয় বিজ্ঞানের বেশিরভাগ আবিষ্কার শুধুমাত্র ফুরিয়ারের কৌশল দ্বারা সম্ভব হয়েছিল।

আজ ফুরিয়ার সিরিজ

কম্পিউটারের বিকাশের সাথে, ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি গুণগতভাবে নতুন স্তরে উন্নীত হয়েছে। এই কৌশলটি বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির প্রায় সব ক্ষেত্রেই দৃঢ়ভাবে প্রতিষ্ঠিত। একটি উদাহরণ ডিজিটাল অডিও এবং ভিডিও। ঊনবিংশ শতাব্দীর শুরুতে একজন ফরাসি গণিতবিদ দ্বারা বিকশিত একটি তত্ত্বের জন্যই এর বাস্তবায়ন সম্ভব হয়েছিল। এইভাবে, একটি জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজটি বাইরের মহাকাশের অধ্যয়নে একটি অগ্রগতি করা সম্ভব করেছিল। এছাড়াও, এটি অর্ধপরিবাহী পদার্থ এবং প্লাজমা, মাইক্রোওয়েভ অ্যাকোস্টিক, সমুদ্রবিদ্যা, রাডার এবং সিসমোলজির পদার্থবিদ্যার অধ্যয়নকে প্রভাবিত করে।

ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ

গণিতে, একটি ফুরিয়ার সিরিজ নির্বিচারে প্রতিনিধিত্ব করার একটি উপায় জটিল ফাংশনসরলদের যোগফল। ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেএই ধরনের অভিব্যক্তির সংখ্যা অসীম হতে পারে। তদুপরি, গণনায় তাদের সংখ্যা যত বেশি বিবেচনা করা হয়, চূড়ান্ত ফলাফল তত বেশি নির্ভুল। প্রায়শই, কোসাইন বা সাইনের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি সহজতম হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এই ক্ষেত্রে, ফুরিয়ার সিরিজকে ত্রিকোণমিতিক বলা হয় এবং এই জাতীয় রাশিগুলির সমাধানকে বলা হয় সুরেলা সম্প্রসারণ। এই পদ্ধতি খেলে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকাগণিতে প্রথমত, ত্রিকোণমিতিক সিরিজ ফাংশন চিত্রিত করার এবং অধ্যয়ন করার জন্য একটি উপায় প্রদান করে এটি তত্ত্বের প্রধান যন্ত্র। এছাড়াও, এটি আপনাকে গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের বেশ কয়েকটি সমস্যা সমাধান করতে দেয়। অবশেষে, এই তত্ত্বটি গাণিতিক বিজ্ঞানের (অখণ্ডের তত্ত্ব, পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের তত্ত্ব) অনেকগুলি গুরুত্বপূর্ণ শাখার বিকাশে অবদান রাখে। উপরন্তু, এটি একটি বাস্তব ভেরিয়েবলের নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির বিকাশের জন্য সূচনা বিন্দু হিসাবে কাজ করেছিল এবং সুরেলা বিশ্লেষণের ভিত্তিও স্থাপন করেছিল।